Arbeitsmaterialien - Universität Siegen · A Grundlagen der Aussagenlogik 179 B Theoretische Ubungsaufgab en f ur Mathematiker und Physiker zu Analysis I 184 ... [Lan70] Landau,

Arbeitsmaterialien

(Bezeichnungen, Definitionen,

Satze, Beispiele, Ubungsaufgaben)

zur Vorlesung

Analysis I

im WS 2005/06

(uberarbeitete Version des WS 1993/94 und SS 1994)

FB Mathem., Univ. Siegen

zusammengestellt von

Prof. Dr. Hans-Jurgen Reinhardt

Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt

Inhaltsverzeichnis

1 Mengen und Abbildungen 1

1.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Funktionen, Abbildungen (A,B Mengen) . . . . . . . . . . 3

2 Reelle Zahlen 6

2.1 Korperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Supremum und Infimum, das Vollstandigkeitsaxiom . . . . . . 9

2.4 Naturliche Zahlen, Prinzip der vollstandigen Induktion . . . . 14

2.5 Einfache Anzahlaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Der Satz von Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8 Die Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.9 Permutationen und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . 20

3 Der Korper der komplexen Zahlen 24

3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Der Korper C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Der Absolutbetrag in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

- i -

Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien

4 Zahlenfolgen 28

4.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Der Konvergenzbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5 Wurzelberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6 Haufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7 Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . 37

5 Reihen 38

5.1 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4 Umordnung von Reihen, das Cauchy–Produkt . . . . . . . . . 43

5.5 Die g–adische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Stetigkeit 47

6.1 Reelle Funktionen, Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Einige Satze uber stetige Funktionen 51

7.1 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2 Existenz von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

- ii -


7.3 Gleichmaßig stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.4 Bemerkungen zur Exponentialfunktion und zu Hyperbelfunk-

tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.5 Die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8 Differenzierbarkeit 60

8.1 Motivation und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.3 Zur Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.4 Zum Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9 Einige Satze uber differenzierbare Funktionen 66

9.1 Charakterisierung von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.2 Der Satz von Rolle, Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.3 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.4 Anmerkung zu lokalen Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.5 Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.6 Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 73

10 Das Riemann–Integral 76

10.1 Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 78

10.3 Ober– und Unterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

10.4 Riemann–Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

- iii -


10.5 Eine Auswahl integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . 83

10.6 Weitere Aussagen uber Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11 Integration und Differentiation 85

11.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . 85

11.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . 86

11.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

11.4 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.5 Das Taylorsche Restglied in Integralform . . . . . . . . . . . . 91

11.6 Integrationsrezepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

12 Reihen von Funktionen 94

12.1 Gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

12.2 Gleichmaßige Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . 95

12.3 Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit von Funktionenreihen 97

12.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

13 Metrische und topologische Raume 103

13.1 Metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

13.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

13.3 Stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

13.4 Abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

13.5 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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14 Vollstandige metrische Raume, Banachraume 112

14.1 Vollstandige metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

14.2 Der Raum der beschrankten und stetigen Abbildungen . . . . 114

14.3 Normierte Raume; Banachraume . . . . . . . . . . . . . . . . 116

14.4 Gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

15 Der euklidische Raum Rn 118

15.1 Der Rn als normierter Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

15.2 Rn als euklidischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

15.3 Kurven in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

15.4 Differenzierbare Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

16 Differenzierbarkeit im Rn 134

16.1 Hinfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

16.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

16.3 Vollstandige Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

16.4 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

16.5 Die Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

16.6 Mittelwertsatze und Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16.7 Der Taylorsche Satz und die Taylorformel . . . . . . . . . . . 153

17 Der Satz uber implizite Funktionen 156

17.1 Der Kontraktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

17.2 Der Satz uber die inverse Abbildung . . . . . . . . . . . . . . 160

- v -


17.3 Der Satz uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 164

17.4 Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

17.5 Lagrangesche Multiplikatorenregel . . . . . . . . . . . . . . . 170

A Grundlagen der Aussagenlogik 179

B Theoretische Ubungsaufgaben

fur Mathematiker und Physiker zu Analysis I 184

C Theoretische Ubungsaufgaben

fur Informatiker zu Analysis I 224

Index 241

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Literatur

[Bla92] Blatter, C.Analysis 1, 2, Springer, 1991, 1992.

[End89] Endl, K. Analysis I, II, III. Studien-Texte Mathematik, Akadem.

Verlagsges.1978, 1987, 1989.

[For01] Forster, O. Analysis 1, 2, 3. Vieweg, 1979, 1981, 2001.

[GF73] Grauert, H., Fischer, W. Differential- und Integralrechnung II. Hei-

delberger Taschenbucher Bd 36, Springer, 1973.

[HRS93] Harbarth, K., Riedrich, T., Schirotzek, W. Differentialrechnung fur

Funktionen mit mehreren Variablen. Teubner, 1993.

[Heu02] Heuser, H. Lehrbuch der Analysis 1, 2. Teubner, 2001, 2002.

[KP93] Korber, K.-H., Pforr, E.-A. Integralrechnung fur Funktionen mit

mehreren Variablen. Teubner, 1993.

[KK91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 3: Differenti-

alrechnung. Fachbuchverlag Leipzig, 1991.

[KKr91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 4: Integral-

rechnung. Fachbuchverlag Leipzig, 1991.

[Lan70] Landau, E. Grundlagen der Analysis. Wiss. Buchges., Darmstadt,

1970.

[PS93] Pforr, E.-A., Schirotzek, W. Differential– und Integralrechnung fur

Funktionen mit einer Variablen. Teubner, 1993.

[Rud98] Rudin, W. Analysis. Oldenbourg Verlag, 1998.

- vii -


[SH95] Salas, S. L., Hille, E. Calculus. Einfuhrung in die Differential– und

Integralrechnung. Spektrum, 1995.

[SGT99] Schafer, W., Georgi, K., Trippler, G. Mathematik–Vorkurs. Teub-

ner, 1999.

[Wal04] Walter, W. Analysis 1, 2. Springer, 2002, 2004.

[WH99] Wenzel, H., Heinrich, G. Ubungsaufgaben zur Analysis 1, 2. Teub-

ner, 1999.

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1 Mengen und Abbildungen

1.1 Aussagen

... sind entweder wahr (w) oder falsch (f) aber nicht beides.

Bezeichnungen

Junktor Sprechweise Symbol

Negation ... nicht ... ¬Konjunktion ... und ... ∧Alternative ... oder ... ∨Implikation ... wenn, dann ... =⇒Aquivalenz ... genau dann, wenn ... ⇐⇒

Akkurzungen: := , =: , :⇐⇒ , ⇐⇒:

Indirektes Beweisverfahren

(P =⇒ Q) ⇐⇒ (¬Q =⇒ ¬P )

1.2 Mengen

... sind Zusammenfassungen wohlbestimmter Objekte.

Definitionen: (A,B,C Mengen, A,B ⊂ C)

Teilmenge: A ⊂ B :⇐⇒ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)

Gleichheit: A = B :⇐⇒ A ⊂ B , B ⊂ AVereinigung: A ∪B := {x ∈ C|x ∈ A oder x ∈ B}Durchschnitt: A ∩B := {x ∈ C|x ∈ A und x ∈ B}Komplement: A \ B := {x ∈ C|x ∈ A und x 6∈ B} (auch B ′ := A B)

leere Menge: ∅ oder {}

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Rechenregeln (A,B,C Mengen)

(R1) A ⊂ B , B ⊂ C =⇒ A ⊂ C (Transitivitat von”⊂“)

(R2) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪C (Assoziativgesetze)

(R3) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩C

(R4) A ∪B = B ∪A (Kommutativgesetze)

(R5) A ∩B = B ∩A

(R6) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (Distributivgesetze)

(R7) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

(R8) (A,B ⊂ X) (Regeln von de Morgan)

(A ∪B)′ = A′ ∩B′, (A ∩B)′ = A′ ∪B′)

Definition: Potenzmenge P (A) (oder POT (A))

= Menge aller Teilmengen von A

einschließlich der leeren Menge ∅

Definitionen: (A,B Mengen)

(geordnetes) Paar: (a, b) mit a ∈ A, b ∈ B ;

(a, b) = (a′, b′) wenn a = a′ und b = b′ ;

Cartesisches Produkt A×B = {(a, b)|a ∈ A , b ∈ B}Rechenregel

(R9) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C) , A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

Beispiele von Mengen

N := {1, 2, 3, . . .} naturliche Zahlen

Z := {0, 1,−1, 2,−2, 3, . . .} ganze Zahlen

Z+ := N0 := {0, 1, 2, . . .}Q :=

{ab

∣∣ a, b ∈ Z, b 6= 0

}rationale Zahlen

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-

Q

f(x)

6

x��

• (x, f(x))

1.3 Funktionen, Abbildungen (A,B Mengen)

f : A −→ B , A = Definitionsbereich, B = Bildbereich

Bezeichnung: f : A 3 x 7→ f(x) ∈ B

Definition: Graph von f

graph f := {(a, b)|a ∈ A , b = f(a)}

Beispiel: A := B := Q , f : A 3 x 7→ 12x− 1 ∈ B

Satz 1 Seien A,B Mengen, G ⊂ A × B. Dann sind folgende Aussagen

aquivalent:

a) Es gibt eine Abbildung f : A→ B mit graph f = G.

b) Zu jedem a ∈ A gibt es genau ein b ∈ B mit (a, b) ∈ G.

Definitionen: (f : A −→ B , X ⊂ A , Y ⊂ B)

Bild von X unter Abb. f : f(X) := {f(x)|x ∈ X}Urbild von Y unter Abb. f : f−1(Y ) := {x ∈ A|f(x) ∈ Y }

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Rechenregeln (f : A −→ B , X1, X2 ⊂ A , Y1Y2 ⊂ B)

(R1) X1 ⊂ X2 =⇒ f(X1) ⊂ f(X2)

(R2) f(X1 ∪X2) = f(X1) ∪ f(X2)

(R3) f(X1 ∩X2) ⊂ f(X1) ∩ f(X2)

(R4) Y1 ⊂ Y2 =⇒ f−1(Y1) ⊂ f−1(Y2)

(R5) f−1(Y1 ∪ Y2) = f−1(Y1) ∪ f−1(Y2)

(R6) f−1(Y1 \ Y2) = f−1(Y1) \ f−1(Y2) , falls Y2 ⊂ Y1 .

Bezeichnungen: Quantoren

Notation Sprechweise

∀a ∈ A”fur alle Elemente a in A“

∃a ∈ A”es existiert a ∈ A“

∃!a ∈ A”es existiert genau ein a ∈ A“

∀a ∈ A(P )”fur alle a ∈ A ist P wahr“

∀a ∈ A(P )”fur alle Elemente a ∈ A gilt Aussage P“

∀a ∈ A : P”fur alle Elemente a ∈ A gilt Aussage P“

Bemerkung: Unter Benutzung von Quantoren lassen sich die aquivalenten

Bedingungen von Satz 1 wie folgt formulieren:

a) ∃f : A −→ B : graph f = G

b) ∀a ∈ A ∃! b ∈ B : (a, b) ∈ G

Die letzte Bedingung b) — und damit auch a) — sagt, daß eine Abbil-

dung immer wohldefiniert (oder wohlbestimmt) ist, was man noch aquivalent

schreiben kann als

∀a, a′ ∈ A : a = a′ =⇒ f(a) = f(a′)

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oder aquivalent als

∀a, a′ ∈ A : f(a) 6= f(a′) =⇒ a 6= a′ .

Definitionen: (A,B Mengen, f : A −→ B Abb.)

f surjektiv :⇐⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A : b = f(a)

f injektiv :⇐⇒ ∀a, a′ ∈ A : a 6= a′ =⇒ f(a) 6= f(a′)

f bijektiv :⇐⇒ f injektiv und surjektiv

identische Abbildung

idA : A 3 x 7→ x ∈ A

Hintereinander–Ausfuhrung

g ◦ f (A,B,C Mengen, f : A −→ B , g : B −→ C)

A 3 x 7→ g(f(x)) ∈ C

Bemerkung: Die Injektivitat laßt sich auch wie folgt charakterisieren,

∀ a, a′ ∈ A : f(a) = f(a′) =⇒ a = a′ .

Man beachte den Unterschied zur Wohlbestimmtheit.

Rechenregeln

(R7) idB ◦ f = f ◦ idA(R8) h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f (Assoziativgesetz)

Satz 2 Sei f : A −→ B Abbildung. Es gelten folgende Aquivalenzen:

f injektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ A : g ◦ f = idA

f surjektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ A : f ◦ g = idB

f bijektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ A :

g ◦ f = idA und f ◦ g = idB

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Definition: (f : A −→ B bijektiv)

Umkehrabbildung f−1 : f−1 ◦ f = idA , f ◦ f−1 = idB

Bem.: f−1 ist eindeutig bestimmt.

2 Reelle Zahlen

2.1 Korperaxiome

In R sind zwei Operationen”Addition“ und

”Multiplikation“ erklart, d.h.

jedem Paar (a, b) von Elementen aus R ist genau ein Element a + b ∈ R

(Summe) und genau ein Element a · b ∈ R (Produkt) zugeordnet. Dabei

gelten die folgenden neun Korperaxiome.

(A1) a+ (b+ c) = (a+ b) + c Assoziativitat

(A2) ∃ neutrales Element der Addition 0 ∈ R (”Null“)

mit a+ 0 = a fur alle a ∈ R.

(A3) ∀ a ∈ R ∃ additiv inverses Element (−a) ∈ R mit

a+ (−a) = 0.

(A4) a+ b = b+ a Kommutativitat

(A5) (ab)c=a(bc) Assoziativitat

(A6) ∃ neutrales Element der Multiplikation 1 6= 0 (”Eins“) mit

a · 1 = a fur alle a ∈ R.

(A7) ∀ a 6= 0, a ∈ R, ∃ multiplikativ inverses Element a−1 ∈ R mit

a · a−1 = 1.

(A8) ab=ba Kommutativitat

(A9) a(b+ c) = ab+ ac Distributivitat

Folgerung 1 Die neutralen Elemente sind eindeutig bestimmt.

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Folgerung 2 Die inversen Elemente (−a) und a−1 sind eindeutig bestimmt.

Folgerung 3 Fur zwei Zahlen a, b ∈ R hat die Gleichung a+ x = b genau

eine Losung x = b+(−a). Entsprechend hat die Gleichung ax = b fur a 6= 0

genau eine Losung x = a−1b.

Folgerung 4 ab = 0 =⇒ a = 0 ∨ b = 01

Schreibweise:a

c:= c−1a fur c 6= 0; b− a := b+ (−a).

Regeln des Bruchrechnens:a

c+b

d=ad+ bc

cd,a

c· bd

=ab

cd,a/c

b/d=ad

bc.

Definitionen:

(a) Sei K ein Korper. K1 ⊂ K heißt Unterkorper von K, wenn K1 mit

arithmetischen Operationen von K ein Korper ist.

(b) Seien K1,K2 Korper. Eine Abbildung ϕ : K1 −→ K2 heißt Homomor-

phismus, wenn gilt:

ϕ(x ·y) = ϕ(x) ·ϕ(y) , ϕ(x+y) = ϕ(x)+ϕ(y) , x, y ∈ K .

Lemma 5 Seien K1,K2 Korper, ϕ : K1 −→ K2 Homomorphismus. Dann

gilt:

(a) ϕ(0) = 0 , ϕ(−x) = −ϕ(x) ∀x ∈ K1 .

(b) Gibt es ein x ∈ K1 mit ϕ(x) 6= 0, so gilt

ϕ(1) = 1 und ϕ(x−1) = ϕ(x)−1 ∀x ∈ K∗1 ;

ferner ist ϕ dann injektiv.

1∨ oder ; ∧ und (s. Anhang A)

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2.2 Anordnungsaxiome

Es existiert eine Teilmenge P von R, genannt Menge der positiven Zahlen ,

mit den nachfolgenden Eigenschaften:

(A10) Fur jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Beziehungen a ∈ Poder −a ∈ P oder a = 0.

(A11) Sind a und b aus P , so ist auch a+ b aus P .

(A12) Sind a und b aus P , so ist auch ab aus P .

Bezeichnung: a positiv , wenn a ∈ P ; a negativ , wenn −a ∈ P .

Definition: a > b (oder b < a), falls a− b ∈ P fur a, b ∈ R. a ≥ 0 bzw. a ≤ 0, wenn

a > 0 oder a = 0 bzw. a < 0 oder a = 0.

Bezeichnung: a heißt nichtnegativ , wenn a ≥ 0.

Trichotomiegesetz: Fur je zwei reelle Zahlen a, b gilt genau eine der drei

Beziehungen

a < b, a = b, a > b .

Rechenregeln

(R1) Aus a −b.(R2) Aus a 0 folgt ac < bc; aus a bc.

(R6) Aus a 6= 0 folgt a2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0.

(R7) Aus a > 0 folgt 1a > 0, aus a < 0 folgt 1

a < 0.

(R8) Aus 0 < a 1 und 1

a >1b .

(R9) Aus a < b und 0 < λ < 1 folgt a < λa+ (1 − λ)b < b.

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Bemerkungen:

1) P 6= ∅, da 1 ∈ P .

2) Es gibt außer 0 und 1 weitere Zahlen 2 := 1+1, 3 := 2+1 usw. Wegen

0 < 1 < 2 < 3 gilt 0 < 13 <

12 < 1.

Bezeichnung: Arithmetisches Mittel von a und b : 12 (a+ b)

Noch eine Rechenregel:

(R10) Aus a < b folgt a < 12(a+ b) < b.

2.3 Supremum und Infimum, das Vollstandigkeitsaxiom

Definition: (∅ 6= A ⊂ R)

(a) A heißt nach oben beschrankt

:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : a ≤ b ;

b heißt dann eine obere Schranke von A. (Schreibweise: A ≤ b)

(b) A heißt nach unten beschrankt

:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : b ≤ a ;

b heißt dann eine untere Schranke von A. (Schreibweise: b ≤ A)

(c) A heißt beschrankt

:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : −b ≤ a ≤ b ;

b heißt dann eine Schranke von A.

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Ist eine obere bzw. untere Schranke gleichzeitig Element von A, so heißt

dieses maximales Element (oder Maximum) bzw. minimales Element (oder

Minimum) von A.

Beispiele:

(a) Die Menge N der naturlichen Zahlen ist nach unten beschrankt (1 ist

Minimum).

(b) Endliche Teilmengen von R sind beschrankt.

Definitionen: (∅ 6= A ⊂ R)

(a) x ∈ R heißt Supremum (auch: obere Grenze) von A

:⇐⇒ i) x ist obere Schranke von A ;

ii) wenn y obere Schranke von A , dann gilt x ≤ y .

(Wir schreiben dann: x = supa∈A a oder x = supA)

(b) x ∈ R heißt Infimum (auch: untere Grenze) von A

:⇐⇒ i) x ist untere Schranke von A ;

ii) wenn y untere Schranke, dann gilt y ≤ x .

(Wir schreiben dann: x = infa∈A a oder x = inf A)

Folgerung 6 Sei ∅ 6= A ⊂ R. Supremum und Infimum sind eindeutig be-

stimmt, falls sie existieren.

Definition: Der Korper der reellen Zahlen ist ein Korper (R,+, ·), in dem

gilt:

(A) R ist angeordnet durch eine Menge P ;

(V) Jede nichtleere, nach oben beschrankte Teilmenge von R besitzt ein Supremum.

- 10 -


Bemerkungen:

1. (A) heißt Anordnungsaxiom, (V) heißt Vollstandigkeitsaxiom.

2. Aus (V) folgt: Jede nichtleere, nach unten beschrankte Teilmenge von

R besitzt ein Infimum.

3. Nach Folgerung 2 sind Supremum und Infimum eindeutig bestimmt.

Beispiel: Die Menge P der positiven Zahlen nach oben nicht bechrankt,

jedoch nach unten beschrankt. Es ist inf P = 0, jedoch besitzt P kein klein-

stes Element.

Wir halten fest:

(a) 0 ∈ R Nullelement, −a Negatives von a ∈ R, 1 ∈ R Einselement,

a−1 Inverses von a ∈ R∗ := R \ {0}.

(b) Es ist definiert x > y :⇐⇒ x − y ∈ P ; damit auch ≥ , < , ≤ . Es

gelten die Rechenregeln (R1) – (R10) aus 2.2.

(c) Es sind induktiv definiert:

n · x : 1 · x := x , (n+ 1) · x := x+ n · x ,xn : x1 := x , xn+1 := x · xn .

(d) Es ist induktiv definiert (x ∈ R∗ = R \ {0} , n ∈ N0 := N ∪ {0}):

x0 := 1 , x−(n+1) := x−1 · x−n .

Definition: Vorzeichen und Absolutbetrag von a ∈ R

sgn a =

1 fur a > 0

0 fur a = 0

−1 fur a < 0

- 11 -


heißt Vorzeichen von a.

|a| = a · sgn a =

a fur a > 0

−a fur a < 0 .

heißt Betrag oder Absolutbetrag von a.

Fur reelle Zahlen a, b gelten die folgenden Rechenregeln:

(R1) Fur a 6= 0 ist |a| > 0.

(R2)∣∣|a|∣∣ = |a|.

(R3) Es ist a = b genau dann, wenn |a| = |b| und sgn a = sgn b ist.

(R4) sgna · sgn b = sgn (ab) und |a||b| = |ab|.(R5) Fur b 6= 0 ist

sgn a

sgn b= sgn

a

bund

∣∣∣a

b

∣∣∣ =

∣∣∣a

b

∣∣∣.

(R6) Dreiecksungleichung: |a+ b| ≤ |a|+ |b|und Folgerung

∣∣|a| − |b|

∣∣ ≤ |a− b|.

(R7) |a| ≤ γ ⇐⇒ −γ ≤ a ≤ γ.

Definition: Unendlich

Wir setzen supA = ∞ bzw. inf A = −∞ wenn A nicht nach oben

beschrankt bzw. A nicht nach unten beschrankt ist.

R = R ∪ {−∞,∞}erweiterte Zahlengerade .

Rechenregeln fur −∞,∞(x ∈ R):

∞+ x =∞, −∞+ x = −∞

∞ · x =∞ fur x > 0, ∞ · x = −∞ fur x < 0

x

∞ =x

−∞ = 0

∞+∞ =∞ ·∞ =∞

Beachte, dass ∞−∞ und 0 · ∞ nicht definiert sind.

- 12 -


Definitionen: Intervalle (a, b ∈ R, a < b)

[a, b] := {x ∈ R| a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall,

(a, b) := {x ∈ R| a < x < b} offenes Intervall,

[a, b) := {x ∈ R| a ≤ x < b} (nach rechts) halboffenes Intervall,

(a, b] := {x ∈ R| a < x ≤ b} (nach links) halboffenes Intervall.

(−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a}, [a,∞) := {x ∈ R|x ≥ a}

abgeschlossene unbeschrankte Intervalle;

(−∞, a) := {x ∈ R|x < a}, (a,∞) := {x ∈ R|x > a}

offene unbeschrankte Intervalle.

Ein Interval heißt kompakt , wenn es beschrankt und abgeschlossen

ist.

Definitionen: Umgebungen

Bε(a) := (a− ε, a+ ε) ε-Umgebung von a (ε > 0)

U heißt Umgebung von a, wenn ein ε > 0 existiert mit Bε(a) ⊂ U.

Definitionen:

N0 = {0, 1, 2, 3, . . . , }

Z = {z ∈ R|z ∈ N0 oder − z ∈ N0} ganze Zahlen

Q = {x ∈ R|x lost px = q mit p, q ∈ Z, p 6= 0} rationale Zahlen

Bemerkung: Q erfullt auch Korper- und Anordnungsaxiome; Q ist auch

ein archimedisch angeordneter Korper. Aber nicht jede nach oben (bzw. nach

- 13 -


unten) beschrankte Menge in Q besitzt ein Supremum (bzw. in Infimum) in

Q.

Beispiel: A = {x ∈ Q| x2 < 2}, B = {y ∈ Q| y2 > 2}

A enthalt keine”großte Zahl“ (in Q) und A ist nach oben beschrankt (z.B.

durch 2).

B enthalt keine”kleinste Zahl“ (in Q) und B ist nach unten beschrankt.

Satz 7 Es gibt keine rationale Zahl x mit x2 = 2.

2.4 Naturliche Zahlen, Prinzip der vollstandigen Induktion

Bezeichnung: (0, 1 ∈ R)

N =

1,

2︷︸︸︷

1 + 1,

3︷︸︸︷

1 + 1 + 1,

4︷︸︸︷

1 + 1 + 1 + 1, · · · ,

⊂ R

N0 := {0, 1, 2, 3, · · · , }

Definition: M ⊂ N ist induktiv , wenn 1 ∈M und, fur x ∈M , ist x+ 1 ∈M .

Bemerkung: N und N0 sind induktiv. x+ 1 heißt”Nachfolger“ von x.

Eigenschaften von N: Gilt fur M ⊂ N

a) 1 ∈M und

b) x ∈M =⇒ x+ 1 ∈M

dann ist M = N.

Diese Eigenschaft heißt”Prinzip der vollstandigen Induktion“ oder

”Induk-

tionsprinzip“ .

Darauf beruht die

- 14 -


”Beweismethode der vollstandigen Induktion“:

Eigenschaft E(n) ist richtig ∀ n ∈ N, wenn:

a) E(1) ist richtig (”Induktionsverankerung“ oder

”Induktionsanfang“

(IA)).

b) Fur jedes k ist unter E(k) (i.e.”Induktionsvoraussetzung“ (IV) oder

”Induktionsannahme“) zu zeigen, dass auch E(k + 1) (i.e.

”Indukti-

onsbehauptung“ oder”Induktionsschluss“ (IS)) richtig ist.

Darauf beruht auch die”induktive Definitionsmethode“ :

Eine Eigenschaft E auf den naturlichen Zahlen N ist definiert, wenn:

a) E(1) ist definiert.

b) Falls E(k) definiert ist, laßt sich E(k + 1) definieren.

Beispiel: Potenzen x1 = x, xn+1 = x · xn; Fibonacci-Zahlen Fn.

Bemerkungen:

1) Das Induktionsprinzip ist aquivalent zur Aussage, dass jede nichtleere

Menge aus N ein kleinstes Element besitzt.

2) Die vollstandige Induktion kann auch bei 0 oder einer anderen Zahl

k0 > 0 beginnen.

Beispiele:

1) Induktiv beweist man die Summenformel : 1 + 2 + · · ·+n =n(n+ 1)

2.

- 15 -


2) Nicht richtig ist die Aussage A(n) :”Sind n reelle Zahlen gegeben, so

sind sie alle gleich“. A(1) ist zwar richtig und man konnte von A(n)

auf A(n + 1) schließen, jedoch ist A(1) eine leere Aussage und ohne

Bedeutung; A(2) z.B. ist falsch.

Eigenschaften von N0:

(a) Es ist n = 0 oder n ≥ 1.

(b) m,n ∈ N0 =⇒ m+ n ∈ N, m · n ∈ N0.

(c) Falls m ≤ n, dann n−m ∈ N0.

(d) Zwischen n und n+ 1 liegt keine weitere naturliche Zahl.

Satz 8 N0 ist”wohlgeordnet“, d. h.

∀V ⊂ N0, V 6= ∅, ∃k ∈ V ∀x ∈ V : x ≥ k .

2.5 Einfache Anzahlaussagen

Bezeichnung: Nn = {1, . . . , n}

Definitionen: (A 6= ∅ Menge)

a) A hat n Elemente, genau wenn es eine Bijektion f : A −→ Nn gibt.

Wir schreiben: card A = n oder #A = n. A heißt endliche Menge.

b) A heißt unendliche Menge, genau wenn es fur kein n ∈ N eine Bijek-

tion f : A −→ N gibt. Wir schreiben: #A =∞.

c) A heißt abzahlbar unendlich, genau wenn es eine Bijektion f : A −→ N

gibt.

- 16 -


Beispiele:

1) #Nn = n

2) G := {m ∈ N|∃k ∈ N : m = 2k} gerade Zahlen

G ist abzahlbar unendlich;

Bijektion f : G 3 2k 7→ k ∈ N.

3) G := {a, b, c} , M := {d, e} , F = {f |f : G −→M Abb.}#F = 8

Lemma 9 (M,N endliche Mengen). Es gelten die folgenden Aussagen:

1) ∃ Bijektion g : M −→ N =⇒ #M = #N

2) M ∩N = ∅ =⇒ #(M ∪N) = #M + #N

3) #(M ×N) = #M ·#N

Satz 10 Sei M endliche Menge, #M =: m. Dann gilt fur die Potenzmenge

#P (M) = 2m .

Definitionen: (M endliche Menge). Jede bijektive Abb. f : M −→ M heißt Permuta-

tion. Die Menge

SM := {f : M −→M |f bijektiv}

heißt symmetrische Gruppe von M .

Satz 11 Seien M,N endliche Mengen, m := #M , n := #N , und m ≤ n.

Dann gibt es genau

n · (n− 1) · · · · (n+ 1−m)

injektive Abbildungen f : M −→ N .

- 17 -


Definition: Produkte (induktiv)

1∏

k=1

k = 1,

n+1∏

k=1

k =

(n∏

k=1

k

)

(n+ 1)

Definition: n–Fakultat n!

0! = 1, 1! := 1 , (n+ 1)! := (n+ 1) · n!

Folgerung 12 (m := #M) #SM = m!

Wir bezeichnen mit I eine Indexmenge, d.h. eine endliche oder unendliche

Teilmenge von N; auch I = N ist moglich.

Definition: (Xi ⊂ C Mengen fur i ∈ I)

⋃

i∈IXi = {x ∈ C |x ∈ Xi fur mindestens ein i}

⋂

i∈IXi = {x ∈ C |x ∈ Xi fur alle i ∈ I}

Fur die Komplemente X ′i = C \Xi von Xi (in C) gelten die folgenden

”Re-

geln von de Morgan“:

(⋃

i∈IXi

)′

=⋂

i∈IX ′i

(⋂

i∈IXi

)′

=⋃

i∈IX ′i

2.6 Primzahlen

Definition: m teilt n (m|n), genau wenn ∃k ∈ N : m · k = n

- 18 -


Rechenregeln (m,n, k ∈ N)

(R1) m|n =⇒ m ≤ n(R2) m|n , n|k =⇒ m|k(R3) m|n , m|k =⇒ m|(in+ jk) ∀i, j ∈ N

Definition: p ∈ N Primzahl , falls

p 6= 1 und ∀m ∈ N gilt die Aussage: m|p =⇒ m = 1 ∨m = p .

Falls q ∈ N , q 6= 1 keine Primzahl, dann heißt q

zusammengesetzte Zahl .

Satz 13 a) Jede Zahl m ∈ N , m 6= 1, ist entweder Primzahl oder ein

Produkt von Primzahlen (”Faktorisierung in Primzahlen“)

b) Die Faktorisierung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

Satz 14 Die Menge der Primzahlen ist nicht endlich.

Bemerkung: pn < 22n, wobei pn = n–te Primzahl.

2.7 Der Satz von Archimedes

Satz 15 (Satz von Archimedes) ∀a, b ∈ R , a > 0 , ∃n ∈ N : n · a > b.

Bemerkung: R ist ein archimedisch angeordneter Korper.

Folgerung 16 ∀a ∈ R , a > 0 , ∃n ∈ N :1

n< a.

Folgerung 17 ∀a, b ∈ R , a 0 ∃q ∈ Q : |x− q| < ε.

- 19 -


Lemma 19 (Charakterisierung eines Supremums) Sei A ⊂ R , A 6=∅ , A nach oben beschrankt, x ∈ R obere Schranke von A. Dann sind aqui-

valent:

(a) x = supa∈A a ,

(b) ∀ ε > 0 ∃a ∈ A : x− ε ≤ a.

Analog ist das Infimum einer nach unten beschrankten Menge charakterisiert

durch

(a) y = infa∈A

a, (b) ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a ≤ y + ε .

2.8 Die Quadratwurzel

Satz 20 ∀b > 0 ∃!x ∈ R : x > 0 , x2 = b.

Bezeichnung: x = b1/2 oder x =√b (Quadratwurzel von b).

Bemerkung: Fur x := −√b gilt auch x2 = b .

Satz 21 ∀a ∈ R, a > 0, ∀n ∈ N, n ≥ 2 ∃!x ∈ R, x > 0 mit xn = a.

Bezeichnung: x := a1/n(n-te Wurzel von a).

2.9 Permutationen und Binomialkoeffizienten

Frage: Wieviele Moglichkeiten gibt es,N Objekte auf r Platze zu verteilen?

Antwort: N · (N − 1) · · · (N + 1− r) =N !

(N − r)!Frage: Wieviele Teilmengen von A , #A = N , mit r (≤ N) Elementen

konnen ausgewahlt werden?

Antwort: in Satz 22.

- 20 -


Satz 22 Die Anzahl der Moglichkeiten, aus einer Menge von N Elementen

Teilmengen mit r Elementen auszuwahlen, ist gegeben durch

cN,r :=N !

(N − r)! r!

Definition: Binomialkoeffizienten

(n

k

)

:=n!

(n− k)! k! =n · (n− 1) · · · (n− k + 1)

k!

Satz 23

(n

0

)

=

(n

n

)

= 1 ,

(n

1

)

= n ,

(n

k

)

=

(n

n− k

)

,(n

k

)

=

(n− 1

k − 1

)

+

(n− 1

k

)

Ambesten be

rechnet mandie Binomialkoeffi

zienten mittels der Rekursion des vorstehenden Satzes, wo

bei man die Ergebnisse der einzelnenRekursionsschritte wie im folgenden Schema,

dem Pascalschen Dreieck , notiert:

- 21 -


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

(jede Zahl ist die Summe der beiden links und rechts daruberstehenden).

Bekannt war dieses Dreieck schon den Arabern im 13. Jahrhundert, weiter

studiert haben es insbesonders Stiefel (1544) und Pascal (1659).

Satz 24 (Binomischer Lehrsatz) Seien a, b ∈ R , n ∈ N. Es gilt

(a+ b)n =

n∑

k=0

(n

k

)

an−kbk .

Folgerung 25 (Bernoullische Ungleichung)

(1 + a)n ≥ 1 + na ∀a > −1 .

Beispiele:

1. Wahle zufallig 4mal aus den Ziffern {0, . . . , 9} eine Ziffer aus. Wie

groß ist die (Laplace–) Wahrscheinlichkeit, lauter verschiedene Ziffern

zu erhalten?

- 22 -


Definition: Die (Laplace–)Wahrscheinlichkeit durch einen”Zufalls-

mechanismus“ aus einer endlichen Menge X ein Element einer Teil-

menge B , B ⊂ X, auszuwahlen, ist definiert durch

PL(B) :=#B

#X.

Im Beispiel: A = {0, . . . , 9} , X = A×A×A×A,

B = {(w, x, y, z) ∈ X|w, x, y, z paarweise verschieden} .

Es gilt #X = 104 , #B = 10!/(10 − 4)! = 5040, also PL(B) = 0.504.

2. (ATP-WM) 2 Gruppen mit je 4 (Tennis–)Spielern.

Frage: Wieviele Spiele mussen pro Gruppe gespielt werden, damit

jeder einmal gegen jeden (seiner Gruppe) spielt?

Antwort:

(4

2

)

=4 · 31 · 2 = 6 .

3. Fur a = b = 1 folgt aus dem binomischen Lehrsatz

n∑

k=0

(n

k

)

= 2n .

Dies ist bekanntlich die Anzahl aller Teilmengen von {1, · · · , n}.

Definitionen: ( (R,+, ·) Korper der reellen Zahlen, aν ∈ R)

Summe

1∑

ν=1

aν := a1 ,

n+1∑

ν=1

aν :=

n∑

ν=1

aν + an+1 ,

n∑

ν=m

aν = 0 , falls n < m;

Produkt

1∏

ν=1

aν := a1 ,

n+1∏

ν=1

aν :=

n∏

ν=1

aν · an+1 ,

n∏

ν=m

aν = 1, falls n < m .

- 23 -


Rechenregeln (a1, . . . , am+n ∈ R, a ∈ R, b1, . . . , bm ∈ R)

(R1)m∑

ν=1

aν +n∑

ν=1

am+ν =m+n∑

ν=1

aν

(R2) a ·n∑

ν=1

aν =

n∑

ν=1

a · aν

(R3)

m∑

ν=1

aν +

m∑

ν=1

bν =

m∑

ν=1

(aν + bν)

(R4)

(n∑

ν=1

aν

)

·

m∑

µ=1

bµ

=

n∑

ν=1

m∑

µ=1

aν · bµ

=

m∑

µ=1

(n∑

ν=1

aν · bµ)

Fur das Produkt∏

gelten analoge Regeln:

(R5)m∏

ν=1

aν ·n∏

ν=1

am+ν =m+n∏

ν=1

aν ;

(R6)

m∏

ν=1

aν ·m∏

ν=1

bν =

m∏

ν=1

(aν · bν) ;

(R7) a ·(

m∏

ν=1

aν

)

=

m∏

ν=1

(a1/m · aν) , falls a > 0 ;

(R8)

n∏

ν=m+1

aνaν−1

=anam

, falls m < n (”Teleskopprodukt“);

(R9)n∑

ν=m+1

(aν − aν−1) = an − am , falls m < n (”Teleskopsumme“).

3 Der Korper der komplexen Zahlen

3.1 Einfuhrung

Da der Korper der reellen Zahlen angeordnet ist, gibt es keine Losung a ∈ R

von a2 = −1 (Quadrate mussen in angeordneten Korpern positiv sein!)

Die Losbarkeit von x2 = −1 ist aquivalent zu

x2 + 1 = 0 .

- 24 -


Allgemein interessiert man sich fur Nullstellen von Polynomen vom Hochst-

grad n ≥ 2,

Pn :=

{

f : R −→ R

∣∣∣∣∣f(x) =

n∑

k=0

akxk , x ∈ R ,

mit a0, . . . , an ∈ R

}

.

Ziel: Erweiterung von R so, daß obige Gleichung losbar ist; Rechnen mit

der imaginaren Einheit i =√−1.

3.2 Der Korper C

Definitionen: (R2 := R×R)

Addition + : R2 × R2 3 ((x, y), (u, v)) 7→ (x+ u, y + v) ∈ R2

Multiplikation · : R2 × R2 3 ((x, y), (u, v)) 7→ (xu− yv, xv + yu) ∈ R2

Satz 1 (R2,+, ·) ist ein Korper mit Nullelement 0 := (0, 0) und Einselement

1 := (1, 0).

Bemerkung: Das Inverse (u, v) von (x, y) 6= (0, 0) ist gegeben durch

u :=x

x2 + y2, v =

−yx2 + y2

Definition: C = Korper (R2,+, ·) ;

i := (0, 1) heißt imaginare Einheit

Folgerung 2

(a) C ist ein 2-dimensionaler Vektorraum uber dem Korper R mit Addition

wie oben und skalarer Multiplikation r · (x, y) := (rx, ry). Basis: 1 =

(1, 0) , i = (0, 1).

- 25 -


(b) C ist ein 1-dimensionaler Vektorraum uber dem Korper C. Basis: 1 =

(1, 0).

Schreibweise: z = (x, y) ∈ C , z = x+ iy

Definitionen:

x = Re(z) Realteil von z

y = Im(z) Imaginarteil von z

Schreibweisen:

1 statt (1, 0) bzw. 1 + i · 0 ,0 statt (0, 0) bzw. 0 + i · 0 ,x statt (x, 0) bzw. x+ i · 0 ,ix statt (0, x) bzw. 0 + ix .

Folgerung 3

∀a ∈ R ∃z ∈ C : z2 + a = 0 .

Bemerkung: ι : R 3 x −→ x+ i · 0 ∈ C ist injektiver Homomorphismus,

so dass R als Unterkorper von C aufgefasst werden kann.

3.3 Der Absolutbetrag in C

Definitionen:

(a) Zu z = x+ iy ∈ C heißt z := x− iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.

(b) Die Abbildung

| · | : C 3 x+ iy 7→ (x2 + y2)1/2 ∈ R

heißt der Absolutbetrag (Betragsfunktion) in C.

- 26 -


Rechenregeln

(R1) z1 + z2 = z1 + z2 , z1z2 = z1 · z2 , z = z ;

(R2) Re(z) =1

2(z + z) , Im(z) =

−i2

(z − z) ;

(R3) |z| = |z| = (z · z)1/2 ;

(R4) Re(z) ≤ |z| , Im(z) ≤ |z| .

Folgerung 4 Fur |.| gilt

(a) |z| = 0⇐⇒ z = 0 (Definitheit)

(b) |zw| = |z| |w| ∀z, w ∈ C (Homogenitat)

(c) |z + w| ≤ |z|+ |w| ∀z, w ∈ C (Dreiecksungleichung)

Darstellung in komplexer Zahlenebene

(auch Gaußsche Zahlenebene genannt):

6Im

-Rex

y

-y

z

z

��

��>

ZZ

ZZ~

- 27 -


4 Zahlenfolgen

4.1 Folgen

Definition: Sei M nichtleere Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung

f : N −→M . Wir schreiben

a = (an)n∈N mit an := f(n) , n ∈ N .

Die Elemente an , n ∈ N, heißen Glieder der Folge.

Eine Folge (an)n∈N in M := R bzw. M := C heißt reelle bzw. komplexe

Zahlenfolge.

Bis auf weiteres sei jede Folge eine reelle Zahlenfolge.

Beispiele:

1. an := n2 , n ∈ N : 1, 4, 9, 16, . . .

2. an := a , n ∈ N : a, a, a, . . .

konstante Folge

3. an := (−1)nn , n ∈ N : −1, 2,−3, 4, . . .

4. an := 1 + (−1)n , n ∈ N : 0, 2, 0, 2, . . .

5. an :=1

n, n ∈ N : 1,

1

2,1

3,1

4, . . .

6. a1 := 1 , an+1 :=1

1 + an, n ∈ N : 1,

1

2,2

3,3

5, . . .

7. a1 := a2 := 1 , an+1 := an + an−1 , n ∈ N : 1, 1, 2, 3, 5, . . .

Fibonacci–Zahlen

- 28 -


8. an :=1

(n− 1)(n− 2), n ∈ N , n ≥ 3 :

1

2,1

6,

1

12.

Diese Folge beginnt erst ab einem n0 ∈ N : an0 , an0+1, . . .

Definition: (an)n∈N heißt beschrankt

:⇐⇒ ∃b ∈ R ∀n ∈ N : |an| ≤ b .

4.2 Der Konvergenzbegriff

Definitionen: Sei (an)n∈N Folge.

(a) (an)n∈N heißt konvergent gegen a ∈ R

: ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |an − a| < ε.

a heißt dann Grenzwert (oder Limes) von (an)n∈N. Wir schreiben

dann

a = limnan oder a = lim

n∈N

an oder an −→ a(n ∈ N) .

(b) (an)n∈N heißt konvergent, wenn (an)n∈N gegen ein a ∈ R konvergiert.

(c) (an)n∈N heißt Nullfolge

:⇐⇒ (an)n∈N konvergiert gegen 0.

Folgerung 1 Jede Folge besitzt hochstens einen Grenzwert.

Bemerkung: Konvergiert die Folge (an)n∈N gegen a, so kann man wegen

Folgerung 1 sagen:

Fur jedes ε > 0 liegen nur endlich viele Glieder der Folge außerhalb von

(a− ε, a+ ε).

Oder: Fur jedes ε > 0 liegen fast alle an in (a− ε, a+ ε).

- 29 -


Folgerung 2 Ist die Folge (an)n∈N konvergent, so ist (an)n∈N beschrankt.

Definition: Ist eine Folge (an)n∈N nicht konvergent, so sagen wir: (an)n∈N

ist divergent.

Beispiele:

1. an := n2 , n ∈ N, ist divergent, da nicht beschrankt.

2. an := a , n ∈ N, ist konvergent gegen a.

3. an := 1 + (−1)n , n ∈ N, ist divergent, da |an − an+1| = 2 ∀n ∈ N.

4. an :=1

n, n ∈ N, ist Nullfolge.

5. an := an , n ∈ N, mit |a| < 1 ist Nullfolge.

4.3 Rechenregeln

Satz 3 Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergente Folgen, a = limnan , b = lim

nbn,

und λ ∈ R.

Es gilt:

(a) (anbn)n∈N ist konvergent, ab = limn

(anbn).

(b) (an + bn)n∈N ist konvergent, a+ b = limn

(an + bn).

(c) (λan)n∈N ist konvergent, λa = limn

(λan).

Bemerkung: Auch die Differenz konvergenter Folgen konvergiert.

Satz 4 Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergente Folgen, a = limnan , b = lim

nbn.

Sei b 6= 0. Dann gilt:

- 30 -


(a) ∃N0 ∈ N ∀n ≥ N0 : bn 6= 0;

(b) (anb−1n )n≥N0 ist konvergent und

ab−1 = limn≥N0

anb−1n .

Beispiele:

1. Potenzsummenn∑

k=1

kl , n ∈ N , l ∈ N0 fest, sind divergent.

2. an :=3n2 + 1

2n2 − n+ 1−→ 3

2(n ∈ N) .

3. an :=

(n

k

)

n−k −→ 1

k!(n ∈ N) , k ∈ N.

4. an :=

2n−1∏

i=n

(

1 +1

i

)

−→ 2 (n ∈ N) .

5. an := nkan , n ∈ N , k ∈ Z , a ∈ (−1, 1) : limnan = 0 .

Satz 5 Seien (an)n∈N , (bn)n∈N Folgen. Es gilt:

(a) Ist (an)n∈N eine Nullfolge und (bn)n∈N beschrankt, so ist auch (anbn)n∈N

eine Nullfolge.

(b) Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergent, und es gelte an ≤ bn ∀n ∈ N.

Dann gilt limnan ≤ lim

nbn.

(c) Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergent mit a := limnan = lim

nbn. Gilt fur

eine Folge (cn)n∈N, daß an ≤ cn ≤ bn ∀n ≥ N0, dann konvergiert auch

(cn)n∈N und a = limncn (

”Sandwich–Theorem“).

Bemerkung zu (b): Wenn an < bn ∀n ∈ N, dann gilt auch (nur) limnan ≤ lim

nbn.

- 31 -


Beispiel:

6. Fibonacci–Zahlen

F1 := F2 = 1 , Fn+1 := Fn + Fn+1 .

Man beweist induktiv, daß

Fn =1√5

(τn − (−τ)−n

), n ∈ N , mit τ :=

1

2(1 +

√5) .

Daraus folgt

FnFn+1

=1

τ

1 + (−τ)−2n(−1)n

1− (−τ)−2n(−1)n−→ 1

τ= τ − 1 ≈ 0.618 .

Die Folge an = Fn/Fn+1, n ∈ N, erhalt man auch durch

a1 := 1, an+1 :=1

1 + an, n ∈ N .

Konvergiert diese Folge – was spater bewiesen wird – und gilt a :=

lim an 6= −1, dann folgt a = 1/(1 + a) ⇐⇒ a =√

1− a, und fur

die positive Wurzel erhalt man a =1

2(√

5 − 1) ≈ 0.618 (”goldener

Schnitt“).

4.4 Konvergenzkriterien

Definitionen: Eine Zahlenfolge (an)n∈N heißt

(a) monoton wachsend, falls an ≤ an+1 ∀n ∈ N ;

(b) monoton fallend, falls an ≥ an+1 ∀n ∈ N ;

(c) streng monoton wachsend, falls an < an+1 ∀n ∈ N ;

(d) streng monoton fallend, falls an > an+1 ∀n ∈ N .

- 32 -


Beispiele:

1. an :=

(n

k

)

n−k , n ∈ N , ist streng monoton wachsend fur jedes k ∈N.

2. an :=

(

1 +1

n

)n

, n ∈ N , ist streng monoton wachsend.

3. (endliche geometrische Reihe). Fur q 6= 1 sei an :=∑n

k=0 qk. Man zeigt

induktiv:

an =1− qn+1

1− q .

Satz 6 Jede beschrankte, monoton wachsende (fallende) Folge ist konver-

gent.

Beispiel: an :=

(

1 +1

n

)n

ist monoton wachsend und beschrankt,

2 <

(

1 +1

n

)n

≤ 3 .

Damit ist (an)n∈N konvergent und fur den Limes gilt

2 ≤ limn

(

1 +1

n

)n

≤ 3 .

Definition: e := limn

(

1 +1

n

)n

heißt Eulersche Zahl.

Definition: Sei (an)n∈N eine Folge und (µk)k∈N eine streng monoton

wachsende Folge naturlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (aµk)k∈N Teilfolge

von (an)n∈N.

Folgerung 7 Sei (an)n∈N konvergent und (aµk)k∈N eine Teilfolge. Dann ist

auch (aµk)k∈N konvergent und es gilt

limkaµk

= limnan .

- 33 -


Satz 8 (Satz von Bolzano–Weierstrass) Jede beschrankte Folge enthalt

eine konvergente Teilfolge.

Definition: Eine Folge (an)n∈N heißt Cauchy–Folge, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m,n ≥ N : |an − am| < ε.

Satz 9 Eine Folge (an)n∈N ist dann und nur dann konvergent, wenn sie

Cauchy–Folge ist.

Bemerkungen:

1. Jede Cauchy–Folge ist beschrankt.

2. Das Vollstandigkeitsaxiom (V) kann man ersetzen durch das Axiom:

Jede Cauchy–Folge konvergiert.

3. Die Aussage von Satz 9 heißt auch das Cauchysche Konvergenzkrite-

rium.

Beispiel 1: (vgl. Beispiel 6 in 4.3)

Betrachte die induktiv definierte Folge

a1 := 1 , an+1 :=1

1 + an, n ∈ N .

(an)n∈N ist Cauchy–Folge.

Beispiel 2: an =n∑

k=0

1

k, n ∈ N, ist keine Cauchy-Folge, also divergent.

4.5 Wurzelberechnung

Satz 10 Seien b > 0 , q ∈ N , q ≥ 2. Dann existiert genau ein x > 0 mit

xq = b und fur die induktiv definierte Folge

a1 > 0 mit aq1 ≥ b , an+1 :=

(

1− 1

q

)

an +1

q

b

aq−1n

- 34 -


gilt: x = limnan .

Schreibweise: x = q√b oder x = b1/q.

Bemerkung: Fur q = 2 lautet die Vorschrift:

a21 ≥ b , an+1 :=

1

2an +

1

2

b

an.

4.6 Haufungswerte

Definition: a ∈ R heißt Haufungswert der Folge (an)n∈N

:⇐⇒ ∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N : |an − a| < ε .

Bemerkung:

1. a ∈ R ist Haufungswert von (an)n∈N, genau wenn fur jedes ε > 0 in

(a− ε, a+ ε) unendlich viele Glieder an liegen.

2. Man beachte den Unterschied von 1. zu konvergenten Folgen (dort:

”fast alle an in (a− ε, a+ ε)“).

Satz 11 Sei (an)n∈N Folge und a ∈ R. Dann sind aquivalent:

(a) a ist Haufungswert von (an)n∈N.

(b) Es gibt eine konvergente Teilfolge (aµk)k∈N von (an)n∈N mit a = lim

kaµk

.

Folgerung 12 Jede beschrankte Folge besitzt einen Haufungswert.

Folgerung 13 Sei (an)n∈N konvergente Folge und a := limnan. Dann ist a

der einzige Haufungswert von (an)n∈N.

- 35 -


Beispiele:

1. an := (−1)n , n ∈ N , hat Haufungswerte 1 und -1 .

2. an :=

1 , n ungerade ,

n , n gerade .1 ist einziger Haufungswert von (an)n∈N,

aber die Folge (an)n∈N ist divergent.

Folgerung 14 Ist (an)n∈N eine beschrankte Folge, dann ist die Menge der

Haufungswerte von (an)n∈N nichtleer und beschrankt.

Definition: Sei (an)n∈N eine beschrankte Folge undH := {a ∈ R|a Haufungswert von

(an)n∈N}. Wir setzen:

limn

an := lim supn∈N

an := supa∈H

a Limes superior

limn

an := lim infn∈N

an := infa∈H

a Limes inferior

Folgerung 15 Sei (an)n∈N beschrankte Folge. Dann sind limnan und lim

nan

Haufungswerte von (an)n∈N.

Folgerung 16 Sei (an)n∈N beschrankte Folge und H die Menge ihrer Haufungs-

werte. Dann sind fur a ∈ R aquivalent:

(a) (an)n∈N konvergiert gegen a.

(b) H = {a}.

(c) a = limnan = lim

nan.

Folgerung 17 (s. Forster 1 [For01], Satz 9.4) Sei (an)n∈N beschrankte Fol-

ge.

a = limnan dann und nur dann, wenn

- 36 -


i) ∀ ε > 0∃N ∈ N ∀n ≥ N : an ≤ a+ ε

ii) ∀ ε > 0∀n ∈ N ∃m ≥ n : am ≥ a− ε

Analog: a = limnan dann und nur dann, wenn

i) ∀ ε > 0∃N ∈ N ∀n ≥ N : an ≥ a− ε

ii) ∀ ε > 0∀n ∈ N∃m ≥ n : am ≤ a+ ε

Wir geben noch folgende Charakterisierung von lim und lim an (vgl. Forster

1 [For01], §9):Satz 18 (Charakterisierung von lim und lim)

Sei (an)n∈N beschrankte Folge, und

bn := inf{ak|k ≥ n}, n ∈ N ,

cn := sup{ak|k ≥ n}, n ∈ N .

Dann ist (bn)n∈N beschrankt und monoton wachsend bzw. (cn)n∈N beschrankt

und monoton fallend und

limnbn = lim

nan, lim

ncn = lim

nan .

4.7 Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen

Konvergenz–Aussagen konnen analog auf komplexe Zahlenfolgen ubertragen

werden, wenn der Absolutbetrag in R durch den in C ersetzt wird. Wegen

|z| = (Re(z)2 + Im(z)2)1/2 , z ∈ C ,

konvergiert eine Folge (zn)n∈N in C gegen ein z ∈ C, genau wenn (Re(zn))n∈N

gegen Re(z) und (Im(zn))n∈N gegen Im(z) konvergieren. Aussagen, die sich

auf die Anordnung in R beziehen, sind in C nicht formulierbar.

- 37 -


5 Reihen

5.1 Konvergenz von Reihen

Wir nennen∑∞

k=1 ak eine Reihe und

(sn)n∈N , sn :=

n∑

k=1

ak , n ∈ N ,

die Folge der zugehorigen Partialsummen.

Definition: Die Reihe∑∞

k=1 ak heißt konvergent genau dann, wenn die

Folge (sn)n∈N ihrer Partialsummen konvergiert; s = limnsn heißt Summe

(oder Wert) der Reihe. Wir schreiben

s :=

∞∑

k=1

ak .

Wenn∑∞

k=1 ak nicht konvergiert, dann heißt die Reihe divergent.

Beispiele:

1.

∞∑

k=1

1

k2ist konvergent, da die Folge der Partialsummen monoton wach-

send und beschrankt ist.

2. Geometrische Reihe: Sei a ∈ R , |a| < 1.

sn =

n∑

k=0

ak =1− an+1

1− a , limnsn =

1

1− a =

∞∑

k=0

ak .

Fur |a| ≥ 1 ist

∞∑

k=0

ak divergent.

3. Die harmonische Reihe

∞∑

k=1

1

kist divergent.

- 38 -


Bemerkung:

1. Zu einer Folge (an)n∈N kann man durch b1 := a1 , bn := an−an−1 , n ≥2, eine Reihe

∑∞k=1 bk so konstruieren, so daß an =

∑nk=1 bk.

2. Fur den Grenzwert einer Folge spielen endliche viele Glieder keine

Rolle; andert man endlich viele Glieder von an, n ∈ N, so kann sich

allerdings der Wert der Reihe andern.

3. Analog zu Reihen konnen unendliche Produkte als Folgen von Parti-

alsummen endlicher Produkte definiert werden.

Rechenregeln Seien∑∞

k=1 ak ,∑∞

k=1 bk konvergent.

(R1)∞∑

k=1

(ak ± bk) =∞∑

k=1

ak ±∞∑

k=1

bk ;

(R2)

∞∑

k=1

(λak) = λ

∞∑

k=1

ak .

5.2 Konvergenzkriterien

Satz 1 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die folgenden Bedingungen sind

aquivalent:

(a)

∞∑

k=1

ak konvergiert;

(b) ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n,m ≥ N , n ≥ m :

∣∣∣∣∣

n∑

k=m

ak

∣∣∣∣∣< ε .

Folgerung 2 Ist∑∞

n=1 an konvergent, so ist (an)n∈N eine Nullfolge.

Bemerkung: Die Umkehrung von Folgerung 2 gilt nicht (siehe harmoni-

sche Reihe)!

- 39 -


Satz 3 (Leibniz–Kriterium fur alternierende Reihen)

Sei (an) eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert∑∞

k=1(−1)kak,

und es gilt

s2n+1 ≤ s ≤ s2n ,

wobei

sn :=n∑

k=1

(−1)kak , s :=∞∑

k=1

(−1)kak .

Beispiel:

1. Die alternierende harmonische Reihe

∞∑

k=1

(−1)k1

kist konvergent.

2. Die Reihe mit an := 1/k, falls n gerade bzw. an = 1/(2(k − 1)), falls

n ungerade, divergiert. Was ist im Hinblick auf das Leibniz-Kriterium

nicht erfullt?

Definition: Eine Reihe∑∞

k=1 ak heißt absolut konvergent genau dann,

wenn∑∞

k=1 |ak| konvergiert.

Folgerung 4 Jede absolut konvergent Reihe ist konvergent.

Satz 5 (Majoranten–Kriterium)

Seien (an)n∈N , (bn)n∈N Folgen mit |an| ≤ bn , n ∈ N. Ist∑∞

k=1 bk konver-

gent, so ist∑∞

k=1 ak absolut konvergent, und es gilt:

∞∑

k=1

ak ≤∞∑

k=1

|ak| ≤∞∑

k=1

bk .

- 40 -


Beispiele:

2.∞∑

k=1

1

k3ist (absolut) konvergent.

3.

∞∑

k=1

1√k

ist divergent.

Satz 6 (Quotientenkriterium)

Fur die Reihe∑∞

k=1 ak gelte:

(a) ∃N ∈ N∀n ≥ N : an 6= 0 ;

(b) ∃q ∈ [0, 1) ∀n ≥ N : |an+1| |an|−1 ≤ q .

Dann ist die Reihe∑∞

k=1 ak absolut konvergent.

Beispiele:

4.∞∑

k=1

k2

2kist konvergent

(

q =8

9fur n ≥ 3

)

;

5.

∞∑

k=1

1

k2ist konvergent (s. Beispiel 1 in 5.1), das Quotientenkriterium

ist hierfur jedoch nicht anwendbar.

Satz 7 (Wurzelkriterium) Gilt

∃q ∈ [0, 1) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |an| ≤ qn ,

dann ist die Reihe∑∞

k=1 ak absolut konvergent.

Das Wurzelkriterium kann auch in folgender Weise formuliert werden.

- 41 -


Erganzung: Die Reihe konvergiert absolut, wenn lim supn→∞

n√

|an| < 1 gilt;

die Reihe divergiert, wenn lim supn→∞

n√

|an| > 1 gilt; die Reihe kann sowohl di-

vergent als auch konvergent sein, wenn lim supn→∞

n√

|an| = 1 gilt. Eine analoge

Aussage gilt fur das Quotientenkriterium.

Man hat folgende Fehlerabschatzungen:

Sei rN := s− sN =∑∞

k=N+1 bk

fur die konvergente Reihe∑∞

k=1 bk. Dann gilt fur

Leibniz–Kriterium: bn = (−1)nan , (an)n∈N monoton fallende Nullfolge,

|rN | ≤ |bN+1| ≤ aN+1 ;

Quotienten–Kriterium: |bn+1| |bn|−1 ≤ q ∀n ≥ 1 , q ∈ [0, 1),

|rN | ≤ |bN+1| ·1

1− q ;

Wurzel–Kriterium: |bn| ≤ qn , n ≥ 1 , q ∈ [0, 1),

|rN | ≤ qN+1 1

1− q .

Bemerkung: Diese (a–priori) Abschatzungen konnen benutzt werden, um

die Anzahl der zu berechnenden Summanden zu bestimmen, mit der eine

gewunschte Genauigkeit (sicher) erreicht wird.

Beispiele:

6.

∞∑

k=1

(−1)k√k

ist konvergent (nach Leibniz–Kriterium).

Die Genauigkeitsforderung |rN | ≤ ε mit ε = 10−5 ist erfullt, wenn

|rN | ≤1√

N + 1≤ ε , d. h. N > 1010 .

- 42 -


7.∞∑

k=1

k2

2kist konvergent

(

nach dem Quotientenkriterium, q =8

9

)

; Feh-

lerabschatzung:

|rN | ≤(N + 1)2

2N+1· 9 .

5.3 Die Exponentialfunktion

Satz 8 Fur jedes a ∈ R ist die Reihe

∞∑

k=0

1

k!ak absolut konvergent.

Definition: Exponentialfunktion

exp : R 3 a 7→

1 , falls a = 0 ,∞∑

k=0

ak

k!, falls a 6= 0 .

Folgerung 9

e = lim

(

1 +1

n

)n

=

∞∑

k=0

1

k!= exp(1) .

Folgerung 10∣∣∣∣∣exp(a)−

N∑

k=0

ak

k!

∣∣∣∣∣≤ 2|a|N+1

(N + 1)!fur |a| ≤ N + 1

2.

5.4 Umordnung von Reihen, das Cauchy–Produkt

Beispiel: Die Reihe

∞∑

k=1

(−1)k+1

kist konvergent (nach dem Leibniz–

Kriterium), aber die folgende”Umordnung“

1− 1

2+

1

3− 1

4+

(1

5+

1

7

)

− 1

6+

(1

9+

1

11+

1

13+

1

15

)

− 1

8+ · · ·

konvergiert nicht. Es ist namlich

1

2n + 1+

1

2n + 3+ · · ·+ 1

2n+1 − 1≥ 2n−1 1

2n+1=

1

4∀n ≥ 2 .

- 43 -


Fur die umgeordnete Reihe lassen sich die Summanden wie folgt zusammen-

fassen und abschatzen:

1

2n + 1+

1

2n + 3+· · ·+ 1

2n+1 − 1− 1

2n+ 2≥ 1

4− 1

2n+ 2≥ 1

5, n ≥ 9 ,

da1

4− 1

5=

1

20≥ 1

2n+ 2(⇐⇒ n+ 1 ≥ 10) fur n ≥ 9 gilt.

Definition: Sei τ : N −→ N eine Bijektion. Dann heißt∑∞

k=1 aτ(k) eine

Umordnung von∑∞

k=1 ak.

Definitionen: Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn

sie bei einer beliebigen Umordnung konvergent bleibt. Andernfalls heißen

konvergente Reihen bedingt konvergent.

Satz 11 (Umordnungssatz) Sei∑∞

k=1 ak absolut konvergent und τ : N −→N eine Bijektion. Dann ist auch die Umordnung

∑∞k=1 aτ(k) konvergent, und

es gilt

∞∑

k=1

aτ(k) =

∞∑

k=1

ak .

Bemerkung: Der letzte Satz gilt ohne die absolute Konvergenz nicht(

Gegenbeispiel:

∞∑

k=1

(−1)k+1

k

)

.

Definition: Seien∑∞

k=1 ak ,∑∞

k=1 bk Reihen. Die Reihe∑∞

k=1 ck mit

ck :=k∑

m=1

ak−m+1 bm , n ∈ N ,

heißt das Cauchy–Produkt der Reihen∑

k ak ,∑

k bk.

Satz 12 Das Cauchy–Produkt∑∞

k=1 ck der absolut konvergenten Reihen∑∞

k=1 ak ,∑∞

k=1 bk ist absolut konvergent, und es gilt

∞∑

k=1

ck =

( ∞∑

k=1

ak

)( ∞∑

k=1

bk

)

.

- 44 -


Bemerkungen:

1. Fur die Konvergenz eines Cauchy–Produkts reicht es aus, daß eine der

beiden beteiligten Reihen absolut konvergiert.

2. Konvergieren∑∞

k=1 ak ,∑∞

k=1 bk und ihr Cauchy–Produkt∑∞

k=1 ck,

so gilt

∞∑

k=1

ck =

( ∞∑

k=1

ak

)( ∞∑

k=1

bk

)

.

Als Anwendung von Satz 12 erhalt man

Folgerung 13 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)

Fur alle a, b ∈ R gilt:

exp(a+ b) = exp(a) exp(b) .

Folgerung 14 Es gilt

(a) exp(a) > 0 ∀a ∈ R ;

(b) exp(−a) = exp(a)−1 ∀a ∈ R;

(c) exp(n) = en ∀n ∈ N .

5.5 Die g–adische Entwicklung

Lemma 15 Sei g ∈ N , g ≥ 2. Dann konvergiert eine Reihe der Form

∞∑

k=1

akg−k mit ak ∈ {0, . . . , g − 1} .

- 45 -


Definition: Sei g ∈ N , g ≥ 2. Die Elemente {0, . . . , g−1} heißen g–adische

Ziffern zur Basis g, und

gm∞∑

k=1

ak g−k , ak ∈ {0, . . . , g − 1} ,

heißt g–adische Entwicklung von x ∈ R, falls

x = gm∞∑

k=1

ak g−k mit a1 6= 0 , m ∈ Z

und

∀N ∈ N ∃n ≥ N : an 6= g − 1 .

Bemerkung: Ein Dezimalbruch 0, z1z2z3 · · · stellt die Zahl

z110

+z2102

+z3103

+ · · ·

dar, zi ∈ {0, . . . , 9}, und ist im obigen Sinne eine 10–adische Entwicklung

(mit m = 0 , z1 6= 0)

Satz 16 Sei g ∈ N , g ≥ 2. Jedes x ∈ R , x > 0, besitzt genau eine g–

adische Entwicklung.

Bezeichnungen: Zahlen ±x ∈ R der Form

x = gmN∑

k=1

ak g−k , |m| ≤M , ak ∈ {0, . . . , g − 1} , a1 6= 0

heißen abbrechende systematische Bruche zur Basis g oder Gleitkommazah-

len zur Basis g mit Mantissenstellenzahl (”Genauigkeit“) N und Exponen-

tenbereich {m ∈ Z| |m| ≤M}. Wir schreiben auch

x = ±0.a1a2 · · · aN × gm oder x = ±|a1 · · · aN |m(|m| ≤M ; ai ∈ {0, . . . , g − 1} ; a1 6= 0)

- 46 -


Fur den Beweis von Satz 16 benotigt man folgende

Definition: Gaußsche Klammer

[x] := max{k ∈ Z|k ≤ x}

Bezeichnung auch ent(x) = [x] fur”entier“.

Beispiele:

Basis g = 10 : Dezimalzahlen

g = 2 : Dualzahlen

g = 8 : Oktalzahlen

g = 16 : Hexadezimalzahlen

6 Stetigkeit

6.1 Reelle Funktionen, Grenzwerte

Sei D,W ⊂ R , f : D −→W Abbildung (oder Funktion)

D = Definitionsbereich, W = Wertebereich.

Bezeichnungen: Unendliche Intervalle

[a,∞) := {x ∈ R|x ≥ a} ,

(a,∞) := {x ∈ R|x > a} ,

(−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a} ,

(−∞, a) := {x ∈ R|x < a} .

Beispiele:

1. Konstante Funktion f : R 3 x 7→ a ∈ R ;

2. Identische Funktion id : R 3 x 7→ x ∈ R ;

3. Absolutbetrag abs : R 3 x 7→ |x| ∈ R ;

- 47 -


4. Gaußsche Klammer [x] := max{k ∈ Z|k ≤ x} ,

5. Signum–Funktion sign : R 3 x 7→

1 , x > 0 ,

0 , x = 0 ,

−1 , x < 0 ;

6. Exponentialfunktion exp : R 3 x −→ exp(x) ∈ R .

Algebraische Verknupfungen von Funktionen (f, g : D −→ R , r ∈ R) :

f + g : D 3 x 7→ f(x) + g(x) ∈ R ;

r · f : D 3 x 7→ rf(x) ∈ R ;

f · g : D 3 x 7→ f(x) · g(x) ∈ R ;

f

g: D′ 3 x 7→ f(x)

g(x)∈ R , wobei D′ := {x ∈ D|g(x) 6= 0}

Komposition oder Hintereinanderausfuhrung (f : D −→ R , g : D′ −→R ; f(D) ⊂ D′)

g ◦ f : D 3 x 7→ g(f(x)) ∈ R .

Beispiele:

7. (vgl. Bspl. 3) abs = g ◦ f mit

f : R 3 x 7→ x2 ∈ R , g : [0,∞) 3 x 7→ √x ∈ R

(wobei√x = 0 fur x = 0 gesetzt wird).

8. Polynom vom Grad n :

p : R 3 x 7→n∑

i=0

aixi ∈ R

wobei a0, . . . , an ∈ R , an 6= 0.

- 48 -


Definition: Sei f : D −→ R , a ∈ D. c ∈ R heißt Grenzwert von f in a

genau dann, wenn fur jede Folge (xn)n∈N mit

xn ∈ D ∀n ∈ N , a = limnxn

gilt:

c = limnf(xn) .

Wir schreiben: c = limx→a

f(x) .

Satz 1 Sei f : D −→ R , a ∈ D , c ∈ R. Dann sind aquivalent:

(a) c = limx→a

f(x)

(b) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x− a| < δ =⇒ |f(x)− c| < ε .

Beispiele:

9. (vgl. Bspl. 3) limx→0

abs(x) = 0 ;

10. (vgl. Bspl. 6) limx→0

exp(x) = 1 ;

11. f : R 3 x 7→

0 , x < 0 ,

1 , x ≥ 0 ;limx→0

f(x) existiert nicht.

6.2 Stetige Funktionen

Definitionen: Sei f : D −→ R .

1. f heißt stetig in a ∈ D:⇐⇒ lim

x→af(x) existiert und f(a) = lim

x→af(x) .

- 49 -


2. f heißt stetig (in D)

:⇐⇒ f stetig in jedem a ∈ D.

Satz 2 Sei f : D −→ R , a ∈ D. Es sind aquivalent:

(a) f ist stetig in a ∈ D .

(b) Ist (xn)n∈N eine Folge mit xn ∈ D , n ∈ N , limnxn = a, dann gilt

limnf(xn) existiert, lim

nf(xn) = f(a) .

(c) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x− a| < δ =⇒ |f(x)− f(a)| < ε .

Beispiele:

1. Die konstante und identische Funktion ist stetig in R .

2. Die Betragsfunktion abs ist stetig in R.

3. Die Exponentialfunktion exp ist stetig.

Satz 3 Sei f : D −→ R stetig in a ∈ D und f(a) > 0. Dann gilt:

∃δ > 0 ∀x ∈ (a− δ, a + δ) ∩D : f(x) > 0 .

Bemerkung: Funktionen, die an diskreten Stellen erklart sind, z. B.

f(n) = an , n ∈ N, sind immer stetig.

6.3 Rechenregeln

Satz 4 Seien f, g : D −→ R , r ∈ R, und seien f, g stetig in a ∈ D. Dann

gilt

- 50 -


(a) f + g , f · g , r · f sind stetig in a.

(b) Ist g(a) 6= 0, so ist auchf

gstetig in a .

Satz 5 Seien f : D −→ R , g : D′ −→ R Funktionen mit f(D) ⊂ D′. Ist f

stetig in a ∈ D und ist g stetig in b := f(a), so ist g ◦ f stetig in a.

Definitionen: Sei f : D −→ R Funktion.

1. f heißt streng monoton wachsend bzw. monoton wachsend

:⇐⇒ ∀x, y ∈ D : x < y =⇒ f(x) < f(y) bzw. f(x) ≤ f(y).

2. f heißt streng monoton fallend bzw. monoton fallend

:⇐⇒ ∀x, y ∈ D : x < y =⇒ f(x) > f(y) bzw. f(x) ≥ f(y).

Satz 6 Sei f : [a, b] −→ R stetig, streng mononton wachsend, und es gelte

[A,B] = f([a, b]) mit A < B. Dann existiert f−1 : [A,B] −→ R, und es gilt

f−1 ist stetig und streng monoton wachsend.

7 Einige Satze uber stetige Funktionen

Sei [a, b] ein Intervall mit a < b.

7.1 Der Zwischenwertsatz

Satz 1 Sei f : [a, b] −→ R stetig und es gelte:

f(a)f(b) < 0 .

Dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit f(z) = 0 .

- 51 -


Bemerkungen:

1. Die Zahl z in Satz 1 heißt Nullstelle von f . Uber die Eindeutigkeit

einer Nullstelle wird in Satz 1 nichts ausgesagt.

2. Das Konstruktionsprinzip fur die Folgen (an)n∈N , (bn)n∈N im Beweis

von Satz 1 — a ≤ an ≤ an+1 ≤ · · · ≤ z ≤ · · · ≤ bn+1 ≤ bn ≤ b

— wird als Intervallschachtelungsverfahren 2 oder Bisektionsverfahren

bezeichnet. Als Abbruchkriterium kann man verwenden

maxx=an,bn

|x− z| ≤ bn − an ≤ 2−n+1(b− a) , n ∈ N

(a–posteriori und a–priori Kriterium) .

Beispiele:

1. Das Polynom p(x) := x17 + 2x+ 1 besitzt eine Nullstelle in (−1, 0) .

2. Die Gleichung exp(−x) = x besitzt eine Losung z in [0, 1], d. h. eine

Nullstelle von exp(−x)− x .

Satz 2 (Zwischenwertsatz). Sei g : [a, b] −→ R stetig, sei c ∈ R eine Zahl

zwischen g(a) und g(b). Dann gibt es ein z ∈ [a, b] mit g(z) = c.

Folgerung 3 Sei f : [a, b] −→ R stetig und streng monoton wachsend.

Dann gilt f([a, b]) = [f(a), f(b)] .

2Intervallschachtelungsverfahren: a1 = a, b1 = b fur n = 1 (o.E. f(a) < 0, f(b) > 0);

fur n + 1 def. (induktiv) c := (an + bn)/2 und an+1 := an, bn+1 := c, falls f(c) ≥ 0; bzw.

an+1 := c, bn+1 := bn, falls f(c) < 0

- 52 -


Beispiel:

3.

g(x) :=

x , x ∈ Q ∩ [0, 1] ,

1− x , x ∈ [0, 1] \Q .

Diese Funktion ist nur stetig in a =1

2, nimmt aber jeden Wert zwischen 0

und 1 an. Damit gilt die Umkehrung der Aussage des Zwischenwertsatzes

nicht, d. h. eine Funktion, bei der jeder Wert zwischen g(a) und g(b) als Bild

unter g auftritt, ist nicht notwendig stetig.

Definition: Stetige Fortsetzung

Sei f : D −→ R stetig und D ⊂ E. Dann heißt eine stetige Funktion

g : E −→ R stetige Fortsetzung von f , falls

g |D = f

Beispiele:

4. f(x) = exp(−1/x), x > 0,

g(x) =

exp(−1/x) , x > 0 ,

0 , x ≤ 0 .

5. g(x) = x, x ∈ [0, 1],

ist stetige Fortsetzung von

f(x) = x, x ∈ Q ∩ [0, 1] .

Bemerkung: Eine stetige Funktion f : [a, b] −→ R ist eindeutig bestimmt

durch Werte auf Q ∩ [a, b] (i.a. durch Werte auf einer dichten Teilmenge)

- 53 -


Definition: Q ⊂ J dicht in J ,

wenn ∀x ∈ J ∀ ε > 0 ∃ q ∈ Q : |x− q| < ε.

7.2 Existenz von Extrema

Gilt x := supa∈A

a ∈ A, dann schreiben wir

x = maxa∈A

a = maxA (x : Maximum von A)

Entsprechend:

y = mina∈A

a = minA (y : Minimum von A)

falls y := infa∈A a ∈ A.

Definition: f : D −→ R heißt beschrankt, wenn f(D) beschrankt ist.

Satz 4 Ist f : [a, b] −→ R stetig, so ist f beschrankt, und es existieren

z, z ∈ [a, b] mit

f(z) = supx∈[a,b]

f(x) , f(z) = infx∈[a,b]

f(x) ,

d. h.

f(z) = max f([a, b]) , f(z) = min f([a, b])

Beispiele:

1. f : (0, 1] 3 x 7→ 1

x∈ R ist stetig, nimmt jedoch sein Supremum nicht

an.

2. f : [0, 1] 3 x 7→

x , x ∈ [0, 1)

0 , x = 1

ist nicht stetig bei x = 1 und nimmt sein Supremum nicht an.

- 54 -


7.3 Gleichmaßig stetige Funktionen

Definition: Eine Funktion f : D −→ R heißt gleichmaßig stetig (in D),

wenn gilt

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ D : |x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| < ε .

Bemerkung: Eine gleichmaßig stetige Funktion ist offenbar stetig, die

Umkehrung gilt jedoch nicht, wie das Beispiel f(x) =1

x, x ∈ (0, 1], zeigt.

Fur abgeschlossene Intervalle [a, b] als Definitionsbereich gilt auch die Um-

kehrung (s. Satz 5).

Satz 5 Ist f : [a, b] −→ R stetig, dann ist f gleichmaßig stetig.

7.4 Bemerkungen zur Exponentialfunktion und zu Hyperbelfunk-

tionen

Die Exponentialfunktion exp ist bereits durch ihre Werte in Q festgelgt, was

die folgende Schreibweise nahelegt:

ex := exp(x) , x ∈ R .

Rechenregel

ex+y = exey , x, y ∈ R .

Definitionen: ((an)n∈N Folge)

(a) limnan =∞ :⇐⇒ ∀K > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an > K .

(b) limnan = −∞ :⇐⇒ ∀K < 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an < K .

- 55 -


Definitionen: Uneigentliche Grenzwerte (f : D −→ R , D nicht nach

oben beschrankt)

(c) c = limx→∞

f(x) :⇐⇒ ∀xn ∈ D , n ∈ N , limxn =∞ gilt c = limnf(xn)

(d) Entsprechend: c = limx→−∞

f(x) .

Bemerkung: c = ±∞ ist zugelassen!

Satz 6 Es gelten die folgenden Aussagen:

(a) Die Funktion R 3 x 7→ ex ∈ R ist streng monoton wachsend.

(b) limx→∞

exx−q = ∞ ∀q ∈ N , d. h. die Exponentialfunktion wachst

starker als jede Potenz.

(c) 1 + x ≤ ex ≤ 1

1− x ∀x ∈ (−1, 1) .

(d) limx→0x6=0

x

ex − 1= 1 .

(e) ex = limn

(

1 +x

n

)n, x ∈ R .

(f) e 6∈ Q .

Definitionen: Hyperbelfunktionen

coshx :=1

2(ex + e−x) , x ∈ R (Cosinus hyperbolicus)

sinhx :=1

2(ex − e−x) , x ∈ R (Sinus hyperbolicus)

tanhx :=sinhx

cosh x, x ∈ R (Tangens hyperbolicus)

coth x :=cosh x

sinhx, x ∈ R (Cotangens hyperbolicus)

- 56 -


Satz 7 Es gelten die folgenden Beziehungen:

(a) coshx+ sinhx = ex , x ∈ R ;

(b) coshx− sinhx = e−x , x ∈ R ;

(c) (cosh x)2 − (sinhx)2 = 1 , x ∈ R ;

(d) cosh(s+ t) = cosh s cosh t+ sinh s sinh t , s, t ∈ R ,

(e) sinh(s+ t) = sinh s cosh t+ cosh s sinh t , s, t ∈ R .

Bemerkung: Der Name”Hyperbelfunktionen“ stammt daher, daß sich

der rechte Ast der gleichseitigen Hyperbel {(x, y) ∈ R2|x2−y2 = 1} mit cosh

und sinh”parametrisieren“ laßt, d. h. (cosh t, sinh t) ∈ R2 , t ∈ (−∞,∞),

beschreibt den Hyperbelast (s. Bild, S. 159, Abschnitt 7.18, in Walter 1 [?]

(1992)).

7.5 Die Logarithmusfunktion

Lemma 8 Die Funktion R 3 x 7→ ex ∈ (0,∞) ist streng monoton wachsend,

stetig und surjektiv.

Definition: Die Umkehrfunktion (Existenz nach Lemma 8 und Satz 6 in

Kap. 6)

ln : (0,∞) −→ R

der Exponentialfunktion heißt naturlicher Logarithmus.

- 57 -


Folgerung 9

(a) ln ist stetig und streng monoton wachsend.

(b) limx→0

ln x = −∞ , limx→∞

ln x =∞ .

(c) ln(x · y) = ln x+ ln y , x, y ∈ (0,∞) .

(d) ln 1x = −ln x, x > 0.

Beispiel: Zerfall einer radioaktiven Substanz

u(t) = u(0)e−αt ;

Halbwertzeit: T = ln 2α .

Schreibweise bzw. Definition: ax := ex lna , x ∈ R , a > 0 .

Folgerung 10

(a) ax+y = axay , x, y ∈ R; a > 0 .

(b) (ax)y = axy , x, y ∈ R; a > 0 .

(c) axbx = (ab)x , x ∈ R; a, b > 0 .

Bezeichnung: Logarithmusfunktion zur Basis a

loga : Umkehrfunktion von R 3 x 7→ ax ∈ (0,∞) .

Bemerkung: ln = loge .

Bezeichnung: log := log10

Funktionalgleichung fur den Logarithmus:

loga xy = loga x+ loga y , x, y ∈ (0,∞) ; a > 0 .

- 58 -


Bemerkung: Die entsprechende Aussage zu Satz 6 (e) lautet

ln x = limnn(

n√x− 1

), x > 0 .

Daraus erhalt man eine Rechenvorschrift fur ln x :

ln x = limk

2k(

2k√x− 1

)

,

- 59 -


8 Differenzierbarkeit

8.1 Motivation und Definition

Die Sehne durch zwei Punkte (x0, f(x0)) , (x1, f(x1)) des Graphen einer

Funktion f : D → R wird beschrieben durch die Gleichung

y − y0

x− x0= s ,

wobei y0 = f(x0) , y1 = f(x1) , s :=y1 − y0

x1 − x0= Steigung. Existiert

limD3x7→x0

x6=x0

f(x)− f(x0)

x− x0=: c ,

so nennt man diesen Grenzwert die Ableitung von f in x0. Die Gerade

y = f(x0) + c(x− x0)

heißt Tangente an den Graphen von f in (x0, f(x0)).

Definition: Sei D ⊂ R . a ∈ R heißt Haufungspunkt von D falls gilt:

∀ε > 0 ∃x ∈ D : x 6= a , |x− a| < ε .

Folgerung 1 Sei D ⊂ R , a ∈ R. Dann sind aquivalent:

(a) a ist Haufungspunkt von D.

(b) Es gibt eine Folge (xn)n∈N mit

i. xn ∈ D , xn 6= a ∀n ∈ N;

ii. a = limnxn .

- 60 -


Beispiele:

1. D := [c, d) , c < d . Haufungspunkte von D : [c, d].

2. D := {2} ∪ [0, 1) . Haufungspunkte von D : [0, 1].

Definition: Sei f : D −→ R , a ∈ D Haufungspunkt von D.

f differenzierbar in a :⇐⇒ ∃c ∈ R ∀(xn)n∈N : xn ∈ D, xn 6= a ∀n ∈ N ,

limnxn = a , gilt: lim

n

f(xn)− f(a)

xn − a= c .

(Bez.: c = f ′(a) =df

dx(a) Ableitung (oder Differentialquotient)

von f in a.)

Definition: f : D −→ R heißt differenzierbar genau dann, wenn gilt:

(a) Jedes a ∈ D ist Haufungspunkt von D.

(b) f ist in jedem a ∈ D differenzierbar.

Beispiele:

3. f : R 3 x 7→ w ∈ R (w ∈ R Konstante) ist differenzierbar und

f ′(a) = 0 ∀ ↑ a ∈ R .

4. f : R 3 x 7→ |x| ∈ R ist in a = 0

nicht differenzierbar, denn

limn

f(

1n

)− f(0)

1n − 0

= 1 und

limn

f(− 1n

)− f(0)

− 1n − 0

= −1 .

6

-@@

@@

��

��

|x|x

- 61 -


5. D := {2} ∪ (0, 1) ; f : D −→ R, x 7→ |x| ist differenzierbar in jedem

a ∈ (0, 1), aber nicht in a = 2.

Satz 2 Sei f : D −→ R , a ∈ D Haufungspunkt von D. Dann sind fur c ∈ R

aquivalent:

(a) f ist differenzierbar in a, und es gilt f ′(a) = c.

(b) Es gibt eine Funktion ϕ : D −→ R mit

i. f(x) = f(a) + c(x− a) + ϕ(x) ∀x ∈ D;

ii. ϕ ist differenzierbar in a, und es gilt: ϕ′(a) = 0.

Bemerkung: Eine in a ∈ D differenzierbare Funktion f : D −→ R ist

lokal approximierbar durch eine Funktion der Form

t(x) := c1x+ c2 , x ∈ R (c1, c2 ∈ R) .

Folgerung 3 Ist f : D −→ R in a ∈ D differenzierbar, so ist f stetig in a.

Bemerkung: Das Beispiel f(x) = |x| zeigt, daß die Umkehrung von

Folgerung 3 nicht gilt.

Satz 4 Sei f : D −→ R , a ∈ D Haufungspunkt von D. Dann sind fur c ∈ R

aquivalent:

(a) f ist differenzierbar in a, und es gilt: f ′(a) = c.

(b) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D \ {a} :

|x− a| < δ =⇒∣∣∣∣

f(x)− f(a)

x− a − c∣∣∣∣< ε .

- 62 -


8.2 Rechenregeln

Satz 5 Seien f, g : D −→ R bei a ∈ D differenzierbar. Dann gilt:

(a) f + g ist differenzierbar in a, und es gilt:

(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a) .

(b) f · g ist differenzierbar in a, und es gilt:

(f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a) · g′(a) .

(c) Ist g(a) 6= 0, so ist a Haufungspunkt von D′ := {x ∈ D|g(x) 6= 0}, und

es gilt:

f

g: D′ −→ R ist differenzierbar in a und

(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)g(a)2

Beispiele:

1. Fur die identische Abbildung gilt id′(a) = 1 ∀a ∈ R.

2. Fur die Monome mn : R \ {0} 3 x 7→ xn ∈ R (n ∈ Z) , gilt

m′n(a) = nan−1 , a ∈ R \ {0} .

3. Fur ein Polynom

p(x) =∑n

k=0 ckxk hat man deshalb

p′(a) =n∑

k=0

k ckak−1 , a ∈ R .

- 63 -


Satz 6 (Kettenregel) Seien f : D −→ R , g : D ′ −→ R , f(D) ⊂ D′, und

f differenzierbar in a ∈ D , g differenzierbar in b := f(a) ∈ D ′. Dann ist

g ◦ f differenzierbar in a , und es gilt:

(g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a) .

Satz 7 Sei f : [c, d] −→ R stetig, streng monoton wachsend, W := f([c, d]),

und sei f differenzierbar in a ∈ [c, d]. Es gelte f ′(a) 6= 0. Dann existiert

f−1 : W −→ R , f−1 ist differenzierbar in b := f(a), und es gilt:

(f−1

)′(b) =

1

f ′(a)=

1

f ′(f−1(b)).

Beispiele:

3. χ : (0,∞) 3 y 7→ n√y ∈ (0,∞) , n ∈ N, ist Umkehrfunktion von

ν : (0,∞) 3 x 7→ xn ∈ (0,∞). Nach Satz 7: χ′(a) =1

na

1n−1.

4. fq : (0,∞) 3 x 7→ xq ∈ (0,∞) , q ∈ Q .

f ′q(a) = q aq−1 , a ∈ (0,∞) .

Bemerkung: (zu rechts- und linksseitigen Ableitungen)

Sei f : D −→ R, wobei D = [α, β] oder D = [α, β) oder D = (α, β). Dann

ist f differenzierbar in a ∈ D und c = f ′(a) genau dann, wenn

c = limx→a,x6=a

x∈D

f(x)− f(a)

x− a

(Begrundung: Jedes a ∈ D ist Haufungspunkt fur die genannten Intervalle).

- 64 -


8.3 Zur Exponentialfunktion

Satz 8 Es gilt:

(a) exp : R −→ R ist differenzierbar, und es gilt

exp′(a) = exp(a) ∀a ∈ R .

(b) ln : (0,∞) −→ R ist differenzierbar, und es gilt

ln′(a) =1

a∀a ∈ (0,∞) .

Folgerung 9

(a) Sei b > 0. Die Funktion fb : R 3 x 7→ bx ∈ R ist differenzierbar und

f ′b(a) = baln(b) ∀a ∈ R.

(b) Sei a > 1 . loga : (0,∞) −→ R ist differenzierbar und

log′a(z) =1

z ln a∀z ∈ (0,∞) .

8.4 Zum Newton–Verfahren

Aufgabe: Sei f : [a, b] −→ R differenzierbar. Gesucht ist z ∈ [a, b] mit

f(z) = 0.

Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens:

x0 ∈ [a, b] (= Startnaherung)

xn+1 := xn −f(xn)

f ′(xn), n ∈ N0

- 65 -


Beispiele:

1. (vgl. Abschnitt 4.5 Wurzelbestimmung)

f : R 3 x 7→ x2 − b ∈ R (b > 0)

=⇒ x− f(x)

f ′(x)= x− x2 − b

2x=

1

2

(

x+b

x

)

Newton–Verfahren: xn+1 :=1

2

(

xn +b

xn

)

(vgl. Satz 4.10).

Konvergenz: ist quadratisch, d.h. |xn+1 − z| ≤ c|xn − z|2 .

2. f : R 3 x 7→ x2 ∈ R , z = 0 Nullstelle; beachte f ′(z) = 0.

Newton–Verfahren: xn+1 :=1

2xn , x0 ∈ R

Konvergenz: (nur) linear |xn+1 − z| ≤1

2|xn − z|

9 Einige Satze uber differenzierbare Funktionen

9.1 Charakterisierung von Extrema

Definitionen: (f : D −→ R , z ∈ D)

(a) z heißt lokales Maximum (bzw. Minimum)

:⇐⇒ ∃ε > 0 ∀x ∈ D ∩ (z − ε, z + ε) : f(x) ≤ f(z)

(bzw. ∃ε > 0 ∀x ∈ D ∩ (z − ε, z + ε) : f(x) ≥ f(z)) .

(b) z heißt lokales Extremum

:⇐⇒ z lokales Maximum oder lokales Minimum.

(c) z heißt globales Maximum (bzw. Minimum)

:⇐⇒ ∀x ∈ D : f(x) ≤ f(z) (bzw. ∀x ∈ D : f(x) ≥ f(z)) .

- 66 -


Satz 1 Sei f : [a, b] −→ R , z ∈ (a, b). Ist z lokales Extremum und ist f

differenzierbar in z, so gilt f ′(z) = 0.

Bemerkung:

1. Nach Satz 7.4 und Folgerung 8.3 nimmt eine differenzierbare Funktion

f : [a, b] −→ R ihr (globales) Maximum und (globales) Minimum an.

Liegt ein solches Extremum z am Rand (z = a oder z = b), so gilt

nicht notwendigerweise f ′(z) = 0.

2. Notwendig fur ein lokales Maximum in z ∈ [a, b] ist

f ′(z)(x− z) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b] .

3. f ′(z) = 0 (s. Satz 1) ist notwendig, aber nicht hinreichend fur ein

lokales Extremum (Gegenbeispiel: f : [−1, 1] 3 x 7→ x3).

9.2 Der Satz von Rolle, Mittelwertsatz

Satz 2 (Satz von Rolle)

Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b. Gilt

dann f(a) = f(b), so gibt es ein z ∈ (a, b) mit f ′(z) = 0.

Folgerung 3 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) , a < b.

Dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit

f(b)− f(a)

b− a = f ′(z) .

- 67 -


Folgerung 4 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈(a, b) , a < b. Dann gibt es ein ϑ ∈ (0, 1) mit

f(b) = f(a) + f ′(a+ ϑ(b− a))(b− a) .

Folgerung 5 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈(a, b) ; a < b. Weiter gebe es m, M ∈ R mit

m ≤ f ′(x) ≤M ∀x ∈ (a, b) .

Dann gilt fur beliebige x, y ∈ [a, b], x ≤ y :

m (y − x) ≤ f(y)− f(x) ≤M(y − x) .

Ist f ′(x) ≥ 0 (bzw. > 0) in (a, b), so ist f monoton (bzw. streng monoton)

wachsend; ist f ′(x) ≤ 0 (bzw. < 0), so ist f monoton (bzw. streng monoton)

fallend.

Folgerung 6 (Erweiterter Mittelwertsatz)

Seien f, g : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b.

Gilt g′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b), dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit

f(b)− f(a)

g(b) − g(a) =f ′(z)g′(z)

.

Folgerung 7 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈(a, b), und es gelte f ′(x) = 0 ∀x ∈ (a, b). Dann gilt:

∃c ∈ R ∀x ∈ [a, b] : f(x) = c .

- 68 -


Beispiele:

1. Populationsmodell: P (t) = P0ert ist einzige Losung von

P (0) = P0 , P ′(t) = r P (t) , t ≥ 0 (r > 0, P0 > 0) .

2. Verbessertes Populationsmodell: (a > 0, b > 0)

P (0) = P0 , P ′(t) = P (t)(a− b P (t)) , t ≥ 0 .

Losung: P (t) =a

b+ e−(at+c), c = ln

P0

a− bP0

Gleichgewichtszustand:a

b.

9.3 Taylorsche Formel

Definitionen: (hohere Ableitungen) Sei f : D −→ R.

(a) k = 1 : D1 := {a ∈ D| f differenzierbar in a} ,f (1)(a) := f ′(a) , a ∈ D1 ;

k + 1 : Dk+1 := {a ∈ Dk| f (k) differenzierbar in a} ,f (k+1)(a) := (f (k))′(a) , a ∈ Dk+1 ;

(b) f (k) : Dk −→ R heißt Ableitung k-ter Ordnung mit Definitionsbereich

Dk. Wir schreiben auch:

f (k)(a) =dkf

dxk(a) =

df (k−1)

dx(a) , a ∈ Dk ;

(c) f heißt k-mal differenzierbar genau dann, wenn Dk = D.

(d) f heißt k-mal stetig differenzierbar , genau wenn gilt:

Dk = D , f (k) : Dk −→ R ist stetig.

- 69 -


Beispiele:

1. f : R 3 x 7→ x|x| ∈ R

ist stetig differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar.

2. Die Exponentialfunktion ist k-mal stetig differenzierbar fur jedes k ∈N.

Satz 8 (Taylorsche Formel)

Sei f : [a, b] −→ R (n + 1)-mal stetig differenzierbar und sei x0 ∈ [a, b].

Dann gibt es zu jedem x ∈ [a, b] ein ξ zwischen x0 und x mit

f(x) =n∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k +1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x− x0)

n+1

Bezeichnungen: Pn,f,x0(x) =n∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k

heißt Taylor–Polynom (vom Grad n);

Rn,f,x0(x) := f(x)− Pn,f,x0(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x − x0)

n+1

heißt Restglied bzw. Lagrangesche Darstellung des Restglieds; x0 ∈ [a, b]

heißt Entwicklungspunkt.

Bemerkung:

(a) Andere Schreibweise der Taylor–Formel:

f(x) =

n∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k +

+1

(n+ 1)!f (n+1)(x0 + ϑ(x− x0))(x− x0)

n+1 , 0 < |ϑ| < 1 .

- 70 -


(b) Restgliedabschatzung:

|Rn,f,x0(x)| ≤Kn+1

(n+ 1)!|x− x0|n+1

falls |f (n+1)(ξ)| ≤ Kn+1 ∀ξ ∈ (a, b) .

Beispiel: Taylor–Polynom fur die Exponentialfunktion

Pn(x) =

n∑

k=0

1

k!xk , x ∈ R .

Definitionen: (f : [a, b] −→ R)

1. f heißt unendlich oft differenzierbar , falls f k-mal differenzierbar ist

fur jedes k ∈ N.

2. Sei f unendlich oft differenzierbar und sei x0 ∈ [a, b]. Dann heißt

Tf,x0(x) :=

∞∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k , x ∈ [a, b] ,

die Taylor–Reihe von f im Entwicklungspunkt x0.

3. f wird durch Tf,x0 dargestellt , wenn f(x) = Tf,x0(x) , x ∈ [a, b] .

Beispiele:

1. Texp,x0(x) = ex , x ∈ R .

2. f : R 3 x 7→

exp

(

− 1

x2

)

, x 6= 0 ,

0 , x = 0 ,

Tf,0(x) = 0 ∀x ∈ R. Dieses Beispiel zeigt, daß eine konvergente

Taylor–Reihe nicht notwendigerweise f darstellt.

- 71 -


3. f : (−1,∞) 3 x 7→ ln(1 + x) ∈ R ,

Tf,0(x) =

∞∑

k=1

(−1)k+1

kxk , x > −1 .

Diese Reihe ist konvergent fur x ∈ (−1, 1] und divergent sonst; Tf,0

stellt f fur x ∈ (−1, 1] dar.

9.4 Anmerkung zu lokalen Extrema

Satz 9 Sei f : [a, b] −→ R n-mal stetig differenzierbar, sei z ∈(a, b), a < b, und es gelte

f (j)(z) = 0 ∀j : 1 ≤ j ≤ n− 1 , f (n)(z) 6= 0 ; n ≥ 2 .

Dann gelten die Aussagen:

(a) Ist n ungerade, so ist z kein lokales Extremum.

(b) Ist n gerade, so ist

z

lokales Maximum

lokales Minimum

falls

f (n)(z) < 0

f (n)(z) > 0 .

9.5 Die Regel von de l’Hospital

Definition: Sei D ⊂ R; a ∈ R heißt Beruhrungspunkt von D genau

dann, wenn

∃(xn)n∈N : xn ∈ D ∀n ∈ N , limnxn = a .

Definition: Seien f : D −→ R, a Beruhrungspunkt von D , c ∈ R.

c = limx→a

f(x) :⇐⇒ ∀(xn)n∈N , xn ∈ D ∀n ∈ N , lim xn = a :

limnf(xn) = c .

- 72 -


(Die Falle c ∈ {−∞,∞} , a ∈ {−∞,∞} sind zugelassen.)

Beispiele:

1. f : [0, 1) 3 x 7→ 11−x ∈ R ; limx→1 f(x) =∞ ;

2. f : R \ {1} 3 x 7→ 1−x2

x3−x2+x−1 ∈ R ; ( beachte: f(x) =−(1 + x)

x2 + 1)

limx→1 f(x) = −1 , limx→∞ f(x) = 0 .

Satz 10 (Regel von de l’Hospital)

Seien f, g : (a, b) −→ R differenzierbar, c ∈ R, a < b , (b = ∞ sei zugelas-

sen). Es gelte

g′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) und limx→b

f(x) = limx→b

g(x) = 0 .

Dann gilt:

(a) g(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) .

(b) Aus limx→b

f ′(x)g′(x)

= c folgt limx→b

f(x)

g(x)= c .

Beispiel:

limx→0

ex − e−xx

= limx→0

ex + e−x

1= 2 .

9.6 Die trigonometrischen Funktionen

Definitionen:

sin(x) := sinx :=

∞∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!Sinus–Funktion

cos(x) := cos x :=∞∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!Cosinus–Funktion

Bemerkung: Die angegebenen Reihen konvergieren absolut nach dem

Quotientenkriterium.

- 73 -


Folgerung 11

(a) sin(0) = 0 , cos(0) = 1 ;

(b) sin(−x) = − sin(x) , cos(−x) = cos(x) , x ∈ R ,

(Sinus ist ungerade, Cosinus gerade Funktion);

(c) x− x3

6≤ sin(x) ≤ x , x > 0 ;

(d) 1− x2

2≤ cos(x) ≤ 1− x2

2+x4

24, x > 0 .

Satz 12 Die Funktionen sin, cos : R −→ R sind stetig, differenzierbar, und

es gilt:

sin′(x) = cos(x) , cos′(x) = − sin(x) .

Folgerung 13

(e) sin2(x) + cos2(x) = 1 , x ∈ R ;

(f) | sin(x)| ≤ 1 , | cos(x)| ≤ 1 , x ∈ R ;

(g) sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) , x, y ∈ R ;

(h) cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y) , x, y ∈ R ;

(i) limx→0

sin(x)

x= 1 , lim

x→0

1− cos(x)

x2=

1

2.

Lemma 14 Sei A := {x ∈ [0,∞)| cos(x) = 0}. Es gilt:

A 6= ∅ und γ := inf A ∈[√

2,7

4

)

, γ ∈ A .

Definition: π := 2γ (= 3.14159 . . .)

- 74 -


Eigenschaften

(a) sin(π

2

)

= 1 , cos(π

2

)

= 0 ;

(b) sin(

x+π

2

)

= cos(x) , cos(

x+π

2

)

= − sin(x) , x ∈ R ;

(c) sin(x+ π) = − sin(x) , cos(x+ π) = − cos(x) , x ∈ R ;

(d) sin(x+ 2π) = sin(x) , cos(x+ 2π) = cos(x) , x ∈ R ;

(e) cos(x) 6= 0 fur x 6= (2k + 1)π

2, k ∈ Z ;

(f) sin(x) 6= 0 fur x 6= kπ , k ∈ Z .

Definition:

tan(x) :=sin(x)

cos(x), x ∈ R , x 6= (2k + 1)

π

2, k ∈ Z ,

Tangens–Funktion;

cot(x) :=cos(x)

sin(x), x ∈ R , x 6= kπ , k ∈ Z ,

Cotangens–Funktion.

Satz 15 Es gelten folgende Aussagen:

(a) cos ist auf [0, π] streng monoton fallend und cos([0, π]) = [−1, 1] .

(b) sin ist auf[

−π2,π

2

]

streng monoton wachsend und sin([

−π2,π

2

])

= [−1, 1] .

(c) tan ist in(

−π2,π

2

)

streng monoton wachsend und tan((

−π2,π

2

))

= R .

(d) cot ist in (0, π) streng monoton fallend und cot((0, π)) = R .

(e) tan′(x) =1

cos2(x), cot′(x) = − 1

sin2(x).

- 75 -


Definitionen: Umkehrfunktionen von cos, sin, tan bzw. cot:

arccos : [−1, 1] −→ [0, π] ,

arcsin : [−1, 1] −→[

−π2,π

2

]

,

arctan : R −→(

−π2,π

2

)

,

arccot : R −→ (0, π) .

Folgerung 16

(a) arccos′(x) = − 1√1− x2

, x ∈ (−1, 1) ,

(b) arcsin′(x) =1√

1− x2, x ∈ (−1, 1) ,

(c) arctan′(x) =1

1 + x2, x ∈ R ,

(d) arccot′ (x) = − 1

1 + x2, x ∈ R .

Bemerkung: sin, cos, tan, cot sind periodische Funktionen (mit Periode

2π). Fur die Umkehrfunktionen wurde jeweils nur ein”ausgezeichneter Ast“

benutzt; man kann sich auch auf andere Periodenintervalle beziehen.

10 Das Riemann–Integral

Im folgenden sei I = [a, b] ein Intervall, a < b.

10.1 Treppenfunktionen

Beispiel: Der Flacheninhalt des Bereichs B := {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤y ≤ x2} laßt sich annahern durch eine Summe von Rechtecken

FN :=

N−1∑

k=0

1

Nfk , fk := f(xk) , xk =

k

N, k = 0, . . . , N ,

- 76 -


wobei f : [0, 1] 3 x 7→ x2 ∈ R. Man erhalt

FN =(N − 1)N(2N − 1)

6N3und lim

N→∞FN =

1

3.

Definitionen:

(a) Eine Zerlegung Z von I ist eine Anzahl von Punkten x0, . . . , xN mit

a = x0 < x1 < · · · < xN = b.

(b) ϕ : I −→ R heißt Treppenfunktion auf I, wenn eine Zerlegung Z :

a = x0 < x1 < · · · < xN = b und Zahlen c0, c1, . . . , cN existieren mit

ϕ(x) = ci falls x ∈ (xi−1, xi], ϕ(x0) = c0.

(c) T (I) := T [a, b] := {ϕ : I −→ R| ϕ Treppenfunktion auf I} .

Definition: Gemeinsame Verfeinerung zweier Zerlegungen

Z : a = x0 < · · · < xN = b , Z ′ : a = x′0 < · · · < x′M = b :

Ordne Punkte {xi|i = 0, . . . , N} ∪ {x′i|i = 0, . . . ,M} der Große nach, nu-

meriere sie neu – evtl. doppelt auftretende Punkte erhalten gleichen Index,

Resultat: Z : a = x0 < · · · < xN = b.

Eigenschaften von T [a, b]:

(a) 0 ∈ T [a, b] (0 = Nullfunktion, 0(x) = 0 ∀x ∈ [a, b]) ;

(b) ϕ ∈ T [a, b] , c ∈ R =⇒ cϕ ∈ T [a, b] ;

(c) ϕ,ψ ∈ T [a, b] =⇒ ϕ+ ψ ∈ T [a, b] .

Wiederholung: C[a, b] := {f : [a, b] −→ R|f stetig } .

- 77 -


Satz 1 Es gilt die Aussage:

∀f ∈ C[a, b] ∀ε > 0 ∃ϕ,ψ ∈ T [a, b] ∀x ∈ [a, b] :

ψ(x) − ϕ(x) ≤ ε ∧ ϕ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) .

10.2 Das Integral von Treppenfunktionen

Definition: Fur eine Treppenfunktion ϕ zur Zerlegung Z : a = x0 <

· · · < xN = b mit Werten

ck := ϕ

(1

2(xk + xk−1)

)

, k = 1, . . . , N ,

sei

SϕZ :=

N∑

k=1

ck(xk − xk−1) .

Lemma 2 Sei ϕ ∈ T [a, b] Treppenfunktion zu den Zerlegungen Z und Z ′.

Dann gilt SϕZ = SϕZ′.

D.h.: Der Wert SϕZ ist unabhangig von der gewahlten Zerlegung.

Definition: Sϕ := SϕZ =∑N

k=1 ck(xk − xk−1) heißt Integral von ϕ fur

eine Treppenfunktion ϕ und eine beliebige Zerlegung Z. Wir schreiben

∫ b

aϕ(x) dx := Sϕ .

Definition: Seien f, g : D −→ R .

f ≤ g :⇐⇒ f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ D .

Folgerung 3 Seien ϕ,ψ ∈ T [a, b] , c ∈ R. Dann gilt

(a)

∫ b

a(cϕ)(x) dx = c

∫ b

aϕ(x) dx ;

- 78 -


(b)

∫ b

a(ϕ+ ψ)(x) dx =

∫ b

aϕ(x) dx +

∫ b

aψ(x) dx ;

(c) Aus ϕ ≤ ψ folgt:

∫ b

aϕ(x) dx ≤

∫ b

aψ(x) dx .

10.3 Ober– und Unterintegrale

Bezeichnung: B[a, b] := {f : [a, b] −→ R|f beschrankt }

Es gilt

C[a, b] ⊂ B[a, b] und (o. E.) T [a, b] ⊂ B[a, b] .

Lemma 4 Seien f ∈ B[a, b] , α := infx∈[a,b] f(x) , β := supx∈[a,b] f(x) ,

ϕu : [a, b] 3 x 7→ α ∈ R ,

ϕo : [a, b] 3 x 7→ β ∈ R .

Dann gilt:

(a) ϕu ∈ Fu := {ϕ ∈ T [a, b]|ϕ ≤ f} ,ϕo ∈ Fo := {ψ ∈ T [a, b]|f ≤ ψ} .

(b) α(b− a) ≤∫ b

aψ(x) dx ∀ψ ∈ F0 ,

∫ b

aϕ(x) dx ≤ β(b− a) ∀ϕ ∈ Fu ,

∫ b

aϕ(x) dx ≤

∫ b

aψ(x) dx ∀ϕ ∈ Fu, ψ ∈ Fo .

Definitionen: (f ∈ B[a, b])

–∫ b

af(x) dx := inf

{∫ b

aψ(x) dx|ψ ∈ T [a, b] , f ≤ ψ

}

heißt oberes Integral (oder Oberintegral) von f ;

–

∫ b

af(x) dx := sup

{∫ b

aϕ(x) dx|ϕ ∈ T [a, b] , ϕ ≤ f

}

heißt unteres Integral (oder Unterintegral) von f .

- 79 -


Folgerung 5

–∫ b

aϕ(x) dx = –

∫ b

aϕ(x) dx ∀ϕ ∈ T [a, b] .

Beispiele:

1. f : [0, 1] 3 x 7→ x2 ∈ R ,

–

∫ 1

0f(x) dx = –

∫ 1

0f(x) dx =

1

3.

2.

f(x) :=

1 , x ∈ Q ∩ [0, 1] ,

−1 , x ∈ [0, 1] , x 6∈ Q ,

f ∈ B[0, 1] , –∫ 1

0f(x) dx = 1 , –

∫ 1

0f(x) dx = −1 .

Folgerung 6 Seien f, g ∈ B[a, b]. Es gelten folgende Rechenregeln:

(a) –∫ b

a(f + g)(x) dx ≤ –

∫ b

af(x) dx+ –

∫ b

ag(x) dx ;

(b) –

∫ b

a(f + g)(x) dx ≥ –

∫ b

af(x) dx+ –

∫ b

ag(x) dx ;

(c) –∫ b

a(cf)(x) dx = c–

∫ b

af(x) dx ∀c ∈ [0,∞) ;

(d) –

∫ b

a(cf)(x) dx = c–

∫ b

af(x) dx ∀c ∈ [0,∞) ;

(e) –∫ b

a(−f)(x) dx = −–

∫ b

af(x) dx , –

∫ b

a(−f)(x) dx = −–

∫ b

af(x) dx .

- 80 -


10.4 Riemann–Integrierbarkeit

Definition: f ∈ B[a, b] heißt Riemann–integrierbar genau dann, wenn

gilt:

–∫ b

af(x) dx = –

∫ b

af(x) dx .

Schreibweise/Bezeichnung:

∫ b

af(x) dx := –

∫ b

af(x) dx Riemann–Integral von f

”Riemann–“ wird im folgenden weggelassen.

Bezeichnungen: Sei f ∈ B[a, b] integrierbar.

∫ b

af(x) dx heißt Integral von f (uber [a, b]) ;

a heißt untere Grenze,

b heißt obere Grenze,

f heißt Integrand,

x heißt Integrationsvariable.

Folgerung 7 Jede Treppenfunktion ist integrierbar.

Beispiele:

1. f : [0, 1] 3 x 7→ x2 ∈ R ,

∫ 1

0f(x) dx =

1

3.

2. Das obige Beispiel 2 aus Abschnitt 10.3 ist nicht (Riemann–)integrierbar.

Satz 8 Sei f ∈ B[a, b]. Dann sind aquivalent:

(a) f ist integrierbar.

- 81 -


(b) ∀ε > 0 ∃ϕ,ψ ∈ T [a, b] : ϕ ≤ f , f ≤ ψ ,∫ b

aψ(x) dx −

∫ b

aϕ(x) dx ≤ ε .

Folgerung 9 Seien f, g ∈ B[a, b] integrierbar und c ∈ R. Dann gilt:

f + g, cf sind integrierbar und

∫ b

a(f + g)(x) dx =

∫ b

af(x) dx+

∫ b

ag(x) dx ,

∫ b

a(cf)(x) dx = c

∫ b

af(x) dx .

R[a, b] := {f ∈ B[a, b]|f integrierbar } ist ein Vektorraum uber R und das

Integral

∫ b

a. . . definiert eine lineare Abbbildung auf R[a, b].

Definitionen: Sei f : D −→ R ,

f+ : D 3 x 7→

f(x) , falls f(x) > 0 ,

0 , sonst;

f− : D 3 x 7→

−f(x) , falls f(x) < 0 ,

0 , sonst.

Bemerkung: Offenbar gilt

f = f+ − f− , |f | := abs ◦f = f+ + f− .

Satz 10 Seien f, g ∈ B[a, b] integrierbar. Dann gilt:

(a) f+, f− sind integrierbar.

(b) |f | ist integrierbar und

∣∣∣∣

∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣≤∫ b

a|f |(x) dx .

- 82 -


(c) Ist f ≤ g, so folgt:

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx.

Bemerkung: Fur Riemann–Integrierbarkeit folgt aus

(a) f ist integrierbar,

daß

(b) |f | ist integrierbar;

die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. In der Lebesgueschen Theorie wird

der Integralbegriff so eingefuhrt, daß (a) und (b) aquivalent sind.

10.5 Eine Auswahl integrierbarer Funktionen

Satz 11 C[a, b] ⊂ R[a, b] .

Satz 12 Ist f : [a, b] −→ R monoton, so ist f integrierbar.

Satz 13 Gilt f, g ∈ R[a, b], so gilt auch f · g ∈ R[a, b].

10.6 Weitere Aussagen uber Integrale

Satz 14 Sei f ∈ B[a, b] , c ∈ (a, b). Dann sind aquivalent:

(a) f ∈ R[a, b] .

(b) f |[a,c] ∈ R[a, c] ∧ f |[c,b] ∈ R[c, b] .

Ist (a) erfullt, so gilt

∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx+

∫ b

cf(x) dx .

- 83 -


Folgerung 15 Ist f ∈ R[a, b] , a ≤ a1 < b1 ≤ b , so gilt:

f ∈ R[a1, b1] .

Folgerung 16 Ist f : [a, b] −→ R stetig bis auf endlich viele Punkte in

[a, b], so gilt:

f ∈ R[a, b] .

Definitionen: Sei f : [a, b] −→ R , a ≤ b.

(a) Fur a = b :

∫ b

af(x) dx = 0 .

(b) Ist f ∈ R[a, b] :

∫ a

bf(x) dx = −

∫ b

af(x) dx .

Folgerung 17 Seien f ∈ R[a, b] , a1, b1, c1 ∈ [a, b]. Dann gilt:

∫ b1

a1

f(x) dx+

∫ c1

b1

f(x) dx+

∫ a1

c1

f(x) dx = 0 .

Folgerung 18 Seien f, g : [a, b] −→ R stetig bis auf endlich viele Punkte

xi , 1 ≤ i ≤ ` , und f(x) = g(x) ∀x ∈ [a, b] \ {x1, . . . , x`} . Dann gilt

∫ b

af(x) dx =

∫ b

ag(x) dx .

Bemerkung: Es gilt die weitergehende Aussage in Heuser 1 [Heu02], Satz

79.6, S. 454.

- 84 -


11 Integration und Differentiation

11.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung

Satz 1 (Mittelwertsatz)

Sei f ∈ C[a, b] , g ∈ R[a, b] , g ≥ 0. Dann gilt f · g ∈ R[a, b], und es gibt ein

ξ ∈ [a, b] mit∫ b

a(f · g)(x) dx = f(ξ)

∫ b

ag(x) dx .

Folgerung 2 Ist f ∈ C[a, b], so gibt es ξ ∈ [a, b] mit∫ b

af(x) dx = f(ξ)(b− a) .

Definitionen:

1. Ist Z : a = x0 < . . . < xN = b eine Zerlegung von [a, b], so heißt

∆Z := max1≤k≤N

(xk − xk−1)

die Feinheit (oder das Feinheitsmaß) von Z.

2. Seien f : [a, b] −→ R , Z : a = x0 < . . . < xN = b, ξk ∈ [xk−1, xk] , k =

1, . . . , N . Die Zahl

SZ :=N∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1)

heißt die Riemannsche Summe von f (zur Zerlegung Z mit Stutzstellen

ξ1, . . . , ξN ).

Satz 3 Seien f ∈ C[a, b] , (Zn)n∈N eine Folge von Zerlegungen von [a, b]

und (SZn)n∈N eine zugehorige Folge von Riemannschen Summen. Gilt

limn

∆Zn = 0 ,

- 85 -


so folgt

limnSZn =

∫ b

af(x) dx .

Beispiel: Berechnung von

∫ a

1

1

xdx fur a > 1.

Wahle x(n)k := a

kn , k = 0, . . . , n , Zn : x

(n)0 < . . . < x

(n)n , und ξ

(n)k :=

x(n)k−1 , k = 1, . . . , n. Dann

SZn = n(

a1n − 1

)

, limn

∆Zn = 0 ,

∫ a

1

1

xdx = lim

nSZn = ln a .

Numerische Integration (zur numerischen Approximation von Integra-

len) durch geschickte Wahl der Stutzstellen in den Riemannschen Summen:

Sei f ∈ R[a, b] , N ∈ N, h :=b− aN

(Schrittweite), xk := a + kh , k =

0, . . . , N ,

Z : a = x0 < x1 < · · · < xN = b aquidistante Zerlegung .

Rechteckregel: ξk := xk , k = 1, . . . , N ,

∫ b

af(x) dx ≈ h

N∑

k=1

f(xk) .

Mittelpunktregel (oder Tangententrapezformel ): ξk :=1

2(xk + xk−1) , k = 1, . . . , N ,

∫ b

af(x) dx ≈ h

N∑

k=1

f

(xk + xk−1

2

)

.

11.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Definition: Sei f : D −→ R. Eine Funktion F : D −→ R heißt Stamm-

funktion von f genau dann, wenn gilt:

F ist differenzierbar, F ′(x) = f(x) ∀x ∈ D .

- 86 -


Folgerung 4 Sei f : [a, b] −→ R , F Stammfunktion von f . Dann sind fur

G : [a, b] −→ R aquivalent:

(a) G ist Stammfunktion von f .

(b) ∃γ ∈ R ∀x ∈ [a, b] : G(x) = F (x) + γ .

Definition: Sei f ∈ R[a, b] , c ∈ [a, b]. Die Funktion

[a, b] 3 x 7→∫ x

cf(t) dt ∈ R

heißt ein unbestimmtes Integral von f .

Lemma 5 Sei f ∈ C[a, b]. Dann ist jedes unbestimmte Integral eine Stamm-

funktion.

Satz 6 (Hauptsatz) Sei f ∈ C[a, b], F Stammfunktion von f . Dann gilt

∫ b1

a1

f(t) dt = F (b1)− F (a1) ∀a1, b1 ∈ [a, b] , a1 ≤ b1 .

Bemerkung: Die Flache unter dem Graph einer stetigen Funktion laßt

sich bei Kenntnis einer Stammfunktion mit Satz 6 sofort berechnen.

Bezeichnung:

∫

f(t) dt

stellt ein Symbol fur die Gesamtheit der Stammfunktionen dar.

Schreibweise:

F (b)− F (a) =: F (x)|ba

Beispiele:

- 87 -


1. f : [0, 1] 3 t −→ t2 ∈ R , Stammfunktion: F (x) =1

3x3, x ∈ [0, 1] .

2. F (x) =1

αeαx , x ∈ R , ist Stammfunktion von eαt. Also

∫ a

0eαt dt =

1

α(eαa − 1) .

3. F (x) = ln x , x > 0 , ist Stammfunktion von1

x. Also

∫ a

1

1

tdt = ln a− ln 1 = ln a .

11.3 Substitutionsregel

Satz 7 (Substitutionsregel)

Seien f ∈ C[a, b] , g ∈ C[α, β], und es gelte:

i. g ist stetig differenzierbar,

ii. g([α, β]) ⊂ [a, b] .

Dann gilt:

∫ g(β)

g(α)f(t) dt =

∫ β

αf(g(y))g′(y) dy .

Beispiele:

1. Berechne

∫ β

α(c+ dy)ndy , α, β ∈ R , d 6= 0 , n ∈ N.

Setze g(y) := c+ dy , y ∈ R , f(t) = tn , t ∈ R. Dann folgt

∫ β

α(c+ dy)n dy =

1

d(n+ 1)(c+ dy)n+1

∣∣∣∣

y=β

y=α

.

- 88 -


2. Berechne

∫ d

c

√

1− x2 dx fur −1 ≤ c < d ≤ 1 .

Substitution: x = sin(y) , y ∈ [a, b] , a := arcsin(c) , b := arcsin(d).

Dann folgt

∫ d

c

√

1− x2 dx =1

2

(

d√

1− d2 − c√

1− c2)

+1

2(arcsin(d)− arcsin(c)) .

Speziell (wegenπ

2= arcsin(1) = − arcsin(−1)):

∫ 1

−1

√

1− x2 dx =π

2.

11.4 Partielle Integration

Satz 8 Seien f, g ∈ [a, b] −→ R stetig differenzierbar. Dann gilt:

∫ b

af(x)g′(x) dx = f(x)g(x)|ba −

∫ b

af ′(x)g(x) dx .

Beispiel: 1) Ia,b(p) :=

∫ b

atpe−t dt fur 0 < a 0 ;

Es gilt Ia,b(p) = −bpe−b + ape−a + p Ia,b(p− 1).

Definiert man I(p) := limb→∞

(

lima→0Ia,b(p)

)

, dann existieren die Limites

und es gilt I(n) = n!

(Wir schreiben:

∫ ∞

0tne−t dt = n! ; dies ist ein

”uneigentliches Integral“)

Definition: Uneigentliches Integral

Sei −∞ < a < b ≤ ∞, f ∈ R[a, β] ∀β ∈ [a, b]. Ist b = ∞ oder f in [a, b]

nicht beschrankt, dann heißt

∫ b

af(t) dt

- 89 -


uneigentliches Integral bei b. Falls

limβ→b

∫ β

af(t) dt

existiert, heißt das uneigentliche Integral konvergent ; der Wert des uneigent-

lichen Integral ist

∫ b

af(t) dt := lim

β→b

β∫

a

f(t) dt;

andernfalls heißt

∫ b

af(t) dt divergent.

Bemerkung: Man erklart uneigentliche Integrale an der unteren Grenze

uber

∫ b

a. . . = −

∫ a

b. . .

Beispiele:

2)

∫ ∞

0e−t dt = lim

β→∞

∫ β

0e−t dt = 1

3)

∫ 1

0

1

tdt = lim

β→0

∫ 1

β

1

tdt =∞ divergent!

4)

∫ ∞

0tp−1e−t dt ist konvergent (s. Beispiel 1)

Die Abbildung

d: (0,∞) 3 p 7→∫ ∞

0tp−1e−1 dt ∈ R

heißt Eulersche Gammafunktion.

- 90 -


11.5 Das Taylorsche Restglied in Integralform

Satz 9 Sei f : [a, b] −→ R n + 1-mal stetig differenzierbar, und sei x0 ∈[a, b]. Dann gilt fur x ∈ [a, b] :

f(x) =n∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k +1

n!

∫ x

x0

(x− t)nf (n+1)(t) dt .

Bezeichnung:

Rn(x) :=1

n!

∫ x

x0

(x− t)nf (n+1)(t) dt

heißt Restglied der Taylorentwicklung in Integralform.

11.6 Integrationsrezepte

Wiederholung:∫

xα dx =1

α+ 1xα+1

∫

cos x dx = sinx ,

∫

sinx dx = − cos x∫

eαx dx =1

αeαx ,

∫1

xdx = ln x

∫1

1 + t2dt = arctan(t)

Zu rationalen Funktionen, d. h. Funktionen der Formp

q, wobei p, q Polyno-

me, sind Stammfunktionen stets angebbar. Furp

qerreicht man durch Divi-

sion mit Rest (Euklidischer Algorithmus), daß fur die zu betrachtenden Po-

lynome der Grad von p kleiner als der von q ist. Nach dem Fundamentalsatz

der Algebra laßt sich das Polynom q schreiben als Produkt von Polynomen

ersten und zweiten Grades,

q(x) =m∏

j=1

(Ajx+Bj)sj

∏

k=1

(Akx2 + 2Bkx+ Ck)

rk .

- 91 -


Macht man nun furp

qden Ansatz

p(x)

q(x)=

m∑

j=1

sj∑

`=1

α`(Ajx+Bj)`

+∑

k=1

rk∑

i=1

(βi

(Akx2 + 2Bkx+ Ck)i+

γix

(Akx2 + 2Bkx+ Ck)i

)

,

dann lassen sich die Koeffizienten α`, βi, γi durch Koeffizientenvergleich be-

stimmen. (Dieses Verfahren der Zerlegung vonp

qin einfache Funktionen

heißt Partialbruchzerlegung .)

Beispiele:

1.x2 − 2x+ 1

x+ 1= x− 3 +

4

x+ 1.

2.x2 − x+ 1

x3 − x2 + 2x− 2=

α

x− 1+

β

x2 + 2+

γx

x2 + 2,

da fur das Nennerpolynom gilt x3−x2+2x−2 = (x−1)(x2+2); Ausmul-

tiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert: α =1

3, β = −1

3, γ =

2

3.

Der obige Ansatz zeigt, daß es fur rationale Funktionen genugt, die Stamm-

funktionen der folgenden Funktionen zu kennen:

Typ 1: 1

(Ax+B)k, A 6= 0 , k ≥ 1 ;

Typ 2: 1

(Ax2 + 2Bx+ C)k, A 6= 0 , k ≥ 1 ; D := AC −B2 > 0 ;

Typ 3: x

(Ax2 + 2Bx+ C)k, A 6= 0 , k ≥ 1 ; D := AC −B2 > 0 ;

- 92 -


zu Typ 1: Substitution t = Ax+B (i. e. x = A−1(t−B)),∫

dx

(Ax+B)k=

1

A

∫dt

tk;

zu Typ 2: Substitution x = A−1(√D t−B) ,

∫dx

(Ax2 + 2Bx+ C)k=

Ak−1

Dk− 12

∫dt

(t2 + 1)k;

die Stammfunktion von (t2 + 1)−k laßt sich rekursiv berechnen:

k = 1 :

∫dt

t2 + 1= arctan(t)

k + 1 :

∫dt

(t2 + 1)k+1=

1

2k

t

(t2 + 1)k+

2k − 1

2k

∫dt

(t2 + 1)k

zu Typ 3:

∫x dx

(Ax2 + 2Bx+ C)k=

1

2A

∫2Ax+ 2B

(Ax2 + 2Bx+ C)kdx

− B

A

∫dx

(Ax2 + 2Bx+ C)k

2. Integral: Typ 2.

1. Integral: g(x) := Ax2 + 2Bx+ C

∫2Ax+ 2B

(Ax2 + 2Bx+ C)kdx =

∫g′(x)g(x)k

dx =

ln g , k = 11

−k + 1g−k+1 , k > 1

.

Beispiel:∫

x

x2 + x+ 1dx =

1

2

∫2x+ 1

x2 + x+ 1dx− 1

2

∫dx

x2 + x+ 1,

wobei∫

2x+ 1

x2 + x+ 1dx = ln(x2 + x+ 1) ,

∫dx

x2 + x+ 1=

2√3

∫dt

t2 + 1=

2√3

arctan

(2√3(x+

1

2)

)

.

- 93 -


12 Reihen von Funktionen

12.1 Gleichmaßige Konvergenz

Definitionen: Sei fn : D ⊂ R→ R , n ∈ N, eine Folge von Funktionen.

(a) (fn)n∈N konvergiert auf D punktweise gegen f : D → R, wenn gilt:

∀x ∈ D ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |fn(x)− f(x)| < ε .

(b) (fn)n∈N konvergiert auf D gleichmaßig gegen f : D → R, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ X ∀n ≥ N : |fn(x)− f(x)| < ε .

Beispiele:

1.

fn(x) = xn , n ∈ N , D = [0, 1] , f(x) = limnfn(x) =

1 , x = 1 ,

0 , 0 ≤ x < 1 ;

(fn)n konvergiert punktweise aber nicht gleichmaßig gegen f auf D.

Fur jedes Intervall [0, d] , d < 1, konvergiert (fn)n gleichmaßig gegen

die Nullfunktion.

2. Sei

φ(x) =

x , 0 ≤ x ≤ 1

2,

1− x ,1

2≤ x ≤ 1 ,

0 , sonst

und fn(x) = φ(nx) , x ∈ R , n = 1, 2, 3, . . . Es gilt limnfn(x) = 0

punktweise aber nicht gleichmaßig.

- 94 -


Satz 1 (Cauchy–Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz)

Eine Folge von Funktionen fn : D ⊂ R→ R , n ∈ N, konvergiert d. u. n. d.

gleichmaßig auf D gegen f : D → R, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m,n ≥ N ∀x ∈ D : |fn(x)− fm(x)| < ε .

Satz 2 Die Folge fn : D ⊂ R → R , n ∈ N, konvergiere gleichmaßig auf D

gegen f : D → R und alle fn , n ∈ N, seien stetig in x0 ∈ D. Dann ist f

stetig in x0.

Folgerung 3 (Vertauschung von Grenzprozessen)

Die Folge (fn) konvergiere gleichmaßig auf D. Wenn die Limites limx→ξ

fn(x) , n ∈N , (ξ = ±∞ zugelassen) existieren, dann existieren auch die folgenden Li-

mites, und es ist

limn

(

limx→ξ

fn(x)

)

= limx→ξ

(

limnfn(x)

)

.

12.2 Gleichmaßige Konvergenz von Reihen

∑∞k=0 fk(x) heißt (Funktionen–)Reihe, fk : D ⊂ R→ R , k ∈ N0 := {0}∪N.

Beispiele:

1. Geometrische Reihe

∞∑

k=0

xk =1

1− x fur |x| < 1 .

2. Sei fk(x) = xk − xk−1 , k ∈ N , f0 = 1 ,

- 95 -


sn(x) :=n∑

k=0

fk(x) = xn , x ∈ [0, 1] , n ∈ N ,

=⇒ limnsn(x) = lim

n

n∑

k=0

fk(x) =∞∑

k=0

fk(x) =

1 , x = 1

0 , 0 ≤ x < 1 .

Die Konvergenz ist nicht gleichmaßig.

Definition: Eine Reihe∑∞

k=0 fk heißt gleichmaßig konvergent auf D,

wenn die Partialsummen sn :=∑n

k=0 fk auf D gleichmaßig konvergieren.

Der (gleichmaßige) Limes F erfullt dann:

∀ε > 0 ∃N ∈ N0 ∀n ≥ N ∀x ∈ D : |F (x)− sn(x)| < ε .

Wir schreiben

F (x) :=

∞∑

k=0

fn(x) ;

fur den Limes bzw. die Summe; weiter heißen rn := F−sn =∑∞

k=n+1 fk , n ∈N , die Reste.

Satz 4 (Cauchy–Kriterium fur Reihen)

Die Reihe∑∞

k=0 fk konvergiert gleichmaßig auf D d. u. n. d. wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N0 ∀n, m ≥ N ∀x ∈ D : |(sn − sm)(x)| < ε .

Bemerkung: (sn − sm)(x) =∑n

k=m+1 fk(x) falls n > m.

Satz 5 (Weierstraß’sches Majoratenkriterium)

Es gelte |fk(x)| ≤ ak ∀x ∈ D , k ∈ N. Ist die Reihe∑∞

k=0 ak konvergent, so

ist die Reihe∑∞

k=0 fk (absolut und) gleichmaßig konvergent auf D.

- 96 -


Bezeichnung:∑

k ak heißt konvergente Majorante fur∑

k fk.

Satz 6 Die Reihe∑∞

k=0 fk sei gleichmaßig konvergent in D. Sind die Funk-

tionen fk : D ⊂ R → R an der Stelle x0 ∈ D stetig fur (fast) alle k ∈ N0,

dann ist auch die Summe F stetig bei x0.

Folgerung 7 (Vertauschungssatz)

Die Reihe∑∞

k=0 fk(x) sei gleichmaßig konvergent auf D und limx→ξ

fk(x) exi-

stiere fur alle k ∈ N0 (ξ = ±∞ zugelassen). Dann existieren auch die

folgenden Limites, und es gilt

∞∑

k=0

(

limx→ξ

fk(x)

)

= limx→ξ

( ∞∑

k=0

fk(x)

)

.

12.3 Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit von Funktionenrei-

hen

Fur eine konvergente Reihe F (x) =∑∞

k=0 fk(x) stellt sich die Frage, ob und

wann diese gliedweise integriert bzw. differenziert werden darf, also ob

∫ b

aF (x) dx

?=

∞∑

k=0

∫ b

afk(x) dx ,

F ′ ?=

∞∑

k=0

f ′k(x) .

Beispiel:

1. Sei sn(x) =∑n

k=0 fk(x) so, daß sn(x) = nxe−n2x2

. Dann ist

limn→∞

sn(x) = 0 := F (x) (punktweise) ,

und

∫ R

0sn(x) dx = −e−n

2x2∣∣∣

R

0= 1− e−n

2R2 ≥ 1

2,

- 97 -


falls R : 2 ≤ eR/2 und n ≥ 2. Also ist dann

∫ R

0sn(x) dx ≥

1

26= 0 =

∫ R

0limksk(x) dx .

Bemerkung: Die Konvergenz einer Reihe reicht also nicht aus fur die

gliedweise Integration.

Satz 8 Sei F =∑∞

k=0 fk eine auf D := (a, b) ⊂ R gleichmaßig konvergente

Reihe integrierbarer Funktionen, dann ist auch F integrierbar und

∫ b

aF (x) dx =

∞∑

k=0

∫ b

afk(x) dx .

Beispiel:

2. Sei sn =∑n

k=1 fk so, daß sn(x) =1

nsin(n2x). Dann gilt lim

nsn(x) =

0 =: F (x) gleichmaßig (da∑∞

k=1 ak mit Partialsumme sn =1

neine

konvergente Majorante). Wegen s′n(x) = n cos(n2x) −→ ∞(n → ∞)

z. B. fur x = 1, ist

(

limnsn

)′(x) = 0 6= lim

ns′n(x) .

Bemerkung: Fur die gliedweise Differentiation reicht es nicht aus, daß

die Reihe selbst gleichmaßig konvergent ist.

Satz 9 Entsteht aus einer in D ⊂ R konvergenten Reihe F (x) =∑∞

k=0 fk(x)

durch gliedweise Differentiation eine gleichmaßig konvergente Reihe F ∗ =∑∞

k=0 f′k mit stetigen Funktionen f ′

k, dann ist F ∗ = F ′.

- 98 -


12.4 Potenzreihen

Eine Reihe der Form

∞∑

n=0

anxn oder

∞∑

n=0

an(x− x0)n

heißt Potenzreihe; die Zahlen an nennt man ihre Koeffizienten, x0 den Ent-

wicklungspunkt.

Fragen: Konvergenz der Potenzreihe?

Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe?

Satz 10 (Cauchy–Hadamard). Jede Potenzreihe∑∞

n=0 anxn besitzt einen

Konvergenzradius r in 0 ≤ r ≤ ∞ mit der Eigenschaft, daß die Reihe fur

|x| < r absolut konvergent und fur |x| > r divergent ist. Der Konvergenzra-

dius hangt nur von |an| ab und berechnet sich nach der Formel

r =1

lim supn∈N

n√

|an|

(hierbei ist1

0=∞ und

1

∞ = 0 zu setzen).

Bemerkungen:

1. Jeder Konvergenzradius kommt vor.

Beispiele:∞∑

n=0

(x

r0

)n

konvergiert fur |x| < |r0| ;∞∑

n=0

xn

n!hat Konvergenzradius r =∞ .

2. Bei Potenzreihen∑

n an(x−x0)n um einen Entwicklungspunkt x0 gilt

die Konvergenz fur x : |x − x0| < r mit dem Konvergenzradius r aus

Satz 10.

- 99 -


3. Uber das Verhalten bei x : |x| = r kann man im allgemeinen nichts

sagen.

Satz 11 Sind die Koeffizienten aneiner Potenzreihe∑

n anxn fur fast alle n

von Null verschieden, dann laßt sich der Konvergenzradius auch berechnen

durch

r = limn

∣∣∣∣

anan+1

∣∣∣∣

vorausgesetzt, dieser Limes existiert.

Satz 12 Eine Potenzreihe konvergiert gleichmaßig in jedem abgeschlosse-

nen Intervall

|x| ≤ s mit s < r (= Konvergenzradius).

Korollar 13 Eine durch eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0 dar-

gestellte Funktion

f(x) =

∞∑

n=0

anxn

ist fur |x| < r stetig; insbesondere ist limx→0

f(x) = f(0) = a0.

Satz 14 Sei f(x) =∑∞

n=0 an(x − x0)n eine Potenzreihe mit Konvergenz-

radius r > 0. Fur |x − x0| < r darf die Reihe gliedweise integriert und

differenziert werden,

∫

f(x) dx =∞∑

n=0

ann+ 1

(x−x0)n+1 , f ′(x) =

∞∑

n=1

nan(x−x0)n−1 , |x| < r .

Die Potenzreihe stellt fur |x| < r eine beliebig oft differenzierbare Funktion

dar; fur die Ableitungen gilt

f (n)(x0) = n! an , n ∈ N0 .

- 100 -


Satz 15 (Identitatssatz fur Potenzreihen). Wenn die Potenzreihen

f(x) =

∞∑

n=0

an(x− x0)n , g(x) =

∞∑

n=0

bn(x− x0)n

fur |x − x0| < r , r > 0, konvergieren und f(x) = g(x) fur alle x ∈ (x0 −r , x0 + r) gilt, so ist

an = bn , n = 0, 1, 2, . . .

Bemerkungen:

1. Wenn eine Funktion uberhaupt durch eine Potenzreihe darstellbar ist,

so muß dies die Taylorreihe sein (s. auch Satz 16).

2. Sei f(x) =∑∞

n=0 anxn. Ist f gerade, d. h. f(x) = f(−x), dann muß

a1 = a3 = · · · = a2n+1 = 0 , n = 0, 1, . . . , sein; ist f ungerade, d. h.

f(x) = −f(−x), dann muß a2n = 0 , n = 0, 1, 2, . . . , sein.

3. Summe und Produkt von Potenzreihen: Seien

f(x) =

∞∑

n=0

anxn , g(x) =

∞∑

n=0

bnxn

mit positiven Konvergenzradien ra bzw. rb. Dann ist

f(x)± g(x) =

∞∑

n=0

(an ± bn)xn , |x| < min(ra, rb) ,

f(x) · g(x) =∞∑

n=0

(n∑

m=0

anbn−m

)

xn, |x| < min(ra, rb) (”Cauchy–Produkt“) .

Satz 16 (Entwicklung in die Taylorreihe). Es sei f : [a, b] ⊂ R → R eine

beliebig oft differenzierbare Funktion, und es existiere ein M ∈ R mit

|f (n)(x)| ≤M ∀x ∈ [a, b] ∀n ∈ N .

- 101 -


Dann gilt fur beliebiges x0 ∈ [a, b]: Die Taylorreihe

∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n

konvergiert fur alle x ∈ [a, b], und es ist

f(x) =

∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n , x ∈ [a, b] .

Beispiele:

1.

1

1− x =

∞∑

n=0

xn |x| < 1 ;

2.

ex =

∞∑

n=0

xn

n!, x ∈ R ;

3.

ln (1 + x) =

∞∑

n=1

(−1)n−1xn

n, |x| < 1 ;

4.

sinx =∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!, x ∈ R ;

5.

cos x =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!, x ∈ R ;

6.

arctan x =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1, |x| < 1 ;

- 102 -


7. (vgl. Beispiel 2 in Abschnitt 11.3)

f(x) =

exp

(

− 1

x2

)

, x 6= 0

0 , x = 0

ist unendlich oft differenzierbar; die Taylorreihe im Entwicklungspunkt

x0 = 0 ist identisch Null, stellt also f nicht dar.

Definition: Eine Funktion f : D ⊂ R → R heißt analytisch, wenn f

beliebig oft differenzierbar ist und fur jedes x0 ∈ D gilt: Die Taylorreihe von

f um x0 konvergiert in einer Umgebung von x0 und stellt f dort dar.

13 Metrische und topologische Raume

13.1 Metrische Raume

Definition: Sei X eine Menge, X 6= ∅. Eine Abbildung

d : X ×X −→ [0,∞)

heißt eine Metrik (Abstandsfunktion) auf X, wenn gilt:

i. d(x, y) = 0⇐⇒ x = y (Definitheit)

ii. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X (Symmetrie)

iii. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X (Dreiecksungleichung)

Das Tupel (X, d) heißt dann ein metrischer Raum.

Beispiele:

1. Sei X := R oder X eine Teilmenge von R. Der Absolutbetrag (auf R)

definiert eine Metrik

d(x, y) := |x− y| , x, y ∈ X .

- 103 -


2. Sei X = Rm oder X eine Teilmenge von Rm ,

dp(x, y) :=

∑mj=1 |xj − yj| p = 1

(∑m

j=1 |xj − yj|p)1/p

1 < p <∞

max1≤j≤m

|xj − yj| p =∞

x = (x1, . . . , xm) , y = (y1, . . . , ym) ∈ X; (X, dp) ist fur jedes p ∈ [1,∞]

ein metrischer Raum.

3. Sei X beliebige Menge. Durch

d(x, y) :=

1 , x 6= y

0 , x = y

ist eine Metrik auf X definiert. Sie heißt diskrete Metrik.

Satz 1 Sei (X, d) ein metrischer Raum,

(a) Ist f : [0,∞)→ [0,∞) zweimal stetig differenzierbar mit

f(0) = 0 , f ′(s) > 0 , f ′′(s) ≤ 0 ∀s ∈ (0,∞) ,

so wird durch

d(x, y) := f(d(x, y)) , x, y ∈ X ,

eine Metrik d auf X definiert.

(b) Durch

d(x, y) :=d(x, y)

1 + d(x, y), x, y ∈ X ,

wird eine Metrik auf X erklart.

- 104 -


13.2 Topologie

Definition: Sei X eine Menge, X 6= ∅. Eine Topologie T auf X ist eine

Familie von Teilmengen von X mit den Eigenschaften

(a) ∅ ∈ T , X ∈ T ;

(b) X1, X2 ∈ T =⇒ X1 ∩X2 ∈ T ;

(c) Xi ∈ T , i ∈ I (I beliebige Indexmenge)

=⇒⋃

i∈IXi ∈ T

Bezeichnung: Die Mengen aus T heißen offene Mengen; das Tupel (X, T )

heißt topologischer Raum. Wir sagen, X sei mit der Topologie T versehen.

Definition: Sei (X, d) metrischer Raum.

K(x, ε) := Kd(x, ε) := {y ∈ X | d(x, y) < ε} ,

K(x, ε) := Kd(x, ε) := {y ∈ X | d(x, y) ≤ ε} ,

heißen die offenen bzw. abgeschlossenen Kugeln um x mit Radius ε. Die

Topologie Td auf X

A ∈ Td :⇐⇒ ∀x ∈ A ∃ε > 0 : Kd(x, ε) ⊂ A

heißt die durch d erzeugte Topologie.

Lemma 2 Sei (X, d) metrischer Raum und sei Td die durch d auf X er-

zeugte Topologie.

Es gilt:

(a) A ∈ Td ⇐⇒ ∀x ∈ A ∃ε > 0 : Kd(x, ε) ⊂ A ;

- 105 -


(b) Kd(x, ε) ∈ Td ∀(x, ε) ∈ X × (0,∞) .

Definition: Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊂ X

heißt abgeschlossen (bzgl. der Topologie T ) genau dann, wenn X \ A offen

ist, d. h. wenn gilt: X \A ∈ T .

Folgerung 3 Sei (X, d) metrischer Raum. Dann sind die Kugeln

Kd(x, ε) , Kd(x, ε) mit (x, ε) ∈ X × (0,∞)

offen bzw. abgeschlossen.

Bemerkung: In einem topologischen Raum (X, T ) sind ∅, X stets offen

und abgeschlossen.

Definition: Sei X eine Menge, X 6= ∅, und seien d, d Metriken auf X.

Diese Metriken d, d heißen aquivalent, wenn gilt: Td = Td.

Folgerung 4

(a) Sei (X, d) metrischer Raum und sei f : [0,∞)→ [0,∞) mit

f(0) = 0 , f ′(s) > 0 , f ′′(s) ≤ 0 ∀s ∈ (0,∞) .

Dann ist die Metrik d, definiert durch

d(x, y) := f(d (x, y)) , x, y ∈ X ,

aquivalent zu d , d. h. d, d sind aquivalent.

(b) Die Metriken dp , 1 ≤ p ≤ ∞, auf Rm sind paarweise aquivalent.

- 106 -


Definition: Sei (X, T ) ein topologischer Raum, x ∈ X. Eine Teilmenge

U ⊂ X heißt Umgebung von x, wenn es eine offene Menge A ⊂ X (A ∈ T !)

gibt mit:

x ∈ A ⊂ U .

Bezeichnung: Menge der Umgebungen U(x)

Satz 5 Sei (X, T ) ein topologischer Raum, A ⊂ X. Es sind aquivalent:

(a) A ist offen, d. h. A ∈ T .

(b) ∀x ∈ A : A ∈ U(x) .

Definition: Der topologische Raum (X, T ) heißt separiert oder Haus-

dorffsch, wenn gilt:

∀x, y ∈ X, x 6= y ∃U ∈ U(x) ∃V ∈ U(y) : U ∩ V = ∅ .

Folgerung 6 Jeder metrische Raum (X, d) ist Hausdorffsch.

Lemma 7 Sei (X, T ) topologischer Raum, Y ⊂ X , Y 6= ∅. Dann ist

TY := {B ⊂ Y | ∃A ∈ T : B = Y ∩A}

eine Topologie auf Y .

Definition: Sei (X, T ) topologischer Raum, Y ⊂ X. Dann heißt die

Topologie TY (siehe Lemma 7) die durch T auf Y induzierte Topologie.

Definition: Sind T1 und T2 Topologien auf der Menge X, so heißt T1

feiner als T2 (oder T2 grober als T1), wenn gilt: T1 ⊃ T2.

Bemerkung:

- 107 -


– Die feinste Topologie Tf besteht aus allen Teilmengen von X, d. h.

Tf = P (X)

(= Potenzmenge).

– Die grobste Topologie Tg besteht nur aus ∅ und X.

13.3 Stetige Abbildungen

Definition: Seien (X, Tx) und (Y, TY ) topologische Raume und sei f :

X → Y eine Abbildung.

(a) f heißt stetig in x ∈ X, wenn gilt:

∀V ∈ U(f(x)) ∃U ∈ U(x) : f(U) ⊂ V ;

(b) f heißt stetig, wenn f stetig in jedem x ∈ X ist.

Satz 8 Seien (X, TX) , (Y, TY ) topologische Raume, f : X → Y . Es sind

aquivalent:

(a) f ist stetig.

(b) f−1(B) ∈ TX ∀B ∈ TY .

- 108 -


Bemerkungen:

1. Offensichtlich ist eine Topologie T1 auf X genau dann feiner als eine

Topologie T2 auf X, wenn id : X → X stetig ist, wobei der Urbildbe-

reich mit T1 und der Bildbereich mit T2 versehen ist.

2. Die induzierte Topologie TA auf A, A ⊂ X und (X, T ) topologischer

Raum, ist die grobste Topologie, fur die die Einbettung

ι : A 3 x 7→ x ∈ X

stetig ist.

Definition: Sei (X, T ) ein topologischer Raum.

Eine Folge (xn)n∈N in X konvergiert gegen x, wenn gilt:

∀U ∈ U(x) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : xn ∈ U .

Wir schreiben: xn −→ x , xn −→ x in T , oder xnT−→x.

Definition: Seien (X, TX) und (Y, TY ) topologische Raume, sei f : X →Y , x ∈ X.

f heißt folgenstetig in x, wenn gilt:

xn −→ x in TX =⇒ f(xn) −→ f(x) in TY .

Folgerung 9 Seien (X, TX) , (Y, TY ) topologische Raume und sei f : X →Y stetig in x ∈ X, so ist f folgenstetig in x.

Folgerung 10 Sei (X, d) metrischer Raum, sei (Y, TY ) topologischer Raum,

und sei f : X → Y folgenstetig in x ∈ X. Dann ist f stetig in x.

- 109 -


Folgerung 11 Seien (X, d) , (Y, d) metrische Raume und sei f : X → Y .

Es sind aquivalent:

(a) f ist stetig.

(b) ∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ X : d(x, y) < δ =⇒ d(f(x), f(y)) <

ε .

(c) ∀(xn)n∈N : d(xn, x) −→ 0 =⇒ d(f(xn), f(x)) −→ 0 .

Satz 12 Sei (X, d) metrischer Raum, y ∈ X , A ⊂ X. Dann sind die Funk-

tionen

fy : X 3 x 7→ d(x, y) ∈ R ,

fA : X 3 x 7→ inf{d(x, z) | z ∈ A} ∈ R ,

stetig.

Definition: Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X. Die Abbildung

X 3 x 7→ inf{d(x, z) | z ∈ A}

heißt Distanzfunktion zu A; und wir schreiben dafur dist(., A), d. h.

dist(x,A) := inf{d(x, z) | z ∈ A} , x ∈ X .

13.4 Abgeschlossene Mengen

Definition: Sei (X, T ) topologischer Raum, A ⊂ X.

cl(A) :=⋂

{B|A ⊂ B , B abgeschlossen}

Abgeschlossene Hulle vonA ;

int(A) :=⋃

{B|B ⊂ A , B offen}

Offener Kern von A .

- 110 -


Folgerung 13 Sei (X, T ) topologischer Raum, A ⊂ X. Dann gilt:

(a) cl (A) ist abgeschlossen;

(b) int (A) ist offen.

Satz 14 Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X.

(a) A ist abgeschlossen genau dann, wenn gilt: ∀x ∈ X ∀xn ∈ A , n ∈ N :

xn → x =⇒ x ∈ A.

(b) cl (A) = {x ∈ X | ∃(xn)n∈N mit: xn ∈ A ∀n ∈ N , xn → x}.

Folgerung 15 In einem metrischen Raum (X, d) ist Kd(x, ε) stets abge-

schlossen.

13.5 Kompakte Mengen

Definition: Ein topologischer Raum (X, T ) heißt kompakt, wenn gilt:

i. (X, T ) ist Hausdorffsch.

ii. X =⋃

i∈IXi , Xi ∈ T ∀i ∈ I =⇒

=⇒ ∃m ∈ N ∃i1, . . . , im ∈ I : X =

m⋃

j=1

Xij .

(Jede offene Uberdeckung enthalt eine endliche Uberdeckung.)

Definitionen: Sei (X, T ) topologischer Raum, A ⊂ X.

1. A heißt kompakt, wenn (A, TA) kompakt ist, wobei TA die durch T auf

A induzierte Topologie ist.

- 111 -


2. A heißt relativ kompakt, wenn cl (A) kompakt ist.

Satz 16 Seien (X, TX) und (Y, TY ) Hausdorffsche topologische Raume. Ist

(X, TX) kompakt und f : X → Y stetig, so ist f(X) kompakt.

Satz 17 Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kom-

pakt.

Definition:

1. Ein topologischer Raum (X, T ) heißt folgenkompakt, wenn jede Folge

(xn)n∈N in X eine in X konvergente Teilfolge enthalt.

2. Eine Teilmenge A ⊂ X des metrischen Raumes (X, d) heißt total be-

schrankt, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃m ∈ N ∃x1, . . . , xm ∈ X : A ⊂m⋃

j=1

Kd(xj , ε) .

Satz 18 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Es gilt:

(a) X ist kompakt genau dann, wenn X folgenkompakt ist.

(b) Ist X kompakt, so ist X total beschrankt.

Folgerung 19 Ist (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X, A kompakt, dann ist A

abgeschlossen.

14 Vollstandige metrische Raume, Banachraume

14.1 Vollstandige metrische Raume

Definitionen: Sei (X, d) metrischer Raum

- 112 -


1. Eine Folge {xn}n∈N in X heißt Cauchy–Folge in X, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n,m ≥ N : d(xn, xm) < ε .

2. Der metrische Raum (X, d) heißt vollstandig , wenn jede Cauchyfolge

in X konvergent ist.

- 113 -


Beispiele:

1. Der metrische Raum (R, d), d = Absolutbetrag, ist vollstandig.

2. Der Raum Rm ist bezuglich der Metriken dp , 1 ≤ p ≤ ∞, vollstandig.

Satz 1 Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X.

(a) Ist (X, d) kompakt, so ist (X, d) vollstandig.

(b) (X, d) ist kompakt genau dann, wenn (X, d) vollstandig und X total

beschrankt ist.

(c) Ist (X, d) vollstandig, so ist A relativ kompakt genau dann, wenn A

total beschrankt ist.

Definition: Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische Raume und sei f : X → Y .

f heißt gleichmaßig stetig, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ X : dX(x, x′) < δ =⇒ dY (f(x), f(x′)) < ε .

Bezeichnung: C(X,Y ) := {f : X −→ Y | f stetig}

Satz 2 Seien (X, dX), (Y, dY ) metrische Raume, sei f ∈ C(X,Y ). Ist (X, dX )

kompakt, so ist f gleichmaßig stetig.

14.2 Der Raum der beschrankten und stetigen Abbildungen

Definition: Sei X eine Menge, (Y, dY ) ein metrischer Raum.

- 114 -


(a) A ⊂ Y heißt beschrankt, wenn der Durchmesser

δA := sup{dY (y, z) | y, z ∈ A}

endlich ist.

(b) Eine Abbildung f : X → Y heißt beschrankt, wenn f(X) beschrankt

ist.

Bezeichnung: (X, TX), (Y, TY ) topologische Raume bzw. (Y, dY ) metri-

scher Raum.

C(X,Y ) := {f : X −→ Y |f stetig } , B(X,Y ) := {f : X −→ Y |f beschrankt } .

Lemma 3 Sei (X, T ) ein topologischer Raum und (Y, dY ) ein vollstandiger

metrischer Raum. Dann wird

Cb(X,Y ) := {f ∈ C(X,Y ) | f beschrankt}

zusammen mit der Metrik d∞, definiert durch

d∞(f, g) := sup{dY (f(x), g(x)) | x ∈ X} ,

zu einem vollstandigen metrischen Raum.

Folgerung 4 Sei (X, T ) ein kompakter topologischer Raum und sei (Y, dY )

ein vollstandiger metrischer Raum. Dann gilt C(X,Y ) = Cb(X,Y ), und

C(X,Y ) wird zusammen mit der Metrik d∞ zu einem vollstandigen metri-

schen Raum.

Definition: Seien (X, dX ) , (Y, dY ) metrische Raume. Eine Familie F ∈C(X,Y ) heißt gleichgradig stetig,, falls gilt:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ X ∀f ∈ F : dX(x, x′) < δ

=⇒ dY (f(x), f(x′)) < ε .

- 115 -


Satz von Arzela–Ascoli

Sei (X, dX ) kompakter metrischer Raum, sei (Y, dY ) vollstandiger metrischer

Raum und sei F ⊂ C(X,Y ). Dann sind aquivalent:

(a) F ist relativ kompakte Teilmenge in (C(X,Y ), d∞).

(b) F ist gleichgradig stetig und die Mengen

F(x) :={f(x)

∣∣ f ∈ F

}, x ∈ X ,

sind relativ kompakte Teilmengen in (Y, dY ).

14.3 Normierte Raume; Banachraume

Definition: Ein Vektorraum X (uber K = R oder C) heißt normiert,

wenn es eine Abbildung

‖ · ‖ : X −→ R

gibt mit

(a) ‖x‖ = 0⇐⇒ x = 0 (Definitheit)

(b) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ , α ∈ K , x ∈ X (Homogenitat)

(c) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , x, y ∈ X (Dreiecksungleichung).

‖ · ‖ : X → R heißt Norm und (X, ‖ · ‖) ein normierter Raum.

Folgerung 5 Ist ‖ · ‖ eine Norm auf X, so wird durch

d‖·‖ : X ×X 3 (x, y) 7→ ‖x− y‖ ∈ R

eine Metrik erzeugt.

Beispiele:

- 116 -


1. In X = Rn werden die Metriken dp , 1 ≤ p ≤ ∞, durch folgende

Normen erzeugt:

‖x‖p :=

n∑

j=1

|xj|p

1/p

, p ∈ [1,∞)

max1≤j≤n

|xj | , p =∞; x ∈ Rn .

2. Sei (X, T ) kompakter topologischer Raum. Offenbar ist C(X,R) ein

Vektorraum uber R und durch

‖f‖∞ := maxx∈X|f(x)| , f ∈ C(X,R) ,

wird eine Norm definiert.

Definition: Der normierte Raum (X, ‖ · ‖) heißt Banachraum, wenn der

metrische Raum (X, d‖·‖) vollstandig ist.

Beispiele:

3. Sei (X, T ) kompakter topologischer Raum, sei (Y, ‖ · ‖Y ) ein Banach-

raum. Dann ist C(X,Y ) ein Vektorraum und durch

‖f‖∞ := supx∈X‖f(x)‖Y , f ∈ C(X,Y ) ,

wird eine Norm auf C(X,Y ) erklart; C(X,Y ) ist sogar ein Banachraum.

4. Sei X := C[−1, 1] der Vektorraum der stetigen Funktionen von [−1, 1]

nach R. Offenbar ist

‖ · ‖1 : X 3 f 7→∫ 1

−1|f(t)| dt ∈ R

eine Norm auf X. Bzgl. ‖ · ‖1 ist X nicht vollstandig.

- 117 -


14.4 Gleichmaßige Konvergenz

Definitionen: Sei X eine Menge, X 6= ∅, sei (Y, dY ) metrischer Raum,

sei fn : X → Y , n ∈ N.

(a) (fn)n∈N konvergiert punktweise gegen f : X → Y , wenn gilt:

∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : dY (fn(x) f(x)) < ε .

(b) (fn)n∈N konvergiert gleichmaßig gegen f : X → Y , wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ X ∀n ≥ N : dY (fn(x) f(x)) < ε .

Satz 6 Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische Raume, sei x0 ∈ X, sei fn : X →Y stetig in x0, n ∈ N. Konvergiert dann (fn)n∈N gleichmaßig gegen f : X →Y , so ist f stetig in x0.

Satz 7 (Satz von DINI)

Sei (X, dX ) kompakter metrischer Raum und sei (fn)n∈N eine Folge in C(X,R).

Es gelte: (fn(x))n∈N ist monoton fallende Nullfolge fur alle x ∈ X.

Dann konvergiert (fn)n∈N gleichmaßig gegen 0 (= Nullfunktion).

15 Der euklidische Raum Rn

15.1 Der Rn als normierter Raum

Bekanntlich ist

X := Rn := R× · · · × R :={

(x1, . . . , xn)∣∣∣ xi ∈ R , 1 ≤ i ≤ n

}

- 118 -


ein n-dimensionaler Vektorraum uber dem Korper R.

Ziel: Verifikation der Metrikeigenschaften von dp fur p ∈ (1,∞).

Lemma 1

(a) Fur x ∈ (0,∞) , α ∈ (0, 1) gilt: xα − αx ≤ 1− α.

(b) Fur a, b ∈ (0,∞) und α, β ∈ (0, 1) mit α+β = 1 gilt: aαbβ ≤ αa+βb.

(c) Fur a, b ∈ (0,∞) und p, q ∈ (1,∞) mit1

p+

1

q= 1 gilt: ab ≤ 1

pap +

1

qbq.

Lemma 2 (HOLDER’sche Ungleichung)

Seien ai, bi ∈ (0,∞) , 1 ≤ i ≤ n, und seien p, q ∈ (1,∞) mit1

p+

1

q= 1.

Dann gilt:

n∑

i=1

aibi ≤(

n∑

i=1

api

)1/p( n∑

i=1

bqi

)1/q

.

Satz 3 (MINKOWSKI’sche Ungleichung)

Seien ai, bi ∈ (0,∞) , 1 ≤ i ≤ n, und sei p ∈ (1,∞). Dann gilt:

(n∑

i=1

(ai + bi)p

)1/p

≤(

n∑

i=1

api

)1/p

+

(n∑

i=1

bpi

)1/p

.

Folgerung 4

(a) (Rn, ‖ · ‖p) ist fur jedes p ∈ [1,∞] ein Banachraum.

(b) Die Kugeln

Kp(x, r) :={

y ∈ Rn∣∣∣ ‖y − x‖p ≤ r

}

, x ∈ Rn , r ∈ [0,∞) ,

sind fur jedes p ∈ [1,∞] kompakt.

- 119 -


(c)

‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ n1/p‖x‖∞ , x ∈ Rn , p ∈ [1,∞] .

Definition: Sei X ein Vektorraum (uber K) und seien ‖ · ‖, | · | zwei

Normen auf X. ‖ · ‖, | · | heißen aquivalent, wenn es α, β > 0 gibt mit:

α‖x‖ ≤ |x| ≤ β‖x‖ ∀x ∈ X .

Satz 5 Alle Normen auf dem Vektorraum Rn sind aquivalent.

Folgerung 6 Sei ‖ · ‖ eine Norm auf Rn. Es gilt:

(a) (Rn, ‖ · ‖) ist ein Banachraum.

(b) Fur A ⊂ Rn sind aquivalent:

i. A ist kompakt;

ii. A ist abgeschlossen und beschrankt.

Beispiel: Wir definieren fur p ∈ [1,∞]:

`p :=

{

(xn)n∈N

∣∣∣xn ∈ R ∀n ∈ N ,

∑

n∈N|xn|p <∞

}

, p <∞{

(xn)n∈N

∣∣∣xn ∈ R ∀n ∈ N , supn∈N |xn| <∞

}

, p =∞.

Sei p ∈ [1,∞]. Wir setzen:

q :=

1 falls p =∞p

p− 1falls p ∈ (1,∞)

∞ falls p = 1

.

Es gilt:

- 120 -


i.

∑

n∈N

xnyn ≤(∑

n∈N

|xn|p)1/p(

∑

n∈N

|yn|q)1/q

ii. Durch

‖ · ‖p : `p 3 x = (xn)n∈N 7→( ∞∑

n=1

|xn|p)1/p

∈ R

wird eine Norm definiert.

iii. dim `p =∞ .

iv. Die abgeschlossene Einheitskugel

K(0, 1) :={

(xn)n∈N ∈ `p∣∣∣ ‖x‖p ≤ 1

}

ist nicht kompakt.

15.2 Rn als euklidischer Raum

Definition: Die Abbildung

< ·, · >: Rn × Rn 3 (x, y) 7→n∑

i=1

xiyi ∈ R

heißt das euklidische Skalarprodukt in R.

Folgerung 7

(a) < x, x >≥ 0 ∀x ∈ Rn.

(b) < x, x >= 0 genau dann, wenn x = 0.

(c) < αx+ βy, z >= α < x, z > +β < y, z > , x, y, z ∈ Rn , α, β ∈ R.

- 121 -


(d) < x, y >=< y, x > , x, y ∈ Rn.

(e) | < x, y > | ≤< x, x >1/2< y, y >1/2 , x, y ∈ Rn.

(f) | < x, y > | =< x, x >1/2< y, y >1/2 genau dann, wenn x, y linear

abhangig sind.

Definition: Seien x, y ∈ Rn , x 6= 0 , y 6= 0.

(a) Die Zahl α ∈ [0, π] mit

cosα =< x, y >

‖x‖2‖y‖2heißt der Winkel zwischen x und y.

(b) x, y heißen orthogonal (oder senkrecht) zueinander, wenn gilt< x, y >=

0.

Parallelogrammidentitat

‖x+ y‖22 + ‖x− y‖22 = 2‖x‖22 + 2‖y‖22 , x, y ∈ Rn .

Satz von Pythagoras

‖x+ y‖22 = ‖x‖22 + ‖y‖22 ∀x, y ∈ Rn mit < x, y >= 0 .

15.3 Kurven in Rn

Definitionen: Sei (X, T ) ein topologischer Raum, a, b ∈ R.

(a) Eine stetige Abbildung ϕ = [a, b]→ X heißt Weg (in X mit Parame-

terintervall [a, b]); die Bildmenge

Γϕ :={

ϕ(t)∣∣∣ t ∈ [a, b]

}

- 122 -


heißt dann die durch ϕ erzeugte Kurve mit Anfangspunkt ϕ(a) und

Endpunkt ϕ(b).

(b) Ein Weg ϕ in X heißt JORDAN–Weg, wenn ϕ injektiv ist.

(c) Ein Weg ϕ = [a, b]→ X heißt geschlossen, wenn ϕ(a) = ϕ(b) gilt.

(d) Ein Weg ϕ = [a, b] → X heißt geschlossener JORDAN–Weg , wenn ϕ

geschlossen ist und ϕ | (a, b) injektiv ist.

Bezeichnung: Koordinatenabbildungen ϕ1, . . . , ϕn:

ϕ(t) = (ϕ1(t), . . . , ϕn(t)) , t ∈ [a, b] ,

ϕi(t) := < ϕ(t), ei > , t ∈ [a, b] , 1 ≤ i ≤ n .

wobei ei = i-ter Einheitsvektor.

Beispiele:

1. ϕ : [0, 1] 3 t 7→ (1 + t, 2− t) ∈ R2 ,

ψ : [−2, 2] 3 s 7→(

3

2− 1

4s,

3

2+

1

4s

)

∈ R2 .

2. ϕ : [0, 2π] 3 t 7→ (cos t, sin t) ∈ R2 ,

ψ : [0, 2π] 3 t 7→ (cos 2t, sin 2t) ∈ R2 ;

ψ ist kein Jordan–Weg.

3.

ϕ : R 3 t 7→ (r cos t, r sin t, ct) ∈ R3 mit r > 0, c > 0

heißt Schraubenlinie mit Ganghohe 2πc

- 123 -


y

z

...............................

..........................

...........................

..........................

...........................

..........................

...........................

...x

r

•.........................................................................................................................• 2cπ

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................

4.

ϕ : [0, 2π] 3 t 7→ (a cos t, b sin t) ∈ R2 , mit a > b > 0 ,

ist ein geschlossener Jordan–Weg.

Ellipse

{

x, y∣∣∣x2

a2+y2

b2= 1

}

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.........................................................................................................................................................

.............

.................

...........................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................• •

E F

Q

Brennpunkte: E = (−e, 0) , F = (e, 0)

e =√a2 − b2 (

”lineare Exzentrizitat“)

5.

ϕr : R 3 t 7→ (a cosh t, b sinh t) ∈ R2 , a, b > 0 ,

ist kein Weg, aber jede Einschrankung auf ein beschranktes, abge-

schlossenes Intervall ist ein Jordan–Weg. Die zugehorige Kurve ist der

rechte Ast der

- 124 -


Hyperbel

{

x, y

∣∣∣∣

x2

a2− y2

b2= 1

}

.

..

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a

b

E F

Brennpunkte: E = (−e, 0) , F = (e, 0)

e =√a2 + b2 (

”lineare Exzentrizitat“)

Definition: Polarkoordinaten im R2 : (x, y) = (r, ϑ), wobei

r :=√

x2 + y2 : Abstand vom Nullpunkt

ϑ ∈ [0, 2π) mit:x

r= cosϑ ,

y

r= sinϑ ;

x

y

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................•P (x, y)

ϑ.....................................

r

Beispiele:

1.

r =p

1 + ε cosϑ, ϑ ∈ [0, 2π] , p > 0, ε ≥ 0 .

- 125 -


ε = 0 : Kreis mit Radius p

ε ∈ (0, 1) : Ellipse:

(x+ e)2

a2+y2

b2= 1 , e :=

√

a2 − b2

ε = 1 : Parabel:

y2 + 2p(x− 1

2p) = 0

ε > 1 : Hyperbel

(x− e)2a2

− y2

b2= 1 , e :=

√

a2 + b2

2. Archimedische Spirale: r = aϑ , ϑ ∈ [0,∞) , a > 0 .

3. Logarithmische Spirale: r = aϑ , ϑ ∈ [0,∞) , a > 0 .

...

....

....

.................................................................................

..................................................

................................................................................................................

........................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

ϕ

ϕ

Bezeichnung: Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein Weg. Mit Z[a, b] sei die Menge der

Zerlegungen von [a, b] bezeichnet,

Z[a, b] =

Z

∣∣∣∣∣∣

Z Zerlegung von [a, b] der Form

Z : a = t0 < · · · < tm = b

Definition: Lange des Polygonzugs

`(Z,ϕ) :=

m∑

k=1

‖ϕ(tk)− ϕ(tk−1)‖2

- 126 -


Definition: Ein Weg ϕ : [a, b] → Rn heißt rektifizierbar, wenn es eine

Konstante λ gibt, so daß gilt:

`(Z;ϕ) ≤ λ ∀Z ∈ Z[a, b] .

In diesem Falle wird die reelle Zahl

L(ϕ) := supZ∈Z[a,b]

`(Z;ϕ)

die Lange von ϕ genannt.

Definition: Eine Abbildung f : [a, b]→ R heißt von beschrankter Varia-

tion, wenn es ν ∈ R gibt, so daß fur jede Zerlegung Z ∈ Z[a, b] gilt:

var(Z; f) :=

p∑

i=1

|f(ti)− f(ti−1)| ≤ ν ,

wobei Z : a = t0 < · · · < tp = b .

V ba (f) := supZ∈Z[a,b] var (Z; f) heißt dann die Totalvariation von f und wir

schreiben

f ∈ BV [a, b] .

Satz 8 Der Weg ϕ : [a, b]→ Rn mit den Koordinatenfunktionen ϕ1, . . . , ϕn

ist genau dann rektifizierbar, wenn jede Koordinatenfunktion ϕi von be-

schrankter Variation ist.

- 127 -


Beispiel:

f : [0, 1] −→ R , x 7→

0 , falls x = 0

x cosπ

x, sonst

.

Es gilt

var(Z; f) ≥n∑

j=1

1

j

und

f 6∈ BV [0, 1] .

Definition: Sind ϕ : [a, b] → Rn , ψ : [b, c] → Rn Wege mit ϕ(b) = ψ(b),

so wird durch

[a, c] 3 t 7→

ϕ(t) , falls t ≤ bψ(t) , falls t > b

ein Weg erklart, den man die Summe der Wege ϕ,ψ nennt und mit ϕ ⊕ ψbezeichnet.

Bezeichnung: Γϕ ⊕ Γr fur die zugehorige Kurve.

Lemma 9 Sei f : [a, b]→ R , c ∈ (a, b). Dann sind aquivalent:

(a) f ∈ BV [a, b] ;

(b) f∣∣∣[a,c]∈ BV [a, c] , f

∣∣∣[c,b]∈ BV [c, b] .

Zusatz: Sind (a), (b) erfullt, so gilt:

V ba f = V c

a f + V bc f .

Satz 10 Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein Weg, sei c ∈ (a, b). Dann sind aquivalent:

- 128 -


(a) ϕ ist rektifizierbar.

(b) ϕ∣∣∣[a,c]

, ϕ∣∣∣[c,b]

sind rektifizierbar.

Zusatz: Sind (a), (b) erfullt, so gilt:

L(ϕ) = L(ϕ∣∣∣[a,c]

) + L

(

ϕ∣∣∣[c,b]

)

.

Definition: Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein rektifizierbarer Weg. Die Funktion

sϕ : [a, b] −→ R , t 7→

0 , t = a

L(ϕ|[a,t]

), t > a

heißt Weglangenfunktion.

Satz 11 Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein rektifizierbarer Weg. Es gilt:

(a) Die Weglangenfunktion sϕ ist stetig und monoton wachsend.

(b) Ist ϕ ein Jordan–Weg, so ist sϕ sogar streng monoton wachsend.

Satz 12 Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein rektifizierbarer Jordan–Weg und sei Γϕ die

zugehorige Jordan–Kurve. Dann gibt es einen rektifizierbaren Jordan–Weg

ψ : [0, L(ϕ)] → Rn mit:

Γϕ = Γψ , L

(

ψ∣∣∣[0,s]

)

= s ∀s ∈ [0, L(ϕ)] .

Lemma 13 (Lemma von TIKHONOV)

Seien X,Y metrische Raume, sei X kompakt, und sei f : X → Y stetig und

bijektiv. Dann ist f−1 : Y → X stetig.

- 129 -


Satz 14 Seien ϕ1 : [a1, b1] → Rn , ϕ2 : [a2, b2] → Rn Wege und es gebe

f : [a2, b2]→ R mit

f stetig, streng monoton, f( [a2, b2] ) = [a1, b1] , ϕ2 = ϕ1 ◦ f .

Dann sind aquivalent:

(a) ϕ1 ist rektifizierbar;

(b) ϕ2 ist rektifizierbar.

Zusatz: Sind (a), (b) erfullt, so gilt: L(ϕ1) = L(ϕ2).

Folgerung 15 Seien ϕ,ψ Jordan–Wege mit Γϕ = Γψ. Dann gilt: L(ϕ) =

L(ψ).

Definition: Sei Γ eine Jordan–Kurve, d. h. es gibt einen Jordan–Weg ϕ

mit Γ = Γϕ. Dann heißt L(Γ) := L(ϕ) die Kurvenlange von Γ.

15.4 Differenzierbare Wege

Definition: Ein Weg ϕ : [a, b] → Rn mit den Koordinatenfunktionen

ϕ1, . . . , ϕn heißt (stetig) differenzierbar, wenn jede Koordinatenfunktion ϕi

(stetig) differenzierbar ist;

ϕ(t) := (ϕ′1(t), . . . , ϕ

′n(t)) , t ∈ [a, b] .

Satz 16 Sei der Vektor ϕ : [a, b] → Rn stetig differenzierbar. Dann ist ϕ

rektifizierbar und es gilt:

(a) Die Weglangenfunktion sϕ ist stetig differenzierbar, s′ϕ(t) = ‖ϕ(t)‖2 , t ∈[a, b] .

- 130 -


(b) L(ϕ) =

∫ b

a‖ϕ(t)‖2 dt .

Folgerung 17 Ist der Weg ϕ : [a, b]→ Rn die Summe stetig differenzierba-

rer Wege, d. h.

ϕ = ϕ1 ⊕ · · · ⊕ ϕ` ,ϕi stetig differenzierbarer Weg, 1 ≤ i ≤ ` ,

so gilt:

ϕ ist rektifizierbar, L(ϕ) =∑

i=1

L(ϕi)

Beispiele:

1. Jede stetige Funktion f : [a, b]→ R erzeugt in naturlicher Weise einen

Weg in R2:

ϕf : [a, b] 3 t 7→ (t, f(t)) ∈ R2 .

Dieser Weg ist rektifizierbar genau dann, wenn gilt: f ∈ BV [a, b].

Ist f stetig differenzierbar, so gilt:

L(ϕf ) =

∫ b

a

√

1 + f ′(t)2 dt

- 131 -


2. Die Ellipse mit den Halbachsen a, b, 0 < b < a, besitzt die Darstellung

durch den geschlossenen Jordan–Weg

ϕ : [0, 2π] 3 t 7→ (a cos t, b sin t) ∈ R2 .

Umfang U der Ellipse (k := a−1√a2 − b2 ) :

U =

∫ 2π

0

√

a2 sin2 t+ b2 cos2 t dt = 4a

∫ π/2

0

√

1− k2 sin2 t dt .

Das Integral

E(k) :=

∫ π/2

0

√

1− k2 sin2 t dt

heißt vollstandiges elliptisches Integral.

3. Ein Stuck einer Archimedischen Spirale wird durch den Jordan–Weg

ϕ : [0, 2π] 3 ϑ 7→ (ϑ cosϑ, ϑ sinϑ) ∈ R2

dargestellt. Lange:

L(ϕ) =

∫ 2π

0(1 + ϑ2)1/2dϑ

Bezeichnung: Sei ϕ : [a, b]→ Rn,

ϕ(t) := (ϕ′1(t), . . . , ϕ

′n(t)) ,

ϕ(t) := (ϕ′′1(t), . . . , ϕ

′′n(t)) .

Bemerkung: Fur die Weglangenfunktion sϕ gilt:

s′ϕ(t) = ‖ϕ(t)‖2 , t ∈ [a, b] ,

s′ϕ(t)s′′ϕ(t) =< ϕ(t), ϕ(t) > , t ∈ [a, b] .

- 132 -


Weiterhin gilt:

sϕ(s) = s , s ∈ [0, L(ϕ)] .

‖ϕ(s)‖2 = 1 , s ∈ [0, L(ϕ)] .

< ϕ(s), ϕ(s) >= 0 , s ∈ [0, L(ϕ)] .

Definition: ‖ϕ(s)‖2 heißt Krummung im Punkt ϕ(s),1

‖ϕ(s)‖2heißt

Krummungsradius in ϕ(s), falls ϕ(s) 6= 0.

- 133 -


16 Differenzierbarkeit im Rn

(Lit.: Insbes. Heuser, Teil 2 (1993); auch Kerner II (1980), Walter 2 (1992))

16.1 Hinfuhrung

Wiederholung: f : U → R , U ⊂ R offen, x0 ∈ U .

f ist differenzierbar in x0 genau dann, wenn

limx→x0

x6=x0

f(x)− f(x0)

x− x0(=: f ′(x0))

existiert.

Interpretationen (Setze m := f ′(x0))

(a) m ist Grenzwert von Differentialquotienten und daher die Steigung der

resultierenden Tangente (an f(x0)).

(b) m induziert eine (Hyper-)Ebene H(x0) in R × R, die den Graph von

f beruhrt,

H(x0) :={

(x, z) ∈ R2∣∣∣z = f(x0) +m(x− x0)

}

.

(c) m definiert eine (affine) Funktion g, die f in der Umgebung von x0

geeignet approximiert (s. Satz 10.2):

g(x) := f(x0) +m(x− x0) , x ∈ U ,

limx→x0

x6=x0

|f(x)− g(x)||x− x0| = 0 .

- 134 -


x

y

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...........................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................f(x)

.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x0.............

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α.............

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m = tan(α)

Bemerkung: Eine Kombination von (b) und (c) zeigt, daß die Hyperebene

H(x0) den Graph von f in (x0, f(x0)) in”tangentialer“ Weise beruhrt:

limx→x0

x6=x0

‖(x, f(x)) − (x, g(x))‖2|x− x0| = 0

Beispiel:

1. f : R −→ R , x 7−→ |x| , x0 = 0 ;

x

y..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................f(x) f(x)

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

g−1/2

gm : R 3 x 7−→ f(x0) +m(x− x0) ∈ R , m ∈ [−1, 1] .

limx→x0

x6=x0

‖(x, f(x)) − (x, gm(x))‖2|x− x0| existiert ⇐⇒ m = 0 .

- 135 -


Fur m = 0 ist aber

limx→x0

x6=x0

‖(x, f(x))− (x, g0(x))‖2|x− x0| = 1 .

Forderung Eine bei x0

”differenzierbare“ Funktion

f : U −→ R , U ⊂ R2 offen , x0 ∈ U

soll auch in x0 stetig sein (vgl. Folgerung 10.3 im R1).

Bemerkung: Eine eindimensionale Betrachtung reicht fur diese Forderung

nicht aus!

Bezeichnung:

f1 : U1 3 x1 7−→ f(x1, x02) ∈ R ,

f2 : U2 3 x2 7−→ f(x01, x2) ∈ R ,

wobei U1, U2 ⊂ R offen mit U1 × U2 ⊂ U ⊂ R2 und x0 = (x01, x

02).

Beispiel:

2.

f : R2 −→ R , (x1, x2) 7−→

0 , falls x1x2 = 0 ,

1 , sonst.

f1(x1) = f2(x2) = 0 ∀x1, x2 ∈ R , x0 = (0, 0), und f1, f2 sind

differenzierbar in 0. Aber f ist nicht stetig in x0.

16.2 Partielle Ableitungen

Definition: Sei f : U −→ R , U ⊂ Rn offen.

- 136 -


(a) f heißt im Punkt x0 partiell nach xk , k ∈ {1, . . . , n}, differenzierbar,

wenn

limh→0

f(x01, . . . , x

0k−1, x

0k + h, x0

k+1, . . . , x0n)− f(x0

1, . . . , x0n)

h

existiert; man setzt dann fur den Limes

∂f

∂xk(x0) oder fxk

(x0) oder Dkf(x0) .

(b) f heißt partiell differenzierbar in x0 ∈ U , wenn f fur jedes k = 1, . . . , n

in x0 partiell nach xk differenzierbar ist.

- 137 -


(c) f heißt partiell differenzierbar, wenn f in jedem Punkt von U partiell

differenzierbar ist.

Bemerkung: f ist genau dann in x0 = (x01, . . . , x

0n) ∈ U partiell nach xk

differenzierbar, wenn die partielle Funktion

fk : Uk 3 xk 7−→ f(x0

1, . . . , x0k−1, xk, x

0k+1, . . . , x

0n

)∈ R ,

Uk ⊂ pk(U) ⊂ R (pk := kanonische Projektion auf k-te Komponente) bei

x0k differenzierbar ist.

Beispiel: f : R2 −→ R , (x1, x2) 7−→

0 , x1 = x2 = 0 ,x1x2

x21 + x2

2

, (x1, x2) 6= (0, 0) .

Die partiellen Funktionen f1 bzw. f2 sind fur jedes (feste) x2 bzw. x1 stetig.

f ist in (0, 0) unstetig. Die partiellen Ableitungen existieren uberall:

∂f

∂x1(x1, x2) =

x2

(x2

2 − x21

)

(x2

1 + x22

)2 , x1 ∈ R , x2 6= 0 ,

∂f

∂x1(x1, 0) = 0 , x1 ∈ R ;

analoges gilt fur ∂f/∂x2.

Definition: Sei U ⊂ Rn offen und f : U −→ R partiell differenzierbar.

Sind∂f

∂xk: U −→ R fur jedes k = 1, . . . , n partiell differenzierbar, dann heißt

f zweimal partiell differenzierbar.

Bezeichnung:

1. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung schreibt man als

∂2f

∂xj∂xkoder

∂

∂xj

(∂f

∂xk

)

oder DjDkf ;∂2f

∂x2k

, falls j = k .

- 138 -


2. Partielle Ableitungen dritter, vierter, ... Ordnung schreibt man als,

z. B.,

∂3f

∂x2∂x4∂x1,

∂4f

∂x1∂x22∂x3

,∂5f

∂x52

, . . .

Bei den folgenden Satzen in diesem Abschnitt beschranken wir uns meist auf

den R2; die Ubertragung auf den Rn , n ≥ 2, ist offensichtlich. Wir setzen

im Fall n = 2 noch x = x1 , y = x2.

Satz 1 Ist U ⊂ R2 offen und f : U −→ R besitze beschrankte partielle

Ableitungen fx, fy in U , dann ist f stetig in U .

Beispiel: Fur die Funktion

f(x, y) :=

0 , x = y = 0 ,

xyx2 − y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0) ,

ist ∂2f/∂x∂y 6= ∂2f/∂y∂x bei (0, 0).

Satz 2 Sei U ⊂ R2 offen, (x0, y0) ∈ U und f : U −→ R besitze partielle

Ableitungen fx, fy, fxy und fyx in U . Weiter seien fx, fy stetig in U und

fxy, fyx seien stetig im Punkt (x0, y0). Dann gilt

∂2f

∂x∂y(x0, y0) =

∂2f

∂y∂x(x0, y0) .

Satz 3 (Satz von H. A. SCHWARZ) Sei U ⊂ R2 offen, (x0, y0) ∈ U , f

besitze partielle Ableitungen fx, fy, fxy in U , fx und fy seien stetig in U

und fxy sei im Punkt (x0, y0) stetig. Dann existiert fyx in (x0, y0), und es

ist

∂2f

∂y∂x(x0, y0) =

∂2f

∂x∂y(x0, y0) .

- 139 -


Bezeichnungen: U sei nichtleere, offene Teilmenge des Rn und k ∈ N.

Ck(U) :={

f : U −→ R

∣∣∣ alle partiellen Ableitungen der Ordnung

≤ k existieren in U und sind dort stetig}

;

C0(U) := C(U) = C(U,R) ;

C∞(U) =

∞⋂

k=0

Ck(U) .

f ∈ Ck(U) heißt auch Ck–Funktion.

Folgerung 4 Sei U nichtleere offene Teilmenge des Rn. Fur jedes f ∈Ck(U) sind die partiellen Ableitungen der Ordnung ≤ k unabhangig von

der Reihenfolge der Differentiation.

Definition: Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ R besitze partielle Ableitungen

bei x ∈ U . Dann heißt der Vektor

(fx1(x), fx2(x), . . . , fxn(x))

der Gradient von f bei x. Wir schreiben dafur

grad f(x) oder ∇f(x) (∇ = Nabla–Operator)

Beispiel:

f(x, y) =

0 , (x, y) = (0, 0)xy

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

grad f(x, y) =

(

yy2 − x2

(x2 + y2)2, x

x2 − y2

(x2 + y2)2

)

, (x, y) 6= (0, 0) ;

grad f(0, 0) = (0, 0) .

Jede Komponente des Gradienten ist unstetig in (0, 0).

- 140 -


16.3 Vollstandige Differenzierbarkeit

Im folgenden sei der Rn bzw. Rm immer mit der euklidischen Norm versehen,

‖.‖ = ‖.‖2.

Definitionen: Sei U ⊂ Rn offen.

(a) f : U −→ R heißt vollstandig (oder total) differenzierbar im Punkt

x0 = (x01, . . . , x

0n) ∈ U , wenn es Zahlen α1, . . . , αn ∈ R und eine Funk-

tion r : K(0, δ) −→ R gibt mit

f(x0 +h) = f(x0)+α1h1 + · · ·+αnhn + r(h) ∀h : ‖h‖ < δ ,

wobei δ hinreichend klein ist, K(x0, δ) ⊂ U und

lim‖h‖→0

r(h)

‖h‖ = 0 .

(b) f : U −→ R heißt vollstandig differenzierbar, wenn f in jedem Punkt

aus U vollstandig differenzierbar ist.

Bemerkungen:

1. Die vollstandige Differenzierbarkeit in einem Punkt x0 bedeutet, daß

man f in der Nahe von x0 durch eine affine Funktion

f(x0) + α1(x1 − x01) + · · ·+ αn(xn − x0

n)

approximieren kann.

2. Die vollstandige Differenzierbarkeit stellt die Verallgemeinerung der

Differenzierbarkeit im R1 dar, da fur differenzierbares f gilt

f(x) = f(x0) + (x− x0)f ′(x0) + (x− x0)ϕ(x− x0)

- 141 -


mit ϕ(h) :=f(x0 + h)− f(x0)

h− f ′(x0) , r(h) := h · ϕ(h) und α1 :=

f ′(x0).

Bezeichnung: Wir lassen im folgenden”vollstandig“ oder

”total“ bei der

Differenzierbarkeit weg.

Satz 5 Ist U ⊂ Rn offen, f : U −→ R differenzierbar in x0 ∈ U , dann ist

f stetig und partiell differenzierbar bei x0; der Vektor α = (α1, . . . , αn) in

der Definition der Differenzierbarkeit ist eindeutig bestimmt:

α = grad f(x0) .

Bezeichnung: Ist f differenzierbar bei x, dann bezeichnen wir den ein-

deutig bestimmten Vektor α = (α1, . . . , αn) als (totale oder vollstandige)

Ableitung und schreiben dafur

f ′(x) oder Df(x) oder df(x) .

Nach Satz 5 ist fur f : U ⊂ Rn −→ R

f ′(x) = grad f(x) oder∂f

∂xi(x) = f ′(x)ei , i = 1, . . . , n .

Satz 6 Sei f : U −→ R , U ⊂ Rn offen, x0 ∈ U . Es gelte

(a) f ist partiell differenzierbar in K(x0, r) fur ein r > 0 mit K(x0, r) ⊂U ;

(b) Die partiellen Ableitungen∂f

∂xk: K(x0, r) −→ R sind in x0 stetig fur

jedes k = 1, . . . , n.

Dann ist f differenzierbar in x0.

- 142 -


Folgerung 7 Eine C1–Funktion f : U ⊂ Rn −→ R , U offen, ist in jedem

Punkt x ∈ U differenzierbar und somit auch stetig.

Bemerkung: Das Beispiel in Abschnitt 16.2 zeigt, daß eine Funktion

differenzierbar sein kann, ohne eine C1–Funktion zu sein.

Wir erweitern die Aussagen dieses Abschnitts noch auf Abbildungen f : U ⊂Rn −→ Rm, d. h. f habe Komponenten f1, . . . , fm,

f =

f1

...

fm

mit fj : U −→ R .

Definition: Sei f : U ⊂ Rn −→ Rm , U nichtleer und offen.

(a) f heißt in x0 ∈ U partiell differenzierbar nach xk , k ∈ {1, . . . , n},wenn jede Komponente fj , 1 ≤ j ≤ n, in x0 partiell nach xk differen-

zierbar ist.

(b) f heißt in x0 ∈ U ( vollstandig oder total) differenzierbar, wenn es eine

(m,n)–Matrix A gibt, so daß fur alle x0 +h ∈ K(x0, δ) , δ hinreichend

klein, die Darstellung gilt

f(x0 + h)− f(x0) = Ah+ r(h)

mit

limh→0

r(h)

‖h‖ = 0 .

Die Definitionen der partiellen Differenzierbarkeit (in ganz U), der stetigen

partiellen Differenzierbarkeit sowie der vollstandigen Differenzierbarkeit in

ganz U ubertragen sich analog.

- 143 -


Nach Satz 5 ist die Abbildung A in der Definition der Differenzierbarkeit

eindeutig bestimmt und hat die Darstellung

A =

∂f1

∂x1(x) · · · ∂f1

∂xn(x)

...

∂fm∂x1

(x) · · · ∂fm∂xn

(x)

.

Bezeichnung: Die Matrix (∂fj/∂xi) i=1,...,nj=1,...,m

heißt Funktionalmatrix oder

Jacobimatrix der Funktion f ; wir schreiben dafur

f ′ := Df :=∂f

∂x:=

∂(f1, . . . , fm)

∂(x1, . . . , xn)= (∂fj/∂xi) i=1,...,n

j=1,...,m

=

grad f1

...

grad fm

.

Beispiele:

1. f : Rn −→ Rm sei konstant, d. h. f(x) = c ∈ Rm ∀x ∈ Rn. Dann ist

f ′(x) = 0.

2. f : Rn −→ Rm sei linear, also f(x) = Mx , x ∈ Rn, mit einer (m,n)–

Matrix M . Dann gilt f ′(x) = M ∀x ∈ Rn.

Fur die identische Abbildung f(x) = x , x ∈ Rn, hat man f ′(x) = E =

Einheitsmatrix.

3. f : Rn −→ Rm sei affin, d. h f(x) = Mx+ b mit einer (m,n)–Matrix

M und einem Vektor b ∈ Rm. Dann ist f ′(x) = M ∀x ∈ Rn.

- 144 -


4. f : R3 −→ R2 ,

f1(x1, x2, x3) = x23 e

x1x2 ,

f2(x1, x2, x3) = x1x2e2x2x3) ,

∂(f1, f2)

∂(x1, x2, x3)=

(∇f1

∇f2

)

=

x2x

23ex1x2 x1x

23ex1x2 2x3e

x1x2

x2e2x2x3 (x1 + 2x1x2x3)e

2x2x3 2x1x22e

2x2x3

.

Definition:

Ck(U) := Ck(U,Rm) :={

f : U −→ Rm∣∣∣ fj ∈ Ck(U) ∀1 ≤ j ≤ m

}

C∞(U) := C∞(U,Rm) :=

∞⋂

k=0

Ck(U,Rm)

16.4 Differentiationsregeln

Satz 8 Seien f, g : U ⊂ Rn −→ Rm , U offen, in x0 ∈ U differenzierbar.

Dann ist auch f + g und αf , α ∈ R, in x0 differenzierbar, und es ist,

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) , (αf)′(x0) = αf ′(x0) .

Satz 9 (Kettenregel) Seien f : U ⊂ Rn −→ Rm , g : G ⊂ Rm −→ Rr , U,G

offen und G ⊃ f(U). Ist f in x0 ∈ U und g in f(x0) differenzierbar, dann

ist h := g ◦ f in x0 differenzierbar, und es gilt

(g ◦ f)′(x0) = g′(

f(x0))

f ′(x0) , d. h.

∂hj∂xi

(x0) =m∑

k=1

∂gj∂yk

(

f(x0))∂fk∂xi

(x0) , 1 ≤ j ≤ r , 1 ≤ i ≤ n .

Bemerkungen:

1. Die Formel der Kettenregel hat die gleiche Form wie im R1 (vgl. Satz

10.6), bedeutet hier aber ausfuhrlich geschrieben die Multiplikation

der zwei entsprechenden Funktionalmatrizen.

- 145 -


2. Spezialfall

f(u1, . . . , un) und ui : D ⊂ R −→ R , 1 ≤ i ≤ n :

Hierbei sei f : U ⊂ Rn −→ R , U offen, f differenzierbar,

ϕ(t) := f(u1(t), . . . , un(t)) existiere auf D ,

und ui , 1 ≤ i ≤ n, seien auf D differenzierbar. Dann ist auch ϕ auf D

differenzierbar, und dort gilt

dϕ

dt=

∂f

∂x1

du1

dt+

∂f

∂x2

du2

dt+ · · ·+ ∂f

∂xn

dundt

.

Satz 10 Die Funktionen f, g : U ⊂ Rn −→ R , U offen, seien in x0 ∈ Udifferenzierbar. Dann ist auch fg in x0 differenzierbar mit

(fg)′(x0) = f(x0)g′(x0) + g(x0)f ′(x0) .

Ist g(x0) 6= 0, so ist f/g in x0 differenzierbar mit der Ableitung

(f

g

)′(x0) =

g(x0)f ′(x0)− f(x0)g′(x0)

(g(x0))2.

Satz 11 Die Funktionen f, g : D ⊂ R −→ Rm , D offene Teilmenge von R,

seien in t0 ∈ D differenzierbar. Dann ist auch f ·g : D 3 t 7−→< f(t), g(t) >

∈ R in t0 differenzierbar mit der Ableitung

(f · g)′(t0) =< f(t0), g′(t0) > + < g(t0), f ′(t0) > ,

wobei

f ′(t0) =

df1

dt(t0)

...

dfmdt

(t0)

, g′(t0) =

dg1dt

(t0)

...

dgmdt

(t0)

.

- 146 -


16.5 Die Richtungsableitung

Definition: Sei f : U ⊂ Rn −→ R , U offen, und v ∈ Rn mit ‖v‖ = 1. f

hat Richtungsableitung in x0 ∈ U in Richtung v, wenn der folgende Limes

existiert,

limt→0t6=0

t−1(f(x0 + tv)− f(x0)

)=:

d

dtf(x0 + tv)

∣∣∣∣t=0

.

Wir nennen den Limes die Richtungsableitung von f in x0 in Richtung v

und schreiben dafur auch

∂f

∂v(x0) oder Dvf(x0) .

Bemerkungen:

1. Ist v der Einheitsvektor ek, so erhalt man als Richtungsableitung of-

fenbar die partielle Ableitung nach xk,

∂f

∂ek(x0) =

∂f

∂xk(x0) =

d

dtf(x0 + tek)

∣∣∣t=0

.

2. Man kann die Definition einer Richtungsableitung offenbar auf vek-

torwertige Funktionen f : U ⊂ Rn −→ Rm erweitern; die Richtungs-

ableitung ist dann einfach der Vektor der Richtungsableitungen der

einzelnen Komponenten fj , 1 ≤ j ≤ m.

Satz 12 Sei f : U ⊂ Rn −→ R , U offen und f sei differenzierbar in x0 ∈ U .

Dann hat f eine Richtungsableitung in x0 in jede Richtung v ∈ Rn , ‖v‖ = 1,

und es gilt

d

dtf(x0 + tv)

∣∣∣∣t=0

= f ′(x0)v =< grad f(x0), v > .

- 147 -


Bemerkung: Aus Satz 12 folgt sofort wieder Satz 5, d. h. die Existenz

partieller Ableitungen fur eine differenzierbare Funktion f . Die partiellen

Ableitungen lassen sich auch schreiben als

∂f

∂xk(x0) = f ′(x0)ek , k = 1, . . . , n .

Aus der Darstellung der Richtungsableitung mit Hilfe des Gradienten und

der Holderschen Ungleichung fur das euklidische Skalarprodukt hat man das

folgende, fur die Anwendungen wichtige Ergebnis.

Satz 13 Die Funktion f : U ⊂ Rn −→ R (U offen) sei in x0 ∈ U differen-

zierbar. Ist grad f(x0) = 0, so verschwinden alle Richtungsableitungen in x0.

Ist grad f(x0) 6= 0, so gibt es unter allen Richtungsableitungen ∂f/∂v(x0)

eine betragsgroßte, namlich die in Richtung des Gradienten; ihr Wert ist

‖grad f(x0)‖.

16.6 Mittelwertsatze und Hauptsatz

Aus dem eindimensionalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung (s. Fol-

gerung 11.3) erhalt man sofort einen entsprechenden Satz fur reellwertige

Funktionen mit vektoriellen Argumenten.

Satz 14 (MWS fur reellwertige Funktionen) Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ R

in U differenzierbar, und x0, x0 + h seien zwei Punkte, die mitsamt ihrer

Verbindungsstrecke in U liegen. Dann gibt es ein ϑ : 0 < ϑ < 1, so daß gilt

f(x0 + h)− f(x0) = f ′(x0 + ϑh)h , d. h.

f(x0 + h)− f(x0) =

n∑

i=1

fxi(x0 + ϑh)hi = < grad f(x0 + ϑh), h > .

- 148 -


Definition: Sei U ⊂ Rn offen und zusammenhangend. Dann bezeichnen

wir U als Gebiet.

Bemerkung: Man kann zeigen, daß jedes Gebiet U ⊂ Rn die Eigenschaft

besitzt, daß je zwei Punkte aus U durch einen in U liegenden Polygonzug

verbunden werden konnen (vgl. Heuser 2, 161.).

Folgerung 15 Sei U ⊂ Rn ein Gebiet, f : U −→ R, f sei in U partiell

differenzierbar und die partiellen Ableitungen fxi , 1 ≤ i ≤ n, seien uberall

in U identisch Null. Dann ist f in U konstant.

Der MWS gilt fur vektorwertige Funktionen nicht in Form einer Gleich-

heit — wie in Folgerung 11.3 oder in Satz 14 — sondern in Form einer

Ungleichung. Dafur benotigen wir den Begriff des Riemann–Integrals fur

Funktionen f : [a, b] −→ Rm , [a, b] ⊂ R.

Definition: Eine Funktion f = (f1, . . . , fm) : [a, b] −→ Rm , [a, b] ⊂R, heißt Riemann–integrierbar auf [a, b], wenn jedes fj beschrankt und

Riemann–integrierbar ist

(vgl. Abschnitt 12.4);

∫ b

af(t) dt =

∫ b

af1(t) dt

...∫ b

afn(t) dt

heißt das Riemann–Integral von f uber [a, b].

Bemerkungen:

1. Als Folgerung aus dem 1-dimensionalen weiß man, daß stetige Funk-

tionen Riemann–integrierbar sind.

- 149 -


2. Wir setzen

∫ a

af(t) dt := 0 ,

∫ b

af(t) dt = −

∫ a

bf(t) dt .

Wir lassen im folgenden”Riemann“ immer weg, da keine anderen Integral-

begriffe in dieser Vorlesung vorkommen.

Satz 16 Mit f : [a, b] −→ Rm ist auch ‖f‖ : [a, b] −→ R auf [a, b] integrier-

bar, und es gilt

∥∥∥∥

∫ b

af(t) dt

∥∥∥∥≤∫ b

a

∥∥∥f(t)

∥∥∥ dt .

Satz 17 (Hauptsatz) Sei a < b , a, b ∈ R.

(a) Ist g : [a, b] −→ Rm stetig, dann ist

f : (a, b) 3 t 7−→∫ t

ag(s) ds ∈ Rm

differenzierbar, und es gilt f ′(t) = g(t) , t ∈ (a, b).

(b) Ist f : [a, b] −→ Rm stetig und differenzierbar in jedem t ∈ (a, b) und

gibt es

h : [a, b] −→ Rm mit

h stetig, h(t) = f ′(t) , t ∈ (a, b) ,

so gilt

f(b)− f(a) =

∫ b

af ′(s) ds .

- 150 -


Folgerung 18 Sei f : U ⊂ Rn −→ R, U offen, f stetig differenzier-

bar, x, x′ ∈ U , und γ : [0, 1] −→ Rn ein differenzierbarer Weg mit γ(0) =

x , γ(1) = x′ und γ([0, 1]) = Γγ ⊂ U . Dann gilt:

f(x′)− f(x) =

∫ 1

0f ′(γ(t))γ′(t) dt

=

∫ 1

0< grad f(γ(t)), γ(t) > dt .

Bemerkung: Fur zwei Punkte x, x′ ∈ U ⊂ Rn, die mitsamt ihrer Ver-

bindungsstrecke S in U liegen, ist γ(t) := tx′ + (1 − t)x , t ∈ [0, 1], ein

differenzierbarer Weg (i. e. eine Gerade), dessen Kurve gerade S ergibt,

Γγ = S.

Definition: Eine Teilmenge C eines normierten Raumes X heißt konvex ,

wenn sie mit je zwei ihrer Punkte x′ , x ∈ C auch deren Verbindungsstrecke

x′x := S :={

z ∈ X∣∣∣ ∃t ∈ [0, 1] : z = tx′ + (1− t)x

}

enthalt.

Beispiele: Leere Menge; ganz X; Rechtecke, Kreise, Ellipsen im R2;

Kugeln (offen oder abgeschlossen) in normierten Raumen.

Definition: Sei A = (ajk) j=1,...,mk=1,...,n

eine (m,n)–Matrix, d. h. eine lineare

Abbildung A : Rn −→ Rm. Eine Matrizennorm ‖.‖ heißt mit den Normen

‖.‖ = ‖.‖Rn , ‖.‖ = ‖.‖Rm vertraglich, wenn ‖Ax‖Rm ≤ ‖A‖ ‖x‖Rn ∀x ∈ Rn.

Beispiele:

1. ‖.‖∞ in Rn und Rm, A = (ajν) j=1,...,mν=1,...,n

‖A‖ = ‖A‖∞ := max1≤j≤m

n∑

ν=1

|ajν | (”maximale Zeilensumme “)

2. ‖.‖1 in Rn und Rm,

‖A‖ = ‖A‖1 := max1≤ν≤n

m∑

j=1

|ajν | (”maximale Spaltensumme “)

- 151 -


3. ‖.‖2 in Rn und Rm,

‖A‖ = ‖A‖2 :=

m∑

j=1

n∑

ν=1

|ajν|2

1/2

(”Quadratsummennorm“)

Satz 19 (Mittelwertsatz fur vektorwertige Funktionen) Sei U ⊂ Rn offen,

f : U −→ Rm stetig differenzierbar, und x, x0 + h seien zwei Punkte, die

mitsamt ihrer Verbindungsstrecke S in U liegen. Dann gilt

f(x0 + h)− f(x0) =

(∫ 1

0f ′(x0 + th) dt

)

h , d. h.

fj(x0 + h)− fj(x0) =

n∑

ν=1

hν

∫ 1

0

∂fj∂xν

(x0 + th) dt , j = 1, . . . ,m .

Ist ‖.‖ irgendeine mit den Normen von Rn und Rm vertragliche Matrizen-

norm, dann gilt die Abschatzung

‖f(x0 + h)− f(x0)‖ ≤ ‖h‖maxx∈S‖f ′(x)‖ .

Ein gewisser Ersatz fur den fehlenden MWS kann als Folgerung von Satz 14

wie folgt formuliert werden.

Folgerung 20 Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ Rm , f = (f1, . . . , fm) differen-

zierbar in U . Sind x0, x0+h Punkte, die mitsamt ihrer Verbindungsstrecke S

in U liegen, so gibt es Punkte ξ1, . . . , ξm auf S, fur die gilt f(x0+h)−f(x0) =

f ′[ξ1, . . . , ξm]h mit

f ′[ξ1, . . . , ξm] :=

∂f1

∂x1(ξ1) . . .

∂f1

∂xn(ξ1)

...

∂fm∂x1

(ξm) . . .∂fm∂xn

(ξm)

- 152 -


16.7 Der Taylorsche Satz und die Taylorformel

Satz 21 (Satz von Taylor) Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ Ck+1(U) , k ≥ 0, und

mit x0, x0 +h liege auch deren Verbindungsstrecke S in U . Dann gibt es ein

ϑ in 0 ≤ ϑ ≤ 1, so daß gilt (”Taylor–Formel“)

f(x0 + h) = f(x0) +k∑

ν=1

1

ν!

(

(∇h)νf)

(x0) +Rk(x0;h)

mit dem Restglied (in”Lagrange–Darstellung“)

Rk(x0;h) =

1

(k + 1)!

(

(∇h)k+1f)

(x0 + ϑh)

und den Differentialoperatoren

(∇h)0 = id , ∇h := (∇h)1 := h1D1 + · · ·+ hnDn , (∇h)ν+1 := (∇h)(∇h)ν ,ν = 0, . . . , k .

Das Restglied indexRestglied laßt sich auch in Integralform darstellen,

Rk(x0;h) =

∫ 1

0

(1− t)kk!

(

(∇h)k+1f)

(x0 + th) dt .

Bezeichnungen: Ein Tupel α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 heißt Multiindex mit

Lange |α| = α1 + · · ·+ αn. Fur α ∈ Nn0 setzen wir

α! =

n∏

i=1

αi! , xα :=

n∏

i=1

xαi

i , x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn .

Induktiv sieht man, daß

(x1 + · · ·+ xn)ν = ν!

∑

|α|=ν

xα

α!

=⇒ 1

ν!(∇h)ν =

∑

|α|=ν

1

α!hαDα ,

- 153 -


wobei

Dα =∂|α|

∂xα11 · · · ∂xα

n

n

= Dα11 · · ·Dαn

n

∂`

∂x`i=

∂

∂xi◦ · · · ◦ ∂

∂xi(`–mal) .

Unter den Voraussetzungen von Satz 21 laßt sich die Taylor–Formel auch

in folgender Weise schreiben,

f(x0 + h) =∑

|α|≤k

1

α!hα(Dαf)(x0) +

∑

|α|=k+1

1

α!hα(Dαf)(x0 + ϑh) .

Man nennt

Pk,f,x0(x) =∑

|α|≤k

1

α!(x− x0)α(Dαf)(x0)

das k-te Taylor–Polynom von f bzgl. der Stelle x0.

Beispiel: f : U −→ R , U ⊂ R2 offen, konvex, f (k + 1)-mal stetig

differenzierbar:

k = 1:

f(x01 + h1, x

02 + h2) = f(x0

1, x02) +

((

h1∂

∂x1+ h2

∂

∂x2

)

f

)(x0

1, x02

)+

+1

2

((

h1∂

∂x1+ h2

∂

∂x2

)2

f

)

(x0

1 + ϑh1, x02 + ϑh2

),

wobei

1

2

(

h1∂

∂x1+ h2

∂

∂x2

)2

f =1

2h2

1

∂2f

∂x21

+ h1h2∂2f

∂x1∂x2+

1

2h2

2

∂2f

∂x22

.

Sind die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung in U beschrankt, so gilt die

Restgliedabschatzung

‖R1(x0;h)‖∞ ≤

1

2M‖h‖2∞

- 154 -


mit (hier: n = 2)

M :=

n∑

ν,`=1

supx∈U

∣∣∣∣

∂2f

∂xν∂x`(x)

∣∣∣∣.

Definition: Hessematrix (f ∈ C2(U) , U ⊂ Rn offen)

Hf (x) :=

fx1x1(x) · · · fx1xn(x)...

...

fxnx1(x) · · · fxnxn(x)

Bemerkung: Nach dem Satz von Schwarz ist die Hessematrix symme-

trisch, fxixj(x) = fxjxi

(x) ∀i, j = 1, . . . , n. Es gilt

(∇h)2f =n∑

i,j=1

hihjfxixj=< Hfh, h > .

Die Taylor–Formel fur k = 1 lautet

f(x0 + h) = f(x0)+ < grad f(x0), h > +R1(x0;h) ;

Restglied R1(x0;h) =

1

2< Hf(x

0 + ϑh)h, h > (”Lagrange–Darstellung“)

=

∫ 1

0(1− t) < Hf (x

0 + th)h, h > dt (”Integraldarstellung“)

Das Taylor–Polynom 2. Ordnung laßt sich schreiben als

P2,f,x0(x) = f(x0)+ < gradf(x0), x−x0 > +1

2< Hf (x

0)(x−x0), x−x0 > .

Bemerkung:

1. Ist f = (f1, . . . , fm) eine vektorwertige Funktion, dann gelten der Tay-

lorsche Satz und die Taylor–Formel unverandert, wobei alles vektor-

wertig zu verstehen ist.

- 155 -


2. Man kann die Eigenschaft der vollstandigen Differenzierbarkeit auch

allgemeiner in Banachraumen formulieren. Die Ableitungen heißen dann

Frechet–Ableitungen und sind beschrankte lineare Abbildungen zwi-

schen den Banachraumen. Die Funktionalmatrix ist eine mogliche Dar-

stellung der Frechet–Ableitung (bzgl. der kanonischen Basen in Rn

bzw. Rm). Die hoheren (Frechet–)Ableitungen sind dann Multilinear-

formen. Die Definitionen und die Formulierung der Satze, z. B. des

Taylorschen Satzes, konnen meist unverandert ubernommen werden.

17 Der Satz uber implizite Funktionen

Der Satz uber implizite Funktionen — oder der Satz uber inverse Funktionen

— kann als”Hauptsatz“ der nichtlinearen Analysis bezeichnet werden. Da-

bei lernen wir auch einen zentralen Satz uber die Existenz von Fixpunkten

kennen.

17.1 Der Kontraktionssatz

Satz 1 Sei (M,d) vollstandiger metrischer Raum, sei F : M −→M und es

gelte:

∃q ∈ [0, 1) ∀x, y ∈M : d(F (x), F (y)) ≤ qd(x, y) .

Dann gibt es genau ein x ∈M mit

F (x) = x (x ist Fixpunkt von F ) .

Folgerung 2 (Banachscher Fixpunktsatz)

- 156 -


Sei X Banachraum, M ⊂ X abgeschlossen, F : M −→M . Es gelte:

∃q ∈ [0, 1) ∀x, x′ ∈M :∥∥∥F (x)− F (x′)

∥∥∥X≤ q‖x− x′‖X .

Dann gibt es genau ein x ∈M mit

F (x) = x (x ist Fixpunkt von F in M) .

Definitionen:

1. Eine Abbildung F : D ⊂ X −→ Y, X, Y normierte Raume, heißt

Lipschitzstetig, wenn mit einer Konstanten L ≥ 0 (L = Lipschitzkon-

stante) gilt

‖F (x) − F (x′)‖Y ≤ L‖x− x′‖X ∀x, x′ ∈ D .

2. Eine Lipschitzstetige Abbildung F heißt Kontraktion (oder kontrahie-

rende Abbildung), wenn die Lipschitzkonstante L < 1 ist.

Beispiele:

1. Sei a < b , F : [a, b] −→ [a, b] stetig und sei F differenzierbar in (a, b).

Es gelte mit q ∈ [0, 1):

|F ′(ξ)| ≤ q ∀ξ ∈ (a, b) .

Dann besitzt F genau einen Fixpunkt in [a, b].

2. X = R , ‖.‖ := |.| , M := [0,∞),

F : M 3 t 7−→ t+1

1 + t∈M .

Es gilt

|F (t)− F (s)| < |t− s| , t, s ∈M ,

- 157 -


aber nicht

|F (t)− F (s)| ≤ q|t− s| , t, s ∈M , mit q < 1 .

F besitzt keinen Fixpunkt!

3. X := R , ‖.‖ := |.| , M := (0,∞) ,

F : M 3 t 7−→ qt ∈M mit q ∈ [0, 1) .

Offenbar gilt

|F (t)− F (s)| ≤ q|t− s| , t, s ∈M ,

aber F besitzt keinen Fixpunkt.

Beachte: M ist nicht abgeschlossen!

Als Anwendung von Satz 1 bzw. Folg. 2 in einer unendlich–dimensionalen

Situation betrachten wir das Existenzproblem von Anfangswertaufgaben bei

gewohnlichen Differentialgleichungen:

Gegeben: y0 ∈ Rn (Anfangswert) , D ⊂ Rn ,

f : [a, b]×D −→ Rn (rechte Seite) .

Gesucht: Losung ϕ der Anfangswertaufgabe

(AWP) y′ = f(t, y) , y(a) = y0 , d. h.

ϕ : [a, b] −→ D mit

ϕ(t) = f(t, ϕ(t)) , t ∈ [a, b] , ϕ(a) = y0 .

- 158 -


Der Hauptsatz (Satz ??) besagt, daß die Suche nach einer Losung der An-

fangswertaufgabe (AWP) verknupft werden kann mit der Suche nach einer

Losung der Integralgleichung

(IG) ϕ(t) = y0 +

∫ t

af(s, ϕ(s)) ds , t ∈ [a, b] .

Satz 3 Sei f : [a, b]×Rn −→ Rn stetig, y0 ∈ Rn beliebig, und es gebe L ≥ 0

mit

‖f(t, x)− f(t, x′)‖ ≤ L‖x− x′‖ ∀x, x′ ∈ Rn ∀t ∈ [a, b] .

Dann gibt es genau einen stetig differenzierbaren Weg ϕ : [a, b] −→ Rn mit

ϕ(t) = f(t, ϕ(t)) , t ∈ [a, b] , ϕ(a) = y0 .

Folgerung 4 Sei f : [a, b]×K(y0, r) −→ Rn stetig und es gebe L ≥ 0 mit

‖f(t, x)− f(t, x′)‖ ≤ L‖x− x′‖ ∀x, x′ ∈ K(y0, r) ∀t ∈ [a, b] .

Dann gibt es genau einen stetig differenzierbaren Weg ϕ : [a, a+ α] −→ Rn

mit

ϕ(t) = f(t, ϕ(t)) , t ∈ [a, a+ α] , ϕ(a) = y0 ;

hierbei sind:

α := max(b− a, rm−1) ,

m := max{

‖f(s, x)‖∣∣∣ s ∈ [a, b] , x ∈ K(y0, r)

}

.

Beispiele:

- 159 -


1. Populationsmodell (VOLTERRA–LOTKA)

(AWP) y′ = y(a− by) , y(0) = y0 ; a, b > 0 .

Mit f(t, y) := y(a− by) gilt fur y ∈ K(y0, r):

|f(t, x)− f(t, x′)| ≤ L|x− x′| ,

L := max

{∣∣∣∣

∂f

∂y(t, ξ)

∣∣∣∣t ∈ R, ξ ∈ K(y0, r)

}

.

Wir erhalten eine Losung zumindest fur ein”kleines Stuck“ in die

Zukunft (lokale Losung).

2. Betrachte

(AWP) y′ = 1 + y2 , y(0) = 0 .

Die Losung von AWP ist der Tangens (tan′(y) = 1 + y2).

Bemerkung: Satz 3 oder Folg. 4 wird als ein Satz vom Typ”PICARD–

LINDELOFF“ bezeichnet.

17.2 Der Satz uber die inverse Abbildung

In diesem Abschnitt sei immer f : U −→ Rm , U ⊂ Rn offen. Um den Satz

von der inversen Abbildung beweisen zu konnen, benotigen wir noch ein

Ergebnis uber invertierbare Matrizen.

Bezeichnung: M(m,n) := Raum aller (m,n)–Matrizen.

Jede Matrix A ∈ M(m,n) definiert eine beschrankte, lineare Abbildung

von Rn in den Rm , A : Rn −→ Rm. Im Raum M(n, n) aller quadratischen

Matrizen ist das Produkt AB zweier Matrizen wieder eine (n, n)–Matrix.

Eine Matrix A ∈M(n, n) ist invertierbar, d. u. n. d. wenn detA 6= 0.

- 160 -


Definition: Eine Matrizennorm auf M(n, n) liegt vor, wenn neben den

Normeigenschaften noch

‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ (”Submultiplikativitat“)

erfullt ist.

Hinsichtlich der Eigenschaft der Vertraglichkeit von Matrizennormen sei auf

Abschnitt 16.6 verwiesen.

Lemma 5 Ist A ∈ M(n, n) invertierbar, dann gibt es Zahlen α ≥ 0 und

ε > 0 mit der Eigenschaft ( ‖.‖ = Matrizennorm):

∀B : ‖B −A‖ < ε =⇒ ∃B−1 und ‖A−1 −B−1‖ ≤ α‖A−B‖ .

Bemerkungen:

1. Lemma 5 besagt, daß die Bildung der Inversen einer invertierbaren

Matrix eine stetige Abbildung inM(n, n) ist.

2. Man beachte, daß in endlichdimensionalen Raumen lineare Abbildun-

gen immer stetig (als Abb. zwischen den endlichdimensionalen Raum-

en) sind. Damit definiert auch die Inverse einer Matrix, wenn sie exi-

stiert, immer eine stetige lineare Abbildung.

Definition: f heißt Cr–Diffeomorphismus, r ≥ 1, falls gilt:

f ∈ Cr(U,Rm) , f injektiv,

V := f(U) offen, f−1 ∈ Cr(V,Rn) .

Satz 6 Sei f ∈ C1(U,Rm) , x0 ∈ U , und die Ableitung f ′(x0) sei inver-

tierbar. Dann gibt es ein U0 ⊂ U , U0 offen, x0 ∈ U0, so daß f |U0 C1–

Diffeomorphismus ist; fur y ∈ V0 := f(U0) gilt

(f−1)′(y) =[f ′(f−1(y)

)]−1.

- 161 -


Bemerkung:

1. Die Invertierbarkeit der Funktionalmatrix f ′(x0) =

(∂f

∂x(x0)

)

ist

aquivalent zur Beziehung det(f ′(x0)) 6= 0.

2. Ist f ∈ Cr(U,Rm), so kann man durch Anwendung der Kettenregel

sogar zeigen, daß h = f |U0 Cr–Diffeomorphismus ist, d. h. daß auch

alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung r von h−1 existieren und

stetig sind (vgl. Walter (1992), Analysis 2, 4.5 und 4.6).

3. Das Ergebnis von Satz 6 uber die inverse Abbildung laßt sich durch

folgende Figur verdeutlichen:

Beispiele:

1. Ebene Polarkoordinaten

Abbildung: (r, ϕ) −→ (r cosϕ, r sinϕ) =: (x, y)

det∂(x, y)

∂(r, ϕ)=

∣∣∣∣∣∣

cosϕ −r sinϕ

sinϕ r cosϕ

∣∣∣∣∣∣

= r 6= 0 , (x, y) 6= (0, 0) .

- 162 -


Zu jedem Bildpunkt (x, y) 6= (0, 0) gibt es unendlich viele Urbilder

(r, ϕ + 2kπ). In einer Umgebung von (x0, y0) 6= (0, 0) gibt es eine

Umkehrfunktion (aus C∞),

r = (x2 + y2)1/2 , ϕ = arg(x, y) = arctany

x

(falls x0 = 0 : ϕ = arccotx

y). Die Polarkoordinatendarstellung bildet

z. B. den offenen Halbstreifen {0 < r < ∞, −π < ϕ < π} C∞–

diffeomorph auf die langs der negativen reellen Achse aufgeschlitzte

Ebene R2 \ {(x, y) | x ≤ 0, y = 0} ab.

2. Betrachte f : R2 3 (x, y) 7−→ (x2 + y2, 2xy) ∈ R2.

Offenbar gilt:

f(R2) ⊂ Q :={

(u, v) ∈ R2∣∣∣u+ v ≥ 0 , u− v ≥ 0

}

.

Sei a > 0. Es gilt:

f(a cos t, a sin t) = (a2, a2 sin 2t) , 0 ≤ t ≤ π .

Damit zeigt man:

f(R2) = Q .

Offenbar ist f stetig differenzierbar; f ′(x, y) wird dargestellt durch die

Matrix

f ′(x, y) =

2x 2y

2y 2x

, det f ′(x, y) = 4(x2 − y2) .

Ist also (x0, y0) ∈ R2 mit (x0)2 6= (y0)2, so ist f in einer Umgebung

- 163 -


von (x0, y0) ein C1–Diffeomorphismus.

Zur Ableitung von f−1 : (f−1)′(u, v) =[

f ′(x, y)]−1

, (u, v) = f(x, y)

=

b11 b12

b21 b22

=: B

Spalten von B:

2x 2y

2y 2x

b11

b21

=

1

0

,

2x 2y

2y 2x

b12

b22

=

0

1

=⇒[

f ′(x, y)]−1

=1

2(x2 − y2)

x −y−y x

,

wobei

x =√u cos

(1

2arcsin

v

u

)

,

y =√u sin

(1

2arcsin

v

u

)

,

(u, v) ∈ Q , v 6= |u| .

17.3 Der Satz uber implizite Funktionen

In diesem Abschnitt sei immer F : U × V −→ Z , U ⊂ Rn, V ⊂ Rm, Z ⊂Rm.

Aufgabe: Die Gleichung

F (x, y) = 0 , (x, y) ∈ U × V

nach y”auflosen“, d. h. eine Abbildung g : U −→ V zu finden mit

F (x, g(x)) = 0 , x ∈ U .

- 164 -


Ausgeschrieben bedeutet dies:

F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0...

Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0

auf U nach y1, . . . , ym auflosen, d. h. gj : U −→ R , j = 1, . . . ,m, zu finden

mit

Fj(x1, . . . , xn, g1(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn)) = 0 ,

x = (x1, . . . , xn) ∈ U , j = 1, . . . ,m .

”Auflosbarkeit“ bedeutet auch:

Finde g : U −→ V , so daß

N := {(x, y) ∈ U × V | F (x, y) = 0}Graph der Abbildung g ist.

Man sagt, g sei durch F implizit definiert.

Beispiel:

1. Betrachte F : R2 3 (x, y) 7−→ x2 +y2−r2 ∈ R. Auflosen von F (x, y) =

0 bedeutet, die Kreislinie als Graph einer Funktion g darzustellen. Dies

kann nicht gelingen! Es ist aber”stuckweise“ moglich, z. B. durch

g1(x) :=√

r2 − x2 oder g2(x) := −√

r2 − x2 , |x| ≤ 1 .

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..................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

r

..............................................................................................

...............................................................................................

.............................................................................................

............................................................................................

- 165 -


Bezeichnung: Ist

Fx0 : V 3 y 7−→ F (x0, y) ∈ Z

bzw.

Fy0 : U 3 x 7−→ F (x, y0) ∈ Z

differenzierbar in y0 bzw. x0, so schreiben wir fur die Ableitungen

dyF (x0, y0) oder∂F

∂y(x0, y0)

bzw. dxF (x0, y0) oder∂F

∂x(x0, y0) .

Der folgende Satz beantwortet nicht nur die Frage der Auflosbarkeit, son-

dern trifft auch eine Aussage uber die Differenzierbarkeit implizit definierter

Funktionen.

Satz 7 Seien U ⊂ Rn und V ⊂ Rm offen, F : U×V −→ Z ⊂ Rm , (x0, y0) ∈U × V , und es gelte

F (x0, y0) = 0 , F ∈ C1(U × V,Z) ,∂F

∂y(x0, y0) invertierbar.

Dann gibt es offene Mengen U0 ⊂ U , V0 ⊂ V und eine Abbildung g : U0 −→V0 mit

(a) x0 ∈ U0 , y0 ∈ V0 , g ∈ C1(U0, V0) ,

(b) g(x) ist einzige Losung in V0 von F (x, g(x)) = 0 ∀x ∈ U0 ,

(c) g′(x) = −∂F∂y

(x, g(x))−1 ∂F

∂x(x, g(x)) , x ∈ U0 .

Bemerkung: Setzt man in Satz 7 zusatzlich voraus, daß F ∈ Cr(U×V,Z),

dann ist auch g ∈ Cr(U0, V0).

- 166 -


Beispiel:

2. Betrachte F : R×R 3 (x, y) 7−→ xex+yey+xy ∈ R und die Gleichung

F (x, y) = 0 , d. h. xex + yey + xy = 0 .

Es gilt: F (0, 0) = 0 , F ∈ Cr(R2,R) ∀r ∈ N ,

dyF (0, 0) =∂F

∂y(0, 0) = e0 = 1 6= 0 .

Also liegt in (0, 0) lokale Auflosbarkeit durch eine Funktion g vor;

g′(x) = −∂F∂y

(x, g(x))−1 · ∂F∂x

(x, g(x)) , x ∈ U0 ,

d. h.

g′(x) = − (x+ 1)ex + g(x)

(g(x) + 1)eg(x) + x, x ∈ U0 . (1)

Ferner g(0) = 0. (2)

(1) und (2) stellen eine Anfangswertaufgabe fur die zu findende Funk-

tion g dar.

17.4 Maxima und Minima

Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ C1(U,R).

Definition: x0 ∈ U heißt lokales Extremum (lokales Maximum bzw.

lokales Minimum), falls es ein r > 0 gibt mit

f(x) ≤ f(x0) bzw. f(x) ≥ f(x0) ∀x ∈ K(x0, r) ∩ U .

Gilt”=“ nur bei x0, so liegt ein lokales Extremum im strengen Sinn vor.

Eine notwendige Bedingung fur ein lokales Extremum liefert der folgende

Satz.

- 167 -


Satz 8 (Fermatsches Kriterium) Ist f ∈ C1(U,R) und x0 ein lokales Ex-

tremum, dann ist grad f(x0) = 0.

Definition: x0 heißt stationarer Punkt von f , wenn grad f(x0) = 0.

Zur Formulierung von hinreichenden Bedingungen benotigen wir noch fol-

gende Begriffe.

Definitionen: Eine (n, n)–Matrix A = (ajk) heißt

symmetrisch, wenn ajk = akj , j, k = 1, . . . , n .

Eine symmetrische Matrix heißt

positiv definit, wenn < Ax, x > > 0 ∀x 6= 0 ;

positiv semidefinit, wenn < Ax, x > ≥ 0 ∀x ;

negativ definit, wenn < Ax, x > < 0 ∀x 6= 0 ;

negativ semidefinit, wenn < Ax, x > ≤ 0 ∀x ;

indefinit, sonst.

Bemerkung: Fur symmetrische Matrizen gilt < Ax, y >=< x,Ay >

x, y ∈ Rn.

Satz 9 (Hinreichende Bedingung fur ein Extremum): Sei f ∈ C2(U) , x0 ∈U und grad f(x0) = 0. Mit Hilfe der Hessematrix Hf der zweiten partiellen

Ableitungen gelten dann die folgenden Aussagen:

(a) Hf (x0) positiv definit =⇒ lokales Minimum im strengen Sinn;

(b) Hf (x0) negativ definit =⇒ lokales Maximum im strengen Sinn;

(c) Hf (x0) indefinit =⇒ kein Extremum.

Bemerkung: Im Fall n = 2 ist Hf (x0) definit (d. h. positiv oder negativ

definit) bzw. indefinit, wenn die zugehorige Diskriminante

D = fxxfyy − f2xy

- 168 -


bei x0 positiv bzw. negativ ist. Ist D > 0 und fxx > 0 bzw. < 0 bei x0, so

ist Hf(x0) positiv definit bzw. negativ definit, also liegt ein Minimum bzw.

Maximum vor (vgl. Walter 2, 4.8 und 4.11).

Beispiel: f(x, y) = x3 + y3 − 3xy , (x, y) ∈ R2;

∂f

∂x= 3x2 − 3y ,

∂f

∂y= 3y2 − 3x ;

stationare Punkte: (0, 0) und (1, 1);

∂2f

∂x2= 6x ,

∂2f

∂y2= 6y ,

∂2f

∂x∂y= −3 .

Bei (0, 0) : D = −9; dort liegt also kein Extremum vor. Bei (1, 1) : D = 6·6−9 = 27; dort liegt ein lokales Minimum im engen Sinn vor; der Wert von f ist

f(1, 1) = −1. Wegen f(x, x) −→ ∞(x → ∞) und f(x, x) −→ ∞(x → −∞)

gibt es kein globales Extremum.

-1-0.5

00.5

11.5

2 -1-0.5

00.5

11.5

2

-5

0

5

10

- 169 -


17.5 Lagrangesche Multiplikatorenregel

Sei M ⊂ U , M 6= ∅ , U ⊂ Rn offen, f : U −→ R.

Optimierungsaufgabe (Extrema mit Nebenbedingung):

Minimiere bzw. maximiere f(x) unter der Nebenbedingung x ∈M .

⇐⇒Finde x0 ∈M mit f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈M bzw. f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈M .

⇐⇒(Kurzschreibweise) minx∈M f(x) bzw. maxx∈M f(x)

Voraussetzung: Der Bereich M kann parametrisiert werden, d. h. es exi-

stiert g =

(g1, . . . , gm) : U −→ Rm mit M = {x ∈ U | g(x) = 0}.

Beispiele:

1. g(x, y, z) := x+ y − z = 0 , M = {(x, y, z) | z = x+ y} .

2. g(x, y) := x2 + y2 − 1 = 0 , M = Kreis mit Radius 1 ,

grad g(x) = (2x, 2y) .

Spezialfall: (n = 2 , g(x, y) = 0 stellt ebene Kurve dar.) Gesucht ist

ein lokales Minimum von f unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0. Ist

gy(x0, y0) 6= 0, dann laßt sich g = 0 in einer Umgebung von (x0, y0) eindeu-

tig auflosen in der Form y = h(x). Gesucht ist also ein lokales Extremum

von k(x) := f(x, h(x)). Es ist

k′(x) = fx + fyh′ , h′(x) = −gx

gy(Argument: (x, h(x)) )

(s. Satz 7). Ein stationarer Punkt in M = {g(x) = 0} liegt vor, wenn

(∗) fx − fygxgy

= 0 und g = 0 .

- 170 -


Fuhrt man die (Lagrange–)Funktion

H(x, y, λ) := f(x, y) + λg(x, y)

ein, so ist die Losung von (∗) aquivalent zur Suche eines stationaren Punktes

(x0, y0, λ0) von H — falls gy 6= 0 —, d. h.

Hx = fx(x, y) + λgx(x, y) = 0 ,

(L) Hy = fy(x, y) + λgy(x, y) = 0 ,

Hλ = g(x, y) = 0 .

In (L) sucht man also einen stationaren Punkt der Funktion H ohne Neben-

bedingung;

λ heißt Lagrangescher Multiplikator.

Ist gx(x0, y0) 6= 0, so erhalt man aus (∗) den Lagrangeschen Multiplika-

tor durch λ = −fx(x0, y0) / gx(x0, y0) — bei gy(x

0, y0) 6= 0 durch λ =

−fy(x0, y0) / gy(x0, y0).

Unter den Losungen (x0, y0, λ0) von (L) sind also die lokalen Minima der

obigen Optimierungsaufgabe enthalten.

Beispiel: f(x, y) = x2y2 , g(x, y) = x2 + y2 − 1 ,

H(x, y, λ) = x2y2 + λx2 + λy2 − λ ;

0 = Hx(x, y, λ) = 2xy2 + 2λx = 2x(y2 + λ) ,

(L) 0 = Hy(x, y, λ) = 2x2y + 2λy = 2y(x2 + λ) ,

1 = x2 + y2 .

- 171 -


=⇒ 1. x0 = 0 , y0 = ±1 (, λ0 = 0)

2. y0 = 0 , x0 = ±1 (, λ0 = 0)

(4 Punkte)

3. y2 + λ = 0

x2 + λ = 0

x2 + y2 = 1

=⇒1 = −2λ , λ0 = −1

2 , y2 = 1

2

y0 = ±12

√2 , x0 = ±1

2

√2

(4 Punkte)

Unter den 8 Punkten mussen samtliche stationaren Punkte sein.

Allgemeiner Fall:

F : U ⊂ Rn+m −→ R , G : U ⊂ Rn+m −→ Rm , x ∈ Rn , y ∈ Rm .

Optimierungsaufgabe: Gesucht lokale Extrema von

F (x, y) = F (x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym)

unter den m Nebenbedingungen

G1(x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym) = 0...

Gm(x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym) = 0 .

Satz 10 (Lagrangesche Multiplikatorenregel) Sei U ⊂ Rn+m offen, (x0, y0) ∈U , F ∈ C1(U,R) , G ∈ C1(U,Rm), und es sei

∂G

∂y(x0, y0) eine invertierbare

Matrix. Hat die Funktion F (x, y) unter der Nebenbedingung G(x, y) = 0 an

der Stelle (x0, y0) ein lokales Extremum, so gibt es ein λ0 = (λ01, . . . , λ

0m) ∈

Rm, so daß die Funktion

H(x, y, λ) = F (x, y)+ < λ,G(x, y) >

an der Stelle (x0, y0, λ0) einen stationaren Punkt besitzt.

- 172 -


Bemerkung: Bei (x0, y0, λ0) gelten also die Gleichungen

dxH = 0 , dyH = 0 , dλH = 0 ,

oder, ausfuhrlich,

Hxi= Fxi

+m∑

j=1

λjGj,xi= 0 , i = 1, . . . , n ,

Hyk= Fyk

+

m∑

j=1

λjGj,yk= 0 , k = 1, . . . ,m ,

Hλk= Gk = 0 , k = 1, . . . ,m ,

oder, aquivalent,

gradF (x, y) +G′(x, y)∗λ = 0 , G(x, y) = 0 .

Definition: Die adjungierte Matrix (oder transponierte Matrix ) einer

reellwertigen (p, q)–Matrix A = (ak,l) k=1,...,p`=1,...q

ist definiert durch

A∗ =(a∗k,`), a∗k,` = a`,k , k = 1, . . . , q , ` = 1, . . . , p .

Die adjungierte Matrix der Funktionalmatrix G′(x, y) in Satz 10 laßt sich

ausfuhrlich wie folgt darstellen

- 173 -


G′(x, y)∗ =

G1,x1 · · · Gm,x1

...

G1,xn · · · Gm,xn

G1,y1 · · · Gm,y1...

G1,ym · · · Gm,ym

↑n

↓

↑m

↓

←− m −→

Bezeichnung: Die Zahlen λ1, . . . , λm in Satz 10 heißen Lagrangesche

Multiplikatoren.

Die in Satz 10 noch ausgezeichneten y1, . . . , ym, nach denen aufgelost wird,

mussen jedoch nicht ausgezeichnet sein. Wir betrachten dazu wieder die

fruhere Situation:

f ∈ C1(U,R) , g ∈ C1(U,Rm) , U ⊂ Rn offen ,

M = {x | g(x) = 0}

und suchen lokale Extrema von f .

- 174 -


Definition: x0 ∈M heißt regular, falls

grad g1(x0), . . . , grad gm(x0) linear unabhangig sind.

Definition: m Vektoren y1, . . . , ym ∈ Rm heißen linear unabhangig (Abk.:

l. u.), wenn aus

m∑

j=1

γjyj = 0 folgt: γj = 0 ∀j = 1, . . . ,m .

Bemerkung: Sind y1, . . . ym ∈ Rn l. u., dann muß m ≤ n sein.

Lemma 11 Die Anzahl der l. u. Spalten einer (n,m)–Matrix A = (ajk) ist

gleich der Anzahl der l. u. Zeilen von A.

Bemerkung: Betrachtet man die Adjungierte der Funktionalmatrix g ′(x),

dann ist g′(x)∗ eine (n,m)–Matrix — d. h. sie hat diem Spalten grad gj(x) , j =

1, . . . ,m. Ein regularer Punkt x0 ∈M liegt vor, wenn die Spalten von g′(x0)∗

l. u. sind. Nach Lemma 11 sind dann auch m Zeilen von g ′(x0)∗ l. u. und

fur m Indizes i1, . . . , im ist die quadratische Matrix

∂(g1, . . . , gm)

∂(xi1 , . . . , xim)

invertierbar.

Generelle Voraussetzung im folgenden:

U ⊂ Rn offen, f ∈ C1(U,R) , g ∈ C1(U,Rm) .

Satz 12 Sei m < n , x0 ∈ M = {x | g(x) = 0} regular, und x0 sei lokales

Extremum

von f . Dann gibt es ein λ0 = (λ01, . . . , λ

0m) ∈ Rm mit

grad f(x0) + g′(x0)∗λ0 = 0 ,

- 175 -


d. h. (x0, λ0) ist stationarer Punkt von

H(x, λ) = f(x)+ < λ, g(x) > .

Bezeichnung: Die Funktion

H(x, λ) := f(x)+ < λ, g(x) > , x ∈ U , λ ∈ Rm

in Satz 12 heißt die dem Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen zu-

geordnete Lagrange–Funktion. Die Gleichungen zur Bestimmung von stati-

onaren Punkten der Lagrange–Funktion stellen n+m Bedingungen fur die

n+m Unbekannte x01, . . . , x

0n , λ

01, . . . , λ

0m dar. Damit gelingt es, Kandidaten

x0 fur lokale Extrema von f zu finden. Der Lagrange–Multiplikator λ0 =

(λ01, . . . , λ

0m) beschreibt die Sensitivitat des Optimalwertes in Abhangigkeit

von Variationen in den Nebenbedingungen.

Beispiel: Gesucht

min{

− xy∣∣∣ (x, y) ∈M

}

, M :={

(x, y) ∈ R2∣∣∣ x+ y = 1

}

.

Die Gleichungen fur x0, y0, λ0 lauten (f(x, y) := −xy , g(x, y) = x+ y − 1)

x0 + y0 − 1 = 0 ,

−y0 + λ0 = 0 ,

−x0 + λ0 = 0 .

Losung: x0 = y0 =1

2, λ0 =

1

2. -

6QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

MRegularitat liegt vor!

Die vorliegende Optimierungsaufgabe kann man wegen

g(x, y) = 0⇐⇒ y = 1− x ; f(x, 1− x) = x2 − x

- 176 -


auf eine eindimensionale Optimierungsaufgabe zuruckfuhren; dafur ist ( 12 ,

12)

globales Minimum.

Abschließend interessieren wir uns noch fur notwendige und hinreichende

Kriterien fur das Vorliegen eines lokalen Extremums.

Definition: Tangentenebene von M in x0

T (x0,M) :={

d ∈ Rn∣∣ g′(x0)d = 0

}

.

Lemma 13 Ist x0 ∈M regular, so gilt

T (x0,M) ={

d ∈ Rn∣∣∣ ∃τ > 0 ∃α ∈ C1((−τ, τ),Rn) :

α(0) = x0 , α′(0) = d , α(t) ∈M ∀t}

.

Satz 14 Ist x0 ∈M regular und lokales Extremum von f , so gilt

< grad f(x0) , d >= 0 ∀d ∈ T (x0,M) .

Generelle Voraussetzung im folgenden:

f ∈ C2(U,R) , g ∈ C1(U,Rm) , x0 ∈M regular .

Dann existiert die Hessematrix H(x) := Hf (x) der zweiten (stetigen) parti-

ellen Ableitungen von f (vgl. Abschnitt 16.7).

Satz 15 Sei x0 ∈ M lokales Minimum bzw. Maximum von f uber M , und

U sei konvex. Dann gilt:

(a) < grad f(x0), d >= 0 ∀d ∈ T (x0,M) ;

(b) < H(x0)d, d >≥ 0 (fur Min.) bzw. ≤ 0 (fur Max.) ∀d ∈ T (x0,M) .

- 177 -


Der folgende Satz liefert ein hinreichendes Kriterium.

Satz 16 Seien U,M konvex, x0 ∈M , und es gelte:

(a) < grad f(x0), d >= 0 ∀d ∈ T (x0,M) ;

(b) < H(x0)d, d >> 0 [bzw. < 0] ∀d ∈ T (x0,M) , d 6= 0 .

Dann ist x0 lokales Minimum [bzw. lokales Maximum] uber M .

- 178 -


A Grundlagen der Aussagenlogik

Bezeichnungen

Aussagen sind Satze, deren Inhalt entweder wahr oder falsch ist.

Wahrheitswerte

W : wahr (gelegentlich auch T fur engl. true)

F : falsch (engl. false)

Aussagenvariablen p,q sind Buchstaben oder andere Zeichen, an deren Stelle

Aussagen oder Wahrheitswerte gesetzt werden konnen.

Aussageformen sind Aussagen, die Aussagenvariablen enthalten. Die fol-

genden Sonderfalle logischer Aussageformen sollen besonders hervorgehoben

werden.

Eine Aussageform, die bei jeder Belegung ihrer Variablen den Wahrheitswert

• W annimmt, heißt Wahrform (Tautologie, logisch wahre Aussageform,

logisches Gesetz),

• F annimmt, heißt Falschform (Kontradiktion, logisch falsche Aussage-

form, logischer Widerspruch).

Eine Aussageform, die weder Wahrform noch Falschform ist, heißt Neutral-

form (Neutralitat, logisch teilgultige Aussageform).

Verknupfungszeichen, Verknupfungen

Verknupfungen von Aussagen zu einer neuen Aussage bezeichnet man auch

als Junktionen. Die Verknupfungszeichen ¬, ∧ , ∨ , → , ↔ , ←7→ nennt

man Junktoren.

- 179 -


Bezeichnung Schreibweise Sprechweise

Negation ¬p nicht p

Konjunktion p∧ q p und q

Disjunktion p∨ q p oder q (einschließendes (in-

klusives) oder)

Subjunktion ¬p∨ q, auch: (p → q) p subjungiert q

Bijunktion (p → q)∧ (q → p), auch: (p ↔ q) p bijungiert q

Antivalenz

(Alternative)

¬(p ↔ q), auch: (p ←7→ q) entweder p oder q (ausschlie-

ßendes (exklusives) oder)

Wahrheitstafel zu den Verknupfungen

p q ¬p p∧q p∨q p → q p ↔ q p ←7→ q

W W F W W W W F

W F F F W F F W

F W W F W W F W

F F W F F W W F

Beispiele:

• p∨¬p, ¬(p∧ q)∨ q sind Tautologien.

• p∧¬p, ¬(p∨ q)∧ q sind Kontradiktionen.

• p∨ q, p∧ q, p → q sind Neutralformen.

Seien A und B Aussageformen. Man sagt:

• A impliziert B ( A ⇒ B ), wenn A → B eine Tautologie ist (ande-

re Sprechweisen: wenn B, dann A, B folgt aus A, A ist hinreichende

- 180 -


Bedingung fur B, B ist notwendige Bedingung fur A), und spricht von

logischer Implikation,

• A ist aquivalent zu B ( A ⇔ B ), wenn A ↔ B eine Tautologie ist

(andere Sprechweise: A genau dann, wenn B), und spricht von logischer

Aquivalenz.

Beispiel:

p∧q ⇒ p∨ q, weil p∧q → p∨ q eine Tautologie ist.

Gesetze der Aussagenlogik

Kommutativgesetze

1. p∨q ⇔ q∨p

2. p∧q ⇔ q∧p

Assoziativgesetze

1. (p∨ q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r)

2. (p∧ q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r)

Distributivgesetze

1. p∨ (q∧ r) ⇔ (p∨q)∧ (p∨ r)

2. p∧ (q∨ r) ⇔ (p∧q)∨ (p∧ r)

Idempotenzgesetze

1. p∨p ⇔ p

- 181 -


2. p∧p ⇔ p

Absorptionsgesetze (Verschmelzungsgesetze)

1. p∨ (p∧q) ⇔ p

2. p∧ (p∨q) ⇔ p

de Morgan–Gesetze

1. ¬(p∨ q) ⇔ ¬p∧¬q

2. ¬(p∧ q) ⇔ ¬p∨¬q

Andere Verneinungsgesetze

1. ¬(¬p) = p

2. ¬W = F

3. ¬F = W

Satz vom ausgeschlossenen Dritten

p∨¬p ist eine Tautologie.

Satz vom Widerspruch

p∧¬p ist eine Kontradiktion.

Kontrapositionsgesetz

(p → q) ⇔ (¬q → ¬p)

- 182 -


Transitivgesetz

((p → q)∧ (q → r)) ⇒ (p → r)

Abtrenngesetze

1. p∧ (p → q) ⇒ q (direkter Schluß)

2. (p → q)∧¬q ⇒ ¬p (indirekter Schluß)

- 183 -


B Theoretische Ubungsaufgaben

fur Mathematiker und Physiker zu Analysis I

Ubungen (1)

zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

Losen Sie folgende Ungleichungen uber Re . Skizzieren Sie zudem die Losungs-

menge auf der x−Achse.

a) x+32x−5 > 3;

b) |x|−1x2−1

≥ 12 ;

c) |x− |x− 1|| > −2x+ 1.

Hinweis:

Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen fur x.

Aufgabe 2

Seien A, B und C Teilmengen von X. Fur A ⊂ X ist das Komplement A′

von A in X erklart durch A′ := X \ A. Zeigen Sie

a) A ∪B = B ∪A (Kommutativgesetz);

b) (A ∪B)′ = A′ ∩B′ (Regel von de Morgan);

c) A× (B ∩C) = (A×B) ∩ (A× C).

Bemerkung:

Die oben angegebenen Regeln fur Mengen gelten auch, wenn man jeweils ∪

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durch ∩ und ∩ durch ∪ ersetzt. Die Regel von de Morgan gilt nicht nur fur

zwei, sondern auch fur eine beliebige endliche oder unendliche Anzahl von

Mengen.

Aufgabe 3

Seien B und C Teilmengen einer Menge A. Zeigen Sie die Aquivalenz von

a) B ⊂ C;

b) B ∩ C = B;

c) B ∪ C = C.

Aufgabe 4

a) Welche der folgenden Formulierungen bzw. Ausdrucke sind mathema-

tische Aussagen, d.h. Satze denen man unabhangig vom Betrachter

genau einen der Wahrheitswerte wahr oder falsch zuordnen kann? Be-

grunden Sie kurz Ihre Entscheidung.

i) Diese Aufgabe ist sehr schwer.

ii) Dies ist eine Aufgabe zur Aussagenlogik.

iii) Diese Art von Aufgabe kommt in der Klausur vor.

b) Die Aussage q sei gegeben durch”Das Parallelogramm D ist ein Qua-

drat.“. Geben Sie jeweils eine andere Aussage p an, so daß gilt:

i) q ⇒ p, aber nicht p⇒ q;

ii) p⇒ q, aber nicht q ⇒ p;

iii) p⇔ q.

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Ubungen (2)


Aufgaben fur Mathematiker und Physiker:

Aufgabe 1

Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) ∀ A, B ⊂ X;

b) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D) ∀ C, D ⊂ Y ;

c) f(f−1(C) ∩A) = C ∩ f(A) ∀ A ⊂ X, C ⊂ Y.

Aufgabe 2

Seien A, B und C Mengen; seien f : A → B und g : B → C Abbildungen.

Zeigen Sie:

a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.

b) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv, und es gilt (g ◦ f)−1 =

f−1 ◦ g−1.

Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 3


a) f(A \ B) ⊃ f(A) \ f(B) ∀ A, B ⊂ X;

b) f−1(C \D) = f−1(C) \ f−1(D) ∀ C, D ⊂ Y.

Aufgabe 4

Sei X eine Menge, und X ⊂ P(X). X heißt σ−Algebra in X, wenn gilt:

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i) X ∈ X ;

ii) A ∈ X ⇒ A′ ∈ X ;

iii) An ∈ X (n ∈ N) ⇒ ⋃

n∈NAn ∈ X .

Zeigen Sie:

a) Ist X eine σ−Algebra, und ist B ⊂ X, so ist

XB := {Z ∩B | Z ∈ X}

eine σ−Algebra in B.

b) Sei Y eine Menge, sei f : Y → X eine Abbildung. Ist X eine σ−Algebra

in X, so ist

f−1(X ) := {f−1(Z) | Z ∈ X}

eine σ−Algebra in Y.

Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 3

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivitat, Injektivitat und

Bijektivitat:

a) f : Re → Re , x 7→ 2x− 1;

b) g : [−2;∞[→ [−2;∞[, x 7→ x2 − 2x− 1;

c) h : Re \{0} → Re , x 7→ x3

|x| .

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Aufgabe 4

Zwei ohmsche Widerstande R1 und R2 werden zum einen in Reihe mit Ge-

samtwiderstand Rr und in einer zweiten Schaltung parallel mit Gesamtwi-

derstand Rp geschaltet. Zeigen Sie, daß zwischen den Gesamtwiderstanden

folgende Ungleichung gilt:

Rr ≥ 4Rp.

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Ubungen (3)


Aufgabe 1

a) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Beweisen Sie die richtigen Aussagen und geben Sie fur die falschen

Aussagen ein Gegenbeispiel an.

i) Jedes Maximum ist ein Supremum.

ii) Zu jeder Teilmenge von Re gibt es ein Supremum.

iii) Infimum und Minimum sind dasselbe.

iv) Ist s das Supremum einer Teilmenge von Re , so ist s + 1 eine

obere Schranke dieser Teilmenge.

b) Bestimmen Sie – falls vorhanden – das Infimum, Supremum, Minimum

und Maximum der Menge M, die durch

M :=

{ |x|1 + |x|

∣∣∣∣x ∈ Re

}

⊂ Re

definiert ist.

Aufgabe 2

Die sog. Fibonacci-Zahlen beschreiben das Fortpflanzungsverhalten von Ka-

ninchen. Das stark vereinfachte Modell sieht folgendermaßen aus:

Ein neugeborenes Kaninchenpaar k1 bringt nach dem ersten und dem zwei-

ten Monat ein neues Paar zur Welt – k2 und k3. Jetzt kommt k1 fur die

weitere Fortpflanzung – aus welchen Grunden auch immer – nicht mehr in

Frage. Der Nachwuchs zeigt nun dasselbe Verhalten wie seine Eltern, wobei

wir voraussetzen, daß jedes Paar aus Mannlein und Weiblein besteht und

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beide nicht fremdgehen. Bezeichnet man mit Fn die Anzahl der zu Beginn

des n−ten Monats geborenen Kaninchenpaare, so kann das Modell durch

die folgende Rekursion beschrieben werden:

F1 := 1, F2 := 1, Fn := Fn−1 + Fn−2 fur n = 3, 4, . . .

Beweisen Sie mit Hilfe der vollstandigen Induktion:

a)

F1 + F2 + · · ·+ Fn−1 + 1 = Fn+1, n ∈ N≥2;

b)

Fn−1Fn+1 = F 2n + 1, n ∈ N, n gerade;

c)

F2n+1 = F 2n+1 + F 2

n , n ∈ N.


Aufgabe 3

Gegeben Sei die Menge K := {a, b, c}. Auf K×K seien die Abbildungen +

und · durch die folgenden Tafeln definiert:

+ a b c

a c a b

b a b c

c b c a

· a b c

a a b c

b b b b

c c b a

K ist mit den angegebenen Verknupfungen + und · ein Korper.

a) Bestimmen Sie das Nullelement und das Einselement von K. Verifizie-

ren Sie die entsprechenden Eigenschaften.

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b) Beweisen Sie das Kommutativgesetz bzgl. + und ·.

c) Berechnen Sie x := a+ (−c), y := a · c−1.

Aufgabe 4

Beweisen Sie mit Hilfe der Anordnungsaxiome folgende Rechenregeln:

a) Aus a −b.

b) Aus a 0 folgt ac < bc.

c) Aus a bc.

d) Aus 0 < a < b und 0 < c < d folgt ac < bd.

Aufgaben Physiker:

Aufgabe 3

Bestimmen Sie – falls vorhanden das Infimum, Supremum, Minimum und

Maximum der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:

a)

A1 :=

{1

m+

1

n

∣∣∣∣m,n ∈ N

}

;

b)

A2 :=

{

x+1

x

∣∣∣∣

1

2< x ≤ 2

}

.

Aufgabe 4

In der ehemaligen Sowjetunion wurden Geldscheine nur fur 3 und 5 Rubel

gedruckt. Zeigen Sie mit Hilfe der vollstandigen Induktion, daß es moglich

ist, jeden ganzzahligen Betrag ab 8 Rubel in Geldscheinen zu bezahlen.

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Ubungen (4)


Aufgabe 1

a) Verneinen Sie folgende Aussagen:

i) Zu jedem Mann existiert eine Frau, die ihn nicht liebt.

ii) ∀ a, b ∈ Re mit a > b ∃ c ∈ Q : a > c > b.

b) Beweisen Sie durch indirekten Beweis

i)√b−√a <

√b− a a, b ∈ Re , b > a > 0;

ii)√

2 +√

3 ist irrational.

Hinweis:

Sie durfen benutzen, daß√

6 irrational ist.

Aufgabe 2

Zeige Sie mit Hilfe des Satzes von Archimedes und des Wohlordnungssatzes,

daß folgende Aussage gilt:

Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl n ∈ Z

mit

n ≤ x < n+ 1.

Hinweis:

i) Fur x ∈ Z ist die Aussage trivialerweise erfullt. Fur x ∈ Re \Z un-

terscheide zwischen x ≥ 0 und x < 0. Beweisen Sie die Eindeutigkeit

indirekt.

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ii) Es gibt eine analoge Aussage der Form:

Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl

m ∈ Z mit

m− 1 < x ≤ m.

iii) Dadurch werden die Funktionen

bxc := n bzw. dxe := m

erklart. Fur bxc ist auch die Gauß-Klammer [x] ublich.


Aufgabe 3

Sei X eine Menge; seien A,B ⊂ X. Die symmetrische Differenz A4B von

A und B ist definiert durch

A4B := {x ∈ X | x ∈ A ∪B, x 6∈ A ∩B}.

a) Zeigen Sie

A4B = (A ∩B ′) ∪ (A′ ∩B).

b) Berechnen Sie A4B fur die folgenden Mengen:

i)

A := {x ∈ Re | x2 > 1} und B := {x ∈ Re | |x+ 0, 5| < 1};

ii)

A := {(x, y) ∈ Re 2 | x2+y2 ≤ 2} und B := {(x, y) ∈ Re 2 | x2+y2 ≤ 1}.

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Aufgabe 4:

Auf Re \{2} werde eine Verknupfung ⊗ durch

a⊗ b := ab− 2(a+ b) + 6, a, b ∈ Re \{2},

definiert. Zeigen Sie, daß (Re \{2},⊗) eine Gruppe ist. Ist diese Gruppe

abelsch, d.h. kommutativ?

Hinweis:

Eine nichtleere Menge Gmit einer Verknupfung⊗ : G×G→ G, (a, b) 7→ a⊗bheißt Gruppe, wenn sowohl ein neutrales als auch ein inverses Element bzgl.

⊗ existieren und das Assoziativgesetz gilt.

Neutrales Element: ∃ e ∈ G : e⊗ a = a⊗ e = a ∀ a ∈ G.Inverses Element: ∀ a ∈ G ∃ b ∈ G : a⊗ b = b⊗ a = e.


Aufgabe 3

Beweisen Sie mittels vollstandiger Induktion:

a)n∑

i=1

i3 =1

4n2(n+ 1)2, n ∈ N;

b)n∑

i=1

1

i3< 2− 1

n2, n ∈ N, n ≥ 2.

Aufgabe 4

Bestimmen Sie die Anzahl der Tripel (n1, n2, n3) ∈ N3 mit

n1 + n2 + n3 = n+ 1, n ∈ N, n ≥ 2.

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Ubungen (5)


Aufgabe 1

a) Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung:

Sei a ∈ Re , a > −1, sei n ∈ N, dann gilt

(1 + a)n ≥ 1 + na.

b) Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum von

M :=

{(

1− 1

n2

)n ∣∣∣∣n ∈ N

}

.

Hinweis:

i) Sie konnen benutzen, daß fur n ∈ N und a ∈ Re , 0 < a < 1, die

Ungleichung 0 < an < 1 gilt.

ii) Verwenden Sie Teil a) zum Beweis von b).

Aufgabe 2

a) Zeigen Sie die folgende Gleichheit fur die Binomialkoeffizienten:

(n

k

)

+

(n

k + 1

)

=

(n+ 1

k + 1

)

, n, k ∈ N0.

Hinweis:

Fur k > n setzt man(nk

):= 0. Behandeln Sie auch die Falle k ≥ n.

b) Zeigen Sie mittels vollstandiger Induktion, daß fur beliebige n, k ∈ N

gilt:n∑

j=1

(k + j − 1

k

)

=

(n+ k

k + 1

)

.

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Aufgabe 3

a) Bringen Sie die folgenden Ausdrucke auf die Form x+ iy, x, y ∈ Re :

i) i4 + i5 + i6 + i7; ii) i1−i ; iii) 1

i + 31+i ; iv)

(1+i

√3

1−i√

3

)2.

b) Beweisen Sie fur z ∈ C mit |Re(z)| < 1 die Ungleichung

∣∣∣∣

z

1− z2

∣∣∣∣≤ |z|

1− (Re(z))2.

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Aufgabe 4

Beweisen Sie mittels vollstandiger Induktion

a)n∏

j=1

(1− aj) ≥ 1−n∑

j=1

aj, 0 ≤ aj ≤ 1 ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n};

b)

n∑

j=1

aj

n∑

j=1

1

aj

≥ n2, aj ∈ Re , aj > 0 ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n}.


Aufgabe 4

Bestimmen Sie die Teilmengen von C, die durch die folgenden Gleichungen

bzw. Ungleichungen charakterisiert werden, und skizzieren Sie diese:

a)

|z − 1| = |z + 1|;

b)

|z − 2| ≤ |z + 2|;

c)

|z + 1| ≤ |z − 2|;

d)

Re

(z + 1

z − 1

)

≥ 2, z 6= 1.

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Ubungen (6)


Aufgabe 1

Es seien A,B nichtleere Teilmengen von Re . Es gelte

a ≤ b ∀ a ∈ A, b ∈ B.

Beweisen Sie:

a)

s := supA und t := inf B existieren;

b)

supA ≤ inf B;

c)

supA = inf B ⇔ ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A, b ∈ B : b− a < ε.

Aufgabe 2

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren

Grenzwert:

a)

an := 2−n(2n − (−2)n), n ∈ N;

b)

bn := (−1)−nn2 − n+ (−1)n

3n3 − 4n+ 5, n ∈ N;

c)

cn :=

n∑

k=1

1

k(k + 1), n ∈ N;

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Hinweis:

Schreiben Sie die Summe in eine Teleskopsumme um.

d)

dn :=√n+ 4−

√n+ 2, n ∈ N.


Aufgabe 3

Die Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N seien definiert durch

0 < a1 < b1, an+1 =2anbnan + bn

, bn+1 =1

2(an + bn).

a) Zeigen Sie, daß die Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N beschrankt und mo-

noton sind.

b) Zeigen Sie, daß die Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren,

und bestimmen Sie diesen.

Aufgabe 4

Es sei eine Folge (an)n∈N gegeben mit der folgenden Eigenschaft:

∃ q ∈ Re mit 0 < q < 1 : |an+1 − an| ≤ q|an − an−1|, n ≥ 2.

Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, daß (an)n∈N konvergiert.

Hinweis:

Benutzen Sie an geeigneter Stelle die geometrische Summenformel∑k

j=0 qj =

1−qk+1

1−q , q 6= 1.


Aufgabe 3

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Die rekursive Folge (an)n∈N sei definiert durch

a1 :=√

6, an+1 =√an + 6, n ∈ N.

Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren

Grenzwert.

Aufgabe 4

Betrachten Sie eine Flussigkeit A1 in einem Behalter B1 und eine Flussigkeit

A2 in einem Behalter B2 von jeweils 100 cm3. 10 cm3 von A1 werden nun zur

Flussigkeit A2 in den Behalter B2 gegeben. Nach grundlichem Vermischen

werden 10 cm3 aus B2 wieder zu der Flussigkeit in B1 gegeben. Anschlie-

ßend wird die Flussigkeit in B1 grundlich vermischt. Im nachsten Schritt

entnimmt man wiederum 10 cm3 aus B1 und schuttet diese in den Behalter

B2, usw.; d.h. dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt. Die Folge (cn)n∈N

bezeichne die relative Menge der Flussigkeit A1 im Behalter B1 nach dem

n−ten Schritt.

a) Geben Sie die Rekursionsformel fur die Folge (cn)n∈N an.

b) Wie oft muß der Vorgang durchlaufen werden, bis sich in dem Behalter

B1 weniger als 70 cm3 der Flussigkeit A1 befinden?

c) Zeigen Sie, daß die Folge (cn)n∈N konvergiert, d.h. daß es eine Grenz-

mischung gibt.

Hinweis:

Betrachten Sie parallel zur Folge (cn)n∈N eine Folge (dn)n∈N bzgl. des Behalters

B2.

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Ubungen (7)


Aufgabe 1

Berechnen Sie die Haufungswerte der unten angegebenen Folgen:

a) an := n√

1 + (−1)n, n ∈ N;

b) bn := | 1n + in|, n ∈ N;

c) cn := |z|n1+|z|n , n ∈ N, z ∈ C;

d) dn := nx− [nx], n ∈ N, x ∈ Q.

Aufgabe 2

Seien (an)n∈N und (bn)n∈N Folgen. Zeigen Sie:

a) Konvergiert (an)n∈N, so konvergiert auch (|an|)n∈N, und es gilt

limn→∞

|an| = | limn→∞

an|.

Gilt auch die Umkehrung?

b) Konvergiert (an)n∈N, so konvergiert auch

(

1n

n∑

j=1aj

)

n∈N

, und es gilt

limn→∞

1

n

n∑

j=1

aj = limn→∞

an.

c) Geben Sie eine divergente Folge an, fur welche die zugehorige Folge

der arithmetischen Mittel konvergiert.


Aufgabe 3

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a) Bestimmen Sie alle Haufungswerte sowie lim inf und lim sup der Folge

(an)n∈N, die definiert ist durch

an :=(−1)n

2+

(−1)n(n+1)

2

3.

b) Zeigen Sie, daß fur jede reelle Folge (an)n∈N die folgenden Gleichungen

gelten:

lim supn→∞

an = inf{x ∈ Re | x ≥ an fur fast alle n} = sup{x ∈ Re | x ≤ an fur unendlich viele n}.

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Aufgabe 4

Sei (an)n∈N eine Folge. Die Folgen (bn)n∈N und (cn)n∈N seien definiert durch

bn := a2n und cn := a2n+1. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) Konvergieren (bn)n∈N und (cn)n∈N beide gegen a, dann konvergiert

auch (an)n∈N gegen a.

b) Ist (an)n∈N konvergent, dann sind auch (bn)n∈N und (cn)n∈N konver-

gent.

c) Es gibt eine Folge (an)n∈N, so daß die beiden Folgen (bn)n∈N und

(cn)n∈N konvergieren, aber nicht die Folge (an)n∈N.


Aufgabe 3

Beweisen Sie:

a)n−1∏

j=1

(

1 + 1j

)j= nn

n! , n ∈ N;

b) 3(n3

)n ≤ n! ≤ 2n(n2

)n, n ∈ N.

Hinweis:

i) Benutzen Sie fur Teil b) Teil a) und die Abschatzung 2 ≤(1 + 1

n

)n<

3, n ∈ N.

ii) Fur k > n gilt:n∑

j=k

aj := 0,n∏

j=k

aj := 1.

Aufgabe 4

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a) Ein Schiff fahrt 3√

2 km in Richtung Nordost, danach 5 km nach

Westen, dann 1 km nach Suden und schließlich 2√

2 km nach Nord-

west. Wie weit entfernt und in welcher Richtung vom Ausgangspunkt

befindet sich das Schiff. Benutzen Sie zur Berechnung die Gaußsche

Zahlenebene.

b) Sie finden eine Anleitung zur Schatzsuche auf einer Insel:

”Auf der Insel befinden sich zwei Baume A und B sowie ein Galgen.

Man gehe vom Galgen direkt zu Baum A und zahle die Schritte, wen-

de sich im rechten Winkel nach links und gehe die gleiche Schrittzahl

geradeaus und markiere den Endpunkt. Die gleiche Prozedur vollziehe

man fur Baum B, wende sich in diesem Fall aber nach rechts. Auf

der Halfte der Strecke der zwei markierten Punkte fange man an zu

graben.“

Sie fahren zur Insel und finden die Situation wie beschrieben vor – nur

der Galgen ist verschwunden. Sie sind zunachst besturzt, uberlegen ei-

ne Weile und freuen sich dann allerdings, in der Analysis die Gaußsche

Zahlenebene und die komplexen Zahlen kennengelernt zu haben. Sie

konnen den Grabungspunkt namlich ohne Kenntnis der Position des

Galgens bestimmen.

Hinweis:

Wahlen Sie den Nullpunkt geeignet. Was bedeutet die Multiplikation

mit i bzw. −i geometrisch?

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Ubungen (8)


Aufgabe 1

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie

den Wert der konvergenten Reihen:

a)∞∑

n=1

n+ 4

n2 − 3n+ 1;

b)∞∑

n=1

c2n+1

(1 + c2)n, c ∈ Re ;

c)∞∑

n=1

1

n(n+ 1)(n+ 2).

Hinweis:

Um die Divergenz einer Reihe nachzuweisen, kann man das Minorantenkri-

terium benutzen:

Gibt es eine Folge (bn)n∈N nichtnegativer Zahlen mit bn ≤ an, n ∈ N, und∞∑

n=1bn =∞, dann divergiert auch die Reihe

∞∑

n=1an.

Aufgabe 2

a) Beweisen Sie das sog. Reihenverdichtungskriterium:

Ist (an)n∈N eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen, so kon-

vergiert die Reihe∞∑

n=1an genau dann, wenn die verdichtete Reihe

∞∑

n=12na2n konvergiert.

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b) Verwenden Sie das Reihenverdichtungskriterium, um zu zeigen, daß

die Reihe∞∑

n=1

1

nα, α ∈ Q,

fur α > 1 konvergiert und fur α ≤ 1 divergiert.

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Aufgabe 3

a) Die Folgen (an)n∈N0 , (bn)n∈N0 und (cn)n∈N0 seien definiert durch

an := bn :=(−1)n√n+ 1

, cn :=n∑

k=0

an−kbk, n ∈ N0.

Zeigen Sie, daß die Reihen∞∑

n=0an und

∞∑

n=0bn konvergieren, aber ihr

Cauchy-Produkt∞∑

n=0cn nicht konvergiert.

b) Zeigen Sie, daß fur |x| < 1 gilt:

∞∑

n=0

(n+ 1)xn =1

(1− x)2 .

Aufgabe 4

Es seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei beschrankte Folgen nichtnegativer Zahlen.

Zeigen Sie:

a) lim supn→∞

anbn ≤(

lim supn→∞

an

)(

lim supn→∞

bn

)

;

b) Ist (an)n∈N konvergent, so gilt

lim supn→∞

anbn =(

limn→∞

an

)(

lim supn→∞

bn

)

.


Aufgabe 3

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

a)∞∑

n=1

n!

nn;

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b)∞∑

n=1

(−n)n

(n+ 1)n+1;

c)∞∑

n=1

(n+ 1)n2

nn22n;

Aufgabe 4

Stellen Sie sich vor, es ist wieder Bastelabend in der Fachschaft. Sie bieten

dieses Jahr an, einen”Turm von Hanoi“ bauen zu wollen, dessen Bauanlei-

tung Sie von Ihrer letzten Schatzsuche mitgebracht haben. Dieser soll die

folgende Gestalt haben: Die erste Platte soll einen Durchmesser von 10 cm

haben, jede folgende Platte besitzt genau den halben Durchmesser der vor-

hergehenden. Weiterhin soll die erste Platte 4 cm dick sein, die zweite halb

so dick wie die erste, die Dicke der dritten Platte soll ein Drittel der zweiten

betragen usw.. Sie stellen sich nun folgende Fragen:

a) Welche Dicke und welchen Durchmesser besitzt die n−te Platte?

b) Welche Gesamthohe Hn und welches Gesamtvolumen Vn besitzt der

Turm Tn, der aus den ersten n Platten besteht?

c) Welche Hohe hatte eigentlich T∞ und wieviel cm3 Holz waren fur den

Bau eines solchen Turmes notig?

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Ubungen (9)


Aufgabe 1

a) Beweisen Sie die Stetigkeit der folgenden Funktionen in x = a mit

Hilfe der ε− δ−Definition der Stetigkeit:

i) f : (0; 1) 3 x 7→ √x ∈ Re ; a ∈ (0; 1);

ii) f : Re 3 x 7→ 11+x2 ∈ Re ; a ∈ Re .

b) Untersuchen Sie die folgende Funktion f : Re → Re auf Stetigkeit in

Re :

f(x) :=

|x− 2| (x2+x−6)(x+2)x2−4x+4 , x 6= 2

20, x = 2

.

Aufgabe 2

Eine Funktion f : D ⊂ Re → Re heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante

0 ≤ L <∞ existiert, so daß fur alle x, y ∈ D gilt:

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|.

Zeigen Sie:

a) Jede auf D Lipschitz-stetige Funktion ist auch stetig in D.

b) Der Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen ist ein Vektorraum uber

Re .

c) Ist D ein Intervall, dann ist auch das Produkt zweier Lipschitz-stetiger

Funktionen wieder Lipschitz-stetig.

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Aufgabe 3

Die Funktion f : Re → Re sei gegeben durch

f(x) :=9x3 − 18x2 − 2x+ 2

x2 + 1.

Zeigen Sie, daß f mindestens eine Nullstelle in den Intervallen [−1; 0] und

[0; 1] besitzt. Gibt es eine weitere Nullstelle im Intervall [1;∞)?


Aufgabe 4

Fur die Funktion f : Re → Re gelte f(0) = 1 und

f(x+ y) ≤ f(x)f(y) ∀ x, y ∈ Re .

Zeigen Sie, daß f in Re stetig ist, wenn f im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe 4

Das Tragheitsmoment eines Systems ausN Massenpunktenmj, j ∈ {1, . . . , N},ist definiert durch

Θ =

N∑

j=1

mjr2j ,

wobei rj den Abstand des Massenpunktes mj senkrecht zur Drehachse an-

gibt. Der Begriff des Tragheitsmomentes laßt sich mit Hilfe eines Grenz-

wertprozesses auch auf homogene Korper wie z.B. die Scheiben des Turms

von Hanoi (vgl. Blatt 8) fortsetzen. Berechnen Sie das Tragheitsmoment der

- 210 -


ersten Holzscheibe, wobei die Dichte ρ als konstant vorausgesetzt sei. Die

Rotationsachse stehe dabei senkrecht auf der Scheibe und gehe durch den

Mittelpunkt.

Hinweis:

i) Zerlegen Sie die Scheibe in n Kreisringe, wobei die Differenz des auße-

ren und des inneren Radius konstant sein soll.

ii) Schatzen Sie die Tragheitsmomente dieser Kreisringe geeignet nach

oben und unten ab.

iii) Summieren Sie diese Teilergebnisse und vereinfachen Sie diese mit Hilfe

der Formeln furn∑

i=1

i,

n∑

i=1

i2,

n∑

i=1

i3.

iv) Fuhren Sie nun den Grenzwertprozeß mit n→∞ durch.

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Weihnachts-Ubungsblatt


Aufgabe 1: Vollstandige Induktion

Fur welche n ∈ N0 sind folgende Aussagen wahr?

a) 2n+ 1 ≤ 2n;

b) n2 ≤ 2n.

Aufgabe 2: Urbilder von Mengen

Seien X,Y nichtleere Mengen. Sei f : X → Y eine Funktion. Zeigen Sie:

a) Sind A ⊂ Y und B ⊂ Y disjunkt, dann sind auch f−1(A) und f−1(B)

disjunkt.

b) Sei Y das kartesische Produkt zweier nichtleerer Mengen Y1, Y2, d.h.

Y := Y1 × Y2. Sei f := (f1, f2) definiert durch die Komponenten f1 :

X → Y1 und f2 : X → Y2. Fur beliebige Teilmengen A1 ⊂ Y1 und

A2 ⊂ Y2 gilt

f−1(A1 ×A2) = f−11 (A1) ∩ f−1

2 (A2).

Aufgabe 3: Reihen

a) Sei∞∑

n=1an eine Reihe. Zeigen Sie:

Die Reihe konvergiert absolut, wenn lim supn→∞

n√

|an| < 1 gilt;

die Reihe divergiert, wenn lim supn→∞

n√

|an| > 1 gilt;

die Reihe kann sowohl divergent als auch konvergent sein, wenn lim supn→∞

n√

|an| =1 gilt.

Hinweis:

Eine analoge Aussage gilt fur das Quotientenkriterium.

- 212 -


b) Zeigen Sie die Divergenz folgender Reihen:

i)∞∑

n=1(−1)n n

√n;

ii)∞∑

n=1

72n

(4+(−1)n)3n .

- 213 -


Aufgabe 4: Logarithmus- und Hyperfunktionen

a) Beweisen Sie die Funktionalgleichung fur die Logarithmusfunktion:

ln(xy) = ln(x) + ln(y), x, y > 0.

b) Beweisen Sie fur x, y ∈ Re folgende Beziehungen fur die Funktionen

cosh und sinh :

i) cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y);

ii) sinh(x+ y) = cosh(x) sinh(y) + sinh(x) cosh(y);

iii) cosh2(x)− sinh2(x) = 1.

Hinweis:

Sie durfen die Funktionalgleichung fur die Exponentialfunktion benutzen.

- 214 -


Ubungen (10)


Aufgabe 1

Zeigen Sie, daß die folgenden Funktionen auf dem Intervall I := (−1, 1)

streng monoton und stetig sind und bestimmen Sie die Ableitungen der

Umkehrfunktionen f−1 bzw. g−1 an den Stellen f(0) bzw. g(0).

a) f : I 3 x 7→ x3 − 3x+ 3 ∈ Re ;

b) g : I 3 x 7→ ln(−(x− 1)2 + 5) ∈ Re ;

Aufgabe 2:

a) Beweisen Sie:

Sind h1 > 0, h2 differenzierbar auf D ⊂ Re , dann gilt fur h(x) :=

h1(x)h2(x)

h′(x) =

(

h′2(x) ln(h1(x)) + h2(x)h′1(x)h1(x)

)

h1(x)h2(x), x ∈ D.

b) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

i) f : Re + 3 x 7→ (3x)ln(x) ∈ Re ;

ii) g : Re 3 x 7→ xe−x

(1+x2)2∈ Re ;


Aufgabe 3:

Zeigen Sie ohne die Differenzierbarkeit zu benutzen, daß die folgenden Funk-

tionen auf ihrem

Definitionsbereich gleichmaßig stetig sind:

- 215 -


a) f : (0, 2) 3 x 7→ x3 ∈ Re ;

b) g : Re 3 x 7→ 11+|x| ∈ Re ;

Aufgabe 4:

Eine Funktion f : [a, b]→ Re heißt genau dann streng konvex, wenn gilt

f(tx+ (1− t)y) < tf(x) + (1− t)f(y) ∀ t ∈ (0, 1), ∀ x, y ∈ [a, b], x 6= y.

a) Zeigen Sie, daß es genau ein z ∈ [a, b] gibt mit

f(z) = minx∈[a,b]

f(x),

falls f : [a, b]→ Re streng konvex und stetig ist.

b) Gilt die Aussage von a) auch fur das Maximum?

c) Zeigen Sie, daß f : [−2, 3] 3 x 7→ x2 ∈ Re streng konvex ist.

- 216 -


Aufgaben Physiker:

Aufgabe 3:

Beweisen Sie folgenden Gleichungen fur n ≥ 2, indem Sie die Ableitungen

geeigneter Funktionen benutzen und diese an passender Stelle auswerten:

a)n∑

k=1

k(nk

)= n2n−1;

b)n∑

k=1

k(k − 1)(nk

)= n(n− 1)2n−2.

Hinweis:

Die Funktionen sind Polynome.

Aufgabe 4:

Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms

p(x) := ax2 + bx+ c,

so daß die folgenden Bedingungen erfullt sind:

i) Das Polynom p besitzt eine Nullstelle fur x = 1.

ii) Die Tangente im Punkt (2, p(2)) ist parallel zu der Geraden y+2x = 2.

iii) Die Tangente im Punkt (−1, p(−1)) steht senkrecht auf der Geraden

y − x = 5.

Hinweis:

Zwei Geraden stehen senkrecht auf einander, wenn das Produkt ihrer

Steigungen −1 ist.

- 217 -


Ubungen (11)


Aufgabe 1

Die Funktion f : Re ⊃ D → Re sei gegeben durch

f(x) =x3

x2 − 1, x ∈ D.

Unterziehen Sie die Funktion f einer Kurvendiskussion:

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die Schnittpunkte mit

den Achsen.

b) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie: Ist f ggf. eine gerade

oder ungerade Funktion?

c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f und untersuchen Sie

das Verhalten von f fur x→ ±∞.

d) Bestimmen Sie alle Maxima sowie Minima (lokale, globale), Wende-

und Sattelpunkte.

e) Zeichnen Sie die Funktion f fur x ∈ [−6, 6].

Hinweis:

i) Eine Funktion g heißt gerade bzw. ungerade, wenn gilt

g(x) = g(−x) bzw. g(x) = −g(−x) ∀ x ∈ D.

ii) Ein Wende- bzw. Sattelpunkt liegt bei der Funktion g u. a. vor, wenn

gilt

g′′(x) = 0 ∧ g′(x), g′′′(x) 6= 0 bzw. g′(x) = g′′(x) = 0 ∧ g′′′(x) 6= 0.

- 218 -


Aufgabe 2

Der Graph der Funktion f mit f(x) = (x2 − 4)2 schließt mit der x−Achse

eine Flache ein. Dieser Flache konnen Dreiecke einbeschrieben werden, die

gleichschenklig und symmetrisch zur y−Achse sind und deren Spitzen im

Ursprung des Koordinatensystems liegen. Laßt man diese Dreiecke um die

y−Achse rotieren, so entstehen Kegel. Gesucht ist der Kegel mit dem maxi-

malen Volumen.

a) Fertigen Sie eine Zeichnung an, die den Sachverhalt wiedergibt.

b) Zeigen Sie, daß fur das Volumen V des Kegels

V (r) =1

3π(r3 − 4r)2

gilt.

c) Bestimmen Sie mit Hilfe von V (r) den Radius r und die Hohe h des

Kegels mit dem maximalen Volumen sowie das maximale Volumen

Vmax.

Aufgabe 3

Berechnen Sie e1/2 auf 10−3 exakt. Verwenden Sie dazu die Taylorformel mit

Entwicklungspunkt 0 und die Darstellung des Restgliedes nach Lagrange.


Aufgabe 4

Zeigen Sie:

Ist die Funktion f auf dem Intervall [a, b] stetig und in (a, b) zweimal diffe-

renzierbar, dann ist Sie auf [a, b] streng konvex, wenn gilt

f ′′(x) > 0, x ∈ (a, b).

- 219 -


Hinweis:

i) Die strenge Konvexitat wurde auf Blatt 10, Aufgabe 4 definiert.

ii) Definieren Sie z := (1 − t)y + tx und nehmen Sie ohne Beschrankung

der Allgemeinheit y < x an. Benutzen Sie an geeigneter Stelle den

Mittelwertsatz.

iii) Gilt in der obigen Aussage f ′′(x) ≥ 0, dann ist f auf [a, b] konvex. Gilt

jedoch f ′′(x) < 0 bzw. f ′′(x) ≤ 0, dann ist f auf [a, b] streng konkav

bzw. konkav.


Aufgabe 4

Die Hermite-Polynome Hn sind Losungen der Differentialgleichung

v′′ − 2yv′ + (ε− 1)v = 0

mit ε = 2n+ 1, n ∈ N0. Diese Differentialgleichung tritt u. a. in der Quan-

tenmechanik bei der Betrachtung des eindimensionalen Oszillators, der z. B.

die Schwingungen eines zweiatomigen Molekuls beschreibt, auf. Eine Dar-

stellung der Hermite-Polynome lautet

Hn(y) = (−1)ney2 dn

dyne−y

2, n ∈ N0.

a) Begrunden Sie kurz, warum Hn ein Polynom ist, obwohl die Exponen-

tialfunktion in der Darstellung auftaucht, und berechnen sie die ersten

4 Hermite-Polynome.

b) Zeigen Sie, daß die Hermite-Polynome Hn der Differentialgleichung

H ′′n − 2yH ′

n + 2nHn = 0

genugen.

- 220 -


c) Zeigen Sie, daß fur die Hermite-Polynome die folgende Beziehung gilt:

nHn−1 +1

2Hn+1 = yHn, n ∈ N.

Hinweis:

Sie durfen in Teil b) und c) die Beziehung H ′n = 2nHn−1, n ∈ N, benutzen.

- 221 -


Ubungen (12)


Aufgabe 1

Berechnen Sie folgende Grenzwerte:

a) limx→0

ex+e−x−2x2 ;

b) limx→0

(ex−1x

)1/x.

Aufgabe 2

Beweisen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung folgende Identitaten:

a) 2 arctan(x) = arcsin(

2x1+x2

)

, −1 ≤ x ≤ 1;

b) 2 arccot(√

1−cos(x)1+cos(x)

)

= π − x, 0 ≤ x < π.

Aufgabe 3

Beweisen Sie folgende Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:

a) cos(π2

)= 0, sin

(π2

)= 1;

b) cos(x+ π

2

)= − sin(x), sin

(x+ π

2

)= cos(x), x ∈ Re ;

c) cos(x+ π) = − cos(x), sin(x+ π) = − sin(x), x ∈ Re ;

d) cos(x+ 2π) = cos(x), sin(x+ 2π) = sin(x), x ∈ Re .

Sie durfen dazu nur die Satze und Definitionen der Vorlesung bis einschließ-

lich Lemma 14 in §11 und die Definition von π benutzen.

- 222 -



Aufgabe 4

Seien f, g : [a, b] → Re beschrankte Funktionen. Zeigen Sie fur die Ober-

bzw. Unterintegrale:

a) –∫ (f + g)(x)dx ≤ –∫ f(x)dx+ –∫ g(x)dx;

b) –

∫(f + g)(x)dx ≥ –

∫f(x)dx+ –

∫g(x)dx;

c) –∫ (cf)(x)dx = c–∫f(x)dx, c ∈ [0,∞).

- 223 -



Aufgabe 4

Gegeben Sei eine Differentialgleichung der Form

n∑

k=0

aky(k)(x) = g(x), ak ∈ Re , an 6= 0, n ∈ N0.

Zeigen Sie:

a) Ist V die Menge der Losungen der Differentialgleichung fur g = 0,

dann ist V einen Vektorraum.

b) Sei z eine Losung der Differentialgleichung, und sei Vg die Menge der

Losungen der Differentialgleichung. Dann gilt

Vg = {z + h | h ∈ V }.

Hinweis:

i) Die obige Differentialgleichung ist eine lineare Differentialgleichung

n−ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

ii) Gilt g = 0, so liegt eine homogene Differentialgleichung vor; ist g 6= 0,

eine inhomogene.

C Theoretische Ubungsaufgaben

fur Informatiker zu Analysis I

Ubungen (1)

zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

- 224 -


Aufgabe 1

Losen Sie folgende Ungleichungen uber Re . Skizzieren Sie zudem die Losungs-

menge auf der x−Achse.

a) x+32x−5 > 3;

b) |x|−1x2−1 ≥ 1

2 ;

c) |x− |x− 1|| > −2x+ 1.

Hinweis:

Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen fur x.

Aufgabe 2

Seien A, B und C Teilmengen von X. Fur A ⊂ X ist das Komplement A′

von A in X erklart durch A′ := X \A. Zeigen Sie

a) A ∪B = B ∪A (Kommutativgesetz);

b) (A ∪B)′ = A′ ∩B′ (Regel von de Morgan);

c) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A×C).

Bemerkung:

Die oben angegebenen Regeln fur Mengen gelten auch, wenn man jeweils ∪durch ∩ und ∩ durch ∪ ersetzt. Die Regel von de Morgan gilt nicht nur fur

zwei, sondern auch fur eine beliebige endliche oder unendliche Anzahl von

Mengen.

Aufgabe 3

Seien B und C Teilmengen einer Menge A. Zeigen Sie die Aquivalenz von

- 225 -


a) B ⊂ C;

b) B ∩ C = B;

c) B ∪ C = C.

Aufgabe 4

a) Welche der folgenden Formulierungen bzw. Ausdrucke sind mathema-

tische Aussagen, d.h. Satze denen man unabhangig vom Betrachter

genau einen der Wahrheitswerte wahr oder falsch zuordnen kann? Be-

grunden Sie kurz Ihre Entscheidung.

i) Diese Aufgabe ist sehr schwer.

ii) Dies ist eine Aufgabe zur Aussagenlogik.

iii) Diese Art von Aufgabe kommt in der Klausur vor.

b) Die Aussage q sei gegeben durch”Das Parallelogramm D ist ein Qua-

drat.“. Geben Sie jeweils eine andere Aussage p an, so daß gilt:

i) q ⇒ p, aber nicht p⇒ q;

ii) p⇒ q, aber nicht q ⇒ p;

iii) p⇔ q.

- 226 -


Ubungen (2)


Aufgabe 1


a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) ∀ A, B ⊂ X;

b) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D) ∀ C, D ⊂ Y ;

Aufgabe 2

Seien A, B und C Mengen; seien f : A → B und g : B → C Abbildungen.

Zeigen Sie:

a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.

b) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv, und es gilt (g ◦ f)−1 =

f−1 ◦ g−1.

Aufgabe 3

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivitat, Injektivitat und

Bijektivitat:

a) f : Re → Re , x 7→ 2x− 1;

b) g : [−2;∞[→ [−2;∞[, x 7→ x2 − 2x− 1;

c) h : Re \{0} → Re , x 7→ x3

|x| .

Aufgabe 4

Man bestimme alle reellen Zahlen x, die der Ungleichung

|||1− x| − x| − x| − x < − 1

10

genugen.

- 227 -


Ubungen (3)


Aufgabe 1

Sei fn fur n ∈ N ∪ {0} die n–te Fibonacci–Zahl, d.h.

f0 := 0 , f1 := 1 und fn+1 := fn + fn−1 fur n ≥ 1 .

Zeigen Sie, dass

fn+m = fn−1fm + fnfm+1.

Aufgabe 2

Zeigen Sie fur jede naturliche Zahl n > 1 die Beziehung

1

n+ 1+

1

n+ 2+ . . .+

1

2n>

13

24.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie (falls vorhanden) das Infimum, Supremum, Minimum und

Maximum der folgenden Mengen reeller Zahlen.

1.

{1

m+

1

n

∣∣∣∣m,n ∈ N

}

2.

{

x+1

x

∣∣∣∣

1

2< x ≤ 2

}

- 228 -


Ubungen (4)


Aufgabe 1

In wieviele Teile kann eine Ebene durch n Geraden maximal aufgeteilt wer-

den?

Aufgabe 2

Man zeige, dass fur alle naturlichen Zahlen n die Zahl 11n+2 +122n+1 durch

133 teilbar ist.

Aufgabe 3

Man bringe die folgenden komplexen Zahlen auf die Form x+ yi.

(a) (3 + 4i) · (2− i), (b) (5 + i)/(1 + i), (c) 1 + i+ i2 + i3, (d) i379.

Aufgabe 4

Welche Funktion wird durch folgenden C-Quelltext berechnet?

int machwas(int n, int m) { int k, r = 0;

for(k = 0; k < n; k++) { if(k < m) { r += k; } else r++; } return

r; }

- 229 -


Ubungen (5)


Aufgabe 1

Losen Sie den Ausdruck

1

10

(

(x+ y)10 +(x2 + y2

)5+ 4 ·

(x5 + y5

)2+ 4 ·

(x10 + y10

))

auf.

Aufgabe 2

Man zeige fur alle naturlichen Zahlen n und k die Beziehung

(n+ 1

k + 1

)

=

(n

k + 1

)

+

(n

k

)

.

Aufgabe 3

Berechnen Sie z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2, z1/z2 fur

1. z1 = 1 + i√

3, z2 = 1− i,

2. z1 = 2 + 3i, z2 = 3− 5i,

3. z1 = 4− 5i, z2 = 4 + 5i und

4. z1 = i, z2 = −2− 4i.

Aufgabe 4

Bestimmen Sie die komplexen Zahlen, die durch folgende Gleichungen bzw.

Ungleichungen gegeben sind. Welche geometrische Form haben sie in der

Gaußschen Zahlenebene?

1. 0 < 2 · =(z) < |z|.

2. |z + 4i− 3| = 3.

- 230 -


3. |z − 1| = |z − i|.

4. |z + i| ≥ 2 · |z + 1|.

- 231 -


Ubungen (6)


Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Grenzwerte der durch

(a) an =1√n

(b) an =5n+ 1

7n− 2

(c) an =(3n+ 2)(3n− 2)2

9n3 + 3n2(d) an = 3−(n+2) (1n + 2n + 3n)

(e) an =√n(√n+ 1−√n

)(f) an = n

√n+ 7n

gegebenen Folgen (an)n∈N.

Aufgabe 2

Fur welche α0, α1, α2 ∈ R und β0, β1, β2 ∈ R+ := {x ∈ R | x > 0} ist die

durch

an =α2n

2 + α1n+ α0

β2n2 + β1n+ β0

bestimmte Folge (an)n∈Nkonvergent?

Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe 3

Sei c ∈ R+, sei a0 ∈ ] 0 , 1/c [ und sei an fur n ∈ N rekursiv durch

an := an−1 (2− can−1)

definiert. Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈Nmonoton wachst und von oben

beschrankt ist, und bestimmen Sie deren Grenzwert.

- 232 -


Ubungen (7)


Aufgabe 1

Welche Folge(n) ist/sind konvergent? Bestimmen Sie gegebenenfalls den

Grenzwert.

1. an = 1 +(−1

2

), n ∈ N;

2. an = (−1)n + 12n , n ∈ N;

3. an = (−1)n(2n+ 1), n ∈ N;

4. an = 12n+1 , n ∈ N;

5. an =(1 + 2

n

)n, n ∈ N.

Aufgabe 2

Die Folgen (an)n∈N, (bn)n∈N seien durch

an :=(3− n)3

3n3 − 1bzw. bn :=

1 + (−1)nn2

2 + 3n+ n2

definiert. Man entscheide fur jede der beiden Folgen, ob sie beschrankt,

konvergent bzw. divergent ist, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe 3

Fur x ∈ C \ {−1} und n ∈ N sei

an(x) =

(x− 1

x+ 1

)2n+1

.

Man bestimme folgende Mengen:

- 233 -


1. A1 = {x ∈ C | (an(x))n∈N ist beschrankt}.

2. A2 = {x ∈ C | (an(x))n∈N ist konvergent}.

- 234 -


Ubungen (8)


Aufgabe 1

Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.

(a)∞∑

n=1

1

n(n+ 1)(n+ 2)(b)

∞∑

n=2

1

n2 − 1

Aufgabe 2

Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe

∞∑

n=0

8n + 2n

16n.

Aufgabe 3

Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren.

(a)∞∑

n=1

√n+ 1−√n

n(b)

∞∑

n=1

(√

n2 + 1− n)

Aufgabe 4

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.

(a)∞∑

n=1

( n√n− 1)n (b)

∞∑

n=1

n2

(2 + 1

n

)n (c)∞∑

n=1

nn

(n+ 1)!

- 235 -


Ubungen (9)


Aufgabe 1

Ermitteln Sie, fur welche reellen Zahlen x die folgenden Terme nicht defi-

niert sind. Fur welche dieser Zahlen lassen sich die Terme stetig, fur welche

eindeutig stetig fortsetzen?

1.x2 − 1

x2 + 3x+ 2.

2.√

x2 − 4.

3.x8 − x3 + 379

x2 + x+ 1.

Aufgabe 2

In den folgenden Termen bestimme man die reellen Unstetigkeitsstellen und

klassifiziere diese nach den Typen:

• hebbare Unstetigkeit, d.h. der Grenzwert existiert,

• Sprungstelle, d.h. links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren, sind

aber verschieden,

• Pol,

• keine der obigen Arten.

(a)x− 42

|x− 42| (b) 21/x

(c)x3 − 3x

x3 − x (d) x · frac(√

|x|)

- 236 -


Hierbei ist frac(x) = x− floor(x) der gebrochene Anteil von x.

Aufgabe 3

Die Funktionen fn : R→ R seien fur n ∈ N durch

fn(x) :=nx

1 + |nx|

definiert. Man zeige, dass alle diese Funktionen stetig sind. Fur welche x ∈ R

ist die Funktion

f(x) = limn→∞

fn(x)

definiert und wo ist sie stetig?

Aufgabe 4

Man zeige, dass die Gleichung x3 − 3x − 1 = 0 drei reelle Losungen hat.

Man gebe ein Verfahren an, mit dem sich diese Losungen beliebig genau

bestimmen lassen und bestimme damit die Losung mit einer Genauigkeit

von 10 Stellen.

- 237 -


Ubungen (10)


Aufgabe 1:

a) Beweisen Sie:

Sind h1 > 0, h2 differenzierbar auf D ⊂ Re , dann gilt fur h(x) :=

h1(x)h2(x)

h′(x) =

(

h′2(x) ln(h1(x)) + h2(x)h′1(x)h1(x)

)

h1(x)h2(x), x ∈ D.

b) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

i) f : Re + 3 x 7→ (3x)ln(x) ∈ Re ;

ii) g : Re 3 x 7→ xe−x

(1+x2)2∈ Re ;

Aufgabe 2:

Beweisen Sie folgenden Gleichungen fur n ≥ 2, indem Sie die Ableitungen

geeigneter Funktionen benutzen und diese an passender Stelle auswerten:

a)n∑

k=1

k(nk

)= n2n−1;

b)n∑

k=1

k(k − 1)(nk

)= n(n− 1)2n−2.

Hinweis:

Die Funktionen sind Polynome.

Aufgabe 3:

Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms

p(x) := ax2 + bx+ c,

so daß die folgenden Bedingungen erfullt sind:

- 238 -


i) Das Polynom p besitzt eine Nullstelle fur x = 1.

ii) Die Tangente im Punkt (2, p(2)) ist parallel zu der Geraden y+2x = 2.

iii) Die Tangente im Punkt (−1, p(−1)) steht senkrecht auf der Geraden

y − x = 5.

Hinweis:

Zwei Geraden stehen senkrecht auf einander, wenn das Produkt ihrer

Steigungen −1 ist.

- 239 -


Ubungen (11)


Aufgabe 1

Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion f(x) = sin(x) im Punkt

x0 = 0. Zeichnen Sie die Funktion f und ihre Naherungen durch die Taylor-

Polynome bis zum 5. Grad.

Aufgabe 2

Fur x ∈ R sei p(x) := 3 + 4(x − 1)2 und f(x) := p(x)e−x2. Man bestimme

alle lokalen und globalen Extrema.

Aufgabe 3

Man diskutiere den Verlauf der Kurven y = 2+ 12x2−4

und y = 3x− 1

x3 , d.h. man

bestimme Symmetrieeigenschaften, Definitions- und Wertebereich, Schnitt-

punkte mit den Koordinatenachsen, Unstetigkeitsstellen, Asymptoten, Mo-

notoniebereiche, lokale und globale Extrema, Konvexitat, Konkavitat und

Wendepunkte.

- 240 -


Ubungen (12)


Aufgabe 1

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.

1. limx→0

sin(3x)

x.

2. limx→0

x− sinx

x3.

3. limx→+0

xx.

4. limx→+0

x lnx.

Aufgabe 2

Diskutieren Sie den Verlauf der folgenden Kurven.

1. f(x) = (x+ 2)2/3 − (x− 2)2/3.

2. f(x) = x− ln(x).

3. f(x) =x2 − xx2 + 1

.

Aufgabe 3

Beweisen Sie, dass

2

3≤ x2 + 1

x2 + x+ 1≤ 2 fur alle x ∈ R .

- 241 -

Index

Abbildung, 3, 28

identische, 5, 63

injektive, 5

inverse, 162

kontrahierende, 157

lineare, 82

wohlbestimmt, 4

wohldefiniert, 4

abgeschlossen, 106, 111, 112, 120

Abgeschlossene Hulle, 110

Ableitung, 60, 61, 100, 142, 146

Frechet, 156

hohere, 69

partielle, 138, 139, 147, 148

Ableitung k-ter Ordnung, 69

Ableitungen

linksseitige, 64

absolut konvergent, 41, 43

Absolutbetrag, 11, 12, 103

Abstandsfunktion, 103

abzahlbar unendlich, 16

Addition, 25

affin, 144

Algebraische Verknupfungen, 48

analytisch, 103

Anfangspunkt, 123

Anfangswert, 158

Anfangswertaufgabe, 158, 159, 167

Anordnungsaxiom, 11

Anordnungsaxiome, 8

Arithmetisches Mittel, 9

Assoziativgesetz, 2, 5

Assoziativitat, 6

Auflosbarkeit, 165, 167

Banachraum, 117, 119

Basis, 46

Beruhrungspunkt, 72

Bernoullische Ungleichung, 22

beschrankt, 9, 30, 34, 38, 54, 79, 115, 120

nach oben, 9

nach unten, 9

total, 114

Betrag, 12, 26

Betragsfunktion, 26, 47, 50

Beweisverfahren, indirektes, 1

Bijektion, 16, 17, 44

bijektiv, 5, 129

Bild, 3

Bildbereich, 3

Binomialkoeffizient, 20, 21

Binomischer Lehrsatz, 22

Bisektionsverfahren, 52

Brennpunkte, 124

Bruch

systematischer, 46

Bruchrechnen, 7

242


Cartesisches Produkt, 2

Cauchy–Folge, 34, 113

Cauchy–Kriterium

fur gleichm. Konvergenz, 95

fur Reihen, 96

Cauchy–Produkt, 44, 101

Cauchysches Konvergenzkriterium, 34, 39

Cosinus, 74

Cosinus hyperbolicus, 56

Cosinus–Funktion, 73

Cotangens hyperbolicus, 56

Cotangens–Funktion, 75

Definitheit, 27, 103, 116

Definitionsbereich, 3

Definitionsmethode

induktive, 15

Dezimalbruch, 46

Dezimalzahlen, 47

Diffeomorphismus

C1–, 161, 164

Cr–, 162

Differentialoperator, 153

Differentialquotient, 61

Differentiation, gliedweise, 98

Differentiationsregeln, 145

differenzierbar, 61–64, 67–69, 71, 73, 86,

130, 136, 143

partiell, 137, 138, 142, 143

total, 141, 143

vollstandig, 141, 143

Differenzierbarkeit, vollstandige, 141

Diskriminante, 168

Distanzfunktion, 110

Distributivgesetz, 2

divergent, 30, 36, 38, 41, 72

Dreiecksungleichung, 12, 27, 103, 116

Dualzahlen, 47

Durchmesser, 115

Durchschnitt, 1

Einheit, imaginare, 25

Einheitsvektor, 123

Einselement, 11, 25

Element

additiv inverses, 6

maximales, 10

minimales, 10

multiplikativ inverses, 6

neutrales, 6

Ellipse, 124, 126, 132, 151

Endpunkt, 123

Entwicklungspunkt, 70, 71, 99

Euklidischer Algorithmus, 91

Eulersche Gammafunktion, 90

Eulersche Zahl, 33

Exponentenbereich, 46

Exponentialfunktion, 43, 45, 48, 50, 55–

57, 65, 70, 71

Funktionalgleichung der, 45

Extremum, 168, 169

- 243 -


lokales, 66, 72, 167, 168, 170, 172,

177

mit Nebenbedingung, 170

Exzentrizitat, lineare, 124, 125

Faktorisierung in Primzahlen, 19

Fakultat, 18

Fehlerabschatzung, 42, 43

Feinheit, 85

Feinheitsmaß, 85

Fibonacci–Zahlen, 28, 32

Fixpunkt, 156–158

Flacheninhalt, 76

Folge, 28

beschrankte, 29, 30, 35

Glieder der, 28

konstante, 28

folgenkompakt, 112

folgenstetig, 109

Fundamentalsatz der Algebra, 91

Funktion, 3

C1–, 143

Ck–, 140

gerade, 74

gleichmaßig stetige, 55

identische, 47, 50

integrierbare, 83

konstante, 47, 50

partielle, 138

periodische, 76

rationale, 91

stetige, 49

ungerade, 74

Funktionalmatrix, 144, 162, 173

Adjungierte der, 175

Funktionen, trigonometrische, 73

g–adische Entwicklung, 46

g–adische Ziffern, 46

Ganghohe, 123

ganze Zahlen, 13

Gaußsche Klammer, 48

Gaußsche Klammer, 47

Gaußsche Zahlenebene, 27

Gebiet, 149

Genauigkeit, 46

gleichgradig stetig, 115, 116

Gleichheit, 1

gleichmaßig konvergent, 96–98

gleichmaßig stetig, 55, 114

Gleitkommazahl, 46

Gradient, 140, 148

Graph, 3, 60, 87, 135

Grenze

obere, 10

untere, 10

Grenzwert, 29, 49

Gruppe, symmetrische, 17

Haufungspunkt, 60–64

Haufungswert, 35, 36

Holdersche Ungleichung, 119

- 244 -


Halbwertzeit, 58

Hauptsatz, 87, 150, 159

Hessematrix, 155, 168, 177

Hexadezimalzahlen, 47

Hintereinanderausfuhrung, 5, 48

Homogenitat, 27, 116

Homomorphismus, 7

Hyperbel, 125, 126

Hyperbelfunktionen, 56, 57

Hyperebene, 135

Imaginarteil, 26

implizit definiert, 165

indefinit, 168

Indexmenge, 18

Induktion

Prinzip der vollstandigen, 14

Induktionsanfang, 15

Induktionsannahme, 15

Induktionsbehauptung, 15

Induktionsschluss, 15

Induktionsverankerung, 15

Induktionsvoraussetzung, 15

Infimum, 10, 11, 20

injektiv, 5

Integral, 78, 81, 132

oberes, 79

unbestimmtes, 87

uneigentliches, 89

unteres, 79

vollstandiges elliptisches, 132

Integralbegriff

Lebesguescher, 83

Riemannscher, 81

Integralgleichung, 159

Integrand, 81

Integration, gliedweise, 98

Integrationsvariable, 81

integrierbar, 81–83, 98, 150

Intervall

kompaktes, 13

Intervalle, 13

Intervallschachtelungsverfahren, 52

Inverses, 11, 25

invertierbar, 161

Jacobimatrix, 144

Jordan–Kurve, 129, 130

Jordan–Weg, 123, 124, 129, 130, 132

geschlossener, 123

rektifizierbarer, 129

Korper, 7, 25, 26

archimedisch angeordneter, 19

der rellen Zahlen, 10

Korperaxiome, 6

Kettenregel, 64, 145, 162

Koeffizienten, 92, 99, 100

Koeffizientenvergleich, 92

Kommutativgesetz, 2

Kommutativitat, 6

kompakt, 111, 112, 114, 120, 129

- 245 -


relativ, 114, 116

Komplement, 1

Komplemente, 18

Komponente, 143

Komposition, 48

konstant, 144

Kontraktion, 157

konvergent, 29–31, 33, 35, 38, 71, 72

Konvergenz, 99, 109

absolute, 44

gleichmaßige, 94, 118

punktweise, 94, 118

Konvergenzradius, 99, 100

konvex, 151, 177, 178

Koordinatenabbildung, 123

Koordinatenfunktion, 127, 130

Krummung, 133

Krummungsradius, 133

Kreis, 126, 151

Kugel, 106, 151

abgeschlossene, 105

offene, 105

Kugeln, 119

Kurve, 123

Kurvenlange, 130

Lange, 127

Lagrange–Funktion, 171, 176

Lagrange–Multiplikator, 171, 174, 176

Lagrangesche Darstellung, 70

Lagrangesche Multiplikatorenregel, 172

Lebesgue, 83

leere Menge, 1

Leibniz–Kriterium, 40, 42

Limes, 29, 96, 137

Limes inferior, 36

Limes superior, 36

linear, 144

linear unabhangig, 175

Lipschitzkonstante, 157

Lipschitzstetig, 157

Logarithmus, 58

Funktionalgleichung des, 58

naturlicher, 57

Logarithmusfunktion zur Basis a, 58

Majorante, 97, 98

Majoranten–Kriterium, 40

Mantissenstellenzahl, 46

Matrix, 144, 160

adjungierte, 173

Inverse einer, 161

symmetrische, 168

transponierte, 173

Matrizennorm, 151, 161

vertragliche, 151, 152, 161

Maximum, 10, 54, 169

lokales, 66, 72, 167, 177, 178

Menge, 1

N0, 13

Q, 13

Z, 13

- 246 -


abzahlbar unendlich, 16

der positiven Zahlen, 8

dichte, 54

endliche, 16

induktiv, 14

offene, 105

unendliche, 16

wohlgeordnet, 16

Metrik, 103, 104, 106, 115, 116

diskrete, 104

Metriken, aquivalente, 106

Minimum, 10, 54, 169

lokales, 66, 72, 167, 170, 171, 177,

178

Minkowskische Ungleichung, 119

Mittelpunktregel, 86

Mittelwertsatz, 148, 149, 152

der Differentialrechnung, 67

der Integralrechnung, 85

erweiterter, 68

monoton fallend, 32, 51

monoton wachsend, 32, 38, 51

Multiindex, 153

Multiplikation, 25

Nabla–Operator, 140

Nachfolger, 14

Naturliche Zahlen, 14

Nebenbedingung, 170, 172

negativ definit, 168

negativ semidefinit, 168

Negatives, 11

Newton–Verfahren, 65

Norm, 116, 117

Normen, aquivalente, 120

normiert, 116

Nullelement, 11, 25

Nullfolge, 29–31, 118

Nullfunktion, 77

Nullstelle, 52

Numerische Integration, 86

obere Grenze, 81

Oberintegral, 79

offen, 106, 107, 111

Offener Kern, 110

Oktalzahlen, 47

Optimierungsaufgabe, 170, 172, 176

orthogonal, 122

Parabel, 126

Parallelogrammidentitat, 122

parametrisieren, 170

Partialbruchzerlegung, 92

Partialsumme, 38, 39

Partielle Integration, 89

Pascalsches Dreieck, 21

Periode, 76

Permutation, 20

Picard–Lindeloff, 160

Polarkoordinaten, 125, 162

Polygonzug, 126

- 247 -


Lange des –s, 126

Polynom, 25, 48, 52, 63, 91

Populationsmodell, 69

verbessertes, 69

von Volterra-Lotka, 160

positiv definit, 168

positiv semidefinit, 168

Potenzmenge, 2, 17

Potenzreihe, 99, 100

Potenzsumme, 31

Primzahl, 19

Primzahlen, 18

Prinzip der vollstandigen Induktion, 14

Produkt, 23

unendliches, 39

Projektion, kanonische, 138

Punkt, stationarer, 168, 170, 172, 176

Quadratsummennorm, 152

Quadratwurzel, 20

Quantoren, 4

Quotientenkriterium, 41, 42, 73

Rationale Zahlen, 2

rationale Zahlen, 13

Raum

euklidischer, 121

Hausdorffscher, 107, 111, 112

metrischer, 103–107, 112

normierter, 116

separierter, 107

topologischer, 105–108, 112

vollstandiger metrischer, 115

Realteil, 26

Rechteck, 151

Rechteckregel, 86

reelle Zahlen, 6, 10

Regel von de l’Hospital, 73

Regeln

des Bruchrechnens, 7

von de Morgan, 18

Regeln von de Morgan, 2

regular, 175, 177

Reihe, 38

absolut konvergent, 40

alternierende, 40

alternierende harmonische, 40

bedingt konvergent, 44

endliche geometrische, 33

Funktionen–Reihe, 95

geometrische, 38, 95

harmonische, 38

konvergente, 97

Umordnung, 44

unbedingt konvergent, 44

rektifizierbar, 127, 129–131

relativ kompakt, 114, 116

Rest, 96

Restglied, 70, 153

Integraldarstellung, 155

Integralform, 91, 153

- 248 -


Lagrange–Darstellung, 153, 155

Restgliedabschatzung, 70, 154

Richtungsableitung, 147, 148

Riemann–Integral, 81, 149

Riemann–integrierbar, 81, 83, 149

Sandwich–Theorem, 31

Satz

uber die inverse Abbildung, 160

uber implizite Funktionen, 164

Banachscher Fixpunktsatz, 156

Fermatsches Kriterium, 168

Identitatssatz fur Potenzreihen, 101

Kontraktionssatz, 156

MWS fur reellw. Funktionen, 148

MWS fur vektorw. Funktionen, 152

Umordnungssatz, 44

Vertauschungssatz, 97

von Archimedes, 19

von Arzela-Ascoli, 116

von Bolzano–Weierstrass, 34

von Cauchy-Hadamard, 99

von Dini, 118

von H. A. Schwarz, 139, 155

von Pythagoras, 122

von Rolle, 67

von Taylor, 153

Zwischenwertsatz, 52

Schnitt

goldener, 32

Schranke, 9

obere, 9, 10

untere, 9, 10

Schraubenlinie, 123

Schrittweite, 86

Sehne, 60

senkrecht, 122

Signum-Funktion, 48

Sinus, 74

Sinus hyperbolicus, 56

Sinus–Funktion, 73

Skalarprodukt, euklidisches, 121

Spaltensumme, maximale, 151

Spirale

Archimedische, 126, 132

Logarithmische, 126

Stutzstelle, 85

Stammfunktion, 86–88

Steigung, 60

stetig, 49–52, 54, 57, 62, 64, 67, 68, 108–

110, 130, 139

gleichgradig, 115, 116

stetig differenzierbar, 69, 70, 72, 88, 89

stetige Fortsetzung, 53

streng monoton, 130

streng monoton fallend, 32, 51, 75

streng monoton wachsend, 32, 33, 51, 52,

56, 57, 64, 75

Submultiplikativitat, 161

Substitutionsregel, 88

Summe, 23, 38, 96

- 249 -


der Wege, 128

Riemannsche, 85, 86

Summenformel, 15

Supremum, 10, 11, 20, 54

surjektiv, 5, 57

Symmetrie, 103

symmetrisch, 155

Tangens, 160

Tangens hyperbolicus, 56

Tangens–Funktion, 75

Tangente, 60

Tangentenebene, 177

Tangententrapezformel, 86

Taylor–Formel, 153–155

Taylor–Polynom, 70, 154, 155

Taylor–Reihe, 71

Taylorentwicklung, 91

Taylorreihe, 101–103

Entwicklung, 101

Taylorsche Formel, 70

Teilfolge, 33

Teilmenge, 1

Teleskopprodukt, 24

Teleskopsumme, 24

Tikhonov, Lemma von, 129

Topologie, 105–107, 109

erzeugte, 105

feinere, 107

feinste, 108

grobere, 107

grobste, 108

induzierte, 107, 111

total beschrankt, 112, 114

Totalvariation, 127

Transitivitat, 2, 8

Treppenfunktion, 77, 78, 81

Trichotomiegesetz, 8

Uberdeckung, 111

Umgebung, 107

Umgebungen, 13

Umkehrabbildung, 6

Umkehrfunktion, 57, 58, 64, 76

Umordnung, 43, 44

Uneigentliche Grenzwerte, 56

Uneigentliches Integral, 89

divergent, 90

konvergent, 90

unendlich, 12, 16

untere Grenze, 81

Unterintegral, 79

Unterkorper, 7

Urbild, 3

Variation, beschrankte, 127

Vektorraum, 25, 26, 82, 117, 119

Verbindungsstrecke, 151

Vereinigung, 1

Verfeinerung, gemeinsame, 77

Vertauschung von Grenzprozessen, 95

vollstandig, 113, 114, 117

- 250 -


vollstandige Induktion

Beweismethode, 14

Prinzip, 14

Vollstandigkeitsaxiom, 11, 34

Vorzeichen, 11, 12

Wahrscheinlichkeit, 23

Weg

differenzierbarer, 151

stetig differenzierbarer, 159

Weglangenfunktion, 129, 130

Weierstraßsches Majoratenkriterium, 96

Winkel, 122

wohlbestimmt, 4

wohldefiniert, 4

wohlgeordnet, 16

Wurzel

n-te, 20

Wurzelbestimmung, 66

Wurzelkriterium, 41, 42

Zahl

Eulersche, 33

konjugiert komplexe, 26

negativ, 8

nichtnegativ, 8

positiv, 8

zusammengesetzte, 19

Zahlen

ganze, 13

Menge der positiven, 8

naturliche, 14

rationale, 13

reelle, 6, 10, 24

Zahlenfolge

komplexe, 28

reelle, 28

Zahlenfolgen, komplexe, 37

Zahlengerade

erweiterte, 12

Zeilensumme, maximale, 151

Zerlegung, 77, 78, 85, 126

aquidistante, 86

- 251 -

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