Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zufallsvektoren Funktionen eines Zufallsvektors Monte-Carlo-Methode Unscharfe Vektoren

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Zufallsvektoren

• Zufallsvektoren

• Funktionen eines Zufallsvektors

• Monte-Carlo-Methode

• Unscharfe Vektoren


Begriffe

Zufallsvektor: mehrdimensionale Zufallsvariable – ein Vektor, dessen Elemente Zufallsgrößen sind

Zufallsvektor in der Vermessung: L

Beobachtungsvektor l: Realisierung eines Zufallsvektors

Elemente im Beobachtungsvektor: Messwerte


Zufallsvektor• Hat einen Erwartungswert und einen

wahren Wert

• Hat wahre, systematische und zufällige Abweichungen

• Besitzt eine Verteilungs- und Dichte-funktion wie bei Zufallsvariable aber mehrdimensional

b a

dydxyxfbYaXPbaF ),(),(),(

Dichtefunktion des Zufallsvektors



Kovarianz

‚Gemeinsame‘ Streuung zweier Zufalls-größen

Bei unabhängigen Größen: Cov(X,Y)=0

Positive Kovarianz: Größen verhalten sich tendenziell eher gleich, sonst entgegengesetzt

yTx

n

iyixi

XY

nyx

n

YEYXEXEYXCov

εε11

))]())(([(),(

1


Kovarianzmatrix

Varianzen und Kovarianzen eines Zufallsvektors

Auch: Varianz-Kovarianz-Matrix

Auch aus empirisch abgeschätzten Kovarianzen, dann mit Cxx bezeichnet

221

22221

11221

nnn

n

n

xx


Korrelation

Kovarianz abhängig von der Dimension der beiden beteiligten Größen

Normierung durch Division durch Standard-abweichungen: Korrelationskoeffizient (dimensionslos)

-1 (r) +1

yx

xyxy

YX

XYXY ss

srbzw

YVarXVar

YXCov

.

)()(

),(


Woher kommt die Korrelation?

Viele Einflüsse auf Messungen (Atmosphäre, Aufstellung, Schwerefeld,...)

Einflüsse nicht vollständig erfasst

Einflüsse wirken auf eine Gruppe von Beobachtungen in ähnlicher Weise Korrelation


Arten der Korrelation

mathematisch korrelierte Größen: Unabhängige Messgrößen, gemeinsames Berechnungsmodell

physikalisch korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen

gemischt korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen in gemeinsamem Berechnungsmodell


Korrelationsmatrix

Zusammengefasste Korrelationskoeffizienten

Hauptdiagonale: 1

1

1

1

.

1

1

1

21

221

112

21

221

112

nn

n

n

nn

n

n

xx

rr

rr

rr

bzwR


Stochastische Abhängigkeit

Beispiel: Würfeln – Wetterprognose

• Würfeln: Wahrscheinlichkeit unabhängig vom letzten Wurf

• Wetter: Temperatur stark vom Wetter des Vortrages abhängig

Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(X=a|Y=b)


Bedingte Wahrscheinlichkeit (1)

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses X = a unter der Bedingung, dass Y = b bereits eingetreten ist.P(X=a|Y=b)

X und Y stochastisch unabhängig, wenn gilt P(X=a|Y=b) = P(X=a)

Korrelationskoeffizient: Maß für den linearen stochastischen Zusammen-hang


Bedingte Wahrscheinlichkeit (2)

Zwei Komponenten eines Zufallsvektors sind unkorreliert, wenn sie stochastisch unabhängig sind

Umkehrschluss nicht immer zutreffend (bei Normalverteilung ist der Umkehrschluss zutreffend)


Anmerkungen zur Korrelation

Korrelation betrachtet die Variablen als gleichwertig: Abhängigkeit zwischen X und Y

Korrelation beschreibt keine expliziten kausalen Zusammenhänge

Korrelation beschreibt nur den linearen Zusammenhang (nicht: Abhängigkeit schlechthin)


Funktionen eines Zufallsvektors

• Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors

• Übergang von der Abweichung zur Standardabweichung

• Kovarianzfortpflanzungsgesetz


Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors

Gegeben: Messwerte x1,…, xn mit Abweichungen x1, …, xn

Gesucht: Abweichung x für Funktion f(x1,…, xn)


Eindimensionaler Fall

y=f(x) y0+y=f(x0)+y=f(x0+x)

Frage: Wie groß ist y bzw. die Standard-abweichung von y

Taylorreihe: f(x0+dx)=f(x0)+f‘(x0)dx y = f‘(x0)dx

Verallgemeinerung:

n

ii

i

dxx

fy

1


Übergang zur Standardabweichung

Varianz = Quadratsumme der Abweichung-en dividiert durch Anzahl der Freiheitsgrade

n

ii

ix

fy

1

n

kikiki

ki

n

ii

i x

f

x

f

x

fy

;1,1

22 2 Quadrieren:

1 ;1,1 1

2

1

2 2j

n

kikikjij

kij

n

iij

ijx

f

x

f

x

fySummieren:

n

kiki jkjij

ki

n

i jij

ijx

f

x

f

x

fy

;1, 11 1

22

1

2 12

11

f

2 xi2

ij

n

kikiik

ki

n

ix

if x

f

x

f

x

fi

;1,1

2

2

2 2

n

ix

if ix

f

1

2

2

2

Wenn die Messgrößen stochastisch unabhängig sindVarianzfortpflanzungsgesetz für stochastisch unabhängige Beobachtungen

Einfaches Fehlerfortpflanzungsgesetz


Kovarianzfortpflanzungsgesetz

Parameter nicht stochastisch unabhängig:

In Matrizenschreibweise:

Mehrere Funktionen:

n

kikiik

ki

n

ix

if x

f

x

f

x

fi

;1,1

22

2 2

fΣf xxT

f 2

Txxff FFΣΣ


Monte-Carlo-Methode

Varianzfortpflanzungsgesetz und Kovarianz-fortpflanzungsgesetz sind Näherungslösungen (abgebrochene Taylor-Entwicklung)

Exakte Lösung: Monte-Carlo-Methode

Verteilung der Parameter eine Realisierung ein Ergebnis

Oft wiederholt Verteilung des Funktionsergebnisses

Genauigkeit der Abschätzung proportionaln Versuche, D … konst. Faktor

nD


Unscharfe Vektoren

Vektoren, bei denen die Elemente unscharfe Zahlen sind

Charakterisierende Funktion

-Schnitt ist Teilmenge des IRn

Funktion ist dann und ist eine unscharfe Zahl

1,0IR* n

X

IRIR: nf


Zusammenfassung

Mehrdimensionale Zufallsereignisse (z.B. geodätische Messungen) werden in Zufallsvektoren zusammengefasst

Gemeinsame Streuung von Zufallsereignissen: Kovarianz

Zusammengefasst in KovarianzmatrixLineare stochastische Abhängigkeit: KorrelationKovarianzfortpflanzungsgesetz beschreibt

Auswirkung von Varianzen auf FunktionExakte Lösung: Monte-Carlo-Methode

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