2
Ztschr tan ew. Axonometrie b 8raphlsrher Darrtdlr;n8. dcr Regel gebrauchtc Formel Pwjiziert man (Abb. 1) ein Achsenkreuz OX, OY, OZ auf die Bildebene B, so erhalt man dic far die axonometrische Darstellung maBgeben- den Achsen, welche die Winkc1 a, und y BUS die Einheit auf (0.4 = 1 usf.) und proji- und gibt noch fiir CL =450 so gute Werte, miteinander einschlicl3en. Trlgt man von 0 daI3 der Fchler nur 1,2 vT ist. ziert auch die Punkte A, B und C auf die Bildebene, so ist durch ~- = u das Vcrliiir- (1 -sin2 ct/~)-':z nach clcn Potcnzen von sin? U/Z entwicl~elt, er]liilt Illall I~cihcncntwiclilunfi xungsverhiltnis in Richtung der X-.\chsc be- stimrnt. Die Beziehungen zwischen dcu Achsm und den Winkeln ergeben sich aus den Sdtzcn voii 1' 1.3 Weisbach oder Gaul). v. Dalwigk (Vor- -+ ( : ) sin+ a/z (2)- Icsungen iiber Darstellendc Geometric) cnt- 522 Kleine Mifteilungen Math. nnd deCh Diese Forinel ist vie1 genauer als die in T = 2 II - (1 + '14 sin2 a/Z) 1/: 01 Ai 08 =1+ 1 \Venn nian deli Faktor 1 + ~~ cosa/2 T= 2 n f: I 1 + (+)I. sin2 a/2 wickelt dafiir die Formeln 2 4 1 1.3.5 __ d(~' - b ' + C' ' 1 (aa + bP - c') COB y= - -- usf. 2be Einfachere Glcichungen erhllt inan aus E s isk N P = O N s i n p , OP=ON.cosp und 1 sin6 a/2 + . I . + d2.4.6) Wic bckannt lautet die cxakte Rcihencnt- wickluiig fiir die Scliwingangsdaucr Abb. 1. 0,P = 0 N . cos p. sin q. T = 2 s f: 1 1 + 'sin9 a / 2 Daraus cos p * sin q sin p tgn=--- ~ . sin p sin q und tg in. tg n = sin' y. tg fn = --__ cos p = o, C, = C. cos = d1 - sins I 1.3 J 2 + ~ sin4 a/2 + (+!) sin6ai2 + . . , iund hierdurch wirtl die Genauiglieit u~lserer Formel niher crklirt. Man sieht auch, daI3 unsere Nilieiungsforniel immer etwas zu groh Werte gibt (for a =J[ wird T nach d.eser Nun ist Formel gleich dein Weit der exakten Formel). Wiinsclit inan noch griil3ere Genauigkeit als uusere Formel gibt, so Itaim maii aus dcu = fi- tg in. tg n. Wcrten unsercr Formel und der gewBhnlich Ocsetzt man die Winkel in und n durch n, p a= v1 -cotgp .cotgy . . (l), gc.brauchtrll Iorn1el T ~ 2 z 6 (1 + sin2 up) cineu ?vlittelwcrt bilden, wohi man dcm Werlc b.= v1 - cotg a cotg y . . (2), unscrer Formel das Gewicht 3 und dem Wcrtc tlcr undci.en Forniel das Gewicht 1 bcilegt. c=i/1-cotga.cotgp I * (3). Der so erhaltenc Wert ist iinrner noch ctwas 111 Abb. 2 ist die GI. (3) mit IIilfc riuui- ZII grod, wi,c maii an der Rcihcncntwicklung licllcr ~~oor~inatell dargeslellt. ~i~ zLus Abb. 2 crsehen kann: abcr so genau, dal) der Fchler rrsiclltlichc ~ l ; ~ l ~ ~ sei als ,c(c-~l~clle bczeic1,- fur a = 450 klciiier als 0,05 vT ist. 5.1s net. III gleiclicr \\Tcisc ltanii man einc )m(- Fliiclle und cine sb(c-Flbche zeichncn. (; : Y 2 4 6 Eknso crhilt man 1 und y, so findet inan die drei Gleichungcn l'ainmcrforfi (Pimiland). I<. A. Po uk k a. Abb. 1. Abb. 2.

Axonometrie in graphischer Darstellung

  • Upload
    c-volk

  • View
    215

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Axonometrie in graphischer Darstellung

Ztschr t a n ew.

Axonometrie b 8raphlsrher Darrtdlr;n8. dcr Regel gebrauchtc Formel Pwjiziert man (Abb. 1) ein Achsenkreuz OX,

OY, OZ auf die Bildebene B, so erhalt man dic far die axonometrische Darstellung maBgeben- den Achsen, welche die Winkc1 a, und y

BUS die Einheit auf (0.4 = 1 usf.) und proji- und gibt noch fiir CL =450 so gute Werte, miteinander einschlicl3en. Tr lg t man von 0 daI3 der Fchler nur 1,2 vT ist.

ziert auch die Punkte A, B und C auf die

Bildebene, so ist durch ~- = u das Vcrliiir- (1 -sin2 ct /~) - ' :z nach clcn Potcnzen von sin? U/Z entwicl~elt, er]liilt Illall I~cihcncntwiclilunfi xungsverhiltnis in Richtung der X-.\chsc be-

stimrnt. Die Beziehungen zwischen dcu Achsm und

den Winkeln ergeben sich aus den Sdtzcn voii 1' 1 . 3 W e i s b a c h oder Gaul ) . v. D a l w i g k (Vor- -+ (:) sin+ a/z (2)- Icsungen iiber Darstellendc Geometric) cnt-

522 Kleine Mifteilungen Math. nnd deCh

Diese Forinel ist vie1 genauer als die in

T = 2 II - (1 + ' 1 4 sin2 a/Z) 1/: 01 Ai 0 8

= 1 + 1

\Venn nian deli Faktor 1 + ~~

cosa/2

T = 2 n f: I 1 + ( + ) I . sin2 a/2

wickelt dafiir die Formeln 2 4 1 1 . 3 . 5 __ d ( ~ ' - b' + C' '1 (aa + bP - c')

COB y = - -- usf. 2 b e

Einfachere Glcichungen erh l l t inan aus

E s isk N P = O N s i n p , O P = O N . c o s p und

1 sin6 a /2 + . I . + d2.4.6)

Wic bckannt lautet die cxakte Rcihencnt- wickluiig fiir die Scliwingangsdaucr Abb. 1.

0,P = 0 N . cos p . sin q. T = 2 s f: 1 1 + 'sin9 a/2 Daraus cos p * sin q

sin p tgn=--- ~ .

sin p sin q und tg in. tg n = sin' y. tg fn = --__ cos p

= o, C, = C. cos = d1 - sins

I 1.3 J 2 + ~ sin4 a/2 + (+!) sin6ai2 + . . , iund hierdurch wirtl die Genauiglieit u~lserer Formel niher crklirt . Man sieht auch, daI3 unsere Nilieiungsforniel immer etwas zu groh Werte gibt (for a =J[ wird T nach d.eser Nun ist Formel gleich dein Weit der exakten Formel).

Wiinsclit inan noch griil3ere Genauigkeit als uusere Formel gibt, so Itaim maii aus dcu = fi- tg i n . tg n. Wcrten unsercr Formel und der gewBhnlich Ocsetzt man die Winkel in und n durch n, p

a = v1 - c o t g p .cotgy . . (l), gc.brauchtrll Iorn1el T ~ 2 z 6 (1 + sin2 up) cineu ?vlittelwcrt bilden, w o h i man dcm Werlc b.= v1 - cotg a cotg y . . (2), unscrer Formel das Gewicht 3 und dem Wcrtc tlcr undci.en Forniel das Gewicht 1 bcilegt. c = i / 1 - c o t g a . c o t g p I * (3). Der so erhaltenc Wert ist iinrner noch ctwas 111 Abb. 2 ist die GI. (3) mit IIilfc riuui- ZII grod, wi,c maii an der Rcihcncntwicklung licllcr ~ ~ o o r ~ i n a t e l l dargeslellt. ~i~ zLus Abb. 2 crsehen kann: abcr so genau, dal) der Fchler rrsiclltlichc ~ l ; ~ l ~ ~ sei als , c (c -~ l~c l le bczeic1,- fur a = 450 klciiier als 0,05 vT ist. 5.1s net. III gleiclicr \\Tcisc ltanii man einc )m(-

Fliiclle und cine sb(c-Flbche zeichncn.

(; : Y 2 4 6 Eknso crhilt man

1 und y, so findet inan die drei Gleichungcn

l'ainmcrforfi (Pimiland). I<. A. Po u k k a.

Abb. 1. Abb. 2.

Page 2: Axonometrie in graphischer Darstellung

Band 5 Heft 6 Dezerncer 1925 Buchbeaprechungen 523

Bringt man die ))ccc-FIiclie mil der sbcc- Fllche zum Schnitt, so erhilt man eiiic Schnilt- linie L,, welche die Clcichung b = c crfiilll ( D i m e t r i , s c h e Projektion). Aus b = c folgt 4 p = 4 y , d. 11. der GruiidriD von L, ist cine Gcrade Af Q, far welche a = 360 - 2 p oder

P

Abb. 3.

RI = 0 0 - 2 n ist. Alit nnd,ercu Worten: Llci cinem Wurfel in dimetrischer Projektion wird dcr \Vinlcel zwischeu dcii Ilciden glcich Iangcn Kanten durch die 3. ICanle halbiert.

Briiigt man die aacc-lXiche niit dcr ~cct - Fliclie Zuni Schuitt, .so crliilt inan die Scliiiitt-

linie L, (GrundriD N P). Endlich folgt cine dritle Reilie dimetrischer Darstelluiigcii aus a = b. Die Scliiiitllinie zwischen dcr ))a((- und sbcc-Fliche hat die Gerade O R zum GrundriD. Die Ordinate iiber R i,st = 1, iibcr O = 0,707.

Die 3 SchnitKnien haben einoii I'tIlllit I gc- meinsam, fiir den u = b = c ist und zu dem die \Vinkel a = p = y = 1200 geliijreii (1,s o - me t r i s c h e r Fall dCr serikrechtcri Asonomc- trie). Projizicrt inan die drei Schnitllinicn auf die Ebene E, so erhllt man Abb. 3, dic- auch fiir den Sonderfall b =- c die zugeli6rigen \\'erte von a zeigt.

Dicse Kurre f i r a stellt riumlich bctrachtet die Schnitllinie dar zwi.schcn der aacc-Flichc und einer durch L1 gelcglcn (projiziercnden) Ekne . I m Punkte I ist a = b 1 c. Sehr h iu- fig wihlt man 11 = c = 2 n. Diescn \l'ertcii eiitspriclit Punkt D. Die zugel16rigcn Winkcl be- rechnet man aus

(wobei fi = y und a + 13 + y = 3 W ) mit I1 - cotg a. cotgy = 2 v 1 - cotg p . cotgy,

fi ==y = 1310 25', a = 970 10' ot l~r tz -= 410 25' und m = 70 10'.

Auf z,cichnerischem Wegc erh i l t maii iiacli dem Satz von \ V e i , s b a c h d ie Winlxl aus cinem Diricclc mit den Seilcii n', ~ J Z irnd c2. Fiir die dimctri,sche I'rojektioii wird dicses Dr c i cclc glcicli,sc lie n Id i g , \\' i n kc1 an dc r S pi tze

= 2 m . AIit b : c : a = 2 : 1 : 1 wird p i n n l = = e b2

= I/* und ni : 70 10'. 1)crliii. C. Yo lk . 491

BUCHBESPRECHUNGEN (Die hier angezaigten Bileher sind duroh die Bortiment-AbteLlung des VDI -Verlages,

Berlin SW 19, BeuthstraEe 7, en bezlehen.)

RIEMANN-WEBER D i e D i f f e rent i a1 - I I i i d I I I te g r a 1 g l e i c 11 II ii g e n tl c r h l cc h a - nil; i i i i t l P h y s i l c als 7. Auflage ron Rie- mann-Webcrs I'artiellcii Dif~erenlialgleichtingen t l rr ni a t hein a I ischen Physilc , herausgcgeben voii Dr. PHILIPP FRANK, 0. Prof. an der Deut- sclieii Universitit in Prag und Dr. RICHARD v. MISES, 0 . Pmfcssor a n der UnivcrsiWt Berlin. Erster (mathematischer) Teil heraus- gcgeben van Dr. I{ i c li a r d v. Mjses. hlit 76 Abb. Yerlag von Fricdr. Vicwcg 6r Sohn Mct.-Grs, Uraunschwcig 1925. SS + 686 S. l'reis gcb. 44 M.

Die neueii Herausgebcr - R. v o n hl i s c s , Berlin und Ph. F r a n k , Prag - haben die I'erantwortung nicht gescheut, das Ilucli bci tlcr Neuhearbeitung r inr r grundlegenden Um- gestaltung zu untcrziehen, uiid wenn damit nuch manches von der Eigcnart des alten I%uclies verloren gegangeii ist, so wird man (loch* ihrem Vorgehen die Bcrechtigung nicht absprecheii k6nnen. Hilt man rilmlich die urspriingliche €I a t t e n d o r fschc Bearbeitung vinmal neben den spiteren R i c in a ii n - W e - b e r , und vergleicht damit das neue Buch, so crkennt nian, daD die Enlwicklung des Buchcs

im g r o h n uiid ganzcn der Fortbildung dcr Wissenschaft pnwllcl gegnngen ist, begiiinrntl zu d'cn Zeiten, wo D i r i c h l e t als crstcr an deutscheii Universiliten regelmil3:gc Vorlcsuii- gen iibcr partielle Differentialgleichungen hiclt, bis li'erite, w o man niit den partiellen Diffe- reiitinlglcicliuiig~n aund ihren Varialionsproble- men bcreits ))die Techniker zu belistigeii be- ginntcc. - So rechlfertigt sich vor allen Dingcn di,c beiiiericcnsw~rtesle HuDere Verinderung, iiimlich die Teilung des Werkes in den cbcn crschicncncn erstcn Rand, der den ma- thematischen Teil enthllt, rind cincn zwciteii, der die Anwendungen auf die physikalischcn Probleme bringen w7ird. Es wire wohl in der Tat kaum mBglicli gewesen, bei eincr Darslcl- lung im Slile des allen Buclies die Grschlos- senheit dcs hufbaues Zuni Ausdruck zu bringcn, welchc die Tlicoric dcr partiellen IXfCerential- gleichungcn durch die Entwicklung der \'aria- tionsrechnung uiid der Theorie der lincnrcn In- tegralgleichungcn in den lclrten zwnnzig J a h ian gewonnen hat.

So bringt also cler ersle Band das malhcuia- tische Fundament, auf dem die Anwendungal tles zweiten sidh aufbauen sullen. und zwar auf