Chebyshev & Fourier Reihen - Universität des Saarlandes 2015. 6. 1. · Fourier-ReihenChebyshev-PolynomeZusammenhang zwischen Fourier und ChebyshevKonvergenzgeschwindigkeitenKonvergenzuntersuchungen

Fourier-Reihen Chebyshev-Polynome Zusammenhang zwischen Fourier und Chebyshev Konvergenzgeschwindigkeiten Konvergenzuntersuchungen Fourier und Chebyshev Literatur

Chebyshev & Fourier Reihen

Pascal Bauer

26. Mai 2015

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Inhaltsverzeichnis

1 Fourier-Reihen

2 Chebyshev-Polynome

3 Zusammenhang zwischen Fourier und Chebyshev

4 Konvergenzgeschwindigkeiten

5 Konvergenzuntersuchungen Fourier und Chebyshev

6 Literatur

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Inhalt

1 Fourier-Reihen





6 Literatur

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Periodische Funktionen

Definition (periodische Funktionen)

Für ein L > 0 heißt eine Funktion f(x) L-periodisch, falls

f(x) = f(x+ L) ∀x.

Satz

Sinus und Kosinus sind 2π-periodische Funktionen.

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Definition Fourier-Reihe

Definition (Fourier Reihe)

Die Fourier-Reihe einer 2π-periodischen Regelfunktion Funktionf(x) ist definiert durch

Ff (x) = a0 +

∞∑n=1

an cos(nx) +

∞∑n=1

bn sin(nx),

mit den Koeffizienten

a0 =1

2π

∫ π−πf(x)dx ”Konstanter Koeffizient”

an =1

π

∫ π−πf(x) cos(nx)dx Kosinus-Koeffizienten

bn =1

π

∫ π−πf(x) sin(nx)dx Sinus-Koeffizienten

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Bemerkung

Satz (Fourier-Reihe komplex)

Die Fourier-Reihe lässt sich in komplexer Form wie folgtschreiben:

Ff (x) :=

∞∑n=−∞

cn exp(inx),

wobei

cn =1

2π

∫ π−πf(x) exp(−inx)dx

Beide Schreibweisen sind äquivalent.

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Konvergenz der Fourier-Reihe

Satz (Konvergenz der Fourier-Reihe)

Für eine 2π-periodische Regelfunktion f : D→ C gilt

f(x) = Ff (x) ∀x ∈ D.

Definition (Skalarprodukt zweier Funktionen)

Wir definieren das Skalarprodukt 〈f, g〉 zweier 2π-periodischenFunktionen f und g als

〈f, g〉 := 12π

∫ π−πf(t)g(t)dt

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Periodische Verschiebung

Die Basisfunktionen {1, cos(nx), sin(nx)} sind alle2π-periodisch.

Betrachtung der Fourier-Entwicklung auf dem Intervall [0, 2π]anstatt auf [−π, π] ist ebenfalls möglich.

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Beliebig periodische Funktionen

Ausgangssituation: f Regelfunktion, die auf einem Intervall[−L,L] oder auf [0, L] definiert ist.Idee: Ersetze x := Lzπ beziehungsweise z :=

πxL und betrachte

φ(z) := f(x) = f

(Lz

π

)

Aus f : [−L,L]→ C folgt φ : [−π, π]→ C.φ(z) lässt sich dann ganz normal durch eine Fourier-Reiheentwicklen.

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πxL und betrachte

φ(z) := f(x) = f

(Lz

π

)

Aus f : [−L,L]→ C folgt φ : [−π, π]→ C.

φ(z) lässt sich dann ganz normal durch eine Fourier-Reiheentwicklen.

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πxL und betrachte

φ(z) := f(x) = f

(Lz

π

)

Aus f : [−L,L]→ C folgt φ : [−π, π]→ C.φ(z) lässt sich dann ganz normal durch eine Fourier-Reiheentwicklen.

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Entwicklung nichtperiodischer Funktionen

Frage: Können auch nichtperiodische Funktionen f alsFourier-Reihe dargestellt werden?

Idee: Beschränke die Darstellung auf ein Intervall [−π, π]oder nach Vorüberlegungen sogar auf ein Intervall [−L,L].

Fourier-Darstellung möglich!

Beispiel: Wir werden die Fourier-Darstellung derUrpsrungsgeraden angeben.

Zunächste einige Vorüberlegungen.

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Entwicklung nichtperiodischer Funktionen

Frage: Können auch nichtperiodische Funktionen f alsFourier-Reihe dargestellt werden?

Idee: Beschränke die Darstellung auf ein Intervall [−π, π]oder nach Vorüberlegungen sogar auf ein Intervall [−L,L].Fourier-Darstellung möglich!

Beispiel: Wir werden die Fourier-Darstellung derUrpsrungsgeraden angeben.

Zunächste einige Vorüberlegungen.

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Definition (Symmetrien von Funktionen)

Sei f eine Funktion, dann heißt f

achsensymmetrisch, falls

f(x) = f(−x) ∀x

ursprungssymmetrisch, falls

f(x) = −f(−x) ∀x

Lemma

Für die üblichen Funktionen sin und cos gilt:

cos(x) = cos(−x) ∀x ∈ R ⇒ cos ist achsensymmetrisch.sin(x) = − sin(−x) ∀x ∈ R ⇒ sin ist urpsrungssymmetrisch.

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Lemma

Lemma (Symmetrieerhaltung unter Multiplikation)

Seien f und g Funktionen nach R und sei h definiert als

h(x) := f(x)g(x).

Dann gilt:

Falls f, g achsensymmetrisch, so ist auch hachsensymmetrisch.

Falls f, g ursprungssymmetrsich, so ist auch hachsensymmetrisch.

Falls f achsensymmetrisch und g ursprungssymmetrisch, so istauch h ursprungssymmetrsich.

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Lemma

Sei f(x) achsensymmetrisch, so sind alle Sinus-Koeffizienten0.

Sei f(x) ursprungssymmetrisch, so sind alleKosinus-Koeffizienten 0.

Proof.

Zur Erinnerung waren:

an =1

π

∫ π−πf(x) cos(nx)dx Kosinus-Koeffizienten

und bn =1

π

∫ π−πf(x) sin(nx)dx Sinus-Koeffizienten

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Definition (Sinus- und Kosinus-Reihen)

Eine Fourier-Reihe mit lediglich konstanten und denKosinus-Koeffizienten nennt man Fourier-Kosinuns-Reihe.

Eine Fourier-Reihe mit lediglich nichttrivialenSinus-Koeffizienten heißt Fourier-Sinus-Reihe.

Bemerkung

Bei ursprungssymmetrischem f ist der konstante Koeffizient

a0 =1

2π

∫ π−πf(x)dx

ebenfalls 0.

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Beispiel 1: Approximation der Ursprungsgeraden

f(x) = x auf [−π, π].f ursprungssymmetrisch ⇒ an = 0 ∀n.

Nachrechnen ergibt:

bn =1

π

∫ π−πx sin(nx)dx (partielle Integration)

= (−1)n+1 2n

Fourier-Reihe von f :

f(x) =∞∑n=1

(−1)n+1 2nsin(nx)

Wachstum mit Faktor O(1/n)

⇒ langsame Konvergenz

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f(x) = x auf [−π, π].f ursprungssymmetrisch ⇒ an = 0 ∀n.Nachrechnen ergibt:

bn =1

π


= (−1)n+1 2n


f(x) =∞∑n=1

(−1)n+1 2nsin(nx)



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bn =1

π


= (−1)n+1 2n


f(x) =

∞∑n=1

(−1)n+1 2nsin(nx)



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bn =1

π


= (−1)n+1 2n


f(x) =

∞∑n=1

(−1)n+1 2nsin(nx)


⇒ langsame Konvergenz15 / 75


Sawtooth Funktion

Satz (Konvergenz der Fourier-Approximation einerUrsprungsgeraden)

Die Fourier-Reihe von f(x) = x auf ganz R:

Ff (x) =∞∑n=1

(−1)n+1 2nsin(nx)

konvergiert gegen die sogenannte Sawthooth oder piecewiselinar Funktion

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Annäherung an Sawtooth

Die ersten drei Terme der Fourier-Reihe von f :

f3(x) =

3∑n=1

(−1)n+1 2nsin(nx)

nähern sich wie folgt an die Sawtooth-Funktion an:

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Die ersten sechs Terme der Fourier-Reihe von f :

f6(x) =

6∑n=1

(−1)n+1 2nsin(nx)


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Die ersten 40 Terme der Fourier-Reihe von f :

f40(x) =

40∑n=1

(−1)n+1 2nsin(nx)


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Gibb’s Phänomen

Betrachte nun den Fehler der Approximation:

Insgesamt langsame Konvergenz mit Wachstum O(1/n).

Probleme an den Unstetigkeitsstellen.

Bei festem x konvergiert die Approximation beliebig nah andie Sawtooth-Funktion.

Insgesamt bleibt der Fehler aber in Nähe der Stetigkeitsstellekonstant. Amplitude von fN ist unabhängig von N .

Sogenannte Überschwingungen rücken lediglich näher an dieSprungstellen.

Definition (Gibb’s Phänomen)

Diesen Prozess bezeichnet man als Gibb’s Phänomen.

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Beispiel 2: Approximation der Plateau-Funktion

Definition (Plateau-Funktion)

Wir definieren die sogenannte Plateau-Funktion wie folgt:

fPl(x) =

{0, für |x| > π21, für |x| ≤ π2

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Gibb’s Phänomen

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Inhalt

1 Fourier-Reihen





6 Literatur

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Definition Chebychev-Polynome

Definition (Chebychev-Polynom)

Die Chebyshev-Polynome erster Art werden für n ∈ N definiertals

Tn : [−1, 1]→ R, Tn(t) := cos(n arccos(t))

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Eigenschaften von Chebyshev-Polynomen

Satz (Eigenschaften von Chebyshev-Polynomen)

Für Chebyshev-Polynome gelten die folgenden Eigenschaften

Tn(cos(φ)) = cos(nφ) ∀φ ∈ [0, π]maxt∈[−1,1] |Tn(t)| = 1

Es gilt folgende Rekursionsformel

T0(t) = 1,

T1(t) = t,

Tn+1(t) = 2tTn(t)− Tn−1(t) ∀t ∈ [−1, 1]

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Eigenschaften von Chebyshev-Polynomen

Satz (Eigenschaften von Chebyshev-Polynomen)


Tn(cos(φ)) = cos(nφ) ∀φ ∈ [0, π]maxt∈[−1,1] |Tn(t)| = 1Es gilt folgende Rekursionsformel

T0(t) = 1,

T1(t) = t,

Tn+1(t) = 2tTn(t)− Tn−1(t) ∀t ∈ [−1, 1]

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Die ersten Chebyshev-Terme

Mithilfe der o.a. Rekursionsformel ergeben sich die erstenChebyshev-Terme wie folgt:

T0(x) = 1

T1(x) = x

T2(x) = 2x2 − 1

T3(x) = 4x3 − 3x

T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1

...

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Eigenschaften von Chebyshev-Polynomen II

Satz (Eigenschaften von Chebyshev-Polynomen II)


Tn hat (n+ 1) Extrema skn auf [−1, 1], nämlich

s(n)k := cos

(kπ

n

)und es gilt

Tn(s(n)k ) = (−1)

k für k = 0, . . . , n

Tn hat n einfache Nullstellen t(n)n auf [−1, 1], nämlich

t(n)k := cos

((2k − 1)π

2n

)für k = 1, . . . , n

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Chebyshev-Polynome der Ordnungen 0 bis 5

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Definition Orthogonal

Definition (Orthogonal)

Wir definieren das gewichtete L2 Skalarprodukt zweierFunktionen f und g, mit Gewichtsfunktion

ω(x) :=1√

1− x2

durch

〈f, g〉 :=∫ 1−1f(t)g(t)

1√1− t2

dt

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Chebyshev-Orthogonalität

Satz (Orhtogonalität der Chebyshev-Polynome)

Die Chebyshev Polynome sind jeweils L2 orthogonal zueinander,das heißt es gilt

〈Tm, Tn〉 =∫ 1−1

cos(m arccos t) cos(n arccos t)1√

1− t2dt

=

0, für m 6= nπ, für m = n 6= 0π2 , für m = n = 0

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Inhalt

1 Fourier-Reihen





6 Literatur

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Satz

Jede Chebyshev-Reihe kann als Fourier-Kosinus-Reihe dargestelltwerden.

Proof.

Wähle hierfür zunächst:

z := cos(φ) ⇒ Tn(z) = cos(nφ)

Wir können dann die Chebyshev-Reihe von f

f(z) =∞∑n=0

anTn(z)

äquivalent in folgende Fourier-Reihe von (f ◦ cos) umformen:

(f ◦ cos)(φ) =∞∑n=0

an cos(nφ)

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Inhalt

1 Fourier-Reihen





6 Literatur

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Algebraische Konvergenz

Definition (Algebraische Konvergenz)

Der algebraische Konvergenz-Index ist das größte k ∈ N, sodass

limn→∞

|an|nk > 1

Hierbei seien an die Koeffizienten der Reihe.

Bemerkung (Algebraische Konvergenz bei Fourier-Reihen)

Für Fourier-Reihen muss die Eigenschaft sowohl für dieKosinus-Koeffizienten an, als auch für die Sinus-Koeffizienten bngelten.

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Algebraische Konvergenz II

Definition (Algebraische Konvergenz II)

Der algebraische Konvergenzindex ist das größte k ∈ N, sodass

an˜ O(1/nk)

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Beispiel

Wir betrachten wieder die Fourier-Annäherung an f(x) = x:

an = 0

bn = (−1)n+12

n

Die Bedingung lautet nun in unserem Fall:

limn→∞

∣∣∣(−1)n+1 2n

∣∣∣nk


Exponentielle Konvergenz

Definition (Exponentielle Konvergenz)

Sofern kein k ∈ N exisitiert, sodass

limn→∞

|an|nk > 1,

so spricht man von exponentieller Konvergenz einer Reihe.

Definition (Exponentielle Konvergenz II)

Wir sprechen von exponentieller Konvergenz mit Konstante q fürein r > 0, falls

an˜ O(exp(−qnr))

Proof.

Es gilt nämlich limn→∞ nk exp(−qnr) = 0 ∀k ∈ N ∀r > 0

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Verschiedene Arten exponentieller Konvergenz

Definition (Arten exponentieller Konvergenz)

Für die Koeffizienten an einer Reihe mit exponentiellem Wachstumspezifizeiren wir weiter

limn→∞

log(|an|)/n =

∞, supergeometrische Konvergenzc, geometrische Konvergenz

0, subgeometrische Konvergenz

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Konvergenzarten

Super-ge-

ometrisch

limn→∞ log(|an|)/n = ∞

Ge-ometrisch

limn→∞ log(|an|)/n = c

Subge-ometrisch

limn→∞ log(|an|)/n = 0

Alge-braisch

limn→∞ |an|nk < ∞für ein k ∈ N

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Inhalt

1 Fourier-Reihen





6 Literatur

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Fourier-Fehler

Satz (Fourier-Fehler)

Es seien

fN (x) := a0 +

N∑n=1

an cos(nx) +

N∑n=1

bn sin(nx)

dann ist der Fehler E(N) := ‖f(x)− fN (x)‖ durch dieKoeffizienten der Entwicklung nach oben beschränkt, das heißt esgilt

E(N) ≤∞∑

n=N+1

|an|+ |bn|

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Konvergenzgeschwindigkeit von Fourier-Reihen

Satz (Konvergenzgeschwindigkeit von Fourier-Reihen)

Für 2π-periodisches f konvergieren Fourier-Reihengeometrisch.

Weist die Funktion f Unstetigkeitsstellen oder andereSingularitäten auf, so kann die Konvergenz sub-geometrischoder sogar algebraisch sein.

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Wie sieht es also mit der Konvergenzvon Chebyshev-Polynomen aus?

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Lemma (Konvergenzgeschwindigkeit von Chebyshev-Reihen)

Für beliebiges f(z), nicht notwendigerweise periodisch in z, istf(cosφ) 2π-periodisch in φ. Deshalb konvergierenChebyshev-Reihen exponentiell.

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Inhalt

1 Fourier-Reihen





6 Literatur

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Literatur

Boyd P. John: Chebyshev and Fourier Methods. UniversityMichigan, second edition, 2000.

E.O. Brigham FFT Schnelle Fourier Transformation.Oldenburg, 1989.

S. Quian and D. Chen Joint Time Frequency Analysis.Prentice Hall, 1996.

Königsberger, Konrad: Analysis I. Springer Verlag,Garching, Deutschland, 6. Auflage, 2003.

Forster, Otto: Analysis I. Vieweg Verlag, Wiesbaden,Deutschland, 9. Auflage, 2008.

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