Baustatik 3 (Modul 3130) Veranstaltungen WS 2018/2019 ... · 27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 8 Bild 3-8: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 – 2 (Lastmodell LMM) 62 Bild

Baustatik 3 (Modul 3130)

Veranstaltungen WS 2018/2019

Vorlesung Mo. 08:15 – 09:45 Uhr, R 1.116, Beginn: 8.10.2018

Hörsaalübung Mo. 10:00 – 11:30 Uhr, R 1.116, Beginn: 8.10.2018

Ansprechpartner Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk

Sprechstunde: Mittwoch, 10:00 – 11:00 Uhr, R.1.110 Tel.: 05231 / 769 6049 email: [email protected] Internet: http://www.hs-owl.de/fb3/labore/tm0.html

mailto:[email protected]

Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk

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Literaturangaben

[1] Ahlert, H.: FEM – Finite-Elemente-Methode im konstruktiven Ingenieurbau. 3. Auflage, 2002. Werner-Verlag.

XBN 137

[2] Barth, C.; Rustler, W.: Finite Elemente in der Baustatik-Praxis – Mit vielen Anwendungsbeispielen. 1. Auflage, 2010. Bauwerk Verlag.

XBK 276

[3] Bletzinger, K.-U. et. al.: Aufgabensammlung zur Baustatik. Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke. 1. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.

XBK 292

[4] Dallmann, R.: Baustatik 2 - Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.

XBK 266

[5] Dallmann, R.: Baustatik 3 - Theorie II. Ordnung und computer-orientierte Methoden der Stabtragwerke. 2. Auflage 2015, Hanser Fachbuchverlag.

XBK 266

[6] Dinkler, D.: Grundlagen der Baustatik - Modelle und Berechnungsmethoden für ebene Stabtragwerke. 4. Auflage 2016. Springer Vieweg.

XBK 278

[7] Friedrich, M.: Das Kraft- und Weggrößenverfahren in Beispielen. 1. Auflage, 2013, Springer Vieweg.

[8] Hake, E.; Meskouris, K.: Statik der Flächentragwerke - Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2. Auflage 2007, Springer-Verlag.

XBK 206

[9] Hirschfeld, K.: Baustatik - Theorie und Beispiele. 4. Auflage 1998, Springer-Verlag.

XBK 186

[10] Homberg, H.; Ropers, W.: Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke, Band 1 und 2, Springer-Verlag 1965 und 1968.

XDO 106

[11] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 3, Statisch unbestimmte Systeme. 14. Auflage 2012, Beuth-Verlag.

XBK 128

[12] Knothe, K., Wessels, H.: Finite Elemente, 5. Auflage 2017, Springer-Verlag.

WCG137

[13] Krätzig, W.; Harte, R.; Meskouris, K.; Wittek, U..: Tragwerke 1 – Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage 2010, Springer-Verlag.

XBN 174

[14] Krätzig, W.: Tragwerke 2 - Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage 2004, Springer-Verlag

XBN 174

[15] Krätzig, W.; Basar, Y.: Tragwerke 3 - Theorie und Anwendung der Methode der Finiten Elemente. 1. Auflage, 1997, Springer-Verlag.

XBN 174


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[16] Krüger, U.: Stahlbau, Teil 2 - Stabilitätslehre, Stahlhochbau und Industriebau. 3. Auflage 2004, Verlag Ernst & Sohn.

XCG 168

[17] Link; M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik. 4. Auflage, 2014. Teubner-Verlag.

XBK 104

[18] Meskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre. 2. Auflage 2009, Springer-Verlag.

XBK 204

[19] Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik – Hintergrundinformationen, Tipps und Tricks. 2. Auflage 2012, Springer Vieweg.

WCG 192

[20] Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen. 3. Auflage 2002, Vieweg Teubner.

XBK 129

[21] Pucher, A.: Einflussfelder elastischer Platten. 5. Auflage 1977. Springer-Verlag.

XCF 263

[22] Steinke, A.: Finite-Element-Methode: Rechnergestützte Einführung. 4. Auflage 2012. Springer Vieweg.

WCG 180

[23] Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik - Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke. 3. Aufl. 2008, Vieweg Teubner.

XBK 198

Internet-Hinweise

Literatur www.hs-owl.de/skim

www.amazon.de

Bauwerke

www.structurae.de

www.brueckenweb.de

www.brueckenbau-links.de

Hochschulen

www.hs-owl.de/fb3

www.ki-smile.de

www.goettsche-web.de

http://www.ibnm.uni-hannover.de/Lehre/index.html.de

http://www.isd.uni-hannover.de/lehre.html

http://www.fembau.de

http://www.hs-owl.de/skim

http://www.amazon.de/

http://www.structurae.de/

http://www.brueckenweb.de/

http://www.brueckenbau-links.de/

http://www.hs-owl.de/fb3

http://www.ki-smie.de/

http://www.goettsche-web.de/

http://www.ibnm.uni-hannover.de/Lehre/index.html.de

http://www.isd.uni-hannover.de/lehre.html

http://www.fembau.de/


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Inhalt

1 EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE 2. ORDNUNG FÜR STABWERKE 10

1.1 Einführendes Beispiel 10

1.2 Mögliche Nichtlinearitäten 11 1.2.1 Gleichgewicht am verformten System 11 1.2.2 Genaue Verschiebungsfigur 13 1.2.3 Nichtlineare Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen 13 1.2.4 Nicht-lineares Materialverhalten 13

1.3 Kurze Wiederholung zum Biegeknicken 14 1.3.1 Die vier Euler´schen Knickfälle 14 1.3.2 Ermittlung der Knicklängenbeiwerte mit Rahmenformeln 15 1.3.3 Schlankheit λ und Eulersche Knickspannung 19

1.4 Möglichkeiten zur Ermittlung der Schnittgrößen nach Th. 2. O. 21 1.4.1 Iterative Ermittlung des Zusatzmomentes mit dem Arbeitssatz 22 1.4.2 Herleitung einer Überschlagsformel mithilfe der Biegelinie 24 1.4.3 DGL für Elastizitätstheorie 2. Ordnung (exaktes Verfahren) 28 1.4.4 Eingespannte Stütze mit Hilfe der DGL 29

1.5 Beispiel: Rahmentragwerk 35 1.5.1 System, Belastung, Schnittkräfte nach Th. I. Ordnung 35 1.5.2 Ermittlung der Schnittkräfte nach Th. 2. Ordnung mit Hilfe des Arbeitssatzes 37 1.5.3 Zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse 39 1.5.4 Computerunterstützte Berechnung 42

1.6 Zusammenfassung 43

2 VERSCHIEBLICHKEITSUNTERSUCHUNGEN MIT HILFE DES POLPLANS 44

2.1 Regeln für die Polplanerstellung 44

2.2 Kinematik 45 2.2.1 Allgemeines 45 2.2.2 Beispiele zur Ermittlung kinematischer Größen 45

2.3 Zusammenfassung 53

3 EINFLUSSLINIEN 54

3.1 Allgemeines 54

3.2 Statisch bestimmte Stabwerke 55 3.2.1 Gleichgewichtsmethode 55 3.2.2 Kinematische Methode basierend auf dem PdvV 56 3.2.3 Vorgehen und Merkregeln 59 3.2.4 Zusammenfassung 60

3.3 Einflusslinien bei statisch unbestimmten Stabtragwerken 61

3.4 Lastannahmen für Straßenbrücken und Eisenbahnüberführungen 62 3.4.1 Verkehrslasten auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2NA/2012-08 62 3.4.2 Entwicklung der Lastannahmen für Straßenbrücken 64 3.4.3 Lastbild UIC 71 für Eisenbahnbrücken 65


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3.5 Beispielaufgaben 66 3.5.1 Gelenkträger 66 3.5.2 Gelenkträger 2 71 3.5.3 Gelenkträger 3 72 3.5.4 Ermittlung der Einflusslinien mit Hilfe STAB2D 73 3.5.5 Dreifeldträger 74 3.5.6 Fünffeldträger 77

3.6 Zusammenfassung Einflusslinien 80

3.7 Einflussflächen bei Plattentragwerken 82

4 DREHWINKELVERFAHREN 83

4.1 Einführung 83 4.1.1 Steifigkeit – Systemsteifigkeit 83 4.1.2 Einführendes Beispiel 84 4.1.3 Idee und grundlegende Annahmen für das DWV 85 4.1.4 Statische und geometrische Unbestimmtheit 86 4.1.5 Bezeichnungen, Vorzeichendefinitionen für das DWV 88

4.2 Herleitung der Grundgleichungen für Stabendmomente 89 4.2.1 Ausgangssituation und Lösungsansatz 89 4.2.2 Stabendmomente infolge von Knotenverdrehungen und -verschiebungen 90 4.2.3 Stabendmomente infolge äußerer Lasten (Festeinspannmomente) 96 4.2.4 Endgültige Stabendmomente 100

4.3 Aufstellen der Systemgleichungen 100

4.4 Rechengang beim DWV 101

4.5 Einführende Beispiele 102 4.5.1 Beispiel 1 102 4.5.2 Beispiel 2 103 4.5.3 Beispiel 3 104 4.5.4 Beispiel 4 105

4.6 Vorgegebene Auflagerverdrehung und -verschiebungen 107 4.6.1 Allgemeines 107 4.6.2 Vorgegebene Auflagerverschiebung im einführenden Beispiel 108

4.7 Temperaturlastfälle 110 4.7.1 Gleichmäßige Temperaturveränderung T 110 4.7.2 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T über den Querschnitt 110 4.7.3 Gleichmäßige Temperaturänderung T im einführenden Beispiel 111 4.7.4 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T im einführenden Beispiel 113

4.8 Weitere Beispiele 115 4.8.1 Beispiel mit Federn 115 4.8.2 Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119 4.8.3 Klausuraufgabe 1 124 4.8.4 Klausuraufgabe 2 125 4.8.5 Klausuraufgabe 3 128 4.8.6 Klausuraufgabe 4 129 4.8.7 Durchlaufträger 133

4.9 Vergleich KGV – WGV 136

5 GRUNDLAGEN MATRIZENRECHNUNG 137


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5.1 Motivation aus dem Kraftgrößenverfahren 137

5.2 Vektoren und Matrizen 137 5.2.1 Einführung 137 5.2.2 Rechenregeln für Matrizen 139 5.2.3 Übungsaufgaben 140

6 FINITE-ELEMENT-METHODEN (FEM) 141

6.1 Einführung 141 6.1.1 Geschichtliche Entwicklung 141 6.1.2 Grundsätzliche Zusammenhänge 144 6.1.3 Kontinuierliches Problem – Diskretes Problem 145 6.1.4 Grundlagen der Modellierung 146 6.1.5 Wichtige Begriffe 147 6.1.6 Die FEM als Näherungsverfahren (für Flächentragwerke) 148 6.1.7 Arten von Finiten Elementen 149

6.2 Fachwerkelement 151 6.2.1 Grundgleichungen 151 6.2.2 Modellbildung mit Feder 152 6.2.3 Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft 153 6.2.4 Transformationen 154 6.2.5 Die Elementsteifigkeitsmatrix 156 6.2.6 Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix 157 6.2.7 Lösung des Gleichungssystems 161 6.2.8 Rückrechnung 162

6.3 Ablauf einer FE-Berechnung 167

6.4 Weitere Beispiele 168 6.4.1 Beispiel 1 168 6.4.2 Beispiel 2 176

6.5 Balkenelement 184 6.5.1 Zusammenhang zwischen Verschiebungsgrößen und Kraftgrößen 184 6.5.2 Die Elementsteifigkeitsmatrix 185 6.5.3 Transformationen 186 6.5.4 Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten 188 6.5.5 Zusammenbau 188 6.5.6 Berücksichtigung von Elementlasten (Festeinspannmomente) 189 6.5.7 Beispiel: 2-Feld-Träger 189


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Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Einführendes Beispiel zur Theorie 2. Ordnung 11 Bild 1-2: Rahmen nach Theorie 2. Ordnung 12 Bild 1-3: Theorie kleiner und großer Verformungen 13 Bild 1-4: Nichtlineare Werkstoffgesetze 13 Bild 1-5: Die vier Eulerfälle 14 Bild 1-6: Knicklängenbeiwerte für Gelenkrahmen nach DIN 4114 15 Bild 1-7: Knicklängenbeiwerte für eingespannte Rahmen nach DIN 4114 16 Bild 1-8: Knicklängenbeiwert für elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen 17 Bild 1-9: Knicklängenbeiwert für einhüftige Rahmen 17 Bild 1-10: Knicklängenbeiwert für Zweigelenkrahmen mit angehängten Pendelstützen 18 Bild 1-11: Knicklängenbeiwert für eingespannte Rahmen mit angehängten Pendelstützen 18 Bild 1-12: Eulerhyperbel 19 Bild 1-13: Knickspannungskurven nach DIN EN 1993 (EC 3) 20 Bild 1-14: Einführendes Beispiel zur Th. 2. Ordnung – Eingespannte Stütze 22 Bild 1-15: Iterative Ermittlung der Zusatzverformungen mit dem Arbeitssatz 22 Bild 1-16: Schnittkraftdefinitionen bei Theorie 2. Ordnung 28 Bild 1-17: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) 29 Bild 1-18: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) 33 Bild 1-19: Rahmenbeispiel für Th. 2. Ordnung, [16] 35 Bild 1-20: Biegemomentenlinie nach Th. 1. O. 36 Bild 1-21: Momente und Verformungen nach Th. 1. Ordnung 37 Bild 1-22: Zusatzmomente für Theorie 2. Ordnung 38 Bild 1-23: Biegemomente und Verformung nach Th. 1. O. mit STAB2D 39 Bild 1-24: Biegemomente und Verformung nach Th. 2. O. mit STAB2D 39 Bild 1-25: Abtriebskraft 40 Bild 1-26: Verformungen nach Th. 2. O. mit STAB2D 40 Bild 1-27: Ergebnisse der Knickuntersuchung mit STAB2D 41 Bild 1-28: Rahmen mit EDV 42 Bild 1-29: Verzweigungsproblem - Spannungsproblem 43 Bild 2-1: Beispiel 1: Polplan und Verschiebungsfigur 46 Bild 2-2: Beispiel 2: Polplan und Verschiebungsfigur 47 Bild 2-3: Beispiel 2: Kinematik 48 Bild 2-4: Beispiel 3 49 Bild 2-5: Beispiel 4 49 Bild 2-6: Beispiel 5 50 Bild 2-7: Beispiel 6 50 Bild 2-8: Beispiel 7 51 Bild 2-9: Beispiel 8 51 Bild 2-10: Beispiel 9 52 Bild 2-11: Konstruktion des Mechanismus mit dem Polplan 53 Bild 3-1: Wanderlast 54 Bild 3-2: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment 55 Bild 3-3: Beispiele zum Prinzip der virtuellen Verrückungen 56 Bild 3-4: System und Lastbild für Einflusslinie 57 Bild 3-5: Kinematiken zu Einflusslinien an statisch bestimmten Systemen 57 Bild 3-6: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment 60 Bild 3-7: Einflusslinien für Auflagerkräfte und Biegemoment beim Zweifeldträger 61


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Bild 3-8: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 – 2 (Lastmodell LMM) 62 Bild 3-9: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 -2/NA für Fahrstreifen 1 63 Bild 3-10: Lastverteilung in Querrichtung bei Straßenbrücken (LMM) 63 Bild 3-11: Verkehrslasten auf Eisenbahnbrücken nach DIN-Fachbericht 101 65 Bild 3-12: Trägerrostmodell 65 Bild 3-13: Gelenkträger- System und Lastbild 66 Bild 3-14: Gelenkträger- Momentenlinie mit Stab2D 67 Bild 3-15: Gelenkträger 2 - System und Lastbild 71 Bild 3-16: Gelenkträger 3 - System und Lastbild 72 Bild 3-17: Einflusslinien Zweifeldträger mit STAB2D 73 Bild 3-18: Einflusslinien Dreifeldträger mit STAB2D 76 Bild 3-19: Einflusslinien Fünffeldträger mit STAB2D 79 Bild 3-20: Einflussfläche für ein Plattentragwerk 82 Bild 4-1: System-Dehnsteifigkeit 83 Bild 4-2: System-Biegesteifigkeit 83 Bild 4-3: Eingespannter Rahmen 84 Bild 4-4: Eingespannter Rahmen – qualitative Biegelinie und Momentenlinie 84 Bild 4-5: Skizze zum Drehwinkelverfahren 85 Bild 4-6: Beispiele zur geometrischen Unbestimmtheit 87 Bild 4-7: Vorzeichendefinition für Biegemomente beim DWV 88 Bild 4-8: Geometrische Größen beim DWV 88 Bild 4-9: Zum DWV 89 Bild 4-10: Einheitsverformungszustände am beidseitig eingespannten Stab und Stabendmomente

95 Bild 4-11: Vorzeichen der Festeinspannmomente bei Stützensenkung 97 Bild 4-12: Beispiel 1 zum DWV 102 Bild 4-13: Beispiel 1 zum DWV – Ergebnisse Stab2D 102 Bild 4-14: Beispiel 2 zum DWV 103 Bild 4-15: Beispiel 3 zum DWV 104 Bild 4-16: Beispiel 4 zum DWV 105 Bild 4-17: Ergebnisse zum einführenden Beispiel 106 Bild 4-18: Festeinspannmomente für Auflagerbewegungen 107 Bild 4-19: Rahmenbeispiel mit Knotenverformung 108 Bild 4-20: Ergebnisse zum Rahmen mit Knotenverformung 109 Bild 4-21: Temperaturlastfälle 110 Bild 4-22: Rahmenbeispiel mit Temperatur Ts 111 Bild 4-23: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperatur Ts 112 Bild 4-24: Rahmenbeispiel mit Temperaturgradient 113 Bild 4-25: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperaturgradient 114 Bild 4-26: Beispiel mit Federn 115 Bild 4-27: Federbeispiel - Kinematik 116 Bild 4-28: Kinematik und virtuelle Arbeit 117 Bild 4-29: Ergebnisse zum Beispiel mit Federn 118 Bild 4-30: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119 Bild 4-31: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten: Momentenlinie und Verformungen 123 Bild 4-32: Klausuraufgabe 1: System, Belastung, Momentenlinie 124 Bild 4-33: Klausuraufgabe 2: System und Belastung 125 Bild 4-34: Klausuraufgabe 2: Momentenlinie und Verformungen 127 Bild 4-35: Klausuraufgabe 3: System und Belastung 128


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Bild 4-36: Klausuraufgabe 4: System und Belastung 129 Bild 4-37: Klausuraufgabe 4: Momentenlinie und Verformungen 132 Bild 4-38: Durchlaufträger: System und Belastung 133 Bild 4-39: Durchlaufträger: Biegemomente und Verformungen 135 Bild 6-1: Die Finite-Element-Welt 146 Bild 6-2: Die Finite-Element-Methode als Näherungsverfahren 148 Bild 6-3: Finite Stab- und Flächenelemente 149 Bild 6-4: Finite Faltwerk-, Schalen- und 3D-Elemente 150 Bild 6-5: Verformungen am Fachwerkstab 153 Bild 6-6: Verformungen am schrägen Fachwerkstab - Transformation 154 Bild 6-7: Kräfte am Fachwerkstab - Transformation 155 Bild 6-8: Einführendes Beispiel 157 Bild 6-9: Schema der Gesamt-Steifigkeitsmatrix 158 Bild 6-10: Ergebnisse des einführenden Beispiels 165 Bild 6-11: Ablauf einer FE-Berechnung 167 Bild 6-12: Beispiel 1 168 Bild 6-13: Beispiel 2 176 Bild 6-14: Verformungen und Freiheitsgrade am Balkenelement 184 Bild 6-15: Freiheitsgrade am Balkenelement 184 Bild 6-16: Transformation der Verformungen am Balkenelement 186 Bild 6-17: Lokale und globale Verformungen am Balkenelement 186 Bild 6-18: Transformation der Kraftgrößen am Balkenelement 187 Bild 6-19: Lokale und globale Kraftgrößen am Balkenelement 187 Bild 6-20: Einführendes Beispiel zum Balkenelement 189 Bild 6-21: Aufbau des Lastvektors Element 1 190 Bild 6-22: Aufbau des Lastvektors Element 2 191


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1 Einführung in die Theorie 2. Ordnung für Stabwerke 1.1 Einführendes Beispiel Gesucht:

a) LF 1: fH(H) b) LF 2: fH(V)

c) Stabkennzahl (für LFK 1: LF 1 + 2) 𝜀𝜀 = �|𝑆𝑆|∙𝑙𝑙2

𝐸𝐸∙𝐼𝐼

H = 5 kN

V =50 kN

15 m

2 m

300 mm

d = 20 mm

120°

A A

Querschnitt im Schnitt A-A


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1.2 Mögliche Nichtlinearitäten

Mögliche Nicht-Linearitäten Gleichgewicht am verformten System Genaue Verschiebungsgeometrie (bei großen Verformungen) Nicht-lineare Verzerrungsverschiebungsbeziehungen (bei großen Verformungen,

Verdrehungen) Nicht-lineares Materialverhalten

1.2.1 Gleichgewicht am verformten System Beispiel: Brückenpfeiler Bild 1-1: Einführendes Beispiel zur Theorie 2. Ordnung

h

H

V

wo


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Beispiel: Hallenrahmen Bild 1-2: Rahmen nach Theorie 2. Ordnung Die Anwendung von Theorie 2. Ordnung, kann entfallen, wenn

∆M0 = N ⋅ w0 ≤ 0,1 M0 Im Stahlbau kann gem DIN EN 1993-1-1 ein Nachweis nach Theorie 2. Ordnung entfallen, wenn eine der nachfolgenden Bedingungen eingehalten ist.

• Crdd

crcr NN

FF 1,010 ≤⇔≥=α ; Ncr : Ideale Systemknicklast

≈=crN

• NAf dy ⋅⋅≤ ,3,0λ , bezogener Schlankheitsgrad des Systems

• LLcr

s =≤⋅ βεβ ;1 (Knicklängenbeiwert )

EIlS ss

s

2

±=ε (Stabkennzahl)

Die Knicklänge ist vorher zu schätzen (s. Eulerfälle, Überschlagsformeln Stahlbau).

A B

AH BH

h

wo


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1.2.2 Genaue Verschiebungsfigur Bei großen Verschiebungen und großen Rotationen: Bild 1-3: Theorie kleiner und großer Verformungen

1.2.3 Nichtlineare Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen Genaue Beziehungen linearisierte Beziehungen

bei kleinen Verformungen

( 1)1 22 −′+′+= wuε u′≈ε

′+′

=u

w1

arctanϕ wu

w ′≈′+

′≈

1ϕ

22)1()1(

wuwuuw

′+′+′⋅′′−′+⋅′′

=′ϕ wu

w ′′≈′+

′′≈′

21ϕ

1.2.4 Nicht-lineares Materialverhalten Bild 1-4: Nichtlineare Werkstoffgesetze Weitere Materialeigenschaften bei Kriech- und Relaxationsvorgängen (zeitabhängig; z.B. Beton, Salz) viskoelastisch viskoplastisch

Theorie kleiner Verformungen Tangente; sin ϕ ≈ tan ϕ ≈ ϕ

Theorie großer Verformungen Kreisbogen !

ε

σ

ε

σ

ε

σ

linear elastisch

nichtlinear elastisch

linear elastisch ideal plastisch

nichtlinear elastoplastisch

N = EA ε M = -EΙ ϕ′


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1.3 Kurze Wiederholung zum Biegeknicken

1.3.1 Die vier Euler´schen Knickfälle

Allgemein gilt: 2

2

crcr L

EIN ⋅=

π "Euler´sche Knicklast"

Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker 1707 - 1783

mit Lcr =β ⋅ L: Knicklänge (sk)

β: Knicklängenbeiwert

und NKi, Ncr : ideelle kritische Last

Eulerfall

Bild 1-5: Die vier Eulerfälle

Bei Rahmentragwerken wird β > 2 (s. folgenden Abschnitt und Bautabellen).

L

1 2 3 4

LLcr = LLcr ⋅≈ 7,0 LLcr ⋅= 5,0

2

2

4 LEINcr ⋅

⋅=

π2

2

LEINcr

⋅=

π2

22L

EINcr⋅⋅

≈π

2

24L

EINcr⋅⋅

=π

LLcr ⋅= 2

F

crL

crL

F

crL

WP

WP

F

crL

WP

2=β 1=β 6992,0=β 5,0=β

WP: Wendepunkt


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1.3.2 Ermittlung der Knicklängenbeiwerte mit Rahmenformeln Knicklängenbeiwerte mit Krüger Bd. 2, S. 41

Für alle Rahmen:

Zweigelenkrahmen

Dreigelenkrahmen

Bild 1-6: Knicklängenbeiwerte für Gelenkrahmen nach DIN 4114

( ) 202,04,14121 ccn ⋅+⋅+⋅+⋅=β

202,04,14 cc ⋅+⋅+=β

202,04,1496,01 ccn ⋅+⋅+⋅⋅+=β

10≤⋅⋅

=hIbIc

R

s

20 1 ≤=≤NNn

b

N N1

h

ΙR

ΙS 10 1 ≤=≤NNn

ΙR

ΙS

N

b/2

ΙR

ΙS

N

b/2

N1

h

h


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Für alle Rahmen:

Eingespannte Rahmen

Dreigelenkrahmen Bild 1-7: Knicklängenbeiwerte für eingespannte Rahmen nach DIN 4114

10≤⋅⋅

=hIbIc

R

s

20 1 ≤=≤NNn

b

N N1

h

ΙR

ΙS 10 1 ≤=≤NNn

ΙR

ΙS

N

b/2

ΙR

ΙS

N

b/2

N1

h

h

( ) 2017,035,01121 ccn ⋅−⋅+⋅+⋅=β

2017,035,01 cc ⋅−⋅+=β

2017,035,0186,01 ccn ⋅−⋅+⋅⋅+=β


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 17

Ermittlung der Knicklänge mit Holschemacher S. 2.53

𝜅𝜅 = 𝑙𝑙𝐹𝐹∙ ∑ 𝐹𝐹𝑖𝑖

𝑙𝑙𝑖𝑖 ; ohne Pendelstützen: κ=0

Elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen Bild 1-8: Knicklängenbeiwert für elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen Einhüftiger Rahmen Bild 1-9: Knicklängenbeiwert für einhüftige Rahmen

lcEIS

⋅⋅+

++

⋅=ϕ

κκπβ )1(12

45

lEIlEI

R

RS

⋅⋅⋅⋅+

++

⋅=3

)1(12

45 κκπβ

ℓR

F F1 Fi

Fn

cϕ

ℓ ℓi

ℓR

F F1

ℓ ℓ1

EΙR

EΙS

EΙS


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 18

Zweigelenkrahmen mit/ohne angehängten Pendelstützen Bild 1-10: Knicklängenbeiwert für Zweigelenkrahmen mit angehängten

Pendelstützen

Eingespannter Rahmen mit/ohne angehängten Pendelstützen Bild 1-11: Knicklängenbeiwert für eingespannte Rahmen mit angehängten

Pendelstützen

lEIlEI

m

R

RS

⋅⋅⋅⋅

=

++

+⋅

+⋅=

611

21

311

125

21

γ

κγγ

πβ

+⋅

=⋅⋅

⋅⋅=

++

+−+⋅⋅

++⋅=

γ

φγ

φφφγ

κπβ

112

1;611

961

311

21 22

lEIlEI

mm

R

RS

ℓR

F F1

ℓ ℓi

EΙR

EΙS

mF Fi

Fn

F F1

ℓ

EΙR

EΙS

mF Fi

Fn

ℓR

ℓi


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 19

1.3.3 Schlankheit λ und Eulersche Knickspannung

iLcr

min=λ

crL : Knicklänge

i: Trägheitsradius

AI

iAI

i yy

yy =→= 2

; AIi

AIi z

zz

z =→= 2

Maßgebend ist der minimale Trägheitsradius.

2

2

crcr L

EIN ⋅=

π

AI

LE

crcr ⋅

⋅= 2

2πσ mit 2

22

λcrL

AIi == folgt:

2

2

λπσ E

cr⋅

= "ideelle Eulersche Knickspannung" (Hyperbel)

Bild 1-12: Eulerhyperbel


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 20

Nachweis im Stahlbau

Den Abminderungsfaktor χ erhält man aus den Knickspannungslinien der DIN EN 1993. Sie sind aus Versuchen für unterschiedliche Profile unter Berücksichtigung von Imperfektionen ermittelt worden.

Bild 1-13: Knickspannungskurven nach DIN EN 1993 (EC 3)

Aus folgt mit Einsetzen der maximal zulässigen Spannung

die Bezugsschlankheit bei S 235: 9,93/5,23

/210002

2

=⋅=⋅=cmkN

cmkNfE

ya ππλ

Mit iLcr

k min=λ wird der bezogene Schlankheitsgrad

a

kk λ

λλ = berechnet.

Hiermit erhält man aus den Knickspannungslinien den Abminderungsfaktor χ.

Weiteres siehe

• Schneider Bautabellen, 22. Auflage, S. 8.24 ff

• Holschemacher, 7. Auflage, S. 5.12 ff

Mit2

2

2

22

2

2

2

2

2,

ka

k

a

cr

a

crcry

cr

dpl

iL

ILA

EILAf

NN

λλλ

λλπ==

⋅=

⋅⋅

=⋅

⋅⋅= ergibt sich:

AfNundN

NmitNN

ydplM

dplRdb

Rdb

d ⋅=⋅=≤ ,1

,,

,

1γ

χ

2

2

λπσ E

cr⋅

= kycr f ,max =σ

cr

dpl

a

kk N

N ,==λλλ

χ

�̅�𝜆

Eulerhyperbel

1,02

0,4

0,2

0,4 0,8

0,6

0,8

1,2 1,6 2,0 2,4 2,8

Kurve für Biegedrillknicken

a b

c

d


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 21

1.4 Möglichkeiten zur Ermittlung der Schnittgrößen nach Th. 2. O.

1. Arbeitssatz: dxEI

xMxMwl∫=

)(0

)()(

Verformung w0 Zusatzmoment ∆M0 Zusatzverformung ∆w0 . . .

2. Biegelinie für unbelasteten Stab

43

2

2

3

1

32

2

1

11

1

26)(

2)('

)('')()(

0)(

CxCxCxCxEIw

CxCxCxEIw

CxCxEIwxVCxwEI

xwEI

+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅=−==′′′

=′′′′

Biegelinie w0 (x) Zusatzmoment ∆M0 Zusatzbiegelinie ∆w0 . . .

Ergebnis aus 1 und 2: Überschlagsformel („Dischinger-Formel“)

0

0

00

1wwwNMM II

∆−

⋅+=

3. Aufstellen der DGL und exakte Lösung der DGL Gleichgewicht am verformten System unter Berücksichtigung des Zusatzmomentes infolge Normalkraft * Verformung Differenzialgleichung


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 22

1.4.1 Iterative Ermittlung des Zusatzmomentes mit dem Arbeitssatz Beispiel: Bild 1-14: Einführendes Beispiel zur Th. 2. Ordnung – Eingespannte Stütze 1. Schritt: Verformung w0 mit dem Arbeitssatz ausrechnen

2. Schritt: Verformung ∆w0 infolge Zusatzmoment ∆M0 (N⋅w0) mit dem Arbeitssatz Bild 1-15: Iterative Ermittlung der Zusatzverformungen mit dem Arbeitssatz

10 m

HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2

EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4

EΙ = 21945 kNm2

V = 200 KN

H = 15 KN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 23

3. Schritt: Verformung ∆w1(0) infolge ∆M1 = N ⋅ ∆w0(0) ∆M1 = -V ⋅ ∆w0(0) = - 200 KN ⋅ 0,0830 m = -

∆w1(0) ≈ 0,4 ⋅ 1EΙ ⋅ ℓ ⋅ [ -V ⋅ ∆w0(0)] [-1 ⋅ℓ] =

≈ 0,3645 ⋅ ∆w0(0) = 0,3645 ⋅ 0,0830 m =

4. Schritt: Verformung ∆w2(0) infolge ∆M2 = N ∆w1(0) ∆w2(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w1(0) = 0,3645 ⋅ m =



7. Schritt: Verformung ∆w5(0) infolge ∆M5 = N ∆w4(0) ∆w5(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w4(0) = 0,3645 ⋅ m = Addition:

w(0) = w0(0) + Fehler! Textmarke nicht definiert.Σ ∆wi(0) = 0,2278 m + = 0,3581 m MII = MI + S w(0)

= -15 kN ⋅ 10 m – 200 kN ⋅ 0,3581 m =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 24

1.4.2 Herleitung einer Überschlagsformel mithilfe der Biegelinie Ausgang: M(x) = -EI w0´´(x)

EIxMw )(

−=′′

ξξξ ⋅⋅−=⋅⋅−=°° lHMMlEI

w )();(1 2

ξ⋅⋅⋅⋅=°° lHlEI

w 21

)2

( 1

23

CEI

lHw +⋅⋅

=° ξ

)6

( 21

33

CCEI

lHw +⋅+⋅⋅

= ξξ

w°(1) = 0 ⇒ C1 = w(1) = 0 ⇒ C2 =

)31

26(

33

+−⋅⋅

=ξξ

EIlHw

Hebelarm: e0 (ξ) = w0(0) – w0(ξ) = )31

26(

3

333

+−⋅⋅

−⋅ ξξ

EIlH

EIlH

e0 (ξ) = )26

(33 ξξ

+−⋅⋅

EIlH

Zusatzmoment ∆M0(ξ) = -N ⋅ e0 (ξ)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 25

Berechnung von ∆w0 infolge ∆M0

∆w0°° = - 1EΙ ℓ

2 ∆M0 (ξ);

= )3(6

)( 322

ξξε−⋅⋅⋅−⋅− lH

EIl

∆w0(ξ) =

−+−⋅⋅−

54

45

2206

3523 ξξξεEIHl

∆e0 (ξ) = ∆w0(0) – ∆w0(ξ)

∆e0 (ξ) =

+−⋅⋅

45

2206

3523 ξξξεEIHl

Zusatzmoment ∆M1(ξ) = -N ⋅ ∆e0 (ξ)

= - N ⋅

+−⋅⋅

45

2206

3523 ξξξεEIHl

= - ( )ξξξεε 2510!5

352

2 +−⋅⋅Hl

=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 26

Berechnung der Zusatzmomente durch Auswertung der Biegelinien s.a Krüger, Stahlbau II

Das exakte Ergebnis lautet MII = 221,8969 kNm

36936,0

36931,0

36889,0

36355,0

30379,0

3

4

2

3

1

2

0

1

0

0

=∆∆

=∆∆

=∆∆

=∆∆

=∆

MMMMMMMM

MM

kNmMMM

kNmMkNmMkNmMkNmMkNmMkNmMkNmM

kNmMMMMM

kNmMMM

kNmMMM

kNmMMM

kNmMMM

kNmMMM

kNmmkNlHM

ii

IIges 8966,221

0003,00008,00021,00057,00156,00421,01140,0

3087,036936,0

8359,000557,01559251382

2631,201509,02835

62

1279,604085,0315

17

6119,1611075,03

2

5685,4530379,03

0000,1501015

11

10

12

11

10

9

8

7

6

443

45

00

8

4

00

6

3

00

4

2

00

4

1

00

3

0

0

−==∆+=

−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆

−=∆⋅=∆⋅∆∆

=∆

−=⋅=⋅⋅

=∆

−=⋅=⋅⋅

=∆

−=⋅=⋅⋅

=∆

−=⋅=⋅⋅

=∆

−=⋅=⋅=∆

−=⋅−=⋅−=

∑=

ε

ε

ε

ε

ε


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 27

Zusammenfassend ergibt sich:

....2

2

31

1

20

0

100 +∆

∆∆

+∆∆∆

+∆∆∆

+∆+= MMMM

MMM

MMMMM II

0

1

MM

∆∆ ≈

1

2

MM

∆∆

≈ 2

3

MM

∆∆

≈ 3

4

MM

∆∆

≈ ...

....2

0

11

0

10

0

100 +∆

∆∆

+∆∆∆

+∆∆∆

+∆+= MMMM

MMM

MMMMM II

...)1( 5432

00 ++++++⋅∆+= αααααMMM II

α−∆

+=1

00

MMM II;

0

1

00

1MM

MMM II

∆∆

−

∆+=

∆M0 = N ⋅ w0; ∆M1 = N ⋅ ∆w0

0

0

00

1wwwNMM II

∆−

⋅+= =

0

0

00

1ww

wNM∆

−+ =

IIwNM ⋅+0

0

0

0

1ww

wwII

∆−

=

Für unser Beispiel:

=⋅

=EI

lHw3

3

0 ;

mlwNlEI

w 0831,0)1()(4,0100 =⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=∆

=−

=∆

−=

2278,00831,01

2278,0

10

0

0

ww

wwII

=⋅+=⋅+= 3586,02001500

IIII wNMM


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 28

1.4.3 DGL für Elastizitätstheorie 2. Ordnung (exaktes Verfahren) Gleichgewicht am verformten System bei kleinen Verformungen

Bild 1-16: Schnittkraftdefinitionen bei Theorie 2. Ordnung

00:0

=′

=−+=∑S

SdSSFx

)(0)(:0

xqTdxxqTdTTFz

−=′

=⋅+−+=∑

TwSMdxTdwSdM

dxTdwSdxqMdMMM

=′⋅+′=⋅−⋅+

=⋅−⋅+⋅+−+=∑0

02

:02

02 =′′⋅+′′′′ ww ω

Lösung:

A,B,C,D mit Randbedingungen

charakteristische Gleichungen für unterschiedliche Eulerfälle

Eigenwerte, Eigenformen

Knicklasten, Knicklängen

M

S M+ dM T+dT

S+dS

T dw

q(x)

KnickenbeiqFSEIS

EIqw

EISw

xqwSwEIwEIM

xqwSMSxqwSwSM

TwSM

0;;;

)()(

)(0);(

)(

2 =−===′′⋅−′′′′

−=′′⋅+′′′′⋅−

′′⋅−=−=′′⋅+′′

=′−=′′⋅+′⋅′+′′′=′′⋅+′′

ω

dx

DxCxBxAxw +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ωωω )sin()cos()(


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 29

02 =′′⋅+′′′′ ww ω

1.4.4 Eingespannte Stütze mit Hilfe der DGL Bild 1-17: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) Lösung nach Theorie 1. Ordnung

)sin()cos()()cos()sin()(

)sin()cos()()cos()sin()(

)sin()cos()(

44

33

22

xBxAxwxBxAxw

xBxAxwCxBxAxw

DxCxBxAxw

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=′′′′

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=′′′

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=′′

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=′+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

ωωωω

ωωωω

ωωωω

ωωωωωωωω

10 m

HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2

EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4

EΙ = 21945 kNm2

V = 200 KN H = 15 KN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 30

Lösung nach Theorie 2. Ordnung

RB 1: w(0) = 0

RB 2: w´(0) = 0

RB 3: w´´(ℓ) = 0

RB 4:

Mit C = -B folgt

und

ADDADCBAw

−==++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

;00)0sin()0cos()0( ωωω

BCCBCBAw

−==+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=′

;0)0cos()0sin()0( ωωωωω

BlAlBlAlw

⋅⋅−==⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=′′

)tan(0)sin()cos()( 22

ωωωωω

DxCxBxAxw +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ωωω )sin()cos()(

[ ][ ] HCBAS

BAIEwSMHT

=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−

′⋅+′==

ωωωωωωωωω

)0cos()0sin()0cos()0sin(

)0()0()0(33

[ ][ ]

3

333

33

2

)0cos()0sin(

)0cos()0sin(

ω

ωωωωω

ωωωω

⋅⋅=+⋅

⋅=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

IEHCB

IEHCBA

BA

3ω⋅⋅=

IEHB

3)tan()tan(ω

ωω⋅⋅

⋅⋅−=⋅⋅−=IEHlBlA


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 31

Damit für dieses Beispiel

𝑤𝑤(𝑥𝑥) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥) +𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥)

−𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥 +𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)

𝑤𝑤(0) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 0) +𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 0)

−𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 0 +𝐻𝐻


𝑤𝑤(𝑙𝑙) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) +𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)

−𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙 +𝐻𝐻



27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 32

Lösung mit normierten Koordinaten

EIqlw

EISlw

EIqw

EIS

lw

l

ddww

ddw

lw

lx

42

24

11

;1;

=°°⋅−°°°°

=°°⋅−°°°°⋅

=°⋅=′⇒=ξξ

ξ

Bei Druck ist S < 0

EIqlq

hlStabkennzaEI

lSEIS

l

qwwEIqlw

EIS

lw

SS

4*

2

222

*2

42

;;

=

⋅==⋅=

=°°⋅+°°°°

=°°⋅+°°°°

εεε

ε

Homogene DGL

DCBAwww

H +⋅+⋅⋅+⋅⋅==°°⋅+°°°°

ξξεξεε

)sin()cos(02

Probe:

)sin()cos()cos()sin(

)sin()cos()cos()sin(

44

33

22

ξεεξεε

ξεεξεε

ξεεξεε

ξεεξεε

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=°°°°

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=°°°

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=°°

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=°

BAwBAwBAw

CBAw

Partikularlösung für konstante Querlast: wp = ± 2

2*

21

s

qεξ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 33

Beispiel mit normierter DGL

Bild 1-18: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL)

DCBAw +⋅+⋅⋅+⋅⋅= ξξεξε )sin()cos(

Lösung für Th. II. O auf Basis der DGL durch Einsetzen der RB:

10 m

HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2

EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4

EΙ = 21945 kNm2

V = 200 KN

H = 15 KN

Lösung nach Th.I.O.

ADDCBAwRB −=⇒=+⋅+⋅⋅+⋅⋅== 00)0sin()0cos(0)0(:1 εε

[ ]

[ ]

IElH

IESC

IESB

lB

IElHCBA

IES

BAl

IElH

lwS

lowEI

Hl

wSl

wEI

HwSMTRB

⋅⋅

=⋅

⋅+⋅⋅

⋅+⋅

⋅⋅

=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅

+

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

=°

⋅+°°°

⋅−

=°

⋅+°°°

⋅−

=′⋅+′=

εε

εεεε

εεεε

2

3

332

3

3

)0cos()0sin(

)0cos()0sin(1

)0()(

)0()0()0()0()0(:4

εεεεε ⋅−=⇒+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−==° BCCBAwRB )0cos()0sin(0)0(:2

εεεεε tan)1sin)1cos(0)1(:3 22 ⋅−=⇒⋅⋅⋅+⋅⋅==°° BABAwRB


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 34

Damit ergibt sich für dieses Beispiel:

)1tan()0()0()sin(cos

)0(−+⋅+⋅

⋅⋅⋅

−=ε

εξεξεε S

TlS

TlS

TlwII

−=== 1tan)1()1(max

εεξ

STlwwII

T(0) = ; S =

EIlS ss

ss

2

2 == εε =

=εtan

=ε

εtan

=IIwmax

)0(wSMM III ⋅+=

= -

−⋅⋅+⋅ 1tan)0(

εε

STlSlH

= -

−+⋅⋅ 1tan1

εεlH

=

⋅−

εεtanHl =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 35

1.5 Beispiel: Rahmentragwerk

1.5.1 System, Belastung, Schnittkräfte nach Th. I. Ordnung

Bild 1-19: Rahmenbeispiel für Th. 2. Ordnung, [16]

Stiel: ΙPE 400, ΙS = 23130 cm4

EΙS = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 23130 ⋅ 10-8 m4 = 48573 kNm2

Riegel: ΙPE 500, ΙR = 48200 cm4; 480,04820023130

==R

S

II

Auflagerkräfte

H = 18 kN

F = 200 kN

IPE 400

IPE 500 HEA 160

5,00 m

15,00 m

3,50 m

F = 200 kN q = 12 kN/m

H = 18 kN

F = 200 kN

5,00 m 3,50 m

F = 200 kN q = 12 kN/m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 36

Momentenlinie M0 Bild 1-20: Biegemomentenlinie nach Th. 1. O. Erfordernis von Theorie 2. Ordnung Kriterium 1

2

2

,, ?1,0k

dKidKi sEINNN ⋅

=>π

; Ideelle Knicklast

lsk ⋅= β mit Tabellenwerken, s.u. Oder: Kriterium 2:

β ⋅ εs > 1 ?; β = Lcr/ (Knicklängenbeiwert , mit Tabellenwerken, s.u.)

=±=EI

lS sss

2

ε

Mit Rahmenformel Holschemacher Mit Rahmenformel Krüger Kriterium 1

Kriterium 2

=⋅

=++⋅+=

=⋅⋅

=

==

βε

β 2

1

02,04,1496,01 ccn

hIbIc

NNn

R

S

=⋅

=

=⋅=

=

⋅⋅⋅⋅+

++

⋅=

=

2

2

,

3)1(

1245

kdKi

K

R

RS

sEIN

ls

hIlI

π

β

κκπβ

κ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 37

1.5.2 Ermittlung der Schnittkräfte nach Th. 2. Ordnung mit Hilfe des Arbeitssatzes

Momentenlinie M0 Berechnung von w0

Bild 1-21: Momente und Verformungen nach Th. 1. Ordnung

H = 1


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 38

Zusatzmomente ∆M0 infolge w0

Bild 1-22: Zusatzmomente für Theorie 2. Ordnung Berechnung von ∆w0


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 39

1.5.3 Zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse Theorie I. Ordnung Bild 1-23: Biegemomente und Verformung nach Th. 1. O. mit STAB2D Theorie 2. Ordnung Bild 1-24: Biegemomente und Verformung nach Th. 2. O. mit STAB2D


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 40

Abtriebskraft Bild 1-25: Abtriebskraft * Bild 1-26: Verformungen nach Th. 2. O. mit STAB2D

Unterschiede Theorie 1. Ordnung – Theorie 2. Ordnung Aspekt Th. I. Ordnung Th. II. Ordnung Eckverformung w0 = 0,121 m

(Arbeitssatz) ∆w0= 0,037 m (2. Mal Arbeitssatz)

174,0

121,0037,01

121,0

10

0

0 =−

=∆

−=

ww

wwII

Auflagerkräfte BH = 0 kN, A = 284 kN, B = 296 kN

BH = 15 kN (Abtriebskraft !!) A = 276 kN, B = 304 kN

Eckmoment Meck = AH·5 = 18·5 = 90 kNm

Meck = AH ·5

+ ∆AH ·5 (Abtriebskraft)

+ A ·wΙΙ (N*Hebelarm) = 213 kNm


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 41

Knickuntersuchung Bild 1-27: Ergebnisse der Knickuntersuchung mit STAB2D Ergebnis: Ncr = Lcr=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 42

1.5.4 Computerunterstützte Berechnung Bild 1-28: Rahmen mit EDV Programmsystem DTE von PCAE: Wesentliche Arbeitsschritte (2D-Rahmen) Programm DTE aufrufen Schreibtisch (Rechnername, z.B. Hiddesen) wählen Projekt wählen, ggfs. erzeugen (z.B. KGrossmann) Projekt wählen, ggfs. erzeugen (z.B. Statik-Übung) Bauteil wählen, ggfs. erzeugen (z.B. Stahlrahmen)

o Problemklasse zuordnen (Platte oder Scheibe oder 2D-Rahmen ...) Systemdefinition

o Rechenmodus (Material, lineare und/oder nichtlineare Berechnung) o Punkte, Linien erzeugen o Ggfs. Punkttabelle anpassen (genaue Koordinateneingabe) o Lagerungsbedingungen o Gelenksituation an den Stäben o den Stäben Querschnitte zuordnen o Lastfälle definieren

LF1: Gleichlast LF2: Einzellasten

o Einwirkungen definieren o Extremierung / Lastkollektive definieren

Berechnung Visualisierung und drucken

(0 / 5)

(0 / 0) (15 / 0)

(15 / 3,50)

1

2 3

4

X

Z H = 18 kN

F = 200 kN

IPE 400

IPE 500 HEA 160

5,00 m

15,00 m

3,50 m

F = 200 kN q = 12 kN/m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 43

1.6 Zusammenfassung

DGL / Arbeitsintegral Lösung Th. 1. O. )()( xqxwEI =′′′′

dxEI

xMxMwl∫=

)(0

)()(

43

2

2

3

1

4

2624)( CxCxCxCxqxEIw +⋅+⋅+⋅+⋅=

(Polynom !)

z.B.: EIlqw

EIlFw

⋅⋅⋅

=⋅⋅

=3845max;

3

43

0

Th. 2.0

02 =°°⋅+°°°°

=′′⋅−′′′′

wwEIqw

EISw

ε

dxEI

xMxMwl

ii ∫

∆=∆

)(

)()(

21)cos()sin( CCBAwH +⋅+⋅⋅+⋅⋅= ξξεξε

0

0

0

1ww

wwII

∆−

=

(„Dischinger-Formel“)

Stabilität Kein q vorh. !

02 =+′′ ww λ

EIN

=2λ

Eigenwertproblem

xBxAw λλ sincos ⋅+⋅= Lösung: Eigenform ( z.B. Sinushalbwelle)

Eigenwert: 2

22,2

ln

EN idK

nπλ ⋅

=Ι

=

2

2

, lEIN idk

π⋅=

Bild 1-29: Verzweigungsproblem - Spannungsproblem

F

Spannungsproblem

W

Verzweigungspunkt

Stabilitätsproblem

Fcr


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 44

2 Verschieblichkeitsuntersuchungen mit Hilfe des Polplans

2.1 Regeln für die Polplanerstellung

1. Jedes Tragwerksteil i dreht sich um seinen Hauptpol (i). 2. Feste (zweiwertige) Lager sind Hauptpole.

3. Der Hauptpol eines durch ein bewegliches (einwertiges) Lager gestützten Tragwerkteils liegt auf der im Lagerpunkt errichteten Senkrechten zur möglichen Bewegungsrichtung.

4. Der Hauptpol eines Tragwerksteils, das nur Translationsbewegungen erfährt, liegt im Unendlichen.

5. Der Nebenpol (ij) liegt stets auf der Verbindungslinie der beiden Hauptpole (i) und (j). Fallen zwei dieser Pole zusammen, dann liegt der dritte am selben Ort.

6. Zwei Tragwerksteile i und j drehen sich gegeneinander in ihrem Nebenpol (ij).

Liegt dieser Nebenpol im Unendlichen, so bewegen sich beide Tragwerksteile parallel mit dem gleichen Drehwinkel.

(1)

(1,2) (2)

∞

(1)

(1)

(1) ∞

(1)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 45

7. Das Verbindungsgelenk zweier Tragwerksteile ist deren gemeinsamer Nebenpol. 8. Nebenpole bei V- und N-Mechanismen liegen im Unendlichen senkrecht zur

möglichen Bewegungsrichtung. 9. Die drei Nebenpole (ij), (jk) und (ik) liegen stets auf einer Geraden. Fallen zwei

dieser Nebenpole zusammen, dann liegt der dritte am selben Ort. 10. Tritt im Polplan bei einem Tragwerksteil ein Widerspruch auf, dann ist dieses

Tragwerksteil entweder fest oder Teil eines in sich unverschieblichen Tragwerkverbandes, der als ein Tragwerksteil betrachtet werden kann.

Regeln aus [18] Meskouris/ Hake: Statik der Stabtragwerke

2.2 Kinematik

2.2.1 Allgemeines Der Polplan ist ein Hilfsmittel für Verschieblichkeitsuntersuchungen (z.B. Ausnahmefall der Statik), bei der Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen (PdvV)

o zur alternativen Bestimmung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen, o im Rahmen des Drehwinkelverfahrens, o für die Ermittlung von Einflusslinien.

Bei der Anwendung des PdvV ist zu beachten: Die Verschiebungen sind gedacht und sehr klein. Zur Ermittlung von Zustandsgrößen mithilfe des PdvV ist die Ermittlung der geometrischen Zusammenhänge (Kinematik) bei der Verschiebung erforderlich.

2.2.2 Beispiele zur Ermittlung kinematischer Größen Für die im Folgenden dargestellten verschieblichen Systeme sind

a) der Polplan zu zeichnen (Regeln in Kap 1.1 beachten !), b) die Verschiebungsfiguren zu zeichnen

(Jeder Punkt bewegt sich senkrecht zu seinem eigenen Polstrahl. Ein Polstrahl ist die Verbindungslinie vom betrachteten Punkt zum zugehörigen Pol.)

c) sowie die kinematischen Zusammenhänge zu ermitteln (Abhängigkeit der Stabdrehwinkel untereinander sowie ausgewählter Verschiebungsgrößen).

(GK/AK = Winkel ψ = Differenzwinkel zwischen Ursprungspolstrahl und „ausgelenktem Polstrahl“ für jeden betrachteten Punkt.

I.d.R. ist ψ1 gegeben. Gesucht sind dann beispielsweise:

ψ2 (ψ1) ; ∆g(ψ1);


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 46

Beispiel 1 a) Polplan

b) Verschiebungsfigur

Bild 2-1: Beispiel 1: Polplan und Verschiebungsfigur

4

4

2


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 47

Beispiel 2 (Video) a) Polplan b) Verschiebungsfigur

Bild 2-2: Beispiel 2: Polplan und Verschiebungsfigur

2

4

3

6


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 48

c) Kinematik Bild 2-3: Beispiel 2: Kinematik


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 49

Beispiel 3 Bild 2-4: Beispiel 3 Beispiel 4

Bild 2-5: Beispiel 4

5

4

3 3 3

6

4

5


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 50

Beispiel 5

Bild 2-6: Beispiel 5 Beispiel 6 Bild 2-7: Beispiel 6

x‘ x ℓ

Geg.: ℓ, x, x´; ψ1 + ψ2 = 1 Ges.: ∆g (ℓ, x, x‘)

6 26

26


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 51

Beispiel 7

Bild 2-8: Beispiel 7 Beispiel 8 Bild 2-9: Beispiel 8

1

3 2 5 4

2

6

4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 52

Beispiel 9 Bild 2-10: Beispiel 9 Gesucht:

a) Polplan

b) Verschiebungsfigur

c) Nachvollziehbare Ermittlung mit Zahlen und Einheiten von

ψ1, ψ2, ∆s1v, ∆s1h, ∆s1, ∆s2v, ∆s2h, ∆s2, ∆s3v, ∆s3h, ∆s3, ∆s4v, ∆s4h, ∆s4

infolge ∆sA = 2 cm

m 2

4m

m 3

m 3

1 2

3

4

∆sA = 2 cm

m 3


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 53

2.3 Zusammenfassung

• Statisch unterbestimmte Systeme sind verschieblich. • Die Verschiebungsfigur nennt man Mechanismus oder

kinematische Kette. • Die formelmäßige Beschreibung des Mechanismus nennt man

Kinematik. • Bei der Verschiebung hat jedes Tragwerksteil einen festen

Drehpunkt (Pol). • Regeln zur Polplanerstellung: s. Abschn. 1.1. • Bei der Beschreibung des Mechanismus wird sich auf sehr kleine

Verschiebungen bezogen, die dann vergrößert dargestellt werden. • Tangente, nicht Kreisbogen!

• Es ergibt sich: Winkel = Gegenkathete zu Ankathete • Die Verbindung von einem Punkt zum zugehörigen Pol nennt man

Polstrahl. • Ein Punkt eines verschieblichen Tragwerksteils bewegt sich immer

senkrecht zum zugehörigen Polstrahl. • Zur Berechnung von Horizontal- oder Vertikalanteilen von schrägen

Verschiebungen „Projizierte Polpläne“ Bild 2-11: Konstruktion des Mechanismus mit dem Polplan


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 54

3 Einflusslinien 3.1 Allgemeines

Zur Ermittlung der Einflusslinie für eine Auflagerkraft / Schnittgröße oder für eine Verformung

an einer ausgewählten Stelle m lässt man eine Last F = 1 kN über das Tragwerk wandern

und trägt die sich ergebenden Werte der gesuchten statischen Größe unter der jeweiligen Laststellung xL als Ordinate auf.

Bild 3-1: Wanderlast

Die Einflussordinate ηSm (xL) gibt die statische Größe Sm

an der Stelle m im Tragwerk infolge der äußeren Einheitsbelastung an der Stelle xL an.

Die statische Größe Sm infolge wirklicher Einzellasten und / oder Streckenlasten in gewählten Laststellungen xL ergibt sich zu

∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη .

Die Maßeinheit der Einflussordinate wird sowohl durch die Art der statischen

Größe Sm als auch durch die Art der Lastgröße bestimmt.

F = 1 kN

m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 55

3.2 Statisch bestimmte Stabwerke

3.2.1 Gleichgewichtsmethode Beispiel: Balken auf 2 Stützen

Gesucht: Einflusslinien für die Auflagerkräfte A und B : ηA und ηB

sowie die Einflusslinien für das Biegemoment und die Querkraft bei x1 : ηM1 und ηV1

Bild 3-2: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment Anschauliches Excel-Programm von Prof. Dr.-Ing. Jens Göttsche, FH Buxtehude: http://extra.hs21.de/seiten/goettsche/index.htm

F = 1 kN xL

x1 x´1 = -x1

lx

A −= 1ηlx

B =η

F = 1 kN xL

F = 1 kN xL

x1 x´1 = -x1

F = 1 kN xL

http://extra.hs21.de/seiten/goettsche/index.htm


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 56

3.2.2 Kinematische Methode basierend auf dem PdvV Das Prinzip der virtuellen Verrückungen

Zur Bestimmung einer Auflagergröße oder Schnittgröße wird an der entsprechenden Stelle die gesuchte Größe durch Entfernen der Auflagerbindung oder Einführung eines Gelenkes gelöst. Danach wird durch Aufbringen einer virtuellen Verrückung (sehr klein, gedacht ) eine Verschiebungsfigur erzeugt. Mit Hilfe der kinematischen Zusammenhänge lassen sich aus der Formulierung des Arbeitssatzes

**WA =

die gesuchten Schnittgrößen oder Auflagerkräfte ermitteln. Beispiele Bild 3-3: Beispiele zum Prinzip der virtuellen Verrückungen Ohne weitere Herleitung: Erzeugt man eine Verschiebungsfigur (Biegelinie) durch Aufbringen der Verformung (Verschiebung oder Verdrehung) von der Größe 1 entgegen gesetzt zur gesuchten statischen Größe, so stellt die Verschiebungsfigur (Biegelinie) die Einflusslinie dar.

Bei statisch bestimmten Systemen verlaufen die Einflusslinien geradlinig.

Bei statisch unbestimmten Systemen verlaufen die Einflusslinien gekrümmt.


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 57

Beispiel zur Ermittlung von Einflusslinien mithilfe der kinematischen Methode Bild 3-4: System und Lastbild für Einflusslinie Gegeben: System und Lastenzug gem. Zeichnung

Gesucht: 1) ηA, ηB , ηM1 und ηV1 2) Auswertung der ELn für Laststellungen, die extremale Schnittgrößen hervorrufen

Kinematik für ηV1 Kinematik für ηM1 Bild 3-5: Kinematiken zu Einflusslinien an statisch bestimmten Systemen

2,4 3,6 3,0

3*100 kN

1,5 1,5


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 58

Auswertung: ∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη

max A min A max A = min A = max B min B max B = min B = max M1 min M1 max M1 = min M1 = max V1 min V1 max V1 = min V1 =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 59

3.2.3 Vorgehen und Merkregeln Die Ermittlung von Einflusslinien für Kraftgrößen erfolgt an statisch bestimmten Systemen in vier Schritten:

1. Man erzeugt die zugehörige zwangläufige kinematische Kette, indem man die gesuchte statische Größe - die Lagerreaktion oder Schnittgröße - freisetzt.

2. Im Polplan werden die Haupt- und Nebenpole aller Scheiben ermittelt. 3. Die Verschiebungsfigur der kinematischen Kette entsteht infolge der Verschie-

bungsgröße 1, die entgegen der Richtung der gesuchten statischen Größe angesetzt wird.

4. Je nach Art der Lastgröße sind als Einflusslinie die vertikalen - oder die horizontalen - Verschiebungen oder die Neigungen derjenigen Scheiben auf-zutragen, über die die Last wandert.

Diese Einflusslinien haben folgende Eigenschaften: 1. Geradliniger Verlauf im Bereich eines Tragwerkteiles. 2. Nullstellen unter den Hauptpolen von Tragwerksteilen. 3. Knicke unter den Nebenpolen benachbarter Tragwerksteile. 4. Sprünge in Richtung der Verschiebungsmöglichkeiten bei Querkraft- und

Normalkraftgelenken. Für die Darstellung einer Einflusslinie gelten dieselben Regeln wie für Darstellungen von Zustandslinien:

1. Positive Einflussordinaten werden in positiver z-Richtung aufgetragen. 2. Die Funktionen werden aus Gründen der Übersichtlichkeit schraffiert und mit

Vorzeichen versehen. 3. Es genügt die Angabe einer Ordinate oder eines charakteristischen Winkels, da

sich alle übrigen Ordinaten nach dem Strahlensatz berechnen lassen. 4. Die Angabe der Maßeinheit der Einflussordinaten ist der nachfolgenden Tabelle zu

entnehmen. Tabelle 3-1: Dimensionen für Einflusslinien )(xSmη

Einflusslinien für Belastung Schnittgrößen Auflagerkräfte N V M A ME

FV = 1 - - L - L FH = 1 - - L - L M = 1 1/L 1/L - 1/L -


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 60

3.2.4 Zusammenfassung Aus Gleichgewicht Kinematische Methode Bild 3-6: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment

1

1

1

F = 1 kN x

lx

A −= 1η

1

lx

B =η

lxx

M11

1′⋅

=η

x1

x1


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 61

3.3 Einflusslinien bei statisch unbestimmten Stabtragwerken

Satz von Land Die Einflusslinie für eine Kraftgröße

entspricht der Biegelinie am (n-1)-fachen statisch unbestimmten System, wenn entgegen der Kraftgröße

die zugehörige Verschiebungsgröße 1 erzeugt wird.

EL für A: ηA EL für M1 : ηM1 Bild 3-7: Einflusslinien für Auflagerkräfte und Biegemoment beim Zweifeldträger Positive Schnittgröße an der Stelle m Zugehörige entgegen gestezte Einheitsverschiebung

1

Vm

Nm

Mm

wr=-1

ur=-1

ϕ r=-1

MTm

ϑr=-1

1


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 62

3.4 Lastannahmen für Straßenbrücken und Eisenbahnüberführungen

3.4.1 Verkehrslasten auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2NA/2012-08 Bild 3-8: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 – 2 (Lastmodell LMM) Tabelle 3-2: Belastung auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2/NA2012-08

Stellung

Doppelachse Gleichmäßig verteilte Last

Grundwert Angepasster Grundwert

Grundwert Angepasster Grundwert

Achslast Qik in kN

αQi Achslast

αQi ∙Qik in kN

qik (oder qrk) in kN/m2

αqi αQi ∙qik in kN/m

Fahrstreifen 1 300 1,0 300 9,0 1,33 12

Fahrstreifen 2 200 1,0 200 2,5 2,4 6

Fahrstreifen 3 100 1,0 100 2,5 1,2 3

Andere Fahrstreifen

0 - 0 2,5 1,2 3

Restfläche 0 - 0 2,5 1,2 3 Charakteristischer Wert der Achslast:

mit Qik :charakteristischer Wert (Grundwert) der Achslast im Fahrstreifen i und αQi: Abminderungsfaktor

1,20

2 3 Doppelachse

Die Fahrstreifen 1 bis 3 sind unmittelbar nebeneinander ohne Restfläche zwischen diesen Fahrstreifen anzuordnen. Die Doppelachsen in diesen Fahrstreifen sind in Querrichtung als nebeneinander stehend anzusehen.

ikQik QQ ⋅= α

Fahrstreifen 1

Fahrstreifen 2

Fahrstreifen 3

Restfläche

3 m

3 m

3 m

12 kN/m2

6 kN/m2

3 kN/m2

3 kN/m2

3 kN/m2


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 63

Für den Fahrstreifen 1 ergibt sich folgendes Lastbild bezogen auf einen gedachten Balken von 3 m Breite:

Bild 3-9: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 -2/NA für Fahrstreifen 1 Betrachtung der Querrichtung

Bild 3-10: Lastverteilung in Querrichtung bei Straßenbrücken (LMM)

150 kN

p =12 kN/m2

150 kN

100 kN 100 kN

p = 3 kN/m2

Überbau

2 m 2 m

1,20

300 kN 300 kN

p = 36 kN/m

p =6 kN/m2

50 kN 50 kN

2 m

Geländer

Belag Kappen

p = 3 kN/m2


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 64

3.4.2 Entwicklung der Lastannahmen für Straßenbrücken

DIN 1072 (1985)

BKL 60/30

DIN Fachbericht 101 (2003/2009)

Lastmodell 1 (LM1)

DIN EN 1991-2/NA2012-10

Modifiziertes Lastmodell

(LMM)

SLW 60: 3 Achsen á ϕ⋅200 kN

SLW 30: 3 Achsen à 100 kN

Hauptfahrstreifen: ϕ⋅5 kN/m2

Nebenfahrstreifen: 3 kN/m2

Restfläche: 3 kN/m2

SLW: Schwerlastwagen

ϕ: Schwingbeiwert

TS 1: 2 Achsen á 240 kN


Fahrstreifen 1: 9 kN/m2

Fahrstreifen 2: 2,5 kN/m2

Restfläche: 2,5 kN/m2

TS: Tandemsystem







Restfläche: 3 kN/m2

TS: Tandemsystem

p =12 kN/m2

150 kN 100 kN 100 kN

p = 3 kN/m2

2 m

p =6 kN/m2

50 kN 50 kN

2 m

p = 3 kN/m2

150 kN

2 m

p =9 kN/m2

120 kN

80 kN 80 kN

p = 2,5 kN/m2

2 m 2 m

p = 2,5 kN/m2

120 kN

2 m

Fahr

stre

ifen

1

Fahr

stre

ifen

2

Fahr

stre

ifen

3 1,2 m

3 m 3 m 3 m

Hau

ptfa

hrst

reife

n 1

Neb

enfa

hrst

reife

n 2

3 m 3 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

Fahr

stre

ifen

1

Fahr

stre

ifen

2

Fahr

stre

ifen

3

1,2 m

3 m 3 m 3 m

p =ϕ⋅5 kN/m2

ϕ100 kN 50 kN 50 kN

p = 3 kN/m2

2 m

p =3 kN/m2

2 m

ϕ100 kN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 65

3.4.3 Lastbild UIC 71 für Eisenbahnbrücken (Union international chemin de fer, internationaler Eisenbahnverband)

Bild 3-11: Verkehrslasten auf Eisenbahnbrücken nach DIN-Fachbericht 101

Computerunterstützte Berechnung mit Trägerrostprogramm

Bild 3-12: Trägerrostmodell

Hauptträger (HT) Querträger (QT) Endquerträger (EQT)

1,60

250 kN 250 kN 250 kN 250 kN

80 kN/m 80 kN/m

1,60 1,60 0,80

6,40

Radsatzlasten

0,80 Beliebige

Länge

Streckenlast

Beliebige Länge

Streckenlast


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 66

3.5 Beispielaufgaben

3.5.1 Gelenkträger Bild 3-13: Gelenkträger- System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung

Gesucht: ηM1, ηV1, ηA , ηB , ηc , ηMB , ηMC Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen

a) Einflusslinie für das Biegemoment M1 (ηM1 )

Polplan Einflusslinie

1,5 1,5 1,5 1,5

4 4 2 6 3

3*200 kN p = 15 kN/m

1

p = 15 kN/m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 67

Verkehrslaststellung für maximales Moment

Auswertung ( ∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη )

max M1 = Berechnung von max M1 mit Stab2D Bild 3-14: Gelenkträger- Momentenlinie mit Stab2D


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 68

Verkehrslaststellung für minimales Moment minM1 =

b) Einflusslinie für die Querkraft V1 (ηV1 ) Polplan Einflusslinie Verkehrslaststellung für maximale Querkraft max V1 = Verkehrslaststellung für minimale Querkraft min V1 =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 69

c) Einflusslinie für die Auflagerkraft A ( ηA ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft A max A = Verkehrslaststellung für minimale Auflagerkraft A min A =

d) Einflusslinie für die Auflagerkraft B ( ηB ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft B max B=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 70

Verkehrslaststellung für minimale Auflagerkraft B min B =

e) Einflusslinie für die Auflagerkraft C ( ηC ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft max C=

f) Einflusslinie für das Stützmoment MB (ηMB ) Polplan Einflusslinie Verkehrslaststellung für minimales Stützmoment min MB min MB =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 71

3.5.2 Gelenkträger 2 zum Selberrechnen Bild 3-15: Gelenkträger 2 - System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung

Gesucht: ηA , ηB , ηc , ηD, ηMB , ηMC, ηM1, ηV1, ηM2, ηV2, ηM3, ηV3 Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen

1,5 1,5 1,5 1,5

6 2

1

3

3*200 kN p = 15 kN/m p = 15 kN/m

2 3 1

2 2

1,5

4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 72

3.5.3 Gelenkträger 3 zum Selberrechnen Bild 3-16: Gelenkträger 3 - System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung

Gesucht: ηA , ηB , ηc , ηD, ηMB , ηMC, ηM1, ηV1 Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen

1,2 m

7 2

3

2*300 kN

q = 36 kN/m

1

5 3 4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 73

3.5.4 Ermittlung der Einflusslinien mit Hilfe STAB2D

ηA

ηM1

ηMB Bild 3-17: Einflusslinien Zweifeldträger mit STAB2D


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 74

3.5.5 Dreifeldträger Für den dargestellten Dreifeldträger sind folgende Einflusslinien gesucht:

ELn für die Auflagerkräfte A und B,

ELn für die Feldmomente M1 und M2 jeweils in Feldmitte

sowie die ELn für die Stützmomente MB und Mc

Es sind zunächst die qualitativen Verläufe der ELn sowie die zugehörigen Laststellungen mit dem vereinfachten Lastbild aus der DIN 1072 gesucht.

Die genauen Ordinaten sind computerunterstützt zu ermitteln.

Auf der Basis der ermittelten Ordinaten sind mit dem vereinfachten Lastbild die Extremwerte der gesuchten Auflagerkräfte zu ermitteln.

ηA

ηB

EI = const

6 8 5

1,5

1,5

1,5

200 kN p = 15 KN/m

1,5

p = 15 kN/m

200 KN 200 KN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 75

ηM1

ηM2

ηMB

ηMc


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 76

Computerunterstützte Ermittlung der Einflusslinien ηA

ηM1

ηMb Bild 3-18: Einflusslinien Dreifeldträger mit STAB2D


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 77

3.5.6 Fünffeldträger Für den dargestellten Fünffeldträger sind folgende Einflusslinien gesucht:

ELn für die Auflagerkräfte B und C,

ELn für die Feldmomente M2 und M3 jeweils in Feldmitte

sowie die ELn für die Stützmomente MB und Mc

Es sind zunächst die qualitativen Verläufe der ELn sowie die zugehörigen Laststellungen mit dem vereinfachten Lastbild aus der DIN 1072 gesucht.

Die genauen Ordinaten sind computerunterstützt zu ermitteln.

Auf der Basis der ermittelten Ordinaten sind mit dem vereinfachten Lastbild die Extremwerte der gesuchten Auflagerkräfte zu ermitteln.

ηB

ηC

p = ϕ 15 KN/m p = ϕ 15 kN/m

EI = const

25 25 20 15 15

3 * ϕ 200 KN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 78

ηM2

ηM3

ηMB

ηMC


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 79

Computerunterstützte Ermittlung der Einflusslininen ηB

ηC

ηM2

ηMC Bild 3-19: Einflusslinien Fünffeldträger mit STAB2D


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 80

3.6 Zusammenfassung Einflusslinien

ηSm (xL)

1) Methoden zur Ermittlung von Einflusslinien

a) Gleichgewichtsmethode

• „Messuhr“ und Tabelle

• Excel-Programm von Prof. Dr. Göttsche, Hochschule Buxtehude

b) Kinematische Methode nach dem PdvV

Verformungsgröße „1“ entgegengesetzt zur betrachteten Kraftgröße aufbringen.

• Auflagerkräfte: Stützensenkung „1“ am betrachteten Auflager

• Querkräfte: Sprung von „1“ am eingefügten Querkraftgelenk

• Biegemomente: Knick von “1“ am eingefügten Momentengelenk


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 81

2) Zweck von Einflusslinien

Einfaches Erkennen von maßgebenden Verkehrslaststellungen zum Erhalt extremaler (maximaler oder minimaler) Werte von vorgegebenen Kraftgrößen an einer vorgegebenen Stelle („Messuhr“-Stelle).

3) Auswertung von Einflusslinien

Rasche Ermittlung der vorgegebenen extremalen Kraftgröße an der vorgegebenen Stelle für die maßgebende Verkehrslaststellung.

Alternativ kann für die gefundene maßgebende Verkehrslaststellung eine Schnittkraftermittlung durchgeführt werden.

∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 82

3.7 Einflussflächen bei Plattentragwerken

Literatur [10], [21]

[10] Homberg, H.; Ropers, W.: Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke, Band 1 und 2, Springer-Verlag 1965 und 1968.

XDO 106

[21] Pucher, A.: Einflussfelder elastischer Platten. 5. Auflage 1977. Springer-Verlag.

XCF 263

http://public.beuth-hochschule.de/~herrmann/fem_baukasten/ueberblick/bilder/platte_einflusslinie.gif

Bild 3-20: Einflussfläche für ein Plattentragwerk

http://public.beuth-hochschule.de/%7Eherrmann/fem_baukasten/ueberblick/bilder/platte_einflusslinie.gif


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 83

4 Drehwinkelverfahren 4.1 Einführung

4.1.1 Steifigkeit – Systemsteifigkeit Querschnitts-Dehnsteifigkeit: EA

System-Dehnsteifigkeit: cF

Stütze

Bild 4-1: System-Dehnsteifigkeit

Querschnitts-Biegesteifigkeit: EI

System-Biegesteifigkeit: cM

Wirkliches System Ersatzsystem

Bild 4-2: System-Biegesteifigkeit

cF=?

F

∆

F

∆

ϕ ϕ

cM=?


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 84

4.1.2 Einführendes Beispiel

Bild 4-3: Eingespannter Rahmen

Gesucht sind:

a) Grad der statischen Unbestimmtheit

b) Qualitative Biegelinie

c) Qualitative Biegemomentenlinie

d) Anzahl der geometrischen Systemfreiheitsgrade

Bild 4-4: Eingespannter Rahmen – qualitative Biegelinie und Momentenlinie

EA = ∞

F


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 85

4.1.3 Idee und grundlegende Annahmen für das DWV Idee Schaffen eines geometrisch bestimmten Hauptsystems, das durch zusätzliche

Bindungen starr gemacht wird. Gleichungen für Stabendmomente infolge der gesuchten wirklichen

Verformungen aufstellen und Volleinspannmomente infolge der Belastungen am geometrisch bestimmten Hauptsystem berechnen.

Knotengleichgewicht und weitere Gleichgewichtsbedingungen liefern Gleichungssystem für unbekannte Stabendverformungen.

Einsetzen der Stabendverformungen in Gleichungen für Stabendmomente zusammen mit Festeinspannmomenten liefern Schnittgrößenverlauf.

Bild 4-5: Skizze zum Drehwinkelverfahren Entwicklung von Weggrößenverfahren durch F. Engesser (1848 – 1931) O. Mohr (1835 – 1918) L. Mann (1871 – 1959) A.S. Ostenfeld (1866 – 1931)

Annahmen für das Drehwinkelverfahren nach Mann Vernachlässigung von Schubverformungen

Vernachlässigung der Normalkraftverformungen ⇒ Stab ist dehnstarr Temperatur, Schwinden und Kriechen werden berücksichtigt

ψS

ϕ2

ϕ3

1

3 2

4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 86

4.1.4 Statische und geometrische Unbestimmtheit Abzählkriterium zur Ermittlung der statischen Unbestimmtheit n = a + z – 3 p

a: Summe aller Auflagerreaktionen

z: Summe aller Zwischenreaktionen

p: Anzahl der Systemteile

Abzählkriterium zur Ermittlung der geometrischen Unbestimmtheit m = m1 + m2

m1 = Anzahl (innerer) Knotendrehwinkel (keine Endauflager)

m2 = Anzahl unabhängiger Stabdrehwinkel

Vorgehen zur Ermittlung der Stabdrehwinkel und der Kinematik (s.a. Kap. 1) 1. An jedem Knoten ein Gelenk einführen 2. Falls das System verschieblich ist, die Verschiebungsfigur zeichnen. Polplan zur

Hilfe nehmen! 3. Stabdrehwinkel an jedem Stab bezeichnen. 4. Kinematische Zusammenhänge zwischen den Stabdrehwinkeln herstellen.

Gemeinsame Verschiebung im Gelenk (Nebenpol) verwenden. 5. Abhängigkeiten (Kinematik) ermitteln.

Beispiele zur Ermittlung der statischen bzw. geometrischen Unbestimmtheit

a)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 87

b)

c)

d)

Bild 4-6: Beispiele zur geometrischen Unbestimmtheit


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 88

4.1.5 Bezeichnungen, Vorzeichendefinitionen für das DWV Bild 4-7: Vorzeichendefinition für Biegemomente beim DWV Knotenmomente sind linksdrehend positiv Stabendmomente sind rechtsdrehend positiv

Mik = M (x=0) Mki = - M (x=ℓ)

Grundbeziehungen am dehnstarren Stab für das DWV Bild 4-8: Geometrische Größen beim DWV

ψ

ϕk

ϕi uk

wk

ui

ℓS

EΙS

k Mik

Mki

ψS

ϕk

ϕi

ℓS

EΙS

k i

wi

i

i k

s

iks

ki

lww

uu−

=

=

ψ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 89

4.2 Herleitung der Grundgleichungen für Stabendmomente

4.2.1 Ausgangssituation und Lösungsansatz

Ausgangssituation: Belastete Stäbe (beidseitig oder einseitig eingespannt) in statisch unbestimmten Systemen

Gesucht: Schnittgrößen und Biegelinie

Unbekannte beim DWV sind:

Knotendrehwinkel ϕ

Stabdrehwinkel ψ

Geometrisch bestimmtes Hauptsystem

Bild 4-9: Zum DWV Lösungsansatz (an jedem Stab):

a) Starreinspannmomente / Festeinspannmomente infolge äußerer Belastung b) Beziehungen für die Momente infolge der unbekannten Verformungsgrößen c) Gleichgewichtsbedingungen:

an jedem Knoten Σ M = 0

Σ H = 0, Σ V = 0, bzw. Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) (Verschiebungsfigur)

d) Lösungen für die unbekannten Knotendrehwinkel und Stabdrehwinkel e) Einsetzen liefert endgültige Momente f) Gleichgewichtskontrollen durchführen

ψs

ϕk

lS

EIS k i

ϕi


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 90

4.2.2 Stabendmomente infolge von Knotenverdrehungen und -verschiebungen

Zusammenhang zwischen Kraftgrößen (M,V) und Verformungsgrößen (w, β)

)()()()()()()(

xqxVxMxVxMxqxV

−=′=′′=′−=′

∫ ⋅⋅= dAzzxxM ),()( σ

),(),( zxEzx εσ ⋅=

),('),( zxuzx =ε

zxwzxzxu ⋅−=⋅= )(')(),( β

zxwzxu ⋅−= )(''),('

zxwzx ⋅−= )(''),(ε

])(''[),( zxwEzx ⋅−⋅=σ

∫ ⋅⋅⋅−⋅= dAzzxwExM ])(''[)(

)()()()()(

)()()('')(

)('')('')( 2

xqxwEIxqxwEIxM

xwEIxMxwEIxM

xwEIdAzxwExM

=′′′′−=′′′′⋅−=′′

′′′⋅−=′⋅−=

⋅−=⋅⋅−= ∫

Für q(x) = 0 :

43

2

2

3

1

32

2

1

21

1

26)(

2)('

)()('')()(

0)(

CxCxCxCxEIw

CxCxCxEIw

xMCxCxEIwxVCxwEI

xwEI

+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

−=+⋅=−==′′′

=′′′′


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 91

Für die Betrachtung von wA ergibt sich:

AA wEICwEIwEIRBCwEIRB

⋅=⇒⋅=⋅=⇒=′⋅

4

3

)0(:200)0(:1

2

1

21

3

1

2

2

3

1

122

2

1

0226

026

0)(:4

20

20)(:3

C

C

wEIllClC

wEIlClClwEIRB

lCClClClwEIRB

A

A

⋅

=⋅+⋅

⋅−+⋅

=⋅+⋅+⋅==⋅

⋅−=⇒=⋅+⋅==′⋅

Für die Biegemomente ergibt sich:

=−=

==

=

=

=−⋅−=′′⋅−=

)(

)0(

)(

)0(

)()( 21

lMM

MM

lM

M

CxCxwEIxM

E

A

Für die Querkräfte ergibt sich:

==

=−=

=−=′′′⋅−=

)(

)0(

)()( 1

lVf

Vf

CxwEIxV

zE

zA

wA


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 92

Für die Betrachtung von wE ergibt sich:

00)0(:200)0(:1

4

3

=⇒=⋅=⇒=′⋅

CwEIRBCwEIRB

E

EE

E

E

wlEIlCC

wl

EICwEIlC

wEIllClC

lClCwEIlwEIRB

lCClClClwEIRB

⋅⋅

=⋅−=

⋅⋅

−=⇒⋅=

−⋅

⋅=⋅

⋅−+⋅

⋅+⋅=⋅=⋅

⋅−=⇒=⋅+⋅==′⋅

21

2

313

1

21

3

1

2

2

3

1

122

2

1

62

1241

61

226

26)(:4

20

20)(:3


EE

EA

EEE

E

EE

wlEIlMM

wlEIMM

wlEIw

lEIlw

lEIlM

wlEIM

wlEIxw

lEICxCxwEIxM

⋅⋅

−=−=

⋅⋅

−==

⋅⋅

=⋅⋅

−⋅⋅⋅

=

⋅⋅

−=

⋅⋅

−⋅⋅⋅

=−⋅−=′′⋅−=

2

2

223

2

2321

6)(

6)0(

6612)(

6)0(

612)()(


EzE

EzA

E

wl

EIlVf

wl

EIVf

wl

EICxwEIxV

⋅⋅

==

⋅⋅

−=−=

⋅⋅

=−=′′′⋅−=

3

3

31

12)(

12)0(

12)()(

wE


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 93

Für die Betrachtung von ϕA ergibt sich:

00)0(:2)0(:1

4

3

=⇒=⋅⋅=⇒⋅=′⋅

CwEIRBEICEIwEIRB AA ϕϕ

AAA

AAA

AA

A

AA

lEI

lEIl

lEIC

lEIClEIlEIlC

lEIll

EIlClC

lEIlClClwEIRB

lEIlCCEIlClClwEIRB

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

⋅⋅

−=⋅−⋅⋅⋅

−=

⋅⋅

=⇒⋅⋅+⋅⋅−

−⋅

=⋅⋅+⋅

⋅−⋅−+⋅

=⋅⋅+⋅+⋅==⋅

⋅−⋅−=⇒=⋅+⋅+⋅==′⋅

42

6

624

161

0226

026

0)(:4

20

20)(:3

22

213

1

21

3

1

2

2

3

1

122

2

1


AE

AA

AAA

A

AA

lEIlMM

lEIMM

lEI

lEIl

lEIlM

lEIM

lEIx

lEICxCxwEIxM

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕ

⋅⋅

=−=

⋅⋅

==

⋅⋅

−=⋅⋅

+⋅⋅⋅

−=

⋅⋅

=

⋅⋅

+⋅⋅⋅

−=−⋅−=′′⋅−=

2)(

4)0(

246)(

4)0(

46)()(

2

221


AzE

AzA

A

lEIlVf

lEIVf

lEICxwEIxV

ϕ

ϕ

ϕ

⋅⋅

−==

⋅⋅

=−=

⋅⋅

−=−=′′′⋅−=

2

2

21

6)(

6)0(

6)()(

ϕA


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 94

Für die Betrachtung von ϕE ergibt sich:

00)0(:200)0(:1

4

3

=⇒=⋅=⇒=′⋅

CwEIRBCwEIRB

EEE

EE

E

EE

lEI

lEIl

lEIC

lEIClEIlC

ll

EIlClC

lClClwEIRB

lEIlCClClCEIlwEIRB

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

⋅⋅

−=⋅+⋅⋅⋅

−=

⋅⋅

=⇒⋅⋅+

−⋅

=⋅

⋅+⋅−+⋅

=⋅+⋅==⋅

⋅+⋅−=⇒⋅+⋅=⋅=′⋅

22

6

624

161

0226

026

0)(:4

22)(:3

22

213

1

21

3

1

2

2

3

1

122

2

1


EE

EA

EEE

E

EE

lEIlMM

lEIMM

lEI

lEIl

lEIlM

lEIM

lEIx

lEICxCxwEIxM

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕ

⋅⋅

=−=

⋅⋅

==

⋅⋅

−=⋅⋅

+⋅⋅⋅

−=

⋅⋅

=

⋅⋅

+⋅⋅⋅

−=−⋅−=′′⋅−=

4)(

2)0(

426)(

2)0(

26)()(

2

221


EzE

EzA

E

lEIlVf

lEIVf

lEICxwEIxV

ϕ

ϕ

ϕ

⋅⋅

−==

⋅⋅

=−=

⋅⋅

−=−=′′′⋅−=

2

2

21

6)(

6)0(

6)()(

ϕE


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 95

Zusammenfassend infolge von Knotensenkungen und –verdrehungen Bild 4-10: Einheitsverformungszustände am beidseitig eingespannten Stab und Stabendmomente Zusammenfassung:

ϕi = 1 ϕk = 1

wi = 1 wk = 1

( )

( )

( )siik

sikki

skiik

lEIM

lEIM

lEIM

ψϕ

ψϕϕ

ψϕϕ

−⋅=

⋅−⋅+⋅=

⋅−⋅+⋅=

3

5,15,04

5,15,04

iik lEIM ϕ⋅=

4iki l

EIM ϕ⋅=2

iik wlEIM ⋅= 2

6iki w

lEIM ⋅= 2

6kik w

lEIM ⋅−= 2

6kki w

lEIM ⋅−= 2

6

kik lEIM ϕ⋅=

2kki l

EIM ϕ⋅=4

⋅=lEIM ik

4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 96

4.2.3 Stabendmomente infolge äußerer Lasten (Festeinspannmomente) Tafel der Festeinspannmomente (Vorzeichen DWV)

Lastbild

0ikM 0

kiM

2

121

Sql− 2

121

Sql+ 2

81

Sql−

2

201

Silq− 2

301

Si lq+ 2

151

Silq−

2

301

Sk lq− 2

201

Sk lq+ 2

1207

Sk lq−

SFl2αβ−

SFlβα 2 SFl)1(

21 ββα +−

LM)( 232 ββ −− LM)( 232 αα −−

LM)31(21 2β−−

dTEI T

S∆

⋅−α

d

TEI TS

∆⋅α

d

TEI TS

∆⋅⋅−α5,1

ci

S

S

lEI ϕ4+ c

iS

S

lEI ϕ2+ c

iS

S

lEI ϕ3+

ck

S

S wl

EI26− c

kS

S wl

EI26− c

kS

S wl

EI23−

)26( +− β

S

S

lEI

)26( −αS

S

lEI

)3( β−S

S

lEI

26S

S

lEI

26S

S

lEI

23S

S

lEI

1

1

∆T

ML

F

qi

qk

q

EIS EIS

lS lS

ϕic

Wkc

β lS α lS

β lS α lS

d

β lS α lS

β lS α lS


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 97

Vorzeichen der Festeinspannmomente

Vz Statik: rot / Vz DWV: blau

Bild 4-11: Vorzeichen der Festeinspannmomente bei Stützensenkung

wl

EIVzS

SDWV ⋅⋅⋅ 23

w w

w

w

w

w

w

w

w

w

wl

EIVzS

SDWV ⋅⋅⋅ 26

w


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 98


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 99


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 100

4.2.4 Endgültige Stabendmomente

4.3 Aufstellen der Systemgleichungen

Systemgleichungen = Gleichgewichtsbedingungen m1 Knotengleichungen

an jedem Knoten i = 1 .. m1 : Σ Mik = 0

m2 Netzgleichungen für m2 unabhängige Stabdrehwinkel:

Gleichgewichtsbedingungen durch Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) Arbeit der äußeren Lasten und der Stabendmomente

Virtuelle Arbeiten der Stabendmomente + virtuelle Arbeiten der Einzelkräfte oder Teilresultierenden

_______________________________________________________________________________________________________

m = m1 + m2 Gleichungen für m unbekannte Verformungsgrößen

i

´s = Ιc / ΙS * S ( )

( )

( ) 0

0

0

3

5,15,04

5,15,04

iksic

ik

kisikc

ki

ikskic

ik

MlEIM

MlEIM

MlEIM

+−⋅′

=

+⋅−⋅+⋅′

=

+⋅−⋅+⋅′

=

ψϕ

ψϕϕ

ψϕϕ

2Ψ

1Ψ

( ) ( ))()(0 11* Ψ⋅Σ+ΨΨ⋅Σ== iiiik fFMA

F1

1f


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 101

4.4 Rechengang beim DWV

1. Systemvereinfachungen durchführen (statisch bestimmte Teilsysteme „abtrennen“), falls möglich.

2. Einführung reduzierter Stablängen S

cSS EI

EIll =′ ,

falls unterschiedliche Steifigkeiten gegeben sind. 3. Bestimmung des Grades der geometrischen Unbestimmtheit m als

Summe der m1 unbestimmten Knotendrehwinkel ϕi und der m2 unabhängigen Stabdrehwinkel ψ. Falls m2 > 0: Kinematische Beziehungen zwischen den

Stabdrehwinkeln aufstellen. 4. Ermittlung der Starreinspannmomente (Festeinspannmomente)= Mik°

und Mki° infolge der gegebenen Einwirkungen mit den Tabellen in Abschnitt 3. Vorzeichenregelung: DWV!

5. Stabendmomente durch die geometrisch Unbekannten und Festeinspannmomente ausdrücken:

( ) 05,15,04 ikSkis

cik M

lEIM +−+

′= ψϕϕ

( ) 03 ikSis

cik M

lEIM +−′

= ψϕ

6. Aufstellen der Knotengleichungen für jeden verdrehbaren Knoten. Falls vorhanden. Mk nicht vergessen!

7. Fall m2>0: Den Mechanismus (Kinematische Kette) zeichnen und Netzgleichung mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen (PdvV) aufstellen. Krag- und Lastmomente verrichten keine Arbeit; Krag-Querkräfte verrichten Arbeit!

8. Lösung des linearen Gleichungssystems aus Knoten- und Netzgleichungen.

9. Ermittlung der endgültigen Stabendmomente aus den Stabendmomentenbeziehungen (5.) und den in (8.) errechneten ϕi und ψS.

10. Rückübersetzen der in der DWV-Vorzeichenkonvention gewonnenen Stabendmomente in die klassische Vorzeichenkonvention (Statik).

11. Gleichgewichtskontrollen an charakteristischen Tragwerksteilen und am Gesamtsystem.


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 102

4.5 Einführende Beispiele

4.5.1 Beispiel 1 Bild 4-12: Beispiel 1 zum DWV Bild 4-13: Beispiel 1 zum DWV – Ergebnisse Stab2D

2

31

1 4

3 2

h= 4 m

ℓ=8 m

HEB 400

F = 20 kN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 103

4.5.2 Beispiel 2 Bild 4-14: Beispiel 2 zum DWV

q = 12 kN/m

2

3

1

1 4

3 2

h= 6 m

ℓ=10 m

IPE 500

HEA 500 F = 20 kN MLast = 15 kNm


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 104

4.5.3 Beispiel 3 Bild 4-15: Beispiel 3 zum DWV

w = 4 kN/m

2

3

1

1 4

3

2

6 m

2 m

IPE 500

HEA 500

F1 = 10 kN

1 m

2 m 2 m 6 m

w = 4 kN/m F2 = 10 kN

∆sv = 1cm

5 m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 105

4.5.4 Beispiel 4 Bild 4-16: Beispiel 4 zum DWV Stabendmomente M12 = M21 = M23 = M32 = M34 =

M43 =

q=1,125 kN/m

2

3

1

1 4

3 2

h=8

ℓ=12

System, Abmessungen EΙc = EΙ1 = 800 kNm2

EΙ2 = 4800 kNm2 h = 8 m; = 12 m

´ = Ιc / ΙS ⋅ = ⋅ (Ι1 / Ι2 )

h´ = Ιc / ΙS ⋅ h = h ⋅ (Ι1 / Ι1 ) = h q = 1,125 KN/m m = 2 + 1

q

Festeinspannmomente M340 = M430 =

1Ψ12 Ψ=Ψ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 106

Gleichungssystem EΙc ϕ2 EΙc ϕ3 EΙc ψ RS

Lösung EIc ϕ2 = - 3,92 ; EIc ϕ3 = 0,08 ; EIc ψ = - 12,96

ϕ2 = - 0,49 ⋅ 10-2 ; ϕ3 = 0,01 ⋅ 10-2 , ψ = - 1,62 ⋅ 10-2

M12 = = 8,74 kNm M21 = = 7,76 kNm; M21Statik = - 7,76 kNm M23 = = -7,76 kNm; M32 = = -3,76 kNm; M21Statik = + 3,76 kNm M34 = = 3,76 kNm

M43 = = 15,74 kNm; M21Statik = - 15,74 kNm Bild 4-17: Ergebnisse zum einführenden Beispiel

7,76 3,76

15,74 8,74


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 107

4.6 Vorgegebene Auflagerverdrehung und -verschiebungen

4.6.1 Allgemeines Die vorgegebenen Auflagerverformungen ϕ10, c1v, c1h erzeugen Festeinspannmomente infolge von Knotendrehwinkeln ϕ0 und Stabdrehwinkeln ψ0 . Bild 4-18: Festeinspannmomente für Auflagerbewegungen

ψ10

c1h

c1v

c1v

ℓ

h

ϕ10

Auflagerverdrehung ϕ10

ψ20

2

1

3

1

2

Vertikale Auflagerverschiebung c1v

Horizontale Auflagerverschiebung c1h


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 108

4.6.2 Vorgegebene Auflagerverschiebung im einführenden Beispiel Bild 4-19: Rahmenbeispiel mit Knotenverformung

Festeinspannmomente infolge c4h Knotengleichungen Netzgleichung

2

3

1

1 4

3 2

h =8

ℓ

c4h = 4 cm

1Ψ 12 Ψ=Ψ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 109

Gleichungssystem (Auflagerverschiebung c4h = 4cm)

EΙc ϕ2 EΙc ϕ3 EΙc ψ EΙc RS

0

Lösung ϕ2 = 0,125 ⋅ 10-2 ; ϕ3 = - 0,125 ⋅ 10-2 , ψ = 0,250 ⋅ 10-2

EΙc ϕ2 = 1,00 ; EΙc ϕ3 = -1,00 ; EΙc ψ = 2,00

M12 = = -1,25 kNm M21 = = -1,00 kNm; M21Statik = 1,00 kNm M23 = = 1,00 kNm M32 = = -1,00 kNm; M32 Statik = 1,00 kNm M34 = = 1,00 kNm

M43 = = 1,25 kNm; M43 Statik = -1,25 kNm Bild 4-20: Ergebnisse zum Rahmen mit Knotenverformung

4 cm 1,25 1,25

1,00 1,00


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 110

4.7 Temperaturlastfälle Bild 4-21: Temperaturlastfälle TA : Aufstelltemperatur (manchmal: T0) TS : gleichmäßige Temperaturänderung (konstant über den Querschnitt, gemessen in der Schwerpunktachse) erzeugt Dehnung / Normalkraft bei Dehnbehinderung

∆ℓT = αT ⋅ Ts ⋅ ℓ To : gemessene Temperatur an der Konstruktionsoberseite Tu : gemessene Temperatur an der Konstruktionsunterseite

∆T = Tu – To; Temperaturgradient erzeugt Krümmungen und Biegemomente

4.7.1 Gleichmäßige Temperaturveränderung T Behandlung wie Stützensenkung

4.7.2 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T über den Querschnitt

ψ10

κ∆T = d

TT ∆⋅α

Ts = const.

∆T = const.

2

1

3

To

Tu TA ∆T= Tu – To TS

TS = + d


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 111

4.7.3 Gleichmäßige Temperaturänderung T im einführenden Beispiel Bild 4-22: Rahmenbeispiel mit Temperatur Ts

2

3

1

1 4

3 2

h

ℓ

Ts = 125° C

αT = 10-5 1/K

∆h =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 112

Gleichungssystem (T=const.)


0

Lösung ϕ2 = -0,08 ⋅ 10-2 ; ϕ3 = - 0,08 ⋅ 10-2 , ψ = - 0,04 ⋅ 10-2

M12 = = 0,08 kNm M21 = = - 0,08 kNm; M21Statik = 0,08 kNm M23 = = 0,08 kNm M32 = = 0,08 kNm; M32 Statik = -0,08 kNm M34 = = - 0,08 kNm

M43 = = 0,08 kNm; M43 Statik = -0,08 kNm Bild 4-23: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperatur Ts

1cm

- 0,08 0,08

0,08

-0,08 0,32 cm


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 113

4.7.4 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T im einführenden Beispiel Bild 4-24: Rahmenbeispiel mit Temperaturgradient

d3 = 0,8 m d1 = 0,8 m

d2 = 1,6 m

∆T = 60 K

ℓ = 12 m

h = 8 m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 114

Gleichungssystem (∆T = const.)


Lösung ϕ2 = 0,1 ⋅ 10-2 ; ϕ3 = - 0,1 ⋅ 10-2 , ψ = 0

M12 = = - 0,40 kNm M21 = = 1,00 kNm; M21Statik = -1,00 kNm M23 = = -1,00 kNm M32 = = 1,00 kNm; M32 Statik = -1,00 kNm M34 = = - 1,00 kNm

M43 = = 0,40 kNm; M43 Statik = -0,40 kNm Bild 4-25: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperaturgradient

- 0,40 -0,40

-1,00 -1,00


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 115

4.8 Weitere Beispiele

4.8.1 Beispiel mit Federn Bild 4-26: Beispiel mit Federn

F

F

3 3 3

6EIcM =

6

3

F

216EIcF =F/2

6

3⋅F

6Ι

=EcM

216Ι

=EcF

1

2

3

45°


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 116

Kinematik Bild 4-27: Federbeispiel - Kinematik Festeinspannmomente

FFlFM 375,086

282012 −=⋅−=⋅−=

FFlFM 375,086

282021 =⋅=⋅=

Stabendmomente

( ) Fl

EIM 375,05,15,04 2112 −−+⋅= ψϕϕ

( ) Fl

EIM 375,05,15,04 1221 +−+⋅= ψϕϕ

( )[ ]ψϕ ⋅−−⋅= 23 223 lEIM

Knotengleichungen Knoten 1

ψ2 = - 2 ψ

ψ1 = ψ

6 m 6 / 2

mEcM 6

Ι=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 117

Knoten 2 Netzgleichung Bild 4-28: Kinematik und virtuelle Arbeit

1Ψ

=Ψ2


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 118

Gleichungssystem EΙ ϕ2 EΙ ϕ3 EΙ ψ RS

56 1

3 - 1 0,375 F

13 7

6 22 - 1

2,625 F

1 1 - 2

2 - 196 -7,5 F

Lösung EΙ ϕ1 = 4,376 F; EΙ ϕ2 = 1,987 F; EΙ ψ = 3,934 F

Stabendmomente

M12 = 46 (4,376 F + 0,5 ⋅1,987 ⋅F – 1,5 ⋅3,934⋅ F) – 0,375 F = - 0,729 F

M21 = 46 (1,987 F + 0,5 ⋅ 4,376 ⋅ F – 1,5 ⋅3,934⋅ F) + 0,375 F = - 0,776 F

M23 = 36 [1,987 F – (Fehler! Textmarke nicht definiert. E A⋅ 3,934 ⋅ F) ] = 3,776 F - 2

Bild 4-29: Ergebnisse zum Beispiel mit Federn

ψ2 = - 2 ψ

ψ1 = ψ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 119

4.8.2 Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten Bild 4-30: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten Festeinspannmomente

=−=12

2012

qlM

==12

2021

qlM

=−=8

2023

qlM

6 m 6 m

3 EΙc

2 EΙc

3 EΙc

q = 3 KN/m

2 EΙc

2 EΙc 6 m

6 m

Bezogene Längen ℓ´ = (EΙc / EΙS )⋅ ℓ

ℓ1´ = (EΙc / 3 EΙc )⋅ 6 m = 2 m = ℓ2´

ℓ3´ = (EΙc / 2 EΙc )⋅ 6 m = 3 m

ℓ4´ = (EΙc / 2 EΙc ) ⋅ 2 ⋅6 m = 6 m m = 2 + 0


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 120

Stabendmomente

M12 = 2

4 cEI ( ϕ1 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ1 ) + M120 = EΙc ϕ2 – 9 kNm

M21 = 2

4 cEI ( ϕ2 + 0,5 ϕ1 – 1,5 ψ1 ) + M210 = 2 EΙc ϕ2 + 9 kNm

M23 = 2

3 cEI ( ϕ2 - 1,0 ψ2 ) + M230 = 1,5 EΙc ϕ2 – 13,5 kNm

M24 = 3

4 cEI ( ϕ2 + 0,5 ϕ4 – 1,5 ψ3 ) + M240 = 43 EΙc ϕ2 + 23 EΙc ϕ4

M42 = 3

4 cEI ( ϕ4 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ3 ) + M420 = 43 EΙc ϕ4 + 23 EIc ϕ2

M45 = 6

4 cEI ( ϕ4 + 0,5 ϕ5 – 1,5 ψ4 ) + M450 = 23 EΙc ϕ4

M54 = 6

4 cEI ( ϕ5 + 0,5 ϕ4 – 1,5 ψ4 ) + M540 = 13 EΙc ϕ4

M46 = 6

3 cEI ( ϕ4 – ψ5 ) + M460 = 12 EΙc ϕ4

Knotengleichgewicht

M23

M24

M21 M21 + M23 + M24 = 0 296 EΙc ϕ2 + 23 EΙc ϕ4 = 4,5

M42 + M45 + M46 = 0 23 EΙc ϕ2 + 52 EΙc ϕ4 = 0

M45

M46

M42


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 121

Stabendmomente M12 = M21 = M23 = M24 = M42 = M45 = M54 = M46 = Knotengleichgewicht

M23

M24

M21 M21 + M23 + M24 = 0

M42 + M45 + M46 = 0

M45

M46

M42


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 122

Gleichungssystem EΙc ϕ2 EΙc ϕ4 RS

296 2

3 4,5

23 5

2 0

Lösung EΙc ϕ2 = 0,967 ; EIc ϕ4 = - 0,258

Stabendmomente M12 = EΙc ϕ2 – 9 kNm = 0,967 – 9 =

M21 = 2 EΙc ϕ2 + 9 kNm = 2 ⋅

M23 = 1,5 EΙc ϕ2 – 13,5 kNm =

M24 = 43 EIc ϕ2 + 23 EΙc ϕ4 =

M42 = 43 EΙc ϕ4 + 23 EΙc ϕ2 =

M45 = 23 EΙc ϕ4 =

M54 = 13 EΙc ϕ4 =

M46 = 12 EΙc ϕ4 =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 123

Weitere Verformungen Biegelinie

Bild 4-31: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten: Momentenlinie und Verformungen

-8,033

EIc ϕ2 = 0,967 EIc ϕ4 = - 0,258

-10,934 -12,05

1,117

EIc ϕ3 = - 4,984 EIc ϕ5 = 0,129

-0,300

-0,13

0,17

-0,09


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 124

4.8.3 Klausuraufgabe 1 Für das nachfolgend dargestellte statische System sind die Biegemomente nach dem Drehwinkelverfahren zu ermitteln und unter Angabe aller Extremwerte zeichnerisch darzustellen. Material für alle Stäbe: Stahl S 235. Bild 4-32: Klausuraufgabe 1: System, Belastung, Momentenlinie

Ι1 = 14320 cm4

w= 1 kN/m

F = 6 KN

4 m

1 m

0,5 m

6 m

2 m Ι2 = 91428 cm4

Vorgegebene Fundamentverdrehung: ϕc = 0,0001 (rad)

2 m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 125

4.8.4 Klausuraufgabe 2 Bild 4-33: Klausuraufgabe 2: System und Belastung Wärmedehnzahl: αt = 1,2 ∙10-5 1/K E-Modul: E = 210000 MN/m2

Trägheitsmoment: Ι = 57680 cm4

Steifigkeiten: EΙ = konst.; EA = ∞

EΙ =

Festeinspannmomente infolge der Einzellast:

M120 = - α ⋅β2 ⋅F ⋅ℓ =

M210 = α2 ⋅β⋅ F ⋅ℓ = infolge der Verkürzung

Gesamt

M120 = -40,81 kNm – 14,23 kNm = -55,04 kNm M210 = 102,04 kNm - 14,23 kNm = 87,80 kNm

5 m 2m

4 m T = -20 K

F = 100 kN

EΙ = const.


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 126

Stabendmomente

M12 = 7

4EI ( ϕ1 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ1 ) + M120 =

72EI

ϕ2 – 55,04 kNm

M21 = 7

4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ1 – 1,5 ψ1 ) + M210 =

74EI

ϕ2 + 87,80 kNm

M23 = 4

4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ3 – 1,5 ψ2 ) = EΙ ϕ2 +

2EI

ϕ3

M32 = 7

4EI ( ϕ3 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ2 ) = EΙ ϕ3 +

2EI

ϕ2

M34 = 7

3EI ( ϕ3 – ψ3 ) = 37 EΙ ϕ3

Knotengleichungen

M23

M21

M34

M32

M21 + M23 = 0 117 EΙ ϕ2 + 12 EΙ ϕ3 = -87,80

M32 + M34 = 0 12 EΙ ϕ2 + 10

7 EΙ ϕ3 = 0


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 127

Gleichungssystem EΙ ϕ2 EΙ ϕ3 RS 117 1

2 -87,80

12 10

7 0

Stabendmomente

M12 = 7

2EI ϕ2 – 55,04 kNm = 27 (- 62,87) – 55,04 = -73,00 kNm

M21 = 7

4EIϕ2 + 87,80 kNm = 47 (-62,87) + 87,80 = 51,87 kNm = -

M23 = EΙ ϕ2 + EI2 ϕ3 = -62,87 + 0,5 * 22 = -51,87 kNm

M32 = EΙ ϕ3 + EI2 ϕ2 = 22 +0,5 * (-62,87) = - 9,43 kNm = +

M34 = 37 EΙ ϕ3 = 37 22 = 9,43 kNm

Bild 4-34: Klausuraufgabe 2: Momentenlinie und Verformungen

Lösung: EΙ ϕ2 = - 62,87 EΙ ϕ3 = 22,00 ϕ2 = - 5,19 * 10-4 ϕ3 = 1,817 * 10-4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 128

4.8.5 Klausuraufgabe 3 Für das nachfolgend dargestellte statische System sind die Biegemomente infolge der beiden Einzellasten und der Temperaturlastfälle mit Hilfe des Drehwinkelverfahrens zu ermitteln. Der Verlauf der Biegemomente ist zeichnerisch darzustellen. Bild 4-35: Klausuraufgabe 3: System und Belastung

Für sämtliche Stäbe: E = 33.000 MN/m2 d/b = 60 cm / 100 cm Aufstelltemp.: T0 = 10° C Tu = 20° C, To = 50° C

αT = 1,0 ⋅ 10-5 1/K

2 m

F=100 kN

Tu

To

Tu

To

2 m

F=100 kN

1 m 1 m

3 m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 129

4.8.6 Klausuraufgabe 4 Bild 4-36: Klausuraufgabe 4: System und Belastung Festeinspannmomente

=−=12

2012

qlM

=−=12

2023

qlM

==12

2032

qlM

=−=8

024

FlM

==8

042

FlM

2m 2m 4 m

4 m F = 20 kN

q = 5 kN/m

EΙ = const. EA = ∞


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 130

Kinematik Stabendmomente

M12 = 4

4EI ( ϕ1 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ1 ) + M120 = 12 EΙ ϕ2 - 3

2 EΙ ψ1 – 203 kNm

M21 = 4

4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ1 – 1,5 ψ1 ) + M210 = EΙ ϕ2 -

32 EI ψ1 + 20

3 kNm

M23 = 4

4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ3 – 1,5 ψ2 ) + M230 = EΙ ϕ2 + 32 EΙ ψ1 – 20

3 kNm

M32 = 4

4EI ( ϕ3 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ2 ) + M320 = 12 EΙ ϕ2 + 32 EΙ ψ1 + 20

3 kNm

M24 = 4

4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ4 – 1,5 ψ3 ) + M240 = EΙ ϕ2 - 10 kNm

M42 = 4

4EI ( ϕ4 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ3 ) + M540 = 12 EΙ ϕ2 + 10 KNm

M24

M23

M21 + M23 + M24 = 0

EΙ ϕ2 = 103

M21


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 131

Netzgleichung Lösung

EΙ ϕ2 = 103 ; EI ψ1 = 40

3 ; EΙ h = EI ψ1 * 4 = 53,33 KNm3

Stabendmomente

M12 = 12 EΙ ϕ2 - 32 EΙ ψ1 – 20

3 kNm = 12 10

3 - 32 40

3 – 203 = -25 kNm

M21 = EΙ ϕ2 - 32 EΙ ψ1 + 20

3 kNm = 103 - 3

2 403 + 20

3 = - 10 kNm = +

M23 = EΙ ϕ2 + 32 EΙ ψ1 – 203 kNm = 10

3 + 32 40

3 – 203 = 16,67 kNm

M32 = 12 EΙ ϕ2 + 32 EΙ ψ1 + 20

3 kNm = 12 10

3 + 32 40

3 + 203 = 28,33 kNm = -

M24 = EΙ ϕ2 - 10 kNm = 103 - 10 = - 6,67 kNm

M42 = 12 EΙ ϕ2 + 10 kNm = 12 10

3 + 10 = 11,67 kNm = -

2m 2m

F = 20KN

q = 5 kN/m

(M12+M21)⋅ - (M23 + M32) ⋅ 1Ψ + 2 ⋅ R ⋅ ∆h = 0 ∆h = 2m ⋅ ; R = R1 = R2 = 5 ⋅ 4 = 20 kN

1Ψ

12 Ψ−=Ψ

1Ψ

1Ψ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 132

Momentenlinie Qualitative Biegelinie Bild 4-37: Klausuraufgabe 4: Momentenlinie und Verformungen


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 133

4.8.7 Durchlaufträger Bild 4-38: Durchlaufträger: System und Belastung Festeinspannmomente

=021M

M230 =

M320 =

M340 =

Stabendmomente

M21 =

M23 =

M32 =

M34 =

2 m 2,5 2,5

q1 = 3 kN/m q2 = 4 kN/m ML = 6 kNm F = 2 kN

4 m 5 m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 134

Knotengleichungen Gleichungssystem

EΙ ϕ2 EΙ ϕ3 RS 3120 2

5 -4,5

25 7

5 12

Stabendmomente

M21 = 4

3EIϕ2 + 6 kNm = 34 (-5,522) + 6 kNm = 1,86 kNm = -1,86 kNm

M23 = 5

4EIϕ2 +

52EI

ϕ3 – 32 kNm = 45 (-5,522) + 25 (10,149) – 3

2 kNm = -1,86 KNm

M32 = 5

2EIϕ2 +

54EI

ϕ3 – 32 kNm = 45 (10,149) + 25 (-5,522) – 3

2 kNm = 4,41 kNm =

M34 = 5

3EIϕ3 -

221

kNm = 35 (10,149) - 221

kNm = -4,41 kNm

Lösung EΙc ϕ2 = - 5,522 EΙc ϕ3 = 10,149

M21 + M23 = 0

M32 + M34 = 0


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 135

Momentenlinie

Qualitative Biegelinie

Bild 4-39: Durchlaufträger: Biegemomente und Verformungen

4,41 6,14

1,86 4,0

0,135

5,07

8,3

12,5 6,0


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 136

4.9 Vergleich KGV – WGV

Kraftgrößenverfahren Weggrößenverfahren

Ausgangssystem

Grad der statischen Unbestimmtheit:

n= a + z – 3p = 3 + 3 – 3 ⋅ 1 = 3

Ausgangssystem

Grad der geom. Unbestimmtheit:

m= m1 + m2 = 2 + 1 = 3

Hauptsystem

Gleichgewicht am HS ist erfüllt.

Verformungsbedingungen sind verletzt.

Hauptsystem

Gleichgew.-bedingungen sind verletzt

Unbekannte

Statisch unbestimmte Schnittgrößen

Unbekannte

Geometrisch unbestimmte FÄ-Größen

Lösung: Kompatibilitätsbedingungen

δa = 0

δb = 0 ⇒ Statisch Unbestimmte

δm = 0

Lösung: Gleichgewichtsbedingungen

Σ Mc = 0

Σ Md = 0 ⇒ Geom. Unbestimmte

Σ H = 0

m

b a

δb δa

δm

Ma

Mm

Mb

Md Mc

H

ψS

ϕc

ϕd

c m d


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 137

5 Grundlagen Matrizenrechnung 5.1 Motivation aus dem Kraftgrößenverfahren

Lineares, inhomogenes Gleichungssystem

X1 ⋅ δ11 + X2 ⋅ δ12 + ... Xn ⋅ δ1n = - δ10 X1 ⋅ δ21 + X2 ⋅ δ22 + ... Xn ⋅ δ2n = - δ20 .

X1 ⋅ δn1 + X2 ⋅ δn2+ ... Xn ⋅ δnn = - δn0 Matrizenschreibweise

nnnknn

iiik

n

nki

δδδδδδ

δδδδδδδ

21

22221

11211

n

i

XXXX

2

1

= -

0

0

20

10

n

i

δδδδ

δ ⋅ X = - δ0 Delta-Matrix * Unbekanntenvektor = - Lastverschiebungsvektor (rechte Seite)

Lösung: X = [ δ-1] ⋅ [- δ0]

5.2 Vektoren und Matrizen

5.2.1 Einführung Beispiele für Vektoren

X =

mX

XXX

...

3

2

1

; u(e) =

2

2

2

1

1

1

ϕ

ϕ

wu

wu

; S(e) =

2

2

2

1

1

1

MVNMVN

F(e) =

3

2

1

1

2

1

FMMqlFF

L

L

Element- Element- Element- Unbekanntenvektor Verschiebungsvektor Schnittkraftvektor Lastvektor


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 138

Definition einer Matrix Ein (n*m)Matrix ist eine Anordnung von Zahlen in n Spalten und m Zeilen.

),(

..

..

mnmnmm

ik

ki

n

n

aaa

aa

aaaaaaa

21

2232221

11211

= A(n,m)

Arten von Matrizen

Bezeichnung

Eigenschaften Rechteckmatrix

Anzahl der Spalten n ≠ Anzahl der Zeilen m Quadratmatrix

Anzahl der Spalten n = Anzahl der Zeilen m

Symmetrische Matrix

Quadratmatrix, bei der die Elemente an der Diagonalen gespiegelt werden, so dass gilt: aik = aki und A = AT

Diagonalmatrix

nnaa

aa

000000000000

33

22

11

Quadratmatrix, bei der nur die Diagonalterme besetzt sind:

aik = 0 für i ≠ k

Einheitsmatrix

1

1000010000100001

=

Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente 1 sind: aik = 1 für i = k

aik = 0 für i ≠ k

Nullmatrix

Alle Elemente sind Null: aik = 0 für alle i, k.

Transponierte Matrix

AT entsteht durch Vertauschen der Spalten und Zeilen der Ausgangsmatrix A.

Es gilt: (A ⋅ B )T = BT ⋅ AT und (AT)T = A

Tabelle aus [16] H. Werkle: Finite Elemente in der Baustatik

m Zeilen

n Spalten


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 139

5.2.2 Rechenregeln für Matrizen Addition und Subtraktion (nur bei Matrizen gleicher Ordnung)

A + B = C, mit cij = aij + bij A + B = B + A (Kommutativgesetz) A + (B + C) = (A + B) + C (Assoziativgesetz)

Multiplikation mit einer Konstanten c ⋅ A = B, mit bij = c ⋅ aij

Multiplikation mit einem Vektor

A(n*m) ⋅ vm = wm, mit wi = ∑=

⋅m

kkik va

1

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der Matrix gleich der Zeilenanzahl des Vektors ist.

3

2

1

vvv

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Multiplikation von 2 Matrizen

A(n,m) ⋅ B(l,n) ≠ B ⋅ A (Kommutativgesetz gilt nicht !) Die Multiplikation zweier Matrizen ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ist.

A(n*m) ⋅ B(l*n) = Cm*l, mit cij = ∑=

⋅m

kkjik ba

1

4241

3231

2221

1211

bbbbbbbb

24232221

14131211

aaaaaaaa


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 140

5.2.3 Übungsaufgaben Es ist das Produkt w = A ⋅ v zu berechnen

=

176438352

A ;

=

51210

v

Gesucht sind AT und BT

=

532821053

A ;

=

543223

B

Es sind die Produkte (A ⋅ B)T sowie BT ⋅ AT zu bilden.

−−

−=

84163754

1423A ;

−

−−

=

22564123

B


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 141

6 Finite-Element-Methoden (FEM) 6.1 Einführung

6.1.1 Geschichtliche Entwicklung Mathematische Grundlagen (Infinitesimalrechnung)

• Isaac Newton (1642 – 1727)

• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)

• Leonard Euler (1707 – 1783)

Mechanische Grundlagen

• Galileo Galilei (1564 – 1642)

• Jakob Bernoulli (1655 - 1705)


• Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827)

• Sophie Germain (1776 – 1831)

• Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887)

• Stepan Tymoschenko (1878 – 197

• Raymond David Mindlin (1906 – 1987)

• Eric Reissner (1913 – 1996)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 142

Grafische Statik

• Pierre Varignon (1654 – 1722)

• Karl Culmann (1821 – 1881)

• Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona (1830 – 1903)

• Christian Otto Mohr (1835 – 1918)

• Karl Wilhelm Ritter (1847 – 1906)

Entwicklung von Variationsrechnung und Näherungsverfahren zur numerischen Lösung kontinuierlicher Probleme


• Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813)

• John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1842 – 1919)

• Boris Galerkin ( 1871 - 1945)

• Walter Ritz ( 1878 – 1909 )

Computerentwicklung

• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)

• Konrad Zuse (1910 – 1995)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 143

Baustatische Verfahren

• Claude Louis Marie Henri Navier (1785 – 1836)

• Benoit Paul Emile Clapeyron (1799 – 1864)

• James Clerk Maxwell (1831 – 1879)

• Carlo Alberto Castigliano (1847 – 1884)

• Heinrich Franz Bernhard Müller-Breslau (1851 – 1925)

• Asker Skovgaard Ostenfeld (1866 – 1931)

Finite Elemente

• Richard Courant (1888 – 1972)

• Ray William Clough (geb. 1920)

• M. Jonatan Turner

• John Argyris (1913 – 2004)

• Olgierd Zienkiewicz (1921 – 2009)

• J. Tinsley Oden (geb 1936)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 144

6.1.2 Grundsätzliche Zusammenhänge

Innere Weggrößen

Verzerrungen ux ′=)(ε

Gleitungen Vwx ′=)(γ

Krümmungen wxx ′′=′−= )()( βκ

Verdrillungen )()( xx ϑχ ′=

Äußere Weggrößen Verschiebungen

Verdrehungen

Innere Kraftgrößen Normalkräfte N

Querkräfte Vy, Vz

Biegemomente My, Mz

Torsionsmoment MT

Äußere Kraftgrößen

Lasten F (kN), q )(m

kN, p )( 2m

kN

Lastmomente ML

Kraftgrößen Weggrößen

Gleichgewicht

Spannungen

Kinematik (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung)

Werkstoffgesetz

Zusammenfassung

∫

∫

⋅=⇒⋅⋅=

=⇒⋅=

zI

MdAzM

ANdAN

σσ

σσ

wzzzx

udxdux

′′⋅−=′⋅=

′==

βε

ε

),(

)(

)()()()()()(

xVxMxqxVxnxN

z

x

=′−=′−=′

wEIqMundwEIMuEAnNunduEAN x

′′′′⋅−=−=′′′′⋅−=

′′⋅=−=′′⋅=

)()(),(),(

xGxzxEzx

γτεσ

⋅=⋅=

wvu ,,zyx βββ ,,


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 145

6.1.3 Kontinuierliches Problem – Diskretes Problem

Fachwerk Biegebalken

)()( xnxuEA −=′′⋅

)()( xqxwEI =′′′′⋅

)()()()(

xEAxNxuEAxN

ε⋅=

′⋅= )()(

)()(xEIxMxEIxM

κβ

⋅=

′⋅=

Kraftgröße = Steifigkeit * Verformungsgröße

Diskretisierung = Finite Element Methode

Einführung diskreter Verformungen am Anfang/ am Ende eines Elementes oder in den Eckknoten

Dazwischen: Annahme einer Interpolationsfunktion (linear oder quadratisch)

luux

xl

uuuxu

aeel

elae

ael

−=

⋅−

+=

)(

)(

ε )()(

),()( 2

elel

elelel

xxxxx

κκββ

==

Die Lasten werden ausschließlich in den FE-Knoten eingeleitet

Es gilt:

FKU

UKF

1 ⋅=

⋅=

−


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 146

6.1.4 Grundlagen der Modellierung

Bild 6-1: Die Finite-Element-Welt

Die Geometrie einer Struktur ist gekennzeichnet durch Koordinaten von Punkten, Parametrische Linien mit Hilfe von Punkten und „Stützpunkten“, Parametrische Flächen mit Hilfe von Punkten, Randlinien, weiteren Stützpunkten. Technologiedaten Den geometrischen Bestandteilen des Stabwerkmodelles werden zugeordnet

Materialparameter, Querschnittswerte, Belastung und Lagerbedingungen. Diskretisierung Unterteilung von Linienzügen in gerade Stabelemente mit Anfangs- und Endknoten Unterteilung von Flächen in Dreiecks- oder Viereckelemente mit Randlinien und

Eckknoten Topologie (Zusammenhangsinformation, Koinzidenz) Belastung in den Knoten (Lastvektor)

Geometrie

Diskretisierung

Technologie


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 147

6.1.5 Wichtige Begriffe

• Formänderungsgrößenmethode (deformation method)

• Diskretisierung (discretization)

• Netzdichte (mesh density)

• Ansatzfunktionen (shape functions)

• Topologie

• Freiheitsgrad(e) (degree(s) of freedom)

• Lastvektor (load vector)

• Steifigkeitsmatrix (stiffness matrix)

• Gleichungssystemlöser (solver)

• Approximation

• Konvergenz

• Singularität


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 148

6.1.6 Die FEM als Näherungsverfahren (für Flächentragwerke) Bild 6-2: Die Finite-Element-Methode als Näherungsverfahren

Verformungsgröße

Koordinate

Exakte Verformungsfunktion

Angenäherte Verformungsfunktion mit linearen Ansätzen (FEM)

Koordinate

Verformungsgröße

Koordinate

Abgeleitete Verformungsgröße (Verzerrungsmaß)

Tatsächlicher Spannungsverlauf


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 149

6.1.7 Arten von Finiten Elementen

Fachwerkelement

2D-Balkenelement Träger Durchlaufträger Rahmentragwerke

3D-Balkenelement

Raumfachwerke Trägerroste senkrecht zur Ebene belastete Systeme

Scheibenelement Wandscheiben Wandartige Träger

Plattenelement Deckenplatten Fahrbahnplatten

Bild 6-3: Finite Stab- und Flächenelemente

w

ϕy

u

v

ϕy ϕz

u ϕx

u

u

w

v

ϕy

ϕx

w

1

1

1

1

1

2

3

2

4

3 4

2

2

2


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 150

Faltwerkelement (Scheibe + Platte) Widerlager Faltwerke

Schalenelemente Gekrümmte Flächentragwerke

3D-Kontinuums-Element Erfassung dreidimensionaler Spannungszustände z.B. Salzstöcke

Bild 6-4: Finite Faltwerk-, Schalen- und 3D-Elemente

ϕz

ϕx

v

ϕy

ϕz

u

w

ϕy

ϕx

w v

u

w

v

u

ϕz

1

4

3

2

4

3

2

1


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 151

6.2 Fachwerkelement

6.2.1 Grundgleichungen Gleichgewicht Spannung Werkstoffgesetz Verzerrungs-Verschiebungsbeziehung

)()( xnxN −=′

AxNxx)()( =σ

)()( xEx xx εσ ⋅=

)()()( xudx

xduxx ′==ε

)()()()()()()()( 1 xuEAxNxExxudx

xduxFcxu xxx ′⋅=→⋅=→′==→⋅= − εσε

)()()()(

)()()(

xnxuEAxuEAxN

xEAxNx xx

−=′′⋅

′⋅=

⋅== εσ

=

=⇒=′

⋅⋅

=∆

∫)(

)()()()()(

lu

dxEA

xNluEA

xNxu

AElFl

l


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 152

6.2.2 Modellbildung mit Feder

Ausgangslage

Verformte Situation

c

EA

u(ℓ) =∆ℓ

F

ℓ

(1) Verformungen infolge der Belastung berechnen

AElFlul

⋅⋅

==∆ )(

oder mit dem linearen Federgesetz

FcuucF⋅=

⋅=−1

Bei mehreren Freiheitsgraden

FKUUKF1 ⋅=

⋅=−

(2) Dehnung

AE

AEFEM

xxuu

xu

−−

=∆∆

=ε

(3) Spannung

FEMFEM E εσ ⋅=

(4) Schnittkraft

)( AE

AE

AE

FEMFEM

uul

EAxxuuEA

EAN

−=

−−

⋅=

⋅= ε

F

uE uA

N N


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 153

6.2.3 Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft Bild 6-5: Verformungen am Fachwerkstab

⋅

−

−⋅=

E

a

E

A

uu

lEA

ff

1111

; k =

−

−⋅

1111

lEA

(Elementsteifigkeitsmatrix im lokalen KOS)

f = k ⋅ u

uA

A E

N

ue

∆ℓ

fe

fa

N


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 154

6.2.4 Transformationen

Lokales KOS x,y auf Stabachse bezogen Verschiebungen: u,v lokale Kräfte f (Schnittkräfte) lokale Steifigkeitsmatrix k In diesem KOS werden am Ende der Berechnung die Schnittkräfte ausgerechnet

Globales KOS Festes Koordinatensystem X,Y Verschiebungen: U,V am Element Ue und als Gesamtverschiebungsvektor U Elementsteifigkeitsmatrix Ke und Gesamtsteifigkeitsmatrix K

Bild 6-6: Verformungen am schrägen Fachwerkstab - Transformation

)( eE

E

A

A

VUVU

)( eE

A

uu

=

αα

ααsincos00

00sincos

ue = T ⋅ Ue

Y

x

uA

uE

VE

UE

UA X

A

E

VA

uA = UA ⋅ cos α + VA ⋅ sin α uE = UE ⋅ cos α + VE ⋅ sin α

=

αααα

sincos0000sincos

T

Transformationsmatrix

)( eE

E

A

A

VUVU

=eU

Elementverschiebungsvektor


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 155

Transformation der Kräfte am Element

Bild 6-7: Kräfte am Fachwerkstab - Transformation

)(eE

A

ff

)( eEy

Ex

Ay

Ax

FFFF

=

αα

αα

sin0cos0

0sin0cos

⋅

Fe = TT ⋅ fe

x

fE

FEx

X

A

E

Y

FAx = fA ⋅ cos α FAy = fA ⋅ sin α FEx = fE ⋅ cos α FEy = fE ⋅ sin α

FEy

fA

FAx

FAy

=

αα

αα

sin0cos0

0sin0cos

TT

Transformationsmatrix, transpon.

)( eEy

Ex

Ay

Ax

FFFF

=eF

Elementlastvektor


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 156

6.2.5 Die Elementsteifigkeitsmatrix Transformation der Steifigkeitsbeziehung

Fe = TT ⋅ f; f = k ⋅ ue

Fe = TT ⋅ ( k ⋅ ue ); ue = T ⋅ Ue

Fe = TT ⋅ { k ⋅ ( T ⋅ Ue) } Fe = TT⋅ k ⋅ T ⋅ Ue Fe = Ke ⋅ Ue ; Ke = TT⋅ k ⋅ T ( Elementsteifigkeitsmatrix) Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix im globalen KOS

=

αααα

sincos0000sincos

T ;

−

−⋅=⋅

1111

lEATk

=⋅⋅

αα

αα

sin0cos0

0sin0cos

TkTT

)()(22

22

22

22

)()(

)( elE

E

A

A

el

lel

elEy

Ex

Ay

Ax

VUVU

sscsscsccsccsscsscsccscc

lAE

FFFF

−−−−

−−−−

=

Fe = Ke ⋅ Ue c2 = cos2 α; s2 = sin2 α; sc = sin α ⋅ cos α


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 157

6.2.6 Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix

Einführendes Beispiel Bild 6-8: Einführendes Beispiel Für einen möglichst einfachen Berechnungsablauf:

(1) Der freie Knoten erhält die Nr. 1. (2) (3)

Koinzidenztabelle Stab Nr. 1 2

Lokal

Global

E = 10.000 MN/m2 A = 100 cm2 EA =

X 2

1

Y

3

1

V = 20 KN

H = 10 kN

2

4 4

4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 158

Gewünschte Form am Gesamtsystem mit allen Kräften und Verschiebungen:

Lastvektor = Gesamtsteifigkeitsmatrix * Verschiebungsvektor

F = K ⋅ U F : Lastvektor K: Gesamt-Steifigkeitsmatrix im globalen System U: Globaler Verschiebungsvektor

Bild 6-9: Schema der Gesamt-Steifigkeitsmatrix

⋅

=

3

3

2

2

1

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

3

3

2

2

1

1

VUVUVU

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

FFFFFF

y

x

y

x

y

x


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 159

Elementsteifigkeitsmatrizen im globalen System

=

−−−−

=

=

1

)1()1(2

2

22

22

1

1

2

2

1

1

)1(

; K

eE

E

A

A

ey

x

y

x

eEy

Ex

Ay

Ax

VUVU

ssccsscssccscc

lEA

FFFF

FFFF

⋅

=⋅

3

3

2

2

1

1

1 ............................................................

..............................

~

VUVUVU

UK

=

−−−−

=

=

2

)2()2(2

2

22

22

2

2

3

3

1

1

)2(

; K

eE

E

A

A

ey

x

y

x

eEy

Ex

Ay

Ax

VUVU

ssccsscssccscc

lEA

FFFF

FFFF

⋅

=⋅

3

3

2

2

1

1

2

....................

....................

..............................

....................

~

VUVUVU

UK

Stab 1

Stab 2


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 160

Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix 21 KKK ~~ +=

⋅

=

3

3

2

2

1

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

3

3

2

2

1

1

VUVUVU

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

FFFFFF

y

x

y

x

y

x

Zahlen


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 161

6.2.7 Lösung des Gleichungssystems Fa = Kaa ⋅ Ua + Kab ⋅ Ub Ub: vorgegebene Lagerbewegungen, meistens Null (Festhaltungen)

Dann gilt: Fa = Kaa ⋅ Ua Lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten Ua Lösung Einsetzmethode Kramersche Regel Gauß-Algorithmus

Ua = Kaa-1 ⋅ [ Fa – Kab ⋅ Ub ]

Für 2 Unbekannte gilt:

−

−⋅=−

1121

12221

det1

KKKK

Kaa

aaK

Zahlen


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 162

6.2.8 Rückrechnung a) Lagerreaktionen

bbbaabb UKUKF ⋅+⋅= T

wenn Ub = 0 aabb UKF ⋅=⇒ T

−=

++++

=

−

⋅

−−

−−−−

=

=

=

151555

.........................................

.........................................

.................................................................................

00113,0000565,0

.......................................................................

3

3

2

2

b

BBA

A

FFFF

H

H

y

x

y

x

F


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 163

b) Stabkräfte

f(e) = k ⋅ u(e); u(e) = T ⋅ U(e) ⇒ f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)

u(e) = T ⋅ U(e) ;

=

αααα

sincos0000sincos

T

Element 1: α = °;

Verschiebungen bezogen auf das lokale Element-KOS: u(e) = T ⋅ U(e)

=

=

−

⋅

−−

−−=

=

00004,0

......................................

......................................

00

00113,0000565,0

22

2200

0022

22

)1(2

11 u

uu

Elementschnittkräfte: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)

)()(1111

eE

A

eE

A

uu

lEA

ff

⋅

−

−⋅=

⋅−⋅

=

=

⋅

−

−=

=

2525

.......................................................

00004,0

1111

)1(2

11 l

EAff

f


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 164

Element 2: α = 315°;

Verschiebungen bezogen auf das lokale Element-KOS: u(e) = T ⋅ U(e)

=

=

⋅

−

−=

=

00012,0

...........................................................................

.................

.................

...................................

22

2200

0022

22

)2(3

1

2 uu

u

Elementschnittkräfte: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)

⋅−⋅

=

=

⋅

−

−=

=

215215

.............................................................

00012,0

....................

....................

)2(3

12 f

ff


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 165

Zusammenfassung

Bild 6-10: Ergebnisse des einführenden Beispiels

1. Regeln für die Knotenummerierung und Stabdefinition beachten! a) b) c)

2. Elementsteifigkeitsmatrizen aufstellen

X

1

Y

1

V = 20 kN

H = 10 kN

2

4 4

4

2

3

)1()1(2

2

22

22

1

1

2

2

1

1

)1( eE

E

A

A

ey

x

y

x

eEy

Ex

Ay

Ax

VUVU

ssccsscssccscc

lEA

FFFF

FFFF

−−−−

=

=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 166

3. Zusammenbau

4. Berechnung von Ua (Lösung des Gleichungssystems Kaa⋅Ua = Fa)

Fa = Kaa ⋅ Ua + Kab ⋅ Ub

5. Berechnung der Auflagerkräfte


6. Berechnung der Stabkräfte

f(e) = k ⋅ u(e); u(e) = T ⋅ U(e) ⇒ f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)

⋅

−−−−

−−−−

−−−−−−

=

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

883988390088398839883988390088398839008839883988398839008839883988398839

88398839883988391767808839883988398839017678

VUVUVU

FFFFFF

y

x

y

x

y

x

−−−−−−

−−

−−−−

−−−−

883988398839883988398839883988398839883988398839

8839883988398839

8839883988398839883988398839883988398839883988398839883988398839

−

⋅

−−

−−−−

=

00113,0000565,0

88398839883988398839883988398839

3

3

2

2

y

x

y

x

FFFF

⋅

=

−

=

1

1

2

2

176680017668

2010

VU

FF

y

x


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 167

6.3 Ablauf einer FE-Berechnung Bild 6-11: Ablauf einer FE-Berechnung

Schritt 1: Eingabe Geometrie des Tragwerks; Werkstoffe, Querschnittswerte und Koinzidenztabelle der Elemente; Randbedingungen

Schritt 2: Elementsteifigkeitsmatrizen

a) Aufstellen der Elementsteifigkeitsmatrizen (6.2.3) b) Transformation auf globale Koordinaten (6.2.5)

Schritt 3 „Aufbohren“ und

Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix (6.2.6)

Schritt 4: Berücksichtigung der Randbedingungen Ua: unbekannte Verschiebungen / Fa : äußere Lasten Ub: bekannte Verschiebungen (Lager) / Fb : unb.Lagerkräfte

Schritt 5: Lösung des Gleichungssystems Ua = Kaa-1 ⋅ [ Fa – Kab ⋅ Ub ]

Schritt 6: Rückrechnung a) Lagerreaktionen: Fb = KabT ⋅ Ua + Kbb ⋅ Ub b) Schnittgrößen: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 168

6.4 Weitere Beispiele

6.4.1 Beispiel 1 Bild 6-12: Beispiel 1

Baustoff: Stahl: 22210000mkN

mmNE .......................==

Rohr: ø 60,3 / 2,9 A=5,23 cm2 = m² Stab(1) :ℓ1= 2 m , α1 = 0°, E1 = E , A1 = A

Stab(2): ℓ2= 2 ∙ 2 m, α2 = 45°, E2 = E , A2 = A Koinzidenztabelle der Elemente Element - Nr. (1) (2)

Lokal

Global

U3

V3

2

21kNF =

(2)

°45

(1)1 3

2

V1

U1

U2

V2

Y

X


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 169

Randbedingungen Klasse a

unbekannte Verschiebungen :

=

1

1

VU

aU

bekannte Kräfte :

=

=

....

....F

1

1

a

y

x

FF

Klasse b

bekannte Verschiebungen :

=

=

0000

3

3

2

2

VUVU

bU

unbekannte Kräfte :

=

y

x

y

x

FFFF

3

3

2

2

bF

Schritt 2: Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen im globalen

Koordinatensystem

[ ]

)(

2

2

22

22

)(

)()(

e

e

ee

ssccsscssccscc

lEA

K

−−−−

=

Element (1): 28

1 101,2mkNE ⋅= ; A1= 5,23 ∙10-4 m² ; 1 = 2 m ; α1 = 0°

⇒ s = 0 ; s² = 0 ; c = 1 ; c² = 1 ; sc = 0

Vorwert : β=⋅==mkN

lEA 4

1

1 1049,5

[ ]

)1(

)1(

000......0...............

.......................................................

e

K

=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 170

Element (2): 28

2 101,2mkNE ⋅= ; A2 = 5,23 ∙10-4 m² ; ml 222 ⋅= ; α2 = 45°

⇒ ; s2=0,5 ; mc22

= ; c² = 0,5 ; sc = 0,5

Vorwert : =⋅

⋅⋅⋅=

−

221023,5101,2 48

2

2

lEA

Schritt 3 : Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix (e) ij(e) AB KK =~ ⇒ siehe Koinzidenztabelle

=

00000..........0..........

00000..........0........

~1K

=.................................................................................................................................................................

~2K

22

=s

[ ]

)2(

)2(

....................................

.............................................................................................................

e

K

−−−−

−−−−

=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 171

Gesamtsteifigkeitsmatrix

=

+=

0000000..........000..........00........................................00........................................00........................................0..................................................

~~

K

KKK 21

Schritt 4 : Einführung der Randbedingungen

⋅

=

=

=

3

3

2

2

1

1

V U VU

3

3

2

2

1

1

a

332211

VUVUVU

FFFFFF

VU

y

x

y

x

F

y

x

bb

T

ab

abaa

bKK

KK

F

F

=

....................

....................aaK

−=

00....................022..............................

abK

=

000..........

....................

....................

TabK

=

00000..........0000....................00....................

bbK


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 172

Schritt 5: Lösung des Gleichungssystems babaaaa UKUKF ⋅+⋅= ; Ub=0

a

1

aaa FKU ⋅= −;

−

=1

0aF

mVmU

51

51

10993,6108215,1

−

−

⋅−=

⋅==


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 173

Schritt 6: Rückrechnung 6a) Lagerreaktionen


−

=............

............aU

Kontrolle :

01010:0 132

=−+

=++=∑ ↑ yyy FFFV

0110

0:0 321

=−+=++=∑

→

xxx FFFH

−−−−−

=

000...........

......................

......................

abTK

−−−

=⋅=

=

0.................................

aab

3

3

2

2

b UKF T

y

x

y

x

FFFF

01

11

3

3

2

2

=−=

===

y

x

y

x

FFFF


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 174

6b) Berechnung der Schnittgrößen: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e ) ; Element 1: α1 = 0°

⋅

−

−=⋅=

0................

..........................................

1ukf (1)(1)

=

−

=

...........

..........

)1(2

1

eff

=

scsc00

00(e)T

−

=

=

00

......................

3

3

1

1

(1)

VUVU

U

=

01000001

(1)T

=⋅

........

.....................1(1) UT


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 175

Element 2 : α1 = 45° Berechnung der Schnittgrößen: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e ) ;

)( 2(2)(2) UTu ⋅=

−⋅

−

−=⋅=

.......................

............................................

2(2)(2) ukf

=

....................................

2

1

ff

kNf

kNf

41,12

41,12

2

1

==

−=−=

−

=

=

00

........................

2

2

1

1

(2)

VUVU

U

=

=11000011

22

22

2200

0022

22

(2)T

=

scsc00

00(e)T


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 176

6.4.2 Beispiel 2 Bild 6-13: Beispiel 2

Baustoff: Holz: 2210000mkN

mmNE ..................==

b/h = 10 / 20 cm A = m2 Stab(1) : ℓ1= …….. m , α1 = ……. , E1 = E , A1 = A

Stab(2): ℓ2= ……… m, α2 = ……., E2 = E , A2 = A Koinzidenztabelle der Elemente Element - Nr. (1) (2) Lokal Global

V2

U3

V1

V3

U1

U2

(2)

(1) 1

3

2

0,3

0,3 0,4

kNF 20=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 177

Randbedingungen Klasse a

unbekannte Verschiebungen :

=

1

1

VU

aU

bekannte Kräfte :

−

=

=

200

1

1

y

x

FF

aF

Klasse b

bekannte Verschiebungen :

=

=

0000

3

3

2

2

VUVU

bU

unbekannte Kräfte :

=

y

x

y

x

FFFF

3

3

2

2

bF


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 178

Schritt 2: Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen im globalen Koordinatensystem

[ ]

)(

2

2

22

22

)(

)(

)(

e

e

e

e

ssccsscssccscc

lEA

K

−−−−

=

Element (1): 27

1 1001mkNE ⋅= , ; A1 = m² ; 1 = ; α1 = °

⇒ s = ; s² = ; c = ; c² = ; sc =

Vorwert : == 11

1 βl

EA

Element (2): 27

2 101mkNE ⋅= ; A2 = m² ; ml =2 ; α2 = °

⇒ s= ; s2= ; c= ; c² = ; sc =

Vorwert : == 22

2 βl

EA

[ ]

)1(

)1(

....................................

....................................

....................................

....................................

=K

[ ]

)2(

)2(

....................................

....................................

....................................

....................................

=K


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 179

Schritt 3 : Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix (e) ij(e) AB KK = ⇒ siehe Koinzidenztabelle

=

......................................................

......................................................

......................................................

......................................................

......................................................

......................................................

K~1

=

......................................................

......................................................

......................................................

......................................................

......................................................

......................................................

K~ 2


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 180

Gesamtsteifigkeitsmatrix

=

+=

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

K

K~K~K 21

Schritt 4 : Einführung der Randbedingungen

=

=

=

bbab

V U VU

ab

3

3

2

2

1

1

KK

KK 332211

T

VU

aa

y

x

y

x

F

y

x

FFFFFF

b

a

F

F

=aaK =abK

=TabK =bbK


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 181

Schritt 5 : Lösung des Gleichungssystems

babaaaa UKUKF ⋅+⋅= 0Ub =

aaaa UKF ⋅=

oder als 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten geschrieben: Lösung: U1 = V1 =

⋅

=

.................................

..............................

.......................................................


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 182

Schritt 6 : Rückrechnung 6a) Lagerreaktionen


−

=00125,00004,0

aU

−−−−−

=

00006066,1

5,05,05,05,0

1ab βTK ; β1 = 47.137,46

=⋅=

=

.............................

.............................

.............................

.............................

1aab

3

3

2

2

b βUKF T

y

x

y

x

FFFF

;

020

2020

3

3

2

2

=−=

==

y

x

y

x

FFFF

Kontrolle : 020020

0:0 132

=−+

=++=∑ ↑ yyy FFFV

020200

0:0 321

=−+=++=∑

→

xxx FFFH


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 183

6b) Berechnung der Schnittgrößen: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e )

Element 1: α1 = 225° ;

−

=

=

0000125,00004,0

2

2

1

1

(1)

VUVU

U

=

scsc00

00(e)T

−−

−−=

11000011

22

(1)T ;

=⋅

.......................................................

22

1(1) UT =

=

⋅

−

−=⋅=

.............

.............................

1111

11(1)(1) βukf

=

..........................

2

1

ff

(β1 = 47.137,46)

Element 2 : α2 = 0°

−

=

=

0000125,00004,0

3

3

1

1

(2)

VUVU

U

=

01000001

T(2)

=⋅

...........

...........UT 2(2)

=

⋅

−

−=⋅=

.............

.....................................

1111

22(2)(2) βukf

(β2 = 50.000)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 184

6.5 Balkenelement

6.5.1 Zusammenhang zwischen Verschiebungsgrößen und Kraftgrößen Bild 6-14: Verformungen und Freiheitsgrade am Balkenelement Der Einfluss infolge u ist beim Fachwerkelement abgehandelt worden. Betrachtung der Biegeverformungen (s.a. Kap 3.5) Durchbiegung w

Verdrehung ϕ Bild 6-15: Freiheitsgrade am Balkenelement

MA

fzE fzA

fxA fxE

ϕE

ϕA

uE

wE

uA

ℓS

EΙS A E

wA

Z

X

wE

wA

ME

ϕA

ϕE


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 185

6.5.2 Die Elementsteifigkeitsmatrix Mit den Seiten in Kapitel 3.5.2. ergibt sich:

⋅

−

−−−

−

−

⋅=

E

E

A

A

E

zE

A

zA

w

w

ll

llll

ll

llll

lEI

Mf

Mf

ϕ

ϕ

4626

612612

2646

612612

22

22

bebebe ukf ⋅= Für die Rückrechnung ergibt sich EAzEEzAA M,M,f,f −===−= EA MMVVmit

⋅

−−−

−−−

−

−−−

⋅=

E

E

A

A

E

E

A

A

w

w

ll

llll

ll

llll

lEI

MVMV

ϕ

ϕ

4626

612612

2646

612612

22

22

)()( loklokbebe uSS ⋅= ; Sbe(lok) : Spannungsmatrix

Erweiterung der Steifigkeitsmatrix um den Normalkraftanteil

⋅

−

−−−

−

−

−

−

=

E

E

E

A

A

A

E

zE

xE

A

zA

xA

wu

wu

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

MffMff

ϕ

ϕ

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

eee ukf ⋅=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 186

6.5.3 Transformationen Transformation der Verschiebungen

Bild 6-16: Transformation der Verformungen am Balkenelement

Φ

Φ⋅

−

−

=

E

E

E

A

A

A

E

E

E

A

A

A

WU

WU

wu

wu

1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos

αααα

αααα

ϕ

ϕ

ue = T ⋅ Ue

Knotenverschiebungen Bild 6-17: Lokale und globale Verformungen am Balkenelement

Z ϕE

WA

ϕA

wA

x

uA

WE

UE

UA

X

A

E

uA = UA ⋅ cos α - WA ⋅ sin α wA = UA ⋅ sin α + WA ⋅ cos α uE = UE ⋅ cos α - WE ⋅ sin α wE = UE ⋅ sin α + WE ⋅ cos α ϕA = ΦA; ϕE = ΦE

wE

Aw

Au

AϕEw

Eϕ

AΦ

EΦ

EU

AU EW

Eu

AW


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 187

Transformation der Kräfte am Element Bild 6-18: Transformation der Kraftgrößen am Balkenelement

⋅

−

−

=

E

zE

xE

A

zA

xA

E

zE

xE

A

zA

xA

Mff

Mff

MFFMFF


αααα

αααα

eT(e) fTF ⋅=

Bild 6-19: Lokale und globale Kraftgrößen am Balkenelement

Z

x

fxE

FXE

X

A

E

FXA = fxA ⋅ cos α + fzA ⋅ sin α FZA = - fxA ⋅ sin α + fzA ⋅ cos α FXE = fxE ⋅ cos α + fzE ⋅ sin α FZE = - fxE ⋅ sin α + fzE ⋅ cos α MA = MA; ME = ME

FZE

fxA

FXA FZA

fzA

MA

ME fzE

AM zEf

EM

AM

EM

xEF

xAF

zEF

zAF

xEf

zAf

xAf


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 188

6.5.4 Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten

ee UTu ⋅=

efTF Te ⋅=

−

−

=


αααα

αααα

T ;

Φ

Φ=

E

E

E

A

A

A

WU

WU

eU ;

=

E

zE

xE

A

zA

xA

MFFMFF

eF

eeT

eeT

eT

e UTkTukTfTF ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=

eee FUK =⋅ wobei TkTK eT

e ⋅⋅=

−−−−

−−−−

=

00000000000000000000

22

22

22

22

sscsscsccscc

sscsscsccscc

lEA

NK

−−−−−−−−−−

−−−−−−

=

22

22

22

22

22

22

3

46626661212612126121261212

26646661212612126121261212

llclsllclslccsclccsclsscslsscs

llclsllclslccsclccsclsscslsscs

lEI

bK

6.5.5 Zusammenbau wie Fachwerk: Klasse a: unbekannte Verformungen / Bekannte Knotenkraftgrößen


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 189

6.5.6 Berücksichtigung von Elementlasten (Festeinspannmomente)

−

=

⋅

−

−−−

−

−

⋅

EL

zEL

AL

zAL

E

zE

A

zA

E

E

A

A

Mf

Mf

Mf

Mf

w

w

ll

llll

ll

llll

lEI

ϕ

ϕ

4626

612612

2646

612612

22

22

geg. Knotenlasten Knotenlasten infolge Stabbelastung (= negative Auflagerkräfte / -momente;

aus Tabellenwerken am beidseitig eingespannten Stab, Vz. FEM)

Die Festeinspannmomente und die Querkräfte am beidseitig eingespannten Träger findet man z.B. in Schneider-Bautabellen S. 4.8.

6.5.7 Beispiel: 2-Feld-Träger

Bild 6-20: Einführendes Beispiel zum Balkenelement

Material: Holz: E = 10.000 N/mm2

Feld 1: b/h = 15 cm / 45 cm; Ι1 = ; EΙ1 =

Feld 2: b/h = 15 cm / 30 cm; Ι2 = ; EΙ2 =

==1

11 l

EIβ

==2

22 l

EIβ

1

10 m 5 m

q = 4 kN/m

2 3

bLffuk bebebe −=⋅


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 190

Element 1

Lokale Stema

Knotenkräfte infolge der Belastung am beidseitig eingespannten Träger Bild 6-21: Aufbau des Lastvektors Element 1 Aus Tabellen (gemessen im FEM KOS):

=⋅

−==−21

lqfA Lz =⋅

−==−22

lqfB Lz

=⋅

−==12

2

1lqMM Lli =

⋅−−==−

12

2

2lqMM Lre

Keine äußeren Knotenlasten vorhanden

bL1111 ffuk −=⋅ bbb

ℓ=10m

−

=

⋅

−

−−−

−

−

⋅

L

Lz

L

Lz

z

z

MfMf

MfMf

w

w

ll

llll

ll

llll

lEI

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

11

1

2

11

2

1

11

1

2

11

2

1

1

1

4626

612612

2646

612612

ϕ

ϕ

−−

−

−

=

⋅

−−−−

−−

⋅

33,3320

33,3320

0000

46,026,06,012,06,012,026,046,06,012,06,012,0

1140

2

2

1

1

ϕ

ϕw

w

−

=

⋅

−−−−

−−

33,3320

33,3320

456068422806846848,1366848,136

228068445606846848,1366848,136

2

2

1

1

ϕ

ϕw

w


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 191

Element 2 Lokale Stema

Knotenkräfte infolge der Belastung am beidseitig eingespannten Träger Bild 6-22: Aufbau des Lastvektors Element 2 Aus Tabellen (gemessen im FEM KOS):

=⋅

−==−22

lqfA Lz =⋅

−==−23

lqfB Lz

=⋅

−==12

2

2lqMM Lli =

⋅−−==−

12

2

3lqMM Lre

Keine äußeren Knotenlasten vorhanden

−−−

−

=

⋅

−−−−

−−

⋅

33,81033,8

10

0000

42,122,12,148,02,148,022,142,12,148,02,148,0

675

3

3

2

2

ϕ

ϕw

w

−

=

⋅

−−−−

−−

33,81033,8

10

27008101350810810324810324

13508102700810810324810324

3

3

2

2

ϕ

ϕw

w

bL2222 ffuk −=⋅ bbb

ℓ=5m

−

=

⋅

−

−−−

−

−

⋅

L

Lz

L

Lz

z

z

Mf

Mf

Mf

Mf

w

w

ll

llll

ll

llll

lEI

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

22

2

2

22

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

4626

612612

2646

612612

ϕ

ϕ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 192

Zusammenbau

=

....................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

~1K

=

....................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

~2K

=

....................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

~K


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 193

Umordnen in Klasse a und Klasse b

=

....................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

~K

Für die Rückrechnung am Element ergibt sich

FEME

FEMAzEEzAA M,M,f,f −===−= EA MMVVmit

−

−

+

⋅

−−−

−−−

−

−−−

⋅=

EL

zEL

AL

zAL

E

E

A

A

E

E

A

A

Mf

Mf

w

w

ll

llll

ll

llll

lEI

MVMV

ϕ

ϕ

4626

612612

2646

612612

22

22

(lok)

be

(lok)

be uSS ⋅= ; Sbe(lok) : Spannungsmatrix


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 194

Element 1

Element 2

−−

−−−

+

−

⋅

−+−−−−−

−−+−−

=

)33,33(20

33,33)20(

00316,0000

456068422806846848,1366848,136

228068445606846848,1366848,136

2

2

1

1

MVMV

−−

−−−

+

−

−⋅

−+−−−−−

−−+−−

=

)33,8(1033,8

)10(

001505,00

00316,00

27008101350810810324810324

13508102700810810324810324

3

3

2

2

MVMV

−−

=

−−

−+

−

=

022,689,18

78,13

33,81033,8

10

33,878,3

56,1078,3

3

3

2

2

MVMV

−−−

=

−−

−+

−

=

93,1884,1753,40

16,22

33,3320

33,3320

4,1416,2

2,716,2

2

2

1

1

MVMV

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