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lm Mathematikunterricht der letzten iahre haben Sie gelernt, auf verschiedene Arten zu argumentieren. Sie haben über Mathematik mithilfe von Fachbegriffen und alltäglichen Begriffen gesprochen und Alltagssituationen mithilfe mathematischer Darstellungen be- schrieben. Egal mit welchen mathematischen Leitideen Sie sich beschäftigen: immer sind mathematische Vermutungen, korrekte Formulierun- gen, gute Gründe und nachvollziehbare Argumentationen gefragt. Welche lnformation enthält der Graph? Finden Sie eine passende Alltagssituation und schreiben Sie eine Geschichte zum Graphen. Lösung - An der Beschriftung der x- und y-Achse kann man erkennen, dass es sich um eine Bewegungssituation handelt. Nach einer bestimmten Zeit hat etwas oder jemand eine bestimmte Strecke zurückgelegt. - Die Zuordnung der Maßeinheiten der beiden Achsen (Minuten und Meter) lässt vermuten, dass es sich um einen Menschen handelt, der sich mit verschiedenen Verkehrsmitteln unterschiedlich schnell fortbewegt. - Die unterschiedlichen Steigungen des Graphen in den verschiedenen Abschnitten verdeutlichen die ieweilige Geschwindigkeit (Weg ie Zeiteinheit), mit der die Person sich fortbewegt. Die Länge dieser Abschnitte entspricht der Länge des ieweiligen Zeitintervalls. Die Beschreibung der vier Abschnitte des Graphen muss folgende Aspekte enthalten: - Bei allen Abschnitten handelt es sich um lineare Funktionen, also gleichförmige Bewegungen ohne Beschleunigung oder Bremsen. - ln den ersten drei Minuten legt jemand oder etwas 1000m zurück. (2.8. Traktot Fahrrad, langsamer Bus ...) - Darauf folgt eine Minute Stillstand. (2. B. Bushaltestelle, Ampel, Gespräch, Fahrrad abschließen, ...) - Danach legt jemand oder etwas innerhalb von sechs Minuten weitere 1000m zurück, also mit der halben Geschwindigkeit wie im ersten Abschnitt. (2.8. zügiges Gehen, langsames Fahrrad ...) - ln den letzten fünf Minuten werden sogar nur 500m zurückgelegt. (2.8. Gehen, Fahrrad schieben, ...) Mara und Leon haben ihre Hausaufgaben auf unterschiedliche Art und Weise gelöst. Sie sollten den Flächeninhalt einer Figur mithilfe eines Terms beschreiben. Maras Lösung: A = a'(b + d) + c'd Leons Lösung: A=(a+c)(b+d)-bc a) Versuchen Sie, die beiden Lösungswege zu verstehen und die Gedankengänge der beiden nachzuvollziehen. Beschreiben Sie ihr Vorgehen. Haben die beiden richtig gedacht? b) Wie würden Sie vorgehen? Finden Sie eine dritte Lösungsmöglichkeit. Zeit in min 12345678 9 10111213141516 6 AllgemeineKompetenzen

Basiswissen hsp rsp

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  • 1. lm Mathematikunterricht der letzten iahre haben Sie gelernt, aufverschiedene Arten zu argumentieren. Sie haben ber Mathematikmithilfe von Fachbegriffen und alltglichen Begriffen gesprochenund Alltagssituationen mithilfe mathematischer Darstellungen be-schrieben.Egal mit welchen mathematischen Leitideen Sie sich beschftigen:immer sind mathematische Vermutungen, korrekte Formulierun-gen, gute Grnde und nachvollziehbare Argumentationen gefragt. Welche lnformation enthlt der Graph? Finden Sie eine passende Alltagssituation und schreiben Sie eine Geschichte zum Graphen. Lsung - An der Beschriftung der x- und y-Achse kann man erkennen, dass es sich um eine Bewegungssituation handelt. Nach einer bestimmten Zeit hat etwas oder jemand eine bestimmte Strecke zurckgelegt. - Die Zuordnung der Maeinheiten der beiden Achsen (Minuten und Meter) lsst vermuten, dass es sich um einen Menschen handelt, der sich mit verschiedenen Verkehrsmitteln unterschiedlich schnell fortbewegt. - Die unterschiedlichen Steigungen des Graphen in den verschiedenen Abschnitten verdeutlichen die ieweilige Geschwindigkeit (Weg ie Zeiteinheit), mit der die Person sich fortbewegt. Die Lnge dieser Abschnitte entspricht der Lnge des ieweiligen Zeitintervalls. Die Beschreibung der vier Abschnitte des Graphen muss folgende Aspekte enthalten: - Bei allen Abschnitten handelt es sich um lineare Funktionen, alsogleichfrmige Bewegungen ohne Beschleunigung oder Bremsen. - ln den ersten drei Minuten legt jemand oder etwas 1000m zurck.(2.8. Traktot Fahrrad, langsamer Bus ...)Zeit in min - Darauf folgt eine Minute Stillstand. (2. B.Bushaltestelle, Ampel, Gesprch, Fahrrad abschlieen, ...) 12345678 9 10111213141516 - Danach legt jemand oder etwas innerhalb von sechs Minuten weitere 1000m zurck, also mit der halben Geschwindigkeit wie im ersten Abschnitt. (2.8. zgiges Gehen, langsames Fahrrad ...) - ln den letzten fnf Minuten werden sogar nur 500m zurckgelegt. (2.8. Gehen, Fahrrad schieben, ...) Mara und Leon haben ihre Hausaufgaben auf unterschiedliche Art und Weise gelst. Sie sollten den Flcheninhalt einer Figur mithilfe eines Terms beschreiben. Maras Lsung:Leons Lsung: A = a(b + d) + cdA=(a+c)(b+d)-bc a) Versuchen Sie, die beiden Lsungswege zu verstehen und die Gedankengnge der beiden nachzuvollziehen. Beschreiben Sie ihr Vorgehen. Haben die beiden richtig gedacht? b) Wie wrden Sie vorgehen? Finden Sie eine dritte Lsungsmglichkeit.6 AllgemeineKompetenzen

2. Lsung Mara hat die Figur in die beiden Teilfiguren F, und F, unterteilt und den lnhalt der beiden Einzelflchen addiert. Leon hingegen hat ein Rechteck F, betrachtet und von dessen Flcheninhalt den eines kleineren RechtecksFo subtrahiert.Durch eine horizontale Unterteilung der Flche in zwei Teilfiguren Fu und Fu gelangt manzu einem dritten Term:A = a.b + (a + c).dWelcher der beiden Krper hat die grere Oberflche?LsungDie beiden Krper haben die gleiche Oberflche. Diese Behauptung ist richtig, reicht als Antwort jedochnicht aus. In der Mathematik mssen Behauptungen stetsbegrndet oder sogar bewiesen werden.Mgliche Begrndung:Vom Ausgangswrfel wurden die Eckwrfel entfernt. Beim Begrnden ist es wichtig, alle Schritte desJeder Eckwrfel trgt zur Oberflche drei kleineGedankenganges mithilfe der Fachbegriffe oder eindeutigerQuadratflchen bei. Nach dem Entfernen der EckwrfelBeschreibungen verstndlich darzustellen und so von der- und damit der drei kleinen Quadratflchen - entstehtAusgangssituation zur Behauptung zu gelangen.jeweils eine Lcke, die wiederum drei kleine Quadratflchenzur Gesamtoberflche beitrgt. Somit bleibt die Oberflchegleich gro.Um eine Behauptung zu beweisen, muss man von einerbereits bewiesenen Aussage oder einer Definition ausgehenund in logischen Schritten (die selbst wieder auf bewiesenenAussagen beruhen) zur Behauptung gelangen.Um eine Behauptung zu widerlegen, reicht ein einzigesGegenbeispiel aus. AllgemeineKompetenzen 7 3. Probler*e m*themetisch lsen I asiswissemEs gibt Aufgaben, bei denen es im ersten Moment so scheint, alsob alles bereits Gelernte hier nicht passt - kein vertrautes mathe-matisches Verfahren und auch nicht der aktuelle Mathematik-Un-terricht. Hier mssen eigene Strategien entwickelt werden.Vor allem aber gilt: Ruhe bewahren, sortieren, berlegen und imZweifelsfall alles wieder neu denken.Ein paar mgliche Anstze sind hier zusammengestellt.Auch wenn sich das zunchst vielleicht nicht so richtig mathematisch anhrt: Wie heit die grte Zahl, die mitManchen Problemlsungen kommt man nher; wenn man erst einmal eineinmaligem Benutzen der abgebildetenpaar Mglichkeiten ausprobiert. Zunchst probiert man noch ohne spezielles Tasten eines Taschenrechners berechnetZiel, aber wenn man ein paar Ergebnisse gesehen hat, ergibt sich daraus oftwerden kann?schon eine Probierstrategie. ll,),?-,tr,ttl,E,t= Lsung 5432.1= 5432 43215 = 21605 Wenn man eine vierstellige mit einer einstelligen Zahl multipliziert, ist das untere der beiden Ergebnisse das grtmgliche. Kann das Ergebnis grer werden, wenn man eine zweistellige und eine dreistellige Zahl miteinander multipliziert? 321.54 = 17334 421.53 = 22313 53142= 22302 521.43 = 22403 Es scheint auch darauf anzukommen, an welcher Stelle die grten Ziffern stehen. Eine 3 an der Zehnerstelle beispielsweise bringt ein hheres Ergebnis als die 3 an der Einerstelle. Es wird auerdem klat dass die 4 und die 5 an der ersten Stelle der beiden zwei- und dreistelligen Zahlen stehen mssen und dass die 1 an einer anderen Stelle stehen muss. Es gibt fr diesen Fall acht Mglichkeiten: s31.42=2230243152=22412 53241=2181243251=22032 521.43=22403 421.53=22313 523-41 ist in jedem Fall kleiner als 53241. 42351: siehe links Das grte Ergebnis erhlt man bei 43152 = 22412. Eine Tabelle kann helfen, die lnformationen bersichtlich darzustellen. Marc und seine Mutter sind heute zusammen 65 lahre alt. Vor 10 Jahren war die Mutter 4-mal so alt wie Marc. LsungAlter vor 10 lahrent, 1 tl Gleichung: x - 10 = 4((05 - x) - 10) Marcs Mutter ist heute 46 lahre und Marc 19 Jahre alt.10AllgemeineKompetenzen 4. Manchmal eignet sich eine skizze besser zum Darstellen der lnformationen.ln einem Bus ist ein Drittel der pltze mit Kindern besetzt. Sechs Pltze mehr werden durch Erwachsene belegt. Neun pltze bleiben f rei.Lsung11 Ein Drittel entspricht also 6 + 9 = 15 pltze. ----l-I---t--(xinaer)-L------L-i---- t--;i--T---r*,rs)---i r Kinder besetzen demnach 15 Pltze und somit gibt es insgesamt 45 Pltze. Bevor man ein Problem ls! kann es sinnvoll sein, mit einem einfacheren Wie viele Quadrate befinden sich auf einem Teilproblem zu beginnen und das Ergebnis auf das komplexe problem zuSchachbrett? bertragen. Lsung 1. Man beginnt mit einem3x 3-Brett. Auf dem Brett befinden sich9 kleine 1x1-Quadrate,4grere2x2-Quadrate,1groes 3x3-Quadrat. 2. Nun betrachtet man das 4x4-Brett. Auf diesem befinden sich161x1-Quadrate,9 2x2-Quadrate,4 3x3-Quadrate,1 4x4-Quadrat.Es fllt auf, dass die Anzahl der Quadrate immer eine Quadratzahl ist.Das hngt mit der Anzahl der Mglichkeiten zusammen, wie diekleineren Quadrate auf dem groen platziert werden knnen. 3. Fr das 8 x 8-Quadrat gilt also: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + g + 4 + 1 = 204 t ." ,:-..,. : Ein Kaufmann reist von Pisa nach Lucca. Dort verdoppelt er durch guteGeschfte sein Kapital, muss aber 16 Denare ausgeben. Er reist n"c-h Floren.weiter. Dort verdoppelt er sein neues Kapitel wieder und hat wieder Kostenvon 16 Denaren. Nach Pisa zurckgekehrt, erlebt er wieder dasselbe. Als erin seine Geldkatze schau! findet er darin - nichts. Mit wie vielen Denarenist der Kaufmann aus Pisa abgereist?LsungMan kann diese Aufgabe sowohl durch Vorwrts- als auch durchRckwrtsrechnen lsen.Vorwrtsrechnen:Startkapital: xGleichung: ((2x - 16). 2 - 16).2 - 16= 0Rckwrtsrechnen: PisaLuccaFlorenz pisa&_--.--"dA-x/ --/ "dd /-"*} .d /- @ & - ww*Anhand der Grafik lsst sich leicht rckwrts rechnen:Endkapital nach den Ausgaben in pisa:00 + 16 = 16, das entspricht zweimal dem Kapital nach Florenz.Also verlsst er Florenz mit 8 Denaren.8 + 16 = 24, das entspricht zweimal dem Kapital nach Lucca.Also verlsst er Lucca mit 12 Denaren.12 + 15 = 28, das entspricht zweimal dem Startkapital aus pisa.Also verlsst er Pisa mit 14 Denaren.AllgemeineKompetenzen 11 5. ii::ji;=E+.!]idi1:1:;i:t=i+,E.=.=anatrliche Zahlen Die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4; ... werden als natrlicheZahlen bezeichnet. Fr die Menge der natrlichen012345671.37>5Zahlen schreibt man lN = {0;1;2;3;...}. ganze Zahlen Die Zahlen ...-3; -2; -1;0;l;2;3; ... werden alsganze Zahlen bezeichnet. Zu jeder Zahl gibt es eine -4-3-2-101234Gegenzahl. Fr die Menge der ganzen Zahlen schreibtman Z = L..; -2; -1; 0; 1; Z; ...1.Brche Gebrochene Zahlen knnen als Brche oder DezimaF ]= o,ts,0,1=| brche geschrieben werden. leden Bruch kann man in1=? =32= einen Dezimalbruch umwandeln und umgekehn. 2464 Der Wert eines Bruches ndert sich durch Kzen und Erweitern nicht.rationale Zahlen Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen einschlielich der Null zusammen nimmt erhlt man die rationalen Zahlen Q. _zL -0,5 i"ziPotenzen Produkte aus gleichen Faktoren kann man mithilfe 5.5.5= 53 von Potenzen schreiben: a.a.....a=an !.....-..-a- n FaktorenZehnerpotenz-Sehr groe Zahlen und Zahlen nahe bei Null schreibt50000000 = 5.107schreibweise man oft als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer0,000023 = 23.10-6 Zehnerpotenz (einer Potenz mit der Basis 10).WurzelnDie Quadratwuzel einer positiven Zahl b ist die,/u=s positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die ,/o,t+g = o,l Zahl b ergibt: a2 = b, also: y6- = a3- Die dritte Wurzel einer Zahl b ist die Zahl a, deren/27 =3 dritte Potenz die Zahl b ergibt: a3 = b, also: VU = ar/d64 = o,+irrationale Zahlen Es gibt auf der Zahlengeraden Punkte, denen keine = l,t+lt+Zl! ...^/2 rationale Zahl zugeordnet werden kann. Diese kn-t = 3141592 ... nen nicht als Bruch geschrieben werden. Es handelt sich um nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalbrche. Sie werden als irrationale Zahlen bezeichnet und vervollstndigen die Zahlengerade.reelle ZahlenRationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden zu- sammen die reellen Zahlen IR. Zu jedem Punkt auf der Zahlengeraden gehrt eine reelle Zahl und zu jeder reellen Zahl gehrt ein bestimmter Punkt. S+:j;i!+,-i1:*;;t##&;d! =U.Beim Rechnen gelten fr die verschiedenen Rechenarten unterschiedliche Rechengesetze. Wenn man diese Rechengesetzegeschickt anwendet, knnen sie einem das Rechnen erleichtern.Kommutativgesetz Beim Addieren und Multiplizieren knnen die Sum- 3,2 + 2,8 = 2,8 + 3,2 manden und Faktoren vertauschtwerden:2x 7,5 = 7,52x 6+[=+6 ab=baAssoziativgesetz ln Summen mit drei oder mehr Summanden und in11,3 + 2,7 + l,$ = (11,3 + 2,7) + 1,8 Produkten mit drei oder mehr Faktoren drfen be- = 11,3 + (2,7 + 1,8) liebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden. 2 - 2,3 .11 = (2.2,3).11 = 2. (2,3.11) a + b + c = (a + b) + 6 = 6 + (b + c) a. b.c = (a. b). c = a.(b.c)Distributivgesetz undDas Distributivgesetzerlaubtdas Ausklammern 6a(2a+ 4b) = 6a .2a+ 6a4b=12a2+24ab Ausmultiplizieren in Rechenausdrcken. 4 a (3 b - 2a) = 4a . 3b - 4a2a = 12ab - 8a2 a(b+c)=ab+ac a(b-c)=ab-ac20lnhaltsbezogene Kompetenzen 6. Klammern zuerst, ln Rechenausdrcken mssen Klammern zuerst be- ((6,s - 21,5) :(-5 - 1,5 . 8Punktrechnungrechnet werden. Dann folgen die Punkt- und dann=((-15):(-5 - 1,5.8vor Strichrechnung die Strichrechenarten. Die-Anwendung der Rechen- = 3 - 1,5.8 gesetze erleichtert hufig das Rechnen.=3-12=-9binomische Formeln Es gelten die drei binomischen Formeln: (a+b)2=72+)xa12 (a-b)2 =a2-zab+b2 (a+b)(a-b)=62-62Rechnen mitFr das Rechnenmit Potenzen gilt:Potenzen und an.am=an+m a2.a3=a5Wurzelnan:am = an-m mit a + 0 2s.23=22=4 (an)m = s nm132y3=3e -r* ,n.6n=(a.b)n 24 .34 = Q.3)4 = 64 =1296 Fr das Rechnen mit Wurzeln gilt entsprechend: ,/d ./6 = 6:b fr a, b 0= ./-erl/E = {EE fr a z 0, b > 0 tb - /F.Vb =a.yu tur a, b oProzentBrche mit dem Nenner 100 werden auch als Prozentffi=zsu, bezejchnet. p% ist also eine andere Schreibweise62,50/o = 0,625 fr fi,r.Prozentsatz, ln der Prozentrechnung bezeichnet man die Be-Von 200 Schlern kommen 125 mit dem Bus.Prozentwert undzugsgre bzw. das Ganze als den Grundwert G.Das sind 62,57o.GrundwertDen Anteil, mit dem man sich beschftigt, nennt manDie 200 Schler bilden den Grundwert Prozentwert W und der daraus resultierende Bruchteil 125 den Prozentwert. heit Prozentsatz p. 62,50/o sind der Prozentsatz.ProzentrechnungDer Zusa mmenhang zwischen Prozentwert, Grund- 640/o der 25 Teilnehmer kamen ins Ziel. wert und Prozentsatz wird beschrieben durch die G=25; W=?pYo=640/o; Formel w=25.0,64=16 W=G. po bzw.W-G.* 15 Teilnehmer kamen ins Ziel. Diese Formel kann nach jeder Variablen umgeformt werden, wodurch iede gesuchte Gre aus den beiden anderen Gren berechnet werden kann. Wenn man ein Kapital K fr ein jahr zu einem Zins- Ein Kapital von 2000 wird zu einem Zinssatz satz von p% anlegt, erhlt man fr dieses nach Ab- von 3,25o/o angelegt. lauf des Jahres p7o von G als lahreszins Z.z = 2000 .0,0325 - 35 Z=K-p% Das Geld wird nach 2 Monaten abgehoben: Wenn man das Guthaben nur fr t Tage zu einemzm =2o0o . 0,0325 .f,= to,alc tahreszinssatz von p% anlegt, erhlt man nurfi der lahreszinsen. Zt = K. p%.# Fr Monategilt das Entsprechende: Z. = K. p%.#Zinseszins Wenn man die gewonnenen Zinsen am lahresende dem Guthaben hinzufgt, erbringen diese im kommenden Jahr auch Zinsen. Man nennt sie Zinseszinsen. lnhaltsbezogeneKompetenzen 21 7. Zur Berechnung von Flcheninhalt (A), Umfang (u), Volumen (V)und Oberflche (O) von Flchen und Krpern sollten alle Gren-angaben zunchst auf die gleiche Maeinheit gebracht werden. Dreieck Fr den Umfang des Dreiecks ABC gilt: u = 6 + + c[ Fr den Flcheninhalt des Dreiecks ABC mit der Grundseite a und der Hhe h" gilt: A = fViereckFr den Umfang des Rechtecks ABCD gilt: u = 2a + 2b bzw. fr das Quadrat: u = 4a, da alle Seiten gleich lang sind. Fr den Flcheninhalt des Rechtecks ABCD gilt: A = a .b bzw. fr das Quadrat: A = a2. Fr den Umfang des Parallelogramms ABCD gilt: u = 2a + 2b bzw. fr die Raute u = 4a, da alle Seiten gleich lang sind. Fr den Flcheninhalt des Parallelogramms ABCD mit der Grundseite g und der Hhe h gilt: A = g. ha=g Fr den Umfang des Trapezes ABC gilt: r.l=6+[+s+d Fr den Flcheninhalt des Trapezes ABCD gilt: A= Th"KreisFr den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d bzw. dem Radius r gilt: u = n. d = 2. n. r Fr den Flcheninhalt des Kreises gilt: A= n. r2Kreisbogen Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel s gilt fr die Lnge des Kreisbogens b: b=2nr.#=nr-#KreisausschnittBei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel q gilt fr den Flcheninhalt des Kreisausschnittes A: A= n12.*--L = +zusammengesetzte Der Flcheninhalt zusammengesetzter Flchen be-Flchenrechnet sich aus der Summe der Einzelflchen. Der Umfang wird durch die Summe der Lnge der Einzelstrecken ermittelt, die die Gesamtflche be- grenzen.nicht geradlinig Den Flcheninhalt nicht geradlinig begrenzter Fl-begrenzte Flchenchen kann man schtzen, indem man sie mit einem Gitter unterlegt und die Gitterflchen abzhlt. Eine zweite Mglichkeit besteht darin, die Flche mit einer passenden Flche (wie Rechteck oder Paralle- logramm) zu hinterlegen.26lnhaltsbezogene Kompetenzen 8. Fr das Volumen des Quaders gilt: V = a . b. c Fr die Oberflche des Quaders gilt: O = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc + ac)c aZylinder Fr das Volumen des Zylinders mit Grundkreis k und[ Hhe h gilt: = Ar h =nr2. h Fr die Obedlche des Zylinders mit Grundflche G, Mantelflche M und Hhe h gilt: O=2G+M=2r12+2rr.ht:JfrPrisma Fr das Volumen des Prismas mit Grundflche G und Hhe h gilt: V = G.h Fr die Oberflche des Prismas mit Grundflche G und Mantelflche M gilt: O = 2G + MAKegelFr das Volumen des Kegelsmit Radius r und Hhe h gilt: V=!nr2-h Fr die Oberflche des Kegels mit Radius r und Mantellinie s gilt: O = Tr12 + TrrsPyramide Fr das Volumen der foramide mit Grundflche G und Hhehgilt: V=lG.h Fr die quadratische Pyramide mit Seitenlnge a gilt: V = Ja2.tr Fr die Oberflche der quadratischen Pyramide mit Seitenlnge a und der Hhe h, einer Seitenflche gilt: o=a2+4"!KugelFr das Volumen der Kugel mit Radius r gilt: y = {nr3 Fr die Oberflche der Kugel mit Radius r gilt: O = 4nrzzusammengesetzte Das Volumen zusammengesetzter und ausgehhlterKrper Krper berechnet man aus der Summe oder der Diffe- renz der Einzelkrper. Die Oberflche solcher Krper besteht aus der Summe aller Einzelflchen.trigonometrische ln einem rechtwinkligen Dreieck gilt:Beziehungen. Gesenkathete von d Stnq =-ir*r"n-*- cosq = &fiffiH" "-mt Gesenkathete von d tanCt=--i-AnKalnele von a ln beliebigen Dreiecken gelten der Sinussatz g sinq. g. sina. 6 sinF 6 = sin , c = siny , c - sinl c und der Kosinussatz:b-A.a ,2=62ac:2-2bc.cosq 62=- cosB c2= "2*12*2ac cosy a2+b2-2ab.XAhnlichkeitWerden Flchen und Krper um den Streckfaktorundzentrische k=n=ffii r m Lnge der Bildstrecke gestreckt,gilt:StreckunghnlicheStreckenlngen:*=*, ar = ka1 hnliche Flchen: =,1 . Az= kz&Av ^lv. hnliche Volumina: V, "r. Vz = k3Vr = "ilnhaltsbezogeneKompetenzen 27 9. KoordinatensystemDas Koordinatensystem unterteilt die Ebene in vier Quadranten und macht die eindeutige Bestimmung der Lage eines Punktes mglich. Man schreibt: P(xly).Winkel Ein Winkel wird von zwei Schenkeln mit gemeinsa- men Scheitelpunkt S eingeschlossen. Die Gre eines o) Winkels q wird in Grad (kurz:angegeben. Es gibt spitze (q < 90"), rechte (q = 90), stumpfe (90< q < 180" gestreckte (q = 180"), berstumpfe (180o< a . 360) und volle (cx = 360) Winkel.WinkelstzeScheitelwinkel sind gleich gro. Nebenwinkel ergnzen sich zu180. Stufenwinkel sind gleich gro. Wechselwinkel sind gleich gro.Symmetrien Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sie durch eine geeignete Achse (Symmetrieachse) in zwei spiegelbildliche Teile zerlegen kann. Sie ist punktsymmetrisch, wenn man sie durch eine halbe Drehung um den Symmetriepunkt in sich selbst bedhren kann.AhnlichkeitZwei Figuren sind dann hnlich, wenn sie in den ent- sprechenden Seitenverhltnissen und Winkeln ber- einstimmen.StrahlenstzeWerden zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z von zwei parallelen Geraden in den Punkten A und B bzw. A und Bgeschnitten, so sind die Dreiecke ZAB und ZABhnlich. Es gelten die beiden Strahlenstze:1. Strahlensatr, # =#2. Strahlensatr, # =DreieckeDie Winkelsumme in einem Dreieck betrgt 180(a + p + y =180). Man unterscheidet Dreiecke nachihren Winkeln und nach ihren Seiten. So klassifiziertman die Dreiecke in rechtwinklige, spitzwinklige undstumpfwinklige und in gleichseitige, gleichschenkligeund allgemeine Dreiecke.Dreieckekonstruieren- kongruenteZwei Dreiecke sind kongruent oder deckungsgleich,wenn sie bereinstimmen in- drei Seiten (SSS).ss1Dreiecke- einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln (wsw).-zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws).-zwei Seiten und dem Winkel, der der grerenS t Seite gegenberliegt (SSW).W Solche Dreiecke knnen durch die jeweiligen Vorga-Sben eindeutig konstruiert werden.Besondere LinienAuf der Winkelhalbierenden liegen die Punkte, dieim Dreieckvon den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstandhaben. Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecksschneiden sich im lnkreismittelpunkt.Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Streckehat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten.Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks schneidensich im Umkreismittelpunkt. Der Schnittpunktder Seitenhalbierenden bildet den Schwerpunktdes Dreiecks, die Hhen schneiden sich imHhenschnittpunkt.32 Inhaltsbezogene Kompetenzen 10. Satz des Pythagoras ln einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkelbei C gilt: a2 + b2 = c2. Gilt bei einem Dreieck a2 + b2= c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig.ViereckeDie Winkelsumme in einem Viereck betrgt 360"( + p + ) + = 360"). Es gibt achsensymmetrischeVierecke (Drachen, symmetrisches Trapez), dreh-symmetrische Vierecke (Parallelogramm) und solche,die beides sind (Raute, Rechteck, Quadrat). Ein Vier-eck ohne Symmetrien heit allgemeines Viereck.VieleckeMan unterscheidet zwischen unregelmigen undregelmigen Vielecken. lm regelmigen Vielecksind alle Seiten gleich lang und alle lnnenwinkelgleich gro. Der Mittelpunktswinkel eines n-Ecks hatdie Gre =360:n und der lnnenwinkel q =180 - .Die Winkelsumme in einem n-Eck betrgt(n - 2).180.Kreis Alle Punkte des Kreises haben vom Mittelpunktdieselbe Entfernung. Diese bezeichnet man alsRadius r. Der Durchmesser d ist doppelt so langwie der Radius. Ein von zwei Punkten begrenztesStck des Kreises heit Kreisbogen. Ein von zweiRadien begrenztes Stck der Kreisflche heitKreisausschnitt.Satz des Thales Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf demHalbkreis ber der Strecke AB, so ist y ein rechterWinkel. Hat ein Dreieck einen rechten Winkel bei C,dann liegt C auf dem Halbkreis ber der Strecke AB.Wdel und QuaderEin Quader hat sechs rechteckige Flchen. IGegenberliegende Rechtecke sind gleich gro. Je I Ivier Kanten sind parallel und gleich lang. Der Quaderfl Ihat acht Ecken, sechs Flchen und zwlf Kanten.Ein Wrfel ist ein besonderer Quader: er besteht aus Quadersechs Quadraten.PrismaEin Prisma wird begrenzt durch Grund- undDeckflche und den Mantel. Der Mantel bestehtaus Rechtecken; die Grund- und Deckflche sindkongruent und bestimmen den Namen des Prismas.PyramideEin ber seiner Grundflche spitz zulaufender Krper Wrfelheit foramide. Er ist begrenzt durch die Grundflcheund dem aus Dreiecken zusammengesetzten Mantel.Die Manteldreiecke treffen sich in der Spitze.ZylinderKegelSchrgbilderDie Grundflche bestimmt den Namen der Pyramide.Ein Zylinder wird begrenzt durch den Grundkreis, denDeckkreis und das zum Mantel aufgerollte Rechteck.Der Kegel besteht aus einem Grundkreis und einemaufgerollten Kreisausschnitt als Mantel.Krper kann man in Form von Schrgbildern, Netzen Prisma Hund Netze und Modellen darstellen. lm Schrgbild bleiben alleKanten und Winkel unverndert, die parallel zurZeichenebene liegen. Senkrecht zu ihr laufende Linien Zylinderwerden unter einem 45-Winkel und auf die Hlfteverkrzt gezeichnet. Aus Netzen lassen sich Krperherstellen.Kugel Eine Kugel ist ein Krpe; der sich nicht aus ebenenKugelFlchenstcken zusammensetzen lsst.lnhaltsbezogeneKompetenzen 33 11. Dreisatz Wenn zum Zweifachen; Dreifachen; Vierfachen ...1200 t l kosten 600. Wie viel kosten 1700 t? einer Eingabegre das Zweifache; Dreifache; Vier- fache ... der Ausgabegre gehrt, kann man Preis in gesuchte Werte der Ausgabegre mit dem Dreisatz 600 bestimmen. 0,5 ) :1200 Man schliet zuerst durch Division auf die Einheit und 850 )-ooo dann durch Multiplikation auf das Vielfache.1700t Heizl kosten 850.umgekehrterWenn zu einem Drittel; zur Hlfte; zum Zweifachen; Eine Radtour ist mit 7 Etappen zu je 60kmDreisatz zum Dreifachen;... einer Eingabegre dasgeplant. Die Gruppe hat aber nur 5 Tage Zeit. Dreifache; Doppelte; die Hlfte; ein Drittel; ... der I Ausgabegre gehrt, kann man gesuchte Werte AnzahlderTage! Strecke in km der Ausgabegre mit dem umgekehrten Dreisatz,750 bestimmen. Der Division der Eingabegre entspricht7L 1420)7 die Multiplikation der Ausgabegre und umgekehrt. 5[ 5 84,1,5Die Tagesstrecke muss 84km betragen.proPortionale Bei einer proportionalen Zuordnung x-y sind dieZuordnungen Quotientenzugeordneter Gren gleich.lst dieser Quotient 2.8.2, so lsst sich der y-Wert mitder Gleichung y = 2x berechnen.Der Graph liegt auf einer Geraden.r,.:2..:L1 {:,!:2.:L.:r2:;..,2antiproportionale Bei einer antiproportionalen Zuordnung x - y sind-a . | -a ....,......Zuordnungen die Produkte zugeordneter Gren gleich.i4lst dieses Produkt 2.8.4, so lsst sich der y-Wert mitderGleichung y=* berechnen.Der Graph liegt auf einer Hyperbel.lineare Gleichungen Man nennt Gleichungen wie y = mx +b lineare , - Graph der Zuordnung y = 2x + 24Gleichungen.(1 I 4) ist Lsung der Gleichung,Der Graph liegt auf einer Geraden.3denn2.1+2=42lineare Gleichungen Fr lineare Gleichungen wie -2x + y = 2 mit den fmit zwei VariablenVariablenxundygilt:1. lede Lsung besteht aus einem Zahlenpaar. -2 1234 -12. Es gibt unendlich viele Lsungen.II (-2 | -2) ist Lsung der Gleichung,3. Die grafische Darstellung der Lsungen ist eine--adenn2(-2)+2=-2 Gerade.lineare Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden(1) x-2y=2;y=lx-1Gleichungssysteme ein lineares Gleichungssystem (LGS).(2) x+y=5. y=-x+5(LGS) Eine gemeinsame Lsung der beiden Gleichungenmit zwei Variablenheit Lsung des LGS. Ein LGS hat entweder genaueine, keine oder unendlich viele Lsungen.lsen von LGS Gleichsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfa hren :Man lst beide Gleichungen des LGS nach derselbenVariablen auf. Durch Gleichsetzen der Terme erhlt)x-1=-x+5Einsetzen erglbt:,x=o y=-4+5=1man eine Gleichung mit einer Variablen.x=4r-={(4t1AdditionsverfahrenAdditionsvedahren:Man formt beide Gleichungen so um, dass beim(1) 3x+5y=10Addieren beider Gleichungen eine Variable wegfllt. Q) ax5y=4 (1) +(2):7x=14Einsetzungsverfahrenx=2Man lst eine Gleichung nach einer Variablen aufy=0,8und setzt diesen Wert der Variablen in die andere[_=(210,8Gleichung ein.38lnhaltsbezogeneKompetenzen 12. Funktion Eine Zuordnung die jedem x-Wert jeweils nur eineny-Wert zuordnet, heit Funktion.Die Gleichung y = ax + b, mit der sich dieFunktionswerte y berechnen lassen, heitFunktionsgleichung einer linearen Funktion.QuadratischeFunktionen. die eine Funktionsgleichung in der FormFunktiony = axz + bx + c haben, heien quadratischeFunktionen.Der dazugehrige Graph heit Parabel.lhren kleinsten bzw. grten Wert nimmt einequadratische Funktion im Scheitelpunkt an.Die Parabel der Funktion y = 0,5(x - 2)2 + 3 istgegenber der Parabel der Funktion y = e5x2 um 2nach rechts und um 3 nach oben verschoben.Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktionkann in der Scheitelform y = 2-(x + J)2 + 4 oderin der Normalform y= 2x2 + 12x + 22 dargestelltwerden.Sinus- undDie Funktionen sin und cos werden so fr alle WinketKosinusfunktion q definiert:Jeder Winkel q mit der positiven x-Achse als erstemSchenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkeleinen Punkt Po auf dem Einheitskreis. Man legt fest:Die x-Koordinate des Punktes Po ist cos(s).Die y-Koordinate des Punktes Po ist sin(u).Exponential-FunktionenderForm x-ax fr a>0 und a+.1funktionennennt man Exponentialfunktionen.Sie sind fr alle reellen Zahlen x definier! ihreFunktionswerte sind stets positiv.Alle Graphen gehen durch den Punkt (0 l1).Lineares Wachstum Nimmt die erste Gre um1 zu, so wchst die zweite Lineares Wachstum n]it Wachstumsrate 4:Gre jeweils um den gleichen festen Wert. +1 +1 +l /; /.} ,r-] :, +4 Nimmt die erste Gre um 1 zu, so wchst die zweite Exponentielles Wachstum mit Gre jeweils um einen festen Faktor. Wachstumsfaktor1,5:.1,5-1,5 lnhaltsbezogene Kompetenzen 39 13. Urliste Die Ergebnisse einer statistischen Erhebung knnen ln einer 10. Klasse mit 25 Schlerinnen undin einer Liste notiert werden, der sogenannten Urliste. Schlern wird ermittelt, wie viele BcherSie ist in der Regel ungeordnet.(auer fr den Unterricht) jeder im letztenlahr gelesen hat.Urliste: 0; 3; 1; 3; 17; 5; 6i4; 4; 3; 2; 0; 0; 4;1; 3; 5;12i 3; 6; 8;3Rangliste Eine Liste, in der die Ergebnisse der Gre nach Rangliste: 0; 0; 0; 1; 1;1;2; 3; 3; 3; 3;sortiert sind, heit Rangliste.3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 6; 6;8;12; 17HufigkeitslisteGibt man zu ledem mglichen Wert der Liste an, wie Hufigkeitsliste:oft er vorkommt, so erhlt man eine Hufigkeitsliste. Bcher absolute relative relative jti i Hufigkeit I Hufigkeit i Hufigkeit iIi ino/oI I ? ,-9,1*t *-1 4 9116 16%211i0,0414%o3.610,24 124o/o1: :s i 2 i-.9,1?-l 0,08 l:: -|* -:8%6l 2.0..988%8i1i0,04,4%o:910,04 40/o 12 I r 1o,o+:--.-;-----.,,,,-,,,-,-1,.--,.--.-".. "..,..-..-.. - . -..."... -.. -.".^"i.." "...... ..-"t+Y" -.-.-.--..- ..----.- 17HufigkeitenDie Anzahl, mit der ein bestimmter Wert vorkommt,Sechs Schler lasen im letzten lahr 3 Bcher.heit absolute Hufigkeit des Wertes.Die absolute Hufigkeit des Wertes ,,3 Bcher"Der Anteil, den die absolute Hufigkeit an der Ge- ist also 5.samtzahl der erhobenen Daten hat, heit relative Die relative Hufigkeit dieses WertesHufiekeit.betrgt $=o,za=24o/o.rerati Hufi gkeit = "*"::::#:*i*Diagramme Mit Diagrammen kann man die erfassten Werteveranschaulichen.ln Sulendiagrammen kann man die absolutenHufigkeiten der Werte der zugrunde liegenden Listeablesen.Kreis- oder Streifendiagramme machen deutlich,welchen Anteil ein Wert der zugrunde liegendenHufigkeitsliste am Ganzen hat.Kennwerte (1) Der kleinste Wert einer Rangliste heit Minimum, der 0 Bcher sind das Minimum.grte Maximum. Die Differenz von Maximum und17 Bcher sind das Maximum.Minimum heit Spannweite.Die Spannweite ist ein Ma daff wie weit die Werte17 Bcher- 0 Bcher = 17 Bcherder Erhebung auseinander liegen, gelegentlich sorgtDie Spannweite betrgt 17 Bcher.aber ein Ausreier fr eine groe Spannweite.Die Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl der (3.0 + 4 .1 +1. 2+ 6.3 +3 - 4 + 2- 5 +2- 6Werte heit Mittelwert oder arithmetisches Mittel. +1.8+ 1. 9 + 1. 12 + 1. 17) : 25 =ff =+rcDer Mittelwert ist ein Durchschnittswert.lm Durchschnitt wurden rund 4 Bcher gelesen.44lnhaltsbezogeneKompetenzen 14. Kennwerte (2)Der Wert in der Mitte einer Rangliste heit Zentral- Da die Liste 25 Werte enthlt, liegt der wert oder Median. Hat die Rangliste eine ungeradeMedian an derl3. Stelle. Anzahl von Werten, so ist der mittlere Wert derDas entspricht 3 Bchern:13 Schler haben Zentralwert. Hat die Rangliste eine gerade Anzahl 3 Bcher oder weniger gelesen, und von Werten, so bildet man den Mittelwert der beiden 13 Schler haben 3 Bcher oder mehr gelesen. Werte in der Mitte. Mindestens die Hlfte aller Werte liegt unterhalb des Zentralwertes, mindestens die H lfte oberha b.I Tritt ein Ergebnis hufiger auf als alle anderenDer Modalwert ist hier derselbe wie der Ergebnisse der Erhebung, so ist dieser Wert der Zentralwert: hufigste Weft oder Modalwert." 3 Bcher wurden am hufigsten gelesen. Der Modalwert ist ein guter Ersatz fr den Mittel- wert in Erhebungen, fr die ein Mittelwert nicht sinnvoll bestimmt werden kann. (Wenn z. B. nach der Lieblingsfarbe gefragt wird: Der Mittelwert von Farben ist nicht sinnvoll anzugeben)Ergebnis Bei einem Zufallsversuch werden die mglichen Ausgnge als Ergebnisse bezeichnet. wz Der Mnzwurf mit zwei Mnzen stellt einen Zufallsversuch dar.mgliche Alle n Ergebnisse, die bei einem Zufallsversuch Es gibt vier mgliche Ergebnisse: (WW (WZ),Ergebnisse auftauchen knnen, heien mgliche Ergebnisse.(ZW), (U), wobei Z fr Zahl, W fr Wappengnstige Alle m Ergebnisse, die zum betrachteten Ereignissteht.Ergebnisse fhren, heien gnstige Ergebnisse. Fr das Ereignis,,mindestens ein Wappen werfen" gibt es die drei gnstigen ErgebnisseEreignis Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereignis (VWV), (Wz) und (ZW). zusammenfassen.Laplace- Sind alle n mglichen Ergebnisse einesledes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich undWahrscheinlichkeit Zufallsversuchs gleich wahrscheinlich, so spricht hat die Wa hrschei nl ic hkeir 1 = 25o/o. man von einem Laplace-Versuch und berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch dieDie Wahrscheinlichkeit fr das Ereignis Formel p = l. ,,mindestens ein Wappen werfen" Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit m gnstigen Ergebnissen ist dann p(E) = o.i betrgt = 75%.BaumdiagrammBesteht ein Zufallsversuch aus mehreren Teilversu-El- chen, so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsversuch. Ein Baumdiagramm veranschaulicht E2 die mglichen mehrstufigen Ergebnisse. Mithilfe desBaumdiagramms lsst sich die Wahrscheinlichkeit E3- jedes mehrstufigen Ergebnisses bestimmen.E4ffadregelDie Wahrscheinlichkeit eines mehrstufi genSummen- Ergebnisses ist gleich dem Produkt aus allen E.regel Wahrscheinlichkeiten entlang des ffades, der imE. Baumdiagramm zu diesem mehrstufigen Ergebnis fhrt.E7-SummenregelMehrstufige Ergebnisse knnen wieder zu Ereignissen zusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit Es des Ereignisses ist dann die Summe der zugehrigenE" Ergebniswahrscheinlichkeiten.lnhaltsbezogeneKompetenzen45