BG11m Skript Algebra Neu

wernerheisenbergschule

Unterrichtsmaterialien BG11Grundlagen für die

Mathematik der Oberstufe

23.08.10/Pirkl Seite 1

1. Brüche, Binomische Formeln und lineare Gleichungen

1.1 Lösen Sie die Klammern auf.

a) (a–3b)² b) (a + 1)² c) (3x+2y)(3x–2y) d) (u+1)(1–u)

e) (13 w + v)² f) (

35 x – 5y)² g) (3s+

16 t)(

16 s –3t) h) (a–

38 b)(a +

38 b)

i) (12 a –

56 b)² j) (

49 r +

34 s)² k) (

15 a–

35 b) (

15 a+

35 b) l) (

25 x+

34 y)(

13 x –

23 y)

m) (5 – 2 )² n) ( 10a + 5b)² o) ( 3x – 12y)² p) ( 6a+ 3b)( 6a– 3b)

1.2 Stellen Sie folgende Terme als Produkte dar, indem sie ausklammern oder die binomischen Formeln anwenden.

a) 2ax + 2ay – 4az b) 6a²b + 12ab² – 18 ab c) 4a² + 40ab + 25b²

d) 49x² – 42xy² + 9y4 e) k4 – 2k² + 1 f) 1 – u4v6

g) 6x² –36xy + 54y² h) 50w6 – 8v² i) 12g³ – 36g²h + 27gh²

j)34 ax+

34 bx–

34 x k) a 5–b 5+c 5 l) 6a + 18ab + 12a

m)125 x²+

215 xy+

19 y² n)

49 u² – 1 o)

14 x²+

13 xy+

19 y²

1.3 Ergänzen Sie die folgenden Terme so, dass ein Binom entsteht.

a) f² + 2fg + ___ b) p² – 2pq + ___ c) x² – 4x + ___ d) x² + 8x + ___

e) 9p² + 6p + ___ f) x² – 6x + ___ g) z² +z + ___ h) 9y² + 18xy + ___

i) 4x² – 4x + ___ j) z² + az + ___ k) 4x² – 4xy + ___ l) 16a² – 32ay + ___

m) 16x² +24 xy + ___ n) a²x² – 2abx + ___ o) r²s² – rs + ___ p) 25v² – 40vw + ___

1.4 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

a) x + (x+1)² – (x+2)² = 6 {-9} b) 2x + (9–x)² – 1– (12–x)² + 2x + 4 = 0 {6}

c)x3 + 9 = 1 {-24} d)

34 y – 2 = 1 {4}

e)712 x + 7 –

13 x =

12 x +8 {-4} f)

x2 + 6 –

x3 = –

x2 +5 +

x3 {-3}

g) 2(412 x + 2

34 ) = 30x – (1

12 – 6x) {

727 } h) 10 x – (

12 + 2x) = 2(1

12 x –

34 ) {-

15 }

i) (1,5 x + 2,4)² = (1,5x – 3,2)² – 38,08 {-2}j) (x +

13 )² – (x –

12 )(x +

12 ) =

23 x { }

1.5 Berechnen Sie x.

a) 3x +7 = 6a + 7 x = 2a b) 6x – 2a = 2x + 2a + 4b x =a+b

c) 3m + nx = mx + 3n x =3 d) xa + 5b = 5a + xb x = 5

e) 4ux – 6av = 3vx – 8au x =-2af) 21 rx – st = 3sx – 7rt x = –

t3

1.6 Lösen Sie jede der Gleichungen nach jeder Variablen auf.

a) A = g.h2

b) A = a+c2 h c) d = a. 3 d) V =

13 a² . h e) V =

13 π.r².h

f) W = F.s g) P = Wt h) s =

12 at² i) s = v.t j) a² = b² + c²





2. Vertiefungsthema Bruchgleichungen

Diese Aufgaben sollen nur von den Schülern und Schülerinnen bearbeitet werden, welche mit der Aufgabe 1.1 bis 1.6 keinerlei Probleme haben. D.h. dies ist ein ergänzendes, vollständig selbständig zu bearbeitendes Thema für alle mit hervorragenden Grundkenntnissen.

Beispielaufgabe mit Lösungsweg:

Rechnung Bemerkungen zur Rechnung

5–2x5–x – 1

= 102x–10

Nenner soweit wie möglich faktorisieren

5–2x5–x – 1 = 10

2(x–5)Wenn möglich Brüche kürzen3

5–2x5–x – 1 = 5

x–5Alle Brüche auf den Hauptnenner bringenHN = 5–x

5–2x5–x –

5–x5–x

= –55–x

Gleichung mit dem HN multiplizieren

5 – 2x – (5 – x) = –5 Achtung: Bei Minus vor Bruch → Klammer setzen

5 – 2x – 5 + x = –5 Gleichung nach x auflösen

–x = –5

x = 5 Achtung: x = 5 darf als Lösung nicht eingesetzt werden, da sich Null im Nenner ergibt. Daher Definitionsbereich beachten.

Definitionsbereich 5 – x = 0 Berechnung durch Nullsetzen des Nenners

x = 5

⇒ ID= IR\ {5} Definitionsbereich und Lösung überschneiden sich

⇒ IL= {}

Zusammenfassen der Schritte bei der Lösung von Bruchgleichungen

1. Die Summen in den einzelnen Bruchtermen so weit wie möglich faktorisieren und gegebenenfalls kürzen.

2. Den Hauptnenner bestimmen und alle Summanden auf den Hauptnenner bringen.

3. Die Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren.

4. Die bruchfreie Gleichung nach x auflösen.

5. Den Definitionsbereich bestimmen.

6. Definitionsbereich mit dem Ergebnis vergleichen und die Lösungsmenge angeben.





Aufgaben

1. Beschreiben Sie jeweils die einzelnen Lösungsschritte:

8+x15+5x –

59+3x

= 415

8+x5(3+x) –

53(3+x)

= 4

3.5

3(8+x)15(x+3) –

5.515(x+3)

= 4(x+3)15(x+3)

3(8+x) – 25 = 4(3+x)

24 + 3x – 25 = 12 + 4x

x = –13

ID = IR\{– 3}

IL = {–13}

2. Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die Lösungsmenge, Überprüfen Sie Ihre Lösung durch eine Probe, indem Sie Ihren Wert für x in die Ausgangsgleichung einsetzen.

a) 4x–1

= 2x–2

IL= {3} b) 4x–1 +

3x–2

= 7x–2

IL= { }

c) x–6x²–x –

5x–1

= 5x

IL= {0,5} d) x–3x–1 –

2x–1x²–1

= x+2x+1

IL= {0}

e) 1x –

42x²+12x+18

= x+1x²+3x

IL= { } f) 1x–2 –

1x

= 2x²–2x

IL= ¡

3. Berechnen Sie den Definitionsbereich und die Lösungsmenge.

a) 1x+2 +

1x–1

= 2x

IL= {4} b) 13–x +

1x+4

= 1(3–x)(x+4)

IL= {}

c) x+0,5x–0,5 –

x–0,5x+0,5

= 1x²–0,25

IL= {} d) 4x+26x–2 –

12x+39x+3

= 3x–6x²9x²–1 IL= {–

23 }

e) 1x –

x+1x²+3x

= 2x²+6x+9

IL= {} f) 4x²–8x+16 –

1x–4

= –1x

IL= {}

g) x–2x+1 +

x–6x–1

= 2x²x²–1

IL= {–0,5} h) 2x+33x–6 –

x+12x–4

= 3x–54x–8

IL= {3}





3. Lineare Funktionen

3.1 Geraden im Koordinatensystem Grundlegendes

Abstände: 1. x-Koordinaten der Punkte A und B: B Ax x x∆ = −2. y-Koordinaten der Punkte A und B: B Ay y y∆ = −3. Abstand d der Punkte A und B: d² = y²

Definitionen: 1. y-Achsenabschnitt cSchnittpunkt c der Geraden mit der y-Achse

2. Funktionsschreibweise: Man schreibt: y = f(x)

3. Nullstelle NSchnittpunkt der Geraden mit der x-Achse Berechnung: f(x) = 0

4. Steigung mDie Steigung einer Funktion ist durch das folgende Verhältnis definiert:

B A B A

B A B A

y y f (x ) f (x )ym

x x x x x

− −∆= = =

∆ − −

m>0: die Gerade steigt

m<0: die Gerade fällt

m=0: die Gerade verläuft waagerecht

B Ax x x∆ = −

B Ay y y∆ = −

A AA(x /y )

B BB(x /y )

x

y

c

N

Achtung Geraden der Form x = a gehen an der Stelle a durch die x-Achse und verlaufen senkrecht. Diese Geraden sind keineFunktionen.

Die (Delta) – Schreibweise gibt immer den Abstand bzw. die Differenz von zwei Werten an.





5. Funktionsgleichung einer Geraden

Eine Gerade ist durch die Steigung und den y-Achsenabschnitt festgelegt.

y = mx + b oder f(x) = mx + b

Zeichnen von Geraden

Anleitung wie man Geraden ohne Wertetabelle direkt aus der Kenntnis von Achsenabschnitt und Steigung zeichnen kann.

Beispiele:f(x) = –2x + 1g(x) = 2 1

3 2x −

Schritt 1: Markieren Sie den y-Achsenabschnitt c im Koordinatensystem untenfür f(x) gilt cf = 1für g(x) gilt cg = 1

2−Schritt 2: Stellen Sie den Wert für die Steigung m als Bruch dar. Ein negatives

Vorzeichen kann man dann dem Zähler oder Nenner zuordnen. Bedenken Sie dabei, dass man jede Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben kann. Hier gilt:

für f(x) gilt: f

Anzahl der Kästchen in y Richtung

Anzahl der Kästchen in x Richtung

2 2 ym 2

1 1 x

−

−

− ∆= − = = = = − ∆

für g(x) gilt: f

Anzahl der Kästchen in y Richtung

Anzahl der Kästchen in x Richtung

2 2 ym

3 3 x

−

−

− ∆= = = = − ∆

Schritt 3: Zeichnen Sie nun ausgehend vom y-Achsenabschnitt durch Abzählen der entsprechenden Anzahl von Kästchen jeweils ein Steigungsdreieck ein und zeichnen Sie danach die angegebenen Geraden f und g.

Aufgaben:

a) Zeichnen Sie mit dem gleichen Verfahrenauch die Funktionen

h(x) = –0,75x

k(x) = –3

b) Zeichnen Sie die Gerade x = –3

c)

d) Welche Bedeutung hat bezogen auf Angaben in einem Koordinatensystem der Quotient y

mx

∆=

∆

e) Aufgaben zu Geraden: Cornelson Klasse 11 Seite 15 Nr. 2 und 3

Das Vorzeichen im Bruch gibtan, ob man sich entlang derAchsen in negativer oder positiver Richtung bewegt-





3.2 Lagebeziehungen zwischen Geraden

Ergänzen Sie nach dem Zeichnen der Geraden die Überschriften und füllen Sie die jeweiligen Lücken im Text aus.

3.2.1 ________________ Geraden

Zeichnen Sie die beiden Geraden g1 und g2 in das Koordinatensystem ein und geben Sie an, wie die Geraden zueinander verlaufen:

g1(x) = 0,5x +3g2(x) = 0,5 x +1

Die Geraden sind ________________________

Merke: Zwei Geraden g(x) = mgx + cg und h(x) = mh + ch sind _____________________

(Schreibweise g hP ), wenn für die Steigungen gilt: mh = ___

3.2.2 _______________________ Geraden

Zeichnen Sie die beiden Geraden g1 und g2 in das Koordinatensystem ein und geben Siean, wie die Geraden zueinander verlaufen:

g1(x) = –2x + 3g2(x) = 0,5 x +1

Die Geraden sind ________________________

_______________________________________

Merke: Zwei Geraden g(x) = mgx + cg und h(x) = mh + ch sind ___________________________

(Schreibweise g h⊥ )wenn gilt:, mh =

Aufgaben: Cornelson 11 Seite 15 Nr. 4 und 7





3.2.3 Schnittpunkte von Geraden

Die beiden orthogonalen Geraden aus Aufgabe 3.2.2 schneiden sich. Lesen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts näherungsweise aus der Zeichnung ab :

Schnittpunkt: S( _______ / ________)

Um einen Schnittpunkt zu berechnen, verwendet man in der Regel das Gleichsetzungsverfahren (Man kann auch mit dem Additions- bzw. Einsetzungsverfahren arbeiten).

Merke: Berechnen des Schnittpunkts zwischen zwei Funktionen: Ansatz f(x) = g(x)

Berechnen des Schnittpunktes:

Schritt 1: Notieren des Ansatzes Schritt 2: Gleichsetzen der FunktionstermeSchritt 3: Auflösen der Gleichung nach xSchritt 4: Berechnen der y-Werte oder Funktionswerte durch Einsetzen von x in eine der beiden

Funktionsgleichungen. (Man verwendet die Funktionsgleichung, bei der der Rechenaufwand geringer ist)

Berechnen Sie den Schnittpunkt von g1(x) = –2x + 3 und g2(x) = 0,5 x +1 auf drei Dezimalstellen genau:

Ansatz: g1(x) = g2(x)–2x + 3=0,5 x +1

S( _____ / ______)

Ergänzung:

Nullstellen kann man als Schnittpunkt der Geraden g(x) mit der x-Achse betrachten. Da die x-Achse die Funktionsgleichung f(x) = 0 hat, ergibt sich für die Berechnung der Nullstellen der schon angeführte Ansatz f(x) = 0.

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen g1(x) = –2x + 3 und g2(x) = 0,5 x +1 und vergleichen Sie zur Probe die berechneten Werte mit der Zeichnung.

Nullstellen N1( _____ / ______) und N2( _____ / ______)





3.3 Rechnerische Bestimmung der Gleichung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten oder Bedingungen

Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(–2 / 3) und B(2 / 1)

Schritt 1 Einen der beiden Punkte (den mit den einfacheren Zahlen) auswählen und die x- und y-Koordinate notieren. (Es spielt für das Ergebnis keine Rolle welchen Punkt man verwendet)

Schritt 2 Die Koordinaten von beiden Punkten in die Steigungsformel einsetzen und m berechnen oder den Wert von m aus der in der Aufgabenstellung angegebenen Bedingung interpretieren.

Schritt 3 Die allgemeine Geradengleichung y = mx + c nach c umformen: c = y – mx.

Danach die unter Schritt 1 und 2 ermittelten Werte für y,m und x einsetzten und c berechnen

Schritt 4 Die gesuchte Gleichung ergibt sich, wenn man m und c in die allgemeine Form y = mx + c einsetzt

Bsp 1: Gegeben sind die Punkte P(3/2) und Q(2/4).

x = _____

y= ______

P Q

P Q

y yym

x x x

−∆= = = =

∆ − __________

c = y – mx = _____________________=________________

Funktion: g(x) = ____________________

Bsp 2: Gegeben ist die Gerade h(x) = –3x + 5. Gesucht ist die zu h parallele Gerade g(x) durch den Punkt P(2/2)

x = _____

y = ______

mg = __________ (m kann mit Hilfe der Bedingung g hP ermittelt werden.)

cg = y – mgx = _____________________=________________

Funktion: g(x) = ____________________





Bsp 3: Gegeben ist die Gerade h(x) = – 45 x + 4. Gesucht ist die zu h orthogonale Gerade g(x) durch

den Punkt P(2 / 3,5)

x = _____

y = ______

mg = h

1

m− =__________ (Vgl. Merksatz Steigung orthogonaler Geraden)

cg = y – mgx = _____________________=________________

Funktion: g(x) = ____________________

Bsp 4: Gesucht ist die zur ersten Winkelhalbierenden orthogonale Gerade g(x) durch den Punkt P(3 / 3)

x = _____

y = ______

mg = h

1

m− =__________

cg = y – mgx = _____________________=________________

Funktion: g(x) = ____________________

Bsp 5: Gesucht ist die zur zweiten Winkelhalbierenden parallel verlaufende Gerade g(x) durch den Punkt P(–1 / –3)

x = _____

y = ______

mg = __________

cg = y – mgx = _____________________=________________

Funktion: g(x) = ____________________

Verwenden Sie diesen Lösungsweg auch für Aufgaben aus dem Buch.

Übungen Cornelson 11: Seite 14 und 15 Nr. 2a,b und 3a,b sowie Seite 19 Nr. 9 und 10





4. Gleichungen höheren Grades

4.1 Quadratische Gleichungen

Für die Lösung von quadratischen Gleichungen haben Sie in der Sekundarstufe 1 das Lösungsverfahren der p,q-Formel bzw. der quadratischen Ergänzung erlernt. Dieser Weg ist jedoch nicht immer notwendig. Im Folgenden lernen Sie, wie man quadratische Gleichungen mit dem jeweils einfachsten und damit für Rechenfehler am wenigsten anfälligen Verfahren lösen kann.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet: ax² + bx + c = 0

4.1.1 Gleichungen in denen nur x² vorhanden ist, also b= 0 gilt

b = 0 ⇒ ax² – c = 0 Gleichung nach x² auflösenax² = c

x² = ca

x1,2 = ±ca

Positive und negative Lösung beachten

Ergänzung: Begründung für die positive und negative Lösung:

2

2

1 1

1 1

x t

x t

x t

x t x t

x t x t

also x t

=

⇒ =

⇒ =

⇒ + = ∨ − =

⇒ = + ∨ = −

= ±

Kommentar:

Wenn man aus der Lösungsariablen die Wurzel zieht muss man den Betrag beachten, da gilt: (+x)² = x² und (–x)² = x²

Wenn man die Betragsstriche weglassen will, muss man vor dem x beide Vorzeichen berücksichtigen.

Bringt man das Vorzeichen auf die rechte Seite ergeben sich eine positive und eine negative Lösung für die Gleichung

In den beiden folgenden Beispielen sind die Lösungen der Gleichung angegeben. Bestätigen Sie die angegebene Lösungsmenge durch Rechnung.

Beispiele: a) 2x² – 8 = 0

⇒ x1,2 = ± 4 IL= {±2}

b) 3x² + 6 = 0

⇒ x1,2 = ± –2 IL= {}





4.1.2 Gleichungen in denen kein Summand ohne x vorhanden ist, also c= 0 gilt

Der beste Lösungsweg ist hier alle Summanden auf die linkte Seite zu bringen und dann x auszuklammern.

c = 0 ⇒ ax² = bx Man darf auf keinen Fall durch x teilen!Alles nach links in die Form …= 0 bringen

ax² –bx = 0 x ausklammernx(ax – b) = 0 Fallunterscheidung: Ein Produkt ist Null,

wenn ein Faktor den Wert Null annimmt. D.h. entweder ist das x vor der Klammer Null oder der Ausdruck in der Klammer ist Null.

x1 = 0 ⇒ Erste Lösung ist 0

oder ax – b = 0 Die zweite Lösung ergibt sich aus dem Inhalt der Klammer

x2 = ba

Beispiel: 3x² = 9x Alles nach links bringen3x² – 9x = 0

x(3x – 9) = 0 x ausklammernx1 = 0

3x – 9 = 03x = 9x2 = 3 IL= {0 ; 3}

Begründen Sie, warum man in der ersten Zeile der Gleichung nicht durch x teilen darf:

4.1.3 Gleichungen in denen ein Summand mit x², x und ohne x vorhanden ist

In Gleichungen, bei denen x in mehreren Potenzen auftritt, sind immer alle Summanden auf die linke Seite in folgende die Form zu bringen: ax² + bx + c = 0Man kann diese Gleichungen dann mit Hilfe des Verfahrens der quadratischen Ergänzung lösen jedoch, wie hier vorgeschlagen, auch die p,q-Formel anwenden:

c ≠ 0; b ≠ 0 ⇒ ax² +bx+c = 0 durch a dividieren

x² +px+q = 0 mit p = ba und q =

ca

x1,2 = –p2 ± ( p

2 )2– q p,q- Formel





Beispiele: a)

2

1,2

1 2

2x² 6x 36

2x² 6x 36 0

x² 3x 18 0

3 3 3 9 3 81x 18 18

2 2 2 4 2 4

3 9 3 9x 3 x 6

2 2 2 2

+ =+ − =

+ − =

= − ± + = − ± + = − ±

= − + = ∨ = − − = − IL= {3; –6}

Anmerkung: Das Zeichen " ∨ " bedeutet oder

b) Überprüfen Sie die Lösung durch ausführliche Rechnung und begründen Sie, warum die Lösungsmenge hier leer ist.

4x – 8 = 2x² ⇒ x1,2 = 1 ± –3 IL= {}

c) Überprüfen Sie die Lösung durch ausführliche Rechnung.

x² – 6x + 9 = 0 ⇒ x1,2 = 3 IL= {3}





4.2 Biquadratische Gleichung ax4 +bx2+c = 0 mit der Methode der Substitution lösen

ax4 +bx2+c = 0 durch a dividieren; p = ba und q =

ca

z² +pz+q = 0 Substitution x4 = z2

x2 = z

z1,2= –p2 ± ( p

2 )2– q p,q- Formel für z

z1= u ∨ z2= v

⇒ x² = u ∨ ⇒ x² = v Rücksubstitution z = x²

⇒ x1,2= ± u ∨ ⇒ x3,4= ± v x berechnen

Beispiel: 2x4 – 6x2 +4 = 0 durch 2 dividieren

x4 – 3x2 +2 = 0 Substitution x4 = z2

x2 = zz² – 3z +2 = 0

1,2

3 9 3 1 3 1z 2

2 4 2 4 2 2= ± − = ± = ± p,q-Formel anwenden

z1= 1 ∨ z2= 2

⇒x² = 1 ∨ ⇒ x² = 2 Durch Rücksubstitution z = x² Lösungen für x berechnen

⇒ x1,2= ± 1 = ±1 ∨ ⇒ x3,4= ± 2 =

IL= {–1, 1, – 2 , 2 }

4.3 Übungen zum Umgang mit Quadratischen und Biquadratischen Gleichungen

a) 5 – 3x² = 22 IL= { }b) x² – 7x +2 = 10 IL= {–1; 8}c) x4 – 13x2 +36 = 0 IL= {±3;±2}d) 4x² + 12x = 0 IL= {0; –3}e) 0,5 x4 – x² +5 = 0 IL= {}f) 2x4 – 3x2 – 20 = 0 IL= {±2}g) 9x² + 12x + 4 = 0 IL= {– 2/3}h) 3x² = 5x IL= {0; 5/3}i) 4x4 + x² + 1 = 1 IL= {0}j) 11a² + 2(a+1) = 8a² + 9a IL= {2;1/3}k) 3(5–2z) – z(12z–2) = 10 IL= {–5/6; 1/2}l) t(3t–7) – (t+2)² = t–4 IL= {6; 0}m) (3k+5)² – k(7k–3) = 29k + 45 IL= {–1 ± 11 }n) (1+x)(2+x)(3+x) + (1–x)(2–x)(3–x) = 204 IL= {± 4}o) (3r–4)² – (4r–3)² + (5r–2)(5r+2) = 18(r+2) + 3 IL= {2; –1}p) (y+3)(y+4)(y+5) – (y–3)(y–4)(y–5) = 984 IL= {± 6}q) (2w+5)² + (3w+6)² + (w–2)² = (1–2w)² IL= {–4; –8/5}r) * x² + bx – 2b² = 0 IL= {b; –2b}s) * 3a²x² + 4ax +1 = 0 IL= {–1/a; –1/3a}t) * ax² + ax + x + 1 = 0 IL= {–1; –1/a}





4.4 Ergänzende Zusatzaufgaben als vertiefende Übungen

1. a) xx

x 59

21

2=−

b)25

41

5

2

5

52 −

=++

+−+

xx

x

x

x c)2

3

4

9

2

12

2

−−

=−

−++

x

x

x

x

x

x

2. a)1

2

4

2

2=

++

− xx

b)2

210

6

31

5=

+−

− xx

3. a)3

4

4

12

12

4=

++

++

−x

x

x

x b)5

6

5

6

3

5

−=

++

− xxx

c)154

5

15

10

−=+

++

y

y

yy

y d)

4

1021

22

3

4

52

2

2 −−

=++

+−

−− x

x

x

x

xx

x

e)9

20

3

7

3

132 −

=+−

+−+

y

y

y

y

y

y f) 9

1

81

x x+− = − g)

13

54

2

47+=

−+

−z

z

z

z

z

h)12

1

5

23

5

32=

−−

−+−

x

x

x

x i)1

14

14

45

7=

++

− xx

4. a) 045 24 =+− xx b) 16)5( 22 =−y c)

24 1615 zz =+

5. a)22

28

ax

a

ax

ax

ax

ax

−=

+−

−−+ b)

2=+x

b

b

a c)10

3

8=

− xa

a

d)1

2

2=

−−

bx

ax e)bx

b

ax

a

−=

−f)

b

a

bxa

axb=

+−

g)2

2

4

1

1

1

x

a

a

−=

−

h)2

2 441

x

aa

a

+−=

4.5 Erweiterungsaufgaben: Wurzelgleichungen

a) 515 =−+ xx b) 23 −= xx c) 798 −=−+ xx

d) xx =+ )3(4 e) 5943 −=++ xx f)01

4

11 =+++ yy

4.6 Erweiterungsaufgaben: Quadratische Ungleichung

Bei quadratischen Ungleichungen führt die Anwendung der p,q-Formel häufig zu Fehlern bei der Bestimmung der Lösungsmenge. Man sollte hier als Lösungsmethode die quadratische Ergänzung verwenden. Verdeutlichen Sie sich den Lösungsweg im folgenden Beispiel 1.

2 0x 6x 5 >+ +

Am besten formt man die Ungleichung so um, dass auf der linken Seite der Teil steht, den man zum Binom ergänzen möchte. Hier subtrahiert man also auf jeder Seite 5

2x 6x 5+ > −Im nächsten Schritt führt man die quadratischen Ergänzung durch, indem man hier auf jeder Seite der

Ungleichung 9 addiert2x 6x 9 5 9+ + > − +

Nun fasst man die linke Seite als Binom zusammen

2(x 3) 4+ >

Im nächsten Schritt zieht man auf beiden Seiten die Wurzel. Da man allerdings beachten muss, dass sich bei der Umkehroperation, nämlich dem Quadrieren aus (x+3) und –(x+3) der Ausdruck (x+3)² ergibt, setzt man die linke Seite der Ungleichung zunächst in Betragsstriche.

x 3 2+ >





Für das Weglassen von Betragsstrichen in Gleichungen oder Ungleichungen gilt folgende Regel:

Man lässt beim Lösen von Gleichungen oder Ungleichungen mit Beträgen die Betragsstriche weg, indem man den Ausdruck

zwischen den Betragsstrichen in Klammern setzt und einmal ein Plus + und einmal ein Minus – vor die Klammer schreibt. Man

erhält so zwei Ungleichungen.

(x 3) 2+ + > oder (x 3) 2− + >

Nun werden beide Gleichungen getrennt voneinander gelöstx 3 2+ > oder x 3 2− − >

x 5− >

Die Lösungsmenge lautet dannx 1> − oder x 5< −

Beispiel 2:

x² 2x 1 2

x² 2x 1 4

(x 1)² 4

(x 1)² 4

x 1 2 (x 1) 2 oder (x 1) 2

x 1 2 oder x 1 2

x 3

x 1 oder x 3

+ − >+ + >+ >

+ >

+ > ⇒ + + > − + >

+ > − − >− >

> < −

Kommentar

Linke Seite so umformen, dass ein Binom entsteht, indem auf beiden Seiten 2addiert wird

Beim Wurzelziehen auf den Betrag achten und damit auf die positive und negative Lösung achten.

Für beide Lösungen x getrennt berechnen

Aufgabe 1:

Geben Sie die Aufgabe in Derive ein und vergleichen Sie die angezeigte Lösung. Welches Zeichen wird in der Mathematik und bei Derive für "oder " verwendet?

_______________________________________

Aufgabe 2:Geben Sie die Aufgabe 2 0x 6x 5+ + ≤ in Derive ein und vergleichen Sie die Lösungsmenge mit dem Beispiel 1. Stellen Sie dazu beide Lösungsmengen jeweils auf einem Zahlenstrahl dar.

Aufgabe 3:

Bearbeiten Sie S.38 im Buch die Aufgaben 36 a) – f) handschriftlich im Heft. Vergleichen Sie Ihre Lösung mit Derive und stellen Sie die Lösungsmengen jeweils auch auf dem Zahlenstrahl dar.





5. Ganzrationale Funktionen 2. Ordnung – Parabeln

5.1 Strecken, stauchen und verschieben von Parabeln

1. In den Abbildungen unten sind Parabeln 2. Ordnung dargestellt. Entscheiden Sie, welchem Zahlenbereich der Parameter c zugeordnet ist:

b) Zeichnen Sie zunächst die Normalparabel f(x) und skizzieren Sie die angegebenen Funktionen g,h und k ohne erneut eine Wertetabelle zu erstellen durch Strecken und Stauchen der Normalparabel.

f(x) = x² g(x) = 12 x²

h(x) = 2x² k(x) = 13 x²

a)

x

y

f(x) = cx² mit c∈_____

Formulieren Sie die Bedeutung von c in Worten:

......................................................................

......................................................................

......................................................................

Welche Form (gestreckt/gestaucht) hat die Parabel, wenn c in den angegebenen Wertebereichen liegt?

c=1 ................................................................

c>1 ...............................................................

0<c<1 ............................................................

1 2 3 X4 123

1

2

3

4

5

6

7

8

Y

Formulieren Sie allgemein, wie man die gestreckten und gestauchten Parabeln mit Hilfe der Wertetabelle für die Normalparabel zeichnen kann, ohne für jede Parabel eine neue Wertetabelle erstellen zu müssen:





2. In den Abbildungen unten sind Parabeln 2. Ordnung dargestellt. Entscheiden Sie, welchem Zahlenbereich der Parameter c zugeordnet ist.

b) Zeichnen Sie zunächst die zur Normalparabel gespiegelte Funktion f(x) und skizzieren Sie die angegebenen Funktionen g,h und k ohne erneut eine Wertetabelle zu erstellen durch Strecken und Stauchen der Normalparabel.

f(x) = – x² g(x) = – 12 x²

h(x) = – 2 x² k(x) = – 14 x²

a)

x

y

f(x) = cx2 mit c∈____

Bedeutung von c:

......................................................................

......................................................................

......................................................................

Welche Form (gestreckt/gestaucht) hat dieParabel, wenn c in den angegebenen Wertebereichen liegt?

c= ___ ...........................................................

c< ___ ...........................................................

__<c<__ ........................................................

1 2 3 X4 123

1

2

3

4

5

6

7

8

Y





3. Hier verschiebt der Parameter c die Parabelnnach oben bzw. nach unten. Geben die Funktionsgleichungen der 4 verschobenen Normalparabeln an.

b) Skizzieren Sie die angegebenen Funktionen ohne Wertetabelle, indem Sie die Regeln zum Strecken, Stauchen und Verschieben anwenden.

a) Allgemeine Gleichung: f(x) = x² +c

-1-2-3 1 2

3

1

2

-1

-2

-3

3

1 2

3

4

f1(x) = ___________

f2(x) = ___________

f3(x) = ___________

f4(x) =

f(x) = x² + 2 h(x) = 0,5x² –1 g(x) = –0,5x² +1

1 X

Y

1

3. Hier verschiebt der Parameter c die Parabeln nach links bzw. nach rechts. Geben die Funktionsgleichungen der 4 verschobenen Normalparabeln an.

b) Skizzieren Sie die angegebenen Funktionen ohne Wertetabelle, indem Sie die Regeln zum Strecken, Stauchen und Verschieben anwenden.

a) Allgemeine Gleichung: f(x) = (x − c)2

-1-2-3 1 2

3

1

2

3

41 2 3

f1(x) = ___________

f2(x) = ___________

f3(x) = ___________

f4(x) = ___________

f(x) = (x – 2)² g(x) = (x + 1)² h(x) = – 0,25(x – 1)²





5. Geben Sie die Funktionsgleichungen für nebenstehende Parabeln an

f1(x) = _______________

f2(x) = _______________

f3(x) = _______________

f4(x) = ________________

-1-2-3 1 2

3

1

2

-1

-2

-3

3

4

1 2

3

6. Formulieren Sie, welche Bedeutung die Parameter a,b,c im Funktionsterm einer Parabel f(x) = a(x–b)²+c haben?

5.2 Ermitteln der Scheitelpunktsform einer Parabel durch quadratische Ergänzung

Im vorangegangenen Kapitel haben Sie gelernt, wie man durch stauchen, strecken und verschieben eine Parabel zeichnen kann, wenn die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktsform gegeben ist. Hier lernen Sie, wie man mit dem Verfahren der quadratischen Ergänzung eine in der Form f(x) = ax² + bx +c gegebene Parabel, zwecks Zeichnung, in die Scheitelpunktsform umformen kann.

Beispiel 1

f (x) x² 4x 6

f (x) x² 4x 4 4 6

f (x) (x² 4x 4) 2

f (x) (x 2)² 2

= + += + + − +

= + + +

= + +

Kommentar

+4 wird ergänzt, um ein Binom zu erzeugen. 4 wird sofort wieder subtrahiert, damit kein Fehler entsteht. Das nennt man quadratische Ergänzung.

Binom in Klammern setzen und danach umformen.

Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform.

Beispiel 2

[ ][ ][ ]

f (x) 2x² 4x 6

f (x) 2[x² 2x 3]

f (x) 2 (x² 2x 1 1 3

f (x) 2 (x² 2x 1) 2

f (x) 2 (x² 1)² 2

f (x) 2(x 2)² 4

= + += + +

= + + − +

= + + +

= + +

= + +

Kommentar2 ausklammern und den Restterm in eckige Klammern setzen, damit in der Klammer vor x² nichts mehr steht.

Quadratische Ergänzung in der Klammer durchführen.

Auflösen der eckigen Klammern liefert dieFunktionsgleichung in Scheitelpunktsform.

Aufgaben: Cornelson 11 Seite ______ Nr. ___________





5.3 Achsenabschnitte und Nullstellen von Parabeln

Wie Sie im Kapitel 5.1 gelernt haben kann man Parabeln aus der Normalparabel durch Verschieben Stauchen und Strecken erzeugen. Man kann Parabeln jedoch auch skizzieren, wenn man den y-Achsenabschnitt und die Nullstellen berechnet. Man erhält hierdurch drei Punkte, die oftmals für eine grobe Skizze, bei der es nicht auf den genauen y-Wert des Scheitelpunkts ankommt, ausreichen.

5.3.1 Berechnen des y-Achsenabschnitts c von f(x) = ax² +bx + c

Merke: Der y-Achsenabschnitts einer Funktion durch Einsetzen von Null in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c berechnet. Ansatz: f(0) = c

5.3.2 Berechnen der Nullstelle

Merke: Die Nullstelle einer Funktion wird durch Nullsetzen der Funktion und durch Lösen der entstanden quadratischen Gleichung berechnet Ansatz: f(x) = 0

5.3.3 Übungsaufgaben

1. Gegeben sind die Parabeln f(x) = x²+3, g(x) = 3x² – 2x und h(x) = x² + 2x + 1a) Geben Sie die drei Funktionsgleichungen jeweils in der Scheitelpunktsform an und zeichnen

Sie die Funktionen in einem geeigneten Koordinatensystemb) Lesen die die Achsenabschnitte und ggf. Nullstellen jeweils aus der Zeichnung ab und

bestätigen Sie deren genaue Lage durch Rechnung im Heft auf 3 Dezimalstellen genau.c) Ergänzen Sie den folgenden Satz:

Der x–Wert des Scheitelpunkts xS bei einer Parabel liegt immer genau in der Mitte zwischen

den x–Werten der ________________________________. Eine Parabel ist immer

__________________symmetrisch zur senkrechten Geraden x = xS

2. Ergänzen Sie folgende Sätze:Bei der Lösung von quadratischen Gleichungen mit der p,q-Formel kann es zwei unterschiedliche Lösungen, eine Lösung und keine Lösung geben.

Man erhält zwei Lösungen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel

Man erhält eine Lösung, wenn der Ausdruck unter der Wurzel

Man erhält keine Lösung, wenn der Ausdruck unter der Wurzel

Eine Parabel hat zwei Nullstellen, wenn die p,q-Formel

Eine Parabel hat eine Nullstellen, wenn die p,q-Formel

Eine Parabel hat keine Nullstellen, wenn die p,q-Formel





3. Bestimmen Sie für nebenstehende Parabeln:

a) die Funktionsgleichung

1.

2.

3.

4.

5.

6.

b) den y-Achsenabschnitt durch Ablesen bzw. durch Berechnung

c) die Nullstellen durch Ablesen aus der Zeichnung und Berechnung

1 2 3

4

5 6

4. Aufgaben aus dem Schulbuch Cornelson 11 Seite _____ Nr._____





5.4 Schnittpunktsberechnungen

Genau wie bei Geraden berechnet man den Schnittpunkt von zwei Parabeln oder einer Parabel mit einer Geraden durch Gleichsetzten der Funktionsgleichungen.

5.4.1 Lagebeziehungen von Parabel und Gerade

Gegeben sind die Parabel f(x) = (x–1)² +1 sowie die Geraden g(x) = x+2, h(x) = x–2 und k(x) = 2x–2. Lässt man die drei Funktionen zeichnen (z.B. mit Derive) erhält man folgende Abbildung:

Man erkennt, dass die Geraden die Parabel schneiden, berühren und an ihr ohne gemeinsame Punkte vorbeigehen können.

Aufgabe 1

Ermitteln Sie mit welchen Fachbegriffen man die in der Abbildung dargestellten Lagebeziehungen von Parabel und Gerade bezeichnet. (Schulbuch)

g(x) ist __________________________________

h(x) ist __________________________________

k(x) ist __________________________________

Aufgabe 2Berechnen Sie jeweils im Heft die Schnittpunkte der drei Geraden mit der Parabel, indem Sie die entstehenden Gleichungen mit der p,q-Formel lösen und vervollständigen Sie die folgenden Sätze:

Eine Parabel und eine Gerade haben zwei Schnittpunkte, wenn die p,q- Formel

____________________________________________________________________________

Eine Parabel und eine Gerade haben einen Berührpunkt, wenn die p,q- Formel

____________________________________________________________________________

Eine Parabel und eine Gerade haben keine gemeinsamen Punkte, wenn die p,q- Formel

____________________________________________________________________________

Aufgabe 3Zeichen Sie zu jeder Aufgabe die Parabel und die Geraden im Heft in ein gemeinsames Koordinatensystem. Entscheiden Sie dann aufgrund der Zeichnung, ob die Geraden Sekanten, Tangenten oder Passanten sind. Überprüfen Sie diese Ergebnisse jeweils durch Berechnung und ggf. mit Hilfe des Programms Derive

3.1 f(x) = (x – 1)² + 1 g(x) = x + 2 h(x) = x – 2 k(x) = 2x – 2

3.2 f(x) = (x + 2)² – 3 g(x) = 2x + 4 h(x) = x – 2 k(x) = –2x – 8

3.3 f(x) = – (x – 1)² + 3 g(x) = –2x + 6 h(x) = 3x + 3 k(x) = 0,5x – 5

Aufgabe 4*Gegeben sei die Parabel f(x) = – (x + 4)² +6 und die Gerade g(x) = –2x – 5. Bestimmen Sie die Schnittpunkte S1 und S2 der Parabel und der Geraden. Wie lauten die Gleichungen g1(x) und g2(x) der zu g(x) senkrechten Geraden durch S1 und S2.





6. Gleichungen 3. und höheren Grades

6.1 Lösungsverfahren

6.1.1 Ausklammern von Termen

ax4 +bx3+cx2 = 0 kleinste Potenz von x ausklammernx2(ax² +bx+c) = 0 Fallunterscheidung wie beim Ausklammern bei quadratischen

Gleichungenx1,2 = 0 Erste Lösung ist 0

oder ax² +bx+c = 0 weitere Lösungen mit p,q-Formel berechnen

Beispiel: 2x3 + 5x2 – 7x = 0x(2x² + 5x – 7) = 0

x1 = 02x² + 5x – 7 = 0

x² +52 x –

72

= 0

x2,3 = –54 ±

2516 +

5616 = –

54 ±

8116

x2 = 1x3 = –3,5 IL= {0; 1; –3,5}

6.1.2 Fallunterscheidung bei Produkten aus mehreren Klammern

Es treten häufig auch Gleichungen auf, bei denen der Term schon aus einem Produkt aus mehreren Klammern besteht. Hier darf man auf keinen Fall die Klammern ausmultiplizieren, sondern man löst die Gleichung wie folgt:

(x–a)(x–b)(x+c) = 0 Das Produkt aus den drei Klammern ist genau dann Null, wenn eine der drei Klammern den Wert Null annimmt. Daher muss man für jede Klammer einzeln berechnen, für welchen Wert sie Null wird.

x–a = 0 ∨ x–b = 0 ∨ x+c = 0x1 = a ∨ x2 = b ∨ x3 = –c

6.1.3 Vermischte Übungen zum Lösen von Gleichungen mit den bisher erlernten Verfahren.

1. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen.

a) 3x² =0 0 b) 6 – t² = 0 ± 6

c) 4x² – 8x + 4 = 0 1 d) x² – 5x = –6 3 ; 2

e) (x–2)(x+5)=0 2 ; –5 f) 3x² + 9 – 2x = 0 { }

g) 0,2t² – 1,2t = 0 0 ; 6 h) (x²–1)(x+2)(x²+3)=0 1; –1;–2

i) 4x² +x +15 = 0 { } j) x² – x – 30 = 0 6; –5

k) 2x5 – 8x³ = 0 0; ±2 l) 3x² – 4,8x – 1,08 = 0 1,8; –0,2

m) 9x² – 6x + 1 = 0 13

n) 2(3v – 1)² = (6v + 1)² – v + 1 0; –2318

o) 0,5 + 4,5t² = 0 { }p) 3x² –

13 x4 = 0

0; ± 3

q) ( x + 2)² – (x – 7)² = x² 15; 3 r) 0,4x² – 0,5x = 0 0; 54





2. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen.

a) (1 – x²)² = 0 ±1 b) 4x – x² = 0 0; 4

c) (x²+1)(x²+2)=0 { } d) x³ – 6x² = – 5x 0; 5; 1

e) 100 x³ + 80x² – 9x = 0 0; –0,9; 0,1 f) x4– 13x² +36 = 0 ± 3; ± 2

g) 0,4 z² – 0,5 = 0 ±12 5 h) (x²+2x+1)(x–3)=0 –1; 3

i) 16x4 – 40x² +9 = 0 ±1,5; ± 0,5 j) (2x² – 18)² = 0 ± 3

k) (x–2)²=0 2 l) 0,4(1,2+0,4x)³=0 –3

m) x³ – 2x² = 8x 0; 4; –2n) 8 –

16 x² –

13 x = 0

6; –8

o) – 2,7t² + 1,1t + t³ = 0 0; 2,2; 0,5 p) 32x4 – 2x² – 9 = 0 ±34

6.1.4 Lösungsverfahren Polynomdivision

ax3 +bx2+cx+d = 0 x kann man nicht ausklammern, da bei d kein x vorhanden ist

1. Schritt: Erraten der ersten Lösung: x = x1

Lösung ist ganzzahliger Teiler des Summanden ohne x(Begründung folgt im nächsten Kapitel)

2. Schritt: Polynomdivision mit (x – x1)

3. Schritt: weitere Lösungen ggf. mit p,q-Formel berechnen

Beispiel: 18x³ – 27x² – 17x– 2 = 0

1. Schritt: Raten mit x = 1 ⇒ 18 – 27 –17 – 2 = 28 ≠ 0x = –1 ⇒ –18 – 27 +17 – 2 = – 30 ≠ 0x = 2 ⇒ 144 – 108 – 34 – 2 = 0 ⇒ x1 = 2

2. Schritt: Polynomdivision mit (x – 2)

(18 x³ – 27 x² – 17 x– 2 ) : ( x – 2 ) = 18x² + 9x + 1

18 x³ – 36 x²

9 x² – 17 x

9 x² – 18 x

x – 2

x – 2

0

3. Schritt 18x² + 9x + 1 = 0

p,q Formel liefert x2 = –13 und x2 = –

16 ⇒ IL= {2; –

13 ; –

16 }

Sie kennen nun alle für Sie relevanten Lösungsmethoden für Gleichungen. Auf der nächsten Seite ist die Vorgehensweise zum Auffinden der besten Lösungsmethode bei der Lösung von Gleichungen mit Hilfe eines Ablaufdiagramms zusammengefasst.





6.2 Ablaufdiagramm zum Lösen von Gleichungen höherer Ordnung

Es kommt nureine Potenz von x vor:

x2, x3 oder x4 etc.

Gleichung nach x2, x3 oder x4

auflösen und entsprechendeWurzel ziehen.

Achtung: wenn Potenz geradepositive und negativeLösung beachten

jaEs kommt in jedem Summand

irgendein xn vor

x so ausklammern, dass einSummand kein x mehr hatxn ( ............. ) = 0dann Fallunterscheidung:

Alles nach links in die Form........... = 0

bringen

ja

nein

Gleichung so umformen, dass vor x2 nichts mehr steht:x2 + px +q = 0dann p,q-Formel anwenden.

nein1. n Lösungen ergeben sich aus:

xn =0

2. Weitere Lösungen:Klammer Null setzen und daraus entstandene Gleichung lösen

x2 ist die größte Potenz von x

ja

Lösungsverfahren Polynomdivision anwenden.

nein

Start

Gleichung hat die Form

(...) (...) (...) = 0(...)n =0

Inhalt jeder Klammer nacheinanderNull setzen und x jeweils bestimmen.

nein

ja

Gleichunghat die Form

a x4 + bx2 + c = 0

Substitution x4 = z2 und x2 = z.Gleichung so umformen, dass vorz2 nichts mehr steht: z2 + pz +q = 0dann p,q-Formel für z anwenden.Rücksubstituieren z = x2; jeweils doppelte Lösung bei Wurzel beachten.

1. Erraten erste Lösung: x = a2. Polynomdivision mit: (x - a)3. Ergebnis der Polynomdivision

Null setzen und entstandeneGleichung lösen.

ja

nein

Es kommt nureine Potenz von x vor:

x2, x3 oder x4 etc.

Gleichung nach x2, x3 oder x4

auflösen und entsprechendeWurzel ziehen.

Achtung: wenn Potenz geradepositive und negativeLösung beachten

jaEs kommt in jedem Summand

irgendein xn vor

x so ausklammern, dass einSummand kein x mehr hatxn ( ............. ) = 0dann Fallunterscheidung:

Alles nach links in die Form........... = 0

bringen

ja

nein

Gleichung so umformen, dass vor x2 nichts mehr steht:x2 + px +q = 0dann p,q-Formel anwenden.

nein1. n Lösungen ergeben sich aus:

xn =0

2. Weitere Lösungen:Klammer Null setzen und daraus entstandene Gleichung lösen

x2 ist die größte Potenz von x

ja

Lösungsverfahren Polynomdivision anwenden.

nein

Start

Gleichung hat die Form

(...) (...) (...) = 0(...)n =0

Inhalt jeder Klammer nacheinanderNull setzen und x jeweils bestimmen.

nein

ja

Gleichunghat die Form

a x4 + bx2 + c = 0

Substitution x4 = z2 und x2 = z.Gleichung so umformen, dass vorz2 nichts mehr steht: z2 + pz +q = 0dann p,q-Formel für z anwenden.Rücksubstituieren z = x2; jeweils doppelte Lösung bei Wurzel beachten.

1. Erraten erste Lösung: x = a2. Polynomdivision mit: (x - a)3. Ergebnis der Polynomdivision

Null setzen und entstandeneGleichung lösen.

ja

nein





6.3 Vermischte Übungen zur Lösung von Gleichungen höherer Ordnung. Die Lösungen sind jeweils kursiv gedruckt.

1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Hilfe der Polynomdivision, indem Sie die erste Lösung erraten. Die Lösungen sind in ungeordneter Reihenfolge anschließend angegeben.

a) x³ – 6x² +11x – 6 = 0 b) 25x³ – 75x² + 54x – 8 = 0

c) x³ – 10x² + 29x – 20 = 0 d) 4x³ – 3x – 1 = 0

e) x³ +6x² +11x +6 = 0 f) 4x³ – 13x + 6 = 0

g) x³ + 6x² – 16 = 0 h) x5 + 3x4 – 6x³ – 10x² + 21x – 9 = 0

i) x5 + 5x4 + 6,25x³ – 2,5x² – 5x + 2 = 0

j) x5 + 2x4 – 41x³ – 82x² + 400x + 800 = 0

Lösungen in ungeordneter Reihenfolge:

1; 4; 5 –1; –2;–3 –2; 1,46; –5,46 2; 0,8; 0,2

-2; ±4; ±5 1; 2; 3; 0,5; 1,5; –2 -2; 0,5

1; –0,5 0,5; 1,5; –2

2. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungen, indem Sie jeweils das für die Aufgabenstellung günstigste Lösungsverfahren wählen. Verwenden Sie dazu das Ablaufdiagramm.

a) 16x³ = 12x² 0; 0,75 b) (2x + 4)(3 – x)(5 – 10x) = 0 –2, 3; 0,5

c) 12x4 – 44x² = 16 2;–2 d) 3x³ + 7x² =11x 0, 1,08; –3,41

e) (x² + 4)(x² – 9) = 0 3; –3 f) 3x³ – 7x² +8x – 12 = 0 2

g) (x + 2)²(x –1)³ = 0 –2, 1 h) (0,25x +1)² = (0,5x +1)² 0; –8/3

i) 0,5x³ + 3x² = 8 –2; –5,46; – 1,46 j) ax(x² + a)(x + 2a) = 0 0; –2a

k) x4 – 2ax³ + a²x² = 0 0, a l) (t + 1)x = 2tx² 0; 1/(2t) + 1/2

m) kx(2x² – k)²(x² – 2k) = 0 0; ± 2k ;

±k2

n) ax4 – (a+1)x² +1 = 0 1, –1, 1/a ;–

1/a





6.4 Gleichungen und ganzrationale Funktionen mit ihren Nullstellen

6.4.1 Quadratische Funktionen in der Darstellung mit Linearfaktoren und als Polynom

In der Tabelle unten sind jeweils der Funktionsgraph, die Nullstellen und die Funktionsgleichung in polynomialer Darstellung (d.h. als Summe) und in fakorisierter Darstellung (d.h. als Produkt von Klammerausdrücken) angegeben.

a) Zeigen Sie jeweils durch ausmultiplizieren der Klammern, dass beide Darstellungen der Funktionsgleichung äquivalent (d.h. identisch) zueinander sind.Raum für Berechnung:

f(x) = (x+1)(x–2) g(x) = –(x+2)(x–1,5) h(x) = 0,5(x–3)(x-1)

Funktionsgleichung in polynomialer Darstellung als Summe

Funktionsgleichung in faktorisierter Darstellung mit Linearfaktoren

Graphische Darstellung der Funktion

Nullstellen

f(x) = x² – x – 2 f(x) = (x+1)(x–2) N1(2 / 0)N2( –1 / 0)

g(x) = –x²–0,5x +3 g(x) = –(x+2)(x–1,5) N1(–2 / 0)N2( 1,5 / 0)

h(x) = 0,5x²–2x+1,5 h(x) = 0,5(x–3)(x-1) N1(1 / 0)N2( 3 / 0)

b) Vergleichen Sie für jede Funktion die Zahlenwerte in den Klammern der faktorisierten Dar-stellung der Funktionsgleichung mit den Nullstellen. Formulieren Sie einen Zusammenhang.





6.4.2 Allgemeines zu Eigenschaften von Polynomen und den zughörigen ganzrationalen Funktionen

Def.: Polynom:Die folgenden Ausdrücke nennt man Polynome:

Polynom 5-ten Grades: a5x5 + a4x4 + a3x³ + a2x² + a1x + a0

Polynom n-ten Grades: an xn + an–1xn–1 + an–2xn–2+ ... + a2x² + a1x + a0

Polynome entsprechen den Funktionstermen von ganzrationalen Funktionen. Sie entstehen bei der Multiplikation von Summen:

Bsp.: f(x) = (x – 1)(x + 2)(x – 2) = x³ – x² – 4x + 4g(x) = (3x – 2)(0,5x + 1)(x – 1) = 1,5 x³ + 2,5x² – 2x – 2

Die Faktoren (x – 1)(x + 2)(x – 2) nennt man Linearfaktoren des Polynoms x³ – x² – 4x + 4

Zwischen den Linearfaktoren und der Lösung von Gleichungen bzw. den Nullstellen einer ganzrationalen Funktion, hier z.B. f(x) = 0, besteht folgender Zusammenhang:

x1 = 1Bsp.: x³ – x² – 4x + 4 = 0 ⇒ (x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0 ⇒ x2 = –2

x3 = 2Man kann also die Lösungen der Gleichungen bzw. die Nullstellen einer Potenzfunktion aus den

Linearfaktoren ablesen. Das Produkt aller Lösungen, also hier: 1.(–2).2 = – 4 ergibt in der Gleichung den Summanden ohne x. (Vgl. Hinweis im Kapitel 6.1.4)

Wenn gilt: an xn + an–1xn–1 +... + a1x + a0 = (x – xn) (x – xn-1) .... (x – x1) (x – x0)

dann sind die Werte xn, xn-1, ..., x1, x0 Lösungen der Gleichung bzw. die Nullstellen der zugehörigen ganzrationalen Funktion:

an xn + an–1xn–1 +... + a1x + a0 = 0 wobei xn, xn-1, ..., x1, x0 Teiler von ao sind.

Aufgaben:1. Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen:

a) a(x) = (x + 3) (x – 5) (x –12 ) (x + 1) IL= { ___________________ }

b) b(x) = (x – a) (x + a) (x – 2a) IL= { ___________________ }

c) c(x) = (2x – 3) (x² – 4) IL= { ___________________ }

d) d(x) = (x² + 9)(x² –1)(x² + 10x +25) IL= { ___________________ }

2. Ordnen Sie den folgenden Polynomen ein passendes Produkt zu.1) (x + 5) (x – 6)(x + 7) 1) →

a) x³ – 1,5x² – 25x – 12 2) (x + 2,5)(x – 6)(x + 7) 2) →b) x³ + 4x² –17x – 60 3) (x + 2)(x–5)(x – 9)(x + 25) 3) →c) x³ + 6x² – 37x – 210 4) (x + 4)(x – 6)(x + 0,5) 4) →d) x³ + 3,5x² – 39,5x – 105 5) (x + 2)(x – 8)(x + 6)(x – 5) 5) →e) x4 – 6x³ – 32x² + 150x + 175 6) (x + 4)(x – 6)(x – 2) 6) →f) x4 – 5x³ – 52x² + 164x + 480 7) (x + 3)(x – 4)(x + 5) 7) →

8) (x + 1)(x + 5)(x – 7)(x – 5) 8) →





6.5 Ganzrationale Funktionen höherer Ordnung – Nullstellen – Polynome

In den Abbildungen sehen Sie jeweils den Graph einer Funktion.a) Ermitteln Sie zu jeder Funktion durch Ablesen die Nullstellen.b) Berechnen Sie die Nullstellen.c) Geben Sie den Funktionsterm in faktorisierter Form an.

Funktion 3. Grades Funktionsgleichung in polynomialer und faktorisierter Darstellung

Funktion 4. Grades Funktionsgleichung in polynomialer und faktorisierter Darstellung

Nullstellen:

f(x) = x³ + x

f(x)=__________________

Nullstellen:

a(x)=0,5x4–1,5x²+2

a(x)=________________________

Nullstellen:

g(x)=x³–3x+2

g(x)=__________________

Nullstellen:

b(x)=x4+x³–3x²–x+2

b(x)=________________________

Nullstellen:

h(x)=x³–3x²+3x–2

h(x)=_________________

Nullstellen:

c(x)= –x4+2x²–2

c(x)=________________________

Nullstellen:

f(x) = x5 – x3

f(x)=__________________

Nullstellen:

d(x)=x4–2x³+2x²–2x+1

d(x)=________________________

Nullstellen:

f(x) = x³+2x²–x–2

f(x)=_________________

Nullstellen:

e(x)=x4 – 4x²

e(x) =__________________

d) Untersuchen Sie die abgebildeten Funktionen auf die Anzahl ihrer Nullstellen und ergänzen Sie die folgen Aussagen:Die _________________ kann man durch Ablesen aus der faktorisierten Darstellung ermitteln.

Die Berechnung der Nullstellen einer

Funktion 3. Grades führt zu einer

Gleichung ___ Grades. Funktionen 3.

Grades haben mindestens ______ und

höchstens _______ Nullstellen

Die Berechnung der Nullstellen einer Funktion 4.

Grades führt zu einer Gleichung ___ Grades.

Funktionen 4. Grades haben ______________

_____________________________________

_____________________________________





6.6 Skizzieren von ganzrationalen Funktionen

Oft verlangen Aufgabenstellungen die Anfertigung einer Skizze für den Verlauf einer Funktion. Dazu reicht es meist aus, die Nullstellen, den y-Achsenabschnitt zu kennen. Hilfreich ist es jedoch auch, wenn man die Funktion auf Symmetrieeigenschaften untersucht.

6.6.1 Allgemeine Untersuchung auf Symmetrieverhalten bezüglich der y-Achse bzw. des Ursprungs

Die allgemeinen Ansätze für die Untersuchung auf Symmetrie sind in folgender Form am günstigsten für die entsprechenden Berechnungen zu Verwenden:

Achsensymmetrie: f(x) = f(–x)Punktsymmetrie: f(x) = – f(–x)

Die Anwendung dieser Ansätze soll beispielhaft an den Funktionen aus dem vorangegangenen Kapitel 6.5 gezeigt werden.

Beispiel 1:Nachweis, dass dieFunktion g(x)=x³–3x+2 keine Symmetrieeigenschaften hat:

Achsensymmetrie: g(–x) = (–x)³ – 3(–x) +2= –x³ + 3x +2

Punksymmetrie: –g(–x) = – [–x³ + 3x +2]= x³ – 3x –2

Nach dem Auflösen aller Klammern auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichenergeben sich Ausdrücke, die nicht mit der Ausgangsfunktion übereinstimmen. Daher weist diese Funktion keine Symmetrie auf.

Beispiel 2:Nachweis, dass die Funktion c(x)= –x4+2x²–2 achsensymmetrisch ist:

Achsensymmetrie: c(–x) = –(–x)4 + 2(–x)² –2]= –x4 + 2x² – 2

Nach dem Auflösen aller Klammern auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen ergibt sich die Ausgangsfunktion. D.h. die Funktion ist achsensymmetrisch.

Wenn der Nachweis für Achsensymmetrie erfolgt ist, ist die Untersuchung auf Punktsymmetrie nicht mehr notwendig.

Überall wo bei g(x) ein x steht wird das x durch ein (-x)ersetzt. Danach werden die Klammern auf der rechten Seite aufgelöst und der entstandene Ausdruck mit der ursprünglichen Funktion verglichen

Vor den Ausdruck für g(-x) aus der Betrachtung zur Achsensymmetrie wird ein Minuszeichen gesetzt, die Klammer wird aufgelöst und der entstandene Aus-druck mir der ursprünglichen Funktion verglichen





Beispiel 3:Nachweis, dass dieFunktion f(x)= x³ + x punktsymmetrisch ist:

Achsensymmetrie: f(–x) = (–x)³ + (–x)= –x³ – x

Punksymmetrie: –f(–x) = – [–x³ – x]= x³ + x = f(x)

Bei der Untersuchung auf Achsensymmetrie ergibt sich ein Widerspruch.

Bei der Untersuchung auf Punktsymmetrie ergibt sich nach dem Auflösen aller Klammern auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen die Ausgangsfunktion. D.h. die Funktion ist punktsymmetrisch

Aufgabe: Führen Sie die Untersuchung auf Symmetrie, wie in den Beispielen, auch bei allen anderen Funktionen aus dem vorangegangen Kapitel durch.

6.6.2 Achsen- und Punktsymmetrie bei ganzrationalen Funktionen

Untersuchen Sie die Funktionen aus Kapitel 6.5 auf Zusammenhänge zwischen ihren Symmetrieeigenschaften und den auftretenden Potenzen von x im Funktionsterm. Formulieren Sie entsprechende Regeln, indem Sie die folgenden Sätze vervollständigen:

Eine ganzrationale Funktion ist achsensymmetrisch zur x–Achse, wenn die Potenzen von x

Eine ganzrationale Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Potenzen von x

Eine ganzrationale hat bezüglich der x-Achse und des Ursprungs keine Symmetrieeigenschafen,

wenn die Potenzen von x





7. Besondere Polynome, Potenzgesetze

7.1 Binome höherer Ordnung

1. Zeigen Sie durch Ausmultiplizieren: (2x + 3)4 = 16x4 + 96x³ + 216x² + 216x + 81

2. Berechnen Sie die Produkte (a + b)n und vervollständigen Sie die Tabelle

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a² + 2ab + b²

(a + b)3 = + + +

(a + b)4 = + + + +

(a + b)5 = + + + + +

Wie verhalten sich von links nach rechts gelesen die

a) Potenzen von a: ________________________________________________________

________________________________________________________

b) Potenzen von b: ________________________________________________________

________________________________________________________

c) Die Koeffizienten ergeben folgendes Dreieck. Vervollständigen Sie das Dreieck

n = 0 1

n =1 1 1

n =2 1 2 1

n =3 1 3 3 1

n =4 1 4 6 4 1

n =5 1 5 10 10 5 1

n =6

n =7

n =8

n =9

Man nennt dieses Dreieck das "pascalsche Dreieck" und die Zahlen Binomialkoeffizienten

n

k(lies: n über k). Neben der Berechnung der Koeffizienten mit dem pascalschen Dreieck kann auch der Taschenrechner verwendet werden:

Taste: Eingabe:





3. Bestimmen Sie mit Hilfe der Kenntnis über die Koeffizienten und Potenzen bei den Binomen folgendes Produkt:

(a + b)10 = ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Algemeine Formulierung der Binomialreihe:

(a + b)n =

n

0 an +

n

1 an–1b +

n

2 an–2b2 +...+

n

n–1 a bn–1+

n

n bn = kbknan

0k k

n −∑=

4. Wenden Sie die Kenntnisse über Binome auf die Anfangsaufgabe (2 + 3x)4 an und berechnen Sie

ebenfalls (2x +12 )5

(2 + 3x)4 = ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

(2x + 12 )5= ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

5. Formulieren Sie eine Vorzeichenregel für Binome der Form: (a – b)n





7.2 Potenzgesetze

Potenzen mit gleichem ExponentenAddition und Subtraktion Multiplikation und Division

u⋅an ± v⋅an = (u ± v)anan ⋅ bn = (a⋅b)n

an

bn = (ab)

n

Potenzen mit negativen und rationalen Exponenten

a−n = 1an a an n

1

= a

aa

n

nn

−= =

1

1

1 1

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis

am ⋅ an = am+n am

an = am ⋅ a− n = am− n = 1

an− m

Potenzieren von Potenzen Radizieren von Potenzenganzahlige Exponenten rationale Exponenten

(am)n = (an)m = an⋅m

n mn

m

n

1m aa)(a ==

mnn mn

m

1

n

1

m

1

nm

1

aaa)(aa ⋅⋅ ====

1. Übungen zur Potenzrechnung mit ganzzahligen Exponenten

( ) =

=

=

⋅

=

=⋅

=

−

23

3

3

44

6

7

53

3

3f)

24

16e)

4

18d)

y

yc)

aab)

5

2a)

=⋅

=

=−

=

=⋅

=

=

−+

+

−

−−

−

−

1n12n

1n

2n

22

3

5

n23n

2

3

xxm)

b

bl)

5x4xk)

a

aj)

zzi)

3

2h)

5g) ( )( )

( )( )( )

( )( )

=⋅

⋅⋅

⋅

⋅

=

⋅

=−

=⋅−

=−

=+

=−

=

−

−

−

−−

−−

−

−

−

225

43

54

324

55

4

4n45

236

33

2

21n

y2x

ba

ba

yxu)

3

13t)

3xs)

xxxr)

2x:4x6xq)

2axaxp)

bao)

bn)

Lösungen

1. a)125

8− , b) a8, c) y, d) 16, e)

27

8, f) 729, g)

125

1, h)

4

9, i)

z

1, j) a8, k) -x², l) bn-1, m) x3n, n) b2n-2,

o) )²(

1

ba −, p) 3ax³, q) 3x4 - 2x, r) x1+n - xn, s) 81x4, t) 1, u)

²4

²

ay

bx





2. Übungen zur Potenzrechnung mit rationalen Exponenten

=⋅

=+−−55

nnnn

84b)

b9a9b6a7a)

( ) =

=63

33

2d)

2:54c)

=

=3 2

5 15

af)

2e)

=⋅⋅

=−

33 43

2

1

9aa3ah)

ag)

=

=3

5 2

4 34 7

zj)

4y:64yi)

=

=

−3

1

3 3 9

27l)

ck)

=

=

−4

1

3

2

16

1n)

8m)

Lösungen

23284b)

b3a2b9a9b6a7a)555

nnnnnn

==⋅

+−=+−−

( ) 42222d)

3272:54c)

23

63 663

333

====

==

3

23 2

35

155 15

aaf)

8222e)

=

===

23 633 633 43

2

1

3aa2727a9aa3ah)

a

1ag)

=⋅==⋅⋅

=−

55

1

5

5

5

65 6

35 2

4 443

74 34 7

zzzzzzzj)

2y16y4y

64y4y:64yi)

⋅=⋅===

===

3

1

27

127l)

ccck)

33

1

9 93 3 9

==

==

−

2161616

1n)

46488m)

44

14

1

33 23

2

===

===

−

3. Berechnen Sie folgende Binome unter Zuhilfenahme der Potenzgesetze und der Bionmialreihe.

a) (x² + 1)4 b) (2x³ + 3)5c) (2x² +

12 )3 d) (

14 x4 +2)3

e) (x + 1x )4 f) (x² +

2x )4 g) (2x² +

1x² )4 h) (x³ +

2x² )4

i) (x + x )3 j) (2x² + x )4 k) (2x + 3 x )4 l) (

2x² +

12 x )5

m) (x + 1x

)4 n) ( x +1x

)4 o) (2x² + 1x

)4 p) (2x + 3 x )4

4. Vereinfachen Sie soweit wie möglich

a)a ab

b)ab ab

c)

ab

ab d)

ab

ba

e)

ab

b

5*.Vereinfachen Sie soweit wie möglich

a)(xn + xn+1)2

x2n b)x2n+1 – x2n+3

xn+1 + xn+2

6*.Vereinfachen Sie soweit wie möglicha) x2n – 2xn+m + x2m b) 4x4n + 8x2ny2n+4y4n

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