BAUMSCHÄDLINGEINSECT OUTBREAK MODEL OF SPRUCE BUDWORM

Seminar für LAK (Angewandte Mathematik)

Manuel Hofegger & Stefan Kratochwil

ARTEN MATHEMATISCHER MODELLE Statische Modelle

Dynamische Modelle (mathematische Modelle zeitabhängiger Prozesse)

Mathematik: Zahlentheorie, Stochastik Physik: Pendelbewegung, Klimamodelle Theoretischen Biologie: Räuber-Beute-

Modelle ....

MOTIVATION FÜR UNSEREN VORTRAG Räuber-Beute Beziehung→ angewendet auf den kanadischen Fichtenkäfer

Natur besteht aus einem Zusammenwirken so genannter Biotope (abgeschlossene Lebensräume), innerhalb derer ein Gewisses Gleichgewicht herrscht

In einem solchen System wirken viele Einflüsse bzw. Faktoren in koordinierte Weise mit- und gegeneinander

„Räuber-Beute- Situation“

MOTIVATION FÜR UNSEREN VORTRAG Räuber-Beute Beziehung→ angewendet auf den kanadischen Fichtenkäfer

Gewisse Anzahl von räuberischen Individuen (z. B.Vögel) stehen mit einer gewissen Anzahl Beute-Individuen im Gleichgewicht

Populationen sind gewissen Schwankungen unterworfen Besteht somit im Allgemeinen ein „Kreislauf“, der sich –

wenn nicht von außen eingegriffen wird- bei einem gewissen „Gleichgewicht“ einpendeln wird

Vorweg eine kurze Übersicht über Verbreitungsgebiet und Aussehen des behandelten Käfers (spruce

budworm)

Beispiel dafür, welch verheerendes Ausmaß eine Populationsexplosion des Käfers annehmen kann

FLUSSDIAGRAMM Beschreibung der quantitativen

Zusammenhänge

Bestandsgrößen: haben einen vom Zeitpunkt abhängigen Wert

Flussgrößen: geben die Veränderung der Bestandsgrößen pro Zeiteinheit an

→ also die absoluten bzw. relativen Änderungsraten

MATHEMATISCHE BESCHREIBUNGEN UNSERES MODELLS

Die Dichten von Räuber und Beute schwanken regelmäßig, jedoch zeitlich verschoben

Trotz der Schwankungen bleibt die durchschnittliche Menge der beiden Populationen über die Jahre hinweg in etwa gleich → Schwankungen um einen Mittelwert

Werden jedoch die Räuber in einem Biotop stark dezimiert (z. B. durch Jagen), so erholt sich die Beutepopulation schneller als die der Räuber

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK

Relevante Faktoren, welche einen Einfluss auf die Entwicklung der Populationen der Fichtenkäfer haben

rB.........lineare Geburtenrate N......Anzahl der Lebewesen KB......tragende Kapazität bzw. Aufnahmefähigkeit

bezogen auf das vorhandene Laub auf dem Bäumen p(N).....Störfunktion (Feinde wie z. B.: Vögel, etc.)

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK

Einfluss auf die Entwicklung der Populationen 1.Teil:

unbegrenztes Wachstum

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Einfluss auf die Entwicklung der Populationen 2.Teil:

Partialbruchzerlegung

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK 2.Teil:

„logistisches Wachstum“ einer Bevölkerung

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Störfunktion, p(N)-Teil 3.Teil:

Um spezifisch zu werden und mit dem p(N)-Term rechnen zu können, wird folgende Annahme getroffen:

Einführen von „nicht dimensionalen Termen“

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Störfunktion, p(N)-Teil 3.Teil: .

.

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Störfunktion, p(N)-Teil

d. h aus

folgt durch nicht-dimensionalisieren:

!!!Gleichgewichtszustand:

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Gleichgewichtszustände:

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Gleichgewichtszustände:

VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Gleichgewichtszustände:

ZEITDAUER IN WELCHER DIESES MODELL ABLÄUFT Ausbruch des kanadischen Fichtenkäfers

dauert rund 4 Jahre In diesem Zeitraum werden die Fichten

angegriffen bzw. sterben ab Nach 50 bis 100 Jahren bzw. intensiver

Aufforstung verdrängen die Fichten die Balsamtannen bzw. Birken wieder

In einem vollständigen Modell müsste man die Baumdynamik mit einbeziehen (~80 Parameter und Variablen)

VORSTELLUNG VON KATASTROPHENAUTOR: „ZEEMAN“ 1982, EXPERIMENT MIT 57 STUDENTEN

VERZÖGERTE MODELLE Defizite von Single-Populations-Modellen sind, dass die

Geburtenrate den augenblicklichen, momentanen Zustand betrachtet

Es kann jedoch eine Zeitverzögerung auftreten, bis die Fichtenkäfer ihre Reife erreicht haben (d. h. der Reifeprozess ist begrenzt)

Berücksichtigung der Verzögerung durch folgende Differenzialgleichung:

VERZÖGERTE MODELLE Erweiterung des logistischen Wachstumsmodells ist

die „Differenzielle Verzögerungsgleichung“

Modell für einen Verzögerungseffekt, welcher einen Durchschnitt über vergangene Populationen repräsentieren sollte.

VERZÖGERTE MODELLE Ausdrücken der Gleichung durch die einfache lineare

Verzögerungsgleichung

VERZÖGERTE MODELLE ...

Periode

Jahr

VERGLEICH VON NICHOLSON‘S EXPERIMENTELLEN DATEN Für die Population der australischen

Schafschmeißfliege (diese führt zu Sommerkrankheiten bei Schafen)

DANKE FÜR DIE AUFMERKSAMKEIT!