Anwendung der Diskrete-Elemente-Methode zur Vorhersage von Kräften bei der Bodenbearbeitung

231© 2013 Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin · geotechnik 36 (2013), Heft 4

In dieser Arbeit wird ein Simulationsmodell zur Vorhersage vonKräften bei der Bodenbearbeitung auf Basis der Diskrete-Ele-mente-Methode (DEM) vorgestellt. Es werden Interaktionsge -setze für drei verschiedene Bodenarten mit kohäsionslosem, ko-häsivem und zementiertem Materialverhalten beschrieben. DieScherfestigkeit des Bodens wird dabei mithilfe von simuliertenTriaxialversuchen kalibriert. Andere Parameter des Modells wer-den durch Annahmen oder dimensionslose Kennzahlen festge-legt. Laborversuche an einem geraden Schild, der bei konstanterGeschwindigkeit durch das Bodenmaterial gezogen wird, zeigeneine gute Übereinstimmung mit der Simulation. Obwohl für diesenFall auch Handformeln auf Basis des passiven Erddrucks geeig-net sind, erlaubt es die Partikelsimulation darüber hinaus, auchkomplexe Geometrien und Trajektorien auf die gleiche Weise zusimulieren. Dies wird durch eine Messung an einem Mobilbag-ger, der in gebrochenem Kies arbeitet, bestätigt.

Application of the Discrete Element Method for the prediction of draft forces in soil. In this paper, a numerical model for theprediction of soil-tool interaction forces, based on the DiscreteElement Method (DEM) is presented. Three different types of par-ticle-interaction laws for cohesionless, cohesive, and cementedsoil are described. The shear strength of the soil is being calibrat-ed by the use of simulated triaxial compression tests. Other para-meters of the model are either chosen by experience or by theuse of dimensionless numbers. Laboratory tests on a straight cut-ting blade, which is moved through the sample soil at constantspeed, show good agreement with the results of the simulation.For this case, empirical formulas based on the passive earthpressure could be applied. Beyond that, the particle simulationcan also be applied in the same manner to more complex toolgeometries and trajectories. This is verified by measurements ona wheeled excavator that is working in crushed gravel.

1 Einleitung

Die mechanische Belastung von Baumaschinen hängt ne-ben den Eigenschaften des Fahrzeugs selbst und dem Ver-halten des Bedieners auch vom Bodenwiderstand und dendaraus resultierenden Kräften bei der Bodenbearbeitungab. Für die Festigkeitsauslegung solcher Maschinen ist esdeshalb wichtig, bereits sehr früh in der Entwicklungspha-se diese Kräfte erfassen zu können. Während für die Si-mulation des dynamischen Verhaltens der Maschinen dieMethode der Mehrkörpersimulation (MKS) bereits festetabliert ist, müssen die Kräfte aus der Bodenbearbeitungin der Regel aus Messungen entnommen werden. Die Ver-

wendung von Handformeln für diese Anwendung schei-tert an der oft komplexen Geometrie des Werkzeugs (z. B.Baggerschaufel oder Planierschild) und deren Trajektorie.In dieser Arbeit wird zur Lösung dieser komplexen Auf -gabe ein numerisches Simulationsmodell auf Basis derDiskrete-Elemente-Methode (DEM) vorgestellt. Diese Me-thode eignet sich zur Abbildung von großen Dehnungenund dem Trennen von Material. Dabei interagieren in derSimulation meist kugelförmige Partikel über verschiedeneKraftgesetze. Diese Interaktionsgesetze bestimmen dasVerhalten des Schüttguts oder Bodenmaterials. Es werdenModelle für kohäsionsloses, kohäsives und zementiertesBodenmaterial vorgestellt. Diese Einteilung stellt ver-schiedene Grundtypen für die Simulation dar. Die Para-metrierung des Modells wird durch die Anwendung vonModellannahmen zur Partikelgeometrie und für dieDämpfungswerte innerhalb der DEM sowie durch eine dimensionslose Kennzahl zur Ermittlung von Federsteifig-keiten vereinfacht. Die Simulationen von Triaxialversu-chen an einem zementierten Sand, einem Laborexperi-ment mit einem geraden Schild und an einem Mobilbag-ger zeigen eine gute Übereinstimmung mit dem realen Ma-terialverhalten. Insbesondere ist es möglich, die Kräfte derBodenbearbeitung mithilfe der Simulation vorherzusagen.Für den hier gezeigten Anwendungsfall wurden neben derDEM, z. B. in [1] [2], auch die Finite-Elemente-Methode [3]und Methoden der Strömungssimulation [4] [5] bereits an-gewandt. Ein ähnlicher Anwendungsfall ist die Vorhersagedes Erddrucks auf Bauwerke. Auch hier wurde die DEMbereits erfolgreich eingesetzt [6].

2 Diskrete-Elemente-Methode

Bei der DEM wird eine große Zahl von starren Partikelnsimuliert, die über steife Federn und Reibelemente ver-bunden sind [7]. Für die Partikel werden meist einfacheGeometrien verwendet, in der Regel Kugeln oder gekop-pelte Kugelpaare. In einem Zeitschritt werden für alle Par-tikel die Interaktionskräfte und -momente berechnet unddie Bewegungsgleichungen

(1)

für den Körper i mit der Masse mi, Beschleunigung x··i,Trägheitstensor Ii, Winkelgeschwindigkeit ω i und Winkel-

m x fI I t

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Fachthemen

Anwendung der Diskrete-Elemente-Methode zurVorhersage von Kräften bei der Bodenbearbeitung

Martin ObermayrChristos Vrettos

DOI: 10.1002/gete.201300009

beschleunigung ω· i in der Zeit integriert [8]. Die Kräfte fiund Momente ti sind die Summen aller Kräfte und Mo-mente, die auf diesen Körper wirken. Neben den Interak -tionskräften ist darin auch die Schwerkraft enthalten. DasVerhalten des Bodenmaterials wird durch diese Interak -tionskräfte und -momente bestimmt. In Abschnitt 3 wer-den Interaktionsgesetze vorgestellt, die teilweise neu- oderauf Basis bereits bestehender Modelle weiterentwickeltwurden. Als Basis für die Implementierung wird hier dasPartikelsimulationsprogramm Pasimodo [9] verwendet.Dieses Programm stellt den kompletten Berechnungsab-lauf von der Kollisionserkennung, Auswertung der Kraft-gesetze bis zur Zeitintegration der Bewegungsgleichungensowie Ein- und Ausleseroutinen zur Verfügung. Mit dieserSoftware wurden auch die in Abschnitt 5 gezeigten Simu-lationen durchgeführt.

3 Modelle für verschiedene Bodenarten

Um die Aufgabenstellung für die Partikelsimulation be-schreibbar zu machen, werden drei Grundtypen für Bo-denmaterial definiert.

Typ 1 beschreibt kohäsionsloses granulares Materialund stellt für die anderen beiden Typen die Grundlagedar. Das dazugehörige Interaktionsgesetz ist in Ab-schnitt 3.1 beschrieben. Es enthält einen abstoßendenKraftanteil in Richtung normal zur Oberfläche, der dieDurchdringung der Partikel verhindert, einen Tangential-kraftanteil für die Reibung zwischen Partikeln und einelastisch-plastisches Rollmoment. Der letzte Term kom-pensiert den bei Kugeln im Vergleich zu realen Körnernzu geringen Einfluss der Unrundheit auf die Scherfestig-keit [10] [11]. Statt der Verwendung des Rollmomentskann bei Material des Typs 1 auch der Drehfreiheitsgradder Partikel unterdrückt werden.

Bei Material des Typs 2 wirken zusätzlich auch ko-häsive Kräfte zwischen den Partikeln. Wie in [12] vorge-schlagen, wird dabei nicht die physikalische Ursache die-ser Kräfte untersucht und abgebildet, sondern ein Modellaufgestellt, das die Kohäsion des Materials auf der Makro-ebene abbilden kann. Das Modell ist in Abschnitt 3.2 be-schrieben.

Material des Typs 3 zeichnet sich durch eine festeVerbindung, eine Zementierung, zwischen den Partikelnaus, die bei einem bestimmten Belastungsniveau zer -brechen kann. Nach dem Bruch der Zementierung verhält sich der Boden wie ein kohäsionsloses granu-lares Material. Dieses Modell wird in Abschnitt 3.3 be-schrieben.

Für jeden dieser Bodentypen wird im Folgenden einInteraktionsgesetz vorgestellt, das mithilfe der Modell -parameter an die Eigenschaften des realen Materials ange-passt werden kann. Es ist dabei auch möglich, zwei oderalle drei Typen zu kombinieren.

3.1 Materialtyp 1: Kohäsionsloser Boden

Die Basis für alle DEM-Simulationen ist eine repulsiveNormalkraft FN,ij zwischen den Partikeln i und j, die dieDurchdringung der in Kontakt stehenden Partikel geringhält. Dies ist in der Regel ein lineares Feder-Dämpfersys-tem

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M. Obermayr/Ch. Vrettos · Anwendung der Diskrete-Elemente-Methode zur Vorhersage von Kräften bei der Bodenbearbeitung

geotechnik 36 (2013), Heft 4

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mit der Überlappung benachbarter Partikel

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den Partikelradien ri und rj und -positionen xi und xj; δ·ij

bezeichnet die zeitliche Änderung der Überlappung unddN die Dämpfung in Normalenrichtung. Anstatt, wie sonstüblich, die Normalsteifigkeit kN als unabhängigen Modell-parameter zu verwenden, wird hier ein von der Partikel-größe abhängiger Wert

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verwendet [13], wobei rij = (r1 + r2)/2 den mittleren Radiusder sich berührenden Partikel bezeichnet. Dies entsprichtder Steifigkeit eines zylindrischen Stabelements zwischenden Partikelmittelpunkten mit dem Elastizitätsmodul Ê.Durch diese Wahl werden die resultierenden Schüttgutei-genschaften im numerischen Modell skalenunabhängig,also von der Partikelgröße unabhängig [14]. Diese Eigen-schaft erleichtert die praktische Anwendung, da die Mo-dellparameter bei einer Änderung der Partikelgröße nichtgeändert werden müssen. Die Indizes i und j werden für ei-ne bessere Lesbarkeit von nun an vernachlässigt.

Neben der Geometrie, leistet die Reibung zwischenPartikeln einen wesentlichen Beitrag zu den Material -eigenschaften [10]. Hier wird eine eigene Implementierungder Coulombschen Reibung verwendet, bei der nicht zwi-schen Haft- und Gleitreibung unterschieden wird, Bild 1.

Kommen zwei Partikel zum ersten Mal in Kontakt,werden die Kontaktpunkte xC,i auf den sich berührendenPartikeln gespeichert. Aus dem in die Tangentialebeneprojizierten Verbindungsvektor der Kontaktpunkte ξTwird in den folgenden Zeitschritten dann der Vektor derTangentialkraft in der Tangentialebene

(5)

berechnet. Dabei bezeichnet kT die Federsteifigkeit unddT die Dämpfung in tangentialer Richtung. Zur Berück-sichtigung von Gleitreibung wird die Länge von ξT auf

(6)

begrenzt, wobei μ den Reibkoeffizienten bezeichnet. Ana-log dazu wird für das Rollmoment eine Feder ξR in derTangentialebene definiert, welche die inkrementellen Roll-deformationen

F k dN,ij N ij N ij�

r r x xij i j i j

k 0,5 E rN ijˆ

T TT Tξ ξ= +k dξξ ξf T�

ξ ≤ξξ μFk

N

TT

Bild 1. Tangentiale Feder ξT zur Berechnung der Reibkraft(links) und Rolldeformation ξR zur Berechnung des Roll -moments (rechts)Fig. 1. Tangential spring ξT for the calculation of the frictionforce (left) and rolling deformation ξR for the calculation ofthe rolling resistance torque (right)

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(7)

akkumuliert, Bild 1. Auch in diesem Fall wird die Längeder Feder so begrenzt, dass

(8)

gilt, wobei cR den Rollwiderstandskoeffizienten bezeich-net. Die hier vorgeschlagene Vorgehensweise ist ähnlichzu den Modellen in [11] und [15]. Der dimensionslose Pa-rameter cR kann bei einem Wert von 1 die Rotation derPartikel aufgrund einer Reibkraft komplett verhindern, soals ob ein abgeflachter Stein über eine ebene Fläche ge-schoben wird, ohne sich dabei zu drehen. Aus ξR wirdschließlich das Rollmoment auf die sich berührenden Par-tikel 1 und 2

(9)

berechnet. Bei kohäsionslosem Material kann alternativzur Verwendung des hier beschriebenen Rollmomentsauch die Drehung der Partikel generell unterdrückt wer-den [16]. Obwohl gerade die Drehung der Partikel einwichtiger, mikromechanischer Effekt ist [10], gelingt esauch mit diesem Modell, die makroskopische Scherfestig-keit des Materials abzubilden und erlaubt dabei auch eineReduzierung des numerischen Aufwands. Für Materialiendes Typs 2 oder Typs 3 verhindert der dabei nicht zugelas-sene Drehfreiheitsgrad jedoch, dass sich Klumpen vonmehreren Partikeln gemeinsam drehen können. In diesemFall ist die Anwendung des Rollmoments aus Gl. (9) not-wendig, um die Scherfestigkeit zu erhöhen.

3.2 Materialtyp 2: Kohäsives Material

Bereits eine sehr einfache Modellierung der Kohäsion alskonstante attraktive Kraft im Sinne eines Binnendruckszeigt in Simulationen qualitativ gute Ergebnisse [12]. Da-bei wurde jedoch die volle Wirkung der Kohäsionskraftangesetzt, sobald sich zwei Partikel berühren. In eigenenSimulationen hat sich gezeigt, dass es besser ist, wenn sichdie Kohäsionskraft nur in dem Maße entwickeln kann,wie ein Partikelpaar in der vorangegangenen Simulationkomprimiert wurde. Das Kraftgesetz in Normalenrichtunglautet nun:

(10)

wobei die Kohäsionskraft FC aus dem mikroskopischenKohäsionsdruck c berechnet wird:

(11)

Der aktuelle Kohäsionsdruck c ist wiederum eine Funk -tion des größten bisher aufgetretenen NormaldrucksσN = FN/πrij

2 und wird durch den Maximalwert cmax be-grenzt, Bild 2:

ξ ≤ξξ μc

FkR R

N

T

= += =ξ ξξξ ξ+

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

=

2R(t n)

R(t n 1) C,1 C,2

a

(t n)x x

x

( ) ( )( ) ( )ξξξ

ξξ

= − ×

= − ×

k

k1 a 1 T R

2 a 2 T R

t x x

t x x

F k d F ,N N N C�

F r c.C ij2

(12)

Der Parameter kC steuert dabei das Verhältnis von aktuel-ler Kohäsion und Normaldruck. Bei diesem Materialtypmuss die Drehung der Partikel stets zugelassen werden,damit sich auch Klumpen aus mehreren Partikeln gemein-sam drehen können.

3.3 Materialtyp 3: Zementierter Boden

Bodenmaterial, das sich bei geringer Belastung wie einelastischer Festkörper verhält und bei Erreichen einerBruchspannung in kohäsionsloses Material zerfällt, wirdals zementierter Boden oder Boden mit Strukturfestigkeitbezeichnet [17]. Diese Eigenschaft wird in der Simulationdurch ein Kraftgesetz abgebildet, das zwischen den Mittel-punkten der Partikel Balkenelemente aufspannt. Das Mo-dell ist in [14] ausführlich beschrieben. Die Deformationdes Balkens wird aus der Änderung der Position und Rota-tion der benachbarten Partikel berechnet. Daraus werdeneinerseits Kräfte und Momente berechnet, die auf die Par-tikel wirken, und andererseits eine Vergleichsspannung gebildet, die zwischen Zug- und Druckbelastung unter-scheidet. Bei einer Druckbelastung wird nur der Schub-spannungsanteil bewertet, während bei Zug auch die Nor-malspannung berücksichtigt wird. Ein zusätzlicher Druck-festigkeitskoeffizient αc erlaubt es, den Unterschied zwi-schen der Festigkeit bei Zug- und Druckbelastung zuberücksichtigen. Abhängig von diesem Wert kann erreichtwerden, dass das Material bei höherem allseitigen Druckleichter bricht oder nicht. Im letzteren Fall hat die Scher-gerade dieselbe Steigung wie die des kohäsionslosen Mate-rials, anderenfalls ist die Steigung flacher. Erreicht dieSpannung in einem Balkenelement die Bruchspannungσbruch, wird das Balkenelement entfernt, und die Partikelinteragieren wie bei kohäsionslosem Material. Wie bei ko-häsivem Material muss auch bei zementiertem Material dieDrehung der Partikel stets zugelassen werden, um eine Ro-tation von Klumpen aus mehreren Partikeln zuzulassen.

4 Parametrierung

Bei kontinuumsbasierten numerischen Methoden, wiez. B. der FEM, werden ausschließlich makroskopische

c min c , k .max C N

Bild 2. Kraftgesetz für kohäsive Interaktion Fig. 2. Force law for the cohesive interaction

Eigenschaften des Schüttguts bzw. des Bodens bei der Mo-dellierung berücksichtigt. Das sind hier vor allem der in-nere Reibungswinkel φ, die Porosität n, und die Schütt-dichte ρb. Mikromechanische Methoden, wie die DEM,basieren auf einer Beschreibung einzelner Partikel in ihrerGeometrie, Größe und Reibeigenschaften. Während es inAnwendungen der Prozesstechnik durchaus möglich seinkann, einzelne Partikel exakt zu beschreiben, erscheintdieses Vorgehen bei Bodenmaterial hoffnungslos. Hierwerden stattdessen Annahmen für die Größe und Geome-trie der Partikel getroffen und anschließend die verblei-benden Parameter so eingestellt, dass Schüttdichte, Poro-sität und Scherfestigkeit mit dem realen Bodenmaterialübereinstimmen. Verschiedene Möglichkeiten zur Para-metrierung werden in [2] präsentiert. Generell ist eineSchwierigkeit bei der DEM, die relative große Zahl vonModellparametern zuverlässig so einzustellen, dass dasMaterialverhalten richtig abgebildet wird. Dabei wird die-se Aufgabe umso komplizierter, je mehr Parameter einzu-stellen sind. Um den Aufwand zu reduzieren, wird deshalbversucht, so viele Parameter wie möglich auf eine andereWeise festzulegen, als durch eine aufwendige Parametrie-rung. Dabei zerfallen die Modellparameter in drei Grup-pen. Die erste Gruppe enthält Parameter, die einen gerin-gen Einfluss auf das Ergebnis haben oder a priori über eine Annahme festgelegt werden. Dies sind vor allem diePartikelgeometrie und -größenverteilung, die Werte für dieDämpfungen dN, dT und der Rollmomentkoeffizient cR.

Weitere Parameter können anhand von dimensions-losen Kennwerten festgelegt werden. In [18] wurden gra-nulare Scherströmungen untersucht und eine dimensions-lose Kennzahl für die Steifigkeit der Partikel definiert. Daauch im vorliegenden Fall eine Scherdeformation domi-

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niert, wird diese Kennzahl auf den vorliegenden Fall über-tragen. Dabei ergibt sich die Steifigkeitszahl

(13)

mit dem typischen Druck p, der hier als tiefenabhängigerWert aus dem Eigengewicht des Bodenmaterials mit derFeuchtdichte ρb in der maßgebenden Tiefe h

(14)

abgeschätzt wird. Für Werte von κ oberhalb einer be-stimmten Grenze (dem sogenannten rigid grain limit) hatdie Steifigkeit kaum Einfluss auf das Ergebnis. In eigenenSimulationen hat sich κ > 5.000 als geeigneter Wert he-rausgestellt. Der Modellparameter Ê kann damit bereitsim Vorfeld festgelegt werden. Aus der Hertzschen Theoriekann damit auch ein Wert für die Tangentialsteifigkeit kTermittelt werden, da sich für zwei Kugeln im Fall von Haft-reibung ein konstantes Verhältnis kN/kT ergibt [16].

Zu der dritten Gruppe gehören Parameter, die an-hand eines geeigneten Versuchs kalibriert werden müssen.Dies ist der Reibkoeffizient zwischen Boden und Werk-zeug μext, der mithilfe von Adhäsionsversuchen in derScherbox bestimmt werden kann. Die Scherfestigkeit desMaterials wird mithilfe von simulierten Triaxialversuchenan das reale Materialverhalten angepasst. Dabei werdender Reibkoeffizient zwischen den Partikeln μ, die maxi -male Kohäsionsspannung cmax und die Bruchspannungder Zementierung σbruch festgelegt.

Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, die Partikelim Berechnungsgebiet anzuordnen. Eine Möglichkeit ist

Ep

p g hb

Tabelle 1. Modellparameter und Ergebnisse der simulierten Triaxialversuche für die drei untersuchten MaterialtypenTable 1. Model parameters and results of simulated triaxial compression tests for the three material types investigated

Modellparameter Typ 1 Typ 2 Typ 3kohäsionslos kohäsiv zementiert

Partikelradius r [m] 0,025 … 0,05 0,025 … 0,05 0,025 … 0,05

Porosität n [–] 0,41 0,41 0,41

Partikelsteifigkeit Ê [MPa] 50 50 50

Tangentialsteifigkeit kT [N/m] 5,0 · 106 5,0 · 106 5,0 · 106

Reibkoeffizient μ [–] 0,21 0,21 0,21

Rollreibungskoeffizient cR [–] 1,0 1,0 1,0

Kohäsionsdruck c [kPa] 10

Konstante kC [–] 1,0

Bruchspannung σbruch [kPa] 20

Zug-Druck-Anisotropie αC [–] 2,0

Seitendruck σ3 [kPa] 10/20 10/20 10/20

Ergebnisse

Axiale Spannung im Peakzustand σ1,peak [kPa] 35,0/69,7 46,8/81,8 78,6/105,0

Axiale Spannung im Residualzustand σ1,res [kPa] 32,6/64,0 40,9/72,4 33,3/66,4

Reibungswinkel/Kohäsion φpeak/cpeak [°]/[kPa] 33,5/0,1 33,8/3,1 26,8/16,1

Reibungswinkel/Kohäsion φres/cres [°]/[kPa] 31,1/0,3 31,3/2,6 32,4/0,1

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es, die Partikel in einer vorangehenden Simulation einzu-streuen. Dabei kann die Reibung ein- oder ausgeschaltetwerden, um eine lockere oder dichte Packung zu errei-chen. Die Kugeln weisen in den hier gezeigten Simulatio-nen immer eine künstliche Korngrößenverteilung auf, beider die kleinsten Partikel halb so groß sind wie die größ-ten. Dies ist nötig, um zu verhindern, dass sich die Partikelin einem regelmäßigen Gitter anordnen und dadurch un-realistische Ergebnisse bewirken. Dies soll jedoch keineAbbildung der realen Korngrößenverteilung sein. ZumVergleich der Dichte der Kugelpackung in der Simulationmit dem realen Bodenmaterial ist die relative Dichte ge-eignet [19].

5 Simulation von durchgeführten Triaxialversuchen

Für die Simulation von Triaxialversuchen wird, wie in [20],ein Modell mit nachgiebigen Seitenwänden verwendet,die während der Simulation eben bleiben. Der Seiten-druck σ3 wird konstant gehalten, sodass sich die Probe la-teral dehnen kann.

Zunächst werden drei idealisierte Materialien dervorher vorgestellten Grundtypen in einer Simulationsstu-die untersucht: – Typ 1: Eng gestufter kohäsionsloser Sand,– Typ 2: Idealisierter kohäsiver Boden mit c = 3 kPa,– Typ 3: Zementierter Sand mit 1 bis 2 % Varilith.

Für die Simulation werden jeweils dieselben Partikel ver-wendet, lediglich die Interaktionsgesetze unterscheidensich. Die Materialeigenschaften und Modellparametersind in Tabelle 1 zusammengestellt.

Bild 3 zeigt Spannungs-Dehnungs-Kurven sowie Vo-lumenänderungs-Dehnungs-Kurven von simulierten Tria-xialversuchen mit diesen Materialien. Man erkennt, dassfür kohäsives Material (Typ 2) die gesamte Spannungs-Dehnungs-Kurve nach oben versetzt ist, also sowohl derPeak- als auch der Residualzustand beeinflusst werden.Bei zementiertem Material (Typ 3) tritt im Unterschied da-zu ein Peak schon bei relativ kleinen Dehnungen auf. Mitzunehmender Verformung geht das zementierte Materialin den Zustand des kohäsionslosen Materials über. Dieszeigt sich auch in den Ergebnissen in Tabelle 1. Bei denMaterialien des Typs 1 und 2 sind die Reibungswinkel imPeak- und Residualzustand fast gleich. Typ 2 weist ledig-lich eine Kohäsion von c = 3 kPa auf. Im Unterschied da-zu, hat das Material des Typs 3 einen stark verändertenPeakzustand mit geringerem Reibungswinkel und stark er-höhter Kohäsion. Der Residualzustand ist jedoch fastidentisch mit dem des kohäsionslosen Materials desTyps 1.

In einem zweiten Schritt wird an Versuchsergebnis-sen aus [21] für künstlich zementiertes Material des Typs 3zusätzlich untersucht, ob sich mit dem Simulationsmodellauch reale Materialeigenschaften von zementiertem Sandnachvollziehen lassen. Die Eingangsparameter für die Si-mulationen sind in Tabelle 2 zusammengestellt. In Bild 4sind Spannungs-Dehnungs-Kurven für zementierten Sandmit 0 %, 2 % und 4 % Zementanteil dargestellt. Es ist da-bei möglich, sowohl den Peakzustand als auch den Resi-dualzustand in der Simulation wiederzugeben. Der Abfallder Spannungs-Dehnungs-Kurve nach dem Peak ist in der

Bild 3. Spannungs-Dehnungs-Kurven (oben) und Volumen-dehnung (unten) für simulierte Triaxialversuche mit Mate -rialtyp 1 (kohäsionslos), 2 (kohäsiv) und 3 (zementiert)Fig. 3. Stress-strain curves (top) and volumetric strain (bot-tom) for simulated triaxial compression tests with materialsof type 1 (cohesionless), 2 (cohesive), and 3 (cemented)

Tabelle 2. Modellparameter für die Simulationen von zementiertem SandTable 2. Model parameters for the simulations of cementedsand

Modellparameter Zementanteil

0 % 2 % 4 %

Radius r [mm] 1,5 … 3,0 1,5 … 3,0 1,5 … 3,0

Steifigkeit Ê [MPa] 800 800 800

Steifigkeit ZementbindungEb [MPa] 200 200

Tangentialsteifigkeit kT [N/m] 1,0 · 108 1,0 · 108 1,0 · 108

Druckfestigkeitsfaktor αc [–] 4,0 4,0

Anteil zementierter Partikel [%] 0 25 45

Reibkoeffizient μext [–] 0,32 0,32 0,32

Wandreibung μext [–] 0,0 0,0 0,0

Bruchspannung σbruch [kPa] 17… 1.700 17… 1.700

Simulation allerdings stärker als in der Messung. Dieskönnte an einer zu geringen Volumenänderung im Simu-lationsmodell liegen.

Nun werden die Materialien für die in Abschnitt 7 ge-zeigten Labor- und Feldversuche untersucht. Es handeltsich um die folgenden realen kohäsionslosen Erdmateria-lien:– gewaschener Sand der Körnung 1/2,2,– runder Kies der Körnung 16/32,– gebrochener Kies der Körnung 0/56.

Der mittlere Korndurchmesser d50, der Ungleichförmig-keitsgrad U = d60/d10, die Dichte ρb, die Porosität n sowieder im Versuch ermittelte innere Reibwinkel φ sind in Tabelle 3 für die drei Materialien angegeben. Ebenfalls inTabelle 3 sind die bei der Simulation verwendeten Modell-parameter zusammengestellt. Die Werte für μext wurdendirekt aus Versuchen in der Scherbox ermittelt, μ anhandder Rückrechnung von simulierten Triaxialversuchen.

Zum Erreichen einer möglichst eng gestuften Kör-nung wurde das Kiesmaterial händisch selektiert. An die-sen Materialien wurden Triaxialversuche durchgeführt.Die beiden Kiese wurden wegen der maximalen Korngrö-ße in einer Groß-Triaxialzelle mit einem Probendurchmes-ser von 600 mm und einer Probenhöhe von 1.200 mm un-tersucht, Bild 5. In der Simulation werden die Modellpara-meter so eingestellt, dass die Ergebnisse bestmöglich mitden Messergebnissen übereinstimmen. Als Hauptkriteri-um wird dabei die Wiedergabe des Reibungswinkels ausden Triaxialversuchen verwendet. Hierbei werden in die-sem Fall nur Partikel mit unterdrücktem Drehfreiheits-grad verwendet, da es sich ausschließlich um kohäsionslo-ses Material handelt. Die Ergebnisse der Triaxialversucheund der Simulationen sind in Form von Spannungs-Deh-nungs-Kurven in Bild 6 dargestellt.

Mit diesen Simulationen ist somit die prinzipielleEignung der aufgestellten Modelle für die Abbildung desmechanischen Veraltens eines breiten Spektrums von rea-len Böden bestätigt.

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6 Handformel für Bodenbearbeitungskräfte

In der Literatur gibt es unterschiedliche Handformeln fürdie Berechnung der Kräfte bei der Bodenbearbeitung. AufBasis des passiven Erddrucks und unter Annahme einerebenen Gleitfläche kann z. B. das Modell von McKyes[22] verwendet werden, bei dem sich die Gesamtkraft Pam Werkzeug aus

(15)

berechnet. Dabei beschreiben g die Erdbeschleunigung, qdie Auflast auf dem verformten Boden, ca die Adhäsiondes Bodens am Werkzeug, z die Schneidtiefe und w dieWerkzeugbreite. Der Tragfähigkeitsbeiwert Nγ für schmaleWerkzeuggeometrien

(16)

muss numerisch minimiert werden, um den zunächst un-bekannten Winkel der Gleitfläche gegen die Horizontaleβ zu ermitteln. Die weiteren Koeffizienten Nc, Nca und Nqbeschreiben den Einfluss der Kohäsion, Adhäsion undAuflast [22]. In der Auswertung dieser Formel für die La-borversuche im nachfolgenden Abschnitt 7.1 werden dieletztgenannten Koeffizienten nicht benötigt, da das Mate-rial kohäsionslos ist und weder Adhäsion zum Werkzeugnoch Auflast vorhanden sind. In Gl. (16) erkennt man,

P g zN cN qN c N z wb c q a ca

N

12

cot cot

1 2z3w

cot cot

1 cotcot cot

cos( ) sin( ) cot( )

2

Tabelle 3. Eigenschaften der realen Erdmaterialien sowieEingangsparameter für die SimulationTable 3. Properties of the earth materials, and input para-meters for the simulation

Sand 1/2,2 Kies 16/32 Kies 0/56

Reales Material

d50 [mm] 1,6 20,7 36,5

U [–] 1,6 2,0 3,2

ρb [Mg/m³] 1,44 1,52 1,68

n [–] 0,46 0,43 0,46*

φ [°] 35,0 38,5 44,8

Simulation

d50 [mm] 26,8 26,8 50,0

U [–] 1,4 1,4 1,4

n [–] 0,46 0,43 0,48

Ê [MPa] 50 50 100

kT [N/m] 1,5 · 106 1,5 · 106 1,0 · 107

μext [–] 0,29 0,32 0,32**

μ [–] 0,25 0,28 0,34** Porosität abzüglich des Feinkorns; *porosity without fines** Annahme; **assumption

Bild 4. Spannungs-Dehnungs-Kurven für zementierten Sandmit 0, 2 und 4 % Zementanteil; die gestrichelten Linien beziehen sich auf Messergebnisse aus [21] und die durch -gezogenen Linien auf SimulationsergebnisseFig. 4. Stress-strain curves for cemented sand with cementcontents of 0, 2 and 4 %; dashed lines refer to measurements[21] and solid lines to simulation results

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dass für einen Schild der Breite w und Schneidtiefe z derEinfluss des seitlich vom Schild stabilisierenden Bodensumso größer wird, je schmaler der im Boden eingebetteteBereich des Schilds w ist (hohe z/w-Werte). Die prinzipiel-le Eignung von Handformeln der Art wie in Gl. (15), zurVorhersage von Bodenbearbeitungskräften, wurde z. B. in[23] und [24] anhand von Laborversuchen untersucht. Inden Gl. (15) und (16) werden hier als Eingangsparameterlediglich die Schüttdichte ρb, die makroskopische Kohäsi-on c und der innere Reibungswinkel φ des Bodenmaterialsbenötigt sowie die Eigenschaften des Kontakts zwischenBoden und Werkzeug mit dem Reibkoeffizient zwischenBoden und Werkzeug μext und der Adhäsion ca. Mikrome-chanische Eigenschaften des Materials, wie z. B. die tat-sächliche Korngröße und -form, werden nicht benötigt.

7 Simulation von durchgeführten Labor- und Feldversuchen

7.1 Laborversuche in der Bodenrinne

In einem Laborversuch in der Testgrube des Fachgebietsmit Abmessungen 5 × 5 × 5 m wurde eine 1,5 m breite,

1,5 m tiefe und 5 m lange Bodenrinne ausgegraben. Diesewurde mit dem jeweils zu untersuchenden Material ver-füllt: a) gewaschener Sand der Körnung 1/2,2 und b) run-der Kies der Körnung 16/32, d. h. denselben Materialien,die bereits hinsichtlich ihres Scherverhaltens in Triaxial-versuchen untersucht wurden (siehe Bild 6). Die Eigen-schaften der Erdmaterialien sind bereits in Tabelle 3 zu-sammengestellt.

Ein ebener Schild wird dann mit konstanter Ge-schwindigkeit durch diese Bodenrinne gezogen und dieentstehenden Reaktionskräfte gemessen. Die Kräfte wer-den mittels vertikal und horizontal angeordneter Kraft-messzellen aufgenommen. Eine Aufnahme der Rinne undder Messeinrichtung ist in Bild 7 angegeben. Verwendet

Bild 5. Versuchsstand für die Triaxialversuche an Kies16/32 und Kies 0/56Fig. 5. Apparatus for the triaxial tests on gravel 16/32 andgravel 0/56

Bild 6. Spannungs-Dehnungs-Kurven der Triaxialversucheund deren Simulation; Seitendruck σ3 = 40 kPa; bei Kies0/56: σ3 = 40 kPa im Versuch und 10 kPa in der Simula -tion; die gestrichelten Linien beziehen sich auf Messergeb-nisse und die durchgezogenen Linien auf Simulationsergeb-nisseFig. 6. Stress-strain curves of triaxial tests and their simu -lation; confining stress σ3 = 40 kPa; for gravel 0/56:σ3 = 40 kPa in the test and 10 kPa in the simulation;dashed lines refer to measurements and solid lines to simu-lation results

Bild 7. Versuchsanordnung der Bodenrinne mit Stahlträger(1), Linearführung (2), Getriebemotor (3), Kraftmesseinrich-tung (4) und Schild (5)Fig. 7. Experimental setup in the test-pit with steel beam(1), linear bearing (2), gear motor (3), force measurement device (4), and soil cutting blade (5)

werden Schildbreiten von 20 und 30 cm und Schneid -tiefen von 10 bis 30 cm. Bild 8 zeigt Aufnahmen von Ver-suchen in der Bodenrinne mit Sand bzw. Kies.

In der Simulation wird die Breite des Modells auf1 m und die Tiefe auf 0,5 m reduziert, um den numeri-schen Aufwand in Grenzen zu halten. Dabei wurde durchVergleich von Simulationsergebnissen bei unterschied -lichen Breiten und Tiefen sichergestellt, dass diese Be-schränkung keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Um dieRechenzeit weiter zu verringern, werden nicht alle Partikelüber die 5 m Länge in der Simulation geladen, sondern je-weils nur ein Bereich von ca. 1,5 m vor dem Schild. DieGeschwindigkeit des Schilds beträgt 0,1 m/s im Laborver-such und 0,2 m/s in der Simulation. Bei Variation derSchneidgeschwindigkeit im Versuch zwischen 0,05 und0,3 m/s konnte kein Einfluss auf die Zugkraft festgestelltwerden. Auch in der Simulation wurde bei dieser Ge-schwindigkeit kein Einfluss auf das Ergebnis festgestellt.Die Wahl einer höheren Geschwindigkeit verringert dieRechenzeit in den Simulationen weiter.

Das Ergebnis der Simulationen für Schildbreite20 cm und drei Schneidtiefen 10, 15 und 20 cm ist inBild 9 dargestellt. Für die weitere Auswertung werden dieKräfte im Bereich von 1 bis 3 m des Wegs gemittelt.

In Bild 10 sind die gemessenen und berechneten Ho-rizontalkräfte dargestellt. Für Kies liegt bei einer Schild-breite von 30 cm kein Messergebnis für eine Schneidtiefevon 30 cm vor. Zusätzlich ist das Ergebnis der Handfor-mel aus Gl. (15) dargestellt. Insbesondere bei dem schma-leren Schild überschätzt die Handformel die Abhängigkeitder Zugkraft von der Schneidtiefe. Dies liegt möglicher-weise an der hier verwendeten Gl. (16) für schmale Schil-de mit einer Überschätzung der räumlichen Wirkung.

Die Vertikalkräfte am Schild sind in Bild 11 darge-stellt. Bei Sand liegt die Vertikalkraft aus der Simulationfür Schildbreite 30 cm deutlich unter den Werten derHandformel und der Messung. Aufgrund der Nachgiebig-keit des Prüfstands ist allerdings nicht auszuschließen,dass in diesem Fall der Schild durch die Horizontalkraftin eine leichte Schrägstellung gebracht wurde, was wieder-um zu einer Erhöhung der Vertikalkraft geführt habenkönnte. In den anderen Fällen überschätzt die Handfor-mel die Werte gegenüber der Messung.

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Bild 8. Aufnahmen während der Versuche in der Bodenrinne mit Sand 1/2,2 (links) und Kies 16/32 (rechts)Fig. 8. Snapshots during the experiments in the test-pit with sand 1/2.2 (left) and gravel 16/32 (right)

Bild 9. Horizontal- und Vertikalkräfte aus der Simulationam ebenen Schild der Breite 20 cm für unterschiedlicheSchneidtiefen in Sand 1/2,2 (geglättet durch fünf-Punkteeinfachen gleitenden Mittelwert) Fig. 9. Horizontal and vertical forces from the simulationwith sand 1/2.2 at the 20 cm wide cutting blade for differentcutting depths (smoothened by five-point simple movingaverage)

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Bild 10. Horizontalkräfte an einem ebenen Schild bei derBearbeitung von Sand 1/2,2 sowie Kies 16/32 bei Schild-breiten von 20 und 30 cmFig. 10. Horizontal draft forces at the cutting blade for sand1/2.2 as well as gravel 16/32 and for blade widths of 20 and30 cm

Bild 11. Vertikalkräfte an dem Schild bei der Bearbeitungvon Sand 1/2,2 sowie Kies 16/32 bei Schildbreiten von 20und 30 cmFig. 11. Vertical draft forces at the cutting blade for sand1/2.2 as well as gravel 16/32 and for blade widths of 20 and30 cm

Obwohl zunächst nur Versuche in kohäsionslosemMaterial zur Verfügung stehen, zeigt sich, dass die Ver-wendung der Partikelsimulation mit einem relativ einfa-chen Simulationsmodell bereits gut geeignet ist, dieSchneidkräfte zutreffend vorherzusagen.

In Bild 12 (oben) ist der auf Basis der Handformel be-stimmte Neigungswinkel der Gleitfläche β eingezeichnet.Im Hintergrund sind die Partikel in einer Falschfarbendar-stellung entsprechend ihrer Geschwindigkeit gefärbt. DieGleitfläche aus der Partikelsimulation stimmt dabei annä-hernd mit der Handrechnung überein und zeigt, dass nichtnur die Kraft an dem Schild, sondern auch der in Wahrheitnicht monolithische Bruchmechanismus in der Simulationgut vorhergesagt wird. Weitere Versuche an kohäsivem undzementiertem Material sind geplant.

7.2 Feldmessungen an einem Bagger

Auf Basis von Messungen an einem mit Dehnmessstreifeninstrumentierten Mobilbagger der Firma Volvo wird dieSimulation an einem realen Szenario getestet. Bild 13zeigt den Versuchsaufbau und deutet die Bewegung des

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Baggerauslegers an. Dabei wird eine Drehbewegung imGelenk des Löffelstiels ausgeführt. Die tatsächliche Tra-jektorie wird an den Hydraulikzylindern gemessen und indie Simulation übertragen. Es stehen Messungen an ge-brochenem Kies der Körnung 0/56 zur Verfügung. DasMaterial wurde kurz vor dem Versuch eingebaut undnicht verdichtet. Bild 14 zeigt die Sieblinie des Materialsmit einer Aufnahme des verwendeten Materials. Der Fein-anteil von ca. 10 bis 15 % wird in der Simulation nicht be-rücksichtigt, weil davon ausgegangen werden kann, dassbeim realen Material die Struktur im Wesentlichen durchdas Grobkorn gebildet wird, das die Kräfte überträgt. DieDichte der Partikel im Modell wird so angepasst, dass dieMasse des Feinkorns berücksichtigt wird. Die weiteren Ei-genschaften des Materials sind in Tabelle 3 zusammenge-stellt, vgl. auch die Ergebnisse in Bild 6.

Während der Feldmessung wurden die Bewegungendes Löffels und die daran angreifenden Kräfte gemessen.In der Partikelsimulation wird der Löffel gemäß der ge-messenen Trajektorie bewegt. Nachgiebigkeit des Bagger-arms und -auslegers oder eventuelle Schwingungen der ge-samten Maschine bleiben dadurch unberücksichtigt. Sol-

Bild 12. Schnitt durch das Simulationsmodell für eineSchildbreite und -tiefe von 20 cm; Falschfarbendiagramme mit der Geschwindigkeit (oben) und der vertikalen Positionder Partikel (unten)Fig. 12. Section cut through the simulation model for bladewidth of 20 cm and cutting depth of 20 cm; The color represents the particle velocity (top) and the particle verticalposition (bottom)

Bild 13. Versuchsanordnung für den Feldversuch zur Mes-sung der Grabkräfte an einem BaggerFig. 13. Experimental setup for the measurement of diggingforces on an excavator

Bild 14. Korngrößenverteilung des Kieses im Feldversuchund in der SimulationFig. 14. Grain size distribution of the gravel in the field testand in the simulation

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che externen Einflüsse werden allerdings durch den einfa-chen und gut kontrollierten Versuchsaufbau minimiert.

In Bild 15 sind Längsschnitte durch das Materialwährend der Simulation abgebildet. Die Geschwindigkeitder Partikel ist farblich dargestellt. Bild 16 zeigt die zeit -liche Entwicklung der Reaktionskräfte an dem Tieflöffel.Der dargestellte Zeitabschnitt erfasst das Eindringen desLöffels sowie das Lösen und Herausheben des Materials.Die Kräfte werden jeweils auf den Maximalwert der Mes-sung normiert. Die Vertikalkraft am Ende der Simulationentspricht dem Füllungsgrad des Tieflöffels. Somit zeigtsich auch in diesem großen Maßstab eine sehr gute Über-einstimmung zwischen Versuch und Simulation.

8 Schlussfolgerungen

Die Diskrete-Elemente-Methode hat sich als gut geeignetfür die Vorhersage von Interaktionskräften bei der Boden-bearbeitung erwiesen. Dabei muss nicht das mikromecha-nische Verhalten des Bodens exakt abgebildet werden.Vielmehr genügt es, ein vereinfachtes Modell mit kugelför-migen Partikeln zu erstellen und die Scherfestigkeit anVersuchsergebnissen des Bodenmaterials zu kalibrieren.Laborversuche an kohäsivem und zementiertem Materialsind bereits in Arbeit. Damit sollen auch die Interaktions-gesetze für diese Materialien geprüft werden.

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Bild 15. Schnitt durch das Material an drei Zeitpunktenwährend der SimulationFig. 15. Section cut through the material at three instants oftime during the simulation

Bild 16. Horizontal- und Vertikalkräfte an der Bagger -schaufelFig. 16. Horizontal and vertical digging forces at the bucket

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Danksagung

Diese Arbeit entstand im Rahmen des Fraunhofer Innovation-sclusters „Digitale Nutzfahrzeug-technologie“. Für die Durchfüh-rung der Laboruntersuchungen sei Herrn Ronald Günther vomLabor für Bodenmechanik der TU Kaiserslautern gedankt. HerrDr.-Ing. Thomas Däuwel von der Firma Volvo CE in Konz hatdie Messungen an einem realen Bagger durchgeführt und zurVerfügung gestellt und damit diese Arbeit maßgeblich unter-stützt.

AutorenMSc. Martin ObermayrFraunhofer Institut für Techno- und WirtschaftsmathematikFraunhofer-Platz 167663 [email protected]

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Christos VrettosFachgebiet Bodenmechanik und GrundbauTechnische Universität Kaiserslautern67663 [email protected]

Eingereicht zur Begutachtung: 21. April 2013Überarbeitet: 5. Juli 2013Angenommen zur Publikation: 15. Juli 2013

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Anwendung der Diskrete-Elemente-Methode zur Vorhersage von Kräften bei der Bodenbearbeitung