Aufgaben zur Festigkeitslehre - ausführlich gelöst · Aufgabensammlungen Aufgaben zur Festigkeitslehre - ausführlich gelöst Mit Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten von

Aufgabensammlungen

Aufgaben zur Festigkeitslehre - ausführlich gelöst

Mit Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten

vonGerhard Knappstein

5., überarb. u. erw. Aufl.

Aufgaben zur Festigkeitslehre - ausführlich gelöst – Knappstein

schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

Harri Deutsch 2010

Verlag C.H. Beck im Internet:www.beck.de

ISBN 978 3 8171 1871 7

VerlagHarriDeutsch

Aufgaben zur Festigkeitslehre –ausführlich gelöstMit Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten

G. Knappstein

G. K

napp

stein

Diese als Ergänzung zu Vorlesungen in Festigkeitslehre gedachteSammlung enthält Aufgaben aus allen wichtigen Teilgebieten derElastostatik. Lösungswege und Lösungen sind ausführlich dargestellt;Verständnisfragen, ebenfalls mit Antworten, vertiefen das Gelernte.

Ein Anhang mit Grundbegriffen, Formeln, Tabellen und die Prä-sentation sinnvoller Computereinsätze bei wiederkehrenden Lö-sungsalgorithmen runden das Werk ab.

Da die Festigkeitslehre eng mit der Statik verknüpft ist, enthält dieNeuauflage eine Formelsammlung zur Statik. Außerdem wurdenweitere ausführlich gelöste Aufgaben aufgenommen.

Verlag Harri Deutsch – Knappstein: Aufgaben zur Festigkeitslehre – ISBN: 978-3-8171-1871-7

Aufgaben zur Festigkeitslehre

– ausführlich gelöst



G. Knappstein

Aufgaben zur Festigkeitslehre

– ausführlich gelöst

Mit Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten


Der Autor

Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner Ausbildung zum Werkzeugmacher und demMaschinenbaustudium als Konstrukteur und Berechnungsingenieur in der Industrie tätig. Erist Mitarbeiter im Fachbereich Maschinenbau – Fachgebiet Technische Mechanik – an derUniversität Siegen.

Die Webseite zum Buch

http://www.harri-deutsch.de/1871.html

Der Verlag

Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbHGräfstraße 4760486 Frankfurt am [email protected]

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbi-bliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.deabrufbar.

ISBN 978-3-8171-1871-7

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5., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010c©Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2010

Druck: fgb – freiburger graphische betriebe <www.fgb.de>Printed in Germany


Vorwort

Zum richtigen Verstehen und Einordnen der theoretischen Grundlagen des Mechanikfachs Festig-keitslehre (Elastostatik) ist das selbständige Lösen von entsprechenden Aufgaben unverzichtbar. Dieser Grund und die immer wiederkehrende Frage der Studierenden nach Aufgaben mit vollstän-digen Lösungen waren unter anderem Anlass, dieses Buch zu schreiben.

Das Buch, dessen Inhalt sich am Stoff der Vorlesungen in Festigkeitslehre an Universitäten und Fachhochschulen orientiert, bietet • zahlreiche ausführlich und lehrbeispielhaft gelöste Aufgaben, • die notwendigen Grundbegriffe und Formeln zum schnellen Nachschlagen in überschauba-

rer Form, • Verständnisfragen und Antworten zum Überprüfen der Kenntnisse, • computerunterstütztes Lösen von Aufgaben aus dem Gebiet der Festigkeitslehre und • Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben.

Es ergänzt außerdem die vielfältigen Mechanik-Lehrbücher.

Die Aufgaben sind so ausgewählt, dass alle wichtigen Teilgebiete der Festigkeitslehre behan-delt werden. Bei den Lösungen habe ich versucht, den Lösungsweg so zu gestalten, dass er für jeden verständ-lich ist. Die Lösungen sind nicht nur stichwortartig dargestellt, sondern sehr ausführlich gelöst, wobei vor allem der "rote Faden" des Lösungswegs gut erkennbar ist, was in erster Linie durch eine umfangreiche und sinnvolle Bebilderung unterstützt wird. Durch Zeichnungen sind Studie-rende oftmals viel schneller über schwierige Sachverhalte "im Bilde", als das je mit Text gesche-hen könnte.

Bei einigen Aufgaben werden mehrere Lösungswege dargestellt sowie Ergebniserläuterungen vorgenommen.

Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren werden angegeben, da erfahrungsgemäß viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lö-sung verlieren, wenn er nicht systematisch angelegt wird.

Um den größten Nutzen aus dem Buch zu ziehen, empfehle ich den Studierenden, die Lösun-gen nicht nur durchzulesen, sondern auch zu versuchen, die Aufgaben selbständig zu lösen und nachzuvollziehen. Unbedingt erforderlich ist, dass Aufgabenlösungen – nicht nach „Schema F“, sondern mit Verstand und den Grundgesetzen der Mechanik – durchzuführen sind. Hilfreich ist oft, die Aufgaben und Verständnisfragen zu zweit oder zu dritt durchzuarbeiten, zu vergleichen und die Lösungen und Antworten zu diskutieren.

In der vorliegenden 5. Auflage habe ich weitere ausführlich gelöste Aufgaben eingefügt sowie eine Formelsammlung zur Statik aufgenommen, da die Festigkeitslehre aufs engste mit der Statik verknüpft ist. Außerdem habe ich eine Zusammenstellung der häufig benutzten Formelzeichen an-gegeben.

Die vollständigen MATLAB-Programme stehen auf der Homepage zum Buch, erreichbar über die des Harri Deutsch Verlages www.harri-deutsch.de, zur Verfügung. Dem Verlag Harri Deutsch danke ich für die gute Zusammenarbeit. Siegen, im Sommer 2010 Gerhard Knappstein



Inhalt

1 Zug und Druck in Stäben; Dehnungen und Verschiebungen . . . . . . . 2 Der ein- und zweiachsige Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmo-

mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Biegung: Normalspannungen durch Biegemomente und Normal-

kraft; Schiefe Biegung; Verformungen durch Biegemomente . . . . . . 5 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Querkraftschub; Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Aufgaben mit Anwendungen aus verschiedenen Gebieten der

Elastostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Aufgaben zu CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral (Arbeitssatz),

Kraftgrößenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antworten zu den Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Computerunterstütztes Lösen von Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Programm QUERP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Programm BIEGNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang: Einige Grundbegriffe und Formeln der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . A1 Einheiten; Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2 Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen . . . . . . A4 Zug und Druck in Stäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A5 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstands- momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A6 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A7 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A8 Lage der Schubmittelpunkte von dünnwandigen Profilen . . . . . . . A9 Querkraftschub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A10 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

35

45

67

119

133

145

157

183

193

201

215215220

233233234235235

237242245249250250


VIII Inhalt

A11 Dünnwandige Behälter (Membranschalen) unter Innendruck . . . . A12 Festigkeitshypothesen, Vergleichsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . A13 Zugfestigkeit Rm, Streckgrenze Rp0 2, und Bruchdehnung A5 eini- ger Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A14 Zulässige Spannungen für Kran-Stahltragwerke . . . . . . . . . . . . . . . A15 Ausgewählte Werkstoffkennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A16 Anwendung des Energieprinzips bei Biegebeanspruchung (CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral, Kraftgrößenverfahren) Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Schematischer Verlauf einer Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gegenüberstellung von neuen und alten Werkstoffbezeichnungen (Auswahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Einige Grundlagen und Formeln aus der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1 Kräfte, Lagerungen, Freimachen, Axiome, Schnittprinzip . . . . . . . S2 Zentrales Kräftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S3 Allgemeines Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S4 Ebenes Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S5 Schnittgrößen am Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S6 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S7 Haftung und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S8 Biegeschlaffes Seil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Ein-heiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheitennamen und Einheitenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Formeln aus der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Häufig benutzte Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forscher und Lehrer auf dem Gebiet der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253254

255255256

257261262

263264264269272275277279283284

286

286287288289291294295


Inhalt / Übersicht der Aufgaben IX Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

1 Zug und Druck in Stäben; Deh-nungen und Verschiebungen

1

1.1 Dehnung und Verlängerung eines Seiles; Reiß-länge

2

1.2 Dehnung von Stäben aus unterschiedlichem Ma-terial

5

1.3 Spannungsverläufe σ in einem Stab mit verän-derlichem Querschnitt infolge Eigengewicht und äußerlicher Belastung

6

1.4 Abgesetzter Stahlzylinder unter Temperaturbela-stung (Kräfte und Verschiebung)

9

1.5 Verschiebungen in einem Stabwerk (Stäbe mit unterschiedlicher Dehnsteifigkeit)

11

1.6 Lagerungsstäbe (verschiedene Querschnitte) eines starren Trägers (statisch unbestimmt); Stabkräfte, Spannungen, Verschiebungen

14

1.7 Stabkräfte und Verschiebungen in einem Fach-werk (statisch unbestimmt)

16

1.8 Fachwerk unter Temperaturbelastung (Stäbe mit unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizien-ten)

19

1.9 Dehnung und Spannung in einem fliehkraftbean-spruchten Stab

21

1.10 Spannungen in den drei Seilen einer Lastaufhän-gung (mit Fehlmaß) (statisch unbestimmt)

24


X Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

1.11 Lastaufnahme bei Druckstab aus unterschiedli-chen Materialien (statisch unbestimmt)

29

1.12 Dehnungen und Spannungen bei einem zweiach-sigen Spannungszustand

31

1.13 Dehnung von Schrauben (Dehnschrauben)

ppp

33

2 Der ein- und zweiachsige Spannungszustand 35 2.1 Spannungen in der Schweißnaht eines Blechstrei-

fens (einachsiger Spannungszustand)

36

2.2 Spannungen in der Schnittfläche eines Quaders (einachsiger Spannungszustand und zweiachsiger Hauptnormalspannungszustand)

38

2.3 Allgemeiner ebener Spannungszustand

41

3 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente

45

3.1 Drei Querschnitte mit gleichem Flächeninhalt im Vergleich

46

3.2 Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt (Hauptträg-heitsmomente, Hauptachsen)

49

3.3 Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt

52

3.4 Gedrehter Rechteckquerschnitt

56

3.5 Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Quer-schnitt

57


Inhalt / Übersicht der Aufgaben XI Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

3.6 Aus Grundflächen zusammengesetzter Quer-schnitt

61

3.7 Trapezförmiger Querschnitt

65

4 Biegung: Normalspannungen durch Biegemomente und Normalkraft; Schiefe Biegung; Verformungen durch Biegemomente

67

4.1 Einachsige Biegung; Biegespannungsverteilung

68

4.2 Einachsige Biegung; Biegespannungsverteilung

71

4.3 Schiefe Biegung; Spannungs-Null-Linie; Biege-spannungsverteilung

74

4.4 Schiefe Biegung; Spannungs-Null-Linie; Span-nungsverteilung

77

4.5 Schiefe Biegung mit Normalkraftbeanspruchung; Spannungs-Null-Linie; Spannungsverteilung

80

4.6 Biegelinie

83

4.7 Durchbiegung am freien Ende (mit Überlagerung)

86

4.8 Biegeverformung (mit Überlagerung)

88

4.9 Biegelinie

90

4.10 Durchbiegung, Neigungswinkel

92


XII Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

4.11 Auflagerreaktionen, Neigungswinkel, Differenti-algleichung der elastischen Biegelinie (statisch unbestimmtes System)

96

4.12 Auflagerreaktionen, Differentialgleichung der elastischen Biegelinie, Superpositionsprinzip (sta-tisch unbestimmtes System)

100

4.13 Auflagerreaktion, Superpositionsprinzip (statisch unbestimmtes System)

104

4.14 Verschiebungen (Superposition)

106

4.15 Auflagerreaktion bei elastischem Lager, Durch-biegung, Superpositionsprinzip (statisch unbe-stimmtes System)

108

4.16 Auswirkungen der schubfesten Verbindung zweier Träger auf die Biegespannung und die Durchbiegung

F

F2

F

110

4.17 Verformungen eines Biegeträgersystems (unter-schiedliche Biegesteifigkeiten)

113

4.18 Verformungsberechnung bei schiefer Biegung (Kragträger)

115

4.19 Verformungen bei durch einen Stab gekoppelte Biegeträger (statisch unbestimmtes System)

117

5 Torsion 119

5.1 zulässige Schubspannung und zulässiger spezifi-scher Verdrehungswinkel

120

5.2 Torsionsstäbe mit Vollquerschnitt und kreisrun-dem Rohrquerschnitt

122

5.3 abgesetzter Drillstab (Reihenschaltung)

124

5.4 Parallel geschaltete Torsionsfedern (einfach sta-tisch unbestimmt)

125


Inhalt / Übersicht der Aufgaben XIII Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

5.5 Torsionsstab mit dünnwandigem geschlossenen Querschnitt (BREDTsche Formeln)

127

5.6 Torsionsstäbe mit dünnwandigem geschlossenen und offenen Querschnitt

SchlitzSchlitz

129

5.7 Torsionsstab mit unterschiedlichen Querschnitten

132

6 Querkraftschub; Schubmittelpunkt 133

6.1 Schubspannungen infolge Querkraft

134

6.2 Schubspannungsverlauf infolge Querkraft, Schub-mittelpunkt SchlitzSchlitz

137

6.3 Dünnwandiger Träger mit C-Profil

141

6.4 Schubspannungen in Verbindungsmitteln (Schweißnähte)

143

7 Knickung 145

7.1 EULER-Fall 2; Belastbarkeitsrechnung (kreuzför-miger Querschnitt)

146

7.2 EULER-Fall 1; Entwurfsrechnung (Rohrquer-schnitt)

148

7.3 EULER-Fall 2; Belastbarkeitsrechnung (Winkel-stahl)

149

7.4 Vergleich der Knicksicherheiten zweier Fachwer-ke

151

7.5 Grundfall 2; Belastbarkeitsrechnung (Rechteck-querschnitt); TETMAJER und EULER

153


XIV Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

7.6 Grundfall 1; Entwurfsrechnung (Ellipsenquer-schnitt); EULER und TETMAJER

154

7.7 Druckstab mit 4 verschiedenen Querschnitten gleichen Flächeninhalts; EULER

156

8 Aufgaben mit Anwendungen aus verschiedenen Gebieten der Elastostatik

157

8.1 Anwendungen aus den Gebieten: Zug, Druck, Biegung, Knickung. Statisch unbestimmtes System

158

8.2 Auf Zug, Biegung und Torsion belastetes Rohr; MOHRscher Spannungskreis

162

8.3 Auf Biegung und Torsion belasteter abgewinkel-ter Träger; Verschiebungen

165

8.4 Dimensionierung einer Welle (Gestaltänderungs-energiehypothese)

167

8.5 Auf Druck, Biegung und Torsion belastete Säule; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungs-energiehypothese

169

8.6 Auf Innendruck und Torsion belastetes dünnwan-diges, geschlossenes Rohr; Kesselformeln; Ver-gleichsspannung nach der Gestaltänderungsener-giehypothese

171

8.7 Auf Biegung und Torsion beanspruchter Stab; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungs-energiehypothese

172


Inhalt / Übersicht der Aufgaben XV Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

8.8 Auf Biegung und Torsion beanspruchte Blattfe-der; Durchsenkung; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese

173

8.9 Auf Biegung und Torsion beanspruchter Träger; erforderlicher Durchmesser; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese

175

8.10 Normalkraft, Biegung und Torsion; maximale Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungs-energiehypothese

176

8.11 Schrumpfring auf Vollwelle; Wärmedehnung; er-forderliche Temperaturerhöhung

180

8.12 Schrumpfring auf Ring; Wärmedehnung; Berüh-rungskreisdurchmesser und Spannungen

181

9 Aufgaben zu CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral (Arbeitssatz), Kraftgrößenver-fahren

183

9.1 Durchbiegung und Neigungswinkel mit dem Satz von CASTIGLIANO

184

9.2 Verschiebung eines abgewinkelten Trägers mit-hilfe des Satzes von CASTIGLIANO

185

9.3 Statisch unbestimmtes System; Auflagerreaktio-nen mithilfe des Satzes von CASTIGLIANO

186

9.4 Durchbiegung mithilfe des MOHRschen Arbeits-integrals (Arbeitssatz)

187


XVI Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

9.5 Verschiebung mithilfe des MOHRschen Arbeits-integrals (Arbeitssatz)

189

9.6 Statisch unbestimmtes System; Auflagerreaktion mithilfe des Kraftgrößenverfahrens

190

Computerunterstütztes Lösen von Aufgaben; Programme QUERP und BIEGNO

215

Beispiel zu

QUERP

Querschnittswerte (Schwerpunkt, Flächenträg-heitsmomente)

218

Aufgabe zu

QUERP

Querschnittswerte (Schwerpunkt, Flächenträg-heitsmomente)

219

Beispiel zu

BIEGNO

Biegung; Querschnittswerte, Spannungs-Nullinie und Spannungsverteilung

229

Aufgabe zu

BIEGNO

Biegung mit Normalkraftbeanspruchung; Quer-schnittswerte, Spannungs-Nullinie und Span-nungsverteilung

230

Aufgabe zu

BIEGNO

Biegung; Querschnittswerte, Spannungs-Nullinie und Spannungsverteilung

231


3 Flächenträgheitsmomente;

Lage der Hauptachsen;

Widerstandsmomente


46 Flächenträgheits- und Widerstandsmomente / drei Querschnitte im Vergleich

Aufgabe 3.1: Ein Träger wird aus vier Teilen zusammengeschweißt. Je nach Anordnung der Teile, entstehen die drei in Bild 3.1 gezeigten Trägerquerschnitte mit gleichem Flächeninhalt der Querschnittsfläche. Für jeden Querschnitt sind die axialen Flächenträgheitsmomente und Widerstandsmomente für die Achsen y und z durch die Flächenschwerpunkte zu berechnen. Wie groß sind die Deviationsmo-mente (Zentrifugalmomente) Iyz ?

Lösung: Querschnitt I: Da der Querschnitt zur y- und z-Achse symmetrisch ist, sind y und z Schwerpunktachsen (Bild 3.1.1). Zur Berechnung der Flächenträgheitsmomente wird der Querschnitt in vier Teilflächen aufgeteilt (Bild 3.1.1).

Es gilt:

I I A zy yi

ii

Si i= + ⋅

= =∑ ∑

1

4

1

42

mit Iyi: Flächenträgheitsmoment der Teilfläche i bezogen

auf deren Schwerpunktachse yi Ai : Flächeninhalt der Teilfläche i zSi

: Abstand zwischen den parallelen Schwerpunkt- achsen yi der Teilfläche i und y der Gesamtquer- schnittsfläche A zi Si⋅ 2 wird als STEINER-Anteil der Teilfläche i bezeichnet.

(Da die Schwerpunkte der Teilflächen 1 und 2 auf der y-Achse des Gesamtschwerpunktes liegen, sind ihre STEINER-Anteile null.)

I a a a ay = + + =362

272

5044

4 4

5aa

z3aa

S

a

aa

a

a a62y

5aa

z3aa

S

a

a

a a6y 4

5aa

z3aa

S

a

a

aa

y5

a3

9

Querschnitt I Querschnitt II Querschnitt IIIBild 3.1: Drei verschiedene Querschnittflächen mit gleichem Querschnittsflächeninhalt

5aa

z3aa

S

a

aa

a

a a62y

12

3

4

Bild 3.1.1: Querschnitt I in Teil-

flächen aufgeteilt

( ) 233

2332

1232

1262 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅++= aaaaaaaI y

I Iy y1 2= I Iy y3 4

= STEINER-

Anteil


drei Querschnitte im Vergleich 47

I I A yz zi

ii

Si i= + ⋅

= =∑ ∑

1

4

1

42 mit ySi

: Abstand zwischen den parallelen Achsen zi und z

( ) ( )233

26212

621232 aaaaaaaI z ⋅++= , I a a a az = + + =

92

48 53 54 4 4 4, .

Widerstandsmomente: WI

zyy=

max ; W I

yzz=

max

mit zmax : größter Abstand eines Randpunktes von der Schwerpunktachse y

ymax : größter Abstand eines Randpunktes von der Schwerpunktachse z

W aa

ay = =50

316 67

43, , W a

aaz = =

53 52 5

21 44

3,,

, .

Deviationsmoment: Allgemein gilt ∫−=A

yz dAzyI .

Iyz = 0 , weil mindestens eine der beiden Schwerpunktachsen y und z eine Symmetrieachse der Fläche ist (hier sind beide Symmetrieachse).

Iyz wird immer dann null, wenn zu jedem Flächenelement bei x y, ein entsprechendes mit einem negativen Produkt x y⋅ existiert. Querschnitt II: Lösungsweg analog zu Querschnitt I.

( ) 233

2532

1232

1262 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅++= aaaaaaaI y , I a a a ay = + + =36

2752

7444

4 4 .

( ) ( )233

26212

621232 aaaaaaaI z ⋅++= , I a a a az = + + =

92

48 53 54 4 4 4, .

W aa

ay = =74

324 67

43, , W a

aaz = =

53 52 5

21 44

3,,

, , Iyz = 0.

Querschnitt III:

Der Querschnitt ist zur z-Achse symmetrisch. Zur Berechnung wird der Querschnitt in Teil-flächen zerlegt und ein Bezugskoordinatensystem y z, eingeführt (Bild 3.1.2).

Lage des Schwerpunkts:

z A z AS Si

ii⋅ = ⋅

=∑

1

4

2

222

18

3233

2632

a

aaaaaazS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−++⋅

=

z a aS = =3318

1 83,

z

5aa3aa

S

a

y

a

aa

5

a3

9

z ,

y zS

zmax

12

3

4

Bild 3.1.2: Aufgeteilter Querschnitt III mit

Bezugskoordinatensystem y z,


48 Flächenträgheits- und Widerstandsmomente / drei Querschnitte im Vergleich

( )24

1

4

1SS

ii

iyy zzAII

ii−⋅+= ∑∑

==

mit zSi: Abstand der Schwerpunktachse yi der Teilfläche i zur Bezugsachse y

zS : Abstand der Schwerpunktachse y zur Bezugsachse y ( )SS zz

i− : Abstand zwischen den Achsen yi und y (Bild 3.1.2).

( )2SSi zzAi−⋅ wird als STEINER-Anteil der Teilfläche i bezeichnet.

( ) ( )

( ) 23

23

23

38,1233

123

38,12

312

3

38,1361262

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaI y

I ay = 93 5 4,

( ) ( ) 433

23

5,5112

3123262

1262 aaaaaaaaaaI z =++⋅+=

WI

zyy=

max ; z z a a a aSmax , ,= + = + =3 1 83 3 4 83 (siehe Bild 3.1.2)

W aa

ay = =93 54 83

19 3454

3,,

, , W aa

az = =51 52 5

20 64

3,,

, . Iyz = 0 , weil eine der beiden Schwerpunktachsen eine Symmetrieachse ist (hier ist es die z-

Achse). Anmerkungen: 1. Bei den Querschnitten I, II und III sind die Deviationsmomente Iyz = 0. Dies bedeutet, daß die

Schwerpunktachsen y und z auch Hauptträgheitsachsen sind. 2. Beim Vergleich der Querschnitte I,II und III (gleicher Flächeninhalt) bezüglich der Flächenträg-

heitsmomente und Widerstandsmomente um die jeweilige horizontale Schwerpunktachse y ergibt sich (siehe untenstehende Tabelle):

Das Flächenträgheitsmoment Iy vom Querschnitt I ist am kleinsten, das von Querschnittsfläche III am größten.

Folglich wäre die Durchbiegung eines Trägers mit Querschnitt III bei Biegung um die y-Achse am geringsten. Wegen des kleineren Widerstandsmoments wäre die Biegespannung im Quer-schnitt III allerdings größer als im Querschnitt II.

Bei Biegung um die y-Achse würde im Querschnitt I die größte Biegespannung und die größte Durchbiegung entstehen.

Querschnitt I Querschnitt II Querschnitt III Iy 50 4a 74 4a 93 5 4, a Wy 16 67 3, a 24 67 3, a 19 345 3, a

Tabelle: Zum Vergleich der Querschnitte

→ Teilfläche 1 und 2 → Teilfläche 3 → Teilfläche 4


Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt 49

Aufgabe 3.2: Für einen rechtwinkligen Dreiecksquerschnitt (Bild 3.2) sind be-züglich der Schwerpunktachsen y und z zu berechnen:

1. die axialen Flächenträgheitsmomente Iy und Iz und das De-viationsmoment Iyz ,

2. die Hauptträgheitsmomente I1 und I2 und die Lage der Hauptachsen für das Seitenverhältnis h b/ = 2 .

Lösung: zu 1. Zuerst werden die Flächenträgheitsmomente und das Deviationsmoment auf ein Bezugskoordina-tensystem y z, berechnet, um sie anschließend auf das parallel verschobene Koordinatensystem y z, durch die Schwerachsen umzurechnen.

Dazu legen wir das Bezugskoordinatensystem y z, fest und zeichnen ein Flächenelement dA (Breite b z( ) , Höhe dz ) im Abstand z von der y -Achse ein (Bild 3.2.1).

bh

b zh z

=−( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

hzbzb 1)(

dA b z dz= ( )

zdhzzbzd

hzzbdAzI

hz

z

hz

zAy ∫∫∫

=

=

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

0

32

0

22 1

1243

3

0

43 bhh

zzbIh

y =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Für die Berechnung von Iz gehen wir analog vor, allerdings benutzen wir das Flächenelement dA h y d y= ( ) nach Bild 3.2.2.

ydyhydAyIAA

z )(22 ∫∫ ==

hb

h yb y

=+( ) → (y ist vorzeichengerecht einzusetzen)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

byhyh 1)(

ydbyyhyd

byyhI

b

y

byz ∫∫

−

=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

0 32

02 1

( ) ( )124343

343043 hbbbbh

byyhI

b

z =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

Sy

z

b

h

Bild 3.2: Rechtwinkliger Drei-

ecksquerschnitt

y

b

h

z

zzd

zb( )

dA

Bild 3.2.1: Querschnitt mit Be-

zugskoordinatensystem y z, und Flächenele-ment dA

b

h

y

z

dA)( yh

y yd

Bild 3.2.2: Für die Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich der z -Achse


50 Flächenträgheitsmomente und Hauptachsen / Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt

Deviationsmoment:

∫−=A

zy dAzyI

( )2zby −= ;

zhzb

hb

−=

)( ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

hzbzb 1)(

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−=

hzbzby 1

22 ; dA b z dz= ( )

zdhzbz

hzbI

Azy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−= ∫ 11

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∫

=

=

2222

02

322

41

32

222

2hhhbzd

hz

hzzbI

hz

zzy

I b hyz =

2 2

24

Umrechnung auf die Schwerpunktachsen y und z : Mit dem STEINERschen Satz folgt (Bild 3.2.4): I I z Ay y S= + 2 ⇒ I I z Ay y S= − 2

3621

312

323 bhbhhbhI y =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Analog folgt:

3621

312

323 hbbhbhbI z =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

I I y z Ayz yz S S= − ⇒ I I y z Ayz yz S S= +

7221

3324

2222 hbbhhbhbI yz −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

Alternativer Lösungsweg für die Berechnung von Iz durch Wahl einer anderen Bezugsachse z (Bild 3.2.5):

( )yyh

bh= ; ( ) y

bhyh = (Bild 3.2.5)

ydybhydAyI

by

y

b

z ∫ ∫=

=

==0 0

22

I hb

y hbz

b

= =4

0

3

4 4

bhbhbAyII Szz 21

32

4

232

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

I hbz =

3

36

y

h

z

z

zd

b

zb( )

dA

y

Bild 3.2.3: Zur Berechnung des

Deviationsmoments Iyz

(y und z vorzeichengerecht einsetzen; Bild 3.2.3)

Sy

z

b

h

y

z

3

b3

h

Bild 3.2.4: Zur Umrechnung auf die

Schwerpunktsachsen y und z

b

h

y

z

dA

)(yh

yyd

y

z

S

23 b

Bild 3.2.5: Zur Berechnung von Iz

(andere Bezugsachse z )


Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt 51

zu 2. Hauptträgheitsmomente und Lage der Hauptachsen für das Seitenverhältnis h/b=2:

Für das Seitenverhältnis h/b=2 gilt: I hy =

4

72 ; I h

z =4

288 , I h

yz = −4

288

2424444

22

2,1 2882887241

2887221

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

hhhhhIIIII

I yzzyzy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅±= 13

5761

5765

2881

44

28843

5765 4

22

24

2,1 hhI

I h1 245 13

576, =± ⇒ I h h1

4 45 13576

0 01494=+

= , ; I h h24 45 13

5760 002421=

−= ,

tan *22

ϕ =−

II I

yz

y z (Richtung der Hauptachsen)

32

28872

2882

2tan 44

4

* −=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=hh

h

ϕ ; 2 33 7 16 85 90 73 151 2 1ϕ ϕ ϕ ϕ* * * *, , ; ,= − ° ⇒ = − ° = + °= °

Die Zuordnung der Winkel ϕ1* und ϕ2

* zu den Hauptträgheitsmomenten (Bild 3.2.6) erhält man durch Einsetzen eines Winkels in die folgende Transformationsbeziehung für gedrehte Achsensyste-me:

II I I I

Iy z y zyzη ϕ ϕ=

++

−+

2 22 2cos sin

mit ( ) °−=°−== 7,3385,16222 *1ϕϕ

( )°−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 7,33cos

2887221

2887221 4444 hhhhIη

( )°−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ 7,33sin

288

4h

( ) 144 01494,0555,0

2881832,0

5763

5765 IhhI ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=η ;

also gehört zu diesem Hauptträgheitsmoment der Winkel ϕ1 16 85* ,= − °. Somit ϕ ϕ1 1 16 85= = − °* , und ϕ ϕ2 2 73 15= = °* , (Bild 3.2.6).

Vorteilhafter lässt sich der Winkel ϕ1, der zwischen der y-Achse und der Hauptachse 1 liegt (Bild 3.2.6), mit einer der folgenden Formeln direkt berechnen:

tanϕ11 2

1 2=

−=

−=

−=

−I I

II I

II

I II

I Iy

yz

z

yz

yz

z

yz

y

tan,

, ; ,ϕ ϕ12

44

4 1288

0 002421

288

0 3028 16 85=−

=−

−= − = − °

I II

h h

hz

yz .

Bei diesem Beispiel ist auch recht anschaulich zu sehen (Bild 3.2.6), dass zu ϕ1 das größte Flächenträgheitsmoment I1 gehört, da die Produkte (Fläche mal "Abstand zum Quadrat") bezüglich der Hauptachse 1 (ϕ1) größer sind als um die Hauptachse 2 (ϕ2 ).

Sy

z

h

b h2=

1

2

ϕ1 = -16,85°

ϕ2=73,15°

Bild 3.2.6: Lage der Hauptachsen 1 und 2

SSy

z

h

b h2=b h2=

1

2

ϕ1 = -16,85°

ϕ2=73,15°



52 Flächenträgheitsmomente und Hauptachsen / Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt

Aufgabe 3.3: Für den Querschnitt (Bild 3.3) sind zu berechnen: 1. die axialen Flächenträgheitsmomente Iy und Iz

sowie das Deviationsmoment Iyz bezüglich der Schwerpunktachsen y und z,

2. die Hauptträgheitsmomente I1 und I2 und die Lage der Hauptachsen.

Bild 3.3: Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt

Lösung: zu 1. Die Lösung erfolgt mit der Summation über Teilflächen. Dazu wird der Querschnitt in drei Teilflä-chen zerlegt (Bild 3.3.1). Die Ausschnittfläche 3 (Fehlfläche) geht in die Berechnungen für die Fläche und die Flächenträgheitsmommente negativ ein. Selbstverständlich kann auch eine andere Zerlegung gewählt werden.

Den folgenden Berechnungen liegt die Einteilung nach Bild 3.3.1 zugrunde. Lage des Schwerpunkts (Bild 3.3.2):

yy A

AS

S ii

n

i

= =∑

1

( ) ( ) ( ) cm5,126145,725,2

5,1267145,725,625,225,1⋅−⋅+⋅

⋅−−⋅−+⋅−=Sy

yS =−

= −137 535

3 93, ,cm cm

zz A

AS

S ii

n

i

= =∑

1

zS =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ − ⋅1 2 5 2 7 7 5 14 7 75 6 12 5

2 5 2 7 5 14 6 12 5, , , ,

, , ,cm

zS = =158 75

354 54, ,cm cm

S

2540

100

y

z

20 15

140

(Maße in mm)

= + -

12

3

1 2 3

Bild 3.3.1: Querschnitt in Teilflächen zerlegt (Summation über Teilflächen)

S

2540

100

y

z

20 15

140

y

z

ys

zsS1

2S

3S3

12

(Maße in mm)

Bild 3.3.2: Querschnitt mit Einteilung und Bezugskoordinatensystem y z,


Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt 53 alternativ: Tabellenrechnung

i Ai ySi zSi

y AS ii z AS ii

Dim. - cm2 cm cm cm3 cm3 1 5 -1,25 1 -6,25 5 2 105 -6,25 7 -656,25 735 3 -75 -7 7,75 525 -581,25 ∑ 35

= ∑ =A Ai

-137,5 = ∑ y AS ii

158,75 = ∑ z AS ii

yy A

AS

S ii

n

i

= =−

= −=∑

1 137 535

3 93, ,cm cm

zz A

AS

S ii

n

i

= = ==∑

1 158 7535

4 54, ,cm cm

Flächenträgheitsmomente:

( )2

11∑∑==

−+=n

iSSi

n

iyy zzAII

ii (Bild 3.3.2)

Iy

cm4 =⋅2 5 2

12

3, ⇒ 1 67, → Teilfläche 1 , Eigenträgheitsmoment

( )254,4125,2 −⋅⋅+ ⇒ 62 66, → Teilfläche 1 , STEINER-Anteil

+⋅7 5 14

12

3, ⇒ 1715 → Teilfläche 2 , Eigenträgheitsmoment

( )254,47145,7 −⋅⋅+ ⇒ 635 42, → Teilfläche 2 , STEINER-Anteil

−⋅6 12 512

3, ⇒ − 976 56, → Teilfläche 3 , Eigenträgheitsmoment

( )254,475,75,126 −⋅⋅− ⇒ −772 81, → Teilfläche 3 , STEINER-Anteil

665 38,

Iy = 665 38 4, cm

alternativ: Tabellenrechnung

i Ai zSi z zS Si

− ( )2SSi zzAi− Iyi

( )2SSiy zzAIii−+

Dim. - cm2 cm cm cm4 cm4 cm4 1 5 1 -3,54 62,66 1,67 64,33 2 105 7 2,46 635,42 1715 2350,42 3 -75 7,75 3,21 -772,81 -976,56 -1749,37 ∑ 665,38

= Iy


54 Flächenträgheitsmomente und Hauptachsen / Unsymmetrischer T-förmiger Querschnittt

( )2

11∑∑==

−+=n

iSSi

n

izz yyAII

ii (Bild 3.3.2)

Iz

cm4 =⋅2 2 512


( )( )293,325,125,2 −−−⋅⋅+ ⇒ 35 91, → Teilfläche 1 , STEINER-Anteil

+⋅14 7 512


( )( )293,325,6145,7 −−−⋅⋅+ ⇒ 565 15, → Teilfläche 2 , STEINER-Anteil

−⋅12 5 6

12

3, ⇒ − 225 → Teilfläche 3 , Eigenträgheitsmoment

( )( )293,375,126 −−−⋅⋅− ⇒ −706 87, → Teilfläche 3 , STEINER-Anteil

163 98, Iz = 163 98 4, cm


i Ai ySi y yS Si

− ( )2SSi yyAi− Izi

( )2SSiz yyAI

ii−+

Dim. - cm2 cm cm cm4 cm4 cm4 1 5 -1,25 2,68 35,91 2,60 38,51 2 105 -6,25 -2,32 565,15 492,19 1057,34 3 -75 -7 -3,07 -706,87 -225 -931,87 ∑ 163,98

= Iz

( )( )∑∑==

−−−=n

iSSSSi

n

iyzyz zzyyAII

iii11

(Bild 3.3.2)

Das Deviationsmoment Iyz ergibt sich ausschließlich aus STEINER-Anteilen, da die Deviationsmo-mente der Rechtecke bezüglich ihrer eigenen Schwerpunktachsen (Symmetrieachsen) null sind. Iyz

cm4 = ( )( )( )54,4193,325,125,2 −−−−⋅⋅− ⇒ 47 44, → Teilfläche 1 , STEINER-Anteil

( )( )( )54,4793,325,6145,7 −−−−⋅⋅− ⇒ 599 26, → Teilfläche 2 , STEINER-Anteil

( )( )( )( )54,475,793,375,126 −−−−⋅⋅−− ⇒ −739 10, → Teilfläche 3 , STEINER-Anteil − 92 40, Iyz = −92 40 4, cm


i Ai y yS Si− z zS Si

− ( )( )SSSSi zzyyAii−− Iyzi

( )( )SSSSiyz zzyyAIiii−−−

Dim. - cm2 cm cm cm4 cm4 cm4 1 5 2,68 -3,54 -47,44 0 47,44 2 105 -2,32 2,46 -599,26 0 599,26 3 -75 -3,07 3,21 739,10 0 -739,10 ∑ -92,40

= Iyz


Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt 55 zu 2. Hauptträgheitsmomente und Lage der Hauptachsen:

22

2,1 22 yzzyzy I

IIIII +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

( ) 422

2,1 cm40,922

98,16338,6652

98,16338,665⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±+

=I

( ) 42,1 cm19,26768,414 ±=I

I14681 87= , cm

I24147 49= , cm

tan *22

ϕ =−

II I

yz


( ) 3686,098,16338,665

40,9222tan * −=−

−=ϕ ; 2 20 2 10 1 90 79 91 2 1ϕ ϕ ϕ ϕ* * * *, , ; ,= − ° ⇒ = − ° = + °= °

Die Zuordnung der Winkel ϕ1

* und ϕ2* zu den Hauptträgheitsmomenten (Bild 3.3.3) erhält man

durch Einsetzen eines Winkels in die folgende Transformationsbeziehung für gedrehte Achsensyste-me:

II I I I

Iy z y zyzη ϕ ϕ=

++

−+

2 22 2cos sin

mit ( ) °−=°−== 2,201,10222 *1ϕϕ

( )°−−

++

= 2,20coscm2

98,16338,665cm2

98,16338,665 44ηI

( ) ( )°−−+ 2,20sincm40,92 4

( ) 144 cm86,681cm9,3128,23568,414 II ==++=η ;

also gehört zu diesem Hauptträgheitsmoment der Winkel ϕ1 10 1* ,= − °. Somit ϕ ϕ1 1 10 1= = − °* , und ϕ ϕ2 2 79 9= = °* , (Bild 3.3.3).


tanϕ11 2

1 2=

−=

−=

−=

−I I

II I

II

I II

I Iy

yz

z

yz

yz

z

yz

y

tan ,, ,

, ; ,ϕ ϕ12

192 40

665 38 147 490 1784 10 1=

−=

−−

= − = − °I

I Iyz

y .

Sy

z

ϕ1= -10,1°

ϕ2 =79,9°

1

2 Bild 3.3.3: Lage der Hauptachsen

1 und 2


56 Flächenträgheitsmomente u. Hauptachsen / Gedrehter Rechteckquerschnitt

Aufgabe 3.4: Für den gegebenen Rechteckquerschnitt (Bild 3.4) sollen die Flächenträgheitsmomente bezüglich der horizontalen η-Achse und der vertikalen ς -Achse sowie das Deviationsmoment Iης berechnet werden.

Lösung:

Zunächst berechnen wir für das gewählte y,z-Koordi-natensystem (Bild 3.4.1) nach den bekannten Formeln für ein Rechteck die Trägheitsmomente Iy und Iz .

Iy =⋅

=10 5

12104 17

34cm cm4 ,

Iz =⋅

=5 10

12416 7

34cm cm4 ,

Iyz = 0 (wegen Symmetrie)

α = = °arctan ,86

53 13

Es gilt folgende Transformation der Flächenträgheits-momente auf ein gedrehtes Koordinatensystem (Bild 3.4.1):

II I I I

Iy z y zyzη α α=

++

−+

2 22 2cos sin

II I I I

Iy z y zyzς α α=

+−

−−

2 22 2cos sin

II I

Iy zyzης α α= −

−+

22 2sin cos

Mit den oben ausgerechneten Werten folgt:

44 cm2,304cm013,532cos2

7,41617,1042

7,41617,104=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +°⋅

−+

+=ηI

44 cm7,216cm013,532cos2

7,41617,1042

7,41617,104=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −°⋅

−−

+=ςI

44 cm150cm013,532sin2

7,41617,104=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +°⋅

−−=ηςI

S

10 cm

5 cm

6 cm

8 cmη

ς

y

z

α

η ς,

Bild 3.4.1: Zur Umrechnung der Flächen-trägheitsmomente auf das ge-drehte -Koordinatensystem

SS

10 cm

5 cm

6 cm

8 cmη

ς

y

z

α

η ς,

Bild 3.4.1: Zur Umrechnung der Flächen-trägheitsmomente auf das ge-drehte -Koordinatensystem

Bild 3.4: Gedrehter Rechteckquer-schnitt

S

10 cm

5 cm

6 cm

8 cmη

ς

Bild 3.4: Gedrehter Rechteckquer-schnitt

SS

10 cm

5 cm

6 cm

8 cmη

ς


Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt 57

Aufgabe 3.5: Der Querschnitt nach Bild 3.5 ist aus einem 350 (DIN 1026), einem 300 (DIN 1026) und einem ungleichschenkligen Winkelstahl 150×100×10 (DIN 1029) zusammengesetzt (geschweißt).

Zu berechnen sind: 1. die axialen Flächenträgheitsmomente Iy und Iz

sowie das Deviationsmoment Iyz bezüglich der Schwerpunktachsen y und z,


Hinweis: Die benötigten Angaben für die Profile sind aus geeigneten Handbüchern (z.B. Stahlbau-Taschenkalender) zu entnehmen.

Lösung: zu 1. Die Lösung erfolgt mit der Summation über Teilflächen. Teilflächen sind in diesem Falle die drei Profilquerschnitte (Bild 3.5.1). Zuerst schreiben wir uns die erforderlichen Kenndaten für die Profile aus entsprechenden Profiltafeln heraus (Tabellen 1 und 2):

Tabelle 1; Teilflächen 1 und 2 :

y

y

x x h

b

ey

350: Teilfläche 1 h = 350mm b = 100mm A = 77 3, cm2 Ix = 12840 4cm Iy = 570 4cm ey = 2 40, cm

300: Teilfläche 2 h = 300mm b = 100mm A = 58 8, cm2 Ix = 8030 4cm Iy = 495 4cm ey = 2 70, cm

Tabelle 2; Teilfläche 3 :

ex

ey α

y

y

xx

η

ζ

ζ

η

150×100×10: A = 24 2 2, cm ex = 4 80, cm ey = 2 34, cm Ix = 552 4cm Iy = 198 4cm Lage der Achse η η− : tan ,α = 0 442

350

z 300

yS

150 ××100 10

Bild 3.5: Aus Stahlbau-Profilen zusammenge-

setzter Querschnitt

350

z 300

S

150 ××100 10

yy

z

S1

S2

S3

1

2

3

zs

ys

Bild 3.5.1: Einteilung des Querschnitts und Festlegung eines Bezugs-koordinatensystems y z,


58 Flächenträgheitsmomente u. Hauptachsen / Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt

Für die Berechnung der Schwerpunktlage legen wir zweckmäßig die Bezugsachsen y und z so, dass sie mit jeweils einer Schwerachse der beiden -Profile zusammenfallen (Bild 3.5.1).

i Ai ySi zSi

y AS ii z AS ii

Dim. - cm2 cm cm cm3 cm3 1 77,3 17,4 0 1345,02 0 2 58,8 0 14,8 0 870,24 3 24,2 10,2 -15,16 246,84 -366,87 ∑ 160,3

= ∑ =A Ai

1591,86 = ∑ y AS ii

503,37 = ∑ z AS ii

yy A

AS

S ii

n

i

= = ==∑

1 1591 86160 3

9 93,,

,cm cm

zz A

AS

S ii

n

i

= = ==∑

1 503 37160 3

3 14,,

,cm cm

Flächenträgheitsmomente:

( )2

11∑∑==

−+=n

iSSi

n

iyy zzAII

ii (Bild 3.5.1)

i Ai zSi z zS Si

− ( )2SSi zzAi− Iyi

( )2SSiy zzAIii−+

Dim. - cm2 cm cm cm4 cm4 cm4 1 77,3 0 -3,14 762,15 12840 13602,15 2 58,8 14,8 11,66 7994,19 495 8489,19 3 24,2 -15,16 -18,30 8104,34 198 8302,34 ∑ 30393,68

= Iy Iy = 30393 68 4, cm

( )2

11∑∑==

−+=n

iSSi

n

izz yyAII

ii (Bild 3.5.1)

i Ai ySi y yS Si

− ( )2SSi yyAi− Izi

( )2SSiz yyAI

ii−+

Dim. - cm2 cm cm cm4 cm4 cm4 1 77,3 17,4 7,47 4313,41 570 4883,41 2 58,8 0 -9,93 5797,97 8030 13827,97 3 24,2 10,2 0,27 1,76 552 553,76 ∑ 19265,14

= Iz Iz = 19265 14 4, cm


Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt 59

( )( )∑∑==

−−−=n

iSSSSi

n

iyzyz zzyyAII

iii11

(Bild 3.5.1)

Für den ungleichschenkligen Winkelstahl (Teilfläche 3 ) ist in der Profiltafel kein Deviationsmo-ment angegeben, statt dessen wird der Tangens der Winkeldrehung des Hauptachsensystems gegen-über dem Ausgangssystem angegeben (Tabelle 2, Seite 57). Mit dem Additionstheorem

tan tantan

2 21 2α α

α=

− folgt aus

tan 22

α =−

II I

yz

y z (Richtung der Hauptachsen) für das Deviationsmoment

{ { α

α2tan1

tan)(−

−=↓↓

zyyz III (1)

Ix Iy ← Bezeichnungen in der verwendeten Profiltafel (Tabelle 2, Seite 57)

Da diese Gleichung (1) stets positive Werte liefert, das Vorzeichen des Deviationsmoments aber von der Lage des Profilquerschnitts im Bezugskoordinatensystem abhängt, ist die folgende Überlegung notwendig.

Die allgemeine Definition des Deviationsmoments lautet: ∫−=

Ayz dAzyI . (2)

Wenn wir nun den ungleichschenkligen Winkelstahlquer-schnitt (Teilfläche 3 ) in zwei Rechteckflächen zerlegen und die Lage ihrer Einzelschwerpunkte (Bild 3.5.2) im y z3 3, -Koordinatensystem betrachten, sehen wir, dass die y z3 3⋅ -Produkte jeweils bezüglich der Einzelschwerpunkte im y z3 3, -Koordinatensystem ein positives Vorzeichen ha-ben. Unter Berücksichtigung der obigen allgemeinen De-finition (Gleichung (2)) ergibt sich also ein negatives Vor-zeichen von Iyz3

. Aus dieser Überlegung und der obigen Gleichung (1) folgt nun für die Teilfläche 3 :

( ) 42

4 cm5,194442,01

442,0cm1985523

−=−

−−=yzI .

i Ai y yS Si− z zS Si

− ( )( )SSSSi zzyyAii−− Iyzi

( )( )SSSSiyz zzyyAIiii−−−

Dim. - cm2 cm cm cm4 cm4 cm4 1 77,3 7,47 -3,14 -1813,13 0 1813,13 2 58,8 -9,93 11,66 -6808,09 0 6808,09 3 24,2 0,27 -18,30 -119,57 -194,5 -74,93 ∑ 8546,29

= Iyz Iyz = 8546 29 4, cm

y3

z3

y

z

Einzelschwerpunkte

Iyz30 S3

Bild 3.5.2: Zur Erläuterung des Vor-

zeichens von Iyzi (Teil-

fläche 3 )


60 Flächenträgheitsmomente u. Hauptachsen / Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt

zu 2. Hauptträgheitsmomente und Lage der Hauptachsen:

22

2,1 22 yzzyzy I

IIIII +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

422

2,1 cm29,85462

14,1926568,303932

14,1926568,30393⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±+

=I

( ) 42,1 cm05,1019841,24829 ±=I

I1435027 46= , cm

I2414631 36= , cm

tan *22

ϕ =−

II I

yz


tan ,, ,

,*2 2 8546 2930393 68 19265 14

1 536ϕ =⋅

−=

2 56 93 28 465 90 118 4651 2 1ϕ ϕ ϕ ϕ* * * *, , ; ,= ° ⇒ = ° = + °= °

Die Zuordnung der Winkel ϕ1* und ϕ2

* zu den Hauptträgheitsmomenten (Bild 3.5.3) erhält man durch Einsetzen eines Winkels in die folgende Transformationsbeziehung für gedrehte Achsensyste-me:

II I I I

Iy z y zyzη ϕ ϕ=

++

−+

2 22 2cos sin

mit 2 2 2 28 465 56 931ϕ ϕ= = ⋅ °= °* , ,

Iη =+30393 68 19265 142

4, , cm

+−

°30393 68 19265 14

256 934, , cos ,cm

+ °8546 29 56 934, sin ,cm

( ) 4cm83,716122,303641,24829 ++=ηI I Iη = =35027 46 4

1, cm ;

also gehört zu diesem Hauptträgheitsmoment der Winkel ϕ1 28 465* ,= ° . Somit ϕ ϕ1 1 28 465= = °* , und ϕ ϕ2 2 118 465= = °* , (Bild 3.5.3).


tanϕ11 2

1 2=

−=

−=

−=

−I I

II I

II

I II

I Iy

yz

z

yz

yz

z

yz

y

tan ,, ,

, ; ,ϕ ϕ11

18546 29

35027 46 19265 140 5422 28 46=

−=

−= = °

II I

yz

z .

350

z 300

yS

150 ××100 10

1

2

ϕ1=28,465°

ϕ2 =118,465°



Aus Grundflächen zusammengesetzter Querschnitt 61

Aufgabe 3.6: Für den Querschnitt (Bild 3.6) sind zu berechnen: 1. die axialen Flächenträgheitsmomente Iy

und Iz sowie das Deviationsmoment Iyz bezüglich der Schwerpunktachsen y und z,


Lösung: zu 1. Die Lösung erfolgt mit der Summation über Teilflächen. Dazu wird der Querschnitt in fünf Teilflächen zerlegt (Bild 3.6.1). Die Ausschnittflächen (Fehlflächen) 2 , 3 , 4 und 5 gehen in die Berechnungen negativ ein.

Für die Ermittlung der Schwerpunktlage legen wir die Bezugsachsen y und z durch den Schwerpunkt der Teilfläche 1 (Rechteck) (Bild 3.6.2). Da die statischen Momente der übrigen Teilflächen auf bei-den Seiten der Bezugsachsen y und z die gleichen Beträge haben, liegt der Gesamt-schwerpunkt auf diesen Bezugsachsen. Somit yS = 0 und zS = 0.

S

a

3 3

2

4

2

y

z

a aa

a

a

a

a

a

Bild 3.6: Aus Grundflächen (Rechteck, Dreieck, Halb-

kreis) zusammengesetzter Querschnitt

= - - - -

2

3

4

5

1

Bild 3.6.1: Querschnitt in fünf Teilflächen zerlegt (Summation über Teilflächen)

a

3 3

2

4

2y

z

a aa

a

a

a

a

a

S S1,

S2

S3

S4

S5

2

3

4

5

1

,y

,z Bild 3.6.2: Querschnitt mit Einteilung und Bezugsach-

sensystem y z,


62 Flächenträgheitsmomente u. Hauptachsen / Aus Grundflächen zusammengesetzter Querschnitt

Flächenträgheitsmomente: Bevor wir die Tabellenrechnung durchführen, schreiben wir uns die wichtigsten Formeln für die Teilflächen (Halbkreis und Dreieck) aus geeigneten Handbüchern oder Formelsammlungen heraus (Formeln für eine Rechteckfläche sollten bekannt sein).

Teilfläche 2 und 3 (Halbkreis):

Se

z

yr

A r=π2

2

I ry = 0 1098 4, I rz = 0 3927 4,

e r= 0 4244,

Iyz = 0

Teilfläche 4 und 5 (Dreieck):

S

z

ySz

yh

h3

h3

h

b bb3

b3

A bh=

2

I bhy =

3

36

I hbz =

3

36

I b hyz =

2 2

72

( )2

11∑∑==

−+=n

iSSi

n

iyy zzAII

ii (Bild 3.6.2)

i Aa

i2 z

aSi

z za

S Si−

( )4

2

azzA SSi i

−

Ia

yi4 ( )

4

2

azzAI SSiy ii

−+

1 24 0 0 0 32 32 2 −1 5708, −1 5756, −1 5756, −3 8995, −0 1098, −4 0093, 3 −1 5708, 1 5756, 1 5756, −3 8995, −0 1098, −4 0093, 4 −1 −1 3333, −1 3333, −1 7777, −0 2222, −2 5 −1 1 3333, 1 3333, −1 7777, −0 2222, −2 ∑ 19 9814,

= I ay / 4

I ay = 19 9814 4,


Aus Grundflächen zusammengesetzter Querschnitt 63

( )2

11∑∑==

−+=n

iSSi

n

izz yyAII

ii (Bild 3.6.2)

i A

ai2 y

aSi

y ya

S Si−

( )4

2

ayyA SSi i

−

Ia

zi4 ( )

4

2

ayyAI SSiz ii

−+

1 24 0 0 0 72 72 2 −1 5708, 1 1 −1 5708, −0 3927, −1 9635, 3 −1 5708, −1 −1 −1 5708, −0 3927, −1 9635, 4 −1 −2 6666, −2 6666, −7 1111, − 0 0555, −7 1667, 5 −1 2 6666, 2 6666, −7 1111, − 0 0555, −7 1667, ∑ 53 7396,

= I az / 4 I az = 53 7396 4,

( )( )∑∑==

−−−=n

iSSSSi

n

iyzyz zzyyAII

iii11

(Bild 3.6.2)

i A

ai2 y y

aS Si−

z z

aS Si−

( )( )4a

zzyyA SSSSi ii−−

Iayzi4 ( )( )

4azzyyAI SSSSiyz iii

−−−

1 24 0 0 0 0 0 2 −1 5708, 1 −1 5756, 2 4750, 0 −2 4750, 3 −1 5708, −1 1 5756, 2 4750, 0 −2 4750, 4 −1 −2 6666, −1 3333, −3 5556, − 0 055, 3 5, 5 −1 2 6666, 1 3333, −3 5556, − 0 055, 3 5, ∑

2 05, = I ayz / 4

I ayz = 2 05 4,


22

2,1 22 yzzyzy I

IIIII +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

( )2424444

2,1 05,22

7396,539814,192

7396,539814,19 aaaaaI +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

I a a1 24 436 8605 17 0031, , ,= ±

I a1453 8636= ,

I a2419 8574= ,



tan *22

ϕ =−

II I

yz


tan ,, ,

,*2 2 2 0519 9814 53 7396

0 121454

4 4ϕ =⋅−

= −a

a a

2 6 92 3 46 90 86 541 2 1ϕ ϕ ϕ ϕ* * * *, , ; ,= − ° ⇒ = − ° = + °= °

Die Zuordnung der Winkel ϕ1

* und ϕ2* zu den Hauptträgheitsmomenten (Bild 3.6.3) erhält man

durch Einsetzen eines Winkels in die folgende Transformationsbeziehung für gedrehte Achsensyste-me:

II I I I

Iy z y zyzη ϕ ϕ=

++

−+

2 22 2cos sin

mit ( ) °−=°−== 92,646,3222 *

1ϕϕ

( ) ( )°−+°−−

++

= 92,6sin05,292,6cos2

7396,539814,192

7396,539814,19 44444

aaaaaIη

I a a a a Iη = − − = =36 8605 16 7561 0 2470 19 85744 4 4 42, , , , ;

also gehört zu diesem Hauptträg-heitsmoment der Winkel ϕ1 3 46* ,= − °. Folglich gehört der andere Winkel (86,54°) zu I1; somit ϕ ϕ1 2 86 54= = °* , (Bild 3.6.3). Da die Hauptachse 2 der Haupt-achse 1 in einem Rechts-Koordi-natensystem vorauseilen muss (Bild 3.6.3), ist:

ϕ ϕ2 1 180 3 46 180= + °= − °+ °* ,

ϕ2 176 54= °, .


tanϕ11 2

1 2=

−=

−=

−=

−I I

II I

II

I II

I Iy

yz

z

yz

yz

z

yz

y

tan , ,,

, ; ,ϕ ϕ11

4 4

4 153 8636 19 9814

2 0516 5279 86 54=

−=

−= = °

I II

a aa

y

yz .

Sy

zϕ1=86,54°

ϕ2=176,54°1

2



Trapezförmiger Querschnitt 65

Aufgabe 3.7: Für den Querschnitt (Bild 3.7) sind zu berechnen: 1. die Schwerpunktlage, 2. die axialen Flächenträgheitsmomente Iy und Iz sowie das De-

viationsmoment Iyz bezüglich der Schwerpunktachsen y und z, 3. die Hauptträgheitsmomente I1 und I2 und die Lage der Haupt-

achsen.

Lösung: zu 1.

Die Lösung erfolgt mit der Summation zweier Teilflächen (Rechteck und Dreieck ) (Bild 3.7.1). Für die Berechnung der Schwerpunktlage legen wir Be-zugsachsen y und z fest (Bild 3.7.1).

aaaa

aaaa

AAy

yi

iSS

i 22,2920

21515

215

3515

25

22

22

==+

+==

∑∑

aaaa

aaaa

AAz

zi

iSS

i 666,33

11

21515

2153

3215

29

22

22

==+

+==

∑∑

zu 2. Flächenträgheitsmomente Teilfläche (Rechteck) Teilfläche (Dreieck)

S

z

y h

b

SS

z

yy h

bb

hbA =

12

3bhI y =

12

3hbIz =

0=yzI

S

z

y h3

h

bb3

SS

z

y h3h3

h

bb3

bb3b3

A bh=

2

I bhy =

3

36

I hbz =

3

36

72

22hbI yz −=

( )∑∑ −+= 2SSiyy zzAII

ii

i iA iSz SS zz

i− ( )2

SSi zzAi− iyI ( )2

SSiy zzAIii−+

1 215a 29 a a

65 4

36375 a 4

12135 a 4

36780 a

2 2

215 a 2a a

35

− 4

6125 a 4

36135 a 4

36885 a

∑ yIa =4

361665

Sy

z

a3

Bild 3.7: Trapezförmiger Querschnitt

5a

a3

Sy

z

a3a3

Bild 3.7: Trapezförmiger Querschnitt

5a5a5a

a3a3

1

2

Sy

z

a3

a3

2S

1S

y

z

5aS

y

Sz

Bild 3.7.1: Querschnitt mit Eintei-lung und Bezugsachsensystem ,y z

11

22

Sy

z

a3a3

a3a3

2S2S

1S1S

yy

zz

5aS

y

5a5aS

yS

yy

SzSzz

Bild 3.7.1: Querschnitt mit Eintei-lung und Bezugsachsensystem ,y zyy zz



444 25,464

18536

1665 aaaI y ===

( )∑∑ −+= 2SSizz yyAII

ii

i iA iSy SS yy

i− ( )2

SSi yyAi− izI ( )2

SSiz yyAIii−+

1 215a 25 a a

185 4

324375 a 4

12375 a 4

32410500 a

2 2

215 a a

35 a

95

− 4

162375 a 4

36375 a 4

3244125 a

∑ zIa =4

32414625

444 14,4536

1625324

14625 aaaI z ===

( )( )∑∑ −−−= SSSSiyzyz zzyyAIIiii

i iA SS yyi− SS zz

i− ( )( )SSSSi zzyyA

ii−−

iyzI ( )( )SSSSiyz zzyyAIiii−−−

1 215a a185 a

65 4

108375 a 0 4

108375 a−

2 2

215 a a

95

− a35

− 4

54375 a 4

72225 a− 4

2162175 a−

∑

yzIa =− 4

2162925

444 54,1324

3252162925 aaaI yz −=−=−=


22

2,1 22 yzzyzy I

IIIII +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+= ,

( )2424444

2,1 54,132

14,4525,462

14,4525,46 aaaaaI −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+= ,

442,1 551,13695,45 aaI ±= , 4

1 246,59 aI = , 42 144,32 aI = .

Der Winkel ϕ1, der zwischen der y-Achse und der Hauptachse 1 liegt (Bild 3.7.2), wird mit einer der folgenden Formeln direkt berechnet:

tanϕ11 2

1 2=

−=

−=

−=

−I I

II I

II

I II

I Iy

yz

z

yz

yz

z

yz

y,

9598,054,13

25,46246,59tan 4

441

1 −=−

−=

−=

aaa

III

yz

yϕ ,

°−= 825,431ϕ .

y

z

ϕ1 = - 43,825°

1

2

S


y

z

ϕ1 = - 43,825°ϕ1ϕ1 = - 43,825°

1

2

S


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