Kleine Mitteilungen 493

gralbedingung hat WALZ [3] , [4] fur v+ 00 aus dem System (1) abgeleitet. Sie lautet:

( 5 ) a

a x - [(6 - a,) us] = 0 . WALZ hat diese Integralbedingung als eine Konti- nuitatsbedingung der Grenzschicht gedeutet. Sie sagt aus, daB der Massenstrom zwischen den durch die Grenzschichtdicke 6 und die Verdrangungsdicke 6, ge- bildeten Stromlinien konstant sein SOH.

Diese Kontinuitiitsbedingung ist jedoch nicht iden- tisch mit der, die direkt aus der partiellen Differential- gleichung fur die Kontinuitat durch Integration uber die Grenzschichtdicke gewonnen wird:

Da der Grenzubergang v + 00 in der allgemeinen Glei- chung (1) richtig durchgefuhrt worden ist, ist in An- betracht der Diskrepanz zwischen den unterschied- lich abgeleiteten Kontinuitiitsbedingungen (5) und (6) zunachst zu vermuten, daB sich bei der Herleitung der allgemeinen Gleichung (1) ein grundsiitzlicher Fehler eingeschlichen hat.

Eine erneute Herleitung der allgemeinen Gleichung (1) zeigt nun, daB die allgemeine Form von GI. (1) fur beliebige Werte von v, also auch fur v = co, streng lauten muD

Hierbei tritt gegenuber GI. (1) ein zusatzliches Glied auf :

A

A

A

Fur v =+= 00 sind die Integranden der Integrale von h, im Bereich y > 0 wegen (u/u& > 0 von null per- schieden. Mit Beachtung des Gesetzes zur Differen- tiation eines Integrals mit variabler oberer Grenze er- gibt sich somit: (9) h , = O fur v + m .

Damit ist gezeigt, da13 das Gleichungssystem in der Farm (1) fur v =+ co nach wie vor giiltig bleibt.

Fur den Grenzubergang v+ co werden jedoch die Integrale von h , zu null, da nun gilt:

Damit folgt fur h,:

Zusammen mit den bereits von WALZ [3 ] , [4] angege- benen Grenzwerten fur fw, goo, e, lautet dann die Integralbedingung f iir die Kontinuitat : (12) . .

d (6 - 6,) 1 dua as +- - (d - -6 , ) (1 - -Mi )= --2. a x Us dX a x us

Mit Beachtung der bekannten Beziehung aus der Gas- dvnamik

kann GI. (12) schlieBlich in die gleiche Form der Kon- tinuitiitsbedingung, G1. (6), ubergefuhrt a-erden, die direkt aus der partiellen Differentialgleichung fur die Kont,inuitat gewonnen wird.

L i t e r a t u r 1 K. WIEGHAEDT, Uber einen Energiesata aur Berechnung lami-

narer Crensschichten. Ing. Arch. 18, S. 231 -242 (1948). 2 E. TRUCPENBBODT, Ein Quadraturverfahren z w Berechnung der

laminaren und turbulenten Reibungsschicht bei ebener und rotationssymmetrischer Stramung. Ing. Arch. 20, 8. 211 -228 (1952).

3 A. WALZ, Neue Anwendung des Prinaips der gemittelteu Orenz- scbichtbedingungen nach Y. K h n h und Pohlhsusen. Grenz- schichtforschung (IUTAM-Symposium Freiburg 1957), Springer Verlag 1968, Herausgeber H. Oortler.

4 A . WALZ, Stromungs- u. Temperaturgrenzschichten, Karlsruhe 1966, Verlag 0. Braun.

5 T H . v. KIRMAN, uber laminare und turbulente Reibung. ZAMM 1, S. 233-252 (1921).

Anachrift: Dr.-Ing. D. GEROPP, Lehrgebiethgewandte Grenzschichttheorie. Universitat Karlsruhe

H. MUHLIG

Behandlung nichtlinearer Gleichungssysteme bei rationaler T sc he b y sc h ef f -Approximation

1. Um eine auf dem abgeschlossenen Interval1 [a , 61

stetige, reellwertige Funktion f(r) durch gebrochen rationale Funkt,ionen der Form

am%" + am-l x m - 1 + - * * + a l x + a, (1) R ( x ) : = Bnsn + Bn-1 xn- l + * * + B1 x + 1

im TSCHEBYSCHEFFschen Sinne . zu approximieren, kann der von der Polynomapproximation her be- kannte 2. Algorithmus von REMES benutzt werden (s. z. B. [Z], [4], [5] , [6], "71). Dieses Iterationsver- fahren erfordert in jedem Schritt die Losung eines nichtlinearen Gleichungssystems der Gestalt

ffl

+ ( - l ) i E - f(8.1) = 0 (i = 1 , 2 , . . . , m + n + 2)

fur die GroBen aj, bi und E (j = 0, 1, . . ., m; 1 = 1, 2, . . ., n). Dabei sind die aj und bl unter ent- sprechenden Voraussetzungen Nilherungen fur die Koeffizienten aj und der gesuchten Approximations- funktion (l), und E ist eine gewisse FehlergroSe, deren Betrag eine untere Schranke fur den zu erwartenden Approximationsfehler darstellt. Durch das Verfahren festgelegt und damit in (2) als gegeben anzusehen sind die sogenannten Stutzstellen s( (i = 1, 2, . . . , m + n + 2) mit der Eigenschaft

Die Behandlung von (2) geschah bisher haufig in folgender Weise: Man betrachtet E als gegebenen Parameter, so daB (2) fur aj und 61 allein ein lineares Gleichungssystem in Abhangigkeit von E darstellt. Die Koeffizientendeterminante dieses linearen Glei- chungssystems ist dann ein Polynom von hochstens (n + 1)-tem Grade in E, dessen samtliche Nullstellen reell sind (8 . [S]), aber hochstens eine fuhrt zu einer in [a, b] stetigen rationalen Approximationsfunktion (8. [4]). Bekannt sind die Untersuchnngen fur den Fall n = 1. Im Fall n > 1 wurde nur der nahe- liegende Vorschlag gemacht, eine Nullstelle E mit, moglichst kleinem Betrag zu wahlen.

494 Kleine Mitteilungen

I m folgenden wird das NEwToNsche Verfahren auf das nichtlineare Gleichungssystem (2) direkt ange- wendet. Es wird eine hinreichende, leicht nachpruf- bare Bedingung dafiir angegeben, daB die entstehende Iterationsfolge gegen eine eindeutig bestimmte Losung konvergiert.

2.

Zur benutzten Terminologie sei folgendes gesagt : I n der Menge der ( m + n + 2)-reihigen quadratischen Matrizen ‘$1 = (ai j ) wird die Matrixnorm

14)

betrachtet. Benutzt man fur die Elemente x. = (zl, 2%. . . ., xm+n+z)T des (m + n + 2)dimen- sionalen EuKLIDischen Raumes die Norm

(5) (i = 1, 2 , . . ., m + n + 2 ) 9

so ist die Matrixnorm (4) zur Vektornorm ( 5 ) passend und zugeordnet (s. [l]).

Bei der Behandlung von (2) mit Hilfe des NEWTON- schenverfahrens ergibt sich fur die a?, bjp), E ( g ) die Iterationsvorschrift

(6) C sf a!/ - i s:[f(si) - (- 1)i E t p - l ) ] b#’) +

llgl l : = y 1 ~ 1

m

k=O k = l

( i = 1 , 2 , . . . , m + n + 2 ; p = 1 , 2 ,... ) .

Uber die entstehende Iterationsfolge macht der fol- gende Satz Aussagen.

S a t z : Die nach der Iterationsvorschrift (6) geuion- nene Folge von Naherungslosungen gp konvergiert gegen eine Losung F* = (a,,>, am-,, . . . , a,, a,, bn, b,-,, . . . , b,, E)T von ( 2 ) , wenn die folgenden vier Bedingungen erfullt sind:

1. Das lineare Gleichungssystem fur die ay) , bE(O), E(O)

(7.1) m n

k=O k = l S: - ~tf (s i ) b?) + (- 1)i E(O’ - f ( s i ) = 0

(i = 1, 2 , . . ., m + n + 2)

sei eindeutig losbar. Die Losung uierde mi t go be- zeichnet.

2. Die Koefjizientendeterminante D des Einearen Glei- chungssystems fur die a?), b f l ) , E(”

(i = 1, 2 , . . ., m + n + 2)

sei von Null verschieden, und es gebe eine Zahl A 2 0 so, dap

1 m + n + 2 (7.3) - 2 l A i j 1 5 A ( j = 1 , 2 ,..., m + n + 2 )

gilt. Dabei sind die A$j die algebraischen Komple- mente der an den Stellen i , j stehenden Elemente der Koeffizientenmatrix von (7.2).

D i= l

3. Es gebe Zahlen B 2 0 und C 2 0 so, drip die fo l - genden Ungleichungen gelten:

(i = 1, 2 , . . ., m + n + 2) 4. Fur h: = A2 B C IE(O)I gilt

1 2 h s -.

Bezuglich der Lage der LGsungen von ( 2 ) gilt: I n der durch (7.7) \ - - - ,

A B IE(O)I 1-111 - 2 h

h I I E - FolI 5 yo: =

festgelegten Kugel urn zo liegt genau eine Losung g* von (2).

Beweis : Der (m + n + 2)-dimensionale EUKLI- Dische Vektorraum Bm+n+z ist mit der Norm ( 5 ) ein BANACHraUm, und Gleichung (2) kann aufgefaBt werden als definierende Gleichung fur einen Ope- rator P, der Rm+n+z in sich abbildet. Es wird nun aus der Theorie der nichtlinearen Operatoren der nachstehende Satz herangezogen, der Aussagen iiber die Losbarkeit einer Nullstellengleichung und die Konvergenz des NEwTomchen Verfahrens in einem vollstiindigen normierten Raum macht. Es 18Bt sich zeigen, daB die oben formulierten Voraussetzungen (7.1)-(7.6) fur den durch ( 2 ) gegebenen speziellen Operator hinreichende Bedingungen fur die Voraus- setzungen des folgenden Satzes ([3], Seite 572) dar- stellen.

Der Operator P sei auf der offenen Menge Q eines BANACHraUmeS 23 definiert und habe in 9, ( l J g - go/J 5 r ) eine stetige zweite Ableitung. Sind auBerdem die folgenden Bedingungen er- fiillt:

1. es existiert derlineare Operator (8.1) r, : = [P’( E ~ ) I - ~ , (8.2) 2. I l rO(p (E0) ) l l 5 r 3 (8.3) 3. I l r o p”(~)ll 5 K ( E E 0,) 3

dann hat die Gleichung P( g) = 0 im E’alle

(8.4), (8.5) 1 1-111 - 2 h 2 YI h h : = K q s - und r 2 _ r 0 : =

eine Losung g* mit ( I F - F*\! ,s r,, gegen die das gewohnliche und das modifizierte NEWTON- sche Verfahren konvergieren. Gilt aul3erdem

1 2 u n d r = r , f i i r h = - - ,

so liegt in der Kugel 9, eine einzige Losung F*. Im vorliegenden Fall ist P durch ( 2 ) erkllirt, und

es ist 9 = 23 = Bm+n+z. P’(z) ist dann durch die

Funktionalmatrix (*)(i, k = 1, 2 , . . .. m + n + 2)

gegeben. Die darin auftretenden Elemente sind: 8%

( i= 1 ,2 , . . . , m + n + 2 ; k=m,m-1 , . . ., 1 , 0 ) ,

- s:[f(sc) - (- l ) i El

( i = l , 2 ,..., m + n + 2 ; k = n , n - 1 , ..., l ) ,

{ti = 1 , 2 , . . ., m + n+ 2) .

Kleine Mitteilungen 495

P”(z) ist ein bilinearer Operator, der durch die drei- fach indizierte Matrix

(10) (*) ( i , k , Z = 1 ,2 ,..., m + n + 2 ) ax , 8x1

erzeugt wird. Fur seine Norm gilt die Abschatzung

m + n + 2 m + n + 2 j azQr I (11) IIP”(z)lI 5 m y z z -

2 k = l 2=1 a x k a x l , (i = 1, 2 , . . . ,m + n + 2 ) .

AUS (9) folgt:

(i = 1, 2, . . ., m + n + 2; k, 2 = 1,2, . . ., n);

alle anderen in (lo) auftretenden Elemente ver- schwinden identisch. Also existiert P”(g) in ganz Q, und - da P”(z) unabhiingig von g ist - ist P”(z) dort auch stetig. Um zu Eindeutigkeitsaussagen zu kommen, wird spater der Definitionsbereich SZ und damit auch der Bereich zweimal stetiger Differenzier- barkeit von P geeignet eingeschriinkt. Weiterhin er- halt man unter Beachtung von (12) die Abschatzung

(i = 1, 2, . . . , m + n + 2) . (7.1) wird aus (2) durch Linearisierung gewonnen und dient zur Beschaffung einer Ausgangsnaherung go. Durch (7.2) ist I‘, festgelegt. Auf Grund von (4) und

(7.3) llI‘oll 5 A ist. Vergleicht man (7.1) mit (2) und beachtet dabei (7.4), so erhiilt man lIP(g,)ll 5 BIE(.O)I. Man setzt q = ABIE(O)J und sieht, daB (8.2) erfullt ist. Es gilt IlI‘, P”(g)ll 5 llI‘,lI IIP”(g)ll, und wegen (7.3) und (7.5) kann man K = AC setzen, so daD (8.3) erfullt ist. (7.6) sichert (8.4). Nun wird eine Zahl r 2 0 so gewahlt, daB sie den Bedingungen (8.5) und (8.6) genugt. Das ist z. B. fur r = ro gemiiB (7.7) der Fall. Wird nun P auf die Kugel IIg - zoll z r o um go eingeschrankt, dann sind mit (7.1)-(7.7) siimtliche Voreussetzungen des zitierten allgemeinen Satzes erfullt. Damit sind die Existenz einer Losung von (2), deren Eindeutigkeit in einem unmittelbar angebbaren Bereich - die Angabe dieses Bereiches dient gleichzeitig als Fehlerabschiitzung - und die Konvergenz des NEwToNschen Verfahrens gegen diese Losung gesichert.

( 5 ) gilt ll~o(P(~o))ll 5 llr61f I I ~ ( ~ o ) l l ~ wobei wegen

3.

Der angegebene Satz sol1 auf ein Beispiel ange- wendet werden. f(r) = ez ist im Interval1 [0, l] durch eine Funktion

a1 x + a, A X + 1

R(x): =

gleichm5Dig zu approximieren. Durch die Festlegung von .yl = 0; sz = 0,4; sQ = 0,7; !4 = 1 erhiilt man mit der Losung von (2) eine erste Naherung fur R(x). (7.1) bis (7.5) ergibt im vorliegenden Beispiel:

go=( $)=( - ~ ‘ : ~ ~ ~ ~ ) , a l s o l E ( o ) l 0,659 903 =0,002868; E(0) - 0,002 868

0,851 034 0,490044 -0,483536 0,142458 -0,858 655 0,839710 1,182763 -1,163818 -0,148 966 0,490044 -0,483536 0,142458

-3,096 912 1,496724 3,996259 -2,396071

To=(

man erhLlt l\I‘,ll = 10,985 966 = A, B = 0,391 466, C = 2, also h = 0,271 006 < 1/2 und r, = 0,014 712. Damit konvergiert das NEwToNsche Verfahren, und in der Kugel I I F - golI 5 0,014 712 liegt genau eine Losung g*. Bei einer auf 6 Dezimalen genauen Rech- nung ergibt sich diese bereitsnach2 Iterationsschritten zu

0,665 055

0,003 627

Zum Vergleich sei noch die Losung der genannten Approximationsaufgabe, die man nach vier Schritten bei Anwendung des REMEs-Algorithmus erhalt, mit- geteilt :

0,668207 x + 0,995 705 -0,388847 x + 1 R ( x ) =

mit max I f (x ) - R ( x ) / = 0,004 295. X € [ O , 11

L i t e r a t u r 1 L. COLLATZ, Funktionalanalysis uud numerische Mathematik,

Berlin, Gottingen, Heidelberg; 1904 Springer-Verlag. 2 W. FRAsER and J. F. HART, On the computation of rational

approximations to continuous functions, Comm. ACM 6, pp. 401 -403 (1962).

3 L. W. KANTOROWITSCH - G. P. AKILOW, Funktionalanalysis in normierten Riiumen, Berlin 1904, Akademie-Yerlag.

4 H. J. MAERLY, Methods for fitting rational approximations, Pts. I1 and 111, J. ACM 10, pp. 257 -277 (1963).

5 0. MEINARDUS - H. D. STRAWEX, uber die Approximation von Funktionen bei der AufsteUung von Unterprogrammen, Elektron. Datenverarbeitung 18, 8.180-187 (1961).

6 A. RALSTON, Rational Chebyshev-Approximation by Remes- Algorithms, Num. Math. 7, S. 322-330 (1985).

7 H. WERNER, Die konstrnktive Ermittlung der Tsehebyscheff- Approximierenden im Bereieh der rationalen Funktionen, Arch. Rational Mech. Anal. 11, pp. 368-384 (1902).

8 H. WERNER, Rationale Tschebyscheff-Approximation, Eigen- werttheorie nnd Differensenrechnung, Arch. Rational Mech. Anal. 18, pp. 330-347 (1903).

Anschrift: Dr. Heiner Muhlig, 8019 Dresden, Bors- bergstr. 31,

R. K. RANA

On a Certain Type of Bulk Queueing Problem with General Service Time Distribution

I n t r o d u c t i o n

Large number of the queueing problems with bulk service have been solved by various authors. In particular, BAILEY (1954) and JAISWAL (1960) study queueing problems wherein the capacity of the service channel is a pre-assigned fixed number K (i.e. whenever the server is idle, a batch of K units is served if the queue length is greater than K, otherwise the whole queuelength is served). However, in this paper it has been assumed that the customers arrive a t a counter in batches of variable size with rate 1 and are served according to the following rule: If immediately after a departure there are less than M customers present, the server must wait until there are M customers, whereupon all M enter service.

If there are M or more, but a t most N customers waiting, then all of them are served together. If there are more than N customera waiting, a group of N customers enters service and others must wait. Thus we have a situation wherein service is accomplished in batches of size varying from M to N.

Such situations are not uncommon in day-to-day life. Consider, for example, and industrial setup engaged in offering service of certain type to its customers. The service mechanism may be such to