Jacobson-Gymnasium Seesen

Facharbeit im Seminarfach

2. Schulhalbjahr 2008/09

Beugung an kleinenOffnungen

vorgelegt von:

Daniel Edler

Schuler der Jahrgangsstrufe 12am Jacobson Gymnasium Seesen

Thema der Facharbeit: Beugung an kleinen Offnungen

Seminarfachleiter: Herr Wacker

Kursthema: Anleitung zum wissenschaflichen Arbeiten (2)

Verfasser: Daniel Edler

Mentor: Herr Wacker

Ausgabetermin: 14. Januar 2009

Abgabetermin: 27. Februar 2009

Inhaltsverzeichnis

1 Beugung an kleinen Offnungen 11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Koharenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Bedingungen an die Lichtquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Der Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.1 Lage der Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Das optische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.1 Lage der Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Der Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7.1 Lage der Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8 Intensitatsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8.1 Beispiel am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8.2 Berechnung beim optischen Gitter . . . . . . . . . . . . . . 111.8.3 Berechnung beim Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8.4 Realer Intensitatsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Schlusswort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Quellenverzeichnis 162.1 Bucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Internetadressen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Bildquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Versicherung 18

4 Anhang - Versuchsprotokoll I

-1-

1 Beugung an kleinen Offnungen

1.1 Einleitung

Nach der geometrischen Optik besteht Licht aus feinen Lichtbundeln, die gradli-

nig verlaufen. Aber es gibt Phanomene, in denen dieses Modell nicht angewendet

werden kann:5

Ein von einem Laser ausgesandter Lichtstrahl wird, wie im Kapitel 4 naher be-

schrieben, uber eine Blende auf einen Schirm projiziert. Nach der geometrischen

Optik erwartet man eine unbeeinflusste gradlinige Ausbreitung der Lichtstrahlen,

wonach das Bild einen Punkt ergibt. Dies ist auch auf dem Schirm zu sehen, so-

lange das Verhaltnis von der Blendenoffnung und der Wellenlange einen gewissen10

Wert hat. Verringert man jedoch die Blendenoffnung, so wird das Licht gebeugt

und es ist ein sogenanntes Interferenzmuster mit unterschiedlich hellen Streifen

zu erkennen.

Um so ein Muster zu erklaren, ist eine Erweiterung der geometrischen Optik er-

forderlich: die Wellenoptik entsteht. Diese sieht Licht als eine Welle an. Durch15

Anwendung eines Wellenmodells lassen sich auch Phanomene der Beugung er-

klaren, die bei dem oben beschriebenen Versuch auftreten.

1.2 Huygenssches Prinzip

Um das im einleitenden Text beschriebene Phanomen der Beugung zu verste-

hen, ist es von noten ein weiteres Modell, welches erklart, was mit dem Licht20

nach der Blende passiert, einzufuhren. Wie bei jeder Welle geht man hier vom

Huygensschen-Prinzip aus.

Es besagt, dass jeder Punkt auf einer Wellenfront wieder der Sender einer neuen

Elementarwelle sein kann1. Als Wellenfront bezeichnet man hierbei alle Punk-

te, die zur gleichen Zeit vom Sender der Wellen ausgesandt worden sind. Eine25

Wellenfront verlauft somit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, wobei bei Ele-

mentarwellen sich diese in konzentrischen Kreisen vom Sender entfernen. Die

1vgl. 〈1〉, S. 182

-2-

Frequenz wird dadurch nicht beeintrachtigt.

Abbildung 1: An je-dem gelben Punktentsteht eine Elemen-tarwelle

Treffen nun die parallelen Wellenfronten des Laserslichtes

auf die Blende, kann das Huygenssche Prinzip angewendet

werden. Durch die Entstehung von Elementarwellen errei-

chen die Lichtwellen Stellen, die durch die geometrische5

Optik nicht erklarbar sind, den sogenannten geometrischen

Schattenraum 2 (vgl. Ausbreitungsrichtung der Pfeile in

Abb.(1)). Wenn dies nicht durch ein Mediumswechsel, wie

bei der Brechung oder Reflexion, sondern an Kanten oder

Spalten geschieht, spricht man von Beugung (engl. dif-10

fraction).

Voraussetzung fur die Anwendung des Huygensschen Prin-

zips ist, dass ein Wellensystem vorliegend ist. Deshalb ist

es sowohl bei Lichtwellen als auch bei Wasserwellen anwendbar.

1.3 Interferenz15

φ = π/2

φ = π/4

Welle 1

Welle 2

Interferenz

φ=(3π)/8

Abbildung 2: Interferenz zweierWellen

Zur besseren Veranschaulichung wird der ein-

leitend beschriebene Versuchsaufbau auf das

Wassermodell ubertragen. Es ist zu beob-

achten, dass es einen Bereich gibt, in de-

nen die Wellenfronten, wie in Abb. (1) dar-20

gestellt, wieder nahezu parallel verlaufen. Die

an der Offnung entstandenen Elementarwellen

uberlagern sich gegenseitig – sie interferieren.

Im Folgenden habe eine Welle die Phase 0 <

ϕ < π (positive Auslenkung) und fallt auf ei-25

ne zweite Welle ebenfalls mit der Phase 0 <

ϕ < π. Um herauszufinden, in welcher Phase (also auch mit welcher Auslenkung)

sich die resultierende Welle zur selben Zeit befindet wird das Superpositionsprin-

2vgl. 〈a1〉

-3-

zip angewendet. Dies bedeutet eine additive Uberlagerung der Auslenkungen der

Wellenzuge3.

Es ist zu beachten, dass sich durch Superposition die resultierende Amplitude

verstarkt hat. Dies nennt man dann eine konstruktive Interferenz. Wenn zwei

Wellen in der gleichen Phase ϕ = 12π (Amplitude einer Welle) oder ϕ = 3

2π (Am-5

plitude mit negativen Vorzeichen) und derselben Amplitude interferieren nennt

man diesen speziellen Fall eine vollstandige konstruktive Interferenz. Die Ampli-

tude hat sich verdoppelt.

Analog dazu hat eine destruktive Interferenz eine abschwachende Wirkung. Auch

hier gibt es einen Spezialfall: die vollstandige destruktive Interferenz, bei der die10

Amplitude der resultierenden Welle vollstandig ausgeloscht wird. Dabei mussen

beide Wellen um die Halfte ihrer Wellenlange verschoben sein. Die Phasendiffe-

renz muss also ∆ϕ = π ergeben.

1.3.1 Koharenz

Verandert sich die Beziehung der Phasen zweier bzw. mehrerer Wellen in ei-15

nem bestimmten Zeitraum ∆t um nicht mehr als ϕ = 2π, so sind sie koharent4

(lat. cohaerere: zusammenhangen). Ist dieser Wert großer wird von Inkoharenz

gesprochen. Koharent sind z.B. Wellen, die die gleiche Wellenlange aufweisen.

Dabei wird zwischen einer raumlichen und zeitlichen Koharenz unterschieden.

Bei der zeitlichen Koharenz, betrachtet man den Zeitraum ∆t, indem die Wel-20

len ein feste Phasenbeziehung aufweisen. Diese maximale Zeit der zeitlichen

Koharenz nennt man Koharenzzeit ∆tc.

Analog dazu, betrachtet man bei der raumlichen Koharenz die Strecke ∆s. Die

wahrend der gesamten Koharenzzeit zuruckgelegten Strecke wird als Koharenz-

lange ∆sc bezeichnet.25

3vgl. 〈a2〉4vgl. 〈2〉, S.295f.

-4-

1.4 Bedingungen an die Lichtquelle

Voraussetzung fur Beugungsversuche ist das bereits erwahnte koharente Licht.

Die am besten dafur geeignete Lichtquelle ist ein Laser, weil dieser ausschließlich

Licht mit nur einer bestimmmten Wellenlange λ ausstrahlt. Hingegen strahlt ei-

ne”normale“ Lichtquelle ein ganzes Spektrum von Wellen mit unterschiedlichen5

Wellenlangen aus. Folge ist, dass inkoharente Wellenzuge interferieren und eine

sogenannte Schwebung erzeugen. Dabei andert sich im Laufe der Zeit periodisch

die Amplitude des resultierenden Wellenzuges. Das bedeutet, dass nichts uber

die Lichtintensitatsverteilung auf dem Schirm gesagt werden kann. Neben der

Wellenlange sollte auch die Amplitude jeder Welle gleich groß sein, um die Be-10

rechnung der Intensitatsverteilung in Kapitel 1.8 zu vereinfachen.

Ebenfalls sollte die Lichtquelle ein hohe Koharenzlange besitzen, da der Abstand

der Blende, aus Grunden, die im folgenden Kapitel naher erlautert werden, zur

Schirm moglichst groß sein sollte. Allenfalls kann sich das Interferenzmuster auf

dem Schirm verfalschen. Desweiteren sei gesagt, dass die Große der Spaltoffnung15

in Hinblick zur Wellenlange des Lichtes moglichst klein sein sollte, um das In-

terferenzmuster deutlicher erkennbar und leichter auswertbar zu machen. Nahere

grunde dafur finden sich im Kapitel 1.7 zum Einfachspalt.

1.5 Der Doppelspalt

Wie bereits geschrieben, entstehen an der Offnung des Einzelspaltes aus dem ein-20

leitenden Text unendlich viele Elementarwellen. Wie man gleich sehen wird, ist es

jedoch zunachst einfacher die Beugung an einem Doppelspalt zu verinnerlichen.

Thomas Young (*1773 †1829) fuhrte diesen Veruch 1802 erstmals durch5.

Dabei fallt auf eine Ebene mit zwei kleinen Offnungen A und B koharentes Licht.

Zur Berechnung des Interferenzmusters wird zunachst nur eine Elementarwelle25

pro Offnung berucksichtigt. Diese breiten sich in alle Richtungen aus, wodurch es

naheliegend ist, dass sich zwei Wellen im Punkt P auf dem Schirm treffen werden.

5vgl. 〈3〉, S.225

-5-

αα'

a

d

gM

P

C

M'

A

B δ

Abbildung 3: Wellen aus A und B tref-fen sich in P

Fallt P auf den Mittelpunkt M des

Schirm, so sind die Wegstrecken der

zwei Wellen gleich lang. M bildet gleich-

zeitig den Mittelpunkt des Interferenz-

musters, da fur alle anderen Falle sich5

nach Abb. (3) ein sogenannter Gang-

unterschied δ bildet. Fur diesen gilt:

δ = |AP −BP |. Der Winkel α im Drei-

eck ABC kann ausgedruckt werden in:

sin(α) =δ

g

Ebenfalls gilt fur das Dreieck M ′MP :10

tan(α′) =d

a

Allgemein muss fur den Versuch der Abstand a der Blende zum Schirm viel

großer, als der Abstand g zwischen den Offnungen sein. Es gilt also a � g,

wodurch der Winkel α′ sehr klein wird und beide Strahlen zu P nahrungsweise

parallel zueinander sind. Fur diesen Winkel gilt deshalb die Kleinwinkelnahrung:

sin(α) ≈ tan(α′)

δ

g≈ d

a

Nach der Nahrung lasst sich der Gangunterschied δ mit leichter ablesbaren Wer-15

ten beschreiben:

δ =d · ga

(1)

1.5.1 Lage der Maxima und Minima

Ist der Gangunterschied δ ein ganzes Vielfaches k der Wellenlange λ, d.h. δ = k·λ,

so fallen auf den Punkt PMax zwei gleichphasige Wellen. Somit findet dort eine

vollstandige konstruktive Interferenz statt und stellt ein Helligkeitsmaximum dar.20

-6-

Um den Abstand d von M zu PMax zu bestimmen, muss die Gleichung (1) nach d

umgestellt und δ = k ·λ eingesetzt werden. Somit ergibt sich fur das k-te Maxium

(auch Maximum der k-ten Ordnung genannt) mit k ∈ N0 und k < gλ, weil der

Gangunterschied niemals großer, als der Spaltabstand werden kann:

dk =kλ · ag

(2)

Es ergibt sich das Minimum PMin, wenn die zwei Wellen vollstandig destruktiv5

interferieren. Also gilt fur das k-te Minimum:

dk =λ(k + 1

2) · a

g(3)

Fur ein gut erkennbares Interfernzmuster ist es notig, dass der Abstand eines

Maxiumums bzw. Minimums dk zum Mittelpunkt moglichst groß ist. Aus der

Gleichung (2) und (3) ist abzulesen, dass ein großer Abstand von der Blende bis

zum Schirm a bei gleichzeitig geringen Abstand der Offnungen g den Wert dk10

vergroßern kann.

1.6 Das optische Gitter

δ

α

a

d

g

MM'

P

Δs

l

Abbildung 4: Wellen aus den sechsOffnungen treffen in P

Nun wird die Zahl der Offnungen auf

N erhoht und statt des Doppelspaltes

ein Mehrfachspalt, ein sogenanntes op-15

tisches Gitter, verwendet. Dabei ist der

Abstand von einer Offnung zur benach-

barten konstant. Dieser Wert heißt Git-

terkonstante g und ist definiert uber den

Quotienten aus der Lange l der Blende,20

und der Anzahl, der sich dort befinde-

nen Offnungen N . Folglich gilt fur Git-

terkonstante:

g =l

N(4)

Unter der Bedingung a � g verlaufen die Lichtstrahlen nahrungsweise parallel.

Dadurch ist der Gangunterschied ∆s von den Wellen aus einer Offnung zu den25

Wellen aus der benachbarten Offnung immer gleich groß.

-7-

1.6.1 Lage der Maxima und Minima

Aus der Gleichung dk = kλ·ag

erkennt man, dass die Lage der Hauptmaxima

unabhangig von der Anzahl der Spalte ist. Betrachtet man allerdings die Inten-

sitat des Maximums, fallt auf, dass diese beim Mehrfachspalt großer ist als beim

Doppelspalt. Zur genaueren Bestimmung der Intensitat ist zu wissen, dass die In-5

tensitat I uber das Quadrat der Amplitude A der Welle mal der Geschwindigkeit

des Lichtes c mal der elektrischen Feldkonstante ε0 definiert ist6: I = A2 · c · ε0.

Folglich ist die Intensitat proportional zum Quadrat der Amplitude: I ∼ A2. Bei

einem Mehrfachspalt von N Offnungen gilt also fur die Intensitat eines Haupt-

maximums:10

I ∼ (NA)2 = N2A2 ∼ N2 (5)

Das bedeutet, dass ein Gitter in den Hauptmaxima eine viel großere Intensitat

aufweist, als bei einem vergleichbaren Doppelspalt.

An der Stelle des Minmums des Doppelspaltes betragt die Phasendiffernz ∆ϕ =

π. Es loschen sich alle zwei benachbarten Wellenzuge durch vollstandige destruk-

tive Interferenz aus. Wenn allerdings eine ungrade Anzahl an Offnungen vor-15

liegt, bleibt das Licht einer Offnung als Resthelligkeit uber. Folglich ist an jener

Stelle auf dem Schirm kein Helligkeitsminimum zu sehen. Stattdessen bildet die

Resthelligkeit ein Nebenmaxima7. Bei einem Dreifachspalt ergeben sich zwei Mi-

nima jeweils zwischen dem Haupt- und Nebenmaxima.

Zur Bestimmung der Lage dieser Minima wird zunachst speziell auf einen Mehr-20

fachspalt mit N = 6 (wie in Abb. (4)) eingegangen. Fur die vollstandige de-

struktive Interferenz muss der Phasenunterschied von der Wellen aus der ersten

Offnung zur der vierten ∆ϕ = π betragen. Das bedeutet fur den Gangunter-

schied, der zwischen diesen beiden Offnungen drei mal so groß ist, wie zwischen

zwei benachbarten: 3 · ∆s = λ(k + 12). Gleiches gilt fur die zweite und funfte25

bzw. fur die dritte und sechste Offnung. Daraus folgt fur den Sechsfachspalt mit

k ∈ N0 und k < gλ:

6〈2〉, S.2987vgl. 〈a3〉

-8-

dk =λ(k + 1

6) · a

g

Allgemein ergibt sich daraus fur die Lage des 1. Minimums fur N Offnungen:

dk =λ(k + 1

N) · a

g(6)

Je mehr Offnungen das Gitter besitzt, desto zahlreicher sind die Minima. Genauer

gibt es bei N Spalte N − 1 Minima.

1.7 Der Einfachspalt

α

a

d

l M

I

II

δ

P

III

Abbildung 5: Zone I und II interferienvollstandig destruktiv

Bislang wurden bei den Modellen der5

Spaltversuche nur eine Elementarwelle

pro Offnung berucksichtigt. Nach dem

Huygenssches Prinzip enstehen aller-

dings an jeder Offnung unendlich viele

Elementarwellen.10

Im Folgenden wird der eingangs dar-

gestellte Versuch des Einfachspalts mit

der Spaltgroße l genauer betrachtet. Da-

zu gilt weiterhin die Bedingung: a� g,

damit alle Wellen, die auf den Punkt P auf dem Schirm auftreffen nahrungsweise15

parallel sind. Analog zum Doppelspalt ist der Gangunterschied beim Einfachspalt

definiert durch:

δ =d · la

1.7.1 Lage der Maxima und Minima

Ist der Gangunterschied gleich der Wellenlange λ so werden die Elementarwellen

im Modell in zwei Bundel zusammengefasst. Das Bundel I mit dem Gangunter-20

schied 0 ≤ δ < λ2

interferiert dabei vollstandig destruktiv mit dem Bundel II

mit dem Gangunterschied λ2≤ δ < λ. Treffen diese auf P ist ein Helligkeitsmi-

nimum zu sehen. Steigt der Gangunterschied auf δ = 32λ, so sendet das Bundel

-9-

III Resthelligkeit aus, die nur noch 13

der ursprunglichen gesammten Menge der

Elementarwellen betragt. Diese ist dafur zustandig, dass auf dem Schirm ein Ne-

benmaxium zu sehen ist. Steigt δ weiter an, ist bei δ = 2λ wieder ein neues

Miniumum zu sehen.

Bei den folgenden Nebenmaxima nimmt die Resthelligkeit immer weiter ab. Folge5

ist, dass die Intensitat der Nebenmaxima bei steigenden dk immer weiter fallt.

Allgemein ergibt sich fur die Minima mit k ∈ N und k < lλ:

dk =kλ · al

(7)

Dabei kann diesmal k = 0 nicht in der Definitionsmenge enthalten sein, weil sonst

der Gangunterschied ebenfalls null wird und P auf das Hauptmaximum fallt.

Die Nebenmaxima sollten sich theoretisch immer genau zwischen den Dunkelstel-10

len befinden. In der Realitat weicht dies jedoch geringfugig ab, wie spater in der

Intensitatsverteilung zu sehen ist, sodass sich das Maximum nur nahrungsweise

dort befindet. Der Gangunterschied muss demnach ungefahr die Halfte der Wel-

lenlange λ sein. Allgemein beudeutet das:

dk ≈ λ(k + 1

2) · a

l

Fur den Fall, dass die Spaltgroße l gleich der Wellenlange λ ist, heißt das fur das15

erste Minimum, dass es einen Gangunterschied der Wellenlange haben muss. Da

der Spalt bereits so groß, wie die Wellenlange ist, beudetet das fur den Winkel

α ≈ 90◦. Die Kleinwinkelnahrung ist nicht mehr anwendbar und die Lage des

Minimums betruge: dmin = tan(90◦) · a

Ist der Spalt aber sehr viel großer als die Wellenlange, liegen die Maxima zu dicht20

aneinander, sodass sie nicht mehr erkennbar sind.

1.8 Intensitatsverteilung

Zum besseren Verstandnis der Verteilung der Intensitat kann man das Modell des

Zeigerformalismus einfuhren. Dabei wird die Amplitude einer Welle als Zeiger

(auch als Phasor oder Amplitudenvektor bezeichnet) dargestellt. Je langer der25

Zeiger ist, desto großer ist die Amplitude (vgl. Abb. (2)). Zusatzlich wird die

-10-

momentane Phase der Welle verarbeitet, indem der Zeiger um den entsprechenden

Phasenwinkel auf einer Kreiseben rotiert8. Als Phasenwinkel wird lediglich die

Phasendifferenz zwischen Wellen bezeichnet.

Es ist zu beachten, dass bei einem Gangunterschied von δ = λ die Phasendifferenz

∆ϕ = 2π betragt. Dieser Zusammenhang lasst sich ausdrucken in:5

∆ϕ = 2π · δλ

(8)

1.8.1 Beispiel am Doppelspalt

Δφ=(5π)/6

A1

Ares

A2

Abbildung 6: Die resultie-rende Amplitude Ares beiδ = 5

12λ

Die einfachste Anwendung findet man wieder beim

Doppelspalt, da man das Modell auf zwei Wellenzuge

vereinfachen kann. Als Beispiel wird der Fall mit

dem Gangunterschied von δ = 512λ in Abb. (6) dar-10

gestellt. Es sind die beiden Zeiger der Amplituden

A1, A2 und die durch Interferenz resultierende Am-

plitude Ares zu sehen.

Dabei ist der Anfang des zweiten Phasors am Ende des ersten gelegt. Nach der

Gleichung (8) betragt dann der Phasenwinkel ∆ϕ = 56π, der ebenfalls der Winkel15

zwischen den beiden Zeigern ist. Nach der Hintereinanderlegung ergibt sich der

resultierende Phasor Ares. Nach dem Kosinussatz folgt fur Ares:

Ares =

√A1

2 + A22 − 2A1A2 · cos(π −∆ϕ) (9)

Bei Spaltversuchen wurde die Voraussetzung gesetzt, dass die Amplitude jeder

Elementarwelle gleich groß ist. Das bedeutet, dass A0 = A1 = A2 ist, wodurch

die Gleichung (9) vereinfacht werden kann zu:20

I = cε0Ares2 = 2cε0A0

2 − 2cε0A02 · cos(π −∆ϕ)

= 2cε0A02(1− cos(π −∆ϕ))

= 2cε0A02(1 + cos(∆ϕ)) (10)

8vgl. 〈a4〉

-11-

Es kann allerdings nicht die Phasendifferenz gemessen werden, sodass dieser Wert

mit dem Gangunterschied der benachbarten Offnungen ∆s ausgedruckt wird. Es

gilt:

∆ϕ = 2π · ∆s

λ(11)

∆s =d · ga

(12)

Gleichung (11) und (12) in (10) eingesetzt und die Intensitat in Abhangigkeit

zum Abstand zum Mittelpunkt d gestellt ergibt:5

I(d) = cε02A02

[1 + cos

(2πd · ga · λ

)]Dies erscheint auch mit den voherigen Uberlegungen plausibel, da fur d = 0 die

erwartete Intensitat I(0) = cε0 · 4A02 folgt (vgl. Gleichung (5)).

1.8.2 Berechnung beim optischen Gitter

Im folgenden soll die Anzahl der Spalte von zwei auf eine beliebig, endlich große

Zahl anwachesen. Folglich entsteht wieder das optische Gitter, welches eine Vor-10

stufe im Verstandnis zur Intensitatsverteilung des Einfachspaltes bildet.

Δφ

Δφ

Δφ

Δφ

Δφ

Δφ

Ares

r

B

U

VM

(NΔφ)/2

ΔφNΔφ

Δφ/2

A

Abbildung 7: Addition der Amplitu-denvektoren

Wie im voherigen Abschnitt (1.8.1) wird

dabei der Zeigerformalismus zu Hilfe ge-

nommen. Nur statt zwei werden N Ampli-

tudenvektoren unter Berucksichtigung ih-15

res Phasenwinkels in das Modell wie in

Abb.(7) eingetragen. Diese Vektoren wer-

den als Sehnen eines Kreises mit dem Ra-

dius r und dem Mittelpunkt M angesehen.

Der Mittelpunktswinkel jeder Sehne ist im-20

mer gleich dem Phasenwinkel ∆ϕ.

Daraus ergibt sich fur das Dreieck AMU :

sin

(N∆ϕ

2

)=

12Ares

r=Ares2r

(13)

-12-

Dadurch ware es ohne weiteres moglich die resultierende Amplitude Ares zu be-

rechnen, wenn der Radius r des gedachten Kreises im Modell bekannt ware.

Deshalb wird nach einem zweiten Dreieck gesucht, welches ebenfalls diesen Pa-

rameter enthalt, um schließlich r zu eleminieren. Fur das Dreieck BMV gilt:

sin

(∆ϕ

2

)=

12A0

r=A0

2r

→ r =A0

2 sin(

∆ϕ2

) (14)

Nach einsetzten von r aus Gleichung (14) in Gleichung (13) ergibt dann sich nach5

Ares aufgelost:

sin

(N∆ϕ

2

)=

Ares

2 A0

2 sin(∆ϕ2 )

=Ares · 2 sin

(∆ϕ2

)2 · A0

→ Ares = A0 ·sin(N∆ϕ

2

)sin(

∆ϕ2

)Das Quadrat aus Ares ergibt die gesuchte Intensitat I. Es wird die Phasendif-

ferenz ∆ϕ aus Gleichung (11) und der Gangunterschied ∆s aus Gleichung (12)

eingesetzt. Nach der in Abhangigkeit setzen der Strecke d ergibt sich dann fur

die Intensitat:10

I(d) = cε0Ares2 = I0 ·

sin2(Nπ·d·gλ·a

)sin2

(π·d·gλ·a

) (15)

I

d

Abbildung 8: rot: N = 2; blau: N = 4

Somit lasst sich der Graph fur die

Intensitat in Abhangigkeit der

Strecke d ermitteln. In Abb. (8)

ist dies in blau fur vier und in

rot fur zwei Spalte dargestellt. Es15

ist deutlich zu sehen, dass sowohl

die Intensitat in den Hauptmaxi-

ma zunimmt, also auch die Mini-

ma naher an das Hauptmaxima rucken. Dadurch grenzt sich das Maxima starker

ab und es ist auf dem Schirm deutlicher zu erkennen.20

-13-

1.8.3 Berechnung beim Einfachspalt

Fur die Berechnung der Intensitatsverteilung des Einfachspaltes muss man im

Prinzip nur die Menge der Offnungen N des optischen Gitters gegen unendlich

streben lassen. Allerdings ist die Gitterkonstante nicht mehr durch einen Wert

anzugeben, weshalb sie im folgenden durch ihre Definition aus Gleichung (4)5

ersetzt wird.

Weil die Intensitat I0 proportional zum Quadrat aus der Summe samtlicher Wel-

len, die aus einer Elementarwelle an der Offnung enstehen, ist, gilt: I0 ∼ A2 =

(N · A0)2. Da gesagt wurde, dass N gegen Unendlich strebt, kann hierbei nicht

die absolute Intensitat angegeben werden. Deswegen wird fur die relative Inten-10

sitatsverteilung I0 durch I0N2 ersetzt. Nach Integration dieser Erkenntnisse in die

Gleichung (15) ergibt sich:

I(d) =I0

N2·

sin2(Nπ·d· l

N

λ·a

)sin2

(π·d· l

N

λ·a

) =I0

N2·

sin2(π·d·lλ·a

)sin2

(1N· π·d·lλ·a

)Nachdem die Anzahl der Offnung gegen Unendlich strebt ergibt sich die Inten-

sitatsverteilung des Einfachspaltes:

I(d) =I0 · sin2

(π·d·lλ·a

)limN→∞

[N2

(sin

(1

N· π · d · lλ · a

))2] (16)

Fur kleine Winkel gilt nahrungsweise sinϕ = ϕ. Da 1N

= 0 fur N →∞ ist, folgt:15

limN→∞

sin1

N= lim

N→∞

1

N

Auf Gleichung (16) ubertragen folgt:

I(d) =I0 · sin2

(π·d·lλ·a

)limN→∞

[N2

(1

N· π · d · lλ · a

)2]

=I0 · sin2

(π·d·lλ·a

)(π·d·lλ·a

)2

Nach Integration der Gleichung ist festzustellen, dass im Hauptmaximum etwa

90% der Gesamtintensitat enthalten ist9.

9vgl. 〈2〉, S.316

-14-

1.8.4 Realer Intensitatsverlauf

Bislang wurde im Modell bei der Berechnung des Intensitatsverlaufs eines Mehr-

fachspaltes mit N > 1 angenommen, dass aus jeder Offnung nur eine Elementar-

welle fur das Interferenzmuster zustandig ist. Nachdem allerdings die Verteilung

des Einfachspaltes bekannt ist kann man den Mehrfachspalt um diese Erkenntnis5

erweitern.

Dazu wird zunachst der Einfachspalt und deren Intensitat in Richtung ϕ be-

trachtet. Dazu uberlagert sich dann die ergebene Intensitat eines Mehrfachspaltes

unter gleichen Bedingungen, wie die der Richtung und Große der Spaltoffnung.

Daraus ergibt sich fur die Intensitatsverteilung eines Mehrfachspaltes, wenn die10

Einfachspaltbeugung berucksichtigt wird:

I(d) = I0 ·sin2

(π·d·lλ·a

)(π·d·lλ·a

)2 ·sin2

(Nπ·d·gλ·a

)sin2

(π·d·gλ·a

) (17)

I

d

1

Abbildung 9: grun: N = 1; blau: N = 3; oran-ge: N = 3

Dabei konnen neue Minima ent-

stehen, wenn der Faktor des Ein-

fachspaltes null ergibt.

In Abb. (9) ist der relative Inten-15

sitatsverlauf eines Einfachspaltes

mit einer Spaltgroße von l =

0,41mm in grun skizziert. Außer-

dem ist in blau und orange der relative Intensitatsverlauf eines Dreifachspal-

tes mit einem Spaltabstand von g = 0, 6mm einmal ohne und einmal mit20

Berucksichtigung der Einfachspaltbeugung dargestellt. Dabei ubersteigt die rela-

tive Intensitat des Mehrfachspaltes nie die des Einfachspaltes.

1.9 Schlusswort

Alle vorangegangenen Uberlegungen und Berechnungen basieren auf der Grund-

lage der Welleneigenschaft des Lichtes. Ob Licht wirklich eine Welle oder doch ein25

Teilchen ist, diskutierten 1689 Isaac Newton (*1642 †1727) und Chritian Huygens

(*1629 †1695).

-15-

Nach der Erklarung der Interferenzerscheinungen in den Spaltversuchen, die sich

offensichtlich nur erklaren lassen, wenn man Licht als Welle ansieht, scheint es

hinfallig sich Licht als Teilchen vorzustellen, da es schwer vorstellbar erscheint,

dass bei Teilchen ebenfalls Beugungserscheinungen eintreten konnen. Das Licht

jedoch auch einen Teilchencharakter besitzt, zeigt folgender Versuch: Bei einem5

Doppelspaltversuch wird statt eines Schirmes eine Fotoplatte verwendet und un-

ter geringer Lichtintensitat in einem Raum ohne weitere Lichtquelle durchgefuhrt.

Nach der Entwicklung, sind auf dieser viele kleine, stochastisch verteilte Punkte

zu sehen. Jeder Punkt ist ein Hinweis darauf, dass ein Lichtteilchen (auch Licht-

portion/Photon genannt) an der Stelle auf die Fotoplatte getroffen ist.10

Nach einer ausreichend langen Belichtung ist eine ahnliche Interferenzstruktur

der Punkte, wie bei der Intensitatsverteilung der vorangegangenen Spaltversu-

che, zu sehen. D.h., dass die Fotoplatte aufgrund der Photonen an Stellen sich

verfarbt hat, an der man nach der Vorstellung eines Teilchens es nie erwartet

hatte.15

Dieses Phanomen lasst sich durch spatere Erkenntnisse aus der Quantenphysik

erklaren (Welle – Teilchen – Dualismus).

-16-

2 Quellenverzeichnis

2.1 Bucher

〈1〉 Bader, Franz (Hrsg.); Dorn, Friedrich: Physik 12/13 – Gymnasium Sek II.

Schroedel Verlag im Bildungshaus Schroedel Diesterweg Bildungsmedien

GmbH & CoKG, Hannover 2000.5

〈2〉 Demtroder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 – Elektrizitat und Optik. 3.Auf-

lage. Springer-Verlag, Berlin 2004

〈3〉 Bader, Franz (Hrsg.); Dorn, Friedrich (Hrsg.): Physik – Oberstufe Gesamt-

band 12/13. Schroedel Schulbuchverlag GmbH, Hannover 1986.

〈4〉 Jung, Walter (Hrsg.): Fischer Kolleg Abiturwissen – Physik. Aktualisierte10

und uberarbeitete Neuausgabe. S. Fischer GmbH Frankfurt am Main, 2002

〈5〉 Meyer, Lothar (Hrsg.); Schmidt, Gerd-Dietrich (Hrsg.): Basiswissen Schu-

le – Physik Abitur. PAETEC Gesellschaft fur Bildung und Technik mgH,

Berlin und Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim

200315

2.2 Internetadressen

〈a〉 http://www.chemgapedia.de

〈a1〉 /vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/huygens.vlu/

Page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/huygens2.vscml.html

〈a2〉 /vsengine/popup/vsc/de/glossar/s/su/superposition.glos.html20

〈a3〉 /vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/

interferenz a.vlu/Page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/

mehrfachspalt.vscml.html

〈a4〉 /vsengine/popup/vsc/de/glossar/z/ze/zeigerformalismus.glos.html

〈b〉 http://de.wikipedia.org25

-17-

〈b1〉 /wiki/Koharenz (Physik)

〈b2〉 /wiki/Interferenz (Physik)

2.3 Bildquellen

• Abb. 1: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Refraction on an

aperture - Huygens-Fresnel principle.svg;5

erstellt von: Arne Nordmann

• Abb. 2, 3, 4, 5, 8 und 9: selbst erstellet mit Geogebra 3 und Inkscape 0.46

• Abb. 6, 7 und 10: selbst erstellt mit Inkscape 0.46

• Abb. 11(a) und 11(b): selbst fotografiert und bearbeitet mit Paint.NET

3.3610

• Abb. 12: selbst erstellt mit OpenOffice.org 3.0.1

Diese Facharbeit wurde gesetzt mit LATEX2ε am 26. Februar 2009.

-18-

3 Versicherung

Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbststandig angefertigt habe, keine

anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit,

die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen

wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe. Verwendete Infor-5

mationen aus dem Internet liegen vollstandig (CD im Anhang) vor.

Hiermit erklare ich, dass ich einverstanden bin, wenn die von mir verfasste Fach-

arbeit der schulinternen Offentlichkeit zuganglich gemacht wird.

Ort und Datum Unterschrift

-I-

4 Anhang - Versuchsprotokoll

Materialliste

• Helium-Neon-Laser

• Blenden

1. individuell verstellbare Spaltgroße5

2. Dia, mit verschiendenen Spalten:

(a) l = 0, 1mm; N = 1

(b) l = 0, 1mm; N = 3; g = 0, 3mm

(c) l = 0, 2mm; N = 3; g = 0, 3mm

(d) l = 0, 2mm; N = 110

• Projektionsschirm

• Halterungen

Aufbau und Durchfuhrung

Laser

Schirm

Blende

0,01m 1,42m

Abbildung 10: Versuchsaufbau

Der Laser wird so ausgerichtet, dass das Laserlicht senkrecht durch die Blen-

de und auf den Schirm fallt. Dabei wird erst die Große der Spaltoffnung und15

spater zusatzlich der Abstand zweier Spalte variiert und das Verhalten, des auf

den Schirm geworfenen Bildes, beobachtet. Desweiteren wird der Abstand eines

Helligkeitsmaximus zum Mittelpunkt gemessen. Der Mittelpunkt bezeichnet den

Punkt, der auf einer Linie mit dem Laser und Blende steht.

-II-

Auswertung

Die folgenden Fotos zeigen die Ergebnisse, die auf dem Schirm zu sehen waren:

(a) Spaltgroße des Einfachspalts verkleinert

sich

(b) verschiedene Doppel- und Einfachspalte

Abbildung 11: Bilder der Spaltversuche

Abb. (11(a)) zeigt den Versuch, bei dem nach und nach die Spaltgroße verkleinert

wurde. Am Anfang ist nur ein heller Punkt vom Laser zu erkennen. Je kleiner

die Blende gestellt wurde, desto eher konnte man rechts und links vom schwacher5

werdenen Punkt Licht auf dem Schirm erkennen. Kurz bevor der Spalt geschlossen

ist, kann man deutlich Helligkeitsstreifen feststellen. Ein heller wechselt sich mit

einem dunklen Streifen ab.

In Abb. (11(b)) sieht man das Interfernzmuster eines Spaltes mit l = 0, 1mm

bzw. l = 0, 2mm. Zusatzlich ist jeweils unterhalb dessen das Muster eines Dop-10

pelspaltes mit dem Spaltabstand g = 0, 3mm abgebildet. Jedoch war es mir nicht

moglich, den Abstand eines Helligkeitsmaximum zum nachsten zu ermitteln. Dies

lag am zu geringen Abstand. Eine alternative Messung, die ich ausprobierte, war,

die Nebenmaxima zu ignorieren und lediglich den Abstand eines Hauptmaximas

zum nachsten zu bestimmen. Dabei ließ sich besonders beim Doppelspalt mit ei-15

ner Spaltgroße von jeweils 0,2mm sehr schlecht ein Neben- vom Hauptmaximum

unterscheiden.

Fur den Einfachspaltversuch mit den Spaltbreiten von l = 0, 1mm und l =

0, 2mm ergab sich folgendes:

-III-

l = 0, 1mm l = 0, 2mmAnzahl Abstand [mm] Anzahl Abstand [mm]

1 9 1 62 9 2 4,53 9 3 44 9,5 4 55 8 5 46 8,8 6 4,57 9 7 4,9

Mittelwert 8,9 Mittelwert 4,7

Nachdem die Werte in ein Ordnungszahl-der-Maxima – Abstand-zum-benachbarten-

Maximum Diagramm aufgetragen wurden ergibt sich:

1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

Einfachspaltversuch

l=0,1mml=0,2mm

Maximum k-ter Ordnung

Abs

tand

zum

näc

hste

n in

mm

Abbildung 12: In ein Diagramm aufgetragene Versuchsergebnisse

Anhand der Tabelle und des Graphens lasst sich erkennen, dass der Abstand der

Helligkeitsstreifen zum benachbarten mehr oder wenig konstant ist und dadurch5

dieser unabhangig voneinander ist. Aus der Gleichung (7) nach λ umgestellt und

in Abhangigkeit von d gesetzt ergibt sich fur k = 1:

λ(d) =d · la

Fur d = 8, 9mm bzw. d = 4, 7mm ergibt sich fur die Wellenlange des Lasers:

λ(8, 9mm) ≈ 0, 627µm = 627nm

λ(4, 7mm) ≈ 0, 662µm = 662nm10

-IV-

Ergebnisbetrachtung

Der Beschreibung des Lasers nach betragt die ausgesandte Wellenlange λ =

632, 8nm. Die Abweichung zum gemessenen Wert betragt bei l = 0, 1mm le-

diglich 5, 8nm und beim großeren Spalt 29, 2nm.

Die mogliche Ursache der Abweichung konnte die Spaltgroße sein. Schon ein5

Spalt, der 0, 046mm großer ist ergabe die tatsachliche Wellenlange des Lasers.

Desweiteren ist der abgelesene Abstand auf dem Schirm recht gering, wodurch

Messungenauigkeiten enstehen konnen. Um diese Werte zu vergroßern und damit

die Fehlerquelle zu vermindern musste man den Abstand von der Blende zum

Schirm weiter vergroßern. Gleichzeitig muss man darauf achten, dass der Abstand10

nicht die Koharenzlange ∆sc uberschreitet.