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Besetzungswahrscheinlichkeiten der Energiezustände: Energiezustände: W 1 ,W 2 ,W 3 , relative Häufigkeiten der W i : g 1 , g 2 , g 3 , Boltzmann-Verteilung: T k W i i i exp g w Beispiel: Barometrische Höhenformel h n w . const g h g m h V W h i i i i T k h g m 0 exp n h n Beweis : Finde Konfiguration mit größter statistischer Wahrscheinlichkeit Literatur

Besetzungswahrscheinlichkeiten der Energiezustände: Energiezustände:W 1,W 2,W 3, relative Häufigkeiten der W i : g 1, g 2, g 3, Boltzmann-Verteilung: Beispiel:

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Page 1: Besetzungswahrscheinlichkeiten der Energiezustände: Energiezustände:W 1,W 2,W 3, relative Häufigkeiten der W i : g 1, g 2, g 3, Boltzmann-Verteilung: Beispiel:

Besetzungswahrscheinlichkeiten der Energiezustände:

Energiezustände: W1 , W2 , W3 ,

relative Häufigkeiten der Wi : g1 , g2 , g3 ,

Boltzmann-Verteilung: TkW

iiiexpgw

Beispiel: Barometrische Höhenformel

hnw.constghgmhVWhi iii

Tkhgm

0 expnhn

Beweis: Finde Konfiguration mit größter statistischer Wahrscheinlichkeit Literatur

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zy,x,dv

dN

zy,x,v0

Gauß-Verteilung

Gauß-Verteilung

vx , vy , vz unkorreliert

2zy,x,v

kT2

vmkT2

vm

kT2vm

kT2vm

dvdvdvNd

N1

2z

2y

2x

2

zyx

3

expexpexp

expvρ

|v|d

dN

|v|0

v2 Gaußfunktion

v2 Gaußfunktion

2v

kT2vm2

|v|ddN

N1 2

expv|v|ρ

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Geschwindigkeitsverteilung f?r Heliumgas

v [m/s]

77 K

273 K

1000 K

373 K

v<v2>

Geschwindigkeitsverteilung f?r Heliumgas

v [m/s]

77 K

273 K

1000 K

373 K

Geschwindigkeitsverteilung f?r Heliumgas

v [m/s]

77 K

273 K

1000 K

373 K

v<v2>

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c) Definition: Adiabatenindex f

2f

C

Cκγ

V

p

Messung von Messung von f ( Molekülstruktur des Gases)

einatomig

f = 3 ( Translation )

κ = 5/3

zweiatomig

f = 3 ( Translation )

+ 2 ( Rotation )

κ = 7/5

dreiatomig

f = 3 ( Translation )

+ 3 ( Rotation )

κ = 8/6

Schwingungsmoden erst bei sehr großen T ( Quantenmechanik )

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Bemerkung: Spezifische Wärme von FestkörpernSchwingungen der Gitteratome: Phononen

Kristallgitter

VDAAmAωmT 2412

mD

4122

41

3 Schwingungsrichtungen f 3 (kinetisch) 3 (potentiell) 6

Regel von Dulong Petit: R3RC 2f

V versagt für T 0K Quantenmechanik

Mittlere Energie einer Schwingungsmode:

2212

21 xDVxmT

.constVTE

D

xm

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6.2.3. Wärmekraftmaschinen

T2 T1

Reservoir 2(z.B. Verbrennungsgemisch)

T1

Reservoir 1(z.B. Auspuffgas)

Q2 Q1

W = VolumenarbeitWirkungsgrad:

2Q

Wärmekraftmaschine:

T1 T2

Reservoir 1

T2

Reservoir 2Q2Q1

W (mechanisch, elektrisch)Kältemaschine:

Kühlraum .............................. Wärmetauscher (Kühlschrank) Außenraum ............................... Heizsystem (Wärmepumpe)

η = Q2/W ≤ T2/(T2-T1)

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W

Ideale Maschine ( max) Carnotscher Kreisprozess

p

V

isotherm: T2

isotherm: T1

adiabatisch

adiabatisch

dVpW eingeschlossene Fläche

Theorie-VL 1T

TTη

2

12

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Beispiel: Heißluftmotor ( Stirling-Maschine ) Tafelrechnung

12 TT Heizung

1T1T

Kühlung

90° Phasendifferenz

Kolben A

Kolben B

p

V

ΔW

T1

T2

V1 V2

1

2

3

4

Q1

Q2

Q3

Q4

Zwischen-speicherung in

Kolben A

2 3 runter oben isochor

3 4 unten runter isotherm

4 1 hoch unten isochor

1 2 oben hoch isotherm

Schritt A B Typ

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V

p

T TC

TC

T2

T1

PC

Koexistenz Dampf / Flüssigkeit

PC kritischer Punkt

TC kritische Temperatur

PC kritischer Punkt

TC kritische Temperatur

T

pS

T1 T2 TC

DampfdruckkurveDampfdruckkurve

TR

Λexp

Λ Verdampfungswärmepro Mol

Λ Verdampfungswärmepro Mol

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Van-der-Waals-Gleichung:

V

p

Koexistenz Dampf / Flüssigkeit

ideales Gas

kritischer Punkt

Übersättigter DampfÜberhitzte

Flüssigkeit

0dVpΔW

identische Flächen

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Anwendung: Joule-Thomson-Effekt (adiabatische Expansion)

Beispiel: Linde-Verfahren ( Luftverflüssigung )

Drosselventil

V1 V2

p1

p2dT

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εtot.36

.86

.92

1.19

1.27

1.52