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Peter Schramm, Aktuar DAV www.pkv-gutachter.de Crashkurs Versicherungsmathematik versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung Überschussbeteiligungen – Mit Rechenbeispielen zu Zinsüberschüssen Beitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell Beitragsanpassungen in der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell zur Veränderung der Rechnungsgrundlagen Beitragsentwicklung und Maßnahmen zur Limitierung Grenzen der Kalkulationsverfahrens der Krankenversicherung

Crashkurs Versicherungsmathematik versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge

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Crashkurs Versicherungsmathematik versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge. Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung - PowerPoint PPT Presentation

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Crashkurs Versicherungsmathematikversicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge

• Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung

• Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung

• Überschussbeteiligungen – Mit Rechenbeispielen zu Zinsüberschüssen

• Beitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell

• Beitragsanpassungen in der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell zur Veränderung der Rechnungsgrundlagen

• Beitragsentwicklung und Maßnahmen zur Limitierung

• Grenzen der Kalkulationsverfahrens der Krankenversicherung

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens-

und Rentenversicherung

• Finanzmathematische Grundlagen• Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus• Sterbetafeln und Ausscheideordnungen• Prämienkalkulation• Deckungsrückstellung• Anwartschafts- und Kapitaldeckungsverfahren

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

P = Barwert oder Anfangswert eines Kapitals

S = Endwert eines Kapitals

i = effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird

r = 1 + i Aufzinsungsfaktor

v = 1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor

Beispiel: Zins i = 5 % (= 0,05, da 1 % = 1/100), Anfangskapital P = 1000

Aufzinsungsfaktor r = 1 + i = 105 % (= 1,05)

Endkapital nach einem Jahr S = (1 + i) * P = 1,05 * 1000 = 1050

Endkapital nach 2 Jahren: S = (1+i) * (1+i)*P = 1,052 * 1000 =

1,1025 * 1000 = 1102,50

Endkapital nach n Jahren: Sn = (1+i)n P = 1,05n * P; sprich: (1,05 hoch n)

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Zins und Zinseszins

0

50

100

150

200

250

300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jahr

Be

tra

g Zins

Betrag amJahresanfang

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Verzinsung eines Anfangskapitals

01234

56789

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

Jahre

Ka

pit

al 6,00%

4,00%

3,50%

2,75%

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen,

im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung?

a) 1.943 € b) 3.406 € c) 11.233 €

Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492

zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat?

a) 1.214 Cent b) 2.530.976 Cent c) 124.248.113 Cent

Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen?

a) 10 % b) 4,73 % c) 2,91 %

Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist

der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relation heute

7 % beträgt?

a) 13,4 % b) 22,2 % c) 79,3 %

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Lösungen:

Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen, im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung? b) 1,03 50 = 4,384; 4,384 * 777 Cent = 3.406 €

Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492 zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat? b) 1,02 512 = 25.309,76;25309,76 * 100 Cent = 2.530.976 Cent

Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen?b) 4,73 %, denn 1,0473 30 = 4,00

Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relationheute 7 % beträgt? b) 1,03 60 = 5,892; 1,05 60 =

18,679;(18,679 * 7 %) / (5,892 * 100 %) = 130,753 / 589,2 = 22,2 %

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

P = Barwert oder Anfangswert eines Kapitals

S = Endwert eines Kapitals

i = effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird

v = 1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor

Beispiel: Zins i = 3,5 % Endkapital S = 1000

Diskontierungsfaktor v = 1/(1 + i) = 1/1,035 = 0,966184

Barwert P des Endkapitals S in einem Jahr:

P = v * S = 1000/1,035 = 966,18

Barwert P des Endkapital S in 2 Jahren: P = v * v * S = (1/1,035)2 * 1000 = 1/(1,035 2) * 1000 = 1/1,071225 * 1000 = 933,51 (0,966184*0,966184 = 0,933511)

Barwert des Endkapital S in n Jahren: P0 = vn Sn = 1/(1,035n) * Sn

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Abzinsung eines Endkapitals

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

Jahre

Ka

pit

al 6,00%

4,00%

3,50%

2,75%

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Was ist mehr wert: 400 Euro sofort, 1000 Euro in 10 Jahren oder 2000 Euro in 20 Jahren?

Bei einem Zins von 5 %?Bei einem Zins von 8 %?Bei einem Zins von 10 %?

Lösung: Diskontierung auf den Barwert zum gleichen Zeitpunkt. Z.B. heute:

1/1,05 10 * 1000 = 0,614 * 1000 = 614 1/1,05 20 * 2000 = 0,377 * 2000 = 754

1/1,08 10 * 1000 = 0,463 * 1000 = 463

1/1,08 20 * 2000 = 0,215 * 2000 = 430

1/1,10 10 * 1000 = 0,386 * 1000 = 386

1/1,10 20 * 2000 = 0,146 * 2000 = 292

1/1,10 0 * 400 = 1,000 * 400 = 400

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Periodische ZahlungenRenten, hier: jährlich vorschüssige oder jährlich nachschüssige Renten, jährlich gleich hohe Zahlungen (Jahresrenten), ZeitrenteBei unbegrenzter Dauer: „ewige Rente“

Zeitrente (über 10 Jahre)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jahr

Re

nte

Rente

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Periodische Zahlungen

Aufgeschobene Zeitrente

aufgeschobene Zeitrente (über 10 Jahre, 5 Jahre aufgeschoben)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Jahr

Re

nte

Rente

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Periodische Zahlungen

Aufgeschobene steigende Zeitrente, mit 10 % dynamisiert

aufgeschobene steigende Zeitrente (über 10 Jahre, 5 Jahre aufgeschoben), jährlich 10 % steigend

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Jahr

Re

nte

Rente

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Beispiel: Was ist mehr wert: 7500 Euro sofort,

1000 Euro sofort beginnende jährlich nachschüssige Rente für 10 Jahre oder

2000 Euro 10 Jahre aufgeschobene jährlich nachschüssige Rente für 8 Jahre? –

Bei einem Zins von 5 %?

Lösung: Diskontierung auf den Barwert zum heutigen Zeitpunkt:

1000 * (1/1,05 1 + 1/1,05 2 + 1/1,05 3 + .... + 1/1,05 9 + 1/1,05 10) =

1000 * (0,952 + 0,907 + 0,864 + ... + 0,645 + 0,0614 ) = 1000 * 7,722 =

7722

2000 * (1/1,0511 + 1/1,0512 + 1/1,0513 + .... + 1/1,0517 + 1/1,0518) =

2000 * (0,585 + 0,557 + 0,530 + ... + 0,436 + 0,416 ) = 2000 * 3,968 =

7936

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahres

jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722

nachschüssige jährliche Zeitrente von 1000 Euro (über 10 Jahre), mit 5% diskontiert

0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jahr

Ren

te

Rente diskontiert

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahresjährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722

Entspricht dem Barwert einer Einmalzahlung von 12.577 am Ende des 10. Jahres:

Barwert: 1/1,0510 * 12577 = 0,614 * 12577 = 7722

Die beiden Barwerte bleiben auch dann gleich , wenn auf einen anderen (einheitlichen) Zeitpunkt

diskontiert wird. Es ändert sich dadurch nur die absolute Höhe des Barwerts.

Es ist auch gleichgültig, ob es sich um Renten, Prämien, Kapitalanlagen oder sonstige Zahlungen

handelt.

Beispiel: Diskontierung (bzw. Aufzinsung, Zinssatz 5 %) ) einer jährlich nachschüssigen Prämie

von 1000 Euro über 10 Jahre auf das Ende des 10. Jahres: Barwert = 12.577

(vgl. nachfolgende Grafik)

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Aufzinsung einer Zeitrente auf den Barwert zum Ende des 10. Jahres

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Jahr

Ren

te

Zins

Rate

KapitalJahresbeginn

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente der Höhe 1?

a) diskontiert mit Zinssatz 50 %

b) diskontiert mit Zinssatz 5 %

c) diskontiert mit Zinssatz 1 %

nachschüssige jährliche ewige Rente von 1 Euro, mit 50 % diskontiert

0

0,2

0,4

0,6

Jahr

Re

nte

Rente diskontiert

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente der Höhe 1? a) 1,0 b) 20 c) 100 (kein Kapitalverzehr, nur Zins!)

nachschüssige jährliche ewige Rente von 1 Euro, mit 5 % diskontiert

00,20,40,60,8

1

Jahr

Re

nte

Rente diskontiert

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Zins und Kapitalverzehr einer Zeitrente jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Kapitalverzehr Gesamt = 7722, Zins Gesamt = 2278

nachschüssige jährliche Zeitrente (10 Jahre) von 1000 Euro, mit 5 % diskontiert

0200400600800

10001200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jahr

Re

nte Kapitalverzehr

Zins

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Beispiele: Welche Augenzahl ist bei einem Wurf mit einem Würfel wahrscheinlicher? 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? - Die Wahrscheinlichkeit bei einem idealen Würfel ist jeweils 1/6stel.

Welche Gesamtaugenzahl ist bei 1000 (oder 10.000) Würfen am „wahrscheinlichsten“?

Wieviel Würfe werden benötigt, damit die durchschnittliche Augenzahl „fast sicher“ zwischen 3,48 und 3,52 liegt?

Was heißt „fast sicher“?, was bedeutet es, dass der „Erwartungswert“ der durchschnittlichen Augensumme 3,5 ist?

Welche Schlussfolgerung kann daraus gezogen werden, wenn auch nach sehr vielen Versuchen mit einem realen Würfel der Durchschnitt sich bei 3,4 einpendelt?

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Wahrscheinlichkeit für durchschnittliche Augensumme - Gesetz der großen Zahl

00,10,2

0,30,40,50,6

0,70,8

Augensumme (Schrittweite 0,2)

Wah

rsch

ein

lich

keit

r A

ug

en

sum

me

x b

is x

+0,

2

wenig Würfe

viele Würfe

sehr viele Würfe

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Praxis der Versicherungsmathematik: 1. Die Erwartungswerte selbst sind nicht bekannt2. Nutzung des „Gesetzes der großen Zahl“: je größer die Zahl der Versuche (der

Versicherten, des „Kollektivs“, der Beobachtungsjahre etc.), desto näher liegen die Durchschnitte an den eigentlichen Erwartungswerten

3. Die Beobachtungswerte (z. B. Anzahl Gestorbener in einem Jahr je 1000 Versicherte Männer im Alter 70 am Jahresbeginn) dient als Ausgangswert, um daraus eine durchschnittliche Zahl („rohe“ Sterbequote 70jährige Männer) zu ermitteln

4. Erkannte statistische Schwankungen bzw. Extremwerte werden ausgeglichen, nach statistischen Grundsätzen eine gewisse Sicherheit hinzugefügt und damit „rechnungsmäßige“ Berechnungsgrundlagen für die Prämien gewonnen

5. Dann erfolgt ein Übergang zum „Determinismus“: mit den gewonnenen Berechnungsgrundlagen wird so gerechnet, als ob diese genauso eintreten werden, die Zufälligkeit bleibt in den Prämienberechnungen meist unbeachtet.

Beispiel: von 1000 zum Jahresbeginn versicherten 70jährigen Männern werden im nächsten Jahr 18,683 Promille, also 18,683 Personen sterben und am Jahresendenoch 981,318 vorhanden sein, die im nächsten Jahr 71jährig sind ....

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Determinismus (von lateinisch: determinare abgrenzen, bestimmen) ist eine

philosophische Denkrichtung, die davon ausgeht, alle Ereignisse liefen nach vorher

festgelegten Gesetzen ab. Deterministen vertreten die Meinung, dass bei bekannten

Naturgesetzen und bekanntem Anfangszustand der weitere Ablauf aller Ereignisse

prinzipiell vorausberechenbar sei. Es gibt verschiedene Varianten des

Determinismus, die mehr oder minder streng die Vorausberechenbarkeit aller

Ereignisse vertreten. Auffassung, derzufolge ein Geschehen gesetzmäßig bestimmt

abläuft. Die stillschweigende Anwendung des Determinismus ist Voraussetzung

jeder Wissenschaft.

Zufall Man spricht von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht

beabsichtigt auftritt. Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als

zufällig, wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist. Zufälligkeit und

Unberechenbarkeit oder Unvorhersehbarkeit sind jedoch nicht dasselbe.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Gegensatz: Kausalität: ein Ereignis wird von einem vorangegangenen bedingt.

Für die Praxis liegt ein Zufall auch vor, wenn – auch aus subjektiver Sicht – keine ausreichenden Informationen bekannt waren – oder nicht ausgewertet werden konnten – um das Ereignis vorherzusagen.

Beispiel 1: eine nicht erkennbare Infektion vor Reiseantritt führt während der Reise zwangsläufig zu einer – unvorhergesehenen - Krankheit, für die die Reisekranken-versicherung leistet.Beispiel 2: Der Versicherte reicht wie von Beginn an beabsichtigt alle drei Jahre eine Rechnung für eine neue Brille ein – so wie die Versicherungsbedingungen dies zulassen. Für den Versicherten ist dies kein Zufall, jedoch aus Sicht des Versicherers – er kann dies nicht vorhersehen.

Die versicherungsmathematische Prämienberechnung arbeitet mit einer deterministischen Gesetzmäßigkeit – für Kollektive, nicht für Einzelne.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Worin liegt der Unterschied zwischen einem deutschen und einem sizilianischen Versicherungsmathematiker:

Der deutsche Versicherungsmathematiker weiß, wieviele Versicherte jeden Alters im nächsten Jahr sterben werden, aber nicht, welche dies zufällig sind. Der sizilianische Versicherungsmathematiker kennt auch die Namen, die voraussichtlichen Todes- ursachen und –termine.

Problematisch ist, wenn der Versicherte selbst den Eintritt eines Schadenereignisses bei Abschluss der Versicherung vorhersehen kann. Wenn Zeitpunkt des Schaden- eintritts und die Schadenhöhe exakt vorhersehbar sind, ist die Prämie zwar besonders gut berechenbar – determiniert - aber die Versicherung macht kaum mehr Sinn. Die Prämien wären nämlich etwa so hoch wie der Schaden, es liegt also nur ein „Geldwechselgeschäft“ oder ein „Sparvorgang“ vor. Manche Versicherungsprodukte haben jedoch solche Elemente.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Sterbetafeln

x = Alter einer Person in Jahren

lx = Lebende x-Jährige zu Beginn des Jahres

dx = rechnungsmäßig Sterbende eines Jahres zwischen Alter x und x+1

qx = dx / lx Wahrscheinlichkeit eines x-Jährigen, zwischen Alter x und x+1 zu sterben, Sterbewahrscheinlichkeit (in Promille) - Mortalität

Eine Sterbetafel ist eine Tabelle mit einer Sterbewahrscheinlichkeit qx zu jedem Alter x

Beispiel: PKV-Sterbetafel 2004, Männer: Absterbeordnung lx

l70 = 887.859, q70 = 12,711 0/00 = 0,012711, d70 = 11.286

l71 = l70 – d70 = 887.859 – 11.286 = 876.573 oder alternativ:

l71 = (1 – qx) * l70 = 0,987289 * 887.859 = 876.573

1 – qx ist die Überlebenswahrscheinlichkeit

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

PKV-Sterbetafel 2004 Männer x qx x qx x qx x qx

20 0,000410 43 0,000894 66 0,008098 89 0,13261921 0,000425 44 0,000995 67 0,009110 90 0,14902622 0,000426 45 0,001101 68 0,010211 91 0,16726923 0,000415 46 0,001211 69 0,011406 92 0,18740324 0,000398 47 0,001324 70 0,012711 93 0,20553225 0,000380 48 0,001446 71 0,014156 94 0,22257126 0,000364 49 0,001581 72 0,015780 95 0,23487027 0,000352 50 0,001736 73 0,017688 96 0,24325028 0,000347 51 0,001915 74 0,020141 97 0,25129029 0,000348 52 0,002122 75 0,022982 98 0,25896030 0,000355 53 0,002353 76 0,026253 99 0,26621031 0,000365 54 0,002601 77 0,029990 100 0,27302032 0,000378 55 0,002860 78 0,034228 101 0,27934033 0,000393 56 0,003121 79 0,039011 102 0,28514034 0,000411 57 0,003380 80 0,044385 103 0,28514035 0,000432 58 0,003641 81 0,05040836 0,000459 59 0,003917 82 0,05715337 0,000492 60 0,004234 83 0,06470038 0,000532 61 0,004616 84 0,07313939 0,000583 62 0,005089 85 0,08255040 0,000644 63 0,005670 86 0,09305541 0,000717 64 0,006367 87 0,10479342 0,000801 65 0,007180 88 0,117919

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

PKV-Sterbetafel 2004 Männer

0,000000

0,050000

0,100000

0,150000

0,200000

0,250000

0,300000

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Ste

rbe

wa

hrs

ch

ein

lich

ke

it

PKV-Sterbetafel 2004

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

PKV-Sterbetafel 2004 Männer vs. 94R/94T

0,000000

0,100000

0,200000

0,300000

0,400000

0,500000

0,600000

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Ste

rbew

ahrs

chei

nlic

hke

it

PKV-Sterbetafel 2004

94T

94R

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

PKV-Sterbetafel 2004 Männer vs. 94R/94T

0,000000

0,020000

0,040000

0,060000

Alter

Ste

rbew

ahrs

chei

nlic

hke

it

PKV-Sterbetafel 200494T94R

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Sterbetafeln:- Bevölkerungssterbetafeln (z. B. vom Statistischen Bundesamt veröffentlicht)- Versichertensterbetafeln (z. B. von der Deutschen Aktuarvereinigung veröffentlicht)

Für die Kalkulation von Versicherungsprämien in der Lebens- und Krankenversicherung sind die besonderen Verhältnisse in Versichertenkollektiven relevant, die vom Geschlecht, der Tarifart, Bestandszusammensetzung, Risikoprüfung oder z. B. einer eingetretenen Invalidisierung (Invalidensterbetafeln) u. a. beeinflusst werden.

Bei Versicherungen mit Todesfallcharakter (z. B. Risikolebensversicherung) wird sicherheitshalber mit erhöhten Sterblichkeiten (94T) gerechnet, bei Versicherungen mit Erlebensfallcharakter (Rentenversicherung und PKV) mit vorsichtshalber niedrigeren Sterbewahrscheinlichkeiten.

Periodentafeln – wie PKV-Sterbetafel 2004 oder 94T – gehen in allen Altern von den Sterbewahrscheinlichkeiten des aktuellen Zeitraums – Periode – aus.Generationentafeln – wie 94R – basieren auf den hochgerechneten Sterblichkeiten einer Generation – z. B. Geburtsjahrgang 1955 – mit Anpassung für andere Generationen.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Entwicklung der Sterblichkeit

Der langfristige Sterblichkeitstrend geht – teilweise sogar beschleunigt – zu niedrigeren Sterblichkeiten und damit verbundener längerer Lebenserwartung.

In der Todesfall- und Kapitallebensversicherung führt dies zu Entlastungen, weil weniger Todesfalleistungen erbracht werden müssen.

In der privaten Rentenversicherung wird der Sterblichkeitstrend bereits eingerechnet – durch Verwendung von Generationentafeln. Diese müssen jedoch auch angepasst werden, wenn der tatsächliche Trend den zunächst in den Tafeln berücksichtigten übertrifft – zuletzt von Sterbetafel 87R auf 94R und derzeit auf 2004R.

In der privaten Krankenversicherung müssen die verwendeten Periodentafeln regelmäßig an den Trend angepasst werden, da die im Alter steigenden Leistungen für immer längere Zeit erbracht werden müssen. Durch die Möglichkeit der Beitragsanpassung muss nicht von vornherein so vorsichtig wie in der Rentenversicherung gerechnet werden.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Sterbewahrscheinlichkeiten Männer (PKV)

0,000000

0,050000

0,100000

0,150000

0,200000

0,250000

0,300000

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Ste

rbe

wa

hrs

ch

ein

lich

ke

it

ST 87R

St 2000

St 2001

St 2004

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Sterbewahrscheinlichkeiten Männer (PKV)

0,000000

0,001000

0,002000

0,003000

0,004000

0,005000

0,006000

0,007000

20 25 30 35 40 45 50

Alter

Ste

rbe

wa

hrs

ch

ein

lich

ke

it

St 87R

St 2000

St 2001

St 2004

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Beispiel Absterbeordnung lx M PKV-Sterbetafel 2001/2004

0,00

100000,00

200000,00

300000,00

400000,00

500000,00

600000,00

700000,00

800000,00

900000,00

1000000,00

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Leb

end

e

St 2001 M

St 2004 M

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Lebenserwartung

Die durchschnittliche fernere Lebenserwartung eines x-Jährigen ist die durchschnittliche Anzahl von Jahren, die ein x-Jähriger noch lebt – hier aus der Absterbeordnung berechnet:

ex = (lx + lx+1 + l x+2 + ... + l) / lx - 0,5 bezeichnet das Endalter (z. B. 100 oder 103)

Abzug von ½ Jahr, da Todeszeitpunkt durchschnittlich zur Jahresmitte

Beispiel e90 = (l90 + l91 + l92 + ... + l100) / l90 - 0,5

Dafür eine einfache mathematische Formel:

ex = ( li / lx ) - 0,5 : mathematisches Summenzeichen

i = x

- vgl. in Excel z. B. : = Summe(L90 : L100)

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Fernere Lebenserwartung Männer PKV-Sterbetafel 87R - 2004

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Fer

ner

e L

eben

serw

artu

ng

St 87 R M

St 2000 M

St 2001 M

St 2004 M

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

AusscheideordnungenDie Absterbeordnung der Lebenden lx ist eine Ausscheideordnung mit demeinzigen Grund Tod.

Andere Ausscheidegründe sind z. B.:- Storno (in der PKV)- Invalidisierung bzw. Reaktivierung (in der Berufsunfähigkeits- und

Erwerbsunfähigkeitsversicherung)- Wiederverheiratung (in der Witwenrentenversicherung)- Eintritt der Pflegebedürftigkeit (in der Pflegerentenversicherung)

Beispiel Storno in der PKV: Das sind alle vorzeitigen Abgänge bis auf den Grund Tod (Stornowahrscheinlichkeit):

wx = Wahrscheinlichkeit, zwischen Alter x und x+1 zu stornieren.

Die Ausscheidewahrscheinlichkeit insgesamt ist damit: qx + wx

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Stornowahrscheinlichkeiten - Wahrscheinlichkeitstafeln der BaFin 2001

Männer - Normalversicherte

0,0000,0100,0200,0300,0400,0500,0600,0700,0800,0900,1000,1100,1200,1300,1400,150

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Sto

rno

-w

ah

rsc

he

inlic

hk

eit

Storno (BaFin 2001)

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Storno und Sterblichkeit M PKV-Stt 2004

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Sto

rno

- b

zw.

Ste

rbe

wa

hrs

ch

ein

lich

ke

it

St 2004 M

Storno (BaFin 2001)

Gesamt

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Ausscheideordnung mit und ohne Storno - Lebende und nicht stornierte Männer PKV-Stt 2004, Storno BaFin 2001

0100000200000300000400000500000600000700000800000900000

1000000

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Leb

end

e b

zw.

un

gek

ün

dig

te Lebendeohne Storno

Lebendeungekündigt

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Prämienkalkulation- Äquivalenzprinzip- Prospektive Kalkulation- Barwerte von Prämien und Leistungen- Kostendeckung und Zillmerung

Die Kalkulation der Neuzugangsprämien erfolgt zunächst Netto – also ohne Einrechnung von Kosten für Abschluss, Verwaltung oder Schadenregulierung.

Das versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt, zu Versicherungsbeginn eines Versicherten ist:

Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen = Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien

Die Diskontierung erfolgt mit einem Rechnungszins, d. h. einem Zins, von dem man annimmt, dass er voraussichtlich sicher aus den Kapitalanlagen zu erwirtschaften ist.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung

Prämien und Versicherungsleistungen entsprechen sich nicht Jahr für Jahr im weiteren Versicherungsverlauf. So werden in der Lebensversicherung die Prämien als konstant kalkuliert, während die Sterbewahrscheinlichkeit mit dem Alter zunimmt. Das versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt dann:

Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen

= Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien +Deckungsrückstellung (bzw. Alterungsrückstellung)

Anders ausgedrückt ist die Deckungsrückstellung die Differenz:

Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen - Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien

Zum Versicherungsbeginn ist noch keine Deckungsrückstellung vorhanden, daher sind die beiden Barwerte für die Ermittlung der Neuzugangsprämien zum Eintrittsalter gleich.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung

Zu Versicherungsbeginn sind die laufenden Prämien in der Regel höher als die Leistungen.

Die Deckungsrückstellung wird vereinfacht ausgedrückt aus den Beitragsteilen aufgebaut und

mit dem Rechnungszins verzinst, die zunächst noch nicht für Leistungen benötigt

werden.

Man könnte daher Jahr für Jahr die (kalkulierten) Leistungen von den Nettoprämien abziehen

und den Betrag jeweils unter Verzinsung mit dem Rechnungszins aufaddieren und

weiterrechnen. Dies wäre eine sogenannte Retrospektive Kalkulation, weil sie auf dem

Vertragsverlauf in der Vergangenheit aufsetzt. In Ausnahmefällen kann dies zur Anwendung

kommen.

In aller Regel werden Deckungsrückstellungen jedoch aus den Annahmen für den zukünftigen

Vertragsverlauf berechnet – wie dies auch in den Barwertdifferenzen zum Ausdruck kommt:

dies bezeichnet man als Prospektive Kalkulation.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Beispiel:Sofort beginnende Leibrente ab Alter x – lebenslänglich jährlich vorschüssig, Höhe 1

Mit der Sterbetafel 94R (qx) für die Rentenversicherung ergibt sich die entsprechende

Absterbeordnung lx

Zu Beginn sind lx Versicherte vorhanden. Im nächsten Jahr vermindert sich diese Zahl durch Todesfälle auf

lx+1 = (1 – qx) * lx

Die Renten werden auf den Rentenbeginn diskontiert. Der jeweilige Barwert einer Zeitrente beträgt also vn für die im Alter x+n gezahlte Rente.Der Barwert der Leibrente – je zu Beginn

vorhandenem Renner - berücksichtigt, dass sie nur im Erlebensfall gezahlt wird: lx+n * vn / lx

Barwert der lebenslänglichen Leibrenten je x-jährigen Rentner (Ax für „Leistungsbarwert“):

Ax = (lx * v0 + lx+1 * v1 + ... + l102 * v102-x ) / lx (mit „Endalter“ 102)

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Leibrente ab Alter 65 - Männer Sterbetafel 94R, Rechnungszins 2,75 %

0100000200000300000400000500000600000700000800000900000

1000000

Alter

ge

zah

lte

Re

nte

n

Lebende

Lebende diskontiert

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Noch Beispiel:Sofort beginnende Leibrente ab Alter x = 65 – lebenslänglich jährlich vorschüssig, Höhe 1

Die obere Line stellt die Absterbeordnung mit der Sterbetafel 94R dar: Lebende lx+i

Die untere Linie ist das Produkt lx+i * vi aus Lebenden und diskontierter Rentenhöhe für

jedes Alter.

Die Summe der Werte der unteren Linie (13.103.262) ist noch durch l65 (887.626) zu dividieren:

Ax = (lx * v0 + lx+1 * v1 + ... + l102 * v102-x ) / lx = 13103262 / 887626 = 14,762

Dieser Leistungsbarwert – bzw. „Rentenbarwert“ bedeutet, dass ein Versicherter im Alter 65 bei einem Rechnungszins von 2,75 % für einen Einmalbeitrag (netto ohne Kosten) von 14.762 Euro eine lebenslange Rente von jährlich im Voraus 1000 Euro versichern kann. Einmalbeitrag (an den Versicherer) und laufende Rente an den Versicherten sind gleich viel wert – d. h. haben bei einem Rechnungszins von 2,75 % den gleichen Barwert.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Eine mathematische Vereinfachung:

Die Formel Ax = (lx * v0 + lx+1 * v1 + ... + l102 * v102-x ) / lx

wird im Nenner und Zähler mit vx multipliziert, wodurch sich das Ergebnis nicht

ändert – auch die Multiplikationszeichen werden einfach weggelassen:

Ax = (lx vx + lx+1 v

x+1 + ... + l102 * v102 ) / ( lx v

x )

Das hat den Vorteil, dass jeder Wert lx nur mit einem Diskontierungsfaktor multipliziert

werden muss: es reicht also für die Berechnungen eine altersabhängige Tabelle der

sogenannten Diskontierten Lebenden:

Dx = lx vx

Damit vereinfacht sich die Formel für den Rentenbarwert zu:

-x

Ax = ( Dx+i ) / Dx

i = 0

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Barwert einer n = 30 Jahre aufgeschobenen jährlich vorschüssigen Rente 1 für einen 35-Jährigen (ohne Beitragsrückgewähr u. ä.):

Der Barwert im Alter 65 war:

102-65

A65 = ( D65+i ) / D65 = 2.246.779 / 152.199 = 14,762

i = 0

Im Alter 65 sind noch l65 = 887.626 Lebende vorhanden, im Alter 35 waren es noch l35 = 991.713. Zusätzlich ist noch weitere 30 Jahre – über die Aufschubzeit – zu diskontieren, also mit v30 = 0,443144. Der Barwert der aufgeschobenen Rente im Alter 35 ist also:

102-65

A35(30J aufg.) = A35,30 = (v30 l65 / l35) ( D65+i ) / D65

i = 0

= (0,443144 * 887626 / 991713 ) * 14,762 = 5,855

102-65 102-65

= D65 / D35 * ( D65+i ) / D65 = ( D65+i ) / D35

i = 0 i = 0

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Diskontierte Lebende Männer Sterbetafel 94Rx Dx x Dx x Dx x Dx

20 581251 46 281015 71 118491 96 643021 565538 47 272924 72 112967 97 517822 550215 48 265009 73 107447 98 413723 535254 49 257270 74 101914 99 327924 520676 50 249701 75 96349 100 257725 506490 51 242301 76 90747 101 200826 492688 52 235067 77 85119 102 154827 479258 53 227991 78 7947928 466188 54 221054 79 7383829 453464 55 214242 80 6821330 441071 56 207544 81 6262131 429001 57 200953 82 5708832 417244 58 194466 83 5164933 405785 59 188088 84 4634734 394612 60 181826 85 4123135 383727 61 175686 86 3635436 373128 62 169666 87 3176337 362815 63 163757 88 2750038 352781 64 157941 89 2359539 343016 65 152199 90 2006740 333505 66 146507 91 1692341 324235 67 140846 92 1415642 315191 68 135212 93 1175243 306357 69 129607 94 968444 297725 70 124035 95 792145 289282

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Oder vereinfacht:

102-65 102-65

= D65 / D35 * ( D65+i ) / D65 = ( D65+i ) / D35

i = 0 i = 0

= 2246779 / 383727 = 5,855

Wie hoch ist der Barwert einer jährlich vorschüssigen Leibrente ab Alter 35 bis Alter 64?Offenbar die Differenz zwischen dem Barwert einer lebenslangen vorschüssigen Rente ab Alter 35 und dem Barwert einer 30 Jahre aufgeschobenen Rente im Alter 35:

102-35 102-65

30a35 = ( D35+i ) / D35 - ( D65+i ) / D35

i = 0 i = 0

64-35

= ( D35+i ) / D35 = 7788267 / 383727 = 20,296

i = 0 Das ist auch gleichzeitig der Barwert 30a35 von 30 jährlichen Prämien 1 ab Alter 35 bis 64

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Wie hoch ist der Einmalbeitrag eines 35-jährigen für eine 30 Jahre aufgeschobene jährliche vorschüssige Rente 12.000 (also ab Alter 65) – netto :

12000 * A35,30 = 12000 * 5,855 = 70.260

Wie hoch ist die jährliche Prämie P für diese Rente, wenn diese von Alter 35 an jährlich vorschüssig 30 Jahre lang gezahlt wird?

Barwert der Prämien = Barwert der Leistungen, also:

P * 30a35 = 12000 * A35,30

P * 20,296 = 12000 * 5,855P = 70.260 / 20,296 = 3.462

Die (Netto-)Prämie für die Rente 1 beträgt:

P = A35,30 / 30a35 = 0,288

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Prämie / aufgeschobene Leibrente Männer Sterbetafel 94R, Rechnungszins 2,75 %

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Alter

Prä

mie

bzw

. gez

ahlt

e R

ente

n

Netto-Prämie

Leibrente

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Prämie / aufgeschobene Leibrente Männer Sterbetafel 94R, Rechnungszins 2,75 %

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Alter

Prä

mie

bzw

. gez

ahlt

e R

ente

n

Netto-Prämie * lx/l35

Leibrente * lx/l35

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Prämie / aufgeschobene Leibrente Männer Sterbetafel 94R, Rechnungszins 2,75 %

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Alter

Prä

mie

bzw

. g

ezah

lte R

ente

n

Netto-Prämie * Dx/D35

Leibrente *Dx/D35

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Wie hoch ist der Einmalbeitrag eines 35-jährigen für eine Todesfallversicherung (Leistung 1) mit Laufzeit 30 Jahre? – netto :

Vorsichtshalber wird angenommen, dass die Versicherten jeweils zum Jahrebeginn

sterben – die Sterbewahrscheinlichkeit ist qx – aus der Sterbetafel 94T.

Mit der entsprechenden Absterbeordnung lx ergibt sich also in jedem Alter die Zahl der Toten:

dx = qx * lx und diskontiert: Cx = dx * vx = qx * Dx

Die diskontierten Todesfalleistungen in der Vertragslaufzeit sind nun noch aufzusummieren

und durch die Zahl der (diskontierten) Lebenden im Alter 35 zu dividieren:

29

30A35 = ( C35+i ) / D35 = (C35 + C36 + ... + C64) / D35 =

i = 0

52445 / 378359 = 0,1386 (100000 € Todesfallschutz kosten einmalig 13.860 €)

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Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote, Rechnungszins 2,75%x qx lx Dx Cx Summe Dx Summe Cx

20 0,001476 1000000 581251 858 16065335 15543821 0,001476 998524 564859 834 15484085 15458022 0,001476 997050 548930 810 14919226 15374723 0,001476 995579 533450 787 14370296 15293624 0,001476 994109 518406 765 13836847 15214925 0,001476 992642 503787 744 13318440 15138426 0,001476 991177 489580 723 12814654 15064027 0,001476 989714 475773 702 12325074 14991828 0,001476 988253 462356 682 11849301 14921529 0,001476 986794 449318 663 11386944 14853330 0,001476 985338 436647 644 10937627 14787031 0,001476 983883 424333 626 10500980 14722532 0,001489 982431 412367 614 10076647 14659933 0,001551 980968 400732 622 9664280 14598534 0,001641 979447 389402 639 9263548 14536335 0,001747 977839 378359 661 8874145 14472436 0,001869 976131 367589 687 8495787 14406337 0,002007 974307 357082 717 8128198 14337638 0,002167 972351 346828 752 7771116 14266039 0,002354 970244 336814 793 7424288 14190840 0,002569 967960 327028 840 7087475 14111541 0,002823 965474 317457 896 6760447 14027542 0,003087 962748 308089 951 6442990 13937943 0,003387 959776 298917 1012 6134901 13842844 0,003726 956525 289932 1080 5835984 13741545 0,004100 952961 281121 1153 5546052 136335

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Totex qx lx Dx Cx Summe Dx Summe Cx

46 0,004522 949054 272475 1232 5264931 13518347 0,004983 944763 263983 1315 4992456 13395048 0,005508 940055 255638 1408 4728473 13263549 0,006094 934877 247426 1508 4472835 13122750 0,006751 929180 239336 1616 4225409 12971951 0,007485 922907 231358 1732 3986073 12810352 0,008302 915999 223481 1855 3754715 12637253 0,009215 908394 215694 1988 3531234 12451654 0,010195 900024 207986 2120 3315541 12252955 0,011236 890848 200356 2251 3107554 12040856 0,012340 880838 192803 2379 2907198 11815757 0,013519 869969 185327 2505 2714395 11577858 0,014784 858208 177929 2630 2529068 11327259 0,016150 845520 170607 2755 2351139 11064260 0,017625 831865 163359 2879 2180532 10788761 0,019223 817203 156185 3002 2017173 10500762 0,020956 801494 149083 3124 1860989 10200563 0,022833 784698 142052 3243 1711906 9888164 0,024858 766781 135093 3358 1569854 9563765 0,027073 747720 128209 3471 1434761 9227966 0,029552 727477 121400 3588 1306551 8880867 0,032350 705979 114659 3709 1185151 8522168 0,035632 683140 107981 3848 1070492 8151169 0,039224 658799 101346 3975 962512 7766470 0,043127 632958 94765 4087 861166 73689

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Totex qx lx Dx Cx Summe Dx Summe Cx

71 0,047400 605660 88251 4183 766401 6960272 0,052110 576952 81818 4264 678150 6541973 0,057472 546887 75479 4338 596332 6115574 0,063440 515456 69237 4392 520854 5681775 0,070039 482756 63109 4420 451617 5242576 0,077248 448944 57118 4412 388508 4800577 0,085073 414264 51295 4364 331390 4359378 0,093534 379021 45675 4272 280095 3922979 0,102662 343570 40295 4137 234420 3495780 0,112477 308298 35190 3958 194125 3082081 0,122995 273622 30396 3739 158934 2686282 0,134231 239968 25944 3483 128538 2312383 0,146212 207757 21861 3196 102593 1964184 0,158964 177380 18165 2888 80733 1644485 0,172512 149183 14868 2565 62568 1355786 0,186896 123447 11974 2238 47699 1099287 0,202185 100375 9476 1916 35725 875488 0,218413 80081 7357 1607 26250 683889 0,235597 62590 5597 1319 18892 523190 0,253691 47844 4164 1056 13296 391291 0,272891 35707 3024 825 9132 285692 0,293142 25963 2140 627 6108 203193 0,314638 18352 1472 463 3968 140494 0,337739 12578 982 332 2496 94095 0,362060 8330 633 229 1514 609

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Totex qx lx Dx Cx Summe Dx Summe Cx

96 0,388732 5314 393 153 881 38097 0,419166 3248 234 98 488 22798 0,452008 1887 132 60 254 12999 0,486400 1034 70 34 122 69

100 0,527137 531 35 19 51 35101 1,000000 251 16 16 16 16

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Wie hoch ist der Jahresbeitrag eines 35-jährigen für die Todesfallversicherung

(Leistung 1) mit Laufzeit 30 Jahre? – netto :

Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert) und damit der Einmalbeitrag war 29

30A35 = ( C35+i ) / D35 = 0,1386

i = 0

Der Barwert (Rentenbarwert) der 30 vorschüssigen Jahresprämien (Höhe 1) beträgt

29

30a35 = ( D35+i ) / D35 = 7.439.384 / 378.359 = 19,662

i = 0

P = 30A35 / 30a35 = 0,1386 / 19,662 = 0,00705

(d. h.: 100000 € Todesfallschutz kosten jährlich – netto – 705 €)

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung

Wie hoch ist bei dem vorangegangenen Beispiel die Deckungsrückstellung der Todesfallversicherung gegen laufenden Beitrag (Leistung 1) nach m = 10 Jahren:

Die Deckungsrückstellung Vx,m ist allgemein die Differenz

Barwert der künftigen Leistungen – Barwert der künftigen Prämien

Nach 10 Jahren hat der Kunde das Alter 45 und die Versicherung läuft noch 20 Jahre:

V35,10 = 20A45 - (20a45 * P) = 0,1567 – (14,625 * 0,00705) =

0,1567 – 0,1031 = 0,0536

Die Deckungsrückstellung für z. B. 100.000 € Todesfalleistung beträgt also nach 10 Jahren (bei Netto-Jahresprämie 705 €) 5.360 €.

Die folgende Grafik zeigt den Verlauf der Deckungsrückstellung während des Vertrages:

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung

Deckungsrückstellung, Prämie und Sterbewahr-scheinlichkeit, Männer Sterbetafel 94T, Zins 2,75 %

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

35 40 45 50 55 60Alter

Prä

mie

un

d

De

ck

un

gs

rüc

ks

tell

un

g

Deckungsrückstellung

Sterbewahrscheinlichkeit =1jährigeRisikoprämieNetto-Prämie

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Wie berechnet sich die Prämie eines 35-jährigen für eine (gemischte) Kapitallebens-versicherung mit Ablaufleistung = Todesfalleistung Höhe 1, Laufzeit 30 Jahre? – netto :

Die Prämie für die Todesfalleistung wurde schon berechnet, fehlt also noch die

Ablaufleistung. Diese wird nur an die überlebenden (l65) ausgezahlt:

A35,30 = (l65 / l35) * v30 = D65 / D35 = 128209 / 378359 = 0,33886

Dies wäre der Einmalbetrag (ohne Todesfalleistung). Die Jahresprämie ist dann:

P = A35,30 / 30a35 = 0,33886 / 19,662 = 0,01723

Dazu kommt die Jahresprämie für die reine Todesfalleistung (0,00705), ergibt zusammen 0,02428. Eine gemischte Kapitallebensversicherung auf Endalter 65 mit Leistung 100.000 € kostet also – netto für den 35-Jährigen 2.428 € jährlich.

Die nachfolgende Grafik zeigt den Verlauf der Deckungsrückstellung dieser gemischten Kapitallebensversicherung.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung

Deckungsrückstellung KLV, Prämie und Sterbewahr-scheinlichkeit, Männer Sterbetafel 94T, Zins 2,75 %

0

0,1

0,20,3

0,4

0,5

0,6

0,70,8

0,9

1

35 40 45 50 55 60 65Alter

Prä

mie

un

d

De

ck

un

gs

rüc

ks

tell

un

g Deckungsrückstellung

Sterbewahrscheinlichkeit =1jährigeRisikoprämieNetto-Prämie

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Kostendeckung

Bisher wurden nur Nettoprämien ohne Kosten betrachtet. Kosten sind z. B.:

- Abschlusskosten- Verwaltungskosten- Schadenregulierungskosten

Die Kosten werden z. B. einmalig zu Beginn oder laufend in die Beiträge eingerechnet. Maßstab kann z. B. relativ zur Prämie, zur Versicherungssumme oder pro Kopf sein. Zusammen mit den Kostenzuschlägen ergibt sich aus der Nettoprämie die Bruttoprämie. Wegen der Vielfalt der Varianten soll hier nur speziell das Thema Zillmerung der

Abschlusskosten angesprochen werden. Die Nettoprämie ist – vereinfacht P = Ax / ax

Bei Zillmerung wird die (sogenannte gezillmerte) Netto-Prämie Pz aus der Summe von

Leistungsbarwert und Zillmerbetrag Z (bspw. 4 % der Versicherungssumme) errechnet:

Pz = (Ax + Z) / ax

Die Netto-Prämie wird also um den „Zillmerzuschlag“ Z / ax erhöht, z. B.: von 0,02428 um

0,04 / 19,662 = ,00203 auf 0,02631.

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zillmerung – gezillmerte Deckungsrückstellung

Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert Ax ) wird durch die Zillmerung nicht

verändert. Die (sogenannte) gezillmerte Deckungsrückstellung wird jedoch mit der erhöhten gezillmerten Nettoprämie gerechnet:

Vx,m = Ax+m - (ax+m * P) (ungezillmert)

Vzx,m = Ax+m - (ax+m * Pz) (ungezillmert)

Zum Versicherungsbeginn gilt z. B.

Vzx,0 = Ax - (ax * Pz) = Ax - (ax * (Ax + Z) / ax) =

Ax - (Ax + Z) = - Z

Die gezillmerte Deckungsrückstellung ist also zu Beginn um den Zillmerbetrag Z negativ.Die folgende Grafik zeigt einen Verlauf der gezillmerten Deckungsrückstellung im Vergleich zur ungezillmerten:

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zillmerung – gezillmerte Deckungsrückstellung

Deckungsrückstellung KLV, gezimmert vs. ungezillmert, Männer Sterbetafel 94T, Zins 2,75 %

-0,10

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

35 40 45 50 55 60 65Alter

De

cku

ng

srü

ckst

ellu

ng

Deckungsrückstellungungezillmert

gezillmert

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung

Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung sind unterschiedliche versicherungsmathemati-sche Verfahren, wenn diese Begriffe auch teilweise synonym verwendet werden.. Jedes kann für sich bestehen, aber auch – wie in der Lebensversicherung – gemeinsam. Kapitaldeckungs-verfahren ohne Anwartschaftsdeckung gibt es noch z. B. im Rahmen der betrieblichen Altersversorgung; sie waren vor dem reinen Umlageverfahren auch in der gesetzlichen Rentenversicherung üblich.

Bei der reinen Kapitaldeckung in der Rentenversicherung werden während der Aktivenzeit für die Versicherten keine Deckungsrückstellungen (Anwartschaftsrückstellungen) gebildet. Erst bei Renteneintritt wird für den Versicherten der Barwert seiner künftigen Renten als Deckungsrückstellung zurückgestellt.

Da aber während der Aktivenzeit keine Rückstellungen gebildet wurden, muss der für diese Kapitaldeckung erforderliche Betrag woanders herkommen. Bei der gesetzlichen Renten- versicherung wurden die Kapitaldeckung für die Rentenverpflichtungen der jeweiligen Neurentner durch Umlage aus Beiträgen aller Aktiven aufgebracht. Im reinen Kapital-deckungsverfahren sind zwar alle laufenden Renten durch Kapital gedeckt. Es ist jedoch - wie ein reines Umlageverfahren – demografieanfällig, weil z. B. der letzte Neurentner das gesamte Kapital für seine Rente bei Rentenbeginn selbst aufbringen müsste.