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obere Hohlspiegel hat zentral ein Loch von sechs Zentime-tern Durchmesser. Befindet sich in der Mitte des unterenSpiegels ein kleiner Gegenstand von nicht mehr als etwa ei-nem Zentimeter Größe, so erscheint er bei optimal schrä-gem Einblick als dreidimensionales, reelles und seitenrich-tiges Bild genau in der Öffnung des oberen Spiegels. DasLoch selbst verhält sich wie ein Spiegel. Das Schweinchenin Abbildung 1 spiegelt sich darin. Nähert man dem Locheine Fingerspitze, spiegelt sie sich darin: Man kann mit demFinger durch den imaginären Spiegel hindurchstoßen. Esspiegelt sich sozusagen Etwas an Nichts.

Entdeckung per ZufallDie Entdeckung eines solchen Zauberspiegels geschah –wie nicht selten – durch puren Zufall. Etwa 1970 säuberteder Angestellte Caliste Landry ein Labor in Santa Barbara inder Universität von Kalifornien und stieß dabei auf einigesehr große Hohlspiegel von Suchscheinwerfern. Sie lagenzufällig so wie beim Zauberspiegel Mirage aufeinander.Landry wollte den Staub in der Öffnung des einen Spiegelswegwischen – da war aber nichts. Sofort benachrichtigte erden Physikprofessor Virgil Elings über den verblüffenden Ef-fekt. Beide zusammen patentierten dann 1972 diese Ent-deckung [1]. Im gleichen Jahr kaufte Virgil Elings seinemPatentkollegen alle Rechte ab und verkaufte sie 1977 wei-ter an die amerikanische Firma Optigone, die seither dasOriginal herstellt. Sie hat auch ein Modell „Giant Mirage“ miteinem Durchmesser von 56 cm im Angebot. Da das Patentmittlerweile ausgelaufen ist, sind jetzt Nachbauten auf demMarkt, bei denen die Krümmung der Spiegel nicht immerausreichend gleichmäßig ist,wodurch Verzerrungen bei denoptischen Erscheinungen auftreten.

Eine Fata Morgana ist eine optische Illusion. Versuchtman, sich ihr zu nähern, so wandert sie scheinbar weg

oder verschwindet ganz. Bei dem Zauberspiegel Mirage istes noch schlimmer: Deutlich sieht man zum Greifen nahund dreidimensional einen Gegenstand – und kann ihndoch nicht anfassen. Dieser Illusion kann man sich selbstmit dem Wissen um ihr Zustandekommen nicht entziehen.

Dieses Verwirrspiel erzeugt ein Zauberspiegel, Miragegenannt. Er besteht aus zwei gleichen, annähernd parabo-lischen Hohlspiegeln, die mit der Öffnung aufeinander lie-gen. Die kommerziell erhältlichen Spiegel haben üblicher-weise einen Durchmesser von 23 cm (Abbildung 1). Der

Spielwiese

Das Bild vom Bild – der Zauberspiegel MirageCHRISTIAN UCKE

Ein Griff ins Leere, wo man etwas deutlichsieht – das verblüfft schon. Möglich machtdas eine einfache optische Konstruktion, dieaus zwei parabolischen Hohlspiegeln zusam-mengesetzt ist. Damit entsteht das reelle Bildeines Gegenstandes, das man auf den erstenBlick nicht von der Wirklichkeit unterscheidenkann.

Abb. 1 Der Zauberspiegel Mirage besteht aus zwei gleichgroßen Hohlspiegeln. Nur in der linken Abbildung, in der diebeiden Hälften aufgeklappt sind, sieht man das realeSchweinchen im Hohlspiegel. Bei den beiden anderen Abbil-dungen handelt es sich um das reelle Bild der Figur.

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Die Erklärung dieser optischen Illusion macht man sichan Hand einiger Überlegungen zum Strahlengang in Hohl-spiegeln klar. Die mir bekannten Modelle von Hohlspiegelnhaben übrigens weder eine eindeutig parabolische, nocheine eindeutig sphärische Form, sondern liegen irgendwodazwischen. Der prinzipielle Unterschied zwischen beidenFormen liegt darin,dass ein parabolischer Hohlspiegel einenexakten Brennpunkt für ein Parallelstrahlenbündel hat,während ein sphärischer Hohlspiegel eine so genannte

Kaustik aufweist: Ein Parallelstrahlenbündel vereinigt sichnicht genau in einem Punkt. Für die Illusion ist das praktischnicht von Bedeutung, da eine optische Verzerrung der fürdie Abbildung verwendeten kleinen Gegenstände kaumsichtbar ist. Die folgenden optischen Konstruktionen be-ziehen sich auf einen parabolisch geformten Hohlspiegel,lassen sich aber ohne wesentliche Änderungen auf sphäri-sche übertragen.

Die Hohlspiegel liegen so aufeinander, dass sich dieBrennpunkte beider Spiegel jeweils gerade im Scheitel des gegenüberliegenden Spiegels befinden. Vom Punkt P(Brennpunkt F1 des Spiegels 1) ausgehende Strahlen werdendeshalb am Spiegel 1 parallel reflektiert und dann am Spiegel 2 in den Brennpunkt F2 des Spiegels 2 fokussiert(Abbildung 2). Dort entsteht deswegen ein reelles Bild ei-nes Gegenstandes, der sich im Punkt P befindet.

Da beim Punkt P jedoch außerdem ein virtuelles Bilddes Gegenstandes am Spiegel 2 entsteht (Abbildung 3), er-gibt sich zusätzlich ein reelles Bild des virtuellen Bildes. DasSchweinchen scheint auf einem Spiegel zu stehen. Die re-ellen Bilder sind aufgrund der Mehrfachreflexion in denSpiegeln kontrastschwächer als die Originale.

Aus dem Strahlengang in den Hohlspiegeln ergibt sichaußerdem, dass die Illusion nur unter gewissen Winkelnsichtbar ist. Bei zu steilem Hineinblicken in das Loch er-kennt man nur das Original, bei zu flachem Einblick siehtman nur eine Spiegelfläche (Abbildung 4). In einem sehrschmalen Winkelbereich relativ nah am Loch sind Illusionund Original gleichzeitig (beispielsweise in Punkt Q) er-kennbar. Je nach Objektgröße können die eingezeichnetenWinkelbereiche noch schmaler sein.

Geometrische Optik am ZauberspiegelMit der grundlegenden Formel (1) für die Abbildung ansphärischen Hohlspiegeln lassen sich einfache Berechnun-gen durchführen, die zu überraschenden Resultaten führen[2, 3].

A B B . 2 | S T R A H L E N G A N G A B B . 3 | M E H R E R E B I L D E R A B B . 4 | B L I C K W I N K E L

Strahlengang in den Hohlspiegeln Reelle und virtuelle Bilder an den Die Illusion ist nur unter gewissen mit Brennweite f. Hohlspiegeln. Blickwinkeln sichtbar.

A B B . 5 | O P T I S C H E A B B I L D U N G

Berechnung der optischen Abbildung. Hierin sind M1 und M2

die Krümmungsmittelpunkte der Spiegel, F1 und F2 Brenn-punkte, r der Krümmungsradius und t der Abstand derScheitelpunkte der Spiegel.

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In ihr bedeuten s die Gegenstandsweite, s' die Bildweite, fdie Brennweite und r der Krümmungsradius des Spiegels:

(1)

Ein reelles Bild im Loch des oberen Spiegels kann grundsätz-lich nur durch eine gerade Anzahl von Reflexionen an denSpiegeln entstehen. Betrachten wir zunächst nur zwei Re-flexionen (Abbildung 5). Ein Gegenstand G erzeugt amHohlspiegel 1 ein reelles Bild B1, das aber nicht realisiertwird, weil Spiegel 2 im Weg ist. Da der Abstand t der Spie-gel gleich der Gegenstandsweite s ist, gilt

(2)

Damit ergibt sich s' = tr/(2t – r).Das Bild B1 ist der „Gegenstand“ für die nächste Refle-

xion an Spiegel 2. Wir substituieren s = t – s' und benutzenwieder Formel (1)

(3)

Daraus folgt s'' = 2tr(t – r)/(r2 – 6tr + 4t2).Das Bild B2 befindet sich genau dann im Loch des ersten

Spiegels, wenn s'' = t ist. Damit ergibt sich eine Bestim-mungsgleichung für den Abstand t:

4t2 – 8rt + 3r2 = 0. (4)

Diese quadratische Gleichung liefert zwei Lösungen:t1 = 0,5r und t2 = 1,5r.

Die erste Lösung stellt den schon diskutierten Fall dar,dass das Loch des Spiegels 1 genau im Brennpunkt des Spie-gels 2 liegt. Die zweite Lösung ist jedoch überraschend. Be-finden sich die Spiegel im dreifachen Abstand der Brenn-weite (Abbildung 6), so ergibt sich ebenfalls ein reelles Bild.Dieses lässt sich auch tatsächlich – mit etwas Aufwand – be-obachten. Man muss den oberen Spiegel nur vorsichtig biszu dem gegebenen Abstand hochheben. Dabei sollte manseitlich einfallendes Streulicht möglichst vermeiden, da dasBild sonst kontrastschwach wird.

Noch überraschender ist jedoch, dass man beim Hoch-heben des oberen Spiegels noch viele weitere reelle Bildersieht. Diese entstehen beispielsweise durch vierfache Re-flexion. Mit der gleichen Vorgehensweise wie oben lassensich die entsprechenden Abstände der Spiegel berechnen.Allerdings wird das Verfahren schnell unübersichtlich undführt im Weiteren zu Polynomen höherer Ordnung,die dannkeine geschlossene Lösung mehr ermöglichen.

Mit geeigneten Spiegeln von Autoscheinwerfern oderÄhnlichem lässt sich der Doppelspiegel auch selbst bauen.

Zusammenfassung Der Zauberspiegel, Mirage genannt, besteht aus zwei glei-chen, annähernd parabolischen Hohlspiegeln. Diese liegenmit der Öffnung aufeinander. Der obere Spiegel hat ein zen-

1 1 2t – s s r' ''

.+ =

1 1 2t s r

.+ ='

1 1 1 2s s f r

.+ = ='

trales Loch, in dem zwei reelle Bilder eines Gegenstandes er-scheinen, die man auf den ersten Blick nicht von der Wirk-lichkeit unterscheiden kann. Der Gegenstand selbst befindetsich am Boden des unteren Spiegels. Mit den Gesetzen dergeometrischen Optik lässt sich dieses Phänomen erklären.

StichworteZauberspiegel, Mirage, geometrische Optik, optische Täu-schung.

Literatur [1] V. Elings et al., Optical Display Device, United States Patent

3,647,284, Mar. 7, 1972[2] A. Sieradzan, The Physics Teacher 11999900, 28, 534.[3] J. Becker, Zauberspiegel Mirage. In: Physik-Boutique, Unterrichtsan-

regungen für Lehrkräfte, Freising, Stark-Verlag 1994.

BezugsquellenDer Doppelhohlspiegel ist erhältlich beiwww.optigone.comwww.hund-hersbruck.de (unter Sortiment, physikalisches Spielzeug)www.wissenschaft-shop.de

Die Abbildungen 2, 4 und 6 wurden mit dem ProgrammRaytrace und parabolischen Spiegeln erstellt.

Der AutorChristian Ucke hat zusammen mit Hans-Joachim Schlichting die SerieSpielwiese begründet.

AnschriftDr. Christian Ucke, Technische Universität München, FMI, Abt. Physik,Boltzmannstraße 3, 85748 Garching. ucke@mytum.de

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A B B . 6 | D R E I FAC H E R A B S TA N D

Auch im dreifa-chen Abstand derSpiegel ist einreelles Bild zubeobachten.

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