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B e m e r k u n g z u e i n e m S a t z f i be r k o m m u t a t i v e B a n a d l - A l g e b r e n

Von WOLFOA~O KU~D'r in Hamburg

In dem Buch yon LooMIs ( L Y ~ H. LOOMIS, An Introduction to Abstract Harmo- nic Analysis, New York 1953) werden hinreiehende Bedingungen angegeben daffir, da~ ein Element x einer gewissen kommuta t iven Banach-Algebra A, z. B. der L 1- Funktionenalgebra einer lokal kompakten abelschen Gruppe, einem abgeschlossenen Ideal I dieser Algebra angehSrt. In der vorliegenden Arbeit soll gezeigt werden, da~ die Menge aller derjenigen x, welche bei gegebenem Ideal I den angegebenen Be- dingungen geniigen, ein Ideal bildet.

Der bei LooMIs bewiesene Satz lautet :

Satz 1. Ist A eine regulgre, halbein]ache Banach.Algebra, die der Bedingung D ge- niigt, und I ein abgeschlossenes Ideal in A, so enthiilt I alle Elemente x aus A , / i i r die a) h(I) c h(x) und b) der Durchschn~tt von h(I) mit dem Rand yon h(x) keinen nicht leeren per/ekten Tell enthdlt.

a) ist trivialerweise notwendig. Hierbei werden folgende Bezeichnungen verwendet : 1. Ffir eine komplexe Algebra

A sei A der (mit dcr schwachen Topologie ausgestattete) Raum aller yon Null ver- sehiedenen Homomorphismen ~ in die komplexen Zahlen. Jede Teihnenge B aus A bes t immt in A das Ideal k(B) der von allen ~r e B auf Null abgebildeten Elemente, den Kern yon B. Umgekehrt ist fiir E c A die Hi~lle h (E)C zJ erkl~rt als Menge aller Homomorphismen, die E annullieren. Jede Hfille ist als Durchschnitt yon Nullr~umen stetiger Funktionen abgeschlossen. I m Fall einer kommuta t iven Banach- Algebr~ ist A lokal kompakt . 2. Eine B~nach-Algebra ist halbein[ach, wenn die Gelfand-Darstellung treu ist. 3. Eine kommuta t ive Banach-Algebra heis t reguldr, wenn jeder abgeschlossene Teil aus A gleich der Hfille seines Kerns ist; d. h. wenn die gegebene Topologie mit der Hfille-Kern-Topologie fibereinstimmt. 4. Eine Banach- Algebra A genfigt der Bedi~Jung D, wenn es zu jedem x E A und jedem Homomor- phismus ~ e h (x) eine Folge von Elementen Xn ~ A gibt, derart, dab die Fouriertrans- formierten der Xn auf Umgebungen Vn yon ~ verschwinden und XXn gegen x konver- giert. Bei nicht kompaktem A soll dies auch fiir den Nullhomomorphismus gelten, wobei dann die Vn Komplemente kompakter Mengen aus A sind. 5. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heis t per]elct, wenn sie abgeschlossen und in sieh dicht ist.

Es soll jetzt gezeigt werden, dab die Menge aller x e A, die den Bedingungen a) und b) aus Satz 1 genfigen, ein Ideal bildet. Oder etwas allgemeiner :

Satz 2. Sei A eine komplexe Algebra und F ein abgeschlossener Teil aus z]. Die

Vol. IX, 1958 Bemerkung zu einem Satz fiber kommutative Banach-Algebren 437

Menge J a l l e r x e A mit F g h(x), /i~r die F n R a n d ( h ( x ) ) keinen per/ekten, nicht leeren Tell enthi~It, ist ein Ideal.

B e m e r k u n g . Unter den Voraussetzungen yon Satz 1 ist bekanntlieh das Ideal j (F) aller x e A, deren Fouriertransformierte kompakten, yon F disjunkten Tr~ger haben, das kleinste Ideal aus A mit F als Hiille (siehe LooMIs, loc. cir. 25D p.84). Das grSl3te (und zugleich abgeschlossene) Ideal mit Hiille F i s t k(F). Daher gilt: ~' (F) c J c k (F). F heiBt vom eindeutigen Typus, wenn k(F) das einzige abge- schlossene Ideal ist mit Hiille F, andernfalls vom mehrdeutigen Typus. Bei H.REITER 1) werden Beispiele fiir beide Fiille angegeben. Ist _~ vom mehrdeutigen Typus, so gibt J die beste bislang bekannte Absch~tzung nach unten ffir alle abgesehlossenen Ideale mit Hiille F.

Wir kommen zum Beweis yon Satz 2. Er wird zuriiekgefiihrt auf folgendes

Lemma, Ist der nicht leere, in sich dichte Raum P Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen B~, so enthiilt B1 oder B2 einen nicht leeren per]ekten Tell.

Bewei s . Fiir B1 --~ ~ ist B2 - P perfekt. Zu untersuchen bleibt die MSgliehkeit, dal] B1 einen isolierten Punkt b enth~lt. In diesem Fall sei V eine in P offene Um- gebung yon b mit (V ~ (b}_!__~B1 = ~ ; dann liegt V - {b}_ i_n B2, desgleichen die abgeschlossene Hiille V --{b}, da B2 abgeschlossen ist. V - {b} ist aber per- fekt und nieht leer, denn als oftener Teil des in sieh diehten P enth~lt V keinen isolierten Punkt ; mithin: b e V - - ( b } = V , und -V ist ebenfalls in sich dicht als Hiille yon V.

B e w e i s yon Satz 2. Die Menge aller x e A mit F :~ h(x) bildet ein Ideal; denn aus der Definition der Hfille folgt unmittelbar:

(1) h(x )nh (y ) c h(x -~ y ) , h(x) ~ h(xy) .

Wir bezeichnen den Rand eflmr Menge B mi t /~ (B). Ffir drei beliebige Teile L, M, N eines topologischen Raumes mit L c M c N erh~lt man direkt aus der Definition yon Randpunkten : (2) L n R(2~) ~ L n . R ( M ) .

Setzt man speziell: L ~ .F, M ~-- h(x) ~ h(y), .N ~- h(x -F y), so sind nach (1) die Voraussetzungen ffir (2) erffillt, und man liest ab:

(3) F f~ R(h(x + y)) c F (~ R(h(x) nh(y) ) ;

in gleieher Weise folgt: (4) F ~ R (h (xy)) .~ F n R (h (x)) ,

und ebenso fiir vertauschte x, y. Wegen (4) gehSren ffir beliebiges y e A mit x auch xy und yx der Menge J an; der Beweis ist also zuriickgefiihr~ auf den Naehweis, dab mit zwei Elementen aus J auch ihre Summe die Eigenschaft hat, dal~ F den Rand ihrer Hfille nicht schneider. Nun gilt ffir zwei beliebige Teile L, M elnes topologischen Raumes, wiederum ~llgemein:

R ( L ~ M ) c R ( L ) u R(M);

1) H. R ~ I ~ , Beitr~ge zur harmonisehen Analyse. II. Math. Ann. 1~8, 298--302 (1957).

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somit erh~lt man aus (3):

(5) . F n R ( h ( x + y)) c F n [ R ( h ( x ) ) u R ( h ( y ) ) ] ~ [ .FnR(h (x ) ) ]w[FnR(h (y ) ) ] .

Hiermit ist der Beweis ~uf das Lemma zurfickgeffihrt : Die Mengen F (~ R (h (x)) und F n R (h (y)) sind beide abgeschlossen und enthalten nach Voraussetzung keinen nicht leeren perfekten Teil; wegen des Lemmas enth~lt dmnn much ihre Vereinigung keinen nicht leeren pcrfekten Teil. Aus (5) folgt, dal~ d~nn much F n R ( h ( x + y)) diese Eigenschaft hat, d. h. x + y gehSrt auch zu J , Damit ist die Behauptung bewiesen.

Eingeg~ngen a~m 3. 3. 1958