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8/3/2019 Aussagen Logik
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Grundlagen der EDV
Aussagenlogik
G. Laner 03/04
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Aussagenlogik
G. Laner 2003/04
Aussage
Was versteht man unter einer Aussage?
Einen Satz, dem eindeutig das Resultat "wahr" oder "falsch"
zugeordnet werden kann.
Mgliche Schreibweisen:
wahr w, 1, true
falsch f, 0, false
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Aussagenlogik
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Wahrheitstabellen
Bieten eine bersicht ber alle mglichen Kombinationen von
mehreren zusammengesetzten Aussagen.
Aussagen werden ber aussagenlogische Operatorenverknpft, den
JUNKTOREN.
Unterschieden wird nach ein-, zwei- und
mehrstelligenJunktoren.
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Negation
(Verneinung)
Operator:
Wahrheitstabelle: a a
w f
f w
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Konjunktion
(UND-Verknpfung)
Operator:
Wahrheitstabelle: a b a b
w w w
w f f
f w f
f f w
Umgangssprachlich: sowohl, als auch
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Disjunktion
(ODER-Verknpfung)
Operator:
Wahrheitstabelle: a b a b
w w w
w f w
f w w
f f f
Umgangssprachlich: oder (einschlieend)
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Aussagenlogik
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Antivalenz / Alternative
(ENTWEDER ODER-Verknpfung)
Operator: D
Wahrheitstabelle: a b aD b
w w f
w f w
f w w
f f f
Umgangssprachlich: entweder oder (ausschlieend)
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Aussagenlogik
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Implikation / Subjunktion
(IMPLIZIERT-Verknpfung)
Operator: p a heit Prmisse, b Konklusion
Wahrheitstabelle: a b apb
w w w
w f f
f w wf f w
Umgangssprachlich: wenn - dann / aus - folgt
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Aussagenlogik
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quivalenz
Operator: m
Wahrheitstabelle: a b amb
w w w
w f f
f w ff f w
Umgangssprachlich: genau dann, wenn
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Aussagenlogik
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Beispiel 1:Wahrheitstabelle: p q r (p pq r
w
w
w
f
w
w
w
f
w
w
w
w
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
f
w
f
w
f
w
f
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Aussagenlogik
G. Laner 2003/04
Beispiel 1:Wahrheitstabelle: p q r (p pq r
w
w
w
f
w
w
w
f
w
w
w
w
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
w
w
f
w
w
w
w
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Aussagenlogik
G. Laner 2003/04
p q r s ((( p m(q r)) p( s (q ))))
wwwwwwww
ffff
ffff
wwwwffff
wwww
ffff
wwffwwff
wwff
wwff
wfwfwfwf
wfwf
wfwf
wwffffff
wwff
ffff
ffffwwww
ffff
wwww
wwffffff
ffww
wwww
wfwfwwww
wfwf
wwww
wfwwwwww
wfww
wwww
fwffffff
fwff
ffff
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Tautologie - Kontradiktion
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TautologieAussagenlogische Formel, die fr alle Kombinationen
derAussagenvariablen den Wert "wahr" hat.
KontradiktionAussagenlogische Formel, die fr alle Kombinationen
derAussagenvariablen den Wert "falsch" hat.
IndeterminiertMindestens eine Kombination ergibt "wahr" und
mindestens eineergibt "falsch".
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Normalformen
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KKNF - Kanonische konjunktive NormalformKonjunktive Verknpfung
von Basisdisjunktionen.
Bsp.: (p q r) (p q r)
KDNF - Kanonische disjunktive NormalformDisjunktive Verknpfung
von Basiskonjunktionen.
Bsp.: (p q r) (p q r)
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Normalformen
G. Laner 2003/04
p
w
w
w
w
f
f
f
f
q
w
w
f
f
w
w
f
f
r
w
f
w
f
w
f
w
f
( p pq) r
w
f
w
f
w
f
w
w
Gesucht: quivalente KDNF
Alle Kombinationen, die Resultat"w" haben, werden gesucht
undverarbeitet.
(p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r)
( p q r)
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Normalformen
G. Laner 2003/04
p
w
w
w
w
f
f
f
f
q
w
w
f
f
w
w
f
f
r
w
f
w
f
w
f
w
f
( p pq) r
w
f
w
f
w
f
w
w
Gesucht: quivalente KKNF
Alle Kombinationen, die Resultat"f" haben, werden gesucht
undverarbeitet.
( p q r) ( p q r) (p q r)
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NAND / NOR Junktoren (Sheffer / Peirce Operatoren)
G. Laner 2003/04
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
p oq
f
w
w
w
NAND (Sheffer-Operator)entspricht NOT AND
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
p qq
f
f
f
w
NOR (Peirce-Operator)entspricht NOT OR
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quivalenz-Umformungen
G. Laner 2003/04
Um eine Normalform zu erreichen, drfen als Junktoren
nur,undvorkommen.
Daher sind die Junktoren mund pdurch geeignete Konstrukte
zuersetzen (siehe nchste Folie).
Zustzlich sind Umformungen nach den DE MORGAN -
Gesetzennotwendig:
a b entspricht a b
a b entspricht a b
Weitere Umformungen:
a b c entspricht a b a c
a b c entspricht a b a c
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quivalenz-Umformungen
G. Laner 2003/04
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
ppq
w
f
w
w
p
f
f
w
w
p q
w
f
w
w
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
pmq
w
f
f
w
(ppq) (qpp)
f
f
w
w
( p q) ( q p)
f
f
w
w
