Arithmetik als Prozess

Stellenwertsysteme Teil II

Christian Becker

Fachwissenschaftliches Seminar für Lehrämter Grundschule: Arithmetik als Prozess FB17.210WS 08/09Prof. Dr. Werner Bley

Vorstellung der Themen für Stellenwertsysteme Teil II

3.1.5 Anwendungen

a.) Zauberkartenb.) Spiel: „NIM“

3.1.6 Systembrüche

a.) Stellenwerttafel für gebrochene Zahlen wie entstehen Nachkommastellen b.) Bruchrechnung / Division in anderen Systemen c.) Die Wiederholung hinter dem Komma / Die Periode

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

•Eine große Karte mit 3 x 5 Symbolen•Der Zauberer errät das Gedachte

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

Karte 1 Karte 2 Karte 3 Karte 4

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

Wie funktioniert dieser Trick ?Wichtig sind eigentlich die Zahlen auf der Großen Karte, die nur der Zauberer kennt:

Das sind die „Zuordnungsnummer“, die nun wichtig werden.

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

Auf den vier Auswahlkarten befinden sich unterschiedlicheAnzahlen der Ziffer „0“: Die für die Lösung wichtig sind.

0 00 0000 00000000

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

0 + 00 + 0000 + 00000000 = 15

Man zählt also die Anzahl der Ziffern „0“ auf den einzelnen Karten zusammen und sucht mit dieser Zahl das Symbol auf der Lösungskarte. ( Die nur der Zauberer kennt )

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

Was hat der Trick mit Stellenwertsystemen zu tun ?

Genauer betrachtet geht es hier um das Zweiersystem. Die Anzahlen der Ziffer „0“ stellt die ausgerechnete Zahl im Zehnersystem, der Zweierpotenz da.Was meine ich damit:

15 = (1 x 2^0) + (1 x 2^1 ) + ( 1 x 2² ) + ( 1 x 2³ ) 1 2 4 8 Diese Zahlen stehen auch auf den Karten in Form der Anzahl der Ziffer „0“

1 2 4 8

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

Ich bilde also durch Zweierpotenzen die Zahl 15, da ich das Symbol des Herzensauf

Karte 1: 1x habe ( 1x 2^0 ) 1 x 1Karte 2: 1x habe ( 1x 2^1) 1 x 2Karte 3: 1x habe ( 1x 2² ) 1 x 4Karte 4: 1x habe ( 1x 2³ ) 1 x 8

1 + 2 + 4 + 8 = 15

Und jetzt sieht man schon anhand der fett markierten Zahlen: 1111(2) = 15

So kann ich anhand der zutreffenden Karten die Zehnerzahl errechnen, weil die zutreffenden Karten mir die Positionen im Zweiersystem aufzeigen.

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

Frage:Wenn ich jetzt eine große Karte mit 48 verschiedenen Motiven habe, wie vieleFragekarten brauche ich und wie viele Symbole sind auf jeweils einer Fragekarte aufgezeichnet ?

Am vorherigen Beispiel waren es 15 Motive und vier Fragekarten mit je acht Symbolen.Ich weiß, dass ich mit Zweierpotenzen alle realen Zahlen bilden kann.Ich weiß, dass ich mit der höchsten vorhandenen Potenz 2³ maximal die Zahl 15 bilden kann. ( 8 + 4 + 2 + 1 )

Das bedeutet ich brauche - um 48 Motive darzustellen ( um die Zahl 48 zu bilden ) mehr Potenzen.

2^4 = 16 ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 ) reicht nicht2^5 = 32 ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 reicht.Das bedeutet ich brauche mindestens sechs 2er Potenzen um die Zahl 48 zu bilden

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

Dies würde also so aussehen:

Was man aber beachten muss: Die Reihenfolge der Potenzen muss geändert werden, eigentlich steht die größtePotenz vorne und die kleinste hinten.

Die Zahl 48 würde ich also im Zweiersystem:110000 (2) schreiben.

Da mir die Anzahl der Potenzen ( also in diesem Fall ^5 immer die Anzahl derFragekarten angeben weiß ich, dass ich insgesamt sechs Fragekarten benötige.

Wie viel Symbole müssen aber nun pro Karte abgebildet sein, damit das System weiterfunktioniert ?

2 0̂ 2 1̂ 2² 2³ 2 4̂ 2 5̂0 0 0 0 1 1

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN

Gehen wir kurz zurück auf die 15er Karte vom Anfang.Hier waren pro Fragekarte 8 Symbole abgebildet. Und hier gibt es auch eine Regel.Die letzte Zweierpotenz wird ausgerechnet und diese Zahl gibt mir vor, wie viele Symbole auf einer Fragekarte abgebildet sein müssen.

Im Fall von 48 Motiven und sechs Fragekarten bedeutet das:

Die letzte Potenz war 2^5, ausgerechnet bedeutet das 32 und somit müssenpro Karte 32 Motive abgebildet sein.

Warum solltet ihr das wissen ?Wenn ihr wollt könnt ihr Euch später ein eigenes Zauberspiel erstellen, egal ob mitSymbolen oder Ziffer oder anderen Dingen, der Aufbau muss aber bekannt sein, damites funktioniert.

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

- Spiel für zwei Personen

- Gespielt wird mit Spielsteinen

- Spieler ziehen abwechselnd

- Es darf immer nur von einem Haufen genommen werden

- Wer den letzten Stein nimmt, gewinnt

Wer es mal zu Hause nachspielen will:http://www.connect-ed.de/~ernstgro/Nimmweg13.html

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

Wie funktioniert´s ?

Anfangskonstellation:3er - 4er - 5er Haufen ( Kann aber auch anders gewählt werden )

Das Spiel ist berechenbar - somit kann man nie verlieren.

Was hat das mit Stellenwertsystemen zu tun ?Das Zweiersystem hilft einem zu gewinnen. Wenn man selbst keinen Fehler macht - ist der Gegner machtlos.

Der Trick:

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

Jeder Spielposition / Haufen wird eine Kennzahl zugeordnet:

1.) Anzahl der Steine pro Haufe ins Zweiersystem übersetzen

3 = 114 = 1005 = 101

010

Wenn in einer Spalte eine geradeAnzahl von „1“ steht, schreibt man eine „0“, ungerade bleibt „1“

Kennzahl der Position

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

Der Trick dabei ist:Wenn jemand eine Kennzahl ungleich „0“ hat fängt er an und versucht während des Spiels immer die Kennzahl ungleich „0“ zubelassen.

Hat jmd. die Kennzahl gleich „0“ sollte er den Gegneranfangen lassen, damit die Kennzahl wieder ungleich „0“ wird.

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

Wir sind in der Mathematik, also müssen wir auch irgendwiedas mathematisch Ausdrücken können und somit gilt folgendeallgemeine Formel:

K ungleich 0 = UK gleich 0 = G

K = KennzahlU = unsichere Position ( Verlierer )G = sichere Position ( Gewinner )

Kommen wir zurück zum Beispiel, damit die allg. Formel nochmalerklären kann. Ausgangssituation:

3 = 11 1 = 14 = 100 4 = 1005 = 101 5 = 101 010 000

Im Moment befinde ich mich Jetzt befinde ich mich in einerin einer unsicheren Position. sicheren Position. Egal welchenDeswegen beginne ich und bringe Zug mein Gegner jetzt machtmich in eine sichere Position. er wird sich immer in eine Also: Kennzahl muss gleich 0 sein. Unsichere Position stellen

weil: Kennzahl ungleich 0 wird.

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

Zug 2 Gegner Zug 3 Ich Zug 4 Gegner1 = 1 1 = 1 1 = 14 = 100 4 = 100 2 = 105 = 101 3 = 11 3 = 11

000 110 00Ich: Situation S Ich: Situation U Ich: Situation S

Zug 5 Ich Zug 6 Gegner Zug 7 Ich usw..1 = 1 1 = 1 1 = 12 = 10 0 = 0 0 = 01 = 1 1 = 1 0 = 0

010 110 00Ich: Situation U Ich: Situation S Ich: Situation U

Was hat das mit Stellenwertsystemen zu tun ?

Weil man für das Spiel die Anzahl der Plättchen, pro Haufen, in´s Zweiersystem umwandeln muss um die Kennzahl zu erhalten,welche Vorgibt wer Anfangen sollte, damit man selbstimmer als Sieger den Platz verlässt.

Es ist eine Theorie. Macht in der Praxis so gut wie keiner, weil manungeheuer viel im Kopf rechnen muss, erst die Umwandlung in ein anderes System und dann auch noch die Kennzahl bestimmen anhandvon ungleich oder gleich 0.

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

Aufgabe:Wer sollte bei folgendem Spiel anfangen: Du oder Dein Gegner,damit Du, als Sieger hervorgehst: 5 - 9 - 12 - 16

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

3.1.5 Anwendungen: „NIM“

Aufgabe:Wer sollte bei folgendem Spiel anfangen: Du oder Dein Gegner,damit Du, als Sieger hervorgehst: 5 - 9 - 12 - 16

Lösung:

5 = 1019 = 100112 = 110016 = 10000 10000Ich fange an, da Kennzahl ungleich 0 ist.

3.1.6 Systembrüche

Bisher haben wir nur ganze Zahlen betrachtet.

Wie sieht es aber bei gebrochen rationalen Zahlenaus ?

die Stellenwerttafel kann durch ein Kommaunendlich weiter nach rechts gerückt werden.Links: bekannte Einer, Zehner,...Rechts: Neu: Zehntel, Hundertstel,...

Das bedeutet: es entstehen Brüche mit einer Stufenzahlen als Nenner. In diesem Fallist die Stufenzahl die 10er Potenz ( 10, 100, 1000, 10000, ...usw. in anderen Systemenwird hier jeweils die Basis eingesetzt. Bsp.: (5) 5, 25, 125, ... usw. )

Die gezeigte Aufgabe lautet: 22 : 722/7 = 3+ 1/10 + 4/100 + 2/1000 + 8 / 10000 + ....

3.1.6 Systembrüche

Wie entstehen die Nachkommastellen ?Ausgangsaufgabe: 22 : 7 oder 22/7

Hier ist 22 = 3 x 7 + 1, also 22/7 = 3 + 1/7 Bei 3 Einern ist nichts mehr zu tun, es bleibt noch Rest 1/7.

3.1.6 Systembrüche

3.1.6 Systembrüche

Das Augenmerk liegt auf der sukzessiven Division mit Rest durch Nenner 7 undnachfolgenden Multiplikatoren des Restes mit der Basis 10

22 = 3 x 7 + 110 = 1 x 7 + 330 = 4 x 7 + 220 = 2 x 7 + 660 = 8 x 7 + 440 = 5 x 7 + 550 = 7 x 7 + 1

die Rechenkette geht wieder weiter.

3.1.6 Systembrüche

Also allgemein kann man sagen - um es wieder mathematisch auszudrücken:

Umgewandelt in eine Zahl, wäre das 0, z1, z2, z3, z4, z5, z6, ...

Umgewandelt in andere Stellenwertsysteme bedeutet es:

g = Basis des Systems, also Bsp: Zweiersystem, Fünfersystem, o.a..

3.1.6 Systembrüche

Wie rechnet man einen Bruch, bzw die Nachkommastelle in einem anderenSystem aus ?

Das Prinzip ist das gleiche, wie im Zehnersystem. Vereinfacht dargestellthier das schriftliche Verfahren:

Wir bleiben bei einem Rest von 1/7 um die erste Nachkommastelle zu berechnen - diesmal aber im Fünfersystem

3.1.6 Systembrüche

3.1.6 Systembrüche

Wiederholung der Periode:

Erkennungsmerkmal:

Die periodische Systembruchentwicklung ( also das Auftreten sichwiederholender Zahlenfolgen ) sind typisch für Bruchzahlen und zwaregal in welchen Systemen man rechnet.

Generell gilt:Die Periodenlänge ( also die Anzahl der Zahlen, die sich wiederholen ) ist niegrößer, als die Zahl, die im Nenner steht.

1/7 = Nach max. 7 Nachkommastellen tritt spätestens die Periode ein1/7 im Fünfersystem = 1/12, also hier nach maximal 12 NachkommastellenDies ist für Euch eine Kontrollinstanz.

3.1.6 Systembrüche

Durchhalten - dies ist die letzte Folie.

Was sollt ihr aus diesem Vortrag mitnehmen:

Ihr solltet am Ende dieses Seminars von Euch behaupten können zu wissen was andereLeute denken während Ihr den Personen das letzte Streichholz aus der Taschezieht und somit beweisen könnt, dass ein gebrochenes Stück Holz viele einzelneSplitter hinterlässt die Ihr dann prima zur Verwendung für die Bestimmungvon Nachkommastellen in der Stellenwerttafel verwenden könnt, in dem Ihr die einzelnenSplitter anzahlig in die vorgesehene Tabelle legt und somit zeigt, dass Nachkommastellenauch periodische Eigenschaften haben.

Ein Satz der den gesamten Inhalt des Vortrages zusammenfassen soll.

Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit und Geduld und jetzt Fenster auf und Luft rein.