Advances in Radio Science (2004) 2: 45–49© Copernicus GmbH 2004 Advances in

Radio Science

Berechnung des Hochfrequenzverhaltens komplexer Strukturen mitder Methode gekoppelter Streuparameter – CSC

H.-W. Glock, K. Rothemund, and U. van Rienen

Institut fur Allgemeine Elektrotechnik, Universitat Rostock

Zusammenfassung.Es wird eine Methode zur Berechnungder Hochfrequenz-Eigenschaften komplexer Strukturen vor-gestellt. Das Verfahren beruht auf der Zerlegung der Gesamt-struktur in einzelne einfachere Segmente, deren breitbandigeS-Matrizen mit kommerziellen Programmen berechnet wer-den. Das Gesamtsystem kann von beliebiger Topologie sein,und die Zahl der die Segmente verkoppelnden Hohlleiter-Moden ist nicht begrenzt. Als Ergebnis steht bei offenenStrukturen deren vollstandige S-Matrix, bei abgeschlossenenderen Resonanzeigenschaften zur Verfugung. Die theoreti-schen Grundlagen werden beschrieben und die Anwendungmit Beispielen aus dem Gebiet der Teilchenbeschleunigerund zu Eigenschaften schwach elliptisch geformter Resona-toren illustriert.

A method called Coupled S-Parameter Calculation – CSCis described which is used to calculate the rf properties ofcomplex structures, i.e. either their scattering (devices withports) or their resonance properties. The method is based onthe segmentation of the entire system into sections being lesscomplex, the external calculation of the section’s broadbandS-matrices, and a combination scheme, which is applicable toany topology and number of modes. The method’s principleis described. Examples from the field of particle acceleratorcavities and about the properties of weakly elliptical resona-tors are given.

1 Einfuhrung

Fur die numerische Simulation von Streu- oder Resonanzei-genschaften eines Hochfrequenzbauteils muß normalerwei-se dessen Geometrie komplett auf einem Gitter diskretisiertwerden. Bei komplizierten Anordnungen ergeben sich darausschnell Problemgroßen von mehreren Millionen Gitterpunk-ten, die selbst auf Rechnern mit vielen hundert MByte Haupt-speicher und modernsten Prozessoren nicht oder nicht in ver-

Correspondence to:H.-W. Glock(hans-walter.glock@etechnik.uni-rostock.de)

tretbarer Zeit behandelbar sind. Daher ist es von großemVorteil, wenn eine komplexe Struktur in mehrere einfachereSegmente zerlegt wird, die einzeln mit feldberechnenden Si-mulationswerkzeugen behandelt werden konnen. Dazu mußaber die Verkopplung zwischen den Feldern der Segmentekorrekt beschrieben werden. Dies gelingt mit einer geringenAnzahl an Parametern, wenn die koppelnden Felder im Satzder Hohlleiter-Moden des Querschnitts an der Trennstellezwischen zwei benachbarten Sektionen entwickelt werden.Jedes Segment ist dann durch seine – breitbandige – Streu-matrix bezuglich dieser Hohlleitermoden zu beschreiben.

In Abschnitt 2 wird eine Methode zur Verkettung vonStreumatrizen einzelner Segmente von Gesamtstrukturen be-liebiger Topologie und bei beliebiger Anzahl zwischen denSegmenten koppelnder Moden vorgestellt. Dieses Verfahrenbezeichnen wir in englischsprachigen Veroffentlichungen alsCoupled S-parameter Calculation, kurz CSC. In Abschnitt 3geht es um einige technische Aspekte des Gebrauchs vonCSC. Anwendungsbeispiele sind im Abschnitt 4 erlautert.

2 Theorie

Gegeben sei ein (linerares, zeitinvariantes, jedoch nichtzwingend passives oder reziprokes) Hochfrequenz-bauelement, das wie in Abb. 1 in mehrere Segmentezerlegt werden kann. Dabei wird vorausgesetzt, daß zurEntwicklung der die Segmente verkoppelnden Felder eingeeignetes Basissystem zur Verfugung steht. Die Verwen-dung der Hohlleitermoden des Querschnitts einer ebenenTrennung zwischen zwei benachbarten Segmenten als Basisfuhrt in der Regel schon mit wenigen Moden zu einerangemessenen Feldapproximation. Diese Hohlleitermodenmussen fur die betrachtete Frequenz nicht notwendig aus-breitungsfahig sein. Weiterhin wird vorausgesetzt, daß dieStreumatrizenSj aller Segmente bezuglich des gewahltenBasissystems fur jeden zu untersuchenden Frequenzpunktbekannt sind: aus numerischer Simulation, analytischerRechnung oder Messung. In einem ersten Schritt werden

46 H.-W. Glock et al.: Methode gekoppelter Streuparameter – CSC

Abbildung 1. Beispiel einer zusammengesetzten Struktur mit inter-nen Verzweigungen, Schleifen und Ports, an denen mehr als eineMode verkoppeln.

Abbildung 2. Supraleitend betriebene 9-zellige Resonatorstrukturzur Elektronen-/Positronenbeschleunigung. An beiden Seiten befin-den sich Koppler.

diese zu einer Block-DiagonalmatrixSall aller Streumatrizenzusammengefasst:

Sall(ω) =

S1(ω) 0 0

0. . . 0

0 0 Sn(ω)

(1)

Die Matrix Sall beschreibt zwar die Signalstreuung inallen einzelnen Segmenten, enthalt aber keine Informati-on uber die Struktur des Gesamtsystems. Diese wird hin-zugefugt, indem zunachst durch Anwendung einer Permu-tationsmatrixP die Reihenfolge der Signale so verandertwird, daß die innnerhalb des Gesamtsystems ausgetausch-ten Signaleacop, die von außen einfallendenainc sowiedie nach außen gestreutenasct blockweise zusammenge-faßt sind. Eine weitere PermutationsmatrixF beschreibt dieNachbarschaftsrelationen der Segmente innerhalb des Ge-samtsystems, also den Umstand, daß auslaufende Signale ei-nes Segments die einlaufenden Signale des Nachbarsegmentssind. In einfachen Systemen konnenP undF direkt angege-ben werden; bei komplizierteren Anordnungen bedarf es ei-ner automatischen Erzeugung. Insgesamt ergibt sich dann:(

acop

asct

)= P−1FSall(ω)P

(acop

ainc

)=

(G11 G12G21 G22

) (acop

ainc

). (2)

Hieraus lassen sich mit den zur Abkurzung eingefuhrten Ma-trixblockenGij die internen Signaleacop eliminieren:

asct = [G21(1 − G11)−1G12 + G22]ainc := Sainc (3)

Abbildung 3. Guten, ermittelt aus Anpassung an Polsummen, furursprungliche Koppler-Anordnung (oben) und fur gespiegelten undgedrehten linken HOM-Koppler.

Mit Gleichung (3) ist die gesuchte Streumatrix des Gesamt-systems explizit angegeben, sofern dieses mindestens einenoffenen Port behalt. Ist es hingegen vollstandig abgeschlos-sen, kann eine nichttriviale Losung nur fur diskrete Reso-nanzfrequenzen gefunden werden, bei denen

(1 − G11(ωres))acop = 0 (4)

gilt. Dies bedeutet, daß die Matrix(1 − G11(ωres)) den Ei-genwert 0 besitzen muß. In diesem (Resonanz-) Fall istacop

der zum Eigenwert 0 gehorende Eigenvektor, der die Wel-lenamplituden der resonanten Feldverteilung darstellt. Nu-merisch findet man Resonanzfrequenzen durch wiederholteSuche nach dem Eigenwert 0 an allen Frequenzpunkten, andenen(1 − G11(ω)) bekannt ist.

3 Implementation

Die oben beschriebene Theorie, also insbesondere auch dieautomatische Erzeugung der Permutationsmatrizen, die Be-rechnung der Gesamtstreumatrix einer offenen Struktur fureinen beliebigen Satz von Frequenzpunkten und die Su-che nach Resonanzen abgeschlossener Strukturen wurdenin einem Mathematica™-Anwendungspaket (Wolfram Inc.,

H.-W. Glock et al.: Methode gekoppelter Streuparameter – CSC 47

Abbildung 4. Kette aus vier Beschleunigungsresonatoren. Die Position des rechten HOM-Kopplers zu Resonator 3 wird variiert.

2000) implemetiert. Der Benutzer hat noch folgende Schrit-te auszufuhren: 1.) Bereitstellung der Streumatrizen allerSegmente, tabelliertuber die Frequenz. 2.) Erzeugung ei-ner Liste der zur Gesamtstruktur gehorenden Segmente 3.)Erzeugung einer Liste der in der Gesamtstruktur gultigenNachbarschaftsrelationen (jeweils in einer festgelegten Syn-tax). Alle weiteren Berechnungen werden von dem Systemerledigt. Zusatzlich zu den Basisfunktionen stellt die Im-plementation auch erganzende Mechanismen wie die In-terpolation von Streumatrizen auf Frequenzlisten, die allenObjekten gemeinsam sind, die analytische Berechnung derStreueigenschaften einfacher Objekte, sowie Datenein- und-ausgabenoptionen bereit. Die Verwendung des Pakets ist inGlock et al. (2001) ausfuhrlich dokumentiert.

4 Anwendungsbeispiele

4.1 Kavitaten zur Teilchenbeschleunigung

In Abb. 2 ist ein Beschleunigungsresonator dargestellt,der in supraleitendem Zustand zur Elektronen-/Positro-nenbeschleunigung eingesetzt werden soll (DESY TDR,2001). Der innere Teil besteht aus neun idealerweise rotati-onssymmetrischen Zellen. An beiden Seiten des Resonatorsbefinden sich Koppler-Strukturen, die unerwunschte, vomTeilchenstrahl selbst erregte Felder in externe Dampfungs-elemente ableiten sollen. Diese sog. HOM-Koppler habeneine komplizierte innere Form (DESY TDR, 2001), die ei-ne sehr feine Diskretisierung bei der numerischen Berech-nung (ca. 420 tsd Maschenpunkte pro Koppler) erfordern.Fur eine angemessene vollstandige Diskretisierung des ge-samten Resonators einschließlich der Koppler wurde manetwa 15 Millionen Maschenpunkte benotigen. Experimen-tell fand man bei der ursprunglichen Anordnung der Kopp-ler unerwunscht stark ausgepragtes resonantes Verhalten mitGuten zum Teil oberhalb 106 (Baboi et al., 2000). In CSC-Rechnungen, bei denen die Gesamtstruktur aus den Ele-menten Strahlrohr – linker Koppler – Resonator – rechterKoppler – Strahlrohr zusammengesetzt wurde (Dohlus, priv.Komm., 2002), konnten diese Gutewerte bestatigt werden(vgl. Abb. 3, o.). Die Guten wurden dabei aus der Anpas-sung einer Summe von Polstellen an den von CSC berechne-ten breitbandigen S-Parameter-Verlauf ermittelt (Hecht et al.,2002). CSC-Vergleichsrechnungen, die von dem Vorschlag

Abbildung 5. Transmission zwischen den Kopplern HOM1 undHOM2 einer Kette aus vier Resonatoren (vgl. Abb. 4) fur verschie-dene Positionen des Kopplers HOM2.

ausgingen, den linken der beiden Koppler verdreht und ge-spiegelt zu montieren (Dohlus, priv. Komm., 2002), zeigten,daß so eine sehr viel bessere Bedampfung der unerwunsch-ten Moden erreicht werden kann (Abb. 3, u.). Dazu mußtelediglich der modifizierte Koppler neu zur Berechnung sei-ner Streueigenschaften diskretisiert werden.

4.2 Variation einer Kopplerposition

Die zuvor beschriebenen Beschleunigungsresonatoren sollenzu langeren Ketten gruppiert eingesetzt werden. Es wurdeuntersucht, inwieweit die Verschiebung eines Kopplers ent-lang des Strahlrohrs zwischen zwei Resonatoren, wie sieaus Platzgrunden wunschenswert schien, das Koppelverhal-ten beeintrachtigen kann. Es wurden zur Modellierung einerKette von vier Resonatoren (vgl. Abb. 4) mit CSC die selbenGrundelemente wie im vorhergehenden Beispiel verwendet.Allerdings wurde der Abstand des rechten Kopplers zu Reso-nator 3 in 31 Schritten variiert. Jeder dieser Schritte erforder-te eine neue CSC-Berechnung, wobei die Streueigenschaf-ten des runden Strahlrohrs fur verschiedene Langen analy-tisch beschrieben werden konnten. Insgesamt benotigten die-se Rechnungen 4300 s (Pentium III, 1 GHz), wobei internBlock-Streumatrizen der Dimension 84×84 zu Gesamtstreu-matrizen der Dimension 16×16 an je 1000 Frequenzpunk-ten verarbeitet wurden. Eine vergleichbare direkte Berech-nung in vollstandiger Diskretisierung erscheint mit heute zurVerfugung stehender Computertechnologie ausgeschlossen.

48 H.-W. Glock et al.: Methode gekoppelter Streuparameter – CSC

Abbildung 6. Kette aus drei Hantelzellen mit schwach elliptischenQuerschnitten der Verengungen. Deren Orientierung ist jeweils ge-geneinander um einen entlang der Kette konstanten Winkelϕ ver-dreht (angedeutet durch Pfeile).

Abbildung 5 zeigt als Resultat die vergleichsweise schwa-che Abhangigkeit der betrachteten Transmission als Kurven-schar.

4.3 Dipol-Eigenmoden in schwach elliptischen Strukturen

Im Gegensatz zu ideal rotationssymmetrischen Resonatoren,bei denen es keine ausgezeichnete Raumrichtung fur die Ori-entierung polarisierbarer Moden gibt, kommt es bei noch soschwacher Abweichung von der Rotationssymmetrie – dietechnisch nie vollig vermieden werden kann – immer zu ei-ner Festlegung der Feldorientierung. Damit einher geht ei-ne Aufspaltung der Entartungspaare polarisierter Moden inzwei benachbarte Moden zwar sehrahnlicher, aber nichtmehr identischer Feldverteilung, Energie und Resonanzfre-quenz. Davon ausgehend wurde untersucht, wie sich Modenspeziell in mehrzelligen Strukturen verhalten, in denen dieausgezeichnete Raumrichtung schraubenartig von Zelle zuZelle um einen bestimmten Winkel verdreht wird. Als Mo-dell diente eine Hantel-artige Zelle, deren mittlere Verengungschwach elliptisch (Halbachsenverhaltnis 1.05) geformt wa-ren (vgl. Abb. 6). Dazu wurde die Streumatrix einer ein-zelnen Zelle bezuglich der beidenT E11-Polarisationen mitCST-MAFIA (2002) berechnet. Die Verkopplung mehrererZellen zu einem Resonator wurde mit CSC durchgefuhrt,wobei die Verdrehung von Zelle zu Zelle mit Hilfe virtuellerStreuobjekte beschrieben wurde. Deren StreumatrixSrot lau-tet fur den vorliegenden Fall von zwei Dipol-Polarisationenfur einen Drehwinkelϕ von Zelle zu Zelle:

Srot =

0 0 cosϕ sinϕ

0 0 − sinϕ cosϕcosϕ − sinϕ 0 0sinϕ cosϕ 0 0

. (5)

Abbildung 7 zeigt einen Vergleich der so fur einDipolmoden-Paar in Abhangigkeit vonϕ ermittelten Re-sonanzfrequenzen mit den Resultaten direkter MAFIA-Eigenmode-Berechnungen. Letztere zeigen einen deutlichstarker streuenden Verlauf, was auf die winkelabhangigeQualitat der Diskretisierung der elliptischen Bereiche aufdem kartesischen Gitter zuruckgefuhrt wurde. Um dies zuuberprufen, wurden fur einige Drehwinkel die direkte Be-

Abbildung 7. Resonanzfrequenzen eines ausgewahlten Dipol-moden-Paares der Hantelzellenkette aus Abb. 6 in Abhangigkeitvom Drehwinkel Zelle-zu-Zelleϕ in Grad. Schwarze Punkte: CSC-Rechnung; rot (dunkel): direkte Rechnung mit MAFIA-E; grun(hell): MAFIA-E bei dreifacher Gitterpunktezahl.

rechnung mit einem Gitter dreifacher Punktezahl (1.85 Mio.anstatt 673 Tsd.) wiederholt. Dies fuhrte zu einer deutlichbesserenUbereinstimmung, insbesondere auch in der Umge-bung des Entartungspunktes, der von CSC beiϕ=60◦ gefun-den wurde. Bemerkenswert sind die Unterschiede der erfor-derlichen Rechenleistung. Die CSC-Rechnung brauchte furjeden Winkel 40 s (PowerMac G3, 400 MHz), sowie einmaligca. 3 h (SUN Ultra2, 350 MHz) zur Berechnung der S-Matrixeiner Zelle. Die direkte Losung mit MAFIA-E benotigte proWinkel ca. 7 h, auf dem verfeinerten Gitter ca. 22 h (jeweilsSUN Ultra2, 350 MHz). In letzterem Fall wurde der vonMAFIA adressierbare Speicher von 1.6 GByte RAM nahezukomplett ausgenutzt.

5 Ergebnis

Die Methode gekoppelter Streuparameter – CSC –ermoglicht die Berechnung von Streu- bzw. Resonan-zeigenschaften hochkomplexer Hochfrequenzstrukturen,basierend auf deren Zerlegung in einfachere Segmentemit einzeln zu berechnenden S-Matrizen. Das reduziertinsbesondere dann den Gesamtaufwand, wenn Modifika-tionen einzelner Segmente interessieren oder analytischbeschreibbare Abschnitte (Hohlleiter, Rotationen) variiertwerden. So konnen Anordnungen simuliert werden, derendirekte Berechnung Computer-Kapazitat jenseits der heuteverfugbaren Moglichkeiten erfordern wurde.

Literatur

Baboi, N., Dohlus, M., Magne, C., et al.: Investigation of aHigh-Q-Dipole Mode at the TESLA Cavities, Proc. of theEPAC 2000, Vienna, http://accelconf.web.cern.ch/accelconf/e00/PAPERS/WEP3B08.pdf, 1107–1109, 2000.

Brinkmann, R., Flottmann, K., Rossbach, J., et al.: TESLA Techni-cal Design Report, DESY 2001-011, DESY Hamburg, II–19 ff,2001.

H.-W. Glock et al.: Methode gekoppelter Streuparameter – CSC 49

CST GmbH, MAFIA Ver. 4, Budinger Str. 2a, D-64289 Darmstadt.Dohlus, M.: DESY, private Kommunikation: S-Parameter des Re-

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Hecht, D., Rothemund, K., Glock, H.-W., et al.: Computation ofRF-Properties of Long and Complex Structures, Proc. of theEPAC 2002, Paris, http://accelconf.web.cern.ch/accelconf/e02/PAPERS/WEPRI060.pdf, 1685–1687, 2002.

Wolfram, S.: The Mathematica Book, 4th ed., Wolfram Media,1999.