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Chaos und Fraktal e M. Bostelmann Michael Bostelmann

Chaos und Fraktale M. Bostelmann

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Chaos und Fraktale M. Bostelmann. Michael Bostelmann. gewinnt meist das Chaos,. Wo das Chaos auf die Ordnung trifft,. denn es ist besser organisiert. Michael Bostelmann. Teil 1: Fraktale und ihre Dimension. Unser Protagonist : Flohrian. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Chaosund

Fraktale

M. Bostelmann

Michael Bostelmann

Page 2: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Michael Bostelmann

Page 3: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Unser Protagonist : Flohrian

Michael Bostelmann

Page 4: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Flohrian ist verliebt

Michael Bostelmann

Page 5: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Sie liebt mich ..., sie liebt mich nicht...

Lieber nicht!

Michael Bostelmann

Page 6: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Lieber was mit Springen ...

Michael Bostelmann

Page 7: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Flohrian zeichnet eine Strecke von A nach B.

Dann stellt er sich in der Mitte auf.

Er wirft eine Münze und springt nach folgender Regel:

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A

Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis BMichael Bostelmann

Page 8: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Erster Wurf

Zahl

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A

Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B

Michael Bostelmann

Page 9: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Zweiter Wurf

Zahl

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A

Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B

Michael Bostelmann

Page 10: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Dritter Wurf

Kopf

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A

Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B

Michael Bostelmann

Page 11: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Flohrian nimmt sich vor, solange zu springen, bis er einen Punkt erreicht, auf dem er schon einmal war.

Liegt dieser Punkt in der linken Hälfte der Strecke AB, dann wird seine Liebe erwidert.

Liegt er in der rechten Hälfte, dann liebt sie ihn nicht.

Im Falle der Mitte zählt der vorherige Punkt.

Michael Bostelmann

Page 12: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Aufgabe 1

Die Strecke AB wird durch das Intervall [0;1] repräsentiert.

Stelle eine Definitionsgleichung für die Folge (xn) der Sprünge auf mit x0 = 0,5.

Hinweis:

Der Übergang von xn auf xn+1 hängt natürlich vom Ergebnis des Münzwurfs ab.

Xn+1 =

zeigtZahlMünzediefalls3

2x

3

1

zeigtKopfMünzediefallsx3

1

n

n

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A

Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis BMichael Bostelmann

Page 13: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Aufgabe 2

Schreibe ein Programm flohrian(n) für den TI-92, das für n Sprünge die Markierungen setzt.

flohrian(n)Prgm Local k,p,x ClrDraw PtText "x",-.02,.54 PtText "x",.98,.54 PtText "A",-.07,.6 PtText "B",1.03,.6 .5 x

For k,1,n rand(2) p If p>1 Then x/3 x Else 2/3+x/3 x EndIf PtOn x,.5 EndForEndPrgm

Michael Bostelmann

Page 14: Chaos und Fraktale M. Bostelmann
Page 15: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

MUSTER!?!Da steckt doch

Mathematikdahinter!

Eine einfache

Regel muss her!

Lieber rechnen

als springen!

Michael Bostelmann

Page 16: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Kopf : x1 = 0,16666...

x0 = 0,5

Zahl : x1 = 0,83333...

Das gibt ja ganz eklige Perioden!!!

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A

Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B

Wegen dieser ständigen Division durch 3.

...mmmhhh...

Michael Bostelmann

Page 17: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Im Dreiersystem sollte das

viel einfacher sein!

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A

Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B

Michael Bostelmann

Page 18: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

!!!Ach du Sch !!!

Aufgabe 3Was hat Flohrian so

erschreckt?

reck

Michael Bostelmann

Page 19: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Offenbar hat er keine Chance einen Punkt zum zweiten Mal zu erreichen, denn im n-ten Sprung erreicht er eine Zahl, deren Periode in der (n+1)-ten Stelle nach dem Komma beginnt, die also verschieden von allen vorhergehenden Zahlen ist.

“Ich hätte vielleicht doch nicht in der Mitte beginnen sollen.”, denkt er.

Michael Bostelmann

Page 20: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Aufgabe 4Bei welchen Startwerten hat Flohrian eine Chance, einen Punkt zum zweiten Mal zu erreichen?

Abbrechende Tertialbrüche kommen offenbar nicht in Frage, weil sich die letzte, von Null verschiedene Stelle bei jedem Sprung um eine Position nach rechts verschiebt.

Rein periodische Zahlen mit den Ziffern 0 und 2 bieten eine Chance, wenn sich durch entsprechende Sprünge eine neue Periode einschiebt.Beispiel:

Michael Bostelmann

Page 21: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

S0 = [0; 1]

S1 = S0 \ {(0,z1z2z3...)3 / z1=1}

S2 = S1 \ {(0,z1z2z3...)3 / z2=1}

S3 = S2 \ {(0,z1z2z3...)3 / z3=1}

Eine maximal löchrige Menge

Offenbar spielt hier eine Teilmenge des Intervalls [0; 1] eine Rolle, deren Elemente in der Tertialbruchdarstellung nur Nullen und Zweien aufweisen. Diese Teilmenge S wollen wir nun auf zwei verschiedene Arten schrittweise konstruieren.

Offenbar gilt Sn = S. Diese Menge ist nichts anderes als der

Cantor-Staub, ein bekanntes Fraktal. n

lim

Mengentheoretisch

Michael Bostelmann

Grafisch

Page 22: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Nichts als Staub

Die Cantor-Menge hat die Eigenschaft, dass sie völlig zerstäubt ist, d.h. keine zwei verschiedenen Elemente hängen zusammen. Oder anders ausgedrückt, zwischen zwei verschiedenen Elementen aus S finden wir immer ein Element nicht aus S. Dies lässt sich leicht zeigen.

Wie man leicht sieht, trifft Flohrian bei seinen Sprüngen mit dem Startwert 0,5 nie ein Element aus S, denn jede Position enthält immer die Periode mit 1, die sich jedoch immer weiter nach hinten schiebt. Aber er kommt immer näher an S heran. In gewissem Sinne konvergiert die Menge seiner Markierungen gegen S.

Seien p und q zwei verschiedene Elemente aus S und o.B.d.A p<q. Die erste Nachkommastelle, an der sich p und q in der Tertialdarstellung unterscheiden, sei an der n-ten Position. Dann hat p dort eine 0 und q eine 2. Sei r die Zahl, die bis zur (n-1)-ten Nachkommastelle mit p und q übereinstimmt und dann an der n-ten Stelle eine 1 hat, dann ist r nicht aus S und p<r<q.

Michael Bostelmann

Page 23: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Selbstähnlichkeit

Ein zentraler Begriff im Zusammenhang mit Fraktalen ist die Selbstähnlichkeit oder auch Skaleninvarianz. Der Cantor-Staub eignet sich gut, um diesen Begriff zu verdeutlichen. Wir greifen hierzu auf den bekannten Ähnlichkeitsbegriff aus der Mittelstufengeometrie zurück:

Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie durch eine zentrische Streckung in kongruente Figuren überführt werden können.

Nehmen wir zum Beispiel das linke Drittel von S, also S* = { (0,0z2z3...)3 / zi{0;2} } und strecken es mit dem Faktor 3. Dann erhalten wir

3·S* = { 3·(0,0z2z3)3 / zi {0;2} } = { (0,z2z3...)3 / zi {0;2} } = S

Die Menge S ist zu einem echten Teil ihrer selbst ähnlich – eben selbstähnlich.

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Page 24: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Eine neue Interpretation des

klassischen Dimensionsbegriffs

1. Dimension

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Page 25: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

2. Dimension

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Page 26: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

3. Dimension

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Page 27: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Verallgemeinerter Dimensionsbegriff

Verkleinert man ein Objekt mit dem Faktor k und passt das verkleinerte Objekt n-mal in das

ursprüngliche Objekt, so heißt die Zahl d mit

k d = ndie Dimension des Objekts.

Es ist also

d = logkn

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Page 28: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Die Dimension des Cantor-Staubs

Bei der Selbstähnlichkeit haben wir gesehen, dass wir das erste Drittel S* des Cantor-Staubs erhalten, wenn wir die Menge S im Maßstab 1:3 verkleinern.

S* passt zweimal in S, da das mittlere Drittel leer ist.

Für die Dimension d gilt dann:

3d = 2 oder d = log32 = 0,6309...

Die Dimension ist also nicht ganzzahlig, sondern gebrochen - eben fraktal.

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Page 29: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

Ein naher Verwandter des Cantor-Staubs

Vor einigen Jahren wurde im Bundeswettbewerb-Informatik folgende Aufgabe gestellt (sinngemäß):

Ein Goldgräber erhält einen Claim, der die Form eines gleichseitigen Dreiecks hat. Da er keine Ahnung hat, wo er mit dem Graben anfangen soll, sucht er sich zunächst einen beliebigen Punkt aus. Um den nächsten Grabungsort zu finden, wählt er einen der drei Eckpunkte beliebig aus und bestimmt den Mittelpunkt zwischen diesem Eckpunkt und seiner momentanen Position. Dies wiederholt er immer wieder. Ein entsprechendes Programm sollte die Grabungsorte für n Grabungen grafisch darstellen.

Aufgabe 5 Schreibe ein Programm für den TI-92, das für n Grabungen die Grabungsorte markiert.

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Page 30: Chaos und Fraktale M. Bostelmann

gold(n)Prgm Local k,p,x,y FnOff : PlotsOff : ClrDraw setGraph("axes","off") 0xmin : 100xmax 0ymin : 100ymax [[20][80][50]]px [[5][5][90]]py 50x:50y Line det(px[1]),det(py[1]),det(px[2]),det(py[2]) Line det(px[2]),det(py[2]),det(px[3]),det(py[3]) Line det(px[1]),det(py[1]),det(px[3]),det(py[3])

PtOn x,yFor k,1,n rand(3)p (x+det(px[p]))/2x (y+det(py[p]))/2y PtOn x,y EndForEndPrgm

Das Goldgräber-Programm

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Das Sierpinski-Dreieck

Aufgabe 6 Berechne die fraktale Dimension des Sierpinski-Dreiecks

Verkleinert man das Sierpinski-Dreieck im Maßstab 1:2, so passt es 3-mal in das ursprüngliche Dreieck. Es ist also

2d = 3 also d = log23 = 1,5849...

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