Anwendungen Tunneleffekt in Beispielen:

11.5.1. Alpha Zerfall von Kernen11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/alptun2.html#c1

11.5.1. Alpha Zerfall: Pollonium 212Po -> + 208Pb + 8.78 MeV

208Pb

He

Kernkräfte

Coulombabstossung

1012 Tunnel-wahrscheinlichkeit

Coulomb versus Kasten!

11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop siehe: 3.4.

•Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional•Dämpfung!!!•Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)

Elektronen in Metallspitzequasi frei

Wand: Potentialstufe

Zwischenraum: Potentialbarriere

x

0 a

Spitze

Substrat

Zwischenraum

Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanicshttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop siehe: 3.4.

•Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional•Dämpfung!!!•Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)

STM-still07_18a.mov

STM-scanning07_18c.mov

Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanicshttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

11.6. Der Harmonische Oszillator

Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot

Stationäre Schrödingergleichung:

Potential:

Enn2

E(x

)E0

11.6. Der Harmonische Oszillator

Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot

Stationäre Schrödingergleichung:

Potential:

Substituiere:

Lösung für C=1

E=1/2 ~

(x)

(x)|2

Gausskurve:1. Tunnels in den klassich verbotenen Bereich2. Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)

11.6. Der Harmonische Oszillator

Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot

Stationäre Schrödingergleichung:

Potential:

Substituiere:

Lösung für C=1

E=1/2 ~

Hermitesche Polynome

Harmonischer Oszillator:1. Energieniveus äquidistant (~)2. Nullpunkstenergie 1/2 (~)

Kastenpotential:En n2

Bohrsche Atom: En 1/n2

Plancksches StrahlungsgesetzRayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt

                          

Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh diskret

Vergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit

=20

=4

=0

Überlagerung von Zuständen 0,1

Ort

Impuls

05_03c.mov

Merke:Grosse Auslenkung

Kleiner Impuls!

Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden

Gauss:läuft NICHT ausseinander(dank Potential)

Wellenpaket im Impuls undOrtsraum

05_10c.mov

12. Das Wasserstoff Atom12.1. Bewegung im Zentralfeld

Stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimensionen

Sphärische PolarkoordinatenKugelkoordinaten:x=r sin cosy= r sin sinZ=r cos

(x,y,z) ! ( R,,)

„Breitengrade“

Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten

Produktansatz: (r,,)= R(r) T() P()

Hängt nur von r, ab Hängt nur von ab

) Beide Seiten müssen konstant sein C1

Lösung:

Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P()=P( + n)

Teilen durch Ganzzahlig (m)

m 2 Z

Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten

Hängt nur von r, ab Hängt nur von ab

) Beide Seiten müssen konstant sein C1

Lösung:

Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P()=P( + n)

Teilen durch Ganzzahlig (m)

m Z

C1 = ml2

umsortieren, nach r und

hängt nur von r ab hängt nur von ab

) Beide Seiten müssen konstant sein C2

substituiere =cos! Legendresche Differentialgleichung

Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm

C2 = l(l+1), l 2 NT=Plm (cos())

T() P() = Plm (cos()) eimYl

m(,) Kugelflächenfunktionen

Produktansatz: (r,,)= R(r) T() P()

Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik

Physikalische Größe Operator

Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik

Physikalische Größe Operator

l = 0,1,2,3 .... Drehimpulsquantenzahl -l<ml<l Magnetische Quantenzahl

lz lx > ~ lz ly > ~ lx lx > ~

Unschärferelation im Drehimpuls:

2 dimensionale Welt?m~

zx,y Komponente unbestimmt

Beispiel l=2 m=-2,-1,0,1,2

1. Länge des Drehimpulsvektors ist quantisiert!2. kann nicht beliebig im Raum stehen:

Richtung ist quantisiert!

Was ist die z (Quantisierungsachse)?

Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten

Produktansatz: (r,,)= R(r) T() P()

Hängt nur von r, ab Hängt nur von ab

) Beide Seiten müssen konstant sein C1

Lösung:

Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P()=P( + n)

Teilen durch Ganzzahlig (m)

m Z

C1 = ml2

umsortieren, nach r und

hängt nur von r ab hängt nur von ab

) Beide Seiten müssen konstant sein C2

substituiere =cos! Legendresche Differentialgleichung

Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm

C2 = l(l+1), l 2 NT=Plm (cos())

T() P() = Plm (cos()) eimYl

m(,) Kugelflächenfunktionen

C2 = l (l+1)

auflösen

Für r! 1 vernachlässige 1/r und 1/r2

Vollständige Lösung (Laguerre Polynome):

negativ

hängen von n&l ab

Beschränkung für ll<0,1,2,... n

Wie Bohrmodel! hängtNICHTvon l ab

nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )

Hauptquantenzahl n = 1,2,...

Drehimpuls l = 0,1,2,3,4... (n-1)

magnetisch(Projektion desDrehimpulses)

-l · m · l

Quantenzahlen: Symbol

s,p,d,f

Grundzustand n=1 l=0 m=0 keine Bohrsche Kreisbahn! KEIN Drehimpuls.

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

“Entartet” (gleiche Energie)

n2 Möglichkeiten

nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )

|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden

r|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zufinden

Höchste Dichte am Kern!

Maximum beim Bohrschen Radius

nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )

|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden

r|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zufinden

1 Knoten!

klassisch verbotener

Bereich

Tunneln

Fragen:Wie kommen die e wieder zurück?Sind sie dort schnell oder langsam?

Y00 = C1

Y10= C2 cosY11= C3 sin ei

Y20=C4(2cos2 –sin2)Y21=C5(cos –sin ei

Y22=C6 sin2 e2i

nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )

Polardarstellung:Abstand von (0,0) ist Funktionswert

Z-Achse(Quantizierungsachse)

Y00 = C1

Y10= C2 cosY11= C3 sin ei

Y20=C4(2cos2 –sin2)Y21=C5(cos –sin ei

Y22=C6 sin2 e2i

nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )

Polardarstellung:Abstand von (0,0) ist Funktionswert

Z-Achse(Quantizierungsachse)

Verbreitete Darstellung:

Form nur „Stilisiert“

Sind nicht gleichzeitig messbar

Vergleich Bohrsches Atommodell - Quantenmechanik

verschmiert Planetenbahnen

rn=a0/Z n2

kann bei r=0 maximal sein 0 bei r=0

rn

Drehimpuls

r-Abhängigkeit

Radius

Dichte

BohrQuantenmechanik

L=n~