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________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Kolloquium 2, Musterlösung Seite 1/13 Prof. Dr. Eleni Chatzi Professur für Strukturmechanik Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 2, Lösung ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thema: Verformungsmethode Vorzeichenkonvention: Aufgabe 1, Lösung Gegeben: System (, ,) l EI k und Einwirkung i M Gesucht.: - Stab- und Kreuzsteifigkeiten allgemein - Schnittkraftlinien infolge der Einwirkung i M für 1 k = 4 n = Verformungen qualitativ infolge i M : Momente qualitativ infolge i M : Das System ist 4-fach statisch unbestimmt. Mit der Kraftmethode müssten somit 4 ÜG eingeführt werden.

BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 2, Lösung...2020/03/06  · ki ki ki ik ik ik i ik k ik ik ik ki ki ki k ki i ki ki ki M MM M MM M M s t st M M s t st ϕ ϕ = + = + = + ⋅ϕ + ⋅ϕ −

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________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Kolloquium 2, Musterlösung Seite 1/13

Prof. Dr. Eleni Chatzi Professur für Strukturmechanik

Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

BAUSTATIK II − KOLLOQUIUM 2, Lösung

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thema: Verformungsmethode Vorzeichenkonvention:

Aufgabe 1, Lösung

Gegeben: System ( , , )l EI k und Einwirkung iM

Gesucht.: - Stab- und Kreuzsteifigkeiten allgemein

- Schnittkraftlinien infolge der Einwirkung iM für 1k = 4n = Verformungen qualitativ infolge iM : Momente qualitativ infolge iM : Das System ist 4-fach statisch unbestimmt. Mit der Kraftmethode müssten somit 4 ÜG eingeführt werden.

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 2/13

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Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

Da das System unverschieblich ist (es braucht keine Festhaltekraft, um eine Verschiebung zu verhindern), ergibt sich mit der Verformungsmethode nur ein einziger unbekannter Knotendrehwinkel iϕ System unverschieblich → Stabdrehwinkel 0ψ = → Unbekannte: Knotendrehwinkel iϕ 1. Festeinspannmomente Da auf die Stäbe keine Lasten wirken und auch keine Verformungen aufgezwungen werden, gibt es keine Festeinspannmomente. 2. Stab- und Kreuzsteifigkeiten Stabsteifigkeiten ( 1)ik ik is M= ϕ = Kreuzsteifigkeiten ( 1)ik ik kt M= ϕ = Stab i – 1: 1n = - Stabsteifigkeit i1s : →

Page 3: BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 2, Lösung...2020/03/06  · ki ki ki ik ik ik i ik k ik ik ik ki ki ki k ki i ki ki ki M MM M MM M M s t st M M s t st ϕ ϕ = + = + = + ⋅ϕ + ⋅ϕ −

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 3/13

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Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

Lösung mit Kraftmethode: GS und ÜG:

i i( 1) :M X =

i i ii i0

ii

2

i i1ii

2

1i i1 1i

1 ( 0)

1 1 1 113

23 31 1 3

23

0

f

f

f

X

l cEI l l

cl lEI EIl

EIX sc lLEI l

s t t

ϕ = ⋅ϕ = ϕ =

ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= + =

= = = =ϕ

+

= = =

Stab i – 2: 1n = - Stabsteifigkeit i2s , Kreuzsteifigkeit 2it : → GS und ÜG:

i i( 1) :M X =

i i ii

ii

i i2 2i i2 2iii

1

1 12 13 2 3

1 3

X

l lEI EI

EIX s t t sl

ϕ = ⋅ϕ =

ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= = = = = =ϕ

Page 4: BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 2, Lösung...2020/03/06  · ki ki ki ik ik ik i ik k ik ik ik ki ki ki k ki i ki ki ki M MM M MM M M s t st M M s t st ϕ ϕ = + = + = + ⋅ϕ + ⋅ϕ −

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 4/13

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Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

Stab i – 3: 0n = → statisch bestimmt - Stabsteifigkeit i3s : i3 0s = Stab i – 4: 2n = - Stabsteifigkeit i4s , Kreuzsteifigkeit 4it : → GS und ÜG:

i i( 1) :M X =

4 4( 1) :M X =

i ii 4 i4

4 i 4i 4 44

ii

44

i4

10

1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 26 2 2 2 2 3 2 2 2

724 24

724 24

1 1 1 1 1 11 2 2 16 2 2 2 6 2 2 2

1

iX XX X

l lEI kEI

l lEI kEIl lEI kEI

l lEI kEI

l

ϕ = ⋅ϕ + ⋅ϕ =

ϕ = ⋅ϕ + ⋅ϕ =

ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

= +

ϕ = +

ϕ = ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

= −

i 4

i 4

2 12

7 124 24 12 12

7 012 12 24 24

lEI kEI

l l l lX XEI kEI EI kEIl l l lX XEI kEI EI kEI

+

+ ⋅ − + ⋅ = − + ⋅ + + ⋅ =

Page 5: BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 2, Lösung...2020/03/06  · ki ki ki ik ik ik i ik k ik ik ik ki ki ki k ki i ki ki ki M MM M MM M M s t st M M s t st ϕ ϕ = + = + = + ⋅ϕ + ⋅ϕ −

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 5/13

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Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

( )

( )

4 4i i4 2

i i4 2

11614 1

7814 1

k kEIX t tl k k

k kEIX sl k k

⋅ += = = ⋅

+ +

⋅ += = ⋅

+ +

- Stabsteifigkeit 4is , Kreuzsteifigkeit i4t :

( )

( )

i i ii 4 i4

4 i 4i 4 44

4i 2

i4 4i 2

01

7 1814 1

11614 1

X XX X

k kEIsl k k

k kEIt tl k k

ϕ = ⋅ϕ + ⋅ϕ =ϕ = ⋅ϕ + ⋅ϕ =

⋅ +→ = ⋅

+ +

⋅ += = ⋅

+ +

Stab- und Kreuzsteifigkeiten in Abhängigkeit von k:

0k = 0.5k = 1k = 2k = 10k = k = ∞

i4EIsl

( )

28 7

14 1

k k

k k

⋅ +

+ + 0 3.64 4 4.36 5.64 8

4iEIsl

( )

28 7 1

14 1

k k

k k

⋅ +

+ + 0 2.18 4 7.27 23.57 56

i4 4iEIt tl

= ( )

216 1

14 1

k k

k k

⋅ +

+ + 0 1.45 2 2.91 7.30 16

3. Stabendmomente

( )( )

0

0ik ik ik i ik k ik ik ik

ki ki ki k ki i ki ki ki

M M s t s t

M M s t s t

= + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ψ

= + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ψ

i1 1 i i

i2 2 i i

2i 2i i i

i3 3i

i4 i4 i i

4i 4i i i

323

3

04 (für 1)

2 (für 1)

i

i

EIM slEIM sl

EIM tl

M MEIM s klEIM t kl

= ⋅ϕ = ⋅ϕ

= ⋅ϕ = ⋅ϕ

= ⋅ϕ = ⋅ϕ

= =

= ⋅ϕ = ⋅ϕ =

= ⋅ϕ = ⋅ϕ =

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 6/13

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Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

4. Knotengleichgewicht

4

i i i1 i2 i3 i4 i1

0kk

M M M M M M M=

− = → + + + =∑

4i i i i i i

1

i i

3 3 4 172 2

217

kk

EI EI EI EIM Ml l l l

l MEI

== = ⋅ϕ + ⋅ϕ + ⋅ϕ = ⋅ϕ∑

→ ϕ = ⋅

5. Endgültige Stabendmomente

i1 i i

i2 i i

2i i i

i3 3i

i4 i i

4i i i

i i

3 2 32 17 17

3 2 617 17

3 2 617 17

0

4 2 817 17

2 2 417 17

Kontrolle: i.O.k

EI lM M Ml EI

EI lM M Ml EI

EI lM M Ml EI

M M

EI lM M Ml EI

EI lM M Ml EI

M M

= ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

= =

= ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

Σ =

6. Schnittkraftlinien M: Merke:

Momentenpfeil des Stabendmomentes (Vorzeichen der Verformungsmethode beachten!) dreht ums Stabende und „greift“ in der M-„Fläche“ an Beispiel:

Beim Bezeichnen der M-Flächen allgemeine Konvention verwenden.

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 7/13

Prof. Dr. Eleni Chatzi Professur für Strukturmechanik

Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

V: Zeichnung nach Berechnung nach allg. Konvention: +V ↑ ↓ Konvention Verformungsmethode: +V ↓ ↑

( )

i1 1

i1 ii1

i1i i1

i2 i2 2i

i2 2i ii2

i2i i2

i4 i4 4i

i4 4i ii4

i4i i4

0317

317

01217

1217

0

1217

1217

iV l MM MV

l l

MV Vl

V l M MM M MV

l l

MV Vl

V l M MM M MV

l l

MV Vl

⋅ + =

= − = −

= = −

⋅ + + =

+ = − = −

= = −

⋅ + + =

+= − = −

= = −

N: Berechnung von N mit der Konvention Verformungsmethode für +V ↓ ↑

i1 i3

ii4 i2 i4 i2

i2 i3 i1 i4

i ii2 i3

ii2 i3

0 ; 012017

03 12 017 179 statisch unbestimmt17

N VMN V N Vl

N N V VM MN N

l lMN N

l

= =

− = → = = −

− − + =

− + − =

− = →

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 8/13

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Lösung mit Kraftmethode (EA = konstant):

i i30

33

30 i3 30 3 33 3

33

i ii3 i2

9 9( 1)17 17

2 2( 1) ( 1)

9034

9 9;34 34

M Mll EA EA

l lEA EA

MX Xl

M MN Nl l

δ = − ⋅ ⋅ = −

δ = − ⋅ − ⋅ =

δδ = δ + ⋅δ = → = − =

δ

→ = − =

Aufgabe 2, Lösung

Gegeben: System ( , konstant)l EI = und Einwirkungen q und Q ql=

Gesucht: Schnittkraftlinien 3n =

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 9/13

Prof. Dr. Eleni Chatzi Professur für Strukturmechanik

Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

Verformungen qualitativ infolge q und Q: Momente qualitativ infolge q und Q: Das System ist 3-fach statisch unbestimmt. Da es unverschieblich ist (es braucht keine Festhaltekraft, um eine Verschiebung zu verhindern), ergibt sich mit der Verformungsmethode nur ein einziger unbekannter Knotendrehwinkel 2ϕ System unverschieblich → Stabdrehwinkel 0ψ = → Unbekannte: Knotendrehwinkel 2ϕ 1. Kondition «0» - Festeinspannmomente Stab 1-2:

012

2021

0

8

M

qlM

=

= −

Stab 2-3: keine Einwirkung → 0 0

23 32 0M M= =

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 10/13

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Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

Stab 2-4:

2024

2042

8 8

8 8

Ql qlM

Ql qlM

= − = −

= =

2. Kondition «φ» - Stab- und Kreuzsteifigkeiten

Stab 1-2:

21 12 21 123 0EIs t t s

l= = = =

Stab 2-3:

23 23 32 323 0EIs t t s

l= = = =

Stab 2-4:

24 24

42 42

4 2

4 2

EI EIs tl l

EI EIs tl l

= =

= =

Momentpaar

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 11/13

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Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

3. Stabendmomente

( )( )

0

0

0

0

ik ik ik

ki ki ki

ik ik ik i ik k ik ik ik

ki ki ki k ki i ki ki ki

M M M

M M M

M M s t s t

M M s t s t

ϕ

ϕ

= +

= +

= + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ψ

= + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ψ

12

221 2

23 2

322

24 2

242 2

0

3830

0

48

28

M

ql EIMl

EIMl

M

ql EIMl

ql EIMl

=

= − + ⋅ϕ

= + ⋅ϕ

=

= − + ⋅ϕ

= + ⋅ϕ

4. Knotengleichgewicht 2 21 23 240 0kM M M MΣ = → + + =

2 22 2 2 2

22

32

3 3 4 08 8

10 04

40

kql EI EI ql EIM

l l lql EI

lql

EI

Σ = − + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ϕ =

→ − + ⋅ϕ =

→ϕ =

Page 12: BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 2, Lösung...2020/03/06  · ki ki ki ik ik ik i ik k ik ik ik ki ki ki k ki i ki ki ki M MM M MM M M s t st M M s t st ϕ ϕ = + = + = + ⋅ϕ + ⋅ϕ −

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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 12/13

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Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

5. Endgültige Stabendmomente

122 2 2

21

223

322 2 2

24

2 2 242

2

0

3 28 40 40

340

0

48 40 40

2 78 40 40

Kontrolle: 0 i.O.k

M

ql ql qlM

qlM

M

ql ql qlM

ql ql qlM

M

=

= − + = −

=

=

= − + = −

= + =

Σ =

6. Schnittkraftlinien M:

Page 13: BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 2, Lösung...2020/03/06  · ki ki ki ik ik ik i ik k ik ik ik ki ki ki k ki i ki ki ki M MM M MM M M s t st M M s t st ϕ ϕ = + = + = + ⋅ϕ + ⋅ϕ −

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Kolloquium 2, Musterlösung Seite 13/13

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Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG

V: Zeichnung nach Berechnung nach allg. Konvention: +V ↑ ↓ Konvention Verformungsmethode: +V ↓ ↑

221 21

2121

12 21

02

222 40

1840

qlV l M

Mql qlVL

qlV V ql

⋅ − + =

= − =

= − = −

23 23

2323

32 23

0340

340

V l MM qlV

l

qlV V

⋅ + =

= − = −

= = −

( )24 24 42

24 4224

42 24

02

142 40

2640

lV l ql M M

M Mql qlVl

qlV V ql

⋅ − ⋅ + + =

+= − =

= − = −

N: Berechnung von N mit der Konvention Verformungsmethode für +V ↓ ↑

21

24 21 23 24

23 24 23

025040

14040

NqlN V V N

qlN V N

=

+ − = → = −

+ = → = −