BMS GEW Skript - bms.gibb.educanet2.chbms.gibb.educanet2.ch/jakob-b-mat-bms/.ws_gen/1/Skript_Geometrie… · Planimetrie 1 Arbeitsanleitung / Theorie 10.10.11 1 gibb bms gest / gew

Berufsmaturität GIBB

Mathematik

BMS GEW Skript

Autoren: B. Jakob, A. Göldi, M. Saier

Inhaltsverzeichnis Geometrie Planimetrie 1............................................................................................... S. 1 – 8 Planimetrie 2............................................................................................... S. 9 – 16 Stereometrie................................................................................................ S. 17 – 40 Trigonometrie Trigonometrie 1.......................................................................................... S. 41 – 54 Trigonometrie 2.......................................................................................... S. 55 – 66 Trigonometrie 3.......................................................................................... S. 67 – 90 Lineare Optimierung Ungleichungssysteme und Lineare Optimierung................................... S. 91 – 112

Planimetrie 1 Arbeitsanleitung / Theorie

10.10.11 1 gibb bms gest / gew

Grundlagen der Planimetrie Es gilt wesentliche Grundlagen der Planimetrie zu repetieren. Dazu benutzen wir unsere Formel-Sammlung (FS, im Internet). Der jeweilige Inhalt muss mit Hilfe der Aufgaben und der FS repetiert werden. Im Folgenden sind nur die Titel (linke Spalte in der FS), welche bearbeitet werden, aufgeführt. Die Zahlen in Klammern geben die Seiten in der FS an. Zusätzliche Bemerkungen sind kursiv gehalten. 1. Winkel (FS S. 1, 3) Nebenwinkel / Scheitelwinkel / Stufenwinkel / Wechselwinkel / Satz des Thales 2. Dreiecke (FS 2, 5, 6) Sie wissen wie ein Dreieck bezeichnet wird. Winkelsummen / Besondere Punkte und Linien im Dreieck: Mittelsenkrechte / Umkreis / Winkelhalbierende /Inkreis / Höhen / Seitenhalbierende (Schwerelinien) ⇒ beachte das Teilverhältnis 2:1 Flächeninhalt. Spezielle Dreiecke (FS 18): Rechtwinkliges Dreieck / Gleichseitiges Dreieck (beachte die Formel für die Höhe h !!) Kongruenzabbildungen / Kongruenzsätze ( SSS, SWS, WSW, SSW/SsW) (FS 10) das Symbol ≅ bedeutet gleiche Form und gleiche Fläche 3. Vierecke (FS 11, 12) Sie wissen wie Vierecke bezeichnet werden. Winkelsumme / Trapez / Drachenviereck / Parallelogramm / Rhombus (Raute) / Rechteck / Quadrat (beachte die Diagonale d ) 4. Vielecke (FS 14) Winkelsummen / Regelmässiges Vieleck 5. Kreis und Kreisteile (FS 15, 16) Bezeichnungen am Kreis / Kreisumfang / Kreisinhalt (Kreisfläche) / Flächeninhalt des Kreissektors 6. Pythagoras (FS 17, 18) Wahrscheinlich hat Pythagoras (geb. um 565 v. Chr.; gest um 480 v. Chr.) seinen Satz, von dem man vermutet, dass er zu seiner Zeit schon Allgemeingut der Hochkulturen war, von seinen weiten Reisen mitgebracht. Pythagoras wurde im Altertum allerdings nicht in erster Linie als Mathematiker betrachtet, sonder als religiöser Prophet, der Unsterblichkeit der Seele, die Seelenwanderung und die Wiederkehr aller Dinge in ewigem Kreislauf lehrte. Seine Lehre hat unser abendländisches Denken, nachhaltig beeinflusst. a2 + b2 = c2 Beweis: (a+b)2 = a2+2ab+b2 (Alg.) a2 = c2 – b2 (a+b)2 = 2ab+c2 (Figur) b2 = c2 – a2

2ab+c2 = a2+2ab+b2 c2 = a2+b2 7. Ähnlichkeit (FS 24, 25) das Symbol ∼ bedeutet gleiche Form Strahlensätze / Zentrische Streckung

b

b a

a

b a a

b c

c c

c

23ah=a

2a

2a

a

90°60° 60°

30°30°

45°45°

90°

90°

a

a

a

a 2ad =

2a

2c

2b

Planimetrie 1 Aufgaben


1.Winkel 1.1. Berechnen Sie den Winkel ! zwischen den Kräften N und G auf der schiefen Ebene, wenn ! = 58° 1.2. Ein Kugellager hat 12 Kugeln. Welchen Winkel schliessen die Mittellinien zweier aufeinander- folgenden Kugeln ein? (Mittellinien = Linien durch je ein Zentrum der Kugeln und das Zentrum des Kugellagers) 1.3. Um welchen Winkel ! muss der Meisselhalter der Hobelmaschine verstellt werden? 1.4. Das Quadrat ABCD ist gegeben. Ferner gilt DJCHBGAK === .

Beweisen Sie, dass das Viereck KGHJ ebenfalls nur rechte Winkel hat. 1.5. Berechnen Sie jeweils die Winkel. (W! ist die Winkelhalbierende von !)

a) ! = b) " = c) ! = " =

d) # = e) # = f) ABCD ist ein Parallelogramm

$ = ! =

# =

47°

A

B C

!

59°

!

A

B C

!64°

68°

A

B

C

D

"

A

B

C

D

56° !DC" = "AD"CD//AB

#

$

A B

C

!

62°42°

"W

A

B

C!

"

26°#W

A K B

G

CHD

J

!75°

G N!"



2. Dreiecke 2.1. Konstruieren Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit: a) c = 7,1 cm b = 5 cm b) a = 4,5 cm ! = 62° c) c = 6,7 cm ! = 39° d) a = 5 cm ! = 41° 2.2. Konstruieren Sie ein Dreieck mit: a) a = 5 cm b = 6 cm ! = 45° b) c = 6 cm ! = 50° ! = 40° c) a = 7 cm b = 4,5 cm ! = 20° d) a = 6 cm ! = 40° r = 4,6 cm (Umkreisradius) e) c = 5 cm ! = 65° ha = 4,8 cm (Höhe) f) b = 7 cm ! = 80° w! = 7,5 cm (Winkelhakbierende) g) c = 6 cm sa = 4,8 cm sb = 5,1 cm (Schwerelinien / Seitenhalbierende)

h) hc = 4 cm ha = 4,5 cm ! = 50° i) c = 5 cm ha = 3 cm hb =3 cm k) hc = 4 cm ! = 75° ! = 60° 2.3. Teile ein beliebiges Dreieck in drei flächengleiche Dreiecke. 2.4. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit

a) der Seitenlänge a = 6,2 cm b) dem Umkreisradius r = 5 m c) dem Inkreisradius ! = 210 mm

2.5. Berechnen Sie den Flächeninhalt

a) eines Dreiecks mit a = 6,7 cm und ha = 4 cm b) eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a = 6,4 m und b = 5,3 m

2.6. Berechnen Sie in einem Dreieck das gesuchte Stück:

a) A = 420 cm2 a = 15 cm b = 35 cm gesucht: ha, hb b) a = 3,50 m ha = 90 cm hc = 1,26 m gesucht: c

3. Vierecke 3.1. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Quadrates mit

a) der Seitenlänge a = 19 cm b) der Diagonale d = 26,40 m c) dem Umfang U = 82 cm d) dem Umkreisradius r = 312 mm e) dem Inkreisradius ! = 15,1 cm

3.2. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Rechtecks mit

a) der Seitenlänge a = 125 m und der Diagonalen e = 168 m b) der Seitenlänge a = 15 cm und dem Umfang U = 47 cm c) der Seitenlänge a = 70 cm und dem Umkreisradius r = 37 cm

3.3. Ein Rechteck, bei dem die eine Seite doppelt so lang ist wie die andere, hat einen Flächeninhalt von 15,68 dm2. Wie lang sind die Seiten? 3.4. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Parallelogramms mit

a) der Seitenlänge a = 16,2 cm und der Höhe ha = 7 cm b) der Seitenlänge b = 5,6 m und der Höhe hb = 2,5 m c) den Seitenlängen a = 76 cm, b = 58 cm und dem Winkel ! = 30°



3.5. Berechnen Sie in einem Parallelogramm das gesuchte Stück: a) a = 72 cm b = 25 cm ha =15 cm gesucht: hb b) a = 14,4 m ha = 3,5 m hb = 2,25 m gesucht: b c) a = 7,7 m b = 15,4 m hb = 3,3 m gesucht: ha

3.6. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Trapezes mit

a) den parallelen Seitenlängen a = 27 cm, c= 13 cm und der Höhe h = 8,5 cm b) der mittleren Länge m = 92 cm und der Höhe h = 1,1m

3.7.Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Raute mit

a) den Diagonalen e = 21 cm und f = 16 cm b) der Seitenlänge a = 64 mm und dem Winkel ! = 60°

4. Vielecke 5. Kreis und Kreisteile 5.1. Von einem Kreissektor sind a) gegeben: r = 5cm ; ! =60° gesucht: A b) gegeben: A = 10m2 ; r = 4m gesucht: ! c) gegeben: A = 20cm2 ; ! = 72° gesucht: r 5.2. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Kreises aus dem Umfang u. (allgemein!) 5.3.Ein Quadrat, ein gleichseitiges Dreieck und ein Kreis haben den gleichen Umfang. Berechnen Sie das Flächenverhältnis AQuadrat : ADreieck : AKreis. ( Sie können auch Zahlenwerte einsetzen. Allerdings ist grundsätzlich eine allgemeine Berechnung gefragt.) 5.4. Jeder der drei Kreisringteile hat denselben Flächeninhalt wie der innere Kreis. Berechnen Sie die Breite des Kreisringes aus r. 5.5. Der In- und Umkreis eines regulären Sechsecks bilden einen Kreisring. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt aus der Seitenlänge a des Sechsecks. 5.6. Wie gross ist der Zentriwinkel eines Sektors, dessen Bogen 4mal so lang ist wie der Radius? 5.7. Der Inhalt der markierten Fläche soll durch r ausgedrückt werden. 6. Pythagoras Es ist sinnvoll vor der Arbeit zum Thema „Pythagoras“ folgende Grundlagen zu repetieren: Binomische Formeln / Potenzgesetze / Wurzelgesetze 6.1. In einem rechtwinkligen Dreieck misst die Hypothenuse 20 cm. Die eine Kathete ist dreimal so gross wie die andere. Berechnen Sie die kürzere Kathete.

A2

A2

A2

A1

r x

r



6.2. Berechnen Sie die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck, wenn die Länge der Seite

a) a = 4 cm ist. b) a = 2,4 m ist

6.3. In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln 30° und 60° ist die kleinere Kathete gegeben. Berechnen Sie die anderen Dreiecksseiten:

a) kleinere Kathete = 5 cm b) allgemein (kleinere Kathete = a cm)

6.4. Berechnen Sie die Länge einer Seite eines Rechtecks, wenn die andere Seite 8,64 cm und die Diagonale 9 cm lang sind. 6.5. Gegeben ist der Umfang u eines Quadrates. Berechnen Sie die Länge seiner Diagonalen:

a) u = 8 cm b) u = 48 cm

6.6. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Basis 42 cm länger ist als einer der

Schenkel, misst 222 cm. Berechnen Sie den Flächeninhalt. 6.7. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Rechtecks mit

a) den Seitenlängen a = 6,3 cm und b = 4,9 cm b) der Diagonalen e = 7,72 m und dem Umfang U = 21,04 m

(Gleichungssystem / quadratische Gleichung) 6.8. Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge a = 58 cm und der Diagonalen e = 80 cm 6.9. Berechnen Sie den Flächeninhalt

a) eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathete a = 75 cm und der Hypotenuse c = 1,25 m b) eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Schenkel a = 1,06 m und der Basis c = 1,12 m c) eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Schenkel a = 36,90 m und der Höhe h = 36 m d) eines Geodreiecks (45°,90°,45°) mit der Hypotenuse c = 44 cm

6.10. Berechnen Sie die Länge einer Sehne im Kreis mit dem Radius r = 6 cm, wenn ihr Abstand vom Kreismittelpunkt gleich h = 4 cm ist. 6.11. Gegeben sind ein Kreis mit dem Radius r = 7.3 cm und in ihm zwei parallele Sehnen der Länge a = 9,6 cm und b = 11 cm. Berechnen Sie den Abstand x zwischen den beiden Sehnen.

(Zwei Lösungen) 6.12. Der Tangentenabschnitt von einem Punkt P an einen Kreis mit dem Radius r = 10 cm hat die Länge t = 15 cm. Berechnen Sie den Abstand a von P zum Kreismittelpunkt. 6.13. Von einem Punkt P ausserhalb eines Kreises mit dem Radius r werden die Tangenten an den Kreis konstruiert. Wie lange sind die Tangentenabschnitte t bis zu den Berührungspunkten, wenn P den Abstand a von der Kreislinie hat? (Ohne einsetzen von Zahlen, also allgemein lösen.) 6.14. Ein Rhombus ist durch die beiden Diagonalen e und f gegeben. Berechnen Sie die Seite a. 6.15. Gegeben sind a = BC und b = AC Drücken Sie die Gesamtheit der Flächeninhalte der beiden schraffierten Figuren durch a und b aus

A B

C



6.16. Drücken Sie x durch a aus: 7. Ähnlichkeit 7.1. Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, sind die in der Skizze eingetragenen Messungen ausgeführt worden. Berechnen Sie die Flussbreite x.

a) b)

7.2. Berechne jeweils den fehlenden Streckenabschnitt: a) a = 3 cm c = 12 cm e = 4 cm f = b) a = 5 cm e = 3 cm f = 6 cm c = c) c = 10 cm e = 2 cm f = 8 cm a = d) a = 3 cm b = 4 cm f = 14 cm e = e) a’ = 4 cm b’ = 5 cm f = 10 cm e = f) a = 5 cm b = 6 cm b’ = 10 cm a’ = g) a = 2 cm c = 4 cm a’ = 8 cm c’ =

a

b c

b’ a’

c’

e f

4a

2a a

x

3 m

13 m

20 m

10 m

x

3 m

x

20 m 4 m



Lösungen 1. Winkel 1.1. ! = 32° 1.2. 30° 1.3. ! = 15° 1.4. %AKJ & %KBG & %GCH & %HDJ ' JKHJGHKG ===

(JHD + (CHG = 90° ' (GHJ = 90°

1.5. a) !’ = 137° b) " = 31° c) ! =112° " =34° d) # =58° $ = 32° e) # = 10° f) ! = 112° # = 26° 2.Dreiecke 2.1. Konstruktion 2.2. Konstruktion 2.3. z.B. eine Seite in 3 Teile unterteilen ' wir erhalten 3 Dreiecke mit gleicher Basis und gleicher Höhe. Oder .... 2.4. a) 16,64 cm2 b) 32,48 m2 c) 2291,59 mm2 2.5. a) 13,4 cm2

b) 16,96 cm2 2.6. a) ha = 56 cm hb = 24 cm b) c = 2,5 m 3.Vierecke 3.1. a) 361 cm2 b) 348,48 m2 c) 420,25 cm2 d) 1946,88 cm2 e) 912,04 cm2 3.2. a) 14'030,65 m2

b) 127,5 cm2 c) 1680 cm2

3.3. a = 2,8 dm b = 5,6 3.4. a) 113,4 cm2

b) 14 m2 c) 2204 cm2

3.5. a) 43,2 cm b) 22,4 cm c) 6,6 m

3.6. a) 170 cm2 b) 1,012m2

3.7. a) 168 cm2 b) 35,472 cm2

4.Vielecke 5.Kreis und Kreisteile 5.1. a) A = 13,09 cm2

b) ! = 71,62° c) r = 5,64 cm

5.2. U = r!2 ' r = !2U ' A =

!4U2

5.3. AQuadrat = 16U

4U 22

=!"

#$%

& ; ADreieck = 363U

21

233U

3U 2

=!!

!! ; AKreis =

!=!"#

$

%&'

(! 4

U2U 22

' !41:

363:

161 '

1 : 0,77 : 1,27



Lösungen 5.4. ( ) !x+r=!r4 22 ' x1 = r (x2 = -3r ist nicht in G enthalten)

5.5. 222

2 a41)

431(a)

4a3a(A !="!="!=

5.6. b =°

!"

180r ' 4r =

°

!"

180r ; ! =

!

°"

r180r4 =

!

°720 = 229,18° oder ) = °=!

°=

!

"° 18,229720r2

r4360

5.7. Halbkreis(mit r) – (Viertelkreis (mit R = 2 r) + r2)

' ( ) 2222

rr4r2

2r

=+!

"!

6.Pythagoras 6.1. x = 40 = 6,32 cm 6.2. a) 3,46 cm

b) 2,078 m 6.3. a) s = 10 cm h = 8,66 cm

b) s = 2a h = a 3 6.4. 2,52 cm 6.5. a) 2,83 cm

b) 16,97 cm 6.6. 1611,96 cm2 6.7. a) 30,87 cm2

b) ( )222 72,7=+

04,21=2+2

ba

ba ' aus erster Gl.' a = 10,52-b einsetzen in zweite Gl.'

(10,52 – b)2+b2 = (7,72)2 110,670-21,04b+b2+b2 = 59,5984 2b2-21,04b+51,072 = 0 ' quadr. Gl. ' A = 25,53 cm2

6.8. 3360 cm2 6.9. a) 3'750 cm2

b) 0,504 m2

c) 291,6 m2 d) 484 cm2

6.10. 8,94 cm 6.11. a1 = h1 – h2 = 0,7 cm a2 = h1 + h2 = 10,3 cm 6.12. a = 22 t+r = 18,03 cm

6.13. t = ar2+a2

6.14. a = 2f+e 22

6.15. A = 21

ab

6.16. x = 8 a = 2 2 a 7. Ähnlichkeit 7.1. a) x = 15 m b) x = 18,5714 m

7.2. a) 16 b) 10 c) 2,5

d) 6 e) 4, 4 f) 8, 3 g) 16

a23a

2r r2

r2



1. Dreiecke / Vielecke 1.1. Berechnen Sie den Flächeninhalt und die Länge der Hypothenuse c eines gleichschenkligen,

rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Kathete k gegeben ist. (D.h. drücken Sie den Flächeninhalt und die Hypothenuse mit Hilfe der Variablen k aus.)

1.2. Der Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks hat den Radius r. Berechnen Sie die Seitenlänge s

und den Flächeninhalt des Dreiecks allgemein. 1.3. Von einem gleichschenkligen Trapez sind die Längen der parallelen Seiten a = 80cm und

c = 20cm sowie der Schenkel b = 50cm gegeben. Berechnen Sie die Höhe h, den Flächeninhalt A sowie die Länge der Diagonalen d und die Winkel zwischen den Trapezseiten.

1.4. Vom gleichschenkligen Dreieck ABC kennt man den Umkreisradius r und die Höhe h auf die

Basis AB. Berechnen Sie die Schenkellänge xBC

Berechnen Sie auch die Winkel des Dreiecks. 1.5. In einem Kartesischen Koordinatensystem sind zwei Punkte A( 43 / 85 ) und B( -15 / 8 ) gegeben. Berechnen Sie den Abstand zwischen A und B (Länge der Strecke = Hypothenuse im Steigungsdreieck). 1.6. Gegeben ist ein Rechteck mit der Länge a = 10 cm und der Breite b = 7 cm . Berechnen Sie den Flächeninhalt des schraffierten Quadrates. 1.7. Von einem Dreieck sind gegeben:

Die Seite b und zwei Winkel. Berechnen sie die Seite a ( = x).

1.8. Gegeben ist der Umkreisradius r

des gleichseitigen Dreiecks. Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von r.

1.9. Aus einer Kreisfläche mit Radius r wird das grösstmögliche Rechteck von 1/3 r Breite ausgeschnitten. Berechnen Sie die Länge s des Rechtecks aus r. 1.10. Die Hypothenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks sei gegeben. Berechnen Sie beide Katheten, wenn die eine dreimal so lang ist wie die andere.

1.11. Im Rechteck ABCD mit aAB und a32BC sind über AB und CD Halbkreise gezeichnet,

die sich in P und Q schneiden. Berechnen Sie PQ aus a.

a

b

45°30°

b a ( = x)



2. Kreis (Berührkreisaufgaben)

Berechnen Sie jeweils die Strecke x. Lösungshilfen: 1. In den Hilfsskizzen mit Farbe Gegebenes von Gesuchtem unterschieden.

Gegebenes und Gesuchtes wird an möglichst verschiedenen Stellen eingezeichnet. Dabei achten wir darauf, dass gegebene und gesuchte Strecken auf eine Gerade zu liegen kommen, so dass wir sie addieren oder subtrahieren können. Bei Aufgaben mit Kreisen gelingt uns das, wenn wir die Zentren der Kreise miteinander und mit Berührpunkten von zwei Kreisen bzw. einem Kreis und einer Tangente verbinden. (Siehe dazu die kleinen Kreise bei Aufgabe 2.1.)

2. Lösungsansätze A Wir suchen verschiedene rechtwinklige Dreiecke.

Wir bezeichnen/berechnen alle drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks ohne den Satz des Pythagoras zu gebrauchen. Dabei wenden wir auch Wissen an: z.B. die Diagonale im Quadrat oder die Höhe im gleichseitigen Dreieck Anschliessend verwenden wir den Satz des Pythagoras und erhalten eine Gleichung.

B Wir suchen verschiedene rechtwinklige Dreiecke. Haben zwei rechtwinklige Dreiecke eine Seite gemeinsam, so können wir diese Seite auf zwei verschiedene Arten bezeichnen/berechnen und erhalten so eine Gleichung.

2.7. Berechnen Sie den Radius x und

die schraffierte Fläche A für a = 10cm. 2.8. Die schraffierte Fläche soll durch r ausgedrückt werden. (Koeffizienten auf drei Stellen nach dem Komma runden)

a

25°r

x

x

2.1. 2.2. 2.3.

2.4. 2.5.

10 10

x

a

x

D

x

a

x

2.6.

3a

3aa

x



3. Körper 3.1. Gegeben ist ein Würfel mit Kantenlänge 2 cm. Berechnen Sie die Länge einer Körperdiagonalen d Berechnen Sie den Steigungswinkel D der Körperdiagonale zur Grundfläche. Berechnen Sie den Winkel E zwischen Körperdiagonale und Seitenkante. 3.2. Gegeben ist ein Würfel mit der Körperdiagonale 10 cm. Berechnen Sie die Länge einer Würfelseite. 3.3. Berechnen Sie die Länge der Körperdiagonalen eines Quaders und deren Steigungswinkel,

wenn die Länge seiner Seiten mit a = 4 cm, b = 3 cm und c = 8 cm gegeben sind. 3.4. Von einem Quader kennt man die Körperdiagonale d und die Kanten a und b. Stellen Sie die

Formel auf zur Berechnung der Kante c aus den gegebenen Variablen (Strecken). 3.5. Berechnen Sie die Körperhöhe h eines regulären Tetraeders mit der Kantenlänge s = 10 cm.

Berechnen Sie weiter den Winkel D welchen zwei Seiten einschliessen und den Steigungswinkel E einer Seitenkante zur Grundfläche.

3.6. Berechnen Sie die Kantenlänge s eines Tetraeders mit der Körperhöhe h = 10 cm. 3.7. Berechnen Sie die Körperhöhe h einer quadratischen Pyramide (Grundfläche ist ein Quadrat). gegeben: Grundkante a = 5 m; Seitenkante s = 6 m. Weiter berechnen Sie den Steigungswinkel D der Seitenkante zur Grundfläche und den Steigungswinkel E der Seitenfläche zur Grundfläche. 4. Vermessungen

Tiefenwinkel: Winkel von der Horizontalen nach unten Höhenwinkel: Winkel von der Horizontalen nach oben

4.1. Eine Bergspitze S erscheint von einem Punkt A aus unter einem Höhenwinkel von D = 18°. Berechnen Sie BS für AB = 350m.

4.2. Aus 10m Höhe sieht man den Fuss eines Turmes unter einem Tiefenwinkel von 12°, die Spitze des Turmes unter einem Höhenwinkel von 25°. Wie hoch ist der Turm? 4.3. Von einem Turm mit einer Höhe von 43m erblickt man zwei hintereinanderliegende Punkte A und

B unter den Tiefenwinkeln von 12° und 28°. Berechnen Sie AB .

4.4. Ein Luftbalon wird von zwei Personen, die 3,8 km voneinander entfernt sind, gleichzeitig

beobachtet . Die eine erblickt den Balon senkrecht über sich, die andere unter einem Höhenwinkel von 36°. In welcher Höhe h fliegt der Ballon?

A B

S

D

10 m

h25°

12°

ssss

aa

aa

h

DE



Lösungen 1. Dreiecke / Vielecke

1.1. c = 2k ; A = 2

k 2

1.2. h = 23s ; h = r

23 �

23s = r

23 � 3s = 3r � s =

3r3 � s = 3r

A = 2sh =

43s2

= 2r433

1.3. h = 22 3050 � = cm40

A = h2

ca � = 2cm2000

D = 22 4050 � = cm03,64

cos D = 5030 � D = arccos

5030 = q13,53 ; G = 180° - D = q87,126

1.4. y = � �22 rhr �� = 222 rhr2hr �� = 2hhr2 �

x = 22 yh � = 22 hhr2h �� = rh2

r2rh2

arcsinrh2hrh2

arcsinrh2h

arcsinxh

arcsin �

E D

1.5. � � � �22 8851543 �� = 40,96 (1.4. D�q F 2180 )

1.6. x = 2

b2

a� � 2x =

2

2b

2a

¸̧¹

·¨̈©

§� = 2cm5,4 (oder: mit TRIGO)

5,3y

45tan q

1.7.

oder: mit TRIGO

1.8. 1. Weg: A = 23

43r

r � = 22 r649,08

33r

2. Weg: h = r23 ; s =

3r3

3h2

A = sh21

21� = 222 r649,0r

833r

43233

�

�

1.9. 2

2

2

6rr

2s

¸¹

·¨©

§� ¸¹

·¨©

§ � s = r972.1335r

3635r2r

36352

6rr2 2

2

2 ¸¹

·¨©

§�

1.10. � �222 x3xc � � 22 x10c � x10c � c316,010cx ; c949,0316,03x3 �

r

r

ssh

2s

2s

M

30 3020

c = 20

a = 80

dh

b = 50

D

G

a

bx

xy

45°

45°30°

b

2b

22b

x

s

srr

r

r3r

6rs



Lösungen

1.11. 22

2

3a

2ax ¸

¹

·¨©

§�¸¹

·¨©

§ � 9a

4ax

222 � �

36a4a9x

222 � �

6

a5x � 3

a5PQ

2. Kreis (Berührkreisaufgaben)

2.1. die Diagonale im Quadrat ist 22x �

2x2

2x

� = 10 �

x2x � = 20 � � �x12 � = 20 � cm28,812

20x �

2.2. h2 = (10 - 0,5x)2 - 52 und h2 = (2,5 + 0,5x)2 – 2,52 �

(10 – 0,5x)2 –52 = (2,5 + 0,5x)2 – 2,52 100 – 10x + 0,25x2 – 25 = 6,25 + 2,5x + 0,25x2 – 6.25

75 – 10x = 2,5x 75 = 12,5x

6 = x � x = cm6

2.3. 222

2x

2a

2a

2xa ¸

¹

·¨©

§ ��¸¹

·¨©

§ ¸¹

·¨©

§ � � 4x

2ax

4a

4a

4xaxa

22222 ��

4a2 – 4ax = 2a2 + 2ax � 2a2 = 6ax � x = 3a

2.4. 222

2x

4D

2x

2D

4D

¸¹

·¨©

§ � ¸¹

·¨©

§ ��¸¹

·¨©

§ � 4x

4Dx

16D

4x

2Dx

4D

16D 22222

��

4Dx3

4D2

� Dx3D2 � 3Dx

2.5. 222

2a

2x

2xa ¸

¹·

¨©§�¸

¹·

¨©§ ¸

¹·

¨©§ � �

4a

4x

4xaxa

2222 � ��

ax4a3 2

� a43x

2.6. (a + x)2 = (2a – x)2 + (2a)2 � a2 + 2ax + x2 = 4a2 – 4ax + x2 +4a2 �

6ax = 7a2 � a67x

2.7. x2 + 52 = (10 – x)2 � x2 + 25 = 100 – 20x + x2 � 25 = 100 – 20x �

20x = 75 � cm75,32075x

D tan5x

� q D 87,36575,3arctan

A = = 22

2 cm09.10275,3

36087,36

10 S

�qq

S

A B

CD a

a32

2a

a31

x

P Q

3a

3aa

x

a+x 2a

3a-a-x

a

2x

2a

2xa �

2x

a

2a

2a

2xa �

2x

2x

2D�

2x

4D

4D

10

2x

2x10 �2

x

2,5 52,5

2,5h

10

2x

2x2

x

2x2 �

a

x10-x

55D



Lösungen

2.8. sin25° = rx � x = r sin25° = 0,4226 r

sin65° = ry � y = r sin65° = 0,9063 r

A = = yx360130r 2 ��

qq

S = 22 r3830,03613r �S = (1,1345 – 3830,0 )r2

A = 2r7514,0

3. Körper

3.1. d = s 3 = 2 3 = cm46,3 ;22

2tan D � q D 264,3521arctan

222tan E � q E 736,542arctan

3.2. s 3 = 10 � cm78,53

10s

3.3. 22S 84d � und cm43,9384d 222 ��

22 84

3tan�

D � q �

D 542,1884

3arctan22

3.4. 222 cbad �� 2222 cbad �� 2222 cbad �� 222 badc ��

3.5. cm16,83210

32sh

q D 60

33

103310cos

� E � q E 736,54

33arccos

3.6. 32sh � cm25,12

2310

23hs

3.7. cm54,3225

2d

� m848,45,12362

256h2

2 � ¸¸¹

·¨¨©

§�

6225cos�

D � q D 896.5312

25arccos

5,2

848,4tan E � q E 719.625,2

848,4arctan

25°r

rx

25°

65°65°

y

d DE

2 cm

2 cm

2 cm 22

22

4 cm8 cm

3 cm Dd

Sd

10 cm

10 cm10 cm

h10 cm

h

3310

32

2310

�A

B

C

D

A

D

DE E

5

6666

55

5h

DE

225

2d



Lösungen 4. Vermessung

4.1. 350

BS

AB

BStan D � BS = 350 tan18° � m114BS |

4.2. x

1012tan q � m046,4712tan

10x q

�

xy25tan q � m938,21

12tan25tan1025tanxy qq�

q

h = 10 + y � m32h |

4.3. x

4312tan q � m299,20212tan

43x q

y4328tan q � m871,80

28tan43y

q

m428,121yxAB �

4.4. 8,3

h36tan q � km761,236tan8,3h q

10 mx

y25°

12°

x y

43 m28°12°

43 m

x



Körper (Berechnungen) Theorie / Arbeitsanleitung

09.10.11 17 gibb bms gest.

Körper (Berechnungen) / Repetition Es gilt wesentliche Grundlagen der Stereometrie zu repetieren. Dazu benutzen wir unsere Formel-Sammlung. Die Formeln finden Sie in der Formelsammlung. Sie benötigen auch Kenntnisse zur Berechnung von Flächen. Informationen zu diesem Thema finden Sie ebenfalls in der Formelsammlung (FS). Lernziele:

• Sie kennen die wichtigsten Körper: Das heisst, Sie können die Körper skizzieren und wissen, wo Sie die Formeln zur Berechnung finden.

• Sie beherrschen den rechnerischen und algebraischen Umgang mit den Körper-Formeln: Das heisst, Sie können bei gegebenen Zahlenwerten Berechnungen durchführen. Sie können die Formeln algebraisch umformen.

Lösungshilfen:

• Eine Skizze ist unerlässlich. Skizzieren Sie mit Bleistift. Format: ca. 5cm X 5cm. Verwenden Sie zur Darstellung der Körper eine Parallelprojektion (Isometrie, Dimetrie ...).

• Legen Sie einen Schnitt durch den Körper und zeichnen sie diese Schnittebene heraus. So können viele Aufgaben auf die zweite Dimension reduziert werden.

• Anwenden von Formeln: Aus den Skizzen (Figuren) lesen Sie die Bedeutung der Variablen ab. Z.B M: Mantelfläche oder S: Oberfläche etc.

ACHTUNG: Oft sind unterschiedliche Variablen gebräuchlich! (z.B. für Flächen: A, F, S) Zu den Aufgaben:

• Kernstoff: Diese Aufgaben müssen Sie lösen und routinemässig beherrschen. • Übungsstoff: Falls Sie beim Lösen des Kernstoffs Schwierigkeiten haben, finden Sie hier

zusätzliche Aufgaben mit gleichem Schwierigkeitsgrad. • Zusatzstoff: Sie sind unterfordert und wollen schwierigere, weiterführende Aufgaben lösen. • Die unterstrichenen Aufgaben werden mit der Klasse besprochen.

Thema / Lektionen Kernstoff

( zu repetierende Inhalte /Fertigkeiten ) Übungsstoff

Pyramide / Gerade Körper / Spitze Körper ( 2L.)

1 saubere Zeichnung Schnitt Formelsammlung (FS) 2 Terme (in Abhängigkeit von... )

Algebra: 42

22 ss=!

"

#$%

& etc.

Prozentrechnung 3 Pythagoras (FS 17, 18)

Algebra: 2

22

2!"

#$%

&−=ssh

Wurzelgesetze (FS 37) 4, 5, 6

7 Dichte 3dm

kg:ρ

Masse m: kg Volumen V: 3dm Formel: Vm ⋅ρ= 8, 9, 10 11 „einbeschriebener“ Körper

12, 13, 14

15, 16,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

Thema / Lektionen Kernstoff Übungsstoff

Körper (Berechnungen) Theorie / Arbeitsanleitung


( zu repetierende Inhalte /Fertigkeiten ) Zylinder / Kegel / (abgeschnittene) spitze Körper (Körperstümpfe) (2,25L.)

24 25 Bezeichnungen am Kegel 26 Terme (in Abhängigkeit von...) 27, 28, 29, 30 (1Liter = 1dm3 = 1000cm3) 31 Strahlensätze (FS 25, 26)

32, 33, 34, 35

Kugel (2,5L.)

36 Terme, Formel 37,38 39 Gleichung aufstellen Prozentrechnung 40 Kubikwurzel Taschenrechner 41 geeigneter Schnitt

42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49

Umgang mit Formeln (2,5L)

50 Gleichungslehre Aequivalenzgesetze Umstellen von Formeln

Weitere selbst gewählte Beispiele aus der Formelsammlung

Körper (Berechnungen) Aufgaben/Lösungen


1. a) Zeichnen Sie zu jeder Pyramide einen Schnitt und beschriften Sie diesen (Seitenlänge, Höhe).

b) Ordnen Sie die Pyramiden nach der Steilheit ihrer Seitenflächen. Das heisst Sie berechnen die jeweilige Steigung in der Mitte der Seitenflächen. (Siehe dazu FS 14 oben) Runden Sie auf drei Stellen nach dem Komma.

Bei den folgenden Pyramiden liegen die Spitzen senkrecht über dem Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche. Ort Erbauer Bauzeit Seitenlänge des

Grundquadrates Höhe

Medum Huni/Snofru um 2583-2575 v.Chr. 146,7 m 93 m Dahschur Snofru Um 2575-2551 220 m 99 m Gizeh Cheops um 2551-2528 230,4 m 146,6 m Gizeh Mykerinos um 2490-2471 108,5 m 66,5 m

2. Die Seitenlänge des Würfels ist s. Geben Sie in allen Situationen (a-i) das Pyramidenvolumen als Bruchteil des Würfelvolumens an.

(Beachten Sie: Alle Pyramidenecken sind Würfelecken oder Mittelpunkte von Würfelkanten bzw. Würfelflächen.)

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

a)



3. Skizzieren Sie ein Tetraeder. (Eine dreiseitige Pyramide,

deren Kanten alle gleich lang sind, heisst Tetraeder.) a) Geben Sie an, wie man die Höhe der Seitenfläche hs

aus der Kantenlänge a berechnet. b) Geben Sie an, wie man die Körperhöhe hk

aus der Kantenlänge a berechnet. c) Geben Sie an, wie man das Volumen aus der Kantenlänge a berechnet.

4. In diesem Würfel sind die räumlichen Diagonalen

eingezeichnet. Sie bestimmen Pyramiden, deren Spitzen im Würfelzentrum liegen. a) In wie viele Pyramiden zerfällt dadurch

der Würfel? b) Vergleichen Sie Grundfläche, Höhe und

Rauminhalt einer Pyramide mit den Entsprechenden Grössen beim Würfel.

5. Aus einem Quader werden Pyramiden ausgeschnitten. Die rechteckige Grundfläche der

Pyramide ist eine Fläche des Quaders, die Spitze der Pyramide ist eine Ecke des Quaders. Berechnen Sie das Volumen der Pyramiden.

a) b) 6. Gegeben ist eine geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche. a) Wie lauten die Formeln für den Mantel M

und die Oberfläche S.

b) Berechnen Sie die fehlenden Grössen:

Grundkante [ ]cms

Körperhöhe [ ]cmhk

Dreieckshöhe [ ]cmhs

Kante [ ]cmk

Mantel [ ]2cmM

Oberfläche [ ]2cmS

Volumen [ ]3cmV

6 4 12 10 10 260 18 864 240 1`568`000

aa

a

a

a

shkh

cb

a

ab

c

s s

kh

k

kk

sh



7. Gegeben: Profileisen (Baustahl); ϕ =7,8 kg/dm3 ; (Einheit: mm) Gesucht: Masse in kg 8. Gegeben: Führungsplatte (Gusseisen); ϕ =7,3 kg/dm3 ; (Einheit: mm) Gesucht: Masse in kg 9. Ein Schwimmbassin ist 15.5m lang, 8.4m breit und 3m hoch mit Wasser gefüllt. Wie viele

Liter Wasser fasst es? Wie viele m3 sind dies? 10. Aus einem Block von 80mm x 80mm x 1500mm wird ein Flachstahl von 15mm x 30mm

gewalzt. Wie lang wird der Flachstahl? 11. Einer geraden quadratischen Pyramide (a = 21cm, h = 73cm)ist ein Kreiskegel

einbeschrieben. Wie gross ist der Oberflächeninhalt S des Kegels? 12. Aus 1mm starkem Zinkblech (ρ = 7.1 kg/dm3) soll eine rechteckige Pyramide (Grundfläche =

65mm x 110mm, Höhe = 300mm) hergestellt werden. Welche Masse wird die Pyramide haben?

13. Die Pyramide des Cheob hat einen Rauminhalt von rund 2'899'200 m3. Wie hoch ist sie,

wenn die Kante der quadratischen Grundfläche a = 240m lang ist? Wie gross ist ihr Mantelflächeninhalt?

14. Berechnen Sie den Oberflächeninhalt und den Rauminhalt eines Oktaeders (a = 14cm)

(Ein Oktaeder wird von acht gleichseitigen Dreiecken begrenzt.)

230 120

14

14

140

130

125

20

35

85

a

a

a

a

a

a

a

a



15. Berechnen Sie das Volumen:

a) Pyramide mit rechteckiger Grundfläche a = 30cm, b = 20cm, h = 20cm

b) Pyramide mit rechtwinkligem Dreieck als Grundfläche a = 15cm, b = 12cm, h = 20cm

c) Pyramide mit regelmässigem Dreieck als Grundfläche a = 30cm, h = 24cm

d) Pyramide mit regelmässigem Sechseck als Grundfläche a = 15cm, h = 30cm

16. a) Berechnen Sie die Oberfläche einer geraden

quadratischen Pyramide und einer quadratischen Pyramide, deren Spitze senkrecht über einer Ecke der Grundfläche steht.

Vergleichen Sie die Oberflächen. b) Vergleichen Sie die Volumen. s = h = 10cm

17. Gegeben: Lochscheibe (Stahl); ϕ =7,8 kg/dm3 ; (Einheit: mm) Gesucht: Masse in kg

300

70

100

s s

hh

ab

h

ab

h

aa

h

a a

h



18. Gegeben: Stahlbolzen mit quadratischem Kopf ; ϕ =7,8 kg/dm3 ; (Einheit: mm) Gesucht: Masse in kg 19. Aus einer Blechtafel (1m x 1.5m) werden33 Scheiben (Durchmesser 200mm)

ausgeschnitten. a) Wie viel Prozent beträgt der Abfall (Verschnitt)? b) Welche Masse haben die Scheiben, wenn das Blech 1.4mm dick ist (ρ = 7.85 kg/dm3)

20. Der Mantelflächeninhalt eines geraden Kreiskegels, dessen Achsenschnitt ein gleichseitiges

Dreieck ist, beträgt 103.5dm2. Wie gross ist der Rauminhalt des Kegels? 21. Einem geraden Kreiskegels (d = 0 25cm, h = 16cm) ist eine quadratische Pyramide

einbeschrieben. Berechnen Sie den Oberflächeninhalt der Pyramide. 22. Ein Oktaeder (a = 12cm) wird an beiden Spitzen gleichmässig abgestumpft. Die Eckkanten

sind nachher nur noch halb so lang. a) Wie gross sind Rauminhalt und Oberflächeninhalt des abgestumpften Körpers? b) Wie gross ist der Rauminhalt der abgeschnittenen Stücke?

23. In einen Würfel (k = 12cm) ist ein Tetraeder so eingeschrieben, dass

dessen Kanten die Flächendiagonalen des Würfels sind. Wie gross sind Rauminhalt V und Oberflächeninhalt S des Tetraeders? (Ein Tetraeder wird von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt.)

24. a) Stellen Sie sich eine Tüte her:

Welche Form muss ein Stück Papier haben, damit daraus eine Tüte hergestellt werden kann?

b) Schneiden Sie drei Kreissektoren aus mit folgenden Massen: Kreisradius je 9cm; Winkel im Zentrum 120°, 240°, 330°. Fertigen Sie daraus drei Tüten an. Welche hat nach Ihrer Meinung das Grösste Volumen?

203090

65

105

40

k

k

k



25. Die Abwicklung eines Kreiskegels besteht aus einem Kreissektor (= Mantel) und einem Kreis (= Grundfläche): s = Mantellinie; b = Bogen; u = Umfang der Grundfl.; r = Radius der Grundfl.; hk = Körperhöhe

a) Von den vier Grössen r, b, s, und u sind zwei gleich. Nennen Sie das Paar. b) Berechnen Sie den Radius r der Kegelgrundfläche. c) Berechnen Sie die Mantelfläche M des Kegels. d) Berechnen Sie die Grundfläche G des Kegels. e) Berechnen Sie die Oberfläche S des Kegels. f) Berechnen Sie die Körperhöhe hK des Kegels. g) Berechnen Sie das Volumen des Kegels.

h) Die Mantelfläche entspricht dem Flächeninhalt des Kreissektors. Der Flächeninhalt

des Kreissektors berechnet sich mit der Formel 2sb ⋅ . (Vergleichen Sie auch FS 23).

Diese Formel gleicht der Berechnungsformel eines Dreiecks. Erklären Sie den Zusammenhang.

26. Ein Zylinder hat einen Grundkreisradius r und eine Höhe h. Ihm werden Pyramiden

einbeschrieben, deren Grundfläche regelmässige Vierecke sind.

a) Berechnen Sie je das Volumen des Zylinders. b) Wie viel Prozent des Zylindervolumens macht das Volumen der Pyramide mit

quadratischer Grundfläche aus? c) Wie viel Prozent ergibt es bei der Pyramide mit sechseckiger Grundfläche? d) Wie viel Prozent (bzw. welcher Bruchteil) des Zylindervolumens wird auch bei beliebig

hoher Eckenzahl nicht überschritten.

h

r

b

ru

r

h s = 8cm

s = 8cm135°α =

k



27. Gegeben ist ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit den Katheten a.

a) Wird dieses rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck um eine Kathete rotiert, so entsteht ein Kegel. Berechnen Sie sein Volumen.

b) Drehen wir das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck um seine Hypotenuse, so erzeugen wir einen Doppelkegel. Wie gross ist sein Volumen?

28. Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite s = 6cm

a) Berechnen Sie das Volumen des Kegels, der erzeugt wird, wenn das Dreieck um eine Höhe rotiert. (Eine Skizze ist sinnvoll.)

c) Berechnen Sie das Volumen des Doppelkegels, der erzeugt wird, wenn das Dreieck um eine Seite rotiert. (Eine Skizze ist sinnvoll.)

29. Wir lassen ein rechtwinkliges Dreieck mit der Kantenlänge 7.5cm und 10cm um jede der drei

Seiten rotieren. a) Beschreiben Sie die entstehenden Körper. b) Berechnen Sie die Volumen.

30. Ein Eimer (gerader Kreiskegelstumpf) mit d = 21cm, D = 32cm und h = 34cm wird mit

Wasser gefüllt. Wie viele Liter Wasser fasst er? 31. Der Stamm einer Tanne hat die Form eines Kegelstumpfes: d = 9cm, D = 21cm,

h = 17.75m a) Wie viele Festmeter (m3) Holz enthält der Stamm.? b) Welche Masse hat das Holz (ρ = 0.75 kg/dm3) ?

32. V = Volumen, A = Grundfläche, r = Grundkreisradius, h = Höhe Wie hoch sind die folgenden Kegel? (Rechnen Sie im Kopf.) a) V = 3m3 A = 4m2 d) V = 3m3 r = 1m b) V = 6m3 A = 4m2 e) V = 6m3 r = 1m c) V = 3m3 A = 8m2 f) V = 3m3 r = 2m

Wie viel misst der Grundkreisradius bei folgenden Kegeln? (Benutzen Sie dabei für π den Näherungswert 3.)

g) V = 3m3 h= 2m i) V = 3m3 h= 4m h) V = 6m3 h= 2m k) V = 6m3 h= 4m 33. Berechnen Sie den Mantel und die Oberfläche der Kegel: a) r = 4cm h = 8cm c) r = 2cm h = 8cm b) r = 4cm h = 4cm d) r = 2cm h = 4cm 34. Berechnen Sie das Volumen V, den Mantel M und

die Oberfläche O der Kegelstumpfe: a) R = 8cm r = 6cm h = 5cm b) R = 8cm r = 4cm h = 5cm c) R = 12cm r = 8cm h = 5cm Zur Berechnung der Höhe des Ergänzungskegels verwenden Sie einen Strahlensatz (FS 24).

aa

a

a

r

Rh

ErgänzungskegelH

sS



35. Gegeben: Konusbuchse (Gusseisen); ϕ =7,3 kg/dm3 ; (Angabe der Einheiten in mm) Gesucht: Masse in kg 36. Wir vergleichen den Rauminhalt eines Zylinders, eines Kreiskegels und einer Halbkugel. Sie kennen die Berechnungsformeln aller drei Körper (FS 30,31).

a) Geben sie die Formeln für VZylinder ,VKegel und VHalbkugel in diesem speziellen Fall an. b) Vergleichen Sie die Volumen der drei Körper.

Schnitte 37. Von diesem Zylinder wird ein Kegel weggenommen.

Geben Sie das Volumen des Restkörpers an. 38. Gegeben sind ein Zylinder, ein Kegel und eine Kugel.

a) Schreiben Sie für alle drei Körper eine Volumenformel auf mit r als einziger Variablen. b) Wie viele Kugeln haben zusammen das gleiche Volumen wie zwei Zylinder? c) Wie viele Kegel haben zusammen das gleiche Volumen wie zwei Zylinder?

102

70 50 118

90

180

rr

2r 2r

r r

r

r rrr

rr



39. Wie viele Schrotkörner (d = 1.5mm) kann man aus 2kg Blei (ρ = 11.4 kg/dm3) herstellen, wenn 15% Schmelzverluste verloren gehen.

40. Eine Kugel aus Holz (ρ = 0.75 kg/dm3) wiegt 2kg.

a) Wie lang ist ihr Durchmesser, und b) wie gross ist der Oberflächeninhalt der Kugel?

41. Einer Kugel ist ein Würfel (a = 20cm) einbeschrieben. Welchen Rauminhalt hat die Kugel? 42. Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius r.

a) Berechnen Sie ihr Volumen b) Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit dem doppelten Radius. c) Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit dem halben Radius. d) Berechnen Sie den Radius einer Kugel mit dem 27fachen des unter a) berechneten

Volumens.

e) Bestimmen Sie den Radius einer Kugel mit 641 des unter a) berechneten Volumens.

43. Einem Würfel ist ein Oktaeder einbeschrieben. Geben Sie das Volumen des Oktaeders als Bruchteil

des Würfelvolumens an. Gegeben ist die Würfelkante k. 44. Einem Würfel ist ein Tetraeder einbeschrieben. Geben Sie das Volumen des Tetraeders als Bruchteil

des Würfelvolumens an. Gegeben ist die Würfelkante k. 45. Eine halbe Holkugel hat einen Aussendurchmesser von 25cm und eine Wandstärke von

5mm. Wie viele Liter Wasser fasst sie? 46. Drei gleichgrosse Bleikugeln mit dem Durchmesser d = 26mm werden zu einer einzigen

Kugel zusammengeschmolzen. a) Berechnen Sie den Durchmesser der neuen Kugel. b) Geben Sie die Oberfläche der grossen Kugel in % der Gesamtoberfläche der drei kleinen

Kugeln an. 47. Einem Würfel mit der Kantenlänge K = 10cm ist

eine Kugel einbeschrieben, dieser Kugel ist wiederum ein Würfel einbeschrieben und diesem Würfel wiederum eine Kugel. a) Berechnen Sie die Volumen der vier Körper. b) Geben Sie das Volumen des kleinen Würfels

in % des Volumens des grossen Würfel an. c) Geben Sie das Volumen der kleinen Kugel

in % des Volumens der grossen Kugel an.

K = 10cm

K



48. Wir untersuchen das Volumen einer Halbkugel: Wir vergleichen eine Halbkugel mit einem Körper, bestehend aus einem Zylinder in welchen ein Kegel eingelassen wurde.

Wir legen einen ebenen Schnitt durch beide Körper in beliebiger Höhe x: Schnittebene

Aufsicht auf die Schnittebene

a) Geben Sie den Flächeninhalt A1 an (Kreisring). b) Geben Sie den Flächeninhalt A2 an (Kreisfläche).

(r2 finden Sie mit dem Satz von Pythagoras.) c) Vergleichen Sie die Terme von A1 und A2 miteinander. d) Wenn Sie Ihre Aussage aus c) mit dem Cavalieri-Prinzip (FS 31) vergleichen, was

stellen Sie fest? e) Leiten Sie nun die Formel für die Halbkugel her, indem Sie das Volumen des

Kreiskegels vom Volumen des Zylinders subtrahieren. f) Durch Verdoppelung erhalten Sie die Volumenformel der Kugel. Vergleichen Sie mit

der Formel in der FS. 49. Um die Kugeloberfläche S zu berechnen, bringen

wir sie in eine Beziehung zum Kugelvolumen. Wir denken uns die Kugel zerlegt in “pyramidenartige“

Teile, deren Anzahl wir unbegrenzt wachsen lassen. a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen:

VPyramide = hA ⋅31 und VKugel = rS ⋅

31

b) Setzen Sie die rechten Seiten der folgenden

Formeln einander gleich und lösen Sie nach S auf.

V = rS ⋅31 und V =

43 πr3

r

r

r

xrr

xxx 45°

r

r

A

A

2

2

2

1

M



50. In der mathematischen Auseinandersetzung mit Körperberechnungen spielen auch Formeln eine Rolle. Dabei ist es immer wieder notwendig, dass wir sie nach einer bestimmten Variablen auflösen müssen. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach den verschiedenen Variablen auf. (Sonderfälle werden nicht diskutiert.)

a) s = vt Kinematik (FS.81)

b) gh21A = Dreiecksberechnung (FS.20)

c) h2caA ⋅

+= Trapetzberechnung (FS.21)

d) 100pKZ ⋅= Zinsrechnung (FS.10)

e) 100pKKK 001 ⋅+=

f) α⋅°

π=360R2b Kreis und Kreisteile (FS.23)

g) Suchen Sie selber zwei, drei Formeln aus der Formelsammlung heraus und lösen Sie diese nach einer anderen Variablen auf.



Lösungen 1. Reihenfolge der Steilheit von ägyptischen Pyramiden

x Wir zeichnen den Körper und legen einen geeigneten Schnitt. x Jetzt suchen wir einen Term, der die Steilheit ausdrückt.

(Der Winkel D zwischen der Fallgeraden und der Grundfläche wäre ein geeignetes Mass. Ohne Kenntnisse der Trigonometrie ist es uns aber noch nicht möglich, diesen Winkel zu berechnen.)

x Wir begnügen uns mit der Verhältniszahl � �¸¹

·¨©

§

2

,ah

ahs k .

Ort Höhe hk > @m

Länge a > @m Steilheit � �

¸¹

·¨©

§

2

,ah

ahs k

Medum 93 146.7 1.268 Dahschur 99 220 0.900 Gyzeh 1 146.6 230.4 1.273 Gyzeh 2 66.5 108.5 1.226

Pyramiden nach Steilheit geordnet: Gyzeh 1 > Medum > Gyzeh 2 > Dahschur

2.

NO G h V a ½ s2 s 1/6 s3

b ¼ s2 s 1/12 s3 c 1/8 s2 s 1/24 s3 d ½ s2 s 1/6 s3 e ½ s2 s 1/6 s3 f ½ s2 s 1/6 s3 g ½ s2 ½ s 1/12 s3 h ½ s2 ½ s 1/12 s3 i ½ s2 ½ s 1/12 s3

3. a) ahs 23

(siehe auch FS)

b) ahahaaaaaaah36

96

96

939

93

33 2

2222

2

22 � � �

� ¸¸¹

·¨¨©

§�

c) 3332k a

122a

43323a

332

43

31a

36a

43

31VhG

31V

��

D

hk

aa

a a

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

a)

aa

a

a

a

sh

kh

ah

aa33

23

32

�

k



Lösungen 4. a) Es entstehen 6 Pyramiden

a) GPyramide = GWürfel hPyramide = 1/2 kWürfel VPyramide = 1/6 VWürfel (ergibt sich aus a))

5. a) � �cabV31

a) b)

b) � �bacV31

6. a)

Abwicklung:

Die gesuchten Terme für Mantel M und Oberfläche S enthalten die Dreieckshöhe sh .

Mantel ss

s hshs

hsM ��

� 22

4);( Oberfläche 22);( shshsS ss ��

. b) Der Term zur Berechnung des Volumens V enthält die Körperhöhe hk.

Volumen kk hshsV �� 231),(

Die Körperhöhe hk und die Dreieckshöhe hs sind Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Es gilt folgender Zusammenhang (Pythagoras):

222

2¸¹

·¨©

§� shh ks oder

222

2¸¹

·¨©

§� shh sk

22

2¸¹

·¨©

§� shh ks

22

2¸¹

·¨©

§� shh s

Aus den Angaben in der Tabelle lässt sich entweder die Körperhöhe hk oder die Dreieckshöhe hs einfach berechnen. Die jeweils noch nicht berechnete Höhe erhalten wir durch Einsetzen der Zahlenwerte in die oben angegebenen Formeln.

Beispiel: Geg: 568.1 V > @3m ; 4.2 h > @ �m �� 4.231568.1 2s 4.1 s > @m

Die Berechnung der Kantenlänge k erfolgt mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks (Pyth).

Zahlenwerte einsetzen! Grundkante > @cms

Körperhöhe > @cmhk

Dreieckshöhe> @cmhs

Kante > @cmk

Mantel > @2cmM

Oberfläche > @2cmS

Volumen > @3cmV

6 4 5 5.83 60 96 48 12 8 10 11.66 240 384 384 10 12 13 13.93 260 360 400 18 12 15 17.49 540 864 1296 140 240 250 259.62 70`000 89`600 1`568`000

hhs

ss

khs

k

k

21s

22s

cb

a ab

c

sshs

hs

hs

hs



Lösungen zu 6. Repetition Masseinheiten.

Längen: m dm cm mm 1 10 100 1000

Flächen: m2 dm2 cm2 mm2 1 100 10`000 1`000`000

Volumina: m3 dm3 cm3 mm3 1 1`000 1`000`000 1`000`000`000

Hohlmass l Volumenmass: 1dm3 = 1 Liter

7. Die Dichte U eines Materials ist eine Materialkonstante. Vm

U »¼

º«¬

ª3dm

kg .

� Vm � U und UmV

Zur Berechnung der Masse eines Körpers benötigen wir also sein Volumen und seine Dichte.

� � � �� 33 dm79212,0mm7921202301412614120V kg179,679212,08,7m �

8. � � 33 dm403,0mm000'403130158535125V �� kg942,2403,03,7m �

9. Liter390600dm390600m6,39035,154,8V 33 ��

10. mm21333xx301515008080VV FlachstahlBlock ��

11. Der Mantel eines Kegels ist ein Sektor (FS S. 23).

Mantel Abwicklung

cm75.735.1073s 2 � 2cm81.243275.735.10rs2

sr2M ��S S �S�

22 cm17.277981.24325.10MGS �S� � oder

2cm17.2779)7511.735.10(5.10)sr(rS ��S �S

Ds

s s

b

21

21r = 10.5

73

14120 �

14126 �

230

158535125 ��

130



Lösungen 12. Dichte U siehe Aufgabe 7) mm30530055s 22

1 � mm755.3013005.32s 222 �

2mm08.601682

76.3011102230565211065S

��

��

mit 1mm Blechdicke: kg427.0060168.01.7mdm060168.0mm08.60168V 33 � �

13. m151h31h240240200'899'2m200'899'2V 3 ��

222 m925802

88.1922404Mm876.192151120s �

� �

14. 22

s cm96.6784

3148S22

31414A2

314h � ��

� �

�

32

2

2k cm53.1293899.914

312Vcm899.9

221414h ¸

¹

·¨©

§ � � ¸¸¹

·¨¨©

§ ��

15. a) 3cm400020203031V ��

b) 3cm6002021215

31V �

��

c) 32 cm3117243043

31V ��

d) 32 cm58453015436

31V ��

16.

a) 221

22 cm61.3232

18.1110410S18.11510s ¸¹

·¨©

§ ��

222 cm42.341

2210102

21010210S ¸

¸¹

·¨¨©

§ ��¸

¹

·¨©

§ ��

b) V1 = V2 , da G1 = G2 und h1 = h2

65

110

73 ss 12

s

240240

a

a

a

aa

a

a

hkhs

a

a

ahs

a hk

22a �

3020

20

1512

20

3030

24

15 15

30

10 10

1010

10

101s

1s10

51V 2V10

210 �10



Lösungen 17. Rechnen Sie alle Einheiten in dm umrechnen. m = (Vgrosse Scheibe – VLoch) M = (1.52� S � 0.7 – 0.52� S � 0.7) 7.8 = 34.31 kg 18. Rechnen Sie alle Einheiten in dm umrechnen. m = (Vg + Vm + Vk) M = (0.42 � 0.15 + 0.152 � S � 0.25 + 0.12 � S � 0.65) 7.8 = o.484 kg 19. Rechnen Sie alle Einheiten in m umrechnen. FBlechtafel = 1 � 1.5 = 1.5 m2 FScheiben = 33 � 0.12 � S = 1.0367 m2

FAbfall = 1.5 – 1.0367 = 0.4633

a) Abfall in % = %885.305.1

1004633.0

�

b) Einheiten in dm umrechnen m = FScheiben � 0.014 � 7.85 = 103.67� 0.014 � 7.85 =

20. M = S r s = S r 2r = 2 S r2 � r2 =S2

M �

r =2

MS

= S2

5.103 = 4.059 dm

hK = 23s = 3r

V = 31 S r2hK =

31 S r3 3 =

3059.43 3�S = 121.26 dm3

21. a = 2

d = 2

25 = 17.678 cm / h =16 cm; d = 25 cm

hs2 = h2 +

2

2a¸¹

·¨©

§ = 162 + 2

2678.17

¸¹

·¨©

§ � h = 2

17678162

2 ¸¹

·¨©

§�

h = 18.279 cm

S = a2 + 4 �2

ahs = 17.6782 + 2

279.18678.174 �� = 958.76 cm2

(VPyramide = 31 Gh =

31 a2h =

31 17.6782 � 16 = 1666.6 cm3)

22. a) V = 713 cm3

S = 446 cm2 c) V = 102 cm3

r

s = 2rKh

r

h

da

aaa

2a

sh

2a 2

a

2a

2a

2a

2a

2a

aaa



Lösungen

23. 33

3 57632

12412 cmV ¸¸¹

·¨¨©

§

��

662

3212 h

28.4982

662124 cmS ¸¸¹

·¨¨©

§ �

24. a) Kreissektor b)

D Umfang u cm Durchmesser d cm Höhe h cm Volumen V cm2 120° 18.85 6 8.49 80.02

240° 37.70 12 6.71 253 330° 51.84 16.5 3.6 256.6

25. a) b = u

b) cmursub 3236013516

236013582

3602

��

��

S

SS

SDS

c) 22

2 4.75360

1358360

cmsM ��

SDS

d) cmrG 3.28322 SS

e) 27.103 cmGMS �

f) cmrshk 42.738 2222 � �

g) 32

896.693

42.7331 cmhGV k

� �

S

h) Idee: Wir teilen den Kreissektor in immer kleiner werdende gleichschenklige Dreiecke, welche ihre Basis auf dem Bogen haben und ihre Spitzen im Mittelpunkt.

26. a) VZylinder = Gh = hr 2S

b) Vquadratische Pyramide = � � %22.21hr32hr2

31hr2

31 222

� ��

a) VSechseck-Pyramide = %57.27hr23h

22r3r6

31 2 � �

��

��

b) VPyramide mit vielen Ecken = %3.33hr31 2 �S

27. a) VKegel = 32 a31aa

31

S S

b) VDoppelkegel = 32

2

a6

2243

2a2a22

2a2

2a312 S

��S��

¸̧¸

¹

·

¨̈¨

©

§�S¸

¸¹

·¨¨©

§��

12

12

12212

212

212

212212

h

135°D� b = u

r

h s = 8cmk

rr

r

r rr2 �

2r3 �

a2

2a �

22a �



Lösungen

28. a) VKegel = 322

s24

32433ss

23s

2s

31 S

��

�S �S¸

¹

·¨©

§

b) VDoppelkegel = 32

2

s4243

s3s22s

23s

312 S

��

�S��

¸̧¸

¹

·

¨̈¨

©

§�S¸

¸¹

·¨¨©

§��

29. a) Bei der Rotation um die Katheten entstehen Kegel. Bei der Rotation um die

Hypotenuse entsteht ein Doppelkegel.

b) V1 = 32 cm4.7855.71031

�S

V2 = 32 cm589105.731

�S

V3 = 322 cm2.47186315.46

31

�S��S

30. V = � �212

22

1 rrrr3h

��S (FS 30): r1 = 10.5cm r2 = 16cm

V = Liter02.19dm02.19cm82.19021)165.10165.10(334 3322 � ��S

31. V = � �212

22

1 rrrr3h

��S (FS 30): r1 = 0.045m r2 = 0.105m

V = kg5.24775.0330mdm330m33.0)105.0045.0105.0045.0(3

75.17 3322 � � ��S

32. AV3h a) m

49h b) m

29h c) m

89h d) m3h

e) m6h f) m43h

hV

hV3r |S

g) m22.1r r h) m73.1r i) m87.0r k) m22.1r

33. 2

suM � a) cm80s 2cm4.112M 2cm163S

22 hrs � b) cm32s 2cm1.71M 2cm121S

MrS 2 �S c) cm68s 2cm8.51M 2cm4.64S

d) cm20s 2cm1.28M 2cm7.40S

s

s2

3s �

s23s �

ss2s

6

12.57.5

4.5

10

8

s

r

h

u



Lösungen 34. Um das Volumen zu Berechnen können Sie die Formel aus der Formelsammlung (FS 30) verwenden oder mit der hier aufgeführten Formel rechnen:

� �xrHR33

xr3

HRV 2222

��S

�S

��S

� �srSR2

sr22

SR22

su2

SUM ��S �S

��S

�

��

M)rR(MrRO 2222 ��S �S�S

a) Strahlensatz: 15xx830x66x

85x

� ��

� � 322 cm926.7741562083

V ��S

� � 22222 cm9.84561568208s6S8M ¸¹·¨

©§ ��S ��S

� � 222 cm06.11609.84568O ��S

b) Strahlensatz: 5xx820x44x

85x

� ��

� � 322 cm431.586541083

V ��S

� � 22222 cm32.4024548108s4S8M ¸¹·¨

©§ ��S ��S

� � 222 cm65.65332.40248O ��S

c) Strahlensatz: 10xx1240x88x

125x

� ��

� � 322 cm74.159110815123

V ��S

� � 22222 cm03.10468108121512s8S12M ¸¹·¨

©§ ��S ��S

� � 222 cm48.169903.1046812O ��S

35. � � 322Konus mm613'713'151515959180

31V ��S

mm361'3469035V 270dmitZylinder �S�

3250dmitZylinder mm715'1769025V �S�

kg69.83,7191,1mdm191,1mm537'190'1VVVV 3350:Z70:ZKeKonusbuchs � � ��

36. a) S 3Zylinder rV S 3

Kegel r31V S

S� 33

Kugel r32r

34

21V

a) Das Halbkugelvolumen liegt genau zwischen den beiden anderen Volumen.

37. 333KZstkörperRe

3Kegel

3Zylinder r

32r

31rVVVr

31V;rV S S�S � �S S

56

8

x

85

4x

85

12

x

Ss

H Ergänzungskegel

hR

r

x

102

70 50 118

90

180



Lösungen

38. a) 3Kugel

3Kegel

3Zylinder r

34V;r

32V;r2V S S S

b) � � 3r

34

r4xr34xr22

3

333

S

S �¸

¹·

¨©§ S S 3 Kugelvolumen entsprechen 2 Zylindervolumen.

c) � � 6r

32

r4xr32xr22

3

333

S

S �¸

¹·

¨©§ S S 6 Kegelvolumen entsprechen 2 Zylindervolumen.

39. 3Blei%15Blei

33Blei mm807.149122

10085VVmm596.175438dm1754.0

4.112V

� � �

erSchrotkörn84386VV

erSchrotkörnAnzahlmm767.175.034V

Schrotkorn

%15Blei33Schrotkorn � �

S �

40. a) dm72.1ddm86.04

6.23rr346.2dm6.2

75.02mV 333

Kugel � S

� �

S �

U

b) 322 cm930dm298.986.04S | �S

41. a23Ra3aleRaumdiagonrDurchmesse KugelWürfelKugel ��

33Kugel

33

Kugel dm77.21cm59.21765Va2

3a23

34V �

S ¸

¸¹

·¨¨©

§S

42. a) � � 3r34rV S

b) � � � � 33 r3

32r234r2V S

S

c) 333

r68

r34

2r

34

2rV S

�S

¸¹·

¨©§S ¸

¹·

¨©§

d) � � � � � � r3Roderr3Vr334r27

34r

3427rV27 333

S �

S

S� �

e) � � r41Roder

4rV

4r

34

64r

34r

34

641rV

641 33

3 ¸¹·

¨©§ ¸

¹·

¨©§S �

S

S� �

43. 3

Würfel kV Schnittfläche durch die Mittelebene

322

Pyramide2Oktaeder k61

243k2k2

2k

22k

312VV

��

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

¸¸¹

·¨¨©

§� �

Das Oktaedervolumen ist 61 des Würfelvolumens.

Durch Überlegungen kommen wir zum selben Ziel: Die Doppelpyramide fassen wir als eine

Pyramide auf (31

� des Würfelvolumens), zudem ist die Grundfläche der Doppelpyramide

halb so gross wie die Grundfläche des Würfels (61

31

21

�� des Würfelvolumens).

kk

k

k

22k



Lösungen 44. 3

Würfel kV

2

3k22

43k2212k

21

26k2kG

222Tetraeder

�

� ��

3k32hTetraeder

32

Tetraeder k31

33k2

23k

31hG

31V

��

oder: 33

32

3PyramideWürfelTetraeder k

31

31

2k4k

313k

31

23k4kV4VV �¸

¸¹

·¨¨©

§� �¸

¸¹

·¨¨©

§��

45. Liter85.3245.2

34

21V

3 ¸

¹·

¨©§S�

46. a) 33kleinKugelgrossKugel 13413

343V3V �S �S� �

333

grossKugel D6

D83

42D

34V S

�S

¸¹·

¨©§�S

mm75.18Rmm5.371346D1346DD6

134 3 33333 � �� S

�S

b) 22grossKugel mm86.441775.184S �S

22kleinKugel mm16.63711343S3 �S� �

%3.6916.637110086.4417

�

47.

a) 33

kleinWürfel33

grossWürfel cm45.1923

10V;cm100010V ¸̧¹

·¨̈©

§

33

kleinKugel33

grossKugel cm77.10032

1034V;cm60.5235

34V ¸̧

¹

·¨̈©

§�S �S

b) %25.191000

10045.192

�

c) %25.1960.52310077.100

�

2k232k

2k

2k

3k32

0.05 dm2.5 dm

K = 10cm

K

K

k

k k

K

R

R = 5cm cm3

10k cm32

10r

r2R

K = 10cm

K

K



Lösungen 48. a) � �S� S�S 2222

1 xrxrA

b) � � � �2222

22222 xrrdaxrrA � S� S

c) Die beiden Flächen sind unabhängig von x immer gleich gross. d) Auch die beiden sehr unterschiedlich geformten Volumen sind gleich gross.

e) 322KreiskegelZylinderHalbkugel r

32rr

31rrVVV S �S��S �

f) 33Kugel r

34r

322V S S�

49. a) Zählen wir die Grundflächen der verschiedenen Pyramiden zusammen, erhalten wir einen Näherungswert für die Kugeloberfläche. (Je kleiner wir zudem die einzelnen Grundflächen der Pyramiden werden lassen, umso näher kommen wir der Kugeloberfläche.) � A = S

Dabei entspricht die Höhe der Pyramiden h dem Kugelradius r.

b) 233 r4Sr4Srr34Sr

31

S �S �S

50. In der mathematischen Auseinandersetzung mit Körperberechnungen spielen auch Formeln

eine Rolle. Dabei ist es immer wieder notwendig, dass wir sie nach einer bestimmten Variablen auflösen müssen. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach den verschiedenen Variablen auf. (Sonderfälle werden nicht diskutiert.)

a) s = vt tsv

vst

b) gh21A

hA2g

gA2h

c) h2

caA ��

chA2a � a

hA2c �

caA2h�

d) 100

pKZ � p

Z100K �

KZ100p �

e) 100

pKKK 001 �

100p1

KK 10

�

� �0

01K

KK100p

�

f) D�q

S

360R2b

R2360bS

q� D

SDq�

2360bR

g) Suchen Sie selber zwei, drei Formeln aus der Formelsammlung heraus und lösen Sie diese nach einer anderen Variablen auf.

xrr

xxx 45°

r

r

A

A

2

2

2

1

M

Trigonometrie 1 Theorie / Arbeitsanleitung

20.06.12 41 gibb bms gest. / gew.

2.0. Vorbemerkung zur Goniometrie und Trigonometrie Mit Lehrsätzen und Formeln der PLANIMETRIE lassen sich Strecken aus Strecken sowie Winkel aus Winkeln berechnen. Die Satzgruppe von Pythagoras stellt Beziehungen zwischen Strecken im recht-winkligen Dreieck her; die Kreiswinkelsätze stellen Beziehungen her zwischen Peripheriewinkeln, Zentriwinkeln und Sehnentangentenwinkeln im Kreis. Das Problem der Berechnung von Strecken aus Winkeln und umgekehrt bleibt in der Planimetrie jedoch ungelöst: diese Lücke wird durch die Goniometrie und die Trigonometrie geschlossen. Die Goniometrie ist die Lehre von den Winkelfunktionen. Sie stellt Beziehungen zwischen Winkeln und Strecken her (griech. gonia = der Winkel). Die Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksberechnung mit Hilfe der Goniometrie. (griech. trigon = das Dreieck). 2.1. Die trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel 2.1.1. Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck In ähnlichen Dreiecken sind alle entsprechenden Winkel gleich. Ausserdem ist das Verhältnis entsprechender Seiten gleich. So ist in den unten gezeichneten, ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken das Seitenverhältnis zum Beispiel a : c = a’: c’ = a’’: c’’ = konstant. Daher können wir dem Winkel D das Seitenverhältnis a : c = a’ : c’ = a’’ : c’’ eindeutig zuordnen (d.h. unabhängig von der Grösse des rechtwinkligen Dreiecks kann einem bestimmten Winkel D stets ein bestimmtes Seitenverhältnis a : c zugeordnet werden und umgekehrt.).

E

aa'

a''

cc'

c''

b''

b'

b'

D

EEED

Statt das Verhältnis a : c könnten wir auch ein anders Verhältnis, z. B. b : c dem Winkel D eindeutig zuordnen. Geht man alle Möglichkeiten durch, so findet man 6 Seitenverhältnisse, die je dem Winkel D eindeutig zugeordnet werden können. Es sind jedoch nur drei solche Verhältnisse als trigonometrische Funktionen gebräuchlich und auf dem Rechner zu finden. Definitionen: Bezeichnungen: GK: Gegenkathete AK: Ankathete HYP: Hypothenuse

Def. 1: SINUS: HYPGK

=Įsin casin D (falls q J 90 )

Def. 2: COSINUS HYPAK

=Įcos cbcos D (falls q J 90 )

Def. 3: TANGENS AKGK

=Įtan batan D (falls q J 90 )

(Häufig treffen wir noch den COTANGENS an Įtan

1=

GKAK

=Įcot / Rechner cot D �Dtan

1)

Bemerkungen: Zwei Schreibweisen sind gebräuchlich: tan D = tg D und cot D = ctg D weiter gilt: sin D = sin (D) und sin2D = (sin D)2



Am rechtwinkligen Dreieck sind sofort folgende Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus ersichtlich:

ab

cA

C

BD E

E D cossin oder � �D�q D 90 cossin E D sincos oder � �D�q D 90 sincos

Ebenso geht aus dem rechtwinkligen Dreieck die (vorläufige) Beschränkung der Definitionsmenge D auf spitze Winkel hervor: Ein der Hypothenuse anliegender Winkel (z.B. D ) kann alle Werte zwischen 0° und 90° annehmen - es gilt also 0°� D � 90°. Bereits an dieser Stelle erweitern wir die Definitionsmenge um die beiden Argumente 0° und 90°. Die weitere Ausdehnung des Definitionsbereichs auf beliebige Winkel stellt kein Problem dar und wird in Kapitel 2 behandelt . 2.1.2. Trigonometrie und Funktionsbegriff

Die drei Seitenverhältnisse sind je eindeutige Zuordnungen zum Winkel D. Die trigonometrischen Funktionen (oder Winkelfunktionen) sin D, cos D und tan D besitzen je die Definitionsmenge D, die alle Winkel 0° < D < 90° umfasst. Die Wertemenge W besteht je aus allen zugeordneten Seitenverhältnissen. Die Pfeilrichtung o ordnet dem Winkel D ein Seitenverhältnis zu. Diese Funktionen heissen: „tangens D“; „sinus D“; „cosinus D“ Die Pfeilrichtung m ordnet dem Seitenverhältnis den Winkel D zu.

Diese Umkehrfunktionen heissen: „arcustangens ba “; „arcussinus

ca “; „arcuscosinus

cb “

Lernziele x Definitionen der trigonometrischen Funktionen auswendig können und anwenden. x Mit Hilfe des TR die Werte der trigonometrischen Funktionen und Umkehrfunktionen berechnen. x Winkel und Seiten von rechtwinkligen Dreiecken berechnen.

Wertemenge W Definitionsmenge D

Winkel D mit 0° � D � 90°

Seitenverhältnisse:

;cb;

ca;

ba

tan ; sin ; cos

arctan oder 1tan� arcsin oder 1sin � arccos oder 1cos�



Lösungshilfen Rundungsregeln:

Bei Streckenverhältnissen (z. B. tan D =ba

) runden wir auf 4 Kommastellen, bei Winkeln (z. B. D) runden

wir auf 1 Kommastelle. x Beispiel 1 (Nr. 2, 5, 8)

250.sin D , ? D Wir brauchen die Umkehrfunktion: q D 514250 ..arcsin

x Beispiel 2 (Nr. 3, 6, 9, 11)

Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC ( q J 90 ) mit c = 10 cm und q D 32 . a = ?, b = ?

1032 a

HGksin q o cm .sina 353210 q�

1032 b

HAkcos q o cm .5cosb 83210 q�

x Beispiel 3 (Nr. 10):

q D 10costan , ? D

98480.tan D o q D 64498380 ..arctan x Beispiel 4 (Nr. 12):

Zeigen Sie, dass folgende Beziehung stimmt: D D� sincos21 .

Zu zeigen: L = R , wobei linke Seite L = D� 2cos1 ; rechte Seite R =sinD . Beweis: Wir setzen definitionsgemäss die Seitenverhältnisse ein und formen um:

R = ca

Lca

ca

cbc

cb

cb

�

� ¸¹·

¨©§� 2

2

2

22

2

22

11

Aufgaben, Nr. 1 - 12

Inhalt Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff Sinus Cosinus Tangens vermischt

1 2 3ac 4 5 6ac 7 8 9 10ace 11ace 12abc

3b 6b 10 bdf 11bdf 12d

Pythagoras



2.1.3. Wichtige Funktionswerte der Winkelfunktionen xEinige Funktionswerte lassen sich (mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Definitionen) berechnen. Wir betrachten dazu zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke: gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ( Funktionswerte für 45° ablesen)

halbes gleichseitiges Dreieck (Funktionswerte für 30° und 60° ablesen)

45° 45°

11

2 30° 60°

2

31

Zur Vereinfachung werden die Längen der Katheten mit 1 angenommen.

Zur Vereinfachung wird die Dreiecksseitenlänge des zugehörigen gleichseitigen Dreiecks mit 2, die halbe Seitenlänge mit 1 angenommen.

Füllen Sie die Tabelle aus und kontrollieren Sie anschliessend mit der Formelsammlung:

Winkelf. D = 0° D = 30° D = 45° D = 60° D = 90°

sin D 0 1

cos D 1 0

tan D 0 nicht def.

Lernziele x Wichtige Funktionswerte der Trigonometrischen Funktionen mit Hilfe des gleischenklig-rechtwinkligen

und des halben gleichseitigen Dreiecks herleiten. Aufgaben, Nr. 13

Inhalt Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff Funktionswerte 13abc 13df 13e



2.1.4. Definition der Trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis (0°d D d 90°) Wir können die Trigonometrischen Funktionen auch am Einheitskreis definieren. Wir zeichnen im Ursprung des Koordinatensystems einen Kreis mit Radius = 1. Wir betrachten nun am Kreis einen veränderlichen Mittelpunktswinkel D , wobei der eine Schenkel immer auf der x-Achse liegt, der andere durch den auf der Kreislinie wandernden Punkt beweglich ist und alle Werte zwischen 0° und 90° annimmt. Definitionen des Sinus und Cosinus: Wir entdecken am Einheitskreis das rechtwinklige Dreieck OQP und verwenden die uns bekannten Definitionen:

PQPQHYPGKsin D

1

OQOQHYPAKcos D

1

Q

P

O

D

Dcos

Dsinr = 1

r = 1

Definitionen des Tangens Wir verlängern am Einheitskreis den Schenkel des Winkels und zeichnen rechts eine senkrechte Tangente an den Kreis, so dass das rechtwinklige Dreieck ORS entsteht. Nun verwenden wir die uns bekannte Definition:

RSRSAKGKtan D

1

D

Dcos

Dsin

Dtan

r = 1

r = 1

R

S

O

P

Q

x Auf das Koordinatensystem bezogen entspricht also die x-Koordinate des Punktes P dem Cosinus

von D , die y-Koordinate des Punktes P dem Sinus von D : P ( Dcos / Dsin ) x Am Einheitskreis sind auch leicht die Funktionswerte für 0° und 90° abzulesen, die schon in der

Tabelle „Wichtige Funktionswerte der Winkelfunktionen“ vorgekommen sind:

Winkelfunktion D = 0° D = 90° sin D 0 1 cos D 1 0 tan D 0 nicht definiert

Am Einheitskreis lassen sich auch zwei einfache Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen herleiten:

122 D�D cossin DD

Dcossintan



Lernziele x Sie kennen die Definitionen der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis, ebenso können Sie die

wichtigsten Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen herleiten. x Sie können am Einheitskreis die Werte von sinD , cosD und tanD ablesen und einzeichnen. Lösungshilfen Beispiel (Nr. 14): Wir illustrieren unsere Überlegungen an einem Kreis (Radius ca. r = 3 cm) und beschriften mit r = 1. Im Zentrum zeichnen wir den Winkel Į mit Farbe ein. Die entsprechenden Streckenlängen sin Į, bzw. cos Į, bzw. tan Į, markieren wir mit derselben Farbe wie den zugehörigen Winkel.

r = 1

tan D

cos D

sin D

D

Aufgaben, Nr. 14 - 17 Inhalt Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff Einheitskreis 14 15abdeghklno 16 15cfim 17 2.1.5. Steigungen Die Steigung (bzw. das Gefälle) wird als Quotient oder in Prozent angegeben:

Steigungsverhältnis: Steigung:

d.h. Steigung als Quotient: m = lh

d.h. Steigung in Prozent: p = %lh�100

Höhendifferenz h

Horizontale Länge l D

h = l � Steigung m = 1 oder p = 100 % � D = 45°

Der Quotient lh

entspricht aber auch der Definition des Tangens im rechtwinkligen Steigungsdreieck,

so dass folgende Beziehungen gelten:

D = lharctan m = Dtan , p = D� tan100



Lernziele x Sie können aus der Steigung in % den Steigungswinkel bestimmen und umgekehrt. x Sie können ausgehend von Geradengleichungen die Steigung in % und den Steigungswinkel

bestimmen. Lösungshilfen Beispiel: Eine Bergbahn überwindet eine Höhendifferenz von 240 Metern. Die horizontale Länge beträgt 1250 m. Zu berechnen ist die Steigung p im Prozent und der durchschnittliche Steigungswinkel D der Fahrbahn.

%.p 2191250240100 � q D 910

1250240 .arctan

Aufgaben, Nr. 18 - 24 Inhalt Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff Steigung Geradengleichung

18 adefg 19 20abcdf 21 22 23 24abc

18 bch 20 egh 24d

24ef

2.1.6. Vermischte Aufgaben aus der Geometrie Lernziele x Sie können mit Hilfe der Trigonometrischen Funktionen geometrische Aufgaben lösen. Aufgaben 3, Nr. 25 - 33 Inhalt Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff Dreieck, Rechteck Kreis Körper Trapez

25a 26b 27ac 28 29 30 31 32 1.3 (S.9)

25b 26a 27b 33

Trigonometrie 1 Aufgaben

20.06.12 48 bms gest / gew

Aufgaben zu 2.1.1. – 2.1.2.

1. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner sin Į (auf 4 Stellen nach dem Komma runden):

a) sin 24° b) sin 5.25° c) sin 67°

d) sin 67.1666° e) sin 0.1666° f) sin 89.9997°

2. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner Į (auf 1 Stelle nach dem Komma runden):

a) sin Į = 0.2974 b) sin Į = 0.9942 c) sin Į = 0.7716

d) sin Į = 0.5 e) 57740.

2

sin D

f) 1234503

. sin D

3. Berechnen Sie die fehlenden Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke ( q J 90 ) mit dem Sinus:

a) a = 32 cm Į = 42.5° b) c = 109 m ȕ = 46°

c) a = 10.7 cm c = 12.2 cm

4. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner cos ȕ (auf 4 Stellen nach dem Komma runden):

a) cos 59° b) cos

8.5042° c) cos

80.5°

d) cos 30° e) cos

0.00083333° f) cos

89.9997°

5. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner ȕ (auf 1 Stelle nach dem Komma runden):

a) cos ȕ = 0.5 b) cos ȕ = 0.3333 c) cos ȕ = 0.989

d) cos ȕ = 0.0204 e) cos ȕ = 0.9182 f) 88804

.cos E

5

6. Berechnen Sie die fehlenden Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke ( q J 90 ) mit dem Cosinus:

a) b = 17 dm Į = 23.5° b) c = 78 m ȕ = 42.5°

c) a = 8.1 cm c = 11.7 cm

7. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner tan Į (auf 4 Stellen nach dem Komma runden):

a) tan 72.9° b) tan

45° c) tan

15.333°

d) tan 5° e) tan

89.983333° f) tan

0.00027777°

8. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner Į (auf 1 Stelle nach dem Komma runden):

a) tan Į = 0.7673 b) tan Į = 5.5 c) tan Į = 99.999

d) tan Į = 1 e) 121202

.tan D

f) 197403

.tan D

9. Berechnen Sie die in Klammern angegebenen Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke ( q J 90 )

mit dem Tangens:

a) a = 42 m Į = 38.5° (Seite b) b) a = 7.4 cm b = 11.7 cm (Winkel Į)

10. Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner Į (auf 1 Stelle nach dem Komma runden):

a) sin Į = cos 70° b) sin Į = cos 24.1° c) cos Į = sin 16°

d) cos Į = sin 89.38333° e) sin Į = tan 44° f) tan Į = cos 1°

11. Berechnen Sie die fehlenden Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke ( q J 90 ), ohne den Satz von Pythagoras zu verwenden:

a) a = 113 cm b = 50 cm b) a = 20 cm c = 30 cm

c) b = 103 m c = 200 m d) a = 90 m ȕ = 32.5°

e) c = 300 m ȕ = 7° f) b = 73.2 m ȕ = 16°

12. Zeigen Sie, dass für 0° < Į < 90° die folgenden Beziehungen stimmen, indem Sie die Definitionen der Winkelfunktionen und falls nötig den Satz des Pythagoras verwenden.

Bemerkung: tan2

Į ist die Kurzschreibweise von (tan Į)2

.

a) sin Į = cos (90° – Į)

b) sin2

Į + cos2

Į

= 1

c) cos Į = D� 21 sin d) 1 + tan

2

Į =

D2

cos

1

ab

c

D E


20.06.12 49 bms gest / gew

Aufgaben zu 2.1.3.

13. Berechnen Sie ohne Taschenrechner (mit Hilfe der 45° und 30° / 60° Dreiecke) kontrollieren Sie

anschliessend mit dem Rechner.

a) sin 30° + cos2

30° b) cos2

45° + sin2

45°

c) tan 45° + cos 60° d) sin4

60° – cos4

60°

e) q��q� 301301 coscos f) sin 30° + cos 45°

Aufgaben zu 2.1.4.

14. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Treffen Sie Ihre Entscheidung, ohne die

einzelnen Funktionen zu berechnen. Überlegen Sie mit Hilfe des Einheitskreises, indem Sie die Streckenlängen am Einheitskreis einzeichnen:

a) sin 20° = sin 70° b) cos 80° = cos 10° c) cos 70° < cos 20°

d) sin 25° = cos 25° e) sin 45° > cos 45° f) sin 80° = cos 10°


einzelnen Funktionen zu berechnen. Überlegen Sie mit Hilfe des Einheitskreises.

a) sin 17° < sin 25° b) sin 80° > sin 80.333° c) sin 55° > sin 45°

d) cos 6° < cos 5° e) cos 55° > cos 54° f) cos 33° < cos 34°

g) tan 12° < tan 13° h) tan 26° = tan 64° i) tan 0.5° > 0

k) sin 0.001° < 0 l) cos 89.9° = 0 m) tan 50° > 1

n) sin 80° = 1 o) cos 0.2° < 1


einzelnen Funktionen zu berechnen. Überlegen Sie mit Hilfe des Einheitskreises.

a) cos 70° > sin 70° b) sin 20° = cos 70° c) cos 10° > sin 20°

e) sin 5° = tan 5° f) cos 1° = tan 45°

17. Ein regelmässiges Vieleck hat einen Inkreis mir Radius r = 1m. (Vergleichen Sie mit Überlegungen am

Einheitskreis.)

a) Zeigen Sie, dass der Umfang eines regelmässigen Sechsecks 12 � (tan 30°) cm beträgt.

b) Wie steht es mit den Umfängen anderer regelmässiger Vielecke (8 – eck, 12 – eck …)?

Stellen Sie Vermutungen auf und versuchen Sie diese zu beweisen.

Aufgaben zu 2.1.5.

18. Berechne zu jeder Steigung in % den zugehörigen Steigungswinkel Į:

a) 10% b) 6% c) 15%

d) 30% e) 70% f) 100%

g) 200% h) 18.5%

19. Skizzieren Sie eine Steigung von 100 %.

20. Berechnen Sie zu jedem vorgegebenen Steigungswinkel Į die zugehörige Steigung in%.

a) 5° b) 10° c) 20° d) 40° e) 70° f) 80°

g) 4.3° h) 6.38333°

21. Eine Strasse hat eine Steigung von 8%. Wie gross ist der Steigungswinkel?

22. Eine Treppe hat einen Auftritt von 26 cm bei einer Steigungshöhe von 17.5 cm. Berechnen Sie den

Steigungswinkel der Treppenwange.

23. Die betonierte Zufahrt zu einer Kellergarage fällt um 1.10 m. Wie lange wird die Bodenfahrbahn,

wenn der Neigungswinkel 8.5° beträgt?

24. Bestimmen Sie den Steigungswinkel Į bezogen auf die Horizontale (x-Achse) und die Steigung in % der jeweiligen Geraden:


20.06.12 50 bms gest / gew

a) y = 0.6x – 3 b) y = 1.8x + 4 c) y = 3x – 7

d) y = 5x + 4 e) 6x – 8y =–2 f) –3x + 6y = 1

Aufgaben zu 2.1.6.

25. Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks, wenn folgende Teile gegeben sind:

a) Diagonale AC = e = 58cm Winkel CAB = D1 = 37°

b) Diagonale AC = e = 74cm Winkel AMB = H = 108°

(M ist der Diagonalenschnittpunkt)

26. Ein Rechteck hat eine Länge von 9.5cm und eine Breite von 4.2cm.

a) Welchen Winkel schliessen die Seiten mit den Diagonalen ein?

b) Welche Winkel bilden die Diagonalen?

27. Berechnen Sie die fehlenden Grössen und den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks,

wenn gegeben sind:

a) Basis c = 34cm h = 19cm b) Basis c = 28cm Schenkel b = 20cm

c) h = 5.2dm J = 56.5°

28. Von einem schiefwinkligen Dreieck kennt man die Höhe ha = 45 mm und die Winkelmasse

D = 68.17° und E = 50.50°.

Gesucht sind die Seitenlängen des Dreiecks und sein Flächeninhalt.

29. An einen Kreis mit dem Radius r = 10cm ist von einem Punkt A ausserhalb des Kreises eine

Tangente gezogen. Der Punkt A ist vom Kreismittelpunkt M 18 cm entfernt.

Gesucht sind:

a) die Länge l des Tangentenstücks von A bis zum Berührungspunkt.

b) die Grösse des Winkels D zwischen der Tangente und der Geraden AM.

30. In einem Kreis mit dem Radius r = 10 cm ist eine Sehne der Länge 14 cm eingetragen.

Berechnen Sie:

a) die Grösse des Mittelpunktswinkels

b) die Länge des zugehörigen Bogens

c) den Flächeninhalt des zugehörigen Kreisabschnitts

31. Die Höhe eines geraden Kreiskegels beträgt 10 cm. Das Mass des Basiswinkels (Winkel

zwischen der Mantellinie und seiner Grundflächenprojektion) ist 62°.

Berechnen Sie den Radius r des Grundkreises.

32. Berechnen Sie die Masse der Winkel, welche eine Körperdiagonale eines Würfels…

a) …mit einer Kante…

b) …mit einer anderen Körperdiagonale bildet.

33. Durch eine Grundkante eines Würfels mit der Kantenlänge 12 cm wird eine um 25° geneigte Ebene

gelegt, die den Würfel in zwei Teilkörper zerlegt.

Berechnen Sie die Volumina der beiden Teilkörper.


20.06.12 51 bms gest / gew

Lösungen

Aufgaben zu 2.1.1. – 2.1.2.

1. a) 0.4067 b) 0.0915 c) 0.9205

d) 0.9216 e) 0.0029 f) 1 (aufgerundet !)

2. a) 17.3° b) 83.8° c) 50.5°

d) 30° e) 70.5° f) 21.3°

3. a) b = 34.92 cm c = 47.37 cm ȕ = 47.5°

b) a = 75.72 cm b = 78.41 cm Į = 44°

c) b = 5.9 cm Į = 61.3° ȕ = 28.7°

4. a) 0.5150 b) 0.9890 c) 0.1650

d) 0.8660 e) 1 (aufgerundet !) f) 0 (abgerundet !)

5. a) 60° b) 70.5° c) 8.5°

d) 88.8° e) 23.3° f) 109.3°

6. a) a = 7.39 dm c = 18.54 dm ȕ = 66.5°

b) a = 57.51 m b = 52.7 m Į = 47.5°

c) Į = 43.8° ȕ = 46.2° b = 8.45 cm

7. a) 3.2506 b) 1 (exakt) c) 0.2742

d) 0.0875 e) 3437.6779 f) 0 (abgerundet !)

8. a) 37.5° b) 79.7° c) 89.4°

d) 45° e) 13.8° f) 33.5°

9. a) b = 52.8 m

b) Į = 32.3°

10. a) Į = 20° b) Į = 65.9° c) Į = 74°

d) Į = 0.6° (gerundet) e) Į = 74.9° f) Į = 45° (aufgerundet !)

11. a) c = 123.6 cm Į = 66.1° ȕ = 23.9°

b) b = 22.36 cm Į = 41.8° ȕ = 48.2°

c) a = 171.4 m Į = 59° ȕ = 31°

d) b = 57.34 m c = 106.7 m Į = 57.5°

e) a = 297.8 m b = 36.56 m Į = 83°

f) a = 255.3 m c = 265.6 m Į = 74°

12. a) sin Į = cos (90° – Į) � E cos

c

a �

c

a

c

a

b) sin

2

Į + cos2

Į

= 1 � 1

c

b

c

a22

¸¹

·¨©

§�¸¹

·¨©

§ � 1

c

b

c

a

2

2

2

2

� � 1

c

ba

2

22

�

� 1

c

c

2

2

c) cos Į = D� 21 sin �

2

c

a1

c

b

¸¹

·¨©

§� � 2

2

2

2

c

a

c

c

c

b� �

2

22

c

ac

c

b � �

2

2

c

b

c

b �

c

b

c

b

d) 1 + tan2

Į =

D2

cos

1 �

2

2

c

b

1

b

a1

¸¹

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§ ¸

¹

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§� �

22

b

c

b

a1 ¸

¹

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§ ¸¹

·¨©

§� � 2

2

2

2

2

2

b

c

b

a

b

b � �

2

2

2

22

b

c

b

ab

� �

2

2

2

2

b

c

b

c


20.06.12 52 bms gest / gew

Lösungen

Aufgaben zu 2.1.3.

13. a)

4

5

b) 1 c)

2

3

d)

2

1 e)

2

1 f)

2

12 �

Aufgaben zu 2.1.4.

14. a) falsch b) falsch c) wahr

d) f e) f f) w

15. a) w b) f c) w

d) w e) f f) f

g) w h) f i) w

k) f l) f m) w

n) f o) w

16. a) f b) w c) w

e) f f) f

17. a) Die halbe Sechseckseite beträgt tan 30°

b) U8 = 16 · tan 22.5°, U12 = 24 · tan 15°. Allgemein: Un = 2n ·tan

n2

360q

Aufgaben zu 2.1.5.

18. a) 5.7° b) 3.4° c) 8.5°

d) 16.7° e) 35° f) 45°

g) 63.4° h) 10.5°

19. Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (horizontale Länge = Höhe / Steigungswinkel = 45°)

20. a) 8.7% b) 17.7% c) 36.4%

d) 83.9% e) 274.75% f) 567.13%

g) 7.52% h) 11.19%

21. 4.6° 22. 33.9° 23. 7.44 m

24. a) 31.0° / 60% b) 61.0° / 180% c) 71.6° / 300%

d) 78.7° / 500% e) 36.9° / 75% f) 26.6° / 50%

Aufgaben zu 2.1.6.

25. a) a = 46.3 cm b = 34.9 cm

b) a = 59.9 cm b = 43.5 cm

26. a) Į1 = 23.9° Į2 = 66.2°

b) °H = 132.3° M = 47.7°

27. a) Į = 48.2° J = 83.6° b = 25.5 cm A =323 cm2

b) Į = 45.6° J = 88.9° h = 14.3 cm A =200 cm2

c) b = 5.9 dm c = 5.6 dm

A =14.5 dm2

28. a = 61.7 mm b = 51.3 mm c = 58.3 mm A = 1388.25 mm2


20.06.12 53 bms gest / gew

Lösungen

29. a) AT = 15.0 cm b) Į = 33.7°

30. a) Į = 88.9° b) b = 15.5 cm c) A = 27.56 cm2

31. r = 5.32 cm

32. a) Į = 54.7° b) J = 70.5°

33. V1 = 403.2 cm3

V2 = 1324.8 cm3


20.06.12 54 bms gest / gew

Trigonometrie 2 Arbeitsanleitung / Theorie


B

C

AD E

J

c

b

c

a

h

B

C

A D

b

c

a

MDD

r

2.2. Trigonometrie am schiefwinkligen Dreieck Bisher haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen nur für Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck verwendet. Mit Hilfe des Sinus- und des Cosinussatzes lassen sich auch in Dreiecken mit beliebigen Winkeln - in sogenannten schiefwinkligen(allgemeinen) Dreiecken - Strecken und Winkel berechnen. 2.2.1. Sinussatz Definition

rcba 2ȖsinȕsinĮsin

Das Verhältnis „Seite : Sinus des gegenüberliegenden Winkels“ ist in einem gegebenen Dreieck konstant und doppelt so gross wie der Radius r des Umkreises. Beweis (1) Wir zerlegen das schiefwinklige Dreieck ABC durch die Höhe hc in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Danach berechnen wir hc im linken(grauen) Teildreieck aus b und D , im rechten(weissen) Teildreieck aus a und E . Durch Gleichsetzen erhalten wir dann einen Teil des Sinussatzes. Analog verfährt man mit den beiden anderen Höhen des Dreiecks und erhält den vollständigen Satz.

x Graues Teildreieck: bhc Dsin � Dsin� bhc

x Weisses Teildreieck: ahc ȕsin � ȕsin� ahc

x Gleichsetzen, umformen: Įsinȕsin � � ba � ȕsinĮsinba

(2) Wir zeigen nun noch, dass das Verhältnis „Seite : Sinus des gegenüberliegenden Winkels“ doppelt so gross ist wie der Umkreisradius r. Im grauen Teildreieck gilt:

ra5.0sin D � ar 5.0sin � D �

ar Įsin2 � ȕsin

2 br



Anwendungen Sind bei einem schiefwinkligen Dreieck alle Seiten und Winkel gesucht, verwenden wir entweder den Sinus- oder den Cosinussatz. Den Sinussatz verwenden wir, wenn folgende Teile gegeben sind:

w s w

w w sS s w

Zwei Winkel und die eingeschlossene Seite

Zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite

Zwei Seiten und der Winkel, der der grösseren Seite gegenüberliegt *

* Wenn der Winkel nicht der grösseren Seite gegenüberliegt, kann der Sinussatz trotzdem angewendet werden, es gibt aber zwei Lösungen. ĺ Siehe Lösungshilfen Lernziele x Sie kennen den Sinussatz auswendig und können ihn für die Berechnung an beliebigen

Dreiecken(inklusive Umkreisradius) anwenden. x Sie erkennen, wenn zwei Lösungen auftauchen und können die zweite Lösung mit Hilfe des

Einheitskreises bestimmen. Lösungshilfen x Beispiel 1: Sinussatz, eine Lösung Gegeben: Dreieck ABC mit c = 14 m, q D 1.57 und q E 4.44 Gesucht: Seitenlängen von a und b 1. q q�q�q 5.784.441.57180Ȗ , Innenwinkelsumme Dreieck. 2. WSW ĺ Sinussatz

ȖsinĮsinca

� ȖsinĮsin�

ca � m12m994.11

5.78sin1.57sin14

qq�

a

Ȗsinȕsincb

� Ȗsinȕsin�

cb � m10m996.9

5.78sin4.44sin14

qq�

b

x Beispiel 2: Sinussatz, zwei Lösungen Gegeben: Dreieck ABC mit b = 5 cm, c = 8 cm und q E 20 Gesucht: Winkel J und D 1. sSW ĺ Sinussatz Der gegeben Winkel E liegt der kleineren Seite gegenüber, also sind zwei Lösungen zu erwarten, wie die Dreieckskonstruktion zeigt: c = 8 cm und q E 20 abtragen:

A BcE



b = 5cm mit Zirkel abtragen: Dreiecke ABC1 und ABC2 , zwei Lösungen.

A BcE

b = 5 cm

b = 5

cm

C 1

C 2

1J

2J

2D 1D

2. Die spitzwinklige Lösung mit dem Sinussatz berechnen:

1Ȗsinȕsincb

� ȕsinȖsin 1 � � cb � b

c ȕsinȖsin 1�

�b

c ȕsinarcsinȖ1�

�

q q�

2.335

20sin8arcsinȖ1

Bemerkung: der Rechner liefert uns immer nur die spitzwinklige Lösung. 3. Die zweite, stumpfwinklige Lösung finden wir mit dem Einheitskreis: die Definition am Einheitskreis hat den Vorteil, dass sie für beliebige Winkel gilt !

sin(3

3.2°

)

sin(1

46.8

°)

PP'

q 331J q 331J

q q�q

8.146331802J

Allgemein: Liefert der Rechner die erste spitzwinklige Lösung 1Ȗ , so finden wir die zweite Lösung 2Ȗ mit

12 y180Ȗ �q .

q q�q 8.1462.331802y 2. Die restlichen Winkel finden wir mit der Innenwinkelsumme:

q q�q�q D 8.1262.33201801 und q q�q�q D 2.138.146201802



cB

C

A D E

J

c

ba

h

p c - p

Aufgaben Sinussatz Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff Nr. 1acd 2 1be 2.2.2 Cosinussatz Definition Įcos2222 �� bccba

ȕcos2222 �� accab Ȗcos2222 �� abbac

Beweis Wir zerlegen das schiefwinklige Dreieck ABC durch die Höhe hc in zwei rechtwinklige Teildreiecke. x Graues Teildreieck: (1) 222 phb c � � 222 pbhc �

x Weisses Teildreieck (2) 222 )( pcha c ��

x (1) in (2) einsetzen ĺ (3), umformen:

(3) 2222 )( pcpba ��

22222 2 pcpcpba ��

pccba 2222 ��

x Im grauen Teildreieck gilt weiter:

(4) bp

Įcos � Įcos� bp , in (3) einsetzen ĺ (5): Įcos2222 �� bccba

Anwendungen Sind bei einem schiefwinkligen Dreieck alle Seiten und Winkel gesucht, verwenden wir entweder den Sinus- oder den Cosinussatz. Den Cosinussatz verwenden wir, wenn folgende Teile gegeben sind:

s s s

s w s

Drei Seiten

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

Lernziele x Sie kennen den Cosinussatz auswendig und können ihn für die Berechnung an beliebigen Dreiecken

anwenden.



Lösungshilfen x Beispiel 1: Cosinussatz (sws) Gegeben: Dreieck ABC mit b = 10 m, c = 14 m q D 1.57 Gesucht: Seitenlänge a

Įcos2222 �� bccba ĺ Įcos222 �� bccba ĺ

m12996.111.57cos141021410 22 | q�� ma

x Beispiel 2: Cosinussatz (sss) Gegeben: Dreieck ABC mit a = 12cm, b = 10 m, c = 14 m Gesucht: Winkel D und E

Įcos2222 �� bccba ĺ 222Įcos2 acbbc �� ĺ bc

acb2

Įcos222 ��

�

q ��

��

1.5714102

121410cosar2

arccosĮ222222

bcacb

ȕcos2222 �� accab ĺ 222ȕcos2 bcaac �� ĺ ac

bca2

ȕcos222 ��

�

q ��

��

4.4414122

101412arccos2

arccosȕ222222

acbca

x Beispiel 3: Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für schiefwinklige Dreiecke! Wir setzen q J 90 in den Cosinussatz ein und erhalten den Satz von Pythagoras:

q�� 90cos2222 abbac ĺ 02222 �� abbac ĺ 222 bac � Aufgaben Cosinussatz Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff Nr. 3ab 3c 18 2.2.3. Vermischte und angewandte Aufgaben Sinus- oder Cosinussatz Nun müssen Sie selber entschieden, welcher Satz jeweils zur Anwendung kommt. Am besten machen Sie eine saubere Hilfskizze und schreiben auf, welche Teile (sss, sws, etc.) gegeben sind, bevor Sie sich entscheiden. Eine weitere Anwendung ist der Flächensatz für schiefwinklige Dreiecke.



B

C

AD E

J

c

b

c

a

h

Definition Flächensatz

2Ȗsin

2ȕsin

2Įsin �

�

�

abacbcA

Die Fläche A des schiefwinkligen Dreiecks kann aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel berechnet werden. Beweis

x Graues Teildreieck: (1) bhc Įsin � Įsin� bhc

x Fläche ganzes Dreieck: (2) 2chc

A�

x Einsetzen (1) in (2): (3) 2

Įsin��

bcA

Lernziele x Sie erkennen, wann der Sinus- oder der Cosinussatz angewendet werden muss und können beide

Sätze zum Berechnungen am schiefwinkligen Dreiecken anwenden. x Sie kennen den Flächensatz am schiefwinkligen Dreieck und können ihn anwenden. x Sie können angewandte Aufgaben, vor allem aus der Planimetrie, lösen. Vermischte Aufgaben Inhalt Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff Sinus- und Cosinussatz Flächenprobleme Vierecke Angewandte Aufgaben

4bc 5a 7 8a 9b 10ad 11 12 13 14

4ad 5b 6 8b 9a 10bc

15 16 17


19.06.2012 61 bms gest / gew

2.2.1. Sinussatz 1. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke: a) cm 23a q D 1.19 q E 3.72 b) mm 29c q D 42 q E 7.19 c) mm 65b mm 95c q J 1.34 d) m 5.70a m 2.30b q E 25 e) mk 42.6b km 91.8c q E 35 2. Berechnen Sie den Umfang des Umkreises des folgenden Dreiecks: cm 23a q D 1.19 2.2.2. Cosinussatz 3. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke: a) cm 8.5b cm 8.9c q D 4.81 b) cm 45a cm 38b cm 55c c) m 4.1a m 81b . q J 9.102 2.2.3. Vermischte und angewandte Aufgaben 4. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke: a) cm 5.46b cm 1.64w D q J 4.124 b) mc 68b cm 47sb cm 53c c) m 3.2c m2.3w E q D 119

d) mc 2.5b cm 1.7sa q J 6.104 5. Berechnen Sie den Flächeninhalt der folgenden Dreiecke: a) m125a m 138c q E 3.78 b) dm45a dm 50b dm56c 6. Von einem Dreieck mit dem Flächeninhalt A = 12 cm2 sind die beiden Seiten a = 8.2 cm und

b = 5.5 cm gegeben. Berechnen Sie den Winkel J des Dreiecks. Überlegen Sie sich, ob mehrere Lösungen möglich sind.

7. Von einem Dreieck mit dem Flächeninhalt A = 2.2 dm2 sind die Seite a = 4.5 dm und der Winkel

q E 35 gegeben. Berechnen Sie die fehlenden Seiten des Dreiecks. 8. Berechnen Sie die fehlenden Grössen des Parallelogramms ( AC e ):

a) cm23a cm26e q D 38 b) cm 12a cm 8b cm 15e 9. Berechnen Sie die fehlenden Grössen des Trapezes: a) cm 9a cm 5b q D 38 q E 79 b) cm 13a cm 5b cm 9c cm 4d


19.06.2012 62 bms gest / gew

10. Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Kreisabschnitts (Kreissegment): a) cm 2.5r q D 110 b) cm 12r cm 18b c) cm 5r cm 2.7s d) cm 8r cm 2h

11. Von einem regulären Tetraeder mit der Kante s wird gemäss Zeichnung die Spitze abgeschnitten.

Welchen Zwischenwinkel D bildet die Grundfläche ABC mit der Fläche ADE ?

12. Die Entfernung der beiden Orte Pisa und Quinten kann wegen eines dazwischen liegenden Berges

nicht gemessen werden. Gemessen werden können aber IPRI = 290 m, IRQI = 600m und q H 100 . Berechnen Sie die Entfernung zwischen Pisa und Quinten.

13. Ein 2,6 m langer Stab ist um 70° gegen die Horizontale geneigt und wirft einen 4,8 m langen

Schatten. Berechnen Sie den Winkel D der Sonnenstrahlen mit der Horizontalen (die Sonnenhöhe), wenn die Sonnenstrahlen in die Ebene des Neigungswinkel einfallen.


19.06.2012 63 bms gest / gew

14. Der Mittelpunkt des Ziffernblattes einer Turmuhr befindet sich in h = 60 m Höhe und erscheint von einem bestimmten Punkt aus unter dem Erhebungswinkel von q D 6142. . Der untere Rand des

Zifferblattes erscheint vom selben Punkt aus unter einem Erhebungswinkel von q E 6141. :

0.5

xh

e

DE

Berechnen Sie den Durchmesser x des Ziffernblattes. 15. Zeigen Sie, dass für jedes Dreieck ABC mit q J 60 gilt: � � abcba � � 22 16. Gegeben ist das Rechteck ABCD, mit IABI = 210 cm, IADI = 99 cm.

Es gilt weiter: ICPI = IPQI = IDQI. Beurteilen Sie, ob die Dreiecke ABP und ABQ rechtwinklig sind.

17. Gegeben sind vier gleiche Quadrate mit der Seite 40mm.

Beurteilen Sie, ob der Winkel x = 45° ist.

18. Setzen Sie im Cosinussatz zuerst q J 0 und dann q J 180 ein und vereinfachen Sie. Interpretieren Sie die Ergebnisse.


19.06.2012 64 bms gest / gew

Lösungen 2.2.1. Sinussatz 1. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke: a) cm66.96b cm70.27c q J 6.88 b) mm04.22a mm11.10b q J 3.118 c) mm 6.141a q D 3.123 q E 56.22

d) q D 6.801 q J 4.741 m83.68c1 q D 4.992 q J 6.552 m96.58c2 e) q D 25.921 q J 75.521 km18.11a1

q D 75.172 q J 25.1272 km41.3a2 2. Berechnen Sie den Umfang des Umkreises des folgenden Dreiecks: cm35.14r , cm220.8U 2.2.2. Cosinussatz 3. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke: a) cm62.10a q E 70.32 q J 90.65 b) q D 22.54 q E 24.43 q J 54.82 c) m 515.2c q D 86.32 q E 24.44 2.2.3. Vermischte und angewandte Aufgaben 4. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke: a) cm28.92a mc 6.124c q D 67.37 q E 93.17

b) cm62.62a q D 84.60 q E 50.71 q J 66.47 c) m9.6a cm 5.5b 1.44ȕ q q 9.16Ȗ d) cm396.7a mc 06.10c q D 37.45 q E 03.30 5. Berechnen Sie den Flächeninhalt der folgenden Dreiecke:

a) 2m80.8445A b) 2md 1070A 6. zwei Lösungen q J 15.321 q J 8.1472

7. dm 25.3b dm1.71c

8. Berechnen Sie die fehlenden Grössen des Parallelogramms:

a) cm 7.3b cm 21.20f q E 142 b) cm 82.13f q D 9284. q E 0895. 9. Berechnen Sie die fehlenden Grössen des Trapezes: a) cm 77.1c cm 97.7d q J 101 q G 142 b) q D 36.77 q E 32.51 q J 68.128 q G 64.102 10. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Kreisabschnitts (Kreissegment): a) 2cm13A b) 2cm36A

c) 2cm6.7A d) 2cm5114A .

11. q D 49.29


19.06.2012 65 bms gest / gew

Lösungen 12. Die Entfernung beträgt m3.710

13. Der Winkel D der Sonnenstrahlen mit der Horizontalen beträgt q32

14. Der Durchmesser des Ziffernblattes beträgt m15.4

15. Cosinussatz mit q60 und Binomische Formeln verwenden. 16. Die Dreiecke sind nicht rechtwinklig. Die Winkel APB und AQB sind je q997125.89

17. Der Winkel x ist genau q45 18. Die in beiden Fällen liegen die drei Punkte auf einer Strecke liegen, können wir hier nicht mehr von

Dreiecken sprechen. q J 0 : c = Ia – bI o c ist die Differenz der Strecken a und b.

q J 180 : c = a + b o c ist die Summe der Strecken a und b.


19.06.2012 66 bms gest / gew



3. Die Funktionen sin, cos, tan für 0° < Į < 360° 3.1. Einheitskreis 3.1.1. Einleitung Wir zeichnen einen Kreis mit Radius 1 ins Zentrum des rechtwinkligen Koordinatensystems und lassen nun einen Punkt P von der x-Achse aus auf der Kreislinie im Gegenuhrzeigersinn rotieren, so dass der Zentriwinkel D immer grösser wird.

D ist Null D ist spitzwinklig D ist stumpfwinklig Nach einer vollen Umdrehung beträgt der Zentriwinkel 360°, was wieder der Ausgangslage entspricht. 3.1.2. Winkel des ersten Quadranten (0° < Į < 90°) Wir haben bereits in Trigonometrie 1 die Definiton der Winkelfunktionen am Einheitskreis kennengelernt: Auf das Koordinatensystem bezogen entspricht also die x - Koordinate des Punktes P dem Cosinus von D , die y-Koordinate des Punktes P dem Sinus von D : P ( Dcos / Dsin ) Bemerkung: Den Tangens liest man immer auf der rechten Kreistangente ab, diese Gerade wird deshalb auch Tangensträger genannt.

y

x

P0q D 00r = 1

y

x

P1

1D

r = 1

y

x

P2

2D

r = 1

O

P

sin D

tan D

cos DD



3.1.3. Winkel aller Quadranten (0° < Į < 360°) x Zeichnen Sie die Definitionen der Trigonometrischen Funktionen in den drei weiteren Quadranten

des Koordinatensystems ein (r = 1):

y

x

2. Quadrant

y

x

3. Quadrant

y

x

4. Quadrant

90° < Į < 180° 180° < Į < 270° 270° < Į < 360° x Wir können nun mit Hilfe des Einheitskreises die Vorzeichen der Funktionswerte der

Trigonometrischen Funktionen in den verschiedenen Quadranten bestimmen:

1. Quadrant 0° < Į < 90°

2. Quadrant 90° < Į < 180°.

3. Quadrant 180° < Į < 270°

4. Quadrant 270° < Į < 360°

sin Į + + - - cos Į + - - +

tan Į = DD

cossin

+ - + -

x Wir können nun mit Hilfe des Einheitskreises einige Funktionswerte der Trigonometrischen

Funtkionen in für folgende Winkel ohne Taschenrechner bestimmen: 0° 90° 180° 270° 360° sin Į 0 1 0 -1 0 cos Į 1 0 -1 0 1 tan Į 0 -- 0 -- 0 Lernziele x Sie kennen die Definitionen der Trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan für beliebige Winkel. x Sie kennen die Beziehungen am Einheitskreis und können die Funktionswerte von 0°, 90°, 180°, 270°

ablesen, ebenso die Vorzeichen der Funktionswerte. Aufgaben Aufgabenblätter Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff 1 2abc 3 4 2d



3.2. Das Bogenmass Wir haben bis jetzt die Winkelgrössen mir Altgrad (Degree) angegeben. Das Verhältnis zwischen Bogenlänge und zugehörigem Radius eines Kreissektors ist ebenfalls als Winkelmass geeignet. Definition:

rb

D� „Einheit“ Radiant

D

br

Das Bogenmass ist eine Verhältniszahl und hat eigentlich keine Dimension, keine Einheit. Das Verhältnis ist nur von der Grösse des Zentriwinkels D abhängig. Deshalb lässt sich das Bogenmass auch als Masszahl der Bogenlänge (arcus) am Einheitskreis auffassen. Umrechungsformeln:

D�q

S D

180� D�

Sq

D�180 oder: S q 2360

Gradmass D 0° 45° 60° 90° 180° 360°

57.3...°

Bogenmass D� 0 4S

3S

2S S S�2 1

Taschenrechner Kontrollieren Sie immer zuerst, ob der TR auf DEG oder RAD (Modes) eingestellt ist. Die Normaleinstellung ist DEG (Geometrie !). Lernziele x Sie können Gradmass in Bogenmass und umgekehrt verwandeln x Sie können das Bogenmass am Einheitskreis und an Funktionsgraphen anwenden. Aufgaben Aufgabenblätter Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff 5ace 6ace 7acegi 8ace 5bdf 6bdf 7bdfhk 8bdf



3.3. Die Graphen der Winkelfunktionen http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ Wir verwenden die aus der Funktionslehre üblichen Bezeichnungen, d.h. der Funktionswert, die abhängige Variable bezeichnen wir mit y oder f(x), das Argument oder die unabhängige Variable mit x (x steht also für den Winkel (Į), y für das Seitenverhältnis). 3.3.1. Sinusfunktion y = sin (x) Die Zuordnung x � sin (x) für x� R heisst Sinusfunktion. Wir betrachten den Graphen im Intervall

qddq� 360x360 ; SddS� 2x2 :

Eigenschaften: Funktionswerte }1y1y{W dd�

Achsensysmmetrie S��S

q��q k2

180k90x , Zk �

Punktsymmetrie )0/180k( q� ; )0/k( S� , Zk � Periodizität )xsin()k2xsin()360kxsin( S�� q�� , Periodenlänge T = 360° = S2 3.3.2. Cosinusfunktion y = cos (x) Die Zuordnung x � cos (x) für x� R heisst Cosinusfunktion. Wir betrachten den Graphen im Intervall

qddq� 360x360 ; SddS� 2x2 :

Eigenschaften: Funktionswerte }1y1y{W dd� Achsensysmmetrie S� q� k180kx , Zk �

Punktsymmetrie )0/180k90( q��q ; )0/k2

S��S , Zk �

Periodizität )xcos()k2xcos()360kxcos( S�� q�� , Periodenlänge T = 360° = S2



3.3.3. Tangensfunktion y = tan (x)

Die Zuordnung x � tan (x) für Z}k ,180k{90\Rx �q��q� ; ¿¾½

¯® �S��S

� Zk ,k2

\Rx , heisst

Tangensfunktion. Wir betrachten den Grafen im Intervall qddq� 360x360 ; SddS� 2x2 : Die Tangensfunktion xxfy tan)(

Bemerkung: die senkrechten Striche gehören nicht zum Grafen der Tangensfunktion. Sie stellen die vertikalen Asymptoten dar. Eigenschaften: Funktionswerte RW Achsensysmmetrie keine Punktsymmetrie )0/180k( q� ; )0/k( S� , Zk �

Asymptoten � � q�� 901k2x ; � �2

1k2x S�� , Zk �

Periodizität )xtan(kxtan()180kxtan( S�� q�� , Periodenlänge T S q 2180 3.3.4. Allgemeine Bemerkungen: x Negative Winkel

In der Mathematik werden die positiven Winkel im Gegenuhrzeigersinn, die negativen somit im Uhrzeigersinn abgelesen. An der Ablesung der Werte am Einheitskreis ändert sich nichts. Beispiele sin (-45°) = sin (360° - 45°) = sin (315°) = 0.707….

cos (-210°) = cos (360° - 210°) = cos (150°) = - 0.866… x Periodizität, Winkel grösser als 360°

Die Trigonometrischen Funktionen sind periodisch, d.h. die Funktionswerte wiederholen sich immer wieder (bei sin und cos nach 360°, bei tan nach 180°). Haben wir es bei Betrachtungen am Einheitskreis oder an Funktionsgraphen mit Winkeln grösser als 360° zu tun, so subtrahieren wir

q�360n , so dass das Resultat zwischen 0° und 360° liegt. Beispiele cos (400°) = cos (400° - 360°) = cos (40°) = - 0.866… sin (1000°) = sin (1000° - 2·360°) = sin (280°) = 0.766…



x Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

Auf Seite 28 der Formelsammlung (Kapitel 6.4.) finden sich viele Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen. Sie sollten in der Lage sein, die Beziehungen mit Hilfe des Einheitskreises oder der Funktionsgraphen herzuleiten (Additionstheoreme werden nicht verlangt). Es schadet Ihrer Gesundheit auch nicht, wenn sie die eine oder andere Beziehung auswendig können…

Lernziele x Sie können die Funktionsgraphen von sin, cos und tan zeichnen und kennen ihre wichtigsten

Eigenschaften. x Sie können die Funktionswerte – insbesondere die Vorzeichen – der Funktionswerte am Graphen

ablesen Aufgaben Aufgabenblätter Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff 9 10 11a 12 13 14 15ac 11bc 15bd 13 3.4. Abbildungen der Sinusfunktion )xsin(y 3.4.1. f(x) = a�sin(x) Der Einfluss von a: a > 0: Streckung mit Faktor a von der x-Achse aus in Richtung y-Achse a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-Achse

)sin()( xxf ; )3sin()( xxg ; )5.0sin()( xxh ; )sin()( xxi �



3.4.2. f(x) = sin(b�x) Der Einfluss von b:

b > 0: Streckung mit Faktorb1 von der y-Achse aus in Richtung x-Achse

b < 0: zusätzlich Spiegelung an der y-Achse

)sin()( xxf ; )3sin()( xxg ; )5.0sin()( xxh ; )sin()( xxi � 3.4.3. f(x) = sin(x – u) Der Einfluss von u: u > 0: Verschiebung in Richtung der x-Achse nach rechts u < 0: Verschiebung in Richtung der x-Achse nach links

)sin()( xxf ; � �q� 60sin)( xxg ; � �q� 30sin)( xxh



3.4.4. f(x) = sin(x) + v Der Einfluss von v: v > 0: Verschiebung in Richtung der y-Achse nach oben v < 0: Verschiebung in Richtung der y-Achse nach unten

)sin()( xxf ; � � 1sin)( � xxg ; � � 2sin)( � xxh Wir fassen also zusammen: Schieben und Strecken der Winkelfunktion y = f(x) = sin(x) Die Winkelfunktion v))ux(bsin(ay �� geht durch Schiebung und Streckung (Spiegelung) aus der Winkelfunktion )xsin(y hervor. Dabei bedeuten: a: Streckung von der x-Achse aus (Spiegelung) mit Faktor a

b: Streckung von der y-Achse aus (Spiegelung) mit Faktor b1

u: Verschiebung in Richtung der x-Achse um u Einheiten v: Verschiebung in Richtung der y-Achse um v Einheiten



3.5. Die allgemeine Sinusfunktion )cxbsin(ay �� , (0 d x d 2 S< oder 0 d x d 360°) a: Der Parameter a heisst Amplitude der Sinuskurve und gibt den maximalen Funktionswert von f (x)an. b: Der Parameter b heisst Frequenz der Sinuskurve und gibt die Anzahl der vollständigen Perioden in einem Intervall der Länge 360° = S2 an. c: Der Parameter c heisst Phasenverschiebung der Sinuskurve, wobei wegen

¸̧¹

·¨̈©

§¸¹

·¨©

§ �� bcxbsina)cbxsin(ay und

bcu � wieder die bekannte Schreibweise

))ux(bsin(ay �� resultiert. Die Verschiebung in x-Richtung erfolgt also um den Faktor bcu � .

T: Periodenlänge, b

2b

360T S

q ))ux(bsin(a ��

Beispiele: 1. Skizzieren Sie den Graphen von 1)4x2sin(3y �� (Bogenmass) Lösung: Wir entwickeln den Graphen ausgehend von )xsin()x(fy 00 :

(1) Strecken mit Faktor 21

b1 in x-Richtung: )x2sin()x2(f)x(fy 011

(2) Strecken mit Faktor 3 in y-Richtung: )x2sin(3)x(f3)x(fy 122 � � (3) Schieben um 2 Einheiten nach rechts: )4x2sin(3))2x(2sin(3)2x(f)x(fy 233 � � � (4) Scheiben um 1 Einheit nach oben: 1)4x2sin(31)x(f)x(fy 344 �� (1)

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

3

2

1

1

2

3

4

g x( )

h x( )

x



(2)

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

3

2

1

1

2

3

4

h x( )

i x( )

x (3)

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

3

2

1

1

2

3

4

i x( )

k x( )

x (4)

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

3

2

1

1

2

3

4

f x( )

k x( )

x



2. Betrachten Sie die Winkelfunktion ¸¹

·¨©

§ q�� 60x32sin

21y (Gradmass, Graph zur Illustration)

60 30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540

1

0.5

0.5

1

1.5

2

f x( )

x Berechnen Sie: (1) den Schnittpunkt P mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) (2) die Periodenlänge T (3) die kleinste positive Nullstelle N (4) das erste Maximum H (5) das erste Minimum T Lösung:

(1) 0x � 433.060032sin

21y � ¸

¹

·¨©

§ q��

(2) q q

540

32

360T

(3) 0y � q ¸¹

·¨©

§ q�� 9060x32sin

210

(4) Die Sinusfunktion )xsin( hat beim ersten Maximum H ein Argument von 90°:

906032

q�� Hx � 0.5);225q (H

(5) Die Sinusfunktion )xsin( hat beim ersten Minimum T ein Argument von270°:

2706032

q�� Tx � 0.5);495 �q (T



3. Gegeben ist ein Graph der Sinusfunktion v)cxbsin(ay �� . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

90 45 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540

2

1

1

2

f x( )

x Lösung: Wir erstellen ein Gleichungssystem, um b und c zu berechnen. a und v sind einfach zu bestimmen. Grundprinzip: wir vergleichen Punkte des Graphen der gesuchten Funktion mit charakteristischen, bekannten Punkten der Sinusfunktion )xsin(y : Hoch- und Tiefpunkte, Nullstellen (wenn v = 0) Die Gleichungen werden wie folgt gebildet: Linke Seite: PunktbeimWinkelb � + c der gesuchten Funktion. Rechte Seite: Winkel der Sinusfunktion )xsin(y beim entsprechenden Punkt in der gleichen Periode.

270cb2

495

90cb2

225

�

� oder

180cb1800cb45

� �

� 34b , q� 60c

Dazu 23a , 0d � ¸

¹

·¨©

§ � 60x34sin

23)x(fy

Lernziele x Sie kennen den Einfluss der Parameter a, b, c, d der Allgemeinen Sinusfunktion x Sie können die Graphen im Bogen- und Gradmass zeichnen x Sie können die Funktionsgleichungen aus dem Graphen ablesen Aufgaben Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff 16 17 18 19 20 23 24 26 28 22 25 27 29


19.06.2012 79 bms gest / gew

3.1. Einheitskreis 1. Tragen Sie die unten gezeichneten Winkel im 2., respektive im 3. Quadranten vollständig ein, lesen

Sie die Winkel mit dem Geodreieck ab, bestimmen Sie am Einheitskreis die Sinus- Cosinus- und Tangenswerte. Vergleichen Sie mit den Resultaten auf dem Taschenrechner.

(Einteilung Einheitskreis: 5 Häuschen = 1, Genauigkeit 0.2)

a) cm a 23 q D 119. q E 372. 2. Bestimmen Sie sämtliche Lösungen aus dem Intervall 0° < D < 360°. Die erste Lösung finden Sie

mit dem Taschenrechner. Für die weiteren Lösungen verwenden Sie den Einheitskreis: zeichnen Sie die Winkel und die Strecken mit der entsprechenden Länge beim Einheitskreis ein.

a) 7.0)sin( D b) 4.0)cos( E

L L

y

x

y

x


19.06.2012 80 bms gest / gew

c) 2.1)tan( D d) 95)cos( � E

L L 3. Füllen Sie die folgende Tabelle aus (FS S.26, Einheitskreis)

0° 45° 60° 90° 120° 135° 180° 240° 270° 300° 315° 360° sin(x)

cos(x)

tan(x)

4. Bestimmen Sie die Funktionswerte (sin, cos, tan) der folgenden Winkel.

a) q D 310 b) q� E 75 c) q G 1800 d) q H 999 3.2. Bogenmass 5. Gegeben sind die Winkel im Gradmass. Verwandeln Sie in das Bogenmass.

a) q D 35 b) q D 278 c) q� D 76 d) q D 1.78 e) q D 100 f) q D 370 6. Gegeben sind die Winkel im Bogenmass. Verwandeln Sie in das Gradmass.

a) rad4S

D b) rad 83S D c) rad 10 D

d) rad9S

D e) rad 23.1 D f) rad 2� D

7. Berechnen Sie mit Hilfe Ihres TR. Die Winkel sind im Bogenmass angegeben:

a) ¸¹

·¨©

§ S6

sin b) � �1sin c) � �4sin � d) � �14.3sin �

e) sin ¸¹·

¨©§ S10

f) � �2cos g) � �8cos � h) � �07.1cos

i) ¸¹

·¨©

§ S4

tan k) � �10tan �

y

x

y

x


19.06.2012 81 bms gest / gew

8. Bestimmen Sie D im Bogenmass 0 Sdd 2x : a) � � 387.0sin D b) � � 0182.0sin � D c) � � 498.0cos � D d) � � 787.0cos D e) � � 05.10tan D f) � � 814.0tan � D 3.3. Die Graphen der Winkelfunktionen 9. Zeichnen Sie den Graphen der Trigonometrischen Funktionen mit dem Graphikrechner. Nehmen Sie

Ihren Grafikrechner (TI - 89). Stellen Sie ihn auf (DEG). Schalten Sie in den Funktionsmodus (y=). Löschen Sie ev. vorhandene Funktionsgleichungen. Geben Sie die erste Funktion sin(x) ein. Schalten Sie um in die Fenstereinstellungen WINDOW. Hier geben Sie ein: xmin = - 360, xmax = 360, xscl = 45, ymin = - 1, ymax = 1, yscl = 0.5, xres = 1. a) Zeichen Sie den Graphen von y = sin (x). Skizze, Feststellungen festhalten. b) Zeichen Sie den Graphen von y = cos (x). Skizze, Feststellungen festhalten.

10. Schalten Sie um in die Fenstereinstellungen WINDOW. Hier geben Sie ein: xmin = - 360, xmax = 360, xscl = 45, ymin = - 4, ymax = 4, yscl = 1, xres = 1. Zeichen Sie den Graphen von y = tan (x). Skizze, Feststellungen festhalten.

11. Zeichnen Sie mit Hilfe des Einheitskreises die Graphen der Trigonometrischen Funktionen. Ohne

Taschenrechner, einziges Hilfsmittel Geodreieck (Vorlagen auf mm-Papier beim Lehrer holen).

a) y = sin (x) b) y = cos (x c) y = tan (x) 12. Füllen Sie die Tabelle aus:

Definitionsmenge Wertemenge Periodenlänge Nullstellen

sin (x)

cos (x)

tan(x)

13. Bestimmen Sie sämtliche Lösungen aus dem Intervall 0° < D < 360°, wenn (FS S. 26, Einheitskreis oder Funktionsgraphen):

a) 21)sin( D und 0)cos( �D b)

22)cos( D und 0)tan( �D

c) 3)tan( D und 0)cos( �D 14. Vereinfachen Sie mit Hilfe des Einheitskreises oder mit Hilfe der Funktionsgraphen:

a) D�q )90cos( b) D�q )270sin( 15. Vereinfachen Sie folgende Terme (FS S. 28):

a) )270sin()90sin( D�q�D�q b) )360cos()180cos( D�q�D�q

c) )90tan()90tan(

D�qD�q d)

)180cos()90sin(D�qD�q


19.06.2012 82 bms gest / gew

3.4. und 3.5. Abbildungen der Sinusfunktion, allgemeine Sinusfunktion 16. Skizzieren Sie die Graphen ins gleiche Koordinatensystem. Durch welche Abbildungen geht der

Graph jeweils aus der Kurve y = sin(x) hervor? Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = 0°, xmax = 540°, xscl =90°, ymin = -3, ymax = 3, yscl = 1, xres = 1. a) )xsin(y b) )xsin(3y �

c) )xsin(5.0y � d) )xsin(y �

17. Skizzieren Sie die Graphen ins gleiche Koordinatensystem. Durch welche Abbildungen geht der

Graph jeweils aus der Kurve y = sin(x) hervor? Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = 0°, xmax = 540°, xscl =90°, ymin = - 1, ymax = 1, yscl = 1, xres = 1.

a) )xsin(y b) )x3sin(y � c) )x5.0sin(y � d) )xsin(y �

18. Skizzieren Sie die Graphen ins gleiche Koordinatensystem. Durch welche Abbildungen geht der

Graph jeweils aus der Kurve y = sin(x) hervor?

Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = 0°, xmax = 540°, xscl = 30°,

ymin = - 1, ymax = 1, yscl = 1, xres = 1.

a) )xsin(y b) � �q� 60xsiny

c) � �q� 30xsiny 19. Skizzieren Sie die Graphen ins gleiche Koordinatensystem. Durch welche Abbildungen geht der

Graph jeweils aus der Kurve y = sin(x) hervor? Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = 0, xmax = 540°, xscl = 60°, ymin = -3, ymax = 2, yscl = 1, xres = 1.

a) )xsin(y b) 1)xsin(y � c) � � 2xsiny � 20. Skizzieren Sie den Graphen. Könnten Sie dies auch ohne TR? Überlegen Sie ich zuerst, wo und wie

die Kurve zu liegen kommt. Welche Abbildungen kommen vor, wenn Sie wiederum von y = sin(x) ausgehen? Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = - 360°, xmax = 360° , xscl =45°, ymin = - 3, ymax = 2, yscl = 1, xres = 1.

� � 145xsin2y �q�� 21. Skizzieren Sie den Graphen. Könnten Sie dies auch ohne TR? Überlegen Sie ich zuerst, wo und wie

die Kurve zu liegen kommt. Welche Abbildungen kommen vor, wenn Sie wiederum von y = sin(x) ausgehen? Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = - 360°, xmax = 360° , xscl =45°, ymin = - 1, ymax = 1, yscl = 1, xres = 1.

� �x5.0siny ��


19.06.2012 83 bms gest / gew

22. Betrachten Sie die Winkelfunktion 130x31sin2y �¸

¹

·¨©

§ q�� .

(1) Geben Sie die Abbildungen an, die ausgehend von )xsin(y durchgeführt werden müssen, um den Graphen der gegebenen Funktion zu erhalten. (2) Berechnen Sie: a) den Schnittpunkt P mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) b) die Periodenlänge T c) die kleinste positive Nullstelle N d) das erste Maximum H e) das erste Minimum T

23. Betrachten Sie die Winkelfunktion2145x

25siny �¸

¹

·¨©

§ q� .

(1) Geben Sie die Abbildungen an, die ausgehend von )xsin(y durchgeführt werden müssen, um den Graphen der gegebenen Funktion zu erhalten. (2) Berechnen Sie: a) den Schnittpunkt P mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) b) die Periodenlänge T c) die kleinste positive Nullstelle N d) das erste Maximum H e) das erste Minimum T 24. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion v)cbxsin(ay �� . Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.

90 60 30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540

3

2

1

1

2

3

f x( )

g x( )

x


19.06.2012 84 bms gest / gew

25. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion v)cbxsin(ay �� . Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.

90 60 30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540

3

2

1

1

2

3

f x( )

g x( )

x 26. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion v)cbxsin(ay �� . Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen. © ¹

90 45 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540

3

2

1

1

2

3

f x( )

g x( )

x 27. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion v)cbxsin(ay �� . Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.

90 60 30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540

3

2

1

1

2

3

f x( )

g x( )

x


19.06.2012 85 bms gest / gew

28. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion v)cbxsin(ay �� . Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.

90 60 30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540

3

2

1

1

2

3

f x( )

g x( )

x 29. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion v)cbxsin(ay �� . Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.

90 45 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540

3

2

1

1

2

3

f x( )

g x( )

x


19.06.2012 86 bms gest / gew

Lösungen 3.1. Einheitskreis 1. Keine Lösungen, da Selbstkontrolle mit Taschenrechner. 2. a) q D 4.44 und q D 6.135 b) q D 4.66 und q D 6.293

c) q D 250. und q D 2.230 d) q D 7123. und q D 3236. 3. Füllen Sie die folgende Tabbelle aus (FS S.26, Einheitskreis)

0° 45° 60° 90° 120° 135° 180° 240° 270° 300° 315° 360°

sin(x) 0 22

23

1 23

22

0 23

� -1 23

� 22

� 0

cos(x) 1 22

21

0 21

� 22

� -1 21

� 0 21

22

1

tan(x) 0 1 3 -- 3� -1 0 3 -- 3� -1 0 4. a) � � 766.0sin � D , � � 643.0cos D , � � 192.1tan � D b) � � 966.0sin � E , � � 259.0cos E , � � 732.3tan � E c) � � 0sin G , � � 1cos G , � � 0tan G d) � � 088.0sin � H , � � 156.0cos H , � � 313.6tan � H 3.2. Bogenmass 5. a) 61.0 arc D rad b) 85.4 arc D rad c) 33.1 arc � D rad d) 36.1 arc D rad e) 75.1 arc D rad f) 46.6 arc D rad 6. a) q D 45 b) q D 5.67 c) q D 573 d) q D 20 e) q D 5.70 f) q D 4.245 7. a) 50. b) 8410. c) 7570. d) 00160.� e) 3090. f) 4160.� g) 1460.� h) 4800. i) 1 k) 6480.� 8. a) 397.0 arc D rad b) 0182.0 arc � D rad c) 092.2 arc D rad d) 665.0 arc D rad e) 472.1 arc D rad f) 683.0 arc � D rad


19.06.2012 87 bms gest / gew

Lösungen 3.3 . Die Graphen der Winkelfunktionen 9. 10.

11.

12. Füllen Sie die Tabelle aus:

Definitionsmenge Wertemenge Periodenlänge Nullstellen

sin (x) RD ^ 1̀y1yW dd� 360°

0° + k·180°

cos (x) RD ^ 1̀y1yW dd� 360°

90° + k·180°

tan(x) RD \ � �^ `q�� 901k2xx RW 180°

0° + k·180°

13. a) q D 150 b) q D 315 c) q D 240 14. a) � �D� sin b) � �D� cos 15. a) � �D�cos2 b) 0

c) -1 d) -1


19.06.2012 88 bms gest / gew

Lösungen 3.4. Die allgemeine Sinusfunktion 16. Streckung von der x-Achse aus 17. Streckung von der y-Achse aus „-“: Spiegelung an der x-Achse „-“: Spiegelung an der y-Achse

18. Translation in x-Richtung 19. Translation in y-Richtung

20. Streckung mit Faktor 2(von x-Achse aus) 21. Spiegelung an der x-Achse Translation um 45° nach rechts Streckung mit Faktor 2 (von y-Achse aus) Translation um 1 nach unten


19.06.2012 89 bms gest / gew

Lösungen 22. (1) Streckung in x-Richtung mit Faktor 3 Streckung in y-Richtung mit Faktor 2 Translation nach links um 90 Einheiten Translation nach oben um eine Einheit (2)

a) )2;0(P b) q q

1080

31

360T c) )0;540(N q

d) )3;180(H q e) )3;720(T q

180 135 90 45 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630

3

2

1

1

2

3

f x( )

x 23.

(1) Streckung in x-Richtung mit Faktor 52

Translation nach links um 18 Einheiten nach rechts

Translation nach oben um 21 Einheit nach unten

(2) Berechnen Sie:

a) )207.1;0(P � b) q q

144

25

360T c) )0;30(N q

d) )21;54(H q e) ¸

¹

·¨©

§ �q 23;126T

90 45 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630

2

1

1

2

f x( )

x


19.06.2012 90 bms gest / gew

Lösungen

24. 1)90xsin(2)x(f �q� ; 25)x6sin(

21)x(g �

25. 1)30xsin(2)x(f �q� ; 2345x

43sin

21)x(g �¸

¹

·¨©

§ q�

26. 25.22x21sin)x(f �¸

¹

·¨©

§ q� ; � �2190x4sin

23)x(g �q�

27. ¸¹

·¨©

§ q� 20x32sin3)x(f ; � � 2120x4sin)x(g �q�

28. � � 190xsin2)x(f �q� ; 2345x

43sin

21)x(g �¸

¹

·¨©

§ q�

29. 245x21sin)x(f �¸

¹

·¨©

§ q� ; � �2190x4sin

23)x(g �q�

Lineare Optimierung Arbeitsanleitung / Theorie


Lineare Optimierung 1. Grafische Lösung einer linearen Ungleichung mit 2 Unbekannten Eine lineare Ungleichung mit 2 Unbekannten hat unendlich viele Zahlenpaare als Lösungen. So gehen wir vor, wenn wir die Lösungsmenge graphisch im Koordinatensystem wollen: x Zuerst zeichnen wir die Lösungsmenge, also die Gerade der dazugehörenden linearen Gleichung. x Anschliessend untersuchen wir, ob Punkte oberhalb oder unterhalb der Geraden die

Lösungsmenge der Ungleichung beschreiben. x Zum Schluss beurteilen wir, ob die Gerade zur Lösungsmenge gehört oder nicht. Beispiel Die Lösungsmenge der Ungleichung y t 2x ist graphisch zu bestimmen. 1. Zeichnen der Geraden, die zu y = 2x gehört: mit y-Achsenabschnitt q und Steigung m 2. Zeichnen der Lösungsmenge der Ungleichung: „y grösser“ bedeutet, dass alle Punkte oberhalb der Geraden zur Lösungsmenge gehören. 3. Das Zeichen „grösser gleich“, bedeutet, dass die Gerade zur Lösungsmenge gehört.

1

1

x

y

1

1 x

y



2. Grafische Lösung eines linearen Ungleichungssystems mit 2 Unbekannten Wenn mehrere Ungleichungen zu einem Ungleichungssystem zusammengefasst werden, ist grundsätzlich gleich vorzugehen wie in Kapitel 1.1. Vorgehensweise: x Falls nötig und möglich: alle Ungleichungen nach y auflösen. x Zuerst zeichnen wir die Geraden der dazugehörenden linearen Gleichungen. x Als nächstes wird für jede Ungleichung die Punkte (> bedeutet oberhalb, < bedeutet unterhalb)

gesucht, die zur Lösungsmenge gehören und mit Pfeilen markiert. x Danach wird die Schnittmenge aller Bereiche gebildet und die gefundene Lösung schraffiert. x Nun wird abgeklärt, ob die Geraden (Ränder der Schnittmenge) zum Lösungsbereich gehören

oder nicht (bei t und d gehören sie dazu, sonst nicht). Beispiel Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ist graphisch zu bestimmen:

2xy (2)3x2y (1)

d��

1. Ungleichungen nach y auflösen:

2xy (2)

3x2y (1)�d

��

2. Zeichnen der Geraden: mit y-Achsenabschnitt q und Steigung m. Ungleichungen: „y kleiner“ bedeutet, dass alle Punkte unterhalb der Geraden zu den Lösungsmengen der einzelnen Ungleichungen gehören. Mit Pfeilen Bereiche eintragen.

(1) (2)

1

1

y

x



3. Schnittmenge schraffieren und abklären, welche Gerade zur Lösungsmenge gehört. Die Gerade (2) gehört ebenfalls zur Lösungsmenge: 3. Lineare Optimierung (Lineare Programme) Lineare Optimierung – was ist das ? Dieser Anwendungsbereich der Mathematik wurde in den letzten 50 Jahren entwickelt, um Probleme der Wirtschaft zu lösen und Verfahren bei der Warenherstellung zu beschleunigen. Solche Probleme sind z.B.: x Auf welche Weise kann die Kapazität von Maschinen zweckmässig eingesetzt werden, damit der

Gewinn möglichst gross wird ? x Wie müssen Transportmittel eingesetzt werden, damit die Umweltbelastung möglichst klein ist und

die Kosten für die Transporte möglichst gering ausfallen ? Grundsätzliches Vorgehen beim Lösen 1. Festlegen der Variablen x und y

Beim Lesen von Textaufgaben ist immer die Bedeutung von x und y als erstes zu bestimmen und schriftlich festzuhalten. (Es ist manchmal auch sinnvoll an Stelle von x und y andere Buchstaben zu verwenden.)

2. Bestimmung des Ungleichungssystems Nach dem Festlegen von x und y werden alle Ungleichungen erstellt. Das Nummerieren bzw. Bezeichnen dieser Ungleichungen ist absolut notwendig: Übersicht! Wir lösen alle Ungleichungen nach y auf (Achtung: bei Multiplikation oder Divisionen mit negativen Zahlen muss das Zeichen gewechselt werden!).

3. Erstellen der Zielfunktion

Die Zielfunktion folgt direkt aus der Fragestellung der Aufgabe (was ist gesucht ?).

4. Graphische Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystems Wir zeichnen die Geraden mit Hilfe des Steigungsdreieck und des y-Achsenabschnitt ins Koordinatensystem ein (Geraden nummerieren !) und färben die Lösungsmenge an.

5. Zeichnen der Zielfunktion durch den Nullpunkt Die Zielfunktion lösen wir nach y auf, damit wir die Steigung ablesen können und zeichnen sie durch den Nullpunkt ein (den y-Achsenabschnitt kennen wir ja nicht, Z ignorieren).

(1) (2)

1

1

x

y



6. Finden des optimalen Punktes durch Verschieben der Zielfunktion Das Minimum findet sich beim ersten Punkt der Lösungsmenge des Ungleichungssystems, der durch Verschieben der Zielfunktion erreicht wird. Das Maximum findet sich beim letzten Punkt der Lösungsmenge des Ungleichungssystems, der durch Verschieben der Zielfunktion erreicht wird. Erklärung: da wir die Zielfunktion Z =... x +... y nach y aufgelöst haben, ist Z im y-Achsenabschnitt enthalten. Das heisst: Z wird grösser, je weiter "oben" die y-Achse von der Zielfunktion geschnitten wird.

7. Berechnen des optimalen Punktes Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen, deren Schnittpunkt dem optimalen Punkt entspricht.

8. Berechnen des Wertes Z der Zielfunktion beim optimalen Punkt Die gefundenen Koordinaten x, y in der ursprünglichen, nicht nach y aufgelösten Zielfunktion einsetzen.

9. Korrekte Antwort in Worten Beispiel 1: Maximum Ein Betrieb stellt Drehmaschinen und Bohrmaschinen her. Es gelten folgende Produktionsbedingungen: x Die Werkstatt kann pro Tag für höchstens 9 Drehmaschinen oder 16 Bohrmaschinen Einzelteile

herstellen oder eine Kombination von beiden. x Die Montageabteilung für Drehmaschinen kann pro Tag höchstens 7 Maschinen zusammenbauen. x Die Montageabteilung für Bohrmaschinen kann pro Tag höchstens 10 Maschinen

zusammenbauen. Der Gewinn beträgt 1300 Franken für eine Drehmaschine, respektive 1200 Franken für eine Bohrmaschine. Wie soll die Produktion gesteuert werden, damit der Gesamtgewinn möglichst gross wird ? 1. Festlegen der Variablen x: Anzahl der herzustellenden Drehmaschinen y: Anzahl der herzustellenden Bohrmaschinen 2. Ungleichungssystem aus den Produktionsbedingungen festlegen Montageabteilung Drehmaschinen: pro Tag höchstens 7 Maschinen o 7x d Montageabteilung Bohrmaschinen: pro Tag höchstens 10 Maschinen o 10y d

Die Werkstatt kann für 9 Drehmaschinen Einzelteile herstellen. Für eine Drehmaschine wird also 91 der

Kapazität beansprucht, für x Drehmaschinen also 9x der Kapazität. Die Werkstatt kann für 16

Bohrmaschinen Einzelteile herstellen. Für eine Bohrmaschine wird also 161 der Kapazität beansprucht,

für y Bohrmaschinen also 16y der Kapazität.

Die beiden Teilkapazitäten ergeben zusammen höchstens die Gesamtkapazität 1: o 116y

9x

d�

Die Anzahl der Maschinen kann nicht kleiner als Null sein: o 0x t , 0y t 3. Zielfunktion festlegen (folgt aus der Fragestellung der Aufgabe) Der Gewinn Z für x Drehmaschinen und y Bohrmaschinen beträgt: o Z = 1300x + 1200y



4. Graphische Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystems (1) 7x d (2) 10y d

(3) 116y

9x

d� o 16x9

16y ��d

(4) 0x t (5) 0y t

1 5

10

1

5

15

10

(1)

(2)

(3)

(5)

(4) x

y

1 5

10

1

5

15

10

y

x



15

Maximum in P ( 3 / 10)

1 5 10

10

1

5

5. Einfügen der Zielfunktion

Z = 1300x + 1200y o 1200

Zx1213y ��

Wir setzen Z = 0 und zeichnen die Zielfunktion x1213y � als Ursprungsgerade ein.

6. Bestimmen des optimalen Punktes Da das Maximum gesucht ist, schieben wir die Zielfunktion so weit wie möglich nach oben, damit der y-Achsenabschnitt und damit auch der Gewinn Z möglichst gross wird und gerade noch durch das schraffierte Fünfeck geht! So finden wir den optimalen Punkt. Da es sich um Stückzahlen handelt, muss der Punkt mit ganzzahligen Koordinaten im schraffierten Vieleck gewählt werden, der möglichst nahe bei der optimalen Ecke liegt. Um einen maximalen Gewinn zu erzielen, müssen in unserem Betrieb täglich 3 Drehmaschinen und 10 Bohrmaschinen hergestellt werden. 7. Berechnen des maximalen Gewinns Z

1590010120031300 �� Z Der maximale Gewinn beträgt CHF 15 900.– pro Tag

x

y



Beispiel 2 (Minimum) Eine Industrieanlagenfabrik baut vollmechanisierte Hausmüllsortier- und Werkstoffrecyclingmaschinen. Pro Jahr müssen wegen der hohen Entwicklungskosten mindestens drei Sortier- und zwei Recyclingmaschinen gebaut werden. Für die Sortiermaschinen sind 5 Arbeitsschritte in Halle 1 und anschliessend 5 Arbeitsschritte in Halle 2 erforderlich. Recyclinganlagen erfordern 3 Arbeitsschritte in Halle 1 und 6 in Halle 2. Damit Vollbeschäftigung garantiert werden kann, müssen in Halle 1 mindestens 45, in Halle 2 mindestens 60 Arbeitsschritte durchgeführt werden können. Die Kosten für Material und Lieferung belaufen sich bei den Sortiermaschinen auf CHF 120 000.– pro Stück, bei Recyclinganlagen auf CHF 90 000.– pro Stück. Wie muss produziert werden, damit die Kosten möglichst gering werden ? 1. Festlegen der Variablen x: Anzahl der herzustellenden Sortiermaschinen y: Anzahl der herzustellenden Recyclingmaschinen 2. Ungleichungssystem aus den Produktionsbedingungen festlegen Sortiermaschinen: pro Jahr mindestens 3 Maschinen o 3tx Recyclingmaschinen: pro Jahr mindestens 2 Maschinen o 2ty Halle 1: mindestens 45 Arbeitsschritte pro Jahr, damit Vollbeschäftigung o 45y3x5 t� Halle 2: mindestens 60 Arbeitsschritte pro Jahr, damit Vollbeschäftigung o 60y6x5 t� 3. Zielfunktion festlegen (folgt aus der Fragestellung der Aufgabe) Die Kosten Z für x Sortiermaschinen und y Recyclingmaschinen beträgt: o Z = 120 000x + 90 000y 4. Graphische Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystems (1) 3tx (2) 2ty

(3) 4535 t� yx o 1535

��t xy

(4) 60y6x5 t� o 10x65y ��t

1 5

10

1

5

15

10

(1)

(2)

(3)

(4)

y

x




Z = 120 000x + 90 000y o 90000

Zx34y ��

Wir setzen Z = 0 und zeichnen die Zielfunktion x34y � als Ursprungsgerade ein.

6. Bestimmen des optimalen Punktes Da das Minimum gesucht ist, schieben wir die Zielfunktion so wenig weit wie möglich nach oben, damit der y-Achsenabschnitt und damit auch die Kosten Z möglichst klein werden und gerade noch die schraffierte Fläche berührt wird. So finden wir den optimalen Punkt. Da es sich um Stückzahlen handelt, muss der Punkt ganzzahlige Koordinaten haben. Um minimale Kosten zu erhalten, müssen in unserem Betrieb jährlich 6 Sortiermaschinen und 5 Recyclingmaschinen hergestellt werden. 7. Berechnen der minimalen Kosten Z

11700005900006120000 �� Z Die minimalen Kosten betragen pro Jahr CHF 1 170 000.–

1 5

10

1

5

15

10

(1)

(2)

(3)

(4)(5)

(6)

Minimum in P ( 6 / 5)

x

y



Beispiel 3 (Transportproblem) Ein Schifffahrtsunternehmen liefert Erz an die Verhüttungswerke 1V , 2V und 3V . Das Erz wird an zwei Orten, 1G und 2G gefördert und gelagert. Die Transportkosten, der Lagerbestand und der Bedarf sind der Tabelle zu entnehmen. Wie ist der Transport durchzuführen, damit die Kosten möglichst gering sind? Wie muss geliefert werden, damit die gesamten Transportkosten minimal werden ?

Lager Transportkosten in CHF je Tonne Lagerbestand in t 1V 2V 3V 1G 5.00 6.00 1.50 2000

2G 5.00 4.00 2.00 1000 Bedarf in t 1200 1300 500 3000

1. Festlegen der Variablen / Transportschema Wir zeichnen das sogenannte Transportschema und legen fest: x ist die Menge vom Lager 1G an Werk 1V und y ist die Menge vom Lager 1G an Kunde 2V . Weiter werden die Restmengen festgelegt

von / nach 1V 2V 3V Lagerbestand in t

1G x y yx2000 �� 2000

2G x1200 � y1300 � 1500yx

)yx2000(500��

�� 1000

Bedarf in t 1200 1300 500 3000 2. Ungleichungssystem aus den Transportbedingungen festlegen Aus der Nichtnegativität folgt: (1) 0x t � (1) 0x t (2) 0y t � (2) 0y t (3) 0yx2000 t�� (3) 2000yx d� � 2000xy ��d (4) 0x1200 t� � (4) 1200x d (5) 0y1300 t� � (5) 1300y d (6) 01500yx t�� (6) 1500yx t� � 1500xy ��t 3. Zielfunktion festlegen (folgt aus der Fragestellung der Aufgabe) Um die Transportkosten Z berechnen zu können, ergänzen wir unser Schema mit den Distanzangaben:

von / nach 1V 2V 3V

1G x5 y6 )yx2000(5.1 ��

2G )x1200(5 � )y1300(4 � )1500yx(2 �� Zielfunktion: minZ x5 + y6 + )yx2000(5.1 �� + )x1200(5 � + )y1300(4 � + )1500yx(2 �� 11200y5.2x5.0Zmin ��



4. Graphische Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystems


11200y5.2x5.0Zmin �� o ...x51y ��

Wir setzen Z = 0 und zeichnen die Zielfunktion x51yz0 � als Ursprungsgerade ein.

6. Bestimmen des optimalen Punktes Die Transportkosten Z sollen minimal werden. Wir suchen deshalb das Minimum von Z !

Es ist also x = 1200 und y = 300. Wir setzen diese Werte ins Transportschema ein und erhalten:

von / nach 1V 2V 3V

1G 1200 300 500

2G 0 1000 0

1600

800

200

400

1000

600

1200 400 800

2000

2000

1300

„Minimum“ in P(1200/300)

x

1600

800

200

400

1000

600

1200 400 800

2000

2000

1300

x

y

(2)

(1)

(3)

(4)

(5)

(6)

y



7. Berechnen der minimalen Transportkosten Z

11200y5.2x5.0Zmin �� o 12550112003005.212005.0Zmin �� 8. Antwort Die minimalen Transportkosten betragen CHF 12550.–, wenn wie folgt transportiert wird: Von 1G nach 1V : 1200 t Von 1G nach 2V : 300 t Von 1G nach 3V : 500 t Von 2G nach 2V : 1000 t Aufgaben

Inhalt Kernstoff Übungsstoff Zusatzstoff Ungleichungssysteme L.A. Maximum L.A. Minimum L.A. Transportprobleme

1 3 5 7 9 11 13 14 16 17 19 20 21 22 23 25 26

2 4 6 8 10 12 15 18 24 27

Lineare Optimierung Aufgaben

03.07.13 102 bms gest / gew

1. und 2. Graphische Lösung von Ungleichungssystemen mit 2 Unbekannten

Bestimmen Sie die Lösungsmenge graphisch, indem Sie das Planungspolygon zeichnen ( QG = ): 1. 2y > 2. (1) 5y −≥ (2) xy ≤

3. (1) 3y < 4. (1) 2x32

y +>

(2) 7x < (2) 5x32

y +−≤

5. (1) 5x2y −≥ 6. (1) 3x41

y +−>

(2) 2x21

y +−≤ (2) 4xy +−>

(3) 4x31

y −−≥ (3) 2x21

y −<

7. (1) 06y ≥+ 8. (1) 16x3y4 +−≥ (2) 08x ≤− (2) 24x5y2 −≥ (3) xy ≤ (3) 6x7y3 ≥+ (4) 0x2y ≥+ (4) 10xy4 ≥− 9. (1) 6xy −−≥ 10. (1) 2xy2 +≤ (2) 12x3y5 −−≤ (2) 14x3y −≥ (3) x10y3 ≥+ (3) 1x5y8 −≤+ (4) x22y ≥+ (4) 25.2x25.2y +−≤ (5) 5x25.0y −−≥ 11. Beschreiben Sie die markierte Punktmenge durch ein System von Ungleichungen.


03.07.13 103 bms gest / gew

12. Beschreiben Sie die markierte Punktmenge durch ein System von Ungleichungen.

13. Beschreiben Sie die markierte Punktmenge durch ein System von Ungleichungen.

14. Geben Sie die Relation(Beziehung) zwischen x und ymit einer Ungleichung an: (a) In einem Raum hängen mehr als 5 mal so viele Poster )x( wie Bilder )y( .

(b) Weniger als ein Drittel aller Bilder )x( sind Bilder )y( von van Gogh.

(c) Höchstens doppelt so viele Pferde )x( wie Hühner )y( .

(d) Höchstens zwei Drittel so viele Schüler )x( wie Schülerinnen )y( .

(e) In Bern werden mindestens so viele Tandems )x( wie Einräder )y( verkauft.

(f) Es werden höchstens ein Drittel so viele Goldfische )x( wie Vögel )y( verkauft.


03.07.13 104 bms gest / gew

15. Geben Sie die Relation(Beziehung) zwischen x und ymit einer Ungleichung an: (a) Es werden mehr als 80 % weniger Kirsch )x( als Whisky )y( getrunken.

(b) Es gibt höchstens hab so viel Arbeitsplätze )x( wie Arbeitslose )y( .

(c) Es müssen mindestens dreimal so viel Weinflaschen )x( wie Bierflaschen )y(

produziert werden.

(d) Dieses Jahr wird es mehr als 50 % mehr Schmetterlinge )x( als Vögel )y( geben.

(e) Eine Maschine M1 )x( produziert über 30 % mehr als die Maschine M 2 )y( .

16. Geben Sie die Relation(Beziehung) zwischen x und ymit einer Ungleichung an: (a) Höchstens 40 % mehr Leser lesen den Tagesanzeiger )x( als die NZZ )y( .

(b) Es gibt höchstens einen Drittel mehr Briefe )x( als Postkarten )y( .

(c) In diesem Garten blühen höchstens ein Viertel so viele Rosen )x( wie Tulpen )y( .

(d) Die Hühner )y( legen mehr als halb so viele Eier )x( wie es Hühner hat.

(e) Auf der Thunstrasse fahren höchstens fünfmal so viele Autos )x( wie

Motorräder )y( .

3. Lineare Optimierung (Lineare Programme) Maximum 17. Ein Unternehmen der Maschinenindustrie will seine Produktion optimal planen. Je Tag können von

zwei Maschinenbauteilen zusammen höchstens 45 Stück produziert werden. Von Sorte A sollen täglich mindestens 15 Stück, von der Sorte B höchstens 20 Stück produziert werden. Der Gewinn für ein Maschinenbauteil der Sorte A beträgt CHF 80.–, für ein Teil der Sorte B CHF 120.–.

Bestimmen Sie die Produktionsbedingungen. Zeichnen Sie da Planungspolygon.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Maximum. Wie muss produziert werden, damit der Gewinn maximal wird und wie gross ist der Gewinn?

18. Ein Früchtehändler muss seinen Vorrat an Äpfeln und Birnen aufstocken. Von den Äpfeln will er

höchstens 60 kg, von den Birnen mindestens 20 kg, von beiden Fruchtarten zusammen aber höchstens 90 kg. Von den Birnen soll höchstens die gleiche Menge wie von den Äpfeln eingekauft werden. Der Gewinn für 1 kg Äpfel beträgt CHF 1.–, für 1 kg Birnen CHF 1.20.

Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen. Zeichnen Sie da Planungspolygon.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Maximum. Wie muss eingekauft werden, damit der Gewinn maximal wird und wie gross ist der Gewinn?


03.07.13 105 bms gest / gew

19. Ein Forschungsteam hat in seinen Reisebehältern etwa 21'600 cm3 Platz für Batterien, welche für den betrieb von Sende- und Empfangsanlagen für den Nachrichtenverkehr und für andere Zwecke benötigt werden. Der Expeditionsleitung werden zwei Sorten Batterien gleicher Stärke angeboten, nämlich solche von 200 cm3 und 300 cm3. Die Batterien kosten CHF 10.–, bzw. CHF 5.–, je Stück. Mehr als CHF 500.– stehen für die Beschaffung der Batterien nicht zur Verfügung. Jede Batterie der ersten Sorte liefert 18 Stunden lang, jede Batterie der zweiten Sorte 16 Stunden lang Energie. Die Expeditionsleitung will möglichst lange mit Energie versorgt sein.

Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen. Zeichnen Sie da Planungspolygon.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Maximum. Wie viele Batterien müssen von jeder Sorte gekauft werden, damit das Team möglichst lange über Energie verfügt? Wie viele Stunden maximal wird das Team Energie haben?

20. Eine Uhrenfabrik produziert Armbanduhren mit Leder- und Edelstahlarmband. Von den Uhren mit

Edelstahlarmband sollen zwischen 200 und 400 Stück, mindestens aber 25 % mehr als von den Uhren mit Lederarmband produziert werden. Aufgrund der technischen Möglichkeiten können entweder höchstens 500 Uhren mit Lederarmband oder höchstens 800 Uhren mit Edelstahlarmband oder eine beliebige Kombination von beiden produziert werden. Der Gewinn beträgt für eine Uhr mit Lederarmband CHF 18.–, für eine Uhr mit Edelstahlarmband CHF 24.–.


Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Maximum. Bei welchen Verkaufszahlen (= Produktionszahlen) entsteht der grösste Gewinn und wie gross ist der Gewinn?

Minimum 21. Zur Herstellung von Behältern aus Kunststoff kann ein Unternehmen die Maschinen A und B

einsetzen. Pro Tag mit 8 Arbeitsstunden sollen auf beiden Maschinen insgesamt mindestens 100 Behälter hergestellt werden. Maschine A produziert je Stunde maximal 8 Stück, Maschine B maximal 12 Stück. Aus technischen Gründen sollen mit der Maschine B höchstens doppelt so viele Behälter produziert werden wie mit der Maschine A. Die Produktionskosten eines Behälters aus Kunststoff beträgt bei Maschine A CHF 15. –, bei Maschine B CHF 12.50.

Bestimmen Sie die Produktionsbedingungen.

Zeichnen Sie da Planungspolygon. Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Minimum.

Wie muss produziert werden, damit die Kosten minimal werden und wie hoch sind die minimalen Kosten?

22. Eine Tankstelle hat für den Einkauf von bleifreiem und Super plus Benzin bestimmte Auflagen

erhalten. vom bleifreien Benzin müssen mindestens 40 und maximal 60 Tonnen eingekauft werden. Vom Super plus sollen mindestens 15 und maximal 30 Tonnen eingekauft werden. Zusätzlich muss beachtet werden, dass die Menge bleifreies Benzin zu der Menge des Super plus Benzins höchstens im Verhältnis 5:2 stehen darf. Die Kosten je Tonne bleifreiem Benzin betragen CHF 1100.–, je Tonne Super plus CHF 1200.–.

Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen.


Bei welchen Mengen sind die Kosten am kleinsten und wie hoch sind sie?


03.07.13 106 bms gest / gew

23. Eine Pharmafirma will ein neues Aufbaupräparat auf den Markt bringen Die medizinische Abteilung verlangt, dass eine Tablette eine Mindestmenge an Vitaminanteilen enthalten soll:

Mindestanteil in mg Vitamin A 14 Vitamin B 30 Vitamin C 27 Vitamin D 30

Zur Herstellung stehen der Firma zwei Komponenten mit folgenden Spezifikationen (Anteil in mg pro Gramm) zur Verfügung:

Komponente 1 Komponente 2

Vitamin A 2 0.5 Vitamin B 2.4 1.2 Vitamin C 1.5 1.5 Vitamin D 1 3

Die Komponente 1 ist in der Produktion 50% teurer als Komponente 2.


Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Minimum. Bei welcher Zusammensetzung entstehen die minimalen Kosten?

24. Ein Lampengeschäft plant nach dem Umbau den Kauf der neuer Lampen. In Frage kommen unter

anderem zwei Designermodelle, eine Hänge- und eine Stehlampe. Von beiden Lampentypen zusammen sollen nicht mehr als 200 Stück erstanden werden. Von den Stehlampen sollen mindestens 40 % mehr als von den Hängelampen alleine eingekauft werden. Von den Stehlampen sollen aber höchstens 3 mal so viele wie von den Hängelampen angeschafft werden, mindestens aber 60 Stück. Die Einkaufskosten für eine Hängelampe betragen CHF 50.– , für eine Stehlampe CHF 70.–.

Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen.


Bei welchen Stückzahlen sind die Kosten am kleinsten und wie hoch sind sie? Transportaufgaben 25. Ein Grosslieferant versorgt drei Bäckereien B 1, B 2, und B 3 mit Mehl. Das Mehl wird in zwei Mühlen M 1 und M 2 hergestellt und gelagert. Die Transportkosten, der Lagerbestand und der Bedarf der Händler sind der Tabelle zu entnehmen.

Mühle Transportkosten in Fr. / Sack Lagerbestand (Säcke) B 1 B 2 B 3 M 1 0.45 0.5 0.6 60 M 2 0.3 0.2 0.5 40 Bedarf (Säcke) 30 50 20 100

Wie müssen die Bäckereien beliefert werden, damit möglichst geringe Transportkosten anfallen? Wie gross sind diese Transportkosten?


03.07.13 107 bms gest / gew

26. Eine Autofirma soll die Grosshändler U, V und W mit Personenwagen beliefern. Die Firma hat zwei Auslieferungslager A und B . Die Transportkosten, der Lagerbestand und der Bedarf, ebenso die Transportkosten sind der Tabelle zu entnehmen.

Lager Transportkosten in Fr. / PW Lagerbestand (Anzahl PW) U V V A 40 20 10 600 B 20 10 30 400 Bedarf (PW) 200 500 300 1000

Wie müssen die Grosshändler beliefert werden, damit möglichst geringe Transportkosten anfallen? Wie gross sind diese Transportkosten? 27. Eine Gesellschaft, die Heizöl verkauft, soll drei Grosshändler A, B und C beliefern. Die Gesellschaft hat zwei Auslieferungslager W und Z. Die Transportkosten, der Lagerbestand und der Bedarf der Grosshändler sind der Tabelle zu entnehmen.

Lager Transportkosten in Fr. / l Lagerbestand in l A B C W 0.05 0.04 0.01 350 000 Z 0.05 0.01 0.02 200 000 Bedarf in l 200 000 200 000 150 000 550 000

Wie müssen die Grosshändler beliefert werden, damit möglichst geringe Transportkosten anfallen? Wie gross sind diese Transportkosten?


03.07.13 108 bms gest / gew

Lösungen 1. und 2. Graphische Lösung von Ungleichungssystemen mit 2 Unbekannten 1. 2.

3. 4.

5. 6.


03.07.13 109 bms gest / gew

Lösungen 7. 8.

9. 10.

11. a) 2y ≥ b) 4y ≤ 3y ≤ 1y −≥ 2−≥x 5xy +−≤ 12. a) 0x ≥ b) 4xy +≤ 3y ≤ 4xy −≥ xy ≤ 4xy +−≤ 2xy −≥ 4xy −−≤


03.07.13 110 bms gest / gew

Lösungen 13. a) 3x −≥ b) 1x −≥ 4x ≤ 2y −≥ 4y ≤ 3y ≤ 75.3x25.0y +≤ 2xy +≤ 5xy −−≥ 1xy −−≥ 3xy −≥ 14.

(a) y5x > oder x51

y < (b) y3x > oder x31

y <

(c) y2x ≤ oder x21

y ≥ (d) oder x23

y ≥

(e) yx ≥ oder xy ≤ (f) y31

x ≤ oder x3y ≥

15.

(a) yx51

< oder xy 5> (b) yx21

≤ oder xy 2≥

(c) yx 3≥ oder xy31

≤ (d) oder

(e) yx1013

> oder xy1310

<

16.

(a) yx57

≤ oder xy75

≥ (b) yx34

≤ oder xy43

≥

(c) yx41

≤ oder xy 4≥ (d) yx21

> oder xy 2<

(e) yx 5≤ oder xy51

≥


03.07.13 111 bms gest / gew

Lösungen 3. Lineare Optimierung (Lineare Programme) 17. Maximaler Gewinn mit: 25 Stück von Sorte A und 20 Stück von Sorte B produzieren.

Maximaler Gewinn: CHF 4400.– 18. Maximaler Gewinn mit: Einkauf von 45 kg Äpfel und 45 kg Birnen

Maximaler Gewinn: CHF 99.– 19. Maximale zur Verfügung stehende Energie mit: Kauf von 21 Stück der 2cm200 Batterien und

58 Stück der 2cm300 Batterien. Maximal steht Energie für 1306 h oder für 54 d 10 h zur Verfügung.

20. Maximaler Gewinn mit: 250 Uhren mit Lederarmband und 400 Uhren mit Edelstahlarmband Maximaler Gewinn: CHF 14100.– 21. Minimale Kosten mit : 34 Stück von Maschine A und 66 Stück von Maschine B.

Minimale Kosten mit : CHF 1335.– 22. Minimale Kosten mit : Einkauf von 40 t bleifreiem Benzin und 16 t Super plus Benzin. Minimale Kosten mit : CHF 63200.– 23. Minimale Kosten mit : 7 g der Komponente 1 und 11 g der Komponente 2 verwenden. 24. Minimale Kosten mit : Einkauf von 20 Hängelampen und 60 Stehlampen. Minimale Kosten mit : CHF 5200.– 25. Die minimalen Transportkosten betragen CHF 38.50, wenn wie folgt transportiert wird:

von 1M nach 1B : 30 Säcke / von 1M nach 2B : 10 Säcke / von 1M nach 3B : 20 Säcke / von 2M nach 2B : 40 Säcke

26. Die minimalen Transportkosten betragen CHF 15000. –, wenn wie folgt transportiert wird:

von A nach V: 300 Autos / von A nach W : 300 Autos / von B nach U: 200 Autos / von B nach V: 200 Autos

26. Die minimalen Transportkosten betragen CHF 13500. –, wenn wie folgt transportiert wird:

von W nach A: 200000 Liter / von W nach C : 150000 Liter / von Z nach B: 200000 Liter


03.07.13 112 bms gest / gew

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