Das Koordinatensystem Gauß-Krüger (GK) · Einführung Geoinformatik Wilfried Linder Das Koordinatensystem Gauß-Krüger y = 0 m x = 3500000 m 9° ö.L. Da die Ost-West-Erstreckung

Einführung Geoinformatik Wilfried Linder

Das Koordinatensystem Gauß-Krüger (GK)

Mittelmeridiane 3° 6° 9° 12° ö.L. …

(= Berührkreise)

Äquator y = 0 m

x = 500000 m


Das Koordinatensystem Gauß-Krüger

Es handelt sich um ein kartesisches Koordinatensystem, d.h.

die Achsen stehen senkrecht aufeinander (orthogonal)

die Skalierung ist konstant und auf allen Achsen gleich

Die Längeneinheit ist Meter, für Deutschland wurde früher das Ellipsoid

von Bessel (1841) verwendet.

Kleine Aufgabe: Wie lang (in km) ist die Strecke, die einem Grad im

Gradnetz der Erde entspricht?

Rechnung: Erdumfang ≈ 40000 km / 360° ≈ 111 km

Gilt dies überall auf der Erde?

Nur entlang des Äquators sowie entlang von Längenkreisen (also in

Nord-Süd-Richtung)!



y = 0 m

x = 3500000 m

9° ö.L.

Da die Ost-West-Erstreckung einer Zone maximal

333 km betragen kann (am Äquator), verhindert

die Additionskonstante 500000 m für den

Mittelmeridian negative x-Werte.

Um weltweit eindeutige Koordinaten zu

bekommen, wird dem x-Wert eine Kennzahl

vorangestellt, die sich aus der geogr. Länge des

Mittelmeridians berechnet:

Kennzahl (Zone) = östl. Länge Mittelmeridian / 3

Der y-Wert gibt die Entfernung vom Äquator an.



Kleine Aufgabe: Beschreiben Sie die Lage eines Punktes im Gradnetz

der Erde, der folgende Gauß-Krüger-Koordinaten hat:

x = 3467000 m, y = 5828000 m

x-Wert: Kennzahl (= Zone) ist 3 ==> Mittelmeridian 9° östlicher Länge

467000 < 500000 ==> der Punkt liegt 33 km westlich von 9° ö.L.

y-Wert: Erdumfang ca. 40000 km ==> 90° entspricht ca. 10000 km

==> der Punkt liegt auf ca. 52.5° nördlicher Breite

Bitte merken: Für Deutschland sind Gauß-Krüger-Koordinaten in

beiden Komponenten (x und y) 7-stellig. Die erste Stelle des x-

Wertes ist die Kennziffer oder Zone.



Einiges zur Terminologie:

Zur Vereinfachung wurde auf den vorigen Folien von „x“ und „y“ im

mathematischen Sinn gesprochen. Tatsächlich heißen die

Komponenten bei Gauß-Krüger „Rechtswerte“ und „Hochwerte“.

In der Geodäsie ist es üblich, dass die x-Achse nach Norden, die y-

Achse nach Osten weist. Daher ist Sorgfalt geboten, wenn man

Koordinaten unbekannter Herkunft verwenden möchte, deren

Komponenten ohne weitere Erklärung mit „x“ und „y“ bezeichnet

sind!



Eine weitere Falle:

Berechnen Sie die Distanz zwischen folgenden beiden Punkten:

x1 = 2551000 y1 = 5833000 und x2 = 3436000 y2 = 5798000

Der gute alte Pythagoras liefert 885.69 km, nur ist das leider

FALSCH! Wieso?

Die Punkte liegen in verschiedenen Zonen (2 bzw. 3). Um die Distanz

zu berechnen, muss man einen Umweg gehen, der uns später auch

noch bei anderen Problemen helfen wird. Vorschläge?



Eine Möglichkeit wäre folgende: Wir transformieren beide Punkte

zunächst in geographische Koordinaten [Dezimalgrad]:

x1 = 6.75329 y1 = 52.62900 x2 = 8.06143 y2 = 52.31310

Diese transformieren wir dann zurück nach Gauß-Krüger, jedoch

beide in die selbe Zone. Als Beispiel könnten wir Punkt 1 entgegen

der Regel nach Zone 3 transformieren und erhalten dann

x1 = 3347901.60 y1 = 5835104.40

Jetzt können wir Pythagoras anwenden und berechnen die korrekte

Distanz zu 95.59 km.


? ? ?


Auflösung der vorigen Folie:

Oben rechts: Zugrunde liegt ein Datensatz, der die Koordinaten als

geographische Koordinaten (Länge, Breite) in Dezimalgrad enthält.

Dieser wurde „einfach so“ grafisch umgesetzt. Das Grafikprogramm geht

dabei von kartesischen Koordinaten aus, wobei es sich in Wirklichkeit

aber um nicht-kartesische Polarkoordinaten handelt.

Unten: Der Datensatz wurde mit den üblichen Formeln nach Gauß-Krüger

transformiert. Man sieht die 4 Zonen. Problem: Die Kennziffer der x-Werte

hat mit den eigentlichen Koordinaten nichts zu tun, wird aber vom

Grafikprogramm so gewertet.

Oben links: Der Datensatz wurde komplett nach GK Zone 3 transformiert

(also entgegen der GK-Konvention).


Winkel / Gradangaben

Bevor wir zum zweiten wichtigen Koordinatensystem (UTM)

kommen, wollen wir uns kurz noch mit Gradangaben befassen.

Es gibt viele Einheiten: Grad (Vollkreis = 360°), Gon (Vollkreis =

400g), Bogenmaß (Vollkreis = 2π), Artillerie-Strich (Vollkreis =

6400─) und andere.

Bei Gradangaben gibt es die Formen Grad/Minute/Sekunde,

Dezimalgrad sowie mitunter Grad/Dezimalminuten. Aus nahe

liegenden Gründen werden Dezimalgrad-Werte bevorzugt.

Umrechnung:

Dezimalgrad = Grad + Minuten/60 + Sekunden/3600

Beispiel: 7° 20‘ 34‘‘ ≈ 7.342778°


Das Koordinatensystem UTM

… ist eine Weiterentwicklung des GK-Systems und wurde ab ca.

1942/43 vom deutschen sowie ab 1947 vom US-amerikanischen

Militär verwendet. UTM steht für Universale Transversale Mercator-

projektion – es handelt sich also wieder um eine Zylinderprojektion

(„Mercator“), wobei ebenso wie bei Gauß dieser um 90 Grad

gedreht wird („transversal“). Die Unterschiede zum GK-System:

Schnitt- statt Berührzylinder: Der Radius wird mit dem Faktor

0.9996 multipliziert

Je Zone zwei Schnittkreise statt einem Berührkreis

Zonenbreite 6 Grad statt 3 Grad

Ellipsoid früher z.B. Hayford (1924), heute WGS84

Andere Zonenkennung

Verwendet zwischen 80° südlicher und 84° nördlicher Breite; die

Polregionen werden per Azimutalprojektion ergänzt.



Quelle:

http://www.lgn.niedersachsen.de/portal/live.php?navigation_id=11056&article_id=51596&_psmand=35

Berührzylinder

(Gauß-Krüger)

Schnittzylinder

(UTM)



[Abb. aus Wikipedia]

Die Bezeichnung der Gitterquadrate

(100x100 km) dient u.a. militärischen

Zwecken („Meldegitter“) und ist für

uns ohne Bedeutung.

Analog zum GK-System gibt es eine

Kennzahl (= Zone), für Deutschland

32 oder 33.

Achtung Falle: Diese kann (muss

aber nicht!) den x-Werten

vorangestellt werden.

Terminologie:

x-Werte „East“, y-Werte „North“

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/Utmzonenugitterp.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/Utmzonenugitterp.png



Bitte merken: Für Deutschland sind UTM-Koordinaten in der

x-Komponente 6- oder 8-stellig (ohne bzw. mit Kennzahl), in der y-

Komponente 7-stellig.

Obwohl ähnlich definiert und ähnlich aussehend, sind die GK- bzw.

UTM-Koordinaten desselben Punktes unterschiedlich und dürfen

nicht verwechselt werden!

Wie schon beim GK-System bemerkt, beachte man die Orientierung

der Koordinatenachsen (Falle: Geodätische Koordinaten!).

Y-Werte auf der Südhalbkugel sind entweder negativ oder es

werden konstant 10000 km addiert. Ebenfalls eine Falle...

Leider verbergen sich bei Koordinaten noch manche Fallen. Eine

wichtige wollen wir im folgenden am Beispiel der Umrechnung von

GK nach UTM darstellen.


Ein Beispiel für Koordinatentransformationen

Wie wir weiter vorne schon gesehen haben, kann man natürlich

Koordinaten von einem System in ein anderes umrechnen. Wir taten

dies bereits zwischen GK und geographischen Koordinaten. Sehen

wir uns nun folgenden Fall an: Wir haben Koordinaten im System

GK, Zone 3, und wollen / müssen diese umrechnen nach UTM,

Zone 32. Das ist eigentlich ganz einfach, nämlich:

GK 3 Geographisch (Länge / Breite) UTM 32

Wenn wir das genau so machen, sind die Ergebnisse leider ziemlich

daneben. Also nicht „richtig falsch“, aber doch recht ungenau.

Wieso? Nun, wir müssen „unterwegs“ leider noch das Ellipsoid

wechseln („Datumswechsel“), hier im Beispiel von Bessel (für GK

Geogr.) nach Hayford oder WGS84 (Geogr. UTM).


Was ein „falsches“ Ellipsoid bewirkt, hier einmal als Beispiel:

Umrechnung des Punktes 7° ö.L. / 52° n.B. nach GK Zone 3

Fazit: Wenn wir uns Koordinatenangaben beschaffen oder

übernehmen, sind folgende Fragen zu klären:

Koordinatensystem (GK oder UTM)

Achsanordnung (mathematisch oder geodätisch)

x-Werte mit oder ohne Zonenkennung (UTM)

Verwendetes Ellipsoid

Ellipsoid Rechtswert Hochwert

Bessel 2568668.78 5763222.91

WGS84 2568649.70 5761510.32

Differenz 19.08 1712.59


Nun fiel ja bereits der Begriff WGS84. Was verbirgt sich dahinter?

Wir hatten bemerkt, dass es kein „optimales“ Ellipsoid für die ganze

Erde gibt und daher im Laufe der Zeit unterschiedliche Ellipsoide für

unterschiedliche Regionen entwickelt wurden. Das war eine gute

Sache in Zeiten nationaler Kartographie! Aber im Zuge der

Globalisierung (hier z.B. weltweite Navigationssysteme) brachte das

zu viele Probleme. Deshalb verabschiedete man sich von den

genaueren regionalen Lösungen und entwickelte denn doch eine

einigermaßen optimale Lösung für die gesamte Erde, das WGS84

(World Geodetic System):

Zugrunde liegendes Geoid EGM96 (Earth Gravitation Model)

Ellipsoid-Halbachsen 6378137.000 m / 6356752.314 m

Als Koordinatensystem wird UTM verwendet


Die dritte Dimension – woher kommen die Höhenangaben?

Wir erinnern uns: Die Erdgestalt kann mit Hilfe eines Geoids

beschrieben werden. Die Geoidoberfläche stimmt auf den Ozeanen

mit dem mittleren Wasserspiegel überein. Für Zwecke der

Kartographie bzw. allgemein der Geodäsie wird die Erdgestalt durch

ein Ellipsoid angenähert. Die Höhe bezieht sich aber auf das Geoid

bzw. die Höhenbezugsfläche:

Höhenbezugsfläche

(Normalhöhennull,

NHN)


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Geoidheight_DE.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Geoidheight_DE.svg


Die Höhenbezugsfläche muss „irgendwie“ / „irgendwo“ festgelegt

werden. Dies geschieht über Pegel, an denen der langjährige

Mittelwert des Meeresspiegels beobachtet und statistisch ermittelt

wurde. Für Deutschland bzw. Nordeuropa ist dies der Pegel von

Amsterdam.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Nap_reference_waterlooplein.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Nap_reference_waterlooplein.jpg


Die Schweiz bezieht ihre Höhen auf den Pegel von Marseille, der Höhenunter-

schied zu Amsterdam beträgt im Raum Laufenburg ca. 27 cm. Durch einen

Vorzeichenfehler bei der Planung der Brücke wuchs die Differenz auf 54 cm …

Hochrheinbrücke

bei Laufenburg,

fertiggestellt 2004

[Karte: OpenStreetMap]

Deutschland

Schweiz


Noch ein wenig zur Terminologie:

Koordinaten, die einen eindeutigen Bezug zur Erdoberfläche haben,

werden auch als Weltkoordinaten bezeichnet (z.B. GK, UTM). Ist dies

nicht der Fall, spricht man von Nicht-Weltkoordinaten oder besser von

lokalen Koordinaten. Diese können bei Bedarf in Weltkoordinaten

transformiert werden.

Gut illustriert und leicht verständlich:

http://www.bezreg-

koeln.nrw.de/brk_internet/publikationen/abteilung07/pub_geobasis_landkarten.pdf

http://www.bezreg-

koeln.nrw.de/brk_internet/publikationen/abteilung07/pub_geobasis_etrs89.pdf

http://www.bezreg-koeln.nrw.de/brk_internet/publikationen/abteilung07/pub_geobasis_landkarten.pdf

http://www.bezreg-koeln.nrw.de/brk_internet/publikationen/abteilung07/pub_geobasis_etrs89.pdf

Documents

Das Koordinatensystem Gauß-Krüger (GK) · Einführung Geoinformatik Wilfried Linder Das Koordinatensystem Gauß-Krüger y = 0 m x = 3500000 m 9° ö.L. Da die Ost-West-Erstreckung