Vol. VI, 1~55 157

Beweis einer Vermutung yon Herrn H. HOPF fiber die Numerierung der Eckpunkte gewisser unendlieher Graphen

Von TH. K~LUZA jr. in t!annover

Satz: In jedem zusammenhSngenden unendlichen Graphen G endlichen Grades lassen sich die Punkte you G so numerieren, daft jeder Punkt einen Na~hbarn besitzt, dessen Nummer gr6~er ist als seine eigene 1).

Beweis: 1. Es gentigt, wenn der Satz fiir ein Geriist yon G, z. B. also allgemein fiir unendliche B~ume endlichen Grades bewiesen wird, da bei einem Einftigen yon Kanten die Numericrung nicht ge/indert zu werden braucht.

2. In jedem endlichen Baum B mit p Punkten kann man die Zahlen 1, . . . , p (bzw. n f i - 1 , . . . , n + p) so auf die Punkte verteilen, dal] mit Ausnahme eines beliebig wahlbaren Punktes Po jeder Punkt einen Nachbarn mit grSBerer Nummer besitzt.

Denn: I~ B hat jeder Punkt P ~ Po wegen der Eindeutigkeit des Weges P . . . Po eine wohlbestimmte Entfernung yon Po, und Wenn man in B yon P nach Po wandert, so passiert man also der Reihe nach Punkte mit jeweils um 1 abnehmenden Ent- fernungen von Po. Gibt man also dem Punkt Po die Nummer p, dann den /c (~ 1) Punkten, die yon Po die Entfernung I haben, die Nummern p - 1 . . . . , p - k, den m Punkten, die yon Po die Entfermmg 2 haben, die l~ummern p - - k - - 1, . . . ,

~ k ~ m, usw., so ist dies eine Bezifferung der gewtinschten Art.

3. G sei nun ein unendlieher Baum folg(mder Art: G enthalt genau einen einseitig I!nendliehen Weg W _= P1 P~ . . . , und zu jedem P~ yon W mSgen endlieh viele eadliche Bii.ume mit insgesamt qi Eeken vorhanden sein, yon deren jedem genau ein Endpunkt mit P~ inzident ist.

Die zu P1 gehSrigen B'~ume B~ (~), . . . , Bk(~rmSgen e~ (~), . . . , e~. (j) Eekpunkte haben. bann soil B~ o) mit den Zahlen 1, . . . , el(t), B2 (~) mit den Zahlen el (~) fi- 1 . . . . , el(~) q~ %(1), usw. im Sinne yon w 2 so uumeriert werden, dull dabei P1 jeweils die Rolle des Ausnahmepunktes Po in w 2 spielt. Endlich soll P1, das ja nun mehrere l~ummern (i. a.) tragt, mit q, numeriert werden. Die zu P~ geh6renden Baume B~ (2), . . . mit

(2) st , .. �9 Eekpunkten werden analog mit den Zahlen q~ q- 1 . . . . , q~ q- ex(2) , im ~iane yon w 2 so beziffert, daft jetzt P~ die Rolle yon Po spielt, und sehlieltlich wird

1 ~). der ,) ]e Frage nach der Gfiltigkelt dieses S~tzes wurde m]r yon ]Ierrn II. ltoPF gestellt, der bei

]'riangulation offener M~mnigfaltigkeiten auf sic gestoflen war.

158 TH. KALUZA hitCH, matin.

P2 die Nummer ql + q2 gegeben; und so welter fiir P3 . . . . . G ist dann gemal~ der Behauptung beziffert. Analog lal~t sich natiirlich eine Bezifferung mit den Zahlen nl < n 2 < . . . vornehmen, indem .a i an die Stelle yon i gesetzt wird.

4. G sei jetzt ein beliebiger unendlicher Baum (endlichen Grades). Nach einem bekannten Satz enthMt G dann mindestens einen einseitig unendlichen Weg, der ,,markiert" werden mSge. ]miner wenn sich inG noch ein zu allen bereits markierten einseitig unendlichen Wegen fremder einseitig unend]icher Weg findet, werde er gleichfalls markiert. Nach Beendigung dieses - - evtl. im Sinne einer transfiniten Induktion, abet ganz innerhalb der Zahlenklasse go ablaufenden - - Prozesses ]iegt eine abz~ihlbare (endliche oder unendliehe) Menge paarweise fremder markierter einseitig unendlieher Wege vor; W1, W~, . . . sei eine Abzah'lung. P sei nun .... falls vorhanden - - ein Punkt yon G, der auf keinem der W i tiegt. P miigen alle die Punkte Q zugeordnet werden, fiir die die Wege P . . . Q keinen Punkt eines W~ enthalten. Es kann nun nut endlich viele Punkte Q geben, andernfalls gitbe es (wieder nach dem eben zitierten Satz) noeh einen yon P ausgehenden zu allen W i fremden einseitig unendlichen Weg in G. P bildet also mit den ihm zugeordneteu Q einen endlichen Baum, der wegen des Zusammenhanges von G dl]rch eine geeignete Kante an min- destens einen der Wege W i im Sinne yon w 3 angeschlossen werden kann. Jedcr solche Baum werde nun genau einem W i angeschlossen. Dann sind wegen des end- lichen Grades von G jedem Punkt jedes W~ nut endlich viele B/~ume angeschlossen. Indem man die Mange der natiirlichen Zahlen in abz~ihlbar viele unendliche Teil- mengen 2Y~ zerlegt und W i mitsamt den angeschlossenen BAumen gem~tl~ w 3 durch die Elemente yon 5~ beziffert, erhfilt man die gewiinschte Numerier|mg der Pnnkte yon G.

Eingegangen am 23.8, 1954