Computational Intelligence - FH-SWF Home · PDF fileVorwort 5 Fuzzy-Tutorial: Fuzzy-Logik in Theorie und Praxis Vorwort Dieses Tutorial ist als Einführung in die mathematischen Grundlagen

Computational Intelligence Fuzzy-Tutorial

Masterkurs CV&CI

Center Computational Intelligence and Cognitive Systems Prof. Dr. habil. A. Grauel Josef-Stern-Weg 3 59494 Soest / Germany E-Mail:[email protected]

Vorwort

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Vorwort

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Fuzzy Tutorial: Fuzzy-Logik in Theorie und Praxis Inhaltsverzeichnis: Vorwort .................................................................................................... 5 Einleitung und Motivation ......................................................................... 5 1. Einführung ........................................................................................ 6 2. Theorie unscharfer Mengen ........................................................... 14

2.1 Basisdefinitionen ..................................................................... 14 2.2 Modellierung unscharfer Mengen mittels Zugehörig-keitsfunktionen .................................................................. 16 2.2 Grundbegriffe unscharfer mathematischer Objekte ............................................................................................... 36

2.3.1 Unscharfer Punkt ................................................................... 36 2.3.2 Unscharfe Relationen: Modellierung fuzzy-wertiger Relationen ......................................................................... 37 2.3.3 Unscharfe Funktionen ........................................................... 39

2.4 Mengenalgebraische Operationen .......................................... 40 2.4.1 Elementare Operationen ........................................................ 40 2.4.2 Kompensatorische Operatoren .............................................. 46 2.4.3 Schnittbildung: Modellierung Niveauwerte als Teilmengen ..................................................................................... 46 2.4.4 Rechengesetze für unscharfe Mengen .................................. 48 2.4.5 Struktureigenschaften ............................................................ 49 2.4.5 Binäre Operationen: Konzept t-Norm .................................... 52

3. Unscharfe Relationen ..................................................................... 59

3.1 Mathematische Grundbegriffe ................................................. 60 3.2 Relationen und Rechenregeln ................................................. 63 3.3 Fuzzy-Inferenz ......................................................................... 73

3.3.1 Erinnerung klassische Logik .................................................. 73 3.3.2 fuzzy-logisches Schließen ..................................................... 73

4. Analyse und Design von Fuzzy-Systemen ..................................... 77

4.1 Grundidee bei Fuzzy-Systemen .............................................. 77 4.2 Methoden des Fuzzy Control ................................................... 79

4.2.1 Methode von Mamdani .......................................................... 79 Beispiel: Inverses Pendel ............................................................... 84 4.2.2 Methode von Sugeno ............................................................ 99 4.2.3 Analytische Betrachtungen für den Sugeno-Con-troller ..................................................................................... 101 4.2.4 Sliding Mode Fuzzy Control (FC) ......................................... 108

5. Anmerkungen zu Neuro-Fuzzy-Systeme ...................................... 114 6. Schlussbemerkung ....................................................................... 116

Vorwort

4

6.1 Softwareprodukte .................................................................. 116 6.2 Hardware ............................................................................... 116 6.3 Zeitschriften ........................................................................... 116

Literaturverzeichnis .............................................................................. 118

Vorwort

5

Fuzzy-Tutorial: Fuzzy-Logik in Theorie und Praxis Vorwort Dieses Tutorial ist als Einführung in die mathematischen Grundlagen sowie die für die Fuzzy-Logik spezifischen Ar-beitsmethoden gedacht. Es ist schwerpunktmäßig praxisorien-tiert, die theoretischen Grundlagen sind auf die wichtigsten Begriffsbildungen beschränkt – aktuelle Beiträge zur Fuzzy-Logik befinden sich in Tagungsbänden über dieses Thema und Zeitschriften. Einleitung und Motivation Die Fuzzy-Logik bietet reichhaltige Möglichkeiten zum Bei-spiel technische Prozesse zu denen kein unmittelbarer mathe-matischer Zugang besteht, Systeme mit nichtlinearer Charakte-ristik aber auch Probleme der Datenanalyse, volks- und be-triebswirtschaftliche Probleme, etc. über eine linguistische Formulierung zu beschreiben. Obwohl schon technische Pro-dukte mittels der Fuzzy-Technologie marktreif wurden, wird die Fuzzy-Methodik noch weiter entwickelt werden müssen um mittels der Fuzzy-Technologie noch weitere Bereiche befruch-ten zu können. Es wird eindringlich davor gewarnt die Fuzzy-Mathematik insbesondere die Fuzzy-Logik als eine Methode zu betrachten, die die herkömmliche Mathematik oder die Systemtheorie und Dynamik komplexer Systeme überflüssig macht. Fuzzy-Mathematik und Fuzzy-Logik repräsentieren lediglich eine neue mathematische Plattform innovativ zu denken, zu model-lieren, inhaltberücksichtigendes Wissen und algorithmisches Wissen in Expertensystemen geeignet zu beschreiben. Auf der Ebene des menschlichen Schlussfolgerns sind viele Begriffe inhärent unscharf, so z.B. bezüglich des subjektiven menschlichen Denkens, der subjektiven Beschreibung von Sachverhalten etc. Aber auch auf der phänomenologischen Ebene der elementaren biologischen Prozesse, finden wir Un-schärfe. Beispielsweise werden bei der Generierung eines Ak-tionspotentials auf bzw. an dem Neuron Faltungsprozesse mit unscharfer Eingangsinformation ausgeführt, abgesehen davon, dass das Neuron selbst ein hoch komplexes dynamisches "Bau-element" repräsentiert, innerhalb dessen hochparallele Prozesse ablaufen. Als "unscharfe Logik" (fuzzy logic) bezeichnete L.A. Zadeh (/Za 1-3/) die von ihm schon 1965 begründete Theorie zur Be-schreibung und Verknüpfung unscharfer Mengen (fuzzy sets),

1. Einführung

6

die eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Mengenlehre darstellt. Damit stellt die gewöhnliche Mengenlehre mit ihrem 0/1-wertigen Zugehörigkeitsbegriff ein Grenzfall der unschar-fen Mengenlehre dar. Das Konzept von Zadeh für unscharfe Mengenzugehörigkeiten, wie sie oft bei einer qualitativen Be-schreibung beispielsweise von Daten und Objekten auftreten, stellte sich bei vielen Anwendungen in der Technik als äußerst zweckmäßig heraus. Das Konzept eröffnet die Möglichkeit einer Operationalisierung von qualitativ formuliertem (linguis-tisch formuliertem) menschlichem Wissen. In Analogie zu de-terministischen Variablen wird die linguistische Variable durch Angabe der Werte definiert, die sie annehmen kann. In diesem Fall sind hier die Werte keine Zahlen, sondern inhaltsberück-sichtigende sprachliche Ausdrücke, die die menschliche Sprachebene repräsentieren. Nach dem Fuzzy-Konzept werden diese Werte nun inhaltlich durch unscharfe Mengen auf einer physikalisch-numerischen Skala definiert, auf der sogenannten Sprachebene eines Computers. Formal ist somit eine (inhaltli-che) Brückenfunktion zwischen menschlichem Wissen und einer maschinenmäßigen Darstellung geschaffen. 1. Einführung Zadeh hat das mathematische Konzept der "fuzzy sets" (un-scharfe Mengen) eingeführt, es beinhaltet: Verallgemeinerung des normalen ("scharfen") Mengenbegriffs bzw. der Mengen-lehre. Es wird dadurch möglich: scharfe ("nonfuzzy") und unscharfe ("fuzzy") Daten formal exakt zu behandeln. Die Motivation von Zadeh war: Die Unschärfe im menschli-chen Denken bezüglich Datenrepräsentation und Entschei-dungsfindung formal exakt zu behandeln. Algebra: Der Wertebereich einer Variablen ist exakt (scharf) festgelegt. Beispiel: Die Menge aller natürlicher Zahlen n zwischen 1 und 5: {n ∈ IN⏐1 < n < 5} , es sind exakt die Elemente 2, 3 und 4 der Menge {2, 3, 4}. Umgangssprachlich verwenden wir oft unscharfe Formulierun-gen in der Form "Die Menge aller natürlichen Zahlen viel grö-ßer als 1" oder beispielsweise "Die Menge aller mittelgroßer Männer". Bezüglich der Mitglieder der "Elemente" ist die Formulierung "Die Menge aller mittelgroßer Männer" unscharf bezüglich einer Menge definiert. Allgemeiner formuliert: Zum gewöhnlichen mathematischen (nonfuzzy) Mengenbegriff mit scharfen Grenzen hat ein Fuzzy Set unscharfe Grenzen. Somit: Die scharfen Mengen können als Spezialfall der unscharfen Mengen verstanden werden. Grundgedanke der Fuzzy Theorie basiert nicht auf den Aussa-gen wahr (1) oder falsch (0), sondern auf Zwischenwerten. Da-

1. Einführung

7

nach kann jedes Element mit einer gewissen Wahrscheinlich-keit zu einer bestimmten Menge gehören oder nicht. Jedes Element der "unscharfen" Menge kann mit einem Zugehörig-keitswert ("Zugehörigkeitswahrscheinlichkeit") charakterisiert werden. Die Beschreibung erfolgt durch Einführung unscharfer Mengen und die Charakterisierung einfacher Zusammenhänge (Relationen) mit unscharfen Bedingungsanweisungen (fuzzy conditional statements) der Form: "Wenn A, dann B". Geord-nete Anweisungs- bzw. Befehlsfolgen dienen dazu komplexere Beziehungen zu formulieren. Beispiel: Begriff "jung" verknüpft mit dem Alter eines Men-schen

Alter

1

0 20

Tag der Geburt Linguistische Beschreibung: Bis zu einem Alter 20 Jahre

können alle Menschen als "jung" charakterisiert werden. … repräsentiert ein Crisp-Intervall: [ ]20,0A =

Frage: Warum ist ein Mensch an seinem 20. Geburtstag noch

jung und ein Tag danach nicht mehr? Strukturproblem: Separation jung und nicht jung ⇔ Elemente mit 1, Elemente mit 0 Verallgemeinerung des Konzeptes: Wir erlauben Zwischen-

werte im Einheitsintervall [ ]1,0I = .

Alter

1

0.5

20 25

1. Einführung

8

Fazit: Eine Person im Alter von 25 Jahren, kann zu 50 % als "jung" angesehen werden, vorausgesetzt ab einem Lebensalter von 30 Jahren werden alle Personen als "alt" angesehen. Beispiel: Betrachten wir einen Temperaturbereich mit Tempe-raturwerten dessen Zugehörigkeitsfunktion nur die Werte 0 und 1 hat und dessen Stützmenge nur die Temperaturwerte im Intervall [110°C, 190°C] umfasst, so sprechen wir von einem nonfuzzy set. Der Linguistikausdruck "der Momentanwert ist genau 150°C" kann als fuzzy oder nonfuzzy Singulärset darge-stellt werden. Somit wird von einer "nonfuzzy" Größe genau dann gesprochen, wenn ihre Mitgliedsfunktion nur die Werte 0 und 1 hat. Bem.: Bei der Fuzzy-Modellierung besteht eine wesentliche "Kunst" darin, die Zugehörigkeitsfunktion sinnvoll zu definie-ren. Im Sinne eines "fuzzy modelling" könnten wir festsetzen: Die universelle Menge U ist die Menge an Temperaturwerten T in dem Intervall [110°C, 190°C], d.h.

U = [ ]{ }C190,C110TT °°∈ . Die Fuzzy-Teilmenge A = {Temperatur von ungefähr 150°C} wäre damit der Fuzzy-Subset A aus der universellen Menge U, dessen Mitglieder gemäß dem Temperatur-Graphen gegeben sein könnte. Seine Stützmenge

{ } [ ]{ }C190,C110T0)T(T)T(S AA °°=≥μ= enthält also alle Temperaturwerte im Intervall [ ]CC °° 190,110 . Je näher der Wert der Mitgliedschaftsfunktion )T(Aμ bei 1 liegt, desto höher ist der Grad der Zugehörigkeit (Fig. 1.1). Beispiel: Es wird eine Temperaturregelung in einem Regelbe-reich von 100°C bis 200°C betrachtet. Ein jahrelang vertrauter Bediener einer Anlage macht die Aussage: "Es treten Temperaturen von ungefähr 150°C auf." Dieses ist eine vage Aussage (grade of possibility), der Sachverhalt ist modellierbar (Fig.1.1) als unscharfer Temperaturbereich mit-tels einer Funktion μ(T), genannt Zugehörigkeitsfunktion (membership function).

1. Einführung

9

100 150 200

0.5

1.0

T in °C

μ (T)

Fig.1.1: Temperaturbereich als Fuzzy Set. Im Bereich

C160 bis C140 °° hat die Mitgliedschaftsfunktion μ(T) den Wert 1 und im Bereich C140 T C110 °<≤° sowie im Inter-vall C190 T C160 °≤<° , Werte zwischen 0 und 1. Fuzzy Sets sind interpretierbar als eine "Klasse" Sets mit einem Kontinuum von Zugehörigkeitsgraden. Dabei bezeichnet man den funktionellen Zusammenhang eines Elementes x zu einer Menge A als Zugehörigkeitsfunktion ( )xAμ , sie bestimmt den Grad der Zugehörigkeit eines Elementes x aus der Menge A zu der Gesamtheit der Menge A. In anderen Worten, der Grad der Zugehörigkeit von x zum Ereignis A wird durch die Funktion

( )xAμ bestimmt. Folglich kann ( )xAμ auch als Bewertungs-funktion bezüglich des Intervalls von 0 bis 1 interpretiert wer-den. Die Zugehörigkeit ( ) 1xA =μ besagt, dass das Element x mit einer Wahrscheinlichkeit von 1.0 zum Ereignis A gehört. Entsprechend charakterisiert ( ) 0xA =μ , dass Element x nicht zur Menge A gehört. Anschaulich gesprochen bewirken schlanke Mitgliedschaftsfunktionen eine Konzentration von Zugehörigkeitswerten, dagegen breite Funktionen eine Aus-dehnung der unscharfen Menge (Fig. 1.2).

xxxx

α

0.5

1.0

x

A (x)μ

mx Fig. 1.2: Wird die Zugehörigkeitsfunktion (symmetrisch be-züglich mx ) in der Höhe α geschnitten, so spricht man auch von einem α - Schnitt.

1. Einführung

10

Für die Bewertung einer Zugehörigkeit spielen die Zugehörig-keitsfunktionen eine große Rolle. Zur Veranschaulichung be-trachten wir die Druckverhältnisse an einem Ventil (verschie-dene Ventilstellungen) bei einer Druckregelung (Fig.3). Für den Druck werden drei Bereiche festgelegt { niedrig, mittel, hoch }.

0.25

0.5

0.75

1.0niedrig mittel hoch

1 2 3 4 5 6 7 8 p in bar2.5

μ (p)

Fig. 1.3: Druckbereiche je nach Ventilstellung. Für den niedrigen Druckbereich wird das Intervall von 0 bis 3 bar definiert, wobei diese Festlegung einer subjektiven Bewer-tung zugrunde liegt. Der mittlere Bereich geht von 1 bar bis 6 bar und der höhere Druckbereich geht von 4 bar bis 7 bar. Für einen Druck von 2.5 bar erhalten wir bezüglich des niederen Druckes eine Zugehörigkeit von µ(p)= 0.25 und bezüglich des mittleren Druckes eine Zugehörigkeit von µ(p)= 0.75. Folglich würden wir den Druck von 2.5 bar mehr dem mittlerem Druck-bereich zuordnen als den niederen Druckbereich. In diesem Zusammenhang und für die Charakterisierung einer Schnittmenge von unscharfen Mengen ist der Träger einer un-scharfen Menge A von Bedeutung. Def. Träger:

supp (A) : = { x ∈ X | 0 > )x(A μ }, es ist die Gesamtheit aller x- Werte, für die die Zugehörigkeits-funktion größer Null ist. Für die Repräsentation von Fuzzy Mengen ist es oftmals sinnvoll α-Schnitte zu definieren. Als α-Schnitt bezeichnet man eine Gerade, parallel zur x - Achse, die die Zugehörigkeitsfunktion in zwei Teile, einen oberen und einen unteren Bereich zerlegt. Als Zugehörigkeitsfunktion μα ( )x wird dann die obere der Zugehörigkeitsfunktion ge-wählt, es entsteht eine Schnittmenge, die die Variable x (Tem-peratur, Druck, Stellgröße etc.) einschränkt (Fig. 1.4).

1. Einführung

11

1 2 3 4 5 6 7 8

0.5

1.0

α

μ A (x)

x

[ ] [ ] Fig. 1.4: Schnittmenge des α - Schnitts:

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥α⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ α−∪α−α=μα 5.0für2

213,324,2 .

Zusammenfassung: Darstellung und Interpretation von Fuzzy-Mengen a) klassischer Mengenbegriff ist zweiwertig Zu jeder Menge A über einer Grundmenge X existiert eine Funktion

{ }1,0X:fA →

die für jedes Element Xx ∈ angibt, ob x ein Element der Menge A ist

( ) Ax1xfA ∈⇔= , oder kein Element der Menge A ist

( ) Ax0xfA ∈/⇔= . b) Konzept der unscharfen Mengen aus logischer Sicht ba-siert auf der folgenden Idee … den Zugehörigkeitsgrad eines Elementes als den graduel-len Wahrheitswert einer Aussage im Intervall [ ]1,0 zu betrach-ten (Fig. 1.5, Fig. 1.6).

1. Einführung

12

x

( )xAμ

1

Fig. 1.5: Symmetrische Dreiecksfunktion.

( )xAμ

1

( )1x

1x Fig. 1.6: Darstellung =x Temperatur. Interpretation: "Lieber eine etwas zu niedrige Temperatur als eine zu hohe Tempera-tur". c) Modellierung einer Fuzzy-Menge A Benötigt wird eine Funktion, die anstatt in die Menge { }1,0 in das Intervall [ ]1,0 abbildet:

[ ]1,0X:A →μ .

Jedem Element Xx ∈ kann eine Zahl ( ) [ ]1,0xA ∈μ zugeord-net werden die dem Grad von x zu A repräsentiert.

Aμ heißt Zugehörigkeitsfunktion ( )xAμ Aμ an der Stelle x, heißt Zugehörigkeitsgrad

d) Fuzzy-Linguistik Nimmt eine Kenngröße x

Intervall [ ]1,0

Temperatur, Druck, Volumen Frequenz, Geschwindigkeit, Helligkeit, Alter, Abnutzungsgrad, etc. medizinische elektrische chemische oder ökologische Variable

1. Einführung

13

linguistische Werte wie "niedrig", "mittel" oder "hoch" an, so wird sie als linguistische Größe oder Variable bezeichnet. Die durch eine Fuzzy-Menge beschreibbar ist, beispielsweise durch einen Funktionsgraphen mit einem bestimmten Träger. Die dargestellten Zugehörigkeitsfunktionen (grade of mem-bership oder degree of membership) repräsentieren keine Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines Ereignisses. Da-für ist die Wahrscheinlichkeitstheorie zuständig. Die Wahr-scheinlichkeitstheorie macht Aussagen über das Auftreten möglicher Ereignisse bei einem sogenannten statischen Pro-zess. In der Fuzzy-Logik geht es nicht um Wahrscheinlich-keitsgrade (grade of probability) für das Eintreten eines Ereig-nisses sondern um Möglichkeitsgrade (grade of possibility), etwas vereinfacht dargestellt: Die Unsicherheit ist zu modellieren. Theoretisch beschreibbar durch Möglichkeits- oder Possibilitätsverteilungen. Bezüglich der sogenannten Notwendigkeits- oder Necessitäts-maße müssen wir auf die Literatur verweisen, ebenso was den Glaubwürdigkeitsgrad und den Plausibilitätsgrad, den Grad des Einleuchtens betrifft (/Ba1/ Bandemer, Gottwald: Einführung in Fuzzy-Methoden, Akademie Verlag) mit dem Hinweis, dass diese Gegenstände noch theoretisch erklärt werden müssen. Eine umfassende Theorie existiert bisher noch nicht. In der vorliegenden Darstellung lassen wir uns vom theoreti-schen Pragmatismus leiten.

2. Theorie unscharfer Mengen

14


2.1 Basisdefinitionen Def. 2.1: Eine unscharfe Teilmenge (fuzzy subset) A einer Menge X ist gekennzeichnet durch ihre Zugehörigkeitsfunktion (membership function)

[ ]1,0:A →μ X , (2.1) die jedem Element x aus X eine Zahl (x)Aμ im Intervall [0,1] zuordnet, die den Grad der Zugehörigkeit von x in A repräsen-tiert. X repräsentiert den Grundbereich, der geeignet zu wählen ist. Die scharfen Mengen werden als spezielle unscharfe Men-gen interpretiert, bei denen nur die Werte 0 und 1 als Zugehö-rigkeitswerte vorkommen. Die Gleichheit zweier unscharfer Mengen A und B ist gegeben, wenn die Werte ihrer Zugehö-rigkeitsfunktion gleich sind: A=B, falls )x()x( BA μ=μ für alle x ∈ X. Es gibt verschiedene Repräsentationsmöglichkeiten für die Beschreibung von Zugehörigkeitsfunktionen unscharfer Men-gen. Diskrete Darstellung mittels Funktionstabellen in der Form

( ) 1.08.05.01.0xxxxx

A

n321μ

L

mit z.B. 8.0)x( 3A =μ etc. und { }n21 x,......x ,x=X . Diese Darstellung können wir mit Hilfe des Begriffs einer Stützmen-ge verallgemeinern. Def.2.2: Die Stützmenge von A ("support von A") ist die Men-ge SA aller Elemente ("set of points") in X mit positivem

(x)Aμ . Def.2.3: Ein Halbpunkt in A ("crossover point") ist ein Ele-ment von X, dessen Mitgliedschaft exakt 0,5 beträgt. Def.2.4: Ein Fuzzy-Singulärtest ("fuzzy singleton") ist ein Fuz-zy Set, dessen Stützmenge genau ein Element aus X umfasst. Bemerkung zur Notation: Wenn ein Fuzzy Set als Stützmenge {x} nur ein einziges Element mit positivem µ(x) besitzt, dann wird geschrieben

A = µ/x , (2.2) wobei µ der Mitgliedschaftsgrad von x in A ist. Folge: Ein Nonfuzzy-Singulärtest kann als 1/x geschrieben werden.


15

Bemerkung: Die Verknüpfungen zwischen Fuzzy Sets sind analog definiert zu der Definition von gewöhnlichen Mengen. Wenn die Stützmenge { } x,...,x, x S n21A = von A diskret und endlich ist, dann gilt die Summendarstellung: (2.3)

x/)x(:x/)x( x/)x(x/)x(An

1iiiAnnA22A11A ∑

=μ=μ++μ+μ= L

Summendarstellung vereinfacht geschrieben bei endlichem Grundbereich:

∑=

μ=μ++μ=n

1 iiinn11 x/x/ ... x/ A , (2.4)

wobei µi , i=1,..., n, den Grad der Zugehörigkeit von xi in A bezeichnet. Das Pluszeichen "+" bedeutet die Vereinigung ge-mäß Gl. 2.3 und nicht die arithmetische Summe. Anstelle von vorstehender Formulierung kann abkürzend geschrieben wer-den:

x/)x(=AXx

A∑∈

μ . (2.5)

Das Summenzeichen ∑ als auch das nachfolgende Integralzei-chen ∫ sind abkürzende Symbole, die Zeichen werden nicht als Operationszeichen benutzt und ebenso das Zeichen "/". Ist der Grundbereich X unendlich, wird das Summenzeichen symbolisch durch das Integralzeichen ersetzt und geschrieben: ( ) x/xA

XxA∫

∈

μ= (2.6)

Ein Fuzzy Set A kann als die Vereinigung seiner konstituieren-den Singulärsets interpretiert werden (/Za3/), wobei das Sum-menzeichen oder das Integralzeichen für die Vereinigung des Fuzzy Singulärsets x/)x(Aμ steht. Der Zugehörigkeitsgrad )x(Aμ in einem Fuzzy Set A selbst, darf dort auch wieder ein Fuzzy Set sein. Fuzzy Sets deren Zu-gehörigkeitsfunktion selbst wieder ein Fuzzy Set ist, nennt man nach Zadeh Ultrafuzzy Sets.


16

2.2 Modellierung unscharfer Mengen mittels Zugehörig-keitsfunktionen

Um die Abstufungen einer Zugehörigkeit (Zugehörigkeitsgrad) zu beschreiben benutzen wir Funktionsgraphen. Es sind Gra-phen mit Werten zwischen 0 und 1, die eine graduelle Zugehö-rigkeit repräsentieren. Dabei ist zu beachten, dass jeder Graph für eine subjektive Modellierung von linguistischem Wissen steht. Welche Zugehörigkeitsfunktion für ein spezielles Prob-lem optimal ist, muss von Fall zu Fall entschieden werden. Die verwendeten Funktionen besitzen oft einen einfachen mathe-matischen Zugang, wie die folgenden Beispiele zeigen. a) Modellierung einer Zugehörigkeitsfunktion mittels ei-

ner Dreiecksfunktion

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤<−−

≤≤−

−<

=μ

.3

3223

3

2112

1

1

A

axfür0

,axafüraa

xa

,axafüraa

ax,axfür0

x

2a 3a

( )xAμ

1

x

1a

Fig.2.1: Oft werden symmetrische Zugehörigkeitsfunktionen verwendet. Falls x die Temperatur repräsentiert, kann die asymmetrische Dreiecksfunktion interpretiert werden als „lie-ber eine etwas zu niedrige Temperatur (bezüglich 2a ) als eine

Beh.:


17

zu hohe Temperatur“. An der Stelle 2a ist die Funktion zwar stetig aber nicht differenzierbar. Die Funktion ist festgelegt durch drei Parameter. Bew.: Funktionen mit bereichsweisen Geradenstücken, wie bei-spielsweise die obige Dreiecksfunktion, aber auch die linguisti-schen Terme bestehend aus Dreiecksfunktionen für die fuzzy-fizierten Eingangsgrößen oder die aggregierte Fuzzy-Ausgabe haben einen einfachen mathematischen Zugang über die Zwei-punkteform oder die Normalform einer Geraden. Anwendung der Zweipunkteform

12

12

1

1xxyy

xxyy

−−

=−−

für eine Gerade. Intervall [ ]21 a,a :

( )⇒

−−

=−

−μ

121 aa01

ax0x

( )12

1aa

axx−

−=μ

Intervall [ ]32 a,a :

( ) ( ) 1aaxa

xaa10

ax1x

23

2

232+

−−

=μ⇒−−

=−

−μ

( )23

3aaxa

x−−

=μ

Damit das Intervall überschneidungsfrei (disjunkt) bleibt, wird der Bereich auf ( ]32 a,a eingeschränkt. Folge für die Fuzzy-Menge A


18

( )[ ]

( ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−−−

−<

μ

3

3223

3

2112

1

1

A

axfür0

a,afüraaxa

a,afüraa

axaxfür0

x

b) Γ - Funktion als Zugehörigkeitsfunktion

( ) ( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=

≤≤−

−=

<=

μ

.axfür1

,axafüraa

ax,axfür0

x

2

2112

1

1

A

a

(x)

1

0.5

0 xa1 2

μΑ

Fig.2.2: Repräsentiert eine Γ - Funktion mit zwei Parametern. Die Funktion ist an der Knickstelle stetig aber nicht glatt. Geglättete Γ -Funktion:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞<≤

<

=μ. xa für

a)-k(x+1a)-k(x

, axfür 0

)x(2

2A


19

( )xAμ

1

0 x

a

Fig.2.3: Geglättete Γ - Funktion: Stetige, d.h. an jeder Stelle differenzierbare Zugehörigkeitsfunktion mit den Parametern a und k. Alternativ:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<=μ

. 0 >k , x a , e - 1

, a xfür0)x( 2a) -(x k-A

Zadehs S-Funktion:

( )

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

=

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

<≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

<

=μ

.axfür2

aaamit,1

,axafüraa

ax21

,axafüraaax

2

,axfür0

x

331

2

32

2

13

3

21

2

13

1

1

A


20

1a 3a 2a x

1

0.5

0

Fig. 2.4: Zadehs S-Funktion repräsentiert eine stetige Zugehö-rigkeitsfunktion mit zwei Parametern 1a und 2a . Bem.: Für eine geschlossene Darstellung eignet sich auch die arctan-Funktion.

c) L-Funktion

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤≤−−

<

=μ

.axfür0

,axafüraaxa

,axfür1

x

2

2112

2

1

A

A(x)

1

0 x

0.5

a a1 2

μ

Fig. 2.5: Die L-Funktion ist die an der vertikalen Linie gespie-gelte Γ -Funktion (auch als R-Funktion bezeichnet).


21

1. >k , kx + 11 = )x( 2Aμ

Stetige Version:

x

1

( )xAμ

0

Fig. 2.6: Stetige Zugehörigkeitsfunktion. Alternativ: Stetige Zugehörigkeitsfunktion vom Exponentialtyp

0 >k , e = )x(2kx-

Aμ . d) Modellierung einer Trapezfunktion

( )

( )( )

( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤≤−−

<<

≤≤−

−<

=μ

.axfür0

,axafüraaxa

,axafür1

,axafüraa

ax,axfür0

x

4

4334

4

32

2112

1

1

A


22

A(x)

1

0 x

0.5

a a a a1 2 3 4

μ

Fig.: 2.7: Für aaa 32 == geht dieser Graph in denjenigen einer symmetrischen Dreiecksfunktion über.

( )xAμ

x a

0

1

Fig.2.8: Stetige Zugehörigkeitsfunktion vom Exponentialtyp.

0 >k , e = )x(2a) -k(x -

Aμ . Alternativ:

( )1. >k ,

a -x k +11 = )x( 2Aμ

e) Funktion mit Senke


23

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤≤−

−<<

≤≤−−

<

=μ

.axfür1

,axafüraa

ax,axafür0

,axafüraaxa

,axfür1

x

4

4334

3

32

2112

2

1

A

A(x)

1

0 xa a a a1 2 3 4

μ

Fig.2.9: Zusammengesetzte Zugehörigkeitsfunktion

1

0a

x

µ (x)A

Fig.2.10: Geglättete Senkenfunktion vom Exponentialtyp

( ) 1. >k , e - 1 = )x(2a -x k -

Aμ Alternativ: Darstellung der Senkenfunktion mittels einer ratio-nalen Funktion

( )( )

0. >k , a-x k 1

a -x k = (x) 2

2A

+μ


24

( )xAμ

a x 0

1

Fig. 2.11: Geglättete Senkenfunktion vom Typ rationale Funk-tion. f) Modellierung mit einer verallgemeinerten Trapez-

funktion

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

≤<−

−

≤≤+−

−−<<=

≤<+−

−−

≤≤−−

<

=μ

.xafür0

,axafüraa

xab

,axafürbaa

xabb,axafürbboder1

,axafürbaa

axbb

,axafüraaaxb

,axfür0

x

6

6556

65

54545

554

4343

32223

223

2112

12

1

A


25

A(x)

1

0 xa aa a a a1 2 3 4 5 6

b3 = b4

25

bb

μ

Fig.2.12: Trapezfunktion mit bereichsweise stetigen Funk-tionsteilen g) Zugehörigkeitsfunktionen F(x) mit modellierbaren

Flanken

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<β

−=

≤≤

<α−

=

=μ

∗∗

∗∗

,axfüraxxmitxF

,axafür1

,axfürxaxmitxF

x

22

2

21

11

1

A

mit beispielsweise ( ) ( )22

x1

x11xFundexF

+== − .

1

0 xa

[ α ] [ β ]

µ (x)A

1 a2

Fig.2.13: Graph mit modellierbaren Flanken.


26

Bemerkung: (1) Mit wenigen Parametern und gewissen Einschränkungen

lassen sich ganz unterschiedliche Zugehörigkeitsfunktio-nen charakterisieren.

(2) Die Zugehörigkeitsfunktionen (Fig. 2.1, 2.2, 2.5, 2.7, 2.9, 2.12, 2.13) sind an den Knickstellen stetig aber nicht diffe-renzierbar, nicht so die geglätteten Funktionen.

(3) Vorsicht: Die geglätteten Funktionen gehen im Limes ±∞→x in die Funktionswerte ( ) 1xA =μ oder 0 über.

Um einen definierten Wertebereich für ( )xAμ zu erhalten wird die x-Achse parallel zu sich in Richtung ( ) 0xA >μ verschoben oder/und ( ) 1xA <μ gewählt.

(4) Betrachten wir die Figur 2.8 genauer, dann repräsentiert diese Darstellung ein unscharfes Intervall. Von einem scharfen Kern aus existiert eine Verminderung der Zuge-hörigkeitsfunktionen asymptotisch auf den Wert Null.

Werden scharfen Gebieten eine unscharfe Randzone zu-geordnet, so kann man unscharfe Gebiete im nIR definie-ren (/Ba1/, /Go/).

(5) Vorstehende Zugehörigkeitsfunktionen wurden unter der Voraussetzung disjunkter Wertebereich formuliert. Oft wird die Eigenschaft disjunkter Definitionsbereiche nicht berücksichtigt. Als Ergebnis erhalten wir elegantere For-mulierungen (/Bö/).

(6) Eine elegante Formulierung ergibt sich durch die Verwen-dung von Spline-Funktionen als Zugehörigkeitsfunktionen (siehe (h)) oder mittels sogenannter differenzierbarer Zu-gehörigkeitsfunktionen (siehe (i)).

h) Modellierung mittels B-Splines B-Spline-Funktionen haben eine interessante Charakteristik, sie sind definiert mittels einem sogenannten Knotenvektor λ , be-stehend aus ( )1k + -Elementen, wobei die Größe k die Ordnung der B-Splines definiert. Jedes Element des Knotenvektors defi-niert einen Knoten. Die Werte der B-Splines können mittels einer Rekursionsformel [/C/, /dB/] berechnet werden:

( ) ( ) ( )

( )[ )

⎩⎨⎧ λλ∈

=

λ−λ

−λ+

λ−λ

λ−=

+

+++

+

−+

+

.sonst,0

,xfür,1xB

mitxBx

xBx

xB

1jj1j

k1j

1jkj

kjkj

j1kj

j1kj


27

Verwendete Abkürzungen: x : Anfangswert (input value)

( )xBkj : Aktivierungswert der j-ten B-Splines-Funktion,

definiert über dem Knoten jλ bezüglich kj + . Eigenschaften der B-Splines:

(i) Positivity: ( ) x0xB 1kj ∀≥+ im Def.-Bereich.

(ii) Local Support: ( ) [ ]kjj1k

j ,xfalls,0xB ++ λλ∉≠ .

(iii) Partition of Unity: ( ) 1xBn

0j

1kj =∑

=

+ .

(iv) Derivative of a B-spline: exist.

knots knots knots (a) Order 1. (b) Order 2. (c) Order 3. Fig. 2.14: Univariate B-Spline-Funktionen von verschiedener Ordnung. Der grüne Bereich kennzeichnet den Bereich wo die Partition of Unity (Summe der B-Spline-Werte gleich 1) gültig ist (/Re/). Im Anwendungsbereich (beispielsweise Sugeno-Fuzzy-Modell) werden bei Anwendung des Produkt-Operators auch Bivariate B-Splines benötigt, die aus Univariate B-Splines ge-formt werden können (/Re/):

(a) Aligned bivariate b-spline. (b) Displaced bivariate b-spline Fig. 2.15: Produktdarstellung Univariate B-splines.

Act

ivat

ion

Val

ue


28

a) Zentrierte Konstruktion einer Bivariate B-Spline-Funktion aus zwei Univariate B-Splines der Ordnung 3 mit den Knoten-vektoren ( )1,6.0,3.0,021 =λ=λ . b) Verschobene Konstruktion einer Bivariate B-Spline-Funktion aus Univariate B-Splines der Ordnung 3 mit den Knotenvektoren ( )1,6.0,3.0,01 =λ und

( )1,1001.0,1.0,02 =λ . i) Modellierung mittels differenzierbarer Zugehörig-

keitsfunktionen Die Übertragungsfunktion eines Fuzzy-Controllers ist durch die Wahl geeigneter Zugehörigkeitsfunktionen für die Fuzzyfi-zierung, Inferenzoperatoren zur Anwendung der Regeln in der Wissensbasis und schließlich Defuzzyfizierungsoperatoren bestimmt. Bei vielen Anwendungen des Fuzzy Control ist es von großem Interesse, Übertragungsfunktionen mit günstigen Eigenschaften hinsichtlich der Differenzierbarkeit zu haben. Def.: Eine Zugehörigkeitsfunktion, die günstige Eigenschaf-ten hinsichtlich der Differenzierbarkeit hat, wird hier glatte Zugehörigkeitsfunktion genannt. Dafür ist es vor allem wünschenswert, stetig differenzierbare Zugehörigkeitsfunktionen mit nur wenigen Parametern zu be-sitzen. Einerseits existieren Operatoren für Aggregation, Implikation und Komposition, die die Eingänge stetig differenzierbar auf die Ausgänge abbilden. Die meisten Operatoren, die keine Mi-nimum- oder Maximumoperatoren verwenden, haben diese Eigenschaft. Von den t- und s-Normen aus [/GRA99/ S. 358] beispielsweise sind dies das algebraische Produkt und die al-gebraische Summe sowie die Operatoren von EINSTEIN, HA-MACHER, FRANK und DOMBI. Andererseits existieren auch Defuzzyfizierungsmethoden, die stetig differenzierbar sind: Für den SUGENO-Controller [/SUG85/] ist dies etwa die gewich-tete Summe. Der bleibende Schwachpunkt zur Bestimmung der Differen-zierbarkeit der Übertragungsfunktion ist daher die Zugehörig-keitsfunktion. Häufig werden Zugehörigkeitsfunktionen stück-weise aus linearen Funktionen zusammengesetzt (siehe oben); daher sind sie am Ende jedes Geradenabschnitts nicht differen-zierbar. Ein Weg, dieses zu vermeiden, ist die Verwendung der Gaussschen Fehlerfunktion. Diese Funktion ist jedoch stets symmetrisch und inflexibel, d.h., aus ihr kann nur schwer eine gewünschte Dreiecks- oder Trapezfunktion zusammengesetzt werden. Zudem ist sie immer ungleich null, daher wird sie oft nach unten verschoben und horizontal abgeschnitten, oder zwei


29

Intervallgrenzen werden eingeführt, an denen die Funktion vertikal abgeschnitten wird. In beiden Fällen entstehen zwei Unstetigkeitsstellen der Ableitung, die eine analytische Be-trachtung verhindern. Auch bei der Wahl von sinusförmigen Zugehörigkeitsfunktionen liegt eine symmetrische Form mit zwei Unstetigkeitsstellen der Ableitung vor. In diesem Abschnitt wird eine Klasse symmetrischer und asymmetrischer exponentieller Zugehörigkeitsfunktionen so-wie eine Klasse daraus abgeleitet, flexiblerer Zugehörigkeits-funktionen vorgestellt [/GL99/]. Eine glatte Funktion kann bei-spielsweise zweimal stetig differenziert sein – durch die An-wendung geeigneter Operatoren hat die Übertragungsfunktion dieselben Eigenschaften. Von dieser Übertragungsfunktion können dann partielle Ableitungen gebildet werden, mit deren Hilfe das Ein-/Ausgabeverhalten untersucht werden kann. Eine solche glatte Übertragungsfunktion ist somit die Voraussetzung zur Untersuchung des Stabilitätsverhaltens eines Fuzzy-Controllers. i.1) Einfache glatte Zugehörigkeitsfunktionen Ein interessanter Repräsentant glatter Zugehörigkeitsfunktio-nen ist die Funktion

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<<−

≤=

bxfür0bxafürxp/1exp

axfür0xf (1)

mit einem Polynom p mit Nullstellen in a und b sowie

( ) ( )b;ain0xp > . Dann ist ( )xf beliebig stetig differenzierbar in ( ),a;∞− ( )b;a

und ( )∞;b . In ( )b;a ist die n-te Ableitung ( )nf das Produkt

eines Polynoms und ( )( )( ) n2xp

xp/1exp − , dies ist eine stetige Funk-

tion in ( )b;a , und außerhalb des Intervalls [ ]b;a beträgt ( )( ) 0xf n = . Um die Stetigkeit von ( )nf auf IR zu beweisen,

muss gezeigt werden, dass ( ) ( )axaxfür0f n >→→ und ( )bxbx <→ gilt.

Der erste Faktor von ( )nf ist ein Polynom, also ist er be-schränkt für bxundax →→ . Der Nenner des zweiten Fak-tors konvergiert gegen null, aber der Zähler mit der Exponen-tialfunktion konvergiert wesentlich schneller gegen null als

( ) n2xp/1 divergiert, was mithilfe der Regel von L´HOSPITAL


30

gezeigt werden kann. Mithin konvergiert dieser Faktor und das ganze Produkt gegen null, was zu zeigen war. Daher ist f beliebig oft stetig differenzierbar und null außerhalb eines gegebenen Intervalls [ ]b;a . Durch die Wahl

( ) ( )( )xbaxxp −−= kann eine Fuzzy-Menge an einer beliebi-gen Stelle definiert werden. Für [ ] [ ]1;0b;a = ist die normierte Funktion f mit einer gestrichelten Linie in der folgenden Grafik dargestellt (Fig. 2.16). Diese Funktion nimmt ihr Maximum für

( ) 2/bax m += an, ist streng monoton steigend in [ ]mx;a und streng monoton fallend in [ ]b;x m . Die Funktion f wurde nor-

miert durch Multiplikation mit ( ) ( )( )2m

1 ab/4expxf −=− .

1

0.5

0 a ba+b2

Fig. 2.16: ( )xf modifiziert durch Multiplikation von ( )xp mit den Konstanten 10, 1 und 0.1. Die Funktion ( )xf besitzt (siehe

( )xp ) nur die Parameter a und b. Wahl in Abbildung: 0a = und 1b = . Die Funktion f erfüllt zwei der drei geforderten Eigenschaften: Sie ist glatt und null außerhalb eines gegebenen Intervalls. Die verbleibende Eigenschaft ist die einfache Modifizierbarkeit. Mögliche Modifikationen sind die Multiplikation des Poly-noms p mit einer positiven Konstanten oder die Wahl von Po-lynomen höherer Ordnung. Durch die Multiplikation von p mit einer Konstanten größer als eins wird die Form breiter, die Multiplikation mit einer Konstanten kleiner als eins macht die Form schmaler, wie in obiger Grafik dargestellt (Fig. 2.16). Die Multiplikation erhält die Symmetrie und verändert die Po-sition des Maximums nicht. Wenn p zu einem asymmetrischen Polynom verändert wird, so wird auch f asymmetrisch, und die Position des Maximums wird verschoben. Um ( ) [ ]b;ain0xp > zu gewährleisten, muss p mit positiv glatten Funktionen ohne Nullstellen in [ ]b;a

10

1

0.1


31

multipliziert werden, z. B. mit ( )xc − mit bc > oder mit ( )cx + mit ac −> . Ein Beispiel für [ ] [ ]1;0b;a = ist in folgen-der Grafik dargestellt (Fig. 2.17), wo ( ) ( )x1xxp −= mit ( )x2 − multipliziert wurde, was das Maximum nach links ver-

schiebt, und mit ( )1x + , was das Maximum nach rechts ver-schiebt.

1

0.5

0 0.50 1

Fig. 2.17: ( )xf für die Polynome ( ) ( )( )x2x1xxp −−= und

( ) ( )( )1xx1xxp +−= , mit spezieller Wahl für die Parameter a und b. Dies sind zwei einfache Möglichkeiten, die Funktion f zu ver-ändern – allerdings kann weder lediglich eine Seite der Funkti-on verändert noch ihre Form so angepasst werden, dass die häufig verwendeten, stückweise linearen Zugehörigkeitsfunk-tionen approximiert werden können. i.2) Zusammengesetzte glatte Zugehörigkeitsfunktion Flexiblere Zugehörigkeitsfunktionen resultieren aus einer Klas-se von zusammengesetzten Funktionen – basierend auf dem mathematischen Prinzip, dass jede stetige Funktion durch eine Summe von Stufenfunktionen approximiert werden kann. In diesem Abschnitt wird eine Klasse von Zugehörigkeitsfunktio-nen vorgestellt, die wie Stufenfunktionen zusammengesetzt werden können. Wie sich zeigen lässt, können diese Funktio-nen Geraden sehr gut approximieren. Damit können die bishe-rigen Fuzzy-Regeln mit den üblichen dreiecks- und trapezför-migen Fuzzy-Mengen verwendet werden, und gleichwohl kann der Fuzzy Controller durch eine glatte analytische Übertra-gungsfunktion beschrieben werden. Diese Klasse von Funktionen ist definiert durch


32

( )( )( )

( )( )∫

∫= b

a

xa

tduutf

duutfxF (2)

mit der normierten Funktion f aus Gl. (1), dem Polynom

( ) ( )( )xbaxxp −−= und einer glatten Transformation t in [ ]b;a . Wird die Identitätsfunktion ( ) ( ) xxidxt == als Trans-formation t gewählt, so ergibt sich die Funktion idF , die mit einer fetten Linie in der folgenden Grafik dargestellt ist (Fig. 2.18).

Fig. 2.18: Die Funktionen 3q2q1q0q FundF,F,F konvergieren zu einer Geraden. Wenn t eine glatte Transformation in [ ]b;a ist d.h., wenn t be-liebig oft stetig differenzierbar in [ ]b;a ist, dann ist tF glatt, da f und t glatt sind und die Gleichung

( ) ( )( )xtfGxF tt =′ (3) gilt, wobei

( )( )∫= bat duutf/1G (4)

eine Konstante ist. Die Transformation t bietet hervorragende Möglichkeiten, die Form der Zugehörigkeitsfunktion zu beeinflussen. t muss streng monoton steigend oder fallend und glatt in [ ]b;a sein, daher sind Polynome dafür geeignet. Im Folgenden sei [ ] [ ]1;0b;a = , ( ) xxt = für { }1;;0x 2

1∈ (also muss t streng mo-

noton steigend in [ ]1;0 sein) und ( ) ( )21

21

21

21 xtxt ++−=−+− ,

1

0.5

00.50 10.25 0.75


33

d.h., t soll punktsymmetrisch bzgl. ( )5,0;5,0 sein. Das kleinste Polynom, das diese Bedingungen erfüllt, ist die einfache Identi-tätsfunktion ( ) ( ) xxidxt == ; das nächstgrößere Polynom ist

( ) ( )xc1cxcxxt 212

233 ++−= mit einer Konstanten

[ ]4;2c −∈ . Wird beispielsweise 4c = für maximale Krüm-mung gewählt, so ergibt sich

( ) x3x6x4:xq 23 +−= . (5) Mit der rekursiven Definition Lo ,qqq,idq 010 == und

INifürqqq i1i ∈=+ o ergibt sich eine Folge von glatten Funktionen. Durch die Identifikation ( ) ( ) ( ) xxidxqxt 0 === gilt mit Gl. 2

( ) ( )( )

( )∫

∫== 1

0

x0

idqduuf

duufxFxF

0 . (6)

Im Falle ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xqxqxqxqxt 01 === o ergibt sich

( ) ( )( )( )∫

∫+−

+−== 1

023

x0

23

idqduu3u6u4f

duu3u6u4fxFxF

0 . (7)

Im nächsten Schritt wird qqqqq 12 oo == verwendet, was äquivalent zu ( )( )xqq ist, usw. Für diese Folge sind ,F,F

10 qq

2qF und 3qF in obiger Grafik dargestellt (Fig. 2.18). Die

Funktionenfolge nqF konvergiert zur Identitätsfunktion für

∞→n und ( )1;0x ∈ . Um dies zu zeigen, wird die zweite Ableitung von

nqF be-rechnet:

( ) ( )( ) ( )xqxqfGxF nnqq nn′′=′′ . (8)

Da 0G

nq > , ist diese Funktion genau dann null, wenn

( )( ) 0xqf n =′ oder ( ) 0xqn =′ . Nun ist die Tatsache

( ) { }1;;0xfürxxq 21∈= (9)

wichtig. Damit ist

( ) { }1;;0xfürxxq 21

n ∈= . (10)


34

( )xq′ ist genau dann null, wenn 21x = , und wegen Gl. (9) und

Gl. (10) ist

( ) ( )( ) ( )xqxqqxq 1n1nn −− ′′=′ genau dann null, wenn 21x = und

1n ≥ . ( )xf ′ ist genau dann null. Wenn { }1;;0x 21∈ , und wie-

derum wegen Gl. (10) ist ( )( )xqf n′ genau dann null, wenn

{ }1,;0x 21∈ .

Mithin existieren genau drei Nullstellen von nqF ′′ , nämlich

21,0 und 1. Wegen Gl. (3) und (1) gilt ( ) 0xF

nq ≥′ in [ ]1;0 , und

unter Verwendung von Gl. (10) folgt daraus ( ) ( ) 01F0F

nn qq =′=′ . Deshalb ist nqF′ streng monoton steigend

in [ ]21;0 , nimmt an 2

1x = ihr Maximum ( )21

q nF′

( )( )21

nq qfGn

= ( ) 4q2

1q eGfG

nn−== an und ist streng mono-

ton fallend in [ ]1;21 . Weiterhin ist

( ) ∞→→′ nfür1xF

nq , was in GL99 (Grauel, Ludwig: Construction of differentiable membership functions) gezeigt wird. Entsprechende Darstel-lungen für trapez- und stufenförmige Zugehörigkeitsfunktionen lassen sich ebenfalls konstruieren (/GL99/). Mit der dargestellten Konstruktionsmethodik konnte eine Klas-se von glatten Zugehörigkeitsfunktionen erzeugt werden, die dreimal stetig differenzierbar sind. Diese Klasse enthält sym-metrische und asymmetrische exponentielle Funktionen, die es erlauben, einen Fuzzy-Controller durch eine analytische Über-tragungsfunktion zu beschreiben. Diese Funktionen sind den praktisch verwendeten Zugehörigkeitsfunktionen sehr ähnlich. Die dargelegte Methode ermöglicht daher die Untersuchung von Fuzzy-Controllern mit bekannten mathematischen Werk-zeugen. Fuzzy-Controller können sowohl lineare als auch nichtlineare Abbildungen realisieren, die durch die Definition der Fuzzy-Mengen, -Regeln und Inferenzmethoden bestimmt werden. Von den Fuzzy-Controllern kann besonders der SUGENO-Controller [/SUG85/] als Interpolationssystem eingesetzt wer-den [/UYMN93/, /KOC94/, /JOU92/, /WAN92/]. Wie GRAUEL und MACKENBERG gezeigt haben, hat eine zweidimensionale Interpolation mit komplementären sinusförmigen Zugehörig-keitsfunktionen unter Verwendung des Produkt- oder Mini-mumoperators gute Interpolationseigenschaften [/GM97/].


35

Ähnliche Ergebnisse können bei der Verwendung der vorges-tellten exponentiellen glatten Zugehörigkeitsfunktionen erwar-tet werden.


36

2.2 Grundbegriffe unscharfer mathe-matischer Objekte

2.3.1 Unscharfer Punkt Für die Existenz von zwei oder mehr Eingangsgrößen ist der Begriff des unscharfen Punktes im nIR von Bedeutung. Es sei

n0 IR x ∈ der Kern von dem die Zugehörigkeitsfunktion nach

beiden Seiten z.B. monoton abnimmt (Fig. 2.19).

1

x2

x 1

.

20 IRx ∈

( )21 x,xμ

Fig. 2.19: Funktionale Abhängigkeit der Zugehörigkeitsfunkti-on für einen unscharfen Punkt 2

0 IRimx . Diese qualitative Beschreibung sei durch die Funktion f gege-ben. Die Abweichung vom Kern lassen sich durch ein Ab-standsmaß d ( )0x , x beschreiben, durch das der Wert der Funk-tion f, d.h. der Grad der Zugehörigkeit mittels

( ) ( )( ) IR a, a, x , xdf = x, x 021 ∈μ beschrieben werden kann. Wählt man das elliptische Hyperparaboloid, so ist die funktio-nale Abhängigkeit wie folgt festgelegt:

( ) ( ) ( ){ }0T

0 x - xB x - x -1 1,max = B , xμ


37

B charakterisiert eine positive definierte m-reihige Matrix über dem Hyperellipsoid

{ }.1 < )x - x( B )x - x( IR x :E 0T

0∈=

Unscharfe Punkte können auch durch die folgenden funktiona-len Beschreibungen dargestellt werden: - symmetrische bzw. asymmetrische Pyramidenfunktion mit

dreiecksförmigem Querschnitt und quadratischer oder rechteckiger Grundfläche,

- glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen, - kegelförmige Pyramidenfunktion, etc. 2.3.2 Unscharfe Relationen: Modellierung fuz-

zy-wertiger Relationen Für die Praxis spielen unscharfe bzw. fuzzy-wertige Relationen eine große Rolle, beispielsweise wenn

„ungefähr gleich“ „im wesentlichen kleiner“ „im wesentlichen größer“, etc. beschrieben werden soll.

Üblich: Erklärung als Relationen zwischen Zahlen in der

Ebene 2IR Modellierung Gleichheit „=“ lässt sich als Menge erklären

( ){ } ⇔=∈= yxIRy,xA 2 durch eine Gerade xy = in der Ebene

Modellierung der Relation 0R „ungefähr gleich“ ⇔ lin-guistische Aussage … kann angrenzend an ein scharfes Gebiet (hier gekennzeich-net durch eine Gerade) eine unscharfe Übergangszone zugelas-sen werden und verlangt werden, dass die Zugehörigkeitsfunk-tion in einer gewünschten Art (linear oder quadratisch) mit abnehmender Zugehörigkeit gegen Null geht. Modellierung lineare Abnahme durch:

( ) { }yxa1,0maxy,x0R −−=μ

lineares Abklingen mit Faktor a . Modellierung: linguistische Aussage „im wesentlichen klei-ner als“ durch Relation 1R


38

Für diese Relation 1R „im wesentlichen kleiner als“ wird man von der scharfen Relation „≤“ ausgehen, zu der die Wertemen-ge

( ){ }yxIRy,x 2 ≥∈ gehört. Interpretation: scharfe Relation ⇓ xy ≤ y im wesentlichen kleiner als x Das „ im wesentlichen kleiner“ soll hier bedeuten, dass geringe Überschreitungen im gewissen Sinne toleriert werden. Des-halb: Halbebene wird nach oben mit einem „Unschärfesaum“ versehen. Modellierung: linguistische Aussage „im wesentlichen grö-ßer als“ durch Relation 2R Für die Relation 2R „im wesentlichen größer als“ wird man von der scharfen Relation „≥“ ausgehen, zu der die Wertemen-ge ( ){ }yxIRy,x 2 ≤∈ gehört. Interpretation: scharfe Relation ⇓ xy ≥ y im wesentlichen größer als x „Im wesentlichen größer“ soll hier bedeuten, dass geringe Überschreitungen im gewissen Sinne toleriert werden. Des-halb: Halbebene wird nach unten mit einem „Unschärfesaum“ versehen.

( ) { }⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

∈<−−=μ

+

.xyfür1IRamitxyfüryxa1,0maxy,x

2R

Unschärfesaum

xy ≤Halbraum unter xy =

x

xy =y

x

Unschärfesaum

xy =y

xy ≥


39

Setzt man für eine Variable einen festen Wert ein, z.B. 0yy = , dann folgt aus dieser modellmäßigen Beschreibung:

2R kann als unscharfe Schranke bezüglich der anderen Variablen interpretiert werden.

Bemerkung: Unscharfe Schranken besitzen im Bereich der

unscharfen Optimierung, der qualitativen Daten-analyse und der Muster-Klassifikation praktische Bedeutung.

2.3.3 Unscharfe Funktionen Betrachtet man den Graph f: IRRI → einer scharfen Funktion als Kern einer unscharfen Menge A, bei der z.B. die Zugehö-rigkeitswerte mit wachsendem Abstand vom Kern monoton abnehmen, dann ist durch A eine unscharfe Funktion definiert. a) Explizite Funktion Betrachtet man A als eine Schar von unscharfen Zahlen ( )xY und x als Scharparameter sowie als Kern ( ){ }xf , so erhalten wir eine Zugehörigkeitsfunktion

. y)(x, = (y) AY(x) μμ Die Zugehörigkeitsfunktion ( )y,xμ aus Gl.(2.27) repräsentiert eine unscharfe Funktion, ihr Kern ist durch Gl.(2.26) gegeben. b) Implizite Funktion Eine implizite Funktion f

( ) ( ){ }2RIy,x0y,xf ∈=

repräsentiert im Graph, der als Kern einer unscharfen implizi-ten Funktion betrachtet werden kann. Beispiel hierzu sei ein Kreis

( ){ }0ryxRIy,xK 2222 =−+∈= . Modellierung eines unscharfen Randgebietes kann mit

{ } 0a,ryxaexp 222K >−+⋅−=μ ,


40

erfolgen.

2.4 Mengenalgebraische Operationen 2.4.1 Elementare Operationen Es seien A,B,C, etc. unscharfe Mengen, für die mengenalgeb-raische Operationen definiert werden können ( /Za1/ ). Die folgenden Verknüpfungen für unscharfe Mengen können als Verallgemeinerungen der entsprechenden Operationen für ge-wöhnliche Mengen verstanden werden. Operationen mit unscharfen Mengen werden in den Anwen-dungen benötigt, um z.B. zwei unscharfe Mengen, einer lin-guistischen Beschreibung von physikalischen Größen, in einer Wenn- Dann- Regel miteinander zu verknüpfen. Im folgenden seien zunächst die elementare mengenalgebra-ische Operation mit ihren zugehörigen Graphen dargestellt. Def. Union: Die Vereinigung BA ∪ ("union") zweier fuzzy sets A und B definiert durch die Maximumoperation max(.. , ..) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen )x(Aμ und )x(Bμ :

( ) ( )( ) Xx,x,xmax:)x(undBA:C BAC ∈∀μμ=μ∪= ,

wobei max(a,b) = .bafalls,bbafalls,a

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<≥

Die Vereinigung als logische ODER-Verknüpfung kann durch verschiedene Repräsentationsformen interpretiert werden. a) ODER-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen

( ) ( ) ( ){ }x,xmaxx BAC μμ=μ

( )xBμ

( )xAμ

( )xμ

1

x


41

Fig. 2.20: Interpretation: Der Vereinigung entspricht einer logi-schen ODER-Verknüpfung. )x(Cμ definiert den maximalen Wert der jeweiligen Zugehörigkeitsfunktion )x(Aμ oder

).x(Bμ Mit Hilfe der beschränkten, algebraischen und drastischen Summe lassen sich weitere Verknüpfungen als Ergänzung zur Vereinigungsbildung für alle Xx ∈ wie folgt definieren: Beschränkte Summe: )}x( + )x( min{1, : und B A =:C BAC μμ=μ⊕ algebraische Summe:

)x( )x( - )x( + )x(: und B + A:C BABAC μ⋅μμμ=μ= drastische Summe:

{ }

⎪⎩

⎪⎨

⎧=μ=μμμ

=μ◊=.sonst1

0)x(oder0)x(wenn,)x(),x(max

:undBA:C B

ABA

C

b) ODER-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen: be-

schränkte Summe (bounded sum)

( )xBμ

( )xAμ

( )xμ

1

x

( )xCμ

Fig. 2.21: )x(Cμ repräsentiert die Zugehörigkeitsfunktion von der beschränkten Summe: }. )x( + )x( {1,min = )x( BAC μμμ


42

c) ODER-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen: al-gebraische Summe

( )xBμ

( )xAμ

( )xμ

1

x

( )xCμ

Fig. 2.22: Die Zugehörigkeitsfunktion )x(Cμ charakterisiert die algebraische Summe, sie ist definiert durch

).x( )x( - )x( + )x( = )x( BABAC μ⋅μμμμ d) ODER-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen:

drastische Summe Zugehörigkeitsfunktion der drastischen Summe ist definiert durch

⎩⎨⎧ =μ=μμμ

=μsonst. 1

0)x(oder 0)x( wenn )},x( ),x(max{)x( BABA

C

Def. Intersection: Die Schnittmenge BA ∩ ("intersection") zweier fuzzy sets A und B ist definiert durch die Minimumope-ration min(. , .) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktion (x)Aμ und )x(Bμ :

, X x , (x)) , (x)min( : (x) und B A : C BAC ∈∀μμ=μ∩=

. b a falls b, b a falls a,

b)min(a, wobei⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>≤

=

Anders ausgedrückt:

x/))x(,)x(min(BA Bx

A μμ=∩ ∫


43

Bem. Die Schnittmengenbildung entspricht der logischen Verknüpfung UND. e) UND-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen

( )xBμ

( )xAμ

( )xμ

1

x( )xCμ

Fig.2.23: Interpretation: Die Schnittmengenbildung entspricht der logischen UND-Verknüpfung. Die Zugehörigkeitsfunktion

)x(Cμ definiert den minimalen Wert von ).x(oder )x( BA μμ Analog dem erweiterten Summenbegriff für die Vereinigungs-bildung ergeben sich für die Durchschnittsbildung mit Hilfe des beschränkten, algebraischen und drastischen Produktes die entsprechenden Erweiterungen. Die Produkte sind für alle

Xx ∈ wie folgt definiert: beschränktes Produkt:

B A:C ⋅= und { },1)x()x(,0max:)x( BAC −μ+μ=μ algebraisches Produkt:

B A:C •= und , )x( )x(:)x( BAC μ⋅μ=μ drastisches Produkt :

BA:C ∗= und

{ }

⎪⎩

⎪⎨

⎧=μ=μμμ

=μ.sonst1

1)x(oder1)x(wenn,)x(),x(min

:)x( B

ABA

C


44

f) UND-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen: be-

schränktes Produkt (bounded product)

( )xBμ

( )xAμ

( )xμ

1

x( )xCμ

Fig.2.24: )x(Cμ repräsentiert die Zugehörigkeitsfunktion des beschränkten Produkts:

{ }1)x()x(,0max)x( BAC −μ+μ=μ . g) UND-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen: al-

gebraisches Produkt

( )xBμ

( )xAμ

( )xμ

1

x( )xCμ

Fig.2.25: Die Zugehörigkeitsfunktion )x(Cμ charakterisiert das algebraische Produkt durch die folgende Definition:

).x( )x()x( BAC μ⋅μ=μ Def.: Das Komplement AC eines fuzzy sets A ist definiert durch die Negation seiner Zugehörigkeitsfunktion (siehe Fig.2.25):

)x(1 AAC μ−=μ bzw.


45

( ) x/)x(1Ax

AC ∫ μ−=

h) Graphische Darstellung der Negation für eine Zugehö-rigkeitsfunktion

( )xCAμ( )xAμ

( )xμ

1

x

Fig. 2.26: Die Negation von Zugehörigkeitsfunktionen wird beschrieben durch die entsprechenden Komplemente. )x(CAμ

ist das Komplement der Zugehörigkeitsfunktion ).x(Aμ Die Differenz von zwei Zugehörigkeitsfunktionen ist gegeben durch

( ))x()x(,0max)x()x()x( BABAC μμ=μ−μ=μ . Der Wertebereich ist definiert durch [ ]1,0)x(C ∈μ , falls )x(Aμ und [ ]1,0)x(B ∈μ . i) Differenzbildung von Zugehörigkeitsfunktionen

( )xBμ

( )xAμ

( )xμ

1

x

( )xCμ


46

Fig.2.27: Durch Differenzbildung ergibt sich eine neue Zuge-hörigkeitsfunktion )x(Cμ , mit Werten zwischen [0,1]. 2.4.2 Kompensatorische Operatoren Kompensatorische Operatoren sind Operatoren die zwischen einem reinen UND und einem reinen ODER liegen. a) Def.: Lambda-Operator

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[( ) ( )]xxxx1xxx

BA

BABABAμ⋅μ−

μ+μλ−+μ⋅μλ=μ λ

ODER-Operator für 0=λ , UND-Operator für 1=λ .

[ ]1,0∈λ Grenzwerte: b) Def.: Gamma-Operator

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] γγ−γ μ−⋅μ−−⋅μ⋅μ=μ x1x11xxx BA

1BABA

ODER-Operator für 1=γ , UND-Operator für ( ) ( ) ( ) 0fürxxx BA

0BA =γμ⋅μ=μ

=γγ .

[ ]1,0∈γ Grenzwerte: c) Def.: Gamma-Operator auf beliebig viele unscharfe Men-

gen:

( ) ( ) ( )( )γ

=

γ−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡μ−Π−⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡μΠμ x11xx i

n

1i

1

in

1i .

2.4.3 Schnittbildung: Modellierung Niveau-

werte als Teilmengen Bem.: In der Praxis begegnen uns verhältnismäßig häufig Mengen mit bewerteten Elementen und Bewertungen ob ein Schwellenwert erreicht bzw. darüberliegt. In solchen Fällen ist


47

es üblich, Schwellen- oder Niveauwerte zu erklären und Teil-mengen zu bilden. ⇓ In der Fuzzy-Logik führen diese Überlegungen zu den α-Schnittmengen. Def.: Sei A eine Fuzzy-Menge über der Grundmenge X und

[ ]1,0∈α , dann heißt die Menge

( ){ }α>μ∈=α> xXxA A eine α-Schnittmenge (α-level set, α-cut) von A und

( ) ( ){ }α−≤μ∈=α>

1xXxA AC die Komplementbildung.

x

( )xAμ

1 1α

α

Bem. (1) Spezialfall 0=α : heißt Stütze oder Träger (support)

von A. (2) [ ]1,0,AA 11 1 ∈αα∀⊂⇒α≤α α>α> (3) ( ) ( )( )( )x,minmaxx AA α>μα=μ

α

Aussage (3) bedeutet: Jede Fuzzy-Menge kann durch ihre Schnittmengen dargestellt werden. Für ein Xx ∈ lässt sich der Wert ( )xAμ berechnen, wenn man für jedes [ ]1,0∈α den Wert ( )xA α>μ kennt. Erinnerung:

α>A


48

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

babfalls,

baab,amin

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

babfalls,

baab,amax

2.4.4 Rechengesetze für unscharfe Mengen Erinnerung: (1) ( )( ){ }Xxx,xA A ∈μ=

Jedes Element x der Grundmenge X hat einen Zu-gehörigkeitsgrad, dargestellt durch das Paar

( )( )x,x Aμ .

(2) Durch diese Paare sind die "unscharfen" Mengen als eine neue Qualität von Mengen, die Fuzzy-Mengen, erklärt und beschrieben.

Def.: Über der gemeinsamen Grundmenge X seien für die Elemente x die Fuzzy-Mengen A mittels Aμ und B mittels Bμ erklärt. Es gelte

BA = genau dann, wenn ( ) ( ) Xxxx BA ∈∀μ=μ . BA ⊂ genau dann, wenn ( ) ( ) Xxxx BA ∈∀μ≤μ .

Zwei Fuzzy-Mengen sind als gleich, wenn gleiche elemente gleichen Zugehörigkeitsgrad haben.

( )xAμ

1

α

Bereich: ( ) α>μ α> xA

Bereich: ( )xA α>μ≥α


49

Folge (1) Fortsetzung basierend auf der Gleichheitsbeziehung zwischen Fuzzy-Mengen: • Reflexivität: AA = • Symmetrie: ABBA =⇒= • Transitivität: CACBBA =⇒=∧= Folge (2) Entsprechend setzen sich die eine Ordnungsrelation bestimmenden Eigenschaften der "≤"-Beziehung von IR auf die "C"-Beziehung zwischen Fuzzy-Mengen fort: • Reflexivität: ( ) ( )xxAA AA μ≤μ⊂ • Antisymmetrie: BAABBA =⇒⊂∧⊂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxx BAABBA μ=μ⇒μ≤μ∧μ≤μ • Transitivität: CACBBA ⊂⇒⊂∧⊂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxx CACBBA μ≤μ⇒μ≤μ∧μ≤μ . Bem.: Wie in der klassischen Mengenalgebra gilt für Fuzzy-Mengen A, B ganz allgemein. (1) ABABA =∩⇒⊂ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xx,xminxx ABABA μ=μμ⇒μ≤μ (2) BBABA =⇒⊂ U ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xx,xmaxxx BBABA μ=μμ⇒μ≤μ . 2.4.5 Struktureigenschaften Definitionsgemäß wurde der Fuzzy-Durchschnitt auf die Mi-nimumoperation, die Fuzzy-Vereinigung auf die Maximumo-peration zurückgeführt. Sie bedürfen keines weiteren Bewei-ses! (1) Neutralelemente

( )( ) ( ) AAXxx,1min AA =∩⇒μ=μ ( )( ) ( ) AA0xx,0max AA =∪/⇒μ=μ

(2) Kommutativität

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ABBAx,xminx,xmin ABBA ∩=∩⇒μμ=μμ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ABBAx,xmaxx,xmax ABBA ∪=∪⇒μμ=μμ


50

Plausibel aufgrund Definition: ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

babfalls,

baab,amax

ab,ba →→

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

abafalls,

abba,bmax

(3) Assoziativität

( ) ( )( ) ( )( ) =μμμ x,x,xminmin CBA ( ) ( ) ( )( )( )x,xmin,xmin CBA μμμ ( ) ( )CBACBA ∩∩=∩∩⇒

( ) ( )( ) ( )( ) =μμμ x,x,xmaxmax CBA ( ) ( ) ( )( )( )x,xmax,xmax CBA μμμ ( ) ( )CBACBA ∪∪=∪∪⇒ (4) Monotonie

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )x,xminx,xminxxxx DCBADBCA μμ≤μμ⇒μ≤μ∧μ≤μ

DBCA ⊂∧⊂⇒ DCBA ∩⊂∩⇒

( ) ( )( ) ( ) ( )( )x,xmaxx,xmax DCBA μμ≤μμ

DBCA ⊂∧⊂⇒ DCBA ∪⊂∪⇒

(5) Idempotenz

( ) ( )( ) ( ) AAAxx,xmin AAA =∩⇒μ=μμ ( ) ( )( ) ( ) AAAxx,xmax AAA =∪⇒μ=μμ

(6) Distributivität

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )x,xmin,x,xminmaxx,xmax,xmin CABACBA μμμμ=μμμ ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩⇒

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )x,xmax,x,xmaxminx,xmin,xmax CABACBA μμμμ=μμμ

( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪⇒

(7) Absorption

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ABAAxx,xmax,xmin ABAA =∪∩⇒μ=μμμ


51

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ABAAxx,xmin,xmax ABAA =∩∪⇒μ=μμμ (8) DE MORGAN-Gesetze

( ) ( )( ) ( ) ( )( )x1,x1maxx,xmin1 BABA μ−μ−=μμ−

( ) CCC BABA ∪=∩⇒ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )x1,x1minx,xmax1 BABA μ−μ−=μμ−

( ) CCC BABA ∩=∪⇒ (9) Gesetze der Komplementbildung doppeltes Komplement: ( )( ) ( ) ( ) AAxx11 C

AA =⇒μ=μ−− Komplement von Grand- und leerer Menge:

( )( ) X0101

0X011CC

=/⇒=−/=⇒=−

Inklusion: CC ABBA ⊆⇔⊆

Vereinigung: ( ) CCC BABA ∪=∩

Schnittmenge: ( ) CCC BABA ∩=∪ Es gilt: 0AA C /=/∩

XAA C =/∪

aufgrund der Eigenschaften unscharfer Mengen.

Beispiel: Wahl ( ) 4.0xA =μ Folge: ( ) ( )( ) ( ) 04.06.0,4.0minx1,xmin AA =/==μ−μ ( ) ( )( ) ( ) 16.06.0,4.0maxx1,xmax AA =/==μ−μ (10) Definition für Familien unscharfer Mengen Es sei Familien ( )JjA j ∈ unscharfer Mengen Xx ∈∀ defi-niert: Vereinigung: ( ) ( )xsup:xmitA:C Aj

JjCj

Jjμ=μ=

∈∈U

Durchschnitt: ( ) ( )xinf:xmitA:D AjJjDj

Jjμ=μ=

∈∈I

mit J als Indexmenge. (11) Satz über α-Schnitte


52

Für die Fuzzy-Mengen A, B über X (Grundmenge) gilt für je-des [ ]1,0∈α :

( ) α>α>α> ∩=∩ BABA

( ) α>α>α> ∪=∪ BABA Interpretation: Der α-Schnitt des Durchschnitts (der Vereini-gung) ist gleich dem Durchschnitt (der Vereinigung) der α-Schnitte. Bem. Zur Bezeichnung:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x,xmaxxxx BABABA μμ=μ∨μ=μ ∪

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x,xminxxx BABABA μμ=μ∧μ=μ ∩ 2.4.5 Binäre Operationen: Konzept t-Norm Neben dem Minimum- und Maximum-Operator existieren wei-tere Operationen, die für eine Aggregation unscharfer Mengen Verwendung finden. Diese Operatoren genannt Dreiecks-Normen bzw. Dreiecks-Conormen sind seit langem bekannt. Sie wurden als t-Normen und t-Conormen in die Fuzzy-Theorie eingeführt und als Operatoren für Durchschnitt und Vereini-gung von Fuzzy Sets vorgeschlagen (/Hö/). Hinsichtlich der zu realisierenden Verknüpfung sind sie kategorisierbar in t-Normen (Durchschnitt) in t-Conormen (Vereinigung). Es kann mit Hilfe der t-Norm konzeptionell ein Überbau geschaffen werden. Def. t-Norm: Eine binäre Operation t in [0,1] heißt t-Norm, es ist eine Abbildung t: [0,1]×[0,1]→[0,1]. In anderen Worten, die t-Norm ist eine zweistellige Funktion t in [0,1]. Diese Funktion ist symmetrisch, assoziativ und monoton wachsend, sie hat 0 als Nullelement und 1 als neutrales Element. Für beliebige

[ ]1,0w,v,z,y,x ∈ gelten die Eigenschaften: (E1) Symmetrie : ( ) ( )y,xty,xt = , (E2) Assoziativität : ( )( ) ( )( )z,y,xttz,yt,xt = , (E3) Operationen mit dem neutralen Element 1 und dem Null-

element: ( ) ( ) ( ) xx,1t1Ewegenundx1,xt == , ( ) 00,xt = .

ODER [Disjunktion "∨" lies oder]

ODER [Konjunktion "∧" lies und]


53

(E4) Monotonie: Ist v x ≤ und wy ≤ , dann gilt: ( ) ( )w,vty,xt ≤ . Bem.: (1) Zwecks übersichtlicher Schreibweise, wurden statt der

bisher üblichen Argumente ( ) ( )x,x BA μμ etc. einfach x, y etc. geschrieben. Es ist dabei zu beachten, dass für alle Operanden [ ]1,0,y,x ∈L .

(2) 0 ist Nullelement für die t-Normen

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x,xminxxx BABABA μμ=μ∧μ=μ⇔ ∩ Interpretation: Eine t-Verknüpfung mit der 0 ergibt (unabhän-gig vom 2.Operanden) stets wieder 0 (siehe E3). (3) ( ) ( ) ( )( ) xx,xminxx,1t BA =μμ⇔=

aufgrund der min-Eigenschaft. Per Definition lässt sich zu einer t-Norm eine Durchschnittsbil-dung BA t∩ für unscharfe Mengen definieren:

Xx))x(,)x((t:)x(mitBA:C BACt ∈∀μμ=μ∩= . Folge: Aufgrund der Symmetrie und Assoziativität vorstehen-der Durchschnittsbildung t∩ , folgt:

, A BA tt ∩ =∩

( ) ( ) , CBACBA tttt ∩ ∩ = ∩∩

A X A , A tt =∩ ∅ =∅∩ . F(X) CB,A,für ∈ Obige Durchschnittsbildungen werden von t-Normen erzeugt. Deshalb gelten die folgenden Beziehungen:

, B BA und A BA tt ⊆∩⊆∩ ferner

. B A BA t ∩⊆∩ Zu jeder Durchschnittsbildung t∩ lässt sich eine duale Verei-nigungsbildung t∪ wie folgt definieren:

( ) . BA : BA CCt

Ct ∩=∪

=1 x


54

Unmittelbar folgen hieraus die deMorgan`schen Gesetze

,BA)BA( Ct

CCt ∪=∩

,BA)BA( Ct

CCt ∩=∪

bezüglich jeder t-Norm für A und B. Die andere Klasse allgemeiner Operatoren heißen t-Conormen, sie werden auch als s-Normen bezeichnet. Die Anwendungen dieser Klasse liegen bei der Vereinigungsbildung unscharfer Mengen. Der Maximums-Operator ist ein Vertreter aus der Klasse der t-Conormen. Def. t-Conorm: Eine t-Conorm (oder s-Norm) ist eine Abbil-dung s: [0,1]×[0,1]→[0,1]. Es gelten folgende Eigenschaften: (E5) Symmetrie: s(x,y) = s(y,x) , (E6) Assoziativität: s(x,s(y,z)) = s(s(x,y),z) , (E7) spezielle Operationen:

( ) ( ) xx,0s0,xs == , ( ) ( ) ( )5Ewegen1x,1sund11,xs ==

(E8) Monotonie: Ist vx ≤ und wy ≤ , dann gilt: ( ) ( )w,vsv,us ≤ . Bem.: (1) 1 ist Einselement für die s-Normen

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x,xmaxxxx BABABA μμ=μ∨μ=μ⇔ ∪( ) [ ]1,0x1x,1s ∈∀=⇔

Interpretation: Eine s-Verknüpfung mit der 1 ergibt (unab-hängig vom 2. Operanden) stets wieder die 1 als Resultat. (2) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) xx,xmaxxx,0s0,xs BA =μμ⇔==

aufgrund der Eigenschaft der max-Operation. Es lässt sich aus der Vereinigungsbildung BA s∪ definieren.

C: = ))x(m),x(m(s)x(mitBA BACs =μ∪ Es gilt ferner für jede der Vereinigungsbildungen s∪ zwischen den unscharfen Mengen

x =0


55

ABBA ss ∪=∪ ,

C)BA()CB(A ssss ∪∪=∪∪ ,

XXA,AA ss =∪=∅∪ Wegen einer weiteren Behandlung der Durchschnitts- und Ver-einigungsbildung sei auf die Monographie von Bandemer /Gottwald (/Ba1/) verwiesen. Jeder t-Norm t ist eindeutig eine t-Conorm s zugeordnet und umgekehrt, d.h. zwischen der t-Norm und der t-Conorm gibt es ein funktioneller Zusammenhang (/Schw/)

( ) ( )y1,x1t1y,xst −−−= , ( ) ( )y1,x1s1y,xts −−−= .

Auflistung einiger nichtparametrisierte Operatoren: t-Normen und s-Normen (t-Conormen). Durchschnitt dt und Vereinigung vs : td(x,y) = min {x,y} sv(x,y) = max {x,y}

xy

xy

Tabelle t- und s-Normen t-Norm s-Norm Zadeh Durchschnitt

( ) { }t x y x y, min ,= Vereinigung ( ) { }s x y x y, max ,=

Lukasie-wicz

beschränktes Produkt { }tb x y x y( , ) max ,= + −0 1

beschränkte Summe { }s x y x yb( , ) min ,= +1

algebraisches Produkt ta(x,y) = x⋅y

algebraische Summe sa(x,y) = x+y −x⋅y

drastisches Produkt drastische Summe


56

{ }t x y

x y falls xoder y

falls x ydp ( , )

min , ,,

, , .=

=

=<

⎧⎨⎪

⎩⎪

11

0 1

{ }s x y

x y falls xoder y

falls x yds( , )

max , ,,

, , .=

=

=>

⎧⎨⎪

⎩⎪

00

1 0

Hamacher ( )p ≥ 0

Produkt

( ) ( )t x y x y

p p x y x yh( , ) =⋅

+ − ⋅ + − ⋅1

Summe s x y x y x y p x y

p x yh( , ) ( )( )

=+ − ⋅ − − ⋅ ⋅

− − ⋅ ⋅1

1 1

Einstein Produkt

t x y x yx ye( , )

( )( )=

⋅+ − −1 1 1

Summe

s x y x yx ye( , ) =

++ ⋅1

Frank ( )p p> ≠0 1, ( ) ( )

t x yp p

pf p

x y

( , ) log= +− ⋅ −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

11 1

1

( ) ( )s x y

p p

pf p

x y

( , ) log= +− ⋅ −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

− −

11 1

1

1 1

Yager (p>0)

( ) ( )( )t x y

x y

ya

p p p

( , )

min ,/

= −

− + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

1 1 11 ( )s x y x yya

p p p( , ) min ,

/= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

1

, p∈IR Schweizer (1) (p>0) ( )( )t x y x ys

p p p1

10 1( , ) max ,

/= + −

( ) ( )( )s x y

x y

s

p p p1

1

1

0 1 1 1

( , )

max ,/

= −

− + − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Schweizer (2) (p>0) t x y

x ys p p

p

2

11 1 1( , )

/

= + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

( ) ( )s x y

x ys p p

p

2

1

1 1

1

1

11( , )

/

= −−

+−

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

Schweizer (3) (p>0) ( ) ( ) ( ) ( )( )

t x y

x y x y

s

p p p p p3

1/1 1 1 1 1

( , ) =

− − + − − − ⋅ − s x y x y x ysp p p p p

31

( , )/

= + − ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Dombi (p>0)

t x yx

xy

y

dop p p

( , )/

=

+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1

11 1

1

s x yx

xy

y

dop p p( , ) /= −

+−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

1 1

11 1

1

Weber ( )p ≥ −1

( )(( ) )

t x y p

x y pxyw ( , ) max ,= + ⋅

+ − −

0 1

1

( )s x y x y pxyw( , ) min ,= + +1

Dubois ( )0 1≤ ≤p ( )p,y,xmax

xy)y,x(tdu = ( )( )( ) ( )( )

s x yx yx y pdu ( , )

max , ,= −

− −

− −1

1 11 1

Hinweis: Es existiert eine Ordnungsrelation für die aufgeliste-ten t- und s-Normen bezüglich ihrer Rückgabewerte: t t t t t t s s s s s sdp b e a n h a e b ds≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ . Aufgabe: zu zeichnen Hamacher Produkt ht und Hamacher Summe hs :


57

yxyxyx)y,x(t h ⋅−+

⋅== ,

yx1yx2yx)y,x(sh ⋅−

⋅⋅−+= .

Aufgabe: zu zeichnen Algebraisches Produkt ta und algebraische Summe sa:

( ) yxy,xta ⋅= , ( ) yxyxy,xsa ⋅−+= .

Aufgabe: zu zeichnen Einstein Produkt et und Einstein-Summe es :

)y1)(x1(1yx)y,x(te −−+

⋅= ,

yx1yx)y,x(se ⋅+

+= .

Aufgabe: zu zeichnen Beschränktes Produkt bt und beschränkte Summe bs :

{ }1yx,0max)y,x(tb −+= , Aufgabe: zu zeichnen Drastisches Produkt dpt und drastische Summe dss :

{ }⎩⎨⎧

<==

=.1y,xfalls,0

,1yoder1xfalls,y,xmin)y,x(tdp

{ }

⎩⎨⎧

>==

=.0y,xfalls,1

,0yoder0xsfall,y,xmax)y,x(sds

Bem.: Lösungen zu den Aufgaben in /GRA/ und /May/. Hinweis auf die Eigenschaft Idempotenz

( )( ) AAAxx,xmax

AAAxx,xmin=∪⇒==∩⇒=


58

Fuzzy-logische Aussagen sollen bei mehrmaliger Wiederho-lung im Sinne von "und" bzw. "oder" weder "wahrer" noch "falscher" werden, d.h. den Wert der Zugehörigkeit unverän-dert lassen Aussagen der (Idempotenzgesetze). Bem.: Unter allen t- und s-Normen besitzt nur min und max

diese Eigenschaft.

3. Unscharfe Relationen

59

3. Unscharfe Relationen a) Klassische zweiwertige Logik Zwei-stellige (binäre) Beziehungen werden durch Paarmengen mittels des kartesischen Produkts definiert:

( ){ }Yy,Xxy,xYX ∈∈=× , "x" gelesen kreuz (das Zei-chen symbolisiert kein Vektorprodukt sondern ein Kreuzpro-duktmenge. Auf der Grundmenge der Paare kann eine Relationsvorschrift R definiert werden, die aus der Menge YX × aller Paare die-jenigen Paare mit bestimmter Eigenschaft herausfiltert, welche die Vorschrift R erfüllen. Die so definierte Teilmenge R von

YX × heißt zweistellige Relation

( ){ }R,Yy,Xxy,xR ∈∈= . Beispiel: Gegeben seien die Zahlenmengen { },5,3,2X =

{ }10,9,8,7,6Y = und als Relationsvorschrift R das zweistelli-ge Prädikat "x ist Teiler von y". Es gibt 1553 =⋅ Paare insge-samt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )}.10,5,9,5,8,5,7,5,6,5

,10,3,9,3,8,3,7,3,6,3,10,2,9,2,8,2,7,2,6,2YX =×

Aber Paare mit der Eigenschaft "x ist Teiler von y" enthält nur die Relation:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }10,5,9,3,6,3,10,2,8,2,6,2R = ,

also insgesamt existieren nur sechs Paare. R enthält sechs Paa-re. Klassisch gilt streng die zweiwertige Alternative:

entweder: ( ) ( ) 1y,xRy,x R =μ⇔⇔∈ R oder : ( ) ( ) 0y,xRy,x R =μ⇔⇔∈ R

Die zweistellige charakteristische Funktion Rμ

{ }1,0YX:R →×μ ,

nimmt bei Erfüllung R den Wert = 1 an, bei Nichterfüllung ¬ R den Wert = 0.


60

b) Fuzzy-wertige Logik Mit einfach "wahr" (erfüllt) oder "falsch" (nicht erfüllt) lassen sich die Vorschriften "x ist näherungsweise gleich y", "x ist befremdet mit y", "x hat ähnliche Eigenschaften wie y" , etc. nicht beschreiben. Die Beschreibung führt uns zum Begriff Fuzzy-Relation.

3.1 Mathematische Grundbegriffe Die Verknüpfung zweier Mengen kann als Relation betrachtet werden. Es soll nun der formale Begriff "Fuzzy-Relation" ein-geführt werden. In diesem Zusammenhang wird dann die "Komposition" als spezielle Relation zwischen drei Mengen definiert und zwar als formale Basis für die "kompositorische Inferenzregel". Unscharfe Relationen sind unscharfe Beziehungen zwischen zwei und mehreren Objekten, Sachverhalten, Größen etc.. Von besonderer Wichtigkeit sind die binären (zweistelligen) Rela-tionen. Def.: Eine Fuzzy-Relation R ("fuzzy relation")von einer Menge X zu einer Menge Y ist eine Fuzzy-Menge des kartesi-schen Produktes YX × im Grundbereich G:

( ){ }YyXxy,xYXG ∈∧∈=×= . Folglich ist eine unscharfe Relation R in G eine unscharfe Teilmenge von G:

( )GFR ∈

Zweistellige Zugehörigkeitsfunktion: Die jetzt alle Werte des abgeschlossenen Intervalls [ ]1,0 auf IR annehmen kann

[ ]1,0YX:R →×μ . Zugehörigkeitswert ( )y,xRμ ist der Grad mit dem die un-scharfe Relation R auf die Objekte ( )y,x zutrifft. Def.:

( ) ( ) .zutrifftnichtüberhaupt0

y,xaufRdass,ganzundvoll1

y,xR⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=μ


61

Ist der Grundbereich G ein kartesisches Produkt YXG ×= endlicher Mengen, so kann die binäre Relation R durch eine Matrix mit Elementen aus [ ]1,0 dargestellt werden. Beispiel: Sei { }21 x,xX = und { }321 y,y,yY = , so beschreibt beispielsweise R in YX × die unscharfe Relation

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1.07.05.00.02.00.1

xx

:R2

1 ,

mit den Zugehörigkeitswerten

( ) 0.1y,x 11R =μ , ( ) 2.0y,x 21R =μ , ( ) ,0.0y,x 31R =μ ( ) 5.0y,x 12R =μ , ( ) 7.0y,x 22R =μ und ( ) 1.0y,x 32R =μ .

Def.: ( ) ( )( ){ }YyXxy,x,y,xR R ∈∧∈μ= , heißt zweistellige (binäre) Fuzzy-Relation auf G. Entsprechend repräsentiert eine Kreuzproduktmenge aus n Grundmengen (n-faches Kartesisches Produkt), eine n-stellige Fuzzy-Relation. Folge: Die bisher betrachteten Fuzzy-Mengen waren einstellige Fuzzy-Relationen, d.h. Kennlinien über einer Grundmenge. Eine zweistellige Fuzzy-Relation kann als Fläche über der Grundmenge G interpretiert werden. Eine zweistellige Fuzzy-Relation auf diskreten endlichen Grundmengen kann als Fuzzy-Relationsmatrix dargestellt werden. Interpretation von ( ) ( ){ }YyXxy,x,y,xR R ∈∧∈μ= :

(1) ( ) ( )( ){ } YX:YyXx1y,x,y,xR R ×=∈∧∈=μ= YX × kann als spezielle Fuzzy-Relation interpretiert wer-

den, besitzen alle Paare den Wert 1, so ist: YXR ×⊆ . (2) ( ) ( ){ } 0:YyXx0y,x,y,xR R /=∈∧∈=μ= ist eine spe-

zielle Fuzzy-Relation, deren sämtliche Paare mit 0 bewer-tet sind.

321 yyy


62

(3) Matrixdarstellung

( )jiR y,xμ

ya

↓ x

ix

R

(4) Notation von ZADEH

( )( )

( )( )ji

jiRn,m

1j,iji

jiRn

1j

m

1i y,xy,x

:y,x

y,xR

μ=

μ= ∑∑∑

===

( ) ( )jijiR

n,m

1j,iy,xy,xμ= ∑

=

für endliche Fuzzy-Relationen { },x,,x,xX m21 L=

{ }n21 y,,y,yY L= . ( )

( ) ( ) ( )y,xy,xy,x

y,xR

YXR

YX

R ∫∫××

μ=μ

= .

Beispiel Farbe-Reifegrad-Relation: Modellierung des be-kannten Zusammenhangs in Form einer Relationsmatrix zwi-schen Farbe x und Reifegrad y einer Frucht mit den möglichen Farben =X {grün, gelb, rot} und Reifegrade =Y {unreif, halbreif, reif}. Als binäre Relationsmatrix mit Elementen aus { }1,0 :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⇒

100010001

RrixlationsmatRe

100rot010gelb001grün

reifhalbreifunreif:R

.

Interpretation der Relationsmatrix: WENN eine Frucht grün ist, DANN ist sie unreif. WENN eine Frucht gelb ist, DANN ist sie halbreif oder WENN eine Frucht rot ist, DANN ist sie reif. Grün ist eindeutig unreif zugeordnet, etc. Soll aber überdies noch formuliert werden, dass zu einem gewissen Prozentsatz eine grüne Frucht durchaus als halbreif angesehen werden kann, beispielsweise mit graduellen Zugehörigkeiten:

jy


63

( ) ( ) ,5.0halbreif,grün,0.1unreif,grün RR =μ=μ ( ) ( ) ,25.0unreif,gelb,0.0reif,grün RR =μ=μ ( ) ( ) ,25.0reif,gelb,0.1halbreif,gelb RR =μ=μ ( ) ( ) ,5.0halbreif,rot,0.0unreif,rot RR =μ=μ und ( ) 0.1reif,rotR =μ . Darstellung als Fuzzy-Relationsmatrix R

mit [ ]1,0R ∈μ :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0.15.00.025.00.125.00.05.00.1

R .

3.2 Relationen und Rechenregeln a) Rechenregel für die Verknüpfung von Fuzzy-Mengen, z.B.

[ ]1,0X:1 →μ und [ ]1,0Y:2 →μ auf unterschiedlichen Grundmengen mit der UND-Verknüpfung, d.h. dem min-Operator liefert:

( ) ( ) ( )( )y,xminy,x 21R μμ=μ oder Schreibweise ( )( )y,x21 μ×μ ( ) ( )( )y,xmin 21 μμ= , mit der Abbildung [ ]1,0G:21 →μ×μ

mit YXG ×= . Interpretation: Das Ergebnis der Verknüpfung ist eine Fuzzy-Relation R auf der Kreuzproduktmenge (Kartesisches Produkt der Fuzzy-Mengen) G mit ( ) Gy,x ∈ .

Beispiel: ( )( )2R

yx11y,x−+

=μ auf ++ ×= 00 IRIRG .

x

( ) 1y,xR =μ

yx =

( )( )2R

yx11y,x−+

=μ

( )y,xRμ

Symmetrie von R:


64

( )( ) ( )

( )y,xyx1

1xy1

1x,y R22R μ=−+

=−+

=μ

Reflexivität von R: Eigenschaft für xy =

( ) 1x,xR =μ .

D.h. jedes Element steht mit sich selbst mit dem Wert 1 in Re-lation. b) Sind X und Y diskrete Mengen und somit )y(),x( 21 μμ als

Vektoren ( ( )xT1μ ist der zu ( )x1μ transponierte Vektor) dar-

stellbar, so gilt (symbolisch):

2T121 μμ=μ×μ o und

( ) ( ) ( ) Gyx, x,y: y,x RR 1 ∈∀μ=μ − . Verknüpfungsoperator o steht nicht für das übliche Matrizen-produkt, die Produktbildung wird durch die min-Operation und die Addition durch den max-Operator ersetzt (siehe auch (d.2) unten). Interpretation: Der Grad des Zutreffens einer inversen Relati-on R-1 auf die Objekte (x,y) ist also stets gleich dem Grad des Zutreffens von R auf die Objekte (y,x). Rechenregel für die Verknüpfung von Fuzzy-Relationen auf derselben Produktmenge lassen sich wie folgt angeben: Es sei-en zweistellige Fuzzy-Relationen [ ]R R X Y1 2 0 1, : ,× → und (x,y) ∈ G gegeben, mit denen Rechenregeln aufgestellt werden können. c) Die Rechenregeln für eine UND-Verknüpfung erfolgt über den min-Operator: ( ))y,x(),y,x(min)y,x(

2121 RRRR μμ=μ ∩ . Eine entsprechende Berechnungsvorschrift für die ODER-Verknüpfung durch den max-Operator ist gegeben: ( ))y,x(),y,x(max)y,x(

2121 RRRR μμ=μ ∪ .


65

Beispiel: Bildung einer Fuzzy-Relation

mittel1

00 5 10

p Druck

µ (p)1

1

00 5 10 p

Tµ (p,.)R

1

00 50 100

µ (T)2hoch

T Temperatur

1

00 5 10

µ (.,T)R

100

T

p

Zylindrische Erweiterung (ein- geführt von Zadeh) der Fuzzy- Menge mittlerer Druck:

211 XT)p()T,p(~ ∈∀μ=μ und [ ]1,0X: 11 →μ .

Zylindrische Erweiterung der Fuzzy-Menge hohe Temperatur:

122 Xp)T()T,p(~ ∈∀μ=μ und [ ] [ ]1,0G:~,~;1,0X: 2122 →μμ→μ

µ (p,T)R

1

00 5 10 p

µ (p,T)R

1

00 5 10 p


66

Fuzzy-Relation mittlerer Druck UND hohe Temperatur wurden Mit dem min-Operator ver- knüpft:

( ) ( ) ( )( )T,pminT,p 21R μμ=μ .

Fuzzy-Relation mittlerer Druck ODER hohe Temperatur wurden mit dem max-Operator verknüpft:

( ) ( ) ( )( )T,pmaxT,p 21R μμ=μ . d) Fuzzy-Relationsprodukt RoS Es seien ( )R F X Y∈ × und ( )S F Y Z∈ × aber auch speziell

( )R S F G, ∈ mit Menge der Relationen über Kreuzprodukt-menge und G ⊆ × X Y, dann versteht man unter der Verket-tung oder dem Fuzzy Relationsprodukt R So :

{ } .ZX)z,x())z,y(S,)y,x(R(minYysup:)z,x(SR ×∈∀μμ∈=μ o (*)

Interpretation: Sei R eine Relation von X nach Y und S eine Relation von Y nach Z dann sind folgende Kompositionen möglich: d1) Wird die Komposition R So aus R und S als ein Max-Min-Produkt definiert, so wird vorstehendes Fuzzy-Kompositions-produkt als max-min-Komposition bezeichnet. Anmerkung: sup steht für Supremum, und wird hier als max-Operation interpretiert. d2) Wird die Produktbildung wie bei der bekannten Matrix-Multiplikation vorgenommen, so erhalten wir die max-prod-Komposition. d3) Bei der max-average-Komposition wird die "Multiplika-tion" durch Mittelwertbildung ersetzt. Bem.: Statt des min-Operators im Relationsprodukt SR o Gl. ( )∗ kann auch eine t-Norm genommen werden. Es kann zu jeder t-Norm t ein zugehöriges Relationsprodukt SR to defi-niert werden. Def.: SRT to= :

( ) ( ) ( ) ( ){ }z,yty,xsup:z,xz,x SRYySRT tμμ=μ=μ ∈o

( ) ZXz,x ×∈∀ . e) Fuzzy-logisches Schließen mit WENN-DANN-Regel ist möglich über die Komposition R12 oμ=μ . Die Fuzzy-Menge


67

2μ repräsentiert die gesuchte Schlussfolgerung. Der analyti-sche Zusammenhang ist gegeben durch:

( ) ( ) ( )( )( )y,x,xminmaxy R1Xx

2 μμ=μ∈

,

mit

[ ] [ ] [ ] YXGund1,0G:R,1,0Y:,1,0X:,Yy 21 ×=→→μ→μ∈ . Ergänzung: Verwendet man über endlichen Grundbereichen die Matrixdar-stellung, so lässt sich die Verknüpfung SR o wie folgt motivie-ren: Es seien gegeben

{ } { } { }n1n1n1 z,,zZ,y,,yY;x,,xX LLL === und ( ) ( )ZYFS,YXFR ×∈×∈ sowie die Matrixdarstellung von R

und S in der Form ( ) ( ) lLLL ,1k;m,,1j;n,,1imitsSundrR jkij =====

sowie ( ) ( )kjSjkjiRij z,ysundy,xr μ=μ= .

Wird für die Verknüpfung SRT o= die Matrixdarstellung ikt gewählt, dann ist,

{ }jkijj

ik s,rminsupt =

Als Ergebnis erhält man nicht die übliche Form der Matrixmul-tiplikation da die Supremumbildung anstelle der Summenbil-dung und die Minimumbildung anstelle der Produktbildung zur Anwendung kommen. Bem: Mit den Darstellungen für ijr und jks sowie mit Gl. ( )∗

kann die inverse Relation 1R − durch die zu ijr transponierte

Matrix ( )Tij1 rR =− dargestellt werden.

Beispiel: Es seien { }X Tom= Harry, und { }Y John= Jim, gegeben. Eine binäre Fuzzy Relation "Ähnlichkeit" zwischen Mitgliedern von X und Y könnte folgendermaßen aussehen: Ähnlichkeit ( ) ( ) ( )John ,Harry0.2 Jim ,Tom0.6 John ,Tom0.8 ++=

( ). Jim ,Harry0.9 + Dies kann auch als Relationsmatrix ("relation matrix" ge-schrieben werden:


68

TomHarry

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0.92.00.68.0

JimJohn

Beispiel: Zur Veranschaulichung sei vorstehendes Beispiel fortgeführt. Es sei { }Z Arthur= Georg, und die Ähnlichkeits-Relationsmatrix Sμ zwischen Y und Z sei gegeben zu:

JohnJim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1.04.00.95.0

GeorgArthur

Die Relationsmatrix für R So zwischen X und Z ergibt sich dann z.B. aus dem Max-Min-Produkt:

GeorgArthur

9.04.08.05.0

0.14.09.05.0

9.02.06.08.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛o

bzw. komponentenweise ausführlich gemäß Definition: Matrixelement ( ) ( ) ( )[ ] [ ]( ) ( ) ( )[ ] [ ]( ) ( ) ( )[ ] [ ]( ) ( ) ( )[ ] [ ] .9.09.0,2.0SUP0.1,9.0MIN,9.0,2.0MINSUP:2,2

,4.04.0,2.0SUP4.0,9.0MIN,5.0,2.0MINSUP:1,2,8.06.0,8.0SUP0.1,6.0MIN,9.0,8.0MINSUP:2,1,5.04.0,5.0SUP4.0,6.0MIN,5.0,8.0MINSUP:1,1

========

Interpretation: Die Matrix R So gibt die Zugehörigkeitswer-te zwischen den einzelnen Personen an. Beispiel: max-min-Komposition und max-prod-Kompo-

sition a) max-min-Komposition:

( ) ( ) ( )( )z,y,y,xminsupz,x SRYy

SR μμ=μ∈

o ( )∗

Gegeben seien die (klassischen) Mengen

{ } { } { }432121321 z,z,z,zZ,y,yY,x,x,xX ===

Tom Harry

ersetzt durch max


69

S 1z 2z 3z 4z

1y 0.1 0.3 0.8 1.0

2y 1.0 0.5 0.6 0.1

R 1y 2y

1x 0.4 0.2

2x 0.9 0.5

3x 0.1 1.0

SR o 1z 2z 3z 4z

1x 0.2 0.3 0.4 0.4

2x 0.5 0.5 0.8 0.9

3x 1.0 0.5 0.6 0.1

( ) =μ 32SR32 z,x:z,x o ?

( ){ }

( ) ( )( )3S2Ry,yy

32SR z,y,y,xminmaxz,x21

μμ=μ∈

o

( ) ( )( )6.0,5.0min,8.0,9.0minmax= ( )5.0,8.0max= 8.0=

( )

{ }( ) ( )( )1S1R

y,yy11SR11 z,y,y,xminmaxz,x:z,x

21μμ=μ

∈o

( ) ( )( ) ( ) 2.02.0,1.0max0.1,2.0min,1.0,4.0minmax ===

( ){ }

( ) ( )( )2S1Ry,yy

21SR21 z,y,y,xminmaxz,x:z,x21

μμ=μ∈

o

( ) ( )( ) ( ) 3.02.0,3.0max5.0,2.0min,3.0,4.0minmax === b) max-prod-Komposition: … mit den gleichen Mengen

und Zahlen

( ){ }

( ) ( )( )z,y,y,xprodmaxz,x SRy,yy

SR21

μμ=μ∈

o

S 1z 2z 3z 4z

1y 0.1 0.3 0.8 1.0

2y 1.0 0.5 0.6 0.1

R 1y 2y

1x 0.4 0.2

2x 0.9 0.5

SR o 1z 2z 3z 4z

1x 0.2 0.12 0.32 0.4

2x 0.5 0.27 0.72 0.9


70

3x 0.1 1.0

3x 1.0 0.5 0.6 0.1

( ){ }

( ) ( )( )1S1Ry,yy

SR11 z,y,y,xprodmaxz,x:z,x21

μμ=μ∈

o

( ) ( )( ) 2.00.12.0,1.04.0max =⋅⋅=

( ){ }

( ) ( )( )2S1Ry,yy

SR21 z,y,y,xprodmaxz,x:z,x21

μμ=μ∈

o

( ) ( )( ) 12.05.02.0,3.04.0max =⋅⋅= Vergleich von max-min- mit max-prod-Komposition für alle [ ]1,0y,x ∈ gilt: ( )y,xminyx ≤⋅ . Interpretation: Für die max-prod-Komposition ergeben sich niemals größere Mitgliedschaftswerte als bei der max-min-Komposition. Kann als Entscheidungshilfe für die Praxis ange-sehen werden. f) Rechenregeln für die Verkettung von unscharfen Rela-

tionen R, S, T f.1) Beh.: Assoziativgesetz: ( ) ( )TSRTSR oooo = Bew.: Es sei: ( ) ( ) ( )UZFT,ZYFS,YXFR ×∈×=×∈ mit Def.

( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ZXz,xz,y,y,xminsup:z,x SRYy

SR ×∈∀μμ=μ∈

o

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }u,z,z,xminsupu,x:TSR TSRZz

TSR μμ=μ∈

ooooo

( ) UXu,x ×∈∀

( ) ( ) { ( ( ) ( )( ){ } ( ) )}u,z,z,y,y,xminsupminsupu,x TSRYyZz

TSR μμμ=μ∈∈

oo

Berechnung von ( )TSR oo : mittels Definition TS o

( ) { ( ) ( )( )} ( ) UYu,yu,z,z,yminsupu,y TSZz

TR ×∈∀μμ=μ∈

o

( )( ) { ( ) ( )( )} ( ) UXu,xu,y,y,xminsupu,x TSR

YyTSR ×∈∀μμ=μ

∈ooo

= 0.04 = 0.2

= 0.12 = 0.1


71

( )( ) { ( ( ) { ( ) ( ) )}( )}u,z,z,yminsup,y,xminsupu,x TSZz

RYy

TSR μμμ=μ∈∈

oo

{ ( { ( ) ( )( )} ( ) )}y,x,u,z,z,yminsupminsup RTSZzYy

μμμ=∈∈

{ ( { ( ) ( )( )( ) ( )( )

} ( ) )}u,z,y,x,z,yminsupminsup Tz,y,y,x

RSYyZz

SR

μμμ=μμ=∈∈ 444 3444 21

( )( )u,xTSR ooμ ( ) ( )u,xTSR ooμ=

Folge: ( )( ) ( ) ( )u,xu,x TSRTSR oooo μ=μ .

Bem.: Aus ( )⎩⎨⎧

>

≤=

babfalls,

baab,amin , folgt mittels

Vertauschung abundba →→

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>

≤=

abbfalls,

abaa,bmin .

f.2) Distributivgesetz für die Vereinigungsbildung:

( ) ( ) ( )TRSRTSR ooo ∪=∪ . (abgeschwächtes) Distributivgesetz für die Durchschnittsbil-dung:

( ) ( ) ( )TRSRTSR ooo ∩⊆∩ . f.3) Bildung von Inversen: ( )( )( ) .SRSR

,SRSR

,RSSR

111

111

111

−−−

−−−

−−−

∩=∩

∪=∪

= oo

f.4) Komplement und Inversenbildung:

min von TS und μμ bei max z

min von ( ) ymaxbei,und zmaxTSR μμμ

mit Def. ( )b,amin


72

( ) ( ) ( )c11c11 RR,RR −−−− == . f.5) Monotonie-Eigenschaften:

STRTundTSTRSR oooo ⊆≤⇒⊆ .


73

3.3 Fuzzy-Inferenz 3.3.1 Erinnerung klassische Logik klassische Logik ist eine zweiwertige Logik mit den Aussagen "wahr" interpretiert mit 1, "falsch" interpretiert mit 0. Inferenzregel Implikation: WENN A DANN B Faktum: A wahr Schluss: B wahr Interpretation: Wenn die Regel A ⇒ B gilt und wenn A wahr ist, dann ist B wahr und wir können A und B ersetzen (Ersetz-regel, modus ponens genannt). Fuzzy-Inferenz ist die Anwendung der Fuzzy-Relationen mit dem Ziel:

fuzzy-logisches Schließen bezüglich vager Informationen. Schema: Fuzzy-Inferenz (auch Implikation genannt) besteht aus einer oder mehreren Regeln, einem Faktum und einem Schluss. 3.3.2 fuzzy-logisches Schließen Wahrheitswerte existieren zwischen 0 und 1 mehrwertiger Logik Def: Die Fuzzy-Logik ist eine mehrwertige Logik, deren Ver-knüpfung durch mathematische Operatoren definiert ist. a) Fuzzy-Inferenz-Regel mit einer Prämisse

⇓


74

Implikation: WENN (unscharfe Information A auf der

Grundmenge 1G ) DANN (unscharfe Information B auf der

Grundmenge 2G ) Faktum: Es liegt die unscharfe Information A' für ein

Ereignis aus 1G vor. Schluss: Es gilt die unscharfe Information B' auf 2G für

das vorliegende Ereignis aus 1G Interpretation:

BB ≤′ Die "geköpfte" Fuzzy-Menge (siehe α -Schnittmengen) am Ausgang des Fuzzy-Inferenzschemas ist enthalten in der Fuz-zy-Menge der Konklusion. oder Die unscharfe Information B' hat keinen höheren Fuzzy-Wahrheitswert als die ursprüngliche unscharfe Information B. Fuzzy-Implikation besteht im einfachsten Fall aus einer WENN - DANN - REGEL Beispiel: Kennzahl Eigenkapitalrentabilität (linuistische Variable) mit den linguistischen Termen: niedrig, mittel, hoch WENN-DANN-Regel eines Experten: WENN die Eigenkapitalrentabilität hoch ist (UND der Ver-

schuldungsgrad niedrig) DANN ist die Bonität des Unternehmens gut. Anmerkung: Bonität hat keine Dimension. Solche Größen werden als linguistische Symbole bezeichnet. b) Fuzzy-Inferenz Regel mit mehreren Premissen

… auch als Prämisse bezeichnet repräsentiert die Bedingung

… als Schlussfolgerung bezeichnet, auch Konklusion genannt


75

Regel: WENN A1 UND A2 UND A3 … UND An DANN B mit [ ] n,,2,1i1,0X:A iii L=∀→μ und der Zuge-

hörigkeitsfunktion der Konklusion [ ]1,0Y::B →μ wird beschrieben durch die ( )1n + -stellige Relation

[ ]1,0YXXX:R n21 ×××× L

Dann ist das Fuzzy-Inferenzschema für das aktuelle Ereignis ( )n21 x,,x,x ′′′ L mit den scharfen Werten n21 x,,x,x ′′′ L der Kenngrößen n,,2,1i,Xi L= und Yy ∈ gegeben durch

( ) ( )y,x,,x,xy n21RB ′′′μ=μ ′ L ( ) ( ) ( ) ( )( )y,x,,x,xmin Bnn2211 μ′μ′μ′μ= L Anmerkung: Die Größe ( ) ( ) ( )( )nn2211 x,,x,xmin ′μ′μ′μ L

heißt Erfüllungsgrad der Regel. Die Größe ( ) ( ) ( ){ }nn2211 x,,x,x ′μ′μ′μ L reprä-sentieren die fuzzy-wertige Eingangsgrößen.

c) Mehrere Fuzzy-Inferenz-Regeln mit mehreren Prämis-sen: Regelbasis (/Kah/) Regel 1:

WENN L111 Ax = UND Li1i Ax = UND n1n Ax = DANN 1By =

M Regel j:

WENN L1j1 Ax = UND Ljii Ax = UND jnn Ax = DANN jBy =

M Regel m:

WENN L1m1 Ax = UND Lmii Ax = UND mnn Ax = DANN mBy =

Erklärung: Eingangsgrößen: n321 x,,x,x,x L linguistische Terme der Eingangsgröße ix : imi2i1 A,,A,A Ausgangsgröße: y linguistische Terme der Ausgangsgröße: m21 B,,B,B L Interpretation:


76

jii Ax = bedeutet: "Wenn die Eingangsgröße ix die Eigen-

schaft jiA hat".

4. Analyse und Design von Fuzzy-Systemen

77


4.1 Grundidee bei Fuzzy-Systemen Mit Hilfe des Fuzzy-Konzepts ergibt sich die Möglichkeit, empirisches Prozesswissen und beschreibbare Steuerungsstra-tegien für die Prozessautomatisierung zu nutzen. Dabei kommt der Kontrollfunktion und der Stabilität des Systems besondere Bedeutung zu. Zwei Paradigmen können zu einer Kontrollfunktion führen: Die klassische Methode, wobei ein Lösen der entsprechenden Gleichungen im Mittelpunkt steht oder die kognitive Methode. a) Klassische Methode b) Kognitive Methode Bei dieser Methode erstellt man ein Modell nach den Vorgaben des Experten, nicht des physikalischen Prozesses. Komplexe Systeme können einfacher beschrieben werden, in-dem ein kalkulierbarer Anteil von unpräzisem, vagen und unsi-cherem Wissen in die Modellierung einbezogen wird. Kompli-zierte mathematische Zusammenhänge können beispielsweise

Kontrollaufgabe Beschreibung durch ein physikalisches Modell

Lösen einer System- Differentialgleichung

Approximation Linearisierung Validitierung Stabilitätsanalyse

L L

Kontrollaufgabe

Wahl einer Kontrollfunktion

Wahl einer Kontrollfunktion

semiformale Beschreibung der Kontrollstrategie des Experten

Formalisierung durch ein kognitives Modell

Adjustierung Validitierung

L L


78

ohne Benutzung der entsprechenden linearen oder nichtlinearen Differentialgleichungen durch eine geeignete linguistische Be-schreibung ersetzt werden. Das durch die linguistische Be-schreibung approximierte Modell wird anhand von Gütekrite-rien wie Korrektheit, Vollständigkeit, Adäquatheit, Effizienz und Benutzerfreundlichkeit beurteilt. Die Behandlung von linguistischen Variablen ist nicht neu, sie ist uns aus dem Bereich der Expertensysteme, speziell bei der Formulierung von Produktionsregeln, bekannt. In Verbindung mit der Fuzzy-Logik erwuchs die Vorstellung einer Anwen-dung im Bereich der Regelungstechnik und Kontrolltheorie, insbesondere wenn es sich um Nichtlinearitäten im Prozessge-schehen handelt (Fig. 4.1). Quantisierung der Kurve: Wenn x Element aus jX , dann sei y ein Element aus jY Mit Hilfe der Fuzzy-Logik, lässt sich dieses Konzept erweitern, indem zur Festlegung von jX und jY auch Fuzzy-Mengen zugelassen werden.

y

jY

jX

x

Fig. 4.1: Beschreibung einer nichtlinearen Funktion (Regel-strategie) durch bereichsweise Definition des Kurvenverlaufs (/Bon/). Beispielsweise entspricht dabei einem elementaren Kurvenstück einer umgangssprachlich formulierten Regel: "Wenn die Temperatur absinkt, dann erhöhe den Druck". Die gesamte Regelstrategie lässt sich in Teilstrategien aufteilen in der folgenden Form:

jij YISyTHENXISxIF:R . Die Mathematisierung von linguistischem Wissen bzw. Dar-stellung von vagem Wissen vollziehen wir über Funktionsgra-

nichtlineare Regelstrategie


79

phen. Dabei ordnen wir der Aussage wahr den Wert 1 einer Zugehörigkeitsfunktion und der Aussage falsch den Wert 0 zu.

4.2 Methoden des Fuzzy Control Klassisch betrachtet ist ein Regler ein System, das gemessene Eingangsgrößen mit Präferenzwerten vergleicht und einen Ausgangswert oder Ausgangswerte erzeugt, die einen Prozess regeln. Eine Fuzzy-Regelung lässt sich einfach beschreiben: • Keine exakte mathematische Formulierung des Systems ist

notwendig.

• Linguistische Variable (Terme) und Schlussfolgerungen werden benutzt um vage oder unexakte Aussagen zu charak-terisieren. Ein Problem dabei stellt die Stabilität des Sys-tems dar. Zur Überprüfung der Stabilität eines Fuzzy-Systems können verschiedene Methoden benutzt werden:

• unbiasedness criterion (/Sug2/),

• gewichteter recursive least squeres algorithm (/Sug3/),

• Methode von Tanaka (/Tan/) durch eine Input-Output-Datenanalyse,

• Lyapunov-Methode (siehe z.B. /Tak/), etc. Für die Fuzzy-Regelung existieren verschiedene Entwicklungs-linien z.B.: • Methode von Mamdani mit Entscheidungsmodul und De-

fuzzifizierungsmodul,

• Methode von Sugeno mit scharfem Wert aus dem Entschei-dungsmodul,

• Sliding Mode Fuzzy Control von Palm (/Pl-6/),

• Predective Fuzzy Control von Yamaguchi (/Yam/). 4.2.1 Methode von Mamdani Ein Fuzzy-Regelsystem besteht aus zwei wesentlichen Teilen, nämlich dem sogenannten Fuzzy-Regler und dem zu regelnden Prozess (Fig. 4.1).


80

Fuzzifi- zierung

Fuzzifi- zierung

Regelbasis

Entscheidungsmodul

Prozess

Prozess-Output

Fuzzy-Regler

e,e & u&

Fig. 4.2: Schematische Darstellung eines Fuzzy-Regelsystems (/He1/). Die Entwurfsschritte für einen fuzzygeregelten Prozess sind gekennzeichnet durch:

• Aufstellung einer Regelbasis

• Fuzzifizierungsalgorithmus

• Entscheidungsmodul

• Defuzzifizierungsprozess um einen scharfen Wert für die Stellgröße zu erhalten.

(i) Aufstellung einer Regelbasis in der Form, z.B. für die i-te

Regel

R IF e IS E AND e IS E THEN u IS Ui: & &Δ Δ

Hierbei charakterisiert e den Fehler, &e die Änderung des Feh-lers und &u die Änderung des Ausgabewertes (nicht fuzzywer-tig), alle Größen seien definiert auf ihren jeweiligen Definiti-onsbereichen E, ΔE und ΔU, der gesamte Definitionsbereich ist das kartesische Produkt E E U× ×Δ Δ . Über diesem Definiti-onsbereich werden die Begriffe Fehler und Fehleränderung fuzzifiziert, d.h. mittels unscharfer Mengen dargestellt, wobei die linguistische Beschreibung z.B. NB (negativ big), NM (ne-gativ medium), NS (negativ small) Z0 (approximately zero), PS (positiv small), PM (positiv medium), PB (positiv big) für jede zu fuzzifizierende Größe verwendet wird. Vergleicht man den Eingabewert e und e& mit den Voraussetzungen, so erhält man Aussagen darüber welche Regeln feuern.

u&


81

(ii) Fuzzifizierungsalgorithmus Im Allgemeinen ist der Fehler e und dessen Änderung &e nicht fuzzywertig, sie werden über eine linguistische Beschreibung fuzzifiziert. Die Fuzzy-Werte werden mit den Prämissen der If-Then-Regeln aus der Regelbasis verglichen. Aus der Regelba-sis folgt, welche Regeln feuern können und mit welchem Ge-wicht eine Regel beteiligt ist. (iii) Verknüpfungsmodul Die aktivierten Regeln mit ihrem unterschiedlichen Gewicht werden mit Hilfe einer Verknüpfungsoperation zusammenge-fasst und dem Defuzzifizierungsalgorithmus zugeführt. (iv) Defuzzifierung Mit Hilfe einer Defuzzifizierungsoperation wird aus der Menge der möglichen Werte eine nicht fuzzywertige Größe, d.h. eine scharfe Größe, ermittelt. Diese Größe ist zu interpretieren als Stellgröße, d.h. wie eine Einstellung des Systems vorzunehmen ist, so dass die Regel-abweichung gering wird. Fuzzy-Regelung bedeutet, dass die Schritte (i) bis (iv) wiederholt werden, bis das Ziel, geringste Fehlerabweichung e und Änderung &e ( )dt/de= , erreicht wird. (v) Defuzzifizierungsmethoden • Maximum-Kriterium-Methode Es wird ein beliebiger Wert η ∈ Y ausgewählt, und zwar aus

dem Bereich innerhalb dessen die Fuzzy-Menge μx xnOutput1,..., ma-

ximalen Zugehörigkeitsgrad besitzt. Nachteil: Es ist nicht bekannt welcher Wert mit maximalem Zugehörigkeitsgrad zu wählen ist. Ein Intervall repräsentiert eine Klasse von Defuzzifizierungsstrategien. Wird ein Wert zufällig aus dem Intervall gewählt, handelt es sich um eine nicht-deterministische Vorgabe, so dass beispielsweise ein Regler sprunghaftes Verhalten zeigen kann. • Mean-of-Maximum-Methode (MOM) Als Stellwert wird der Mittelwert über die maximalen Zugehö-rigkeitswerte genommen. D.h. die Menge Y ist ein Intervall, sie sei nicht leer und charakterisiert durch:


82

{ }Y*y*)y(nx,...,1x)y(nx,...,1xYy:)Outputnx,...,1x(SUP ∈∀μ≥μ∈=μ

Damit folgt:

∫μ∈

•∫

μ∈

=η

)Outputnx,...,1x(SUPy

.dyy

)Outputnx,...,1x(SUPy

dy1

MOM

• Center of Gravity (COG) Diese Methode ist als Schwerpunktsmethode bekannt, es wird der Flächenschwerpunkt mit gedachter homogener Dichtebele-gung vom Werte eins berechnet:

dyy)y(supy

infysupy

infydy)y(

1COG μ∫•

∫ μ

=η .

• Center of Area (COA) Es wird die Position einer Achse parallel zur Ordinate berech-net, so dass die linke und die rechte Seite der Fläche unter der Zugehörigkeitsfunktion gleich wird:

∫η

∫η

μ=μinfy

supy.dy)y(dy)y(

• Basic Defuzzification Distribution (BADD) Dabei handelt es sich um eine parametrische Methode, (/Fi/, /Ya1-5/), mit γ als einem Parameter ( )IR∈γ :

dyysupy

infy)y(

dysupy

infy)y(

1BADD ∫ γμ•

∫γμ

=η .

ferner gilt:

η η γCOG BADD= =, 1 , η η γMOM BADD= →, 0 .


83

• Extended Center of Area (XCOA):

μ γ μ γ

η

η( ) ( )

sup

infy dy y dy

XCOA

y

y

XCOA= ∫∫

• Center of Largest Area (CLA) Bei dieser Methode (/Pf/, /Ki1/) wird die signifikante Teilmen-ge aus der Gesamtmenge ausgewählt, die dann mit bekannten Methoden, wie z.B. der Schwerpunktsmethode (COG) oder der Bestimmung des Flächenzentrums (COA) ausgewertet wird. • Customizable Basic Defuzzification Distribution (CBADD) Wird der Exponent γ bei der parametrischen Defuzzifizierung-smethode als eine Funktion von y angesehen, dann folgt unmit-telbar

η

μ γ

μ γCBADD

y y ydyy

y

y y dyy

y=

∫

∫

( ) ( )

inf

sup

( ) ( )

inf

sup .

Die CBADD-Methode kann als eine Verallgemeinerung der BADD-Methode interpretiert werden. Sie ist insbesondere dann interessant, wenn ( )yμ selbst besonders gewichtet werden soll. • Modified Semi Linear Defuzzification (MSLIDE) MSLIDE ist eine parametrische Defuzzifikationsmethode pro-portional zu den Methoden COG und MOM als Spezialfälle: η β η β η βMLSIDE COG MOM mit: ( )= − ⋅ + ⋅ ≤ ≤1 0 1 .


84

Beispiel: Inverses Pendel Methodik einer Fuzzy-Regelung am Beispiel eines aufrechtste-henden Pendels. Grundstruktur eines Fuzzy-Controllers:

Fuzzy-Controller Fuzzifizierung Interferenz Defuzzifizierung Prozeß

Fuzzy-Regelung eines aufrechtstehenden Pendels (Mamdani-Regelungskonzept) Es wird das Modell eines menschlichen "Kontrollexperten" (kognitive Aufgabe) zugrunde gelegt. Dabei formuliert der Experte sein Wissen in Form von linguistischen Regeln. ⇒ Expertenbefragung ist notwendig, ⇒ Beobachtung des Expertenverhaltens. Linguistische Regeln bestehen im allgemeinen aus einer - Prämisse (Spezifikation der Werte für die Messgrößen), - Konklusion (die einen geeigneten Stellwert angibt). Folge: Für jede der Wertemengen X X Xn1 2, , ,L (für die Messgrößen) und Y (für die Stellgröße) sind geeignete linguis-tische Terme wie ungefähr Null, positiv klein etc. festzulegen. Dabei kann ungefähr Null bezogen auf die Messgröße ξ1 durchaus etwas anderes bedeuten als für die Messgröße ξ2 . Für die Menge X1 könnten wir drei linguistische Terme nega-tiv, etwa Null und positiv verwenden. Für die mathematische Modellierung muss dann jedem dieser drei linguistischen Ter-me eine Fuzzy-Menge zugeordnet werden (siehe unten). grobe Partitionierung:

µ

1

negativ etwa positiv Null

x

( )x


85

Bem.: Aufgrund der Dynamik des Systems muss eine feinere Unterteilung in linguistische Terme vorgenommen werden. feinere Partitionierung:

ng nm nk eN pk pm pg x

( )xμ

Physikalisches Modell für die Regelaufgabe

F

θ, θ

Wertebereich: Winkelwerte ( )− °< < °90 0 90 : [ ]X1 90 90: ,= − ° °

Winkelgeschwindigkeitswerte ( )− °⋅ ≤ ≤ °⋅− −45 451 1s s&θ :

[ ]X2 45 45: ,= − ° ° Kraftwerte ( )− ≤ ≤10 10N F N : [ ]Y: ,= − 10 10 Partitionierung: ... für Menge X1

µ(θ)

ng nm pm pg

1

θ45

-90 +90

1

negativ groß positiv groß


86

Partitionierung: ... für Menge X2

µ(θ)

ng pg

1

θ22.5

Paritionierung: ... für Menge Y

µ(F)

ng pg

1

5F

Regelbasis:

ng nm nk eN pk pm pgng pk pgnm pmnk nm nk pkeN ng nm nk eN pk pm pgpk nk pk pmpm nmpg ng nk

Regelbasis enthält 19 Regeln. aktuelle Messwerte: mögliche Startwerte. Winkel θ = °36 . Winkelgeschwindigkeit & ,θ = − °⋅ −2 25 1s Regelauswahl aus den 19: R1: Ist θ positiv klein (pk) und &θ ist etwa Null (eN) dann ist

F positiv klein (pk). R2: Ist θ positiv mittel (pm) und &θ ist etwa Null (eN) dann ist

F positiv mittel (pm.


87

Für R1 ist die Prämisse zu { }min , ; , ,0 4 0 8 0 4= erfüllt, ge-nauer:

{ } { }α μ θ μ θ= = =min ( ) ; ( & ) , ; , ,( ) ( )1 1 0 4 0 8 0 4.

Folge:

.sonst0

5y4füry522

4y1für4,0

1y0füry52

)y()1R(Output25,2;36

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤−

≤≤

≤≤⋅

=μ −

Für Regel R2: { }min , ; , ,0 6 0 8 0 6= für den Erfüllungsgrad der Prämisse. genauer: { }α μ θ μ θ= min ( ) ; ( & )( ) ( )2 2

Praktisches Vorgehen: Auswertung der Regel R1

-11.5 +11.5-2.25etwa Null

0.8

µ(θ)

θ

MIN-Operation

positiv klein2.5

1.0

F

µ(F)

0.4

1.0

22.5 36

positiv klein

µ(θ)

θ

Auswertung der Regel R2

1.0

5.0F

µ(F)

MAX-Operation

1.0

F

Fuzzy-Aussagemenge

µ(F)

36 45positiv mittel

0.6

1.0

µ(θ)

θ θ

MIN-Operation

µ(θ)

0.8

-2.25


88

μ36 2 252

25

1 2 5 4

0 6 4 6

3 25

6 7 5

0

; ,( )( )

,

,

,− =

− ≤ ≤

≤ ≤

− ⋅ ≤ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

Output R y

y für y

für y

y für y

sonst

Für alle anderen 17 Regeln ergibt sich ein Erfüllungsgrad Null für die Prämisse, sie liefern also die Fuzzy-Menge die konstant Null sind. Auswertung der beiden Regeln (Entscheidungslogik) Vorgehen: 1.) Auswertung der erhaltenen Fuzzy-Mengen, die mit Maxi-mumbildung (Vereinigung) zusammengefügt werden Die Ent-scheidungslogik liefert:

[ ]{ }

μ μ μ μx xOutput

r ki i

nn in r r r

Y y x x y1 1 1

0 11

11, ,

, ,

( ) ( ): , ; min ( ), , ( ) , ( )max , ,LL

L→ → ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭∈

2.) Fuzzy-Menge nach Maximumsbildung

μ36 2 25

25

0 1

0 4 1 3 525

1 3 5 4

0 6 4 6

3 25

6 7 5

0

; , ( )

, ,

,

,

,

− =

⋅ ≤ ≤

≤ ≤

− ≤ ≤

≤ ≤

− ≤ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

Output y

y für y

für y

y für y

für y

y für y

sonst.

3.) Die weiteren Regeln liefern keinen Beitrag, da die Fuzzy-

Mengen selbst Null sind. 4.) Defuzzifizierung Entscheidungslogik liefert keinen "scharfen" Wert für den Stellwert, sondern eine Fuzzy-Menge. D.h.: Mit der Methode erhält man eine Abbildung, die jedem Tupel ( , , )x x X X Xn n1 1 2L L∈ × × × von Messwerten eine FUZ-ZY-Menge nämlich μx x

Outputn1, ,L

von Y zuordnet. Defuzzifizierung bedeutet, dass ein Stellen-wert berechnet werden muss.


89

Schwerpunktsmethode liefert: F = 3 95, . Maximum-Kriterium-Methode liefert: F = 5,0 als Stellgröße. Allgemeines Vorgehen: ..."Trajektorie" soll so verlaufen, dass Endpunkt im Zentrum liegt. Welche Regeln gehören zum Defuzzifizierungs-Output?

i) Durch Defuzzifizierungs-Output wird ein Iterationsprozess eingeleitet der letztlich in die Mitte der Regelfläche führt, d.h. Stellgröße = 0 liefert.

ii) Stabilitätsuntersuchung sind durchzuführen.

iii) Fuzzy Control

→ Wissensbasierte Definition eines Kennfeldes. Was heißt das?

→ Design Parameter

- Wahl der Fuzzy Mengen

- Partitionen

- Art der Schlussfolgerung

- Defuzzifizierung

→ Struktursatz: Jedes (nichtlineare) Kennfeld kann durch Wahl dieser Parameter beliebig genau approximiert werden.

Mamdani Controller ist vom Sugeno Controller zu unterschei-den. Bemerkungen zum Mamdani-Konzept Es handelt sich hierbei um einen ad-hoc-Ansatz für eine Fuzzy-Regelung. Der Experte formuliert sein Wissen in Form von linguistischen Regeln. Die Messgrößen bzw. Eingangsgrößen als auch die Ausgangsgröße sind entsprechend mit geeigneten Zugehörigkeitsfunktionen darzustellen. Mit Hilfe der aufges-tellten Regeln, zusammengestellt in einer Regelbasis, und Ver-knüpfungen der Eingangsgrößen über geeignete Operatoren (beispielsweise Minimum-Operator) lässt sich eine Fuzzy-Menge für die Ausgangsgröße erzeugen. Mit Hilfe von Defuz-zifizierungsverfahren ist es möglich einen Wert für die Stell-größe zu ermitteln. Von Fall zu Fall muss entschieden werden wie viel Regeln berücksichtigt werden müssen.


90

Aufgabe: Brake Test Brake test: Calculate the brake effort (output quantity) with the help of a simple fuzzy system. The system consist of two cars with a certain distance D between the first and second car. We are sitting in the second car and drive with a velocity V alone a superhighway. We have at the moment a value for the distance

m175D = and a velocity of h/km190V = . Calculate the brake effort K in percent (/Kah/) under consideration of the following linguistic terms and the following rules

0 50 100

zero fourth half three_fourth full 1 0

Vμ

K (%)

Kμ

V (km/h)

150

D = 175m

0 250 500

very_low low mean high very_high

Dμ

D (m)

1 0

0.25

0.75

0 100 140 160 180 200

very_low low mean high very_high 1 0

V= 190 km/h


91

Rule 1: IF D is mean AND V is very_high THEN K = three_fourth Rule 2: IF D is low AND V is very_high THEN K = full . Take into account the input value m175D = and h/km190V = . Take the min-operation for the aggregation of the two rules R1 and R2 and the max-operation for the resulting fuzzy set in the output. Make a representation of the output fuzzy set. With the help of the defuzzification procedure COG “Center of Gravity”, please calculate the output value. Solution: value ( )175Dμ at linguistic term mean:

( ) ( )( ) ( )1,250y,x

0,150y,x

22

11==

calculation of the cross point with

100150x

150250150x1y

15025001

150x0y −

=−

−⋅=⇒

−−

=−−

23

100x

100150

100xy −=−=

23

100xy −=

( ) 25.041

46

47

23

100175x:175xD mean,D ==−=−=μ==

value ( )175Dμ at linguistic term low:

( ) ( )( ) ( )0,250y,x

1,150y,x

22

11==

7

4

3

2

12

12

1

1xxyy

xxyy

−−

=−−


92

100150

100x

100150x

150250150x11y

15025010

150x1y

+−=−

−=−

−⋅−=−⇒

−−

=−

−

123

100xy ++−=

( ) 75.043

44

46

471

23

100175x:175xD low,D ==++−=++−=μ==

min-operation for the aggregation of the rule 1 and rule 2:

( )( ( ) ) ( ) 25.00.1,25.0x,xmin high_very,Vmean,D1K ==μμ=μ

( )( ( ) ) ( ) 75.00.1,75.0x,xmin high_very,Vlow,D2K ==μμ=μ representation of max-operation for the resulting fuzzy sets in the output

( )2K1KK ,max μμ=μ

3

2

4

7

K (%) 0 50 100


Kμ

0.25

Kμ

0.75

0 50 100


K (%)


93

calculation of the functions 4321 fandf,f,f range: { 55K50

x≤≤

= ( ) ( )

( ) ( )25.0,55y,x0.0,50y,x

22

11==

( ) 5.2x05.050x525.0y

50550.025.0

50x0y

−=−=⇒−−

=−−

( ) 5.2x05.0xf1 −= range: { 75K55

x≤≤

= ( ) 25.0xf2 =

range: { 85K75

x≤≤

= ( ) ( )

( ) ( )75.0,85y,x0.0,70y,x

22

11==

( ) 5.3x05.070x1575.0y

70850.075.0

70x0.0y

−=−=⇒−−

=−−

( ) 5.3x05.0xf3 −= range: { 100K85

x≤≤

= ( ) 75.0xf4 =

Integral domain ( ){ 5.2x05.025.05.2x05.0xf

25.01 −=⇒−=

=

55x275x5250x525

==⇒−=

0 50 100


Kμ

K (%)

0.75

0.25

COG: 82.4 %


94

( ){

5.3x05.025.05.3x05.0xf25.0

3 −=⇒−==

( ){

5.3x05.075.05.3x05.0xf75.0

3 −=⇒−==

Defuzzification by the method COG (Center of Gravity):

AM

A

Mx i

i

COG ==∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

100

85

85

75

275

55

55

50

2

85

75

100

85

55

50

75

55

x

x4

x

x3

x

x2

x

x1

x75.0x5.32

x05.0x25.0x5.22

x05.0

dx75.0dx5.3x05.0dx25.0dx5.2x05.0

dxxfdxxfdxxfdxxfA5

4

4

3

3

2

2

1

⋅+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

+−++−=

+++=

∫ ∫∫ ∫

∫∫∫∫

875.21A =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

100

85

285

75

2375

55

255

50

23

100

85

85

75

275

55

55

50

2

x

x4

x

x3

x

x2

x

x1

2x75.0

2x5.3

3x05.0

2x25.0

2x5.2

3x05.0M

dxx75.0dxx5.3x05.0dxx25.0dxx5.2x05.0

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxM5

4

4

3

3

2

2

1

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−=

+−++−=

⋅+⋅+⋅+⋅=

∫∫∫∫

∫∫∫∫

125.1803M =

%4286.82875.21125.1803xCOG ==

brake effort of the car: %4.82K =

75x375x5350x525

==⇒−=

85x425x5350x575

==⇒−=


95

Aufgabe: Brennkammerregelung Der Experte formuliert:" Wenn die Temperatur in der Brenn-kammer sehr hoch ist und der Vorkammerdruck zumindest über dem Normalwert liegt, dann sollte die Methanzufuhr ge-drosselt werden." Um das Beispiel darstellen zu können, müssen zuerst die lin-guistischen Variablen und Terme definiert werden. a) Vorkammerdruck (linguistische Terme: unter_normal, normal, über_normal) b) Temperatur in der Brennkammer (linguistische Terme: nied-

rig, mittel, hoch, sehr_hoch)

unter_normal normal über_normal

Druck p in bar

37 38

( )xpμ

1

39 40 41 42 43 44

Temperatur T in Co

40.5

niedrig mittel hoch sehr_hoch ( )xTμ

1

300 400 500 600 700 800 900 1000

910 oC


96

c) Stellung Methanventil

Konkretisierung der Aufgabe: Am Beispiel von zwei Regeln soll dargestellt werden, wie ein einfaches Fuzzy-System arbeitet. Zu ermitteln ist die Stellung des Methanventils bei einer Temperatur von C910T o= und einem Vorkammerdruck von 40,5 bar. Regelbasis: Regel 1 : WENN T = sehr_hoch ODER p = über_normal

DANN Membranventil V = gedrosselt. Regel 2 : WENN T = hoch ODER p = normal

DANN Membranventil V = halb_offen. Es ist die max-Operation für Regel 1 und die min-Operation für Regel 2 zu verwenden. Für den Erfüllungsgrad gilt:

Temperatur o910T =

Vorkammerdruck p = 40,5 bar

niedrig 0.0 unter_normal 0.0

mittel 0.0 normal 0.5

hoch 0.28 über_normal 0.5

sehr_hoch 0.72

Stellung Methanventil Durchlass in

h

m3

gedrosselt

2 4 6 8 10 12 14

1 halb_offen mittel offen

( )xVμ


97

Lösung: Auswertung der Regeln:

( ) ( ) ( ) 72.05.0,72.0max,maxx normal_überphoch_sehrT1V ==μμ=μ

( ) ( ) ( ) 28.05.0,28.0min,minx normalphochT2V ==μμ=μ

Festlegung der Ausgangsfuzzy-Menge mittels der max-Operation:

( ) ( ) ( )( )x,xmaxx 2V1VV μμ=μ Defuzzifizierung der Ausgangsfuzzy-Menge (rot eingezeich-net)

Parameter 8x;8.6x;8.2x;2.1x;0x 54321 =====

( )

( )

( )

( ) 2x41xfbxmy

267.0xf267.0y

1x41xfbxmy

733.0xf733.0y

4224

33

2112

11

+−=⇒+⋅=

=⇒=

+−=⇒+⋅=

=⇒=

2b;

41m

1b;41m

22

11

=−=

=−=

1x 2x 3x 4x 5x

2 4 6 8 10

1 0,72 0,5 0,28

( )xVμ

hm3

1y

2y

3y

4y


98

Da es sich um eine "homogene" Fläche handelt:

( ) ( ) ( ) ( ) FE06,3dxxfdxxfdxxfdxxfA5

4

4

3

3

2

2

1

x

x4

x

x3

x

x2

x

x1 =+++= ∫∫∫∫

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ====5

44

4

33

3

22

2

11

x

x4y

x

x3y

x

x2y

x

x1y dxxxfM;dxxxfM;dxxxfM;dxxxfM

( ) ∑∫=

==⋅⇔=⋅4

1iy

b

asys i

MxdxxfAxMAx

85,2A

Mx

4

1iy

COG

i

==∑=

Folge: Die Defuzzifizierung liefert ein Stellwert von 2,85 hm3

.

Aus der Menge der möglichen Stellwerte wird mit Hilfe einer Defuzzifizierungs-Regel ein Stellwert ermittelt.

⇔


99

4.2.2 Methode von Sugeno Die Methode von Sugeno unterscheidet sich ganz wesentlich von dem Konzept von Mamdani • in Art der Regelbasis, • in der Methode einen nicht fuzzy-wertigen Zustand des Sys-

tems zu bekommen. Eine besondere Defuzzifizierungsstra-tegie wird nicht benötigt.

Der Sugeno-Controller ist ein einfaches Fuzzy-System. Zur Inferenz wird die Min/Max-Methode und zur Defuzzifizierung die Schwerpunktmethode angewandt. Der Controller besitzt die Eingaben n21 ,,, ξξξ L . Seine Über-tragungsfunktion wird durch Regeln festgelegt. Für jede Regel

iR werden beliebige Fuzzy Sets und fi benötigt. Fig. zeigt die allgemeine Struktur des Contollers Der Controller berechnet für jede Regel iR einen Erfüllungs-grad iα . Die Ausgabe des Controllers ergibt dann daraus bei N Regeln die Ausgangsgröße y.

Defuzzi-fication

Rulebase

Fuzzi- fication y

ninA

1i1A

M 1ξ

nξ

iα if

M

Fig.4.3: Allgemeine Struktur des Sugeno-Controllers Bezeichnungen:

nj1 ,,,, ξξξ LL : Eingangsvariable. Ausgangswert ist

( )

∑

∑

∈

∈α

ξξ⋅α

=

Nii

Nin1i1 ,,f

yL

. (1)

:0i ≠α Erfüllungsgrad (degree of fulfilment) mit dem eine

aktive Regel an der Summenbildung beteiligt ist.


100

jξ : Jede Eingangsvariable ist partitioniert durch Fuzzy-

Mengen ( ) ( )2j

1j A,A , etc. von Zugehörigkeitsfunktio-

nen ( ) ( )2j

1j ,μμ , etc.

n1 iiR L : Entscheidungsregeln. Der Ausgangswert wird be-stimmt durch Regeln der Form

n1 iiR L : ( ) ( ),AistAND,,ANDAistIF n1 inn

i1i ξξ L

( )n1ii ,,fyTHENn1

ξξ= LL . Der Index kennzeichnet die Fuzzy-Menge und somit die aktive Regel, die Indexmenge ist N. Einschränkungen: Jeder Input Set ist partitioniert durch Fuzzy Sets. Diese besit-zen Einschränkungen, z. B. in der Form bereichsweise linearer Zugehörigkeitsfunktionen. Für eine verständliche mathemati-sche Analyse ist es zweckmäßig, dass die Fuzzy Sets und die zugehörigen Zugehörigkeitsfunktionen bestimmten Bedingun-gen genügen. (1) Festlegung: Dann folgt aus Gl. (1), dass der Controller-Output y eine konvexe Kombination seiner Konklusionen if ist. Es gilt:

iNi

iNi

fmaxyfmin∈∈

≤≤ .

D.h. der Output ist beschränkt, der Wert liegt zwischen dem kleinsten und dem größten Wert einer Konklusion. (2) Von allen Fuzzy Sets ( ) ( ) ( ) LL ,A,,A,A k

j2j

1j ist nur die

Fuzzy-Menge ( )kjA aktiv, mit dem zugehörigen charakteristi-

schen Punkt ( )kjx . Durch diese Betrachtung ist es möglich jede

Regel als einen Knoten für die Interpolation bezüglich des Ausgangs zu betrachten. Für einen Input ( ) ( ) ( )( )n1 i

ni

1i x,,xx L=

ist nur ein Fuzzy-Set aktiv, nämlich derjenige Fuzzy Set zuge-hörig zur Regel iR . Somit: iR ist aktiv und der Ausgangswert ist ( )( )i

i xfy = . Interpretation: Für alle Indices i für die eine

Regel iR existiert interpoliert das Fuzzy-System zwischen den Knoten ( ) ( )( )( )i

ii xf,x .


101

(3) Festsetzung: Zwei charakteristische Punkte ( )ajx und ( )b

jx

werden als benachbarte Punkte bezeichnet, falls ( ) ( )bj

aj xx ≠

und im Intervall [ ( ) ( ) ]bj

aj x,x kein weiterer charakteristischer

Punkt liegt. Dann sollen nur die zu den charakteristischen Punkte gehörenden Fuzzy Sets aktiv sein. Diese Festlegungen ermöglichen jeden Input Set in Intervalle einzuteilen und den Ausgangswert für jedes einzelne Intervall zu testen. Für jedes Intervall wird die Berechnung überschau-bar, weil nur zwei Fuzzy Sets für die Berechnung benutzt wer-den. 4.2.3 Analytische Betrachtungen für den Su-

geno-Con-troller a) Der eindimensionale Sugeno-Controller Für das Design eines Sugeno-Controllers ist es notwendig den elementaren Mechanismus von Input und Output zu verstehen, d.h. die Transferfunktion des Fuzzy-Systems. Insbesondere soll bei der Analyse der Einfluss der Zugehörigkeitsfunktionen (komplementär oder nicht komplementär) auf das Übertra-gungsverhalten näher untersucht werden. Für den eindimensionalen Sugeno-Controller (besitzt nur einen Eingang) folgt für die Entscheidungsregel:

( ) ( )1ii

11i

111 fyTHENAistIF:R ξ=ξ .

Vereinfachung: Da nur eine Eingangsvariable vorliegt können wir die Indizierung vereinfachen, wir schreiben

( ) ( )ξ=ξ ii

1i fyTHENAistIF:R .

Bei Fuzzy-Systemen mit nur einer Eingabe x werden oft Fuz-zy-Mengen wie in Fig.4.4 verwendet. Solche Fuzzy-Mengen genügen Bedingungen die vorstehend formuliert wurden.

1x 2x 3x 4x 5x

1

μ

x


102

Fig.4.4: Typische Wahl von Fuzzy Sets (siehe auch Kap.2). Bedingung (1): Für jede Regel iR gibt es eine Eingabe ξ , für die nur eine Regel erfüllt ist. Für diese Eingabe ξ wird die Ausgabe ( )ξ= ify berechnet. Dadurch ist die Ausgabe des Fuzzy-Systems an N Stützstellen N1 x,,x L festgelegt. Man kann daher sagen: Das Fuzzy-System interpoliert die Stützstel-len N1 x,,x L .

Bedingung (2): Zu den charakterischen Punkten 21 xundx (zwei aufeinanderfolgenden Stützstellen) gehören die aktiven Fuzzy-Mengen ( )1A und ( )2A , weil nur die Regeln 1R und

2R aktiv sind. Für die Eingabe [ ]21 x,x∈ξ berechnet sich die Ausgabe y zu

21

12221211

21

2211 ffffffyα+α

α−α+α+α=

α+αα+α

=

)ff(gf 121 −⋅+=

mit von x abhängigen 2121 und,f,f αα sowie 21

2:gα+α

α= .

Der Offset 1f und der Faktor 12 ff − , der die Steigung zwi-schen den Stützstellen x1 und x2 bestimmt, hängen nur von

21 fundf , also dem Konklusionsteil der Regeln, ab.

Die Funktion 21

2gα+α

α= oder

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=α

≠ααα+

=,0für0

,0für/1

1

g

2

221

gibt den Verlauf der Interpolationskurve zwischen 21 xundx an und soll daher als Kurvenverlauf bezeichnet werden. Der Kurvenverlauf hängt nur von den Erfüllungsgraden 21 und αα ab. Im eindimensionalen Fall ist

,2,1imit),x()x(iAi =μ=α d.h. vereinfacht dargestellt

2211 und μ=αμ=α , folglich hängt der Kurvenverlauf nur vom Verhältnis der Zu-gehörigkeitsfunktionen ab.


103

Diskussion spezieller Zugehörigkeitsfunktionen: Komple-mentär vs. nicht komplementär Allgemein ergeben sich im Zusammenhang mit den Zugehö-rigkeitsfunktionen zwei Bedingungen: (1) Zur Erfüllung der Eigenschaft (1) des letzten Abschnitts muss 0)x()x( 1221 =μ=μ sein. Dies ist eine hinreichende Bedingung für eine exakte Interpolation der Stützstellen. (2) Zum anderen sind Zugehörigkeitsfunktionen positiv, so dass die Ausgabe y eine Konvexkombination der Konklusionen

if ist. Daher gilt (siehe oben Bedingung (1)):

)f,fmax(y)f,fmin( 2121 ≤≤

Für die Untersuchung der am häufigsten angewandten Zugehö-rigkeitsfunktion ergeben sich wichtige Schlussfolgerungen aus Fall 1 und 2. Fall 1: Komplementäre Zugehörigkeitsfunktionen

21 und μμ sind komplementär, es ist also 121 =μ+μ . Dieser Fall liegt bei vielen Dreiecks-, Trapez- und Sinusfunktionen vor und wird in Fig.4.3 dargestellt. Es gilt:

22121 g1 μ=⇒=μ+μ⇒μ=μ .

1x 2x

1μ 2μ

x

μ

1

a)

1x 2x

1f

x

y

2f

1x 2x

1μ 2μ

x

μ

1

1x 2x

1f

x

y

2f

b)


104

Fig. 4.5: Ausgabe des Sugeno-Controllers für 121 =μ+μ für a) lineare und b) sinusförmige Zugehörigkeitsfunktionen. Der Verlauf der Interpolationsfunktion ist mit der Zugehörig-keitsfunktion 2μ identisch. Das bedeutet, dass die Interpolati-on stets nur so gut sein kann wie die Zugehörigkeitsfunktion: Lineare Zugehörigkeitsfunktionen bedingen eine lineare Interpolation, sinusförmige Zugehörigkeitsfunktionen eine sinusförmige Interpolation usw. Fall 2: Nicht komplementäre Zugehörigkeitsfunktionen Sind 21 und μμ nicht komplementär ( )121 ≠μ+μ , so lassen sich mit einfachen Zugehörigkeitsfunktionen komplexe Kur-venverläufe erreichen. Beh. 1: Werden wie in Fig. 4.6 dargestellt für die Zugehörig-keitsfunktionen 21 und μμ beispielsweise lineare Funktionen verwendet, so lassen sich diese wegen der Bedingung )x( 21μ

0)x( 12 =μ= schreiben als

,th,)t1(h

22

11=μ

−=μ

mit .RIh,h 21+∈ Zur Abkürzung wird

12

1xx

xx)x(t−

−= .

Beh. 2: Mit 12

11 hh

hm−

= und 12

22 hh

hm−

= folgt:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠+

−=+

=

+−= ,hhfür

m/t1mm

mttm

,hhfürt

ht)hh(thg

121

22

1

212

112

2

d.h. für 12 hh ≠ ist der Kurvenverlauf g ein Abschnitt der Hy-perbel

.h/hm/11zund1zzwischenz/m 121xxxx2 21=+==− ==

1x 2x

2h

x

μ

1h 1μ

2μ

1x 2x

1f

x

y

2f


105

Fig. 4.6: Ausgabe des Sugeno-Controllers für nicht komple-mentäre lineare Zugehörigkeitsfunktionen, d.h. 121 ≠μ+μ . Bew.1: Mit der Transformation ( )xt transformieren wir das Intervall [ ]21 x,x in das Intervall [ ]1,0 :

( ) ( ) 1xx

xxxtund0xx

xxxt2211 x12

1

xx12

1

x=

−−

==−

−= .

Es folgt:

( ) 111 ht1h =−⋅=μ an der Stelle 1x

( ) 211 xbei0t1h =−⋅=μ

122 xbei0th =⋅=μ

2222 xbeihth =⋅=μ

Bew.2: Mit 1212

22

12

11 hh,

hhh:mund

hhh:m ≠

−=

−=

folgt für

( ) ththhth

tht1hthg

211

2

21

2

21

2

21

2⋅+⋅−

⋅=

+−⋅

=μ+μ

μ=

α+αα

=

( ) 112

2hthh

thg+⋅−

⋅=

( ) ththh

thg1212 hh112

2

hh=

+⋅−⋅

===

( ) 112

2

hh hthhthg

12+⋅−

⋅=

≠, folgt den Def. für 1m und 2m

( )( ) ( )

t1thhmthh

thhm

12112

122

−+−

⋅−⋅=

( )1m

t21

11m+

−=

1xbei0=

2xbei1=

1xbei0=

2xbei1=


106

Also: 12

1

mt

22 xx

xxtmit1

mmg

1−

−=

+−=

ergibt sich die vorstehende Behauptung.

Beispiel: Für die Gaußfunktion 2xe)x( −=ϕ als Zugehörig-

keitsfunktion ergibt sich

)xxexp(mite11g)xx()x( 2

122cxii −=α

α+=⇒−ϕ=α

−

und )xx(2c 12 −= .

Die Funktion ϕ ist aber nirgends 0, so dass stets alle Regeln erfüllt sind. Im allgemeinen wird daher keine exakte Interpola-tion erreicht. Uchino et al. (/Uc/) haben für den Konklusionsteil der Regeln von der Eingabe x abhängige Singletons vorgeschlagen. In dieser Arbeit wurden von x linear abhängige Konklusionen gewählt und Zugehörigkeitsfunktionen mit konstanter Summe verwendet. Dadurch ergeben sich Polynome 2. Ordnung als Interpolationsfunktionen. Allgemein ergibt sich aus der Wahl von Funktionen n-ter Ord-nung als Konklusion eine Interpolationsfunktion 1n + -ter Ord-nung. Daher können konventionelle Interpolationsverfahren, die lokal mit Polynomen interpolieren, auch mit Fuzzy-Systemen dargestellt werden (/Ma/). An dieser Stelle wird verständlich, warum Fuzzy-Methoden geeignet sind quadratische, allgemeiner formuliert nichtlineare Regelkennlinien zu approximieren. Design-Regel für den eindimensionalen Sugeno-Controller: Unter Berücksichtigung der Einschränkungen und der gewähl-ten Fuzzy Sets ( )1A , ( ) ,,A 2 L der Singletons if in der Konk-lusion lassen sich bezüglich der Übertragungsfunktion Design-Regeln wie folgt extrahieren:

• Zu jeder Regel iR existiert ein Interpolationsknoten ( ) ( )( )( )i

ii xf,x .

• Der Ausgangswert des Fuzzy-Controllers ist beschränkt aufgrund der Interpolationsknoten.

• Die Form der Übertragungsfunktion zwischen den Interpola-tionsknoten ist festgelegt durch die Art der Zugehörigkeits-funktionen.

• Die Art der Konklusion liefert Hinweise für die Verschie-bung und Streckung der Übertragungsfunktion.


107

• Der Verlauf der Interpolationskurve hängt nur von dem Quotienten der Erfüllungsgraden 21 und αα ab (siehe Funktion g in eindimensionalen Fall).

b) Der zweidimensionale Sugeno-Controller

21 x,x : Eingangsvariable 21iiR : Regeln für den zweidimensionalen Controller 21iiR : IF ( ) ( )21 i

22i

11 AistxANDAistx ( )21ii x,xfyTHEN

21=

μ

( )12A ( )2

2A

2x

( )11A

( )21A

1x

( )21x

( )11x ( )1

2x ( )22x

Fig. 4.7: Zweidimensionaler Sugeno-Controller definiert im Bereich [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]2

212

21

11 x,xx,x × .

Im Bereich der Eingangsvariable 1x sind die Fuzzy Sets

( ) ( )21

11 AundA aktiv, entsprechend bezüglich 2x sind nur die

Fuzzy Sets ( ) ( )22

12 AundA aktiv. Für eine Eingangsgröße

( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]22

12

21

1121 x,xx,xx,xx ×∈= wurden die Fuzzy Sets

( ) ( ) ( )12

21

11 A,A,A und ( )2

2A gewählt mit den möglichen aktiven

Regeln 22211211 RundR,R,R . Die Indexmenge ist geben durch { }22,21,12,11i ∈ . Für den Ausgangswert des zweidimensionalen Sugeno-Controllers erhalten wir

22211211

2222212112121111 ffffyα+α+α+α

α+α+α+α= .


108

In der vorher dargestellten eingeschränkten Struktur kann der zweidimensionale Sugeno-Controller einer mathematischen Analyse unterzogen werden. Mit Hilfe des Min- und Produkt-Operators können wir die Übertragungsfunktion und ihre Wer-te für ( )21 x,xx = darstellen und Design- Regeln für den Su-geno-Controller aufstellen (weitere Einzelheiten siehe Grauel/Mackenberg: Fuzzy Sets and Systems 85(1997), pp. 165-175). Als Ergebnis erhalten wir glatte Übertragungsfunk-tionen im 3IR . 4.2.4 Sliding Mode Fuzzy Control (FC) Sliding Mode FC ist eine Methode, "harte" Schaltzustände ei-nes Reglers mit gleitendem Übergang zu versehen. Solche Übergänge lassen sich mit Hilfe des Fuzzy-Konzepts erreichen, indem unscharfe und sich überlappende Gebiete für die einzel-nen linguistischen Terme der Stellgröße eingeführt werden (/Pl-5/). Es sei zunächst ein Zweipunktregler betrachtet, der je nach dem Vorzeichen der Regelabweichung e die Stellgrößenwerte ± umax annehmen kann. Wird neben der Regelabweichung auch die zeitliche Ableitung e& berücksichtigt, so ergibt sich die folgende Form für eine Regelstrategie

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+>λλ+=

<−=

0su.0,eesmitfür

0suu

max

max&

Die Dynamik des Reglers lässt sich in der transformierten )e,e( & -Ebene, der Phasenebene, darstellen. Hierbei erkennt

man, dass die Gerade 0s = , die Ebene in zwei Bereiche auf-teilt. Die Umschaltbedingung liegt in Form einer Schaltgeraden vor (Fig.4.8). Technisch lässt sich die Schaltgerade durch einen Zweipunkt-regler mit einem PD-Regler (Verstärkung = 1, Vorbehaltezeit = λ) realisieren (Fig. 4.9).

maxuu +=

maxuu −=

0s =

e&

e

Phasenebene


109

Fig. 4.8: Zweipunktregler mit Schaltgeraden 0ee =λ+ & . Die Steigung der Schaltgeraden ist durch den Parameter λ festge-legt. Für 0s > (oberhalb der Geraden) liefert der Regler

maxuu = und für 0s ≤ den Wert maxu− .

eeu &λ+=∗ maxu+

maxu−

PD-Regler

modifizierter Zweipunktregler

e ∗u u

Fig. 4.9: Realisierung einer Schaltgeraden (/Kah/) mit Hilfe eines modifizierten Zweipunktreglers. Es sei zunächst das Verhalten der Regelstrecke bei sprungför-miger Veränderung der Führungsgröße untersucht. Dazu sei der modifizierte Zweipunktregler mit einer Regelstrecke 2. Ordnung (linear) verschaltet (Fig. 4.10).

mod. Zweipunktregler System 2. Ordnung (linear)

r + e y u

_

Fig. 4.10: Geregeltes lineares System 2. Ordnung mit einem modifizierten Zweipunktregler. Es sei angenommen, dass die Trajektorien der Regelstrecke die in Fig. 4.11 dargestellten Verlauf haben. Der Anfangszustand in der Phasenebene sei 0P (nach Zuschaltung einer sprungför-migen Veränderung der Führungsgröße), siehe Fig. 4.12.


110

e

e&

s < 0

s > 0

Fig. 4.11: Phasenporträt der Regelstrecke (/P6/).

maxuu −= maxuu +=

Schaltgerade

1P

2P

e&

e 3P

0P


111

Fig. 4.12: Phasenbahnwechsel aufgrund des Schaltverhaltens des Reglers.

maxuu +=

maxuu −=

e&

A 1T

A′

2T e

Fig. 4.13: Phasenbahn des Systems im Phasendiagramm: Sli-ding Mode. Das System bewegt sich auf der zugehörigen Phasenbahn für

maxuu += , bis zum Punkt 1P auf der Schaltgeraden. Der Reg-ler schaltet auf die Stellgröße maxuu −= (Zweipunktregler), damit bewegt sich das System auf der entsprechenden Phasen-bahn bis zur Stelle 2P . Dort schaltet der Regler wiederum und das System gelangt nach 3P usw. Dieser Vorgang wiederholt sich so oft bis in die Nähe des Ursprungsbereichs. Tangiert in diesem Bereich die Schaltgerade mit den Trajektorien für

maxuu −= und maxuu += (siehe Fig. 4.13), so setzt ein stän-diges Umschalten des Reglers in unmittelbarer Nähe der Schaltgeraden ein. Das System gleitet in den Ursprung der Phasenebene, auf dem Wege dorthin befindet es sich im soge-nannten Sliding-Mode. In Fig. 4.13 kennzeichnet der Punkt A auf der Schaltgeraden den Beginn von Sliding-Mode. Aus dieser Betrachtung in der Phasenebene folgt, dass der Regler (Sliding-Mode-Regler) sta-biles Verhalten zeigt - aber die Dynamik ist durch hochfre-quentes Schalten der Stellgröße gekennzeichnet. Dadurch können hohe Belastungen z.B. bei einem Antriebssystem, der Steuereinheit und des Getriebes entstehen. Um das hoch-


112

frequente Schalten zu "dämpfen", kann man in der Nähe der Schaltgeraden eine Grenzschicht einführen (/Dr/). Eine andere Möglichkeit "hartes" hochfrequentes Schalten zu dämpfen, liefert das Fuzzy-Konzept. Die Schaltgerade trennt den IR2 in zwei Halbebenen, mit einer Aufteilung in mehrere, unscharfe Gebiete oberhalb und unterhalb der Schaltgeraden kann ein "weicherer" Verlauf der Stellgröße erreicht werden (Fuzzy-Sliding-Mode-Regler). Es werden Zugehörigkeitsfunktionen für die Eingangsgrößen e und e& wie in Fig. 4.14 gezeigt ge-wählt, für die Ausgangsgröße (Fig. 4.15) werden Singletons gewählt bzw. übliche Defuzzifizierungsmethoden. Eine Regel aus der Regelbasis hat die übliche Form:

.NSuTHENNSeANDPBeIF === & Anwendungsbereiche von Sliding-Mode Fuzzy Control liegen im Bereich der Automatisierungstechnik, speziell der Roboter-steuerung (/P1,2,5,6/).

e,e &

PS PB NB NS 1 Z

μ

Fig. 4.14: Fuzzy-Set für die Eingangsgrößen e und e&


113

crisp output

y

NB NS 1 Z PS PB

μ

Fig. 4.15: Fuzzy-Set für die Ausgangsgröße. Die Defuzzifizie-rung kann mit den üblichen Methoden vorgenommen werden.

PBPSZNSNB

NBNSZPSPB

ZPSPSPBPBNSZPSPSPBNSNSZPSPSNBNSNSZPSNBNBNSNSZ

Fig. 4.16: Matrixform für die Regelbasis (in der normierten Phasenebene) zwischen den Eingangsgrößen e, e& und der Aus-gangsgröße u.

0ees =λ+= &

e&

e

0s <

0s >

5. Anmerkungen zu Neuro-Fuzzy-Systeme

114

5. Anmerkungen zu Neuro-Fuzzy-Systeme a) Eine Taxonomie für Neuro-Fuzzy-Systeme Bedeutung: "Neuro" meint: Automatische Adaption von Systemparame-

tern auf der Grundlage von Beispieldaten. Konsequente heuristische Suche nach einem

(lokalen) Minimum über dem Parameter-raum.

"Fuzzy" meint: Wissensbasiertheit und Ausnutzung von Un-schärfe.

Nutzung von vorhandenem Wissen. Interpretierbarkeit des Systems. Ein Neuro-Fuzzy-Sysem kann wie ein Neuronales Netz inter-pretiert werden. Es handelt sich weder um Fuzzy-Logik im engeren Sinne noch um Fuzzy-Expertensysteme, sondern um Systeme zur Funktionsapproximation bzw. Interpolation! b) Merkmale von Neuro-Fuzzy-Systemen • Lernalgorithmus zur Erzeugung linguistischer Regeln • Lernalgorithmus für Mitgliedschaftsfunktionen • Möglichkeit vorhandenes Wissen bei der Initialisierung

eines Systems zu benutzen • Struktur ist interpretierbar • Parallele Architektur: neuronale Hardware kann benutzt

werden

5. Anmerkungen zu Neuro-Fuzzy-Systeme

115

c) Neuronale Netze vs. Fuzzy Systeme

Neuronales Netz Fuzzy-System + Vorteile • Kein mathematisches Mo- dell notwendig • lernfähig • kein Regelwissen notwendig

+ Vorteile • kein mathematisches Mo-

dell notwendig • Regelwissen nutzbar • gut interpretierbar • semantisch und formal

abgesichert - Nachteile • Black Box • kein Wissen extrahierbar • kein Vorwissen nutzbar

(lerning from scratch) • Test auf Korrektheit schwer • Anpassung an veränderte

Umgebung erfordert meist neuen Trainingsvorgang

- Nachteile • nicht lernfähig • Regelwissen muss existie-

ren • keine formale Tuningme-

thode • "verbessertes" System hat

oft semantische Probleme • Anpassung an veränderte

Umgebung erfordert Tu-ning

d) Computational Intelligence (CI) vs. Artificial Intelligence Eigenschaften: Intelligente Systeme

• lernend bzw. selbstlernend/

lernend (aus Erfahrung) • optimierend • Verarbeitung: vages Wissen • regel-basiert: qualitative

Kenntnisse von Experten können berücksichtigt wer-den

• Mehrwertige Logik

Expertensysteme • nicht anpassungsfähig

auch nicht lernfähig

• nicht optimierend

• Verarbeitung vager Ent-scheidungen

• Prädikaten-Logik

6. Schlussbemerkung

116

6. Schlussbemerkung

6.1 Softwareprodukte Schon seit geraumer Zeit werden auf dem Markt brauchbare Software-Tools von verschiedenen Firmen angeboten für Lehr- und Forschungszwecke. Software-Tools: a) MATLAB Brauchbares, weit verbreitetes und nützliches Tool mit spe-

ziellen Toolboxen. Leider sehr teuer! b) WinFACT, Ing.-Büro Dr. Kahlert.

Sehr stabiles, preiswertes und einfach anzuwendendes Tool.

c) Tool's von TRANSFERTECH Tool's für Neuro- und Fuzzy-Technologie. d) Software-Tool SieFuzzy e) ELITE Foundation, Pascalstraße 69, 52076 Aachen. ELITE hat sehr brauchbare Tool's im Sortiment.

6.2 Hardware a) Fuzzy MicroController, etc. American Neuralogix, Inc.

6.3 Zeitschriften a) AT, Automatisierungstechnik, Oldenburg-Verlag b) ATP, Automatisierungstechnische Praxis, Oldenburg Verlag c) Fuzzy Sets and Systems, Elsevier. d) International Journal of Approximate Reasoning, Elsevier. e) International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowl-

edge-Based Systems, World Scientific Publishing Company.

6. Schlussbemerkung

117

f) MATHWARE & SOFT COMPUTING, U Politecnica de

Catalunya, Barcelona, Spain.

Literaturverzeichnis

118

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