144 ZAMM Z. angew. Math. Mech. 76 (1996) 3

BOOK REVIEWS Berechnung eines konkreten Kontaktproblems. Die vorliegende Monographie bereichert das Gebiet der Numerik konvexer Varia- tionsprobleme und wird allen empfohlen, die sich fur schlecht- gestellte Optimierungsprobleme, semi-infinite Optimierung oder Variationsungleichungen interessieren.

Miinchen-Neubi berg J. GWINNER

Kaplan, A.; Tichatschke, R.: S t a b l e M e t h o d s for I l l -Posed Var ia t iona l Problems. Prox-Regularization of Elliptic Varia- tional lnequalities and Semi-Infinite Problems. Berlin, Akademie Verlag 1994. 437 pp., DM 124.--. ISBN 3-05-501635-1 (Math- ematical Topics 3)

Die vorliegende Monogriphie von KAPLAN und TICHATSCHKE, die aus eigenen Forschungsarbeiten der Verfasser entstanden ist, widmet sich der numerischen Losung schlecht-gestellter konvexer Variationsprobleme mit Hilfe sogenannter Prox-Regularisierungs- verfahrcn. Diese neucn Verfahren stellen eine wesentliche Fort- entwicklung und Vertiefung der von MARTINET und ROCKAFELLAR begrundeten Proximal-Punkt-Algorithmen dar, in dem diese mit Diskretisierungsmethodcn, insbesondere rnit iterativer Approxima- tion der Zielfunktion und der Nebenbedingungen kombiniert wer- den. Hierbei werden sowohl Einschritt- als auch Mehrschritt- Rcgularisierungsverfahren formuliert und auf Konvergenz und Konvergenzgeschwindigkeit untersucht, wobei letztere Verfahren aus ineinander geschachtelten iterativen Verfahren rnit geeigneten Abbruchkriterien bestehen und den Proximal-Punkt-Algorithmus mit seinen bekannten stabilisierenden Eigenschaften auf numerische Approximationen des ursprunglichen Problems anwenden. Da- durch wird eine effiziente Behandlung von rohen Approximationen des Ursprungsproblems und eine wesentliche Beschleunigung des ganzen numerischen Losungsprozesses erreicht. Die Tragweite der vorgestellten Verfahren wird durch eine Fiille von Beispielen semi-infiniter Optimierungsprobleme verdeutlicht. Als einen wei- teren Schwerpunkt der Anwendung werden nichtkoerzitive ellipti- sche Variationsungleichungen, einschliefilich Hindernisprobleme und Kontaktprobleme der Elastostatik behandelt.

Im folgendcn sei der Inhalt der Monographie skizziert. Im ersten Kapitel wird in die Thematik gutgestellt - schlechtgestellt einge- fiihrt : Beispiele, Definitionen, klassische Ansatze zur Stabilisierung, u. a. das Prinzip von TYCHONOV. Dann werden traditionelle Opti- mierungsverfahren, wie Gradientenverfahren auf Stabilisierung, sowie regularisierte Versionen von Subgradientprojektions- und Strafkostenverfkhren rnit Hilfe einer ausgefeilten Beweistechnik auf Konvergenz untersucht. In den folgenden Kapiteln 3 -5 findet sich auf ca. 100 Seiten das Herzstuck der Monographie: Nach einer Bereitstellung der Eigenschaften der Proximal-Punkt-Abbildung die Beschreibung der iterativen Prox-Regularisierungsverfahren - erst fur endlichdimensionale Optimierungsaufgaben, dann fur Varia- tionsprobleme im abstrakten Hilbertraum -, insbesondere Ein- schritt-, Mehrschritt-Regularisierungsverfahren und regularisierte Strdfkostenverfahren, eine delikate Konvergenzanalysis unter Ver- wcndung sorgsam austarierter Kontrollparameter mit Abschatzun- gender Konvcrgenzgeschwindigkeit. Kapitel 6 (ca. 50 Seiten) bringt die Anwendung der Verfahren auf semi-infinite Optimierungsauf- gaben, sowie weitere Verfeinerungen: Regularisierung von Pfad- verfolgungsmethoden (Homotopieverfahren), Streichregeln (Aus- tauschverfahren) zur Reduktion der Dimension der Hilfsprobleme. Als eine weitere Anwendung befaDt sich Kapitel 7 auf ca. 70 Seiten mit der stabilen Losung nichtkoerzitiver elliptischer Variations- ungleichungen, einschliel3lich Kontaktprobleme zweier elastischer Korper ohne Reibung und Signoriniprobleme rnit Reibung bei vorgegebener Normalkraft, wobei rnit der Finite-Element-Dis- kretisierung eine Approximation der Signorini-Nebenbedingung er- zeugt wird. Hierzu werden Varianten des Mehrschritt-Regularisie- rungsverfahrens analysiert, die zur Regularisierung die Ortho- gonalprojektion auf den Kern der Bilinearform, bzw. Unterraum der Starrkorperverschiebungen einsetzen. Im letzten Kapitel8 wer- den einige numerische Aspekte diskutiert : Wahl der Kontrollpara- meter, Losung der Hilfsprobleme, Computer-Experimente bei der

Visintin, A.: Differen t ia l Models of Hysteresis. Berlin ctc., Springer-Verlag 1994. XI, 407 pp., 46 figs., DM 94.-. ISBN 3-540- 54793-2 (Applied Mathematical Sciences 11 1)

Although hysteresis effects have been studied by physicists and engineers for more than one hundred years, it was not before the sixties of this century that mathematicians started to develop a functional approach to describe hysteresis phenomena.

Beginning with a series of papers by KRASNOSEL’SKI~ and his coworkers and then the fundamental monograph of KRASNOSEL’SKIi and POKROVSKI~, more and more mathematicians took interest in this field.

The author has been concerned with the mathematical investiga- tion of hysteresis effects for morc than fifteen years. In this monograph, he gives a thorough insight into the mathematical research in this field.

The book is divided into two parts. The first part deals with a number of mathematical models describing hysteresis phenomena.

The first two chapters are devoted to presenting some basic models for hysteresis, like the play between two mechanical elements, the Prandtl model of elasto-plasticity and the concept of rheological models as combinations of elementary models for mechanical properties such as elasticity, viscosity and plasticity.

In chaps. 111 to VI hysteresis operators, defined as rate-in- dependent Volterra operators, are introduced. For the models of Prandtl-Ishlinskii, Preisach and Duhem, and numerous extensions, mathematical properties as continuity in different spaces, piecewise monotonicity and existence of the inverse are investigated in great detail.

In the second part of the book PDEs with nonlinearities of hysteresis-type are investigated. While chap. VII deals with PDE models for elasto-plasticity in terms of variational inequalities, chap. VIII offers a semigroup approach. The following two chapters are concerned with quasi- and sernilinear parabolic equations with memory. In chap. XI several PDE models with discontinuous hysteresis, arising for instance in biology, are discussed. In a closing chapter some mathematical tools concerning nonlinear operators in Banach spaces, nonlinear semigroup theory and convergence properties in BV spaces are collectcd. Each chapter starts with an outline and necessary prerequisites and ends with comments and open problems.

The book can be warmly recommended to every mathematician who is interested in the state of research in mathematical properties of hysteresis operators, as well as in PDEs having nonlinearities of hysteresis type.

Berlin J. SPREKELS

CvetkoviC, D. M.; Doob, M.; Sachs, H.: Spectra of Graphs . 3rd revised and enlarged edition. Heidelberg/Leipzig, Johann Am- brosius BarthVerlag 1995.447 pp., 51 figures, 12 tables, DM 168.-. ISBN 3-335-00407-8

Der algebraische Begriff des Spektrums eines Graphen, definiert als Gesamtheit der Eigenwerte des charakteristischen Polynorns der Adjazenzmatrix des Graphen, macht graphentheoretische Probleme der Behandlung rnit algebraischen Hilfsmitteln zuganglich. Das Buch, 1980 und 1982 im VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin erschienen, au5erdem 1984 in russischer Sprache, gibt eine Einfuhrung in den Themenkreis und eine zusammenfassende Dar- stellung der bis 1978 auf dem Gebiet erzielten Resultate. Sein Text (pp. 11 - 368) ist in die vorliegende dritte Auflage unverandert iibernommen worden. Zwei Appendizes und eine Additional Biblio- graphy-. bringen Anmerkungen und Errata, vor allem aber einen guten Uberblick iiber die Weiterentwicklung der Theorie.

Berlin W. WESSEL