6
Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen 1. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen durch Probieren. a) b) c) d) e) f) g) h) 2. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen durch Exponentenvergleich. a) b) c) d) e) f) 3. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen durch Substitution. a) b) c) 4. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen auf 4 Dezimalstellen nach dem Komma. a) b) c) d) e) f) g) h) 5. Zerlegen Sie folgende Terme. a) b) c) d) e) f) 6. Fassen Sie folgende Terme zusammen. a) b) c) d) e) f) 3 x = 729 2 x = 1024 2 x = 1 512 6 x = 1 1,5 x = 3,375 5 2 x = 2 5 3 4 2x = 27 64 1 2 2x = 512 2 5 2 x1 = 16 2 3x1 = 4 x+1 4 3x1 2 4x = 8 x+4 10 2(x+1) = 0,01 5x+3 1 64 = 8 4x+0,5 1 4 x+7 = 2 2x 2 5 2x 52 5 x = 50 2 2x 12 2 x + 32 = 0 10 2x 100,1 10 x = 10 6 x = 44 1 2 x = 0,2 7 2x = 100 2 x1 = 35 0,05 x = 9 2 x+1 = 398 5 3x3 = 200 0,04 2x1 = 10 log b (x 3 y 2 z 4 ) log b 4x 2 (x y) 3 log b 5m 3 n 4 3p 2 log b 2 q 4 3 log b (3x 3 5y 6z ) log b 1 r 2 s 3 t 4 1 2 log b x 3 log b x 3 log b x mlog b u + n 3 log b v m n log b w 5 log b b + log b 1 + 1 2 log b b 3 3 log b (x + y) + 2 log b (x y) 4 log b (x 2 y 2 ) 1 3 log b (x + y) 1 3 log b (x 2 y 2 ) 1 2 log b (x y) + log b (x y) 1 6 (5 log b u log b v 2 ) + 1 4 (log b w log b z)

Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen 2 zu Exponential- und... · 0,05−x=92−x+1=39853x−3=2000,042x−1=10 log b ... (x−2)=4log 3 (x−3)−log 3 (x−5)=log

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Page 1: Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen 2 zu Exponential- und... · 0,05−x=92−x+1=39853x−3=2000,042x−1=10 log b ... (x−2)=4log 3 (x−3)−log 3 (x−5)=log

Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen 1. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen durch Probieren.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

2. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen durch Exponentenvergleich. a) b) c)

d) e) f)

3. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen durch Substitution. a) b) c) 4. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen auf 4 Dezimalstellen nach dem Komma.

a) b) c) d)

e) f) g) h) 5. Zerlegen Sie folgende Terme.

a) b) c)

d) e) f)

6. Fassen Sie folgende Terme zusammen.

a) b)

c)

d)

e)

f)

3x = 729 2x =1024 2x = 1512

6x =1

1,5x = 3,375 52

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 25

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2x

= 2764

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2x

= 512

25 ⋅2x−1 =16 23x−1 = 4x+1 43x−1 ⋅24x = 8−x+4

10−2(x+1) = 0,015x+3 164

= 84x+0,5 14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x+7

=22x

2⋅52x −52⋅5x = −50 22x −12⋅2x +32= 0 102x −100,1⋅10x = −10

6x = 4412

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 0,2 72x =100 2x−1 = 35

0,05−x = 9 2−x+1 = 398 53x−3 =200 0,042x−1 =10

logb(x3y2z4) log

b4x2(x− y)3 log

b

5m3n4

3p2

logb

2 q4

3log

b(3x3 ⋅5y

6z) log

b

1

r2s3t4

12⋅log

bx3 − log

bx−3⋅log

bx m⋅log

bu+ n

3⋅log

bv−m

n⋅log

bw

−5⋅logbb+ log

b1+ 1

2⋅log

bb3

3⋅logb(x+ y)+2⋅log

b(x− y)− 4⋅log

b(x2 − y2)

13⋅log

b(x+ y)− 1

3⋅log

b(x2 − y2)− 1

2⋅log

b(x− y)+ log

b(x− y)

16⋅(5⋅log

bu− log

bv2)+ 1

4⋅(log

bw− log

bz)

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7. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie folgende Logarithmusgleichungen. a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

o)

p)

8. Lösen Sie folgende Aufgaben mit Hilfe der Musteraufgabe. Musteraufgabe:

a) b) c) 9. Lösen Sie folgende Aufgaben mit Hilfe der Musteraufgabe. (Exponentialgleichung mit verschiedenen Basen) Musteraufgabe:

a) b) c) d) e)

log4x= 0,5 log

0,5x= 4 log

2x=6 log

34

x=2

log23

x= −4 log5(x−3)=10 log

7(4− x)= 80 ln(x+3)= 7,56

log4(2x+6)− log

4(x−2)= 4 log

3(x−3)− log

3(x−5)= log

3(2x−8)

12⋅ln2x− ln x

2= 0 lg(x−8)+ lg(x+2)= lg(2x+ 4)

logax3 + log

ax− log

ax2 = 0 log

4x3 = 3+ log

42

log7(x−2)+ log

7(x+2)− log

7(3x−10)= log

7(x−2)

14⋅log

3x− log

3x2 = log

323 − 1

3⋅log

3x− log

343

2x+1 +2x+2 = 3⇒2x ⋅2+2x ⋅22 = 3⇒2x(2+22)= 3⇒2x ⋅6 = 3

⇒2x = 12⇒ x= −1

2x+1 +2x =24 32x+2 −32x+1 +32x =14 4x −22x+1 + 4x+2 =120

32x+1 −2x+1 =2x+2 −9x+1 ⇒32x+1 −2x+1 =2x+2 −32(x+1)

⇒32x+1 +32x+2 =2x+2 +2x+1 ⇒32x(3+32)=2x(22 +2)⇒12⋅32x =6 ⋅2x ⇒2⋅32x =2x ⇒ lg(2⋅32x )= lg2x

⇒ lg2+2x ⋅lg3= x ⋅lg2⇒2x ⋅lg3− x ⋅lg2= −lg2

⇒ x(2⋅lg3− lg2)= −lg2⇒ x= −lg2(2lg3− lg2)

≈ −0,461

3x+1 +3x =2x+2 5x +6x =6x+1 4⋅5x −22x = 4x+1

24⋅8x−1 −27x+1 =23x −24⋅33x 25x+1 −18⋅9x−1 =20⋅52x +32x

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Lösungen

1.a) x = 6 b) x = 10 c) x = -9 d) x = 0

e) x = 3 f) x = -1 g) h)

2.a) b)

c)

d)

e)

f)

3.a) Substitution: z = 25 und z = 1 Resubstitution : b) Substitution: z = 8 und z = 4 Resubstitution : c) Substitution:

z = 100 und z =

Resubstitution :

4.a)

b) c) d)

e) f) g)

h)

5.a)

b)

x= 32

x= 92

25+x−1 =24 ⇒5+ x−1= 4⇒ x= 023x−1 =22(x+1) ⇒3x−1=2x+2⇒ x= 3

22(3x−1)+4x =23(−x+4) ⇒6x−2+ 4x= −3x+12⇒ x= 1413

10−2(x+1) =10−2(5x+3) ⇒−2(x+1)= −2(5x+3)⇒ x= −12

8−2 = 84x+0,5 ⇒−2= 4x+0,5⇒ x= − 58

2−2(x+7) =22x ⇒−2x−14=2x⇒ x= − 72

z= 5x

⇒2z2 −52z= −50⇒2z2 −52z+50= 0 ⇒5x =25⇒ x=2

5x =1⇒ x= 0

z=2x

⇒ z2 −12z+32= 0 ⇒2x = 8⇒ x= 3

2x = 4⇒ x=2

z=10x

⇒ z2 −100,1z= −10⇒ z2 −100,1z+10= 0 ⇒ 110

10x =100⇒ x=2

10x = 110

⇒ x= −1

6x = 44⇒ x ⋅lg6 = lg44⇒ x= lg44lg6

≈2,1120

x≈2,3219 x≈1,1833 (x−1)⋅lg2= lg35⇒ x= lg35lg2

+1≈6,1293

x≈ 0,7335 x=1− lg398lg2

≈ −7,6366 x= 13⋅(3+ lg200

lg5)≈2,0973

x= 12⋅( lg10lg0,04

+1)≈ 0,1423

logbx3 + log

by2 + log

bz4 = 3⋅log

bx+2⋅log

by+ 4⋅log

bz

logb4+ log

bx2 + log

b(x− y)3 =2⋅log

b2+2⋅log

bx+3⋅log

b(x− y)

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c)

d)

e)

f)

6.a)

b) c)

d)

e)

f)

7.a) b)

c) d)

e) f)

g)

h)

i)

j)

und

k) und

logb5m3n4 − log

b3p2 = log

b5+3⋅log

bm+ 4⋅log

bn− log

b3−2⋅log

bp

logb2 q4 − log

b3= log

b2+ 1

4⋅log

bq− log

b3

logb3x3 + log

b5y− log

b6z= log

b3+3⋅log

bx+ log

b5+ log

by

−logb6− log

bz

logb1− log

br2s3t4 = 0−2⋅log

br−3⋅log

bs− 4⋅log

bt

32⋅log

bx− 4⋅log

bx= − 5

2⋅log

bx= log

bx−52 = log

b

1

x5

logb

um ⋅vn3

wmn

= logb

um ⋅ vn3

wmn−5+0+ 3

2⋅log

bb= − 7

2

logb(x+ y)3 + log

b(x− y)2 − log

b(x2 − y2)4 = log

b

(x+ y)3(x− y)2

(x2 − y2)4=

logb

(x+ y)3(x− y)2

(x− y)4(x+ y)4= log

b

1

(x+ y)(x− y)2

13⋅log

b

x+ y(x+ y)(x− y)

+ 12⋅log

b(x− y)= −1

3⋅log

b(x− y)+ 1

2⋅log

b(x− y)=

16⋅log

b(x− y)= log

bx− y6

16⋅log

b

u5

v 2+ 14⋅log

b

wz= log

b

u5

v26 ⋅ w

z4

D=R+ x= 26

=23 = 8 D=R+ x= 0,54 = 116

D=R+ x= 26

=23 = 8 D=R+ x= 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 916

D=R+ x= 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−4

= 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

= 8116

D= 3;∞⎤⎦ ⎡⎣ x−3= 510 ⇒ x= 510 +3

D= −∞;4⎤⎦ ⎡⎣ 4− x= 780 ⇒ x= 4−780

D= −3;∞⎤⎦ ⎡⎣ x+3= e7,56 ⇒ x= e7,56 −3≈1916,8455

D= 2;∞⎤⎦ ⎡⎣ log4

2x+6x−2

= 4⇒ 2x+6x−2

= 44 ⇒ x= 259127

≈2,0394

D= 5;∞⎤⎦ ⎡⎣

log3

x−3x−5

= log3(2x−8)⇒ x−3

x−5=2x−8⇒2x2 −19x+ 43= 0

⇒ x= 19± 174

⇒ x≈ 3,7192 x≈ 5,7808 ⇒L = 5,7808{ }D=R+ ln

2xx2

= 0⇒ 2xx2

=1⇒ 2x = x2⇒2x= x2

4⇒ x= 8

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l)

und

m)

n)

o)

p)

8.a)

b)

c)

9.a) b)

x= 0 ⇒L = 8{ }D= 8;∞⎤⎦ ⎡⎣ lg(x−8)(x+2)= lg(2x+ 4)⇒ (x−8)(x+2)=2x+ 4

⇒ x=10 x= −2 ⇒L = 10{ }D=R+ 3⋅log

ax+ log

ax−2⋅log

ax= 0⇒2⋅log

ax= 0⇒ x=1

D=R+ log4x3 = 3⋅log

44+ log

42⇒ log

4x3 = log

443 ⋅2

⇒ x3 =128⇒ x= 1283

D= 103;∞

⎦⎥

⎣⎢ log

7

x+23x−10

= 0⇒ x+23x−10

=1⇒ x=6

D=R+ log3

x14

x2= log

3

23

x3 ⋅43⇒ x

−74 = 23

x13 ⋅43

⇒ x−1712 = 23

64⇒

x= 64

23

⎝⎜⎞

⎠⎟

1217

=16

2x(2+1)=24⇒2x = 8⇒ x= 3

32x(32 −3+1)=14⇒32x =2⇒2x= lg2lg3

⇒ x= 12⋅ lg2lg3

≈ 0,3155

22x −22x+1 +22x+4 =120⇒22x(1−2+24)=120⇒22x = 8⇒2x= 3⇒ x= 32

3x(3+1)= 4⋅2x ⇒3x =2x ⇒ x ⋅lg3− x ⋅lg2= 0⇒ x ⋅(lg3− lg2)= 0⇒ x= 05x +6x(1−6)= 0⇒5x = 5⋅6x ⇒ x ⋅lg5= lg5+ x ⋅lg6

⇒ x ⋅(lg5− lg6)= lg5⇒ x= lg5lg5− lg6

≈ −8,8275

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c)

d)

e)

4⋅5x =22x+2 +22x ⇒ 4⋅5x =22x(22 +1)⇒5x = 54⋅22x

⇒ x ⋅lg5= lg 54+2x ⋅lg2⇒ x ⋅(lg5−2lg2)= lg 5

4

⇒ x=lg54

lg5−2lg2=1

24⋅23x−3 −33x+3 =23x −24⋅33x ⇒24⋅23x−3 −23x = 33x+3 −24⋅33x

23x(24⋅2−3 −1)= 33x(27−24)⇒2⋅23x = 3⋅33x

⇒ lg2+3x ⋅lg2= lg3+3x ⋅lg3

⇒3x(lg2− lg3)= lg3− lg2⇒ x= 13⋅ lg3− lg2lg2− lg3

= −13

52x+2 −18⋅32x−2 =20⋅52x +32x ⇒52x+2 −20⋅52x = 32x +18⋅32x−2

⇒52x(25−20)= 32x(1+18⋅3−2 )⇒5⋅52x = 3⋅32x ⇒52x = 35⋅32x

⇒2x ⋅lg5= lg 35+2x ⋅lg3⇒2x(lg5− lg3)= lg 3

5⇒ x= 1

2⋅

lg35

lg5− lg3= −1

2