1

Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen

Wellengleichung Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale Analogie zwischen der klassischen und

Quantenmechanik Lösung der Schrödinger-Gleichung für Freies Elektron Elektron im Potentialtopf Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Potentialbarriere Doppelte Potentialbarriere Wasserstoffatom

2

Die Wellengleichung

txptxx

i

txpitxikxtx

x

x

,,

,,,

pkkhkp

khp

2

2

tkxiAetx ,

txEtxt

i

txEitxittx

,,

,,,

Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle:

Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung:

Ableitung nach Zeit:

fhE

Plancksche Gleichung:

3

Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension

txxm

txx

ix

im

txt

i

txmptxE

mpTE

V

x

,2

,21,

,2

,

2

0

2

22

2

2

… Potentialenergie = 0 freies Teilchen

… Gesamtenergie / kinetische Energie

HxVxm

VTEV

2

22

2

0

txHtxE

txxVxm

txt

i

,ˆ,ˆ

,2

, 2

22

H … Hamilton-Operator

4

Dreidimensionale Schrödinger-Gleichung

2222

2

2

2

2

222

2222

zyx

p

pppp zyx

Impuls und der entsprechende Operator

trHtrrVm

trt

i ,ˆ,2

,2

3D-Schrödinger-Gleichung

trrrHtrrrrrrVm

trrrt

i NNN

N

n n

nN ,,,,ˆ,,,,,,,

2,,,, 212121

1

2

21

3D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen

5

Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung

xxVxmxt

tti

HtxxVxm

txt

i

txtx

txHtxxVxm

txt

i

2

22

2

22

2

22

21

:2

,

,,2

,

Linke Seite t-abhängig Rechte Seite x-abhängig

Mathematischer Ansatz: Separation der Variablen

6

Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung

xxVxmxt

tti

2

22

21

Linke Seite: Rechte Seite:

EC

CAeAet

Cti

Cdtdi

Ctt

ti

tiiCt

,

constln

02

022

1

21

2

2

2

2

22

xxVEmx

xxVCmx

CxVxmx

CxxVxmx

C … Separations-

konstante

7

Die Schrödinger-GleichungZeitunabhängige (stationäre) Form harmonische SchwingungenSie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt

02

02

2

2

2

2

2

2

22

22

rrVEmr

zyx

VEm

E … Gesamtenergie des

Systems

8

Die Schrödinger-GleichungZeitabhängige Form Wellengleichung

02

02

2

2

Vm

VEm

tiE

ti

tzyxieit

ezyxtzyx

ti

ti

,,,

,,,,,

0,2,2, 2

trrmVttrmitr

trrVtrmt

tri ,,2

, 2

9

Formale Analogie zwischen der KM und QM

EHttritrrVtr

m

VmpEEH

ipt

iE

potkin

ˆˆ

,,ˆ,2

ˆ2ˆˆ

ˆˆˆˆ

2

2

trrVtrmt

tri ,,2

, 2

10

Lösung der Schrödinger-GleichungFalls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst.

Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen

Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons

1; 2

VV

dxdydzdxdydzdVdxdydzdW

Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.

11

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion

Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit

p = ħk und E = ħ

Die Schrödinger-Gleichung ist linear Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung

trctrctr ,,, 2211

Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar

dkektx tkxi 21,

12

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion

1

1

2

VVV

rdrrdrPdxrr

xxxx

dxxdxxPdxxx

Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte

Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen)

dxxxfxxf

dxxxxx

… in 3D

13

Hermitesche OperatorenAnalogie zwischen KM und QM

Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator

Ort

Impuls

KinetischeEnergie

Drehimpuls

x x

p

i

mpT2

2

m2

2

pr

ri

14

Übung

22222

2

22

baba

ee

babiabiaii

Analogie:2EEEI

15

Harmonischer Oszillator

m

Aeu

udtudm

ti

0

02

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

time

Rea

l(u)

16

Harmonischer Oszillator mit Dämpfung

22

2

2

2

2

4

2

0

0

0

mmm

m

iim

eAeu

udtdu

dtudm

tit

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

time

Rea

l(u)

17

Harmonische Schwingungen

xab

abA

dxud

xab

abA

dxdu

xabAu

ab

BeAeu

budxuda

xixi

cos2

sin

cos2

0

2

2

2

2

A = B :

18

Gedämpfte Schwingungen

4

2

02

02

0

2

22

22

2

2

DC

DCiDi

CiDi

BeAeeu

CudxduD

dxud

xixix

19

Freies Elektron (V=0)

2

2222

2

002

2

22

2

2

22

2

k

pEmk

mpk

mE

Emk

Aex

VEmdxd

ikx

E

-1 -0.5 0 0.5 1x 10

8

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k [cm-1]

E [e

V]

Keine Randbedingung alle Energien sind möglich

Energiespektrum ist kontinuierlich

20

Elektron im Potentialtopf (1D)V

xa0

0122

0sin0sin2:0

:00

2

002

222

222

2

2

22

2

ndV

Cnnam

km

E

anknkakakaAiax

BAx

Emk

BeAex

VEmdxd

ikxikx

EEnergie-Spektrum n

123

4

5

1C4C9C

16C

25C

Randbedingung Energiespektrum ist diskret

∞ ∞

V = 0freies Elektron

21

Elektron im Potentialtopf (1D)

xan

a

xan

a

aA

kxdxAdx

kxA

kxAi

aa

sin2

sin221

1sin4

sin4

sin2

22

0

22

0

22

Lösung für die Wellenfunktion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

||2

x/aank

22

Elektron im Potentialtopf (3D)Orthogonale Lösung

czn

byn

axn

abc

mEcakncz

mEbbknby

mEaaknax

zZyYxXzyx

Emzyx

Em

zyx

zzz

yyy

xxx

sinsinsin8

2

2

2

,,

02

02

22

2

2

2

2

2

2

23

Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators

Harmonische Schwingung

tAxmDxx

DxxmF

cos,02

221

22

21

2DxDxdxFdxxV

mpxmxT

Potentielle und kinetische Energie

2

21

2221

22212

222

cos

sinsin22

DATV

tDAV

tDAtmAxmT

Gesamtenergie

Pot

entia

lAbstand

24

Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators

,2,1,0,

0

und2mit

02

21

13

22

10

2222

2

22

221

22

2

221

221

nnE

xaxaxaxaAex

Aex

xkdxd

mDEmk

DxEmdxd

n

nn

x

x

EEnergie-Spektrum n

1

23

4

½ ħ 03/2 ħ5/2 ħ

7/2 ħ

9/2 ħ

Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ

25

Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators

2

2

2

2

21

341

3

3

21

241

2

214

13

1

214

1

0

329

214

4

x

x

x

x

exxxu

exxu

xexu

exu

27252321

3

2

1

0

E

E

E

E

26

Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators

27

Potentialbarriere (Tunnel-Effekt)

2

22

2

2

02

mEk

BeAe

Emdxd

I

xikxikI

II

I II

I II

0:

~:

2

02

0

20

022

2

DxikkVE

VEmk

DeCe

VEmdxd

IIII

II

xikxikII

IIII

CkBikAikdxddxdx

CBACeBeAe

x

IIIIIII

xkxikxik

III

IIII

~:0

:0~

0;;~

12

;~

12

DC

kkiCB

kkiCA

I

II

I

II

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Position

Rea

l(u)

28

Doppelte Potentialbarriere

I IIII

V(x) = V0 V(x) = V0V(x) = 0

freies Elektron

2CnE

Energiespektrum

aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere

29

Tunnel-Effekt

Quanten-mechanischer EffektKlassisch: nur I (einfache Welle und ihre

Reflexion)AnwendungTunnel-DiodeSTM (Rastertunnelmikroskopie)QW („quantum wall“)

30

WasserstoffatomSphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential

rZeFdrV

0

2

4

20

2

4 rZeF

Coulomb-Kraft

Coulomb-Potential

04

2

0

2

2

r

ZeEm

Stationäre Schrödinger-Gleichung

freies Elektron

0

0

Pot

entia

l

Abstand vom Kern

31

Wasserstoffatom

2

2

20

2

2

22

2

2

2220

2

22

2

0

2

22

2

2222

2

0

2

2

sin1sin

sin11

421

sin1sin

sin1

421

,,,

04

2sin1sin

sin11

04

2:1

YYYr

eEmrdrdRr

drd

R

RYr

RYr

RYr

eEmYrRr

rr

YrRr

reEm

rrrr

rr

reEmZ

cossinsincossin

rzryrx

Radiusabhängig Winkelabhängig

Sphärische Koordinaten

32

Wasserstoffatom

1sin1sin

sin1

2

2

2

YYY

Winkelabhängiger Teil

2

222 11sin

sin1sin

,

ddm

dd

dd

Y

Separation der Variablen; Separationskonstante m²

Azimutalgleichung, () Polargleichung, ()

022

2

m

dd

0sin

1sinsin1

2

2

m

dd

dd

Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig

… Separationskonstante ℓ(ℓ+1)

33

WasserstoffatomAzimutalgleichung, ()

022

2

m

dd

,2,1,02 mAe mim

m

Spezielle Lösung für () – 2-periodisch

(m … ganze Zahlen)

22

0

22

0

* 21 AdAdmm

Normierung

,2,1,0,21

meimm

Ergebnis

m … magnetische Quantenzahl

34

Wasserstoffatom

Polargleichung, ()

0sin

1sinsin1

2

2

m

dd

dd

Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m²Lösung existiert nur für ℓ(ℓ+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d.h. für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, …)ℓ … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl)

Bedingung für m:

… Legendresche Differentialgleichung

,1,,2,1,

m

m

… insgesamt (2ℓ+1) Werte

35

Wasserstoffatom

Lösung der Polargleichung, ()

0sin

1sinsin1

2

2

m

dd

dd

für m = 0 Legendre-Polynome:

cos3cos5cos

1cos3cos

coscos1cos

321

3

221

2

1

0

P

P

PP

für m 0 zugeordnete Legendre-Polynome:

m

mmmm

ddP

cos1coscos1

!21cos

222

36

Wasserstoffatom

Lösung der Polargleichung, (), normiert

cos

!!

212 mm P

mm

Winkelabhängiger Teil, Yℓm(, )

immm

m ePmmY

cos!!

212

21,

37

Wasserstoffatom

02

212

14

21

22

2

2

2

22

2

0

2

2

22

ruVrVEmdr

rudrurm

rVEmdr

rud

rrRru

reEmr

drdRr

drd

R

r

r

r

… Separationskonstante ℓ(ℓ+1)

Radialgleichung

Effektives Potential

VrVVeff

0,, exp

narLrR ln

lln

Lösung

Ln,l … Laguerre Polynome