Bachelor- Grundlagenpraktikum

Elektrotechnik und Informationstechnik

Versuchsunterlagen

Bachelor-GrundlagenpraktikumElektrotechnik und Informationstechnik

Inhalt

Einfuhrung

Versuchsanleitungen zu neun elektrotechnisch/informationstechnischen Versu-chenVersuch M: Elektrische MessgerateVersuch E1: Strom- und SpannungsmessungenVersuch E2: Elektrisches Feld und StromungsfeldVersuch E3: Magnetisches Feld und InduktionVersuch E4: TransformatorVersuch I1: RLC-NetzwerkeVersuch I2: Elektrische FilterVersuch I3: Abtastung und QuantisierungVersuch I4: Nachrichtenubertragung und Codierung

Versuchsanleitungen zu drei physikalischen VersuchenVersuch A6: KreiselVersuch C14: Beugung am Spalt, Doppelspalt und GitterVersuch C20: Lichtelektrischer Effekt

Einige allgemeine Lernziele

• Im Team arbeiten.

• Sicherheitsvorschriften kennenlernen und anwenden.

• Grundlegende elektrische Messgerate kennenlernen.

• Schaltungen aufbauen und Messfehler systematisch eliminieren.

• Messtechnische Arbeiten protokollieren und Versuchsberichte anfertigen.

1

Einfuhrung

Sicherheitshinweise fur elektrische Laboratorien

Die Praktikumsversuche finden in einem elektrischen Laboratorium statt, in dem die Si-cherheitsvorschriften nach VDE 0100 fur ”Elektrische Betriebsraume” eingehalten werdenmussen. Arbeiten unter Laborbedingungen bedeutet, dass die außerhalb elektrischer La-boratorien geforderten Sicherheitsvorschriften wegen der durchzufuhrenden Aufgaben nichteingehalten werden konnen. Es wird vorausgesetzt, dass Sie hinsichtlich der Arbeitsbedingun-gen ”unterwiesen” wurden, also insbesondere die moglichen Gefahren kennen. Bei Ihremersten Praktikumsversuch mussen Sie unterschreiben, dass Sie die folgenden Si-cherheitshinweise zur Kenntnis genommen haben.

• Einen gefahrlichen elektrischen Schlag kann man bereits ab einer Spannung von 42 Vbekommen (”Schutzkleinspannung”). Niemals mit beiden Handen gleichzeitig leitendeTeile anfassen!

• Der Sternpunktleiter des Drehstromnetzes ist geerdet. Da viele der in Laboratorien be-findlichen Metallgegenstande (Metallteile der Labortische, Heizkorper, Fensterrahmen,Wasserleitung) mit Erde in Verbindung stehen, kann sogar bereits das Beruhren nureines unter Spannung stehenden Metallteils zu einem elektrischen Schlag fuhren.

• Bei Fehlern in Versuchsschaltungen konnen Gegenstande auch unerwartet Spannungannehmen, z. B. Gehause und metallene Konstruktionsteile. Also Beruhrungen metal-lischer Teile grundsatzlich soweit wie moglich vermeiden!

• Aufbau und Anderung der Verkabelung einer Messschaltung nur im spannungsfreienZustand!

• Informieren Sie sich vor Beginn uber die Bedienung des Notausschalters, mit dem dergesamte Labortisch elektrisch abgeschaltet werden kann. Der Weg zu diesem Haupt-schalter darf auf keinen Fall zugestellt werden!

• Bei einem Unfall oder dem Verdacht auf eine Storung sofort alle Spannungen mit Hilfedes Notausschalters abschalten und danach einen Betreuer verstandigen.

Organisatorische Hinweise

Allgemeines

• Die folgenden Versuchsanleitungen beschreiben neun elektrotechnische Versuche. DasPraktikum umfasst zusatzlich drei physikalische Versuche, die von der Fakultat furPhysik und Astronomie angeboten werden. Zur Anerkennung des Praktikums benoti-gen Sie insgesamt 11 Testate.

• Ihre individuellen Versuchstermine hangen von Ihrer Gruppennummer ab. Die Grup-peneinteilung finden Sie im Schaukasten gegenuber Raum ID 2/201. Dort und imInternet stehen auch die Versuchstermine Ihrer Gruppe.

• Fur einen erfolgreich abgeschlossenen Versuch erhalten Sie ein Testat. Testatkarte bittezu jedem Versuchstermin mitbringen!

• Nach Testierung aller Versuche (auch der physikalischen) benotigen Sie einen Stempe-laufdruck, den Sie im Sekretariat ID 2/231 erhalten.

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Versuchsvorbereitung und -durchfuhrung

• Die Versuchsanleitungen sind vor Beginn der jeweiligen Versuche durchzuarbeiten.Zusatzlich ist es sinnvoll, entsprechende Kapitel aus den Unterlagen zu den Vorle-sungen ”Grundlagen der Elektrotechnik” und ”Grundlagen der Informationstechnik”zur Vorbereitung heranzuziehen.

• Jeder Versuchstermin beginnt mit einem Gesprach uber Theorie und Praxis des Ver-suchs. Unvorbereitete Versuchsteilnehmer werden vom Versuch ausgeschlossen.

• Bitte einen Taschenrechner mitbringen!

• Vor Einschalten eines Versuchsaufbaues (auch nach jeder Anderung!) muss dem Be-treuer Gelegenheit gegeben werden, die Messschaltung zu kontrollieren. Also nicht ohneRuckfrage selbst einschalten!

• Wahrend der Messungen ist ein Protokoll zu fuhren. Bei der Aufnahme von Kur-venverlaufen sollten diese sofort in ein Diagramm eingetragen werden, um Fehler zuerkennen. Die Anzahl der Messpunkte muss zur Interpolation ausreichen. Die Protokol-le mussen den Ablauf Ihrer Versuchsdurchfuhrung dokumentieren. Sie beinhalten eineListe der verwendeten Gerate, Skizzen aller Messschaltungen und Ihre Messergebnissein Form von Tabellen und Diagrammen.

• Lassen Sie sich am Ende der Versuchsdurchfuhrung auf dem Deckblatt fur den Ver-suchsbericht ein ”Vortestat” geben. Damit wird festgehalten, dass Sie an der Versuchs-durchfuhrung erfolgreich teilgenommen haben.

Versuchsberichte und Testate

• Jeder Versuchsteilnehmer muss einen eigenen Versuchsbericht anfertigen.

• Geben Sie ihren Versuchsbericht (ohne die Testatkarte) an Ihrem nachsten Versuchstag(also in der Regel eine Woche spater) ab, und zwar bevor Sie mit dem neuen Versuchbeginnen. Zur Ab- und Ruckgabe der elektrotechnischen/informationstechnischen Ver-suchsberichte dient ein Regal, das sich im Eingangsbereich von Raum ICN 02/603 befin-det. In der Regel werden Ihre Versuchsberichte wahrend der Praktikumszeit uberpruft,so dass Sie nach Beendigung eines Versuches den Bericht uber den vorangegangenenVersuch bereits zuruckbekommen. Lassen Sie sich ein erteiltes Endtestat vom Betreuerdes Versuchs so bald wie moglich auf die Testatkarte ubertragen.

• Am Semesterende wird ein ”Testiertermin” angeboten, bei dem Sie eventuell nochfehlende Testate erhalten konnen.

Abfassung der Versuchsberichte

Der Versuchsbericht beginnt mit Ihrem (vollstandig ausgefullten und unterschriebenen)Deckblatt mit dem darauf eingetragenen Vortestat. Eine Wiederholung des Inhaltesder Versuchsanleitungen ist nicht erforderlich. Zu Ihrem Bericht gehoren insbesonderefolgende Erlauterungen:

• Die Gerateliste enthalt die Typenbezeichnungen aller verwendeten kommerziellen Geratebzw. eine technische Kurzbeschreibung sonstiger Gerate.

3

• Kurze Darstellung der einzelnen Messaufgaben und der tatsachlich verwendeten Messver-fahren. Im Zweifelsfall fragen Sie Ihren Betreuer, welche Gesichtspunkte im Versuchs-bericht abgehandelt werden sollen.

• Messergebnisse (Messprotokolle, Tabellen, Diagramme): Zu Diagrammen und Messta-bellen gehoren erklarende Unterschriften, etwa ”Ausgangsspannung UA als Funktionder Frequenz f bei konstanter Eingangsspannung UE = 20 mV”.

• Achten Sie auf eindeutige Angabe der dargestellten Großen und der Skalierung.

• Auswertung: Erklaren und interpretieren Sie Ihre Messergebnisse. Versuchen Sie insbe-sondere, Abweichungen von erwartetem Verhalten zu erklaren. Wenn Sie Widerspruchein Ihren Messdaten entdecken, verfalschen Sie diese nicht, sondern weisen Sie daraufhin, evtl. unter Angabe vermuteter Ursachen.

Farbkennzeichnung von Widerstanden

Den Farben sind Ziffern wie folgt zugeordnet: schwarz (0), braun (1), rot (2), orange (3), gelb(4), grun (5), blau (6), violett (7), grau (8), weiß (9). Die ersten beiden Farbringe bedeutendie ersten beiden Ziffern des Widerstandswertes. Der dritte Ring gibt die Zehnerpotenz an,mit der die Zahl aus den ersten beiden Ziffern multipliziert werden muss. Der vierte Ringgibt die zulassige Toleranz an.

... ein paar Gedanken zur Durchfuhrung des Praktikums

Wir wollen aus den Vorbesprechungen zu den einzelnen Versuchen keine Prufung machen.Andererseits macht die Durchfuhrung eines Versuchs keinen Sinn, wenn Sie mehr oder weni-ger unvorbereitet erscheinen. Also geben Sie uns bitte keinen Anlass, Sie wegen mangelnderKenntnisse uber den Versuch ”nach Hause schicken” zu mussen. Alle Teilnehmer wirken -positiv oder negativ - an der Atmosphare mit, die im Praktikum herrscht!

Wir erwarten, dass Sie nach dem Durcharbeiten der Versuchsanleitung - und nach Klarungder verbleibenden Fragen in der Vorbesprechung - die Versuche weitgehend selbststandigzusammen mit Ihrem Versuchspartner durchfuhren. Selbstverstandlich durfen und sollen Sienach Herzenslust fragen, wenn Sie etwas nicht verstehen oder mit der Versuchsdurchfuhrungnicht klar kommen. Fragen nach Dingen, die in der Versuchsanleitung ausfuhrlich erklartwurden, kommen naturlich nicht so gut an!

4

Versuch M: Elektrische Messgerate

Inhaltsverzeichnis

1 Messgerate fur elektrische Strome und Spannungen 2

2 Messung von Wechselgroßen mit und ohne Gleichanteil 7

3 Messung von Phasenverschiebungen 9

4 Aufnahme von Kennlinien 11

5 Vorbereitende Aufgaben 12

6 Messaufgaben 126.1 Gleichspannungen und Gleichstrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2 Wechselspannungen und Wechselstrome mit und ohne Gleichanteil . . . . . . . . . . . 146.3 Phasenverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.4 Kennlinie einer Zenerdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Literatur 15

Lernziele

• Drehspulinstrumente, analoge und digitale Multimeter und Oszilloskope verstehen.

• Gleich- und Wechselgroßen mit analogen und digitalen Multimetern und Oszilloskopen messen.

• Messmoglichkeiten von Oszilloskopen (inklusive der x-y-Ablenkung) verstehen und beherrschen.

• Effektivwerte bei sinusformigen und nicht sinusformigen Sig-nalen mit und ohne Gleichanteilberechnen und messen.

• ”Echte” Effektivwertbildung (TRMS) und die bei analogen Multimetern verwendete Effektiv-wertbildung verstehen.

• Phasenverschiebungen mit einem Oszilloskop und durch Auswertung von Effektivwertmessun-gen bestimmen.

• Maßstabliche Zeigerbilder konstruieren.

• Eintor-Kennlinien mit einem Oszilloskop aufnehmen.

• Mit nicht potenzialfreien Geraten arbeiten.

M - 1

1 Messgerate fur elektrische Strome und Spannungen

Zur Messung elektrischer Spannungen und Strome konnen sehr unterschiedliche Messgerate ver-wendet werden. Ausfuhrliche Darstellungen findet man in der Literatur (siehe Angaben am Endedieser Versuchsanleitung). Hier werden nur einige im Praktikum haufig benutzte Messgerate kurzbeschrieben: Drehspulinstrumente, analoge und digitale Multimeter und Oszilloskope. Generell wirdbei analogen Geraten ein Messwert durch ein veranderliches Anzeigeelement wie etwa durch einenbeweglichen Zeiger dargestellt. Bei digitalen Messgeraten wird die Messgroße durch einen Zahlenwertauf einem Display angegeben. Selbstverstandlich ist bei digitalen geraten normalerweise nicht nurdie Anzeige, sondern auch die Auswertung digital, d. h. die analogen Eingangsgroßen werden digitalverarbeitet.

a) Drehspulinstrumente

Abb. 1: Drehspulmesswerk.

Das wichtigste analoge Messgerat ist das Drehspulinstrument (Abb. 1). Bei diesem Instrument isteine Spule mit vielen Windungen drehbar in einem Magnetfeld angeordnet, das von einem Perma-nentmagneten erzeugt wird. Durch die Polschuhe und das Weicheisenelement, an dem die Spulebefestigt ist, wird das Magnetfeld so gefuhrt, dass die Feldlinien im Luftspalt senkrecht auf denBegrenzungsflachen stehen. Ein durch die Spule fließender Strom verlauft im Luftspalt wiederumsenkrecht zu den magnetischen Feldlinien, und zwar auf beiden Seiten der Spule in entgegen gesetz-ter Richtung. Die dadurch erzeugten Krafte addieren sich in ihrer Wirkung (warum?) und bildenein Drehmoment, das die Spule zusammen mit dem Zeiger bewegt. Um den Ausschlag zu begrenzen,muss ein Gegenmoment erzeugt werden, so dass sich ein Gleichgewichtszustand einstellen kann. Zudiesem Zweck ist die Achse, die die Drehspule tragt, durch Drehfedern gelagert (nicht abgebildet).Fließt ein Gleichstrom I durch die Spule, stellt sich ein fester Gleichgewichtszustand ein, so dass maneinen dem Strom proportionalen Wert ablesen kann, wenn der Zeiger entlang einer Skala gefuhrt wird.

b) Analoge MultimeterHerzstuck eines analogen Multimeters ist das gerade besprochene Drehspulinstrument. Hinzu kom-men eine Reihe von Zusatzeinrichtungen, die es erlauben, neben Gleichstromen auch andere Mess-großen erfassen zu konnen. Auch zur Strommessung werden i. A. zusatzliche Widerstande benotigt.Ein empfindliches Drehspulinstrument erzeugt ja bereits bei kleinen Stromen einen großen Zeige-rausschlag. Um auch großere Strome messen zu konnen, muss man einen definierten Anteil des zu

M - 2

messenden Stroms durch Zusatzwiderstande abfuhren (wie mussen solche Widerstande mit der Dreh-spule verschaltet werden?). Durch Verwendung verschiedener Widerstande schafft man verschiedeneMessbereiche fur Strome unterschiedlicher Großenordnung.

Mit dem Drehspulinstrument lasst sich auch eine Gleichspannung U messen, weil sich eine Span-nung durch einen bekannten Widerstand R aufgrund der Beziehung U = RI auf einen MessstromI zuruckfuhren lasst. Da der Innenwiderstand des Drehspulmesswerks recht klein ist, wurden beiAnlegen von ublichen Messspannungen so große Strome durch das Messwerk fließen, dass es zerstortwurde. Zur Messungen von Spannungen mussen also in Multimetern Zusatzwiderstande so ange-bracht werden, dass der Strom durch das Messwerk auf eine messbare Großenordnung reduziert wird(wie mussen diese Widerstande mit der Drehspule verschaltet werden?). Bei Multimetern lassen sichdamit auch verschiedene Messbereiche fur Gleichspannungen wahlen.

Abb. 2: Messschaltung zum Messen von Spannung und Strom an einem bzw. durch einen Widerstand.

Eine Schaltung zur gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung an einem Widerstand mit zweiMultimetern zeigt Abb. 2. Daraus geht hervor, dass ein ideales Strommessgerat einen verschwindendkleinen Innenwiderstand, ein ideales Spannungsmessgerat einen unendlich großen Innenwiderstandhaben muss (warum?).

Gleichstrome und -spannungen werden in den DC-Bereichen (”direct current”) gemessen, oft unter-teilt nach DCA und DCV fur Strome (Ampere) bzw. Spannungen (Volt). Die Art der Messung wirdentweder nur durch den Bereichswahlschalter eingestellt oder durch getrennte Anschlussbuchsen fur”A” und ”V” realisiert. Um eine Uberlastung des Messwerks zu vermeiden, muss sich das Mess-gerat vor Inbetriebnahme der Schaltung in der unempfindlichsten Stellung der richtigen Messgroße(großter Skalenendwert von Strom bzw. Spannung) befinden. Nach Inbetriebnahme schaltet mandas Instrument stufenweise empfindlicher, bis ein hinreichend großer Zeigerausschlag abzulesen ist.Was geschieht, wenn man die Messbereiche fur Strome und Spannungen verwechselt? Also aufpassen!

Die Richtung des Zeigerauschlags zeigt die Richtung des Gleichstroms an. Bei machen Geraten befin-det sich die Nullanzeige mitten auf der Skala, so dass positive und negative Strome angezeigt werdenkonnen. Bei den meisten Instrumenten liegt die Nullstellung des Zeigers jedoch ganz links, so dassder Zeiger nur nach rechts ausschlagen kann. Solche Messgerate mussen stets so in den Stromkreisgeschaltet werden, dass ein positiver Strom vom positiven Anschluss ”+” bzw. ”A” zum Gegenan-schluss ”-” bzw. ”COM” (”common”) fließt. Bei der Spannungsmessung muss das hohere Potenzialan Klemme ”+” bzw. ”V”, das niedrigere an Klemme ”COM” angeschlossen werden. Schaltet mandas Instrument falsch in den Stromkreis, besteht die Gefahr einer Zerstorung des Messwerks!

M - 3

Neben Gleichspannungen und -stromen lassen sich mit einem Multimeter auch Gleichstromwiderstandemessen. Dazu wird eine interne Batterie benotigt. Wie konnte die innere Verschaltung aussehen, wennman Messbereiche fur verschieden große Widerstande realisieren will?

Weiterhin kann man mit einem Multimeter auch Wechselstrome und -spannungen messen (AC-Bereiche (”alternating current”), oft unterteilt nach ACA und ACV fur Strome bzw. Spannungen).Dazu braucht man allerdings weitere Zusatzelemente. Lasst man einen sinusformigen Wechselstromdurch ein Drehspulmesswerk fließen, so sieht man bei niedrigen Frequenzen, dass der Zeiger um denNullpunkt schwankt. Mit wachsender Frequenz fuhrt die Tragheit des drehbaren Elements aber da-zu, dass der Zeiger nicht schnell genug folgen kann. Die Schwankungsbreite wird mit wachsenderFrequenz immer kleiner und verschwindet fast ganz, so dass man trotz Stromflusses keine Anzeigemehr erhalt. Hier besteht offensichtlich eine große Gefahr, die Drehspule durch zu große Strome zuuberlasten. Man braucht also eine Zusatzmaßnahme, um Wechselgroßen messen zu konnen. Diesebesteht in einer Betragsbildung des Messstroms durch Gleichrichter. Die negativen Halbwellen dessinusformigen Verlaufs werden dabei ”nach oben geklappt”.

Bei analogen Multimetern erfolgt die Gleichrichtung automatisch, wenn man einen Wechselstrom-oder Wechselspannungs-Messbereich wahlt. Da normalerweise die Frequenz der untersuchten Stromegroß genug ist, zeigt das Messinstrument aufgrund der Tragheit des Messwerks einen festen Wertan, namlich den Mittelwert des durch die Spule fließenden Stroms. Den gemessenen Wert, also denMittelwert des gleichgerichteten Stroms, bezeichnet man als ”Gleichrichtwert”. Wir werden daraufim folgenden Abschnitt noch einmal zuruckkommen.

c) Digitale MultimeterWie bei allen digital arbeitenden Messgeraten, besteht der wesentliche Schritt in der digitalen Er-fassung der Messgroßen. Das bedeutet, dass die zu messenden Strome und Spannungen abgetastetund mit Hilfe eines Analog-Digital-Umsetzers quantisiert werden. Dadurch stehen sie als zeitlicheAbfolge von Zahlenwerten zur Verfugung. Das hat den großen Vorteil, dass die Signale mit Prozesso-ren digital weiter verarbeitet werden konnen. Damit hat man grundsatzlich viel mehr Moglichkeiten,die Messgroßen in der gewunschten Weise auszuwerten, als bei analogen Geraten. Als Beispiel seidie Messwert-Quadrierung genannt, wie sie zur Ermittlung des Effektivwerts (siehe Abschnitt. 2)benotigt wird. Die analoge Realisierung der Quadrierung erfordert einen nicht unerheblichen Auf-wand, wenn sie uber einen großen Wertebereich korrekt erfolgen muss. Digital bedeutet die Quadrie-rung eine einfache Rechenoperation.

Das grundsatzliche Blockschaltbild eines digitalen Multimeters fur die Messung von Spannungen undStromen zeigt Abb. 3. In der Eingangsstufe wird durch Impedanzwandler, realisiert durch elektroni-sche Schaltungen mit Operationsverstarkern, dafur gesorgt, dass die Anforderungen an gute Strom-bzw. Spannungsmessgerate (sehr niedriger bzw. hoher Eingangswiderstand) gut erfullt werden. Diesstellt einen weiteren wesentlichen praktischen Vorteil dar, weil die durch die endlichen Eingangswi-derstande entstehenden Messfehler meist vernachlassigt werden konnen (dieser Vorteil hat allerdingsnichts mit der Digitalisierung zu tun, Impedanzwandler werden auch bei hochwertigen analogenMessgeraten eingesetzt). Eine weitere Vereinfachung ergibt sich dadurch, dass man auf die Großeder zu messenden Große bei vielen Geraten, auch bei dem im Praktikum verwendeten Tischmul-timeter, nicht achten muss, weil sich die Empfindlichkeit automatisch der Messgroße anpasst. Beidem verwendeten Tischmultimeter muss man allerdings bereits beim Anschluss zwischen Strom- undSpannungsmessung unterscheiden (so wie dies auch im Blockschaltbild dargestellt ist).

M - 4

Analog-Digital-

Umsetzer

Prozessor Anzeige

Art derDaten-

auswertung

Spannungs-folger

Strom-Spannungs-

Wandler

u(t)

i(t)

u (t)u

u (t)i

COM

A

COM

uk

V

Abb. 3: Vereinfachtes Blockschaltbild eines digitalen Multimeters zur Messung von Spannungen undStromen.

d) Oszilloskope

Abb. 4: Elektronenstrahl-Rohre.

Das klassische Oszilloskop, so wie es im Praktikum eingesetzt wird, basiert auf der spannungsgesteu-erten Ablenkung eines Elektrodenstrahls in einer evakuierten Glasrohre (Braunsche Rohre, Abb. 4).Durch Anlegen einer Spannung zwischen Anode und einer geheizten Kathode treten an der KathodeElektronen aus, die zu einem Strahl fokussiert und beschleunigt werden und beim Auftreffen auf einenLeuchtschirm einen hellen Punkt erzeugen. Zwei Paare paralleler Platten, an die Spannungen gelegtwerden konnen, dienen der Ablenkung des Elektronenstrahls in vertikale und horizontale Richtung.

M - 5

Die meist verwendete Betriebsart eines Oszilloskops besteht darin, den zeitlichen Verlauf eines peri-odischen Signals darzustellen. Dazu wird dieses Signal in Form einer Spannung an das Plattenpaarfur die vertikale Ablenkung gelegt. Ohne horizontale Ablenkung entsteht dabei ein senkrechter Strichauf dem Leuchtschirm, der zwischen Minimal- und Maximalwert der angelegten Spannung pendelt.Damit der zeitliche Verlauf auf dem Schirm erscheint, benotigt man eine horizontale Ablenkung, dieinnerhalb einer Periode des Signals oder einem Vielfachen davon den Elektronenstrahl vom linkenzum rechten Rand des Leuchtschirms fuhrt, also eine linear mit der Zeit ansteigende Spannung. Da-nach muss der Elektronenstrahl unsichtbar (durch Unterdruckung des Elektronenstrahls) wieder anden Ausgangspunkt gefuhrt werden, also die Spannung schnell wieder auf den Startwert herabgesetztwerden. Die Spannung an den horizontalen Platten hat damit einen Verlauf, den man als ”Sagezahn”bezeichnet (zeichnen Sie solch eine ”Sagezahnfunktion” auf!).

Offenbar ist es wichtig, dass der Sagezahn einen zeitlichen Verlauf hat, der zum Signal passt,sonst wurden ja willkurlich irgendwelche Signalabschnitte auf den Schirm geschrieben. Wenn diestatsachlich passiert, ist das Oszilloskop nicht richtig ”getriggert”. Dann erhalt man ein wirres, sichstandig veranderndes Bild. Zur richtigen Synchronisierung dient die sogenannte Trigger-Einheit. Ma-chen Sie sich mit der Triggerfunktion des Oszilloskops im Praktikum vertraut!

Selbstverstandlich kann man an zur Horizontalablenkung auch andere Spannungen verwenden alsden Sagezahn, indem man an die horizontal ablenkenden Platte eine externe Spannung legt. Im”x-y-Modus” wird die Spannung an Kanal I als horizontale x-Ablenkung, die an Kanal II als ver-tikale y-Ablenkung verwendet. Dies kann man z. B. zur Darstellung einer Kennlinie nutzen: Wennman mithilfe eines Widerstands den Strom durch ein Bauelement in eine proportionale Spannungumwandelt, so hat man neben der Spannung am Bauelement eine stromproportionale Spannung zurVerfugung. Auf diese Weise kann man die Spannung als Funktion des Stroms u(i(t)) darstellen. Beisinusformigen Signalen wird dabei die Kennlinie u(i) in jeder Periode einmal durchlaufen, so dassman ein stehendes Bild erhalt.

Auch Oszilloskope lassen sich digitalisieren, indem man die darzustellenden Signale mit einem Analog-Digital-Umsetzer in zahlenmaßig gegebene Abtastwerte verwandelt. Diese konnen gespeichert, weiter-verarbeitet und auf einem geeigneten Bildschirm dargestellt werden. Da der wesentliche Unterschiedgegenuber dem klassischen Oszilloskop in der Speicherung der Daten liegt, spricht man meist von(digitalen) Speicher-Oszilloskopen. Es muss nicht gesagt werden, dass die Speicherung große Vortei-le besitzt. Unverzichtbar bleiben klassische Oszilloskope jedoch im Bereich sehr hoher Frequenzen(GHz) und sehr kurzer Spannungspulse (ps).

Damit Sie sich schon vor Beginn des Praktikums etwas mit dem Oszilloskop HAMEG 303 vertrautmachen konnen, werden im Folgenden die wichtigsten Bedienelemente anhand der Abb. 5 erlautert.Die Erlauterung ist sehr kurz gefasst und keineswegs vollstandig.

Es handelt sich um ein zweikanaliges Gerat mit zwei BNC-Eingangen (28, 32). Der dritte Eingang (36)ist ein externer Triggereingang, der im Praktikum nicht benotigt wird. Neben den beiden Eingangenbefinden sich Tasten (29, 33), mit denen sich die Darstellung des Gleichanteils im Signal unterdruckenlasst (”AC”). Jeweils daneben sind zwei weitere Tasten (30, 34, ”GD”, ”ground”) angeordnet, mitdenen sich die Spannung 0 V anzeigen lasst. Dies dient zur Orientierung der vertikalen Ablenkung(einstellbar uber die Drehknopfe 5 und 8, siehe spater). Uber den beiden Signaleingangen befindensich Tasten, mit denen die Art der Anzeige beeinflusst werden kann. Taste 15 schaltet zwischen Ka-

M - 6

Abb. 5: HAMEG 303, Frontpanel.

nal I und II um, wenn Taste 16 nicht gedruckt ist. Anderenfalls (im ”Dual”-Betrieb) werden beideKanale gleichzeitig (”alternierend”) dargestellt. Mit Taste 17 kann die Summe der Eingangsspan-nungen angezeigt werden. Durch Invertierung des Kanals II (35) kann auch die Differenz angezeigtwerden.

Uber den gerade besprochenen Tasten liegen die beiden Einstellknopfe (13, 18) fur die Empfind-lichkeiten der beiden Kanale (von 5 mV/cm bis 20 V/cm). Damit die so eingestellten Werte genaustimmen, mussen die beiden Drehknopfe 14 und 19 ganz nach rechts gedreht sein. Direkt daruberbefinden sich die beiden bereits erwahnten Drehknopfe (5, 8) zur vertikalen Positionierung der ange-zeigten Kurve in den Kanalen I und II. Rechts neben den Empfindlichkeitsstellern (13, 18) kann manzwischen verschiedenen Triggereinstellungen wahlen (AC: Wechselspannung, DC zusatzlich Gleich-spannung). Direkt daruber kann man das Vorzeichen der Triggerflanke (9, steigend oder fallend) undden Triggerpegel (10, Große der Augenblicksspannung, bei der die Triggerung erfolgen soll) einstel-len. Rechts neben der Triggereinstellung befindet sich der Drehknopf (24) fur die Zeitablenkung (0,2s/cm bis 0,1µ s/cm). Direkt darunter befindet sich u. A. die Taste zur Umstellung auf x-y-Betrieb(Achtung: wegen fehlender Zeitablenkung Einbrenngefahr des Leuchtpunktes bei fehlenden Eingangs-spannungen). Uber dem Drehknopf fur die Zeitablenkung (24) befindet sich ein Drehknopf (11) zurhorizontalen Verstellung beider Kanale.

2 Messung von Wechselgroßen mit und ohne Gleichanteil

Wir beschranken uns hier auf Wechselgroßen mit periodischen Zeitverlaufen. Zur einfachen Charak-terisierung solcher Wechselgroßen x(t) verwendet man verschiedene Kenngroßen wie den Mittelwertund den Effektivwert. Den zeitlichen Mittelwert erhalt man durch Integration uber eine Periode T .

M - 7

x(t) =1

T

+T/2∫

−T/2

x(t)dt. (1)

Zieht man den Mittelwert von der Zeitfunktion ab, so erhalt man per Definition ein mittelwertfreiesSignal. Diesen Anteil nennt man den ”Wechselanteil” x∼(t) des Signals

x∼(t) = x(t)− x(t) = x(t)−X=. (2)

Den Mittelwert bezeichnet man dazu passend auch als ”Gleichanteil” X=. Der Wechselanteil istmesstechnisch leicht durch einen Kondensator abzuspalten, da der Kondensator fur Gleichstrom un-durchlassig ist.

Abb. 6: Zerlegung einer allgemeinen und einer sinusformigen Wechselgroße in Gleich- und Wechse-lanteil.

In Abb. 6 ist die Zerlegung in Gleich- und Wechselanteil fur ein allgemeines und ein sinusformigesSignal dargestellt. Die schraffierten Flachen sind jeweils gleich groß (warum?). Die Differenz zwischenmaximalem und minimalem Wert der Wechselgroße bezeichnet man als Spitze-Spitze-Wert XSS. Beieiner sinusformigen Wechselgroße ist die Amplitude des Wechselanteils gleich dem halben Spitze-Spitze-Wert.

Zur Angabe der Starke einer Wechselgroße wird haufig der Effektivwert berechnet oder gemessen. Erist definiert als

X =

√√√√√√1

T

+T/2∫

−T/2

x2(t)dt. (3)

Durch diese Definition wird erreicht, dass eine Wechselgroße mit einem bestimmten Effektivwert die-selbe elektrische Leistung in einem Widerstand in Warme umsetzt wie eine Gleichgroße (Strom oder

M - 8

Spannung) derselben Starke. Entsprechend der englischen Bezeichnung des Effektivwerts als ”RootMean Square” findet man haufig die Bezeichnung RMS.

Zwischen dem Effektivwert einer Wechselgroße X und dem Effektivwert des Wechselanteils X∼ be-steht folgender Zusammenhang (nachrechnen!):

X2 = X2= + X2

∼. (4)

Die Messung des Effektivwerts erfordert entsprechend der Definitionsgleichung (3) eine in analogerTechnik nur relativ schwer zu realisierende Messvorschrift. Deshalb wird in analogen Geraten stattdes Effektivwerts meist ein anderer, leichter messbarer Wert, der ”Gleichrichtwert” gemessen unddurch Umskalierung in den Effektivwert uberfuhrt. Die Umskalierung erfolgt unter Zugrundelegungeiner sinusformigen Wechselgroße. Dies wird im Folgenden erklart:

Der Gleichrichtwert ist definiert als Mittelwert des Betrags einer Wechselgroße, wobei die Bildungdieser Große meist nur fur den Wechselanteil x∼(t) sinnvoll ist (dem entspricht das Ausfiltern desGleichanteils durch einen Kondensator).

| x | = 1

T

+T/2∫

−T/2

| x(t) | dt. (5)

Der Betrag einer Zeitfunktion kann mit Gleichrichtern leicht gebildet werden. Fur eine konkreteZeitfunktion lasst sich der Konversionsfaktor F, der sogenannte ”Formfaktor”, berechnen, mit demder primar gemessene Gleichrichtwert in den zugehorigen Effektivwert umgerechnet werden kann:

X = F · | x |. (6)

Bei analogen Multimetern wird bei der Anzeige von Effektivwerten grundsatzlich der Konversions-faktor fur sinusformige Wechselgroßen (ohne Gleichanteil) berucksichtigt (F = 1, 11). Hochwerti-ge digitale Multimeter zeigen hingegen ”echte” Effektivwerte nach der Definitionsgleichung (3) an.Das wird als TRMS (true RMS) bezeichnet. TRMS-Werte konnen fur Wechselgroßen mit und ohneGleichanteile gebildet werden. Mit steigender Frequenz und steigendem Scheitelfaktor (Verhaltnisvon Maximalamplitude zu Effektivwert des Wechselanteils) wird die Genauigkeit des TRMS-Wertesallerdings meist schlechter (konnen Sie sich Grunde dafur vorstellen?).

3 Messung von Phasenverschiebungen

Haufig interessiert man sich fur die Spannungs-Ubertragung vom ”Eingang” zum ”Ausgang” einer”linearen” elektrischen Schaltung. Lineare Schaltungen entstehen z. B., wenn man ausschließlich Wi-derstande R, Kondensatoren C und Induktivitaten L verwendet. Als Eingang und Ausgang dientjeweils ein Klemmenpaar, an dem die Eingangsspannung uE(t) bzw. die Ausgangsspannung uA(t)auftritt. Die dazwischen liegende Schaltung wird als Zweitor bezeichnet. Abb. 7 zeigt ein allgemeinesZweitor. Das angedeutete RC-Glied ist nur als einfaches Beispiel fur eine spezielle ”Fullung” desZweitors gemeint.

Bei sinusformiger Speisung des Zweitors tritt auch am Ausgang eine sinusformige Spannung auf,die dieselbe Frequenz f bzw. Kreisfrequenz ω = 2πf wie die speisende Spannung besitzt. In diesem

M - 9

Abb. 7: Spannungen an einem Zweitor.

Fall beschreibt man die Situation am Besten mit komplexen Amplituden, also mit den komplexenSpannungen UE und UA . Der Unterschied zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung lasst sichdurch das Verhaltnis der Amplitudenbetrage und die Phasenverschiebung ausdrucken. Das Amplitu-denverhaltnis lasst sich leicht bestimmen, indem man die reellen Amplituden oder die Effektivwertevon Ausgangs- und Eingangsspannung durcheinander dividiert. Dies liefert das Verhaltnis

V =UA

UE

=UA

UE

. (7)

D

Abb. 8: Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen zwei Sinusschwingungen.

Die Phasenverschiebung zwischen Eingang und Ausgang kann mit einem zweikanaligen Oszilloskopdirekt sichtbar gemacht werden (Abb. 8). Uberlegen Sie sich, wie Sie aus den abgelesenen Werten fur∆t und T die Phasenverschiebung berechnen konnen. Alternativ lasst sie sich auch aus Effektivwertenbestimmen. Dazu muss man neben den Effektivwerten der Eingangs- und Ausgangsspanuung (UE

und UA) auch den Effektivwert der Spannungsdifferenz zwischen Ein- und Ausgang U∆ messen. Daszugehorige Zeigerdiagramm (Abb. 9) reprasentiert den Maschenumlauf UE = U∆ + UA. Aus demKosinussatz erhalt man

ϕ = arccos

U2

A + U2E − U2

∆

2UAUE

= arccos

U2

A + U2E − U2

∆

2UAUE

. (8)

M - 10

D

j =

Abb. 9: Zeigerdiagramm, das der Situation in Abb. 8 entspricht.

Man kann also durch Messung der drei Spannungen die Phasenverschiebung ϕ bestimmen.

Das Amplitudenverhaltnis und die Phasenverschiebung kann man zu einer komplexen Ubertragungs-funktion zusammenfassen, die die komplexen Ein- und Ausgangsgroßen verbindet.

UA = H · UE, H = V ejϕ. (9)

Prufen Sie dies nach!

4 Aufnahme von Kennlinien

Als Kennlinie eines elektrischen Bauelements mit zwei Anschlussklemmen (”Eintor”) bezeichnet mandie Darstellung der Gleichspannung an dem Bauelement als Funktion des hindurch fließenden Gleich-stroms U = f(I) oder umgekehrt I = f(U). Solche Kennlinien konnen Punkt fur Punkt (U, I) ge-messen werden oder mit einem Oszilloskop unter Verwendung von Wechselgroßen niedriger Frequenzdargestellt werden (bei einer Gleichspannungsquelle sahe man auf dem Oszilloskop nur einen einzi-gen Punkt der Kennlinie). Eine Messschaltung zur Aufnahme der Kennlinie eines Eintors mit demOszilloskop zeigt Abb. 10.

Abb. 10: Aufnahme der Kennlinie eines Eintors mit einem Oszilloskop unter Verwendung der x-y-Ablenkung. Das Symbol fur das Oszilloskop zeigt symbolisch die vier beteiligten Platten zur Ablenkungdes Elektronenstrahls.

Um die Strom-Spannungs-Kennlinie Ix = f(Ux) des unbekannten Eintors aufzunehmen, muss diehorizontale x-Ablenkung des Oszilloskops, die normalerweise die Zeitachse reprasentiert und intern

M - 11

erzeugt wird, durch eine von außen eingespeiste Spannung gesteuert werden, die der Spannung amEintor ux entspricht. Dazu ist die Betriebsart ”x-y-Ablenkung” des Osziloskops vorgesehen. In verti-kaler Richtung soll die Ablenkung dem Strom durch das Eintor entsprechen. Dies gelingt durch Um-wandlung des Stroms ix in eine proportionale Spannung mithilfe eines Widerstands R. Der zusatzlichin Abb. 10 vorgesehene Vorwiderstand RV dient einer Strombegrenzung bei eventuellen Verschal-tungsfehlern.

Zwei der vier Ablenkungsplatten eines Oszilloskops sind miteinander und mit dem Gehause elektrischverbunden (Laborjargon: ”sie liegen auf Masse”). Dieser Punkt wird bei Anschluss an eine Steckdosegeerdet. Der Masseanschluss ist in der Messschaltung in Abb. 10 eingezeichnet. Die beiden Eingangedes Oszilloskops sind also ”nicht potenzialfrei”. Die beiden Eingange sind mit ”BNC-Buchsen” aus-gefuhrt. Außen liegt der mit dem Gehause leitend verbundene ”Masseanschlus”, innen der freie Pol,im Laborjargon auch als ”heißes Ende” bezeichnet.

Das Faktum, dass das Oszilloskop nicht potenzialfrei ist, hat Auswirkungen auf die Wahl der dieSchaltung speisenden Spannungsquelle u0. Wurde man als Spannungsquelle den in anderen Ver-suchsteilen benutzten Funktionsgenerator ohne weitere Maßnahmen einsetzen, entstunde ein Problemdadurch, dass auch der Funktionsgenerator uber die Steckdose geerdet ist. Bei diesem Gerat ist derAusgang nicht potenzialfrei: er liegt einseitig ”auf Masse”. Uberlegen Sie sich die Folgen einer gleich-zeitigen Erdung der Spannungsquelle und des Oszilloskops durch Betrachtung der Messschaltung furdiesen Fall.

5 Vorbereitende Aufgaben

(a) Bei der Messschaltung nach Abb. 2 entstehen Messfehler aufgrund der endlichen Innenwiderstandeder beteiligten Messgerate. Die Schaltung sei an eine ideale Spannungsquelle U0 angeschlossen.Berechnen Sie die auftretenden relativen Fehler von Strom und Spannung fur die zwei folgendenMessfalle:

• Messfall I: Innenwiderstand des Strommessgerats RA = 1Ω, Spannungsmessgerat ideal.

• Messfall II: Strommessgerat ideal, Innenwiderstand des Spannungsmessgerat RV = 2MΩ.

Der zu messende Widerstand betragt Rx = 220 kΩ. Bestimmen Sie die relativen Fehler fur den Be-zugsfall, dass die wahren Werte von Strom und Spannung Iw und Uw auftreten, wenn die Messgerateentfernt werden.

∆I

Iw

=I − Iw

Iw

und∆U

Uw

=U − Uw

Uw

(10)

(b) Berechnen Sie den Effektivwert und den Gleichrichtwert fur ein sinusformiges Signal, ein Recht-ecksignal und ein Dreiecksignal, wobei zwecks Allgemeingultigkeit jeweils ein Gleichanteil uberlagertsein soll.

6 Messaufgaben

Zur Durchfuhrung der Messungen benotigen Sie neben den verschiedenen Messgeraten und Verbin-dungskabeln das Schaltbrett nach Abb. 11 und fur die letzte Messaufgabe 6.4 einen zusatzlichenUbertrager zur Potenzialtrennung.

M - 12

W

W

Abb. 11: Schaltbrett zu diesem Versuch. Die Kreise kennzeichnen Buchsen, die Sie verkabeln konnen.Die eingezeichneten elektrischen Bauelemente sind bereits fest eingelotet.

6.1 Gleichspannungen und Gleichstrome

In diesem Versuchsteil wird der denkbar einfachste elektrotechnische Versuch durchgefuhrt. Sie sol-len an einem durch eine Gleichspannungsquelle gespeisten Widerstand Rx Strom und Spannungmessen. Bei dieser Gelegenheit werden Sie den Umgang mit analogen und digitalen Multmetern ler-nen. Grundsatzlich wird die Messchaltung nach Abb. 2 verwendet, wobei Sie ein analoges und eindigitales Multimeter zur Verfugung haben.

Messungen:

Zunachst muss die Uberstimmung der beiden Multimeter uberpruft werden. Entwerfen Sie zwei Schal-tungen, bestehend aus Gleichspannungsquelle, Widerstand und den beiden Multimetern, mit denenSie mit beiden Multimetern dieselbe Spannung bzw. denselben Strom messen konnen. Fuhren Sie dieMessungen durch. ”Trauen” Sie den mit den digitalen Multimetern gemessenen Werten und bestim-men Sie die Faktoren fur Strom und Spannung, mit denen die analog gewonnenen Werte korrigiertwerden mussen.

Realisieren Sie nun die Messschaltung nach Abb. 2 und messen Sie zweimal Strom und Spannungwie folgt: Setzen Sie zunachst das analoge Multimeter zur Strom- und das digitale Multimeter zurSpannungsmessung ein (Messfall I). Danach fuhren Sie die Messung mit vertauschten Rollen derbeiden Multimeter durch (Messfall II).

Auswertung:

Gehen Sie von der Annahme aus, dass sich das digitale Multimeter ideal verhalt (was bedeutet das?).Berechen Sie unter dieser Annahme den Wert des benutzten Widerstands Rx. Welche Messgroße inwelchem Messfall wird besonders fehlerhaft gemessen? Berechnen Sie den relativen Messfehler dieserGroße, bezogen auf den ohne Anwesenheit der Messgerate am Widerstand Rx auftretenden Wert.

M - 13

Dabei konnen Sie davon ausgehen, dass auch der Innenwiderstand des analogen Multimeters beiStrommessung klein gegen den Widerstand Rx ist.

6.2 Wechselspannungen und Wechselstrome mit und ohne Gleichanteil

Messungen:

Generieren Sie mit dem Funktionsgenerator (a) eine sinusformige, (b) eine rechteckformige und (c)eine dreieckformige Spannung und stellen Sie zusatzlich einen Gleichanteil ein. Verwenden Sie eineFrequenz von etwa 1kHz. Stellen Sie die fur alle Signale die Amplitude des Wechselanteils auf 3 V,den Gleichanteil auf 2 V ein. Kontrollieren Sie die Zeitfunktion mit dem Oszilloskop.

Messen Sie mit dem Digitalmultimeter, jeweils fur alle drei Signale, die Effektivwerte in den beidenEinstellungen ”VAC” (nur Wechselanteil) und ”VAC+DC” (Gleich- und Wechselspannung zusammen).

Auswertung:

Uberprufen Sie die gemessenen Ergebnisse anhand der Berechnungen zur vorbereitenden Aufgabe(b).

6.3 Phasenverschiebungen

Es werden die Phasenverschiebungen an einem speziellen Zweitor gemaß Abschnitt 3 gemessen. Beidem Zweitor handelt es sich um ein CR-Glied mit variablem Widerstand (”Potenziometer”). DurchDrehen am Potenziometer konnen verschiedene Phasenverschiebungen eingestellt werden.

Achtung: Das Zweitor ist nicht identisch mit dem in Abschnitt 3 (Abb. 7) als Beispiel verwendeten!Sie mussen sich insbesondere das Zeigerbild neu uberlegen.

Messungen:

Stellen Sie durch Variation des Potenziometers zwei deutlich unterschiedliche Phasenlagen ein undmessen Sie die Phasendifferenzen zwischen Ein- und Ausgang jeweils gemaß Abschnitt 3 mit demOszilloskop und durch Messung von Effektivwerten mit dem Digitalmultimeter.

Auswertung:

Berechnen Sie fur beide Potenziometerstellungen die Phasenverschiebungen zwischen Ein- und Aus-gang nach beiden Messmethoden. Zeichen Sie jeweils ein maßstabliches Zeigerbild der Spannungen.

6.4 Kennlinie einer Zenerdiode

Dieser Versuchsteil folgt Abschnitt 4. Als spezielles Eintor wird in diesem Versuch eine ”Zenerdiode”verwendet. Wahrend eine normale Diode in eine Spannungsrichtung leitet und in die andere sperrt,wird die Zenerdiode ab einer bestimmten Spannung auch in ”Sperrrichtung” leitend.

M - 14

Messungen:

Realisieren Sie die Messschaltung nach Abb. 10. Da das Oszilloskop einseitig geerdete Eingange be-sitzt, kann der ebenfalls einseitig geerdete Ausgang des Funktionsgenerators nicht direkt benutztwerden, um die Schaltung zu speisen. Aus diesem Grunde wird zur Potenzialtrennung ein Ubertra-ger zwischengeschaltet, dessen Sekundarwicklung potenzialfrei ist. Zeichnen Sie das Schaltbild derAnordnung und kennzeichnen Sie dabei alle geerdeten Pole.

Nehmen Sie im x-y-Modus die Kennlinie der Zenerdiode bei sinusformiger Anregung mit einer Fre-quenz von etwa 300 Hz auf. Skizzieren Sie die Kennlinie in ein Diagramm UR = f(UZ), indem SieWertepaare vom Oszilloskop ablesen. Der Widerstand R zur Messung des Stroms besitzt den Wert1 kΩ.

Stellen Sie Strom IZ und Spannung UZ der Zenerdiode auch als Zeitfunktionen auf dem Oszilloskopdar. Skizzieren Sie die beiden Zeitfunktionen in einem gemeinsamen Diagramm. Achten Sie dabeiauf die korrekte Lage der Nulllinien von Strom und Spannung.

Auswertung:

Skalieren Sie die Strom-Achse der bereits gezeichneten Kennlinie, so dass Sie die gewunschte KennlinieIZ = f(UZ) darstellen. Erklaren Sie ferner den Verlauf der gemessenen Zeitfunktionen von Zenerstromund -spannung.

7 Literatur

Schrufer, Elmar: Elektrische Messtechnik, Hanser Fachbuchverlag 2004, ISBN 3446220704

Becker, W-J., Bonfig, K.W., Hoing, K.: Handbuch der elektrischen Messtechnik, Huthig Verlag Hei-delberg, 2000, ISBN 3-7785-2769-X

M - 15

Versu h E1 Strom- und Spannungsmessungen,KompensationsmessverfahrenInhaltsverzei hnis1 Vorbemerkung 22 Grundlagen 22.1 Der Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Ersatzspannungsquelle für lineare S haltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Spannungsmessung dur h Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Strommessung dur h Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Vorbereitende Aufgaben 54 Versu hsdur hführung 54.1 Strom-Spannungs-Kennlinie einer Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Der Spannungsteiler ohne und mit Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Innenwiderstand eines Voltmeters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Auswertung 76 Literatur 8Lernziele

• Idee des Kompensationsmessverfahrens verstehen• Praktis he Erfahrungen beim Aufbau elektris her S haltungen sammeln• Grundsätzli he Überlegungen beim Entwurf von Messs haltungen kennen lernen (z.B. Tren-nung der Messs haltungen für Strom und Spannung)• Einfa he S haltung zur Widerstandsmessung entwerfen und dimensionieren können• Fehlerfortpanzung bei der Verwendung von Messwerten in Bere hnungen erkennenE1 - 1

1 VorbemerkungBitte arbeiten Sie diese Versu hsunterlagen sorgfältig dur h. Lösen Sie au h die vorbereitendenAufgaben (Kap. 3). Dadur h können Sie kontrollieren, ob Sie für den Versu h ausrei hendvorbereitet sind. Bringen Sie die Lösungen der Vorbereitungsaufgaben zum Praktikumsterminmit.2 Grundlagen2.1 Der Spannungsteileru0

R1

R2 u2

i

u0

(1 − α) · R

u2

i

α · R

R

RLAbbildung 1: Ein Spannungsteiler kann aus zwei diskreten Widerständen R1 und R2 oder alseinstellbarer Spannungsteiler aus einem Widerstand R mit vers hiebbarem Mittelabgri aufge-baut werden. Die Stellung des Mittelabgris wird dur h den Wert von α angegeben (0 ≤ α ≤ 1).S haltet man zwei ohms he Widerstände R1 und R2 gemäÿ Abb. 1 mit einer Spannungsquelle u0zusammen, so kann man am Widerstand R2 eine Spannung u2 < u0 abgreifen. In dem dur hdie Spannungsquelle und die beiden Widerstände gebildeten Stromkreis ieÿt der Strom i =u0/(R1 + R2). Damit erhält man für die Spannung u2 am Widerstand R2 den Wert

u2 = R2 i = u0

R2

R1 + R2

.Häug werden die Widerstände R1 und R2 dur h einen einzigen Widerstand R mit vers hieb-barem Mittelabgri gebildet. Die Spannung u2 erre hnet si h in diesem Fall mit R1 = (1−α) R,R2 = α R und R = R1 + R2 zu u2 = α u0 (0 ≤ α ≤ 1).Die oben angegebene Beziehung zur Bere hnung von u2 gilt nur für den unbelasteten Span-nungsteiler. Dur h Ans hluss eines Lastwiderstandes RL wird der Spannungsteiler belastet,und die Spannung u2 sinkt. Re hneris h lässt si h dies erfassen, wenn man die entstandeneParallels haltung aus R2 und RL zu einem Ersatzwiderstand R

′

2zusammenfasst und R

′

2statt

R2 in die oben angegebene Formel zur Bere hnung von u2 einsetzt man erhältu2 = u0

R′

2

R1 + R′

2mitR

′

2= (

1

R2

+1

RL

)−1.E1 - 2

2.2 Ersatzspannungsquelle für lineare S haltungenBeliebige Zusammens haltungen aus idealen Quellen und linearen S haltelementen (z.B. ohm-s hen Widerständen) verhalten si h linear. Die Strom-Spannungs-Kennlinie einer linearen S hal-tung ist eine Gerade. Jede lineare S haltung kann also dur h eine Ersatzspannungsquelle ersetztwerden, wie sie in Abb. 2 dargestellt ist, wenn man deren Elemente ui und Ri entspre hendwählt.ui

Ri

u

i

La

st

i

u

ui

iKAbbildung 2: Ersatzspannungsquelle mit den Elemente ui und Ri. Abhängig von der anges hlos-senen Last ergibt si h als Strom-Spannungs-Kennlinie eine Gerade. Die negative Steigung dieserGeraden ist glei h dem Innenwiderstand Ri der Ersatzspannungsquelle es gilt Ri = ui/iK.2.3 Spannungsmessung dur h KompensationMessobjekt ux

iV

VVoltmeter mitInnenwiderstandRVAbbildung 3: Spannungsmessung dur h Ans hlieÿen eines Voltmeters direkt an die Klemmendes MessobjektsDie Messung der Spannung ux an den Klemmen eines Messobjekts erfolgt meist dur h Ans hlie-ÿen eines Voltmeters direkt an die Klemmen des Messobjekts (siehe Abb. 3). Da allerdings jedesVoltmeter einen endli h groÿen Innenwiderstand RV aufweist, ieÿt dur h das Voltmeter derStrom iV = ux/RV . Dieser Strom wird dem Messobjekt entnommen und kann die Spannungs-messung beeinussen.Mit Hilfe eines Kompensationsmessverfahrens kann man den Strom i, wel her dem Messobjektentnommenen wird, zu Null ma hen und damit eine mögli he Beeinussung der Spannungs-messung vermeiden. Die dazu erforderli he S haltung ist in Abb. 4 dargestellt. Die Messungder Spannung ux am Messobjekt erfolgt dur h Verglei h mit einer Spannung uy, die voneinem Voltmeter gemessen und angezeigt wird. uy wird von einer (Hilfs-)Spannungsquelle

uH ≥ uy und einem einstellbaren Spannungsteiler R bereitgestellt. Je na h Stellung des Abgrisam einstellbaren Spannungsteiler kann uy kleiner, gröÿer oder glei h ux sein. Der Strom idur h das Amperemeter A vers hwindet genau dann, wenn ux = uy gilt, denn dann ist keinePotentialdierenz zwis hen den Klemmen des Amperemeters vorhanden, die einen Strom dur hE1 - 3

uy

A

uH

R

iV

V

i

uxMessobjekt

Abbildung 4: Spannungsmessung mit Hilfe eines Kompensationsmessverfahrens. Dur h Einstel-lung des Spannungsteilers R wird der Strom i zu Null abgegli hen, und es gilt ux = uy.das Amperemeter treiben könnte. Als Amperemeter verwendet man ein mögli hst empndli- hes Messinstrument, wel hes sowohl positive wie au h negative Ströme anzeigen kann, alsobeispielsweise ein Zeigerinstrument mit Mittelstellung des Zeigers im stromlosen Zustand. DieMessung der Spannung ux erfolgt nun folgendermaÿen: Man vers hiebt den Mittelabgri desSpannungsteilers R so lange, bis das Amperemeter A den Strom i = 0 anzeigt. Nun kannuy = ux am Voltmeter V abgelesen werden.2.4 Strommessung dur h Kompensation

Messobjekt uA

ix

AAmperemeter mitInnenwiderstandRAAbbildung 5: Strommessung dur h Eins halten eines Amperemeters in den Leiter mit dem zumessenden Strom ixDie Messung des Stromes ix in einem Leiter erfolgt meist dur h Auftrennen des Leiters undEins halten eines Strommessgerätes (siehe Abb. 5). Da allerdings jedes Amperemeter einenInnenwiderstand RA > 0 aufweist, fällt am Amperemeter eine Spannung uA ab, wel he dieStrommessung beeinussen kann.

RS

uH

u = 0VMessobjekt A

RA

uAix (RS + RA)

ix

Abbildung 6: Strommessung mit Hilfe eines Kompensationsmessverfahrens. RS wird so einge-stellt, dass uH = ix (RS + RA) gilt dadur h wird die Spannung u zu Null, und der Strom ixieÿt vollständig dur h das Amperemeter A.Mit Hilfe eines Kompensationsmessverfahrens kann man den Spannungsabfall uA kompensie-ren und damit eine mögli he Beeinussung der Messung vermeiden. Die dazu erforderli heE1 - 4

S haltung ist in Abb. 6 dargestellt. In Reihe mit dem Amperemeter wurden eine Hilfsspan-nungsquelle uH und ein einstellbarer Widerstand RS ges haltet. RS wird so eingestellt, dassder Spannungsabfall an Amperemeter und Widerstand RS zusammen genau glei h der Span-nung uH ist (Bea hten Sie die Ri htung der Hilfsspannungsquelle!). Dies wird mit Hilfe einesSpannungsmessgeräts kontrolliert, wel hes (dur h Variation von RS) auf den Wert u = 0 V ab-gegli hen wird. Dadur h wird der Strom dur h dieses Spannungsmessgerät zu Null, und ix ieÿtvollständig dur h das Amperemeter A. Als Spannungsmessgerät verwendet man ein mögli hstempndli hes Messinstrument, wel hes sowohl positive wie au h negative Spannungen anzeigenkann, also beispielsweise ein Zeigerinstrument mit Mittelstellung des Zeigers im spannungslosemZustand. Au h ein empndli hes Amperemeter ist einsetzbar.3 Vorbereitende Aufgabenu0

(1 − α) · R

u2

i

α · R

R

RLAbbildung 7: Dur h den Widerstand RL belasteter einstellbarer SpannungsteilerBetra htet wird der in Abb. 7 dargestellte einstellbare Spannungsteiler. Im unbelasteten Zu-stand, also ohne Ans hluss des Lastwiderstandes RL, hat die Ausgangsspannung u2 des Span-nungsteilers den Wert u2,oB. Dur h den Ans hluss von RL ändert sie si h auf den Wert u2,mB.a) Ist u2,mB kleiner oder gröÿer als u2,oB? Begründen Sie Ihre Antwort.b) Gegeben seien die folgenden Gröÿen: u0 = 10 V, R = 10 kΩ, u2,oB = 5 V, u2,mB =4 V. Auf wel hem Wert α steht der Mittelabgri des Spannungsteilers? Wie groÿ ist derWiderstand RL? Geben Sie au h einen allgemeinen Ausdru k für RL als Funktion von u0,R, u2,oB und u2,mB an.4 Versu hsdur hführung4.1 Strom-Spannungs-Kennlinie einer QuelleMit Hilfe der in Abb. 8 dargestellten Messs haltung soll ein Teil der Strom-Spannungs-Kennlinie(ix in Abhängigkeit von ux) einer Quelle (= Messobjekt) aufgenommen werden. Der Strom ix,wel her der Quelle entnommen wird, kann mit Hilfe des verstellbaren Widerstandes R1 variiertwerden und wird vom Vielfa hmessinstrument Metrix im jeweils empndli hsten mögli hender angegebenen Messberei he angezeigt. Die Messung der Spannung ux erfolgt mit Hilfeeines Kompensationsmessverfahrens. Für jeden Messpunkt muss der Strom ∆i mit Hilfe desE1 - 5

R1 = 11500 Ω12 V 5 V

+/ − 250 µA

400 mV

ux

∆i

uy

ix

0, 5 / 5 mA

(Messobjekt)

Quelle

grün

grün

rot

schwarz

R2 =11500 Ω

Abbildung 8: Messs haltung zur Bestimmung der Strom-Spannungs-Kennlinie einer Quelle(= Messobjekt)einstellbaren Spannungsteilers R2 zu Null abgegli hen werden, so dass dann uy = ux gilt undsomit ux am Voltmeter abgelesen werden kann. Die gesamte Messs haltung ist so aufgebaut,dass der Strom ix in einem eigenen Strompfad ieÿt und dadur h keine Spannungsabfälle inLeitungen oder Ste kkontakten verursa hen kann, wel he die Spannungsmessung verfäls henkönnten.Die bes hriebene Messs haltung ist geeignet, den gröÿten Teil der Stom-Spannungs-Kennlinieder Quelle auszumessen. Eine kleine Veränderung ist notwendig, um den Leerlauf der Quelle(d.h. ix = 0) zu erfassen: Es ist notwendig, den Strompfad zu unterbre hen, beispielsweise dur hHerausnehmen des Vielfa hmessinstruments.Völlig ungeeignet ist die S haltung jedo h zur Messung des Kurzs hlussstroms der Quelle. DerStrompfad weist immer einen endli h groÿen Widerstand auf, minimal den Innenwiderstand desals Amperemeter verwendeten Vielfa hmessinstruments. Daher ist immer eine Spannung ux > 0erforderli h, um Strom dur h den Strompfad zu treiben. Im Kurzs hlussfall ist jedo h ux = 0!12 V

5 V+/ − 250 µA

ux

∆i

5 mA

(Messobjekt)

Quelle

grün

grün

rot

schwarz

ix

R1 =11500 Ω

Abbildung 9: Messs haltung zur Bestimmung des Kurzs hlussstroms einer QuelleUm den Kurzs hlussstrom der Quelle zu messen, soll die S haltung aus Abb. 9 verwendetwerden. Der Strom ∆i muss dur h geeignetes Einstellen des verstellbaren Widerstandes R1 zuNull abgegli hen werden in diesem Fall gilt au h für die Ausgangsspannung der Quelle ux = 0,d.h. es liegt der erwüns hte Kurzs hluss der Quelle vor. Der Ausgangsstrom ix der Quelle istglei h dem gesu hten Kurzs hlussstrom und kann am Vielfa hmessinstrument (Messberei h0,5 mA) abgelesen werden. E1 - 6

4.2 Der Spannungsteiler ohne und mit Belastung12 V 15 V

∆i

+/ − 250 µA

zweipoliger Umschalter

R2 =11500 Ω

R1 = 11500 Ω(mit Skala)

15 V

Abbildung 10: S haltung zur Messung der Ausgangsspannung eines einstellbaren Spannungstei-lers R1 in Abhängigkeit von der Stellung des Mittelabgris. Die Ausgangsspannung von R1 wirdje na h Stellung des zweipoligen Ums halters mit Hilfe des Kompensationsmessverfahrens oderdirekt dur h das Voltmeter gemessen.Die in Abb. 10 dargestellte S haltung soll zur Messung der Ausgangsspannung eines einstell-baren Spannungsteilers verwendet werden. Die Ausgangsspannung wird in der eingezei hnetenStellung des zweipoligen Ums halters mit Hilfe des Kompensationsmessverfahrens gemessen.Wegen des Abglei hs auf ∆i = 0 wird der Spannungsteiler ni ht belastet. (Dieser Abglei hmuss für jeden Messpunkt neu vorgenommen werden!)Dur h Ums halten der S haltkontakte wird das Voltmeter direkt an den Mittelabgri desSpannungsteilers ges haltet, wodur h dann der dur h das Voltmeter ieÿende Strom den Span-nungsteiler belastet. Die gemessene Spannung wird je na h Stellung des Mittelabgris desSpannungsteilers vers hieden stark vom unbelasteten Fall abwei hen.Im Versu h ist die Ausgangsspannung des Spannungsteilers für folgende Stellungen des Mitte-labgris in jeweils beiden Stellungen des zweipoligen Ums halters aufzunehmen: α = 0; 0,05;0,1; 0,2; 0,3; . . . 0,9; 0,95; 1.4.3 Innenwiderstand eines VoltmetersBauen Sie unter Verwendung der im Versu h vorhandenen Messgeräte eine mögli hst einfa heMesss haltung zur Bestimmung des Innenwiderstands des in 4.2 verwendeten Voltmeters aufund führen Sie die entspre hende Messung dur h.5 AuswertungZu 4.1:

• Zei hnen Sie die Strom-Spannungskennlinie der vermessenen Quelle.• Bere hnen Sie die Elemente der zugehörigen Ersatzspannungsquelle.Zu 4.2 und 4.3: E1 - 7

• Zei hnen Sie die aufgenommenen Kennlinien des Spannungsteilers ohne und mit Belastungin ein einziges Diagramm ein.• Bere hnen Sie jeweils aus den Messwerten zu mehreren Stellungen des MittelabgrisWertefür den Innenwiderstand des verwendeten Voltmeters. Verglei hen Sie diese Werte mit derunter 4.3 direkt ermittelten Gröÿe des Innenwiderstandes.6 Literatur• Pregla, R: Grundlagen der Elektrote hnik, Hüthig Verlag Heidelberg• Alba h, M.: Grundlagen der Elektrote hnik 1, Pearson Studium

E1 - 8

Versu h E2 Elektris hes Feld und StrömungsfeldInhaltsverzei hnis1 Vorbemerkung 22 Grundlagen 22.1 Feldbegri, graphis he Darstellung von Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Elektris hes Feld, Potential und Strömungsfeld im stationären Zustand . . . . . 22.3 Feldlinienbilder des stationären Strömungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Vorbereitende Aufgaben 54 Versu hsdur hführung 65 Auswertung 76 Literatur 7

Lernziele• Unters hied zwis hen einem skalaren Feld und einem Vektorfeld erklären können• Zusammenhänge zwis hen elektis hem Feld, Potential und Strömungsfeld kennen• Äquipotential- und Feldlinien eines Stromdi htefeldes bei einfa hen Elektrodenanordnun-gen konstruieren können E2 - 1

1 VorbemerkungBitte arbeiten Sie diese Versu hsunterlagen sorgfältig dur h. Lösen Sie au h die vorbereitendenAufgaben (Kap. 3). Dadur h können Sie kontrollieren, ob Sie für den Versu h ausrei hendvorbereitet sind. Bringen Sie die Lösungen der Vorbereitungsaufgaben zum Praktikumsterminmit.2 Grundlagen2.1 Feldbegri, graphis he Darstellung von FeldernMan spri ht von einem Feld, wenn jedem Punkt im Raum eine physikalis he Gröÿe dieFeldgröÿe zugeordnet werden kann. Man unters heidet:• Skalare Felder: Die Feldgröÿe ist ein Skalar, jeder Punkt im Raum ist dur h den Wertdieses Skalars gekennzei hnet (z.B. Raumtemperatur).• Vektorfelder: Die Feldgröÿe ist ein Vektor, jeder Punkt im Raum ist sowohl dur h denBetrag als au h dur h die Ri htung dieses Vektors gekennzei hnet (z.B. Strömungsge-s hwindigkeit einer Flüssigkeit).Skalare Felder werden graphis h dur h die Darstellung von Berei hen mit konstanter Feldgröÿedargestellt. Diese Berei he sind meist Flä hen, bei der zei hneris hen Darstellung ergeben si hdur h den S hnitt mit der Zei henebene Linien konstanter Feldgröÿe (z.B. Isothermen auf einerWetterkarte).Vektorfelder werden graphis h meist dur h so genannte Feldlinien dargestellt. Die Ri htungder Feldgröÿe entspri ht dann der Feldlinienri htung, der Betrag der Feldgröÿe entspri ht derFeldliniendi hte auf einer Flä he senkre ht zu den Feldlinien.2.2 Elektris hes Feld, Potential und Strömungsfeld im stationärenZustandBetra htet wird in diesem Versu h der stationäre Zustand einer elektris hen Versu hsanord-nung. Jegli he zeitli he Änderung von elektris hen (und au h magnetis hen) Feldern ist dabeini ht erlaubt dur h derartige Änderungen hervorgerufene Eins hwingvorgänge müssen voll-ständig abgeklungen sein. Zugelassen ist nur eine glei hförmige Bewegung von Ladungsträgern dies entspri ht einem ieÿenden Glei hstrom.Analog zu der potentiellen Energie einer Masse im S hwerefeld der Erde hat ein Ladungsträger,wel her die Ladung Q trägt, in einer elektris hen Versu hsanordnung im stationären Zustandeine potentielle Energie W , wel he vom Ort in der Versu hsanordnung abhängt und auÿerdemproportional zu Q ist. Dividiert man diese potentielle Energie dur h die Gröÿe der Ladung, soerhält man die Gröÿe φ = W/Q, wel he nur no h vom Ort in der Versu hsanordnung abhängt. φwird elektris hes Potential oder kurz Potential genannt. Da jedem Punkt im Raum (bzw. derVersu hsanordnung) ein Potential zugeordnet werden kann, handelt es si h um eine Feldgröÿe,und zwar um eine skalare Feldgröÿe, da ihr keine Ri htung zugeordnet werden kann.Wird eine Ladungsmenge Q von einem Ort mit dem Potential φ1 zu einem anderen Ort mitdem Potential φ2 gebra ht, so verliert oder gewinnt Q potentielle Energie. Die PotentialdierenzE2 - 2

zwis hen vers hiedenen Punkten einer Versu hsanordnung ist eine so wi htige Gröÿe, dass sieeinen eigenen Namen bekommen hat. Man spri ht von der (elektris hen) Spannung: U12 =φ1 − φ2.Das Potential eines Punktes kann ni ht absolut bestimmt werden, sondern es hängt von derWahl eines Bezugspunktes ab, dem das Potential Null zugeordnet wird. Die Wahl dieses Be-zugspunktes ist beliebig. Häug werden ein unendli h ferner Punkt, die Erdoberä he oderein Bezugsleiter als Bezugspunkt gewählt. Relativ zum Bezugspunkt kann dann das Potentialaller anderen Raumpunkte bestimmt werden. Von praktis hem Interesse sind fast immer nurPotentialdierenzen, also Spannungen.In elektris hen Versu hsanordnungen beoba htet man, dass ursprüngli h ruhende Ladungsträ-ger si h von selbst bewegen, wenn sie dadur h in unmittelbarer Umgebung einen Ort niedrigerenPotentials errei hen können. Die Menge an potentieller Energie, wel he sie bei der Bewegungverlieren, wird dabei in kinetis he Energie umgewandelt oder an die umgebende Materie inForm von Wärme abgegeben.Aus der Tendenz von Ladungsträgern, si h von selbst in Bewegung zu versetzen, kann mans hlieÿen, dass auf die Ladungsträger eine Kraft wirkt. Diese Kraft ist wie au h der Verlustan potentieller Energie proportional zur Gröÿe der Ladung des Ladungsträgers. Darauskann man eine weitere Feldgröÿe ableiten, wel he die Eigens haft des Raumes bes hreibt,auf elektris he Ladungen Kräfte auszuüben. Diese Gröÿe heiÿt elektris he Feldstärke, daszugeordnete Formelzei hen ist ~E. Es handelt si h um eine vektorielle Feldgröÿe, wel he dieglei he Ri htung hat wie die wirkende Kraft. Die Beziehung zwis hen der wirkenden Kraft undder elektris hen Feldstärke ist ~F = Q ~E.Der Zusammenhang zwis hen der elektris hen Feldstärke ~E und dem Potential φ ergibt si h ausdem Verlust an potentieller Energie (−dW , das negative Vorzei hen kennzei hnet den Verlustan potentieller Energie) bei einer Bewegung des Ladungsträger in Ri htung der Kraft ~F umeine Stre ke d~s. Man erhält −dW = −Q dφ = ~F ·d~s = Q ~E ·d~s. Es gilt also der Zusammenhangdφ = −~E · d~s. Daraus kann man s hlieÿen, dass ~E immer senkre ht auf Äquipotentialä hensteht, denn bei einer Bewegung senkre ht zur Feldri htung wird das Skalarprodukt ~E · d~s zuNull, dies entspri ht einer Bewegung auf einer Äquipotentialä he. ~E zeigt in Ri htung kleinererPotentiale.In einem elektris h leitfähigen Material mit der Leitfähigkeit σ ruft eine elektris he Feldstärke~E eine zu ~E proportionale Stromdi hte ~J hervor es gilt ~J = σ ~E. Die Stromdi hte bes hreibtdie Verteilung eines elektris hen Stromes I auf die zur Verfügung stehende Quers hnittsä- he A. Bei einer glei hförmigen Verteilung spri ht man von einem homogenen Feld, und es gilt| ~J | = I/A. Im allgemeinen muss man aber von einer unglei hförmigen Verteilung, also eineminhomogenen Feld ausgehen.In einem idealen Leiter gilt σ → ∞. Die elektris he Feldstärke im Inneren eines idealen Leitersist unabhängig von der Stromdi hte glei h Null. Daraus lässt si h folgern, dass das Potentialim Inneren eines idealen Leiters konstant ist, und dass die Oberä he eines idealen Leiterseine Äquipotentialä he ist. Der Vektor der elektris hen Feldstärke steht also senkre ht auf derOberä he eines idealen Leiters. Im Gegensatz dazu kann das Stromdi htefeld in Isolatoren (σ =0) ni ht eindringen. Die Vektoren des Stromdi htefeldes müssen also parallel zur Oberä he vonIsolatoren verlaufen. Äquipotentialä hen stehen senkre ht auf der Oberä he von Isolatoren.2.3 Feldlinienbilder des stationären StrömungsfeldesWie in Kap. 2.1 bereits erwähnt, werden zur Verans hauli hung elektris her StrömungsfelderFeldlinien und Äquipotentiallinien (d.h. S hnittlinien von Äquipotentialä hen und der Zei he-E2 - 3

nebene) verwendet. Die Gestalt des Feldes ist festgelegt dur h die Form und die Anordnungvon leitfähigen oder isolierenden Körpern im Raum. Bei der Konstruktion eines Feldlinien-/Äquipotentiallinienbildes ist zu bea hten (dies ist gröÿtenteils eine Wiederholung der Erkennt-nisse aus Kap. 2.2):• Die Oberä hen von idealen elektris hen Leitern sind Äquipotentialä hen (φ = const.).• Äquipotentialä hen stehen senkre ht auf den Oberä hen isolierender Körper.• Die Feldlinien stehen senkre ht auf Äquipotentialä hen.• Die Feldlinien sind in Ri htung der Feldstärke geri htet und zeigen von höheren zuniedrigeren Potentialen.• Die Feldliniendi hte ist proportional zur Stärke des Strömungsfeldes | ~J |.• Äquipotentiallinien werden jeweils im Abstand ∆φ = const. gezei hnet. So erhält manbei einer hohen Feldliniendi hte au h eine hohe Di hte von Äquipotentiallinien.Abb. 1 zeigt ein Beispiel für ein Feld- und Äquipotentiallinienbild des Stromdi htefeldes ineinem leitfähigen Medium zwis hen zwei Metallelektroden, deren Leitfähigkeit viel höher ist alsdie des leitfähigen Mediums.

I

Isolator

leitfähiges Medium

~J

φ = const.

Abbildung 1: Zwis hen zwei Metallelektroden bendet si h ein leitfähiges Medium sowie, darineingebettet, ein Isolator. Dargestellt ist das si h einstellende Feldlinien- und Äquipotentiallini-enbild des Stromdi htefeldes.In diesem Versu h sollen das Potentialfeld und das Stromdi htefeld im Inneren eines s hwa hleitfähigen Kohlepapiers ausgemessen werden. Dies ist messte hnis h einfa her als das Ausmes-sen eines elektris hen Feldes. Wegen der Proportionalität von ~J zu ~E sind die Feldlinienbilderbeider Felder in einem leitfähigen Medium aber identis h.Das Kohlepapier ist im Verhältnis zu seinen übrigen Maÿen sehr dünn. Man kann näherungswei-se von einer senkre ht zur Papieroberä he glei hförmigen Verteilung der Stromdi hte ausgehen,da die Äquipotentialä hen sowohl an der Ober- wie an der Unterseite des Papiers senkre htzur Papieroberä he stehen müssen und nur s hwa h gekrümmt sind. Dur h Messung wird derVerlauf der Äquipotentialä hen an der Oberseite des Kohlepapiers bestimmt. Bei der gras henKonstruktion der Feldlinien des Stromdi htefeldes wählt man den Abstand der Feldlinien inetwa so groÿ wie den Abstand der Äquipotentiallinien. Dadur h entstehen näherungsweise kleineQuadrate, gebildet aus Äquipotential- und Stromdi htelinien.Fasst man alle aus Äquipotential- und Stromdi htelinien gebildeten Quadrate zwis hen zweibena hbarten Feldlinien zusammen, so nennt man dies eine Stromröhre. Innerhalb jederE2 - 4

Stromröhre ieÿt ein glei h groÿer Teil des Gesamtstroms zwis hen den Elektroden. Kenntman die Gröÿe I des insgesamt ieÿenden Stroms, so kann aus der Zahl n der im Feldlinienbildenthaltenen Stromröhren der in jeder Stromröhre ieÿende Strom bestimmt werden zu ∆I =I/n.3 Vorbereitende AufgabenAufgabe 1

∆I

d

∆s

∆s

φ1

φ2

σ

Betra htet wird der oben gezei hnete quadratis he Auss hnitt aus einer Stromröhre in einemMedium der Di ke d mit der Leitfähigkeit σ. Länge und Breite des Quadrats sind ∆s. Dies hattiert dargestellten Äquipotentialä hen haben die Potentiale φ1 bzw. φ2. Im Inneren desleitfähigen Mediums ergibt si h ein homogenes Stromdi htefeld.a) Wie groÿ ist der Betrag der Stromdi hte ∣

∣

∣

~J

∣

∣

∣ im leitfähigen Medium?b) Bere hnen Sie den Strom ∆I in Abhängigkeit von den Gröÿen φ1, φ2, σ, d und ∆s.Aufgabe 2I

leitfähiges Medium

Metall, σ → ∞

Skizzieren Sie das Feldlinien- und das Äquipotentiallinienbild der oben gegebenen Anordnung.E2 - 5

4 Versu hsdur hführungDie Versu hsanordnung besteht aus einem Messtis h, auf dessen einer Seite Kohlepapier mit ei-ner Leitfähigkeit σ = 25 S m−1 und einer Di ke d = 0,1 mm aufgelegt wird. Auf der anderen Seitedes Messtis hs wird ein Blatt Papier eingespannt, wel hes zur Aufnahme der Messpunkte dient.Zwei Elektroden können auf dem Kohlepapier beliebig platziert und aufgepresst werden, umeinen elektris hen Kontakt herzustellen. Die Leitfähigkeit der Metallelektroden ist im Verglei hzur Leitfähigkeit des Kohlepapiers sehr groÿ. Die Messs haltung (siehe Abb. 2) stellt zwis henden Metallelektroden eine Potentialdierenz von 10 V her. Der dann ieÿende Strom verursa htim Kohlepapier ein Stromdi htefeld. Mit Hilfe einer Tastspitze ist es mögli h, das Potential anbeliebigen Stellen auf dem Kohlepapier zu messen. Mittels eines Kopierme hanismus werdendiese Messpunkte auf ein Blatt Papier übertragen.12 V 10 V

R1 = 320 Ω

R2 =930 Ω

U

G

pos. Elektrode

neg. Elektrode(Bezugspotential)

Tastspitze

Abbildung 2: S haltung zur Messung des Potentials auf einem Kohlepapier. Die Tastspitzekann an beliebige Stellen des Kohlepapiers gesetzt werden. Die Potentialmessung erfolgt mitHilfe eines Kompensationsmessverfahrens (siehe Versu h E1).Die Versu hsdur hführung erfolgt in folgenden S hritten:1. Erneuern Sie das Kohlepapier, falls es starke Abnutzungsers heinungen aufweist.2. Bringen Sie die Elektroden auf dem Messtis h in geeigneter Weise an.3. Legen Sie ein neues Blatt Papier in die dafür vorgesehene Vorri htung auf dem Messtis hein.4. Kopieren Sie die Form und die Lage der Elektroden dur h Abtastung mit der Tastspitzeauf das Blatt Papier.5. Bauen Sie die Messs haltung auf und verbinden Sie diese mit dem Messtis h. A hten Siedabei darauf, dass beim späteren Verfahren des Wagens mit der Tastspitze keine Kabeleingequets ht werden können.6. Stellen Sie mit Hilfe des Potentiometers R1 eine Spannung von 10 V zwis hen den Elektro-den ein. Da der Mittelabgri des Potentiometers R2 im oberen Ans hlag ni ht unbedingtauf dem Potential des oberen Ans hlusses liegt, verbinden Sie dazu das Voltmeter tem-porär statt mit dem Mittelabgri mit dem oberen Ans hluss von R2.E2 - 6

7. Dur h verstellen des Potentiometers R2 bei angehobener Tastspitze können Sie die zudetektierende Potentialdierenz U zwis hen der Tastspitze und der negativen Elektrodeeinstellen. Beginnen Sie mit dem Wert U = 1 V. Senken Sie ans hlieÿend die Tastspitzeauf das Kohlepapier und ertasten Sie die zugehörige Äquipotentiallinie, indem Sie dieTastspitze so lange auf dem Kohlepapier hin und her bewegen, bis das Galvanometer G(Galvanometer: Sehr empndli hes Strommessgerät) den Wert 0 µA anzeigt. Fahren Siejetzt die Äquipotentiallinie entlang und kopieren Sie diese auf das Blatt Papier.8. Wiederholen Sie den letzten S hritt für die Potentialdierenzen 2 V bis 9 V mit einerS hrittweite von 1 V.9. Messen Sie den Gesamtstrom, der dur h das Kohlepapier ieÿt, mit dem Multimeter.Überlegen Sie si h vorher, an wel her Stelle der Messs haltung Sie das Multimeter einfü-gen.5 Auswertunga) Zei hnen Sie die Feldlinien des Stromdi htefeldes in das Blatt mit den Äquipotentiallinienein. Beginnen Sie die Konstruktion der Feldlinien an der stabförmigen Elektrode.b) Bere hnen Sie den Strom ∆I dur h eine ausgewählte Stromröhre entspre hend der Me-thode aus Aufgabe 1 der Vorbereitungsaufgaben. Verna hlässigen Sie dabei etwaige Rand-eekte. ) Bere hnen Sie den Strom ∆I dur h eine Stromröhre aus dem gemessenen GesamtstromI dur h Division dur h die Zahl der eingezei hneten Stromröhren. Verglei hen Sie diesesErgebnis mit dem aus b) und diskutieren Sie eventuelle Unters hiede.6 Literatur

• Pregla, R: Grundlagen der Elektrote hnik, Hüthig Verlag Heidelberg• Alba h, M.: Grundlagen der Elektrote hnik 1, Pearson Studium

E2 - 7

Versu h E3 Magnetis hes Feld, Induktion undGegeninduktionInhaltsverzei hnis1 Vorbemerkung 22 Grundlagen 22.1 Magnetis hes Feld im Inneren einer Zylinderspule . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Messung eines magnetis hen We hselfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Selbst- und Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Vorbereitende Aufgaben 64 Versu hsdur hführung 74.1 Messung des Magnetfeldes einer Zylinderspule in Abhängigkeit vom Ort . . . . . 74.2 Messung der Gegeninduktivität eines Variometers . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Auswertung 86 Literatur 8Lernziele

• Näherungslösung für das magnetis he Feld im Inneren einer Zylinderspule verstehen undbere hnen können• Messverfahren zur Bestimmung der Flussdi hte eines Magnetfeldes kennen lernen• Unters hied zwis hen Selbst- und Gegeninduktion verstehen• Einfa hes Messverfahren zur Bestimmung von Gegeninduktivitäten kennen lernenE3 - 1

1 VorbemerkungBitte arbeiten Sie diese Versu hsunterlagen sorgfältig dur h. Lösen Sie au h die vorbereitendenAufgaben (Kap. 3). Dadur h können Sie kontrollieren, ob Sie für den Versu h ausrei hendvorbereitet sind. Bringen Sie die Lösungen der Vorbereitungsaufgaben zum Praktikumsterminmit.2 Grundlagen2.1 Magnetis hes Feld im Inneren einer ZylinderspuleDie Bere hnung des magnetis hen Feldes einer Zylinderspule erfordert einen erhebli hen Auf-wand, da die Beiträge dur h Ströme in jeder einzelnen Windung am betra hteten Punktüberlagert werden müssen. Wesentli h einfa her ist dagegen die Betra htung einer Ringspule,wie sie in Abb. 1 dargestellt ist. Aus der Bere hnung des magnetis hen Feldes einer Ringspulelässt si h eine Näherungslösung für das Feld im Inneren einer langgestre kten Zylinderspuleableiten.

I~H

ra

rm

ri

Abbildung 1: Ringspule mit NR Windungen, wel he glei hförmig über den Umfang verteilt sind.Der Zusammenhang zwis hen der magnetis hen Erregung ~H und der felderzeugenden elektri-s hen Dur hutung wird dur h das Dur hutungsgesetz bes hrieben. Es gilt∮

s

~H · d~s =∫

A

~J · d ~A +d

dt

∫

A

~D · d ~A .Darin sind ~J die Stromdi hte und ~D die elektris he Flussdi hte. Der Integrationsweg s ist derRand der Integrationsä he A, d~s und d ~A bilden eine Re htss hraube. Die re hte Seite desDur hutungsgesetzes heiÿt elektris he Dur hutung sie entspri ht der Summe aller Ströme,wel he die Integrationsä he A dur hsetzen. In vielen Fällen, insbesondere bei We hselströmenniedriger Frequenz, sind die Vers hiebungsströme ( d

dt

∫

A~D · d ~A) im Verglei h zu den Leitungs-strömen verna hlässigbar klein. E3 - 2

Das Dur hutungsgesetz wird nun auf die vom Strom I stromdur hossene Ringspule ange-wandt. Aus Symmetriegründen erfolgt die Lösung des Ringintegrals auf einem kreisförmigenWeg mit dem Radius r entgegen dem Uhrzeigersinn. Der Integrationsweg s ist dann ein Kreisund hat die Länge 2πr. Man muss drei Fälle unters heiden:• Für Integrationswege mit Radien r < ri werden keine Ströme einges hlossen es gilt also

∮

s~H · d~s = 0.

• Für Integrationswege mit Radien ri < r < ra innerhalb der Ringspule dur hsetzt derStrom I die vom Integrationsweg einges hlossene Flä he NR-mal es gilt also ∮

s~H · d~s =

NR I. Aus Symmetriegründen ist der Betrag der magnetis hen Erregung an jeder Stelle desIntegrationsweges glei h groÿ man erhält H = NR I2πr

. Aufgrund der Re htss hraubigkeitvon Integrationsri htung und elektris her Dur hutung (NR I ist aus der Zei henebeneheraus orientiert) ist ~H bei der abgebildeten Ringspule entgegen dem Uhrzeigersinngeri htet.• Für Integrationswege mit Radien r > ra dur hsetzt der Strom I die einges hlossene Flä he

NR-mal sowohl in die Zei henebene hinein wie au h wieder aus der Zei henebene heraus.Die resultierende elektris he Dur hutung ist daher Null. Es gilt also ∮

s~H · d~s = 0.Nur im Inneren der Ringspule herrs ht also die magnetis he Erregung H(r) = NR I

2πr. Mir r =

rm + ∆r lässt si h dieser Ausdru k umformen in ein Produkt aus der magnetis hen Erregungauf dem mittleren Radius rm und einem Korrekturfaktor:H(r) =

NR I

2πr=

NR I

2πrm

1

1 + ∆r/rmDen Faktor NR

2πrm= N

′ kann man als Wi klungsdi hte der Ringspule interpretieren.Bei konstanter Wi klungsdi hte N′ lässt man nun den mittleren Radius rm über alle Grenzenwa hsen, während man den Dur hmesser ra − ri der Ringspule konstant hält. Die magnetis heErregung im Inneren der Ringspule hat dann überall näherungsweise denselben Wert

H(r) = limrm→∞

N′I

1

1 + ∆r/rm

= N′I .S hneidet man nun aus der unendli h ausgedehnten Ringspule einen endli hen Abs hnitt derLänge ℓZ heraus, so erhält man eine Zylinderspule, denn die Krümmung der Ringspule geht für

rm → ∞ gegen Null. Die Zylinderspule hat NZ = N′ℓZ Windungen. Die magnetis he Erregungim Inneren der Zylinderspule ist im Rahmen dieser Überlegung konstant

H =NZ I

ℓZ

.Die magnetis he Flussdi hte erhält man dur h Multiplikation mit der Permeabilität µ. Für eineluftgefüllte Zylinderspule (µ = µ0 = 4π · 10−7 V s

A m) ergibt si h

B = µ0

NZ I

ℓZ

.Entspre hend der hier vorgestellten Näherungslösung herrs ht im Inneren einer luftgefülltenZylinderspule ein homogenes magnetis hes Feld. Auÿerhalb der Spule vers hwindet das magne-tis he Feld. E3 - 3

2.2 Messung eines magnetis hen We hselfeldesMagnetis he We hselfelder lassen si h am einfa hsten mit Hilfe einer kleinen, a hen Prüfspulemessen, in wel her aufgrund der zeitli hen Änderung des Magnetfeldes eine Spannung induziertwird. Bringt man die Prüfspule so in das magnetis he We hselfeld ein, dass Ihr Quers hnitt APsenkre ht vom magnetis hen Feld dur hsetzt wird, so kann man mit Hilfe des Induktionsgesetzesden Eektivwert der induzierten Spannung zuU = NP AP 2πf B .Darin bezei hnet B den Eektivwert der Flussdi hte des magnetis hen We hselfeldes und fseine Frequenz.2.3 Selbst- und Gegeninduktion

u1(t)

u2(t)

N1

N2

Φ21

ΦS1

ΦS2

Φ12

i1(t)

i2(t)Abbildung 2: Magnetis he Kopplung zweier bena hbarter SpulenBetra htet wird die Anordnung zweier bena hbarter, stromdur hossener Spulen gemäÿ Abb. 2.Dur h den Strom i1(t) wird in der oberen Spule (N1 Windungen) der magnetis he Fluss Φ11 =Φ21 +ΦS1 verursa ht. Davon dur hsetzt der Anteil Φ21 au h die untere Spule (N2 Windungen),während der Anteil ΦS1 ni ht mit der unteren Spule verkoppelt ist. In analoger Weise gilt: Dur hden Strom i2(t) wird in der unteren Spule der magnetis he Fluss Φ22 = Φ12 + ΦS2 verursa ht.Davon dur hsetzt der Anteil Φ12 au h die obere Spule, während der Anteil ΦS2 ni ht mit deroberen Spule verkoppelt ist. ΦS1 und ΦS2 werden au h Streuüsse genannt.Die (Klemmen-)Spannungen an den Spulen lassen si h unter Verna hlässigung etwaiger Wi k-lungswiderstände mit Hilfe des Induktionsgesetzes bere hnen:

u1(t) = N1 ·d

dt(Φ11 + Φ12)

u2(t) = N2 ·d

dt(Φ22 + Φ21)Der Strom i, wel her in einer Spule der Windungszahl N ieÿt, ist aufgrund des Dur hu-tungsgesetzes proportional zur Gröÿe des magnetis hen Flusses Φ, der dur h diesen StromE3 - 4

verursa ht wird. Der Proportionalitätsfaktor heiÿt Selbstinduktivität oder kurz Induktivität(Formelzei hen: L) allgemein gilt N Φ = L i. Das Produkt N Φ nennt man den mit der Spuleverketteten magnetis hen Fluss. Die Induktivität einer Spule ist eine Systemeigens haft undni ht von elektris hen Gröÿen abhängig. Die (Selbst-)Induktivitäten der Spulen in Abb. 2 sinddemna h L1 = N1 Φ11

i1und L2 = N2 Φ22

i2.Analog zur Selbstinduktivität kann man das Verhältnis des mit einer zweiten Spule verkettetenmagnetis hen Flusses, wel her dur h einen Strom in der ersten Spule verursa ht ist, zu demStrom in der ersten Spule als Gegeninduktivität denieren. Wie die Selbstinduktivität istau h die Gegeninduktivität eine Systemeigens haft, wel he nur von den Eigens haften derbeiden Spulen und der Anordnung der Spulen zueinander abhängig ist. Die Gegeninduktivitätender Spulen in Abb. 2 sind M12 = N1 Φ12

i2und M21 = N2 Φ21

i1. In linearen Systemen sind dieGegeninduktivitäten immer glei h groÿ es gilt also M12 = M21 = M .Dur h einsetzen der Selbst- und Gegeninduktivitäten in die Beziehungen für u1(t) und u2(t)erhält man:

u1(t) = L1

d

dti1(t) + M

d

dti2(t)

u2(t) = L2

d

dti2(t) + M

d

dti1(t)In elektris hen S haltbildern kann die magnetis he Kopplung zweier Induktivitäten dur h einenmit der Gröÿe der Gegeninduktivität gekennzei hneten Doppelpfeil angegeben werden. Je na hWi klungssinn der Spulen zueinander bzw. je na h Wahl der Zählpfeilri htungen der Spannun-gen und Ströme muss die dur h Gegeninduktion erzeugte Spannung zu der dur h Selbstinduk-tion erzeugten Spannung addiert oder von dieser subtrahiert werden. Dies wird dur h Punktean den S haltzei hen der gekoppelten Induktivitäten gekennzei hnet (siehe Abb. 3).

u1(t)

i1(t)

M

L1 L2

i2(t)

u2(t) u1(t)

i1(t)

M

L1

L2

i2(t)

u2(t)

u1(t) = L1

d

dti1(t) + M

d

dti2(t)

u2(t) = L2

d

dti2(t) + M

d

dti1(t)

u1(t) = L1

d

dti1(t) − M

d

dti2(t)

u2(t) = L2

d

dti2(t) − M

d

dti1(t)Abbildung 3: Das Vorzei hen der Wirkung der Gegeninduktion wird im S haltbild dur h Punktean den S haltzei hen der gekoppelten Induktivitäten gekennzei hnet.Die Wirkung der Gegeninduktivität soll in diesem Versu h mit Hilfe eines Variometers (ein-stellbare Induktivität) gemäÿ Abb. 4 demonstriert werden. Das Variometer besteht aus zweizylindris hen Luftspulen, wel he in Seriens haltung betrieben werden. Spule 2 ist im Inneren vonSpule 1 angeordnet und kann gegen die A hse von Spule 1 um beliebige Winkel α verdreht wer-den. Abhängig vom Verdrehwinkel wird Spule 2 mehr oder weniger stark von dem magnetis henFluss dur hsetzt, wel her von einem Strom in Spule 1 erzeugt wird. Dur h eine Änderung von αkann also die Stärke der magnetis hen Kopplung der Spulen und damit die Gegeninduktivitätbeeinusst werden. Die Seriens haltung der beiden Spulen liefert eine dur h Variation von αeinstellbare Induktivität (siehe dazu au h Aufgabe 2 der vorbereitenden Aufgaben).E3 - 5

α

1

2Abbildung 4: Variometer3 Vorbereitende AufgabenAufgabe 1230 V ≈ 24 V ≈

RS = 3,6 Ω

x

y

AI = 5,5 A

U

PrüfspuleAbbildung 5: Messaufbau zur Bestimmung der magnetis hen Flussdi hte an vers hiedenenStellen im Inneren einer ZylinderspuleBetra htet wird der in Abb. 5 dargestellte Messaufbau. In der Zylinderspule mitNZ Windungen,ieÿt ein We hselstrom der Frequenz f mit einem Eektivwert I. Die Länge der Zylinderspulebeträgt ℓZ . Im Inneren der Zylinderspule bendet si h eine Prüfspule mit der Windungszahl NPund der Quers hnittsä he AP . Geben Sie alle gesu hten Gröÿen in Form allgemeiner Ausdrü kein Abhängigkeit von diesen gegebenen Gröÿen an.a) Wel hen Wert hat näherungsweise der EektivwertBZ der magnetis hen Flussdi hte imInneren der Zylinderspule?b) Wie groÿ ist der Eektivwert U der in der Prüfspule induzierten Spannung?Aufgabe 2Betra htet werden die in Abb. 6 dargestellten S haltungen. Gegeben sind die Ströme i1(t) =I1 sin(ωt) und i2(t) = I2 sin(ωt) mit der Kreisfrequenz ω = 2πf sowie die Spannungen u1(t)und u2(t). E3 - 6

u1(t)

i1(t)

M

L1 L2

u2(t)

i2(t)

M

L1 L2

Quelle

Schaltung 1 Schaltung 2Abbildung 6: S haltungen zur Bestimmung der Gegeninduktivität zweier gekoppelter Induktivi-tätena) Geben Sie für u1(t) und u2(t) jeweils eine allgemeine Beziehung in Abhängigkeit von I1,I2, ω, L1, L2 und M an.b) Wie groÿ sind jeweils der S heinwiderstand Z1 in S haltung 1 sowie Z2 in S haltung 2?(Hinweis: S heinwiderstand heiÿt das Verhältnis der S heitel- oder der Eektivwerte vonSpannung und Strom.) ) Bere hnen Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus Teil b) einen Ausdru k für M .4 Versu hsdur hführung4.1 Messung des Magnetfeldes einer Zylinderspule in Abhängigkeitvom Ort

• Bauen Sie die S haltung gemäÿ Abb. 5 auf.• Stellen Sie vor dem Eins halten den S hiebewiderstand RS auf den maximalen Wert.• S halten Sie nun den Versu hsaufbau ein. Stellen Sie mit Hilfe des S hiebewiderstandes RSden vom Amperemeter A angezeigten Strom auf den Wert I = 5,5 A ein. Diesen Wertmüssen Sie während der Versu hsdur hführung konstant halten (gelegentli h kontrollie-ren!).• Nehmen Sie folgende Messreihen auf: U als Funktion von x auf der Spulena hse (y = 0) von x = −10 cm bis x = 38 cm U als Funktion von y für x = −10 cm von y = 0 mm bis y = 40 mm U als Funktion von y für x = 0 cm von y = 0 mm bis y = 40 mm U als Funktion von y für x = 20 cm von y = 0 mm bis y = 40 mm4.2 Messung der Gegeninduktivität eines VariometersMit Hilfe von einfa hen Messungen der Eektivwerte von Strömen und Spannungen in denS haltungen aus Abb. 6 soll die Gegeninduktivität eines Variometers in Abhängigkeit von derE3 - 7

Winkelstellung bestimmt werden. Dazu stehen neben dem Variometer eine We hselspannungs-quelle und zwei Multimeter zur Strom- und Spannungsmessung zur Verfügung.• Bauen Sie eine Messs haltung entspre hend Abb. 6 (zunä hst S haltung 1) auf.• S halten Sie die We hselspannungsquelle ein und stellen Sie diese auf die Frequenz f =

10 kHz ein.• Nehmen Sie folgende Messreihen für die Winkelstellungen α = 0 bis α = 90 in S hrittenvon 10 auf: U1 und I1 (Eektivwerte von u1(t) und i1(t)) als Funktion von α Na h einem Umbau der S haltung in S haltung 2 aus Abb. 6 U2 und I2 als Funktionvon α5 AuswertungZu 4.1:• Bere hnen Sie mit Hilfe der Messwerte jeweils den Eektivwert der magnetis hen Fluss-di hte und verglei hen Sie die Ergebnisse mit dem in den Vorbereitungsaufgaben ermittel-ten Wert. Die Zylinderspule hat folgende Daten: ℓZ = 382 mm, NZ = 360. Die Prüfspulehat folgende Daten: NP = 800, AP = 1,75 cm2. Die Netzfrequenz ist f = 50 Hz.• Zei hnen Sie zu jeder Messreihe den Verlauf der magnetis hen Flussdi hte als Funktiondes Ortes in ein entspre hendes Diagramm ein. Verglei hen Sie die Ergebnisse mit derNäherungslösung aus Kap. 2.1.Zu 4.2:• Bere hnen Sie die Gegeninduktivität des Variometers (die Wi klungswiderstände derSpulen sollen dabei verna hlässigt werden) für die vers hiedenen Winkelstellungen α undzei hnen Sie diese in ein Diagramm M = f(α) ein.6 Literatur• Pregla, R: Grundlagen der Elektrote hnik, Hüthig Verlag Heidelberg• Alba h, M.: Grundlagen der Elektrote hnik 1, Pearson Studium

E3 - 8

Versu h E4 Der TransformatorInhaltsverzei hnis1 Vorbemerkung 22 Grundlagen 22.1 Der ideale Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Das T-Ersatzs haltbild des realen Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Parallel- und Reihens hwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Vorbereitende Aufgaben 64 Versu hsdur hführung 65 Auswertung 76 Literatur 7

Lernziele• Prinzipiellen Aufbau und Funktionsweise eines Transformators kennen• T-Ersatzs haltbild des Transformators zur Erklärung bestimmter Betriebszustände ver-wenden können E4 - 1

1 VorbemerkungBitte arbeiten Sie diese Versu hsunterlagen sorgfältig dur h. Lösen Sie au h die vorbereitendenAufgaben (Kap. 3). Dadur h können Sie kontrollieren, ob Sie für den Versu h ausrei hendvorbereitet sind. Bringen Sie die Lösungen der Vorbereitungsaufgaben zum Praktikumsterminmit.2 GrundlagenDer Transformator ist ein elektris hes S haltelement, mit dessen Hilfe man We hselspannungennahezu ohne Energieverlust in andere Werte umwandeln kann. Im Prinzip besteht ein Trans-formator aus zwei Wi klungen, wel he magnetis h gekoppelt sind. Eine derartige Anordnungwurde bereits im Versu h E3 bei der Behandlung der Gegeninduktivität betra htet. Dur hAufbringen der Wi klungen auf einen gemeinsamen magnetis hen Kreis wird die magnetis heKopplung verbessert.2.1 Der ideale Transformatoru1(t)

i1(t)

N1

Φ(t)

Verbraucheru2(t)

i2(t)

N2Quelle

Transformator

Abbildung 1: Prinzipieller Aufbau eines Transformators. Die von einer Quelle bereitgestelltePrimärspannung u1(t) wird dur h den Transformator in die Sekundärspannung u2(t) transfor-miert und dem anges hlossenen Verbrau her zugeführt.Betra htet wird zunä hst der in Abb. 1 skizzierte magnetis he Kreis mit zwei Wi klungen,deren Wi klungswiderstände verna hlässigbar sind. Die Wi klung mit der Windungszahl N1nennt man Primärwi klung, die andere Wi klung heiÿt Sekundärwi klung. Der magnetis heKreis sei streufrei. Dadur h sind alle auftretenden magnetis hen Flüsse mit beiden Wi klungenverkoppelt, Streuüsse treten ni ht auf. Der gesamte magnetis he Fluss im Kreis ist Φ(t). Auf-grund des Induktionsgesetzes erhält man für die Spannungen an den Wi klungen u1(t) = N1d Φ

dtund u2(t) = N2d Φ

dt. Das Verhältnis der Spannungen zueinander ist also glei h dem Verhältnisder Windungszahlen: u1(t)/u2(t) = N1/N2. Dieses Verhältnis ist eine wi htige Kenngröÿe desTransformators und wird Übersetzungsverhältnis u genannt.Der magnetis he Fluss Φ(t) im magnetis hen Kreis ist dur h die von der Quelle bereitgestelltePrimärspannung und das Induktionsgesetz bestimmt. Das Dur hutungsgesetz besagt, dass zurErzeugung eines magnetis hen Flusses ein Strom nötig ist. Diesen Strom nennt man Magne-tisierungsstrom er entspri ht dem Strom, wel her ieÿt, ohne dass ein Verbrau her an denTransformator anges hlossen ist. Beim idealen Transformator ist der Magnetisierungsstromglei h Null. Dies ist theoretis h errei hbar dur h ein Kernmaterial des magnetis hen Kreisesmit unendli h hoher Permeabilität. E4 - 2

S hlieÿt man an die Sekundärwi klung eines idealen Transformators einen Widerstand R an, soieÿt in der Sekundärwi klung der Strom i2(t) = −u2(t)/R. Aufgrund des Dur hutungsgeset-zes verursa ht die elektris he Dur hutung N2 i2(t) einen Beitrag zum magnetis hen Fluss. DaΦ(t) dur h die angelegte Spannung u1(t) vorgegeben ist (Induktionsgesetz!), muss der dur hN2 i2(t) verursa hte Beitrag zum magnetis hen Fluss dur h einen weiteren Beitrag dur h denStrom i1(t) in der Primärwi klung kompensiert werden, so dass si h N2 i2(t)+N1 i1(t) = 0 ergibt.Für das Verhältnis von Primär- zu Sekundärstrom erhält man also i1(t)/i2(t) = −1/u. DerPrimärstrom ist i1(t) = u1(t)/(u2 · R). Der ideale Transformator transformiert demna h einenan die Sekundärwi klung anges hlossenen Widerstand R mit dem Faktor u

2 auf die Primärseite.2.2 Das T-Ersatzs haltbild des realen Transformatorsu1(t)

i1(t)

M

L1 L2

i2(t)

u2(t)

R1 R2

Abbildung 2: Elektris he S haltbild zweier magnetis h gekoppelter Induktivitäten unter Berü k-si htigung der Wi klungswiderständeIn der Praxis gelingt es nur näherungsweise, die Verhältnisse eines realen Transformators zurealisieren. Beispielsweise lassen si h Streuüsse ni ht vollständig vermeiden. In Versu h E3 wur-de bereits erläutert, dass zwei magnetis h gekoppelte Wi klungen dur h ihre Induktivitäten L1und L2 mit den Windungszahlen N1 und N2 sowie dur h eine Gegeninduktivität M bes hriebenwerden können. Jetzt sollen au h die Wi klungswiderstände R1 und R2 berü ksi htigt werden.Das elektris he S haltbild eines sol hen realen Transformators ist in Abb. 2 dargestellt. DieBeziehungen der Spannungen und Ströme zueinander sind:u1(t) = R1 i1(t) + L1

d

dti1(t) + M

d

dti2(t)

u2(t) = R2 i2(t) + L2

d

dti2(t) + M

d

dti1(t)Diese Beziehungen können dur h Einsetzen von R

′

2= u

2R2, L1 = LS1 +Lh1, u

2L2 = L

′

S2+Lh1und M = Lh1/u umgeformt werden in die Glei hungen

u1(t) = R1 i1(t) + (LS1+ Lh1)

d

dti1(t) + Lh1

d

dti2(t)/uund

u u2(t) = R′

2i2(t)/u + (L′

S2+ Lh1)

d

dti2(t)/u + Lh1

d

dti1(t) ,wel he die Verhältnisse in dem in Abb. 3 dargestellten T-Ersatzs haltbild des realen Transfor-mators wiedergeben. Die Induktivitäten LS1 und LS2 werden Streuinduktivitäten genannt. Siesind mit den von den Strömen i1(t) und i2(t) verursa hten Streuüssen verknüpft. L

′

S2= u

2LS2ist die von einem idealen Transformator mit dem Übersetzungsverhältnis u = N1/N2 auf diePrimärseite transformierte Streuinduktivität der Sekundärwi klung, analog ist R

′

2= u

2R2 derE4 - 3

u2(t)

i2(t)u : 1

u u2(t)

i2(t)/ui1(t)

u1(t)

R1 LS1

Lh1

L′

S2R

′

2

T-Ersatzschaltbilddes realen Transformators

idealerTransformatorAbbildung 3: T-Ersatzs haltbild des realen Transformators. Zusammen mit dem idealen Trans-formator bes hreibt das T-Ersatzs haltbild die Funktion gekoppelter Induktivitäten genau so wiedas S haltbild in Abb. 2.auf die Primärseite transformierte Wi klungswiderstand der Sekundärwi klung. Die Induktivi-tät Lh1 wird Hauptinduktivität genannt. In der Hauptinduktivität wird derjenige magnetis heFluss erzeugt, wel her beide Wi klungen dur hsetzt.Eine für diesen Versu h wi htige Eigens haft des realen Transformators, wel he insbesonderebei hohen Frequenzen bemerkbar wird, wurde bisher ni ht berü ksi htigt. Die elektris henEigens haften einer Wi klung werden ni ht nur dur h Selbst- und Gegeninduktivität sowiedur h einen Wi klungswiderstand bes hrieben. Aufgrund des me hanis hen Aufbaus mit räum-li h bena hbarten Windungen muss bei hohen Frequenzen au h eine parasitäre Kapazitätberü ksi htigt werden. Bei sehr hohen Frequenzen kann diese parasitäre Kapazität sogar zurwesentli hen elektris hen Eigens haft einer Wi klung werden.Die parasitären Kapazitäten der Wi klungen des realen Transformators können mit einer fürdiesen Versu h ausrei henden Genauigkeit dur h eine parallel zur Hauptinduktivität liegendeKapazität C berü ksi htigt werden. Das (zumindest die Ergebnisse dieses Versu hs bes hrei-bende) vollständige T-Ersatzs haltbild des Transformators ist in Abb. 4 dargestellt.

u u2(t)

i2(t)/ui1(t)

u1(t)

R1 LS1

Lh1

L′

S2R

′

2

CAbbildung 4: Vollständiges T-Ersatzs haltbild des Transformators, wie es in diesem Versu hverwendet wird2.3 Parallel- und Reihens hwingkreiseInduktivitäten und Kapazitäten sind in der Lage, Energie zu spei hern. Benden si h sowohlInduktivitäten als au h Kapazitäten in derselben elektris hen S haltung, so kann zwis hen ihnenein periodis her Energieaustaus h stattnden. Man spri ht von elektris hen S hwingungen Induktivitäten und Kapazitäten bilden S hwingkreise. Man unters heidet zwei prinzipielleTypen von S hwingkreisen, die im folgenden kurz behandelt werden sollen.E4 - 4

Parallels hwingkreisei(t)

u(t)Quelle

iC(t)iL(t)

CLAbbildung 5: Parallels hwingkreisIn einem Parallels hwingkreis bilden eine Induktivität und eine Kapazität eine Parallels hal-tung. Dadur h liegt an beiden S haltelementen dieselbe Spannung uL(t) = uC(t) = u(t). Dervon der Quelle zum S hwingkreis gelieferte Strom ist i(t) = iL(t) + iC(t).Mittels der Zweipolglei hungen uL(t) = L diL(t)/dt und iC(t) = C duC(t)/dt kann man ermit-teln, dass die Ströme iL(t)und iC(t) bei sinusförmiger Spannung u(t) eine Phasenvers hiebungvon 180 aufweisen. Für eine bestimmte Frequenz f0 sind iL(t)und iC(t) betragsmäÿig glei hgroÿ und heben si h aufgrund ihrer Phasenvers hiebung bei der Summation gegenseitig auf der von der Quelle gelieferte Strom wird zu Null. Die Frequenz f0 ist die Resonanzfrequenz desS hwingkreises. Für Frequenzen in der Nähe der Resonanzfrequenz sind die in den S haltele-menten des Paralles hwingkreises ieÿenden Ströme betragsmäÿig viel gröÿer als der von derQuelle gelieferte Strom.Reihens hwingkreisei(t)

u(t)Quelle uC(t)uL(t)

CL

Abbildung 6: Reihens hwingkreisIn einem Reihens hwingkreis bilden eine Induktivität und eine Kapazität eine Reihens haltung.Dadur h ieÿt in beiden S haltelementen derselbe Strom i(t) = iL(t) = iC(t). Die von der Quellegelieferte Spannung ist u(t) = uL(t) + uC(t).Mittels der Zweipolglei hungen uL(t) = L diL(t)/dt und iC(t) = C duC(t)/dt kann man ermit-teln, dass die Spannungen uL(t)und uC(t) bei sinusförmigem Strom i(t) eine Phasenvers hiebungvon 180 aufweisen. Für eine bestimmte Frequenz f0 sind uL(t)und uC(t) betragsmäÿig glei hgroÿ und heben si h aufgrund ihrer Phasenvers hiebung bei der Summation gegenseitig auf die von der Quelle gelieferte Spannung wird zu Null. Die Frequenz f0 ist die Resonanzfrequenzdes S hwingkreises. Für Frequenzen in der Nähe der Resonanzfrequenz sind die an den S halt-elementen des Reihens hwingkreises anliegenden Spannungen betragsmäÿig viel gröÿer als dievon der Quelle gelieferte Spannung. E4 - 5

3 Vorbereitende AufgabenGegeben ist ein Transformator mit einem Aufbau gemäÿ Abb. 1. Bekannt sind folgende Gröÿen:Windungszahl der Primärwi klung N1Windungszahl der Sekundärwi klung N2Eingangsspannung u1(t) = U1 · sin(ωt)Geben Sie alle gefragten Gröÿen als Funktion der jeweils bekannten Gröÿen an. Die Indizes a)bis ) beziehen si h auf den jeweiligen Aufgabenteil.Zunä hst sei der Transformator ideal.a) Der Transformator wird im Leerlauf betrieben. Bere hnen Sie den S heitelwert des ma-gnetis hen Flusses Φa), den S heitelwert des Primärstromes I1 a) und den S heitelwert derAusgangsspannung U2 a).b) Der Transformator wird mit dem bekannten Widerstand R belastet. Bere hnen Sie denS heitelwert des magnetis hen Flusses Φb), den S heitelwert des Primärstromes I1 b) undden S heitelwert der Ausgangsspannung U2 b).Die folgenden Aufgabenteile sollen nur qualitativ gelöst werden. Als Antwort wird jeweils wirdgröÿer, bleibt glei h oder wird kleiner zusammen mit einer Begründung erwartet.Jetzt soll die endli he Permeabilität des Kernmaterials berü ksi htigt werden. Der Transfor-mator wird im Leerlauf betrieben. Streuüsse und Wi klungswiderstände werden weiterhinverna hlässigt. ) Wie ändern si h gegenüber Aufgabenteil a) der S heitelwert des magnetis hen Flusses,der S heitelwert des Primärstromes und der S heitelwert der Ausgangsspannung?d) Wie ändert si h die Ausgangsspannung gegenüber Aufgabenteil ) qualitativ, wenn manden Transformator mit einem bekannten ohms hen Widerstand R belastet?e) Wie ändert si h die Ausgangsspannung gegenüber Aufgabenteil ), wenn man Streuüsseund Wi klungswiderstände berü ksi htigt?4 Versu hsdur hführungDer in diesem Versu h verwendete Transformator hat die Windungszahlen N1 = 800 undN2 = 2400. Alle Messungen sollen mit einer Eingangsspannung mit einem Eektivwert von 1 Vdur hgeführt werden. Dies muss für jeden aufgenommenen Messwert kontrolliert werden. Neh-men Sie folgende Messreihen auf:

• Messung der Sekundärspannung am unbelasteten Transformator als Funktion der Fre-quenz f bis f = 100 Hz in 10 Hz-S hrittenE4 - 6

bis f = 1 kHz in 100 Hz-S hritten bis f = 100 kHz in 5 kHz-S hritten Bestimmen Sie die Frequenz für die maximale Überhöhung der Sekundärspannungauf 1 kHz genau und dokumentieren Sie diese Bestimmung.• Messung der Sekundärspannung bei f = 5 kHz und Ohms her Last als Funktion desLastwiderstandes R bis R = 200 Ω in 20 Ω-S hritten bis R = 500 Ω in 50 Ω-S hritten bis R = 1 kΩ in 100 Ω-S hritten bis R = 10 kΩ in 1 kΩ-S hritten• Messung der Sekundärspannung bei f = 5 kHz und induktiver Last als Funktion derLastinduktivität L bis L = 100 mH in 10 mH-S hritten bis L = 1000 mH in 100 mH-S hritten• Messung der Sekundärspannung bei f = 5 kHz und kapazitiver Last als Funktion derLastkapazität C bis C = 200 nF in 10 nF-S hritten bis C = 1000 nF in 100 nF-S hritten Bestimmen Sie die Kapazität für die maximale Überhöhung der Sekundärspannungauf 1 nF genau und dokumentieren Sie diese Bestimmung.5 AuswertungErstellen Sie aus den Messergebnissen folgende Diagramme:• Sekundärspannung als Funktion der Frequenz verwenden Sie eine halblogaritmis heDarstellung• Sekundärspannung als Funktion der jeweiligen Belastung dur h R, L und CDie Sekundärspannung des Transformators zeigt bei zwei Messreihen jeweils eine starke Über-höhung. Wel her S hwingkreistyp ist dafür verantwortli h? Wel he S haltelemente aus Abb. 4bilden jeweils diese S hwingkreise?6 Literatur• Pregla, R: Grundlagen der Elektrote hnik, Hüthig Verlag Heidelberg• Alba h, M.: Grundlagen der Elektrote hnik 1, Pearson StudiumE4 - 7

Versuch I1: RLC-Netzwerke

Inhaltsverzeichnis

1 Lineare Netzwerke bei sinusformiger Erregung 21.1 RC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Lineare Netzwerke bei Anregung mit rechteckformigen Spannungen unterschied-licher Tastverhaltnisse 62.1 RC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Vorbereitende Aufgaben 8

4 Messaufgaben 84.1 RC-Glied bei sinusformiger Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 RC-Glied bei rechteckformiger Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Reihenschwingkreis bei sinusformiger Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4 Reihenschwingkreis bei rechteckformiger Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Lernziele

• Verstehen der messtechnischen Bedeutung der ”komplexen Rechnung”

• Messen an RLC-Netzwerken bei sinusformiger und nichtsinusformiger Anregung

• Messen von Impedanzen

• Konstruktion maßstablicher Zeigerbilder

• Darstellung von Frequenzgangen als Bodediagramm

• Bestimmen von Schwingkreis-Guten

• Darstellung von Einschwingvorgangen mit dem Oszilloskop

• Bestimmen von Abklingkonstanten

I1 - 1

1 Lineare Netzwerke bei sinusformiger Erregung

In diesem Versuch betrachten wir elektrische Netzwerke, die nur Widerstande (R), Induktivitaten(L) und Kondensatoren (C) enthalten. Diese Bauelemente sind in idealisierter Form durch folgendeBeziehungen zwischen Strom und Spannung definiert

uR(t) = R · iR(t) , (1)

uC(t) =1

C

∫iC(t)dt , (2)

uL(t) = L · diL(t)

dt. (3)

Durch Zusammenschaltung von R, L, C entsteht stets ein ”lineares” Netzwerk. Fur ein lineares Netz-werk gilt das Superpositionsprinzip: werden in das Netzwerk mehrere elektrische Quellen integriert,so kann man den Zustand des Netzes (Spannungen und Strome in allen Bauelementen) dadurch be-rechnen, dass man die Beitrage der einzelnen Quellen getrennt berechnet und addiert (superponiert).Lineare Netzwerke haben eine weitere damit direkt zusammenhangende Eigenschaft: erzeugen alleQuellen sinusformige (”harmonische”) Erregungen, so sind alle im Netzwerk vorkommenden Span-nungen und Strome ebenfalls sinusformig mit derselben Frequenz f . Diese Eigenschaft fuhrt zu einererheblichen Vereinfachung bei der Berechnung der Spannungen und Strome bei sinusformigen Anre-gungen: da man schon weiß, dass alle Großen sinusformig verlaufen, muss man nur die Amplitudenund Phasen berechnen.

Das vereinfachte Verfahren dazu liefert die ”komplexe Rechnung”. Ausgangspunkt ist die tatsachliche,reelle harmonischen Zeitfunktion u(t) = U cos(ωt + ϕ) mit der Kreisfrequenz ω = 2πf . DieserFunktion wird rechnerisch ein Imaginarteil (die imaginare Einheit wird mit j bezeichnet) hinzugefugt,so dass man die Zeitfunktion durch Realteilbildung zuruckerhalt.

u(t) = Re

U cos(ωt + ϕ) + jU sin(ωt + ϕ)

(4)

Auch wenn das Hinzufugen des Imaginarteils zunachst eine Aufblahung der mathematischen Be-schreibung zu sein scheint, ergeben sich daraus letzlich erhebliche Vereinfachungen. Mit Hilfe derEulerschen Formel ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ lasst sich schreiben:

u(t) = Re

Uej(ωt+ϕ)

. (5)

Das Produkt Uejϕ wird zur komplexen Amplitude U = Uejϕ zusammengefasst. Hat man durch eineNetzwerkberechnung die komplexe Amplitude X = Xejϕ einer gewunschten Große gefunden, so lasstsich die zugehorige Zeitfunktion durch folgende Operation gewinnen

x(t) = Re

Xejωt

. (6)

Bei bekannter Frequenz wird die Zeitfunktion also vollstandig durch die komplexe Amplitude be-schrieben. Wegen der Einfachheit der Ruckgewinnung der Zeitfunktion sieht man meist bereits diekomplexe Amplitude als Ergebnis einer Berechnung an. Die wesentliche Vereinfachung der kom-plexen Rechnung ergibt sich daraus, dass die Beziehungen zwischen Spannungen und Stromen anRLC-Elementen sich als (komplexe) algebraische Gleichungen schreiben lassen. Die Entsprechungensind wie folgt

I1 - 2

uR(t) = R · iR(t) ⇐⇒ UR = R · IR , (7)

uC(t) =1

C

∫iC(t)dt ⇐⇒ UC =

1

jωC· IC , (8)

uL(t) = L · diL(t)

dt⇐⇒ UL = jωL · IL . (9)

Offenbar entspricht die Multiplikation mit einer Konstanten auch im Komplexen einer Multiplika-tion. Die Integration im Zeitbereich entspricht einer Division durch jω, die Differenziation einerMultiplikation mit jω. Die Addition bzw. Subtraktion von Spannungen und Stromen gemaß denKirchhoffschen Gleichungen kann einfach auf die komplexen Amplituden ubertragen werden.

1.1 RC-Glied

Anstatt einer allgemeinen Darstellung wird die Vorgehensweise der ”komplexen Rechnung” im Fol-genden am Beispiel erklart. Man betrachte die in Abbildung 1 gezeigte Schaltung aus einem ohmschenWiderstand R und einem Kondensator mit der Kapazitat C, das sogenannte RC-Glied.

Abb. 1: RC-Glied als Beispiel fur ein lineares Netzwerk

Mit Hilfe komplexer Bauelementgleichungen und komplexer Kirchhoffschen Maschen- und Knoten-gleichungen konnen die im Netzwerk auftretenden komplexen Spannungen und Strome (es fließt nurein einziger Strom) bestimmt werden. Fur die komplexe Amplitude der Spannung U1 am Eingangerhalt man:

U1 = UR + U2 = R · I +1

jωC· I =

(R +

1

jωC

)I = Z · I (10)

Den komplexen Quotienten von Strom und Spannung bezeichnet man als Impedanz Z, den Kehrwertdavon als Admittanz Y . Ein Kondensator hat also die Impedanz bzw. Admittanz

Z =U

I=

1

jωC=

1

Y, (11)

die Reihenschaltung von R und C hat die Impedanz

Z = R +1

jωC=

1

Y. (12)

I1 - 3

Abb. 2: Zeigerdiagramm der im RC-Glied auftretenden Spannungen

Die Phasenbeziehungen zwischen Spannungen und Stromen lassen sich durch ”Zeigerdiagramme”veranschaulichen (Abb. 2). Der (nicht eingezeichnete) Stromzeiger liegt parallel zu dem Zeiger derkomplexen Spannung UR, weil an einem ohmschen Widerstand Strom und Spannung in Phase sind.An einem Kondensator eilt der Strom I der Spannung U2 hingegen um 90 Grad vor (mathema-tisch positive Drehrichtung der Zeiger), was sich aus dem Faktor 1/j ergibt. Zwischen den beidenSpannungen UR und U2 besteht demnach eine Phasenverschiebung von 90 Grad.

1.2 Reihenschwingkreis

Einen einfachen elektrischen Schwingkreis erhalt man, wenn man einen Widerstand, eine Spule undeinen Kondensator in Reihe schaltet (Abbildung 3). In einem solchen Kreis kann elektrische Energiezwischen Kondensator und Induktivitat hin- und herschwingen.

Abb. 3: Reihenschwingkreis

Die Impedanz der Reihenschaltung betragt

Z =U

I= R + j

(ωL− 1

ωC

)(13)

und ist somit frequenzabhangig. Die Impedanz wird reell, wenn sich die beiden imaginaren Anteilegerade kompensieren. Die zugehorige Frequenz f0 heißt Resonanzfrequenz:

ω0L− 1

ω0C= 0 ⇒ f0 =

1

2π√

LC(14)

Der Schwingkreis befindet sich fur diese Frequenz in Resonanz. Der Strom I wird dann maximal, weiler nur noch durch den Widerstand R bestimmt ist. Der Strom fließt auch durch die Blindelementeund kann dabei an diesen Spannungen erzeugen, die wesentlich großer als die angelegte Spannung

I1 - 4

U1 sind. Fur die Spannung UL(ω0) an der Spule und die Spannung UC(ω0) am Kondensator beiResonanz ergibt sich:

∣∣∣UL(ω0)∣∣∣ =

∣∣∣UC(ω0)∣∣∣ =

∣∣∣I0(ω0)∣∣∣ω0L =

∣∣∣U0

∣∣∣ 1

R

√L

C. (15)

Das Verhaltnis der Spannung am Blindwiderstand zur angelegten Spannung bei Resonanz wird GuteQ genannt.

Q =1

R

√L

C=

ω0L

R=

1

ω0CR(16)

Normiert man die Admittanz auf den Leitwert G = 1R, so erhalt man fur den Betrag |Y (ω)|

Gund die

Phase ϕ(ω)

|Y (ω)|G

=1√

1 + Q2( ωω0− ω0

ω)2

(17)

ϕ(ω) = arctan

(−Q

(ω

ω0

− ω0

ω

)). (18)

Das Verhalten des Schwingkreises als Funktion der Frequenz wird haufig durch ein ”Bode-Diagramm”dargestellt. Bei einem Bode-Diagramm wird der Betrag logarithmisch dargestellt, wahrend die Phaselinear aufgetragen wird. Fur die logarithmische Darstellung des Betrags, z. B. einer Admittanz Y ,

verwendet man den Ausdruck 20 lg(∣∣∣ Y

Y0

∣∣∣)

dB. Um die Logarithmierung durchzufuhren, muss man

durch eine geeignet gewahlte Bezugsgroße∣∣Y0

∣∣ dividieren, um ein dimensionsloses, reelles Argumentfur die Logarithmusfunktion zu erhalten. Um diese Art der Logarithmierung eindeutig zu kennzeich-nen, versieht man das Ergebnis mit einer Pseudoeinheit, namlich dem deziBel (dB). Im Fall desSchwingkreises bezieht man am besten auf die Admittanz bei Resonanz, also auf G = 1

R.

Eine logarithmische Darstellung ist vor allem aus zwei Grunden sinnvoll. Zum einen lassen sich großeWertebereiche uber mehrere Zehnerpotenzen gut darstellen, zum anderen bilden sich Abhangigkeitennach Potenzgesetzen (z. B. proportional ω, ω2, 1/ω, 1/ω2) als Geraden ab, deren Steigung unmit-telbar Aufschluss uber die Potenz gibt. So fuhrt eine Proportionalitat zu ω zu einer Steigung von20 dB/Dekade, wahrend sich eine Potenz von 1/ω2 durch eine fallende Gerade der Steigung -40dB/Dekade abbildet (eine Dekade bedeutet Verzehnfachung der Frequenz).

Das Bode-Diagramm der Admittanz eines Schwingkreises fur verschiedene Guten Q ist in Abbildung 4dargestellt. Bei den Frequenzen f+45 und f−45, bei denen der Betrag des Phasenwinkels von Z 45

betragt, sind Re Z und Im Z betragsmaßig gleich:

|Z(f±45)| =√

2 · |Z(f0)| =√

2 ·R . (19)

Der Strom ist in diesem Fall um 3 dB gegenuber dem Resonanzfall abgesunken. Die Frequenzen f+45

und f−45 werden obere und untere Grenzfrequenz genannt, ihre Differenz ist die Bandbreite

∆f = f+45 − f−45 . (20)

Damit wird die Gute

Q =f0

∆f. (21)

I1 - 5

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−80

−60

−40

−20

0

ω \ ω0

|Y/G

| in

dB

Q=0,1Q=1Q=10

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−100

−50

0

50

100

ω \ ω0

Pha

se in

Gra

d

Abb. 4: Bode-Diagramm der Admittanz des Reihenschwingkreises (Bezug auf die Admittanz bei Re-sonanz) fur verschiedene Guten Q

Sie kann somit auch als Maß fur die relative Breite der Resonanzkurve angesehen werden (s. Abbil-dung 4).

2 Lineare Netzwerke bei Anregung mit rechteckformigen

Spannungen unterschiedlicher Tastverhaltnisse

Die bisherigen Betrachtungen gelten nur fur Netzwerke, die sich im eingeschwungenen Zustand be-finden: die Quellen sind schon seit beliebig langer Zeit eingeschaltet und die Einschaltvorgange sindvollstandig abgeklungen. In diesem Versuchsteil interessieren wir uns nun fur die Ein- und Aus-schwingvorgange verschiedener Netzwerke bei Anregung mit einer rechteckformigen Spannung. Alseinfaches Beispiel betrachten wir zunachst wieder das RC-Glied.

2.1 RC-Glied

Die Differenzialgleichung (DGL) fur das in Abbildung 5 gezeigte Netzwerk kann mit Hilfe vonMaschen- und Bauelementgleichungen aufgestellt werden

u0(t) = uR(t) + uC(t) = R · i(t) + uC(t) = RCduC(t)

dt+ uC(t) . (22)

Die allgemeine Losung der so gefundenen DGL lautet

uC(t) = uh(t) + up(t) , (23)

wobei uh(t) die Losung der homogenen DGL duC(t)dt

+ 1RC

uC(t) = 0 ist und up(t) die partikulareLosung unter Berucksichtigung der anregenden Funktion u0(t). Mit dem Ansatz uh(t) = K · eλt

und der charakteristischen Gleichung λ + 1RC

= 0 folgt fur die homogene Losung uh(t) = K · e− tRC .

I1 - 6

Abb. 5: RC-Glied bei Anregung mit rechteckformiger Spannung

Die Konstante K kann aus der Anfangsbedingung uC(t = t0) bestimmt werden. Verwendet manals Anregungssignal eine Rechteckspannung nach Abbildung 5 mit der Pulsbreite T (Periodendauer2T ) und der Amplitude U0, so erhalt man im eingeschwungenen Zustand fur die beiden Bereiche0 ≤ t < T und T ≤ t < 2T die Losung

uC(t) =

U0e−

Tτ −1

e−Tτ +1

e−tτ + U0

(1− e−

tτ

)0 ≤ t < T

−U0e−

Tτ −1

e−Tτ +1

e−t−T

τ − U0

(1− e−

t−Tτ

)T ≤ t < 2T.

(24)

2.2 Reihenschwingkreis

Abb. 6: Reihenschwingkreis

Die Differenzialgleichung fur die Kondensatorspannung uC(t) fur den Reihenschwingkreis nach Ab-bildung 6 lautet

d2uC(t)

dt2+

R

L

duC(t)

dt+

1

LCuC(t) =

u0(t)

LC. (25)

Fur die charakteristische Gleichung der DGL gilt dementsprechend

λ2 +R

Lλ +

1

LC= 0. (26)

Mit der Resonanzfrequenz ω0 = 1√LC

und dem Dampfungsgrad D = R2Lω0

folgt fur die Losung dercharakteristischen Gleichung:

λ1/2 = −Dω0 ± ω0

√D2 − 1. (27)

I1 - 7

Der Wurzelausdruck kann imaginar, reell oder gleich Null sein, je nachdem, wie sich die Werte derBauelemente zueinander verhalten. Man unterscheidet die folgenden drei charakteristischen Falle,die getrennt betrachtet werden mussen:

• D > 1: Uberkritische Dampfung

• D = 1: Kritische Dampfung

• D < 1: Gedampft periodischer Fall

Die allgemeine Losung der Differenzialgleichung fur λ1 6= λ2 lautet:

uC(t) = K1eλ1t + K2e

λ2t. (28)

Fur die Bestimmung der beiden Konstanten K1 und K2 werden zwei Anfangsbedingungen zumZeitpunkt t0 benotigt.

3 Vorbereitende Aufgaben

a) Uberlegen Sie, wie Sie aus dem Zeitverlauf von uC(t) bei einem RC-Glied mit rechteckformigerAnregung (Gleichung 24) die Zeitkonstante τ auf einem Oszilloskop ablesen konnen. WelchesVerhaltnis zwischen der Pulsbreite T und der Zeitkonstante τ muss dafur gelten ?

b) Berechnen und zeichnen Sie fur die in Abbildung 7 dargestellte Schaltung die Spannung uC(t)fur t > 0. Der Schalter wird zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen. Fur die Anfangsbedingungenzum Zeitpunkt t = 0 gilt: uC(t) = u0 und i(t) = C · duC(t)

dt= 0.

Abb. 7: LC-Netzwerk

4 Messaufgaben

Die einzelnen Messschaltungen werden mit Hilfe eines Steckbretts und verschiedener Bauelementerealisiert. Die Widerstande sind mit R1 bis R5 gekennzeichnet (R1 ist zunachst unbekannt, R2 = 1kΩ,R3 = 10kΩ, R4 = 2kΩ, R5 = 1Ω), die Spule und die Kapazitat mit L bzw. C. Fur die Erzeugung dessinus- bzw. rechteckformigen Anregungssignals U0 steht ein Funktionsgenerator zur Verfugung.

I1 - 8

4.1 RC-Glied bei sinusformiger Anregung

Messungen:

Bauen Sie mit Hilfe des Steckbretts ein RC-Glied auf, das aus dem Widerstand R1 und der KapazitatC besteht.

a) Messen Sie mit dem Multimeter den Wert des Widerstandes R1 und der Kapazitat C.

b) Stellen Sie die Amplitude der Eingangsspannung am Frequenzgenerator mit Hilfe des Oszillo-skops auf U0 = 2, 5 V ein. Messen Sie fur die Frequenzen 1 kHz und 10 kHz die SpannungenUR1 und UC mit dem Multimeter.

c) Messen Sie die Spannungen UR1 und U0 fur folgende Frequenzen mit dem Multimeter: 100 Hz,300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, 1 kHz, 2 kHz, 3 kHz, 4 kHz, 5 kHz, 6 kHz, 7 kHz, 8 kHz, 9 kHz, 10kHz, 20 kHz, 50 kHz, 100 kHz

Auswertung:

a) Zeichnen Sie fur die Frequenzen 1 kHz und 10 kHz jeweils ein Zeigerdiagramm der SpannungenU0, UC und UR1 (Maßstab: 100 mV = 0,5 cm).

b) Berechnen Sie den Wert der Kapazitat C und vergleichen Sie ihn mit dem gemessenen unddem tatsachlichen Wert (100 nF). Benutzen Sie fur R1 den mit dem Multimeter gemessenenWert (tatsachlicher Wert 100 Ω).

c) Bestimmen Sie den Betrag der auf den Widerstand bezogenen Impedanz ZR

als Funktion derFrequenz und zeichnen Sie das Ergebnis in ein Bodediagramm. Bestimmen Sie dabei die Phaserechnerisch aus den gemessenen Bauelementwerten.

4.2 RC-Glied bei rechteckformiger Anregung

Messungen:

Tauschen Sie R1 gegen R3 = 10 kΩ aus.

a) Wahlen Sie als Anregungssignal ein Rechtecksignal und stellen Sie die Spannungen uC(t) undu0(t) gleichzeitig auf dem Oszilloskop dar. Wahlen Sie zunachst eine niedrige Frequenz (f =100 Hz), um einen vollstandigen Auf- bzw. Entladevorgang betrachten zu konnen.

b) Skizzieren Sie den Verlauf der Spannungen und bestimmen Sie aus dem Zeitverlauf die Zeit-konstante τ .

c) Variieren Sie bei festem τ die Frequenz zu f = 1 kHz und skizzieren Sie den Verlauf von uC(t)und u0(t).

d) Variieren Sie bei fester Frequenz des Rechtecksignals die Zeitkonstante τ , indem Sie den Wi-derstand R3 wieder gegen R1 austauschen. Skizzieren Sie die Verlaufe von uC(t) und u0(t).

Auswertung:

I1 - 9

a) Berechnen Sie die Zeitkonstante τ fur R1 und C und vergleichen Sie sie mit dem abgelesenenWert.

b) Erlautern Sie den Verlauf der Spannungen uC(t) und u0(t) fur variable Frequenzen f des An-regungssignals bzw. fur variable Zeitkonstante τ .

4.3 Reihenschwingkreis bei sinusformiger Anregung

Messungen:

Bauen Sie mit Hilfe des Steckbretts einen Reihenschwingkreis aus dem Widerstand R1, der Indukti-vitat L und der Kapazitat C auf. Stellen Sie die Amplitude der Eingangsspannung am Frequenzge-nerator mit Hilfe des Oszilloskops wieder auf U0 = 2, 5 V ein.

a) Messen Sie die Spannungen UR1 und U0 fur folgende Frequenzen mit dem Multimeter: 100 Hz,300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, 1 kHz, 2 kHz, 3 kHz, 4 kHz, 5 kHz, 6 kHz, 7 kHz, 8 kHz, 9 kHz, 10kHz. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz f0 und nehmen Sie rund um f0 einige zusatzlicheMesspunkte auf.

b) Messen Sie mit dem Multimeter die Spannungen UL(f0) und UR1(f0).

Auswertung:

a) Berechnen Sie den Strom I(f0) und bestimmen Sie L und C.

b) Berechnen Sie den theoretischen Wert der Resonanzfrequenz (L = 100 mH) und vergleichenSie ihn mit dem gemessenen.

c) Berechnen Sie die Gute des Schwingkreises Q mit den Werten aus b) fur L und C.

d) Bestimmen Sie den Betrag der auf den Widerstand bezogenen Impedanz ZR

als Funktion derFrequenz und zeichnen Sie das Ergebnis in ein Bodediagramm. Bestimmen Sie dabei die Phaserechnerisch aus den gemessenen Bauelementwerten. Lesen Sie aus dem Bode-Diagramm dieGute ab und vergleichen Sie mit dem vorher erhaltenen Ergebnis.

4.4 Reihenschwingkreis bei rechteckformiger Anregung

Messungen:

Wahlen Sie als Anregungssignal ein Rechtecksignal mit einer Frequenz von f = 100 Hz. VariierenSie den Widerstand R, stellen Sie fur jeden dieser Falle den Verlauf der Spannungen uC(t) und u0(t)auf dem Oszilloskop dar und skizzieren Sie ihn fur die drei Falle R = R1 = 100 Ω , R = R3 = 10 kΩund R = R4 = 2 kΩ.

Auswertung:

Um welche charakteristischen Falle handelt es sich ?

I1 - 10

Versuch I2: Elektrische Filter

Inhaltsverzeichnis

1 Fourier-Reihen periodischer Signale und Signalubertragung 2

2 Filternetzwerke 3

3 Vorbereitende Aufgaben 6

4 Messaufgaben 64.1 RLC-Netzwerke als Filterschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Messung des Spektrums von Rechtecksignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Filterung von Rechtecksignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Lernziele

• Definition und Anwendung von Fourierreihen und den Begriff ,,Spektrallinie” verstehen undanwenden.

• Filternetzwerke durch Widerstande, Kondensatoren und Spulen realisieren.

• Ubertragungsfunktionen von Netzwerken messen und darstellen.

• Einzelne Spektrallinien im Signal durch einen festen Bandpass hervorheben.

• Verstehen, wie ein Filternetzwerk auf die Amplituden von Oberschwingungen eines periodischenSignals wirkt.

• Einzelne Spektrallinien im Signal durch einen variablen Bandpass hervorheben.

I2 - 1

1 Fourier-Reihen periodischer Signale und Signalubertra-

gung

Ein Filter ist allgemein gesprochen eine Einrichtung zum Trennen verschiedener Komponenten einesGemisches. Diese werden durch das Filter unterschieden und sind an dessen Ausgang in geeigneterForm abrufbar. Elektrische Filternetzwerke konnen beispielsweise Spannungssignale eines gewunsch-ten Frequenzbereichs aus einem Signalgemisch extrahieren und an weitere Verarbeitungsstufen leiten.Hierzu zwei Beispiele:

a) Drahtlose Telekommunikation: Die Antenne empfangt ein Gemisch elektromagnetischer Wellen,die einerseits von einer Reihe verschiedener Sender stammen, andererseits als Hintergrundrau-schen anzusehen sind. Um einen der Sender gezielt auswahlen zu konnen, wird ein Bandpassfil-ter eingesetzt, das die Signale des gewunschten Senders von allen anderen trennt und zu anderenVerarbeitungsstufen weiterleitet.

b) Mehrwegelautsprecher: Ein elektrisches Signal von einer Leistungsendstufe enthalt viele Fre-quenzen. Da in einer Mehrwegebox jeder Lautsprecher fur einen bestimmten Frequenzbereichoptimiert ist, muss das Leistungssignal durch eine spezielle Filterstufe aufgeteilt werden (Fre-quenzweiche).

Zunachst muss genauer beschrieben werden, wie man ein Signal aus einzelnen Frequenzanteilen zu-sammensetzen kann (also woher die von einem Filter zu trennenden Komponenten ursprunglichstammen). In diesem Experiment wird nur die Klasse der periodischen Signale betrachtet. DieseSignale werden mit der Theorie der Fourierzerlegung behandelt: Jede periodische Zeitfunktion x(t)kann durch eine Summe von sinusformigen Funktionen allgemeiner Amplitude und Phase zusam-mengesetzt werden. Man formuliert

x(t) = X0 + 2∞∑

n=1

Xg,n cos(nω0t) + 2∞∑

n=1

Xu,n sin(nω0t) (1)

Die Indizes u und g beziehen sich dabei auf die ungeraden und geraden Anteile der Zeitfunktionx(t) (Sie sehen: die Xu bilden die ungeraden Anteile des Signals aus und werden mit der ungeradenSinusfunktion multipliziert. Analoges gilt fur die Cosinusfunktion). Die Große X0 druckt einen even-tuell vorhandenen Gleichanteil aus, ω0 = 2π/T ist die Grundkreisfrequenz. Die Fourierkoeffizientenergeben sich zu

Xg,n =1

T

∫ T/2

−T/2

x(t) cos(nω0t)dt (2)

Xu,n =1

T

∫ T/2

−T/2

x(t) sin(nω0t)dt (3)

Im Falle des Rechtecksignals mit der Periodendauer T und der Amplitude 1 (siehe Abbildung 1)ergibt sich also

Xg,n = 0 (4)

Xu,n =1− cos(nπ)

nπ(5)

I2 - 2

Das Linienspektrum des periodischen Rechtecksignals mit der in Abbildung 1 dargestellten Zeitfunk-tion besitzt also keine Komponenten Xg, die aus dem geraden Teil der Zeitfunktion stammen, dennein Rechtecksignal nach Abbildung 1 besitzt keinen solchen. Zudem verschwinden auch die Fourier-koeffizienten mit geraden Werten von n. Bild 1 zeigt neben der Zeitfunktion auch das Linienspektrumdes Rechtecksignals. Das Linienspektrum reprasentiert das Rechtecksignal eindeutig. Das bedeutet,x(t) t-11 T 2T X /T

Abb. 1: Ein Rechtecksignal der Periodendauer T mit seinem Linienspektrum

dass die Angabe des Zeitsignals vollig aquivalent zur Angabe der Fourierkoeffizienten ist, da implizitfestgelegt ist, dass es sich um unendlich andauernde und periodische Signale handelt (Machen Siesich dies anhand eines sinusformigen Signals klar: die Zeitfunktion x(t) = A sin(ωt + φ) kann auf dieAngabe der Amplitude A, der Kreisfrequenz ω und des Phasenversatzes φ reduziert werden. Ebensokonnen Signale, die aus mehreren sinusformigen Komponenten bestehen, lediglich mit Hilfe der ein-zelnen Amplituden A1 bis AN , der Teilfrequenzen ω1 bis ωN und der Teilphasen φ1 bis φN beschriebenwerden). Im nachsten Abschnitt wird die Wirkung linearer Netzwerke auf das Fourierspektrum desEingangssignals untersucht.

2 Filternetzwerke

Wir betrachten ein Spannungsteilernetzwerk nach Abbildung 2. Beim unbelasteten Spannungsteiler

Û1 Û2

Z1

Z2

Abb. 2: Ein Spannungsteilernetzwerk mit zwei Impedanzen

(wenn also parallel zur Impedanz Z2 keine weitere Last zugeschaltet ist), gilt

H(jω) =U2(jω)

U1(jω)=

Z2(jω)

Z1(jω) + Z2(jω)(6)

Diesen Ausdruck, der die Beziehung zwischen der Spannung an der Quellseite und der Spannung ander Impedanz Z2(jω) beschreibt, nennt man eine Spannungsubertragungsfunktion. Da H(jω) dieForm Wirkung/Ursache besitzt, nennt man Formeln dieser Gestalt auch Wirkungsfunktion. Glei-chung 6 enthalt im Allgemeinen frequenzabhangige Terme (namlich die Impedanzen Z1(jω) und

I2 - 3

Z2(jω)) und ist somit selbst eine Funktion der Frequenz. Im folgenden sollen die Eigenschaftensolcher Netzwerke bei veranderlicher Frequenz untersucht werden. Grundlage sind die vier in Abbil-dung 3 gezeigten Schaltungen. Weil RLC-Netzwerke als frequenzabhangige Spannungsteiler betrieben

Schaltung 1

Schaltung 3

Schaltung 2

Schaltung 4

Û1 Û2 Û1 Û2

Û1 Û2Û1 Û2

Abb. 3: Vier RLC-Grundschaltungen

werden konnen, eignen sie sich hervorragend als Filterbausteine. Dazu wird die Quellseite des Span-nungsteilers als Eingang des Filters und die Klemmen der Impedanz, uber der die interessierendeSpannung abfallt, als Ausgang definiert. Da Schaltungen mit Ein- und Ausgang durch zwei Toremit genau beschreibbaren Stromen und Spannungen gekennzeichnet sind, bezeichnet man diese alsZweitornetzwerke. Die Amplituden der einzelnen Spektrallinien des Eingangssignals werden mit demUbertragungsfaktor bei der jeweiligen Frequenz verstarkt oder abgeschwacht. Diese Modifikationendes Signals im Frequenzbereich außern sich auch im Zeitbereich, also durch eine Veranderung derForm der Zeitfunktion.In der Informationstechnik interessiert meist weniger die Darstellung dieser Funktionen nach Real-und Imaginarteil. Vielmehr ist eine Reprasentation gefragt, aus der schnell abgelesen werden kann, obein Filter in einem gewissen Frequenzbereich gut oder schlecht ,,durchlassig” ist oder bei welcher Fre-quenz die starkste Veranderung der Phasenlage zwischen Ein- und Ausgang vorliegt. Zu diesem Zweckbenutzt man die Betrags- und Phasendarstellung der Ubertragungsfunktionen im Bode-Diagramm.Eine logarithmische Wiedergabe der Frequenz ω und des Ubertragungsfaktors |H(jω)| weist ge-genuber einer linearen Darstellung viele Starken auf. Dazu besitzt das Bode-Diagramm eine loga-rithmische Frequenzachse. Der Ubertragungsfaktor wird nach der Formel A(ω) = 20 log10(|H(jω)|) inein logarithmisches Pegelmaß (das Verstarkungsmaß A) umgewandelt, das die Pseudoeinheit Dezibel(dB) tragt. Dezibelwerte konnen somit linear in das Bode-Diagramm eingetragen werden. Nega-tive Verstarkungsmaße entsprechen dabei einer Abschwachung, positive Werte einer Verstarkung.Unterschiedlich aufgebaute Filternetzwerke weisen in jeweils unterschiedlichen Bereichen der Fre-quenzachse große Dampfungen auf, in anderen wird die anliegende Spannung kaum abgeschwachtoder sogar verstarkt. Mit diesen Frequenzbandern ist es moglich, Filterschaltungen nach ihrem Ver-wendungszweck zu klassifizieren. Man unterscheidet

• Tiefpassfilter (TP), die tiefe Frequenzen an das Ausgangstor weitergeben, hohe Frequenzendagegen dampfen,

• Hochpassfilter (HP), die hohe Frequenzen passieren lassen und bei tiefen Frequenzen sperren,

• Bandpassfilter (BP), die ein bestimmtes Frequenzband zwischen einer oberen und einer unterenGrenzfrequenz ausfiltern und daruber bzw. darunter eine hohe Dampfung aufweisen,

I2 - 4

• Bandsperren (BS), die im gesamten Frequenzbereich durchlassig sind und nur ein bestimmtesFrequenzband zwischen zwei Grenzfrequenzen sperren.

Man kann sich anhand der Schaltung schnell klarmachen, welche Charakteristiken die Filter ausAbbildung 3 besitzen, indem man sich uberlegt, ob jeweils bei sehr hohen und/oder sehr niedrigenFrequenzen eine Spannung uber der Impedanz am Filterausgang abfallt (Faustregel: Kapazitatenwirken bei tiefen Frequenzen als Leerlauf, bei hohen dagegen als Kurzschluss. Fur Induktivitatengilt die umgekehrte Regel) und indem man sich klarmacht, dass ein Parallelschwingkreis bei seinerResonanzfrequenz als Leerlauf wirkt, ein Reihenschwingkreis jedoch als Kurzschluss. Der hier bereitsbenutzte Begriff Grenzfrequenz bezeichnet die Frequenz, bei der das Verstarkungsmaß des Filter-netzwerks 3 dB unter dem Verstarkungsmaß 1 (also der 0 dB-Linie) liegt. Das Netzwerk dampft eineintreffendes Signal bei dieser Frequenz also auf das 1/

√2-fache. So lasst sich auch die Bandbreite von

Bandpassen und -sperren definieren: Die 3 dB-Bandbreite entspricht der Differenz der oberen undder unteren 3 dB-Grenzfrequenz eines Filternetzwerks. Die Filterbandbreite hangt nach der Formel∆f3dB = f0/Q von der Gute des Schwingkreises Q und dessen Kennfrequenz (f0 = 1/2π

√LC) ab. Im

Sperrbereich eines Filters sinkt dessen Ubertragungsfunktion mehr oder weniger steil zu sehr gerin-gen Werten hin ab. Die Steigung dieses Bereichs, der Filterflanke, wird Flankensteilheit genannt undz.B. in dB/Dekade angegeben. Eine Dekade entspricht einer Verzehnfachung der Frequenz. WahrendDekaden auf linearen Achsen zu großeren Frequenzwerten hin immer starker gestreckt werden, istder Dekadenabstand auf einer logarithmischen Achse stets gleich. Dies kann man sich an der aqui-distanten Abstufung der Dekadenmarkierungen im Bode-Diagramm (10−1 Hz, 100 Hz, 101 Hz, 102

Hz ...) verdeutlichen. Die Flankensteilheit wird maßgeblich durch die Filterordnung bestimmt. Dieseist gleich der Anzahl aller im System vorkommenden unabhangigen Energiespeicher (Induktivitatenund Kapazitaten). Die in Abschnitt 2 vorgestellten Filter besitzen also die Ordnung 2. Sie weiseneine Flankensteilheit von 20 dB/Dekade (BP, BS) bzw. 40 dB/Dekade (TP, HP) auf. Die bislangeingefuhrten Begriffe werden durch Abbildung 4 am Beispiel einer Bandpassubertragungsfunktionverdeutlicht.

101 102 103 104-40-30-20-100A / dB101 102 103 104-0.500.5

ω / s-1φ / πBandbreite-3 dB Mittenfrequenz DurchlassbereichSperrbereichSperrbereich

Abb. 4: Veranschaulichung verschiedener Begriffe zum Verstandnis der Funktion von Filternetzwerken

I2 - 5

3 Vorbereitende Aufgaben

(a) Berechnen Sie die Spannungsubertragungsfunktionen U2(jω)/U1(jω) der in Abbildung 3 gezeig-ten Netzwerke!(b) Bestimmen Sie die Art der gegebenen Filterschaltungen und skizzieren Sie die Bode-Diagrammeder zugehorigen Spannungsubertragungsfunktionen! (Prinzipskizzen ohne numerische Achsenbeschrif-tung reichen aus)(c) Leiten Sie die Fourierkoeffizienten des Rechtecksignals in Abbildung 5 vollstandig her! ZeichnenSie ein Betrags linienspektrum der ersten Fourierkoeffizienten (Beispiel siehe Abb. 1). Worin unter-scheiden sich die Linienspektren der Signale aus Abbildung 5 und Abbildung 1?

x(t)

t

-1

1

T/2 -T/2

Abb. 5: Zu Aufgabe (c)

4 Messaufgaben

4.1 RLC-Netzwerke als Filterschaltungen

Im ersten Experiment bestimmen Sie die Ubertragungsfunktionen von Tief- und Bandpassfiltern.Sie benutzen dazu eine Stecktafel, auf der sie nacheinander die Filterschaltungen mit gegebenenBauelementen aufbauen konnen. Die Bauteilwerte betragen R = 100Ω, C = 100nF, L = 100mH.Im ersten Schritt messen Sie das Betragsubertragungsspektrum, im zweiten Schritt nehmen sie denPhasenverlauf zwischen Ein- und Ausgangsspannung auf.Bauen Sie dazu nacheinander die Filterschaltungen Tiefpass und Bandpass auf (siehe Abschnitt 2)!Regen Sie die jeweilige Schaltung dann mit einem Sinussignal aus dem Frequenzgenerator an. Stellensie den Generator zunachst so ein, dass bei allen Frequenzen eine Spannung mit einem Effektivwertvon 1 V am Eingang des Filters anliegt. Dadurch vereinfacht sich die Berechnung des Ubertra-gungsmaßes: A(jω)/dB = 20 log10(UA/1V ) Messen Sie mit dem Multimeter die Effektivwerte derAusgangsspannung. Bitte uberlegen Sie sich vor Beginn des Experiments sinnvolle Messfrequenzen(diese konnen z.B. in Frequenzbereichen, in denen die Filterubertragungsfunktion sich nur leichtandert, einen großeren Abstand besitzen als in ,,interessanten” Bereichen der Kurve)! Wahlen Sie soviele Messpunkte, dass Sie einerseits den Kurvenverlauf sicher erfassen, andererseits aber den Arbeits-umfang moglichst gering halten. Die von der Signalquelle erzeugte Eingangsspannung kann durch dieAnderung der Generatorbelastung schwanken. Stellen Sie deshalb wahrend des Experiments sicher,dass die Eingangsspannung konstant bleibt! Dazu benutzen sie einen Kanal des Oszilloskops, der an

I2 - 6

den Filtereingang geschaltet wird.Nach der Messung der beiden Betragsubertragungsfunktionen wird der Phasenverlauf ermittelt. Dazuwird ein einfaches Interpolationsverfahren benutzt. Legen Sie an den ersten Kanal des Oszilloskopsdas Eingangssignal des Filters und an den zweiten Kanal dessen Ausgangssignal an und stellen Siebeide Kanale auf dem Schirm dar. Stellen Sie jetzt die Frequenz des Signalgenerators so ein, dass sichfur den Tiefpass die Phasenlagen a) -45, b) -90, c) -135 und fur den Bandpass die Phasenlagena) 45, b) 0, c) -45. Damit haben Sie fur die beiden Schaltungen je drei Messpunkte, an denen SiePhasenwinkel und Frequenz kennen. Schatzen Sie daruberhinaus rechnerisch das Phasenverhaltender Schaltungen fur ω → 0 und ω →∞ ab.Zeichnen Sie die gemessenen bzw. interpolierten Betrags- und Phasenubertragungsfunktionen in einBode-Diagramm (Frequenz logarithmisch, Betragsubertragungsfunktion in dB, Phase linear) ein!Welche Mittenfrequenz, welche Bandbreite und welche Gute besitzt der Bandpass? Welche 3 dB-Grenzfrequenz besitzt der Tiefpass? Wie groß ist die Flankensteilheit der Filter jeweils? Stimmen dieMessungen mit den theoretischen Werten uberein? Zeichnen Sie auch den Versuchsaufbau.

4.2 Messung des Spektrums von Rechtecksignalen

Rechtecksignale bestehe aus einer Reihe von sinusformigen Komponenten. In diesem Versuchsteilwerden deren Amplituden bestimmt, also letztendlich die Fourierkoeffizienten eines Rechtecksignalsexperimentell ermittelt. Mit dem Bandpassfilter aus dem letzten Versuchsteil konnen Sie einzelneSpektrallinien des Rechtecksignals von den ubrigen Komponenten trennen und ihre Effektivwertemessen. Dazu muss die Frequenz der gerade gemessenen Linie genau mit der Mittenfrequenz desBandpasses ubereinstimmen. Sie ,,schieben” also das Spektrum eines Recktecksignals an dem Band-pass vorbei, indem Sie das Signal in das Filter einspeisen und die Signal frequenz absenken, anstattdie Filter frequenz zu erhohen. Zur Messung der ersten Spektrallinie muss die Grundfrequenz desSignals mit der Filtermittenfrequenz identisch sein. Der Ausgang des Signalgenerators wird nun soeingestellt, dass die erste Spektrallinie einen Effektivwert von 100 mV besitzt. Alle Teilspannungengeradzahliger Oberschwingungen eines Rechtecksignals sind Null (siehe oben), daher konnen Sie sichim Weiteren auf die Messung der ungeradzahligen Oberschwingungen konzentrieren. Welche Signal-grundfrequenz mussen sie einstellen, damit sie nun die dritte Spektrallinie messen konnen?Messen Sie auf diese Weise die Effektivwerte von sechs bis sieben ungeradzahligen Schwingungskom-ponenten des Rechtecksignals. Zur Auswertung: Tragen Sie die Messergebnisse als Linienspektrumuber einer Achse, die die laufende Nummer der Teilschwingungen angibt, auf. Zeichnen Sie nun indasselbe Diagramm das Linienspektrum eines Rechtecksignals nach Formel 5 ein, das Sie so skalieren,dass dessen erste Teilschwingung die gleiche Amplitude wie die erste Teilschwingung ihrer Messun-gen besitzt. Vergleichen Sie Ihre Messergebnisse mit der Theorie der Fourierzerlegung! Erklaren Siemogliche Abweichungen! (Tip: Uberlegen Sie, wie viele Spektrallinien sich jeweils bei tiefen und beihohen Grundfrequenzen in dem glockenformigen Durchlassbereich des Bandpassfilters befinden undwie sich das auf die gemessene Ausgangsspannung auswirkt.)

4.3 Filterung von Rechtecksignalen

Im ersten Versuchsteil haben Sie unter anderem die Ubertragungsfunktion eines Bandpassfilternetz-werks mittels eines monofrequenten sinusformigen Signals aufgenommen. Die verwendeten linearenFilter lassen jedoch auch Messungen mit breitbandigen Signalen zu. Es ist nahe liegend, das imvorangegangenen Experiment untersuchte Rechtecksignal zu verwenden, um den Bandpass gleich-zeitig mit mehreren Sinuskomponenten anzuregen. Wie im ersten Teil wird die Formel A(jω)/dB =

I2 - 7

20 log10(UA/UE) zur Berechnung der Verstarkungsfunktion benutzt. Da sowohl UA als auch UE jedochein Frequenzgemisch darstellen, muss mit einem zweiten Filter fur jede Messung eine der gegebenenSpektrallinien ausgewahlt werden. Da zudem nicht a priori UE = 1V eingestellt werden kann, musshier im Gegensatz zum ersten Teil UE stets mitgemessen werden.Zur Anwahl der Frequenzlinien wird ein zusatzlicher Messbandpass benutzt, dessen Mittenfrequenzzwischen ca. 300 und 3000 Hz eingestellt werden kann und der eine sehr geringe Bandbreite (imMittel etwa 100 Hz) besitzt (Steckerbelegung siehe Abbildung 6).Regen Sie dazu die Schaltung mit einem Rechtecksignal (f = 300 Hz, Amplitude 20 mV eff) an. Ver-binden Sie den Eingang der Schaltung mit dem Eingang der Messbandpasses und dessen Ausgang mitdem Multimeter und mit dem Oszilloskop. Durch Veranderung der Mittenfrequenz des Messfilterskonnen Sie einzelne Spektrallinien hervorheben. Kontrollieren Sie mit dem Oszilloskop den Zeitverlaufder Ausgangsspannung am Messfilter. Beobachten Sie, wie die Amplituden der dargestellten Signalesich verandern, wenn die Filterfrequenz variiert wird. Sie haben eine Frequenzlinie erreicht, wenn dieSpitzenamplituden maximal werden. Die gerade eingestellte Frequenz konnen Sie ermitteln, indemSie das Multimeter kurz in den Frequenzmessbereich schalten (Schalter ,,Hz”). Bestimmen Sie dieSpannungsubertragungsfunktion des Netzwerks bei den Teilfrequenzen des Rechtecksignals! Hierzumessen Sie, nachdem Sie die jeweilige Spektrallinie eingestellt haben, die Ein- und Ausgangsspannungam von Ihnen aufgebauten Bandpass, um den Spannungsquotienten bei jeder Frequenz zu bilden zukonnen! Dazu verbinden Sie den Eingang des Messfilters jeweils mit dem Ein- oder Ausgang des vonIhnen aufgebauten Bandpasses. Zeichnen Sie ein Bode-Diagramm der Bandpassubertragungsfunktionund vergleichen Sie dieses mit Ihren bereits vorhandenen Messungen. Zeichnen Sie den Versuchsauf-bau!

g e

l b

g r ü

n

w e

i ß

blau

rot

s c h

w a

r z

BNC BNC

f 0

BNC BNC

g e

l b

g r ü

n

w e i ß

s c h

w a

r z

rot

blau

U B BP

Abb. 6: Steckerbelegung der Messschaltung

I2 - 8

Versuch I3: Abtastung und Quantisierung

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Quantisierung 2

3 Abtastung und Rekonstruktion 3

4 Vorbereitende Aufgaben 6

5 Messaufgaben 75.1 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.1.1 Aussteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.1.2 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.1.3 Quantisierungskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.1.4 Quantisierungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2.1 Abtasttheorem und Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2.2 Interpolation 0. Ordnung (Halteglied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2.3 Interpolation mit si-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3 Quantisierung und Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

A Realisierung des Versuchsaufbaus 12

Lernziele

• Auswirkungen der Parameter einer digital-analog / analog-digital-Wandlung benennen und ihreAuswirkung auf die Signalqualitat verstehen.

• Einen Horeindruck von Artefakten (ungewollt hervorgerufene Fehler, Storungen) bekommenund diese prazise beschreiben. Artefakte konnen enstehen

– aufgrund geringer Quantisierungstiefe,

– aufgrund unangemessener Signalaussteuerung,

– bei der Abtastung von analogen Signalen unter Verletzung des Abtasttheorems,

– bei der Rekonstruktion wegen unzureichender Tiefpassfilterung.

• Den Unterschied zwischen idealem und realem Tiefpass kennen lernen.

I3 - 1

1 Einleitung

Aus der Netzwerktheorie kennen wir RLC-Netzwerke, dies sind passive Schaltungen aus Widerstanden(R), Induktivitaten (L) und Kapazitaten (C), mit denen analoge Eingangssignale gefiltert werdenkonnen. Ein Tiefpassfilter z.B. bedampft hochfrequente Signalanteile, ein Hochpass tieffrequente undein Bandpass bedampft alle Signalanteile, die nicht in einem Frequenzbereich liegen, der als Durch-lassbereich definiert ist. Zur exakten Ermittlung des Ausgangssignals eines Netzwerkes ist es u. U.hinreichend, wenn anstelle des zeitkontinuierlichen Eingangssignals lediglich periodisch entnommeneStutzstellenwerte (“Abtastwerte”) bekannt sind. Hierzu mussen bestimmte Voraussetzungen erfulltsein. Werden die bereits zeitdiskreten Stutzstellenwerte auch noch in ihrer Amplitude diskretisiert(“Quantisierung”), eignet sich die so gewonnene Zahlenreihe zur Verarbeitung in einem digitalenProzessor. Im Signalprozessor kann dann die Wirkung eines analogen RLC-Netzwerkes auf ein Ein-gangssignal durch eine Berechnungsvorschrift ersetzt werden. Z.B. kann der aktuelle Stutzstellenwertdes Ausgangssignals aus einer gewichteten Summe der vergangenen Stutzstellenwerte des Eingangs-signals berechnet werden. Anders als in der Analogtechnik, in der die Filtercharakteristik durch dieWahl der Bauteilewerte vorab festgelegt ist, erlaubt dabei die Digitaltechnik die Realisierung vonsich zeitlich andernden Filtercharakteristiken.

Der vorliegende Versuch soll Ihnen die wesentlichen Zusammenhange und Voraussetzungen bei derAbtastung und Quantisierung von analogen Signalen und der Rekonstruktion von analogen Signalenaus Abtastwerten verdeutlichen [1], [2]. Im Verlauf des Versuchs bekommen Sie die Moglichkeit, sicheinen auditiven Eindruck von Effekten zu verschaffen, die im Zusammenhang mit Abtastung undQuantisierung zu beobachten sind.

2 Quantisierung

Quantisierung bezeichnet den Vorgang des Zuordnens eines ursprunglich amplituden-kontinuierlichenWertes auf diskrete Amplitudenwerte, d.h. es werden die Amplitudenwerte innerhalb eines Quanti-sierungsintervalls auf einen diskreten Wert abgebildet. Dieser Vorgang ist fur die meisten Signale miteinem Informationsverlust, d.h. mit einem Quantisierungsfehler

e(t) = x(t) − xq(t) (1)

verbunden, der bei kleiner Stufenanzahl als Quantisierungsrauschen wahrnehmbar ist. x(t) kennzeich-net hier die analoge Signalamplitude und xq(t) die zugeordnete quantisierte Signalamplitude zumZeitpunkt t. Fur eine hinreichend große Anzahl Quantisierungsstufen (Q > 24) und eine symmetri-sche Verteilungsdichtefunktion der Amplitudenwerte gilt fur die Leistung des Quantisierungsfehlersdie Naherung

Pe ≈∆x2

12(2)

mit der Stufenhohe ∆x wie in Bild 1 gezeichnet. Aufgrund des Quantisierungsrauschens lasst sichdas Verhaltnis von Signalleistung zu Rauschleistung (engl. signal to noise ratio, SNR) berechnen.Ublicherweise wird das SNR in dezibel, dB angegeben:

SNR = 10 log10

PS

PN

dB, (3)

I3 - 2

wobei PS eine Signalleistung und PN eine Rauschleistung bezeichnen. Unter vereinfachenden Annah-men ergibt sich

SNR ≈ w · 6.02 dB/Bit. (4)

Pro bereitgestelltes Bit Wortbreite wird also der Signal-Storabstand um etwa 6 dB verbessert, d.h.die Leistung des Quantisierungsfehlers wird gegenuber der Signalleistung um etwa den Faktor vier(106/10

≈ 4) verringert.

Bild 1 zeigt das Beispiel einer gleichmassigen Quantisierungskennlinie mit w = 3 Bit, entsprechendQ = 23 = 8 Quantisierungsstufen.

PSfrag replacements

∆x

∆x

xmin xmax

xq

x

Abbildung 1: Mid-tread-Quantisierungskennlinie fur eine Quantisierung mit w=3 Bit.

Analoge Eingangswerte, x, die großer als xmax bzw. kleiner als xmin sind, werden auf den Wert quanti-siert, der xmax bzw. xmin zugeordnet ist. Praktisch entspricht dieses Verhalten einer Signalbegrenzung,auch “Clipping” genannt. Um diese Art der Verzerrung zu vermeiden, muss dafur Sorge getragenwerden, dass der Pegel des Eingangssignals so gewahlt ist, dass der Aussteuerbereich des Quantisie-rers nicht uberschritten wird. Auf der anderen Seite ist eine kleine Aussteuerung des Quantisierersebenfalls unvorteilhaft, da dann der Dynamikumfang des Quantisierers nicht ausgenutzt wird. Dieaußeren Quantisierungsstufen wurden nie verwendet, so dass effektiv eine Quantisierung mit kleinererStufenzahl und damit großerem Quantisierungsfehler, also schlechterem Signal-Storabstand erfolgt(s. Gleichung (4)). Als Regel folgt daher, dass der Pegel am Eingang des Quantisieres so eingestelltwerden sollte, dass der Aussteuerbereich gut abgedeckt aber gerade nicht uberschritten wird.Typische Anwendungen verwenden z.B. w = 8 Bit (ISDN-Telefonie) oder w = 16 Bit (Audio-CD).

3 Abtastung und Rekonstruktion

AbtastungMit Abtastung wird der Vorgang bezeichnet, bei dem aus einem zeitkontinuierlichen Signal zu diskre-ten (in der Regel periodischen) Zeitpunkten Messwerte entnommen werden. Damit aus den Abtast-werten das analoge Signal fehlerfrei rekonstruiert werden kann, muss laut Abtasttheorem mit mehr

I3 - 3

als dem Doppelten der großten Frequenz fg, die in dem abzutastenden Signal vorkommt, abgetastetwerden, d.h.

fA > 2fg. (5)

Das Inverse des Zeitintervalls, nach dem jeweils ein Abtastwert entnommen wird, ist die “Abtastfre-quenz” oder “Abtastrate”, fA.Wird das Abtasttheorem verletzt, d.h. die Abtastrate kleiner als das Zweifache der maximal im Signalvorhandenen Frequenz gewahlt, kann das ursprungliche Signal (unabhangig von der Rekonstruktions-Methode, s.u.) nicht mehr fehlerfrei rekonstruiert werden. In Versuch 5.2.1 werden Sie erfahren, wieein hochfrequentes harmonisches Eingangssignal durch eine Abtastung mit zu geringer Rate verfalschterscheint. Mit den Abtastwerten entstunde nach Rekonstruktion ein Signal mit einer Frequenz, dieunter der tatsachlichen Frequenz des Eingangssignals liegt. Weil bei einer Verletzung des Abtasttheo-rems Signale mit phantomhaften Frequenzen entstehen, spricht man bei dieser Art von Fehler auchvon einem “aliasing-Fehler” oder kurz “aliasing”.Typische Abtastraten betragen z.B. 8 kHz (ISDN-Telefonie), 44.1 kHz (Audio-CD), mehrere GHzfur digitale Oszilloskope oder etwa 64 nHz = 2/Jahr fur das Ablesen des Stromzahlers.

Die Einhaltung des Abtasttheorems (5) ist notwendige Voraussetzung jedoch nicht hinreichend fureine fehlerfreie Rekonstruktion des Signals am Ausgang. Entscheidend ist zusatzlich noch das Vor-gehen bei der Signalrekonstruktion. Dieses soll im Folgenden erlautert werden.

RekonstruktionBei der Rekonstruktion wird aus der digitalen Signalreprasentation wieder ein analoges Signal er-zeugt. Hierfur sind unterschiedliche Strategien denkbar, die unter Umstanden Rekonstruktionsfehlerhervorrufen:

Eine grobe Approximation des analogen Signals erhalt man, wenn jeweils fur die Dauer eines Abtast-intervalls das analoge Ausgangssignal auf dem Wert des Abtastwertes gehalten wird. Man bezeichnetdies als Interpolation 0. Ordnung oder Halteglied (Bild 2) 1. Der Unterschied zwischen dem Sinus-signal und dem rekonstruierten Signal ist nicht nur an der Kurvenform direkt ersichtlich sondernlasst sich auch leicht auditiv detektieren: Das derart rekonstruierte Signal hort sich stark verzerrtan. Hochfrequente Anteile sind horbar, die weit uber der Frequenz von 0.5fA liegen und daher beieinem rekonstruierten Signal eines tieffrequenten unter Einhaltung von Bedingung (5) abgetastetenEingangssignals eigentlich nicht zu erwarten waren. Diese Signalanteile werden daher offensichtlichdurch die Art der Rekontruktion hervorgerufen.Konsequenterweise konnte man auf die Idee kommen, die Signalanteile, deren Frequenz großer als0.5fA sind und daher in einem mit fA abgetasteten und anschließend rekonstruierten Signal nichtauftreten durfen, mithilfe eines Tiefpassfilters weitestmoglich zu bedampfen. Dieser Ansatz fuhrt aufdie Interpolation mit si-Funktionen, s.u..Es ist wichtig zu verstehen, dass mit dem beobachteten Rekonstruktionsfehler nicht etwa das Ab-tasttheorem in Frage gestellt wird. Vielmehr zeigt diese Beobachtung, dass eine Begrenzung der imSignal vorhandenen Frequenzkomponenten auf fg < 0.5fA zwingend erforderlich ist, wenn das ana-loge Ursprungssignal fehlerfrei rekonstruiert werden soll.

1Aufgrund weiterer Beschaltung mit R, L, C, ist eine instantane Anderung der Amplitude in der gezeigten Trep-

penform im Versuch nicht moglich. Statt dessen beobachtet man an den Sprungstellen eine uberlagerte periodische

schnell abklingende gedampfte Schwingung.

I3 - 4

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit, s

Am

plitu

de

analoges EingangssignalAbtastwerterekonstruiertes Ausgangssignal

Abbildung 2: Nicht-perfekte Rekonstruktion mittels Interpolation 0. Ordnung (Halteglied).

Eine im Vergleich mit dem Halteglied etwas bessere Approximation des analogen Kurvenverlaufserreicht man mit einem Interpolator 1. Ordnung. Dieser interpoliert den analogen Signalverlauf zwi-schen zwei Abtastwerten durch eine Gerade (Bild 3). Auch diese Art der Rekonstruktion ist nichtfehlerfrei. Es entstehen auch hierbei hochfrequente Signalverzerrungen mit einer Frequenz oberhalbvon 0.5fA.

Es zeigt sich, dass fur eine perfekte Rekonstruktion des analogen Signals mit dem Abtastwert ska-lierte si-Funktionen summiert werden mussen (Bild 4). Als Vorgriff auf spatere Vorlesungen sei andieser Stelle erwahnt, dass eine Interpolation dieser Art gerade durch eine Filterung mit einem “idea-len” Tiefpass erreicht wird, welcher eine Grenzfrequenz2 von 0.5fA aufweist. Der “ideale” Tiefpassunterdruckt alle Frequenzanteile oberhalb von 0.5fA, die bei Rekonstruktion aus einem unter Einhal-tung des Abtasttheorems (5) abgetasteten Signal nicht auftreten durfen. Das Filter beseitigt damitalle Komponenten oberhalb der halben Abtastfrequenz, die dem eigentlichen Signal als Verzerrunguberlagert waren (s.o.).Nicht-ideale (reale) Tiefpasse erreichen eine hohe Dampfung erst mit zunehmender Frequenz jenseitsder Grenzfrequenz. Ein Beispiel hierfur ist der in diesem Versuch verwendete Tiefpass, dessen Am-plitudengang in Bild 6 dargestellt ist. Fur große Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz nimmt dieDampfung mit 160 dB/Dekade zu. Aufgrund der endlichen Steigung des realen Tiefpasses muss die

2Die Grenzfrequenz eines Filters ist definiert als die Frequenz, bei der das Filter eine Dampfung von 3 dB gegenuber

dem Verhalten im Durchlassbereich erreicht.

I3 - 5

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit, s

Am

plitu

de

analoges EingangssignalAbtastwerterekonstruiertes Ausgangssignal

Abbildung 3: Nicht-perfekte Rekonstruktion mittels Interpolation 1. Ordnung.

Grenzfrequenz weit unterhalb von 0.5fA angesetzt werden, damit aliasing-Komponenten jenseits von0.5fA bereits hinreichend (Dampfung > 40 dB) bedampft werden. Als Konsequenz hieraus folgt, dassdie maximale in einem Signal vorkommende Frequenz nicht nur kleiner der halben Abtastrate seinmuss, sondern zusatzlich noch kleiner als die Grenzfrequenz des Tiefpasses sein sollte, da ansonstendiese Signalkomponenten durch den Tiefpass bedampft wurden. Um ein AD/DA-System einer be-stimmten Bandbreite zu entwerfen, kann also entweder eine geringe Abtastrate mit einem Tiefpasshoher Steilheit kombiniert werden oder aber ein Tiefpass geringerer Steilheit mit einer entsprechenderhohten Abtastrate (“oversampling”). Da der Aufbau eines analogen Tiefpasses hoher Steilheit imVergleich zu einer Erhohung der Abtastrate im Zeitalter hochintegrierter digitaler Schaltkreise ko-stenintensiver ist, wird haufig die letztere Alternative gewahlt.

4 Vorbereitende Aufgaben

a) Zeichnen Sie eine Periode eines Sinussignals der Amplitude 1.0 und der Frequenz f = 200 Hz.Zeichnen Sie das mit w = 3 Bit (gemaß Bild 1 mit xmin = −1, xmax = 1) quantisierte Signal ein.Zeichnen Sie in einem zweiten Graphen darunter den Quantisierungsfehler uber der Zeit.b) In Versuchsteil 5.2.3 soll u.a. ein abgetastetes Signal mit (approximierten) si-Funktionen rekonstru-iert werden. Dazu wird das reale Tiefpassfilter verwendet, dessen Frequenzgang in Bild 6 gezeigt ist.Welche Abtastraten konnen verwendet werden, wenn das Rekonstruktionsfilter alias-Komponentenmit mindestens 40 dB dampfen soll? Auf welche Bandbreiten (d.h. maximale Frequenzen) muss dann

I3 - 6

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit, s

Am

plitu

de

analoges EingangssignalAbtastwerterekonstruiertes Ausgangssignal

Abbildung 4: Perfekte Rekonstruktion mittels Interpolation durch gewichtete si-Funktionen (idealerTiefpass).

jeweils das Eingangssignal begrenzt sein und welche Bandbreite haben die rekonstruierten Signale?

5 Messaufgaben

Bild 5 zeigt das Blockschaltbild des Versuchs. Das in der Amplitude einstellbare Signal einer Signal-quelle wird einem A/D-Wandler zugefuhrt. Nach Quantisierung und D/A-Wandlung (Halteglied,zunachst kein Tiefpass) steht das Signal an einer BNC-Buchse zum Vergleich mit einem gleichverzogerten aber weder abgetasteten noch quantisierten Referenzsignal zur Verfugung. Zusatzlichkann das Differenzsignal abgegriffen werden. Die Parameter “Abtastrate” und “Anzahl Quantisie-rungsstufen” konnen uber eine Tastatur eingestellt werden.Um die Signale abzuhoren, kann ein einstellbarer Kopfhorer-Verstarker (nicht gezeichnet) entwederdirekt oder uber ein Tiefpass-Filter an einen der Signalausgange “Ausgang”, “Differenz” oder “Refe-renz” angeschlossen werden. Das Tiefpassfilter weist eine Grenzfrequenz von fg = 4600 Hz auf. SeinAmplitudengang, d.h. die Dampfung in Abhangigkeit von der Frequenz ist Bild 6 zu entnehmen.Die Signalquelle liefert sieben Signale, die mittels der Tastatur zyklisch ausgewahlt werden konnen:

• Sinus der Frequenz f = 200 Hz

• Sinus der Frequenz f = 800 Hz

I3 - 7

A/D Q D/A

gliedVerzögerungs−

Signal

Trigger Referenz

Differenz

Ausgang

Abtastung, Quantisierung, Rekonstruktion

− +

Signalquelle

Abbildung 5: Blockschaltbild des Versuchs.

• Sinus der Frequenz f = 1600 Hz

• Sinus der Frequenz f = 2800 Hz

• Kastagnetten-Schlage, bandbegrenzt auf 4.6 kHz

• Mannliche Stimme, bandbegrenzt auf 4.6 kHz

• Weibliche Stimme, bandbegrenzt auf 4.6 kHz

• Sinus mit kontinuierlich ansteigender Frequenz von f1 = 100 Hz bis f2 = 2000 Hz (“Chirp”).

Im Falle der Sinussignale fester Frequenz steht auch ein Trigger-Impuls zur Verfugung, der als ex-terner Trigger fur das Triggern bei der Darstellung des Ausgangssignals (bzw. Referenzsignal oderauch Differenzsignal) auf einem Oszilloskop verwendet werden kann. Ebenfalls fur diesen Signaltypbesteht die Moglichkeit, Abtastwerte uber einen kurzen Signalabschnitt zu speichern und dann dieWerte uber das Display auszulesen. Durch erneutes Drucken der Aufnahmetaste wird wieder in denkontinuierlichen Betrieb geschaltet.

Bitte achten Sie stets darauf, die Lautstarke vor Aufsetzen des Kopfhorers, bzw. vor Modifikationenzunachst zuruckzustellen, um Ihr Gehor vor unerwartet lauten Tonen zu schutzen!

5.1 Quantisierung

In diesem Versuchsabschnitt sollen Effekte untersucht werden, die allein aufgrund einer Signalquan-tisierung hervorgerufen werden. Stellen Sie daher die Abtastfrequenz fur die Dauer dieses Versuchs-abschnitts auf ihren maximalen Wert, fA = 96 kHz. Horen Sie die Signale ohne das Tiefpassfilterab.

5.1.1 Aussteuerung

Dieser Versuchsteil dient dazu, Ihnen einen auditiven Eindruck von Artefakten zu verschaffen, dieaufgrund von Ubersteuerung des Eingangssignals auftreten. Fur die Dauer dieses Versuchsteils bleibt

I3 - 8

101 102 103 104

−200

−150

−100

−50

0

−160 dB

1 DekadePSfrag replacements

Frequenz, Hz

Ver

star

kung,

dB

Abbildung 6: Amplitudengang des analogen Tiefpass (Tschebyscheff 8. Ordnung, Grenzfrequenz fg =4600 Hz, 2 dB Welligkeit im Durchlassbereich, [3]).

die Quantisierung auf w = 22 Bit eingestellt um zusatzliche Effekte aufgrund reduzierter Quantisie-rungstiefe zu vermeiden.

Wahlen Sie zunachst das Signal “Sinus 200 Hz” aus und erhohen Sie kontinuierlich den Pegel derSignalquelle bis Clipping einsetzt. Sehen Sie sich das Ausgangssignal mit und ohne Ubersteuerungauch auf dem Oszilloskop an.Wiederholen Sie den Versuch auch fur die ubrigen Signale. Versuchen Sie bei den Sprachbeispielenohne Blick auf das Oszilloskop rein auditiv den Punkt zu finden, bei dem gerade keine Ubersteuerungvorliegt. Ubersteuerung zeigt sich auf dem Oszilloskop durch abgeflachte (“abgeschnittene”) Ampli-tudenverlaufe.

Pragen Sie sich den Horeindruck von ubersteuerten Signalen ein, da Sie im weiteren Versuchsablaufden Pegel der jeweiligen Signalquelle stets so einstellen sollen, dass gerade kein Clipping auftritt.

5.1.2 Quantisierung

Wahlen Sie das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie den Pegel so ein, dass gerade keineUbersteuerung auftritt. Stellen Sie eine Periode des quantisierten Ausgangssignals auf dem Oszillo-skop dar.

a) Horen Sie sich das quantisierte Ausgangssignal fur unterschiedliche Quantisierungsstufen an. Abwelcher Quantisierungsstufe sind Artefakte horbar? Beschreiben sie moglichst exakt den Klangcha-rakter der Artefakte.

b) Stellen Sie fur w = 2 Bit eine Periode des Referenz- und des Ausgangssignals gleichzeitig auf demOszilloskop dar (beachten Sie die Fußnote auf Seite 4) und skizzieren Sie die beiden Signale. Um

I3 - 9

welche Art der Quantisierungskennlinie handelt es sich (mid-rise / mid-tread)?

c) Reduzieren Sie den Pegel des analogen Eingangssignals um etwas mehr als die Halfte. In wievieleStufen wird das Signal nun quantisiert und welcher effektiven Quantisierung w enspricht dies?Formulieren Sie eine allgemeine Empfehlung, wie der Pegel des Eingangssignals eingestellt werdensollte, um den Quantisierungsfehler so gering wie moglich zu halten. Bedenken Sie hierbei auch dasErgebnis aus Teil 5.1.1.

d) Horen Sie sich nun auch die Sprachbeispiele bei unterschiedlicher Quantisierung an (auf korrek-te Aussteuerung ist zu achten). Ab welcher Quantisierungsstufe treten Artefakte auf? Wieviel Bitgenugen in etwa zur Quantisierung, damit das Signal noch verstandlich ist? Wieviele Bit werden fureine akzeptable Qualitat benotigt?

5.1.3 Quantisierungskennlinie

Wahlen Sie das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie die Quantisierung auf w = 2 Bit. Stellen Siedie Quantisierungskennlinie auf dem Oszilloskop dar (Welche Betriebsart des Oszilloskops ist hierfurgeeignet?) und zeichnen Sie diese. Uberprufen Sie Ihre Entscheidung aus 5.1.2 b) bezuglich der Artder Quantisierungskennlinie (mid-rise / mid-tread).

5.1.4 Quantisierungsfehler

a) Wahlen Sie das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie den Pegel so ein, dass gerade keineUbersteuerung auftritt. Stellen Sie eine Periode des Ausgangssignals auf dem Oszilloskop dar. SehenSie sich nun bei gleicher Einstellung das Differenzsignal zwischen quantisiertem Ausgang und un-quantisierter Referenz an. Reduzieren Sie die Zahl der Quantisierungsstufen.Hinweis: Auf dem zweiten Kanal des Oszilloskops konnen Sie zugleich das quantisierte Signal an-zeigen. Mit der “Add”-Funktion des Oszilloskops sollten sich das quantisierte und das Fehlersignalzusammen wieder zu dem analogen Eingangssignal summieren.

b) Horen Sie sich nun noch das Differenzsignal fur Sprachbeispiele an (achten Sie wieder auf einekorrekte Aussteuerung). Beschreiben Sie den Klangcharakter des Differenzsignals fur w = 8 Bit.Welches Signal-zu-Rausch-Verhaltnis (SNR) erwarten Sie bei einer Quantisierung mit w = 8 Bit?Wieviel schlechter wird das SNR, wenn das Eingangssignal aufgrund mangelnder Vorverstarkung denAussteuerbereich nur zu 1/4 ausnutzt?

5.2 Abtastung

In den folgenden Versuchsteilen soll das Verhalten untersucht werden, das bei der Abtastung einesSignals und seiner anschließenden Rekonstruktion mittels Halteglied oder mittels si-Funktionen be-obachtet werden kann. Um zusatzliche Effekte aufgrund einer gering auflosenden Quantisierung zuvermeiden, ist die Anzahl Quantisierungsstufen auf w = 22 Bit zu stellen.

I3 - 10

analoger Amplitudenwert, x quantisierter Wert, xq

xmax 2w− 1

xmin 0

Tabelle 1: Zuordnung von analogen Amplitudenwerten zu quantisierten Werten fur das vorliegendeVersuchsgerat (siehe auch Bild 1).

5.2.1 Abtasttheorem und Aliasing

In diesem Versuchsteil soll ein Sinussignal bewußt unter Verletzung des Abtasttheorems abgetastetwerden um die Folgen zu veranschaulichen, die sich hieraus ergeben (“aliasing-Fehler”).Wahlen Sie das 2.8 kHz Sinussignal aus und stellen Sie die Verstarkung so ein, dass der Eingangdes A/D-Umsetzers nicht ubersteuert wird. Tasten Sie das Signal mit fA = 3 kHz ab und stellenSie Eingang und Ausgang zugleich am Oszilloskop dar (Zeitablenkung: 0.5 ms/div). Triggern Siedas Oszilloskop auf das abgetastete Signal. Speichern Sie durch Drucken der roten Taste eine Se-quenz Abtastwerte und nehmen Sie die Werte tabellarisch auf (15 Werte): Durch Drehen des Radeskonnen Sie durch die aufgezeichneten Abtastwerte navigieren und auf dem Display den Wert zu jedemAbtastzeitpunkt ablesen. Zusatzlich wird in dem abgetasteten Signal, das Sie auf dem Oszilloskopsehen, der auf der Anzeige gerade angezeigte Abtastwert durch eine kleine Spitze markiert (Hinweis:Aufgrund der dem quantisierten Signal hinzugefugten Spitze klingt dieses verzerrt und soll daher indiesem Versuchsteil nicht abgehort werden). Das Gerat ordnet die Amplitudenwerte des analogenEingangssignals gemaß Tabelle 1 auf quantisierte (und abgetastete) Werte ab. Erstellen Sie einenGraphen, in dem die Abtastwerte eingetragen sind (“Stecknadelkopfe”). Zeichnen Sie dann das ana-loge Ausgangssignal ein, das man mit einem Interpolator 1. Ordnung erhalten wurde. Zeichnen Sieauch das Eingangssignal in dasselbe Diagramm ein. Welche Grundfrequenz weist ein aus den Abtast-werten rekonstruiertes Signal auf? In welchem arithmetischen Zusammenhang stehen offensichtlichdie Abtastfrequenz, fA, die Frequenz des Eingangssignals, fg und die Grundfrequenz fr des Signals,das man nach Rekonstruktion durch Interpolation 1. Ordnung erhalten wurde?

5.2.2 Interpolation 0. Ordnung (Halteglied)

Tasten Sie im folgenden wieder unter Einhaltung des Abtasttheorems ab.

a) Wahlen Sie das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie den Pegel so ein, dass gerade keineUbersteuerung auftritt. Schalten Sie das Triggersignal auf den externen Triggereingang des Oszillo-skops. Sehen Sie sich auf dem Oszilloskop das per Halteglied (d.h. Ausgangssignal ohne Tiefpass)rekonstruierte Ausgangssignal zugleich mit dem Eingangssignal fur unterschiedliche Abtastfrequen-zen fA an. Beachten Sie die Fußnote auf Seite 4. Skizzieren Sie eine Periode des Eingangs- und desabgetasteten und mittels Interpolation 0. Ordnung rekonstruierten Ausgangssignals fur eine Abtast-frequenz von fA = 2 kHz.

b) Horen Sie sich nun das Ausgangssignal bei unterschiedlichen Abtastraten fA an. Welche minimaleAbtastrate ist laut Abtasttheorem zulassig, so dass das Signal prinzipiell noch fehlerfrei rekonstruiertwerden kann? Ab welcher Abtastrate klingt der 200 Hz Sinuston verzerrt? Was ist die Ursache furdie Verzerrung?

c) Wiederholen Sie den Versuch fur das Chirp-Signal. Das klare Chirp-Signal besteht aus einem

I3 - 11

Sinuston mit kontinierlich anwachsender Frequenz (100 Hz - 2000 Hz). Welches Verhalten zeigt derbei gerade einsetzender Verzerrung uberlagerte Ton fur fA = 12 kHz?

5.2.3 Interpolation mit si-Funktionen

Horen Sie sich nun die Sinustone und das Chirp-Signal vergleichend mit Tiefpassfilter (d.h. Interpo-lation mit approximierten si-Funktionen) und ohne (d.h. Interpolation 0. Ordnung) an.Wahlen Sie dann jeweils fur das Kastagnetten-Signal und fur eines der Sprachsignale die Abtastra-te so, dass das Abtasttheorem erfullt wird (s. Abschnitt 5) und beschreiben Sie fur beide Signalemoglichst exakt, was den Klangeindruck der Rekonstruktionsfehler bei Verwendung einer Interpola-tion 0. Ordnung ausmacht im Gegensatz zur Interpolation mittels eines Tiefpassfilters. Achten Siedarauf, dass das Eingangssignal den A/D-Umsetzer korrekt aussteuert.

5.3 Quantisierung und Abtastung

Nachdem Sie in den Abschnitten 5.1 und 5.2 das Verhalten und die Eigenschaften von Quantisierungund Abtastung getrennt voneinander kennen gelernt haben, haben Sie abschließend die Gelegenheit,sich ein Bild von den Effekten bei der Anwendung beider Systeme zu machen.

Hierzu wahlen Sie bitte das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie eine Periode des quantisiertenbzw. abgetasteten Signals gleichzeitig mit der Referenz auf dem Oszilloskop dar. Schließen Sie dasexterne Triggersignal an und stellen Sie die Abastfrequenz auf fA = 2 kHz ein. Sie erhalten dasbereits aus einem fruheren Abschnitt bekannte Bild eines abgetasteten Sinussignals. Mit dem Dreh-knopf konnen Sie nun die Frequenz des Sinussignals um 0.1 Hz erhohen oder verringern. Dies hat (beiunveranderter Abtastfrequenz) zur Folge, dass ein Abtastzeitpunkt nicht mehr exakt auf ein und diegleiche Stelle innerhalb einer Sinus-Periode fallt, sondern sich langsam innerhalb der Sinus-Periodeverschiebt. Da das Triggersignal nicht von der Variation der Frequenz betroffen ist, scheint sich derSinus unter den Abastpunkten hinwegzubewegen.

Stellen Sie schließlich zusatzlich zur Abtastung eine Quantisierung ein (z.B. w = 4 Bit). Sie sehennun anschaulich, wie zu den Abtastzeitpunkten das Signal die diskreten Amplitudenwerte annimmt,die aufgrund der Quantisierung moglich sind. Variieren Sie auch die Eingangsverstarkung.

A Realisierung des Versuchsaufbaus

Im folgenden beschreiben wir kurz die Realisierung des Versuchsgerates, mit dem Sie den vorliegendenVersuch zur Abtastung und Quantisierung durchfuhren. Diese Angaben sind nicht notwendig fur dieVersuchsdurchfuhrung, sollen aber Interessierten zur Information dienen.Das Versuchsboard enthalt einen digitalen Signalprozessor (DSP), der die Testsignale generiert, bzw.aus einem Digitalspeicher (nichtfluchtiges RAM) ausliest und ausgibt, entsprechend der Tastatur-betatigung die A/D- D/A-Umsetzung steuert und das LCDisplay aktualisiert. Ein Signalprozessorist ein Rechner, dessen Architektur besonders zur effizienten Bearbeitung typischer Signalverarbei-tungsoperationen ausgelegt ist. DSPs befinden sich z.B. in Mobiltelefonen, in LCD-Kameras oder inmodernen Autoradios.Auf der Platine (Bild 7) befinden sich im wesentlichen die folgenden Komponenten:

I3 - 12

• 32-bit floating point DSP mit 800 MFLOPS (mega floating point operations per second) bei200 MHz Taktung, 2 Mbits on-chip SRAM (static random access memory)

• Stereo AD/DA-Umsetzer fur max. 96 kHz, 24 Bit

• 1 MByte FLASH memory (elektrisch losch- und wiederbeschreibbarer Speicher, also insbeson-dere fur Programmcode und die aufgezeichneten Sprachsignale geeignet)

• 512 kBit SRAM, 512 kBit FLASH memory.

Die Programmentwicklung fur diesen Versuch erfolgte unter C/C++ auf einem PC. Nach demUbersetzen des Codes wird dieser mittels USB-Verbindung in den nichtfluchtigen Programmspei-cher auf der Platine geladen.

Die LCD-Anzeige verfugt uber ein 8 Bit breites Interface uber das die darzustellenden Zeichen in Formvon ASCII-Code gesendet werden. Ein auf der LCD-Platine integrierter Mikroprozessor (Standard-Typ HD44780) interpretiert den Code und sorgt dafur, dass die fur die Darstellung der Zeichenbenotigten Pixel an- oder ausgestellt werden. Legt man ein Signal an eine spezielle Steuerleitung derLCD-Anzeige an, werden die uber das Interface gesendeten Daten nicht als darzustellende Zeichen,sondern als Kommandos interpretiert. So kann z.B. die Anzeige geloscht werden, der Cursor an oderausgestellt werden, oder die ganze Anzeige abgeschaltet werden.

Literatur

[1] R. Martin, Vorlesung Grundlagen der Informationstechnik I, 2005

[2] U. Zolzer, Digitale Audiosignalverarbeitung, 3. Auflage, Teubner 2005

[3] U. Tietze, Ch. Schenk, Halbleiter-Schaltungstechnik, 6. Auflage, Springer-Verlag 1983, S. 396,S. 404 f.

[4] Analog Devices, Datasheet SHARC Processor ASDP-21262, Rev. A, 2004

I3 - 13

Abbildung 7: Blockdiagramm der DSP-Platine. LCDisplay und Tastatur (nicht eingezeichnet) sinduber den Parallelport an den DSP angeschlossen. [4]

I3 - 14

Versuch I4: Nachrichtenubertragungund Codierung

Inhaltsverzeichnis

1 Quelle-Kanal-Senke Modell 21.1 Sender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Diskreter Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Empfanger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Erlauterung der Software 6

3 Vorbereitende Aufgaben 8

4 Versuchsdurchfuhrung 84.1 Quellencodierung eines Binarbildes (s/w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Quellencodierung eines Halbtonbildes (16 Graustufen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Kanalcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4 Unbekannter Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Literatur 10

Lernziele

• Verstandnis fur den Unterschied zwischen Information und Bedeutung.

• Verstandnis fur das Quelle-Kanal-Senke Modell der Nachrichtenubertragung.

• Eigenschaften (Vor- und Nachteile) einfacher Quellen- und Kanalcodierverfahren.

• Auswirkungen von Ubertragungsfehlern.

• Unterschiede zwischen Fehlerdetektion und Fehlerkorrektur.

I4 - 1

1 Quelle-Kanal-Senke Modell

diskreterKanal

Quelle Sender Empfänger Senke

Abb. 1: Blockschaltbild eines digitalen Ubertragungssystems

Ein Nachrichtenubertragungssystem, wie es in Abbildung 1 dargestellt ist, wird verwendet, um In-formationen uber einen Kanal zu ubertragen. Eine Nachrichtenquelle wahlt dafur Symbole, die un-terschiedliche Nachrichten reprasentieren, aus einer endlichen Menge von zulassigen Zeichen, demAlphabet. Im einfachsten Fall besteht das Alphabet aus zwei Symbolen (“0”/“1”). Diese Auswahlentspricht dann einer binaren Entscheidung der Quelle und kann mit einem Bit codiert werden. Be-steht das Alphabet aus mehr als zwei Symbolen, so lasst sich die Auswahl durch eine Folge vonbinaren Entscheidungen darstellen.Wenn die Symbole mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewahlt werden, wird die Zahl der Entschei-dungen im Mittel durch den Entscheidungsgehalt

H0 = ld(N) (1)

angegeben, wobei ld den Logarithmus Dualis bezeichnet und N die Anzahl der Symbole. Es sinddabei H0 bit zur Codierung einer ausgewahlten Nachricht notwendig. Die Nachrichten werden dannin Worten von H0 bit ubertragen.Die Auswahl eines Symbols lasst sich dabei als Zufallsexperiment auffassen, bei dem jedes elementareEreignis Ai der Auswahl genau einer Nachricht entspricht. Der Informationsgehalt I(Ai) einer Nach-richt ist dabei umso großer, je geringer die Auftrittswahrscheinlichkeit p(Ai) des Auswahlereignissesist.

I(Ai) = ld

(

1

pi

)

= −ld(pi) , pi = p(Ai) (2)

Der mittlere Informationsgehalt wird Entropie genannt und gibt die Anzahl an Bits an, die zurDarstellung der Symbole (im Mittel) mindestens benotigt werden:

H =N

∑

i=1

piIi = −

N∑

i=1

pild(pi) , Ii = I(Ai) . (3)

Die Entropie H ist gleichzeitig ein Maß dafur, wie gleichmaßig die Auftrittswahrscheinlichkeitenverteilt sind. Bei einer Gleichverteilung (d.h. alle Symbole haben die gleiche Auftrittswahrscheinlich-keit) wird die Entropie maximal und erreicht dabei den Wert des Entscheidungsgehaltes H0. Sinddie Symbolwahrscheinlichkeiten nicht gleichverteilt, besitzt die Quelle Redundanz. Diese Redundanzkann durch eine geschickte Codierung reduziert werden.Haufig liefert die Quelle nicht ein einzelnes Symbol sondern viele aufeinanderfolgende Symbole. Diesist z.B. dann der Fall, wenn die quantisierten Abtastwerte eines Signals ubertragen werden. Die Sym-bole der Nachrichtenquelle entsprechen dann den Quantisierungsniveaus des Quantisierers. In vielenFallen sind aufeinanderfolgende Symbole zudem statistisch abhangig.Die Aufgabe des in Abschnitt 1.1 beschriebenen Senders ist die Reduktion der Redundanz unterBerucksichtigung der Verteilung und Korrelation der Symbole. Der in Abschnitt 1.3 beschriebene

I4 - 2

Empfanger wandelt die so codierten Symbole wieder in die Quellensymbole um. Der diskrete Ka-nal, uber den die Daten ubertragen werden, ist dabei zu berucksichtigen. Er wird in Abschnitt 1.2beschrieben.

1.1 Sender

diskreterKanal

Quelle Sender Empfänger Senke

Quellen−codierer

Kanal−codierer

Abb. 2: Detailliertes Blockschaltbild des Senders

Die Aufgabe des Senders ist es, die Symbole der Quelle so zu codieren, dass sie sich mit einergeringen Anzahl an Bits uber den Kanal ubertragen lassen und gegen Fehler bei der Ubertragunggeschutzt sind. Abbildung 2 zeigt die Funktionsblocke des Senders. Im ersten Schritt wird dabei vomQuellencodierer Redundanz entfernt (soweit vorhanden), um eine Datenkompression zu erzielen. Dieerzielte Kompression lasst sich dabei mit dem Kompressionsfaktor

ck =unkomprimierte Datenmenge

komprimierte Datenmenge(4)

angeben. Im zweiten Schritt wird vom Kanalcodierer wieder gezielt Redundanz hinzugefugt, umdie Daten gegen Ubertragungsfehler zu schutzen. Die Coderate cr laßt sich dabei angeben als dasVerhaltnis von k Informationsbits zu n Ubertragungsbits:

cr =k

n≤ 1 (5)

Quellencodierung

Die gemeinsame Codierung aufeinanderfolgender Symbole ist immer dann zweckmaßig, wenn diesestatistisch abhangig sind. Allerdings entsteht dabei eine große Zahl von Verbundsymbolen und eineentsprechend umfangreiche Codetabelle. Damit der Quellencodierer die Symbole auf einfache Wei-se codieren kann, werden diese meist in einem vorherigen Schritt dekorreliert, d.h. die statistischeAbhangigkeit der Symbole wird minimiert. Der Quellencodierer kann dann auch bei Betrachtungeinzelner Symbole ein nahezu optimales Ergebnis erzielen. Sind aufeinanderfolgende Symbole “ahn-lich” (dies ist der Fall bei einem Bild mit weichen Farbverlaufen oder bei einem Audiosignal mitFrequenzkomponenten weit unter der Abtastrate), kann durch eine Differenzbildung aufeinanderfol-gender Symbole eine Dekorrelation erzielt werden. Dieser Effekt wird bei der Differential-Puls-Code-Modulation (DPCM) genutzt.Ein Quellencode, der ebenfalls die statistische Abhangigkeit aufeinanderfolgender Symbole aus-nutzt, ist die Lauflangencodierung (engl. run-length encoding, kurz RLE). Statt die Symbole einzeln

I4 - 3

Quelle Senkediskreter

KanalSender Empfänger

Demodu−latorKanal

kontinuierl.Modulator

Abb. 3: Detailliertes Blockschaltbild des diskreten Kanals

zu codieren, werden dabei gleiche aufeinanderfolgende Symbole zusammengefasst. Die SymbolfolgeB-B-B-A-A-C-C-C-C wird dann als 3B-2A-4C codiert. Altere Bildformate wie Microsofts WindowsBitmap Format (BMP) oder das Tagged Image File Format (TIFF) verwenden u.a. dieses Verfahren.Umfasst das Alphabet der Quelle lediglich zwei Symbole, folgen diese immer im Wechsel, so daß dieAngabe des Symbols entfallen kann. Die Symbolfolge B-B-B-A-A-B-B-B-B kann somit mit der Folge0-3-2-4 codiert werden. Dieses Verfahren kommt z.B. beim Telefax zum Einsatz.Einzelne Symbole wie auch Symbolfolgen werden durch Fano- und Huffman-Codes optimal codiert,indem die Quellensymbole durch Codeworter mit variabler Lange ersetzt werden. Beide Codes sindprefix-frei, d.h. kein Codewort ist der Beginn eines anderen. Fur Symbole mit geringer Auftritts-wahrscheinlichkeit werden dabei mehr Bits zur Darstellung verwendet als fur solche mit hoher Auf-trittswahrscheinlichkeit. Der Algorithmus zur Erstellung dieser Codes kann dem Skript zur Vorlesung“Grundlagen der Informationstechnik I” entnommen werden.

Kanalcodierung

Aufgabe des Kanalcodes ist es, die Symbole gegen Ubertragungsfehler zu schutzen. Dies geschiehtdurch gezieltes Hinzufugen von Redundanz. Diese kann genutzt werden, um Ubertragungsfehler zubeheben (Fehlerkorrektur) oder um lediglich festzustellen, ob welche aufgetreten sind (Fehlerdetekti-on). Ein sehr einfacher Kanalcode ist der Wiederholungscode, bei dem jedes Symbol mehrfach uber-tragen wird. Die Decodierung geschieht mit Hilfe einer Mehrheitsentscheidung. Pro Symbol mussenalso mindestens zwei Symbole hinzugefugt werden, um eine Mehrheitsentscheidung treffen zu konnen.Dieser Code ist damit nicht sehr effizient und findet daher kaum Anwendung.Mochte man einen Fehler lediglich detektieren konnen, so laßt sich dies durch Bits (nicht ganzeSymbole!) zu einem Block zusammengefasst und ein Prufbit angehangt. Je nach System erganztdas Prufbit die Quersumme des Blocks stets zu einer geraden Summe (“gerade Paritat”) oder einerungeraden (“ungerade Paritat”). Dieses Verfahren wird z.B. verwendet, um die Datenubertragungzwischen Computer und Modem uber die serielle Schnittstelle gegen Fehler zu schutzen.Weitaus leistungsfahiger sind Codes, die auf algebraischen Konstruktionsprinzipien beruhen. Ein ein-facher Vertreter ist der Hamming-Code, der ebenfalls den Bitstrom in Blocke fester Lange unterteiltund eine feste Anzahl an Kontrollbits hinzufugt. Er gehort somit zur Familie der Blockcodes und istin der Lage, einen Bitfehler im Datenblock zu korrigieren. Hamming-Codes werden u.a. zur Fehler-korrektur bei Speicherriegeln (DRAM mit ECC) verwendet.

Interleaver

I4 - 4

Bei gedachnisbehafteten Kanalen treten Fehler oft nicht als einzelne Bitfehler sondern als Buschelfeh-ler auf (engl.: burst error). Dabei sind mehrere aufeinanderfolgende Bits von einem Fehler betroffen.Die Folge ist, dass Kanalcodes, die fur Einzelfehler optimiert wurden, selbst bei geringen Bitfehler-raten Fehler nicht mehr korrigieren konnen. Um dies zu verhindern, wird ein sogenannter Interleaververwendet, der die Ubertragungsreihenfolge der codierten Bits vor der Ubertragung andert. AufEmpfangerseite wird dann durch die inverse Operation die ursprungliche Reihenfolge wiederherge-stellt. Bei der Ubertragung auftretende Buschelfehler werden somit aufgebrochen und gleichmaßigeruber die Codeworte verteilt.

1.2 Diskreter Kanal

Um Symbole uber einen kontinuierlichen Kanal (wie z.B. einem Funkkanal) zu ubertragen, mussensie moduliert werden. Unter Modulation versteht man dabei die Wandlung des digitalen Symbols inein analoges Zeitsignal, das geeignet ist, um uber den kontinuierlichen Kanal ubertragen zu werden.Der Demodulator wandelt das empfangene Signal schließlich wieder zuruck in digitale Symbole.Diese Elemente der physikalischen Schicht lassen sich als diskreter Kanal der Informationsschichtzusammenfassen (s. Abb. 3).

1.3 Empfanger

Der Empfanger fuhrt die zum Sender inversen Transformationsschritte1 in umgekehrter Reihenfolgeaus:

• Kanaldecodierung

• Quellendecodierung

Abbildung 4 zeigt die einzelnen Funktionsblocke des Empfangers. Je nach verwendetem Code konnenBitfehler vom Kanaldecodierer korrigiert oder detektiert werden. Im zweiten Fall kann dies vomQuellendecodierer genutzt werden, um fehlerhafte Symbole gesondert zu behandeln (z.B. sie durchinterpolierte Werte ersetzen wie es u.a. beim CD-Player der Fall ist).

diskreterKanal

Quelle Sender Empfänger Senke

Kanal−decodierer

Quellen−decodierer

Abb. 4: Detailliertes Blockschaltbild des Empfangers

1Der Deinterleaver wird hier als Teil des Kanaldecodierers und der Korrelator als Teil des Quellendecoders angese-

hen.

I4 - 5

2 Erlauterung der Software

Fur diesen Versuch wird eine speziell fur das Praktikum entwickelte Software verwendet, die in diesemAbschnitt kurz beschrieben wird. Abbildung 5 zeigt ein Screenshot des Programms, das folgendeKomponenten enthalt:

1. Navigationsbereich

2. Blockschaltbild

3. Binare Anzeige fur Eingangsdaten

4. Binare Anzeige fur Ausgangsdaten

5. Auswahl der Eingangsdaten

6. Auswahl der Ausgangsdaten

7. Originalbild (Ausgang der Quelle)

8. Empfangenes Bild (Ausgang des Quellendecodierers)

9. Differenzbild

10. Eingabebereich

Im Navigationsbereich (1) sind in einer Baumstruktur die einzelnen Elemente der Ubertragungsket-te angeordnet. Der Navigationsbaum lasst sich (wie bei einem gewohnlichen Datei-Browser) durchAnklicken der +/- Symbole expandieren bzw. zusammenfalten. Durch einen Klick mit der linkenMaustaste auf eines der Elemente werden im Eingabebereich (10) die zugehorigen Optionen einge-blendet. Alternativ kann auch der entsprechende Block im Blockschaltbild (2) und Reiter im Einga-

bebereich (10) durch Anklicken ausgewahlt werden. Die binare Anzeige fur Eingangsdaten (3) undbinare Anzeige fur Ausgangsdaten (4) werden dabei automatisch auf den Eingang bzw. Ausgangdes selektierten Blocks gesetzt. Die binaren Daten an einem anderen Punkt der Ubertragungskettekonnen mit Hilfe der Auswahl der Eingangsdaten (5) und Auswahl der Ausgangsdaten (6) angezeigtwerden. Das Originalbild (7) zeigt das Bild, das von der Quelle stammt. Das empfangene Bild (8)zeigt das Bild, das die Senke am Ausgang des Quellendecodierers erhalt. Im Differenzbild (9) werdendurch Subtraktion des Quell- und Senkebildes Ubertragungsfehler verdeutlicht. Durch Markieren ein-zelner Bildpunkte oder Bits in den binaren Anzeigen kann die Position im Bild und im Datenstrombestimmt werden, an der ein Fehler aufgetreten ist.

Der Eingabebereich (10) enthalt ein oder mehrere Reiter fur die einzelnen Blocke der Ubertragungs-kette. In diesen werden die Einstellungen fur die Versuche vorgenommen. Dazu gehoren:

Quelle

Bildquelle Auswahl des BildesStatistik Entropie der Quelle

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Abb. 5: Bedienoberflache der Software

Quellencodierung

Dekorrelation PCM / DPCMVerteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung der SymboleAlgorithmus keine / Fano bzw. Huffman / RLECodebaum Anzeige des CodebaumesStatistik mittlere Codewortlange / Kompressionsfaktor

Kanalcodierung

Codierung keine / Parity / Wiederholungscode / HammingStatistik Entropie der Quelle / Bit pro Codeblock /

mittlere Codewortlange

I4 - 7

Kanal

Ubertragungsfehler Fehlerwahrsch. / mittlere Buschellange /unbekannter Kanal (fur Versuch 4.4)

Kanaldecodierung

Statistik Anzahl (nicht) korrekt erkannter/korrigierter Fehler

Quellendecodierung

Interpolation nie / wenn Berichtigung nicht moglich / immer

3 Vorbereitende Aufgaben

Fuhren Sie eine Fano-Codierung fur eine Nachrichtenquelle durch, die Symbole mit folgender Auf-trittswahrscheinlichkeit sendet:

Ai A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

P (Ai) 0,0576 0,0127 0,0098 0,0283 0,0273 0,0215 0,0322 0,0234

Ai A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15

P (Ai) 0,0342 0,0381 0,0391 0,0273 0,0293 0,0381 0,0977 0,4830

Geben Sie eine Codetabelle und den zugehorigen Entscheidungsbaum an. Schreiben Sie dabei anjeden Zweig des Entscheidungsbaumes die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Wichtig: Ohne die von Ihnen erstellte Codetabelle konnen Sie diesen Versuch nicht vollstandigdurchfuhren!

4 Versuchsdurchfuhrung

Zur Durchfuhrung der einzelnen Versuche wird ausschließlich die in Abschnitt 2 beschriebene Softwarebenotigt.

4.1 Quellencodierung eines Binarbildes (s/w)

Versuche:

a) Wahlen Sie als Quelle das Binarbild xeyes sw.bmp und bestimmen Sie die Entropie der Nach-richtenquelle.

b) Bestimmen Sie die Quellenredundanz rq fur dieses Binarbild.

c) Wahlen Sie die Lauflangencodierung als Quellencode und bestimmen Sie den Kompressions-faktor (1..6 RLE Bits).

I4 - 8

Auswertung:

Stellen Sie die erzielten Kompressionsfaktoren fur verschiedene Lauflangen graphisch dar. VergleichenSie diese und erlautern Sie die Ursache fur die Unterschiede.

4.2 Quellencodierung eines Halbtonbildes (16 Graustufen)

Versuche:

a) Wahlen Sie als Quelle das Halbtonbild go 16.bmp und bestimmen Sie die Entropie der Nach-richtenquelle.

b) Wahlen Sie die Lauflangencodierung als Quellencode und bestimmen Sie den Kompressions-faktor (1..6 RLE Bits).

c) Wahlen Sie die Fanocodierung und geben Sie die zuvor in Abschnitt 3 erzeugte Codetabelleein. Bestimmen Sie die mittlere Codewortlange und den Kompressionsfaktor.

Auswertung:

Vergleichen Sie die erzielten Kompressionsfaktoren fur verschiedene Lauflangen und Fanocodierungund berechnen Sie fur die Fanocodierung die Coderedundanz rc.

4.3 Kanalcodierung

Es soll nun der Einfluss von Bitfehlern bei der Ubertragung untersucht werden. Wahlen Sie dafur alsQuelle das Halbtonbild tux 16.bmp und verwenden Sie zunachst keine Quellencodierung.

Versuche:

Bestimmen Sie fur alle Kombinationen von Fehlerschutz (Kanalcodierung), Fehlerwahrscheinlichkeit(1%, 0,5% und 0,2%) und mittlerer Buschellange (1,0 und 2,0) die Anzahl der

- nominellen Bitfehlern

- richtig detektierte Bitfehler

- falsch detektierte Bitfehler

- richtig korrigierte Bitfehler

- falsch korrigierte Bitfehler

und die sich ergebende Coderate.

Auswertung:

Beurteilen Sie die Leistungsfahigkeit der einzelnen Kanalcodes in Bezug auf Fehlerkorrektur/-detektionund hinzugefugter Redundanz.

I4 - 9

4.4 Unbekannter Kanal

Es sollen nun Bilddaten (gimp 16.bmp) uber einen unbekannten Kanal ubertragen werden.

Versuche:

Wahlen Sie eine geeignet Kombination aus Quellen- und Kanalcode, um die Anzahl an resultierendenRestfehlern so gering wie moglich zu halten.

Auswertung:

Geben Sie eine Vermutung uber die Besonderheit des unbekannten Kanals ab und erlautern Sie,warum die von Ihnen gewahlte Kombination in diesem Fall gut geeignet ist.

5 Literatur

Sklar, Bernhard: Digital Communications, Fundamentals and Applications, Prentice Hall, ISBN 0132119390

Proakis, G. John: Digital Communications, McGraw-Hill, ISBN 0071138145

Kammeyer, Karl-Dirk: Nachrichtenubertragung, Teubner Verlag, ISBN 3519161427

I4 - 10

RUHR-UNIVERSITÄT-BOCHUM

Dirk Meyer

Physikalisches Praktikum

für Studierende

der Elektrotechnik

Versuchsanleitungen

2. Auage 2007

Inhaltsverzeichnis

Versuchsreihen und Räume 1

Kreisel (A6) 2

Beugung am Spalt, Doppelspalt und Gitter (C14) 4

Lichtelektrischer Eekt (C20) 10

VERSUCHSREIHEN UND RÄUME 1

Versuchsreihen und Räume

Mechanik und Akustik (A-Versuche)

A6 Kreisel NB04/590

Optik (C-Versuche)

C14 Beugung am Spalt, Doppelspalt und Gitter NB04/157

C20 Lichtelektrischer Eekt NB04/125

KREISEL (A6) 2

Kreisel (A6)

Aufgaben: 1. Justierung des Kreisels.2. Bestimmung des Trägheitsmomentes des Kreisels aus Pendelschwingungen.3. Bestimmung des Trägheitsmomentes des Kreisels durch Anwendung des Energie-

satzes.4. Bestimmung des Trägheitsmomentes des Kreisels aus der Kreiselpräzession.

Zubehör: Kreisel in Aufhängung, Elektronische Stoppuhr, Gewichtsstücke: 100 g, 200 g,500 g, 1 kg, 2 kg, anklemmbare Zusatzmasse für Kreisel, Maÿstab 1 m, Schnurca. 1,2m.

Tipps und Fragen zur Vorbereitung:

1. Wodurch lässt sich ein Kreisel charakterisieren?2. Weshalb benutzt man Kreisel in der Navigation?3. Welche physikalischen Gröÿen spielen bei der Ro-

tationsenergie eine Rolle?4. Erklären Sie die Begrie Nutation und Präzessi-

on am Beispiel der Erde im Gravitationsfeld derSonne!

Abbildung 1 Der Kreisel

Zu Aufgabe 1:

Der unbelastete Kreisel wird in Rotation versetzt und bei gelöster Feststellschraube so lange auf derAchse verschoben, bis keine Präzession mehr auftritt. Dann wird die Feststellschraube angezogen.

Zu Aufgabe 2:

Durch Drehen des Kreisels bei eingeschaltetem Umdrehungszähler wird die Stelle gesucht, bei der derSchwingungszähler weitergeschaltet wird und die Zusatzmasse auf der Felge so befestigt, dass sie sichlotrecht unter der Drehachse des Kreisels bendet. Überzeugen Sie sich, dass der Zähler bei Pendel-schwingungen die Zahl der Schwingungen richtig registriert. Durch Messung der Schwingungsdauer derPendelschwingung lässt sich das Trägheitsmoment des Kreisels J mit Hilfe der Beziehung

T = 2 · π ·

√J +m · a2

m · g · a(1)

berechnen (für die Herleitung s. z.B. Gerthsen-Kneser-Vogel). Führen Sie fünf Messungen durch undberechnen Sie die Messunsicherheit mit Hilfe des Gauÿschen Fehlerfortpanzungsgesetzes.

Abbildung 2 zu Aufgabe 2 Abbildung 3 zu Aufgabe 3

KREISEL (A6) 3

Zu Aufgabe 3:

Der ruhende Kreisel wird durch Abrollen einer Schnur mit anhängender Massem in Bewegung versetzt;die Fallhöhe ist h. Dabei wird die potentielle Energie Epot = m·g ·h in kinetische Energie der Bewegungdes Massenstückes Ekin = 1

2 ·J ·ω2 verwandelt, was praktisch ist, da man so mit einer einfachen Methode

die Energie vorgeben kann (Es gilt v = R · ω).Man erhält (herleiten!):

2 · g · hω2

=g · h · T 2

2 · π2= R2 +

J

m(2)

(Welcher Einuss blieb bei der Herleitung unberücksichtigt? Wie kann der dadurch entstehende Feh-ler experimentell beseitigt werden?) Benutzen Sie h = 1 m, R = 0,025 m und m = 0,2 kg, 0,5 kg,1,0 kg, 2,0 kg und messen Sie elektronisch jeweils dreimal die Zeit für fünf Umdrehungen (5 · T ) desKreisels. Um den Einuss der Lagerreibung möglichst gering zu halten, messen Sie die Zeit für fünfUmdrehungen jeweils zweimal hintereinander (mit möglichst kleiner Pause zwischen den Messungen!)und bestimmen durch Extrapolation die Umdrehungszeit T0 direkt nach Aufsetzen des Gewichtes aufden Fuÿboden. Tragen Sie g · h · T 2

0 /(2 · π2) gegen 1/m auf und bestimmen Sie J aus der Steigung derAusgleichsgeraden durch die Messpunkte. Vergleichen Sie das Ergebnis für J mit dem Resultat vonAufgabe 2.

Zu Aufgabe 4:

Am rotierenden Kreisel (anwerfen durch Abrollen der Schnur perHand) werden durch einseitiges Belasten mit verschiedenen Ge-wichtsstücken (100 g, 200 g, 300 g, 400 g) verschiedene Drehmomen-te senkrecht zur Kreiselachse erzeugt. Man erhält eine ruhige Prä-zessionsbewegung, wenn man anfänglich den Kreisel mit der Handführt. Messen Sie die Präzessionsperiode und die Umdrehungszahldes Kreisels elektronisch dreimal für jede Masse, indem Sie die Zeitfür eine Präzessionsumdrehung und die während dieser Zeit vomKreisel verrichteten Umdrehungen registrieren. Es gilt (bitte fürdas ausführliche Protokoll herleiten!):

ωPrz =m · g · l

J · ωKreisel, (3)

wobei m die Masse des die Präzession erzeugenden Massenstückes und l der Zeichnung zu entnehmenist; ω = 2 ·π/T . (Wie wirkt sich die Reibung auf die Messung aus?) Bestimmen Sie wiederum J aus derentsprechenden Ausgleichsgeraden und vergleichen Sie das Ergebnis mit den Resultaten von Aufgabe2 und 3.

Hinweise zur Auswertung:

Für Aufgabe 3 und 4 gebe man die Messunsicherheit für das bestimmte Trägheitsmoment durch Varia-tion der Ausgleichsgeraden an. Diskutieren Sie zum Schluss die Ergebnisse und bewerten Sie die dreiMessmethoden.

Stichworte Drehimpuls, Drehmoment, Energie der Drehbewegungen, Typen von Kreiseln, Nutationund Präzession, Drehschwingungen

Literatur: Gerthsen-Kneser-Vogel, PhysikBergmann-Schäfer I/MechanikWalcher, Praktikum der Physik

BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14) 4

Beugung am Spalt, Doppelspalt und Gitter (C14)

Aufgaben: 1. Vervollständigung der Abb. 1 durch Einzeichnen des Strahlengangs.2. Justierung des Versuchsaufbaus.3. Ausmessung der Beugungsgur eines Einzelspalts und Bestimmung der Spaltbrei-

te D.4. Herstellung einer Skizze der Beugungsgur eines Doppelspalts und Bestimmung

von b/D.5. Ausmessung der Beugungsgur eines Gitters und Bestimmung von λ.6. Messung der Spaltbreite D des Einzelspalts und der Spaltbreite D und des

Spaltabstands b des Doppelspalts mit Hilfe der Messlupe.7. Diskussion der Ergebnisse aus Aufgabe 3, 4, 5 und 6.

Zubehör: Optische Bank, Na-Dampf-Lampe, (λ = 589,3 nm), Kondensor (fK = 200 mm), va-riabler Beleuchtungsspalt, Linse L1 (f1 = 150 mm), Diaträger als Haltevorrichtung fürDias, Linse L2 (f2 = 150 mm), Fernrohr auf seitlich verschiebbarem Trieb, Messlupe,Spiegel und Dias.

Abbildung 1 der Versuchsaufbau

Tipps und Fragen zur Vorbereitung:1. Versuchsaufbau1.1 Welche Aufgabe hat der Kondensor? Wie muss der Kondensor relativ zur Na-Lampe und zum

Beleuchtungsspalt aufgestellt werden?1.2 Der Abstand zwischen Beleuchtungsspalt und Linse L1 soll gleich der Brennweite von L1

sein. Dieser Abstand soll mittels Autokollimation bestimmt werden. Was versteht man unterAutokollimation?

1.3 Was versteht man unter Fraunhoferscher Beobachtungsart?1.4 Welche Aufgabe hat die Linse L2?1.5 Wird der Beleuchtungsspalt oder das Dia (bzw. Beugungsspalt, Doppelspalt oder Gitter) ab-

gebildet?

BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14) 5

Abbildung 2 Versuchsaufbau (schematisch)

1.6 Wie man weiÿ, vergröÿert das in diesem Versuch benutzte Fernrohr den Sehwinkel. Muss mandiese Vergröÿerung bei diesem Versuch in Betracht ziehen?

2. Intensitätsverteilung: Die Intensitätsverteilung wird durch den Ausdruck

I

I0=

sin2

(π·D·sinϕ

λ

)(π·D·sinϕ

λ

)2

·sin2

(N ·π·b·sinϕ

λ

)sin2

(π·b·sinϕ

λ

)

beschrieben, wobei D die Spaltbreite, ϕ derBeugungswinkel, λ die Wellenlänge, N dieSpaltzahl und b der Spaltabstand ist. Die-ser Ausdruck ist auf den ersten Blick si-cher nicht einfach zu bewältigen, muss aberzur Ausführung des Versuches verstandenworden sein. Die erste Klammer liefert ei-ne Funktion F1, die etwa folgenden Verlaufhat (s. Abbildung 2):Trägt man die zweite Klammer graphischauf, so erhält man folgenden Verlauf (s. Ab-bildung 3):

2.1 Welche Klammer beschreibt in dem Aus-druck für die Intensitätsverteilung die Beu-gung I. Klasse?

2.2 Kann ein Einzelspalt alleine (N = 1) eineBeugung II. Klasse erzeugen?

2.3 Wie wird der Spaltabstand deniert?

Abbildung 3

2.4 Hat die Spaltzahl N einen Einuss auf die Lage der Maxima?2.5 Wie lautet die Gleichung, welche die Minima I. Klasse beschreibt, mit n = 1, 2, 3, . . . ? (Aus

Abb. 2 sofort erkennbar.)

2.6 Wie lautet die Gleichung, welche die Maxima II. Klasse beschreibt, mit n = 0, 1, 2, 3, . . . ?(Aus Abb. 3 sofort ableitbar.)

2.7 Nehmen wir an: Sie teilen die beiden letzten abgeleiteten Gleichungen und erhalten b/D = 3.Was bedeutet dieses Ergebnis?

2.8 Wie sie wissen, wird die erste Klammer im Ausdruck der Intensitätsverteilung mit der zweitenmultipliziert. Das bedeutet, dass die I. Klasse die II. Klasse moduliert. Machen Sie bitte einequalitative Skizze von I/I0, wenn b/D = 3 und N = 2 ist.

BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14) 6

Abbildung 4 Abbildung 5

Zu Aufgabe 2:

Sie müssen besonders auf folgende Punkte achten:a) Der Aufbau, justiert, benötigt die ganze optische Bank. b) Gehen Sie in der Reihenfolge IhrerAntworten bei den Vorbereitungsaufgaben vor. c) Die optische Achse muss auch in der horizontalenEbene stimmen. d) Der Beleuchtungsspalt und die Beugungsspalte sollten möglichst parallel sein. e)Die Schraube an der Seite des Fernrohrs dient zur Feineinstellung. Das Beugungsbild liegt nur dannin der Fadenkreuzebene, wenn sich bei Bewegung des Auges keine Parallaxe bemerkbar macht. f) ZurScharfeinstellung des Fadenkreuzes müssen Sie am Okular drehen.

Zu Aufgabe 3:

Bei der lateralen Bewegung des Fernrohrs müssen Sie darauf achten, dass der Trieb ein Spiel hat. Wiemuss man vorgehen, damit der Fehler möglichst gering ist? Nach dem Ausmessen der MaximaI. Klasse müssen Sie aus diesen Messwerten und mit Hilfe der Abb. 2 den mittleren Wert der SpaltbreiteD bestimmen. Es gibt mehrere Möglichkeiten. Überlegen Sie sich eine davon. Geben Sie den Wert vonD zusammen mit der Standardabweichung an.

Zu Aufgabe 4:

Schauen Sie sich die verschiedenen Beugungsbilder verschiedener Doppelspalte an und skizzieren Sieeines davon in qualitativer Weise. Bestimmen Sie bitte b/D dieses Doppelspalts allein aus der Beu-gungsgur.

Zu Aufgabe 5:

Nach dem Ausmessen der Maximalstellen xn der Beugungsgur eines Gitters sollen Sie den Wertvon der Wellenlänge λ des Natriumlichtes errechnen. Bei Vorbereitungsfrage 2.6 erhielten Sie eineGleichung, die eine Proportionalität von sinϕn mit n enthält. Sie wissen auch, dass bei kleinen Winkeln

sinϕn =xn − x0

f2ist,

wobei xn die Lage des n-ten Maximums, x0 die Lage des nullten Maximums und f2 die Brennweite vonL2 ist. Wenn Sie xn gegen n graphisch auf Millimeterpapier auftragen, erhalten Sie eine Gerade, ausderen Steigung Sie den Mittelwert der Wellenlänge des gebeugten Natriumlichtes errechnen können.(Das Gitter hat 100 Striche/cm.)

BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14) 7

Zu Aufgabe 6:

Schauen Sie sich mit Hilfe der Messlupe Einzelspalt undDoppelspalt an. Sie beleuchten den Spalt von hinten, in-dem Sie das Deckenlicht mit Hilfe des Spiegels auf das Diawerfen. Abbildung 6

Anhang zur Versuchsanleitung zu Versuch C14: Ableitung der Intensitätsverteilung für

einen Einzel- und für einen Vielfachspalt

A. Einzelspalt

Die Feldstärke einer unmodulierten elektromagnetischenWelle am Ort ~r kann dargestellt werden als ~E(~r, t) =~E(~r) = ~E(~r)·e−i(ω·t−~k·~r), wobei ~E(~r) den Amplitudenfaktor

und e−i(ω·t−~k·~r) den Phasenfaktor darstellt.

Nach dem Huygensschen Prinzip geht von jedem Punkt derSpaltlinie OB eine Kugelwelle aus. Alle diese Kugelwellentragen zur Gesamtintensität im Aufpunkt P bei. Wir müs-sen also diese Einzelfeldstärken im Aufpunkt P bestimmenund sie aufaddieren; die Gesamtintensität ergibt sich alsproportional zum Quadrat dieser Gesamtfeldstärke:

I(~R) ∼ L∑

m=1

~Em(~R, t)2.Abbildung 7

Für die Rechnung soll der Einfachheit halber angenommen werden:a) Alle bei P eintreenden Wellen sind gleich polarisiert, so dass

∑ ~Em durch∑Em ersetzt werden

kann.b) Alle Wellen sind kohärent, d. h. alle ω sind gleich; ω · t kann als gemeinsamer Faktor aller

Beiträge weggelassen werden.c) Der Aufpunkt P ist so weit vom Spalt entfernt, dass alle in P eintreenden Teilwellen parallel

sind, also alle ~km dieselbe Richtung haben; |km| ist wegen der Kohärenz der Teilwellen ohnehingleich; somit kann ~km = ~k gesetzt werden. Damit wird ~k‖~R und ~k · ~R = k ·R.

d) Alle von der Linie OB ausgehenden Teilwellen haben dieselbe Anfangsphase, z. B. (ω·t−~k·~r) = 0(Planwelle).

e) Alle Teilwellen haben bei P dieselbe Amplitude Em(~R) = E′0.

Die Wegstrecke der Teilwelle 1 von Linie OB zum Aufpunkt P sei s+R;dann ist die vom m-ten Punkt m · (s+R) (siehe Abb. 7).So wird der Beitrag der m-ten Welle am Aufpunkt P:

Em(~R) = E′0 · ei[k·(R+m·s)]

= E′0 · ei·k·R · ei·m·k·s

= E0 · ei·m·δ (1)

(δ = k · s ist die Phasendierenz zwischen benachbarten Teilwellen und nicht zu verwechseln mit demgeometrischen Winkel ϕ!)Die Gesamtfeldstärke im Aufpunkt P ist: E(~R) =

∑Em(~R)

und die Intensität: I(~R) = L∑

m=1Em(~R)2

BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14) 8

Addition der Feldstärkebeiträge in der komplexen Ebene (Zeigervektoren).Es sei Em(~R) = a · ei·m·δ. Je feiner die Unterteilung der Spaltbreite D ist, d. h. je gröÿer L ist, destobesser nähert sich die Aneinanderreihung der Em(~R) einem Kreisbogen, dessen Sehne A = 2·r·sin

(L·δ2

)und Bogen L · a = r · L · δ = r · ϕ sind. Damit wird

A = 2 · L · aL · δ

· sin(L · δ

2

)= L · a ·

sin(L·δ2

)L·δ2

und mit dem Maximalwert für A: A0 = L · a ergibt sich

A

A0=

sin(L·δ2

)L·δ2

.

Es war oben angesetzt worden: δ = k · s = 2·πλ · s. Aus der Geometrie der Abb. 7 und Abb. 8 kann man

ablesen: L · s = D · sinϕ und ϕ = L · δ. Daraus folgt die Beziehung: L·δ2 = π·Dλ · sinϕ.

Die Winkelverteilung der auf die Maximalintensität nor-mierten Beugungsintensität des Einzelspalts wird so:(A

A0

)2

=sin2

(π · Dλ · sinϕ

)(π · Dλ · sinϕ

)2 Gleichung (A)

B. Vielfachspalt

Es sollen nun N solcher Einzelspalte im Abstand b auf derLinie OC aneinandergereiht werden.Die Beugungsintensität im Aufpunkt P bzw. in der Rich-tung ϕ ergibt sich ganz analog zum Fall A. als proportionalzum Quadrat der Summe der Zeigervektoren. Als einzigerUnterschied ist zu berücksichtigen, dass bei nicht sehrgroÿer Spaltzahl N die Aneinanderreihung der Zeigervek-toren in der komplexen Ebene ein Polygonzug bleibt, dernicht mehr durch einen Kreis angenähert werden kann.

Abbildung 8

Jeder Spalt n trägt im Aufpunkt P gemäÿ Gleichung (A)zur Gesamtfeldstärke mit An · e−i·n·∆ bei; ∆ = k · d istdie Phasendierenz zwischen benachbarten Spalten, Ander Betrag der Feldstärke. In Abb. 8 ist die Aneinander-reihung dieser Zeigervektoren in der komplexen Ebeneveranschaulicht. Daraus kann man für die resultierendeGesamtfeldstärke sofort ablesen:

B · e−i·N·∆

2 =N∑1An · e−i·n·∆.

Abbildung 9

Der Aufpunkt P soll wieder so weit entfernt sein, dass alle Amplituden An gleich sind, also: An = A.Der Betrag dieses Einzelbeitrags ist gemäÿ Abbildung 8:

A = 2 · ρ · sin∆2 , und der Betrag der Gesamtfeldstärke: B = 2 · ρ · sinN ·∆2 .

Durch Elimination von ρ folgt:

B =A

sin∆2

· sinN ·∆2

.

BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14) 9

Mit d = b · sinϕ aus Abbildung 8 wird

∆ = k · d =2 · πλ· d =

2 · πλ· b · sinϕ.

Schlieÿlich ergibt sich durch Einsetzen von A aus Gleichung(A) die Winkelverteilung der Beugungsintensität eines Viel-fachspalts zu:

B2

A20

=sin2

(π · Dλ · sinϕ

)(π · Dλ · sinϕ

)2 ·sin2

(N · π · bλ · sinϕ

)sin2

(π · bλ · sinϕ

)wobei: D:= Breite der Einzelspalte

b:= Abstand der VielfachspalteN := Anzahl der Vielfachspalte

Abbildung 10

Stichworte: Brennweite, Autokollimation, verschiedene Linsentypen, Beugungsbedingung,Young'scher Doppelspaltversuch, Kohärenz, Babinetsches Theorem

Literatur: Walcher, Praktikum der PhysikBergmann-Schäfer /Optik

LICHTELEKTRISCHER EFFEKT (C20) 10

Lichtelektrischer Eekt (C20)

Aufgaben: 1. Testmessung zur Bestimmung der optimalen Versuchsbedingungen.2. Messung der Strom-Spannungs-Kennlinien3. Bestimmung der Planck-Konstanten h aus den zuvor gewonnenen Daten.

Zubehör: Photozelle, Grundgerät für Photozelle, Hg-Hochdrucklampe, Fassung E27 mit Viel-fachstecker, Universaldrossel (230 V, 50 Hz), Linsen (f1= 100 mm f2= 50 mm), Iris-blende, Filterrad mit Irisblende, verschiedene Interferenzlter (365 nm, 546 nm, 436nm, 405 nm), Elektrometer-Verstärker, Steckernetzgerät (230 V / 12 V /20 W), STE-Kondensatoren, STE-Widerstände, STE-Taster einpolig, Voltmeter, optische Bank,Optikreiter, Klemmstecker, Geradstück BNC, Kupplungsstecker, Gegenspannungs-netzgerät, Experimentierkabel.

Tipps und Fragen zur Vorbereitung:1. Welche Experimente demonstrieren die Quantisierung von Licht?2. Wie funktioniert eine Fotozelle? Was ist Austrittsarbeit?3. Was versteht man unter der Fermi-Statistik? Wie sieht sie bei T = 0 K aus, wie bei höheren

Temperaturen?4. Welche Wechselwirkungen können einem Photon in einem Festkörper widerfahren?

Abbildung 1 Der Versuchsaufbau

LICHTELEKTRISCHER EFFEKT (C20) 11

Einführung

a) AustrittsarbeitBerechnet man die Energieeigenwerte eines Elektrons im periodischen Potential eines Kristallgitters,so ergeben sich Bänder mit quasikontinuierlichen Eigenwerten, welche durch verbotene Zonen getrenntsind. Füllt man diese Bänder unter Beachtung des Pauliprinzips mit Elektronen, so muss es einenhöchsten Eigenwert EF geben, der auch beim tiefsten Energiezustand des Kristalls (d. h. bei T = 0K) noch besetzt ist. Alle tieferen Energieniveaus sind dann gefüllt, alle höheren leer. EF nennt manFermi-Grenzenergie oder Fermikante.

Das oberste Energieband ist bei Metallen nicht voll besetztund wird Leitungsband genannt (s. Abbildung 2). Die Me-tallelektronen benden sich gegenüber dem Vakuum in ei-nem Potentialtopf. Um ein Elektron von der Fermikanteins Vakuum zu befördern, muss man eine Arbeit Φ leisten,die man als Austrittsarbeit bezeichnet. Es ist die minima-le Energie, die aufgewendet werden muss, um einem Metallbei T = 0K ein Elektron zu entreiÿen. Sie ist von Metall zuMetall verschieden und hängt stark von Oberächenverun-reinigungen ab. Bildet man den Quotienten Φ/e, so erhältman eine Spannung, die man als Austrittsspannung bezeich-net.

Abbildung 2

b) KontaktspannungTreten zwei Metalle mit den Austrittsarbeiten Φ1 bzw. Φ2

in Kontakt, so entsteht zwischen ihren Oberächen eineKontaktspannung:U1,2 = −1/e · (Φ1 − Φ2) = ϕ2 − ϕ1

Die Kontaktspannung rührt daher, dass sich wegen derMöglichkeit des Elektronenaustausches die Ferminiveausder beiden Metalle angleichen. Da sich aber durch denKontakt im Metall selbst nichts ändert, bleibt die Lage derFermikante relativ zum Leitungsband und zur Oberächekonstant, s. Abbildungen 3a und 3b. Legt man eine äuÿereSpannung UB zwischen den Metallen an, so verschiebt diesedie Ferminiveaus um e · UB gegeneinander, s. Abb. 3c.

Abbildung 3

c) Äuÿerer FotoeektEin Elektron kann durch Absorption eines Photons der Frequenz f die nötige Energie aufnehmen, umdas Metall zu verlassen. Man nennt diese Erscheinung den äuÿeren Fotoeekt.Wir registrieren die an einer Fotokathode (Austrittsspannung ϕ1) ausgelösten Elektronen mit Hilfeeiner konzentrierten Auangelektrode (Anode mit der Austrittsspannung ϕ2). Zwischen Kathode undAnode sei eine negative Spannung (Bremsspannung) UB angelegt.Ein Leitungselektron, welches vor der Absorption des Photons die Energie Epot gehabt hat, kann dieAnode erreichen, falls:

Epot + h · f ≥ EF + e · ϕ1 + e · U1,2 + e · UB (s. Abb. 3) (1)

oder mit

Epot + h · f ≥ EF + e · ϕ2 + e · UB (2)

LICHTELEKTRISCHER EFFEKT (C20) 12

d) Einsteinsche GleichungAbsorbiert ein Elektron auf der Höhe der Fermikante (Epot = EF ) ein Photon, so reduziert sich dieUngleichung (2) zu:

h · f ≥ e · ϕ2 + e · UB (3)

Erhöht man nun bei konstanter Frequenz f die Brems-spannung UB, so gelangt man zu einem MaximalwertUBM , bei der nur noch die auf der Fermikante ausgelöstenElektronen die Anode erreichen können. Für diesen Fallgeht die Ungleichung (3) in die Einsteinsche Gleichung desFotoeektes über:

h · f = e · ϕ2 + e · UBM (4)

Trägt man die Maximalspannung UBM als Funktion derLichtfrequenz f auf, erhält man die so genannte Millikan-sche Gerade:

UBM =h

e· f − ϕ2 (5)

Abbildung 4

Ihre Steigung ist gleich h/e. Der Schnittpunkt mit der Achse f = 0 ergibt ϕ2. Es überrascht, dass mandurch Messung des Fotoeektes an der Kathode die Austrittsarbeit des Anodenmaterials bestimmenkann.

e) Strom-SpannungskurveMan bestimmt die Maximalspannung UBM am genauesten, indem man den Fotostrom Iph als Funktionder Bremsspannung UB misst. Der Schnitt mit der Achse Iph = 0 ergibt UBM . Die Kurve Iph = F (UB)wird Strom-Spannungskurve (= SSK) genannt. Ihre Form hängt von der geometrischen Anordnungder Elektroden ab. Man sieht das an folgenden zwei extremen Beispielen ein:1) Zentrale, punktförmige Kathode, fast vollständig von der Anode umgeben (Abb. 5a): Praktisch alleElektroden, welche die nötige Energie besitzen, um gegen die Bremsspannung anzulaufen, erreichendie Anode, ungeachtet der Richtung ihrer Geschwindigkeit beim Austritt aus der Fotokathode.

Für UB = 0 tritt also schon Sättigung des Fotostromes ein.Erst mit wachsender Bremsspannung nimmt der Fotostromab, da dann die Elektronen aus tieferen Niveaus nicht mehrdie nötige Energie besitzen (Abb. 5b), um die Anode zuerreichen. Abbildung 5

b) Zentrale, punktförmige Anode, von der Kathode umge-ben (Abb. 5a). Hier ist die Wahrscheinlichkeit für ein Elek-tron auch bei genügender Energie klein, dass es die Anodetrit. Sättigung des Fotostromes tritt also erst bei groÿenSaugspannungen ein (Abb. 5b). Abbildung 6

Es ist aus zwei Gründen unmöglich, UBM direkt aus der SSK abzulesen:Erstens kann diese wegen der begrenzten Empndlichkeit der Strommessung nicht genau bis zumSchnitt mit der Spannungsachse ausgemessen werden. Zweitens schneidet die SSK bei TemperaturenT > 0K die Spannungsachse gar nicht, sondern nähert sich dieser asymptotisch. Bei derartigen Schwie-rigkeiten, die in der Physik häug auftreten, hilft ein Extrapolationsverfahren. Ein solches ist aber nurdann sinnvoll, wenn der theoretische Verlauf der zu extrapolierenden Kurve bis auf gewisse Parameter,

LICHTELEKTRISCHER EFFEKT (C20) 13

die aus einer Anpassung an den gemessenen Verlauf hervorgehen, bekannt ist.Für einfache geometrische Anordnungen von Anode und Kathode und unter der Voraussetzung T = 0Klässt sich die Form der SSK relativ leicht herleiten. Wir diskutieren den Fall, dass sowohl Kathode alsauch Anode unendlich ausgedehnte parallele Platten sind. Ein von einem Photon getroenes Leitungs-elektron erreicht gemäÿ Gleichung (2) die Anode dann, wenn vor dem Stoÿ seine Geschwindigkeits-komponente vz, senkrecht zur Kathodenoberäche, die Beziehung erfüllt:

1

2·m · v2

z + h · f ≥ EF + e · ϕ1 + e · U1,2 + e · UB (6)

1

2·m · v2

z ≥ EF + e · (UB − UBM ) (7)

(Der bei dem Stoÿ vom Photon auf das Elektron übertragene Impuls ist hier wegen seiner Kleinheitgegenüber dem Impuls me · vz des Elektrons vernachlässigt worden.)Die Zahl der Elektronen (pro cm3), für die (7) gilt, lässt sich aus der Geschwindigkeits-Verteilungsfunktionder Leitungselektronen im Festkörper (Fermi-Statistik, siehe Gerthsen) berechnen. Bei den hier be-trachteten geometrischen Verhältnissen landen diese Elektronen alle auf der Anode und man erhält alsErgebnis der Rechnung, die wir hier nicht durchführen können:

Iph = const. · (UB − UBM )2 (8)

Die SSK berührt die Spannungsachse also parabolischbei UB = UBM . Für T > 0K sind die Ecken der Fermi-Funktion wegen der thermischen Anregung abgerundet,was zur Folge hat, dass sich die SSK der Spannungsachseasymptotisch nähert (Abb. 11).Für andere geometrische Anordnungen von Anode undKathode gilt Gleichung (8) nicht. Man erhält z. B. fürKugelsymmetrie (Abb. 7): Iph = const. · (U2

B − U2BM )

Abbildung 7

Bei komplizierteren geometrischen Anordnungen muss man die Bahnkurve der einzelnen Elektronen imelektrischen Feld zwischen Kathode und Anode kennen, um zu entscheiden, ob sie die Anode erreichenoder nicht. Dies erschwert die Rechnung enorm.Bei der in diesem Versuch verwendeten Fotozelle ist eine ringförmige Platin-Anode gegenüber einergroÿächigen, im ausgeleuchteten Bereich ebenen Kalium-Kathode angeordnet. Der Verlauf der elek-trischen Feldlinien in der Nähe der Kathode ist in unserer Fotozelle ziemlich ähnlich dem Fall mitplanparallelen Elektroden. Der Unterschied besteht darin, dass beim gerechneten Fall jedes Elektron,das die Kathodenoberäche verlässt, die Anode erreicht, während es in unserem Fall je nach Austritts-richtung auch die Anode verfehlen kann. Nimmt man jedoch an, dass der Bruchteil der Elektronen, diedie Anode erreichen, über ein bestimmtes Intervall der Bremsspannung konstant ist, so unterscheidetsich die SSK in diesem Intervall nur durch einen konstanten Faktor von Gleichung (8). Diese Vorstellungwird durch das Experiment bestätigt. Bei der Durchführung des Versuches nähert sich der Fotostrombei gröÿeren Bremsspannungen nicht etwa Null, sondern einem negativen Sättigungswert. Dies rührtvom so genannten Rückstrom IR her, der durch Fotoeekt des Streulichtes an der Anode der Fotozelleentsteht. Die gemessene Kurve ist also die Überlagerung zweier Strom-Spannungs-Kennlinien für denFotoeekt an Kathode und Anode. Unter der Annahme, dass der Rückstrom IR in der Umgebungvon UBM schon seinen Sättigungswert erreicht hat, kann man den interessierenden Kathodenstromerhalten, indem man einfach von der gemessenen Kurve IR subtrahiert (Abb. 8).

LICHTELEKTRISCHER EFFEKT (C20) 14

Graphisch geschieht dies natürlich, indem man die Brems-spannungsachse um IR parallel nach unten verschiebt.Aus (8) ergibt sich, dass der Kathodenstrom Iph − IRquadratisch von der Spannung UB abhängt. Dies legtdas folgende Extrapolationsverfahren nahe: Man trage√Iph − IR als Funktion von UB auf und versuche, durch

die sich ergebende Kurve eine Gerade zu legen.Abbildung 8

Der Schnitt dieser Geraden mit der Achse√Iph − IR = 0

ergibt den gesuchten Wert UBM (Abb. 8). Abweichungentreten nur in groÿer Entfernung von UB = UBM auf, woauch unsere Theorie nicht mehr gilt. Ganz nahe bei UB =UBM sieht man, dass sich die SSK wegen T > 0 K derHorizontalen asymptotisch nähert.Eine andere Bestimmung von UBM kann man vornehmen,indem man die Spannung sucht, für die dIph/dUB gerade 0wird. Abbildung 9

Wenn bei der Messung der Abstand zwischen zwei Mes-spunkten UB klein ist, kann der Dierentialquotient durchden Dierenzenquotient ∆Iph/∆UB ersetzt werden. Nocheinfacher für die Auswertung wird es, wenn man ∆UBkonstant hält, weil der Dierenzenquotient bis auf einenkonstanten Faktor bereits durch ∆Iph gegeben ist. Mankann also aus der graphischen Darstellung von ∆Iph inAbhängigkeit von UB die Spannung UBM ablesen, für diegerade ∆Iph = 0 wird (siehe Abb. 10). Abbildung 10

Zu Aufgabe 1:

Um die Messung zu optimieren, sollten einige Einstellungen im Versuchsaufbau variiert werden. Indiesem Abschnitt ist dies die Entfernung der Linse zur Irisblende, sowie bestimmte Bauteile des elek-trischen Aufbaus.Ermittlen Sie mit Hilfe des Luxmeters den am besten geeigneten Abbildungsmaÿstab,so dass die Photozelle optimal ausgeleuchtet ist.Die Photozelle bendet sich etwa 10cm hinter der Blende mit den Filtern. Berücksichtigen Sie dies beider anschlieÿenden Justierung.

Der optische Aufbau geht aus Abbildung 11hervor: Die Irisblende I wird durch die Linse Lauf die Kalium-Kathode der Fotozelle abgebildet.Aus dem Spektrum der Hg-Niederdrucklampe Qkönnen durch verschiedene Filter F die folgendenWellenlängen gesondert betrachtet werden:

Filter λ/nm f/1014s−1

grün 546 5,49blau 436 6,88violett 405 7,41UV 366 8,20

Abbildung 11

Q= LichtquelleI= IrisblendeL= LinsePh= FotozelleF= FilterK= Kondensor

LICHTELEKTRISCHER EFFEKT (C20) 15

Bauen Sie jetzt den elektrischen Teil des Ver-suchsaufbaus nach Abbildung 12 auf. Die Kathodeder Photozelle als Datenquelle ist über einBNC-Kabel g angeschlossen. Um ein Gefühlfür die Notwendigkeit einer Kabelschirmung zuentwickeln, verbinden sie dieses Kabel über nichtgeschirmte Kabel verschiedener Länge mit demMessverstärker. Nutzen Sie den 365nm-Filter undden kleinsten Kondensator. Es bildet sich mit derZeit eine Grenzspannung aus.Beschreiben Sie qualitativ Ihre Eindrücke für dieverschiedenen Kabel. Wechseln Sie jetzt auchden Kondensator f aus (nutzen Sie auch denKondensator mit 0pF). Welche Aufgabe hat dieserim Versuch? Welche Vor- und Nachteile haben dieeinzelnen Bauteile?

Abbildung 12

Zu Aufgabe 2:

Die Schaltung zur Aufnahme der Strom-Spannungs-Kennlinien zeigt Abbildung 13. Esist zu beachten, dass der Kondensator durch einenWiderstand ersetzt wird. Die SSK sind für die 4Filter aufzunehmen. Notieren Sie die Messwerte ineiner Tabelle.Nehmen Sie im Bereich des positiven Fotostromsmöglichst viele Messpunkte auf (in Schritten von0,05 V); sobald sich der Fotostrom nur noch wenigändert, braucht man hingegen nur noch wenigeMesspunkte in Schritten von 0,5V.

Abbildung 13

Zu Aufgabe 3:

Tragen Sie UBM mit Fehlerbalken gegen die Frequenz der Spektrallinie auf und bestimmen Sie h ausder Steigung der Millikanschen Geraden (e = 1, 602 · 10−19 As). Es empehlt sich, in der Darstellungden Nullpunkt zu unterdrücken. Geben Sie das Ergebnis mit der Messunsicherheit an und vergleichenSie es mit dem Literaturwert h = (6, 6260693± 0, 0000011) · 10−34Js (Quelle: http://physics.nist.gov).Tragen Sie alle gewonnenen Daten in einem Diagramm auf und nehmen Sie nochmals Stellung.

LICHTELEKTRISCHER EFFEKT (C20) 16

Literatur: Bergmann-Schäfer /OptikPohl, Optik und AtomphysikGerthsen-Kneser-Vogel, PhysikWalcher, Praktikum der PhysikKittel, Festkörperphysik

Stichworte: Lichtquantenthypothese, Lichtelektrischer Eekt, Fotozelle, Kontaktpotential, Fermi-Statistik.

Bei Rückfragen:

Dr. D. MeyerLeiter des Physikalischen PraktikumsRuhr-Universität Bochum, NB 04/598

Tel.: (0234) 32-23198Fax.: (0234) 32-14072

http://physik.rub.de/praktikum/indexp.html