Mathematische Zeitschrift, Band 54, Heft 2~ S. 102--114 (1951).

B e m e r k u n g e n z u r M u l t i p l i k a t i o n u n e n d l i c h e r R e i h e n .

Yon

Leopold Sehmelterer in Wien.

1. HARDY 1) hat 1908 den ersten tieferliegenden Satz ~iber die Kon-

vergenz der CAucnYschen Produktreihe ausgesprochen: ~ as = .4, 0 c o

~] bk ~ B seien zwei konvergente Reihen mit 0

(,+) a k - = O , bk ==- O 1 .

c o k

Dann konvergiert die CAucHYsehe Produktreihe ~] ck mit c~. = ~ az bk-t, 0 0

nattirlich gegen A B - - C . Die hier gew~Lhlte Bezeichnung wird ein ftir alle Mal festgelegt.

o o

Der (in irgendeinem Sinne verstandene) Summenwert einer Reihe ~ a~. 0

heil~e immer A. Die durch (fallweise n~her zu pr~Lzisierende) Produkt- O<3

bildung aus ~, as und "~ bk gebildete Produktreihe werde immer mit o 0

ck bezeiehnet. Diese Vereinbarungen werden sinngem~tB aueh au~

Reihen der Form ~ as angewendet. - - o o

In dem 1949 ersehienenen Bueh ,,Divergent Series" (insb. p. 240) zeigt HARDY3), dag man den o. a. Satz auf die FOURtERsehe Multiplikation beidseitig unendlieher Reihen fibertragen kann, welehe dem Formalismus der Multiplikation trigonometriseher Kosinusreihen entsprieht. Der formalen Multiplikation beliebiger komplex gesehriebener trigono- metriseher geihen entsprieht die LhURENTsehe Produktbildung zwei- seitig unendlieher Reihen. Ffir diese Produktbildung l~tgt Sieh der Satz von HARDY nieht mehr fibertragen, wenn man den folgenden, im Hin- bliek auf die Anwendung in der Theorie der trigonometrisehen Reihen

q-~ wohl einzig zweekm~gigen Konvergenzbegriff zu Grunde legt: ~ ah-

n - - o o

heil~e konvergent, wenn die Folge ~ ak konvergiert. (Konvergenz in - - I ' l

~) Proe. London math. Soe. (2) 6 (1908), p. 410--423. 2) Divergent Series, Oxford 1949, p. 242ff.

L. Sehmetterer: Bemerkungen zur Multiplikation unendlicher Reihen. 103

diesem Sinne impliziert offenbar nicht a~-~ 0 ftir l k I -~ c~.) ZYGMUND 3) hat jedoch den Satz aufgestel l t : Die Konvergenz yon ~ ak End ~] b,

- - C < 3 - - O O

sowie a~ ~--- 0 (-V~-) (I-~) , bk ----- o haben die Konvergenz (ira o. a. Sinne)

der LAURENTSChen Produktreihe zur Folge End zwar gegen .4B, was hier einen Teil der Behauptung darstellt . (Ein Beweis findet sich z.B. bei SCHMETTERER4).) Wie n~mlich EDMONDS in einer neueren Arbeit ~) bewiesen hat, gilt weder ftir die Founisasche noch ftir die LAURENT- sche Multiplikation das Analogon zum Satz yon ABEL, im Falle der LAURENTSChen Produktb i ldung nicht einmal bei Verwendung eines

o ov Konvergenzbegriffes, welcher die Konvergenz yon ~ ak End :~] ak

impliziert.

Durch eine geschickte Wendung eines Beweises yon NEDEn hat HARDY 6) vor sechs Jahren ale Spezialfall einer etwas allgemeineren Formul ierung einen interessanten , ,unsymmetrischen" Satz ftir die

CAucHYsche Multiplikation erhal ten: ~ ck konvergiert , wenn ~ a~ End o o

~ bk konvergieren, und ak = 0 (k -~ (0 < ~ < 1), b~ = gelten.

Sinngem~tg l~gt sieh dieser Satz auf die FOURIERsehe Multiplikation fibertragen (Se~ETTERERT)). ES war naheliegend anzunehmen, dag sieh

ein ~hnlieher Satz, etwa mit a~ = O ( k - ~ bk = o aueh auf

die LhURENTsche Produktb i ldung tibertragen l~l~t. Dies ist jedoch nicht der Fall, wie im folgenden gezeigt wird.

2. O . B . d . A . seien im folgenden alle auf t re tenden GrSften reell. Wir be t rachten zweiseitig unendliche Reihen End definieren nun genauer :

a , , ~,, be seien formal gegeben. Dann heil~t ~] ck die formale - - c < ) - - c x 2 - - o o

LAURENTSehe Produktre ihe von ~,, ak End ~ bk, wenn ck ~ ~ albk--l. - - ~ < 3 - - O O - - 0 < 3

In jedem konkre ten Falle ist also zun~tehst naehzuweisen, daf5 die Erkl~trung der c, sinnvoll ist.

+ ~ '* A Wir wiederholen: ~ ak heil~t konvergent , wenn _ ~ a , - mit 1 - - C ~ 95

beliebig klein wird. Fas t aussehliel~lieh werden wit uns mit der LAURENT- sehen Produktb i ldung beseh~tftigen. Die diesbeziigliehen S~ttze haben

3) Trigonometrical Series, Warsehau 1935, p. 304. 4) Monatshefte f. Math. 53 (1949), p. 53--62. 5) Journ. London math. Soc. 17 (1942), p. 65--70. 8) Proc. Cambridge Phil. Soc. 40 (1944)~ p. 251--252. 7) Monatshefte f. Math. 54 (1950), p. 313~329.

104 L. Schmetterer:

Anwendungen in der Theor ie der t r igonometr i schen Reihen, auf die wi t j edoch nicht eingehen. Wir zeigen zun~tchst den

S a t z 1. ~_, ak, ~ bk seien zwei konvergente Reihen, ri2r deren - - ~ - - o o

a k = 0 1

o 1

mit 0 < ~ < 1 gelten. Dann konvergiert die LXVRENTsche Produktreihe

~, c~ und zwar gegen A B. - - 0 0

B e m e r k u n g 1. Wie aus dem Beweis hervorgeht , bleibt alles richtig, wenn man 0 mit o in (1) und (2) ver tauscht .

B e m e r k u n g 2. Wie in der Einle i tung gesagt wurde, gilt Satz 1 auch noch fiir ~ = 1.

B e w e is. Aus der Definition folgt wegen (1) und (2), daf~ c~ sinn- ro l l ist. Nun be t rach te man

p P - ~ - ~

- - p n ~ - - p l ~ _ - - o o

und hat zu zeigen:

(3) Sv -+ A B ftir p -+ oo.

Wir zer legen nun Sp ~ ~ a ~ b ~ - - I § 2 4 7 gem/~$ den a, fl

Summat ionsbed ingungen :

L p, II. - - p ~ a < 0 , p + a < f l < p - a ,

III. - - o o < a < - - p , - - a - - p ~ fl ~ - - a + p,

IV. O<a<=p, - - a - - p < ~ f l < a - - p ,

V. p < a < + c x D , - - a - - p < ~ f l < ~ - ~ + p .

Zur Unte r suchung yon I formul ieren wir einen schon erwghnten Satz als L e m m a 1 (HARDY6). Satz 1 gilt [iir den Spezialfall der CAecuY-

schen Multiplikation. Daraus folgt I -+ A B ftir p ~ c~, wobei man den zu Grunde gelegten

Konvergenzbegr i f f zu beaehten hat.

O. B. d. h . sei Ib~l ~ mit ~(k) = o(1) [kl-+ c~. Dann wird = ikl

( % 1 I I~-~O a2-o ~o ] \ o < ~ < ~ - ~ / \ v-~<~-<~ J

\ O < e ~ p

-~- II, + II , .

Glieder

(1)

Bemerkungen zur Multiplikation unendlicher Reihen. 105

Hierbei setzen wir ein ftir alle Mal fest: Alle auf t re tenden ~, ~/ sind passend gew~hlte, dann aber festgehal tene Zahlen, welche nicht ganz sein sollen.

[P--~176 1 \ ( 1 _ 001_d]) II~ = o~ o < = ~ , - ~ ,2"a7:-$-#)=o o<,~<p-~aT--o O[(P+a)I-O--(P

O<a<p--~

= 0 pl--o Z l 2 l q - 8 ~ ] = ~176 = o(1), \ 1-~O

= wegen

II~ -~- 0 ~ ~-a pl-~ = 0 = o (1)

I I I = 0 ~2-arza-_ ---ffa-- } = 0 + O i , _,<~,<oo ) = \ p < ~ < A - c r \ p < ~ < p - ] - ~ /

I I I , + III=.

III ~ o(1), wozu man II~ vergteiche.

I I I , = o ( ~ 1 0 [(a + p)*-o _ (a -- p)l-O])

- 21+1 ] o ( 1 ) .

Die Ver tausehung der Summationsfolge ist natiirlieh erlaubt. IV ~---o(1) wie II, V = o(1) wie III. Damit ist (3) gezeigt.

Satz 1 1/igt sieh ftir kein ~ aus 0 < 8 ~ 1 verseh/irfen. Man hat n~tmlieh :

S a t z 2. Die Konvergenz von ~ ak und ~_~ bk sowie die Bedingungen _ _ ~ - - o o

o(,+) o( ak = , b~ -~- 0 < ~ <= 1 sind fiir kein ~ hinreichend

fiir die Konvergenz der LaVR~NTschen Produktreihe gegen A B. B e w e i s. Wir setzen

1 at ----- sign k ~ b~ -= sign k k l2_--------g (a. = b 0 = 0).

Ikl ~ ' I -t-oo -I-o~

Die Konvergenz yon ~ a~ und ~ bk ist klar und zwar ist A ---- B = 0. - - c ~ - - o o

106 L. Schmetterer:

-~co

Die gemltl~ c~ -~ ~ a~ b~_~ definierten GrSl~en c~ sind nattirlich sinnvoll.

p v t = % co 1 1 "~, c~ = ~ ~] sign I sign (k - l) i~1~ 1 k-- ~$~-~' " - - p k ~ - - p l ~ - - c o

Es ist c ~ = c_~ (m z 1 ,2 , . . . ) , also genfigt es zu zeigen:

P

�89 ~ck<K<O, 1

wobei K eine yon p unabhlingige Konstante ist.

~- Co + c~ =- -- l~ ~ l~ l)~_ ~ i k = 0 i (l -q- k) 2-0 =l/=i (k--

v co I i P co I 1 p--i ~ 1 I

- Y~ E z~ t)~_~ < - E ~ E z~ (z + k) ~-~ ~ y~ ~ ~)~-~ 1~=1 k+l l - - = l:l k = . / - ~ l ( k - -

v--I z--i 1 1 p ~ l 1 [ ~ 1 l--1 1 p--1 k_..ff~_~]

1 1 --~l=v~=0 ~ 1 ~ (l~-k) 2-~"

Ftir l ~ 1 ist nattirlich der zweite Klammerausdruck 0 zu setzen. Somit welter

c k < - - ~ < - - ( p + l ) = ~ v - ~ r -~ 1 /o-{-1 1 p - t - 1 1

1 z = p 1 ') ( l ~ p ) 2 - ~ = ( I~p)------~ < 2p <- -~<0 .

Man entnimmt dem Beweis des Satzes 1 sofort, dal~ unter den Be- dingungen des Satzes 2 die Partialsummen der LAUaEX.TSChen Produkt- reihe stets beschr~tnkt sind. Betraehtet man aber das hier gegebene Beispiel ftir ~ ~---0, erkennt man, dal~ die LAURENTsche Produktreihe sogar g e g e n - c<)divergiert. Auf diese Weise haben wir also auch ein durchsichtiges Beispiel ffir die Ungtiltigkeit der Analoga zum MERTESSSChen und ABELSChen Satz fiir die LAURENTsche Multiplikation im Falle des bier zu Grunde liegenden Konvergenzbegriffes gewonnen. Ffir die FovRmRsche Multiplikation gilt tibrigens der MERTENssche Satz (HARDY'), p. 242, SCHMETTERER4)).

3. Wir werfen nun einen Blick auf die mehrfach behandelte Frage -boo -f-co

der s ~ as sei eine formal gegebene Reihe~ ~ b~ - - o o --~co --cx3

konvergiere. Die LAURENTSChe Produktreihe ~ c~ heil~t ~tquikonvergent -]-co - - o o

mit B ~ as, wenn - - o o

ck- -B ak = o ( 1 ) .

Bemerkungen zur Multiplikation unendlicher Reihen. 107

Diese Begriffsbildung ist ffir die Theorie der trigonometrischen Reihen yon besonderer Bedeutung und wurde hauptsachlich yon RAJCHMAN und ZYGMU~D behandelt. Man vgl. hierzu die wichtige Arbeit s) yon

ZYGMUND. ZYQMU~D 9) zeigt: ~ a k sei formal gegeben und ak----o(1), - - o o

bk sei konvergent und ~ I nb~] < + c~. Dann ist die Produktreihe - - C ~ 3 - - C x 3

ck mit B ~ ak aquikonvergent. (Diese der Formulierung von ZYGMUND

aquivalente Fassung steht bei HARDY'), p. 242.) Nattirlich lal~t sich dieser Satz auf die CAUCHYsche Multiplikation spezialisieren. In beiden F~tllen kOnnen die Voraussetzungen nicht mehr abgeschw~cht werden. Ftir eine Verscharfung in anderer Richtung vgl. ZYGMUNDI~ (Diese Arbeit ist mir nut durch das Referat von Losc/t 11) bekannt.)

Es fragt sich, welche Aussagen tiber J~quikonvergenz im Falle der Bedingung ak-~-o([k] -~) gemacht werden kSnnen ( 0 < 6 ~ 1). Hier kann man nun eine vielleicht nicht ganz uninteressante Feststellung machen, welche den Satz 1 als Sonderfall enth~lt und ein neues Licht auf die Bemerkung 2 nach Satz 1 wirft. Es gilt n$imlich der

S a t z 3. ~, a~ sei eine formal gegebene Reihe mit ak ~ O(]kl-'~), - - o o

~, bk sei konvergent und bh: ---- o([k]-2+ ~ 0 < d < l . Dann ist ~_~ ck

dquikonvergent mit B ~ ak. Dies gilt ]edoch nieht mehr fi~r d -~- 1. - - o o

B e m e r k u n g . Im Hinblick auf Satz 5 verzichten wir auf eine Wiedergabe des Beweises fiir den Fall 0 < d < 1. Wegen Satz 2 ist dieser Teil yon Satz 3 offenbar die bestmSgliche Behauptung.

Be w e is ftir die auf d ~- 1 bezfigliche Behauptung: Sei

1 a - k - - k k ~ 1 , 2 , . . .

und ak ~ 0 sonst. Wit w~hlen eine Folge natfirlicher Zahlen n,, n~, . . . mit nk-~ co und zwar so: n , > 0 sei beliebig gew~thlt, n~,+l > 5 m . (k ----- 1, 2 , . . . ) . Nun sei

1 bo ~-- O, b~ - - klog k (k ~ 1, 2, . . .)

(log 1 werde durch 1 ersetzt).

s) Math. Zeitschr. 24 (1925), p. 47--104. 9) Trigonometrical Series. Warschau 1935, p. 280. ,o) Bull. Semin. math. Univ. Wilno 2, p. 52--56. 11) Zentralblatt f. Math. 21 (1940), p. 120.

108 L. Schmetterer:

1 b--k -- ~ log k (1 __< k <__ n, , 5 n~ + 1 <~ k <~ n~+,;

b _ ~ = O ( n i + l < ~ k < _ 3 n i ; i - - 1 , 2 , . . . )

1 b_k ~ - k(--2ni) log(k--

Zungchst ist natiirl ieh bk

Es gilt ja ftir i rgendein

--<~ nl log ni

Man sieht sofort weiter,

1 b. > ni > --I ~ 3 ni log 3 n i ~- 61ogni

i = I, 2, . . . )

1 2n0 klogk ( 3 n i q - l < ~ k < _ 5 n i ; i = 1,2, . . . ) .

= o - �9 ~ bk konverg ie r t und zwar gegen 0.

k mit n~ < k < ni+t die Abseh~tzung

k

dal~ ~ b~ ~ 0 ffir Ill ~= k und - i

for k ~ _ _ 2 n ~ , 0 < l _ ~ 2n~.

Also ist ffir p ~ 2n~

p +co q-co p

k~-----p l------co l ~ - - c r k--~--p

--I 1 P~ --i 1 1 ( 1) 1 + . . . +

k=l"-Jp = 6 log n i ~ ~ 6 "

Dies schliet~t die _~quikonvergenz aus. Wir bemerken noch: Selbstverst~tndlich bleibt ftir 0 < ~ < 1 die

Gtiltigkeit des Satzes 3 erhalten, wcnn man 0 u n d o ver tauscht . Ein iihnliches Beispiel wie das gerade angegebene zeigt, dab ftir 6-- - -1

die Vorausse tzungen ak = o , ~ b~ konverg ie r t und bk = O 1 - - o o

ebenf~lls die Xquikonvergenzaussage i .a . nieht ges ta t ten . Somit zeigt sieh ein vielleieht erw~hnenswerter Untersehied im Verhal ten der CAucHYsehen (fibrigens aueh FouRIERsehen) und LAURENTSehen Produkt - bildung. Man beweist n~mlieh ohne Sehwierigkeit , da$ die auf 0 < d < 1 bzgl. Bedingungen des Satzes 3 aueh ffir den Spezialfall der CAUenY- sehen Multiplikation nieht mehr verseh~rf t werden kSnnen, wenn man die entspreehende Nquikonvergenzaussage maehen will. Hingegen kann man (vgl. den in Absehnit t 1 erw~hnten , unsymmet r i s ehen" Satz -con HARDY), wenn man nur eine zu Satz 1 anaIoge Aussage fiir die CAucrn'- sche Multiplikation machen will, die Bedingung ftir die b~ erheblich abschw~tchen. Fiir die LAURE~Tsche Multiplikation ergeben (1) und (2)

+~ q-co schon die ~qu ikonve rgenz yon ~ ck mit B ~ ak. Die MOglichkeit einer

- - o o - - o 3

Abschw~tchung zu einer Konvergenzaussage unter g!eichzeit iger Ab-

B e m e r k u n g e n zur Mul t ip l ika t ion u n e n d l i c h e r Reihen , 1 0 9

sehwgehung von (2) gibt es hier i. a. nieht (Satz 2). Eine Ausnahme bietet hierin wie eben gezeigt der Fall ~ = 1. Einem zu etwas anderem Zweek konst ru ier ten Beispiel (ScHMETTEr~ER4)) entnimmt man, dab aueh

unter den Voraussetzungen ak = 0 1 " oder sogar ak -= o und

Y,, I b~l konvergier t die ;4quikonvergenz der LAURENTsehen Produkt re ihe - -oo q-oo -1-oo

c~ mit B ~ at nieht behaupte t werden kann. Es l~tgt sieh aber - -oo - - o o

folgender Satz beweisen:

S a t z 4. ~, ae sei eine formal gegebene Re ihe mi t aa, = 0 "~03 --00 ~ l b k l l o g l k ] konvergiere , w e e n man e twa l og0 uncl log1 durch 1

ersetz t . Dann ist ~, c~, raft B ~ az. t iquikonvergent . --oo --co

+ o z

B e w e i s. ~ b~ konvergier t nattirl ich u n d e s sei o. B. d. A. B -- O.

Somit ist zu zeigen:

p p +co

- - p - - p - - c o

/9 Mit der Bezeichnung )~ bk--z ~ - B t schreiben wir

- - p

-}-~ - ( p + D --1 /9 E a , B , = - E + E + E + - - I + I I + I I I + I V .

- - c o - -oo --/9 G n q - 1

Wit behandeln nur I uncl IL

k~ l k=2/9.~-2

i O ( p - ~ ) o ( 2 p + l ) + 0(1)o(1) ~--- o(1).

,) II az b~ - - _ z+l

) 0 ~ ]b-~] = o(1) wegen k [b-t.] = o(1) ftir passendes ~. _ p - - l + l

/9 p

0 l -1 /9 - l+ l ~ [b--k'l ~- 0 1--1 1 0 g ~ /9-1.-~-lE [b--k[ l o g k

o 1 ol,,

110 L. Schmetterer:

ZYGMUND 8) hat unter Heranziehung der CESARo-Mittel nega t ive r 0 r d n u n g den Satz ausgesprochen, daft man aus an = o([nl -~) 0 < ct < 1

/ : ~ und b , = O ( I n ] - ~ ) auf c k - - B ~ a k = o ( 1 ) im Sinne der (C,- -~)- - - n - - n

Summierbarke i t schlieften kann. Aus dem Beweis geht sofort hervor~ daft man b~ -~- O([n1-3) zu O([n1-2-~) verbessern kann. Hier soll jedoch ein schlirferer und etwas al lgemeinerer Satz ausgesprochen werden:

+oo S a t z 5: ~ ak sei eine formal gegebene Reihe mit an - - o (In]-'~),

- - o o

+oo

fi~r ~ b~ gelte bn = O(]nl-2+~), es sei 0 < r ~ ~ < 1 und - - c o

(4 ) 7 ---- a - - a .

Dann gilt P P

E c ~ - B E a h . = o ( 1 ) ( C , - r ) . - - p - - p

Hierbei bedeutet (C, 0 ) K o n v e r g e n z schlechthin. 1st ]edoch a = 0 und

0 ~ ~< 1, dann kann man erst aus ~, ]k I Ibk] start bn = O(lnl -~) und - - o o

sonst unverdnderten Voraussetzungen auf P P

X - B X = o (1) (C, - - - p - - p

schlie/3en. In keinem Ealle kann man a~ ~ o([nl -~ zu O(Inl -~) ver- bessern oder im Falle a - ~ 0 die (beliebig langsame) Divergenz yon

[kb~ I zulassen.

B e w e i s. Ftir die negat iven Behauptungen verweisen wir einerseits auf Satz 2 und analog zu konst ru ierende Beispiele~ anderersei ts auf die triviale Tatsache~ daft es zu jedem a~(p)-> oo ein cp(p) - - - -o(1)mi t co (p) ~o (p) -~ c~ gibt.

Sei nun B = 0. Dann gentigt es zu zeigen P

(5) S ~ = Eck~--- o(1) ( C , - 7 ) . - - p

Dies bedeu te t

=

\ P /

(--vp+p) ~_ O(#_:!) geutigt es also S , - - o ( p - ~ ' ) z~t beweisen. Wegen

Sei zun~tchst a > 0 , 0 < a ~ < l . ck ist sinnvoll deiiniert und es gilt c~ = o([k]-r), wie man sofort sieht. Wir i ibernehmen die Zerlegung yon Sp aus dem Beweis des Satzes 4, beschr~nken uns wieder auf die Absch/~tzung yon I u n d II und gehen ahnlich vor.

Bemerkungen zur Multiplikation une~dlicher Reihen. 111

2p-4-1 I-=o(p-0) E klbkl§ o(P -~') ~ Ib~l

k ~ l k ~ 2 p - J - 2

= O(p -6) O ( p ~) § O ( p 1- '~) 0 (p-l+ ~) = o(p--7).

II wird umgeformt wie oben, so daft

) I I = O [a-~l E Ib-~l p--l-~- I

) ) p- - l+~ p--z+1

1.

C.3

Der Fall ~ - - - - - 0 , 0 ~ < 1 . Es gentigt wieder I und II zu behandeln.

I = - o ( P -~ k [ b k l + ( 2 P + 1) k Ibk] =o(P- '~)§176176 k=2P-4-2

II wird umgeformt wie eben und man erh~lt welter

P

II ~ o(p -~) k l b _ ~ ] § 2- Ib_~l + 0 max ~ k ] b _ k ] O(p 1-~)

= o (p-a) + o ( p - l ) o (pl-,~) = o ( p %

Damit ist alles bewiesen. Ausst~tndig ist noeh die Behandlung yon ~ = 1, 0 < a < 1. Wie sehr

einfache Beispiele zeigen, welche man ~thnlich wie beim Satz 4 kon- struiert , kommt man hier mit den Bedingungen

an ---~ o (i n I-1), bn = 0 ([ n ]-2+~)

nicht aus, sondern es gilt der § +oo

S a t z 6. ~ ak sei /ormal gegeben, an ~- o([n]-l). Fi~r ~ b~ gelte --co .-}-oc +oo -oo

bn ~ o ([ n ]-2+~) mit 0 < a < 1. Dann sind ~ c~ und B ~ a~ ~iquikonvergent --oo - -~

(c , - ~ + ~). Auf den Beweis kann mm verz ichte t werden. 4. Wit kehren wieder zur Frages te l lung des w 2 zurtiek und wollen

einen im w 1 und aueh sp5ter in Bemerkung 2 erwghnten Satz vor~ ZYa~IUND a) in passender Form auf Doppelreihen fibertragen. Damit ist dann auch ein Satz fiber die Konvergenz des Produktes tr igono- metr ischer Doppelreihen gewonnen. S~ttze dieser Art sind mir bisher

112 L. Schmetterer:

nicht bekann t geworden. Ber t ihrungspunkte mit einer Arbei t von LEPECKI ~) sind denkbar , doch ist mir leider die unzug~tngliche Arbei t nu r du tch das Refe ra t yon ZYGMUND~3) bekann t geworden.

A-og-t-o9 ~] ~ a ~ sei eine formal gegebene Doppelreihe. Sie heii~e konve rgen t --GO --O9

gegen A~ wenn

~ ,m" A E a ~ - <~ m>m(~) ,n>n(~) . --n -t-o~ -t-o9 ~ ~ bkz sei eine wei tere Reihe. Dann soll unter der formalen LAURE~T-

schen P roduk t r e ihe ~ ~ ckz mit Ckl = ~ a~bt~--~l-~ vers tanden

werden. Es gilt nun folgender

S a t z 7. ~ a~ sei im oben erkldirten Sinn konvergent gegen A, .3CGO - - G O

~. b~ gegen B. Es sei

~ (K>0; ~,Z 0, +~, .)~)~) (6) [a~] _~ k, ~ + l, ~ _ ..

(7) [bkl[ < {~(k, l)l k 2 + 12

mit [~(k, 1)] <~ M/i~r alle k, l u n d ~(k, l)-~ 0 //~r [k], [1]-~ co im Sinne des Doppellimes. Dann konvergier t die LAUnENTSche Produktre ihe

ckz gegen A B = C. - - o 9

Die vol ls t~ndige Wiedergabe der ftir den Beweis erforder l ichen umfangre ichen Absch~tzungen ist ~ul]erst mfihsam. Wit wollen uns dahe r mit einer Beweisskizze begnfigen.

Zun~tchst ist zu Zeigen~ daf~ ckz sinnvoll definiert ist. Man zeigt abet leicht die absolute Konvergenz der definierenden Reihen, z .B. fiir k, l > O :

t lck~l< E E + E + +

-{-/C~1--~'~o9 "~ k~-~l l-~-~l "

i~) Fac. Filos. Ci. Let. do Farana, Anuario 1940--1941, p. 159--187 (1942) (Portu- giesisch).

~) Math. Reviews 4 (1943), p. 157. x4) Die Brauchbarkeit solcher Bedingungen fiir Doppelreihen hat wohl zum

ersten Mal K~o~P~ Math. Zeitschr. 45 (1939)~ p. 573--589 (allerdings in anderem Zusammenhange) aufgezeigt.

~5) Grtil]en mit versehwindendem Nenner sollen hier und in ~thnliehem Zu- sammenhang etwa gleich 1 gesetzt werden.

B e m e r k a n g e n zur Mult ipl ikat ion unend l i che r Reihen. 1 13

- - 1 - -1 I

Die erste Summe ist ~ :E ~ (~ + ~)2 < co, da die Aazahl der Gitter- - - o o - - o o

punkte im Kreis asymptotisch gleich dem Fllicheninhalt ist. Die zweite

Summe ist ~ ~ -~- 0 und so ~hnlieh werden die

folgenden Summen abgeseh~tzt. Nun ist zu zeigen: I ~x" c ~ - C ] : o(1)~s). Hierzu wird

]~l<=m, [l]<=n

~-a Cld = Y, q,fl bTo = I + II § + VIII + IX ]~:l ~m, Ill-<_n ~,7

aufgespalten

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

auf Grund der folgenden Summationsbedingungen:

- -m~_~ot~O, m + a < y ~ m--et , l f l + ( ~ ] ~ n , - - ~ < d < c < ) ,

O < ~ : ~ m , - m - - ~ 7 < - m + u , [fl+o~] ~ n, - ~ < 5 < ~ ,

- c ~ < a < - m , - m - a ~ 7 ~ m - a , ] f l + ( ~ ] ~ n , - ( x : ) < o ~ < + c ~ ,

m < a < + ~ , - m - - a ~ 7 ~ m - a , [ f l + O l ~ n , - c ~ < O < + ~ ,

[ a + _ y l < m , - n ~ < O , n + ~ < # < n - - f l ,

]a +_ yl ~ m , - - c ~ < f l < - - n , - - n - - f l ~ $ ~_ n - - f l ,

[ a + _ T l ~ m , 0 < / ] ~ n , - - n - - f l ~ 6 ~ - - n + f l ,

[a _+_ y] ~_ m, n < f l < + c ~ , - - n - - f l ~ n - - f l .

Zur Behandlung yon I formulieren wir das L e m m a 2 (SCHMETTERERT)), Fi~r den SondeT~all der CAUCHYschen

Multiplikation ist Satz 7 richtig. Daraus folgt I-+ C. Der Nachweis, dal~ die Ausdrticke II bis IX Nullfolgen im PRINGSHEIM-

schen Sinne sind, ist wesentlieh dadureh erschwert, daf$ s(k, l) gem~13 (7) erst dann beliebig klein wird, wenn k u n d 1 dem Betrage nach hin- reiehend grol~ sind. Wir ftihren dies jedoeh nicht mehr genauer aus.

Der in Lemma 2 erw~thnte Satz fiir die CAUCHYsche Multiplikation gilt genauer unter den etwas sehi~rferen Voraussetzungen, dal~ nebst (6) statt (7) eine analoge Beziehung ftir die b~ besteht. Diese Formulierung ist ftir Satz 7 nieht zul~ssig. Es gilt vielmehr der

S a t z 8. Ersetzt man in den Voraussetzungen des Satzes 7 die Bedingung (7) durch

M (7') [b~zl< k.+/------7 ( M > 0 ; k,/~---0, • 1 , . . . ) ,

dann braucht die LAU~ENTsche Produktreihe nicht gegen A B zu kon- vergieren.

16) Das LA~DAu-Symbo! ist nattirlich im Sinne des Doppellimes zu verstehen. Mathematische Zeitschrift . Bd. 54. 8

114 L. Schmetterer: Bemerkungen zur Multiplikation unendlicher Reihen.

Del- Beweis ist nach dem Bisherigen auf der Hand liegend. Man 1

w~thle am~ ~ sign m �9 sign n m2 + n~ ~ bm~ und verfahre nun ~thnlich wie

beim Beweis des Satzes 2. Allerdings ist die explizite Durchf t ihrung wesentlich umst~tndlicher, weshalb wir auf die genaue Dar legung wieder verzichten.

(Eingegangen am 22. Oktober 1950.)