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ZEITSCHRIFT FffR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK INGENIEURWISSENSCHAFTLICHE FORSCHUNGSARBEITEN Band 4 Ende Auausf 1924 Hefi 4 I n h alt: Seite HauptaufsBtze. W. Rirnbnum: Daa ebene ProlJlem des sch1:qenden Flti els ..... 377 B. S c h u m a c b e r : Ueber die bir'nsserstroniung in eincm mit Stichkanalen versehenen Unilaiif- kana1 h i Kammerschleusen ........ 292 G. Jluffing: ReitragzurTheorie derFliissigkeits- bewegung zwischen Zapfen und Lager ... 296 H. Schwerdt: Das Prinzip der Gleitkurveu, ein neues Darstellungsmittel ......... 314 H. Hen cky: Zur Theorie plaatischer Deform- tioncn nnd der hierdurch im Material hervor- geriifenen Naclispanuungeri ........ 333 C. Weber: Biegung und Scliub in yeraden Balken ................ 334 K1 ein e Mi t teil u n ~7 en. B r a ue r: Einfacbe Kou- struktion der B&chleuuieun Gum 11 e 1 : Eine Eigenschaft tler Jtertktetah. 1 F i s c ti er : Heitrng zur Nomographie ......... 318 Seite B u cli b e s pr e c h un g en. Rii d e n b e r g : Elek- trische Schaltvorghge und verwandte StB- 1 rimgserscheinungZn Fn Starkstromanlageu - Cranz, Kiimmerer: Versuche rnit Zabn- rsdern von StraDenbahnwagen. - Mark- manu: Versuche mit schnellaufenden Riemen- scbeiben. - PDppl: Grundztige der Pestig- keitslehre. - Bieberhach: Theorie der Differsnti~gleic~ungen. - Onnen: Kreis- cvolventen und game algebraische Funktionen. - Goldmnnn: Anleitong znm Gebrauch des Zwciskilleu und Dreiska.len-Rechenscb~eber8. - Lorenz: Eiufuhrung in die Elemente der hijheren Mathematik und Meschanik. - Va- 1 en ti n e r : Vektoranalyeis. - H a pp a c h : Aus- leichrechnung nach derMethode der kleiusten 8 oadrilte. - Geibel: Ueber die Wasserrtick- ktihluug rnit selbstventilierendem Turmkiihler 358 Nachrichten .............. 359 HAUPTAUFS ATZE Das ebene Problem des schlagenden Flugels. Von WALTER BIRNBAUM in Berlin. I) m Ansohlu% an meinen Aufsatz iiber die tragende Wirbelflache 2, der die wesentliche Cfrundlage der folgenden Untersuchungen bildet, will ich darlegen, wie die' dort ent- I wickelten Methoden auch geeignet sind, die Luftkrafte fiir einen Fliigel mit zeitlich vergnderlioher Zirkulation zu erfassen. Speziell werde ich die Theorie eines nach Art eines Vogelflugels periodisch auf und ab schlagenden Triebflugels entwickeln. Ich werde zeigen, wie sich der Auftrieb und sein Moment als Funktion der Sohlagbewegung ergilbt, welcher Vortrieb sich erzielen &%t, und wie grofl der Wirkungsgrad dieses Schlag- propellers ist, wenn man von der Luftreibung absieht. Zum Sohlud werde ich einen interessanten Fall dynamisoher Instabilitlt bei einem federnd aufgehtingten Fliigel be- handeln, eine Erscheinung, die dnrch Versuche in der Cfottinger aerodynamischen Versuohs- anstalt bestgtigt wurde.. Herr Prof. Prandtl gab mir die Anleitong zu der vorliegenden Arbeit, und ich mochte nicht verfehlen, ihm anoh an dieser Stelle meinen herslichen Dank fur die reichen hregungen und die tatkrlftige Beihilfe, die er mir jederzeit zuteil werden lie& auszusprechen. 1. mgemeiner Ansatz. Die Rechnungen beziehen sich wieder auf das zwel- dimeneionale Problem, d. h. auf den unendlioh langen oder durch ebene SeitenwSnde begrenzten Fliigel, oder anf einen Flugel rnit so grodsm Seitenverhilltnis, da% der Rand- einfluf3 zn vernachlLssigen ist. Im iibrigen gelten dieselben Voranssetznugen iiber Klein- heit der Luftkrafte, schwache Kriimmnng des Flugels usw., wie im ersten Aufsatze. Der Fliigel erstrecke sich von P = - 'IS bis z = + 3/,, sodaD der Punkt z = 0 zum Druck- mittelpunkt eines ebenen Flugels rnit festem Anstellwinkel wird. , v, in Richtung der positiven X-Achse, sei die Luftgeschwindigkeit in der Ferne. Die positive Y- Achse weiee nach unten. Mit ~=y(x,t) bezeichne ich die nunmehr von der Zeit abhilngige Diohte der tragenden Wirbel. Bei jeder zeitlichen Aenderung der Zirkulationsdichte werden '1 Auszug aus der gleichnamigen Gllttinger Dissertation 1922. Erbiiltlich in der Unirersltltsbihliotbek zu G6ttingen and in der Staatsbibliothek zu Berlin. a) Diese Zeitschrift 3, 1923, S. 290 bis 297. Referent: Prof. Prandtl. 18

Das ebene Problem des schlagenden Flügels

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Page 1: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

ZEITSCHRIFT FffR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK INGENIEURWISSENSCHAFTLICHE FORSCHUNGSARBEITEN Band 4 Ende Auausf 1924 Hefi 4

I n h alt: Seite

H a u p t a u f s B t z e . W. R i r n b n u m : Daa ebene ProlJlem des sch1:qenden Flti els . . . . . 377

B. S c h u m a c b e r : Ueber die bir'nsserstroniung in eincm mit Stichkanalen versehenen Unilaiif- kana1 h i Kammerschleusen . . . . . . . . 292

G. J luf f ing : ReitragzurTheorie derFliissigkeits- bewegung zwischen Zapfen und Lager . . . 296

H. S c h w e r d t : Das Prinzip der Gleitkurveu, ein neues Darstellungsmittel . . . . . . . . . 314

H. Hen cky: Zur Theorie plaatischer Deform- tioncn nnd der hierdurch im Material hervor- geriifenen Naclispanuungeri . . . . . . . . 333

C. W e b e r : Biegung und Scliub i n yeraden Balken . . . . . . . . . . . . . . . . 334

K1 e in e Mi t t e i l u n ~7 en. B r a ue r: Einfacbe Kou- struktion der B&chleuuieun G u m 11 e 1 : Eine Eigenschaft tler Jtertktetah. 1 F i s c ti e r : Heitrng zur Nomographie . . . . . . . . . 318

Seite B u cli b e s p r e c h un g en. Rii d e n b e r g : Elek-

trische Schaltvorghge und verwandte StB- 1 rimgserscheinungZn Fn Starkstromanlageu -

C r a n z , Kiimmerer : Versuche rnit Zabn- rsdern von StraDenbahnwagen. - M a r k - manu: Versuche mit schnellaufenden Riemen- scbeiben. - PDppl: Grundztige der Pestig- keitslehre. - B i e b e r h a c h : Theorie der Differsnti~gleic~ungen. - Onnen: Kreis- cvolventen und game algebraische Funktionen. - G o l d m n n n : Anleitong znm Gebrauch des Zwciskilleu und Dreiska.len-Rechenscb~eber8. - L o r e n z : Eiufuhrung in die Elemente der hijheren Mathematik und Meschanik. - V a - 1 e n t i n e r : Vektoranalyeis. - H a p p a c h : Aus-

leichrechnung nach derMethode der kleiusten 8 oadrilte. - Geibe l : Ueber die Wasserrtick- ktihluug rnit selbstventilierendem Turmkiihler 358

N a c h r i c h t e n . . . . . . . . . . . . . . 359

HAUPTAUFS ATZE Das ebene Problem des schlagenden Flugels.

Von WALTER BIRNBAUM in Berlin. I)

m Ansohlu% an meinen Aufsatz iiber die tragende Wirbelflache 2, der die wesentliche Cfrundlage der folgenden Untersuchungen bildet, will ich darlegen, wie die' dort ent- I wickelten Methoden auch geeignet sind, die Luftkrafte fiir einen Fliigel mit zeitlich

vergnderlioher Zirkulation zu erfassen. Speziell werde ich die Theorie eines nach Art eines Vogelflugels periodisch auf und ab schlagenden Triebflugels entwickeln. Ich werde zeigen, wie sich der Auftrieb und sein Moment als Funktion der Sohlagbewegung ergilbt, welcher Vortrieb sich erzielen &%t, und wie grofl der Wirkungsgrad dieses Schlag- propellers ist, wenn man von der Luftreibung absieht. Zum Sohlud werde ich einen interessanten Fall dynamisoher Instabilitlt bei einem federnd aufgehtingten Fliigel be- handeln, eine Erscheinung, die dnrch Versuche in der Cfottinger aerodynamischen Versuohs- anstalt bestgtigt wurde.. Herr Prof. P r a n d t l gab mir die Anleitong zu der vorliegenden Arbeit, und ich mochte nicht verfehlen, ihm anoh an dieser Stelle meinen herslichen Dank fur die reichen h regungen und die tatkrlftige Beihilfe, die er mir jederzeit zuteil werden lie& auszusprechen.

1. mgemeiner Ansatz. Die Rechnungen beziehen sich wieder auf das zwel- dimeneionale Problem, d. h. auf den unendlioh langen oder durch ebene SeitenwSnde begrenzten Fliigel, oder anf einen Flugel rnit so grodsm Seitenverhilltnis, da% der Rand- einfluf3 zn vernachlLssigen ist. Im iibrigen gelten dieselben Voranssetznugen iiber Klein- heit der Luftkrafte, schwache Kriimmnng des Flugels usw., wie im ersten Aufsatze. Der Fliigel erstrecke sich von P = - ' I S bis z = + 3/,, sodaD der Punkt z = 0 zum Druck- mittelpunkt eines ebenen Flugels rnit festem Anstellwinkel wird. , v, in Richtung der positiven X-Achse, sei die Luftgeschwindigkeit in der Ferne. Die positive Y- Achse weiee nach unten. Mit ~ = y ( x , t ) bezeichne ich die nunmehr von der Zeit abhilngige Diohte der tragenden Wirbel. Bei jeder zeitlichen Aenderung der Zirkulationsdichte werden

'1 Auszug aus der gleichnamigen Gllttinger Dissertation 1922. Erbiiltlich in der Unirersltltsbihliotbek zu G6ttingen a n d in der Staatsbibliothek zu Berlin.

a) Diese Zeitschrift 3, 1923, S. 290 bis 297. Referent: Prof. P r a n d t l .

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278 Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik Band 4

Rich freie Wirbel mit der Dichte 8 ( Z , t ) von den tragenden Wirbeln ablitsen und mit dem Luftstrome wegschwimmen. A d Qrnnd dw Satzes von der Erhaltung der Zirkula- tion oder anch dnroh Integration der E u l e r schen Differentialgleichung einmal l h g s der Druck- und einmal langs der Sangseite des Fliigels (vergl. hierzu die nngekurete Arbeit) findet man leicht, da5 die Wirbel an jeder Stelle und zu jeder Zeit die Kontinuittitsgleiohung der Wirbeldichte erfullen mussen '):

8 8 at! 2 + - + v - = o . . . . . . . . 8t at B x

Im allgemeinen wird man uber y(x,t) passende Annahmen machen, sodal3 Gleichung 8 zu finden ist. Bezeichnen wir mit (z, t), so ist ihr Integral:

3 at

wo 9 eine durch Randbedingnngen zu bestimmende, willkiirliche Funktion ist. Hat man so E gefunden, so ergibt sich die induzierta Vertikalgeachwindigkeit in erster NlLherung ale Hauptwert des Integrals:

+m

w ist nun ttbnlich wie friiher mit der bewegten Fliigelkontur in Beziehung zu setzen. Wird die Bewegung des Fliigels durch den Wert der Ordinate an der Stelle x, also dnrch y = y ( x , t ) angegeben (durch diesen Ansatz l i e h sich auch ein bewegter und sich gleichzeitig deformierender Fliigel erfaesen), so lautet die kinematische Grenz- bedingung :

(4). . . . . . . . . . at

Das 1st die Gleichung,aus der Kontnr and Bewegung des Fliigels gewonnen werden, wenn y und damit w vorgegeben ist. Analog wie oben ist niimlich:

5

Wenn man bedenkt, da% die Relativgeschwindigkeit der Luft znr tragenden Wirbel- linie die Komponenten v und w - die Ltlngeneinheit des Flugels :

hat, so ergeben sich wie friiher die Bt

K = g v y d x . . . (Sa), - 1 i'i -1

LuftkrLfte fur

. . (6bA

._ Das letzte Glied in W stellt, wie in meinem ersten Anfeatz, die Saugkraft an der

Flugelvorderkante dar, naturlich jetzt mit zeitlich veranderlicbem Koeffizienten a der ersten Grundfunktion.

2. PerSodhhe Fliigelbewegung. Von diesen allgemeinen Ausdruoken gehe ich nun dazu iiber, das spezielle Problem des soblagenden 'FIugels zu behandeln. ES iet zu erwarten, dafi y in diesem Falle selbst bis auf einen Bonetanten Mittelwert periodisoh sein wird. Ich bestimme also zunlchst aus dem Ansatz

. . . . . . . (8) y = ro (x) e i v t = ro - - yo ew'ct

l) Genaueres Uber die Ableitung dieser Gleiohung flndet man in einein Vortrag von P r a n d t l BUeher Entstehung von Wirbeln in der idealen Flilssigkeite auf der hydro-aerodynamischen Konferenz zu Innsbrack 1922 (Vortriige axus dem Gebiete der Hydro- und Aerodynamik, herausgegeben von Th. v. KBrmbn und T. L e v i - C i v i t e , Berlin 1924) sowio in der zitierton Originalarbeft.

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Heft 4 Birnbaum, Das ebene problem des schlagenden Fliigels 279

die freien Wirbel 8 ; dunn y, das allein in E eingeht, iat unabhlngig von dem Ironstanten Mittelwert $ sodafi dieser Ansatz allgemein genng ist. Dabei ist stillschweigend, wie in der Schwingungelehre iiblich, von y der imagingre Bestandteil zu nehmen. v ist die Kreisfrequeaz der Schwingnng, w = - eke dimenaioneloee GrBOe, die ich xreduzier le Freqnenza nenne (u hat die Dimension einer Winkelgesohwindigkeit, denn es iet gleich der Fluggeschwindigkeit, gemessen an der halben Fliigeltiefe als Lhgeneinheit). Be- zeichnet man ale SWellenlltngec: I den Luftwe5 des Fliigels nach einer vollen Periode, so ist -

Y

./ v s 7 c 1 = 2 n - = - . ( t o )

Die weiteren Ergebnisse werden durch Reiheqentwicklungen naoh der reduzierten Frequenz tu gewonnen, welohe die Form

haben. Diese Reihen konvergieren nur gnt fiir kleine w bis etwa w = 0,i entsprechend einer Wellenlltnge von 30 Flugeltiefen oder mehr. Ich setze daher fiir die vorliegende Arbeit langsame, quasi- PtatIoniire Schwingungen dee Fliigels voraus, womlt natiirlich nicht gesagt iet, da l die wirkliche Frequenz v nicht auoh gro%e Werte annehmen kann, wenn nur die Fliigeltiefe klein genug ist. Reohne ioh schliealich ncch mit a’ = i a, so erhalten die Formeln wenigsten Bderlioh reelle Koeffizienten, was fiir die Rechnung viele Vor- teile bietet.

Ich nehme nm an, daf3 vor dem Fliigel wirbelfreie parallele Stramnng herrscht. D a m erhalte ioh mit = x - >/a fiir 8 und w, unter der Voraussetzung, dab der ))Einschalt- vorganga der Fliigelbewegung schon abgelaufen, diem also station&- geworden ist, die Ausdriicke :

Bf&,co*(logm)n, m z n

- 8 - 0 ; a?<-1;

-1

- - 2 n w ( z , 2 ) = &dF+

-1 Sx-E -1 S.4 1

Wie in meinem ersten Anfsatze, bestimme ioh yo (z) an8 den 3 ersten Qrund- funktionen l)

wo jetzt a, 6, c komplexe Zahlen sind.

Die Integrale (9) und (10) laasen slob nicht duroh elementare Funktionen auswerten. Das letzte Integral (10) fiihrt insbesondere auf 0inen Lntegrallogarithmus. Die En1 er - sche Konstante c, die infolgedessen auftritt, kommt stets in Verbindung mit log 2 vor, soda% ich ale transzendente Zahl

fiir die vorliegende Arbeit besonders einfiihren will. man die w in der Form

und entsprechende Ausdriicke mit ,B; und yc gelten fiir woB und war. Die Koeffizienten at, pi, y, sind Polynome in z, deren Koeffizienten linear und rational in 2 sind (iiber ihre

yo = a yoo -t b yoa + c y o c , Es ist dann auch wo = a wo. + b woa + c w o e . w = wo eo‘*t,

Z ~ l 0 g 2 - c = 0 , 1 1 5 9 3 . . . Berucksichtigt man dies, so erbilt

woa - a. + a1 co’ + g w’ log m’ -+ a8 w’a + a4 w’a log OJ‘ + a5 a)’3 + a6 cu’a log w’ (1 I)

~

1 + x f

18*

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280 ZeitschriPt fiir angewandte Mathematik und Mechanik Band 4

Werte vergleiche die Originalarbeit). Das Auftreten von log w’ zeigt i m ubrigen, daO eine Behandlung der Anfgabe mit einer tragenden Linie an Stelle der tragenden FlLche versagen mnO, da dem Uebergang zur tragenden Linie ein Uebergang zu o’ = 0 ent-

spricht (v wlichst beliebig bei abnehmender Flugel- tiefe). Deshalb ist die hier vorgebrachte Theorie des schlagenden Fliigels die einfachst mogliahe.

Abb. 1 Elastische Aufhingung eines Joukowsky

Profils rnit ebenem aR~ckgratq

EN handelt sich nun, unter Umgehung des Integrals fur y, darum, die Fliigelbewegung in ge- eigneter Weise festznlegen und mit dem Ansatr fur y in Einklang zu bringen. Da die Methoden der tragenden Wirbelflsche linear sind, und da eine Deformationsschwingung nicht berucksichtigt werden moge, so kann man von der Qestalt und dem mittleren Anstellwinkel des Flugels absehen. Es ge- niigt dann nlimlich, die Schwingungen eines ebenen Flugels rnit dem mittleren Anstellwinkel 0 zu be- rechnen und dies0 dem beliebig gegebenen Prof11 als kleine, zeitliche Sck’J“..tlmngen der Profilsehne linear zu uberlagern. Bei ‘.a nach Voraussetzung klsinen Amplituden darf man die Schwankung der Abszisse eines Flugelpunktes Crls klein von hoherer Ordnung auSer acht lassen, und hat dam, als all-

gemeinste noch mogliche Bewegung (vergl. AGb. 1)

p und q Bind als Fourierreihen nach o v zu entwickeln, von denen ich nur das erste Glied beibehalte:

Oberschwingungen wlren wieder linear zu iiberlagern. Auah von Sohwanknngen in der Flugrichtnng die durch periodische Schwankungen von v zu erfassen waren, eoll ab- gesehen werden.

Die QroDen A u n d B will ich als komplexe Schlag- bezw. Drehampl i tude be- zeichnen, denn ( I 3) entsteht durch Kombination der speziellen Translations- und Rotations- echwhgungen

yo und dle damit linear verbundenen Qrtifien werden also linear und homogen in A un B sein. Zur Vereinfachung der Rechnnng kann ich also die Fillle (u) und (p) je f i i r sich rechnen und hinterher linear kombinieren, z. B.

a = A aa + B up USW.

Die komplexen Zirkulationskoeffizienten finde ich nun a m der Q1. (4) wie folgt: Ich setze a , b , c in Form der Reihen

y = p (t) + x 9 ( t ) . . . . . * . . . (12).

y = ( A + Bx) ewIat . . . . . . . . . (13),

A = 1, B = 0 . . (a) und A = 0, B = 1 . . (p).

+ a6 d 3 + u 7 0 0 ’ ~ 1 0 g c ~ ’ + ~ ~ m’310g a = a. + a, w‘ + a:, o)’ Iog m’ + a3 Q J ’ ~ + a4 af2 log m’ + as 01’2 log2 w’

b = bo +. . .; c = co +. . . + ag ~o’~10g~ a’+. . . (14) I

an. w (x, t ) = ( A w’ + B rd x + B) v e w ’ u t = (a won + b woa + c tt,ocj ew’vt

Das sol1 nun identisch in x und t gelten. Fasse ioh beide Seiten als Reihen nach dm (log w’)“ auf, SO mussen deren Koeffizienten identisch sein. Unbekannte sind dabei die a, 6, c. Jeder Koeffizient liefert eine Beziehung in x; von der suntlchst nicht zu er- warten ist, da% sie eich durch nur drei Freiwerte identisch erfullen 1ZiOt. Es war beab- sichtigt, die Bedingung wenigstens an drei geeignet gewllhlten Stellen *I, Xa, *a zu erfiillen. Ueberraschenderweise zeigt sich nun, daD diese Bedingungen gerade vom zweiten und nicht von hoherem Qrade in z sind. Wenigstens ist das bis zu den Oliedern dritter Ordnung der Fall, und 6s ist nicht zu bezweiteln, dafl es auch fur die hoheren Glieder so bleibt. Die Koeffizienten zweiten Qrades in x bestimmen also mit ihren je drei Unter- koeffizienten j e ein Wertetripel der a, b, c. I n jedem neuen Vergleichskoeffizienten tritt dabei ein neues eolches Wertetripel auf, so daD sieh die dreilig angesetzten Unbekannten

01. (4) hat in unserem Falle die Form

Page 5: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

Heft 4 Birnbaum, Das ebene Problem des schlagenden Fliigels 281

aus linearen Beziehungen durch sukzessive Auswertung eindeutig finden lassen. Die Rechnnng ergibt die folgenden Werte:

a. = 2 B v , bo = 0 , co = 0, c1 = 0, Ca = 0, c3 = B v,

=: 2 v [A + 'h B (1 - 2 Z)], bl = 4 B V, aa = 2 B v, aa = 2 v [- A 2 - B (2 - a')], a4 = 2 v [A + B (1 - 2 Z)] , as = 2 B v ,

ba = 0 , b3 = 2 v ( A f '/a B),

b, = C{ = 0, iz 4,

a6 = 2 V [ A Z a - B (I/* + '/a Z - ' / a Z 2 -C Z3) ] , ') a7 = 2 w [- 2 A Z + B('I2 - 2 + 3 Z2)], 08 = 2 v [ A + B ( ' l a - 3 Z)], a:, = 2 B v .

Es sei hier nooh kurz darauf hingewiesen, daB man Naherungswerte fiir die Zirkulationskoeffizienten auch erhllt, wenn man die Wirkung der freien Wirbel auDer acht l%Dt und elementar so rechnet, a18 ob der augenblickliche soheinbare Anstellwinkel jedes Flugelelements fur seine Zirkulation mai3gebend sei, nlmlich der Winkel, den die Luftgeschwindigkeit v relativ zum bewegteo Flugelelement mit dessen Richtung bildet. Da bei Drehschwingungen (B # 0 ) jedes Fliigelelement efne andere Vertikalgeschwindig- keit hat, so sind die soheinbaren Anstellwinkel der Elemente alle versohieden. d. h. der als eben voransgesetzte Flugel verhLlt sich so, als ob er eine soheinbare (dynamische) Krummung hgtte, die periodisch ist. Die einfaclhe Reohnung . (vergl. die Originalarbeit, Dritter Teil, Anfang des Absuhnitts 11) ergibt hiernaah Zirkdationsbeitrage der beiden ersten Grundfunktionen, und zwar nur die folgenden Glieder:

a. = 2 Bv, al = 2 v ( A + '/a B),

Iro - 0, bi = 2 B V,

also bis auf hahere Gilieder und rnit Rucksicht auf die QroBenordnung von B (8. u.) eine gute Naherung.

Aus den Xirkulationskoeftizienten folgt nun leicht alles ubrige. Die Cfr65e m' batte ich eingefiibrt, nm leiohter rechnen und auch komplexe in', d. h. gediimpfte bezw. an- gefachte Schwingungen, berucksichtigen eu konnen. Fur gedampfte Schwingnngen ver- lieren die Integrale (10) zwar ihren Sinn, denn es war vorausgesetzt, daS die Schwingung schon nnendlich lange liinft, SO dafi hier onendlich g r o h Amplituden vorausgegangen sein mufiten. Die erhaltenen Formeln kiinnen aber wohl als Ntlherungen beibehalten werden, vorbehaltlich einer Korrektur fur den Anlaufvorgang. Fur die nun folgende Betrachtung der stationPren Schwingungen rechne ich der pbysikalischen Anschauung wegen mit der reellen Frequenr m weiter.

Auftrieb uod Moment Bind rein periodische CfrOSen, d. h. ihr zeitlioher Mittelwert ist 0. Trotzdem Bind ihre Amplitude und ihr Phasenwinkel von Interesse. Nach Formel (6) ist:

K = Q va m (Aka + Bkp) e l w v t = e v a R (Aka + Ck,) e z o s t

M=ev2m(Ama+Bmp)e 'WVt = p v 2 R ( A m a + Cmy)e'wat (15)- = e v ~ n w ( ~ r C ~ + ~ k y ) e " ~ t

= p V* R d) (Ama + C&) Ir t

- - Dabei ist: -

Hier habe ich als neue Dreh-Amplitnde die GroOe C eingefiihrt. Das geschah deshalb, weil B bei gewohnlichen Schlagbewegungen von der GrSSenordnung a, A ist, wie eine leichte Ueberlegung eeigt. Nun ist w nach Voraussetzung klein, also werden A und C von gleicher GriiSenordnung sein, sodad es fur die Praxis bequemer ist, mit C zu rechnen, statt mit B. Die dritte Form der Luftkriifte gestattet, diese fur Falle gleicher Schlag- geschwindigkeit A i a, e z w a t in einfacher Weise zu vergleichen, wobei die grobste Nlherungs- theorie konstanta Beiwerte k. = 2 i, ky = 2 liefern wurde. Die Beiwerte k iznd m sind komplexe Zahlen, deren Bestandteile duroh die folgenden Reihenentwioklungen gegeben sind.

~

B = C a , ; k T = w k p ; m r = w m p ; k a = m k a ; m , = w m a ; k p = k y ; nzp=mr.

-

Dabei ist bemerkenswert, daS die Reihen fur m endlich sind.

I) Die Dimensionen aller Gr6Ben sind durch die Wahl der Fliigeltiefe als Lltngeneinheit beein- flu5t Ein Aufsatz des Verf. in der Zeitschr. f. Motorluftschiffahrt Uber denselben Gegenstand ist vom Standpunkt der Aehnlichkeitsmechanik einwandtrei angexdnet worden.

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282 Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik Band 4

- k, == kd + iko"; mo = md + md'; 6 = a, y .

(16); cokd = k,' = - ( I - 2 2) - 2 ma log w - 2 n 2 m3 + 2 R ma log a+ . . . . -

coka"= ka" = 2 m - ~t w * + - - 2 .a) m3 + 4 2 a3 logw - 2 m3 logsw + . . . , (%s

(i - 1 kp' = ky' = - ky' = 2 - R w f - + 2 z - 2 2 2 - q2) ,a

0

- 2 (1 - 2 2) wa1og w - 2 ma log^ 0 - ($-; + R 2 - 3 R Z 2 ) Q)

+ ~t ( 1 - 6 2) w310g + 3 R m a l O g a OD f . . , (1 7);

- 1 kp" = k,." = - ky" 5 (3 - 2 2) w + 2 w log a, - R ( 1 - 2 8) W X

log + - + '/a + z - '/a n s 2 - 2 2 + s 2 3 ) m3

W

- 2 n (: +(3/2 R a - 1 -I- 2 Z - 6 Za) d l o g (I) -(1 - G 2) maloggm - 2 (U'1Og3 w+. . . / - -

m,' = a, md = - a,'; m,"= cumd'= 0 . . . . (18);

1 me' = mi' = - - m y " = a, . . (19). nip' = my) = - my) = - 3 l s wa; 1

W w

- -

Es liegt nahe, ko rind mo, wie in der Wechselstromfechnik iiblich doroh die Anfangs- lag0 rotierend gedachter sZeitvektoren<< in der komplexen Zahlenebene darzustellen, und aus ihnen mit den Parametern A und C, von denen ohne Baeintrachtigung der Allgemeinheit A reell gesetzt wer- den darf, die Amplitndenbeiwerte k = A k a + Ck, und entsprechend m nach Ortifie und Phase in bekannter Weise linear zusammenzusetzen. Das Diagramm (Abb. 2 und 3) zeigt die Kurven der Endpunkte der Vektoren k uqd m als Fnnktionen des Para- meters m. In der Daretellung der Knrven fiir i m d m, die fiir die gra- phisohe Auswertung die genauesten Werte liefern wiirde, sind znm Ver- gleich der Konvergenz der Reihen die Kurven der verschiedenen NBherungen nebeneinander eingezeichnet. Von be- sonderem Interesse ist der Fall, bei dem der Fliigel, ohne wesentliche LuftkrZifte zu erfahren, tiber eine

Abb. 2 Vektorielle Auftriebe- ond Yomentbeiwerte

fur gleiche Schlagamplituden.

Abb. 8 Vektorielle Anftriebs- und Momentbeiwerte fur gleiche_Schlaggeschwindigkeit.

Page 7: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

W a a - - m a + n as-- na - z3) a4 - 2 20~*10g 0 + w410ga (II +. . . \

wop’ = 1 wa{ = - ‘ / r (3 - 2 2) CO’ - ‘/a malog co W

?c 7z + 4 (3 - 2 2) a3 + - m 3 log o -/- . . . 2

1 W a f = - 2ua;’= - ‘/a 0 + a/a 92 w3 - (”* n2- ‘I, 22+ ‘1% 8) 6 3 3

w + 1 / ~ ( 1 - 2 ~ ) ~ 3 1 0 g ~ = ’ / a W ~ ~ O ~ ” W - + . . .

n 7K / I (n2 + 1) ma + - (3 11’ + 2 - 4 Za - 4 2) O~ wpp == ;w, , = 2”- 8

?c m +z (I + 2 2) w’log ru - - m*loga m + . . . 2 I

b (21).

Page 8: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

284 Zeitechrift fur aneewandte Mathematik und Mechanik Band P

dann a l s aerodynamischen Wirkungsgrad des Schlagfliigels das Verhgltnis aus Vortriebs- leistung - L, = - W.v zur gesamten, am Flugel aufznwendenden, mechanisohen Leistung L, bezeichnen. Im Falle des Riicktriebes sind noch zwei Miiglichkeiten vorhanden. Einmal kann die Schlagbewegung noch Arbeit erfordern. Der oben definierte Wirkungsgrad wird dann negativ, und zwar beliebig gro8, wenn die Fliigelleistnng L, immer kleiner wird. Zweitens kann auch der Fall eintreten, da8 L, negativ wird, d. h. der Fliigel er- hiilt dann Energie aus der Luft (indirekt vom Propeller) zngefiihrt, und kann diese zur Ueberwindung der Widerstande im Sohwingungsrnechanismus verwenden oder sie in der Sohwingung selbst aufspeichern, d. h. seine Amplitnden vergrobern. AuSer dieser BInkrement- leistungc hat der Propeller in diesem Falle naturlich auch noch die Energie der freien Wirbel zu liefern, soda6 man als Wirknngsgrad in bezug auf die Leistungsaufnahme des Fliigels den Quotienten Bus - Lf und der gesamten Propellerleistung definieren kann. Das ist dann genan der reziproke Wert des oben definierten Wirkungsgrades, der in diesem Falle als Quotient zweier negativer Zahlen zwar positiv, aber grofier als 1 wird, also seinen physikalischen Sinn verliert. L/ aerftlllt in zwei Teile. Es ist . .

= p + g , 3c=i m2, ( A + Be) f3i-t. at

Damit wird Lt = K .p die >)Sohlagleistungx und L, = M - 6 die Leistung gegen die Dreh- sohwingung, also ist die Flugelleistung Lf = Lt + L,. Mit L, = W - v bezeiohne ich die Leistung gegen den Widerstand. In der Luft bleibt dann im ganzen L = Lf+ L, = L, + L, t L, zuriick. Von slmtlichen Li gebe ich wieder nur die zeitlichen Mittel- werte an, fur die ich quadratische Formen desselben Typs erbalte, wie fur W:

(3 2).

l i o i k = W & k a . . . . . . . . . (23);

1 Li = Q v 3 n { Aa l iaa + 2 A B’ Z,mp + 2 A B” 1,upt + (B” + B”’) l j p p } + 2 A C” I j q “ + (C’ + C’la) z,,,} = 0 v3 { Aa Z,aa + 2 A C’

L, hat endliche Reihen nnd ist i. a. klein gegen Lt. Im einzelnen sind die Beiwerte:

I 7.c

2 z r a , = ws- - o3 + c:- zd) w 4 t - 2 zw410g a, - w4ioga w +. . .

1 I t n p ~ = - I t ayl = ‘ / r (3 - 2 2) a + ‘/a log (U

UJ

v (27).

Page 9: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

Heft 4 B i r n b a n m , Das ebene Problem des schlagenden Flupels 285

L kann als Energie des Wirbelschwanzes naturlich nie negativ werden, mu5 also eine in den Amplituden positiv-definite qnadratische Form sein. DaB in der angeschriebenen Form L anch kleiner negativer Werte fahig ist, liegt an der Vernachlllssigung hSherer Glieder der Reihenentwioklunn. Was man in diesem Falle erhllt, ist also nur lder zufslllig negative Fehler der nahezu verschwindenden Wirbelleistung. Da bei Verwendung von C alle Beiwerte den Faktor a)’ enthalten, so ist dieser bei der graphischen Anftragnng gekurzt worden, was wieder der Lei- stungsdarstellnng bei konstanter Sohlaggeschwindig- keit entspricht (Abb. 4). Die Knrven zeigen, da5 die wesentlichen Cflieder stets von der Schlagampli- . tude A herriihren, event. i n Verbindung dieser mit der Drebamplitude, und dai3 die entsprechenden Beiwerte etwae langsamer anwachsen als ma. Unter Drehschwingnng wurde oben zunachst eine solche urn die z-Achse verstanden. Allgemeiner ist jede Schwingung, bei der A und C reelles Verhaltnis hahen, eine Drehschwingung urn die feste A c h e mit der Abszisse a, wo dann A = - a C w ist. Es zeigt sich, dafl fur nicht zu gro5e Werte von u w , d. h. fur Achsen, die in nicht zu groDer Ferne liegen, W und L stets positiv sind, d. h., es ist nicht moglioh, dnrch Drebschwingungen urn feste Achsen Vortrieb oder Leistungsanfnahme zu erhalten. Z u r Vortrieberzeugnng ist stets eine von 0 verschiedene Schlagamplitude, zur Leistungsaufnahme aui3er dieser eine um rd. 90° nacheilende Drehschwingnng er- forderlich. Reine Schlagschwingnng ohne Drehnng erzeugt anch bereits Vortrieb, der sich in grobster NLherung ahnlich wie beim sogenannten Knoller- Betz-Effekt (wenn man mit der y-Aohsa als uPolarecc im ebenen Problem rechoet) zu

- W = A2gvarzm2

Abb. 4 Leivtungs - ond Widcratundsbeiwerte

fiir gleiche Solilaggeschwindigkeit. I ) d l / a a ; 2 ) w-2 y a y ’ ; 3) ~ 0 - 2 ~ u y ” ;

7) m‘’wuy”; 8 ) ~ ~ ‘ ~ t o y y ; 4 ) “ ’ -s I fyy ; 5 ) d w a a ; 6 ) w - 2 w u y ’ ;

ergibt. Einen guten Einbliok in den Verlauf von Widerstand und Leistung gewinnt, man,

wenn man bei festem Absolutwert des Amplitudenverhaltnisses C : A = c nur. den Phasen- winkel 9, zwisuhen beiden Schwingnngskomponenten verandert, wo dann C’ = A d = Ale/ cosq, C” = Ad’ = A/cl sinq z u setzen ist. Es zeigt sich, daS W ein Minimum, d. b. der Vortrieb ein Maximum wird, wenn die Drehung um etwas mebr als 90’ voreilt, nam-

lich um cp = arc tg __ Auch physikalisch ist plausibel, da5 der Vortrieb gerade dann

grofie Werte annehmen wird, wenn die Phase um rd. 180° gegenuber der bei luftkraft- freiem Cfleiten uber die Wellenbahn vorhandenen Phase verschoben ist. Fiir jedes Ic[ gibt ee ein IU nnd umgekehrt, bei dem das Vortriebsmaximum ein absolutes ist. EN

way) *

L wird eio Minimum und verschwindet bei geeignetem a, bis auf Glieder fiinlter Ord- nung bei einem Naoheilen der Drehnng nm etwas mehr als 90°. Die Flugelleistung LJ schlieSlich wird ein Minimum, d. h. die absorbierte Leistung ein Maximum, wenn die

Drehung um etwas weniger als 90’ nacheilt, namlich bei cp =arc tg fay”. Auch dieses

Maximum wird absolut, wenn zwischen c und a) die folgende Bedingung erfiillt ist:

1

%a 7‘

Ubrigens wird L uberhaupt nur d a m negativ, wenn lcl> 1 ist.

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286 Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik Band 4

Der Wirkungsgrad

ist der Quotient zweier quadratischer Formen und mannigfaoher Werte fiihig. Er wird im allgemeinen fur kleine oder ganz versehwindende Schlagamplitnden negativ nnd mit (11 + 0 beliebig grod. Dasselbe gilt bei Drehungen nm eine feste, nicht ,en ferne Achse. 1st aber A

Durch eine gleich- oder gegenphasige Drehkomponente (c” = 0) wird 7 gegeniiber c - 0 stets vereohlechtert und dasselbe gilt bei c’ = 0, c” > 0. Dagegen wird bei c’ = 0, - 1 5 e ” 5 0 der Wirkungsgrad verbessert, wie aus dem Diagramm (Abb. 5 ) er- sichtlich ist. Fiir c’ = 0, e” = - 1 wird 71 identisch 1 und fiir c’ = 0, c’’ < - 1 ergibt sioh Leistungsaufnahme. aAnch fur den Wirkungsgrad ist die Darstellnng bei festem Ic( in Abhhgigkeit von als gebroohene einwellig-harmonische Funktion sehr anschaulich. Man erkennt aus Abb. 6 dentlich, bei welchen Phasenwinkeln der Uebergang von Lei- stnngsabgabe in Leistungsaufnahme stattfindet. Die wichtigsten der aus den Reihenent- wicklungen gefundenen Beiwerte eind in der Zahlentafel niedergelegt.

5. Anwendung auf das Flattern elastiseh befetffgter Flfigel. Eine praktische Anwendung der abgeleiteten Gesetze ergab sich in der Untersachung einer Ersoheinung, die maere Flieger im letzten Kriege beobachtet haben. Bei den sogenannten 1 ‘It-Deokern war der untere Fltigel nur an einem einzigen Holme befestigt, also gegenuber kleinen Ausbiegungen und Drehnngen nur schwach gefedert. Bei erhohter Fluggeschwindigkeit, e. B. bei steilen Sturefliigen, trat dann mihinter ein lebhaftes Flattern der nnteren Fliigel- spitsen ein, die lim: verstgrkten Luftstrome offenbar instabile Sohwingungen machten.

0 und auch lim A + 0 , so geht 7 zur Grenze 1 bei rn 3 0. m = O

Abb. 5 Wirkungsgrade als Funktion von cu bel verschiedenen AmplitudenverhBltnissen c.

Abb. 6) Wirkungsgrade a1sZFanktion::der Phase y.9

Page 11: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

Heft 4 Birnbaum, Das ebene Probfem des schlagenden Fltigels 287

Solche sind natiirlich nur bei Energiezufuhr zu dem schwingenden System moglich, und diese tritt nach meinen Untersuchungen ein, wenn der Drehamplitudenvektor nm etwa 90° nacheilt und wenn die Dreharnplitude selbst groD genug let (es mu6 niimlich \c( > ( A [ sein). Man denke wieder an das fast luftkraftfreie Qleiten des Fliigels fiber eine Wellen- bahn , bei dem die Relativgeschwindigkeit der Luft zu den Flugelelementen keine Verti- kalkomponente hat. 1st die Drehamplitude kleiner, als diesem Falle entspricht, SO wird die Bewegung durch die ihr entgegenwirkende Luftkraft gedttmpft. 1st die Drehampli- tude dagegen gro%er als im genannten Falle, schaufelt der Flugel also tiefer in die Luft ein, so wirkt die Luftkraft immer im Sinne der Bewegung und diem wird angefacht.

Ich betrachte also einen Flugel, der auf Holmen gelagert ist, und zwar federnd gegen Translation in der y-Richtung und gegen Verdrehnng. Um an meine bisherigen Formeln anschliehn zu kSnnen, iiihre ich die Direktionskriifte pro Lltngeneinheit in der z-Richtung ein, rechne also so, als ob diese stetig uber die LPnge des Fliigels verteilt wgren, eine Annahme, die zu keinen Widerspriichen fiihrt, wenn der Flugel an sich, ab- gesehen von seiner Lagerung, hinreichend steif iet. Da ioh von Ausbiegungen in der Flugrichtung absehe, so laat sich zeigen, da% ein auf Holmen gelagerter Flugel immer nur drei wesentlicbe Elastizitlttsparameter hat, entsprechend den drei Konstanten der in p und cp qnadratischen FormZlnderungsarbeit (vergl. Abb. 1 bezw. die Originalarbeit). Er UOt sich also in bezug auf seine elastischen Eigensohaften stets ersetzen durch einen Flugel, der nur auf einem Holm (der ,elastisohen Aohsecc) mit der Abbzisse a gelagert ist, gefedert gegen Translation mit der Direktionskraft c und gegen Drehung mit dem Di- rektionsmoment y, wie dies schematisch in Abb. 1 angedeutet ist. Die Besultierende der elastischen $rtifte und ihr Moment im Ursprung sind dann:

K = - c(p+ucp) , M~=-cap- ( ( caa+y)cp . 1st s die Abszisse der Schwerpunktsachse (Punkt S, Abb. I), so haben rnit der

Masse n2 pro Liingeneinheit und dem entsprechenden Triigheitsmoment 6 = m r 3 fur die Schwerpunktsachse, der Impuls nnd sein Moment im Ursprung die Werte:

~ = m ( p + s b ) , U=rnsp +(msa+a)&=rnsj + m ( s ~ + r s ) p i .

6 = K. U = 2cL Die Bewegungsgleichungen des Fliigels lauten dann :

Bei K nnd dlI sind noch die Luftkrilfte hinzuzufugen. Setze ich wie friiher w' v t cp=Be , w' v t p = A e ,

und beachte ich, da% die Luttkrlfte auf den Flugel entgegengesetzt wirken, wie die oben bereohneten Krtifte dos Fliigels ant die Luft, so wird

K=-eeOlat { c A + c u B + ~ v ~ , ( A k . + B k p ~ ) , M= - e w'a 1 { c u A + (.aa+ y ) B + ev2n (Aw, + Bmg)f.

Zur Abkiirzung fuhre ich noch die folgenden Bezeichnungen ein: C - q? - ('0 ___ - 6 ) o ~ -- Y 4"

m mua - _ _

Damit ergeben sich endlich ale Schwingungsgleichungen : (ata+ moa + @ok,) f B (sda+ acooa+ pokp) = 0.

A (sm" + uc%a + eom,) -+ B ((r3 + s*) a'$ + (us + qa) woa + pomp) = 0 . (29).

Nullsetzen der Determinant0 liefert die Oleichung fur die Frequenzen a, = - id. Sehe ich zunachst einmal von den Luftkriiften ab (dam ist eo = 0 zu setzen), so ergeben sich zwei Hauptschwingungen als Folge der Koppelung der Sahwingung des Schwer- punktes rnit der Frequenz wo und der Schwingung um den Schwerpunkt mit der Freqnenr 4 m0. Mit 8 = (s - u ) ~ + r2 + qa ist namlich T

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288 Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik Band 4

Die Hauptschwingungen sind also Drehschwingungen um f a t e Achsen in den Ab- stlnden al, aa. Die BroBe s - a bildet ein MaO fur die Koppelung. Im allgemeinen bilden sioh Schwebungen aus beiden Hauptschwingungen aus. Schreibe ich diese in der Form

so kann man die Bewegung als eine gewahnliche Schwingung mit nach UroSe und Phase langsam veranderlichem Amplitudenverhlltnis auffassen. Dabei tritt natiirlich auch perio- disch wiederkehrend der Phasenwinkel anf, der im Luftstrome der Leistungsaufnahme entspricht. Sollen nun die Luftkrafte der Andernng dieses Phasenwinkels entgegenwirken, entspreohend dauernder Energiezufuhr, so lilSt sich zeigen , da5 der Fall geringer Koppe- lung (s - a klein) bei abgestimmten oder nahezu abgestimmten Frequenzen des unge- koppelten Systems fur diese Erscheinung die beste Voraussetzung ist. Ohne Koppelung (s = a) wurde iiberhanpt keine instabile Schwingung miiglich sein, das sei aus den Re- eultaten der nun folgenden Rechnung mit Berucksichtigung der Luftkrafte vorweg- genommen.

Die in der Schwingnngsdeterminante vorkommenden Luftkraftbeiwerte sind selbst Funktionen der Frequenz w’, die sich nicht durch einfache analytische Ausdrucke angeben lassen, so da5 die Wurzeln der Schwingungsdeterminante nicht in einfacher Weise er- halten werden k6nnen. Da ihre Existenz indessen durch den physikalischen Sinn des Problems gesichert ist, so ist es erlaubt, an Stelle der Beiwerte 7e und m die ersten Glieder ihrer Reihenentwicklungen in die Qleichung einsufuhren, zumal der anftretende Faktor e0 i. a. eine kleine Zahl ist; denn es hat Sinn, die Reihe fur cosz abzubrechen, urn &us dem erhaltenen Polynom z. B. die erste Nullstelle dieser Funktion angenahert zu finden, wahrend dasselbe Verfahren bei e“ keinen Sinn hat, da eben von dieser Funktion keine Nnllstellen im Endlichen existieren.

Die Schwingungsdeterminante crhalt die folgende Form : ~ ~ r n ’ l + 6 ~ 0 2 ~ ’ S + q 2 ~ 0 4 + ~ O ~ ’ a [ ( r Z + ~ ~ a ) k k , - s k p - s m m , + m p ]

+ eowoa [(aa + ga) ka - akp L- am, + ma] + Poa (k,rnp - kpm,) = 0 (31). Die grobste Naberung ergibt die Rechnung, welche nach Art der Theorie des

Knoller-Betz-Eff ektes den augenblicklichen scheinbaren Anstellwinkel und die scheinbare (dynamische) Krummung des Flugels der Bestimmung der Auftrieb- nnd Momentbeiwerte zugrunde legt. Schon damit ergeben sich in gewissen Fallen komplexe Wurzeln m’ mit positivem Realteil, die ein .Inkrementc der Sohwingungen ergeben, also dynamiseher Instabilitilt entsprechen. Ant diese Naherung will ich hier nicht weiter eingehen. Auch von dem Fall der ,grobsten Iustabilitlt will ich , weil er trivial ist, nur kurs Erwahnung tun. Er tritt ein, wenn die elastische Achse so weit hinten liegt, daD bei der geringsten Entfernnng des Fliigels aus der Gleichgewichtslage der Luf tstrom den Apparat einfach aperiodisch nach hinten umkippt. Das tritt stets ein, sobald a positiv und die Luftge- schwindigkeit grod genug ist, namlich bei cd > ‘-- oder w a > 2 bei a > 0. a woa

2 ?o z‘gna Behalte ich nun von k und m alle Glieder bis zur zweiten Ordnung in o’ bei, so

wird die Periodengleichung des Flugels: f(d) = a. 91’4 + ao’ 01’4 log o’ + ao” mr4 loga m’ + bo + bop 00’3 log co’

+ co m’a + cd dZ log m’ + c;’ O I ’ ~ log2 O’ + do OJ’ + do’ m’ log m’ + eo = 0 (3 2) mit den Koeffizenten:

a. = ra + e o s + eO2(% + ‘Ir 2- Za) > 0. bo = eop + eo* (% - 2) > 0,

do = W o a e o l > 0 , co = ooa (8 + eov) - 2 p o s + eoZ, eo = ooa(qarnOa- z g o a ) . a<’= - eo (2s + Po), ao’ = eo[2 (r2 i - sa ) -2s ( t - 2 2 ) - e o ( ’ / r - 2 4,

8 = (s - a)a + ra + qa > 0,

bo’ = - e o ( z s-eo): co’ = 2 Po cooa [aa + qa - a (1 - 2 Z)] . co)’ = do’ = - 2 ~ 0 a c u ~ 3 .

p = 1 + 2 (9 + sa) - s (3 - 2 2 ) > 0. L = 1 + 2 (a2 + qt) - a (3 - 2 2 ) > 0.

v = ( q 2 + d ) ( t - 2 2 ) - a ( l - 2 2 + 2 2 3 + 3/* > 0. E = + 2) (I - 2 2 ) - s (1 - sz + 2 2 3 + > 0.

2= 0 , 1 1 5 9 3 . . . . , .

Page 13: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

Heft 4 B i r n b a u m , Das ebene Problem des schlagenclen Flugels 289

6. Numerisehe Auswertuug. Die Gleichung laDt sich natiirlich nur naherungs- Zu dem Zwecke lieB ich die logarithmischen Glieder zunachst weg und weise auflasen.

bestimmte die Wurzeln 2 der algebraischen Gleichung

Diese betrachte ich als Ntlherung, setze w’ = 2 + x nnd kann nun die logarithmischen Glieder unter Beibehaltnng der lindaren Glieder in x entwickeln.

- - - - - * g(m’) = a, a)’* + bo + co w ’ a + do cu’ + eo = o . . . . . (33).

So erhalte ich

(34). - R

S

- x = - cu’logw’ - . . . . . . . . .

- - - .- - R = ao’ (u ’~ + a,” log m’ + b,’ w r 2 + c,,’ w’ + d,’ (I + 2 log 2).

- - - S = 1 a , ~ ’ ” + a o ’ w ’ ” l o g ~ ) + 2 a o ’ ’ w ) ~ l C g ~ ( l +2logm’)

- - +3bocu’2+bbo’OJ’~(l + 3 1 0 g w ) + 2 c o : o + c c o ’ ~ ( 1 + 2 1 0 g o ’ )

+ do + do’ (1 + 2 2 l o g 2 ) (1 + logw’). Das Verfahren 1liDt sich fortsetzen und liefert die weitere Naherung

R (m’) a’ logal’ + g (al’)

Schliefllich folgt das komplexe AmplitudenverhZlltnis B : A = b an8 einer der Qlei- chungen (29).

Es handelt sich nun noch darnm, die Bedingungen kennen zu lernen, wann die Gleichung fur w’ komplexe Wnrzeln mit positivem Realteil hat, entsprechend angefachten Schwingungen oder kritischer Lagerung des Fliigels. Fiir den Grenzfall dynamischer Indifferenz setze ich die Wurzeln der Gleichung (32) rein imaginlr an und erhalte durch Nullsetzen des reellen nnd des imagingren Bestandteils der Gleichung die Bedingungen:

x’ = - (d

7 9

4 2 (a, - - ad’) cu4 + aOl w410g a, + ao’l w41og2m + 6,’ w3

I + a,’ l ogo (I - 72 a) 4- do = 0

Aus ihnen wiire in jedem spezieIlen Falle w zu eliminieren, wodurch sich eine Bedingungsgleichung fur irgend einen der Parameter s, a, ra, qa, KO, po oder fur die Fluggeschwindigkeit v ergibt. Naherungsweise geniigt es aber auch schon, die Glei- chung (33) zu untersuchen. Da die Nahernng (34) im Falle der Instabilitat eine kleine zustitzliche Dilmpfung ergibt, so sind die aus den folgenden Gleichungen abgeleiteten Kriterien fiir InstabilitPt zwar notwendig, aber nicht immer hinreichend, sie gelten also nnr vorbehaltlich der Nachprufnng mit der Naherung (34). Der Flugel darf aber immer- hin als kritisch gelagert gelten, wenn sie erfullt sind. Ehe ich das allgemeinste Kriterium fur Instabilitat hinschreibe, will ich ein solches anfuhren, das sehr einfach ist, dafiir aber nur fur Ftllle grober Instabilitiit ausreicht. Es ist dies die Bedingung, dafl der Koeffi- zient co negativ wird:

c (8 + Po y ) . . . . . . . . . . (36). *’ ’ pTG(28 - Als Funktion von s geschrieben, lautet dieselbe Bedingung :

sawOa - 2s (go + ~ m , 3 ) + P o a + wo2 (a2 + pa + qa + pow) < 0.

Weitere (frenzen liefert die Rou th ache Bedingung

. (37).

do Po co < a, - + eo -

ba do oder

1 wes

I p + 4 0 P/4 - Z ) 0 ~ 0 ~ ( a + e 0 4 + e ~ ~ - 2 e ~ s ~ [ r a + e 0 ~ + p O S ( ’ / ~ + 1/4Z-Z2)] p + eo (‘/4 - Z) + (qawo2 - 2goa) __ __- 1

Um diese Gleichung mi erfullen, wird man vor allen Dingen verlmgen, daO ZI

groB genug, d. h. coo klein genug ist. Ferner mufl s positiv sein und damit ist auch s - a positiv, denn a > 0 ergCbe, wie vorher angefuhrt, bei hinreichend groflem v stet6

Page 14: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

290 Zeitschrift fiir ancewandte Mathematik und Mechanik Band 4

grobe Instabilitilt. Man kann sich leicht iiberlegen, daB dies so sein mufl. Die Schwer- linie des Fliigels als Triigheitsmittellinie eilt im allgemeinen der elastiechen Aohse als Angriffslinle der Direktionskraft nach. Liegt die Schwerlinie also in der Flugrichtnng hinter der elastischen A c h e (s - a > O), no hat der Flugel bei seiner Aniwilrtsbewegung im Miltel positiven Anstellwinkel und umgekehrt bei seiner Abwiirtsbewegnng. Die Luft- krlfte wirken also jeweils im Sinne der Bewegung und verstilrken die Schwingnng, wghrend im Falle Y - a < 0 das Umgekehrte, also Mmpfnng, eintritt.

Da6 znm Znstandekommen der Schwingung beide Freiheitsgrade zusammenwirken mussen, ist leicht zn bestatigen. Die Rechnung ergibt stets Wurzeln mit negativem Real- teil, wenn einer der Freiheitsgrade gebunden wird (entsprechend mO = m oder q' = m). Das wird bestiltigt duroh das Fehlschlagen von Versuchen, die friiher mit einem Flugel mit nur einem Freiheitsgrad in Qittingen angestellt wurden.

Die vom Flugel abgegebene bezw. anfgenommene Leistnng L ist nach friiheren Formeln

Lf = Aagnv31f, lf = lfaa + 2b'Zragl + . . . . . . . . . . (38a). Setze ich vorubergehend m' = /3 + i m , so ist der Mittelwert der gesamt'en Flugel-

energie bei konstanter Amplitude A - E = ' I , mvaAa Q; Q = ~ 0 ' + ms + 2 b' (U COO + s m2) + (b" + Va) [(aa + q') COOa+ ( T ~ + s ' ) ma].

c F federgelt-nnk

I-=--Tl --I I -- -t

Abb 7 Versuchsanordnnng.

Page 15: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

Heft 4 Birnbaum, Das ebene Problem des schfagenden Flilgels 291

0,01892 0,13532 0,13982

- 0,00788 - 0,0032

- 0,000192 0,0064

Nun ist A = A. en P t und daraus in anderer Form -

0,02317 0,16182 0,17029

- 0,00710 - 0,0050

- 01000375 o,aioo

Hat man die Schwingungsrechnnng durchgefiihrt, SO liefert hiernach die Ueber- einstimmung der auf verschiedenen Wegen gefundenen Werte I/ eine Kontrolle fiir die

- 0,7614

- 0,3371 0,03419

0,09088

- Rechnnng.

P. Vergleich mit einem Versnchsergebnir. Zur BestEltigung def Theorie wurden im kleinen Wind- kana1 der GSttinger aerodynamischen Versuohsanstalt Versuche mit einem leichten Holzfliigel von 60 cm Ltlnge und 10 em Tiefe angestellt.

Dieser wurde zwischen ebenen Seitenwllnden an einer Achse mittels Federn aufgehlngt. Die Federn griflen an kreuzfhmigen Blechen an, die auDerdem verschieb bare Laufgewichte zur Variation des Sohwerpunktsab- stand08 und des TrLgheitsmoments trugen. Durch die Aufihgeiedern bezw. ihre Vorspannung wurde auf die AnfhHngeaohse die meinem Aneate entsprechende Direktionskraft bezw. das Direktionsmoment iibertragen. Auf weitere Einzelheiten der Apparatur, will ioh hier nicht eingehen und ver- weise dazu lieber auf die Zeichnung Abb. 7. ,Zweck der Versuche war, die Inkremente bezw. Dekremente der Schwingnngen BU bestimmen, nnd dam geniigte es, die Schwingung eines

- 0,7014

- 0,3089 0,03150

0,10273

’7

0,09408 0,01005

0,09408

0,8455

0,4312 - 0,02414

0,0032

Abb. 8

Schwinguiigsdiagramme.

0,10773 0,01571

0,10773

0,8091

0,4166 - 0,01579

0,0050

Zahlenta ie l e r r e c h n e t e r Beiwerte f u r Luftkr t l f te und Leis tungen .

0 = 0,oz

0,00262 0,03852 0,03860

- 0,00184 - 0,0002

- 0,000003 0,0004

- 0,9336

- 0,4529 0,02369

0,02924

0,02944 0,00063

0,02944

0,9631

0,48235 - 0,02306

0,0002

0,04

0,00773 0,07387 0,07449

- 0,00468 - 0,0008

- 0,000024 0,0016

- 0,8684

- 0,4094 0,03209

0,05414

0,05494 0,00251

0,05494

0,9233

0,4643 0,0008

- 0,02958

0,OG

0,01351 0,10605 0,10806

.- 0,00694 - 0,0018

- 0,000081 0,0036

-___ - 0,8073

- 0,3707 0,03480

0,07468

0,07648 0,00568

0,07648

-___ 0,8837

0,4471 - 0,02914

0,0018

0,08 I 0,lO 0,12

0,02572 0,18601 0,19989 - 0,00452

- 0,0072

- 0,000648 0,0144

- 0,6576

- 0,2862 0,02752

0,11024

0,11744 0,02262

0,11744

0,7750

0,4036 - 0,00490

o,aom

Page 16: Das ebene Problem des schlagenden Flügels

292 Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik Band 4

Punktes, z. B. der Aufhlngeachse aufzuseichnen. Das geschah mit Hilfe einer Registrier- trommel, die das physiologische Institut der Uoiversitat Gottingen freundlichst zur Ver- fiigung gestellt hatte. Einige der aufgenommenen Diagramme gediimpfter und an- wachsender Schwingnngen sind in Abb. 8 wiedergegeben. Ans ihnen wurden die Ver-

hlltnisse 6 = e anfeinander folgender Amplituden bestimmt und nnter Beriicksichtigmg der Reibnngsdampfung, die ein dot und dor der Translations- bezw. Rotationsschwingung lieferte, mit den rechnerisch gefundenen Werten verglichen. Die Uebereinstimmung darf innerhalb der erheblichen Fehlergrenzen, die sich nur durch gr6Beren Anfwand an Zeit und Mitteln hatten verengern lassen, als gnt bezeichnet werden.

Der Gang der Zahlen war in bester Uebereinstimmnng rnit der Theorie. Es ergab sich Anwachsen oder Dampfnng der kleinen Schwingungen, je nachdem der Fliigel nach hinten oder vorn Uebergewicht hatte, und dabei vergr80erte sich das Verhllltnis aufein- anderfolgender Amplituden, wenn das Uebergewicht vergro%ert oder der Fliigel starker angeblasen wurde. Der Augenschein zeigte deutlich ein Voreilen der Vorderkante des Fliigds, wenn dieser instabil gelagert war. Das entspricht in der eingefuhrten Bezeich- nungsweise einem Nacheilen der Drehschwingnng , wie es bei Leistungsaufnahme sein mu%.

Bemerkenswert ist noch, da3 sich bei kleinen Luftgeschwindigkeiten von etwa 5 m pro Sekunde, der EinfluD der ZLhigkeit in der Weise zeigte, da% bei kleinen Anstell- winkeln der Auftrieb noch nicht 17011 ausgebildet war. Bei den kleineren Kennwerten von etwa 500 m/sek. mm hat namlich, wie auch andere Versuche in Oottingen ergaben, ein symmetrischer Fliigel einen kleinen Bereich .toter Anstellwinkel<<, wo der Aufcrieb in der NLihe von nnll bleibt. Die kleinen Schwingongen wurden daher noch abgedhpft , wenn solche mit gr B%erer Anfangsamplitude schon anwachsen. Die rwischen diesen beiden FLillen liegende Qrensamplitude wnrde rnit wachsendem v natiirlich immer kleiner.

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Uber die Wasserstromung in einem mit Stichkanalen versehenen Umlaufkanal bei Kammerschleusen.')

Von B. SCHUMACHER in Duisburg-Meiderih.

ei einer Untersuchung iiber die Grundlagen der Wasserbewegung beirn Betriebe von Kammerschleusen trat die Aufgabe anf, die Stromungsverhiiltnisse an den Trennungs- B stellen von Umlauf und Stichkanalen zu ermitteln. Es handelt sich urn die Stromung

in einem Kana1 mit rechteckiger Abzweigung. Die aweidimensionale Potentialstromung in einem solchen Bereioh 1H8t sich nach der Methode von Chr i s to f f e l -Schwarz be- rechnen (Abb. 1). Hier aber sol1 gezeigt werden, daf3 man auf ganz elementarem Wege eine sehr brauchbare Nllhernngslosung erhalten kann.

Abb. 1 Abb. 2

1. Zahlenmlljige Herstellung der Abbildung. Die Strom- nnd Qefa~inien eines geraden Kanals mit parallelen Wandungen sind bekannt, da die ihnen zukommenden Parallelen und Senkrechten der Kontinuitltsbedingung geniigen (Abb. 2). Dieser Parallel- streifen SOU auf eine Fllche winkeltren abgebildet werden, die aus einem durchlaufenden

l) Aus einer von der Technischen Hochsohule i n Aachen genehmlgten Dr.-1ng.-Dissertation vom 7. MBrz 1923: Ueber die G r i n d l a g e n der Wasserhewegung beirn Betriebe von Kammerschlensen (Ref, Prof. B l u m e n t h al) .