Fakultat fur Physik

R: Rechenmethoden fur Physiker, WiSe 2014/15

Dozent: Jan von Delft

Ubungen: Benedikt Bruognolo, Katharina Stadler

http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/14t0/

Blatt 11.1: Fourier-Integrale, Differentialgleichungen

Ausgabe: Freitag, 19.12.2014 Abgabe: Freitag, 09.01.2015, 13:00

Beispielaufgabe 1: Cosinus-Reihen (**)

Die Funktion f : I → C, x 7→ f(x), mit I = [−L/2, L/2] habe die Fourier-Reihendarstellungf(x) = 1

L

∑k eikxfk, mit k = 2πn

Lund n ∈ Z.

(a) Zeigen Sie, dass die Fourier-Koeffizienten gegeben sind durch fk =´ L/2−L/2 dx e−ikxf(x).

(b) Sei nun f(x) eine gerade Funktion, d.h. f(x) = f(−x). Zeigen Sie, dass dann fk =

2´ L/2

0dx cos(kx)f(x), und ferner, dass f(x) durch eine Cosinus-Reihe der Form f(x) =

12a0 +

∑k>0 ak cos(kx) dargestellt werden kann, mit k = 2πn

Lund n ∈ N0. Wie lautet ak,

ausgedruckt durch fk?

(c) Skizzieren Sie die Funktion f(x) = 1 fur |x| < L/4, f(x) = −1 fur L/4 < |x| < L/2.Berechnen Sie die Koeffizienten fk und ak der entsprechenden Fourier- und Cosinus-Reihen.

Beispielaufgabe 2: Eigenschaften der Fourier-Transformation (**)

Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Fourier-Transformation, wobei a jeweils eine be-liebige reelle Konstante ist.

(a) Die Fourier-Transformierte von f(x− a) ist e−ikafk.

(b) Die Fourier-Transformierte von f(ax) ist fk/a/|a|, wobei a 6= 0.

Beispielaufgabe 3: Fourier-Transformation eines Gauß-Peaks (**)

Zeigen Sie, dass die Fourier-Transformierte eines normierten Gauß-Peaks mit Breite σ,g[σ](x) = 1√

2πσe−x

2/2σ2, mit

´∞−∞ dx g[σ](x) = 1, durch g

[σ]k = e−σ

2k2/2 gegeben ist. Hinweis : DasFourier-Integral lasst sich mittels quadratischer Erganzung im Exponenten berechnen.

Beispielaufgabe 4: Green’sche Funktion von (dt + a) (**)

D(dt) = (dt + a) sei ein Differentialoperator erster Ordnung, und a eine positive, reelle Kon-stante. Die entsprechende Green’sche Funktion ist definiert durch die Differentialgleichung:

D(dt)G(t) = δ(t) . (1)

1

(a) Zeigen Sie, dass der Ansatz

G(t) = θ(t)xh(t) mit θ(t) =

1 fur t > 00 fur t < 0

, (2)

die definierende Gleichung (1) erfullt, vorausgesetzt, dass xh(t) eine Losung der homo-genen Gleichung D(dt)xh(t) = 0 ist, mit Anfangsbedingung xh(0) = 1. [Hinweis: dieAnfangsbedingung gewahrleistet, dass δ(t)xh(t) = δ(t).]

(b) Bestimmen Sie G(t) explizit durch Losen der homogenen Gleichung fur xh(t).

(c) Berechnen Sie das Fourier-Integral G(ω) =´∞−∞ dω eiωtG(t).

(d) Konsistenz-Check: Bestimmen Sie G(ω) alternativ durch Fourier-Transformation der de-finierenden Gleichung (1). Stimmt das Resultat mit dem von Teilaufgabe (c) uberein?

(e) Finden Sie eine Losung der inhomogenen Differentialgleichung (dt + a)x(t) = e2at mittelsFaltung von G(t) mit der Inhomogenitat. Uberprufen Sie die gefundene Losung explizitdurch Einsetzen.

Beispielaufgabe 5: Gekoppelte Schwingungen von zwei Massenpunkten (**)

Betrachten Sie ein System aus zwei Massenpunkten, mit Massen m1 und m2, die mittels dreiFedern (Federkonstanten K1, K12 und K2) miteinander bzw. mit zwei Festen Wanden gekop-pelt sind (siehe Skizze). Die Bewegungsgleichungen fur die beiden Massen lauten

m1x1 = −K1x

1 −K12(x1 − x2),

m2x2 = −K2x

2 −K12(x2 − x1).

K1 K12 K2m1 m2

x1 x20 0

(a) Bringen Sie das Gleichungssystem in die Form x(t) = −A · x(t), mit x = (x1, x2)T . Wielautet die Matrix A?

(b) Mittels dem Ansatz x(t) = v cos(ωt) kann dieses Differentialgleichungsystem in ein alge-braisches Eigenwertproblem uberfuhrt werden. Wie lautet dieses?

(c) Setzen Sie vortan m1 = m2, K2 = m1Ω2, K1 = 4K2 und K12 = 2K2. (Ω hat die Di-mension einer Frequenz.) Finden Sie die Eigenwerte λj und die Eigenvektoren vj derMatrix 1

Ω2A, und somit die entsprechenden ‘Eigenfrequenzen’ ωj und ‘Eigenmoden’ xj(t)der gekoppelten Massen (mit xj(0) = vj).

(d) Skizzieren Sie die beiden Eigenmoden xj(t) als Funktion der Zeit: machen Sie fur j = 1und 2 jeweils eine Skizze, die auf demselben Achsensystem die beiden Komponenten x1

j(t)und x2

j(t) zeigt. Kommentieren Sie das gezeigte Verhalten!

Beispielaufgabe 6: Stabilitatsanalyse in zwei Dimensionen (**)

Betrachten Sie die Differentialgleichung (mit 0 ≤ c ∈ R):

x =

(xy

)=

(2x2 − xyc(1− x)

).

2

Finden Sie den Fixpunkt der Differentialgleichung. Linearisieren sie die Gleichung um denFixpunkt und finden Sie die Eigenwerte und Eigenmoden. Diskutieren Sie die Stabilitatsei-genschaften des Fixpunkts: Fur welche Auslenkungsrichtungen relativ zum Fixpunkt wachstbzw. zerfallt eine Auslenkung am schnellsten? Auf welcher Zeitskala? [Kontrollergebnis furc = 3: Eigenmoden: λ+ = 1, λ− = −3; Eigenvektoren v+ = (1,−3)T und v− = (1, 1)T .]

Hausaufgabe 1: Sinus-Reihen (**)

Die Funktion f : I → C, x 7→ f(x), mit I = [−L/2, L/2] habe die Fourier-Reihendarstellung

f(x) = 1L

∑k eikxfk, mit k = 2πn

Lund n ∈ Z, mit Fourier-Koeffizienten fk =

´ L/2−L/2 dx e−ikxf(x).

(a) Sei nun f(x) eine ungerade Funktion, d.h. f(x) = −f(−x). Zeigen Sie, dass dann fk =

−i2´ L/2

0dx sin(kx)f(x), und ferner, dass f(x) durch eine Sinus-Reihe der Form f(x) =∑

k>0 bk sin(kx) dargestellt werden kann, mit k = 2πnL

und n ∈ N. Wie lautet bk, ausge-

druckt durch fk?

(b) Skizzieren Sie die Funktion f(x) = 1 fur 0 < x < L/2, f(x) = −1 fur −L/2 < x < 0.Berechnen Sie die Koeffizienten fk und bk der entsprechenden Fourier- und Sinus-Reihen.

Hausaufgabe 2: Faltung von Gauß-Peaks (**)

Lernziel: Illustration folgender Aussage: “Die Feinstruktur einer Funktion (z.B. Rauschenin einem Messsignal) lasst sich glatten mittels Faltung mit einer gepeakten Funktion vongeeignet gewahlter Breite.”

Ein normierter Gauß-Peak mit Breite σ hat die Form g[σ](x) = 1√2πσ

e−x2/2σ2

. Zeigen Sie,dass die Faltung von zwei normierten Gauß-Peaks mit Breiten σ1 und σ2 wieder ein normierterGauß-Peak ist, mit Breite σ =

√σ2

1 + σ22, also dass

(g[σ1] ∗ g[σ2]

)(x) = g[σ](x). Zeigen Sie das

auf zwei Weisen, (a) und (b):

(a) Berechnen Sie das Faltungsintegral mittels quadratischer Erganzung im Exponenten.

(b) Nutzen Sie das Faltungstheorem, laut dem( ˜g[σ1] ∗ g[σ2]

)(k) = g[σ1](k)g[σ2](k), und die

(aus einer Beispielaufgabe) bekannte Form der Fourier-Transformierten eines Gauß-Peaks, g[σj ](k).

(c) Machen Sie zwei qualitative Skizzen, die erste von g[σ1](x), g[σ2](x) und g[σ](x), die zwei-

te von deren Fourier-Spektren g[σ1](k), g[σ2](k) und( ˜g[σ1] ∗ g[σ2]

)(k), und erlautern Sie

anhand der Skizzen, warum die Faltung einer Funktion (hier g[σ1]) mit einer gepeaktenFunktion (hier g[σ2]) zu einer verbreiterten Version der ersten Funktion fuhrt.

f [σ1](x) =∑5

n=−5 g[σ1]n (x), mit g

[σ1]n (x) = g[σ1](x−nL), sei ein ‘Kamm’ von 11 identischen, nor-

mierten Gauß-Peaks der Breite σ1, mit Peak-zu-Peak-Abstand L, und F [σ2](x) =(f ∗ g[σ2]

)(x)

sei die Faltung dieses Kammes mit einem normierten Gauß-Peak der Breite σ2.

(d) Finden Sie eine Formel fur F [σ2](x), ausgedruckt als Summe uber normierte Gauß-Peaks.Was ist die Breite jedes dieser Peaks?

3

(e) Die Skizze zeigt F [σ2](x) fur σ1/L = 14

und vier Werte von σ2/L: 1100

, 14, 1

2und 3

4.

Erlautern Sie das gezeigte Verhalten anhand Ihrer Formel aus Teilaufgabe (c). Warumverschwindet die Feinstruktur in F [σ2](x) fur σ2 & 1

2L?

1 1 1 1

Lx

Lx

Lx

Lx

)x(]L43[F)x(]L2

1[F)x(]L41[F)x(]L100

1[F

0 55− 0 55− 0 55− 0 55−

10L/=1σ

(f) Mit Bezugnahme auf die eingangs zitierte Aussage zur Rauschglattung mittels Faltung:erlautern Sie allgemein, wie die Breite der gepeakten Funktion gewahlt werden muss,um Rauschen wegzuglatten.

Hausaufgabe 3: Gekoppelte Schwingungen von drei Massenpunkten (**)

Betrachten Sie ein System aus drei Massenpunkten, mit Massen m1, m2 und m3, gekoppeltdurch zwei identische Federn, mit Federkonstante k (siehe Skizze). Die Bewegungsgleichungenfur die drei Massen lauten

m1x1 = −k(x1 − x2),

m2x2 = −k

([x2 − x1]− [x3 − x2]

),

m3x3 = −k(x3 − x2),

m1 m2

x1 x2 x3

m3k k

(a) Bringen Sie das Gleichungssystem in die Form x(t) = −A · x(t), mit x = (x1, x2, x3)T .Wie lautet die Matrix A?

(b) Mittels dem Ansatz x(t) = v cos(ωt) kann dieses Differentialgleichungsystem in ein alge-braisches Eigenwertproblem uberfuhrt werden. Wie lautet dieses?

(c) Setzen Sie vortan m1 = m3 = m, m2 = 23m, und k = mΩ2. (Ω hat die Dimension

einer Frequenz.) Finden Sie die normierten Eigenwerte λj und die Eigenvektoren vj derMatrix 1

Ω2A, und somit die entsprechenden ‘Eigenfrequenzen’ ωj und ‘Eigenmoden’ xj(t)der gekoppelten Massen (mit xj(0) = vj).

(d) Skizzieren Sie die drei Eigenmoden xj(t) als Funktion der Zeit: machen Sie fur j = 1, 2und 3 jeweils eine Skizze, die auf demselben Achsensystem die drei Komponenten x1

j(t),x2j(t) und x3

j(t) zeigt. Kommentieren Sie das gezeigte Verhalten!

Hausaufgabe 4: Green’sche Funktion des kritisch gedampften harmonischen Os-zillators (***)

Ein getriebener, kritisch gedampfter harmonischer Oszillator mit Frequenz Ω und Damp-fungsrate γ = Ω erfullt die Gleichung D(dt)x(t) = f(t), mit D(dt) = (d2

t + 2Ωdt + Ω2). Dieentsprechende Green’sche Funktion ist definiert durch die Differentialgleichung:

D(dt)G(t) = δ(t) . (3)

4

(a) Zeigen Sie, dass der Ansatz

G(t) = θ(t)xh(t) mit θ(t) =

1 fur t > 00 fur t < 0

, (4)

die definierende Gleichung (3) erfullt, vorausgesetzt, dass xh(t) eine Losung der homo-genen Gleichung D(dt)xh(t) = 0 ist, mit Anfangsbedingung xh(0) = 0 und dtxh(0) = 1.[Hinweis: die Anfangsbedingung gewahrleistet, dass δ(t)xh(t) = 0 und δ(t)dtxh(t) = δ(t).]

(b) Bestimmen Sie G(t) explizit durch Losen der homogenen Gleichung fur xh(t).

(c) Berechnen Sie das Fourier-Integral G(ω) =´∞−∞ dt eiωtG(t).

(d) Konsistenz-Check: Bestimmen Sie G(ω) alternativ durch Fourier-Transformation der de-finierenden Gleichung (3). Stimmt das Resultat mit dem von Teilaufgabe (c) uberein?

(e) Finden Sie eine Losung der inhomogenen Differentialgleichung D(dt)x(t) = q sin(ω0t)mittels Faltung von G(t) mit der Inhomogenitat. Uberprufen Sie die gefundene Losungexplizit durch Einsetzen. [Hinweis: es lohnt sich, die Sinus-Funktion als Im

[eiω0t

]zu schrei-

ben, mit eiω0t als Inhomogenitat zu rechnen, und erst ganz am Ende der Rechnung denImaginarteil zu bilden.]

Hausaufgabe 5: Feldlinien in zwei Dimensionen (**)

Betrachten Sie das elektrische Quadrupolfeld in der xz-Ebene, E = F(

x−3z

). Die Konstante

F bestimmt die Feldstarke. Berechnen und skizzieren Sie die Feldlinien dieses Feldes durchdas Losen einer entsprechenden Differentialgleichung.

Hausaufgabe 6: Fixpunkte von Differentialgleichungen in einer Dimension (**)

Betrachten Sie die autonome Differentialgleichung x = sinxx

. Finden Sie die Fixpunktedieser Differentialgleichung und untersuchen Sie diese auf ihre Stabilitat. Zeigen Sie, dassstabile und instabile Fixpunkte sich tatsachlich abwechseln. Skizzieren Sie x qualitativ alsFunktion von x fur x ≤ 5π und markieren Sie in Ihrer Skizze die Fixpunkte und den Flussvon x(t) zwischen den Fixpunkten.

Hausaufgabe 7: Stabilitatsanalyse in drei Dimensionen (**)

Betrachten Sie die autonome Differentialgleichung,

x =

xyz

=

x5 − y2

2y − 2x−3z − 3

.

Finden Sie den Fixpunkt dieser Differentialgleichung und zeigen Sie, dass er im Allgemeineninstabil ist, jedoch stabil bezuglich Abweichungen in eine bestimmte Richtung. Finden Siediese Richtung, und die entsprechende charakteristische Zeitskala, auf der eine Abweichungvom Fixpunkt in diese Richtung nach Null zerfallt.

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