Ausgewählte Kapitel der Physik

MechanikBewegungslehre = Kinematik

21.04.23

Mechanik

21.04.23

• KinematikDie Kinematik behandelt die Gesetzmäßigkeiten, die

den Bewegungsabläufen zu Grunde liegen.

Wir zerlegen eine allgemeine Bewegung in zwei Bewegungsarten:

Translation = entlang einer (geraden) BahnRotation = Drehbewegung

Die dabei auftretenden Größen: Weg s, Geschwindigkeit v, und Beschleunigung abzw. Winkelgeschwindigkeit und

Winkelbeschleunigung ….sind vektorielle Größen. Auch wenn sie nicht immer

als solche gekennzeichnet sind, wird man aus dem Zusammenhang die Entscheidung finden, ob man nur mit Beträgen oder mit Vektoren rechnen muss.

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Arten der Translation:gleichförmig:gleichmäßig beschleunigtungleichmäßig beschleunigt

Die Größen der Translation sind Funktionen der Zeit! s(t) , v(t), a(t) Zeit-Diagramme

Beispiel: der ÖBB-Fahrplan Salzburg…B-hofenDie Geschwindigkeit ist im s/t-Diagramm als Steigung

oder Gefälle des Graphen abzulesen. Im Weg/Zeit- Diagramm lassen sich der Ort des Obj.

zu jeder Zeit feststellen. Auch wann sich zwei Züge begegnen.

In den einzelnen Abschnitten sind die Geschwindigkeiten konstant, die Anfahr- und Bremsbeschleunigungen fallen zeitlich kaum ins Gewicht.

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Gleichförmige Translation.

Die Geschwindigkeit ist konstant, In gleichen Zeiten t werden gleiche Strecken s zurückgelegt.

Die Darstellung erfolgt meist in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm

Generell gilt v = s / t . Bei konstanter Geschwindigkeit kann der Gesamtweg und die Gesamtzeit genommen werden.

v = s / t Die Einheit der Geschwindigkeit ist [v] = 1 m/s

1 m/s= 3600m / 3600s = 3,6 km / h

SI-fremde Einheit: Miles per hr1mph = 1,609 km / h

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Gleichmäßig beschleunigte Translation.Die Geschwindigkeit ändert sich proportional zur Zeit.In gleichen Zeiten ändert sich die Geschwindigkeit um

denselben Betragv = a* t

Generell gilt a = v / t . Bei konstanter Beschleunigung steigt oder fällt die

Geschwindigkeit linear, der Weg hat einen parabelförmigen Verlauf.

Die Einheit der Beschleunigung ist [a] = 1 m/s²

Aus v=a*t und s=a/2*t² erhält manvDas ist die Geschwindigkeit nachdem die Strecke s

beschleunigt zurückgelegt wurde.

v

2* *a s

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Fall und Wurf

Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit a = g = 9.81 m/s²

Die Endgeschwindigkeit beträgt v = Wurzel(2*g*h)Hier also v=Wurzel(2*9,81m/s²*110m)=….. Und die Fallzeit t=Wurzel (110/2/9,81)=….

Im 145,5 Meter hohen Bremer Fallturm sind Abwürfe aus 110 Metern mit einer Fallzeit von 4,74 Sekunden möglich. Innerhalb des äußeren Betonturmes steht auf einer Höhe von 14 Metern völlig frei die eigentliche stählerne Fallröhre.

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Die Bewegungen können aus verschiedenen Translationen zusammmengesetzt werden.

Eine vertikale beschleunigte Bewegung mit einer konstanten horizontalen Bewegung kombiniert ergibt den waagrechten Wurf.

In der zeitfreien Darstellung ist dies die Wurfparabel.

Z.B Starthöhe: h=10m, vx0=10m/s (waagrecht)

gesucht ist die Wurf-Weite: sx=?

In x-Richtung wird der Weg : x(t) = vo*t zurückgelegt

In der gleichen Zeit geht es nach unten: y(t) = -g/2*t²Die Zeit eliminieren und es bleibt : y = -g/2*x²/vo²

Das ist eine nach unten gekrümmte Parabel y = -[g/(2vo² )] * x² „Wurfparabel“

Im Beispiel oben ist die Höhe 10m = -[9,81 m/s² / 200 m²/s²] * x² x = Wurzel (203,9m) = 14,28m

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• Vektorielle Beschreibung:Neben der Komponentendarstellung von Ort und Geschwindigkeit kann man diese Größen - eher formal - auch durch Vektoren darstellen.

• Ortsvektor:Die Lage der Bahnpunkte im Koordinatensystem kann durch den zeitabhängigen Ortsvektor (Spaltenschreibweise) festgelegt werden:

Beispiel:Waagrechter Wurf:Gegeben: vx0= 20 m/s, vy0= 0 m/s, g=10m/s²

Wie lautet der Ortsvektor zum Zeitpunkt t=3 sWie lautet der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt

t=2s r= (20m/s*3s , 5m/s² * 9s²), v= ( 20m/s , 10m/s² * 2 s) r= (60 , 45 )m v= (20 , 20 ) m/s

02

0 2

v *( )( )

v *( )xg

y

tx tr t

ty t

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Rotation

Die Gesetze der Rotationsbewegung sind analog zu denen der Translation.

Weg s entspricht Winkel Geschwindigkeit v entspricht Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung a entspricht Winkelbeschleunigung

Grundbegriffe: Drehwinkel wird im Bogenmaß gemessen.Radiant (rad) ist ein Verhältnismaß zwischen Bogenlänge und Radius.Bei einer Umdrehung ist der volle Winkel = 360° und das Bogenmaß daher

U/r = 2pi*r / r = 2pi radiant. Eine Umdrehung dauert die Periodenzeit T, der Kehrwert ist die

Frequenz f = 1/T, [f]=1/s =1HzMit 2pi multipliziert wird aus der Frequenz f die Kreisfrequenz

Winkelfrequenz oder Kreisfrequenz 2 f = []=1/s

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Bei der Drehbewegung besitzen die Punkte des Körpers unterschiedliche Geschwindigkeiten, je nachdem wo sie im Körper liegen.

Es wird daher eine Winkelgeschwindigkeit definiert, die für jeden Punkt des Körpers gesamten Festkörper dieselbe ist.

t = d/ dt

Der Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit lautet:

vB = x r Das ist das äußere Produkt der zwei Vektoren nach der Korkenzieher-Regel.

Betragsgleichung: Radius 1m, 2 Umdrehungen/Sek. v = *r vB = 2 * 2/s * 1m = 12,56 m/s

Da sich der Geschwindigkeitsvektor in seiner Richtung ständig ändert, also v /t nicht Null ist, handelt es sich hiebei um eine beschleunigte Bewegung.Der Beschleunigungsvektor zeigt zum Drehzentrum, man spricht von einer

Zentripetalbeschleunigung.

az = v² / r = *v = ²*r

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21.04.23

Beispiel: Ein Auto beschleunigt von 72 auf 90 km/h in 5s. Raddurchmesser 2/3 m. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung des Reifens?

v = Abrollgeschwindigkeit v=2*r / h = 2r/3600s= v / r1=72 / 3,6 m/s / r = 20m/s / (1/3)m = 60 rad/s

2=90 / 3,6 m/s / r = 25m/s / (1/3)m = 75 rad/s

t = 15 rad/s / 5s = 3 rad/s2

Die Winkelbescheunigung ist 3 rad/s2

Im Profil dieses Reifens steckt ein Stein. Welche Zentrifugalbeschleunigung erfährt der Stein bei v=108 km/h?

az= ²*r = v²/r = (108/3,6 m/s)² / (1/3)m = 900 m²/s² *3 /m=2700 m/s²

az= 2700m/s² / 9,81 m/s² = 275-faches Gewicht. (der Stein fliegt jedoch tangential mit v=108km/h weg!)

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Berechne den Rotor einer Kreisbewegung, wenn beim Radiusvektor r=(2m,0,0,)Eine Momentangeschwindigkeit v=(0, 5m/s, 0 ) beobachtet wird.

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21.04.23

Die Vektoren der einzelnen Translationen eines Körpers lassen sich überlagern. Umgekehrt kann man auch eine gegebene Bewegung in Komponenten zerlegen, beispielsweise in die Achsenrichtung eines Koordinatensystems oder in eine bestimmte Richtung , die eine leichtere Auswertung ermöglicht.

Hier unten addieren sich die Erdbeschleunigung und die Zentrifugalbeschleunigung zu einem Beschleunigungsvektor, der für einen bestimmten Kurvenradius und zw. einer bestimmten Kfz-Geschwindigkeit senkrecht auf der Fahrbahn steht. ( wichtig für Motorradfahrer ! Bei Autos verhindert die Reibung ein seitliches abdriften. ) Aus den ähnlichen Dreiecken ergibt sich eine

Kurvenüberhöhung: h : b = Fz : G = m*v²/r : m*g

h : b = v² / (r * g)

Eine Straße mit 250m Kurvenradius ist so stark überhöht, dass sie eine Neigung von 10° besitzt.Für welche Geschwindigkeit ist diese Neigung gerade richtig?

h : b= tan() = 0,17633 v = Wurzel(0,17633*250m*9,81 m/s²) = 21 m/s = 75,6 km/h

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21.04.23

Ein typisches Beispiel für die Zerlegung von Vektoren finden wir bei der Behandlung der schiefen Ebene:Ein Körper mit der Masse m wird mit der Gewichtskraft G nach unten gezogen. Davon entfällt ein Teil auf den Anpressdruck auf die Unterlage FN . Die zweite Komponente der Kraft wirkt in tangentialer Richtung. So lange die Haftreibung nicht überwunden wird, bleibt der Körper in Ruhe. Erst wenn die tangential nach oben gerichtete Haft-Reibungskraft durch die tangential nach unten gerichtete Kraft-Komponente erreicht und überschritten wird, beginnt der Körper zu gleiten, gleichzeitig fällt die Haftreibung weg und nur mehr die Gleit- und Rollreibung bleiben bestehen. FR = µ*FN µ heißt Reibungzahl und ist für häufig vorkommende Paarungen tabelliert.

Eine schiefe Ebene hat einen Neigungswinkel von 30° und ist 16m lang. Ein Klotz mit dem Gewicht 200N rutscht in 4 s die Ebene herunter. v0=0. Wie groß ist die Reibungszahl?

Fahrbahnlänge s = l = a*t²/2; a = 2s/t² = 2 m/s² Masse m =20 kgbeschleunigende Kraft: Fa = m.a = 40 NTangentialkraft : Ft = G * sin (a) = 100 NNormalkraft: FN = G* cos (a) = 173 NReibungskraft: FR = Ft –Fa = 60 N = µ*FN

Reibungszahl: µ = FR / FN =0,35