Analogfilter fr Audio

Bachelorarbeit im Rahmen des Audioelektronik Seminars

verfasst von

Jan Dutz

Betreuer: DI David Fischer

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 4

2 Filtertheorie 62.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Polkenngren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Einfluss der Polgte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Filtertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Phasenverzerrungen und Gruppenlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Standard-Approximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1 Butterworth-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Bessel-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.3 Tschebyscheff-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Filterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.1 Toleranzschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.2 Entwurf mittels Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.3 Entwurfsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Equalizer-Grundstrukturen 243.1 EQ-Charakteristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Equalizer mit invertierendem Verstrker . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Equalizer mit zwei Summierverstrkern . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Aktive Filter fr Audio 334.1 Sallen-Key-Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Dimensionierungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.2 Dimensionierungsbeispiel und Simulation . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Multiple-Feedback-Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.1 Dimensionierungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.2 Simulation des Einflusses der begrenzten OPV-Bandbreite . . 444.2.3 Vergleich der Dimensionierungsverfahren . . . . . . . . . . . . 50

4.3 State-Variable-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.1 bertragungsfunktionen und Dimensionierung . . . . . . . . . 544.3.2 Filterstruktur mit unabhngig einstellbarer Gte . . . . . . . 564.3.3 Simulation der modifizierten Filterstruktur . . . . . . . . . . . 574.3.4 Simulation des Einflusses der begrenzten OPV-Bandbreite . . 59

2

4.4 Weitere Filtertechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4.1 Passive RLC-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4.2 Aktive Filter basierend auf RLC-Strukturen . . . . . . . . . . 64

5 Realisierungsaspekte 66

6 Schlussbetrachtungen 68

Literaturverzeichnis 70

3

1 Einleitung

Das Thema Analogfilter fr Audioanwendungen ist breit gefchert: Im Audiobereichgibt es vielfltige Einsatzbereiche fr Filter, angefangen von der Signalaufbereitung,ber die Strungsunterdrckung, bis zu Klanggestaltung und Klangsynthese.

Neben den Anwendungsbereichen gibt es weitere Aspekte, welche die Vielschichtigkeitdieses Themas verdeutlichen: Es kommen verschiedenste Filtertypen und Filtercha-rakteristiken zum Einsatz, von einfachen Tief- und Hochpssen erster Ordnung, berShelving- und Peakfilter in Equalizern bis hin zu Filtern hherer Ordnung in Anti-Ali-asing-Filtern und Frequenzweichen. Ein weiterer Aspekt der Vielfalt ist die Steuerungder Grenzfrequenz von Filtern: In manchen Anwendungen muss die Grenzfrequenzder Filter im Betrieb nicht verndert werden; Equalizer werden zumeist manuell mitSchaltern und Potentiometern eingestellt; bei dynamischen Filtern zur Klanggestal-tung wird die Grenzfrequenz elektronisch ber Spannungen oder Strme gesteuert.

In vielen Anwendungen findet der Einsatz von Filtern in der digitalen Domne statt,was die Signalaufbereitung vor und nach der Digitalwandlung als das relevantesteTeilgebiet analoger Filter erscheinen lsst. Da aber digitale Filter und Equalizer zumTeil nach analogen Vorbildern entworfen werden, besitzt auch die Theorie und Schal-tungstechnik analoger Filter und Equalizer ihre Relevanz.

Motivation

Diese Arbeit soll einen berblick ber das Thema Analogfilter in Audioanwendungenbieten und dabei die Bereiche Filtertheorie, Filterschaltungen und deren Dimensio-nierung sowie Aspekte der Realisierung von Filtern, wie zum Beispiel die Wahl derKomponenten, bercksichtigen. Damit soll diese Arbeit als Grundlage fr folgendeArbeiten und Projekte auf diesem Gebiet dienen.

Um dies zu erreichen musste das Themengebiet sinnvoll begrenzt werden: Bei denmglichen Anwendungen liegt der Fokus dieser Arbeit auf Equalizern, manuell einstell-baren Filtern sowie Anti-Aliasing- und Rekonstruktionsfiltern. Bei den behandeltenFilterschaltungen liegt der Schwerpunkt auf aktiven Filtern in Kaskadentechnik.

Der Begriff Kaskadentechnik beschreibt das Zerlegen von Filtern hherer Ordnungin Teilfilter zweiter Ordnung; diese Teilfilter werden dann mit den weit verbreitetenSallen-Key-, Multiple-Feedback-, oder State-Variable-Filterschaltungen realisiert.

4

Zum Inhalt

Die Arbeit beginnt mit einer Zusammenfassung der Filtertheorie. Schwerpunkte liegendabei auf den verschiedenen Charakteristiken von Filtern zweiter Ordnung sowie derFrage, wie sich diese Charakteristiken in den bertragungsfunktionen wiederspiegeln.Das Thema Gruppenlaufzeit sowie die Filtercharakteristiken Bessel, Butterworth, undTschebyscheff werden behandelt. In einem Beispiel zum Filterentwurf werden dieseCharakteristiken miteinander verglichen.

Es folgt ein Kapitel ber Equalizerschaltungen. Es werden zwei Schaltungsstrukturenvorgestellt, auf deren Basis verschiedene Shelving- und Peakfilter realisiert werdenknnen.

Im Hauptteil dieser Arbeit werden die fr die Kaskadentechnik wichtigen Schaltungender Sallen-Key-, Multiple-Feedback-, und State-Variable-Filter diskutiert. Von erste-ren beiden wird jeweils das Tiefpassfilter behandelt, um grundstzliche Unterschiedezwischen beiden Schaltungsfamilien herauszuarbeiten. Es werden Beispieldimensio-nierungen durchgefhrt und die dimensionierten Filterschaltungen werden simuliert.In den Simulationen werden die Auswirkungen von Bauteiltoleranzen sowie der Ein-fluss der Bandbreite der Operationsverstrker untersucht. Im Abschnitt zum State-Variable-Filter wird eine Schaltung vorgestellt, mit der sich in Verbindung mit denbehandelten Equalizerschaltungen ein parametrisches Peakfilter realisieren lsst.

Das Kapitel Realisierungsaspekte behandelt die Eigenschaften passiver Bauelementeund deren Einsatzmglichkeiten in Filterschaltungen.

5

2 Filtertheorie

2.1 Einfhrung

Die Filtertheorie beschftigt sich mit der Beschreibung und dem Entwurf von Analog-filtern. Die Beschreibung von Analogfiltern erfolgt mittels Laplace-bertragungsfunk-tionen. Die bertragungsfunktionen werden zum Teil frequenznormiert dargestellt.Das bedeutet, dass die Variable der bertragungsfunktion, die komplexe Frequenz s,auf die Einsatzkreisfrequenz D des Filters bezogen wird. Die Einsatzkreisfrequenzist die Frequenz, bei der sich das Ende des Durchlassbereiches des Filters befindetund die Dmpfung des Filters einsetzt. Zumeist wird D als 3 dB-Grenzkreisfrequenzdefiniert; da dies aber nicht in allen Fllen sinnvoll ist, gibt es auch andere Definitio-nen der Einsatzkreisfrequenz. Die frequenznormierte Darstellung der bertragungs-funktion ermglicht eine einheitliche Beschreibung von Filtern unabhngig von derenEinsatzfrequenz und der verwendeten Schaltungstopologie. In der frequenznormier-ten Darstellung sind die Koeffizienten der bertragungsfunktion dimensionslos. DasPrinzip der Frequenznormierung wird nun anhand des Beispiels eines RC-Tiefpasses1.Ordnung verdeutlicht:

Die bertragungsfunktion des Tiefpasses lautet H(s) = 11+sRC

, die 3 dB-Grenzkreis-frequenz liegt bei g = 1RC . In diesem Fall entspricht die Einsatzkreisfrequenz D, aufdie normiert wird, der 3 dB-Grenzkreisfrequenz g des Filters. Bei der Frequenznor-mierung wird von den Frequenzvariablen ,s auf die normierten Frequenzvariablen,S bergegangen. Die Normierungsvorschrift lautet:

=

Dbzw. S =

s

D(2.1)

Die frequenznormierte bertragungsfunktion des RC-Tiefpasses lautet nun:

H(S) =1

1 + S

Mittels der sogenannten Filtertransformationen lassen sich die verschiedenen Filter-charakteristiken (Hochpass, Bandpass, usw.) auf Tiefpassfilter in frequenznormierterDarstellung zurckfhren. Die Entwurfsmethoden der Filtertheorie beziehen sich da-her meist auf ein allgemeines Tiefpassfilter n-ter Ordnung der Form

H(S) =1

1 + b1S + b2S2 + . . .+ bnS

n . (2.2)

6

Da es sich bei den in der Filtertheorie betrachteten Systemen um kausale LZI -Sys-teme handelt, sind Pol- und Nulstellen der Systeme entweder reell oder konjugiert-komplex. Nenner und Zhler der bertragungsfunktionen knnen daher in quadrati-sche Polynome zerlegt werden somit knnen die bertragungsfunktionen durch einProdukt biquadratischer Teilfunktionen der Form

H(s) =a0 + a1s+ a2s

2

1 + b1s+ b2s2(2.3)

dargestellt werden.[10] Die Zerlegung von bertragungsfunktionen in biquadratischeTeilfunktionen hat in der Filtertheorie eine groe Bedeutung: In dieser Form beschrie-bene Filter knnen durch eine Serienschaltung aktiver Filter zweiter Ordnung ohneweitere Umformungen der bertragungsfunktion realisiert werden; in vielen Tabel-lenwerken zum Filterentwurf werden die Filterkoeffizienten fr in Biquads zerlegtebertragungsfunktionen angegeben. Zudem knnen die Koeffizienten der quadrati-schen Nennerpolynome durch die Polkenngren Polfrequenz P und Polgte QPausgedrckt werden. Diese, den Schwingkreiskenngren Resonanzfrequenz und Gtequivalenten Gren ermglichen es, Rckschlsse ber wichtige Eigenschaften desFilters zu ziehen.

N

sN

s-Ebene

N

sN1sN1

sN2

Abbildung 2.1: Zur Definition der Polkenngren Lage des konjugiert-komplexenPolpaares sN1,2 in der s-Ebene

2.1.1 Polkenngren

Es folgt die Definition der Polkenngren nach v.Wangenheim [10]. Die biquadra-tische bertragungsfunktion besitzt zwei Polstellen sN1,sN2. In der Filtertheorie ist

7

vor allem der Fall konjugiert-komplexer Polstellen relevant. Fr das in Abbildung 2.1dargestellte konjugiert-komplexe Polpaar sN1,2 gelten folgende Gleichungen:

sN1,2 = N jN und sN1sN2 = N 2 + N 2 = |sN |2 (2.4)

Die Polfrequenz P und die Polgte QP sind wie folgt definiert:[10]

P = |sN | 1QP

=2|N ||sN | = 2 cos (2.5)

Die Polfrequenz entspricht dem Betrag der Polstellen; die Polgte ist vom Winkel zwischen den komplexen Zeigern der Pole und der reellen Achse in der linken s-Halbebene abhngig. Die biquadratische bertragungsfunktion in der Polkenngren-Darstellung des Nenners lautet:

H(s) =a0 + a1s+ a2s

2

1 +s

PQP+s2

20

(2.6)

Fr eine Polgte von QP = 0, 5 fallen beide Pole zu einer doppelten Polstelle aufder negativ-reellen Achse zusammen. Dies ist der Fall der kritischen Dmpfung. Frsteigende Polgten wandert das Polpaar auf einer Kreisbahn um den Ursprung der s-Ebene in Richtung imaginre Achse. Der Radius dieses Kreises entspricht der Polfre-quenz P . Fr Werte QP < 0, 5 ergeben sich zwei reelle Polstellen. Obige Definitionder Polgte ist in diesem Fall nicht mehr anwendbar.[10]

Mit passiven RC-Schaltungen knnen nur Filter mit Polgten QP 0, 5 realisiertwerden; zur Erzeugung konjugiert-komplexer Polstellen werden aktive RC- oder pas-sive RLC-Schaltungen bentigt. Die Polgte bestimmt wichtige Eigenschaften einesFilters im Frequenz- sowie im Zeitbereich: Sie ist sowohl mageblich fr das Auftretenvon Resonanzberhhungen im Amplitudengang als auch fr berschwingen in derSprungantwort eines Filters.

In der frequenznormierten Darstellung einer bertragungsfunktion wird die Polfre-quenz auf die Einsatzfrequenz bezogen. Es entsteht die normierte Polfrequenz P =P/D, die Polgte bleibt unverndert.

2.1.2 Einfluss der Polgte

Anhand eines Tiefpassfilters zweiter Ordnung mit der bertragungsfunktion

H(s) =1

1 +s

PQP+s2

2P

8

wird nun der Einfluss der Polgte auf den Frequenzgang eines Filters untersucht. Ab-bildung 2.2 stellt den Amplitudengang des Tiefpassfilters fr verschiedene PolgtenQP bei konstanter Polfrequenz P = 1 rad/s dar. Aus dem Plot lsst sich entnehmen,dass eine Erhhung der Polgte bei gleichbleibender Polfrequenz die 3 dB-Grenzfre-quenz des Filters erhht. Mit steigender Polgte setzt die Filterwirkung abrupter einund der asymptotische Verlauf des Amplitudengangs von 40 dB/Dekade wird bei nied-rigeren Frequenzen erreicht. Wenn ein Tiefpassfilter zweiter Ordnung eine Polgtevon QP = 1/

2 besitzt, stimmen Polfrequenz und 3 dB-Grenzfrequenz berein. Diese

Auslegung des Filters entspricht der Butterworth-Abstimmung. In der englischspra-chigen Literatur wird diese Abstimmung auch maximally flat genannt, da bei einerweiteren Erhhung der Gte Resonanzberhhungen nahe der Polfrequenz auftre-ten.

101 10025

20

15

10

5

0

5

10

15

Magn

itude

(dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

QP=0,25QP=0,5QP=0,707QP=1QP=1,414QP=2QP=4

-3dB

Abbildung 2.2: Amplitudengang Tiefpass 2.Ordnung fr verschiedene Polgten, beieiner Polfrequenz P = 1

Eine wichtige Anforderung an Filter ist ein mglichst schmaler und steilflankiger ber-gang vom Durchlass- in den Sperrbereich. Die nominelle Flankensteilheit eines Filtersvon n 20 dB/Dekade (n ist die Filterordnung) soll mglichst schnell erreicht werden.Diese Forderung kann nur mit Polgten grer als 0,5 erfllt werden. Filter mit einemschmalen bergangsbereich besitzen somit immer konjugiert-komplexe Polstellen. ImBlickfeld der Filtertheorie liegen solche Filter, die ausschlielich konjugiert-komplexePolpaare besitzen, beziehungsweise bei ungerader Filterordnung, einen reellen Pol undansonsten konjugiert-komplexe Polstellen.

Je hher die Polgte, desto strker werden die Phasennderungen im Bereich der Pol-

9

frequenz. Weicht der Phasengang von einem zur Frequenz proportionalem Verlauf ab,fhrt dies zu einer nicht konstanten Gruppenlaufzeit. Eine nicht konstante Gruppen-laufzeit hat zur Folge, dass spektrale Komponenten eines Signals beim Durchlaufendes Filters unterschiedlich stark verzgert werden. Dadurch wird die Wellenform desSignals bei gleichbleibendem harmonischen Gehalt verndert. Dies kann besonders beitransienten Audiosignalen unerwnscht sein. Phasenverzerrungen und Gruppenlauf-zeit werden in Kapitel 2.3 behandelt.

Die Forderung nach einem mglichst steilflankigen Filter lsst sich bei gegebenerFilterordnung nicht mit der Forderung nach mglichst geringen Phasenverzerrun-gen vereinen. Die sogenannten Standardapproximationen ( zum Beispiel Bessel, But-terworth, Tschebyscheff ) sind Kompromisslsungen zwischen diesen konkurrierendenZielen beim Filterentwurf. Die Standardapproximationen werden in Kapitel 2.4 be-handelt.

2.2 Filtertypen

Das Nennerpolynom einer biquadratischen bertragungsfunktion gibt Auskunft berdie Lage der Polstellen - und somit ber die Resonanzeigenschaften eines Filters. DerFiltertyp wird durch den Zhler der bertragungsfunktion bestimmt. Dies lsst sichauf einfache Art und Weise anhand von RLC-Filtern zweiter Ordnung veranschau-lichen. In Abbildung 2.3 sind die Schaltungen der vier Grundfiltertypen Tiefpass,Hochpass, Bandpass, und Bandsperre als RLC-Vierpol dargestellt. Die Schaltungenbestehen aus einem RLC-Serienschwingkreis; die unterschiedlichen Filtercharakteris-tiken ergeben sich dadurch, dass die Ausgangsspannung an unterschiedlichen Punktendes Schwingkreises abgegriffen wird. Die bertragungsfunktionen der vier Filtertypenbesitzen somit das gleiche Nennerpolynom und unterscheiden sich nur in ihrem Zh-ler.

Fr die bertragungsfunktion des RLC-Tiefpasses ergibt sich:

HTP(s) =

1

sC1

sC+R + sL

=1

1 + sRC + s2LC=

1

N(s)(2.7)

Fr Bandpass, Hochpass und Bandsperre lauten die bertragungsfunktionen:

HBP =sRC

N(s)HHP =

s2LC

N(s)HBS =

1 + s2LC

N(s)(2.8)

10

H o c h p a s s

B a n d s p e r r e

B a n d p a s s

T ie f p a s s

R

RR L

C

L

C

R C C

L

L

Abbildung 2.3: Die vier Grund-Filtertypen als RLC-Vierpol

Die Kenngren eines Serienschwingkreises sind die Resonanzfrequenz 0 sowie dieGte Q:

0 =1LC

Q =1

R

L

C(2.9)

Diese Gleichungen lassen sich nach den in den bertragungsfunktionen vorkommen-den Koeffizienten RC und LC auflsen:

0 =1LC

LC = 120

0Q =1

R

L

C LC RC =1

0Q

Somit lassen sich die bertragungsfunktionen in den Gleichungen 2.8 durch die Schwing-kreiskenngren ausdrcken. In der quivalenten Darstellung mit P und QP lautendie allgemeinen bertragungsfunktionen der vier Grundfiltertypen zweiter Ordnung(Tiefpass, Bandpass, Hochpass, Bandsperre):[10]

HTP(s) =A0

1 +s

PQP+s2

2P

HBP(s) =

AMs

PQP

1 +s

PQP+s2

2P

(2.10)

11

HHP(s) =

As2

2P

1 +s

PQP+s2

2P

HBS(s) =

1 +s2

2P

1 +s

PQP+s2

2P

(2.11)

Dabei sind A0, AM , A die Grundverstrkungen der Filter. Durch die Darstellung derFilterfunktionen mit den Polkenngren lsst sich erkennen, welche Koeffizienten einesFilters beim Verndern der Einsatzfrequenz mit verndert werden. Dies ist in Hinblickauf durchstimmbare Filter von Bedeutung, wenn die Einsatzfrequenz unabhngig vonanderen Filtereigenschaften wie der Gte oder der Grundverstrkung einstellbar seinsoll.

20

10

0

10

20

Magn

itude

(dB)

101 100 101180

135

90

45

0

Phas

e (de

g)

Bodediagramm Tiefpass 2.O. fr variable Gten

Frequency (rad/sec)

20

10

0

10

20

Magn

itude

(dB)

101 100 1010

45

90

135

180

Phas

e (de

g)

Bodediagramm Hochpass 2.O. fr variable Gten

Frequency (rad/sec)

Q=0.25

Q=4

Q=0.25

Q=4

Abbildung 2.4: Bodediagramme von Tiefpass und Hochpass zweiter Ordnung fr ver-schiedene Gten

In Abbildung 2.4 sind die Frequenzgnge von Tiefpass und Hochpass zweiter Ordnungfr eine Polfrequenz P = 1 rad/s und variablen Polgten im Bereich zwischen 0,25und 4 dargestellt. Man erkennt jeweils, dass die Frequenz, bei der die Dmpfung 3 dBbetrgt, im Allgemeinen nicht der Polfrequenz entspricht. Fr hohe Gten nhertsich die 3 dB-Grenzfrequenz einem Endwert, und die Stelle der Resonanzberhhungnhert sich der Polfrequenz.

Abbildung 2.5 zeigt die Bodediagramme von Bandpass- und Sperrfilter fr variablePolgten bei einer Polfrequenz von eins. Es ist ersichtlich, dass sich die Phasengngevon Tiefpass, Hochpass und Bandpass nur durch einen Offset unterscheiden. DieseFiltertypen haben die Gemeinsamkeit, dass ihre Nullstellen entweder bei Null oder imUnendlichen liegen; im bertragungsbereich der Filter liegen somit keine Nullstellen.Aus diesem Grund werden die Filtertypen Band- Hoch- und Tiefpass als Allpolfilterbezeichnet.[8]

12

25201510505

10Ma

gnitude

(dB)

101 100 10190

45

0

45

90

Phas

e(de

g)

Bandpass

Frequency (rad/sec)

Q=4

Q=0.25

25

20

15

10

5

0

Magn

itude

(dB)

101 100 10190

45

0

45

90

Phas

e(de

g)

Bandsperre

Frequency (rad/sec)

Q=4

Q=4

Q=0.25

Q=0.25

Abbildung 2.5: Bodediagramme von Bandpass und Bandsperre zweiter Ordnung frverschiedene Gten

2.3 Phasenverzerrungen und Gruppenlaufzeit

Das Phasenverhalten und die davon abhngige Gruppenlaufzeit sind wichtige Kenn-gren von Filtern fr Audioanwendungen. Im folgenden werden die Definitionen vonPhasenverzerrung und Gruppenlaufzeit nach Preis [7] wiedergegeben.

Ein ideales verzerrungsfreies System besitzt die Impulsantwort:

h(t) = K(t T ) (2.12)

Es skaliert das Eingangssignal mit dem konstanten Faktor K und verzgert es um T .Der Frequenzgang eines solchen Systems lautet:

H() = KejT (2.13)

Die Verzgerung im Zeitbereich um T fhrt zu einer Multiplikation des Spektrums mitejT . Der Frequenzgang des idealen verzerrungsfreien Systems besteht aus einem kon-stanten Amplitudengang |H()| = K und einem linearen, Frequenz-proportionalenPhasengang () = T. Lineare Verzerrungen treten auf, wenn der Amplituden-gang nicht konstant ist ( Dmpfungsverzerrungen ) , sowie wenn der Phasengang keinelineare Funktion von ist ( Laufzeitverzerrungen ).[8]

Die Gruppenlaufzeit tG ist die negative Ableitung des Phasengangs () nach derFrequenz:

tG() = dd

(2.14)

13

Fr ein ideales Verzgerungssystem ist die Gruppenlaufzeit konstant. Die Gruppen-laufzeit ist ein Ma dafr, wie lange ein Filter bei einer bestimmten Frequenz nach-schwingt. Eine negative Gruppenlaufzeit verletzt nicht das Kausalittsprinzip.[6]

Der Verlauf der Gruppenlaufzeit ber die Frequenz wird bei analogen Filtern mittelsder normierten Gruppenlaufzeit TG beschrieben:[3]

TG = tG fD = tG D2pi

(2.15)

TG = 12pi dd

(2.16)

In Gleichung 2.15 wird die Gruppenlaufzeit dabei auf die Periodendauer TD der Ein-satzfrequenz fD normiert. Fr TD gilt:

1

TD= fD =

D2pi

Mit Hilfe von Plots der normierten Gruppenlaufzeit TG lsst sich der Verlauf derGruppenlaufzeit tG fr eine beliebige Einsatzfrequenz D eines Filters abschtzen.Dazu muss der Plot denormiert werden, das heit die Y-Achse wird mit 2pi

D, und die

X-Achse mit D skaliert.

101 100 10150

40

30

20

10

0

10

Betra

g [dB

]

Amplitudengang und Gruppenlaufzeit

101 100 1010

1

2

3

4

5

Norm

ierte

Grup

penla

ufzeit

T G= t

G D

/ 2

Normierte Frequenz = / D

Q=1.414Q=0.707

Q=0.25Q=4

Q=8

Q=0.25Q=0.707

Q=4Q=8

Q=1.414

Abbildung 2.6: Amplitudengang und Gruppenlaufzeit Bandpass zweiter Ordnung

Abbildung 2.6 zeigt die normierte Gruppenlaufzeit TG sowie den Amplitudengangeines Bandpassfilters zweiter Ordnung fr variable Gten. Aus dem Plot kann manentnehmen, dass die Gruppenlaufzeit eines Bandpassfilters zweiter Ordnung, mit der

14

Mittenfrequenz fD = 1 kHz und einer Gte Q = 8 ein schmalbandiges Maximum vonknapp 5ms besitzt. Fr diesen Frequenzbereich ist das ein hoher Wert, der deutlichber den in der Literatur [7] angegebenen Perzeptionsschwellen liegt. Diese bewegensich fr mittlere und hohe Frequenzen je nach Messverfahren und Programmmaterialzwischen 0,5ms und 2ms, fr tiefe Frequenzen zwischen 3ms und 5ms.

2.4 Standard-Approximationen

Die sogenannten Standard-Approximationen sind Verfahren zur Gewinnung der Ko-effizienten von Tiefpassfiltern. Die Standard-Approximationen sind nur fr Tiefpssedefiniert; dank der Filtertransformationen kann aber ein mittels der Standard-Ap-proximationen entworfenes Tiefpassfilter in ein Filter beliebiger Charakteristik umge-rechnet werden.

In den folgenden Abschnitten werden die Standard-Approximationen Butterworth,Bessel, Tschebyscheff beschrieben.

2.4.1 Butterworth-Approximation

Die Butterworth-Approximation fhrt zu einem monoton fallenden Betragsfrequenz-gang, der bis zum Ende des Durchgangsbereich D mglichst flach verluft. Mathema-tisch fhrt dies zu der Forderung, wonach der Nenner der Betragsquadrat-Funktion

|H(j)|2 = 11 + k22 + k44 + . . .+ k2n

(2.17)

nur von der hchsten vorkommenden Potenz von abhngen soll:[3]

|H(j)|2 = 11 + k2n

(2.18)

Der Betrag des Nenners steigt somit fr 0 < < 1 mglichst langsam und derBetragsfrequenzgang verluft mglichst flach bis der Term k2n betragsmig gleicheins ist. Mit dem Faktor k kann man festlegen, wie gro die Dmpfung bei = 1 seinsoll. Zur Bestimmung von k wird = 1 gesetzt:

|H(j)|2=1

=1

1 + k(2.19)

Fr eine Betragsdmpfung von 3 dB bei = D beziehungsweise = 1 folgt k = 1.Zur Ermittlung der Polstellen wird nun die Variable j durch S ersetzt.

15

Die 2n Polstellen von |H(S)|2 liegen gleichmig verteilt auf einem Kreis in der s-Ebene mit dem Radius 2n

1k:

S1...2n =2n

1

k 2n1 (2.20)

Von diesen Polstellen ordnet man n in der linken Halbebene befindliche PolstellenH(S) zu.[10] Aus den Polstellen lassen sich mit Gleichung 2.5 die Polkenngren Pund QP bestimmen. Fr Tiefpassfilter zweiter und dritter Ordnung sind die Poldatender Butterworth-Approximation in Tabelle 2.1 dargestellt. Mit der Matlab-Funktionbutter lassen sich die Koeffizienten eines zeitkontinuierlichen Butterworth-Filters freine gegebene Ordnung und 3 dB-Grenzfrequenz bestimmen.

Ordnung konj.-kompl.-Polpaar reeller Pol2 P = 1 QP = 0, 707 -3 P = 1 QP = 1 P = 1

Tabelle 2.1: Poldaten des Butterworth-Tiefpasses, normiert auf 3 dB-Grenzfrequenz

In Abbildung 2.7 rechts sind Amplitudengang und Gruppenlaufzeit von Butterwoth-Tiefpssen zweiter bis zehnter Ordnung dargestellt.

101 100 10150

40

30

20

10

0

10

Betra

g[dB

]

Bessel, normiert auf Grenzfrequenz der konstanten Gruppenlaufzeit

101 100 1010

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Norm

ierte

Grup

penla

ufzeit

T G=t

G D

/2

Normierte Frequenz = / D

n=2

n=10

n=10

n=2

101 100 10150

40

30

20

10

0

10

Betra

g[dB

]

Butterworth, normiert auf 3dB Grenzfrequenz

101 100 1010

0.51

1.52

2.53

3.54

Norm

ierte

Grup

penla

ufzeit

T G=t

G D

/2

Normierte Frequenz = / D

n=2

n=10

n=10

n=2

Abbildung 2.7: Frequenzverhalten von Bessel- und Butterworth-Approximation

16

2.4.2 Bessel-Approximation

Abbildung 2.7 links zeigt Amplitudengang und Gruppenlaufzeit von Bessel-Filternzweiter bis zehnter Ordnung. Wie in der Abbildung ersichtlich fhrt die Bessel-Ap-proximation zu Filtern mit einem maximal flachen Verlauf der Gruppenlaufzeit, beieinem im Vergleich zur Butterworth-Charakteristik weicheren Dmpfungsverlauf imbergangsbereich. Die Plots wurden mit Hilfe der Matlab-Funktion besself erzeugt;die mittels dieser Funktion berechneten Filterkoeffizienten sind so normiert, dass bis = 1 die Gruppenlaufzeit annhernd konstant ist. Fr eine Grenzfrequenz des Am-plitudengangs mssen die Koeffizienten auf eine gewnschte Dmpfung bei = 1normiert werden.

Nach Tietze u. Schenk [3] knnen die Bessel-Koeffizienten bi=1...n fr einen allgemeinenTiefpass der Form

H(S) =1

1 + b1S + b2S2 + . . .+ bnSn(2.21)

mit folgender rekursiven Beziehung berechnet werden:

b1 = 1 bi =2(n i+ 1)i(2n i+ 1) bi1 (2.22)

Die so gewonnenen Koeffizienten mssen aber ebenso fr eine gewnschte Dmpfungbei = 1 umgerechnet werden. In Tabelle 2.2 sind die Poldaten fr Bessel-Tiefpssezweiter und dritter Ordnung aufgefhrt; die Daten sind auf eine 3 dB-Grenzfrequenznormiert.

Ordnung konj.-kompl.-Polpaar reeller Pol2 P = 1, 27 QP = 0, 58 -3 P = 1, 44 QP = 0, 69 P = 1, 32

Tabelle 2.2: Poldaten des Bessel-Tiefpasses, normiert auf 3 dB-Grenzfrequenz

2.4.3 Tschebyscheff-Approximation

Whrend Butterworth- und Bessel-Approximationen einen monoton fallenden Am-plitudengang erzeugen, besitzt der Dmpfungsverlauf von Tschebyscheff-Filtern eineWelligkeit im Durchlassbereich. Die Gruppenlaufzeit besitzt einen ausgeprgten Peakbei = 1. Auf die Berechnung der Koeffizienten von Tschebyscheff-Tiefpssen wirdhier nicht eingegangen. Die Matlab-Funktion cheby1 berechnet die Koeffizienten ei-nes Tschebyscheff-Filters abhngig von der Ordnung und der angegebenen Welligkeitim Durchlassbereich in dB. Tschebyscheff-Tiefpsse werden zumeist nicht auf eine3 dB-Grenzfrequenz normiert, sondern auf die Frequenz, bei der die Dmpfung der

17

Welligkeit entspricht. In den Tabellen 2.3 und 2.4 sind die Poldaten von Tschebys-cheff-Tiefpssen zweiter und dritter Ordnung fr Welligkeiten von 0,5 dB und 1 dBaufgefhrt.

Ordnung konj.-kompl.-Polpaar reeller Pol2 P = 1, 23 QP = 0, 86 -3 P = 1, 07 QP = 1, 06 P = 0, 62

Tabelle 2.3: Poldaten Tschebyscheff-Tiefpass, 0,5 dB Welligkeit

Ordnung konj.-kompl.-Polpaar reeller Pol2 P = 1, 05 QP = 0, 95 -3 P = 1 QP = 2, 02 P = 0, 49

Tabelle 2.4: Poldaten Tschebysche-Tiefpass, 1 dB Welligkeit

In Abbildung 2.8 sind die normierten Amplitudengnge und Gruppenlaufzeiten frTschebyscheff-Filter mit 0,5 dB und 1 dB Welligkeit zu sehen.

101 100 10150

40

30

20

10

0

10

Betra

g [dB

]

Tschebyscheff 0.5dB Welligkeit, n=[2:10]

101 100 1010

5

10

15

Norm

ierte

Grup

penla

ufzeit

T G= t

G D

/ 2

Normierte Frequenz = / D

n=2

n=10

n=2

n=10

101 100 10150

40

30

20

10

0

10

Betra

g[dB

]

Tschebyscheff 1dB Welligkeit, n=[2:10]

101 100 1010

5

10

15

Norm

ierte

Grup

penla

ufzeit

T G=t

G D

/2

Normierte Frequenz = / D

n=10

n=2

n=2

n=10

Abbildung 2.8: Frequenzverhalten Tschebyscheff mit 0.5 und 1 dB Welligkeit

18

2.5 Filterentwurf

Die in Abschnitt 2 beschriebenen Filter zweiter Ordnung besitzen mit den Polkenngr-en P und QP , sowie einem eventuell hinzukommenden konstanten Verstrkungs-faktor A drei Kenngren, die beim Entwurf bestimmt werden mssen. Fr Filterhherer Ordnung steigt die Anzahl der zu bestimmenden Parameter. Um die Komple-xitt beim Entwurf zu reduzieren, werden Filter hherer Ordnung mittels sogenannterTiefpassprototypen entworfen. Das bedeutet, dass unabhngig von dem gewnschtenFiltertyp zuerst ein Tiefpassfilter mit den gewnschten Dmpfungseigenschaften ent-wickelt wird. Mittels der Filtertransformationen wird der entworfene Tiefpassprototypdann in ein Filter mit gewnschter Charakteristik umgesetzt.

2.5.1 Toleranzschema

Der erste Schritt beim Filterentwurf ist das Festlegen der Anforderungen an das zuentwerfende Filter. Diese werden im sogenannten Toleranzschema formuliert. Das To-leranzschema beschreibt den zulssigen Bereich des Amplitudenganges eines normier-ten Tiefpassfilters. Dazu wird der Frequenzgang des Filters in drei Arbeitsbereicheunterteilt (siehe Abbildung 2.9):

Im Durchlassbereich soll das Nutzsignal mglichst nicht beeintrchtigt werden;es wird die maximal erlaubte Welligkeit des Amplitudengangs angegeben. DasVerhltnis AD,min

AD,maxlegt die Breite des Toleranzbereiches im Durchlassbereich fest.

AD ist hierbei die Grundverstrkung des Filters.

Der bergangsbereich beginnt bei = 1 und endet bei = S. In diesemBereich soll die Dmpfung des Filters bis auf die im Sperrbereich angegebeneMindestdmpfung anwachsen.

Bei Beginn des Sperrbereiches bei S wird die Mindestdmpfung des Filtersspezifiziert. Sie wird mit dem Quotient AS,max

AD,maxangegeben.[10]

Bei Tiefpssen werden Frequenzbezogene Anforderungen durch die Anwendung derNormierungsvorschrift aus Gleichung 1.1 in das Toleranzschema berfhrt. Fr denBeginn des Sperrbereiches ergibt sich also:

S =SD

Fr die berfhrung eines Hochpassfilters in ein normiertes Tiefpassfilter gilt allge-mein

=D

(2.23)

19

Abbildung 2.9: Toleranzschema 1

Diese Vorschrift entspricht, neben einer Skalierung der Frequenzachse durch die Nor-mierung, einer Spiegelung des Amplitudengangs an der Einsatzfrequenz D. Somitgilt, wenn ein Hochpassfilter entworfen werden soll:

S =DS

Anhand der im Toleranzschema formulierten Anforderungen kann nun eine geeigneteFilter-Approximation gewhlt werden. Mit Hilfe von Tabellen der Filterkoeffizientenoder der Poldaten kann nun die bertragungsfunktion des entworfenen Tiefpassfiltersaufgestellt werden

2.5.2 Entwurf mittels Tabellen

Je nachdem, in welcher Form die Entwurfstabellen aufbereitet sind, mssen die Ta-bellendaten in die passende Form der allgemeinen Tiefpassbertragungsfunktion ein-gesetzt werden.

Im Tietze u. Schenk [3] werden die Filterdaten als Koeffizienten i und i einesTiefpassfilters der Form

H(S) = A0 i

1

1 + iS + iS2

dargestellt. Bei ungerader Filterordnung ist b1 null.

1Grafik entnommen aus [10]

20

In dieser Arbeit werden die Filterdaten durch die normierte Polfrequenz P unddie Polgte QP ausgedrckt. Diese Darstellung wurde von v.Wangenheim [10]bernommen. Die zugehrige bertragungsfunktion lautet:

H(S) = A0 11 +

S

P,R

i

1

1 +S

P,iQP,i+

S2

P,i2

(2.24)

Dabei ist P,R die Polfrequenz des bei ungerader Filterordnung auftretendenreellen Pols. Bei gerader Filterordnung fllt der Term 1

1+S/P,Rweg.

Die normierte bertragungsfunktion des entworfenen Tiefpassprototypen kann nunmit Gleichung 2.1 denormiert, oder mit Gleichung 2.23 in ein Hochpassfilter transfor-miert werden.

2.5.3 Entwurfsbeispiel

In diesem Abschnitt wird als Beispiel zum Filterentwurf ein Tiefpassprototyp ent-wickelt. Das Filter soll eine Dmpfung von 0,5 dB bei der Einsatzfrequenz, also bei = 1, besitzen. Das Filter wird je einmal als Bessel-, Butterworth- und Tschebys-cheff-Tiefpass ausgelegt, sodass die verschiedenen Charakteristiken verglichen werdenknnen.

Die in den Tabellen 2.1 und 2.2 angegebenen Poldaten fr Butterworth- und Bessel-Tiefpass dritter Ordnung sind auf eine 3 dB-Dmpfung bei D normiert. Daher mssendie Filterdaten fr die hier geforderte Dmpfung bei D neu berechnet werden.

Ermittlung der Bessel-Koeffizienten

Mittels der Rekursionsformel aus Gleichung 2.22 werden die Koeffizienten eines Bessel-Tiefpasses dritter Ordnung gewonnen. Es ergibt sich folgende, unskalierte bertra-gungsfunktion:

H(j) =1

1 + j + 410

(j)2 + 8120

(j)3

Um die gewnschte Dmpfung bei = 1 zu erhalten, muss skaliert werden. ZurErmittlung des Skalierungsfaktors wird die Betragsquadratfunktion |H(j)|2 mit dergewnschten Leistungsdmfung bei = 1 gleichgesetzt:

|H(j)|2 = 1(1 4

102)

2+ ( 8

1203)

2 = 100,510

Die Lsungen dieser Gleichung wurden mit Matlab ermittelt. Als Skalierungsfaktorist nur die positiv-reelle Lsung

= 0, 752

21

sinnvoll. Die Frequenzvariable muss mit 0,752 skaliert werden, damit die Dmpfungbei = 1 0,5 dB betrgt. In die bertragungsfunktion eingesetzt ergibt dies:

H(j 0, 752) = 11 + 0, 752j + 0, 225(j)2 + 0, 028(j)3

Aus dem Nennerpolynom wurden die Poldaten des entworfenen Besselfilters berech-net:

Typ konj.-kompl.-Polpaar reeller PolBessel P = 3, 39 QP = 0, 68 P = 3, 18

Ermittlung der Butterworth-Poldaten

Zur Ermittlung der Butterworth-Poldaten wird die Betragsquadratfunktion des But-terworth-Tiefpasses aus Gleichung 2.18 bei = 1 ausgewertet und mit der gewnsch-ten Leistungsdmpfung gleichgesetzt:

|H(j)|2=1

=1

1 + k= 10

0,510

k = 0, 122Mit Gleichung 2.20 lsst sich der Betrag der Polstellen ermitteln:

|S1...n| = 2n

1

kMit Gl. 2.5 folgt P,1...n =

2n

1

k= 1, 42

Bei der Normierung des Butterworth-Filters auf die geforderte Dmpfung wird derWinkel der Polstellen, abhngig vom Term 2n

1 in Gleichung 2.20, nicht verndert.Somit bleibt auch die Polgte des konjugiert-komplexen Polpaares unverndert undkann aus Tabelle 2.1 bernommen werden. Die Poldaten des neu normierten Butter-worth-Filters sind:

Typ konj.-kompl.-Polpaar reeller PolButterworth P = 1, 42 QP = 1 P = 1, 42

Vergleich der Filtercharakteristiken

Die Poldaten des Tschebyscheff-Filters knnen aus Tabelle 2.3 bernommen werden,da der Tschebyscheff-Tiefpass mit 0,5 dB Welligkeit schon auf eine 0,5 dB-Dmpfungbei der Durchlassgrenze normiert ist.

22

Abbildung 2.10 stellt den Frequenzgang sowie die normierte Gruppenlaufzeit der ent-worfenen Filter dar. Alle drei Filter sind auf die gleiche Dmpfung bei = 1 normiert,wie die Detailansicht des Amplitudengangs zeigt. In der Grobansicht des Amplituden-ganges ist zu erkennen, dass die Dmpfung des Tschebyscheff-Filters bei bedeutendniedrigeren Frequenzen als die des Bessel-Filters einsetzt. Die normierte Gruppen-laufzeit des Tschebyscheff-Filters zeigt einen schmalen Peak bei = 1. Fr eineEinsatzfrequenz des Filters bei D = 20 kHz wrde der Zahlenwert dieses Peaks aberim 10s-Bereich liegen, was sicher unterhalb der Perzeptionsschwelle liegt.[7]

101 100 10160

40

20

0

Betra

g in [

dB]

Amplitudengang

101 100 1014

2

0

Betra

g in [

dB]

Amplitudengang (Detail)

101 100 101250200150100

500

Phas

e in G

rad

Normierte Frequenz =/D

Phasengang

101 100 1010

0.5

1

=/D

Normierte Gruppenlaufzeit TG

BesselButterworth

BesselButterworth

BesselButterworthBessel

Tschebyscheff

Tschebyscheff

Tschebyscheff

Butterworth

Tschebyscheff

Abbildung 2.10: Vergleich der entworfenen Filter

23

3 Equalizer-Grundstrukturen

In diesem Abschnitt werden zwei Equalizer-Schaltungstypen diskutiert. Beide Schal-tungen enthalten als Hauptbestandteil einen Filter-Funktionsblock, der die Charakte-ristik des Equalizers festlegt. Je nach verwendetem Filtertyp arbeiten die Schaltungenals Shelvingfilter oder als Peakfilter. Neben Equalizerschaltungen mit eingebettetenFiltern zur Erzeugung des gewnschten Frequenzganges gibt es eine zweite Gruppevon Equalizerschaltungen, deren Frequenzabhngigkeit mit komplexen Impedanzenwie zum Beispiel Serienschwingkreisen erzeugt wird. Equalizer dieser Art werden hiernicht behandelt.

Die Equalizerschaltungen werden auf die Charakteristik ihrer Anhebungs- und Absen-kungskennlinien hin untersucht. Dazu wird mit beiden Schaltungen jeweils ein Peak-filter entworfen und simuliert. Die Schaltungstopologie der in den Equalizerstrukturenenthaltenen Filter wird dabei offen gelassen; in der Simulation werden die Filter mitLaplace-Funktionsblcken modelliert. Eine Filterschaltung, welche besonders fr denEinsatz in Equalizerschaltungen geeignet ist und mit der sich ein voll parametrischesPeakfilter realisieren lsst, wird in Abschnitt 4.3.3 vorgestellt.

3.1 EQ-Charakteristiken

Vor der Diskussion der Schaltungen werden im folgenden drei Eigenschaften von Equa-lizern erlutert, welche vor allem fr Peakfilter relevant sind. Diese Eigenschaftenwerden hier nach Bohn [2] wiedergegeben.

Symmetrie der Kennlinien

Ein Equalizer besitzt symmetrische Kennlinien, wenn die Amplitudengnge von An-hebung und Absenkung symmetrisch zur 0 dB-Linie verlaufen. Diese Achsensymme-trie in der logarithmischen Darstellung wird dann erreicht, wenn die bertragungs-funktion des Equalizers bei Anhebungen reziprok zu der bertragungsfunktion beiAbsenkungen ist. Es wird sich zeigen, dass beide vorgestellten Equalizerschaltungensymmetrische Kennlinien besitzen, da die Dmpfungsfunktion durch eine Rckkop-plungsschaltung realisiert wird. Wird die Absenkungsfunktion von Equalizern durch

24

eine Subtraktion der unerwnschten Signalanteile ausgefhrt, ergeben sich unsym-metrische Kennlinien; die Absenkungen sind in diesem Fall schmalbandiger als dieAnhebungen.

Proportional-Q-Charakteristik

Peakfilter mit Proportional-Q-Charakteristik besitzen die Eigenschaft, dass sich beigeringen Anhebungen oder Absenkungen die Glocke der Filterkurve ber ein breitesFrequenzband erstreckt, jedoch fr steigende Anhebungen oder Absenkungen immerschmaler wird. Mathematisch gesehen steigt die Gte des Peakfilters mit dem Betragvon Anhebung oder Absenkung.

Constant-Q-Charakteristik

Eine Proportional-Q-Charakteristik ist bei Peakfiltern nicht immer gnstig: In einemgraphischen Equalizer fhrt die Verwendung von Proportional-Q-Peakfiltern dazu,dass sich zwei benachbarte Bnder nur fr eine bestimmte Hhe der Anhebung per-fekt ergnzen, da sich die 3 dB-Grenzfrequenzen oberhalb und unterhalb der Center-frequenz mit der Hhe der Anhebung verschieben. Um einen graphischen Equalizer soauszulegen, dass die Filterkurve die Faderstellung graphisch wiedergibt, mssen die3 dB-Grenzfrequenzen der Peakfilter unabhngig von gewhlten Anhebung sein. Diesist der Fall bei Peakfiltern mit Constant-Q-Charakteristik. Abbildung 3.1 verdeutlichtdie Verhltnisse bei Peakfiltern mit Proportional- und Constant-Q-Charakteristik.

101 100 1010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Magn

itude

(dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

(a) Constant-Q

101 100 1010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Magn

itude

(dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

(b) Proportional-Q

Abbildung 3.1: Equalizer-Charakteristiken

25

3.2 Equalizer mit invertierendem Verstrker

Die erste behandelte Equalizerschaltung besteht aus einem als invertierenden Ver-strker beschalteten OPV, einem Potentiometer mit linearer Kennlinie und einemFilter-Funktionsblock. In Abbildung 3.2 ist die Schaltungsstruktur nach Self [9] dar-gestellt.

+-

R

R

H ( s )

u _ e u _ a

l in e a r p o t

Abbildung 3.2: Equalizerschaltung mit invertierendem Verstrker

Mit dem Potentiometer wird zwischen dem Eingangssignal und dem Ausgangssignalbergeblendet; diese Mischung durchluft das Filter H(s) und wird zum Eingangssi-gnal hinzu addiert. Mit dem Potentiometer wird gleichsam zwischen einer Vorwrts-kopplung und einer Rckkopplung bergeblendet. Mathematisch lsst sich das wiefolgt formulieren: Wenn die Stellung des Potentiometers in den Grenzen [0, 1] ist,gilt fr die die bertragungsfunktion G(s) des Equalizers:

G(s) =1 + 2H(s)

1 + (1 ) 2H(s) = 1 2H(s)

1 (1 ) 2H(s) (3.1)

Der auftretende Faktor zwei ergibt sich daraus, dass der OPV, vom positiven Eingangaus gesehen, einen nicht invertierenden Verstrker darstellt.

Das Filternetzwerk H(s) kann invertierend oder nicht invertierend ausgelegt sein. Frein nicht invertierendes Filter gilt zu beachten, dass je nach Grundverstrkung desFilters, und der Potentiometerstellung, der Nenner von G(s) zu null wird, und somit

26

die Schaltung instabil werden kann. Die Grundverstrkung eines nicht invertierendenFilters muss kleiner als 0,5 gewhlt werden, damit die Schaltung stabil bleibt.

Im folgenden wird davon ausgegangen, dass die Equalizerstruktur mit einem invertie-renden Bandpassfilter bestckt wird.

Auslegung als Peakfilter

Die Equalizerschaltung arbeitet als Peakfilter, wenn H(s) ein Bandpassfilter darstellt.Es wird nun fr H(s) das Bandpassfilter zweiter Ordnung aus Gleichung 2.10 ge-whlt:

H(s) = HBP(s)Eingesetzt in Gleichung 3.1 folgt fr die bertragungsfunktion des Peakfilters:

G(s) = 1 + 2HBP(s)1 + (1 ) 2HBP(s)

Mit der Grundverstrkung AM des Bandpassfilters lsst sich nun die maximal mg-liche Anhebung und Absenkung des Peakfilters einstellen. Da die Verstrkung desBandpassfilters bei der Mittenfrequenz der Grundverstrkung entspricht, gilt fr denBetragsfrequenzgang des Peakfilters bei der Mittenfrequenz:

|G(s)|s=jp

= 1 + 2AM1 + (1 ) AM

Fr die beiden Endpositionen des Potentiometers bei = 1 und = 0 ergibt sich:

|G(s)|s=jp

= 1 + 2AM beziehungsweise |G(s)|s=jp

=1

1 + 2AM

An dieser Stelle wird die Reziprozitt der bertragungsfunktionen fr Anhebung undAbsenkung deutlich, die zu symmetrischen EQ-Kennlinien fhrt.

Die maximale Anhebung / Absenkung soll nun 15 dB betragen; der Verstrkungsfak-tor des Peakfilters bei der Mittenfrequenz muss also

G(s)|s=jp

= 1 + 2AM = 1015/20 = 5, 623

betragen. Fr die Grundverstrkung des eingebetteten Bandpassfilters ergibt sich derWert AM = 2, 31.

27

Nach dem Einsetzen von Gleichung 2.10 in Gleichung 3.1 lautet Die bertragungs-funktion des mit dieser Equalizerschaltung gebildeten Peakfilters:

G(s) =

1 +s

PQP[1 + 2AM ] +

s2

2P

1 +s

PQP[1 + 2(1 )AM ] +

s2

2P

mit =

1 max. Anhebung0, 5 Neutralstellung0 max. Absenkung

(3.2)

Simulation des Peakfilters

Durch eine Simulation des Peakfilters wird die Frage geklrt, ob die Equalizerschal-tung aus Abbildung 3.2 Proportional- oder Constant-Q Eigenschaften aufweist undob die Anhebung in dB linear zur Potentiometerstellung erfolgt.

Die simulierte Schaltung ist in Abbildung 3.3 dargestellt. OPV und Bandpassfil-ter wurden in der Simulation durch Laplace-bertragungsfunktionen modelliert. Frden OPV wurde dabei ein Einpol-Modell gewhlt, mit einer Leerlaufverstrkung von100 dB und einer 3 dB-Grenzfrequenz der Differenzverstrkung im 10Hz-Bereich. DasBandpassfilter besitzt die Polgte QP = 2 und die Grundverstrkung AM = 2, 5.

Das Potentiometer wurde mit zwei Widerstnden, deren Wert als Funktion des Pa-rameters R ausgedrckt wurde, modelliert. Es wurde eine AC-Analyse der Schaltungmit einem linearen Parametersweep fr R durchgefhrt.

Die simulierten Frequenzgnge des Peakfilters sind in Abbildung 3.4 dargestellt. Esist zu erkennen, dass der EQ eine Proportional-Q-Charakteristik besitzt und dass dieAnhebung in dB nahezu linear zur Potentiometerstellung verluft.

28

{10000-R}

R3

5k

R1

Freq scale=100LAP1

100000/(s+1)

Freq scale=5kLAP3

-2.5*(0.5*s)/(1+0.5*s+s^2)

5k

R2

AC 1 0V1

dB

{R}

R4

Abbildung 3.3: Simulierte Equalizerschaltung

Frequency / Hertz

10 20 40 100 200 400 1k 2k 4k 10k 20k 40k 100k

2

4

6

8

10

12

14

R=100R=644

R=1.18kR=1.73k

R=2.27kR=2.82k

R=3.36kR=3.91k

R=4.45kdB R=5k

Abbildung 3.4: Simulierte Kennlinien des Peakfilters

29

3.3 Equalizer mit zwei Summierverstrkern

Die zweite hier behandelte Equalizerschaltung wurde von Bohn [2] als Schaltung frgrafische Equalizer vorgestellt und besitzt Constant-Q-Charakteristik. Die Schaltungist in Abbildung 3.5 dargestellt. Als Besonderheit weist die Schaltung ein Potentio-meter mit geerdetem Mittelabgriff auf.

hnlich der zuvor behandelten Schaltung wird das gefilterte Signal variabel vor- oderrckgekoppelt. Bei der 2-Summierer-Schaltung wird aber nicht stufenlos zwischenVorwrtskopplung und Rckkopplung bergeblendet. Der geerdete Mittelabgriff desPotentiometers bewirkt, dass das gefilterte Signal entweder vor- oder rckgekoppeltwird.

+-

R

R

+-

R

R

H ( s )

u _ e u _ a

p o t w it h g r o u n d e d c e n t e r t a p

R _ a

b o o s tc u t

Abbildung 3.5: Equalizerschaltung mit Summierverstrkern

Mathematisch fhrt dies zu einer Fallunterscheidung zwischen der Anhebungs- undAbsenkungsfunktion des Equalizers. Vor der Aufstellung der bertragungsfunktionder Schaltung wird der Verstrkungsfaktor definiert, mit dem das mitH(s) gefilterteSignal vor- oder rckgekoppelt wird. Dieser Faktor besitzt den Wertebereich [0, R

Ra]:

In der Mittelposition ist weder die Vorwrts- noch die Rckkopplung wirksam, da dasuntere Ende von Ra auf Masse liegt und somit kein Strom in die Summierverstrkerfliet. In den Endpositionen des Potentiometers liegt selbiges nicht mehr im Signalweg

30

und der Stromfluss in einen der Summierverstrker wird nur durch Ra begrenzt.

G(s) =

{1 + H(s) Anhebung, Schleifer rechts der Mittelstellung

11+H(s)

Absenkung, Schleifer links der Mittelstellung(3.3)

Auslegung als Peakfilter

Fr eine Auslegung als Peakfilter muss H(s) eine Bandpass-Charakteristik besitzen.Zur Aufstellung der bertragungsfunktion eines auf Basis der 2-Summierer-Schal-tung aufgebauten Peakfilters wird Gleichung 2.10 in Gleichung 3.3 eingesetzt. NachVereinfachungen ergibt sich:

G(s) =

1+ sPQP

[1+AM ]+s2

2P

1+ sPQP

+ s2

2P

Anhebung

1+ sPQP

+ s2

2P

1+ sPQP

[1+AM ]+s2

2P

Absenkung

(3.4)

Der Term 1 +AM beschreibt den maximalen Verstrkungs- beziehungsweise Dmp-fungsfaktor bei der Mittenfrequenz P des Peakfilters.

Die Unterschiede zwischen der Proportional-Q- und der Constant-Q-Charakteristikwerden in den bertragungsfunktionen 3.4 und 3.2 deutlich: Eine Frequenzanhebungfhrt in beiden Fllen zur Skalierung der Koeffizienten. Bei der Funktion des Propor-tional-Q-Filters werden bei Anhebung und Absenkung Zhler- und Nennerpolynomverndert, wohingegen beim Constant-Q-Filter entweder das Zhlerpolynom oder dasNennerpolynom beeinflusst wird.

Simulation

Die Simulation des Peakfilters besttigte die Constant-Q-Charakteristik der Schal-tung. Allerdings fhrte die Verwendung eines linearen Potentiometers mit geerdetemMittelabgriff nicht zu einer Pegelanhebung proportional zur Potentiometerstellung.Ein interessantes Ergebnis brachte die Simulation mit einem linearen Potentiometerohne Mittelabgriff: Die Kennlinien des Peakfilters zeigten fr geringe AnhebungenProportional-Q-Verhalten, welches in ein Constant-Q-Verhalten bei strkeren Anhe-bungen berging. Das Ergebnis der Simulation ist in Abbildung 3.7 dargestellt, diesimulierte Schaltung in Abbildung 3.6.

31

{10000-R}

R6

1kR5

dB

AC 1 0V1

Freq scale=5kLAP3

(0.5*s)/(1+0.5*s+s^2)

5k

R4

5k

R3

5k

R2

Freq scale=100LAP2

100000/(s+1)

Freq scale=100LAP1

100000/(s+1)

5k

R1

{R}

R7

Abbildung 3.6: Simulierte Equalizerschaltung

Frequency / Hertz

10 20 40 100 200 400 1k 2k 4k 10k 20k 40k 100k-0

2

4

6

8

10

12

14

R=100R=644

R=1.19kR=1.73k

R=2.28kR=2.82k

R=3.37kR=3.91k

R=4.46kR=5k

Abbildung 3.7: Simulierte Anhebungskennlinien

32

4 Aktive Filter fr Audio

4.1 Sallen-Key-Tiefpass

Sallen-Key-Filter sind Schaltungen zur Realisierung von Filtern zweiter Ordnung. Sal-len-Key-Filter werden in der Literatur auch Filter mit Einfachmitkopplung [3], oderauch Voltage Controlled Voltage Source, kurz VCVS -Filter genannt.[12] Grundlageder Sallen-Key-Schaltungen ist ein Verstrkungselement mit positiver Verstrkungv > 1 sowie ein Filternetzwerk mit positiver Rckkopplung. In Abbildung 4.1 istdie Schaltung eines Sallen-Key-Tiefpasses dargestellt.[10] Sallen-Key-Tiefpsse lassensich so auslegen, dass die Grenzfrequenz mit einem Potentiometer durchgestimmt wer-den kann, ohne dass andere Filterparameter mit verndert werden. Sallen-Key-Filterkommen im Audiobereich meist dann zum Einsatz, wenn eine variable Begrenzungdes Audiospektrums verlangt wird.

C 2R 2

C 1

R 1

U _ e U _ av

Abbildung 4.1: Sallen-Key-Tiefpass

Das Verstrkungselement eines Sallen-Key-Tiefpasses muss nicht zwingend ein OPVsein; es knnen stattdessen auch diskrete oder integrierte Buffer-Verstrker, sowie Cur-rent-Feedback-Amplifier zum Einsatz kommen.[3][10] In Abbildung 4.2 ist ein Sallen-Key-Tiefpass mit OPV als Verstrker dargestellt.

Eine wichtige Einschrnkung besteht beim Sallen-Key-Tiefpass darin, dass die rea-le Schaltung ein Tiefpassverhalten nur bis in Frequenzbereiche zeigt, in denen der

33

U _ a

C 2

-+

R 2

C 1

R 1

U _ eR f

R s

Abbildung 4.2: Sallen-Key-Tiefpass mit OPV

Verstrker noch als Verstrker arbeitet. Das ist maximal bis zum Erreichen der Tran-sitfrequenz der Fall. Bereits unterhalb der Transitfrequenz wirkt sich der nicht ver-nachlssigbar kleine Ausgangswiderstand des Verstrkers aus, der mit der Frequenzansteigt und mit C2 einen Hochpass bildet. Dies wirkt der Tiefpasswirkung der Schal-tung entgegen.[4]

U _ a

C 2R 2

C 1

R 1

U _ e

R_aO

L R f

R s

Abbildung 4.3: Ersatzschaltbild fr hohe Frequenzen

Abbildung 4.3 zeigt das Ersatzschaltbild eines Sallen-Key-Tiefpassfilters fr Frequen-zen oberhalb der Transitfrequenz des OPVs.[4] In diesem Frequenzbereich liegt dieSchleifenverstrkung unter eins, sodass vom OPV nur noch der Open-Loop-Ausgangs-widerstand RaOL wirksam ist. Fr hohe Frequenzen bleibt die Dmpfung konstantund nimmt nicht mehr mit 40 dB/Dekade zu. Durch eine Kaskadierung mit einem RC-Tiefpass kann dieser Nachteil ausgeglichen werden. In Anwendungen, die eine guteUnterdrckung hoher Frequenzen erfordern, wie zum Beispiel Anti-Aliasing-Filter,werden Sallen-Key-Tiefpsse zweiter Ordnung nicht eingesetzt.

34

4.1.1 Dimensionierungsgleichungen

Fr die bertragungsfunktion eines Sallen-Key-Tiefpasses gilt nach [3]:

H(s) =v

1 + [C1(R1 +R2) + (1 v)R1C2]s+R1R2C1C2s2 (4.1)

Der Faktor v entspricht der Verstrkung des nicht-invertierenden Verstrkers:

v = 1 +RfRs

.

Durch vorheriges Festlegen von Relationen zwischen den Bauteilwerten ergeben sichSpezialisierungen dieser bertragungsfunktion, die zu einfachen Dimensionierungs-gleichungen fhren. In der Literatur [3][10] werden meist zwei solcher Festlegungenbeschrieben, die zu verschiedenen Dimensionierungen fhren. Bei der ersten Heran-gehensweise wird festgelegt, dass beide Widerstnde und beide Kondensatoren gleichgro sein sollen. Diese Dimensionierung fhrt dazu, dass mit der Verstrkung v die G-te festgelegt wird. Die zweite Mglichkeit liegt in der Vorgabe der Verstrkung v = 1.In diesem Fall wird normalerweise so vorgegangen, dass das Verhltnis der beiden Ka-pazitten gewhlt wird und die Widerstnde davon abhngig berechnet werden. FrAudioanwendungen ist aber oft die Forderung nach gleich groen Widerstnden wich-tig, um Stereopotentiometer zur Einstellung der Grenzfrequenz verwenden zu knnen.Daher wird hier bei der Spezialisierung v = 1 auch R1 = R2 vorgegeben.

Fall 1: R1 = R2 = R , C1 = C2 = C

Im Fall gleich groer Widerstnde und Kondensatoren vereinfacht sich H(s) zu:[3]

H(s) =v

1 +RC[3 v]s+R2C2s2 (4.2)

Nach [10] gelten folgende Dimensionierungsgleichungen, welche sich aus einem Koef-fizientenvergleich mit der allgemeinen bertragungsfunktion eines Tiefpasses zweiterOrdnung aus Gleichung 2.10 ergeben:

QP =1

3 v P =1

RC(4.3)

Mit der Verstrkung v kann also unabhngig von der Polfrequenz die Gte eingestelltwerden. Durch Einsatz eines Doppelpotentiometers fr R1 und R2 kann die Polfre-quenz unabhngig von Gte und Verstrkung variabel gehalten werden. Die Verstr-kung wird durch die Rckkopplungswiderstnde des nicht-invertierenden Verstrkerseingestellt.

Je nher die Verstrkung gegen 3 geht, desto sensibler reagiert die Schaltung aufToleranzen von Rf und Rs. Fr Verstrkungen v = 3 wird die Schaltung instabilund schwingt. Nach v.Wangenheim[10] sind Polgten bis QP = 4 praktikabel, was fr

35

Audioanwendungen ausreichend ist, da die zumeist verwendeten Butterworth- undBessel-Filter deutlich geringere Polgten verlangen.

Fall 2: v = 1 , R1 = R2 = R

Bei einer Verstrkung von v = 1 und gleichen Widerstnden vereinfacht sich diebertragungsfunktion H(s) zu:

H(s) =1

1 + 2RC1s+R2C1C2s2(4.4)

Ein Koeffizientenvergleich mit Gl. 2.10 fhrt auf folgende Beziehungen:1

PQP= 2RC1

1

2P= R2C1C2 (4.5)

Mit Gleichung 4.5 rechts ergibt sich fr die Polfrequenz:

P =1

RC1C2

. (4.6)

Eingesetzt in Gleichung 4.5 links ergibt sich fr die Polgte:

QP =RC1C2

2RC1=

1

2C2C1

(4.7)

Wenn man das Verhltnis der Kapazitten durch den Faktor kC = C2C1 ausdrckt, fhrtdies zu folgenden Dimensionierungsgleichungen fr Fall 2:

QP =1

2

kC P =

1kCRC1

(4.8)

Bei der Dimensionierung legt man mit kC die Gte des Filters fest und ist dann theo-retisch frei in der Wahl von R und C1 zur Erzeugung der passenden ZeitkonstanteRC1 = 1/P

k. In der Praxis wird diese Wahl durch den ntigen Abstand der Ka-

pazittswerte zu parasitren Kapazitten und der maximal mglichen Belastung derVerstrker durch niedrige Impedanzen beschrnkt.

Bei dieser Dimensionierung ist alleine die Polfrequenz abhngig von R; somit lsst sichdie Polfrequenz durch gleichmiges Verndern von R1 = R2 = R durchstimmen, ohnedie Gte zu beeinflussen. Die Verstrkung im Durchlassbereich ist davon unabhngigimmer eins. Rf und Rs werden weggelassen, und der Verstrker als Spannungsfolgerbeschaltet.

Fr ein Butterworth-Filter zweiter Ordnung ergeben sich folgende einfache Formeln:QP = 0, 707 C2C1 = 0, 5 und P =

2

RC1.

Bei dieser Dimensionierung kann es sich als nachteilig erweisen, dass man ein ge-wnschtes Kapazittsverhltnis mit Standardbauteilen nicht einstellen kann, ohnesich die bentigten Werte mit mehreren parallel geschalteten Kondensatoren zusam-mensetzen zu mssen.

36

4.1.2 Dimensionierungsbeispiel und Simulation

In diesem Abschnitt wird ein Tiefpassfilter dritter Ordnung, bestehend aus der Sallen-Key-Schaltung und einem entkoppelten RC-Glied, entwickelt. Bei der Dimensionie-rung des Sallen-Key-Teils der Schaltung wird nach beiden Verfahren aus Abschnitt4.1.1 vorgegangen. Es ergeben sich somit zwei verschiedene Dimensionierungen, diesimuliert und verglichen werden. Abbildung 4.4 zeigt die zu dimensionierende Schal-tung. Das Filter soll eine Butterworth-Charakteristik und eine Dmpfung von 0,5 dBbei 20 kHz besitzen.

U _ a-+

-+

U _ e

R 5

C 5

R 3C 3

R 4

C 4 R 1

R 2

Abbildung 4.4: Zu dimensionierende Schaltung

Poldaten

Bei der Ermittlung der Poldaten wird auf das in Abschnitt 2.5.3 entwickelte Butter-worth-Filter zurckgegriffen, dessen Dmpfung auf 0,5 dB bei = 1 normiert wurde.Die Poldaten des Prototyps sind:

Ein reeller Pol bei P = 1, 42 Ein konjugiert-komplexes Polpaar mit der Polfrequenz P = 1.42 und der Pol-

gte QP = 1.

Die bertragungsfunktion des Filterprototyps lautet:

H(S) =1

1 +S

1, 42

11 +

S

1, 42+

S2

1, 422

(4.9)

37

Die bertragungsfunktion wird denormiert, indem S durch s/D ersetzt wird. Diebertragungsfunktion, die das Filter implementieren soll, lautet:

H(s) =1

1 +s

D1, 42

11 +

s

D1, 42+

s2

2D1, 422

(4.10)

Wobei die Teilfunktion erster Ordnung durch den RC-Tiefpass und die Teilfunktionzweiter Ordnung durch das Sallen-Key-Filter realisiert wird. Die 3 dB-Grenzfrequenzdes Filters liegt bei P

2pi= DP

2pi= 20 kHz 1, 42 = 28, 4 kHz, da bei Butterworth-

Filtern die Polfrequenz immer der 3 dB-Grenzfrequenz entspricht.

Dimensionierung des RC-Filters

Das Filter besitzt einen Pol bei

P1 = P1 D = 1, 42 2pi 20000 rad/s = 178442 rad/sFr die Zeitkonstante R5C5 folgt:

R5C5 =1

P1= 5, 604 106 s

Diese Zeitkonstante lsst sich praktikabel mit Widerstnden im k- und Konden-satoren im nF-Bereich realisieren. Fr den Kondensator wird mit C5 = 4, 7 nF einWert aus der E6-Serie gewhlt. Rechnerisch muss der Wert des Widerstandes 1192 betragen, gewhlt wird R5 = 1, 2 k.

Dimensionierung des Sallen-Key-Filters nach Fall 1

Da die Polfrequenz des konjugiert-komplexen Polpaares gleich der Polfrequenz desRC-Tiefpasses ist, bietet sich eine Dimensionierung des Sallen-Key-Teils der Schal-tung nach Fall 1 ( gleiche Widerstnde und gleiche Kondensatoren ) an: Die Wertevon R5 und C5 knnen fr R3, R4 beziehungsweise C3, C4 bernommen werden. AusQP = 1 folgt, dass die Verstrkung = 2 betragen muss. Damit mssen R1, R2 gleichgro sein. Abbildung 4.5 zeigt das dimensionierte Filter.

Dimensionierung des Sallen-Key-Filters nach Fall 2

Aus der Forderung nach QP = 1 folgt mit Gl. 4.8, dass das Verhltnis der Konden-satoren kC = 4 betragen muss. Nun wird Gl. 4.8 rechts nach der Zeitkonstante RC1umgeformt:

RC1 =1

P23kC

=1

2 P23 = 2, 802 106 s

Mit C2 = 6, 8 nF und C1 = 1, 5 nF wird kC etwas grer als gefordert; QP betrgtmit diesen gewhlten Werten 1,06, was sich in der Simulation als gengend genau

38

dB

AC 1 0V3

C54.7n

C44.7n

C34.7n

1.2k

R3

4.7kR2

15V1

U2NE5534

VSn C1C2

VSpINpINn

U1NE5534

VSn C1C2

VSpINpINn

C1

22p

C2

22p

15V2

4.7kR1

1.2k

R4

1.2k

R5

Abbildung 4.5: Dimensionierung nach Fall 1

erweisen wird. Rechnerisch ergibt sich fr R3, R4 ein Wert von 1868 , gewhlt wirdR3,4 = 1, 8 k. Der Verstrker wird als Spannungsfolger beschaltet und R1, R2 fallenweg. Die Dimensionierung ist in Abbildung 4.6 dargestellt. R5 = 1, 8 k wurde neugewhlt und der entsprechende Wert fr C5 berechnet.

dB

AC 1 0V3 C5

3.3n

C41.5n

C36.8n

1.8k

R3

15V1

U2NE5534

VSn C1C2

VSpINpINn

U1NE5534

VSn C1C2

VSpINpINn

C1

22p

C2

22p

15V2

1.8k

R4

1.8k

R5

Abbildung 4.6: Dimensionierung nach Fall 2

Simulation

Beide Dimensionierungsvarianten wurden in der Simulation daraufhin untersucht, wiegenau sie die vorgegebene bertragungsfunktion umsetzen. Dafr wurde mit dem

39

SPICE-Programm Simetrix eine AC-Analyse durchgefhrt. Desweiteren wurden mit-tels Monte-Carlo-Analysen die Empfindlichkeiten der Dimensionierungen auf Bauteil-toleranzen untersucht. Zudem wurde das Rauschen der Schaltungen berechnet. Frdas Verstrkermodell wurde das Modell eines NE5534 aus der Bibliothek des Simu-lators gewhlt. Dieser nicht frequenzgangkompensierte OPV wird standardmig mit22 pF kompensiert.

Ergebnisse

Zuerst wurde der Frequenzgang der ersten Dimensionierung simuliert. Der darausresultierende Plot ist in Abbildung 4.7 zu sehen. Er zeigt den simulierten Amplitu-dengang. Die 3 dB-Grenzfrequenz von 28,2 kHz liegt sehr nahe am theoretischen WertP/2pi = 28, 4 kHz. Im Plot ist ein nicht idealer Verlauf der Filterkurve ab dem Be-reich ber 400 kHz zu sehen; dort bleibt die Dmpfung fr eine Dekade konstant,was auf die begrenzte Bandbreite des Verstrkers im Sallen-Key-Teil der Schaltungzurckzufhren ist.

Frequency / Hertz

100 200 400 1k 2k 4k 10k 20k 40k 100k 400k 1M 2M 4M 10M

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-3dB-3.036115

6.02012952.9840148

28.11002k100.00000 28.21002k

A

Abbildung 4.7: Simulierter Amplitudengang Dimensionierung 1

Abbildung 4.8 zeigt die Ergebnisse von zwei Monte-Carlo-Analysen. Beim erstenDurchlauf wurde die Toleranz aller Kapazitten auf 20% gesetzt, beim zweiten auf5%. Die Widerstandstoleranzen wurden bei beiden Durchlufen auf 1% gesetzt. Es istersichtlich, dass bei dieser Dimensionierung Kondensatoren mit geringer Toleranz be-ntigt werden, falls es zu keiner Resonanzberhhung im Bereich der Grenzfrequenzkommen darf.

Die AC-Analyse von Dimensionierung 2 zeigte bis auf den vernderten Verstrkungs-faktor keine Unterschiede im Amplitudengang. Die Monte-Carlo-Analyse zeigte aber,

40

Frequency / Hertz

5k 10k 20k 50k 90k-14-12-10

-8-6-4-202468

10

Bauteiltoleranzen: R:0.01 C:0.2Bauteiltoleranzen: R:0.01 C:0.05

Abbildung 4.8: Monte-Carlo-Analyse Dimensionierung 1

dass Dimensionierung 2 weniger sensibel auf Bauteiltoleranzen reagiert als Dimen-sionierung 1. Abbildung 4.9 stellt die Plots der Monte-Carlo-Analysen von Dimen-sionierung 2 dar, die mit identischen Einstellungen fr die Bauteiltoleranzen wie beiDimensionierung 1 durchgefhrt wurden. Bei 20% Kapazittstoleranz weist Dimen-sionierung 2 mit hherer Wahrscheinlichkeit den gewnschten Amplitudengang auf.

Das fr eine Rauschbandbreite von 20 kHz simulierte Rauschen lag fr Dimensio-nierung 1 bei 5, 231V= 103, 4 dBu und fr Dimensionierung 2 bei 2, 454V= 110 dBu. Dieser Unterschied lsst sich auf denWegfall vonRf undRs bei Fall 2 zurck-fhren. Diese Widerstnde tragen in Fall 1 nicht nur durch ihr thermisches Rauschenzum Rauschen der gesamten Schaltung bei; der Rauschstrom des Verstrkers wirddurch Rf in eine Rauschspannung umgesetzt, welche den Rauschpegel erhht.

Frequency / Hertz

5k 10k 20k 50k 90k-14-12-10

-8-6-4-202468

10

Bauteiltoleranzen: R:0.01 C:0.2Bauteiltoleranzen: R:0.01 C:0.05

Abbildung 4.9: Monte-Carlo-Analyse Dimensionierung 2

41

4.2 Multiple-Feedback-Tiefpass

Multiple-Feedback-Filter, auch Filter mit Mehrfachgegenkopplung [3] oder Filter mitzweifach-Gegenkopplung [10] genannt, basieren auf einem invertierenden Verstrkermit einem frequenzabhngigen Rckkopplungsnetzwerk, das ber zwei Wege mit demVerstrkerausgang verbunden ist. MFB-Filter invertieren das Signal zustzlich zu ih-rer Filterwirkung. Im Unterschied zu Sallen-Key-Filtern geht bei MFB-Filtern diefrequenzabhngige Differenzverstrkung AD(s) des OPVs in die bertragungsfunk-tion mit ein. Fr hohe Frequenzen sorgt der Rckgang von AD fr Abweichungenvom gewnschten Verhalten des Filters. Anders als beim Sallen-Key-Tiefpass fhrtbeim MFB-Tiefpass das nicht ideale Verhalten des Verstrkers nicht zum Verlust derTiefpass-Charakteristik. Dies ist auch anhand des in Abbildung 4.10 dargestelltenSchaltbildes des MFB-Tiefpasses zu erkennen: Der aus R1 und C2 gebildete Tief-pass erster Ordnung bleibt unabhngig von der Funktion des Verstrkers bei hohenFrequenzen wirksam.

+-

U _ e U _ a

R 1

C 2

R 3

R 4

C 5

Abbildung 4.10: Multiple-Feedback-Tiefpass

Das Verstrkungselement eines Multiple-Feedback-Filters muss ein OPV mit Span-nungseingngen sein. Current-Feedback-Amplifier knnen ohne zustzliche Manah-men nicht verwendet werden, da diese mit einem Rckkopplungswiderstand mit einemgewissen Mindestwert beschaltet werden mssen. Dies ist beim MFB-Tiefpass mit C5nicht gegeben. R4 und C5 bilden mit dem OPV einen invertierenden Integrator; derverwendete OPV muss somit fr eine Verstrkung von eins kompensiert sein.[3]

Aufgrund des guten Verhaltens bei Frequenzen oberhalb der OPV-Transitfrequenzkommen MFB-Tiefpassfilter bei der Beschaltung von ADCs und DACs als Anti-Ali-asing-, sowie als Rekonstruktionsfilter zum Einsatz.[9] Zur Beschaltung von differen-ziellen ADCs und DACs gibt es Abwandlungen der Schaltung aus Abbildung 4.10mit symmetrischen Ein- oder Ausgngen. Mit einem Fully Differential Amplifier alsVerstrkungselement lassen sich MFB-Tiefpsse komplett symmetrisch aufbauen.

42

4.2.1 Dimensionierungsgleichungen

Die bertragungsfunktion des Multiple-Feedback-Filters mit Tiefpass-Charakteristiklautet:[10]

H(s) = R3

R1

1 + sC5(R3 +R4 +R3R4

R1) + s2R3R4C2C5

(4.11)

Das Filter besitzt eine Verstrkung A0 = R3R1 im Durchlassbereich. Fr die Dimen-sionierungsgleichungen werden folgende Verhltnisse zwischen den Bauteilgren de-finiert:

C5 = C C2 = kCC

R1 = R R3 = kR3R R4 = kR4R

Nach [10] gilt fr die Tiefpasskenngren A0, P , QP eines MFB-Tiefpasses:

A0 = kR3 P = 1RCkCkR3kR4

QP =

kCkR3kR4

kR3 + kR4(1 + kR3)(4.12)

In der Gleichung fr P wird deutlich, warum Filter mit kontinuierlich einstellbarerGrenzfrequenz nicht als Multiple-Feedback-Filter realisiert werden: Soll P mittelsR verndert werden, mssten gleichzeitig R1, R3, R4 proportional vergrert, bezie-hungsweise verkleinert werden. Dies wrde ein Drei-Ebenen-Potentiometer erfordern,dessen Ebenen auch noch unterschiedliche Widerstandswerte besitzen mssten, fallskR3 und kR4 ungleich eins sein sollen.

Bei der Dimensionierung eines MFB-Tiefpasses mssen fnf Bauteilwerte bestimmtwerden. Da es aber nur drei Zielgren gibt, knnen zwei Bauteilwerte frei gewhltwerden. Dies ermglicht verschiedene Dimensionierungsverfahren, von denen zwei imfolgenden Teil vorgestellt werden. Die erste vorgestellte Herangehensweise [10] bestehtaus der Festlegung gleicher Widerstandswerte; auf diese Weise ergeben sich besonderseinfache Bestimmungsgleichungen. Beim zweiten Verfahren [3][10] werden die Kapa-zittswerte aus eine der Normreihen gewhlt und die Widerstandswerte berechnet.Somit knnen Kondensatoren mit Standardwerten verwendet werden.

Fall 1: Gleiche Widerstnde

Aus R1 = R3 = R4 = R folgt kR3 = 1 sowie kR4 = 1. Somit ist fr diese Dimensionie-rung die Grundverstrkung des Filters auf A0 = 1 festgelegt. Die Kenngren desMFB-Tiefpasses aus Gleichung 4.12 vereinfachen sich wie folgt:

P =1

RCkC

QP =

kC3

(4.13)

43

Die Polgte QP hngt nur vom Kapazittsverhltnis kC ab. Bei der Dimensionierungwird abhngig von der gewnschten Polgte zuerst das Kapazittsverhltnis kC be-rechnet und danach die Zeitkonstante RC bestimmt. Mit den Gleichung 4.13 ergibtsich: kC = 9Q2P und RC =

1PkC

. Die bentigten Werte fr R und C zur Erzielungdieser Zeitkonstante sollten, wie im Abschnitt zum Sallen-Key-Tiefpass beschrieben,aus dem k- und nF-Bereich gewhlt werden. Fr die Absolutwerte der Kapazittengilt: C5 = C und C2 = kCC.

Fall 2: Standardkapazitten

Bei der Dimensionierung mit Standardkapazitten lsst sich die Grundverstrkungmittels kR3 beliebig festlegen. Danach whlt man ein Kapazittsverhltnis kC , welchessich gut mit Werten aus der gewnschten Normreihe realisieren lsst. Dabei muss nachv.Wangenheim [10] folgende Bedingung eingehalten werden:

kC > 4Q2P (1 + kR3) (4.14)

Laut Tietze u. Schenk [3] ergibt sich die gnstigste Dimensionierung, wenn man kCnicht viel grer whlt als obige Bedingung vorschreibt. ber C = C5 legt man denAbsolutwert der Kapazitten fest. Die noch fehlenden Gren R und kR4 berechnensich durch folgende Gleichungen, wobei es zwei Lsungspaare A,B gibt:[10]

R(A,B) =

1

1 4QP2(1 + kR3)

kC

2kR3QPPC=

1D2kR3QPPC

(4.15)

kR4(A,B) =1

R(A,B)2C2kCkR3P 2

=4kR3QP

2

kC(1D)2

(4.16)

4.2.2 Simulation des Einflusses der begrenzten OPV-Bandbreite

In diesem Abschnitt wird der Einfluss der begrenzten Bandbreite realer Operati-onsverstrker auf MFB-Tiefpassfilter untersucht. Die in Gleichung 4.11 angegebenebertragungsfunktion eines MFP-Tiefpasses gilt nur fr Frequenzen, bei denen dieDifferenzverstrkung AD des OPVs noch gengend gro ist.[10] Bei universell Fre-quenzgang-kompensierten OPVs nimmt AD bis zur Transitfrequenz ft mit 20 dB/Dekadeab. In der Simulation wird der Einfluss der OPV-Bandbreite auf MFB-Filter bei ver-schiedenen PolgtenQP untersucht. Dazu werden AC-Analysen von Butterworth- und

44

Tschebyscheff-Filtern dritter Ordnung, welche aus einem MFB-Tiefpass und einemkaskadierten RC-Tiefpass bestehen, durchgefhrt. Es werden mehrere Simulations-durchlufe durchgefhrt, wobei die Transitfrequenz des Verstrkermodells mit einemParameter-Sweep variiert wird.

Modellierung des Verstrkers

Damit die Transitfrequenz in der Simulation durch einen Parameter-Sweep variiertwerden kann, muss der Frequenzgang der Differenzverstrkung des OPVs mit ge-steuerten Quellen und passiven Bauelementen modelliert werden. Die in Abbildung4.11 dargestellte Ersatzschaltung wird verwendet, um einen Operationsverstrker mitfrequenzabhngiger Differenzverstrkung bei ansonsten idealen Eigenschaften zu si-mulieren.

R

C

1A _ D ,0 R _ A ,O L

Abbildung 4.11: Modellierung der frequenzabhngigen Differenzverstrkung

Die erste der beiden spannungsgesteuerten Spannungsquellen implementiert die Leer-laufverstrkung des OPVs bei niedrigen Frequenzen. Mit dem RC-Glied wird dasTiefpassverhalten der Differenzverstrkung nachgebildet; diese Einpol-Modellierungist nur fr Frequenzgang-kompensierte OPVs gltig. Die zweite gesteuerte Quellesorgt fr eine Entkoppelung des Verstrkerausganges von dem RC-Glied; mit RaOLwird der Open-Loop-Ausgangswiderstand des OPVs modelliert.

Die Zeitkonstante des RC-Tiefpasses zur Modellierung des Tiefpassverhaltens derDifferenzverstrkung hngt durch folgende Gleichung mit der Transitfrequenz ft undder Differenzverstrkung bei niedrigen Frequenzen AD,0 zusammen:

RC =AD,02pift

(4.17)

Mit einem Parameter-Sweep fr R oder C lsst sich somit in der Simulation dieTransitfrequenz des modellierten OPVs variieren. Bei den hier durchgefhrten Simu-lationen wurde C = 1 gesetzt und R als Funktion von AD,0 und dem Gain-Bandwitdh

45

Product, im Folgenden GBP genannt, ausgedrckt:

R =AD,0

2piGBP(4.18)

Der Wert des Gain-Bandwitdh Product entspricht der Transitfrequenz ft.[4]

Dimensionierung der Filter

Die Auswirkungen verschieden hoher OPV-Bandbreiten auf MFB-Filter unterschied-licher Polgte werden anhand einer Simulation zweier Tiefpassfilter dritter Ordnunguntersucht. Die Filter bestehen aus einem MFB-Tiefpass und einem kaskadierten RC-Tiefpass erster Ordnung. Die Schaltung ist in Abbildung 4.12 dargestellt.

+-

U _ e

R 1

C 2

R 2

R 3

C 1

U _ a

R 5

C 3

Abbildung 4.12: Schaltung der simulierten Filter

Das erste Filter soll eine Tschebyscheff-Charakteristik mit 1 dB Welligkeit besitzen.Nach Tabelle 2.3 muss der MFB-Teil der Schaltung folglich ein komplexes Polpaarmit den hier auf ganze Zahlen gerundeten Poldaten P = 1 und QP = 2 erzeugen;der reelle Pol liegt bei P = 0, 5. Das zweite Filter soll als Butterworth-Tiefpassausgelegt werden: Das komplexe Polpaar besitzt eine Polgte QP = 1. Alle drei Poleliegen bei der Polfrequenz P = 1. Die Grenze des Durchlassbereiches beider Filtersoll bei D = 2pi 50 kHz liegen. Der MFB-Teil der Filter wird jeweils mittels derzuvor als Fall 1 beschriebenen Herangehensweise dimensioniert. Somit sind die dreiWiderstnde der MFB-Filter gleich gro; es gilt: R1 = R2 = R3 = R. Die Gte wirdmit dem Kapazittsverhltnis kC = C2C1 eingestellt.

Dimensionierung des Tschebyscheff-FiltersMit den Poldaten P = 1, QP = 2 folgt fr den MFB-Teil der Schaltung:

kC = 9QP2 = 36

RC1 =1

P D kC

=1

2pi 50 kHz 6 = 5, 31 107 s

46

Zur Erzielung der Zeitkonstante RC1 werden folgende Werte gewhlt: C1 =680 pF, R = 787 . Der rechnerische Wert fr C2 betrgt 24, 48 nF, gewhltwird C2 = 24, 2 nF. Dieser Wert kann mit den Werten 22 nF und 2, 2 nF aus derE6 Reihe zusammengesetzt werden. Der reelle Pol des aus R5 und C3 gebildetenTiefpasses soll bei P = 0, 5 liegen. Daraus folgt fr die Zeitkonstante R5C3:

R5C3 =1

P D =1

pi 50 kHz = 6, 37 106 s

Es werden folgende Werte gewhlt: C3 = 6, 8 nF, R5 = 931 . Die dimensionierteSchaltung des Tschebyscheff-Filters ist in Abbildung 4.13 dargestellt. Der OPVwird mit der zuvor beschriebenen Ersatzschaltung modelliert, wobei der Open-Loop-Ausgangswiderstand, hier R4, mit 1 k angesetzt wird. Fr das Butter-worth-Filter wird die OPV-Ersatzschaltung beibehalten.

{100000/(2*3.124*GBP)}

R6

E1

100k 931

R5

AC 1 0V1

1K

R4

C224n

787

R3

787

R1

787R2 C1

680p

C36.8n

dB

E2

1

C41

Abbildung 4.13: Dimensionierte Schaltung des Tschebyscheff-Filters

Dimensionierung des Butterworth-FiltersMit P = 1 und QP = 1 folgt fr die Bauteilwerte des MFB-Filters:

kC = 9QP2 = 9

RC1 =1

P D kC

=1

2pi 50 kHz 3 = 1, 06 106 s

Fr die Kapazitten werden die Werte C1 = 1 nF und C2 = 9 nF gewhlt. Frdie Widerstnde ergibt sich rechnerisch der Wert R = 1061 , gewhlt wirdR = 1070 . Der reelle Pol des RC-Tiefpasses soll bei P = 1 liegen. Es werden

47

folgende Werte gewhlt: C3 = 3, 3 nF, R5 = 931 . Die dimensionierte Schaltungist in Abbildung 4.14 dargestellt

{100000/(2*3.142*GBP)}

R6

E1

100k 931

R5

AC 1 0V1

1K

R4

C29n

1.07k

R3

1.07k

R1

1.07kR2

C11n

C33.3n

dB

E2

1

C41

Abbildung 4.14: Dimensionierte Schaltung des Butterworth-Filters

Simulationen

Es wurden mehrere AC-Analysen der Schaltungen aus den Abbildungen 4.13 und4.14 durchgefhrt. Dabei wurde der Parameter GBP mit einem Parameter-Sweepvon 500 kHz bis 50 MHz mit fnf Steps pro Dekade variiert. Pro Wert des Gain-Bandwitdh Products GBP wurde der Frequenzgang des Filters ermittelt. Die Fre-quenzgnge wurden einer Performance-Analyse unterzogen: Die Grenzfrequenzen dersimulierten Filter wurden pro Parameter-Step rechnerisch ermittelt, und als Funktionvon GBP in einen Graphen eingetragen. Auf diese Weise wurde die Abhngigkeit derGrenzfrequenz des Filters von der Bandbreite des OPVs untersucht.

Ergebnisse

Die Amplitudengnge der Tschebyscheff- und Butterworth-Dimensionierung sind frverschiedene OPV-Bandbreiten in den Abbildungen 4.15 und 4.16 dargestellt. DiePlots zeigen, dass das Tschebyscheff-Filter sensibler auf eine zu geringe Bandbreitedes OPVs reagiert als das Butterworth-Filter. Da sich die MFB-Filterstufen beider Di-mensionierungen nur in der Polgte unterscheiden, lsst sich der Schluss ziehen, dasseine umso hhere OPV-Bandbreite bentigt wird, je hher die Polgte der Filterstufeist.

Die Performance-Analysen beider Dimensionierungen verdeutlichen die zuvor gemach-te Beobachtung, wonach fr MFB-Tiefpassfilter mit hoher Polgte ein OPV mit h-

48

Frequency / Hertz

10k 20k 40k 60k 80k 95k-20

-15

-10

-5

0

5

GBP=500kGBP=792k

GBP=1.256MegGBP=1.990Meg

GBP=3.155MegdB GBP=5Meg

GBP=7.924MegGBP=12.559Meg

GBP=19.905MegGBP=31.547Meg

dB GBP=50Meg

Abbildung 4.15: Simulierte Amplitudengnge des Tschebyscheff-Filters fr verschie-dene Werte des Parameters GBP ( Gain-Bandwidth Product )

Frequency / Hertz

10k 20k 40k 60k 80k 95k-20

-15

-10

-5

0

5

GBP=500kGBP=792k

GBP=1.255MegGBP=1.990Meg

GBP=3.154MegGBP=5Meg

GBP=7.924MegGBP=12.559Meg

GBP=19.905MegGBP=31.547Meg

GBP=50Meg

Abbildung 4.16: Simulierte Amplitudengnge des Butterworth-Filters fr verschiede-ne Werte des Parameters GBP ( Gain-Bandwidth Product )

49

herem Gain-Bandwitdh Product bentigt wird als fr Filter mit geringer Polgte:Abbildungen 4.17 und 4.18 zeigen die aus den Simulationsdaten errechneten Grenzfre-quenzen der Filter als Funktion des Bandbreiten-Parameters GBP. Es ist erkennbar,dass beim Butterworth-Filter die nominelle Grenzfrequenz von 50 kHz bei geringe-ren Werten von GBP erreicht wird als beim Tschebyscheff-Filter. Bei der Berech-nung der Grenzfrequenz wurde deren unterschiedliche Definition bei Butterworth-und Tschebyscheff-Filtern bercksichtigt. Beim Butterworth-Filter ist die Grenzfre-quenz als 3 dB-Grenzfrequenz definiert; Beim Tschebyscheff-Filter entspricht sie derFrequenz, bei der die Amplitude um die Welligkeit in dB abgesunken ist, in diesemFall um 1 dB.

GBP ( Gain-Bandwidth-Product ) / Hertz

500k 1M 2M 5M 10M 20M 50M

20k

50k

100k

Abbildung 4.17: Grenzfrequenz des Tschebyscheff-Filters als Funktion des Gain-Band-width Products

4.2.3 Vergleich der Dimensionierungsverfahren

Im vorherigen Abschnitt wurden die MFB-Filterstufen mittels des Verfahrens ausFall 1 dimensioniert. Um beide Dimensionierungsverfahren zu vergleichen, wurde dieMFB-Filterstufe des aus vorherigem Abschnitt bekannten Butterworth-Filters nachdem Verfahren aus Fall 2 erneut dimensioniert. Die Werte der frei whlbaren Kapazi-tten wurden in derselben Grenordnung wie bei Dimensionierung 1 gewhlt. Diesfhrte bei der Berechnung der brigen Bauteilwerte zu sehr hnlichen Ergebnissenwie bei Dimensionierung 1.

In Simulationen beider Dimensionierungen waren keine Unterschiede in der Perfor-mance auszumachen. Die Sensibilitt auf Bauteiltoleranzen war in beiden Fllen ge-

50

GBP ( Gain-Bandwidth-Product ) / Hertz

500k 1M 2M 5M 10M 20M 50M

20k

50k

100k

Abbildung 4.18: Grenzfrequenz des Butterworth-Filters als Funktion des Gain-Band-width Products

ring: Bereits mit Kapazittstoleranzen von 20% konnten Amplitudengnge erzieltwerden, deren Abweichungen vom idealen Verlauf geringer als 0,5 dB waren. In Ab-bildung 4.19 sind die Ergebnisse der Monte-Carlo-Analysen der nach Fall 1 und Fall2 dimensionierten Schaltungen dargestellt.

Frequency / Hertz

1k 2k 4k 10k 20k 40k 100k 200k 400k 1M

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Bauteiltoleranzen: R:0,01 C:0,2Bauteiltoleranzen: R:0,01 C:0,05

(a) Dimensionierung 1

Frequency / Hertz

1k 2k 4k 10k 20k 40k 100k 200k 400k 1M

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Bauteiltoleranzen: R:0,01 C:0,2Bauteiltoleranzen: R:0,01 C:0,05

(b) Dimensionierung 2

Abbildung 4.19: Monte-Carlo-Analysen der Amplitudengnge

51

4.3 State-Variable-Filter

Das State-Variable-Filter ist ein auf aktiven Integratorschaltungen basierendes Filterzweiter Ordnung, das die Filtertypen Tiefpass, Bandpass und Hochpass an unter-schiedlichen Abgriffen der Schaltung bereitstellt. Es wird auch als Zustandsvaria-blenfilter oder, aufgrund der drei genannten gleichzeitig verfgbaren Filtertypen, alsUniversalfilter bezeichnet. Wenn die Ausgnge der drei Filtertypen gewichtet sum-miert werden, lsst sich auf Basis des State-Variable-Filters ein Filter mit allgemeinerbiquadratischer bertragungsfunktion erzeugen; daher wird das State-Variable-Filterauch als Biquad-Filter bezeichnet.[10] Das State-Variable-Filter in der sogenanntenKHN 1-Struktur ist in Abbildung 4.20 dargestellt.[10] Eine weitere Form des State-Variable-Filters ist als Tow-Thomas-Struktur bekannt; diese wird hier nicht behan-delt.

+-

+-

+-

T ie f p a s sR _ b

E in g a n g

R _ a

R

C

R

C

B a n d p a s sH o c h p a s s

Abbildung 4.20: State-Variable-Filter in KHN-Struktur

Im folgenden wird die Bezeichnung KHN-Struktur synonym fr das State-Variable-Filter in KHN-Struktur gebraucht.

Hochpass- und Tiefpass-Ausgang des KHN-Filters invertieren das Eingangssignal; derBandpass-Ausgang ist nicht invertierend. Die Polfrequenz des Filters ist von der Zeit-konstante RC der invertierenden Integratoren abhngig; die Polgte wird primr berden Spannungsteiler aus RA und RB festgelegt. Durch eine geschickte Wahl der ver-bleibenden Widerstnde am Eingangs-Differenzverstrker lsst sich das KHN-Filter soauslegen, dass Polfrequenz und Polgte ber RC beziehungsweise RA, RB unabhngigvoneinander eingestellt und variiert werden knnen. Das KHN-Filter ist prdestiniert

1Kerwin, Huelsman, Newcomb. State variable synthesis for insensitive integrated circuit transferfunctions. IEEE Transactions on Circuit Theory 1968.

52

fr Anwendungen, in denen die Durchstimmbarkeit der Polfrequenz gefordert ist, ohnedass dabei die Polgte beeinflusst wird. Im Audiobereich werden State-Variable-Filterzum Beispiel in parametrischen Equalizern [9] sowie als Voltage-Controlled-Filter inSynthesizern eingesetzt. In letzterem Fall wird dabei auf OTA2-basierte Integratorenzurckgegriffen, deren Zeitkonstante sich ber einen Steuerstrom steuern lsst.[5]

C

LR

u _ C

i

u _ Lu _ R

u _ e

Abbildung 4.21: RLC-Vierpol als Grundlage der KHN-Struktur

Zustandsvariablen-Technik

Die Schaltungsstruktur des State-Variable-Filter, zu deutsch Zustandsvariablen-Filterentsteht bei der Anwendung der sogenannten Zustandsvariablen-Technik auf einenpassiven RLC-Vierpol zweiter Ordnung. In diesem Abschnitt wird dieser Zusam-menhang nachvollzogen. Bei der Zustandsvariablen-Technik werden die sich aus denStrom-Spannungsbeziehungen passiver RLC-Schaltungen ergebenden Differenzialglei-chungen mit aktiven Verstrkerelementen nachgebildet.[10] Die sich aus den Bauteil-gesetzen von Spule und Kondensator ergebenden Differenzialgleichungen eines RLC-Vierpols zweiter Ordnung, dargestellt in Abbildung 4.21, lauten:

di

dt= R

Li 1

Luc +

1

Lue (4.19)

ducdt

=1

Ci (4.20)

Mit den Zustandsvariablen x1=i, x2=uc und der Eingangsgre u=ue lassen sich dieseDifferenzialgleichungen als System der Form x = Ax + bu darstellen:

dx

dt=

(R/L 1/L1/C 0

)x +

(1/L

0

)u (4.21)

In Abbildung 4.22 ist das zu diesem Differenzialgleichungssystem gehrige Struktur-bild dargestellt. Die dargestellte Struktur hnelt bereits dem State-Variable-Filter.2Operational-Tranconductance-Amplifier

53

Zum KHN-Filter gelangt man durch die Verwendung von invertierenden Integrato-ren anstelle der 1/s-Blcke, und eines Differenzverstrkers, welcher die Funktion desSummationspunktes realisiert.

1 / s 1 / su x 1 x 21 / C

- 1 / L

1 / L

- R / L

+

Abbildung 4.22: Strukturbild der Zustandsvariablen-Darstellung eines RLC-Vierpols

4.3.1 bertragungsfunktionen und Dimensionierung

Abbildung 4.23 zeigt die Schaltung des State-Variable-Filters in KHN-Struktur.[10]Aus Grnden der bersichtlichkeit sind die invertierenden Integratoren als Funktions-blcke dargestellt. Um die Darstellung der bertragungsfunktion und der Dimensio-nierungsgleichungen zu vereinfachen, werden im weiteren Verlauf die Zeitkonstantender Integratoren als gleich gro angenommen.

Im folgenden werden die bertragungsfunktionen der drei Filterausgnge Tiefpass,Bandpass und Hochpass angegeben. Das gemeinsame Nennerpolynom der drei Filter-typen lautet:[10]

N(s) = 1 + sRCRA

RA +RB

(1 +

RTRR

+RTRE

)+ s2R2C2

RTRR

(4.22)

Die bertragungsfunktionen der Filtertypen lauten:[10]

HHP (s) = (RT/RE)s2R2C2

N(s)HBP (s) =

(RT/RE)sRC

N(s)HTP (s) = (RT/RE)

N(s)(4.23)

54

+-

R _ b

R _ a

- 1 / s R C - 1 / s R C

R _ r

R _ t

R _ e

u _ e

u _ H P

u _ B P

u _ T P

Abbildung 4.23: KHN-Filter

Zur weiteren Vereinfachung der Darstellung werden folgende Widerstandsverhltnissefestgelegt: RT/RE = 1 und RT/RR = 1. Fr die bertragungsfunktionen folgt:

Hochpass: HHP(s) = s2R2C2

1 + sRC3RA

RA +RB+ s2R2C2

(4.24)

Bandpass: HBP(s) =sRC

1 + sRC3RA

RA +RB+ s2R2C2

(4.25)

Tiefpass: HTP(s) = 11 + sRC

3RA

RA +RB+ s2R2C2

(4.26)

Ein Koeffizientenvergleich mit der jeweiligen allgemeinen bertragungsfunktion ausGleichung 2.10 bzw. 2.11 fhrt auf folgende Bestimmungsgleichungen fr die Polkenn-gren:

P =1

RCQP =

RA +RB3RA

(4.27)

Mit den gewhlten Widerstandsverhltnissen sind die Verstrkungen im Durchlass-bereich von Hochpass und Tiefpass betragsmig eins. Beim Bandpass gilt fr dieGrundverstrkung AM :[10]

AM = QP (4.28)

55

Beim State-Variable-Filter in KHN-Struktur ist die Grundverstrkung des Bandpassesabhngig von der Polgte. Somit lsst sich die Polgte nicht variieren, ohne dabei dieVerstrkung bei der Resonanzfrequenz zu beeinflussen. In manchen Anwendungen,wie zum Beispiel parametrische Equalizer, ist aber das unabhngige Einstellen vonGte und Grundverstrkung eines Bandpassfilters gefordert. Im folgenden Abschnittwird eine Modifikation der KHN-Struktur vorgestellt, die das Verndern der Gteunabhngig von der Grundverstrkung erlaubt.

4.3.2 Filterstruktur mit unabhngig einstellbarer Gte

Eine Mglichkeit, die KHN-Struktur zu modifizieren, damit sich beim Bandpassfiltereine unabhngig von der Grundverstrkung einstellbare Gte ergibt, liegt in der Ver-legung des Filtereingangs vom negativen Eingang zum positiven Eingang des als Dif-ferenzverstrker beschalteten OPVs. Dies fhrt auf die in Abbildung 4.24 dargestellteSchaltung. Die 1/sRC-Funktionsblcke sind aus Grnden der bersichtlichkeit an-stelle der invertierenden Integratoren dargestellt. Die dargestellte Filterstruktur istBestandteil einer bei Self [9] beschriebenen Equalizerschaltung.

+-

R _ b

- 1 / s R C - 1 / s R C

R _ r

R _ t

u _ B Pu _ e R _ a

R _ c

Abbildung 4.24: Modifizierte KHN-Struktur

Im folgenden wird die bertragungsfunktion des Bandpass-Ausganges dieser nun mo-difizierten KHN-Struktur hergeleitet. Zur Aufstellung der Eingangs-Ausgangs-Bezie-hung werden folgende Koeffizienten definiert: