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41 Band 10, Heft 1 Februar 1930 Hi rsch, Des Pendel mit oszillierendem AufhtinzeDunkt Das Pendel mif oszillierendem Aufhangepunkf. Von PAUL HIRSCH fn Mbchen. a0 Gleichgewichtslage und Stabilitlt eines Pendels dnrch sohnelle, in irgend einer bestimmten Richtung erfolgende Oszillation seines Aufhlngepunktes wesentlich be- D einfluDt wird, ist liluger bekannt. In der Literatur ist das Problem meist mit Rucksicht auf sein elektrisches Analogon behandelt ’). Ueber den mechanischen Effekt arbeiteten Stephenson %) und Hamel Eine bekannte Art, dieses Problem zu vereinfaohen, besteht in der Aunahme einer auf den Aufhlngepunkt des Pendels wirkenden Kraft, die nach einem sinus-Gesetz zeit- lioh veranderlich ist. Im Oegensatz dazu ist im folgenden dnrchwegs die wirkliche Be- wegung des Aufhangepunktes als vorgesohrieben angenommen. Einleitend werde der Sonderfall des mathematischen Pendels besprochen, fur den sich der Effekt einfach und anschaulioh berechnen Ilbt. Die Amplitude a der Oe- zillation sei klein im Vergleioh zur Pendelllnge c und die nach genau einer Oszillations- periode erfolgte Verschiebung des Pendelschwerpnnktes klein gegeniiber dem Oszillations- weg 2a. Die Wirkung der Oszillation auf das Pendel hat an sich nichts mit der Sohwerkraft zn tun. Da die einzige den Vorgang beeinflussende Masse die des Pendels ist, sind ihr alle auftretenden Kriifte proportional. Teilt man alle diese durch die Pendelmasse, no sind die Quotienten Besohleunigungen. Doch ist es im vorliegenden Falle fur eine konkrete Vorstellung vorteilhafter, statt dessen BKrElfte pro Masseneinheits zu sagen. Massen oder Krlfte kommen dann nicht mehr vor. Man sieht: Der Effekt ist im Wesen rein kinematisch. Die Oszillation erteilt dem Pendelschwerpunkt eine Beschleunigung, die nur von der Frequenz n nnd der Amplitude a der Oszillation, der Pendclllnge c nnd dem Winkel cp zwischen Oszillationsrichtung und keine mittlerer zu Die ihr Pendelstange Pendellage qner gerichteten abhltngt. kann KrlIte nur Zng- ubertragen. nnd Drnckkrllfte, Daher erfolgt aber y- ,b’ die von der Oszillation dem Pendelschwerpunkt anfgezwungene 0 Bewegung in erster Annlherung in der Riohtung der Pendel- stange. In Abb. 1 bezeiohnet 0 die mitrlere Stellung des Auf- hiingepunktes, O1 seine augenbliokliche Stellung, S die mittlere 0 Lage des Pendelschwerpunktes nnd Sl dessen augenblickliche Lage. Die aagenblickliche Lage des Pendels O1 Sl parallel ver- schoben ist 0s’. Aus der Zeichnung ist abzulesen, daO der Weg Riohtung erteilte Beschleunigung nur das 00s qfaohe des vom Auf- hlngepnnkte zuriickgelegten Weges 2 = 0 01 = a sin 2 TZ nt bzw. seiner Beschleunigung ist, sowie da9 die Angenblickslage des Pendels mit seiner Mittellage den kleinen Winkel q’ = /___ S’ 0 S = ~ = - sin 2 n nt sin 9 einschliefit. Zerlegt man die von der Oszillation dem Pendelschwerpnnkt erteilte Beschleunigung in eine Komponente parallel der Pendelmittellage 0 S und eine andere Komponente senk- recht zu dieser Riohtung, so wird das uber eine ganze Oszillationsperiode erstreokte Integral der ersteren Komponente verschwinden. Denn dieses Integral wiirde die Qe- sohwindigkeit darstellen, welohe nach Ablauf dieser Periode der Pendelsohwerpunkt gegen- uber dem anderen Endpunkt des Pendels erlangt hat. Somit besteht das zeitliche Mittel der gesamten BeEchleunigung lediglioh au8 dem aus der zweiten Komponente ge- mittelten Werte und hat auch deren Richtung. Diese zweite Komponente hat den Augenbliokswert 4 na na a sin 2 n n t cos 9, . sin 2 n n 2 sin 91 und die Richtung S’ S. Dem des Pendelschwerpunkts s = SSl und somit auch die ihm in dieser Abb. 1. x sinp a C C l) Balth. v a n der Pol and Dr. M. J 0. Strutt, On the stability of the solutions of Mrthieu’s %) A. Stephenson, On a new type of dynamical Etabillty. Memoirs and Proceedings of the 3, Qeorg Hamel, Ueber dle lineare Differentialgleichung zweiter Ordnuug mit periodinchen eqnation. Philosophical Msgaaine, Jan 1928. - Dort auch Literaturverz~ichnis. Manchester Literary and Philosophical Society. Vol. 52 Nr. 8, 1908. Koeffidenten. 1915, Math. Ann., 73. Bd., Heft 3, S. 371.

Das Pendel mit oszillierendem Aufhängepunkt

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4 1 Band 10, Heft 1

Februar 1930 Hi r s c h , Des Pendel mit oszillierendem AufhtinzeDunkt

Das Pendel mif oszillierendem Aufhangepunkf. Von PAUL HIRSCH fn Mbchen.

a0 Gleichgewichtslage und Stabilitlt eines Pendels dnrch sohnelle, in irgend einer bestimmten Richtung erfolgende Oszillation seines Aufhlngepunktes wesentlich be- D einfluDt wird, ist liluger bekannt. I n der Literatur ist das Problem meist mit

Rucksicht auf sein elektrisches Analogon behandelt ’). Ueber den mechanischen Effekt arbeiteten S t e p h e n s o n %) und H a m e l

Eine bekannte Art, dieses Problem zu vereinfaohen, besteht in der Aunahme einer auf den Aufhlngepunkt des Pendels wirkenden Kraft, die nach einem sinus-Gesetz zeit- lioh veranderlich ist. Im Oegensatz dazu ist im folgenden dnrchwegs die wirkliche Be- wegung des Aufhangepunktes als vorgesohrieben angenommen.

Einleitend werde der Sonderfall des mathematischen Pendels besprochen, fur den sich der Effekt einfach und anschaulioh berechnen Ilbt. Die Amplitude a der Oe- zillation sei klein im Vergleioh zur Pendelllnge c und die nach genau einer Oszillations- periode erfolgte Verschiebung des Pendelschwerpnnktes klein gegeniiber dem Oszillations- weg 2a.

Die Wirkung der Oszillation auf das Pendel hat an sich nichts mit der Sohwerkraft zn tun. Da die einzige den Vorgang beeinflussende Masse die des Pendels ist, sind ihr alle auftretenden Kriifte proportional. Teilt man alle diese durch die Pendelmasse, no sind die Quotienten Besohleunigungen. Doch ist es im vorliegenden Falle fur eine konkrete Vorstellung vorteilhafter, statt dessen BKrElfte pro Masseneinheits zu sagen. Massen oder Krlfte kommen dann nicht mehr vor. Man sieht: Der Effekt ist im Wesen rein kinematisch. Die Oszillation erteilt dem Pendelschwerpunkt eine Beschleunigung, die nur von der Frequenz n nnd der Amplitude a der Oszillation, der Pendclllnge c nnd dem Winkel cp zwischen Oszillationsrichtung

und keine mittlerer zu Die ihr Pendelstange Pendellage qner gerichteten abhltngt. kann KrlIte nur Zng- ubertragen. nnd Drnckkrllfte, Daher erfolgt aber y- ,b’ die von der Oszillation dem Pendelschwerpunkt anfgezwungene 0 Bewegung in erster Annlherung in der Riohtung der Pendel- ‘ stange. In Abb. 1 bezeiohnet 0 die mitrlere Stellung des Auf- hiingepunktes, O1 seine augenbliokliche Stellung, S die mittlere 0 ’ Lage des Pendelschwerpunktes nnd Sl dessen augenblickliche Lage. Die aagenblickliche Lage des Pendels O1 Sl parallel ver- schoben ist 0s’. Aus der Zeichnung ist abzulesen, daO der Weg

Riohtung erteilte Beschleunigung nur das 00s qfaohe des vom Auf- hlngepnnkte zuriickgelegten Weges 2 = 0 01 = a sin 2 TZ nt bzw. seiner Beschleunigung ist, sowie da9 die Angenblickslage des Pendels mit seiner Mittellage den kleinen Winkel q’ = /___ S’ 0 S = ~ = - sin 2 n nt sin 9 einschliefit.

Zerlegt man die von der Oszillation dem Pendelschwerpnnkt erteilte Beschleunigung in eine Komponente parallel der Pendelmittellage 0 S und eine andere Komponente senk- recht zu dieser Riohtung, so wird das uber eine ganze Oszillationsperiode erstreokte Integral der ersteren Komponente verschwinden. Denn dieses Integral wiirde die Qe- sohwindigkeit darstellen, welohe nach Ablauf dieser Periode der Pendelsohwerpunkt gegen- uber dem anderen Endpunkt des Pendels erlangt hat. Somit besteht das zeitliche Mittel der gesamten BeEchleunigung lediglioh au8 dem aus der zweiten Komponente ge- mittelten Werte und hat auch deren Richtung. Diese zweite Komponente hat den Augenbliokswert 4 na na a sin 2 n n t cos 9, . sin 2 n n 2 sin 91 und die Richtung S’ S. Dem

des Pendelschwerpunkts s = SSl und somit auch die ihm in dieser Abb. 1.

x sinp a C

C

l) Balth. v a n d e r P o l and Dr. M. J 0. S t r u t t , On the stability of the solutions of Mrthieu’s

%) A. S t e p h e n s o n , On a new type of dynamical Etabillty. Memoirs and Proceedings of the

3, Qeorg H a m e l , Ueber dle lineare Differentialgleichung zweiter Ordnuug mit periodinchen

eqnation. Philosophical Msgaaine, Jan 1928. - Dort auch Literaturverz~ichnis.

Manchester Literary and Philosophical Society. Vol. 52 Nr. 8, 1908.

Koeffidenten. 1915, Math. Ann., 73. Bd., Heft 3, S. 3 7 1 .

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Ztschr. t angew. 42 Hi rsch. Dee Pendel mit oszillierendem AufhSneeDunkt Math. und Mach.

Vorzeichen nach ist sie immer zur Oszillationsachse hin gerichtet. wert davon ist

Der zeitliche Mittel-

2n2n2--sinrpcos Q . . . . . . . . . (1). C

Dies ist also der Effekt der Oszillation, wenn man eine Zeit von einer oder mehreren Oszillationsdauern in Betracht zieht. Der Effekt besteht in einer Beschleunigung des Pendelschwerpunktes in Riohtung senkrecht zur Pendelstange. Bei dem bisher betrachteten Spezialfall hat diese Beschleunigung die Grofle ( I ) , sohneidet die Oszillationsrichtung und ist zu dieser hin geriohtet.

Im folgenden sol1 der Effekt vou Oszillationen allgemeinerer Art bereohnet und dann das Oleichgewicht solcher Pendel besprochen werden.

I. B e r e c h n u n g d e s Effek tes . 1. Elliptische Oszilldion. Der Aufhllngepunkt des Pendels fuhre in zwei

Riohtungen harmonische Oszillationen von gleicher Frequenz n aus Er beschreibt also eine Ellipse. Die Ebene, in der diem liegt, h e i h Oszillationsebene. In ihr werde die Bewegnng des Aufhilngepunktes durch zwei reohtwinklige Koordinaten x und y beechrieben :

Die positiven Riohtungen der Koordinatenachsen lassen sich bei jeder Pendel- richtung so wBhlen, dab sie mit dieser spitze Winkel einschlieJ3en. Dab 2/ hinter 5 nm die Phasendifferenz n/2 zuriickbleibt, bestimmt d a m , welche die X-Achse und welche die Y-Aohse ist. (p nnd p mSgen die Winkel zwischen der mittleren Pendelrichtung und der X-Aohse bzw. Y-Aohse heiben.

5 = a cos 2 n n t , y = b sin 2 n n t .

E und q seien neue rechtwinklige Koordinalen in der Osrillationsebene, so dafl < = x cos a, + y s i n a,,

Die Projektion der Pendelrichtung auf die Oszillationsebene sei <-Achse. dem Pendel den Winkel x und mit der X-Achse den Winkel a, spitzig.

nnd daraus

q = - xe in o +ycos a,. Sie bilde mit

Beide sind positiv und Der Cos-Sate fur reohtwinklige Kugeldreieoke liefert :

00s q = cos m cos )I , COB p = sin a, COB x 008 UJ

COB x = V 0089 9 + C O S ~ w , tg a) = ~ . COB ql

In Abb. 2 ist der Aufhilngepunkt des Pen- dele in seiner Mittellage dargestellt, die er in Wirk- liohkeit niemals einnimmt. Die links oben stehende Ansicht zeigt die Oszilla- tionsebene, also Z und y in natiirlichem Qroflenver- Wltnisse. Die Winkel und ersoheinen infolge der Projektion kleiner als sie sind, dagegen der Winkel a, in wirklicher Ur8Be. Die reohtsstehende Seitenansioht zeigt die Oszillationsebene als verti- kale Gerade und den Wio-

kel x in wirklicher Orofle. Die E in s o h r ti n k u n g e n mien die gleichen wie die

in der Einleitung gemachten: Das Pendel sei ein mathe- matisches und der von seinem Schwerpnnkt nach einer Oszillationsperiode zuriickgelegte Weg, vektoriell snm-

-

K 17 miert, aei klein gegeniiber seiner rektifirierten LBuge.

Ahb. 2.

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Band 10, Heft 1 Fehruar 1980 H i rs c h , Das Pendel mit oszillierendem Aufbhgepunkt 43

Der Schwerpunkt bewegt eich in erster Ngherung in Richtung der in ihrer Mittel- lage (wie skizziert) befindlichen Pendelstange. Sein Weg s hflngt von 5, aber nllherungs- weise nicht von abrulesen:

ab. Die Qriifle diesee Wegee ist am Abb. 3

S = 5 COB X , d a s / d tS=co8 Xd' t ld t ' . Die Schwerpunktabeschleunigung hat einen hanptstlchlichen Teil in der mittleren Richtung der Pendeletange. Dieser Teil hat den zeitlichen Mittelwert Null. Nicht aber die zur mittleren Pendelstangenrichtung senkrechte Komponente der Schwerpnnkts- beschleunignng, welche durch den kleinen Winkel enteteht, den die Pendelstange in jedem Augenblick mit ihrer mittleren Rioh- tung bildet. Nach Abb. 3 ist die Projektion dieses Winkels auf die durch die mittlerePendelrichtung gehende, auf der Oszillations- ebene senkrecht stehende Ebene:

& . x' = - sin x . C -v E

0 - -+- Und die Projektion des gleichen Winkels auf die durch die mittlere Pendelrichtnng und die p-Achse gehende Ebene ist:

E = qlc . Abb. 3. Nennt man p die Komponente der Schwerpunkts-

beschleunigung senkrecht Bur miltleren Pendelrichtung und zur q-Achse und H die Eomponente in Richtung der q-Achse, so ist in der d u d die Annahmen gegebenen Niiherung, nnter Benutsung der vorstehend abgeleiteten Besiehungen :

und a'# van'

a t ' - E H = - E - - 4 n' - COB x (- 5 sin o) + y cos m) (Z cos m + y sin a) .

Die seitlichen Mittelwerte dieser Ausdriicke kiinnen gleich hingeechrieben werden, da der zeitliche Mittelwert von 2' gleich u9/2, der von y' gleich bs/2 and derjenige von Zy gleich 0 ist.

Dies sind die Komponenten des EEektes der Oszlllation. Die Reeultierende hat die QrSfle:

und die Richtung:

tge=-=- -

(4). sin 0 COB N) (a' -a') COS (p 003 w ___ - - , a z - b' - H

5 ar C O B ~ W + b' sina UI sin x (a' cosa ~p -t ta COB' y ) l/sin' (p - cos' ?I> -

Die beiden Eomponenten E und a liegen in der durch den Pendelschwerpunkt senkrecht zur Pendelstange gelegten Ebene, welche zur Bildebene wird, wenn man dfe in Abb. 2 links oben stehende Projektion urn den Winkel 90O-z nach vorne dreht. Das entstehende Bild ist darnnter skizziert. Es zeigt den Winkel e in wirklicher Qrofle,

Da x und 0) positiv nnd - epitsig sind, ist 2 poeitiv, wtlhrend i;! das Vorreichen von b--a bat. Die Komponente E ist also immer zur Oszillationsebene hin geriohtet, und die der Oszillationeebene parallele Komponente & bildet mit der positiven RIchtung der griihren Ellipsenachre einen spitzen Wlnkel.

nach Formel (4) berechnet. -

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Ztacht. f. ail 0w. 44 H i r s c h , Das Pendel mi t Ossillierendem Aufhlngepuiikt Math. and &ch.

Denkt man sich die -Zeit, oder, was auf das gleiche herauskommt, die Oszillation, ruckwlrts laufend, so wird die Phasenaufeinanderfolge t.on z und y entgegengeeetzt der gemaohten Annahme. Anstatt jedoch % nnd y zii vertanschen, kann man b durch --b ersetzen, nm die umgekehrte Bewegung zu beschreiben. An den Komponenten des Effektes tlndert das niohts.

2. Phycircher Pendel. Bisher war das Pendel als Smathematisohesa angenommen, deseen zentrales Tragheitsmoment null ist. I m folgenden werde der Effekt einer linearen Oszillation bei einem Bphysischena Pendel bereohnet. Dessen zentrales Trtlgheitsmoment in bezug auf die znr Pendelstange uud sur Oszillationsrichtnng senkrechte Achse heiBe 0. Diese Achse sei eine Haupttrilgheitsaohse. Die Oszillation sei wieder: 5 = a sin 2 n n t .

Bei der Bereuhnung des Efbktes fur ein physisches Pendel ist zu beachten, daO die Richtung, in der sich der Sohwerpunkt in ereter Annlherimg hin und her bewegt, von der Ricbtung der Pendelstange versohieden ist, daO die Riohtung der mit der Oszil- lation verllnderliohen, vom Oezillationsantriebe anf das Pendel ausgeubten Kraft von bciden genannten Richtungen verschieden ist, und dab die Zentrifugalbeschleunigung nicht vernaohllssigt werden darf. Diese ist zwar in ihrem Momentanwert,, nicht aber in ihrem zeitlichen Mittelwert klein gegenuber der Schwerpunktsbesohleunigung.. Diee 1st BUS Formel (7) leioht zu berechnen nnd ubrigens schon a lhrend der Integration zu ersehen.

Abb. 4.

Der Oszillationsantrieb ubt auf den Aufhlngepunkt des Pendels eine naoh G r o h und Riohtung nooh unbekannte Kraft aus. Be- zeiohnet man ihre Gr86e mit P und den von ihrer Richtung mit der Oszlllationsriohtung eingeschlossenen Winkel mit x , so kann man auoh das auf das Pendel wirkende Drehmoment ausdrucken. Wie in Abb. 4 angedeutet, kann man eine der Kraft P gleich g r o h und gleioh gerichtete Kraft PI sowie eine entgegengesetzt gleiche P2, beide durch den Pendelschwerpunkt gehend. annehmen. Diese Annahme ist willkurlich, Undert aber an dem Krlftesystem nichts. Die Kraft PI erteilt dem Pendel eine Translationsbesohlen- nigung in ihrer Richtung von der CfroBe P / d / ; die Kriifte P nnd A bilden ein Pear von der Grobe Pc sin (q + v’--x), welohe8 dem Pendel etne Drehbeschleunigung um seinen Schwerpunkt von

PC - ein{C + q ’ - x ) = -- sin ( ~ - x + q ’ ) 0 M ka

der GroDe P e

erteilt. Der Aufhangepunkt erfiihrt drei Beschleunigangen : 1. die genannte Translationsbeschleunigung PIM in Rich-

tunr von P. 2. infolge der genannten Dreohbeschleunigung die Beschleunignng

c2 I’

x a M sin ( q - x + q’)

in Richtung senkrecht zur Pendelstange,

Pendelstange.

d y ’ 2 3. infolge der Drebung die Zentrifugalbescbleunigung c (,> in Richtung der

Diese drei Beschleunigungen zusammen miissen die dem Authangepunkt vor- geschriebene Bewegnng ergeben. Ihre Projektionen auf die Riohtung senkreoht zur Oszillationsaohse miissen die Summe 0 haben, wiihrend ihre Komponenten in Richtung der Ossillationsaohse die Snmme - = - 4 7 7 l i ~ ~ a sin 2 m n t haben miissen. Diese zwei

Bedingungen lauten :

a1 I d ta

P P ca a2 x - $1 COB x+% sin (9 --x + 7’) sin (q + 91’) + c ( f f ’ ) p 0 0 s (‘I + q/) = -- at* *

Sie stellen zwei Oleiohungen mit den Unbekannten P und x dar. Betrachtet man rtatt deren die Komponenten P sin x und P 00s x ala die Unhkannten, so kann man die Cfleiohnngen naoh letzteren ordnen :

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Baud 10, Heft 1 Fsbruar 19'10 Hi r s c h , Das Pendel mit oszillierendem Aufhlngepunkt 45

und erhtllt darans:

M 1 + k'/c'

Das sind die Komponenten der Schwerpuuktsbeschleunigung, und zwar sind es Momentanwerte. Die in diesem Kapitel bisher angeschriebenen Formeln gelten" genau. Urn daraus ein einfaches Ergebnis abzuleiten, sind e insch r t inkende A n n a h m e n notig: Zungchst sei a klein gegenuber c. Ferner passiere der Schwerpunkt bei der Oszillation seine Mittellage unter einer solchen Richtung a gegenuber der Oszillationsachse, da0 in diesem Aiigenblick die antreibende Kraft P verschwindet. Aus dieser Annahme ergeben sich zwei Folge- I rungen: Die Bewegung des Schwerpunktes erfolgt in erster Nllhe- I rung geradlinig; und der Schwerpunkt ist nach genau einer I J

Oszillationsperiode um eine im Vergleiche zu 2 a kleine Strecke verschoben.

Der Winkel a ergibt eich definitionsgemtlfl aus der Annahme: Das System befinde sich in Rube und zwar in seiner mittleren Stellung Z = 0. Nun werde es durch einen Stof3 des Oszillations- antriebes plotzlich in Gang gebracht. Dabei erhalte der Auf- hangepunkt den Impula J, der mit der Oazillationsrichtung den Winkel u einschlieDt, Abb. 5. Wie oben sei ein gleich g r o h und gleich gerichteter Impuls Jl sowie ein entgegengesetzt gleicher J2 im Schwerpunkte angreifend angenommen. Bei dem StoD er- hLlt der Schwerpnnkt von dem Impuls J1 die Geschwindigkeit JIM in Richtung von J und auflerdem das Pendel von dem Impiilspaar J und JS die Drehgeschwindigkeit - sin (q -a). Die aus diesen beiden resultierende Bewegung des AufhPngepunktes mu6 die Richlung der Oszillation haben, d. h. die Qeschwindigkeitskomponente senkreoht zu dieser Richtung muD verschwinden.

I 16

J e 0 Abb. 5.

J J - sin 6 - - c sin (9, - 6 ) . c * cos ~ 1 = 0 M 8

und daraus:

Diem Formel braoobt man fur die weitere Rechnung audh in den Qentalten:

sin u = cos 6 = sin q- cos T

1/(1-1-2 kl/cq) c08' y + k'/c4

k9/c' + cosa p )'(I + 2 k2/c2) cosy y + k4/c'

k*/cie' eIn 7

v(1 + 2kz//c') COY^^+ k4,c4 sin (p - n) =

(1 + k'/& COY (r

1/(1 + 2 kg/ca) co8' ~p + k4/e4 00s (($-a) =

Fur den in erster Nllherung geradlinigen Weg s dej Schwerpunktes ergeben oioh gcmX0 Abb. 6 aus der Konstanz der Pendelltinge c die beiden Beziehungen:

Eliminiert man das nicht weiter interessierende s, so erhPlt man: c sin 9 + s sin a = c sin (cp + 9')

(9s -a> + aro sin sin (q - a) + 5 sin u . 9,' = -

c COB 9 + s COB 6 = 2 + c cos (q+ 9').

( 1 Da mit a such 2 klein gegeniiber c ist, kann man diese Formel vereinfachbn. d a m uber in n l h e r u n g s w e i s e :

Sie geht

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2tschr.f.m ew Math. nnd #e& 46 Hi r B c h , Das Pendel mi t oszillierendem AufhSngeDunkt

Die letitere Form mit Hilfe von (6). Da proportional Z/C, ist auoh cp' eine kleine Qrobe. Setzt man sie in ( 5 ) ein, so enthalten diese Auedruoke keine Unbekannten mehr:.

( C O E ~ yr - sing a) sin' 2nnt + sins a s h y

c 1 + ka/ca (

P 4 d n g a -sin x = - --- M 1 -k ka/ca

sin cp COB cp sin 2nnt

+---

( 2 sina ~ n n t - C O s ~ 2 n n t ) . c 1 + ka/ca 1 P

M 1 + k'/c 4 n'J n)aaa [ (2: - - c o ~ x = - - -+cos~cp

Von diesen beiden Beschleunigungakomponenten sind nun die zeitlichen Mittelwerte zu bilden. D a m lie€ern nur die dem Quadrate von sin 2 nnt oder CON 2nnt proportionalen Terme von 0 vereohiedene BeitrQe. Dr der zeitliche Mittelwert dieser Quadrate gleioh Ill ist, ergeben sich die zeitlichen Mittelwerte zu:

iil

Abb. 6.

Dies eind die Komponenten des zu berechnenden Effektes. Der Quotient dieser beiden Komponenten ist :

P -- sin x M P tu ' I

1 . . (9). ---._ -

Die Beschleunigung hat also die Richtung senkrecht zur Pendelstange. Dies mnf3, wie in der Einleitnng erwghnt, sohon aus geometrischen Qriinden der Fall sein. Das Ergebnis dient als Rechenprobe. Ferner zeigt 8 s : Die Beschlennigung ist immer gegen die OsZilhtiODOaOhEe hin geriohtct. Sie hat die Qrofle :

Fur den Sonderfall k = o wird diese Formel 5u der achon in der Einleitung aufgestellten (1). E'iir den anderen Sonderfall, def3 cp klein isb, wird sie, iiberein- stimmend mit der Formel von Stephenson, zu: -

Die Bereohnung ades Eflektes einer elliptischen Oszillation fur ein Pendel mit versohiedenen Trggheitsmomenten in den verschiedenen Richtungen wtlre verwickelter wegen der grofleren Zahl von richtunganzeigenden Vednderlichen. Einfaoh iet jedooh der Sonderfall der Symmetrie, d. h. der Fall, dab m=O (bzw. m = n / 2 ) nnd das Trllgheitsmoment in bezng auf eine zur Oszillationsebene parallele, zar Pendelstange senkrechte Achse Haupt- trtlgheitsmoment ist. In diesem Falle, welcher den Sonderfall der z i r k u l a r e n Oszi l - l a t i o n ( a = b ) in sich eineohlieBt, verschwindet in den Formeln (2) die Komponente wlthrend die den ganzen Effekt darstellende Komponente

- wird:

i = n ~ n l Z s i n a x . - Darin stellt a diejenige Ellipsenhalbaobse dar, mit der die Projektion der Pendel-

stange auf die Oezillationsebene zosammenf8llt. Der Effekt ist ebeneo, els wenn in der Richtung der anderen Ellipsenhalbachse eine beliebig grofle, zum Beispiel iiberhaupt keine Oszillation stattfiinde. Auf die Qriide von b kommt es nicht an und daher anch nicht auf die OroSe der beiden anderen Haupt-Triigheitemomente. Die tar lineare Oszillation und pbyeischee Pendel aufgestellte Formel (10) gilt dsher im Falle einer vollkomxaenen, d. h. sioh auch auf die Orientierung dee Trllgheitselllpsoides eretreokenden Symmetrie

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Band 10, Heft 1 Februar 1930 H i r s c h , Das Pendel mit osaillierendem Aufhgngepunkt 47

auch fur elliptisohe und insbesondere fiir rirkulare Oszillation. Fur diem Flllle ist der Effekt gleich *:

Bieher wnrde die Oszillation des Anfhllngepunktes als eine harmonisohe Bewegung angenommen. Die Reohnnng ist analog dnrchfubrbar fur den Fall einer linearen Oszil- lation, bei welcher der Aufhllngepunkt sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, welche doh an den Punkten 2 = f a plotzlich umkehrt. Fur diese Art von Oerillation ergibt sich der Effekt 211:

(12).

Dlrs ist Formel (lo), in welcher n4 durch 8 ersetrt iat. Der Effekt ist also bei der eckigen Bewegungsform etwas geringer als bei einer harmonischen. Dab die Impulsubertragung bei der eckigen Bewegungsform auf die wirknngsvollsten Augenblioke, nKmlich die der Umkehr, konsentriert ist, wird mehr als ausgegliohen durch die Zeitersparnis bei dieser Bewegung im Vergleich zur harmonisohen.

11. 0 1 e i c h g e w i c h t s l agen . 1. Bei linearer O&zillation. Wenn keine Scbwerkraft wirkt, hat des Pendel

rwei stabile Gleichgewichtslagen in der Osdllationsriohtung und falls es kardanisch auf- gehllngt ist, unendlioh viele labile in den Rioh- tungen senkrecht dazu. Nan wirke auf das Pendel noch eine konstante Kudere graft, die man, ohne dle Allgemeinheit aufaugeben, als Erdanziehung ansprechen mag. Sie hei0e Mg und bilde mit der Ossillationsrichtung den ', Winkel 8. BUS Symmetriegrunden kannen Gleichgewichtslagen nur in der duroh Oszil- lations- und Gravitationsrichtung bestimmten Ebene liegen. I m allgemeinen, d. h. wenn eine auflere Kraft vorhanden und ihre Rich- tung von der Oazillationsrichtung versohieden ist, bestehen von den genannten unendlioh vielen labilen Gleichgewichtslagen Eur rwei.

1st die Gravitation versohwindend schwaoh, so liegen die Gleichgewichtslagen wie in Abb, 7 punktiert gezeichnet. Von den sta- bilen heiSe die schrflg naoh nnten liegende A, die sohrtig nach oben liegende B, von den labilen die schrKg nach oben C und die schrilg nach unten D. Das Oewicht dee Pendels wird Abb. 7 . Linesre Oszillation, 30°. die Wirknng haben, die Gleicbgewichtslage A --- lileichgewiohtslagen bei K = - , urn einen Winkel a zu senken, der sich aus - , 3 K = 2 .

Wie man rechnen mage, erhlllt man eine Gleiohong vierten Grades. Bei krtlftiger Oszillation ist der Winkel a mllDig grofl. Das erlaubt ein einfaches numerisohes Reohnungs- verfahren anzuwenden.

Setzt man, urn die Schreibung ru vereinfaohen:

so kann man vorstehende Beriehung so sohreiben : 1 s i n 2 a =-sin(@--) E . . . . . . . . ( i4a) .

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ZtaclU.f.an 0 1 Math. uud i&ch~ 48 H ir sc h . Das Pendel mit oszil~ierendem AufhanaeDunkt

Die andere stabile Qleiobgewichtslage B wird sioh infolge der Sohwere ebenfalls senken, und zwar nm einen Winkel /?, fur den sich ergibt:

1 K

sin2/3= --sin(@+,!?) . . . . , . . . (14b).

Die beiden labilen Qleicbgewichtslagen werden sioh infolge der Sohwerkraft heben, und zwar urn den Winkel y bzw. 6, fiir den sich ergibt:

1 1 K k

s i n 2 y = - c o s ( @ + y ) . . . (140) sin 2 8 = - c o s (6-8) . . (14d).

Bus den Formeln (14) sind die Qleichgewiohtslagen durch Iteration zn bereohnen. Diese konvergiert nm so stfrker, j e krfftiger die Oszillation ist. Zweimalige Reohnnng wird oft geniigen. Beginnt man die Ibechnung mit a = 0 bzw ./3 = 0 usw., so sieht man, daI3 in erster Naherung a = B und y = 8 ist.

Um die stabilen Qleichgewichtslagen kann das Pendel sohwlngen. Fiir Sohwin- gungen in der Vertikalebene ergibt die iibliche Reohnung die Frequenzen :

(15 b) 1 1 / g ~ K C O S ~ ~ - C O ~ ( ~ + ~ ) NB= - NA=G li- c 1 + k'jc" ( 1 5 4 2n c 1 + k",Ca

8 2 K COB 2CZ + C O S (4- a)

Bei einigermaden starker Osaillation, jedenfalls im ganzen Qebiete von vier Qleich- gewichtslagen, sind diese Frequenzen N wesentlioh kleiner ale die Oszillationsfrequenz n.

1st die Oszillation sebr krfftig, also K grol3, so sind die Winkel a, ,!?, y nnd 8 klein. LilBt man den Winkel 6 konstant und vermindert die Oszillationsstfrke, so nehmen die Winkel a und y zu, eie gehen aber nicht iiber die Werte a 3: 4 bzw. y = 90° -8 hinans, sondern erreichen sie bei K = 0. Bei verschwindender Oseillationsstlrke gehen die Gleichgewichtslagen A nnd C in die Vertikale iiber.

Die beiden anderen Qleichgewichtslagen, die stabile B und die labile D, verbaIten sich bei groSen Werten von K ebenso wie die zneret besprochenen. Bei allmllblicher Verminderung von K werden auoh die Winkel ,!? und 8 gri ihr, so daB sich die beiden Qleichgewiohtslagen B und D von beiden Seiten her immer mehr niihern. Bei dem Werte K = KO stoDen sie an der Stelle ,!? = Po bzw. 8 = 90°-,!?0 zusammen. Dabei wird die Qeschwindigkeit ihrer Annghernng, d. h. die QroDe d p l d K bezw. d 8 l d K suletzt unendlich. Bei weiterer Vermindernng von K, also Unterschreitung des Wertas &, hiiren die Qleichgewichtslagen B und D auf zu existieren.

Fur die Qrenzwerte KO und Po ergibt sioh anDer der auoh fur sie geltenden Qleich- gewichtsbedingung (14 b) die Beziehung, daf3 die Diskriminante in Formel (15 b) , also auch die Frequenz NB, verschwindet, Diem 3-

beiden Oleichungen lauten : tang PO = ftanp 3.

Sie existieren immer.

KO sin 2 PO = sin ( 4 + PO), 2 KO cos 2 = COB (@ f Bo).

Bus ihnen lfdt sich entweder KO oder eliminieren. Man erhflt:

waa durch Abb. 8 graphisch dargestellt wird. tanga = t a n g 9 . . (16),

30 /

- I 7 0 *A d +b 3-A A 7$ AGrod' -S

Abb. 9 .

1st die OszillationsriDhtung um den Winkel t? gegen die Vertikale geneigt, 80 fallen die G-1elchgewichtslaKen B uod D in der Richtung cp=Bo zuaammen, wmn If=& L' Abb. 8. ist, und existieren nicht, wennKkleiner a18 dieaerwert 1st.

Page 9: Das Pendel mit oszillierendem Aufhängepunkt

Band 10, Heft 1 Februar 1930 Hi r sch, Das Pendel mi t oszillierendem Aufhlngepunkt 49

Die Konstruktion gestattet zu verschiedenen Werten von Po die zngehgrigen von 6 leicht zu ermitteln und daraus die Kurve Abb. 9 aufzntragen, der fur ein gegebenes 4 der Versohwindungswinkel FO entnommen werden kann. Ferner

I& = ' /2 [(sin 9)':8 + (cos 9)'/813'1 . . , . . , sive: J

Aus letzteren beiden Formeln, nooh beseer aber aus den im Verlaufe der Elimination zuniichst auftretenden beiden :

sin a~~ = L fy und cos 2 6 0 =- KO

ist zu ersehen, dafl ein reeller Were von Po nur existieren kann, wenn

Das ist so zu deuten: 1st KO < ' / a , SO existieren immer, d. h. bei jodem 8, nur zwei Qleiohgewichtslagen. 1st KO > 1, so existieren jedenfalls deren vier. Nur wenn KO zwischen diesen beiden Grenzen llegt, hiingt es vom Werte von 8 ab, ob es zwei oder vier Qleicbgewichtslagen gibt. Den Zusammenbang (17) zeigt Abb. 10. Die Kurve trennt die Wertpaare K, 0, bei denen 8s vier Gleichgewichtslagen gibt, von solohen, bei denen es zwei gibt. Die der Kurve selbst angehorenden Pnnkte stellen Wertpaare K , 4 dar, bei denen es drei Gleichgewichtslagen gibt, von denen die kritisohe indiiferent ist.

112 s K O 5 1.

-" I / I I I I I I I I \ I

Abb. 10. Punkte unterbalb der Ktirve stellen Wertepaare KO, 4 mit zwei Gleich- gewlchtslagen dar, Punkte oberhslb der Kurve solche init viereii.

Spez ia l f Blle. Bei vertikaler Oszillalion ist die stabile Gleichgewichtslage A immer vertikal nach nnten, die andere stabile, B vertikal nach oben geriohtet, wiihrend die beiden labilen C und D symmetrisch schrlg nach oben liegen. Diem beiden kgnnen, wie oben angedeutet, in einer beliebigen Vertikalebene liegen; in diesem Falle gibt es unendlich viele labile Gleichgewichtslagen, die aut einem Rotationskegel liegen und gegen seitliche Verschiebungen indifferent sind. Da aucb 60 = 0 wird, sind im kritischen Falle K = KO die Gleichgewiohtslagen B, C und D zn einer einzigen indifferenten, vertiksl naoh oben liegenden vereinigt. Diese blelbt als labile neben der stabilen A ubrig, wenn IZ den Wert Ke nnterschreitet.

Bei horizontaler Osrillation liegen die labllen Gleichgewichtslagen vertikal , und zwar C nach oben und D nach unten, die zwei shbilen zueinander symmetrisoh sohrtlg nach unten. Der kritische Fall vereinigt A, B und D nach unten bEngend als indifferente Gleichgewichtslage, welohe bei K < KO als stabile ubrig bleibt.

Betrachtet man nur diese Sonderftille, so sieht es aus, als ob genugend starke ver- tikale Oszillation des AuEhLngepunktes die labile Gleichgewichtslage einee Pendels nach oben zu einer stabilen, ebsnso starke horizontale Oaillation des Aufhiingepnnktes die stabile Qleiohgewichtslage nach unten zu einer labilen mache.

Der kritische Wert von K ist fur beide Falle der gleiche, niimlich KO = ' / a . Speziell fur das mathematische Pendel, lc = 0, kann dies auch so geschrieben werden : 2 II an = 428, das heifit: Maximal; Oszillationsgeschwindigkeit gleich der Fallgeschwin- digkeit beim Fall aus einer Hohe gleich der Pendelliinge. Urn ein Zablenbeispiel zu bringen : Pendelltinge 50 om, Oszillationsamplitnde 5 cm, Oszillationsfrequenz 10 pro Sek.

4

Page 10: Das Pendel mit oszillierendem Aufhängepunkt

A labil, schrtlg nach oben geriohtet, existiert immer B labil, )) mien * C stabil, )) * unten )) existiert immer D stabil, )) )) oben ))

0 5 a 2 3 05/3P=(Po o 5 y S n/2 - - 0 0 5 8 B n I 2 -po

Eifolgt die Oszillation nieht harmonisch, sondern ))eckig.r, d . h. mit konstanter Ge- schwindigkeit des Aufhtlngepunktes und plotzlicher Umkehr der Geschwindigkeit an den Punkten z = & a, so ist die Bichtnng des Effektes wie bei harmonischer Oszillation, seine GrZiBe aber wie in Formel (12) angegeben (vergl. den dortigen Text). Demnach gilt alles iiber die Gleichgewichtelage bei harmonischer Oszillation Uesagte auch bei eckiger Oszillation rnit der einzigen Aenderung, daB in Formel (13) und der vorhergehenden n'J durch 8 ersetzt wird.

Fehlt eine flufiere Kraft, so gibt es bei gege- bener zirkularcr Oszillation zwei allaeits labile Gleichgewichtelagen, nlmlich senkrecht zur Oszillationsebene. Ferner sind alle in der Oszillationsebene liegenden Lagen des Pendels Qleiohgewichtslagen, die gegeniiber aue der Oszillationsebene herausfiihrenden StBrungen stabil, gegeniiber StiSrungen in der Oszillationsebene indifferent sind.

Vergleicht man diese Konstellation von Qleiohgewichtslagen rnit derjenigen bei einer linearen Oszillation in Riohtung aenkrecht zur jetzigen O~zillationsebene, so ergibt sich vollkommene Uebereinstimmung, wenn man Dstabila iiberall duroh Blabil* ersetzt und umgekehrt. Dabei entspricht die Oszillationsrichtung einer linearen Oszillation der Senk- rechten zur Oszillationsebene bei einer zirkularen Oazillation. Die Analogie wird ver- vollstflndigt durch die Uebereinstimmung der Formel (1 1) rnit (10). Zirkulale Oszillation des Aufhtlngepnnktes bewirkt einen entgegengesetzt gleich grol3en Efiekt wie eine Bent- epreohend geriohtetea lineare Oszillation gleicher Frequenz und einer Amplitude gleich dem Radius der zirkularen Oezillation. Daraus ergibt sioh die vollkommene Ueberein- stimmnng der Qleichgewiohtsbedingungen, falls man die Bezeichnungen entsprechend wtihlt.

Bezeichnet man mit 0 den Winkel ewischen der Richtung der Gravitation genannten luBeren Kraft und der zur Oszillationsebene senkreohten Richtung, benennt man ferner die Gleichgewichtelagen rnit A, B, C, D, genau wie bei der linearen Oszillation, jedoch unter Vertausohung der Worte Bstabilc und >>labile, so iet

2. Bei zirkularer Oszillation.

Die letzte Spalte lautet worllich wie fur die lineare Oszillation. Ebenso alles ubrige, jedoch unter Vertaaschung der Work zstabila und >>labile< sowie von ,obenc und aunten((. Letzteres deshalb, weil in den beiden Fallen die Richlung der den Effekt daretellenden Beschleunigung entgegengesetzt ist, nicht aber die Richtung der Gravitation. Mit Auenahme der letzteren stimmt die den Ver- halt darstellende Abb 11, in weloher der Doppelpfeil die zur Oszillationsrichtnng senk- recbte Richtung angibt, genau mit der auf den Kopf gestellten Abb. 7 iiberein.

Mit den eben genannten zwei Wort- vertanschungen gilt alles uber die Qleich- gewichtslagen bei linearer Oszillation Qe- sagte auoh bei zirkularer 03zi11ation. Ins- besondere auoh die Formeln (14 a) bis (14d), (16) , (17), sowie die Abbildungen 8, 9, 10. Die Formeln (15) fur die Schwin- gungszahlen sind fiir zirkulare Oszillation zu ereetzen darch:

Ztsclir. f. augeltr. Math. und Mech. 50 Hi r soh , bas Penile1 mit oszillierendern Aufhgngepunkt

Page 11: Das Pendel mit oszillierendem Aufhängepunkt

51

Wirkt keine audere Kraft auf das Pendel, so hat man die Auedrucke fiir 3 und in (2) gleich 0 zu setzen, um die Wertpaare x , (u

fur die Qleichgewichtslagen zu erhalten. Im allgemeinen gibt es deren seche: Zwei labile senkrecht zur Oszillationsebene gerichtet; zwei stabile in Richtung der groflen Achse der Oszillalionsellipse ; und zwei in Richtung von deran kleiner Achse, welche stabil sind gegenuber Sttirungen, die das Pendel aus der Oszillationsebene heramfuhren und labil gegenuber Storungen innerhalb der Oszillationsebene.

Wegen der Sgmmetrie dieser Qleichgewichtslagen gelten vorstehende Aussagen noch fur ein physisches Pandel, wofern auch dessen Trftgheitsellipsoid symmetrisch orieotiert ist. Das Folgende gilt aber nur fur ein mathematisches Pendel.

Aaf das Pendel wirke auder der Oszillatlon eine lui3ere Kraft, z. B die Schwerkraft. Ihre GroBe, pro Masseneinheit des Pendele, sei g. Sie schliele mit der Oszillationsebene den Winkel lo und ihre Projektion auf die Oszillationsebene mit der ac-Achse den Winkel wg ein. Man kann die Kraft dann in Komponenten nach denjenigen Richtungen zerlegen, aelche die in (2) anyegabenen Komponenten des Effektes haben. Eine Komponente g? in Richtung von P, eine Komponente gH in Richtung von 12 und eine Komponente go in Richtung der Pendelstange. Mitlels des cos-Satzes fur Kugeldrelecke ergibt sich:

gE = g [- sin xs COB x + cos xs sin x cos (m, - m)] gk, = g cos xg sin (coo - 0.1)

Rand 10, Heft 1 Februar 1930 Hi rsch , Das Pendd mit oszillierendem Aufhgngepunkt

3. Bei ellipfircher Oszillafion. -

. * . . (19). I Die dritte Komponente Fur die weitere Rechnung belanglos, kann sie als Rechenprobe fur die eben angeschriebenen Ansdrucke dienen; sie ist gc = g [sin xo sin x + cos xp COB x cos (coo - a)].

G +gz=O und H + g , = O .

ngngal na n2 ba K, = __ und Kb=-

von g ist wegen ihrer Richtung unwirksam.

Die Qleichgewichtsbediogungen lauten : I - e

Setzt man die Werte (2) und (19) ein und schreibt man zur Abkurzung:

cl7 c 9 ' so laaten die Gleicbgewichtsbedingungen:

2 sin x cos x ( K ~ cos? w +- sina m ) - sin xg COB x + cos xo sin x COB (tug - w) = o (foa), 2(Kb--Ka)sinm coscu ~ ~ s ~ + ~ ~ n ~ , s i n ( w , - w ) = O . . . (20b).

Dieae Beziehungen liefern die die Qleicbgewichtslagen bestimmenden Wertpaare w, 1. jn Abhsngigkeit von den vier Konstanten K,,, Kb, cog, und xp, Vermutlioh gibt es Qebiete dieser Konstanlen mit sechs existierenden ~leicbgewichtslagen, dies jedenfalls wenn 60WOhl Ka als auch Kb grader ah eins sind; ferner Qebiete mit vier und solche mit zwei Qleicbgawiehtslagen, letzteres jedenfalls wenn SOWOhl K, als Kb kleiner als l/1 ist.

Die Qleichgewichtslagen angebanden Wertpaare a, konnen auch in diesem all- gemeineren Falle durch Iteration berechnet werden. Zu diesem Zwecke kann man bei~pielsweise die Ql. (20a) in die Formen (21al) bis (21a4) und (20b) in die Form (21 b) bringen :

sin x g cos x cos xo coa (wo-w) + 2 00s y (Ka w a g UJ + xb sin2 ro)

cos xr sin x COI (wg - n ) sinxP - 2 sin% UL, cosz w + Kb sinlw) . ' ' ' ' ' '

sin zn tgx = (2183). COB x p COB (wg - 0 ) + 2 cos x (Iia coSa Q) + Kb sin' 0)

' * *

sin x = . . . (21aJ.

00s x = (21as).

Zur Rechnung benutzt man eine der G1. (21al) bis (21ar) und die Gl. (21 b). In diese beide Gleichungen setzt man rechts ein Ausgangswertepaar cu, x ein, erhllt daraus verbesserte Werte dieeer Unbekannten, die man wieder rechts einsetzt uef Die Konver- gene dea Verfahrens wird verbessert, wenn man die Operation abweohselnd mit der einen und der anderen der beiden Qleichnngen vornimmt und dabel immer die meuestencc Werte von x und q rechts einsetzt. Man beginnt die Rechnung zweckmlfiig mit (alb),

4.

Page 12: Das Pendel mit oszillierendem Aufhängepunkt

Ztschr. f. an 8 1 62 B e l l , Spannungsverteilring in ringformigen KBrpern Math. und deeeh:

wenn man x = 0 als Ausgangswert nimmt, dagegen mit (21a), falls man von x = goo ansgeht.

Die Gleichgewichtslagen sind bei kriiftiger Oszillation (was unter krlftjg zu ver- stehen, erhellt aus dem uber die Oleichgewichtslagen bei h e a r e r Oszillation Gesagten) unweit von den Richtungen zu suchen, die sich fiir den Fall g = 0 als Oleichgewichts- lagen ergaben. Dan hei6t: Mit den Wertepaaren a,, x , welche diese Lagen bezeichnen, wird man die Iteration beginnen. So kann man direkt die Gleichgewichtslagen von be- stimmter Stabilitltsart und Existenzart finden. Sucht man beispielsweise die vollkommen stabile, immer existierende Gleichgewichtslage, so geht man von der Richtung der grosen Ellipsenachse, welche mit g einen spitzen Winkel einsohlie&, au8, also von den Werten x = 0 nnd o = 0 bzw. 0) = n falls a > b , dagegen x = 0 nnd m = " / a bzw. m = a/, n, falli a C - b ist.

sind, sind die Gleichgewichtslagen unweit von der Cfravitationsrichtung zu suchen. I m diesem Falle existieren nur zwei Oleichgewichtslagen. Eine stabile, die man mit den Ansgangswerten w= ~b und x = x,, tlndet, und eine labile, zn der die Ausgangswerte 00 = - cog und x = - xg fiibren werden.

Wenn eine gesuchte Gleichgewichtslage nicht existiert, wird bei ihr die Iterations- rechnnng entweder schnell weit weg zu einer anderen Gleichgewichtslage fiihren oder imaginllre Werte fur die Unbekannten ergeben. Wenn jedoch zu Beginn der Iteration ein s h x , coax oder sin 2 a, ein wenig gr68er als 1 werden sollte, kann man zunlohst versnchen rnit dem Werte 1 weiter zii rechnen.

Unter den 01. (21a1) bis (2la.), welche ja ein und dieselbe Beziehung (20a) in verschiedenen Formen darstellen, wilhlt man fiir die Rechnung eine solohe, die gute Konvergenz liefert. Die Konvergenz wird meist EO gut sein, daB eine genaue Untersuchnng, welche von den vier Formen (21a) am besten sei, sich nicht lohnen wird. Bei starker Oszillation wird die Rechnung rnit den beiden erstgenannten Formen konvergent; jedenfalls rnit (21a1), wenn K, gro6er als 1 ist und die Rechnung mit ru = O oder n begonnen wird; ebenso mit (2la2), wenn I ( b > 1 und von a, = " / a oder 3 / ~ n ansgegangen wird. In diesem Zussmmenhange iat zu bedenken, dai? der Wert des in den 01. (2la) vorkom- menden eingeklammerten Ausdruckes zwisohen K,, und & liegt. Bei schwacher Oszille- tion, jedenfalls wenn sowohl Ka als Kb kleiner als ' / a sind, wird die Rechnung mlt (21aa) nnd d i t (2la,) konvergieren. In ZweifelsfPllen ist es am einfachsten, auszu- probieren. Die ersten zwei Nlherungen konnen ja mit einfachen Reohenmitteln, wie

Bei schwachar Oszlllation, also wenn sowohl Ka als Kb wesentlich kleiner als

Rechenschieber, ansgefithrt werden. 939

Thesrie und Versuche uber einige Falle von Spannungsverteilung in ringformigen Korpern.')

Von GEORG BELL In Hamburg.

achdem in verschiedenen Abhandlnngen von W. Kiiniga) und in zwei unter seiner eine Reihe von Spannungszustanden in Qlas- N kiirpern und Oelatineltsungen theoretiscb nnd experimentell mit Hilfe der kunst-

lichen Doppelbrechung untersuoht worden waren, unternahm ich es in vorliegender Arbeit, auf Veranlassung von Herrn W. Kiinig, diese Untereuchungen auszudehnon auf zwei besondgre Falle der Beanspruchong durchbohrter zylindrisoher Olaskiirper. Die dnrch- lochte Qlrsscheibe wurde Druckkrlften unterworfen, die einmal in zwei gegenuberliegenden Punkten ihres Sufleren Rrndes angriffen und zweitens in drei in glelchen AbstHnden be- findlichen Punkten. In den Abb. 1 und 2 sind diese beiden Fllle skizziert und zugleich die zugrunde grlegten Koordinatensysteme eingezeichnet.

Leitung entstandenen Dissertationen

') Von der philos. FakulrRt der UniversitRt GleBen genehmigte Dr.-Dissertation, Referent Prof. \Val t e r E U n i g.

z, W. K o n l g , Ann. d. Phys. Bd. 4, 1901, 5. 1 ; Bd. 11, 1904. S. 842. B o l t z m a n n - F e s t - sehrlft, Lelpzlg 1904, S. 832. Festschrift E l a t e r nnd G e i t e l , Braunarhweig 1915, 13. 368. Ann. d.

A. R i e t h , geb. Marx: Dissertntion, QleDen 1926, PhyS. Bd. G2, 1917, 5. 553.

'J H. S t e f n h e i l : Dissertation, GieOen 192.0. Ann. d. Phys. IV, Bd. 79 , 1926, 9. 1 4 5 .