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183 Astrno. Nachr., Bd. 294. H. 4 (1973) Behandlung eines einfachen hydromagnetischen Dynamos mittels Linearisierung G. RUDIGER, Potsdam Zen t r alins t i t u t f u r As t r op h y si k Mit I Abbildung. (Eingegangeii 1972 Dez. 22) Es werden die nichtlinearen Gleichungen eines einfachen, auf der Theorie des a-Effektes beruhenden Dynamomodells fur ltleine Uberschreitungen der kritischen Xnregungsbedingung gelost. Daniit wird ein Weg eingeschlagen, die GroBe der induzierten Magnetfelder zu bestimnien. Als Ergebnis werden die Funk- tionsverlaufe des toroidalen Mngnetfeldes sowie der toroidalen Komponente des Vektorpotentials des blagnetfeldcs in numerischer Form angegeben. The non-linear equations of the spherical a = const-dynamo are solved by a linearisation with respect to the deviation of a from the critical value. The magnitude of the induced magnetic field is derived. Represen- tations of the toroidal and the poloidal component of the magnetic field are given. I. Die iibenvicgende Mehrheit der bisher angegebenen Dynamomodelle fur magnetische Sterne stellt wegen der Vernachlassigung der Ruckwirkung des Magnetfeldes B auf die Bewegung nur fur den Grenzfall B + o eine Losung des Dynamoproblems dar. Die mathematische Kompliziertheit, die beim Beseitigen dieser Einschrankung zu erwarten ist, 1aBt sich nur durch die Behandlung eines physikalisch moglichst einfachen Modells bewaltigen. Als solches bietet sich das von KRAUSE und STEENBECK [I] aufgestellte Dynamomodell an, das auf der Berucksichtigung der Induktionswirkung einer nicht- spiegelsyinmetrischen Turbulenz ful3t. Das fur B + o auftretende mathematische Problem erweist sich als Eigenwertaufgabe fur den Eigenwertparameter a, der die Induktionswirkung der nichtspiegel- symmetrischen Turbulenz (a-Effekt) charakterisiert. Fur ein kugelformiges Model1 (Radius R), bei dem der - ortlich konstant gedachte - a-Effekt den einzigen induzierenden EinfluR ausubt, ergibt sich die Eigenwertgleichung Ckrit = y 0 R akrit = 4.4936 (1) wobei p die Permeabilitat und cr die Leitfahigkeit des Mediums bezeichnen. Eine derartige Bedingung ist nie genau erfullt ; es erhebt sich die Frage nach den Verhaltnissen bei C=Ckrit+C, c>o. (2) Da der Eigenwer tcharakter des Problems bei Benutzung der nichtlinearen Gleichungen verloren geht, diese aber stets Aussagen iiber die Starke der zu erwartenden Felder liefern, sollte die Behandlung solcher Gleichungen eine Abhangigkeit der Magnetfeldstarke von der Differenz C - Ckrit erkennbar werden lassen. Fur die Unterdruckung der Turbulenz durch das Magnetfeld ist die Lorentzkraft, eine in der Magnetfeldstarke quadratische Bildung, verantwortlich. Da keine anderen die Struktur der Turbulenz bestimmenden Skalare gebildet werden konnen, gilt, jedenfalls fur kleine B, I C=C-I'B2 (3) (MOFPATT [z], KRAUSE und RXDLER [3]). rein toroidalen Anteil Bt und einem rein poloidalen Anteil B, = rot A dar. 2. Wir suchen zylindersymmetrische Losungen fur B und stellen diese als Summe aus einem Das Vektorpotential A ist dann als rein toroidales Feld vorauszusetzen. Da die Losungen fur c + o ebenfalls gegen Null gehen, ergibt sich IBI m c. Aus Dimensions- ohne weiteres ersichtlich. Insgesamt bietet sich, auch nach einem griinden ist andererseits jB1 - Blick auf GI. (3), der Ansatz

Behandlung eines einfachen hydromagnetischen Dynamos mittels Linearisierung

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Page 1: Behandlung eines einfachen hydromagnetischen Dynamos mittels Linearisierung

183

Astrno. Nachr., Bd. 294. H. 4 (1973)

Behandlung eines einfachen hydromagnetischen Dynamos mittels Linearisierung

G. RUDIGER, Potsdam

Z e n t r a l i n s t i t u t f u r A s t r o p h y si k

Mit I Abbildung. (Eingegangeii 1972 Dez. 22)

Es werden die nichtlinearen Gleichungen eines einfachen, auf der Theorie des a-Effektes beruhenden Dynamomodells fur ltleine Uberschreitungen der kritischen Xnregungsbedingung gelost. Daniit wird ein Weg eingeschlagen, die GroBe der induzierten Magnetfelder zu bestimnien. Als Ergebnis werden die Funk- tionsverlaufe des toroidalen Mngnetfeldes sowie der toroidalen Komponente des Vektorpotentials des blagnetfeldcs in numerischer Form angegeben.

The non-linear equations of the spherical a = const-dynamo are solved by a linearisation with respect to the deviation of a from the critical value. The magnitude of the induced magnetic field is derived. Represen- tations of the toroidal and the poloidal component of the magnetic field are given.

I. Die iibenvicgende Mehrheit der bisher angegebenen Dynamomodelle fur magnetische Sterne stellt wegen der Vernachlassigung der Ruckwirkung des Magnetfeldes B auf die Bewegung nur fur den Grenzfall B + o eine Losung des Dynamoproblems dar. Die mathematische Kompliziertheit, die beim Beseitigen dieser Einschrankung zu erwarten ist, 1aBt sich nur durch die Behandlung eines physikalisch moglichst einfachen Modells bewaltigen. Als solches bietet sich das von KRAUSE und STEENBECK [I] aufgestellte Dynamomodell an, das auf der Berucksichtigung der Induktionswirkung einer nicht- spiegelsyinmetrischen Turbulenz ful3t. Das fur B + o auftretende mathematische Problem erweist sich als Eigenwertaufgabe fur den Eigenwertparameter a, der die Induktionswirkung der nichtspiegel- symmetrischen Turbulenz (a-Effekt) charakterisiert. Fur ein kugelformiges Model1 (Radius R) , bei dem der - ortlich konstant gedachte - a-Effekt den einzigen induzierenden EinfluR ausubt, ergibt sich die Eigenwertgleichung

Ckri t = y 0 R a k r i t = 4.4936 (1)

wobei p die Permeabilitat und cr die Leitfahigkeit des Mediums bezeichnen. Eine derartige Bedingung ist nie genau erfullt ; es erhebt sich die Frage nach den Verhaltnissen bei

C = C k r i t + C , c > o . ( 2 )

Da der Eigenwer tcharakter des Problems bei Benutzung der nichtlinearen Gleichungen verloren geht, diese aber stets Aussagen iiber die Starke der zu erwartenden Felder liefern, sollte die Behandlung solcher Gleichungen eine Abhangigkeit der Magnetfeldstarke von der Differenz C - Ckrit erkennbar werden lassen. Fur die Unterdruckung der Turbulenz durch das Magnetfeld ist die Lorentzkraft, eine in der Magnetfeldstarke quadratische Bildung, verantwortlich. Da keine anderen die Struktur der Turbulenz bestimmenden Skalare gebildet werden konnen, gilt, jedenfalls fur kleine B,

I

C = C - I ' B 2 (3)

(MOFPATT [ z ] , KRAUSE und RXDLER [3] ) .

rein toroidalen Anteil Bt und einem rein poloidalen Anteil B , = rot A dar. 2. Wir suchen zylindersymmetrische Losungen fur B und stellen diese als Summe aus einem

Das Vektorpotential A ist dann als rein toroidales Feld vorauszusetzen. Da die Losungen fur c + o ebenfalls gegen Null gehen, ergibt sich IBI m c. Aus Dimensions-

ohne weiteres ersichtlich. Insgesamt bietet sich, auch nach einem griinden ist andererseits jB1 - Blick auf GI. (3), der Ansatz

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mit anderen Worten 112 112

A = (+) (A(") + c A ( x ) + . . .) B, = (p) (Bt") + c Bj') + ' . .) , (4)

an. Ein Koeffizientenvergleich hinsichtlich c 1aBt aus dem System der Dynamogleichungen

R 4 A + c" B, = o R d B , + rot ( F rot -4) = o (5)

entstehen. Aus diesem ergibt sich mit der ublichen Entwicklung nach LEGENDREsChen Polynomen fur die jeweils toroidalen Komponenten der Vektoren A und B

und nach Elimination der GroBen A("), Afr ) und A(?) aus den linken Seiten der entsprechenden Glei- chungen des Systems (6):

(8) I

X

Die GleichLng fur das Feld o-ter Ordnung ist mit der von KRAUSE und STEENBECK [I] angegebenen identisch. Dieser Arbeit sind auch die Bedingungen

B,(I) = 0 (11)

(12) & ( I ) + (n + I ) A , @ ) = 0 9

die das Austreten von Stromen aus der Kugel verhindern bzw. einen stetigen AnschluB an ein Gradien- tenfeld im AuBeren der Kugel ernioglichen, zu entnehmen. Die im Zentraum x = o regulare Losung der Gleichung (8) lautet

By(x) = b(0) x - - ' / z J n + r ! i (Clmit X) , (13)

woraus sich mit GI. (XI) die Eigenwertgleichung Jntrlz(Clcri,) = o ergibt. Diese transzendende Glei- chung besitzt co2 Losungen, deren betragsmaBig kleinste die betragsmaBig kleinste des Falles n = I

ist. 3. Unser Ziel ist es festzustellen, wie sich die charakteristischen Funktionen des Grundzustandes

bei kleinen Uberschreitungen des allerkleinsten Eigenwertes andern. Die Entwicklungen (7) sind folglich in dem Sinne

C k r i t = 4.4936 . . . (14)

A i ) = o , m > ~ (15) BL) = 0, m > I (16)

zu benutzen. Auf Grund dieser Voraussetzungen sind in der Gleichung (9) nur die Funktionen Fl und F , von Null verschieden, und es gilt

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G. R ~ ~ D I C E R : Behandlung eines einfachen hydroinagnetischen Dynanios niittels Linearisierung 185

Offensichtlich stellt die Angabe der Funktionen By' und By) die vollstandige Angabe des Vektors B") dar. Der Ausdruck

ist die Losung der ersten Gleichung (6) unter Berucksichtigung der unter (12) gegebenen Randbedin- gungen, wahrend

lediglich eine Hilfsfunktion beschreibt. Nunmehr sind wir in der Lage, uns der Losung der Gleichung (9) zuwenden zu konnen. Deren

liomogene Form ist mit Gleichung (8) identisch, besitzt also fur f i = I ebenfalls die Losung (13, 14). Nach dem Satz von STURM-LIOUVILLE ist daher fur die Losbarkeit des inhomogenen Problems bei TZ = I die Gultigkeit einer Integrabilitatsbedingung bezuglich der Funktion F,(x) zu fordern.

Die allgemeine, im Zentrum regulare Losung der Gleichung (9) lautet :

>

k,,(x, 5 ) = J j r - t I / z ( C k r i t 5 ) J - 9 1 - x/z ( c k r i t x) - J - I I - I / ~ (Chit 5 ) Jrr+1!2 (Clirit x) . Die Randbedingung (11) liefert fur n = I offensichtlich die Folgerungen, daO bj') eine unbestimmte Zahl bleibt, und daO I

J' 63'2 Fi(5) J3/2(Clir i t 5 ) dF = .O (22) 0

gelten muO. Die Lasung des inhomogenen Problems ist nur bis auf die Addition der Losung des homo- genen Problems bestimmt. Die auf diese Weise neu erscheinende GroOe b!' ist aus ganz denselben Grunden unter Anwendung der Integrabilitatsbedingungen fur Gleichung (10) .

I

J 63" C , ( t ) J3 /z (Cj<rit 5 ) ~ 1 5 = 0 0

bestimmbar. Die sehr verwickelte Funktion G, konnen wir aus Platzgrunden nicht angeben. 4. Die numerische Auswertung der G1. (22) fuhrt auf

womit sich aus ( 2 3 ) b r ) m 1.1525.. . ,

b!' m 0 . 9 0 9 ~ . . .

ergibt. In der Tabelle geben wir den Verlauf der in (4) und (7) eingefuhrten Anteile der Feldfunktionen A und B wieder.

T a b e l l e I . Ver lau f d e r i n (4) untl (7) e i n g e f u h r t e n -4n te i l e d e r F e l d f u n k t i o n e n A uiid B

x

0.066 0.145 0.240 0.335 0.430 0.525 0.620 0.7'5 0.810 0.905 I .oo

.52 --I

,111

,172 ,219

.249 ,259 .252

,233 ,203

.r41 ,171

- , 6 2 - 2 -,I13 -1

-.3" - 2 ,106 - 1 ,259 --I

,383 - I .466 --I

,444 - - I ,394 - - I

.3'7 - 1

- . I 1 1 --I

~ ~~

- .48 -6 -.533 -5 -.255 - 4 -.7" - 4 -.-I45 -3 -.235 -3 -.313 -3 -.354 -3 -.345 -3 -.304 -3 -.266 -3

,191 ,406 ,623 '774 ,845 333 ,743 .592 ,400 ,194 0

-374 - - I

-.-I73 -.?-I9 -.I95 -.I17 -.187 -I ,630 --I .ro3 ,970 - 1

,553 - - I 0

--.312 -6

-.654 -4 -.692 -5

-.267 -3 - . 6 j4 -3

-.167 -2

-.I41 -2 -.660 -3

- . I 2 2 - 2

-.I78 -2

0

Zur Illustration der hier ermittelten Verhaltnisse geben wir einige Feldlinien fur die Faille c = 0.1

und c = I in der Abbildung an. Man ersieht, welch unwesentliche Rolle der Oktupolanteil der Ent- wicklungen spielt. Im Rahmen der Zeichengenauigkeit unterscheiden sich die Linien von c = 0.1 nicht von denen des Falles c = 0.

Der Vergleich der Bilder zeigt, daB das Maximum des toroidalen Feldes und die Nullstelle des poloidalen Feldes fur steigende l%erschreitung des Eigenwertes nach auOen wandern.

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186 G. RUDIGER: Rehandlung eincs einfachen hydroniagnetischen Dynamos mittels Linearisierung

Abb. I. Feldlinien des toroidalen (links) und poloidalen (rechts) Magnctfeldes fur die Falle c = 0.1 (- - - - -) und c = I (- 1

Literatur

[I ] F. KRAUSE, M. STEENBECK, Untersuchung der Dynaniowirkung einer nichtspiegelsymmetrischen Turbulenz an einfachen Modellen. Z. Naturforsch. 22a.761 (1967).

[ 2 ] H. K. MOFFAT, Dynamo action associated with random inertial waves in a rotating conducting fluid. J . Fluid Mech. 44.705 (1970).

131 F. KRAUSE, K.-H. RADLER, Elektrodynarnik der mittleren Felder in turbulenten leitenden Medien und Dy- narnotheorie. I n : Ergebnisse cler Plasmapysik und der Gaselektronik 11, ed. R. ROMPE und M. STEENRECK, Akademie-Verlag Berlin (1971).