Beiträge zur Gruppentheorie. III

Reitrtige zur Gruppentheorie. 111. l )

Von OTTO GRUN in Berlin.

(Eingegangen am 18. 12. 1947.)

Sti indig geb rauch te Zeichen u n d Bezeichnungen. GroBe lateinische Buchstaben bezeichnen Gruppenelemente oder Komplexe

von solchen, groDe deutsche Buchstaben Gruppen und Mengen, von denen nicht vorausgesetzt wird, daB sie Mengen von Gruppenelementen sind. Also z. B. P ist ein Element, '$3 ist eine Gruppe.

Komplexe sind immer Mengen von Gruppenelementen. Wir unterscheiden allgemeine und spezielle Komplexe : der allgemeine Komplex hiingt von der Anordnung der in ihm enthaltenen Elemente nicht ab, ist also ein Komplex im iiblichen Sinne, wiihrend der spezielle Komplex von der Anordnung der in ihm enthaltenen Elemente abhiingig sein soll. Es soll damit nur erreicht werden, daD der Normalisator eines speziellen Komplexes K der Durchschnitt der Zentralisatoren aller in K enthaltenen Elemente ist. Zu einem aus n verschiedenen Elementen bestehenden allgemeinen 'Komplex K gehoren also n ! verschiedene spezielle Komplexe K , die siimtlich aus den gleichen Elementen wie K, aber in den verschiedenen moglichen Anordnungen, bestehen. Komplexe ohne niihere Bezeichnung sind stets allgemeine Komplexe.

p bedeutet stets eine rationale Primzahl, p-S.Gr.: p-Sylowgruppe; '$3 ist stets p-S.Gr.; wenn es fraglich sein kann, in welcher Gruppe '$3 gebildet werden soll, so wird dies durch einen Index angegeben, z. B. bu ist eine p-S.Gr. von U. Unter %(S), % ( K ) , %(U) werden die Normalisatoren von S bzw. K bzw. U verstanden ; entsprechend bezeichnen R (S) , j? ( K ) , R (U) die betreffenden Zen- tralisatoren; wenn es fraglich sein kann, in welcher Gruppe ein Normalisator oder Zentralisator gebifdet werden soll, so geben wir diese Gruppeq durch einen Index an, z. B. %@('$3,,) , R8(p0) sind der in '$3 gebildete Normalisator bzw. Zentralisator der Untergruppe Po von '$3. Ohne Index bedeuten , % (U) , R (U)

ngz, C W2, UC % bedeutet stets: D, ist echte Teilmenge von Zm, , U ist echte Untergruppe von 2.3. Entsprechend wird das Zeichen 3 gebraucht. E wird als Enthaltenseinszeichen gebraucht, z. B. P E '$3 , Po E '$: das Element P bzw. die Untergruppe Q0 liegt in '$3.

l) Diss. Univ. Berlin 1947; Referenten: Prof. Dr. H. L. SCEMID, Prof. Dr. K. SCHRODER. Der erste Teil dieser Arbeit, 0. GRUN, Beitriige zur Gruppentheorie. I., erachien im J. reine angew. Math. 174 (1935), 1-14. Der zweite Teil war bei der genannten Zeitschrift in Druck zur Zeit des Zusammenbruches; er diirfte, sobald die Verhiiltnisse es geatatten, erscheinen.

stets p@ J %@ (u) J R@ (u) *

Math. Nachr. 1948, B. 1, H. 1. 1

2 GRUN, Beitrage zur Gruppentheorie. 111.

8 (U) = Zentruni von U ; gelegentlich auch dafiir a1 (U) , wenn die aufsteigende Zentrenreihe von U betrachtet wird; in diesem Falle bezeichnet 8k(U) die k-te Untergruppe der aufsteigenden Zentrenreihe von U (k = 1, 2, . . .).

Unter U-Durchschnitten werden Durchschnitte von zu 11 in 8 konjugierten Gruppen verstanden, wobei U eine Untergruppe von 8 ist. Speziell sind also p-Durchschnitte Durchschnitte von p-S.Gr. von 8.

%(y) bedeutet die schwache AbschlieBung von 8(b) in '$ beziiglich 8. Die allgemeinen Begriffe der schwachen bzw. starken AbschlieBunq einer Unter- gruppe U C 8 beziiglich 8 wurden von WIELAND so eingefiihrtl) : Es sei U eine echte Untergruppe der Untergruppe % von 8; die Vereinigungsgruppe von U niit allen in % enthaltenen, zu U in 8 konjugierten Gruppen heiBe die schwache AbschlieBung von U in 23 beziiglich 8. Die Vereinigungsgruppe von U mit allen U T n %, wobei T alle Elemente aus 8 durchliluft, heiBt die starke AbschlieBung von U in 8 beziiglich 8. 1st die Untergruppe U von 58 ihre eigene schwache bzw. starke AbschlieBung in 58 beziiglich 8, so heifit 11 in 8 schwach bzw. stark abgeschlossen beziiglich 8 ,

Einleitung. Vielfach stoBt man bei gruppentheoretischen Untersuchungen2) auf die Not-

wendigkeit, Voraussetzungen uber die Durchschnitte von Sylowgruppen einer Gruppe einzufiihren oder, was dasselbe ist, Aussagen oder Voraussetzungen iiber die in einer pS.Gr. 9 einer Gruppe 8 enthaltenen, in 8 konjugierten Elemente oder Untergruppen zu machen. Allgemein tritt die Frage nach den Durchschnitten der Sylowgruppen einer Gruppe bei folgendem Problem auf :

die p-S.Gr. gemein haben oder in der p-S.Gr. iibereinstimnien, wenn eine, also auch alle p-S.Gr. von 8, isomorph mit einer, also allen p-S.Gr. F2 von G2 sind. Uber die Anzahl der p-S.Gr. in a1 bzw. N2 wird damit nichts ausgesagt; konnte z. B. Normalteiler von N1, p, in N2 sein eigener Normalisator sein; wenn $, pa ist, so sagen wir, 6, und 8, haben die p-S.Gr. gemein. Nun teile man die Menge aller endlichen Gruppen in Klassen ein, indem man jeweils in eine Klasse alle Gruppen auf- nininit, die in allen ihren Sylowgruppen iibereinstimmen; d. h. lie@ @ in einer Klasse C und hat 8 die Ordnung p$ p$ . . pk, wobei p, , p,, . . . , pn verschiedene Primzahlen sind, und sind TI, p a , , . , , p,, plr, ?,-, . . . , pn-S.Gr. von 8, so liegen in C nur Gruppen von der Ordnung p: p? . . . p:, deren p,-S.Gr. mit

. . ., deren pn-S.Gr. mit p,, isomorph ist. Wenn pl von der Ordnung p: , !@, von der Ordnung p t , . . ., y,, von der Ordnung p t beliebig, aber fest vorgegebene Gruppen sind, so gibt es stets wenigstens eine Gruppe 8 von der Ordnung ppp$. + . pi,", deren p-S.Gr. bzw. isomorph mit pl, T2, . . ., T,, .sind, namlich das direkte Produkt 8 = 3, x T2 x - . x 9,. In den meisten Filllen ist aber die Anzahl der in einer Klasse enthaltenen verschiedenen Grup- pen3) sehr vie1 groBer als 1. Man kann nun nach den gemeinsamen Eigenschaften

1% sagen, daB zwei Gruppen GI und

l) H. WIELAND, p-Sylowgruppen und p-Faktorgruppen. J. reine angew. Math. 18.2 (1940), 182.

8 ) Es werden im folgenden stets die behandelten Gruppen ah endlich vorausgesetzt. *) Miteinander isomorphe Gruppen eehen wir nicht als verschiedcn an.

GRUN, Beitriige zur Gruppentheorie. 111. 3

aller in einer Klasse enthaltenen Gruppen fragen, d. h. aller Gruppen, die in all ihren Sylowgruppen iibereinstimmen ; es ist eigentlich ganz naheliegend und vielversprechend, einmal die Gruppentheorie von diesem Standpunkte aus zu bearbeiten. Wenn man nach der Anzahl der verschiedenen in einer Klasse enthaltenen Gruppen fragt, d. h. die Frage stellt, auf wie viele verschiedene Arten man die fest vorgegebenen n Gruppen: q1 von der Ordnung p $ , v2 von der Ordnung p $ , . . ., pn von der Ordnung p:, zu einer Gruppe von der Ord-

n

nung 17 pi* vereinigen kann, so steht neben der Frage nach den Normalisatoren k z l

der p-S.Gr. die Frage nach den Durchschnitten der konjugierten Sylowgruppen im Vordergrund. Vom Normalisator %($) einer p-S.Gr. 9 von 8 wissen wir, daS [@ : !I?($)] = 1 ( p ) ist; wir werden aber auch einen Satz kennenlernen, der den Index [@ : %($3)] mit der Ordnung eines 9-Durchschnittes in Beziehung bringt. Eine allgemeine Losung des Problems der Anzahl der in einer Klasse enthaltenen Gruppen wiirde offenbar das Problem, die Anzahl aller verschie-

denen Gruppen von der Ordnung m = n pik zu bestimmen, zuriickfiihren auf

das Problem, die Anzahl aller verschiedenen pk-Gruppen von der Ordnung pk* (k = 1 , 2 , . . ., n) zu bestimmen.

Aber auch bei vielen anderen egruppentheoretischen Problemen tritt die Prage nach den Durchschnitten der p-S.Gr. einer Gruppe 8 auf. Zum Beispiel wenn man @/a' durch Verlagerung in pn/ps' abbildet, so ist der Beitrag, den ein Komplev % (9) T !@ + !I? (!@) zur Verlagerung eines Elementes S E 9 liefert, wesentlich durch S und den Durchschnitt 9 n T - ' p T bestimnit.

Jede Aussage iiber die Durchschnitte konjugierter p-S.Gr. 9, $*, . . . (kurz: $-Durchschnitte) liiuft hinaus auf Aussagen iiber in einer p-S.Gr. '$ enthaltene, in 8 konjugierte Untergruppen; und jede Aussage iiber in einer p-S.Gr. von 8 enthaltene, in 8 konjugierte Elemente oder Untergruppen ist gleichwertig mit einer Aussage iiber 9-Durchschnitte in 8. Denn wenn !@ n 27-l 9 T = ist, so sind 3 und T 3 T-' in 9 enthalten und in 8 konjugiert. Wenn die Elemente S und T1-'ST, oder die Untergruppen 9, und TT1 9, T , in !@ enthalten und in @ konjugiert sind, so ist SE Bl = 9 n T I 9 T,' und Q,, E %, = 9 n T2V T;'. Entsprechend diesen beiden verschiedenen Ge- sichtspunkten hat der Verfasser das Problem behandelt, namlich einmal als Theorie der in einer p-S.Gr. !@ von 8 enthaltenen, in 8 konjugierten Elemente, Komplexe und Untergruppen, dann aber auch als Theorie der Durchschnitte konjugierter p-S.Gr. von 8.

9 1 dieser Arbeit ist der erstgenannten Theorie gewidmet, behandelt also das Problem : Wie konnen zwei Elemente, Komplexe l ) oder Untergruppen einer p-S.Gr. ';p von CY in 8 konjugiert sein? Hier entsteht zunachst die Frage: Kann es iiberhaupt ein allgemeines, die Konjugation der Elemente usw. einer p-S.Gr. !@ von Csj bestimmendes Gesetz geben? Besteht irgendeih Gesetz, das die Moglich- keiten in dieser Beziehung einschrankt, oder liegt unbeschrankte Freiheit in dem Sinne vor, daS man aus der Tatsache: ,,S und T - l S T liegen in 8, und T

l) Wir unterscheiden allgemeine und spezielle Komplexe. Die Erklarung dieser Begriffe

n

k = l '

findet man in der Vorbemerkung : Standig gebrauchte Zeichea und Bezeichnungen. 1*

4 GRW, Beitriige zur Gruppentheorie. 111.

liegt nicht in %( p)" keine uber eben diese Tatsache hinausgehenden Folge- rungen ziehen kann? Es ist klar, dalj es kein allgemeines Gesetz geben kann, welches etwa die Elemente angibt, durch die zwei Elemente einer Sylowgruppe konjugiert sein konnen; wenn man iiber @, '$3 und @ keine weiteren Voraus- setzungen macht, als dalj @ endlich, p eine die Ordnung von 8 teilende Prim- zahl und p eine p-S.Gr. von @ ist, so ist die Frage nach einem allgemeinen Gesetz der Konjugation der Elemente usw. von 'Ip genau so sinnlos, wie in diesem Falle z. B. die Frage nach der Auflosbarkeit von @. Will man nun nicht von vornherein spezielle Voraussetzungen einfuhren , sondern ganz allgemein- gultige Resultate erhalten, so bleibt nichts anderes ubrig, als zu versuchen, die Frage nach der Konjugation der Elemente usw. einer 'Sylowgruppe von @ mit anderen gruppentheoretischen Gegebenheiten in Beziehung zu bringen. Diesen Weg hat der Verfasser eingeschlagen; es zeigt sich, daB die Art, wie das Zentrum 8($) von '$3 in @ eingebettet ist, entscheidend dafiir ist, wie zwei Elemente, Komplexe oder Untergruppen von '$3 in @ konjugiert sein konnen; wir finden einen ,,konjugierenden Komplex" K ( $ ) von der Eigenschaft, da13 zwei Ele- mente, Komplexe oder Untergruppen von '$3 entweder durch ein Element aus K ( $ ) konjugiert oder in @ nicht konjugiert sind. Da K ( 9 ) nur von der Art abhangt, wie a(@) in @ eingebettet ist, werden in $ 1 noch die in dieser Beziehung geltenden Satze aufgestellt.

In 8 2 und f 3 wird nun das Problem der Durchschnitte behandelt, und zwar zunachst , im Hinblick auf weitere Anwendungen, moglichst allgemein : In 5 2 werden anfanglich Durchschnitte VOR Mengen betrachtet, dann wird spezialisiert, indem fur die Mengen konjugierte Untergruppen einer Gruppe @ eingesetzt werden. Schlieljlich werden in f 3 die konjugierten Untergruppen als Sylowgruppen von @ gewahlt und ihre Durchschnitte untersucht.

In $ 4 wenden wir die gewonnenen Ergebnisse an. Wir kommen 80 zu der Definition der p-regularen Gruppen, die eine genaue Verallgemeinerung der Definition der p-normalen Gruppen ist, und finden dementsprechend ein Nicht- einfachheitskriterium, das eine genaue Verallgemeinerung des vom Verfasser fur die p-normalen Gruppen angegebenen Kriteriums der Nichteinfachheit ist').

@ ist in dieser Arbeit stets die Gruppe, deren p-S.Gr. '$ usw. wir betrachten.

§ 1. In diesem Paragraphen wollen wir, wie angekundigt, die Frage behandeln :

Wie konnen Komplexe oder Untergruppen aus !# in @ konjugiert sein? Es sind in dieser Beziehung bisher wohl nur folgende Satze bekannt :

1. Zwei Elemente aus 8 (p) oder zwei Normalteiler von ';p sind'entweder in % (p) konjugiert oder in @ nicht konjugiert ( BURNSIDE).

2 . 1st @ p-normal, d. h. ist 8($) in !$ schwach abgeschlossen, so sind zwei Elemente aus $ entweder in %n$('$) h j u g i e r t oder in @ nicht konjugiert (GRUN).

3. 1st i n 9 stark abgeschlossen, so sind zwei Elemente aus dem Zentralisator in '$3 v o n

von !# in keiner von ';p verschiedenen p-S.Gr. von @ enthalten, so sind zwei Komplexe oder Untergruppen a m a($) entweder

entweder in %(PI) konjugiert oder in @ nicht konjugiert (GRUN).

Satz 1. 1st die Untergruppe

l) Siehe 0. GRUN, Beitriige zur Gruppentheorie. I. J. reine angew. Math. 114 (1936), 1-14.

GRUN, Beitrige zur Gruppentheorie. 111. 5

durch Elemente aus %(p) konjugiert oder in @ nicht h j u g i e r t . Zwei unter @ invariante Komplexe oder Untergruppen von @ sind entweder durch % (p) h- jugiert oder in @ nicht konjugiert.

invariante Untergruppen oder Komplexe aus @. %(ST) enthiilt also $ und $ T . Liegen beide in derselben p-S.Gr . @* von % ( ( S T ) , so mu13 p* in 9 liegen (wegen p*J$), und dann kann gT mit @ nur durch 8 ('$3) konjugiert sein. Dann ist ah; die Behauptung richtig. Liegt aber p in der p-S.Gr. p*GP von % ( S T ) und $T in einer von p* verschiedenen p-S.Gr. von %(ST), so ist diese mit p* in %(ST) konjugiert, also etwa = p*N, N E % ( S T ) . '$*N liegt in vT und wegen '$*a$ nur in qT und enthiilt $ N ;

anderseits liegt '!$*N sicher in p N , da '$* E 9 , und wegen ';p* - 2 $ folgt bN = pT, d. h. TN-' E %(p), ST =ST'"' mit TN-' E %(p).

Beweis. Es seien S und ST unter

-

Damit ist der zweite Teil des Satzes bewiesen. Der erste Teil folgt sofort, indem man sich iiberlegt, da13 zwei in a('$) ent-

haltene Komplexe oder Untergruppen notwendig unter '$ invariant, also nach dem bereits bewiesenen zweiten Teil des Satzes entweder durch %(Sp) oder nicht in @ konjugiert sind.

1st also z. B. @ eine gro13te abelsche Untergruppe von ?J3, so ist entweder @ auch noch in weiteren p-S.Gr . von @ enthalten, oder zwei in @ konjugierte Elemente aus $ sind bereits in %('$) konjugiert. Da jedes Element aus '$ in mindestens einer groSten abelschen Untergruppe von p liegt und jede gro13te abelsche Untergruppe von sicher 8 (3) enthiilt, enthiilt Satz 1 implicite gewisse Aussagen iiber die Konjugation von Elementen aus 9.

Satz 2. Ist POL 9 in 9 schwach abgeschlossen bezuglich @, so sind zwei Kom- plexe oder Unteryruppen aus R(p0) entweder in %(Po) oder nicht in 8 konjugiert; zwei unter Po invariante Komplexe oder Untergruppen Sind durch % ( p0) konjugiert, wenn sie in 8 konjugiert sind.

Beweis. Es geniigt wieder, den zweiten Teil des Satzes zu beweisen. Es seien also S und ST unter Q0 invariant; dann enthalt %(ST) die Gruppen Po und '$3;; ist Po + '$3:, so liegen sie in verschiedenen, durch %(ST) konjugierten p-S.Gr. p*2p0, p * N a p:, N € %(ST), von %(ST). Da $*Avo, ist Sj3*N2!@f, also '$f=@, $fN-'='$ 0, STN-'=ST mit TN-l E %(p,). Also ist ST rnit 8 durch das Element TN-' E %(Qo) konjugiert, wie behauptet.

Satz 3a. p, sei eine Untergruppe uon p; (p? = $, , pp, . . . , 97 seien alle in !J3 liegenden zu bl in @ konjugierten Gruppen. S und ST seien zwei in R ( PI) liegende Komplexe oder Untergruppen oder allgemeiner zwei unter p1 invariante Komplexe oder Untergruppen, und eine p-8.G~. !$* von %(S) liege in 9: Dann ist ST mit S durch ein Element aus dem Komplex ( 1 + Ty' +. - + qi) %($,) konjugiert.

Beweis. p, liegt in %(S) und in %(ST), also liegen $, und p3f in %(ST). Eine p-S.Gr. @*2p, von %(S) liegt in !@, also liegt eine p-S.Gr. p*'2';pY in p T . Alle weiteren p-S.Gr . von % ( S T ) sind mit !@*T in %(ST) konjugiert, also Gruppen !$3*NT, N E % ( S ) . Eine p-S.Gr. von %(ST) , etwa ' $ * N I T , muB !$, enthalten. Also ist auch p1 E vNlT. Die siimtlichen in pNIT enthaltenen in @ zu $, konjugierten Gruppen sind aber I;PpT, ppNIT, . . ., pFNIT; eine von

6 GRUN, Beitrhge zur Gruppentheorie. 111.

ihnen ist gleich p,, etwa $?? N I T = ';pl ; also ist T, N , T E % ( q,) , N , T E TT1% ('$3,) undSNIT=XT, alsoistSTmit Sdurchein Element aus ( I+T; l+ - - .+T; l )%(~ l ) konjugiert, wie behauptet.

Satz 3. @, sei eine Untergruppe volt p; '$?= pl, $ p 7 . . ., pp seien aUe in p liegenden, in (3 zu !@, konjugierten Gruppen, X und ST zwei in 9('$,) liegende Komplexe oder Untergruppen oder allgemeiner zwei unter 3, invariante Komplexe oder Untergruppen. D a n n sind X und ST durch e in Element aus dem Komplex %(p,) (1 + T, + . . . + T,) (1 + T;l + . . . + T;l)%( p,) konjugiert. I s t S unter PI invariant und liegt eine p-S-Gr. von % ( S R ) in '$, so ist X mit SR durch ein Element aus (1 + T,' + . . + T i 1 ) '32 (9,) konjugiert.

Beweis. Wenn wir den letzten Teil des Satzes bewiesen haben, so ergibt sich der erste Teil wie folgt: S und ST seien unter !& invariant, % ( S R ) habe eine in @ liegende p-S.Gr. Dann ist nach dem zweiten Teil von Satz 3:

f,' = f , 'RKi, ST = f,'R Ka , K l > K , E (1fT, l+ . . .+T, ' )%(pl ) , S T = X R R, = X H K 1 * lii' XI = SET'&

I

wobei

ist. KT'K, E %(p1)(1+ Ti + * * * + Tq)(1 + T;' + * * + Tpl) %(pi)

Wir beweisen also die zweite Behauptung von Satz 3. %(S) enthalt !&2 1 , also sind die p-S.Gr. von % ( S ) und '32(SR) groBer a19 1.

Eine p-S.Gr. von %(S) enthalt p,, also enthalt jede p-S.Gr. von % ( S R ) eine zu ?& konjugierte Gruppe. p* sei die in p liegende p-S.Gr. von % ( S R ) . Sie enthalt also mindestens eine der in '$ liegenden Gruppen $? = ?& , p p , . . . , !@?, etwa $?. Die weiteren p-S.Gr. von %(SR) sind dann Gruppen Q*NdLpN+, N i E 8 ( S R ) , und die p-S.Gr. von %(X) sind ( ; P * R - ' ~ ! $ ~ R - l und !$3*N~R'

= '$*R-'nlt, Mi E %(AS). Eine von ihnen, etwa p*R-'M1, enthalt p,, also ist p 1 = C ! $ R - ' M 1 , daher ist $, eine der Gruppen $7 R-' M l , . . . , '$?pRR' M : , etwa vl = pF R-'nfl, also T, R-'M, E '32 (P,) und S = SM1 = SR.R-'M1, wobei R-lMl E T T ' ! J ? ( ~ ~ ) E (1 f- T;'+ . + TF1) 8(pl). Damit ist alles bewiesen.

Setzen wir in Satz 3 speziell 8 ( $ ) fur !& ein, so wird R8(!$)2 !$ und wir haben :

Satz 4. Zwei Komplexe oder Untergruppen von b oder zwei unter 8(q) in- tnriante Konzplexe oder Untergruppen sind entweder durch Elemente aus dem Komplex 91 3 (p) (1 + X, + a - - + 8,) (1 + X;l +. . + S,') '32 8 (p) konjugiert oder in 8 nicht kon jugiert. Hierbei sind 8 (p) , 8 (8") , . . . , 8 (pan) alk in '$3 liegenden, in @ zu 2) ( p) kon jugierten Gruppen.

(Diese hzeichnung werden wir von hier an dauernd gebrauchen, d. h. wir werden ohne weitere Erkliirung unter 8 (p), 8 (pal), . . . , 8 ($jsn) von hier an stets die siinitlichen voneinander verschiedenen zu 8 (q) in (3 konjugierten in % liegenden Gruppen verstehen.)

Speziell sind also zwei Elemente aus q entweder durch ein Element aus dem Komplex '323(Q) (1 + S, + - - + 8,) (1 +S,' + . s + S;') %g(!@) konjugiert oder in CV nicht konjugiert. Diesen Komplex nennen wir den konjugierenden KompZex K (p) fur q . Wie man sieht, enthiilt er nichts auf die einzelnen Ele-

.


mente oder Untergruppen von Beziigliches; er ist allein durch die Art, wie 3 (!@) in 8 eingelagert ist, bestimmt. Anderseits ist dieser Komplex nicht e twt trivialerweise konjugierender Komplex, d. h. er enthiilt nicht notwendig alle Elemente aus 0. (Wenn 01 p-normal ist, wird er gleich %3 (Q).) Satz 4 ist also die genaue Verallgemeinerung des zu Anfang des Paragraphen unter 2. genann- $en Satzes iiber die p-normalen Gruppen.

Es ist K(!J?)=K(PN) fur alle N E % 8 ( @ ) , wie man aus K(PN)=N-'K(!$)JV sofort erkennt.

Besondere Bedeutung hat der Fall, daW K ( p ) eine Gruppe ist ; wir werden ihn in Q 4 behandeln. Unter %(p) verstehen wir von hier an immer die GrupIje (8 ('$) , 8 ( ps1), . . . , 8 (p".)}. % (Q) ist die schu ache AbschlieBung von 3 (q) in p ; wenn % ( p ) in pT liegt, so ist also %(v) = %( pT). Wenn % ( p ) in jeder 8(Q) enthaltenden p - 8 . G r . von G liegt, so ist K ( p ) = % % ( ! @ ) , wie wir in 0 4 zeigen werden,

Eine weitere, sehr wichtige Eigenschaft des Komplexes K ( p ) gibt Satz 5. Ist S irgendeine Untergruppe oder ein Komplex aus 98 (9) (also speziell:

is2 S eine Untergruppe oder ein Komplex aus p), so ist % ( S ) E Q ( S ) K ( 9 ) und % (8) E K ( p ) a( S ) . Hierbei ist unter 9 ( S ) der Durchschnitt der Zentralisatoren aller Elemente aus S verstanden.

Beweis . Da K ( p ) = K ( V ) - ' , 9(S)=j?(S)-', %(S)=%(S)-* ist, genugt es, eine der beiden behnupteten Enthaltenseinsrelationen zu beweisen. Ferner ist fur spezielle Koniplexe S Satz 5 trivialerweise richtig, da alsdann 91 (S) = Q ( S ) ist. Wir setzen also S als einen allgemeinen Komplex voraus und verstehen unter S, einen aus denselben Element en wie S bestehenden speziellen Koniples. T sei ein Element ails 'R(S). Dann ist XT = S, aber ST=+ S,, falls T $ Q(S) ist. AS; ist aber nur eine nndere Anordnung der Elemente von S,, also ist %(ST)

;3 ( p ) E 9 (S,) und 8 (p) E fi (SF). Also sind S, und ST in 98 ( p ) enthaltene, in 6 konjugierte Koniplexe, sie sind also nach Satz 4 durch ein Element aus K ( P ) konjugiert, d. h. man kann stets ein Element K* aus K ( V ) so bestini- men, dalj SF=Sf* ist, also SFR*-'=S1, d. h. TK*- 'E %(S,)=SI(S,)=~(S), daher T E 2 ( S ) K* E P(S) K(!$); da hierbei T jedes Element nus % ( S ) sein kann, ist damit die Behauptung bewiesen.

Satz 5 sagt RUS, dalj ails jeder Nebengruppe von 3 ( S ) in % (8) wenigstens ein Element in K (9) liegt. Also z. 13. : 1st PO irgendeine Untergruppe von p , so ist nus jeder Nebengruppe von Q (p,,) in % (YO) wenigstens ein Element in K (p) enthnlten.

K ( 9 ) ist ein I<omplex, der nur von der Art der Einlagerung von :I(%) in Q abhiingt, also gar nichts aaf irgendwelche Untergruppen ron 9 Beziigliches ent- h d t , in deni aber zu jeder beliebigen Untergruppe '$?,, von P wenigstens eiri Element ails jeder Xebengruppe von 9 (go) in %(Po) liegt. Man ersieht hieraus, welche wichtige Itolle fiir den 13au der ganzen Gruppe 8 die Art spielen niulj, wie 8 ( p ) in @J eingelagert ist.

- -%(S, )=R(S, ) , und ft(S,) =9(S) nach der Definition von S,. Mithin ist

Setzen n i r in Satz 3 n !$, = a ( Q ) , so folgt: Satz 4a. Sind die Koniplexe oder Untergruppen S und ST mit Elementen ails

a8 (p ) gebildet und &gt eine pd .Gr . von % ( S ) in !$, so ist ST Init S durch ein Ekmrnt nus (1 +SF'+. - . +S;')%3(!$) = K (v) konjztgierf.

8 G R ~ ~ N , Beitriige zur Gruppentheorie. III.

Dieselben Oberlegungen, die uns zu Satz 5 fiihrten, zeigen uns nun: Satz 6s. Ist S ein Komplex oder eine Untergruppe aua R8(!@) und lie@ eine

p - ~ . & . won R (8) in 6, so ist % (8) E 9 (8) K , (p) und % (8) E Z,, (9) R (XI. Es ergibt sich niimlich wider fiir jedes T E %(S) eine Beziehung

also

Beriicksichtigt man, daB $?(A') Normalteiler von %(S) und T E % ( S ) ist, so

K,*-'T E R(S) folgt auch :

und T-'KZ E R(8) . Daher : K,* E R(8) 17 = TR(S) ,

K,*R((S) = T R ( S ) ,

ebenso :

Da T wiederum jedes Element aus %(S) sein kann, ist damit Satz 5a bewiesen.

Wir wollen nunmehr einige mit der Einlagerung von 8 (p) in (3 zusammen- hangende Satze beweisen. Zuniichst gilt die Reziprozitat :

Satz 6. A m 8(V) E %$(9) foist 8(9) E '378(9% Beweis. 8(!)3) liegt in R8(ps)C%8(pS), wenn 8('lps) in %a('$) liegt;

denn 8(9) liegt im Zentrum jeder p-S.Gr. von %8(';p) und in einer von ihnen ist 8(';ps) enthalten, wenn es in !.Jlg(p) liegt.

Satz 7. AU.4 8(9? E %8(9) fol@ such 8(93s-') E %8(9). Beweis. Nach Satz 6folgt a u s 8 ( b S ) E % 8 ( $ ) umgekehrt:8('@)E%8(ps).

Aus der letzten Relation folgt durch Transformation mit 8-l die Behauptung.

Satz 'la. Auf &und von Satz 6 und Satz 7 kann man die Elemente S, , X,, . . . , 8, in dem konjugierenden Komplex K ( 9 ) so bestimmen, dap

s, + s, + * * - + S, = S,-l + s,-1 + * - ' + (S;1

ist, d . h. dap mit $(vsd) stets auch 8('.pF1) in !$ enthalten ist (i = 1 , 2 , . . . , n ) . Beweis. Wenn 8(ps1) E 9 ist, so kann S, durch jedes Element sl E %g($)S ,

ersetzt werden. Zu vorgegebenem Sl ist nach Satz 7 auch 8 (@=I) in %8 ($3) enthalten, etwa 8(@K1) E qN, N E %8(!$). Dann ist 8(vG"-') in Sp enthalten; setzt man N S , =gl, so ist also 928 (b)& = %8 (V)&, 8 (';pK) = 8 (';PSI) E 9 und 8( we) = 8 ( $Klr1) E p. Das war zu beweisen.

Satz 7b. Jede 8('$) enthaltende p-S.&. von (3 ist durch ein Element aus '88 ( 9) (1 + 8, + - + 8,) 88 (9) mit '$ bnjugiert.

Beweis. 8(9) sei in v p enthalten. Dann liegt 8('.pT) in %a('$) nach Satz 6. Also gibt es ein Element N E %8(9) so, daB 8((pTN) E !@ ist. Daher ist etwa = $(bsl), 8('$T)=$(bs1N-'), d. h. T E %,% 8(9) rnit geeignetem gl E %a (9) AS, ; daher jedenfalls T E 928 (9) S,%g (9). Daraus folgt die Behauptung.


Satz 8. Z sei ein beliebiges Element oder eine Untergruppe aus 8('$). let ZT in '$ enthalten, so gibt es eine zu 8 (';p) in @ konjugierte Clrruppe 8 ( p R ) so, dup ZT E 8 ( pR), 8 (p) E %a (bR), 8 (QR) E (8) ist. Mithin liegt in ?J28 (p) immer ein ZT enthaltendes, zu 8 ( '$) hjugiertes p-Zentruna 8 ( ' ; p R ) , auch wenn nur {ZT} in Q liegt.

Beweis. Wegen % ( Z T ) I ) P T enthlilt %(ZT) volle p-S.Gr. von @ als p-S.Gr. Anderseits ist 8(p) E %(ZT) wegen ZT E '.p. Also liegt 8(p) in einer p-S.Gr. p R von (37 (ZT). In p T E % ( Z T ) liegt Z T im Zentrum, also liegt Z T im Zentrum jeder p-S.Gr. von ?J2(ZT), daher speziell ZT E 8(pR). Da a('$) in pR, also in % 8 ( p R ) liegt, folgt nach Srctz 6: 8(pR) E %Zg(p). Damit ist alles bewiesen.

Wir wollen ein Element P E $ primitiv in p nennen, wenn die Gleichung X p = P mit X E @ nicht losbar ist.

Satz 9. 1st das Element P E ?$3 primitiv in 3 , aber p-te Potenz in QT, so ist 8(Q) in einer zu !@ konjugierten Gruppe PR enthalten, in der $ eine p-te Potenz ist ; 8 ( p R ) liegt dunn in %a (8) , und zwar in einer solchm p-S.Qr., die auch P enthiilt.

Beweis. Es sei P = q, P I E pT, P primitiv in ';p. Dann ist P,P = P P , , also P, E %(P). Daher ist P in einer p-S.Gr. von %(P) p-te Potenz, also ist P in jeder p-S.Gr.von%(P) p-te Potenz. In einer p-S.Gr. b* von %(P) mu13 8(@) enthalten sein, wegen P E b. !@* lie@ in einer p-S.Gr. bR =!= von 8, denn P ist in 'p*, a fortiori also in qR eine p-te Potenz. P R enthalt also 8(p), also ist in %a(!$) enthalten. Ferner lie@ 8(';PR) in % ( P ) , also enthalt % (P) n %8 ('$) die Gruppe (8 ( QR), P , 8 (p)} . Diese Gruppe ist eine p-Gruppe, lie& also in einer p-S.Gr. von %g(p). Damit ist die Behauptung bewiesen.

1st also, unter den Voraussetzungen von Satz 9, P in keiner von 'Ip verschiedenen p-S.Gr. von %,8 (3) enthalten, so ist das Zentrum einer p-S.Gr. V R von @, in der P p-te Potenz ist, in ';p enthalten. Die im Beweis von Satz 9 genannte Gruppe (8(pR), P, S($)} ist abelsch und in einer p-S.Gr. QN von %8(';p), N E '98 ($) , enthalten. Sie liegt dann in wenigstens einer groBten abelschen Untergruppe 91 von qfl, die natiirlich auch in % ( P ) und in % $ ( p R ) enthalten sein muB.

1st P primitiv in p, aber p-te Potenz in 0, so gibt es nach Satz 9 eine p-S.Gr. QR von (3, die 8(p) enthiilt und in der P eine p-te Potenz ist; wie man aus dem Beweis von Satz 9 ersieht, darf man sogar annehmen, daB in pR eine p-S.Gr. von %(P) liegt. Nach Satz 7 b ist aber V R mit ';p durch ein Element aus %fj(p)(l+ S, + - - - + S,,)%8(p) konjugiert, d. h. R = N,SiN, mit N , , N , E 88 ($3) , S, eines der Elemente 1 , 8, , . . . , 8,.

Satz 10. Ist !$ ;2' $, 1 8 (p), so ist

%(p,)€%8(p)(l + ~ , + . . . + S , ) ; ( l + ~ , l + . . - + s , l % g ( p ) =K(I;P).

%(%,) E 9(Vl)K(P) .

Beweis. Nach Satz 5 gilt fur beliebige Untergruppen von '$:

1st nun 2 8 (3 ) , so ist R (PI) C Qfj ( p) 2 %8 (p) ; daraus folgt die Behauptung. = (8 (';p) , 8 (ps)). Nach

Satz 10 ist dann %($,) E K('$) . Aber 9, ist dann auch in %8(Qs) enthalten, also ist ebenso %(PI) E K ( p s ) = S - l K ( $ ) S , daher %($,) E K ( $ ) n K ( p S ) .

Zum Beispiel : 8 (Ps) =i= 8 (3) sei in '$ enthalten,

B

10 GRUN, Beitriige zur Gruppentheorie. 111.

Oben wurde fur die schwache AbschlieBung von $j('Ip) in b die Bezeichnung %(b) eingefuhrt. Es gilt

Satz 11. 1st 8($) E VT, so ist R23(vT) E fig(%). R 3 ( $ ) enthiilt a2so die Ver- einigungsgruppe der Zentralisatoren der schwachen Abschliepungen der Zentren in allen den p-S.Gr. von @, die 8($) enthalten.

Beweis. Aus 8($)E';PT folgt 8 ( s ) E % ( p T ) . Also liegtQ%(!$T) in93(!@). 1st also 8 (vs) E 88 (b) , so ist R % (Ps) E 83 (8) . Denn nach dem Reziprozi- tatssatz 6 ist dann 8 (b) E !Jig (';p*), also nach Satz 11 L 8 ( Qs) E Q3 (p) E Yl8 (8) . Es ist f?%('lp) 2 8% (b); s%(b) ist eine p-Gruppe aB($). 1st also 8(!@*) in 8 enthalten, so liegt 3 8 (Qs) in 93 (8) 1) in einer zu ';p konjugierten Gruppe ppN, N E Qg(p). D a 3 % ( p P S ) 2 8 (pS) ist, mu13 entweder bN = sein, d. h. $%(Q') in '$ liegen, oder 8(ps) ist in zwei verschiedenen p-S.Gr. von 88 ($) enthalten.

§ 2. In diesem Paragraphen wollen wir die Durchschnitte konjugierter Unter-

gruppen U von @, kurz als U-Durchschnitte bezeichnet, betrachten. Wir werden die Durchschnitte in gewisser Weise klassifizieren und diese Klassifikation mengentheoretisch begrunden ; dieses Vorgehen hat nebenbei den Vorteil, daB sich dieselbe Klassifikation auf die Durchschnitte beliebiger Teilmengen von Elementen aus @ anwenden lafit.

Es sei %TI eine Menge, und !Ill,, !Ill2, !Ill2, . . . , %I?,, seien Teilmengen von !JJl a ) , n eine endliche Zahl. Wir bilden das System aller Durchschnitte zu je zweien, dreien, . . . der Mengen %TIl, m2,. . . , 93, und denken uns alle diese Durch- schnitte in irgendeiner Reihenfolge hingeschrieben. Nun streichen wir in der Tafel dieser Durchschnitte alle diejenigen, die nicht echte Teilmengen anderer Durchschnitte sind ; die gestrichenen Durchschnitte nennen wir Durchschnitte erster Stufe oder kurz : erste Durchschnitte. Mit den verbleibenden, nicht gestrichenen Durchschnitten verfahren wir entsprechend; wir streichen wieder unter ihnen diejenigen, die nicht echte Teilmengen anderer, bei der ersten Streichnng nicht fortgefallener Durchschnitte sind ; die bei dieser zweiten Streichung gestrichenen Durchschnitte nennen wir Durchschnitte zweiter Stufe oder kurz : zweite Durchschnitte. So fortfahrend erhalten wir allgernein die Durchschnitte k-ter Stufe (k = 1 , 2 , . . .). Diese Klassifikation erfaBt alle oben gebildeten Durchschnitte; es empfiehlt sich, die Mengen !Illl, . . . , 93,, selbst noch als Durchschnitte nullter Stufe, kurz a19 nullte Durchschnitte, zu bezeichnen.

Es sei noch. erwahnt, daB !Ill mit %TIl, , . . , 93% und der Gesamtheit aller Durchschnitte einen Verband bildet, wenn nian als u-Operation fur 2 Teilmengen s%R' und %TI" die Bildung des Durchschnittes aller %TI' und D'' zugleich enthaltenden Mengen ninirnt. Ebenso bildet jeder Durchschnitt der obigen Mengen zusanimen niit allen in ihm enthaltenen Durchschnitten einen Verband, der ein u-Ideal im Verband aller Durchschnitte ist.

Aus unserer Definition der Durchschnitte k-ter Stufe folgt : Jeder k-te Durch- schnitt ist echtcTeilmenge wenigstens eines (k- 1)-ten Durchschnittes(k = 1 , 2 , . . .).

1) Genrtuer: 88(Fgg) liegt in aa(Fg), wobei s geeignet aus '%d('$)S zu wiihlen ist,;

1) Keinc der Mengen (m, (i = 1 , 2 , . . . , n) enthalte eine der iibrigen. da aber aB(('Pa)?)((bZ) = 8(FgS) ist, diirfen wir von vornherein S = s annehmen.

GRUN, Beitrage zur Gruppentheorie. 111. 11

Daraus haben wir : Satz 1. Fs, sei ein k-ter Durchschnitt. Dann gibt es wenigstens eine Reihe

mi 2 Q -J 9, 2 . . 1 sCk-l 3 Bk, wobei allgemein 9, einen q-ten Durchschnitt bezeichnet. Ferner gibt es keine Reihe von Durchschnitten 9 1 , 22, . . . , Bk, so dap mi 2 91 2 9 2 3 Sk 2 5Qk ist, wobei '$lli eine der Mengen Wl, . . . , !D?% ist.

Beweis. Der erste Teil des Satzes folgt durch niehrmalige Anwendung der Bemerkung, daB es zu jedem ak wenigstens ein 9k-1 1 %k gibt. Der zweite Teil ergibt sich ebenso durch die Erwiigung, daB ein Durchschnitt, der echte Obermenge eines 5Pk sein sol], hochstens von (k - 1)-ter Stufe sein ltann.

Aus den1 fur das Zeichen n geltenden Assoziativgesetz folgt: Satz 2. Jeder Durchschnitt von Durchschnitten der mi ist ein Durchschnitt der Wi .

Folgender Satz bedarf keines Beweises : Satz 3. Wenn das System der Mengen %Rl, . . , , W, so beschaffen ist, dab fur

beliebiges k = 1 , 2 , . . . jeder DurchscAnitt k-ter Stufe in wenigstens 2 Durch- schnitten ( k - 1)-ter Stufe enthalten ist, so ist jeder Durchschnitt k-ter Stufe, aufgefapt als Durchschnitt im System der Durchschnitte erster Stufe, ein (k - 1)-ter Durchschnitt, ebenso ein ( k - 2)-ter Durchschnitt im System der Durchschnitte zweiter Stufe, usw.

D e f i n i t i o n . Es sei 5Bk ein k-ter Durchschnitt ( k = 1, 2 , . . .). Als Minimal- system fur !& werde ein System von Durchschnitten nullter Stufe nl, m,, . . . , %Rq immer dann bezeichnet, wenn YJI, n W2 n . . n YX, = Sk ist, wenn aber je q - 1 der Mengen a,, %Jlz, . , . , W, einen Durchschnit,t liefern, der echte Obermenge von ak ist. q werde als die Lange des Minimalsystems bezeichnet.

Satz 4. Streicht man in einem Minimalsystem beliebig viele der es zusammensetzenden Mengen, so bilden die iibrigen wieder ein Minimalsystem.

Beweis. Es genugt, zu beweisen, daB man aus einem Minimalsystem wieder ein Minimalsystem erhalt, wenn man eine der es zusammensetzenden Mengen streicht. (m, , "&, . . . , m,) sei ein Minimalsystem und W, n W, n W, n + . . n %I?, = 9. Da es auf Bezeichnungen nicht ankommt, konnen wir uns darauf beschran- ken, zu beweisen, daB (m,, W3, . . . , W,) ein Minimalsystem ist. Es ist 'B2 W3 n 9J14 n . . . n im, = 9' 3 sb nach Voraussetzung. Ware nun (%I2, m,, . . . , W,) kein Minimalsystem fur B', so konnte man von den zur Durchschnittsbildung von 9' herangezogenen Mengen. eine, etwa D2, auslassen, und auch der Durchschnitt der iibrigen wiirde den Durchschnitt a' ergeben, also W3 n W4 n W, n + . . n %Jlq = 5B'. Da aber 9 = Wl n YX2 n YJ?, . . . n %Rq = W, n (93, n %I3 n. . . n W,) = !!Ill n 9' = YJll n (W, n W4 n . . . n !Dlq) = m, n D3 n %R4 n . . . n mq ist, wiire dann auch 9 als Durchschnitt von weniger als allen Mengen %Rl, !D&, . . . , YJI, darstellbar im Widerspruch zur Voraussetzung. Also bleibt nur iibrig anzunehmen, daIj aus eineni Minimal- system nach Streichung einer der es zusammensetzenden Mengen und daher auch nach Streichung beliebig vieler Mengen wieder ein Minimalsystem entsteht.

Ein Minimalsystem fur einen Durchschnitt k-ter Stufe ( k > 0) hat offenbar mindestens die Liinge 2 und hochstens die Liinge k + 1 .


Satz 6. Wenn es zu jedem Durchschnitt k-ter stufe Bk wenigstens ein Minimal- system von der Lange k + l gibt, so gibt es zu jedem Durchschnitt k-ter Stufe wenigstens k + 1 Durchschnitte ( k - 1)-ter Stufe, die ihn enthalten.

Be we is. Bilden die k + 1 Mengen m, , 1111, , . . . , m k + z ein Minimalsystem fiir den Durchschnitt k-ter Stufe % k , so miissen je k von ihnen einen Durch- schnitt ( k - 1)-ter Stufe liefern; da man die k + 1 Mengen auf k + 1 verschiedene Arten zu je k zusammenfassen kann, erhiilt man k + 1 Durchschnitte ( k - 1)-ter Stufe, die siimtlich voneinander verschieden sein miissen, weil '$Il, !l12, . . . , %k+l ein Minimalsystem bildenl). Diese Durchschnitte miissen ferner samtlich %k

enthalten, weil jede der Mengen (i = 1, 2, . . . , k + 1) Bk enthalt.

Nach Satz 3 ist in dem in Satz 5 vorausgesetzten Falle jeder k-te Durchschnitt der mi ein ( k - 1)-ter Durchschnitt im System der Durchschnitte erster Stufe usw. Das System aller Durchschnitte moge mit den Mengen (i = 1 , 2 , . . . , n) wie beschrieben gebildet werden.

Satz 6. Eine Teilmenge m' von %Il sei in allen %TIq, q 5 k 5 n , aber in keiner Menge m,, s > k , enthalten. Wir bilden wieder, in der oben beschriebenen Art, das System der Durchschnitte der m,. Dann ist jeder Durchschnitt der mq, der in diesem System von der r-ten Stufe (r = 1 , 2 , . . .) ist, auch a h Durchschnitt im System der Durchschnitte aller Mengen llJzi (i = 1 , 2 , . . . , n) aufgefapt, von der r-ten Stufe.!

Beweis. Es sei 9 ein Durchschnitt erster Stufe im System der YJq, q 5 k, und wir nehmen an, daB % echte Teilmenge eines Durchschnittes B' im System aller Mengen mi (i = 1 , 2 , . . . , n) sei. Dazu mu8 zur Bildung des Durch- schnittes B' wenigstens eine nicht zu den Mengen Yllq (q = 1, 2, . . . , k ) gehorige Menge herangezogen sein, weil im anderen Falle 5D' ebenfalls im System der Durchschnitte aus den mq liegen wiirde und dann nicht echte Obermenge von % sein konnte. Es sei also 'D, eine nicht zu den !Illq gehorige, zur Bildung von B' benutzte Menge. Es ist also 3 5D' 3 9, IJn, 3 !Ill', da B 2 W sein muB. Dann miil3te aber m, doch zu den 'Dg, q 5 k , gehoren. Das ist ein Widerspruch; unsere Annahme, daB es im System aller mi, i 5 n, einen Durchschnitt geben konne, der echte Obermenge eines Durchschnittes erster Stufe im System der !Illq, q 5 k, ist, ist also falsch. Jeder Durchschnitt erster Stufe in dem letzt- genannten System ist ein Durchschnitt erster Stufe auch in dem groBeren System, Daraus folgt leicht die ganze Behauptung von Satz 6.

Wir konnen nun in den vorstehenden Siitzen (m als die Menge der Element0 einer endlichen Gruppe @ und die !Illi als gewisse Teilmengen, z. B. Untergruppen, annehmen. Einige iiber die angefiihrten Siitze hinausgehende Resultate gewinnt man bereits, wenn man die zur Durchschnittsbildung herangezogenen Mengen

1) ml , g2, . , . , ak+l sei ein MinimalsystFm fur %, a180 m1n !JJl2 n - * * n = % 9

ferner IJR, n m, n . . . n mk n Zm, n - 9 n !JRm,+, = %-I. Angenommen, %-I mi gleich %bl. Dann sei D2 n n * n 107r = Bk-2; es wird Zml n 3k-n = %-I 3

a k + l n Er-2 = %-I. m, n g2 n - - - n !JJlr+l = %-I n %-I = %-I, was unlnoglich ist. Also ist die h a h m e Dt-1 = s k - 1 falsch, und man erhiilt aus einemMinima1- system von der Liinge k + l durch Streichung jeweils einer der es zusammensetzenden Mengen k + 1 verschiedene Minimelsysteme von der Liinge k, die zu k + I voneinander versohiedenen Durchschnitten geharen.

-

Daher auch


'9Ri (i = 1 , 2, . . . , n) als die siimtlichen in @ konjugierten Untergruppen U,UT,. . . (U beliebig, aber fest) voraussetzt. Wir bezeichnen die in diesem System gebildeten Durchschnitte kurz als U-Durchschnitte. Es bedeutet fur unsere Untersuchung keine wesentliche Einschriinkung der Allgemeinheit, wenn man den Durchschnitt aller U-Konjugierten (d. h. den aus U und allen zu U in @ konjugierten Gruppen gebildeten Durchschnitt) gleich 1 annimmt. @ liefert zugleich auch eine Gruppe von Automorphismen fiir das System der U-Durchschnitte bzw. fiir den mit h e n gebildeten Verband. Es ist klar, daB jede in @ Konjugierte eines k-ten U-Durchschnittes ein k-ter U-Durchschnitt ist (k = 0, 1 , . . .).

Satz 7. V bzw. % sei ein Element bzw. eine Untergruppe von U. Die Gaamtheit der V bzw. 8 enthaltenden zu U konjugierten Gruppen wird bei Transformation mit Elementen aua % ( V ) bzw. %(%) rmr untereinander permutiert. Es bleiben also dabei invariant :

1. ihr Durchschnitt 9, also % ( V ) 2. das System ihrer Durchschnitte zu j e zweien, dreien uaw. und deren Ver-

Der Satz bedarf wohl keines Beweises. Zu jedem in U oder in einer zu U konjugierten Gruppe enthaltenen Komplex S

gibt es also einen eindeutig bestimmten U-Durchschnitt 9 (S) , so dalj S E 9 (8) , % ( S ) C % D (5') ist.

8 (9) bzw. % ( 23) - C Sn (9) ;

einigungsgru ppen.

Aus Satz 7 folgt speziell: Satz 8. Ist ein Element V , ein Komplex M , eine Untergruppe 23 von U in

keiner zu U konjugierten, von U verschiedenen Gruppe enthalten, so liegt Sn ( V ) bzw. % ( M ) bzw. %(%) in %(U).

Defini t ion. Als. kleinster U-Durchschnitt moge jeder U-Durchschnitt 2 1 bezeichnet werden, der nicht mehr: echte Obergruppe eines U-Durchnittes 2 1 ist.

Satz 8 ergibt als Anwendung: Satz 9. 1st D ein kleinster U-Durchschnitt, so folgt aua XE 9: %(S)E%(9), wobei

S irgendein Element, ein Komplex oder eine Untergruppe 3ein kann. Denn 5D mu13 mit jeder zu 9 in @ konjugierten Gruppe den Durchschnitt 1

haben, weil es sonst nach Satz 2 dieses Paragraphen noch einen U-Durchschnitt giibe, der echte Untergruppe von 5D ist, was unmoglich ist, da 9 kleinster Durchschnitt ist. Zwei Elemente oder Untergruppen aus 9 sind also entweder in %(a) konjugiert oder in 8 nicht konjugiert.

SatZ 10. E s seien 2 k - 1 , z k U-Durchschnitte (k - 1)-ter bzw. k-ter s tufe Und

Beweis. Man transformiere S k - 1 durch Bin Element aus %(%) und bezeichne das Ergebnis niit W. 9' ist ebenfalls ein (k - 1)-ter 1t-Durchschnitt. %?+I n 9' ist ein U-Durchschnitt und 9' 2 8, also sicher 9' 3 Wiire 9' + %k--l ,

so wiirde also zwischen den Durcgchnitten (k - 1)-ter bzw. k-ter Stufe 5Dk noch ein U-Durchschnitt liegen, was unmoglich ist. Also ist 9' = d. h. jedes Element aus % (%) transformiert 9 k - l in sich selbst. Ebenso beweist man den zweiten Teil der Behauptung.

2 T k - 1 3 % 3 % k . Dunn iSt %( %) c - % (%&I) und aU5 % E UT f ob t 9 k - i E uT.


Wichtig ist Satz 1 l . I s t ein Normulteiler 8 von U in einer zu U konjugierten Qruppe enthalten,

so gibt es einen 8 enthaltenden Nmal t e i l e r von U, der U-Durchschnitt ist. Beweis. Sind U, Us, UT, . . . alle % enthaltenden U-Konjugierten und ist

ihr Durchschnitt 5DJ so ist 6 2 8, und nach Satz 7 ist %(%) 2 %(%). Da %( 8) 2 U ist, ist also auch %(%I) 2 U , also 53, Normalteiler von U , was zu beweisen war.

Ebenfalls wichtig ist Satz 12. Sind U, Us., UTJ . . . alle die U-Konjugierten, die mit U einen von 1 ver-

schiedenen Durchechnitt haben, und ist der aus all diesen Qruppen gebildete Durch- 8chnilt 6, so iiegen % (u) , % (us) , . . . 8dmtlich in % (6) und sind i n % (a) konjugiert.

Beweis. 1st die Anzahl der von U versohiedenen zu U konjugierten Gruppen, die mit U einen von 1 verschiedenen Durchschnitt haben, gleich m, so gilt dasselbe fur jede zu U konjugierte Gruppe Us, UT, . , . . Da nun die nz + 1 verschiedenen U-Konjugierten U, Us, UT, . . . slimtlich den Durchschnitt 53, haben, so hat jede von ihnen rnit den m ubrigen einen von 1 verschiedenen Durchschnitt. Daraus folgt: Bezeibhnen wir fur den Augenblick das System aller U-Konju- gierten, die mit U einen von 1 verschiedenen Durchschnitt haben, U selbst mit- gerechnet, mit %, und ist Us in % enthalten, so ist W9 = %. Ferner ist Tu offenbar unter %(U) invariant, denn alle zu U konjugierten Gruppen, die mit U einen von '1 verschiedenen Durchschnitt haben, werden unter 8 (U) nur untereinander permutiert, ihr Durchschnitt ist also invariant unter %(U). Wegen Qls = '2l ist % auch unter %(Us) invariant, wenn Us zu '$I gehort, also enthlilt auch %(a) die Gruppen 9l(U), %(Uf) . . . , wenn U, Us, . . . zu % gehoren. Da ferner aus as = 91 auch Ss'= Fb folgt, liegt auch S in % (a), also sind % (U), ?X (Us), . . . in %(a) konjugiert.

Satz 13. Ist S ein Element, ein K m p l e x oder eine Untergruppe von U und % ( S ) 9 % (U) , so gibt es einen k-ten U-Durchschnitt mit k > 0 derart, dap S E 9, C U

Beweis.-Man bilde alle durch %(S) mit U konjugierten Grupperr; da nach Voraussetzung (n (8) $ % (U) , so sind sie nicht alle gleich U; sie enthalten slimtlich 8; ihr Durchschnitt ist offenbar ein 6, von der verlangten Art.

Einen besonders wichtigen Spezialfall von Satz 13 hat man, wenn man fur S eine p.S.Gr. yo, von U wlihlt. 1st %(!@,)L%(U), so ist %(U)CU.%(!@,), denn hie p-S.Gr. von U sind einerseits in U, anderseits in %(U) konjugiert. 1st aber %(go) $ %(U) und %!k der im Beweis von Satz 13 konstruierte Durchschnitt, so ist nach Satz 13 '$I(!@,) E, %(6,); da aber $, in diesem Falle p-S.Gr. von

1st D eine echte Obergruppe von U so konnen wir jedem U-Durchschnitt eindeutig einen D-Durchschnitt zuordnen auf Grund von

Satz 14. Ist D eine Obergruppe von U, 80 gibt es zu jedem U-Durchschnitt einen eindeutig bestirnmten Q-Durcbchnitt 6' 80, dap B' 2 6 und % ( $ I ) 1%(53,) ist.

Bebeis . Es sei 6 irgendein U-Durchschnitt, und Us, UT, . . . seien alle 53, enthaltenden U-Konjugierten. Da Us, UT, , . . in gewissen Konjugierten von D enthalten sind, ist Fb in gewissen Konjugierten von D enthalten, d. h. mindestens in einer Konjugierten von 53. B' sei der Durchschnitt aller 6 enthaltenden Kon-

Und %(8) E %(6,) i8 t .

9, ist, folgt !I?(%,) = 2,%(!@,).


jugierten von D. Wir ordnen jedem U-Durchschnitt '3 den wie oben gebildeten kleinsten % enthaltenden D-Durchschnitt %' zu. Diese Zuordnung ist eindeutig, und es ist 9' 2 %. Aus Satz 7 folgt noch, wenn man darin '3 fur 8 und 0 fiir U einsetzt : (32 (%) 2 YI (9).

Auf die weiteren moglichen Verallgemeinerungen, indem ,man etwa statt konjugierter Untergruppen konjugierte Komplexe, z. B. U + U S + UT + . . . , ZUF Durchschnittsbildung heranzieht, wollen wir hier nicht eingehen; sondern dies einer spateren Arbeit iiberlassen.

Q 3. Wir wenden uns nunmehr der Untersuchung der Durchschnitte der p - S . Gr.

von 8 zu. Ihre Theorie steht in engs'ter Beziehung zur Theorie der Konjugation der in einer p-S.Gr. enthaltenen Elemente und Untergruppen. Denn einerseits : wenn $ und T-I$ T in der p-S.Gr. p von 8 enthalten sind, so ist $ in !@ und T !@ T-l enthalten, es gibt dsnn also einen '$ enthaltenden 3-Durchschnitt b , der sicher nicht von nullter Stufe ist, wenn nicht T E %(!@) ist; anderseits: wenn der 9-Durchschnitt % in !@ und etwa in T-' !@ T enthalten ist, so liegen % und T 3 T-l in '$3. Ferner beruhrt gerade die Theorie der !@-Durchschnitte auf das engste alle Untersuchungen iiber die Nichteinfachheit von Gruppen. Denn wenn

Normalteiler von 8 ist, so enthiilt 8 wenigstens eine Sylowgruppe, etwa eine p-S.Gr., wenn wir den trivialen Fall 8 = 1 ausschliel3en; von ganz speziellen und leicht zu behandelnden Ausnahmefiillen abgesehen, ist dann eine p-S.Gr. von'Sj Durchschnitt von p-S.Gr. von 8. Insofern fuhren alle auf die Nicht- einfachheit der Gruppen gerichteten Untersuchungen auf das Problem der. Durchschnitte der Sylowgruppen. Der Verfasser kann nicht beanspruchen, da1) die Resultate dieses Paragraphen eine abschlieflende Theorie der Durchschnitte der p-S.Gr. einer endlichen Gruppe bilden ; eine solche vollstiindige Theorie ware schon ein sehr wesentlicher Bestandteil einer allgemeinen, vollstiindigen Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Hier wird nur ein Anfang gemacht, einige Grundbegriffe und Siitze. werden aufgestellt, die erreichbar waren. Alle im yorigen Paragraphen aufgestellten Siitze iiber die Durchschnitte von Mengen und von konjugierten Untergruppen gelten selbstverstkndlich fur die Durch- schnitte der p-S.Gr. von 8. Diese Durchschnitte werden von hier an stets als '$3-Durchschnitte bezeichnet; ferner ist von hier an unter !@ immer, wenn nicht ausdriicklich etwas anderes gesagt wird, eine p-S.Gr. von 8 zu verstehen.

Fur die !@-Durchschnitte erster Stufe gilt der Satz von ZASSENHAUS~): I n dem Normalisator 'ill(%) eines rp-Durchschnittes erster Stufe '3 is6 1 . jede p-S.Gr. w o n %(%) groper a h '3; 2. die Anzahl der p-S.&. von %(%) groper ah 1; 3. der Durchschnitt won zwei teliebigen p-S.Gr. w o n %(%) gleich '3; 4. jede p-S.&. won (32 (%) derDurchschnitt w o n (32 (%) mit genau einer p-S.Ur. von 8; 5 . der Durchschnitt won %(a) mit einer % enthultenden p-S.Gr. von 8 gleich

6 . der Normalisator in %(a) einer p-S.&. b' von %(%) gleich dem Durchschnitt einer p-S.Gr. von %('3);

won W ('3) mit dem Normalisator der !@' enthultenden p-S.&. von 8.

l ) Siehe H. ZASSENHAIJS, Lehrbuch der Gruppentheorie. Leipzig und Berlin 1937.

16 G F L ~ ~ T , Beitriige zur Gruppentheorie. 111.

Weiter gilt fur '$-Durdhschnitte erster Stufe 9: Sat2 1. Der N m l i s a t o r in 8 von % (9) ist gleich % (%) . Zwei in '$3 enthaltene

Durchschnitte erster Stufe sind entweder in % ('$3) konjugiert oder in @ nicht konjugiert.

Beweis. Da nach dem Satz von Zassenhaus % als Durchschnitt aller p-S.Gr. von % (%) charakteristisch in IJZ (9) ist, ist 9 auch Normalteiler des Normalisators von a(%); also ist '%(a) sein eigener Normalisator in 8. Damit ist der erste Teil der Behauptung bewiesen. Nun seien 5D und T-l 5D T in '$3 enthaltene Durch- schnitte erster Stufe. '$3', N-l '$3" = '$IN, . . . seien die p-S.Gr. von % (5D) und '$3' die nach dem Satz von Zassenhaus in '$3 liegende p-S.Gr. von % ( 5 D ) ; N , . . . E % (a). Dann sind T-'$'T, ( N T ) - ' $ ' N T , . . . die p-S.Gr. von % ( T - l % T ) . Da aber nach dem Satz von Zassenhaus wegen T-'5DT c '$3 auch eine p-S.Gr. von N(T- '%T) in '$3 liegen muB, etwa T-1N-1'$33" T E '$3, so folgt: '$3' E N T '$3 T-lN-l , also '$3' E 9 n N T '$3 T-l N-'; wegen '$3' 2 5D ist das nur moglich mit N T '$3 T - l N - l = '$3, also N T E % ('$3). Anderseits ist T - l B T = T-1N-1'3)NT, also ist T-l%T mit 59 durch ein Element aus R('$3) konjugiert, wie behauptet.

Satz 2. Ist 9 ein '$3-Durchschnitt erster Stufe, so sind zwei Elemente aus dem Zentrum der p-S.Qr. '$3' E '$3 von %(%) entweder in %('$3) konjugiert oder in CY nicht konjugiert. Dusselbe gilt fur zwei Normalteiler von 9'.

&($'). Damit ergibt Satz 1, 9 1 die Behauptung.

Beweis. 9' ist nur in '$3 enthalten, 8('$3')

Wir werden von nun an allgemein unter Zk einen $-Durchschnitt k-ter Stufe

Uber die Existenz von '$3-Durchschnitten 2 1 haben wir folgenden Satz 3. '$3 hube die Ordnung p", n > 0 ; es sei [CY : %('$3)] = 1 + apm(pm+l ) ,

(a , p) = 1 . Dann gibt es wenigstens einen $-Durchschnitt in CY von der Mindest- ordnung pn-*. Jede Untergruppe '$3' von der Ordnung prn+r von '$3, r > 0 , hat mit wenigstens einer Konjugierten von '$3 eine Untergruppe von der Mindestord- nung p? gemein.

Beweis. 1. Sei (3 = '%(p) + %(9)Tl'$3 + ... . . Ware fur alle in dieser Ent- wicklung auftretenden T $ n T-'$ T von einer Ordnung pq < pn-'", so wurden in jedem Komplex % ($) T immer p"-* 2 pm+l verschiedene Neben- gruppen von %('$3) liegen; also ware [a : %('$)I = l(prn+l) im Gegensatz zur Voraussetzung. Also ist mindestens fur ein T !$3 n T-l '$3 T von einer Ordnung P - q 2

2. Sei '$3' von der Ordnung pmfr eine Untergruppe von '$3, r > O . unter den Durchschnitten, die $' mit den verschiedenen p-S.Cr. von CY hat, gebe es keinen mit einer Ordnung > pr-I. Die Entwicklung CY = R ($) + R ('$3) T $'+ . . . ergibt dann wieder, daB auf der rechten Seite in jedem Komplex auBer den1 ersten die Anzahl der Nebengruppen von '$3 ein Vielfaches von pm+l sein InuBte, woraus [a : %($)I = 1 (pm+') folgen wurde, gegen die Voraussetzung.

AusSatz3 fo$t a l s o ~ . B . : I s t [ @ : % ( ! $ ) ] = l + a p ( p 2 ) , ( u , p ) = l , so ha t '$3 niit einer Konjugierten einen Normalteiler vom Index p gemein.

( k = 1 , 2 , . . .) verstehen.

wobei T - l v T $: '$3 ist.

GRUN, Beitr&ge zur Gruppentheorie. III. 17

Sehr wichtig ist Satz 4. Z u jedem in !$ liegenden k-ten !$-Durchschnitt %)k gibt a einen in '!@

Beweis. Wir zeigen: 1st % k c !$, k > 1 , so gibt es ein DiC 8, 0 < i < k,

Sei %k ein in !$ enthaltener !$-Durchschnitt, k > 1, und %(%)) A '$ = '$' 3 Zk. 1st 9' nicht p-S.Gr. von %(%), so lie& b' in einer weiteren, eine p S . G r . von %(a) enthaltenden p-S.Gr. von @, etwa T - l y T ; daher ist dann. !# n T-l b T 2 !$I 2 B k , also liegt ein Bi 2 mgk in '$. Nehmen wir nun- niehr an, !$' sei eine p-S.Gr. von %(%k), aber es gebe e h e %& enthaltende p-S.Gr. T - l V T von @ so, da13 %(%k) A T-I!$T = '$" keine p-S.Gr. VOP

%(%k) sei. D a m liegt b" in einer eine p-S.Gr. von %(%k) enthaltenden Konju- gierten R - l V R von !$ und es ist T-l!$T n R-l!$R = %) 2 '$3'' 2 %k. Also ist dann in der eine p-S.Gr. von %(&) enthaltenden p-S.Gr. R-l!$R von @ ein % 2 %k enthalten. Entweder ist nun R-l!$R mit der die p-S.Gr. !$I von %(%k) enthaltenden p-S.Gr. !$ von @ durch %(%k) konjugiert, dann ist h '!@ ein durch % ( b k ) zu b konjugierter '$-Durchschnitt enthalten, der echte Obergruppe von %k ist, oder R-l!$R ist mit !$ nicht durch %(a&) konjugiert; dann sei N - l V ' N , N E %(%k), die in R-l!$R liegende p-S.Gr. von %((a,); in N R-lVRN-' liegt dann die p-S.Gr. !$' von %(%k), es ist also N R - l $ RN-' b 2 !$' 2 %k, und da nach Annahme R-' !$R mit !$ nicst durch ein Element :us %(fgk) konjugiert ist, ist NR-l!$RN-l =I= !$. Das bis- herige Ergebnis unserer Uberlegungen ist also: Wenn nicht jede %k enthaltende p-S.Gr. von 8 auch eine p-S.Gr. von %(bk) enthalt und zwei verschiedene %k enthaltende p-S.Gr. von 8 auch zwei verschiedene p-S.Gr. von %(%)k) a t - halten, so hegt in jeder %k enthaltenden p-S.Gr. von @ ein %)< 2 %)k. Es Sei jetzt also diese zuletzt genannte Forderung erfiillt. Dann Bind, wie man leicht sieht, alle Sbk enthaltenden p-S.Gr. von 8 durch %(%k) konjugiert. wir berufen uns in diesem Fall auf Satz 1, $ 2. Aus ihm folgt; da13 es wenigstens eine Reihe VsJ Sl 2 B2 3 - . . 2 zk-1 3 Bk gibt. 'lp' enthiilt eine p-S.Gr. von %(%a), weil % k C S$Vq ist. 1st pT eine weitere Bk enthaltende p-S.Gr. von 8, SO ist VT = ( IpsN 2 EF 2 . . . 2 Bf-, 2 @' = %)k; in diesem Falle liegt also in jeder %k enthaltenden p-S.Gr. von @ sogar eine vollstiindige Reihe. %l 2 (a2 2 - . . 2 %k, speziell daher ein a1 2 % k . Damit ist Satz 4 bewiesen.

liegendeh ersten !$-Durchschnitt Dl 2 Bk, falb k > 1 i8t.

%i 2 bk.

Aus Satz 7, 8 2 und obigem Satz 4 folgt sofort: Satz 5. 1st die Untergruppe V* van '$ auch i n zu b konjugierten Gruppen

1. einen !$-Durchschnitt Bk C !$, %k 2 - V* mil )37 (@*) 2. ein Dl c !$, Dl 2 !$*.

Weiter iolgt aus Satz 4: Satz 6. Jeder k-te 9-Durchchnitt ist ein Durchschnitt ( k - 1)-ter Stufe im.

System der Durchschnitte aller !$-Durchchnitte erster Stufe. Beweis. Es mien !$, !$Ti, . . . , alle den Durchschnitt %k enthal-

tenden p-S.Gr . von 8 . Nach Satz 4 gibt es Durchschnitte erster Stufe

'ps enthalten, so gibt es % (bk) ;

Mat11 Nachr 1948, B I , H I 2


%: C '$, %; C '$Ti , . . . , c p T g , die samtlich %k enthalten; also ist T: n %: n . - . n sbq 1 = 3 Sk; da anderseits '$ n !@Ti n . . . n %Tg = %k ist, muB 2: n 9: n - . - n %! = Bgk sein. Also ist %k ein Durchschnitt von '$-Durch- schnitten erster Stufe. DaB alsdann %k in diesem System von Durchschnitten genau von (k - 1)-ter Stufe ist, folgt sofort aus der Definition der Durchschnitte beliebiger Stufe.

Mit U, (s = 1,2, . . .) werde die s-te Untergruppe der absteigenden Zentrenreihe einer nilpotenten Gruppe 11 bezeichnet, U, = U. Wir wiihlen irgendein festes s. Sind . . . , b T m alle den '$-Durchschnitt 9 enthaltenden Gruppen, also 9 = n . . . n P T m , so werde unter %(s) der Durchschnitt p: n ' . ' n VBT, = % ( S ) C 9 verstanden. Es ist hieraus klar, dal3 '$2 (9 (s)) 2 '$2 (9) ist; ferner Q % ( S ) ~ { ~ ~ ( ' $ ~ L ) , 8s('$T~), . . ., 8 8 ( ' $ T m ) } . 1st nun %(s) noch in weiteren zu vS in konjugierten Gruppen enthalten, etwa '$?+I,. . ., '$2, so ist also S,'l n . . . n '$BT,n '$?+in . . . n 5$2 = %(s) und (Es konnen hierbei verschiedene '$7 einander gleich sein, niimlich wenn BT' + p T k , aber

'$2 = '$2 ist.) kann die 3 (8) in der s-ten Untergruppe der absteigenden Zentrenreihe enthaltenden p-S.Gr. von @ nur untereinander vertauschen, lafit also ihren Durchschnitt % invariant. Da aber ill sb (8) 2 R 9 (8) 2 {38 ( P T l ) , . . . , $8 ( p T - ) ) ist , folgt

'$Ti n . . n p T m n v T m + 1 n . . . n vT- = 5 c 9.

Dann ist sicher ill($) 2 %%(s). Denn %IS,(s)

($1 2 { 8 S ( ' ; P T 1 ) 9 * ' ' 3 8 8 (bTn)) '

Offenbar kann man mit Hilfe dieser und iihnlicher Betrachtungen die Durch- schnitte der konjugierten Untergruppen der absteigenden oder aufsteigenden Zentrenreihen usw. der p-S.Gr. von @ mit den '$-Durchschnitten in gewisse Beziehung bringen. Wir verzichten hier darauf, die Untersuchung weiter durchzufuhren, und erwiihnen nur einige besonders wichtige Satze :

Satz 7. Es seien bT1, . . . , ';pTm alle den '$-Durchschnitt sb enthaltsnden pS.cJr. von a. Dann bestehen drei Moglichkeiten, die sich nicht notwendig gegen- seitig ausschliePen: 1. B ist abelsch, 2. (8a('$Tt), . . . , 8 2 ( ! @ T m ) } ist eine echte Untergruppe von 8, 3. = (9,B) 2 1 liegt im Zentrum won a. Und allgemeiner: Ist s eine beliebige natiirliche Zahl, so ist entzoeder B8 = 1 , oder (a8(pTi) , . . . , 8 , ( b T m ) } ist eine echte Untergruppe von (3, oder SS liegt im Zentrum von @, wobei BS die s-te Untergruppe der absteigenden Zentrenreihe von 9 ist.

Beweis. Es ist sb, C '$? n . . n pp, also ist Q(B8) 2 {& (QT1), . . . , 8 S ( ? j T m ) ) . 1st B, 2 1, so sind zwei Falle moglich: 1. {8,('$OT1), . . . , 88('$Tm)) = 0, also Q(B,) = @, d. h. sb8 €$(a), oder 2. ( S S ( ' $ T ~ ) , . . . , & ( ' $ T m ) } ist eine echte Untergruppe von a.

Ebenso beweist man Satz 8. Es seien . . . , ';PTm alle den '$-Durchschnitt sb enthaltenden

pS.&. von a, s sei eine beliebige naturliche Zah2. Entweder ist &($) = 1 , oder {SF, , . . , Sp} ist eine echte Untergruppe von ($5, oder SS(9) liegt im Zmtrum von @.

Ahnliche Betrachtungen kann nian auf die hoheren Komm~itatorgruppen usw. anwenden.


Wir haben bisher nur die Frage nach der KonjugaCion der Elemente einer p-S.Gr. '$ gestellt. Manchmal ist es erwiinscht, die Frage zu beantworten: Wie konnen !$ und p T konjugiert sein, wenn irgendein vorgegebener Komplex S in !$

Satz 9. Ist '$3 n p T 2 S, 80 ist '.pT mit $3 durch ein Element am %8(p)(1 + S, + ... * + Si)(1 + S;l +. - . + S;l)!J@($)R(S) konjugiert.

qT liegt. Aus den Satzen 4 und 5 von J 1 folgt leicht:

8 4. In diesem Paragraphen geben wir einige Anwendungen unserer Resultate.

Diese Anwendungen sind nur als Beispiel gedacht und waren nicht etwa das ausschliefiliche Ziel der vorhergehenden Untersuchungen.

Def in i t ion 1. Eine Gruppe 8 heiBe p-regular, wenn %(@) in jeder B(p) enthaltenden Gruppe liegt.

Aus der Definition folgt : Satz 1. I n einer p-regularen aruppe ist %(p) abelscher Nomnalteiler von

%8 (ps), wenn 8 (p) in pS liegt, und abelscher Normalleiler von 1573 ( ' ; p T ) , wenn 8 ( @ T ) in %$(p) liegt. (Liegt

Beweis. 8 sei p-regular; ?23 (p) ist die schwache AbschlieBung von 8 (p) in '$; daraus folgt: %(p) = ?23( '$T) , wenn %(C;P)E p T . De %($) nach Definition der p-reguliirea Gruppen in jeder p-S.Gr. von 8 liegt, die 8($) enthalt, so liegt 23 (Q) in jeder p-S.Gr. von '578 (@) ; es ergibt sich sofort, daB 8 (p) auch in 'iQ(!$) die schwache AbschlieBung von 8(p) ist. Also ist %(p) Normalteiler von %8(@), und aus 8 ( ~ ) E % 8 ( ~ T ) folgt %(!j3) = ? 2 3 ( l ; p T ) ; also ist %(P) auch Normalteiler von 1578 ( qT). Nun ist 8 (p) E 1578 ( p T ) , wenn 8 ('$) E 1578 ( Q T ) ist, denn dann enthiilt eine p-S.Gr. von 1578(vT) die Gruppe 8(b), also auch die Gruppe a($); daher ist dann %$('$') 2 %(%). Sind nun '$, PT1, . . . , pT* alle 8(%) enthaltenden p-S.Gr. von 8, so ist also B(p) = % ( $ ) T 1 = . . - = = ?23(gTc). Es sind dann nach den Satzen aus $ 1 gerade 8('$), 3(pT1), . . . , 8(bTg) alle in %g(p) liegenden zu 8(p) in 8 konjugierten Gruppen. ?23(VTd) enthiilt 8($Td) im Zentrum. Aus %($) = ?23(QT1) = - - = %(!$**) folgt also, daB 8 (9) ,jj ( p T ~ ) , . . . , 8 ( p T ~ ) in 8 8 ('$) liegen. Da aber diese Gruppen gerade die 8 (!@) erzeugenden Gruppen sind (es ist 8 (8) = {3 ('$3) , 8 ( pT1), . . . , 8 (pTa))), so ist %($) sein eigenes Zentrum, d. h. a($) ist abelsch. Damit ist alles bewiesen.

Man sieht sofort, daB in einer p-regularen Gruppe gilt: Aus 8(pBS) c 8 folgt 8($) C p8. Haben zwei p-S.Gr. QT1 und ' . p T a irgendein !J3-Zentrum als (invariante oder nichtinvariante) Untergruppe gemein, so ist 8 (pT1) =

in %a(@*), 80 ist %(b) = %(p*).)

= ?23(pTs) = % ( $ S ) .

Eine Guppe ist trivialerweise p-regular, wenn ihre p-S.Gr. gleich 1 ist.

Def in i t ion 2. Eine Gruppe (3 heiBe vollstiindig regular, wenn sie p-reguliir

Nach obiger Bemerkung ist eine vollstiindig reguliire Gruppe regular fur alle

Da13 es p-regulare und vollstandig regulare Gruppen gibt, folgt aus der Tat-

fur jede ihre Ordnung teilende Primzahl p ist.

Primzahlen.

sache, daB jede Gruppe mit abelschen p-S.Gr. gewiB p-reguliir ist. 21

20 GRUN, Beitrage zur Gruppentheorie. 111.

Satz 2 . In qiner p-reguliiren Gruppe 8 ist K ( p ) = % %(p). Beweis. B('lp) 8 (Qsl), . . . 8(Qsfi) sind die samtlichen in p enthaltenen

verschiedenen p-Zentren, ihre Vereinigungsgruppe ist 8 ($) . Da in @ aus 8 ($3) C bS folgt : 8 (Qs) = 8 (p), und da nach Satz 6, 0 1 aus 8 (pS) c ?J3 sich 8 (Sp) C %8 ( Sps) ergibt, sieht man sofort : 8 (Q) ist Normalteiler von ($) ,

Offenbar ist 8 3 (%g(p), XI, S,, . . . , 8,,} = Qj. Denn %g(!$), %g($sl), . . . , 83 (psfi) sind & 8 konjugiert. Ware 8 3 Q1, so lage noch mindestens ein Element T in 8, so dal3 %3(QT) verschieden von allen Gruppen %g(p), %8(Sps1), . . . , %8('Ipsfi) ware. Da aber 8 C % 8($) ist, miiBte 8(p) auch Normalteiler von %8(vT) sein, also miil3te 8(9) in pT und 8 ( p T ) E $ sein. Das ist abei nur nioglich, wenn 38 (p) T gleich einer der Nebengruppen %8(Sp)Si ( i = l , . . . n) oder gleich %8(p) i s t . Also ist %8(p)=Q=Ql; Q liil3t sich nach rechten Nebengruppen von %8(Q) entwickeln,: %%@) = 8 = '88 ('$) + %8 ('$)S, + - . - + %a (p) 8,. Daraus folgt die Behauptung.

~8(SpS9, * * * 3 ~ n g ( S p S f i ) ; also %wP)2(%8(c;p), %8(VS9, * - * 9 ww$S-)} = Q .

Defin i t ion 3. Eine Gruppe @ heiBe p-hyperregular, wenn fur jeden Sp-Durchschnitt % gilt: Aus % c p folgt: eine p-S.Gr. von %(a) liegt in p.

Defin i t ion 4. Eine Gruppe @ heil3e vollstandig hyperregular, wenn sie p-hyperregular fur jede ihre Ordnung teilende Prinizahl p ist.

Es gibt p-hyperregullre und vollstandig hyperregdare Gruppen, niimlich die Gruppen mit abelschen p-S . Gr. bzw. mit nur abelschen Sylowgruppen. 1st die p-S.Gr. von @ gleich 1, so ist (3 trivialerweise p-hyperregular. Man

kann a180 sagen, da8 eine vollstandig hyperregulare Gruppe p-hyperregular fur alle Primzahlen p ist.

Satz 3. Eine p-hyperregulare Gruppe ist p-regular.

Beweis. (3 sei p-hyperregular. Es seien p, pT1, . . . , ?JT# alle 8(p) enthaltenden p-S.Gr. von (3. Dann ist p n '!$TI n . . . n p T g = '3,2 8 (p) . Nach Satz 7, Q 2 ist %(%)2%8(!)3). Also ist gewil3 '$ eine p-S.Gr. von %(a); die p-S.Gr. von %(a) sind also volle p-S.Gr. von 8. Da nun jede enthaltende p-S.Gr. von (3 auch eine p-S.Gr. von %(%) enthlilt, ist jede '3, enthaltende p-S.Gr. von 8 eine p-S.Gr. von %(%), und Sp, S p T l , . . , S p T f sind also p-S.Gr. von %(%); diese miissen aber auch alle p-S.Gr. von %(%) sein, denn jede p-S.Gr. von %(%) mu8 B J also 8(%) enthalten. b, pTIJ . . . , sind in %($) konjugiert,undesist%8(p)C%(%). Alsosindauch%fj(SpTl), . . . , E %(a). Ferner ist 8(Sp) 'b, also auah 8(pT1) 2 ST1 = %, usw. % enthiilt also die Vereinigungsgruppe der Zentren aller p-S.Gr. von (3, die 8(p) enthalten. Nach Satz 6, Q 1 ist aber die Gesamtheit der Zentren aller a(!$) enthaltenden p-S.Gr. von (3 gerade die Gesamtheit aller in %8(S) liegenden zu 8(p) konjugierten Gruppen, ihre Vereiltigungsgruppe ist also die Vereinigungsgruppe aller in %a (9) enthaltenen zu 8 (p) konjugierten Gruppen, d. h. Eie ist gleich (% (9) 8 ( Q N ~ ) , . . .}; N , , . . . E %Zg (Sp) . Da diese Vereinigungsgruppe aber im vorliegenden Falle in '3, enthalten, also eine p-Gruppe ist, mu8 sie gleich B(p) sein. Aus 8(Sp) E % folgt 8 (8) E SpT' (i = 1 . . . , n ) , also 8 (8) = % (PT'). Also ist nach Definition 1 die Gruppe @ p-reguliir.

GWN, Beitriige zur Gruppentheorie. 111. 21

Satz 4. Nomnalteikr und Faktorgruppen einer p - h y p e r r e g u l n Gruppe sind p-hypeweguliir.

Beweis. 1. @ sei ein Normalteiler der p-hyperregularen Gruppe @, Q* eine p-S.Gr. von 8, %* ein beliebiger ';P*-Durchschnitt; %* c Q*. Wir haben zu zeigen, da13 eine p-S.Gr. von %(%*)n@ in Ip* liegt. g, '$3T*J . . . , g T m seien alle %* enthaltenden p-S.Gr. von o), Q* C 9. (Wir

konnen annehmen, daB Ip* c Q sei, andernfalls haben wir nichts zu beweisen.) 1st ';pn . n I p T m = 9 3 %*, so ist nach Satz 7, 5 2 %(%)z%(%*). Anderseits ist %* = %n @ NGmalteiler von %(%), also ist %(%) %(%*). Folglich ist %(%) =%(a*). Eine p-S.Gr. von %(%), also auch von %(%*), liegt in jeder p-S.Gr. von 8, die %, also in jeder p-S.Gr. von o), die %* enthalt. Es sei '$2 '$* 1 %*; in ';p liegt eine p-S.Gr. von %(%*) , also liegt h Ipn @ = Q* eine p-S.Gr. von %a(%*) = %(%*)n@, was zu beweisen war.

2. Es sei a/@ = 8 mit den p-S.Gr. @, den @-Durchschnitten %, usw. Wir wollen zeigen: 1st 8 p-hyperregular, so ist auch

Die Menge a l ler Elemente aus 8, die bei der Abbiliung von @ auf 3 auf die Untergruppe u abgebiMet werden, bildet eine durch die Abbildung eindeutig bestimmte Untergruppe U van 8; wir konnen in diesem Sinne jeder Untergruppe U von 3 eine Untergruppe U Ton @ eindeutig zuordnen. Ebenso ist jedem Element E 3 eindeutig eine Nebengruppe T@ = @ T von o) zugeordnet.

% sei ein '$-Durchschnitt von 8 , es seien '$3, ( j P T 1 , . . . alle Sbenthaltenden p-S.Gr. von 3; U, U*, T, @ F @ T, , . . . seien die bzw. %, 9, T, , . . . zugeordneten Untergruppen bzw. Komplexe. 1st dann go ehie beliebige p-S.Gr. von U, so ist U = go$ = @Po; ist peine beliebige p-S.Gr. von U*, soist U* = '$8 = @';p,

so daB $ eine p-S.Gr. von 8 ist. Die SF' zugeordnete Untergruppe von (3 ist dann U*T~ = gTl,@ = @ qT1. U ist somit der Durchschnitt U* n U*T: n . . . . Die p-S.Gr. go von U ist somit Durchschnitt von p-S.Gr. von U*, U*T1, .. . . Wenn go in der p-S.Gr. gs von 8 liegt, so lie@ Ipo@ = U in Ips@, also enthalten U*, U*Ti, . . . alle p-S.Gr. von 8, die ';po enthalten. Da Ipo ein Q-Durchschnitt in 8 ist, liegt nach Voraussetzung in jeder Qo enthaltenden p-S.Gr. von o) eine p-S.Gr. von %(Po). Wenn wir also zeigea konnen: %(Ipo)@ = %(Po@) = %(U), so folgt, da13 auch %(U)/@ = %(%) , der Normalisator in 8 von %, eine p-S.Gr. in jeder ?6 enthaltenden p-S.Gr. von @ hat, daB also 8 p-hyperreguliir ist.

Nunist %(go)@L%($o@); dennfiir XE%(!@,) wirdS-lIpo@S=X-lQoS@ = = go@ , daher %(go) C %(Po@), und ,@ C %(??3,@) ist trivial.

Weiter ist aber auch % ( go)@ 2 r37 (go@). Denn sei % (go@) = Ipo@+Ipo@Sl + . . . , so konnen S, , . . . aus %(go) gewiihlt werden. Ipo ist niimlich eine p-S.Gr. von go@, die p-S.Gr. von go@ sind in go@ konjugiert, also ist nach schon mehr- fach benutzter Schlufiweise r37(Qo@)L bo@%(Ipo) = @%(Ipo) = %(Ipo)@.

,

= a/@ p-hyperregular.

-

- _ _ - - - -

- -

Zusammen ergibt dies : % ('$3,) @ = % (go@). Satz 4 scheint dem Verfasser bedeutungsvoll; er sagt aus: Zwischen der Art

der Einlagerung in 8 des Zentrums 8('$3) einer p-S.Gr. Q von 8 und der 'Art, wie in einen Normalteiler @ von 8 das Zentrum 8(Ipo) einer p-S.Gr. Qo von @ bzw. wie in die Faktorgruppe a/@ = 8 das Zentrum 8('$3) einer p-S.Gr. Q von o) eingebaut ist, besteht ein enger Zusammenhang, wenn o) hyperregullir ist.


Die Definitionen der p-regularen und p-hyperregularen Gruppen sind zwar soweit gerechtfertigt, als die Existenz von p-regularen und p-hyperregularen Gruppen nachgewiesen ist; aber diese Definitionen sind insofern noch nichi gerechtfertigt, als noch nicht gezeigt ist :

1. es ist nicht jede Gruppe p-regular; 2. es ist nicht jede p-regulare Gruppe p-hyperregular.

Die Beantwortung dieser Fragen mu13 noch verschoben werden. Fur eine p-regulare Gruppe @ gilt:

Satz 6. 1st @ p-regular, 80 ist die maximal-abelsche p-Faktorgruppe von (3 isomorph wit der von % % (8 ) .

Beweis. Es sei (8 = %%@) + + ..-. Da %%(8)2%('$3) ist, kann keiner der Komplexe % % ( q ) T q $. %%(p) aus einer einzigen Neben- gruppe von % % (8) bestehen; ferner sind auf Grund von Satz 2 dieses Para- graphen und Satz 4, $ 1 zwei Elemente oder Untergruppen aus !$ entweder in % 23 ('$3) konjugiert oder in (3 nicht konjugiert. Hieraus folgt leicht der behauptete Satz auf Grund der Uberlegungen, die schon bei den Beweisen von Satz 5 oder Satz 9 im TeilIl) angewendet wurden.

Der obige Satz ist die genaue Verallgemeinerung des Satzes 5 aus Teil I, in den er iibergeht, wenn 23 ('$3) = 8 (8) ist.

Mit ganz ahnlichen Uberlegungen wie Satz 5 beweist man fur beliebige p-regulare

Satz 6. Der konjugierende Komplex oder nicht p-regulare Gruppen @:

K ( 8 ) = %3(!$)(1 + 4 - * * + + #,-l + * * + W ) W j (8) sei in der Untergruppe U von (3 enthulten. Dann ist die maximal-abelsche p-Fak- torgruppe von @ isomorph mit der maximal-abelschen p-Faktorgruppe von U.

Urn den Beweis durchzufuhren, beachtet man, da13 %(U) = U ist, da U 2 % ( p ) ist, da13 ferner eine in U liegende p-S.Gr. von @ in keiner zu U konjugierten von U verschiedenen Gruppe liegen kann, und daB zwei Elemente oder Unter- gruppen aus !$ entweder in U konjugiert oder in (3 nicht konjugiert sind. Damit folgt durch Anwendung der Verlagerung leicht der behauptete Satz.

Satz 6 ist die gennue Verallgemeinerung von Satz 5 , in den er ubergeht, wenn (8 p-regular ist und U = K ( % ) = %23(p) gewahlt wird.

s V ) . Um eine Anwendung der vorstehenden Untersuchungen zu geben , beweisen wir : Satz 1. Die Gruppe 8 habe die ungerade Ordnung 9 ; ihre p-X.Gr. mogen fur

alle g teilenden Primxahlen p eine Ordnung 5 p3 hpben und der Rang ihrer maximal-abelschen Faktorgruppe sei < 3 , d. h. keine p-S.Gr. von 8 sei abelsch vom T y p u s ( p , p , p ) . p, < p , < - . - < p , seien die verschiedenen g teilenden rationalen Primzahlen. 8 ist auflosbar, und es besteht eine Reihe von Normalteilern 8 1 1 $j2 3 . - 1 = 'p("), wobei die einzige p,,-S.Gr. von @ ist

l) Siehe 1. c. FuDnote l) S. 4. 2, Dieser Paragraph wurde nachtraglich hinzugefiigt.

GRUN, Beitrage zur Gruppentheorie. 111. 23

und @/Ql !@(I), !@(2), . . . , Qfl-z/Qfl-l '$(fl-i) ist, wenn allgemein unter $(a) eine pi-&'.&. von @ (i = 1 , 2 , . . .) verstanden wird.

Beweis. Es geniigt offenbar, zu zeigen, daB (sj bei den gemachten Voraus- setzungen einen Normalteiler enthalt, so daB p(') ist. Denn gn,,ist dann charakteristisch in @ , als Vereinigungsgruppe aller Sylowgruppen von (3 von zu p , primer Ordnung und erfiillt ebenfalls alle Voraussetzungen von Satz 1.

1st P(l) von der Ordnung p , oder p: oder abelsch vom Typus ( p , , p:) oder zyklisch von der Ordnung p:, so liefert (sj keinen eigentlichen Automorphismus von q(,), also liegt alsdann $(l) in (sj im Zentrum seines Normalisators, daher ist dann unsere Behauptung richtig nach einem bekannten Satz von BURNSIDE.

Wir nehmen also an, daB !$(I) nichtabelsch sei. Es ist dann $('$(')) zyklisch von der Ordnung p , und P(l)/3 (@(I)) abelsch vom Typus ( p , , p , ) . 88 ($('))/8 (!$(I))

hat also abelsche pl-S.Gr. vom Typus (p , , p l ) , die im Zentrum ihres Normali- sators liegen miissen; daher enthalt 88 (q@)) einen Normalteiler Q 2 8('$(')) mit der abelschen p-Faktorgruppe %/Q vom Typus ( p , , p,). Wenn wir noch zeigen konnen: 3(!$(')) ist in @(') schwach abgeschlossen beziiglich (3, d. h. @ ist p,-normal, so folgt aus Satz 6, 5 3, Teil I, daB @ einen Normalteiler @, so enthiilt, daB @/Q, E %g(P(l))/Q abelsch vom Typus (p,, p,) ist. Q1 selbst ist dann eine Gruppe, die alle Voraussetzungen unseres Satzes.1 erfiillt, in der aber die p,-S.Gr. zyklisch von der Ordnung p , ist. Diese liegt naturlich wieder im Zentrum ihres Normalisators, und daher enthalt Q, einen charakteristischen Normalteiler '8, vom Index p1 in 4, ; 92, ist auch Normalteiler von (sj, und wegen '$(I)%, = @, '$(I) n '8, = 1 folgt @/%, g $(l), was zu beweisen war.

Wir haben also nur noch zu zeigen : Liegt 8 (!$(l)) in P(l) s, so ist 8 ( p(')) =8 ($(l))'. Um dies zu beweisen, fiihren wir die gegenteilige Annahme zu einem Wider-

spruch. Es sei also 3(p(,)) € !@(,)', aber 8 $(') $; 8 (!$(')'). Nach Satz 6, § 1 liegt dann 8(p(1)s) in %3($(1)), also in einer pl-S.Gr. von %8('$(')); es bedeutet keine Einschriinltung der Allgemeinheit, wenn. wir annehmen: 8 (%(I)') E $(I).

Dann ist also !$(') n !$(l)' 3 {3(!$(1)s)). Es mu13 nun $(') n $F(l)s = = {a (!$(l)), 8 ( P(l)')) = q0 sein.Eenn wegen 8 (P(l)) =+ 8 ('$(l) s, hat qo mindestens die Ordnung p2 und wegen [']p(') : 11 = p; auch hochstens die Ordnung p2, also ist [Po : 11 = p:; demnach ist Po Normalteiler vom Index p , in $(') und in und daher '$(')-Durchschnitt erster Stufe. '$(l) und ?p(l)' sind also p,-S.Gr. von %(To) und daher in 91(!$o) konjugiert. Wir konnen also annehmen, daB S in %(Po) liege. In %($o)/Po hat die p,-S.Gr. '$(,)/To die Ordnung p , , liegt also im Zentrum ihres Normalisators (in % ; also enthalt %('$,,) einen Normal- teiler Qo 2 !$", so daB %(!$,,)/Qo zyklisch von der Ordnung p , ist, und es ist '$(') Qo = '8 (13,) , '$(I) n Qo = go. Entwickelt man % (Po) = Qo + T,Qo + - - . so konnen also die Elemente T,, . . . aus '$(l) gewahlt werden. Daraus folgt, daB die die p,-S.Gr. von %(Po) miteinander konjugierenden Elemente bereits aus Qo gewahlt werden konnen. Die einzige p,-S.Gr. von Qo ist nun Po von der Ordnung p;; fur eine solche Gruppe liefert Qo aber keinen eigentlichen Auto- morphismus, mithin liegt Po im Zentrum von Qo. 1st also $(')' = $')=, H € $jo so ist 3('$(,)=) = ,jj(!$(l)) = im Gegensatz zur Voraussetzung 3(!$(')) + 8(Q(1)s). Wir haben also die Annahme, (sj sei nicht p,-normal, zu einem Widerspruch gefiihrt und damit den Beweis von Satz 1 vollendet.

24 GEWN, Beitriige zur Gruppeutheorie. 111.

Satz 2. Satz 1 gilt bei Erhaltung der ubrigen Voraussetzungen auch noch mit der Abanderung: Die Ordnung von @ sei durch 2, aber nicht durch 3 teilbar.

Satz 3. Die Satze 1 und 2 gelten auch, wenn die zu der grobten in [@ : 11 auf- g e h m k n Primzuhl pn gehdrige pn-S.&. $(") von beliebiger Ordnung und beliebigem T y p u a ist.

Satz 4. W e n n die Vorawsetzungen von Satz 1 bzw. Satz 2 nur fur die zu den Primzahlen p,, . . . , P,,-~ gehtirigen Sylowgruppen von @ gelten und die pnF1- s m * e p,,-S.Qr. von @ beliebige Ordnungen P E - . ~ , pf: und beliebige Struktur huben, 80 gilt: @ ist aufuabar und enthiilt einen Normalteiler von der Ordnung p;-l pf: , fur desaen Faktorgruppe Satz 1 bzw. Satz 2 gilt.

Batz 5. W e n n die Vorawsetzungen von Satz 1 bzw. Satz 2 n u r fur die zu den eraten T Primzahlen p l , . . . , pr geh&igen Sylowgruppen urn @ gelten und die pT+l-, . . . , pn-S.Gr. von @ beliebige Ordnungen p:+";, . . . , p? u n d beliebige Struktur h b e n , so gilt:'@ ist nicht einfach und enthiilt einen Normalteiler von der Ordnung p:?; + . p 2 , fur dessen Faktorgruppe Satz 1 bzw. Satz 2 gilt.

gewinnen; wir unterlassen daher ihre Durchfuhrung. Die Beweise von Satz 2 bis Satz 5 sind aus dem Beweis von Satz 1 leicht zu

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Beiträge zur Gruppentheorie. III