ROLF SCHNEIDER

DAS C H R I S T O F F E L - P R O B L E M FLIR P O L Y T O P E

Das Christoffel-Problem verlangt die Angabe yon expliziten Bedingungen an eine Funk t ionfaufder Einheitssph~ire ~2 des euklidischen Raumes E" (n /> 3), die notwendig und hinreichend sind ftir die Existenz einer (glatten) geschlos- senen konvexen F1/iche im E ~ derart, dab f (u) die Summe der Hauptkrfim- mungsradien der F1/iche im Punkt mit/iui3erem Normalenvektor u ist. Beim verallgemeinerten Christoffel-Problem wird nach notwendigen und hinreich- enden Bedingungen an ein BorelmaB ¢ auf ~ gefragt, damit ein konvexer KSrper K c E ~ existiert, fiir den ¢ das erste Oberfl~ichenmal3 SI(K; .) ist (fiir die Definition der Oberft/ichenmage konvexer KSrper sehe man Fenchel- Jessen [3] oder Busemann [2]). Dieses Problem ist unabh~.ngig von Berg [1] und Firey [4, 5] gelSst worden. In der vorliegenden Note soU eine Variante des verallgemeinerten Christoffel-Problems behandelt werden: Wit bestimmen die Mage, die als erste Oberfl~ichenmai3e von (konvexen) Polytopen auftreten. Es scheint, dab die LSsungen des allgemeinen Problems zu dieser Frage keinen Beitrag zu leisten verm6gen (wie auch die von W. Weil [8], Kor. 4.5, gefun- denen notwendigen Bedingungen fiir erste Oberflachenmage schwerlich direkt aus den yon Berg und Firey angegebenen Bedingungen herleitbar sein dfirften). Das Christoffel-Problem ftir Polytope lfiBt sichjedoch in elementarer Weise direkt 16sen, wie im folgenden dargelegt werden soll.

Ist P c E . ein n-dimensionales Polytop und Feine Seite von P, so bezeich- nen wir mit ~r(F) das (abgeschlossene) sph/irische Bild von F, also die Menge aller Vektoren u e ~2, ftir welche die Sttitzhyperebene an P mit ~iugerem Normalenvektor u die Seite Fenthfilt. Die sph~rischen Bilder aller nichtleeren Seiten von P bilden insgesamt einen sphiirischen Komplex auf ~2 (ira Sinne yon Shephard [7]), das heil3t eine endliche Menge ~ yon stark konvexen, abge- schlossenen sph/irischen Polytopen (Zellen) mit folgenden Eigenschaften: (a) Jede Seite einer Zelle von ~ ist eine Zelle von ~, (b) Der Durchschnitt je zweier Zellen von ~ ist eine (evt. uneigentliche) Seite jeder der beiden Zellen, (c) Die Vereinigung aller Zellen v o n • ist ~2. Den aus den sph~irischen Bildern der nichtleeren Seiten yon P bestehenden sph~irischen Komplex nennen wir das sphiirisehe Bild von P.

Das erste Oberfl/ichenmaB SI(P; .) eines Polytops P c E . kann folgender- magen beschrieben werden (Firey [6], S. 351). Ffir eine Borelmenge a, c ~2, die in einer (n - 2)-dimensionalen GroBsph~ire von ~2 liegt, bezeichne ~,_ 2(w) das (n - 2)-dimensionale Lebesguesche Mag von oJ bezfiglich der enthaltenden Grol3sph/ire (wenn diese nicht eindeutig bestimmt ist, ist/~,_ 2(oJ) -- 0). Dann gilt

(1) Sz(P; o~) = 1 n - 1 ~ h(F1)t~"-2(a(F1) c3 o~)

Geometriae Dedieata 6 (1977) 81-85. All Rights Reserved Copyright 0 1977 by D. Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland

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ffir jede Borelmenge oJ c f2, wo sich die Summation fiber alle Kanten F 1 von P erstreckt und ~(F 1) die L~inge der Kante F ~ bezeichnet. An der Darstellung (1) liest man nun sofort die folgenden beiden Bedingungen an ein BorelmaB auf der Sph/ire f2 ab, die trivialerweise notwendig sind ffir die Existenz eines n-Polytops P mit St(P; .) = (~.

(2) Der Triiger yon ~ ist die Vereinigung der (n - 2)-dimensionalen Zellen eines sphiirischen Komplexes ~.

(3) Zu jeder (n - 2)-Zelle ~ ~ ~ gibt es eine positive Zahl ~(~) mit ~(oJ) = h(~)tz,_ 2(o~) fi~r jede Borelmenge oJ c ~.

Eine weitere notwendige Bedingung erh~ilt man folgendermaBen. Zu jeder (n - 3)-Zelle ~7 ~ ~ betrachten wir den zweidimensionalen linearen Unterraum L(7/) des E ", der zur linearen Hfille yon ~ total orthogonal ist. Eine (n - 2)- Zelle ~ ~ ~, die ~ als Seite besitzt, wird unter der Orthogonalprojektion auf L(~7) in eine Strecke mit Endpunkten 0 u n d u ¢ abgebildet. Wit setzen u(~7,~) = uJllud[. Dann l~il3t sich als weitere notwendige Bedingung formulieren:

(4) F/~r jede (n - 3)-Zelle ~ e • gilt

= o,

wo sich die Summation i~ber alle (n - 2)-Zellen ~ E • erstreckt, fi~r die ~7 eine Seite ist.

Ffir ein n-Polytop P mit ~ = S~(P; .) gilt namlich, dab jede (n - 3)-Zelle -q ~ • das sph~rische Bild einer zweidimensionalen Seite F 2 von P ist, und die (n - 2)-Zellenl die ~7 als Seite besitzen, sind genau die sph~irischen Bilder der Kanten yon F 2. Der Vektor u(~, ~) ist der ~iul3ere Normalenvektor (bezfiglich der affinen Hfille von F ~) der Kante mit sphfirischem Bild ~, und A(~) ist die Lange dieser Kante. Jetzt ist klar, dab die Gleichung in (4) gelten mull

Das Hauptresultat dieser Note besagt, dab die gefundenen notwendigen Bedingungen auch hinreichend sind.

SATZ. Zu einem Borelmafl ~ auf der Sphiire f2 existiert genau dann ein n-Polytop P c E ~ mit (~ = SI(P; .), wenn ~ die Bedingungen (2), (3), (4) er)~llt.

Bemerkung. Soil q~ = SI(P; .) ffir ein Polytop P gelten, so muB bekanntlich

f u cl¢(u) = o

sein. Unter Berficksichtigung des Satzes folgt diese Bedingung also aus (2), (3), (4). Man kann dies aber auch ohne Benutzung des Existenzsatzes direkt nachrechnen.

DAS C H R I S T O F F E L - P R O B L E M FfJR P O L Y T O P E 83

Bemerkung. Nicht jeder sph/irische Komplex ¢ kann als das sph/irische Bild eines Polytops erhalten werden. Shephard [7] hat hierftir (in dualer Formulierung) eine notwendige und hinreichende Bedingung gefunden. Der obige Existenzsatz ergibt eine andere notwendige und hinreichende Beding- ung: Jeder (n - 2)-Zelle ~ des Komplexes mug sich eine positive Zahl A(~) so zuordnen lassen, dab (4) erfiillt ist. Diese Bedingung verlangt also, dab ein gewisses, durch ~ bestimmtes, homogenes lineares Gleichungssystem eine positive L6sung besitzt.

Beweis des Satzes. DaB die Bedingungen (2), (3), (4) notwendig sind, ist bereits gezeigt worden. Sei also ~ ein Borelmal3 auf f2, das (2), (3), (4) erfiillt. Es seien ~:1 . . . . , ~:~ die (n - 1)-Zellen des in (2) auftretenden sphiirischen Komplexes ~. Unter einem Zellenweg 3 von ¢,~ nach ¢,~ verstehen wir eine geordnete Folge (~:~1 . . . . . ~:,m) von (n - 1)-Zellen aus ¢ derart, daf3 ~:~, n ~:~,+1 eine (n - 2)-Zelle ist (r = 1 . . . . , m - 1). Einem solchen Zellenweg ordnen wir den Vektor

m--1

r = l

zu, wobei v(i,j) derjenige Einheitsvektor senkrecht zur linearen Htille der (n - 2)-Seite & n ~s ist, der ins Innere des die Zelle ~j- enthaltenden Halb- raumes weist. FiJr Zellenwege erkl/iren wir die folgenden elementaren kom- binatorischen Deformationen: (c0 Der Zellenweg (~:i~,..., ~:~) wird ersetzt durch

wobei ~:~r c~ ~j eine (n - 2)-Zelle ist, oder umgekehrt. (/3) Der Zellenweg (~i~ . . . . . ~:~m) wird ersetzt durch

wobei

~:,r, ~:,~ + ~, • • - , ~:~ ÷ ~, ~:j~, ~ j~_ ~, • • . , ~j~

genau die (n - 1)-Zellen sind, die eine bestimmte (n - 3)-Zelle -q enthalten, und zwar angeordnet in einer ihrer natiirlichen zyklischen Reihenfolgen. Beachtet man hierbei, dab es fiir

(i,j) e {(it, i~+1) . . . . . (i~+~,j,) . . . . . (j2,J~), (J~, i~)}

eine yon i, j unabh/ingige Drehung gibt, die den Vektor v(i, j) in den Vektor u(~, ~:~ n ~:~) iiberftihrt, so folgert man aus (4), dab die Deformation (fi) den Vektor v(~) nicht ver~indert. Trivialerweise ver/indert auch (a) diesen Vektor nicht. Da man einen Zellenweg von ~:~ nach ~,, durch endlich viele Anwend- ungen yon (a) und (fl) in jeden anderen Zellenweg mit gleicher Anfangs- und Endzelle deformieren kann, wie man leicht aus dem einfachen Zusammenhang

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der Sph/ire f2 folgert, h~ingt der Vektor v(8) nur von Anfangs- und Endzelle des Zellenweges 8 ab. Wir k6nnen also f iJr j = 1 . . . . . k einen Vektor xj E E ~ erkl~iren, indem wir einen beliebigen Zellenweg 8j von ~:~ nach ~j w~ihlen (was wegen des Zusammenhangs der Sph~ire m6glich ist) und sodann xj = v(Sj) setzen. Wir wollen zeigen, dab die konvexe Hfille der Punkte x~ . . . . . x~ das gesuchte Polytop ist.

Hierzu erklgren wir eine positiv homogene Funkt ion h: E ~ ~ N in der folgenden Weise. Es sei h(0) = 0. Zu jedem u e E~\{0} sei eine (n - 1)-Zelle ~:~<~> ~ ~ gew/ihlt mit u/t[uI[ ~ ~,~>. Dann sei

(5) h(u) = <x.~, u)

gesetzt, wo ( . , . ) das Skalarprodukt im E ~ bezeichnet. Die Definition h/ingt nicht yon der Auswahl der Zelle ~:,~> ab: Sei ~:j ~ ~ eine andere (n - 1)-Zelle mit u/]lu]l ~ ~j. Dann gibt es einen Zellenweg ( f ~ , . . . , ~:~) mit i~ = i(u), i~ = j und u/Hult s ~:~, (r = 1 , . . . , m). Nach Definition der Vektoren x~ ist

m--1 (X, . , U) -- (X,I , U) = ~ )~(~ir ~ ~'r+l)(V(ir' i r+l) , U) = 0,

r= l

da v(i~, i~ + 1) senkrecht zur linearen Hiille von ~, c7 ~:~, +1 und folglich wegen u/llull ~ ~,, r~ ~,~÷1 senkrecht zu u ist. Somit ist h wohldefiniert. Ferner ergibt sich, dab h stetig ist: Die Stetigkeit bei 0 ist klar. Sei u e E"\{0}. Sei U eine Umgebung yon u/tlull in f2, die keine zu u/llull disjunkte (n - 1)-Ze!le aus

trifft. FiJr v e U gilt dann u/l[u]l ~ ~,~ und daher

h(u) = ( x , ~ , u) = h(v) + (x,v>, u - v).

Daraus folgt die Stetigkeit von h. Wir zeigen, dab h konvex ist: Seien zun~ichst uz, u2, ~zuz + ~u~ ~ f~ mit

~z, c~. > 0 Vektoren derart, dab u~ im Inneren einer (n - 1)-Zelle ~, liegt (r = 1, 2), w~ihrend ~ u l + Zelle ist. Dann ist

~2u2 e ~:~ n fi2 gilt und ~1 {7 ~:~2 eine (n - 2)-

h(u2) = <x~2, u2) = ( x . , u2) + h(~i~ n ~i~)(v(il, i2), uz) > (x~ , u2)

h(,~lul + ,~u~) = ( x . , ~,lul + ,~u~> < ~,~h(ul) + ,~h(u~).

und daher

Nun seien ul, u2 ~ f2 so gew~ihlt, dab ul # + u2 ist und dab der ul und u2 verbindende (ktirzere) GroBkreisbogen keine Zelle aus ~ der Dimension < n - 2 trifft. Die Einschr~inkung der Funkt ion h auf den yon ul und u2 aufgespannten konvexen Kegel ist sttickweise linear und nach dem eben Gezeigten lokal konvex, also konvex. Da h stetig ist, folgt somit die Kon- vexit/it der Funkt ion h.

Als positiv homogene, konvexe und sttickweise lineare Funkt ion ist h die

DAS CHRISTOFFEL-PROBLEM FUR POLYTOPE 85

Sttitzfunktion eines konvexen Polytops P. Aus (5) folgt, dab xl . . . . . xk Eckpunkte von P sind und dab f~ genau das sph~irische Bild der Ecke x~ ist (i = 1 . . . . . k). Daher ist ~ das sph/irische Bild des Polytops P. Insbesondere sind die (n - 2)-Zellen yon ~ genau die sph~irischen Bilder der Kanten yon P ; dabei ist die (n - 2)-Zelle f~ n ~:s das sph/irische Bild der Kante mit den Endpunkten x~ und xj, und diese Kante hat die L/inge ~ (f~ c~ ~j). N u n ist nach (1) klar, dab das erste Oberfl~ichenmag St(P; .) von P in der Tat gerade das vorgegebene Mal3 ,~ ist.

B I B L I O G R A P H I E

1. Berg, Ch. : 'Corps convexes et potentiels sph6riques', Danske Videnskab. Selskab Mat.-fys. Medd. 37,6 (1969), 64 S.

2. Busemann, H. : Convex Surfaces, New York, 1958. 3. Fenchel, W. und Jessen, B.: 'Mengenfunktionen und konvexe K6rper', Danske

Videnskab. Selskab Mat.-fys. Medd. 16,3 (1938), 31 S. 4. Firey, W.J.: 'The Determination of Convex Bodies from their Mean Radius of

Curvature Functions', Mathematika 14 (1967), 1-13. 5. Firey, W.J.: 'Christoffel's Problem for General Convex Bodies', Mathematika 15

(1968), 7-21. 6. Firey, W.J. : ' Local Behaviour of Area Functions of Convex Bodies', Pacific J. Math.

35 (1970), 345-357. 7. Shephard, G. C. : ' Spherical Complexes and Radial Projections of Polytopes', Israel J.

Math. 9 (1971), 257-262. 8. Weil, W. : ' Ein Approximationssatz ffir konvexe K6rper', Manuseripta Math. 8 (1973),

335-362.

Anschrift des Verfassers : Rol f Schneider, Mathematisches Insti tut der Universit~it, 78 Freiburg i.Br., Bundesrepublik Deutschland

(Eingegangen am 28.8.75)