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Bemerkung zum Fundamentalsatz der Theorie der Systeme linearer partieller Dilterentialgleiehungen

I. Ordnun 9.

Von Erhard Schmidt in Berlin.

I. Man chungen

definierc die Symbole A ( f ) und B(f) dm'ch die Olei-

wobei die %~ b~ und f c inmal stctig differenzierbare Funktionen ihrer Argun)ente x ~ . . . x, sin& Aus A ( f ) und B (f) bildc man das Symbol K(f) gemii6 dcr Vorschrift

(~) ]c ( / ) = E,, (A (l,~) - B (~,~)) ~ : 1 a x v

Dann sagt der Fundamental~atz, um den es sich hier handelt, bekanntlich aus :

Bcstehen in der Umgebung eines Punktes die beiden simultanen Gleichung'en

(3) A (/) := 0~ B ( / ) ~ 0,

so folgt hieraus auch die Gleichung

(4) K (f) = 0.

Der natiirliche Beweis ergibt sieh unmittelbar aus dcr Identitiit:

(~) K ( / ) = A (B ( / ) ) - - B ( A (/)).

Dieser Beweis setzt jedoch die Existenz der zwei ten Ableitungen yon f voraus, wahrend in der Aussage des Fundamcntalsatzes nut die ersten vorkommen.

Daher driingt sich die Frage auf, ob der Fundamentalsatz der Voraussetzung der zwe ima l igen Differenzierbarkeit der Funktion f wirklich bedarf.

Bemerkung zum Fulldamentalsa~z e~c. 427

Im Fotgenden soil gezeigt werden, dal~ alas nieht der Fall ist, indem ein Beweis gegeben wird, weleher nur die e i n m a l i g e stetige Differenzierbarkeit tier Funktionen ar~, b~ und f ei'fordert.

II. Ein Hi l fssa tz .

Es bezeiehne in der (xy)-Ebene Q ein den Koordinatenaehsen para|lel orientierles Quadrat~ R(Q) den Rand yon Q; d'r das Fliiehen- element, d s das Randelement. Dabei set der Durehlaufungssinn des Randes so bestimmt: dag die ~iuli/ere Normale X zur Durehlaufungs- riehtung" so liegt wie die positive X-Aehse zur positiven Y-Aehse. Die Funktionen F(xy) und G(xy) seien in O einsehliel~lieh des Randes e i n mal stetig differen zierbar.

Dann besteht der zn beweiSende Hilfssatz in der t-}leiehung

[ ' F ~,e ~s F I O F OG 0 F ~ a j d ~ . /

R (Q) 0

Wegen

c~G 0a c o s ( S x ) - - a e (7) ds - - 0y -~-x c~ (NY)~Gve~176

kann die zu beweisende Gleichung (6) auch in dei" Form

~((2) Q

geschrieben werden. Wir schicken dem Beweise die folgenden beiden Feststellungen

v o r f l llS :

A) Der Satz ist~ wie die Darstellung (6) zeigt, trivial, wenn F ko~stant ist.

]3) Der Satz ist, wie die Darstellung (8) zeigt~' als Folge des Greenschen. Lemmas ebenfalls trivial, wenn G(xy) z w e i m a l stetig differenzierbar ist.

Endlich set noch bemerkt, daft der Satz natiirlich auch ftir be- liebige Gebiete unter gewissen Regularitiitskautelen der Berandung gilt. Da unser Zweek aber ledig'lieh die Gt|ltigkeit des Safzes ftir Quadrate erfordert, so empfiehlt es sich, yon der Vereinfachung des Beweises Gebraueh zu machen, welche die Beschriinkung auf diesen Fall dar- bietet.

Beweis : Man definiere-

428 E. SchmidL

Jeizt zerlege man das Qnadrat Q, dessen Seitenl~nge h sei, du t ch Halbierangsparallelen zu den Seiten in die vier Quadrate Q~,Q~,~Q~, (,)~

h mit der Seitenl~inge 2-. Dann ist

4

JQ (F, G) = Z~ JQ~ (F, e) 1

h~ "%'-~' G ) = 1 "(~/'- JQ" (F, ~1.

Mithin ist ftir mindestens ein Q,,

1

Wiederholt man fiir dieses @~ das mit @ bezeiehnet werden miige, dieselbe Operation und setzt das Verfahren unbegrenzt fort, so erhNt man eine unendliche Folge ineinandcr eingesehachtelter Quadrate O~, O ~ . . . @ . . . mit der Seitenl~tnge

(~o) h,~ =- ~ I,,.

fiir welehe

ist.

Der Grenzpunkt der Quadratfolge @ sei (Xogo). Man definiere nun

(12) Fo =F(Zo Yo), F" (x y) ~- F(xy) --]?'o

(13) M = M a x (11,2,. I+lE, I). (,cy) ~ Q

Dann ist zun~tehst fiir (xy) , -@

Man definiere ferner

(16) <;~ ' ( .v)=(~( .y) -G~ (~v).

Bemerkung zum Fulldum~ntalsatz e~c. 429

(2:~)

Dann ist

(17)

Definiert man mithin

so ist

(18) ~---~o

Ferner ist aut dem Rande yon Q~

(19) 1G~ cos (Nx) - - (;.~ cos (Ny) ! ~ ~

and s alle Punktc yon (~, r l r y!

Aus den letzten bciden Ungleichungen folgt bei Berticksichtigung yon .(14)

R (Q~) Qt,~

(21) I Jr G")!~9 M ~, h', .

Nun ist

In tier letzten dreigliedrigcn Summc verschwindct anf Grund yon A) dcr erste Summand~ da Fo konstant ist, und auf Grand yon B) der zweite Summand, da G~ e[ne lineare Funktion yon x Und y ist. Also crgcben (22) und (21)

1" h,~ I.]r ~ (F, e) j ~ 9 M~,~.

{.t

Hieraus folgt wegen (1])

h 2

und wegen (18)

Jv (F, G ) ~ 0 , w.z.b.w.

430 E. Schmidt ,

IIL \ ! e r a l t g e m e i n e r u n g des Hi!fssa tzes .

Es bezeiehne im n-dimensionalen Raum @1. . . x,) W einen den Koordinatenaehsen parallel orientierten Wiirfel, R(W) seine Berandung und N die iiu~ere Normale. Es Seien die Funktionen F(x~ . . . Xn) und G ( x l . . . x~) im Wtirfel einsehliel~lich der Berandung einmat stetig differenzierbar.

Dann besteht die zu beweisende u des Hilfssatzes in der Gleichung

ig (W) w

wobei da und d-r die Etemente yon R ( W ) und W bedeuten.

Be~,eis: Man kann die Bezeichnung so w~ihlen, dait 7.--1 und v ~ 2 wird. l~un bezeichne man das Quadrat, welci~es die zweidimcn- sionale Ebene x ~ k o n s t ~ x ~ k o n s t . . , x , ~ k o n s t aus dem Wtirfel W aussehneidet~ mit Q~.. .... ,~ und den Rand dieses Quadrates mit

Daun ist in den Randpunkten dieses Quadrates die i~utlere Nor- male N auf R (W) identiseh mit der :~iul]eren Normalen auf }i(Q~. .... ,,I

in der Ebene des Quadrates. Man kann daher die D~fferenz der linken und reehten Seite yon.(23) bilden~ indem man die Differenz

nach den iibrigen Variabelen x s . . . x,~ integriert. Hierbei bedeuten ds* und dz*nattirlich das Randelement und das Fltichenelement des Qua- drates Q .......... <

Da die Differenz (24) gemi~fi (8) verschwindet~ so ist damit der zu fiihrende Beweis ftir die Gleichung (23) erbracht.

IV. Eine neue Idendi t i i t fur das Symbol K ( J ) .

Es seien wie oben die Symbole A(f), B ( f ) und K ( f ) dureh die Gleichungen (1) und (~) definiert~ wobei die Funktionen c% b,, und j" e inmal stetig differenzierbar sind.

Es bezeiehne W~ einen beliebigen, den Koordinatenaehsen parallel orientierten~ den festen Punkt ( x ~ . . . x,) enthaltenden Wtirfel yon (!er Kantenliinge h und R(Wh) seine Berandung. Dann gilt die Identit~it

Bemerkung zum Fundamentalsatz etc. 431

[~.~ ~ b~\

+ lira 17 .~ % h - + o .

(~Fh)

Beweis:

cos (Nxv)) A(f)} dZ.

Zuniichst gilt ftir den festen Punkt ( x l . . . x,) die triviale U~- fol"mung

,~ ab i. f /,~ 0%,

+lim --~- f f ( K ( f ) - - (~'~ V I A (f)_l_( ~ a b , , "~ ~ ) B ( J ) ) d v i

denn der Integrand aaf der rechten Seite ist stetig. Nun ist

(27) K ( / ) - ~ f A ( / ) +

_ _ ~ * L (a(alzbv) Of ~3(a~b,) Of' } >,)' O x~ a x,~ I x, 0 x a

'[a (% b~) _ _

i a x

(28 )

Wegen (23)ist

o.f a(%M a~) Ox, , - - ~x ; a d

/" .. __ (Nx,,))d,. a=bv [ '~f e o s ( S r < ~ ) - a f cos

n ( %~ )

j ~ ~1~. ~ (a(%b~) t.f a(%b~) af ) %

" ( "

�9 ~ x v " a 2t~ v B (Ivh)

I~ (1%)

Aus (27) und (28) folgt

432 E. S c h m i d t, Bemerkung zum Fundamentaisatz etc.

(29) ~ l K ( f ) - - t ~ , . abe' n B 3t \7

W h

~,(~v h)

Diese Gleichung in Verbindung mit der Gleichung (26) ergibt die Identit~t (25), w.z.b.w.

V. Beweis des F u n d a m e n t a l s a t z e s .

Wie aus IV. hervorgeh L bedarf die Giiltigkeit der Identifiit (25) in einem Punkte @1-- . x~) lediglich der Voraussetzung der e i n m a l stetigen Differenzierbarkeit der Funktionen a~ b,. und f in einer ge, wissen Umgebung des Punktes. Daher zieht unter dieser Voraussetzung das identisehe Verschwinden yon A ( f ) und B(f) in tier Umgebung t ines Punktes auch das Versehwinden yon K(f) in diesem Punl(te nach sich, w. z. b. w.

Werden A ( f ) und B( f ) , anstatt zu versehwinden, gleich einmal stetig differenzierbaren Funktionen yon x l . . . x~, so liigt sich das Oberfl•ehenintegral auf der rechten Seite yon (29) gemiig dem G r e e n s c h e n Lemma wieder in ein weiteres Volumintegral trans- formieren~ dessert Integ'rand sich durch Differentiation der Faktoren yon cos (Nx~0 nach x~ und yon cos (Nx~) naeh x~ ergibt. Aus der Obereinstimmung dieses Volumintegrals mit dem Volumintegral anf d e r linken Seite yon (29) flit jeden Wtirfel W~ folgt wegen der Stetigkeit der beiden Integranden auch die Gleiehheit derselben in jedem Punkte. Diese Gleiehung stellt sieh als die fundamentale Identit~tt (5) dar, fiir deren Gtiltigkeit also lediglich die einmal stetige Differenzierbarkeit der Funktionen a~ b,,, f~ A ( f ) trod B ( f ) hinreiebt.

(Eingeg~ngen: 19. III. 1939.}