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Statistikpraktikum Carsten Rezny Institut f¨ ur angewandte Mathematik Universit¨ at Bonn Sommersemester 2016

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Statistikpraktikum

Carsten Rezny

Institut fur angewandte MathematikUniversitat Bonn

Sommersemester 2016

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Hypothesen

Uberprufung von Hypothesen mit statistischen Tests

Definition

Eine zu prufende Aussage uber Daten einer Stichprobe heißtHypothese.

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Hypothesen

Arten von Hypothesen

Unterschiedshypothese Parameter verschiedener(Teil-)Populationen sind verschieden

Beispiel

µ1 6= µ2

Zusammenhangshypothese Es besteht ein Zusammenhangzwischen Merkmalen einer Population

Beispielµ1 ∼ µ2

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Hypothesen

gerichtete Hypothese macht eine Richtungsaussage

Beispielµ1 < µ2

ungerichtete Hypothese macht keine Richtungsaussage

Beispiel

µ1 6= µ2

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Hypothesen

unspezifische Hypothese qualitative Aussage

Beispielσ1 < σ2

spezifische Hypothese quantitative Aussage

Beispiel

µ1 − µ2 > ∆

Aquivalenzhypothese Spezialfall der gerichteten spezifischenUnterschiedshypothese

Beispiel

|µ1 − µ2| < ∆

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Test von Hypothesen

Testkonstruktion mit zwei komplementaren Hypothesen:

Alternativhypothese H1 die vermutete/zu bestatigende Aussage

Nullhypothese H0 Negation von H1:”kein Effekt“

Beispiel (Vergleich der Mittelwerte zweier Populationen)

H1 : µ1 < µ2

H0 : µ1 ≥ µ2

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Test von Hypothesen

Definition

Statistischer Test: Entscheidung uber die Ablehnung oderNichtablehnung von H0

Zwei mogliche Ergebnisse

H0 verwerfen (also H1 annehmen)

H0 nicht verwerfen (also H1 nicht annehmen)→keine Aussage uber Gultigkeit von H0

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Test von Hypothesen

Aussage uber Populationen auf Grundlage von Stichproben→Wahrscheinlichkeitsaussage

Mogliche Fehler

Fehler 1. Art H0 verworfen, obwohl wahr

Fehler 2. Art H0 beibehalten, obwohl falsch

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Gauß-Test

Bedingung fur Behalten/Verwerfen von H0 aufstellenAnnahme: X1,X2, . . . gemaß N(m, σ2) normalverteilt;σ bekannt, m unbekannt

Beispiel

H1 : m 6= µ0

H0 : m = µ0

H0 verwerfen, wenn |x − µ0| > c

→Bestimme c

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Gauß-TestWie wahrscheinlich ist Fehler 1. Art?Betrachte P(Stichprobe widerspricht H0 | H0 wahr).

Wahle Signifikanzniveau α: maximal akzeptableWahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen;

gesucht ist c , so dass

P(|X − µ0| > c) = α

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Gauß-Test

Mit N(0, 1)-verteilter Teststatistik Zn = |X−µ0|σX

√n

ergibt sich:

Fur |x − µ0| > c gilt: Zn > z1−α/2 →H0 wird verworfen,fur |x − µ0| ≤ c gilt: Zn ≤ z1−α/2 →H0 wird behalten.

zp: p-Quantil der Standardnormalverteilung N(0, 1)

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Gauß-Test

Bislang: ungerichtete Hypothese, also symmetrischerAkzeptanzbereich fur H0

→”zweiseitige Fragestellung“

Gerichtete Hypothesen :”einseitige Fragestellung“

H0 : m ≥ µ0 →Verwerfen wenn Zn < zαH0 : m ≤ µ0 →Verwerfen wenn Zn > z1−α

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p-Wert

Bisher: Bestimmung von Grenzen fur x bei gegebenem α

Alternative: Bestimmung des sogenannten p-Wertes(Uberschreitungswahrscheinlichkeit)

Definition

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, bei Gultigkeit von H0 denbeobachteten Wert der Teststatistik oder einen in Richtung von H1

extremeren Wert zu erhalten.

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p-Wert

Einseitige Fragestellung: p = Pµ0(X ≥ x)

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p-Wert

Entsprechend bei zweiseitiger Fragestellung:p = Pµ0(X ≥ µ0 + d) + Pµ0(X ≤ µ0 − d)

mit d = |x − µ0|

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p-Wert

Entscheidung uber H0: Vergleich mit vorher festgelegtem α

p ≤ α H0 verwerfen

p > α H0 beibehalten

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p-Wert

p-Wert fur Gauß-Test in Excel/OpenOffice

GTEST(data; my; sigma) = 1− Φ(√n(x−µ0)σ ) =: q

(englisch: ZTEST(...))

einseitige Fragestellung:

p1 = MIN(q; 1-q)

zweiseitige Fragestellung:

p2 = 2p1

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t-Test

Bei unbekannter Standardabweichung σ:Verwendung der Schatzung der korrigierten StandardabweichungS∗ anstatt σ

Teststatistik

T =X − µ0

S∗√

n

ist t-verteilt.→einfacher t-Test

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t-Test

Einfacher t-Test mit Excel/OpenOfficeBei einseitiger Fragestellung:

n = ANZAHL(data)

t = (MITTELWERT(data)− µ0) ∗WURZEL(n)/STABW(data)

p = TVERT(ABS(t);n-1;1)

Bei zweiseitiger Fragestellung:

p = TVERT(ABS(t);n-1;2)

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t-Test

Vergleich zweier Stichproben

zwei Messgroßen als Folgen von Zufallsvariablen:X = {X1,X2, . . . ,Xn1}Y = {Y1,Y2, . . . ,Yn2}daraus zwei unabhangige Stichproben xi (i = 1, . . . , n1) undyi (i = 1, . . . , n2)

X und Y normalverteilt mit Mittelwerten µX und µYunbekannt

gleiche Standardabweichungen: σX = σY =: σ unbekannt

mogliche Alternativhypothesen:

µ1 6= µ2

µ1 > µ2

µ1 < µ2

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t-Test

Bestimmung des p-Wertes

H0 : µ1 = µ2 p = P(|T | ≥ |t|)p = TTEST(data1; data2; 2; 2)

H0 : µ1 ≤ µ2 p = P(T ≥ t)

H0 : µ1 ≥ µ2 p = P(T ≤ t)p = TTEST(data1; data2; 1; 2)

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t-Test

Die Funktion TTEST(data1; data2; tails; type)

data1, data2 zu vergleichende Stichproben

tails 1: einseitiger Test2: zweiseitiger Test

type 1: abhangige (gepaarte) Stichproben2: unabhangige Stichproben mit gleicherStandardabweichung

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t-Test

Gepaarte Stichproben

Zufallsvariablen Xi ,Yi seien N(m, σ2)-verteilt

zwei gepaarte Stichproben (xi , yi ) (i = 1, . . . , n)

die paarweisen Differenzen Xdi = yi − xi (i = 1, . . . , n) sindnormalverteilt

Teststatistik t = xdsd

√n

Bestimmung des p-Wertes

H0 : µ1 = µ2 p = P(|T | ≥ |t|)p = TTEST(data1; data2; 2; 1)

H0 : µ1 ≤ µ2 p = P(T ≥ t)

H0 : µ1 ≥ µ2 p = P(T ≤ t)p = TTEST(data1; data2; 1; 1)

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VerteilungsfunktionenNormalverteilung in Excel/OpenOffice

NORMVERT(x;m;s;C) Normalverteilung mit m = µ, s = σC=0: WahrscheinlichkeitsdichtefunktionC=1: Verteilungsfunktion (default)

STANDNORMVERT(x) Standardnormalverteilung (µ = 0, σ = 1)

STANDNORMINV(p) p-Quantil der Standardnormalverteilung

STANDNORMINV(p)

STANDNORMVERT(x)

NORMVERT(x;m;s;0)

-4 -2 2 4

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

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Verteilungsfunktionen

TVERT(x;n;m)

x Argument der t-Verteilung, ≥ 0

n Zahl der Freiheitsgrade

m”Modus“ ∈ {1, 2}

”Tail-Funktion“

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Verteilungsfunktionen

Quantile der t-Verteilung in Excel/OpenOffice

tn,p =

{-TINV(-2*p,n) 0 < p ≤ 1

2

TINV(2*(1-p),n) 12 < p ≤ 1

TINVHp; nL = tn ,1-p�2

tn ,p

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-3

-2

-1

1

2

3

4