10
natürliche Zahlen ganze zahlen Brüche rationale Zahlen Potenzen Zehnerpotenz- schreibweise Wurzeln irrationale Zahlen reelle Zahlen Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Die Zahlen 0;1; Z 3;4, ... werden als natürliche Zahlen bezeichnet. Für die Menge der natürlichen Zahlen schreibt man [',1 = {O;1;2;3; ---}- Die Zahlen ...-3; -2; -1;0;1;2i3; ... werden als ganze Zahlen bezeichnet. Zu ieder Zahl gibt es eine Gegenzahl. Für die Menge der ganzen Zahlen schreibt man Z = t..; -2; -1;0;1i 2; ...]. Gebrochene Zahlen können als Brüche oder DezimaF brüche geschrieben werden' feden Bruch kann man in einen Dezimalbruch umwandeln und umgekehrt. Der Wert eines Bruches ändert sich durch Küzen und Erweitern nicht. Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen einschließlich der Null zusammen nimmt, erhält man die rationalen Zahlen Q. Produkte aus gleichen Faktoren kann man mithilfe von Potenzen schreiben: a'a'...'a = an n Faktoren Sehr große Zahlen und Zahlen nahe bei Null schreibt man oft als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz (einer Potenz mit der Basis 10). Die Quadratwuzel einer positiven Zahl b ist die oositive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die 2ahl b ergibt: a2 = b, also: V5 = a Die dritte Wuzel einer Zahl b ist die Zahl a, {eren dritte Potenz die Zahl b ergibu a3 = b, also: ',lb = a Es gibt auf der Zahlengeraden tunkte, denen keine rationale Zahl zugeordnet werden kann. Diese kön- nen nicht als Bruch geschrieben werden. Fs handelt sich um nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalbrüche. Sie werden als irrationale Zahlen bezeichnet und vervollständigen' die Zahlengerade- Rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden zu- sammen die reellen ählen lR. Zu iedem Punkt auf der Zahlengeraden gehört eine reelle Zahl und zu ieder reellen Zahl gehört ein bestimmter Punkt. 01234567 7r5 -4-3-2-101234 1.3 |= o,tst 0,1=t 1232 2464 -2fr -0,5 'i '21 5-5.5=53 Beim Addieren und Multiplizieren können die Sum- manden und Faktoren vertauscht werden: 3+§=§+a a.b=b'a Jn Summen mit drei oder mehr Summanden und in Produkten mit drei oder mehr Faktoren dürfen be- liebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden. a + b +c = (3 + b) a g = 3 + (b+c) a .b .c = (a .b) .c = a .(b'c) Das Distributivgesetz erlaubt das Ausklammern und Ausmultiplizieren in Rechenausdrücken. a.(b+c)=3[+ac a'(b-c)=ab-ac 50OOOO0O = 5'107 0,000023 =23-10-6 ./u=s ,'lo,+g = o,l v27=3 't/qo« = o,+ ^/7 =:,Atqzls ... n = 3X41592 ... 3,2+2,8=2,9+3,2 2x .7,5 = 7,5 ' 2x 11,3 + 2,7 + 1,8 = (11,3 + ),7) + 1,8 = 11,3 + (2,7 + 1,8) 2'2,3 '11 = (2'2,3) '11 = 2' (2,3 '11) 6a(2a +4b) = 6a' 2a + 6a' 4b = 12a2 + 24ab 4a(3b - 2a) = 4a' 3b - 4a' 2a = 12ab - 8a2 Beim Rechnen gelten für die verschiedenen Rechenarten unterschiedliche Rechengesetze. wenn man diese Rechengesetze geschickt anwendet, können sie einem das Rechnen erleichtern' 20 lnhaltsbezogeneKompetenzen

Basiswissen rsp

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Basiswissen Realschulprüfung Sinus und Kosinusfunktion, Kosinussatz und Exponentialfunktionen sind nicht prüfungsrelevant

Citation preview

Page 1: Basiswissen rsp

natürliche Zahlen

ganze zahlen

Brüche

rationale Zahlen

Potenzen

Zehnerpotenz-schreibweise

Wurzeln

irrationale Zahlen

reelle Zahlen

Kommutativgesetz

Assoziativgesetz

Distributivgesetz

Die Zahlen 0;1; Z 3;4, ... werden als natürliche

Zahlen bezeichnet. Für die Menge der natürlichenZahlen schreibt man [',1 = {O;1;2;3; ---}-

Die Zahlen ...-3; -2; -1;0;1;2i3; ... werden als

ganze Zahlen bezeichnet. Zu ieder Zahl gibt es eine

Gegenzahl. Für die Menge der ganzen Zahlen schreibt

man Z = t..; -2; -1;0;1i 2; ...].

Gebrochene Zahlen können als Brüche oder DezimaF

brüche geschrieben werden' feden Bruch kann man in

einen Dezimalbruch umwandeln und umgekehrt.Der Wert eines Bruches ändert sich durch Küzen und

Erweitern nicht.

Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen

einschließlich der Null zusammen nimmt, erhält man

die rationalen Zahlen Q.

Produkte aus gleichen Faktoren kann man mithilfevon Potenzen schreiben:a'a'...'a = an

n Faktoren

Sehr große Zahlen und Zahlen nahe bei Null schreibt

man oft als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer

Zehnerpotenz (einer Potenz mit der Basis 10).

Die Quadratwuzel einer positiven Zahl b ist die

oositive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die

2ahl b ergibt: a2 = b, also: V5 = a

Die dritte Wuzel einer Zahl b ist die Zahl a, {erendritte Potenz die Zahl b ergibu a3 = b, also: ',lb = a

Es gibt auf der Zahlengeraden tunkte, denen keine

rationale Zahl zugeordnet werden kann. Diese kön-

nen nicht als Bruch geschrieben werden. Fs handelt

sich um nicht abbrechende und nicht periodische

Dezimalbrüche. Sie werden als irrationale Zahlen

bezeichnet und vervollständigen' die Zahlengerade-

Rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden zu-

sammen die reellen ählen lR. Zu iedem Punkt auf der

Zahlengeraden gehört eine reelle Zahl und zu iederreellen Zahl gehört ein bestimmter Punkt.

012345677r5

-4-3-2-101234

1.3

|= o,tst 0,1=t12322464

-2fr -0,5 'i '21

5-5.5=53

Beim Addieren und Multiplizieren können die Sum-

manden und Faktoren vertauscht werden:

3+§=§+aa.b=b'aJn Summen mit drei oder mehr Summanden und in

Produkten mit drei oder mehr Faktoren dürfen be-

liebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden.

a + b +c = (3 + b) a g = 3 + (b+c)a .b .c = (a .b) .c = a .(b'c)

Das Distributivgesetz erlaubt das Ausklammern und

Ausmultiplizieren in Rechenausdrücken.

a.(b+c)=3[+aca'(b-c)=ab-ac

50OOOO0O = 5'1070,000023 =23-10-6

./u=s,'lo,+g = o,lv27=3't/qo« = o,+

^/7 =:,Atqzls ...n = 3X41592 ...

3,2+2,8=2,9+3,22x .7,5 = 7,5 ' 2x

11,3 + 2,7 + 1,8 = (11,3 + ),7) + 1,8

= 11,3 + (2,7 + 1,8)

2'2,3 '11 = (2'2,3) '11 = 2' (2,3 '11)

6a(2a +4b) = 6a' 2a + 6a' 4b = 12a2 + 24ab

4a(3b - 2a) = 4a' 3b - 4a' 2a = 12ab - 8a2

Beim Rechnen gelten für die verschiedenen Rechenarten unterschiedliche Rechengesetze. wenn man diese Rechengesetze

geschickt anwendet, können sie einem das Rechnen erleichtern'

20 lnhaltsbezogeneKompetenzen

Page 2: Basiswissen rsp

Klammern zuerst,Punktrechnungvor Strichrechnung

binomische Formeln

Rechnen mitPotenzen undWurzeln

ln Rechenausdrücken müssen Klammern zuerst be-rechnet werden. Dann folgen die funkt- und danndie Strichrechenarten. Die Anwendung der Rechen-gesetze erleichtert häufig das Rechnen.

Es gelten die drei binomischen Formeln:(a+b)2 =a2+Zab+b2(a-b)2=62-2s§+§2(a+b)(a-b)=s2-62Für das Rechnen mit Potenzen gilt:an. am = an+man:am = an-m mit a * 0

(an)m = 3 n'm

,n.gn=(a.b)nFür das Rechnen mit Wurzeln gilt entsprechend:Vä./5 = \6 -E für a, b

= o

./Er{6 =.'616 für a>o,b>o,/7. b = /F. Vb = a -y'u" tur a, b

= o

((6,5 - 21,5) :(-5» - 1,s . 8= ((-15):(-5» - 1,5.8= 3 -1,5-8= 3-12=-9

a2.a3=as2s.22=22=4

13213 = 3s =r*24 .34 = Q.i4 = 6a =1296

Prozent

Prozentsatz,Prozentwert undGrundwert

Prozentrechnung

Zinseszins

Zins

Brüche mit dem Nenner 100 werden auch als Prozentbezeichnet. p% ist also eine andere Schreibweise

D'rur 1oo'

ln der Prozentrechnung bezeichnet man die Be-zugsgröße bzw. das Ganze als den Grundwert G.

Den Anteil, mit dem man sich beschäftigt, nennt manProzentwert W und der daraus resultierende Bruchteilheißt ProzentsaE p.

Der Zusammenhang zwischen Prozentwert, Gr:und-wert und Prozentsatz wird beschrieben durch ilieFormelW=G.p% bzw. w=G.*Diese Formel kann nach jeder Variablen umgefomttwerden, wodurch iede gesuchte Größe aus denbeiden anderen Größen berechnet werden kann.

Wenn man ein Kapitat K für ein fahr zu einem Zins-satz von p% anlegt, erhält man für dieses nach Ab-lauf des lahres p% von G als fahreszins ZZ- K. p%Wenn man das Guthaben nur für t Tage zu einem

Jahreszinssatz von p% anlegt, erhält man nur fider Jahreszinsen.Zt = K' puÄ'*..Für Monate gilt das Entsprechende:Z. - K' p%'E

Wenn man die gewonnenen Zinsen am lahresendedem Guthaben hinzufügt, erbringen diese imkommenden Jahr auch Zinsen. Man nennt sieZinseszinsen.

ffi=zsu"62,50/o = 0,625

Von 200 Schülern kommen 125 mit dem Bus.Das sind 62,50/o.

Die 200 Schüler bilden den Grundwert,125 den Prozentwert.62,50/o sind der Prozentsatz.

640/o der 25 Teilnehmer kamen ins Ziel.pYo=640/o;G=25,W=?w=25.0,64=1616 Teilnehmer kamen ins Ziel.

Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatzvon 3,25o/o angelegt.z=2000€.0,0325=35€Das Geld wird nach 2 Monaten abgehoben:z, = 2000€ .0,0325.1= rc,Alg

lnhaltsbezogeneKompetenzen 21

Page 3: Basiswissen rsp

Zur Berechnung von Flächeninhalt (A), Umfang (u), Volumen (V)

und Oberfläche (O) von Flächen und Körpern sollten alle Größen-

angaben zunächst auf die gleiche Maßeinheit gebracht werden.

Kreis

Kreisbogen

Kreisausschnitt

zusammengesetzteFlächen

Viereck

Für den Umfang des Dreiecks ABC gilt: u = 3 + § + c

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der

Grundseite a und der Höhe h, gilt: A =:+

Für den Umfang des Rechtecks ABCD gilt:u = 2a + 2b bztx. für das Quadrat: u = 4a,da alle Seiten gleich lang sind.Für den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD gilt:A = a. b bzw. für das Quadrat: A = a2.

Für den Umfang des Parallelogramms ABCD gilt:u = 2a + 2b bnu. für die Raute u = 4a, da alle Seitengleich lang sind.Für den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD mitder Grundseite g und der Höhe h gilt: A = g' h

Für den Umfang des Trapezes ABC gilt:g=s+§+6+dFür den Flächeninhalt des Trapezes ABCD gilt:A= +'h"

Für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesserd bzw. dem Radius r gllt: u = n'd = 2'n'rFür den Flächeninhalt des Kreises gilt A= n'l

Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel agilt für die Länge des Kreisbogens b:b = 2nr 's5oos = flr'#Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel sgilt für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes A:

A=flr2.r*-=T

Der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen be-rechnet sich aus der Summe der Einzelflächen.Der Umfang wird durch die Summe der Länge derEinzelstrecken ermittelt, die die Gesamtfläche be-

grenzen.

nicht geradlinig Den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flä-

begrenzte Flächen chen kann man schätzen, indem man sie mit einemGitter unterlegt und die Gitterflächen abzählt.Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Fläche miteiner passenden Fläche (wie Rechteck oder Paralle-logramm) zu hinterlegen.

26 lnhaltsbezogeneKompetenzen

Page 4: Basiswissen rsp

Zylinder

Prisma

Kegel

Pyramide

Kugel

zusammengesetzteKörper

Für das Volumen des Quaders gilt: V = a 'b . cFür die Oberfläche des Quaders gilt:0 = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc+ ac)

Filr das Volumen des Zylinders mit Grundkreis k undHöhe h gilt: Y = Ak. h = TIr2. hFür die Oberfläche des Zylinders mit Grundfläche G,

Mantelfläche M und Höhe h gilt:O=2G +M=2nr2+2nr.hFüY das Volumen des Prismas mit Grundfläche G undHöhe h gilt: V = G.hfiii die Oberfläche des Prismas mit Grundfläche G

und Mantelfläche M gilu O = 2G + M

Für das Volumen des Kegels mit Radius r und Höhe hgilt: V={nr2.hFür die Oberfläche des Kegels mit Radius r undMantellinie s gilt: 0 = TIr2 + rlrs

Für das Volumen der foramide mit Grundfläche G undHöhehgilt: V=lG.hFür die quadratische hyramide mit Seitenlänge a gilt:V = Ja2. trFür die Oberfläche der quadratischen Pyramide mitSeitenlänge a und der Höhe h, einer Seitenflächeeilt:ö=a'*a*Für das Volumen der Kugel mit Radius r gilt:V=fn13Für die Obedläche der Kugel mit Radius r gilt:O*4nlDas Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlterKörper berechnet man aus der Summe oder der Diffä-renz der Einzelkörper.Die Oberfläche solcher Körper besteht aus derSumme aller Einzelflächen.

Efr'A@

c

a

trigonometrischeBeziehungen

AhnlichkeitundzentrischeStreckung

ln einem rechtwinkligen Dreieck gilt:. Gesenkathete von q

stnu = -:HveoG;re

cosq, = ArffiH"Gerenkathete vm q

tancr = --i-AnGrnere von d

ln beliebigen Dreiecken gelten der Sinussatza sinc a sing 6 sinBb=sinß;Z=rinV;Z=sinf

ii:tä:irmxl"i+'w4*ru6z= 1!1gz-2ac.cosp l' nrln4 "tkt*lc2= a2+b2-2ab. cosy )Werden Flächen und Körper um den StrecHaktor, m Länge der BildstHkek=;=ffi gestreckt,gilt:

ähnliche Streckenlängen: fi = fi; a2 = k. a.1

X=*,Az = kz'&

V=*, ,,= k3'Vr

ähnliche Flächen:

ähnliche Volumina:

lnhaltsbezogeneKompetenzen 27

Page 5: Basiswissen rsp

Koordinatensystem Das Koordinatensystem untefteilt die Ebene in vier

Quadranten und macht die eindeutige Bestimmung

Winkel

der Lage eines Punktes möglich.Man schreibt: P(xly).

Ein Winkel wird von zwei Schenkeln mit gemeinsa-men Scheitelpunkt S eingeschlossen. Die Größe einesWinkels s wird in Grad (kuz: ") angegeben.Es gibt spitze (a . 90"), rcchte (q = 90"), stumpfe(90"< q . 180") gestreckte (q = 180'), überstumpfe(180'< s < 3601 und volle (q = 360") Winkel.

Scheitelwinkel sind gleich groß.Nebenwinkel ergänzen sich zu 180".Stufenwinkel sind gleich groß.Wechselwinkel sind gleich groß.

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sledurch eine geeignete Achse (Symmetrieachse) inzwei spiegelbildliche:Teile zerlegen kann. Sie istpunktsymmetrisch, wenn man sie durch eine halbeDrehung um den Symmetriepunkt in sich selbstüberführen kann.

Zwei Figuren sind dann ähnlich, wenn sie in den ent-sprechenden Seitenverhältnissen und Winkeln über-einstimmen.

Werden zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z von zweiparallelen Geraden in den Punkten A und B bzw. lYund B'geschnitten, so sind die Dreiecke ZAB undZAB'ähnlich. Es gelten die beiden Strahlensätze:

1. Strahlensatr,'#=#,

2. Strahlensatz, {$ = #

Winkelsätze

Symmetrien mffiilhntictrkeit

Strahlensätze

Dreiecke

Dreieckekonstruieren- kongruenteDreiecke

Besondere Linienim Dreieck

Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180'(u + p + y =180"). Man unterscheidet Dreiecke nachihren Winkeln und nach ihren Seiten. So klassifiziertman die Dreiecke in rechtwinklige, spitzwinklige undstumpfwinklige und in gleichseitigg gleichschenkligeund allgemeine Dreiecke.

Zwei Dreiecke sind kongruent oder deckungsgleich,wenn sie übereinstimmen in- drei Seiten (SSS).

- einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln(wsvv).

- zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel(sws).

- zwei Seiten und dem Winkel, der der größerenSeite gegenüberl iegt (SSW).

Solche Dreiecke können durch die jeweiligen Vorga-ben eindeutig konstruiert werden.

Auf der Winkelhalbierenden liegen die Punkte, dievon den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstandhaben. Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecksschneiden sich im lnkreismittelpunkt.Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Streckehat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten.Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks schneidensich im Umkreismittelpunkt. Der Schnittpunktder Seitenhalbierenden bildet den Schwerpunktdes Dreiecks, die Höhen schneiden sich imHöhenschnittpunkt.

2a\a

32 lnhaltsbezogeneKompetenzen

Page 6: Basiswissen rsp

Satz des Pythagoras

Vierecke

Vielecke

Kreis

Satz des Thales

ln einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkelbei C gilt: a2 + b2 = c2. Gilt bei einem Dreieck az + b2= c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 360"(a + B + y + ö = 360"). Es gibt achsensymmetrischeVierecke (Drachen, symmetrisches Trapez), dreh-symmetrische Vierecke (Parallelogramm) und solche,die beides sind (Raute, Rechteck, Quadrat). Ein Vier-eck ohne Symmetrien heißt allgemeines Viereck

Man unterscheidet zwischen unregelmäßigen undregelmäßigen Vielecken. lm regelmäßigen Vielecksind alle Seiten gleich lang und alle lnnenwinkelgleich groß. Der Mittelpunktswinkel eines n-Ecks hatdie Größe ö =360:n und der lnnenwinkel a =180 - ö.Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt(n - 2).180'.

Alle Punkte des Kreises haben vom Mittelpunktdieselbe Entfernung. Diese bezeichnet man alsRadius r. Der Durchmesser d ist doppelt so langwie der Radius. Ein von zwei Punkten begrenztesStück des Kreises heißt Kreisbogen. Ein von zweiRadien begrenztes Stück der Kreisfläche heißtKreisausschnitt.

Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf demHalbkreis über der Strecke AB, so ist y ein rechterWinkel. Hat ein Dreieck einen rechten Winkel bei C

dann lie6 C auf dem Halbkreis über der Strecke fb.

Würfel und Quader Ein Quader hat sechs rechteckige Flächen.

Prisma

Pyramide

Zylinder

Kegel

Schrägbilderund Netze

Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich groß. Jevier Kanten sind parallel und gleich lang. Der Quaderhat acht Ecken, sechs Flächen und zwölf Kanten.Ein Würfel ist ein besonderer Quader: er besteht aussechs Quadraten.

Ein Prisma wird begrenzt durch Grund- undDeckfläche und den Mantel. Der Mantel bestehtaus Rechtecken; die Grund- und Deckfläche sindkongruent und bestimmen den Namen des prismas.

Ein über seiner Grundfläche spitz zulaufender Körperheißt foramide. Er ist begrenzt durch die Grundflächeund dem aus Dreiecken zusammengesetzten Mantel.Die Manteldreiecke treffen sich in der Spitze.Die Grundfläche bestimmt den Namen der pyramide.

Ein Zylinder wird begrenzt durch den Grundkreis, denDeckkreis und das zum Mantel aufgerollte Rechteck.

Der Kegel besteht aus einem Grundkreis und einemaufgerollten Kreisausschnitt als Mantel.

Körper kann man in Form von Schrägbildern, Netzenund Modellen darstellen. lm Schrägbild blejben alleKanten und Winkel unverändert, die parallel zurZeichenebene liegen. Senkrecht zu ihr laufende Linienwerden unter einem 45'-Winkel und auf die Hälfteverküat gezeichnet. Aus Netzen lassen sich Körperherstellen.

Eine Kugel ist ein Körperi der sich nicht aus ebenenFlächenstücken zusammensetzen lässt.

Quader

Zylinder

ffiru

Kugel Kugel

lnhaltsbezogene Kompetenzen 33

Page 7: Basiswissen rsp

Dreisatz

umgekehrterDreisatz

'rzoo ( 120!

.1700 ( 170;

Wenn zum Zweifachen; Dreifachen; Vierfachen ."einer Eingabegröße das Zweifache; Dreifache; Vier-

fache ... der Ausgabegröße gehöG kann man

gesuchte Werte der Ausgabegröße mit dem Dreisatz

bestimmen.Man schließt zuerst durch Division auf die Einheit und

dann durch Multiplikation auf das Vielfache.

Wenn zu einem Drittel; zur Hälfte; zum Zweifachen;

zum Dreifachen, ... einer Eingabegröße das

Dreifache; Doppelte; die Hälfte; ein Drittel; ... der

Ausgabegröße gehört, kann man gesuchte Werte

der Ausgabegröße mit dem umgekehrten Dreisatz

bestimmen. Der Division der Eingabegröße entspricht

die Multiplikation der Ausgabegröße und umgekehrt'

12OO t Öl kosten 600€. Wie viel kosten '1700 t?

Heizölmenge in I Preis in €

,) :1200

,,) .rzoo

1700t Heizöl kosten 850€.

Eine Radtour ist mit 7 Etappen zu je 60kmgeplant. Die Gruppe hat aber nur 5 Tage Zeit.

Anzahl derTage Strecke in km I

Die Tagesstrecke muss 84km betragen.

600

0,5

850

50

420 )'t84 ),s

,11's( 5

lineare Gleichungen Man nennt Gleichungen wie y = mx + b lineare

Gleichungen.

proportionaleZuordnungen

antiproportionaleZuordnungen

lineare Gleichungenmit zwei Variablen

lineareGleichungssYsteme(LGS)

mit zwei Variablen

lösen von LGS

Bei einer proportionalen Zuordnung x - y sind die

Quotienten zugeordneter Größen gleich.

lit dieser Quotient 2.8.2, so lässt sich der y-Wert mitder Gleichung ,! = 2'x berechnen.

Der Graph liegt auf einer Geraden'

Bei einer antiproportionalen Zuordnung x * y sind

die Produkte zugeordneter Größen gleich.

lst dieses Produkt z.B. 4, so lässt sich der y-Weft mit

derGleichung y = f berechnen.Der Graph lieg auf einer HYPerbel.

Der Graph liegt auf einer Geraden.

Für lineare Gleichungen wie -2x + Y = 2 mit den

VariablenxundYgilt:1. lede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar.

2. Es gibt unendlich viele Lösungen.

3. Die grafische Darstellung der Lösungen ist eine

Gerade.

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden

ein lineares Gleichungssystem (LGS).

Eine gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen

heißt Lösung des LGS. Ein LGS hat entweder genau

eine, keine oder unendlich viele Lösungen.

Gleichsetzu n gsverf ahrenMan löst beide Gleichungen des LGS nach derselben

Variablen auf. Durch Gleichsetzen derTerme erhält

man eine Gleichung mit einer Variablen.

AdditionsverfahrenMan formt beide Gleichungen so um, dass beim

Addieren beider Gleichungen eine Variable wegfällt.

EinsetzungsverfahrenMan löst eine Gleichung nach einer Variablen auf

und setzt diesen Wert der Variablen in die andere

Gleichung ein.

(1 | 4) ist Lösung der Gleichung,

dennz.1+2=4

123 4(-2 | -2) ist Lösung der Gleichung,

der.nz'(-2) + 2= -2

(1) x-2y =2;y=!x-1(2) x+y=§' y=-x+5

Gleichsetzungsverfähren:

]x-1=-x+51*= 6

x=4Additionsverfahren:(1) 3x+5y=10(2) 4x-5y=4(1) + (2):7x=14

x=2y=0,8r-=(210,8»

Einsetzen ergibt:

y=-\+l=lr-=(411»

- Graph der Zuordnung Y = 2x + 2

38 lnhaltsbezogeneKomPetenzen

Page 8: Basiswissen rsp

Funktion

QuadratischeFunktion

Sinus- undKosinusfunktion

Exponential-funktionen

Eine Zuordnung die ledem x-Wert jeweils nur eineny-Wert zuordnet, heißt Funktion.Die Gleichung Y = ax + b, mit der sich dieFunktionswerte y berechnen lassen, heißtFunktionsgleichung einer linearen Funktion.

Funktionen, die eine Funktionsgleichung in der Formy = ax2 + bx + c haben, heißen quadratischeFunktionen.Der dazugehörige Graph heißt Parabel.lhren kleinsten bzw. größten Wert nimmt einequadratische Funktion im Scheitelpunkt an.Die Parabel der Funktion y = 0,5(x - 2)2 + 3 istgegenüber der Parabel der Funktion y = 0,5x2 um 2nach rechts und um 3 nach oben verschoben.

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktionkann in der Scheitelform y = 2- (x + 3)2 + 4 oderin der Normalform y= 2x2 +12x + 22 dargestelltwerden.

Die Funktionen sin und cos werden so für alle Winkels definiert:Jeder Winkel u mit der positiven x-Achse als erstemSchenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkeleinen Punkt Po auf dem Einheitskreis. Man legt fest:Die x-Koordinate des Punktes Po ist cos(s).Die y-Koordinate des Punktes Po ist sin(a).

FunktionenderForm x-ax für a>0 und a+1nennt man Exponentialfunktionen.Sie sind für alle reellen Zahlen x definier!, ihreFunktionswerte sind stets positiv.Alle Graphen gehen durch den Punkt (0 l1).

Lineares Wachstum Nimmt die erste Größe um I zu, so wächst die zweiteGröße ieweils um den gleichen festen Wert.

Lineares Wachstum mit Wachstumsrate 4:

+\

Exponentielles Wachstum mitWachstumsfaktor 1,5:

ExponentiellesWachstum

Nimmt die erste Größe um 1 zu, so wächst die zweiteGröße jeweils um einen festen Faktor.

+1,,1\

+1/',\

+1,t;\

+1

+1/';\

+1-r-;\

\L,r

lnhaltsbezogeneKompetenzen 39

Page 9: Basiswissen rsp

Die Ergebnisse einer statistischen Erhebung können

in einer Liste notiert werden, der sogenannten Urliste'

Sie ist in der Regel ungeordnet.

Eine Liste, in der die Ergebnisse der Größe nach

sortiert sind, heißt Rangliste.

Gibt man zu jedem möglichen Wert der Liste an, wie

oft er vorkommt, so erhält man eine Häufigkeitsliste.

ln einer 10. Klasse mit 25 Schülerinnen und

Schülern wird ermittelt, wie viele Bücher(außer für den Unterricht) jeder im letzten

lahr gelesen hat.Urliste: 0; 3; 1;

0; 0; 4;1;3; 5;

Rangliste: 0; 0;

3;3; 4; 4; 4;5;

Häufigkeitsliste:

3;17; 5; 6;9; 4;1; 4;3;12; 3; 6i 8;1;30; 1; 1; 1; 1; 2; 3; 3; 3;

5; 6; 6; 8; 9;12;17Rangliste

Häufigkeitsliste

Häufigkeiten

Diagramme

Kennwerte (1)

Bücher absoluteHäufigkeit

relativeHäufigkeit

relativeHäufigkeit

in o/o

0 3 012 12o/o

1 4 0,16 160/o

2 1 0,04 4o/o

3 6 0,24 24o/o

4 3 0x2 12o/o

5 2 0,08 8o/o

6 2 0,08 8o/o

8 1 0,04 4o/o

9 1 0,04 4o/o

12 1 0,04 4o/o

17 1 0,04 4o/o

Die Anzahl, mit der ein bestimmter Wert vorkommt,

heißt absolute Häufigkeit des wertes.Der Anteil, den die absolute Häufigkeit an der Ge-

samtzahl der erhobenen Daten hat, heißt relative

Häufigkeit' - . . absoruteHäufigkeitrelative Häufigkeit = - *ffit

"ht

Mit Diagrammen kann man die edassten Werte

veranschaulichen.ln Säulendiagrammen kann man die absoluten

Häufigkeiten der Werte der zugrunde liegenden Liste

ablesen.Kreis- oder Streifendiagramme machen deutlich,

welchen Anteil ein Wert der zugründe liegenden

Häufigkeitsliste am Ganzen hat'

Der kleinste Wert einer Rangliste heißt Minimum, der

größte Maximum. Die Differenz von Maximum und

Minimum heißt SPannweite.Die Spannweite ist ein Maß dafür; wie weit die Werte

der Erhebung auseinander liegen, gelegentlich sorgt

aber ein Ausreißer für eine große Spannweite.

Die Summe aller Werte dividien durch die Anzahl der

Werte heißt Mittelwert oder arithmetisches Mittel.Der Mittelwert ist ein Durchschnittswert.

Sechs Schüler lasen im letzten lahr 3 Bücher.

Die absolute Häufigkeit des Wertes ,,3 Bücher"

ist also 6.

Die relative Häufigkeit dieses Wertes

beträgt fi = o,z+ -- 24o/o.

0 Bücher sind das Minimum.17 Bücher sind das Maximum.

17 Bücher - 0 Bücher = 17 Bücher

Die Spannweite beträgt 17 Bücher.

(3. 0 + 4 .1 +1' 2+ 6'3 +3' 4 +2' 5 + 2' 6

+ 1 . 8 + 1 - g + 1. 12 + 1' 17) : 25 =ff =+rclm Durchschnitt wurden rund 4 Bücher

gelesen.

44 lnhaltsbezogeneKomPetenzen

Page 10: Basiswissen rsp

Kennwerte (2) Der Wert in der Mitte einer Rangliste heißt Zentral-wert oder Median. Hat die Rangliste eine ungeradeAnzahl von Werten, so ist der mittlere Wert derZentralwert. Hat die Rangliste eine gerade Anzahlvon Werten, so bildet man den Mittelwert der beidenWerte in der Mitte.Mindestens die Hälfte aller Werte liegt unterhalb desZentralwertet mindestens die Hälfte oberhalb.Tritt ein Ergebnis häufiger auf als alle anderenErgebnisse der Erhebung, so ist dieser Wert derhäufigste Wert oder Modalwert."Der Modalwert ist ein guter Ersatz für den Mittel-wert in Erhebungen, für die ein Mittelwert nichtsinnvoll bestimmt werden kann. (Wenn z. B. nachder Lieblingsfarbe gefragt wird: Der Mittelwert vonFarben ist nicht sinnvoll anzugeben.)

Da die Liste 25 Werte enthält, liegt derMedian an der 13. Stelle.Das entspricht 3 Büchern:13 Schüler haben3 Bücher oder weniger gelesen, und13 Schüler haben 3 Bücher oder mehr gelesen.

Der Modalwert ist hier derselbe wie derZentralweft:3 Bücher wurden am häufigsten gelesen.

Ergebnis

möglicheErgebnisse

günstigeErgebnisse

Ereignis

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Baumdiagramm

ffadregel

Bei einem Zufallsversuch werden die möglichenAusgänge als Ergebnisse bezeichnet.

Alle n Ergebnisse, die bei einem Zufallsversuchauftauchen können, heißen mögliche Ergebnisse.

Alle m Ergebnisse, die zum betrachteten Ereignisführen, heißen günstige Ergebnisse.

Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereigniszusammenfassen.

Sind alle n möglichen Ergebnisse einesZufallsversuchs gleich wahrscheinlich, so sprichtman von einem Laplace-Versuch und berechnetdie Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch dieFormel p = d.Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit mgünstigen Ergebnissen ist dann p(E) = *.Besteht ein Zufallsversuch aus mehreren Teilversu-chen, so spricht man von einem mehrstufigenZufallsversuch. Ein Baumdiagramm veranschaulichtdie möglichen mehrstufigen Ergebnisse. Mithilfe desBaumdiagramms lässt sich die Wahrscheinlichkeitjedes mehrstufigen Ergebnisses bestlmmen.

Die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigenErgebnisses ist gleich dem Produkt aus allenWahrscheinlichkeiten entlang des ffades, der imBaumdiagramm zu diesem mehrstufigen Ergebnisführt.

Mehrstufige Ergebnisse können wieder zu Ereignissenzusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeitdes Ereignisses ist dann die Summe der zugehörigenErgebniswahrscheinlichkeiten.

Der Münzwurf mit zwei Münzen stellt einenZufallsversuch dar.

Es gibt vier mögliche Ergebnisse: (WW), (WZ),(ZW), (U), wobei Z für Zahl, W für Wappensteht.Für das Ereignis,,mindestens ein Wappenwerfen" gibt es die drei günstigen Ergebnisse(WW), (Wz) und (ZW).

Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich undhat die Wahrscheinlichkeftlo = 25o1o.

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

,,mindestens ein Wappen werfen"beträ5 1,, =75Yo.

E1 -E2

E3-

E4

E5

E

E7-

E8

E^

Summen-regel

Summenregel

lnhaltsbezogeneKompetenzen 45