ChaosSeminar Wetter und Klima

Dominik Froschl

05.02.2010

1

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 31.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Begriffsklarung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Entstehung der modernen Disziplin . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Ziel der Chaosforschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Deterministisches Chaos 52.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Die Logistische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Das nichtlineare Drehpendel . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Attraktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Das Lorentz-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Fraktale 103.0.1 Mandelbrot-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.0.2 Julia-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Fraktale Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.1 Boxcounting-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2 Yardstick-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Fazit 13

2

1 Einleitung

1.1 Vorbemerkungen

In den letzten Jahrzehnten hat der Begriff der Chaostheorie, sowohl im allge-meinen Sprachgebrauch, als auch in der Physik immer mehr an Bedeutung ge-wonnen. Welche Unterschiede hierbei jedoch bestehen ist Gegenstand diesesVortrages, genauso wie die Untersuchung chaotischer Phanomene und derenAuswirkungen auf unsere Umwelt und die Vorhersage naturlicher Phanome-ne.

1.2 Begriffsklarung

Das Wort Chaos, oder auch sein hebraisches Gegenstuck Tohuwabohu, ste-hen im heutigen Sprachgebrauch gemeinhin fur Unordnung. Diese Definitionliegt aufgrund der etymologischen Herkunft des Wortes nahe. So verwende-ten die alten Griechen ihr Wort χαoσ fur den Urstoff. Also alles was sich imUniversum befand, bevor die Ordnung, der Kosmos (κoσµoσ ), einkehrte.In der Physik hingegen ist Chaos heute ein terminus technicus. Hier bezeich-net er, ganz im Gegenteil zur landlaufigen Meinung, nicht die Abwesenheitvon Ordnung, sondern lediglich, dass ein System nicht erkennbar ist. Fasstman diese Folgerung also zusammen: ⇒Unter Chaos versteht man nicht dieAbwesenheit von Ordnung, aber die Unvorhersehbarkeit eines Systems, auf-grund unzureichender Kenntnis uber dessen Ausgangszustand!

1.3 Entstehung der modernen Disziplin

Die Grundidee der Chaostheorie beruht bereits auf einer Aussage von La-place, nach der das Universum in alle Ewigkeit voraussagbar ware, wurdeman den gasamten Zusatnd aller Teilchen zu einem gegebenen Zeitpunktkennen. Basierend darauf, sowie der Forschung der Mathematiker und Phy-siker des 19. Jahrhunderts, stellte Konig Oskar II von Schweden 1885 einePreisfrage nach der Stabilitat unseres Sonnensystems. Vergeben wurde dieserPreis allerdings erst 15 Jahre spater an Henri Poincare fur seine Entwicklung,des nach ihm benannten, Poincareschnittes. Weiterhin zeigte er bereits dasschon in einfachen Systemen mit drei Korpern, bei minimalen Veranderun-gen der Anfangsbedingungen, vollig unterschiedliche Ergebnisse auftreten.Hierbei kann bemerkt werden dass der Physiker Strontgen von 1900 bis 194057 Mitarbeiter beschaftigte, allein zum Zweck eine Vielzahl von Ergebnissendes Dreikorperproblems zu berechnen.Ein weiteres Teilgebiet der Chaostheorie stellt die Betrachtung von Fraktalen

3

dar. Diese folgte der Enwicklung der Iterationsmathematik zu Beginn des 20.Jahrhunderts und inspirirte zum Beispiel Gaston Julia und Mitchell Feigen-baum zu ihren Entdeckungen.Nach den 20er Jahren wurde es jedoch ruhig um die Chaosforschung undes sollte bis 1961 dauern, da Edward Lorentz seine Forschungen der Tur-bulenzen und einfacher Wettermodelle aufnahm. Lorentz war es auch dererstmals den, so haufig ziterten, Butterfly-Effect publizierte. Also die Tat-sache, dass schon der Flugelschlag eines Schmetterlings andernorts Sturmeauslosen konne. Dies begrundet den Anfang der modernen Chaosforschung.

1.4 Ziel der Chaosforschung

Die Chaostheorie studiert das Verhalten von dynamischen Systemen, welcheextrem sensitiv auf eine Veranderung ihrer Anfangswerte reagieren. Es gehthierbei also um Systeme, welche eigentlich durch ihre Anfangsbedingungendefiniert waren, in denen allerdings kleinste Storungen exponentiell anwach-sen, was sie langfristig nicht vorhersehbar macht (Deterministisches Chaos).Chaos tritt also nur in nichtlinearen Systemen auf. Wichtig ist wiederum dieTatsache, dass dies mitnichten vom Zufall abhangig ist.

4

2 Deterministisches Chaos

Betrachten wir nun einige Beispiele fur chaotisches Verhalten

2.1 Beispiele

2.1.1 Die Logistische Funktion

Diese wurde 1838 vom belgischen Mathematiker Pierre-Francois Verhulstveroffentlicht. Dieser beschaftigte sich im Rahmen seiner Betrachtung vonGluckspiel mit der Auswertung von Statistiken und deren mathematischerBeschreibung. Die Logistische Gleichung

N(t+ 1) = c ·N(t) · (1− N(t)

K)

stellt somit eine generelle Beschreibung einer exponentiell wachsenden Po-pulation dar. Hierbei ist es unerheblich ob von Einzellern, Pflanzen, Tierenoder Menschen ausgegangen wird. K stellt in jedem Fall den begrenzendenFaktor dar, also beispielweise Nahrungsknappheit oder Platzmangel.Mochte man diese Formel nun rein mathematisch betrachten eignet sich einesimple Umformung um die Gleichung wie folgt darzustellen:

f(x) = x 7−→ c · x− c · x2

Man lasst diese Funktion nun fur verschiedene c vom Computer iterierenund stellt hierbei Erstaunliches fest. In Bereichen von beispielsweise c = 2pendelt sich die Funktion stets auf einen Fixpunkt ein. Uberschreitet manallerdings die Grenze von c = 3.17, lasst sich kein stabiler Fixpunkt mehrausmachen, die Funktion springt zwischen 2 Werten. Weitere Bifurkationen,oder Verzweigungen lassen sich bei c = 4 oder c = 8 finden. Es tritt alsoeindeutig chaotisches Verhalten auf.

Zur besseren Veranschaulichung wertet man die erhaltenen Ergebnisse nun

5

graphisch aus. Man erhoht c schrittweise und tragt nach ablaufen der Ein-schwingvorgange die erhaltenen Werte auf. Dies resultiert in einem Feigenbaum-Diagramm, benannt nach Mitchell Feigenbaum.

2.1.2 Das nichtlineare Drehpendel

Betrachten wir nun ein bekanntes physikalische Beispiel - das nichtlineareDrehpendel.Dies wird bekannterweise durch folgende Differentialgleichung beschrieben:

α = −kα− γα +mgr sinα + A sinωt

Hierzu gehort ein Doppelmuldenpotential. Die einzelnen Summanden derGleichung beschreiben der Reihenfolge nach die Ruckstellkraft der Feder,den linearen Dampfungsterm, den nichtlinearen Term der Gravitationskraft,sowie den Antrieb durch einen Frequenzgenerator. Startet man mit einer ho-hen Anregung schwingt das Pendel in einer der Potentialmulden annaherndharmonisch. Verringert man allerdings die Frequenz entsteht wiederum chao-tisches Verhalten. Betrachtet man eine Auftragung der Umkehrpunkte ge-gen die Anregungungsfrequenz entsteht wiederum ein Feigenbaumdiagramm.

6

Die Ahnlichkeit zum bereits gesehenen Diagramm im Bezug auf die Logisti-sche Funktion ist kein Zufall. 1976 konnte von Feigenbaum selbst gezeigt wer-den, dass ein solches Diagramm fur eine große Klasse von Systemen erstelltwerden kann. Ferner entdeckte er in diesem Zusammenhang die, ebenfallsnach ihm benannte, Feigenbaum-Konstante (k = 4.662016090), welche einVerhaltnis der Werte zwischen zwei Phasenverdopplungen beschreibt. Diesstellt bis heute ein wichtiges Kriterium zur Erkennung chaotischen Verhal-tens in physikalischen Systemen dar.Betrachtet man an dieser Stelle noch kurz den Phasenraum des Drehpen-dels und schneidet diesen mit einer Ebene entlang der α und α Achsen,betrachtet also diese zu einer jeweiligen festen Anregungsphase, wurde maneigentlich ein chaotisches Bild erwarten. Allerdings ergibt sich ein verbluffendregelmaßiges Muster.

2.2 Attraktoren

Betrachtet man Attraktoren allgemein erschließen sich leicht einige Charak-teristika. Zum Ersten stellt ein Attraktor eine Punktmenge dar, die stabilunter dem Fluß einer Differentialgleichung ist. Ausserdem wird jeder Attrak-tor bereits von einer einzelnen Losungskurve erzeugt. Weiterhin gilt, dasssich Startpunkte eines definierten Gebietes beliebig weit annahern. Attrak-toren wie sie hier betrachtet werden, treten nur in dissipativen Systemen auf.Der Physik ist naturlich auch der Begriff des hamiltonischen Chaos bekannt,da allerdings die Erde, deren Wetterbetrachtung ja das großere Ziel dieserAuftragsreihe ist, ein dissipatives System darstellt, lasst man dieses aussenvor.Mochte man nun Beispiele fur Attraktoren sind diese nicht schwer zu finden.Einfachsterweise betrachte man einen Punktattraktor, weil er zum Beispielvon der Ruhelage eines ungetriebenen gedampften Pendels erzeugt wird. Die-ser ist 0-dimensional. Ein weiteres Beispiel ist die 2-dimensionale Oberflache

7

eines Torus. Hier ist der Poincare-Schnitt ein Kreis.Wichtig Fur die Beschreibung des folgenden Lorentz-Modelles werden diesogenannten Strange Attractors sein. Diese unterscheiden sich von anderenAttraktoren, durch den, bereits im Zusammenhang mit den Zielen der Cha-ostheorie beschriebenen, Umstand dass Abstande benachbarter Punkte ex-ponentiell auseinander wachsen. Dies fuhrt uns zu einem kurzen Exkurs indie Mathematik.

Exkurs: Theorem von Poincare-BendixsonNach diesem Theorem ist die Entstehung eines Strange Attractors nur moglichfalls der Phasenraum eine Dimension großer als zwei bestitzt. Genauer be-sagt das Theorem:

Sei F ein zwei-dimensionales dynamisches System, das durch

(x, y) = (f(x, y), g(x, y))

gegeben ist. f und g stetig diff’bar anch x und y. Sei S eine geschlossene be-schrankte Untermenge des zweidimensionalen Phasenraums von F, die keinenstationaren Punkt von F enthalt, und sei C eine Bahnkurve von F, die S nieverlasst. Dann ist C entweder ein Zykel oder C konvergiert gegen einen Zykel.

Wichtig ist nun fur unsere Aussage, dass dies fur Dimensionen großer alszwei versagt, (siehe auch Beweis fur jordan’schen Kurvensatz), weshalb derFall eintritt welcher in unserem Kontext zu einer chaotischen Bewegung fuhrt.

2.3 Das Lorentz-Modell

Edward Lorentz entwickelte dieses Modell 1961. Er studierte, um die auf derErde herrschenden Konvektionen besser zu verstehen, die Rayleigh-Benard-Konvektion. Hierbei befindet sich eine Flussigkeit zwischen zwei Platten un-endlicher Ausdehnung, von denen Eine gekuhlt, die Andere erhitzt wird.

8

Bis zu einer gewissen Temperatur findet die Ubertragung von Warme le-diglich uber Molekulstoße statt. Wird allerdings die kritische Temperaturuberschritten, entstehen in der Flussigkeit Konvektionsrollen. (Naheres hier-zu siehe Vortrag Turbulenzen)Diese Konvektionen konnen durch komplexe Differentialgleichungen beschrie-ben werden. Durch Losungsansatze lassen sich diese in Fourierreihen ent-wickeln. Lorentz betrachtete der Einfachheit halber nur einen sehr kleinenFrequenzbereich und errechnete hierbei folgendes Gleichungssytem.

X = −σX + σY

Y = −XZ + τX − Y

Z = XY − βZ

Diese lies er nun iterieren und stellte hierbei fest dass sich vollig andereErgebnisse ergaben, rundete man Zwischenergebnisse. Die Auftragung derBahnen im Phasenraum ergeben das klassische Bild eines Lorentz-Attraktors.

9

3 Fraktale

Fraktal vom lat. fractus: gebrochen, ist ein von Benoıt Mandelbrot gepragterBegriff fur selbstahnliche Strukturen. Bekannte Fraktale sind beispielsweisedas Sierpinski-Dreieck, der Pythagorasbaum oder auch in der Natur vorkom-mend, Blumenkohl bzw. die damit verwandte Zuchtung Romanesco. Ausser-dem zahlen die Mandelbrot- und Julia-Mengen zu den Fraktalen auf die imFolgenden noch naher eingegangen wird.

3.0.1 Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot-Menge wird von einer Recht simpel anmutenden Funktionerzeugt.

z 7−→ z2 + c

Zur Beschreibung wendet man nun eine einfaches iteratives Verfahren an.Man beginnt hierzu bei z0 = 0 und betrachtet alle Werte von c aus einemKreis um (0/0) mit Radius 2. Konvergiert nun die Funktion zu einem c wirddieses c in der komplexen Zahlenebene mit einem schwarzen Punkt markiert.Dies kann prinzipiell unendlich vortgesetzt werden. Man erhalt also ein Bilddas wie folgt aussieht.

3.0.2 Julia-Menge

Das Konstrukt der Julia-Menge ist dem der Mandelbrotmenge nicht unahn-lich, liegt ihm doch die identische Funktion zugrunde. Allerdings betrachtetman in diesem Fall ein festes c und variiert die Anfangswerte z0, weshalb man

10

fur jede Konstante eine eigene Julia-Menge erhalt. Fur c = −0, 687 + 0, 312i:

3.1 Fraktale Dimension

Wie wir bereits zu einem fruheren Zeitpunkt festgestellt haben, trifft manbei der Betrachtung von Attraktoren und Fraktalen auf nicht ganzzahligeDimensionen. Mochte man z.b. den Rand der Mandelbrotmenge abwickelnerhalt man eine unendlich lange Strecke, welche also eine Dimension großer 1hat. Allerdings ist die Flache dieser Menge 0 was wiederum fur eine Dimensi-on kleiner zwei spricht. Aus diesem Grund greift man zur Klassifizierung aufden Begriff der Fraktalen Dimension zuruck. Es gibt im Großen und Ganzenzwei Methoden zur Bestimmung der Fraktalen Dimension eines Objektes.

3.1.1 Boxcounting-Methode

Man legt uber das zu bestimmende Objekt bzw. die zu bestimmende Kurveein quadratisches Gitter mit Zellenbreite ε. Daraufhin zahlt man alle Qua-drate, welche einen Teil der Kurve beruhren und errechnet aus diesen beidenParametern N (Anzahl der Quadrate) und ε (Breite der Quadrate) anhandfolgender Formel die Dimension.

D = limε→0

logN(ε)

log 1ε

11

3.1.2 Yardstick-Methode

Hierbei wahlt man sich wiederum ein ε welches als Kreisradius dient, mitdem daraufhin die Kurve abgezirkelt wird. Schnittpunkte von Kreisen wer-den hierbei wieder zu Mittelpunkten neuer Kreise, bis die Kurve vollstandiguberdeckt ist. Die Dimension errechnet sich nun wiederum nach obiger For-mel, mit dem minimalen Unterschied, dass es sich nun bei N und ε um dieAnzahl der Kreise und deren Radius handelt.

3.2 Motivation

Warum ist nun die Betrachtung von Fraktalen fur die Chaostheorie interes-sant?

Seltsame Attraktoren haben fraktale Dimensionen. Untersucht man also eineKurve im Phasenraum und entdeckt hierbei eine fraktale Dimension großerzwei, ist dies ein Anzeichen chaotischen Verhaltens. Beispielsweise kann dieZeitreihe einer einzelnen Variablen in einen n-dimensionalen Phasenraum ein-gebettet werden, um so die fraktale Dimension der Kurve zu messen. Ist dieseunabhangig von der gewahlten Einbettung, kann auf diese Weise die Dimen-sion des zugehorigen Attraktors bestimmt, und Chaos nachgewiesen werden.

12

4 Fazit

Es wurden nun einfache Systeme mit wenigen Freiheitsgraden untersucht.Wettervorhersagen gestaltet sich naturlich ungleich komplexer, da es sich umein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden handelt. Weiterhin werdendie ablaufenden Prozesse durch nichtlineare Dirrerentialgleichungen beschrie-ben, zeigen also chaotisches Verhalten, was also Chaostheorie fur die Wet-terbetrachtung interessant macht. Und schließlich treten auch in der Naturin vielfaltigerweise Fraktale auf, wie beispielsweise der bereits angsprocheneBlumenkohl, aber auch Rander von Wolkenfeldern oder die Kuste Norwegens.

13

Literatur

1. Schuster, Heinz-Georg: Deterministic Chaos

2. McGoodwin, Michael: Julia Jewelshttp://www.mcgoodwin.net/julia/juliajewels.html

3. Mandelbrot, Benoıt: Personliche Homepage (Yale)http://www.math.yale.edu/mandelbrot/

4. Bergman, Jonas: Knots in the Lorentz Equation

5. Wikimedia: Bildquellehttp://commons.wikimedia.org/wiki/Main

6. Hans, Erich: Das Pohlsche Rad 2001www.physik.uni-regensburg.de/infra/vorlvorb/Aktuell/PohlschesRad/Pohl.htm

14