abhgngig. Die Form das Grabens wird wesentlich duroh die Strtimangeverbtiltnisse im Qraben selbst bestimmt.

Znm SchlnB ist noch folgendes zn bemerken: Uneere Rechnung stellt insofern oinen Eipezialfall dar, ah wir den ~rundwasserspiege1 etromaufwlirts am Graben in der Hohe des Grabenspiegels ansetzen. Es wfre an sich nioht auagesohlosmn, dail Wasser durch die Grabenwand oberhalb des Gpiegels eintriite nnd an der Grabenbtischung herab- slckerte. Dies wird dann eintreten, wenn man, o h m die abgefahrte Menge Q I - Q ~ en Bndern, duroh entsprechende Dimensionierung des Grabens den Spiegel weiter senkt, ale unsere Rechnung ergibt. Uiisere Rechnung liefert also: die kleinste Wassermenge bei ge- gebenerdbsenbung oder umgekohrt die kleinste Absenlrung bei gegebenerwassermenge. 87

Das Problem der Iterationen, Von R v. MISES In Berlln.

er dem Ablauf einer vom Zufall beherrschten Reihe von Alternativ-Vorgiingen (Kopf- oder Adlcrspiel, ~eschlechts~erhlltnis ,der Qeburten usw.) seine Aufmerb- W samkeit zuwendet, wird unmittelbar auf die Beobachtung der langeren oder kiir-

zeren W i ede rh oliin g 6 f o lgen d 0 6 6 el b en E r g e b ni 6 6 8 6 hingewiesen. Alle soge- nannten Spielsysteme kliiipfen an diese Wiederholungen oder *Iterationenu an ond auoh in den Wahrschein~ichkoifs-I3otrachtungen des gemohnlichen Lebens mi5t man ihnen die grijDte Bedentung bei. Wenu boim Spiel auf agrad oder ungradr fiinfmal nacheinander Xgradq erschienen ist, Inoint man, das nachstd Ma1 konne es nicht mehr 60 bleiben; um- gekehrt geht, eine weit rcrbroitete Ansicht dahin, daI3 auf einon Eisenbahnunfall stets noch zwei 'weitere folgoii (hier lautet die Alternative: glucklicher oder ungliicklicher Ansgang einer Eisenbahnfahrt). Beide hischauungen haben auch schon ihro wissen- schaftliche Vertretung gefunden: Der Philosoph Earl Ma r h e suchb in einem umfang- reichon Werke >Die (;leichfonnigkeit in der Welt,(( I ) den Nachneis zu erhringen, dall lange lterati men tatsiichlich sdtener vorkommcn, als es die Wahrschoinlichkeitsrechnuug orwarten laDt, und der Biologe Paul Kammere r hauft in seinom nGesetz der Serieg2) eine Menxe von Ei~izelbeo~)ac:htu:igen, um zu zeigen, da0 wonigstens kurze Wieder- holungsfalgen weit hLufigor auft,reten, als man durchschnittlich erwarten sollte.

In der vorliegoiidcn Arbeit wird znntichst das ma themat i scho P rob lem d e r I t . e rn t jonen , das bisliur nicht erledigt wara), einer Losung zugefiihrt, d. h. die allgemeine Frage folgender Ar t 1)eantwortet: Welches ist die Wahrscheinlichkeit uj dafiir, daO bei n Wiirfen mit einer Miinze gerade z Iterationen der Liinge m, also z. B. bei tausend Wiirfen drei Folgen voii ge,naii 6ech6 gleichen Ergebnissan eintreten? Die Antwort lautet hier, wenn die Wahrscheinlichkeiten der beiden moglichen Einzelergebnisse, Kopf oder Adler, zu ' / 2 angenornmcn werden, w = 0,032. Allgemein werden wir zeigen, dafl

x ! ' bei geniigend gro lem 71: e-" a=

w(z) z ~

gilt, wenn a die aus dem Beobachtungsumfnng n, der Iterationsltiage w a ,und den Grmd- wahrscheinlichkeiten EU ermittelride .Erwartungszahl* von Iterationen bedentet. von dieser konkreten LBsang ans ergibt sich erst die Moglichkeit, das a m Begriindnng jener populLren Ansichten Oesagte einwandfrei 5u benrteilen.

Wie bei allen dorertigen Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnnn~ bietet die Losung, sobald einmal die Aufgabe Mar formnliert (1) ' and auf die vier Ornndaufgaben der Wahrsoheinlichkeit.fil.echnung zuriickgeliihrt ist, keinerlei p d s t l t z l l c h e Schwierig keiten. Man kann ein Verfahren angeben (2), das die gesachte Wahrsoheinlichkeit in eker endlichen Anzalil von Sohritten aufzufinden gestattet. Wird aber der Umfang n der Beobachtungsreihe sehr gro5, so verliert dieses Verfahren seine praktische Anwond- barkeit und die L8snng golingt nur auf einem Umweg: Man mu8 die sogenannten .Mo- mentea der gesuchten Wahrscheinlichkeitsfonktion einfiihren (3), fiir die sich eine gerade bei groDem n sehr brauohbare Abschstzung finden lH%t (4). An6 den Orenewerten der Momente kann man d a m anf Qrund nenerer Ergebnisse uber das .Momentenproblem* anf die ZR arlnittelnde Funktion selbst schlieilen (5 nnd 6). Der Vergleiob mit den von

f ) 2 Bdo. Xfllnchen 1916/1919. - ? Stuttgart u. B d f u $918. - '1 Uober a le Literator vcrgl.. L. v. B o r t k i e w i a z , Die I*eratloneo, Berlin 1917, eowio meiuen AnfRate +I *Die Naturwisaerisol~afteu., 7, 1918, 8. 168fl.

2'99 Heft - 4 V. M i a r e , n u ~ Prohlein her Itoratioriuii

M a r b e nngefuhrten Beobacltt~ungsergehnissen mi@ 80 weitgchende Uebere'instimmung (I), daO man zu einer vollstlindigen Ablehnnng der von Xfarbe a n der hetitjigen Wahracheln- lichkeitsrecltnang geiibten Kririk gelangan muO. Aucb gpgenaber dem K a m mererschen Qesetz der Serie ergibt sich kcin anderer fjtandpunkt, webn auch der Mange1 an kow Breten Zahlenangaben eine zahlenmli%ige Nsohpriifang nicht gestattet. .

Wir wollen die 'beiden MSglichkeilen, zu denen ein einfacher Alternativ-Versuch Anlafl gibt, kurz als das Aukreten oiner *Nullr oder. -einer 'BEineS bezeichnen.

1 --

1. Die Aufgabe.

2 s sei p die Wxhrsohrinlichkelt der Null, q die der Eins, .also jedenfalls p > o , g > o , p,+q=1 . . . . . . . . . (1).

Wird der Versuch n ma1 viederholt, so kann man das Ergebnis, beispielsweiee fiir n = 1 2 , in der Form anschreiben:

001110100110 od. tihnl. -- Man sielit hier, daS in diefieni Fall gerade drcimal genxu z w e i aufeinander f01-

gende Vcrsuche gleich ausgefallcn sind, namlich die ersten beiden, die Null ergaben, ehfnso wie der a&te und nounte, wLhrend beim zehnten und elflen die Eins auflrat. Einmal sind d r e i aufeinander folgendc Versuohsergebnisse gleich gewesen, nLmlich das drittc, vierto und fiioite. Wir sagen, 'das Ergebnis der Versnchsreihe weise ndrei Ite- rationen der L b g e 2 und eiiie Iteration der L h g e 3 u auf. AlIgemein kijnnen x b- rationen der SLange m auftreten, wenn

s.mgi;n . . . . . . . . . . . :(2). Wir fragen dann nach der Wahrscheinlichkeft dafiin daO i n e j n e r V e r s u c h s -

r e i h e v o m U m f a n g 72 g e r a d e z I t e t a t i o n e n v o n d e r L t i n g e M e r e c h e i n e n , und wollen diese QrSBe, die von don vier Veranderlicheo p, x, na und qa abhLngt, mit W ( X ) bezeicbnen, iudem wir die Abbdiigigkeit von x besooders bervorheben, n als Parameter bebrachten nnd auf die ausdriickliclie Anfiihtung von p und nz verzichten.

Um die ltechnung etwas einfacher Z h gestalten, ist es eweckml6ig, den Begriff der Iteration, wie er sicb a m dem Vorfitehenden ergibt, etwas abzulndern. Wir wollen nns nsmlich dio Ergebnisreihe, die a i l s Nullen und Einsern besteht, c q k l i s c h angeordnet denken, also 6 0 , da13 die z ~ i i ' f eben angefiihrfen Zahlen (0 oder 1) etwa awolf aufein- arider folgenden Punktrn eiriefi Kreises beigeschrieben werden. (Vergl. Abb. 1, in der dio XulIen durch kleinc Icreise, die Einser dureh radiale Striehe angedeutet erscheinen.) Dann erecheinen in nnsarm Brispiel z w e i m a l Gruppen von d r e i gleichen Nachbarn, nainlich d i e Versuchs~rgebniss~ 1 2 , 1, 2' und die Ergebnisse 3, 4, 5, ferner zwei Gruppen ron z w e i glcichen Nachbarn, h, )r untl 10, 1 1 . Bei dieser Auffassnng weist also die als Bekpiel angefiihrte Verfiiic:hsreihe zwei Iterationen der L h g e 2 und zwei Iterationen der LPoge 3 auf. Natiirlich knnn man die oben gestellte Anfgabe sowohl f u r die eine als fiir die andre Definition der Iterationen losen. Allein es ist klar, daf3 wenn 7) sehr grod jst, es sich also urn Iieilicii etna von rnehreren fausend Eirizelversuohen handelt, der Unterschied zwischen beidvn Fallen verschwindend klein wird. Wir wollen uns im folgentien st.ets an die z w e i t 0 Auffassung halten.

An Abb. 1 erkennt inan :iuch deutlich, da% die Zahl x, wenn ?)A geguben ist, viillig eindrwtig einem jqden am n Einzel- gliedern bestehenden < yklischen System zugeordnet ist. Man denke sich etwa fur m = 3 einen *Ziiga, bestehend au6 den Elementen 01 110, die Krcisbahn durchlaufen und an jedem der n Teilpunkte Halt machen. So oft die m + 2 Elemente des Zuges n i t den m + 2 feststehenden, die sie gerade decken, ubereinstimmen, liegt eine Kinher-Iteration der LLnge m vor. Zii dieser Auzahl zl addiere man die analog mit einem Z u g von der Gestalt 1 0 0 0 1 feslgrstellte Anzahl so von Null-Itera- tionen der Lange m und erhll t d a m in .zo + 5, die gesuchte Zahl x . Ahb. 1

2. Grundsiiitzliche LBsung. Es ist durchaus nicht schwer, einen Weg anzu- geben, aof dem man den Wert der Wahrscheinlichkeitslunktion a($) zu irgend einem gegebenen Wertsystem p , x , m, qi grundstitzlich finden kann. Von dem Ausgangs-Kollelrtiv mit der Alternative null oder Einsa und den gegebenen Wahrsoheinliahkeiten p , q g6- Ian@ man durch d r e i O p e r a t i o n e n zu dem End-Kollektiv, dessen Element eine Folge von n Einzelvereaohen und dessen M e r e a l die Zahl P von Iterationen der Lfinge tn ist.

20*

Zeitmlirift. fur nngewandte Mathematik und Mechanik Band i 300

E r s t ens hat man am der unendlichen Folge von , Einzelversnchen n nAuswahlenr zn treffen, indem,man den ersten, den (n+ I)ten,. den (2 n+ 1)tw. . , .-., dann den zwelten, den (n + 2)ten, den (2 rz + 2)ten ,, : , . ., hierauf den drltten, den (n.+ 3)ten, ,den, (2 n + 3) ten . . . . ., 6cblieSlich den nten, . 2 nten, S nten . . . . Versnch zueammenfaiJt. Innerhalb jeder der so aosgewtihlten n nnendliohen Reihen sind die Wahrscheinllchkoitan des Anftretens einer Null oder Eine immer noch p und q. Nun verbindet man z w e i t e n e diese TZ Kollektivs miteinander, d. h. man betrachtet -,!la neues Element die Zusammeq-- fassnng der n ersten Eleinente, der n zweiten Elemente nsf. nnd erhlilt a16 Wahrschein- lichkeit eines bestimmten Ergebnisses nach dem bekannten Mnltiplikationssatz der Wahr- scheinlichkeitsrechnu~g den Wert paq@, wenn nnter ded n Einzelresultaten sich a Nallen nnd B.Ein8er befinden. Hat man z. B. n = 6, 80 gibt es 2 5 = 3 2 verschiedene Ergeb- nisse, von denen die ersten, 16 mit ihren Wahrscheinlichkeiten in der folgenden Ueber- sicht angefiihrt sind:

__I_._-- __---

,00000, p5, 0 01000, p4q , 0 00001, p'q, 0 01001, p y , 1 00010, p'q, 0 01010, paqg, 1 00011, p3q3, 1 01011, plqa, 1 00100, p4q, p \ ' 0 11 00, p3q2, 1 00101, paq2, 1 '01101, p"8, 1 00110, p'q", ' 1 01110, p%p, 1 00111, pag3, 1 01111, pq', . 0.

Die ubrigen 16 entstehon, wenn man Nullen und Einser, also in den Ausdrucken fiir die Wabrscheinlicbkeit p nnd q, ,miteinander vertauscht.

Neben die Wahr6cheinlichkeitswerte haben wir' hier jedesmal die Anzahl der im betreffenden Versuchsorgebnis entbaltenen Iterationen zu 2 und zwar nach der zweibn, die zyklische Anordnung ~oraussetzenden Auffassung, hingeschrieben. Man erkennt, dai3 nun noch d r i t t e n s eine ))Mischnng(( erfolgen mu!, d. h. da5. die Wahrschehlichkeiten, die rechts den Beisatz 0 zeigen, und die, die den Belsatz 1 anfweieen, je fur sich zu addieren sind, damlt man iiir m = 2 die Werte von w6 (0) bezw. w5 (1) erhalt. SO er- gibt sich, wenn man die Vertauschung von p nnd q berucksichtigt,

U'S (0) = ( p 5 I- 4 p ' q + p q ' ) + (q5 + 4 q 4 p + qp') = p5 + q5 + 5 ( p 4 q + pq'), ~5 (1) = ( 6 p a q a + 4 p 2 q 3 ) + (6 qsp1+ 4 q*p3) = - l o ( p 2 q 3 -t qapa). Damit ist die Aufgabe fur n = 5, m = 2 volletlndig geliist, denn x > 2 ist hier

nicht mehr miiglich. Anch fiir die weiteren noch in Frage kommenden Werte m = 3, 4, 5 IaSt sich die LGsung an Hand der oben gegebenen Uebersicbt ohne weiferes finden. Aber wenn n nicht 5, sondern 50 oder 1 0 0 0 oder noch gro5er ist, dann versagt dieses VerFabren viillig. Denn wie 6011 man die ZS0 oder 2 * O o o miiglichen Kombinationen an- ecbreibeu und nntsr ihnen die mit der ver'iaogten Zahl von'lterationen zasammenfassen?

Wir miissen also nach einem andern Weg zur Ermittlnng von ui,,(x) bei groSem 71 Aneschau halten.

3. Einfiihrung der Momente. Die oben gegabene Uebersicht der miiglichen Ergebnisse f i i r n = 5 ist 60 gestaltet, da5 Ton dem einen Exkernfall 00000 ansgegangen wurde und, wenn man die Zifferngrnppen als 5 stellige Zahlen liest, diese in arithmetischer Reihenfolge aufsteigen. ' Darans folgt, dafl jede Kombination sicher nur e inmal anfge- schrieben wurde. Wir wollen jetzt eine andere, der Frage nach den Iterationen besser aagepa5te Znsammenstellnng konstruieren, bei der aber, wie gleich vor?ngesohiogt sei, die Bedingung, da8 jede Kombination einmal und nur einmal auftritt, nicht mehr er- fullt ist.

eine Z,ihl wesentlich kleiner a b der 'Quotient n:(m + 2). Dann gibt ee sehr viele verschiedene Miiglichkeiten, v Iterationen von .der L h g e m iiber n Plstze en verteilen oder anf n Pliiteen anfmstellen. Mpn denke sich etwa wie fruher aue m Nullen nnd einer vorangestellten und einer hachfolgenden Eins gnen SZoga gebildet nnd v derarllge Ziige von der LWge m + 2 uber die n Pl&tze 80 oft versohoben, ale>- es miiglich ist; &Den en gleioher %it verachteaene 8tellungen ohne Ueberdecknngen zu geben. Die Abb. 2 zelgt E. B, fur n I== 24, m S 3 blne derartige Aufstellnngsmoglichkeit fur v = 3 Ziige. Jedesmal, wenn sine Sfellung f06tsteht, kann man nun noch einzelne dieser Zuge , o h such all8 dnroh ihre Begen- stuoke, ntimlioh Ziige m e m Einsern ubd 2 Nullen ersetzen, and schlieilich kana man,

Seien n und m feat gegeben nnd

v. Misee, f)as Problem der Iterationen 30 1 Heft 8

nm samtliohe hfdiiglichkeiten zu ersch6pfen7 auoh nooh gewifise Ueberdeokungen von An- fangfi-,,und Endelementen zulassen. Z. B. diicfen die Zuge (fiir nt = 3) 01110 and 01110 soweit zusammenrih$en, da5 eine Null zdBohen h e n - w e g f l l l t nnd die Zuge 011 10 nnd 10 00 1 soweit, da% . si8 die Gestalt 01 110001 annehmen. Wir s t e h n nn6 nun Tor, da% in eixier g e e i g n e t e n A n f e k h l u n g aIle Mljglichkeiten, v Iterationen der LBnge m auf n FlLtzen anfzustellen, erschijpft worden seien; dabei mogen auch alle Kombinationsmijglichkeiten zwischen. Nullen- bezw. Eiaser- '

Ziigen Beriicksichtfgung gehnden haben.

-_.. .., .o, Da wir v(m 4 2) kleinor nls n voransgesetet haben,

oh ist mit Nullen- der, oder Angabe Einser-Iteration) der Aufstellung von und I der Iterationen Art (ntimlich, noch \ ; ::;./ keinesfalls iiber das, was an a l l o n R. PIStzen steht,, verfiigt. Wir wollen jetzt annehman, daB zn ,jedem Punkt der eben beschriebenen AufzLhlGg die Elemente an den noch freien,

hanpt mFglichen Variationen untorworfen werden. Anf diese Weise entsteht Im Uanzen eine Zusarnmeiistellung von Kombinationen von je n Elementen, die teils Nullen, tens Einser sind, eine Zusammenstellmg, die folgende Eiganschaften aufwei2t:

1. I n ihr sind nur, solche Kombinationen enthalten, die, mindestens v Iterationen der Ldnge ;m aufweisen.

2. Eine Kombination mit genan 7' Iterationen ist in der Anfztihlmg nnr einmal ent6aIten.

3. Jede Kombination wit $ I + 1 Iterationon kommt genau (V + 1)mal in der Auf- ziiihlnng vor. Denn jede dor g ' + 1 Lteratlonen kann diejenige win, die au6erhalb der Y zuerst aufgestellten Zuge darc,h die willkiirliche Variation der Elements an den freien Stellen entstanden ist.

4 . Jede Kombination lnit 1' i- 2 Itorationen kommt. genau c: 2)mal in der Auf- zLhlung vof usf. Denn so yiele Miiglichkeiten gibt es, zwei Iterationen &us Y + 2 aus- zuwahlen, urn sie als diejenigen anznsehen, die auOerhalb der %! Ziige dnrch Variation der freien Elemente entstsnden sind.

Wenn es also gelingt - was wir im nachsten Abschnilt versuchen werden - die Summe & der W:thrscheiIilichkeiten aller in der eben beschriebenen A u f z l h l u g ent- haltenen Kombinationen zu bilden, so werden wir damit eine GrijBe gefunden haben, die mit w, (z ) wie folgt znsammenl~iingt.

nlmlieh von den n Ziigen nicht besetzten Stellen allen uber- ' Abb. 2

Es ist

A s v = W,(Y) + (71 + l ) ' U ' " ( V + 1) $- ( J ' ; 2 ) w n ( Y + 2 ) . . . . . . . oder anders gescbrieben:

In der ublichen Ansdruok~weise ist ah30 S, der Erwartungswert oder die smathe- matisohe Hoffnungu der Grdii5e (:) '> . Ee ist in der Analysis gebrIuchlich, den Erwar-

tuiigswert der Potenzen von x , bezogen auf irgend eine Verteilungsfnnktion w(x) , als die betreffenden *Momenter von 2c' (r) zu bezeichnen, also

cc m

7 G O 2 E O nr, = ,v ZW($) , M2 = 2 x*x*(ir) . . . . . . . . . (4).

Man erkennt an der zwriten Darslellnng von S, in (3), da% sich 8, als lineare Kombination der ersten 1' Moincnte von wn bilden Mot, und daB die Kenntnis von,Sl, & . . . bis 8, gleichwertig ist der Kenntnis von A f 2 c n ) . . . bis Mu("), wenn damit die Momgnte von wn(x) bezeichnet werden.

Wir gehen jetzt dazn iiber, fiir die in 3 definierten Wahrscheinlich.keitssummen S, obere und nntera Schranken anzugeben. Zn diesem Zweok sei folgenda varweg bemerkt.

4

4. Abschffzyg der X,.

'1 Wobei dae Symbol ("y) ftir 2 < Y null bedenten 8011.

302 Zeitadirift fUr angewandte Mathematik und Mechanik Band 1

Weon man an Q von nStelken des Versnchsergebnieres Nullen ss8tzt, an W d t e P 8 n @ Stellen Einser, die Zlemente an den tibrigen n - (a + p) stellen aber dle mtiglbhen Kombinatlonen dnrohleufen I&!%, so ist die Samme der Wahrscheinliohkeitea mer, dleser Ergebnfsse gleich pa q p . Denh ens den s%mtliohen Prodnkbn von n Fagtoren, die naoh dem Mnltiplikz~tlonssatz die Wahrscbeinlicbkeiten der verschiedenen Ergebnisrelhen dam stelien ( 8 . oben nnter' 2 ), hebt sicb pa qP heraus a n d , was in der Klammer bleibt, 1st die Gesamiheit aller mijglichen Prodnkte au8 n - (a 4- p) FaMoren p oder q, a180 gerade der Ausdruok (p + g>n-"--P, der den Wert 1 hat. Demnacb kann man 8, 80 bildon, d a l man jede ~ufstellungsm'dglichkeit der v Zuge e inmal In Betracht debt und a16 ihre Wabr- scheinlichksit ein bestimmtes Produkt a m so vie1 Faktoren, als 'die Ziige Stellen besetzen (im Hochstfall 9 7 ma1 m + 2, bei isolierten Butatellungen) in die Reohnnng eheetzt.

Teil der Snmmanden weglassen nnd wir .wolleu daber lur diesen Zweok nPr die i so- li er t en , d. b. von Ueberdeckungen freien, Anfstallungen von Y Zilgen berficksiohtigen. Es sai z., die Anzshi der GrtSch rersohiedenen Anfsteliungen, also ailgemein gesprochen die Zahl der Mtiglichkeiten, unter n PJBteen 1' zusammenh&ngende Qrappen yon + 2 Plltzen ohne Ueberdeckungea ausznwlblen. Benult man jede dieeer M6gliobkeit+m nur dam, urn v ~ i n s e r - ~ i i g e aufzustellen, so erhi-ilt man eu X, den Beitrag e v ( p ? q n l j v * DR man aber jedeimd alle f i) Kombinationen von Nullen- nnd Einser-Ziigen dorchfahren kann, ao erhlilt man als Summe der Wahreoheinlichbeiten fiir a118 in mserer AnfeMdong aneinandergerefhten Bombhationen mit Y isolierten Iterationen

/ Wenn wir ennlchst eine uotere Schranke f i i r S , suchen, so Wrlen wir 8inen

9 *_j-pngB)'Y sv- - . . . . . . i - (5). .v(P Q ~ = . Fiir die Aneahl ev lassen sich leicbt obera und untere Qrenzen angeben. Vor

allem ist zl c 7t (zufolge der zyklischen Bnordnnng), nllmlioh dfe Zahl der AufsteUuDge- Moglicbkeiten eines einzelnen Zag08 der Ltinge m+2. Hat man nun irgeiid eine der zv - I Aufstellungen VOD Y - I Ziigen, so kann man aus ihr soviele Aufstellnngen von Y Ztigen ableiten, a le si& VerscbiebungsmSglichkeilen far einen w-ten Zug an! den IE- (Y-1) ( m c 2) freien Pllltzen finden. Der giingstigete Fall liegt offenbar dann vor, wenn die v - 1 ersten Ziige dicbt aneinandergeechoben Bind - es bleiben dann tar den *.-ten 2og genau n - ( v - 1) (m + 2)-(m + 1) Moglichkeiten - , der ungdnstigste tiitt d a m ein, wenn iiberall ewischen ewei Xiigen j e m + 1 PlLtze nnverwendbar bleiben - man hat dann nocfi um (F- 2) (rn +- 1) Aufstellungen wsniger. Z u beachten ist hierbei, da3 jede Anordnung von v Zfigen bier *ma1 i n Rechnnng gestdlt erscheint, da man jeden der v Zuge als den v-ten, zu den v - 1 anderen hinzukommenden, auffassen kann. Demnach besagt die vorsteheode Ueberlegnng, dab

7 ? - { ( 1 ' - l ) ( 8 n L i - 3 ) ( _ ! s v __ c 9 2 - ( o ' - l ) ( m + 2 ) - ~ ? ? 2 + 1 ) . . . ( G ) -cv- j -

In Zusammenhang mit z, = n folgt darans

. . . . . . . . . . mit

2 m + 8

/"I\ \' )- . .

i ) i n + 5 y97I + 21 - 1 I, = ( 1 - -8) ( I - ---) . . .(I.- ---I n I Die beiden Scbranken fur av fallen also, wenn n gegdn = geht, v konstant bleibt

und nb zumindest nioht is demselben MaBe wie n anwhhst, zusammen. Ee ist jetzt auch nioht sohwer, eine o b e r e Sohranke fiir 8, zu finden. Die Ge-

samtzahl a l l e r Aui~te~lungemoglichkeite~ von Y Zugen (einsohlieBlich der mit znlYssigen

'LTeberdacknngen) kann sicker nioht griider sein ah . Denn dies ist die h z a h f der Kmbinationen eu v au6 n Elementen, also gleich der Zahl der maglichen f!~ufstellangen, wenn iibsrhanpt jede Ueberdocknng zugelaeeep wird. Es konnan somtt en den friiher betraohteten hlichsterb noch Sehen wir eo, weloben

Wert sin solcher Summand im Maximum apnehmen kann. E6 iet ein Prodnkt aad Faktoren, die s8mtlioh hlejaer ale P sbd a d deren Z b l mindesfeos m - ~ betrttgt (diee

(3 - a, Snmmanden hinzukommen. 1: 1

:303 _ . Xeft 4 . . . -~ . v. M i ~ e s , Dse Problem der Iterntionen. . ' . .I .

n& .dam,' wenn', ohne Unterbreohnng cine Iteration auf die 'nkhsk foi@).' Setzen 'wir , vdraus,, daf! p die .grtJ+r,e ~. .der beiden Zahlen p, nni¶ .q ist; sofern' iiibht beide gleioh $ha, '.

.: 30 Sst also Bfoh&Ji4n .Summand, grii%er ah p m y, dein&oh

. p 2 q .. .., ? , :; -* (8);. .

19). ,

. . . I

i .

. . , , -

, X Y 5 E v p ~ q 1 n + p 4 9 ~ $[.(:) - t , ] p f f l v . . ~ , , . - _

' l ' Fiir v = 1;:fkllen die beiden Grenzen. ( 5 ) (i) eusa&men ..., . unh geben.

8, 'A= n (p?q" 3 - p m p ) :. i r .,, .: .... ~ . .,, (I;O), .Ah&erseiti ist-~nrrch (3) . r n . '

#yj E Z C W r ( % ) h l , a , . v . . . ,. . .* .', . ,:-' .(10')1 . . z=o , , .,

wenll wfrlmit a .die;Erivartunge7;8hl der Iterationen von der L&e m bereiohnen Flihrt man a in ,(5)'.snd- (9) ein und beriicksichtigt (71, 8'0 erhtllt man' ?nd@ltIg

a" a v l . . ' . ' - - - I , ~ . S ~ ~ - I ~ : ' . - . . . ,.,.. ,.+ ,. (ii),

9' 1 - - , V I , .

. . , ,.. wa Z, dur@i(7!);, . , ~- ¶i..dtiph ,, . .

I,'.= f2 +.,c.. >?A >"[(,i .: - 2 ) ( i ' 2 ) . . , . ( ' - 9 I r l f

+--T)[,:.'!(l ' , .27n.4 8 .. - ( v -1$:.-... 2ni . t .3 '11 (ll'), &q*"t-s?qm .: / , , . ?4 : - . - : 'n. ._. .

.I . !€ < . 1 , . . ~

gegeben, is(; ., D&$ei. $usdruok fn der .sckigen Klammer mit"wi%ahsenheq R .gegen : npli .geht, streben . sowohl.33" als JI gegen , I ;, d. h. 'd ie . angegeb.enen. Solranken MC ..;S, .be'lile gegen av : 4

5. I)ie Pobsonsche Funkfion. Pqisson hat in seinen BBecherohb sur la prob'abW des jngementsa l1837) gezeigt, daD der bekannte Newtonsohe Ausdmok, tiir die Wahr. scheinliohkeit -der z-faohen Wiedcrholung eines Ereignisses bei n Versuchen tibergeht in

- . . . . . .

die Fnntition e--0 ad - P o (i) - - .. ; * . . , . . , , ,. (121,'

X I

wenn n ins Unendliche wfiohst, die Wahrsohefnliohkeit des Eineelfalfes .ab& so klein wird , d d die. E ~ a r t m g s e a h l np = a noch endlioh bleibt. Unsere Frage - ,nacli der Wahrseheinlicbkeit des Auftretens Ton x Iterationen bestimmter, Lllnge in einer groflen Serie von pzverguchen weist, wenn wir uns aut nicht zu kuree Iterationen besohrtinken, eine gowisie Analogie mit dem Poissonschen Problem ant. Auoh bei un8 bwndelt es 6ich nm die Wiederholongszahl rseltener Ereignisseu ; die moglichen We+ von x reichen 6ehr weit hinau?, bis gegen 12. : m, aber nur kleine, bei null liegende Werte ' haben rnerk- liohe Wahrscheinlichkeiten and demgemtlj3 ist auch die Erwartnngeiahl recht klein. Da- her habe ioh bei einer fruheren Gelegenheit I) die Vermntung auegesproohen , 9 s ktinnte die oben deiinierte Fonktion wn (x) mit wachsendem n i n die- Poiseonsohe tibergehen. Die FOranbtehenden Ueberlegnngen . sind, wie wir gleioh sehen. warden , 'sehr geeignet, diese Vermutung zu ,fitutzen, und die abschlieilenden Bemerknogep des folgenden ,Ab- - schnittes werden zeigen, daf) e6 moglich ist, die Behanptung . . . .

in vijlliger Stxenge en begrunden.

Sommen Sy, 60 erhEllt man Bildet man ntimlioh ftir die Pblssonsohe F'unktion (12) die In (3) definierten

Denn die im drltten QHed stehende Summe i s t niohts anderee als die Entwioklung von e@ naoh Potenzen von a. Fiir o = 1 bestltigt (14)-nnr die Tatsaohe, daB der Mittal- wert von u, (z) oder der Erwartnngswert voh z gleioh a Ist. Nun ist sohon am &+&lnS an (11) gesagt worden, dad die fitr die einzelnen 201 (s), WI (ir),. . . w,, (z) . ,. . gebildeten Summen S, bei festem Y nnd nnbeschrbkt wachsendem n gegen eben dia Auedrlioke rechte in (14) konvergiereq. Andrersslts wissen wif (3), da% die Angabe w)n &al 8 9 .

') Die Natnrwisneuqohafbn, 7, 1919, 9 207.

304 Zeitschrift fItr angbwandte Mathematilt und Mechanik Band

bis 8, fur irgend ejns Verteilungsfonktion v‘dllig glelchbedeutend ist mit der Angabe dar ersten Y Momente dieser Funktion. Mithin konnen wir das Ergebnis unserer bisherigen Untersuchung dahin zusammenfassen: Wie grob anoh Y sei, 8s &%t siah immer ein 80 gro8es no finden, dafl fiir alle n>.tzo der Uqterschied zwisohen einepl der ersten v Mo- .mente r o n w. (z) und dem betreffenden Moment von w (z) kleiner wira als ein beliebig vorgegebener Betrag e . Oder kiirzer: Dje Momerhe der v o n uns g e s n c h t b n Wahr - s c h e i n l i c h k e i t e n wn (e) k o n v e r g i e r e n gleichmtlf l ig gegen d i e Momente der Poi! s 0 4 s ch en Fun kt iQ n.

Bevor wir die Frage eriirtern, wie weit man am der Konvergenz der Momente auf die der F’nnktionen selbst sohlieaen kann, sei nooh folgendes bemerkt. Wir aind ur- spriinglioh davon ausgegangep, die Wahrscheinliohkeit fur eine bes t immte LPnge m der Iterationen EU snchen. I n 01. (11) tritt aber nioht mehr m, sondern die Erwartunga- zahl a der Iterationen ale Parameter auf. Es%folgt darauli, da6 d i e s s (frabe, und nicht m, beim Qrenziibergang festzuhalten ist, was sich im allgemeinen der notwendigen Clans- zahligkeit von m aegen ;nicht f i i r jedee n realieieren lmt. Ein Beispiel wird an6 sofort klar machen, ‘ welche Bedeutung dies hat. Sei etwa p = q = angenommen, d a m ist naoh (10) b d (10’)

, . :

Man mufl also bier beim Uebergang kn’gr‘dfiersn SerieBlangen .das n immer auf das Doppelte des vorangehenden Wertes springen lassen und dabei m urn e h e Einheit erhiihen: Sind p‘ nnd q irrational, so mn5- man das Wachsen von n niid m so regalieren, dag si.ch der Ausdrnck recbts in (10) ,einem bestimmten Qrenzwert nflhert. (Ein ganz ahnlichcr Fall liegt beim bekaunten Uehergang V O ~ dgr Newtonschen Form01 z[lp L a - placeschen vor, wo der Quotient ,.T : konstpt 5u halten, bezw. zu approximiera ‘ist.) Praktis h spielt diese ganze Frage gar keine Rolle, denn die Anwendnng, die von.Ql. (13) - wen\ sie bewiesen ist. - gemacht werdeh kann, .besteht doch nur (analog dem L a - placeschen Fall) in der Aussage, da5 a n n a h e r n d fur groDe n

e-aaz U’” (2) - w (z) = -g-

gilt, wobei nur hinznzusetzen ist: bei end l i cbem E r w a r t u n g s w e r t a. Um iiber die Richtigkeit von ( I 3) en entscheide‘n, mufl man noch die Momente von

ui (T) selbst, wenigstens ihrer GrSBenordnung nach, abscbltzen, Nun kann man j a die Folge der Momente aus dor bereits nach (14) bekannten Folge der Sv berechnen, indem man die fur I > = 1, 2, 3 . . . . aus (14) und der Delinition der Momente (4 ) hervorgehen- den Gleiohungen

. . . (16)’ 2xCu1(2) = M , = a sx (P- 1) w (z) = AI,--M, = .* 2z (z - 1 ) (z - 2) w (2) = 121, - 3 M 9 4 2 MI = a8 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nach den MI, N Z l Ma . . . aufliist. differenzieit die Definitionsgleichnng f u r M y :

Eawher fuort aber der folgende Weg zum Ziel. Man

---=-*x ddfv (1 ,. e-al lr - =x(K- I ) x ’ w ( ~ ) = - ~ v + l 1 - My (16). . . . d a ( l a X I

Setzt man, wit3 0 s schon die Form der Qleichung (15) nahelegt, &fv als Polyoom v-ten Grades in a mit unbestimmten Koeifizienten an:

60 folgt aug (16) die Rekursionsformel h ’ v = C O , V + c ~ , v a+cz ,v a a + . . . . &,vu’ . . . . . . (17),

. . . . . (L7’). Cr, . + 1 = XCx, . + q’Cx-1, v-1 . . . . Bedenkt man, da5 alle c positiv sind und xs Y , BO kann man aus (17’) schlieden: -

cx,v + I = > #J ( c , v + Cx-l, \)

und f i i r die Qaotienten cX,,.: (3,- 1)1= c ’ , v:

C ’ q v .t 1 2 C’r , v + c’x-1, Y. 1

Eine solche Beziehang - nur mit den Oleicbheitszeichen - charakterisiert be- kanntlich die Binomialzahlen, nnd da bei diesen ebenso wie hier, fur v = 0 der einzige

'9. Mhes, pac Probleni der Iterationen so5 - Heft 4

nicht Qerschwlndende &oeffizient C*O,D E 1 iet (far x c : 0 und x > v mu5 man &ch nijtigen- falls Nullen als 3oeffieienian eingesetzt depken), sb bat man!

und nach (17) __ Das ist die' kbsohiltzang der M,, von. der wir i m folgenden .'Qebranoh machen

werden. 6. Konvergenzbewefs. Das .Ergebnis an8 der Aralysis, .desben wir -UDB znm

Beweis der G1. (13), .also zum Nachweis der .behauRteteh Xonvergenz. der Wn (a) gegen die ' P o i 6 s o n ache h-dt ion , ' bedlenen, Ist folgendes. .Es sei u @) eine nicht negative, liir alle positjven W&tB .von 5 - definierte Fanlr t io~, deren WomWe. 1

. . . ~

. (i,'O, 1 , 2 . . . .) . . . . . . (19) 1 ,

, c

mit wachsendem Y -nloht .yt&rker anwachsen als die v te Potenz ejnes endliohep Vielfachen von v. so da% V w- ' . - < A , , . . . .. . :. . . .. (IS'),

V -

wo A irgend ein endllcher Wert. Wenn dann die unendliche Folge nicbt negatieer Fnnklionen~w ( f ) , US ( f ) , & (t) . . . . die Eigensahaft besitet, da5

(v = 0, 1, 2 , . . .) * . . a (20),

so folgt dara116, da5 das nnbeetimmte Integral von u,,(E) gegen das von w (8 gleich- miiflig konvergiert : 2 X

lim f.,, ( E ) d2j = Jv(E)dE * . . , . . . . . (20') n- m C C

Dieser Satz, der sich aus verschiedenen neneren Untersnchuogen uber das Mo- mentenproblem gewhnen litfit, ist insbesondere von Q. P6lya in Khnlicher Form ausge- sprochen worden l).

Um dies Ergebnis fur une nntzbar EU maohen, ordnen wir jeder der oben de- finierten Wahrscheinliohkeitsfnnktionen w,, (XI, die fiir nlle positiven ganzzahligen z definiert sind, eine fiir a l l e positiven Werte definierte Fnnktion v,, ( E ) dnrch

y, ( E ) = 1 - 2 wn (z) , . . . . . -. . . (21) ZZE

zu. Ansfuhrlioher geschrieben lantet (2 1): vn ( 5 ) = 1 - LO. (0) ' fur o < 5 < 1,

= 1 - W m ( 0 ) - W n ( J ) flir 1 < ~ 2 2 iiir 2 < E 5 3 usf., = 1 - Wn (0) - W" (1)- wn (2)

d. h. w. ist innerhalb der Einzelstreoken von der Lbnge 1 konstant nnd nimmt dann jedesmal urn den betreffenden Wert%von w,,, im gapzen vcn 1 bis 0 ab. Andog 6011 v(s ) ans dcr Poissonschen Fanktion W ( X ) abgeleitet werden. (Vergl. Abb. 3, wo w(X), V ( 8 nnd das vnbestimmte Integral von LJ2j) eingezeichnet ist.) Das v-te Moment von ~ ( 8 ist nach (19):

-

0 I 1 2

Mv' I Jfv[l - w ( O ) ] dE +Jtv[l - w (0) - w (1)]-d2 3- . . . . . 1 \ - " + ( 1 -. w (0)) + ( 2 v + 1 - 1 v .+ 1) (1 - w (0) - w (1)) 4 . . .

2) + 1 1 1 = __ [l, + 1 1 + 2" + 1w (2) + . . . . .) = - Mv + 1

V - l - 1 Y + 1 . wo M., wie €ri.iher das v ts Moment von W ( Z ) bedeutet. fiir M, hter ein. 60 erhUt man

Setet man die Abschtltznng (18)

. . . Math. Zeltschr. 8, ;l92,0, 173-111.

eo dad die Bedingnng (19') erfiillt er- soheint. hdrerse i t s stehen die Mornente der w,(t) mit den Momenten der u~,,(z) in I dem gleiohen Zusammenhang, den (22) !zum Ansdruck bringt, d. h. sie rersohieben eloh jedesmal um 1 im Index rind sind durch . den . Ii'aktor 1 : (Y 1) erweitert. Die Konvergenz des v.kn Momentes der U L ( Z ) gegen illy ist gleichbedeotend mit der des ( ~ 4 - 1)ten Momentes von u,,($) gegen A!',, + 1, womit (20) gegeben wird. Darans folgt., da8 aoch (20') fiir unsere in ( 2 1) delinierten Funktionen v,,(E) besteht.

Die in (20') auftretenden nnbestimm- ten Integrale der a,($) nnd von v ( f ) sind nach (21) Polygone, deren Ecken g a p zcthlige Abszissen haben und die monoton vom Nullpankt bei 5 = 0 bis zur HGhe a

ansteigen. Wenn eixie l'olge solcher Polygone 1'1, Pa, PS . . . . gegen ein bestimmtee Polygon P gleichmllUig konvergiert, so xnuB auoh die Neigung der z- ten Polygonseite der P, , A, PS . . , . gogen die Neigung der :r:-ten Seite von P streben. Da die Neigungen aber niobts anderes sind als die w-Werie, so i6t damit der Nachweis fitr (31. (13) er- bracht.

D i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t d a f i i r , daf3 i n e i n e r R e i h e v o n n Wieder- l i o l u n g e n e i n e s e i n f a c h e n A l t e r i i a t i v - V e r s u c h e s x I t e r a t i o n e n v o n d e r E r - n a r t u n g s z a h l n n u f t r u t e n , n L h o r t s i c h m i t w a c h s e n d e m n mel i r u n d m e h r d c m P o i E s o n s c h e n Aufidruak:

? 2 3 4 , . 5 6 7 9 9 I0 7? 72 X

A I h 3

Wir konnen dae Qesaintergebrlis 80 zusammenfa96en :

e-aax lim ui,(z) = w ( z ) =e!- . , . . . . . (24). n=oo

E'iir die pralitisrhe Anaendung wird man, vie dies z. B. beim B e r n o u l l i - L a - p l aceschen Qesetz gcwliieht, bei groUem ?z und verhaltnismaf3ig kleinen a einfach w(3c) fiir ZL'~(;C) einsetzeri durfon.

7. Vergleich mit der Beobachtung. Die umfassendste Beobachtungsreihe, die xur I'riifung der Theoi ie tler Iterationen bisher iLIlgC6kllt wurde, ist die Untersuchnng von li. N a r b e iiber dafi C7csebluchtsrerh&ltnis der Geburlseintragungan in den Standes- amtslisten von vier linyt~isclien Stfidton. Es wnrden hier vier Versuche mit n = 4 9 162 vorgenommcn und alle 1tc:rtttionc'n der LLngen, 711 = 1 bis m = 17 (1Lngere ksmen nicht vor) gezShlt. Die UciJol.1:itifitiiiiiiiuDE: zwiechen ltrchnung und Beobachtung scheint schon dann eIne sehr gutc ZII seiii, wenn man ohne Riicksicht auf die im vorstehenden ent- wickelto Theorie bloW dio boobachteten Iterationszahlen den berechneten Erwartungs- zahlen gegenuberstttllt . Ilie lolgende. Zahlkntafel gibt nach Mar b e s Angaben (Bd. 1, S. 2 8 9 - 293) fiir jedes ~n dic vier beobacbleten Zahlen nnd ihr arithmetisches Mittel, dazu den riach ( lo ) , ( 1 0') 1)cwclineten Erwartungfiwert a; dabei ist als Einzelwahrschein- lichkeit der Wert p:= 0,48301 ziigriinde gelegt, der SiCh als relative Hllufigkeit der Eintragnngen weiblichr Geburtcn innorhalb aller rd. 200 000 Biille ergibt.

-. ______._ .~ ... . .- . __--__ ~ -. ---__

L,lii igem=I 1 j I ? ~ :I 1 4 1 5 I 6 1 7 1 8 1 9 ( 1 0 1 1 1 ( 1 2 119 1 1 4 1 1 5 / 1 6 : 1 1 7

. -

ISrwartniig8-

807

Trotz der Uberrasohend guten Uebereinslimmnng der Zahlen in den beiden letzten Zeilen findet Mar b e doch das Zariickblelben der wirkliohen Iterationszahl hinter der zu erwartenden bei grotlem m auffallend. hibesondere ist4 fur m = 16 und , fiLr m Z 18 kelne eineige Iteration aufgetreten, wiihrena die Erwart~gszahl jedenfalls grii6er als Null war. Eier kann nun das Ergebnia, das in Q1. (24) zupl Auedrack gsbraoht wurde, zur Verwendung kommen.

dann fur m = 18, a = 0,098

Bdt 4 Sahur, Algebrai~dtu Uleicbungen mit Wurnelrt negativer Realteile -

Man erhitlt fur m = 1 6 , ' a D= 0,391 w (0) == O , C 8 , 211 (1) = 0,26, 70 (2) = 0,Ob 1 . . , .

w (0) = 0,907, UJ (1) ZGZ 0,089, w (2) e 0,005 . . . . . Daran erkennt man, d d das Eintrelen ke ine r Iteratioh der L%nge 16 init einer

Wahrsclieinlichkeih von 68 vH zu erwarten war; man kann es unmiiglich als auffallend oder nogewahnlich bezeiohnen, dab in einer Folge von vier Versuchen jedesmal d a s Eroignis eintritt, fur dae eine Wahrscheinlichkeit von 0,68 besteht. Nooh @instiger liegen die FLlle m 5 18. Uier betrligt fur rn = 1 8 nicht nur die Eineelwahrscheinlichkeit fur das Fehlen der Iteration n'aheeu 91 vH, sondern man findet auch mit [w(O)]' = O,GS, daD das v i e r m a l i g e Fehlen der Iteration von der L*nge m = 18 mit mehr als *A Wahr- scheinlichkeit zu erwarten stand. Vergleicht man diesen Wert mit der Wahrscheinlichkeit fur das Auftreten e i n e r Iteration 4 w ( I ) [W (0)la = 0,27 nnd bedenkt, da0 bei-wacbsendem m der Wert von w ( 0 ) immer stLrker iiberwiegt, so erkennt man: D i e ta t s&ohl ich b e o b a a h t e t e E r sohe innng , daD ke ins I t e r a t i o n von grSDerer LOngs ale 17 auf t ra t , ist j e d e s m a l die theo re t i s ch wahrsohe fn l i chs t e uater al len mSg- l i c h e n Kombina t ionen Be! m = 16 kommt dem viekmaligen Fehlen der Iterationen die Wahrscheinlichkeit 0,2 I , dom einmaligen Ersoheinen ein e r Iteration die Wahrschein- lichkeit 0,32 zu. 83

Uber algebraische Gleichungen, die nur Wurzeln mif negafiven Realkilen besifzen.

Von J. SCHUR in Berlin.

ei verscbiedenen Anwendungen, inebesondere bei den StabI l i tL tsproblemen der Mechanik, wird man aof die Aulgabe gefuhrt, zu entsoheidcn, unter welchen Be- dingungen ejne algobraiscbe Qleichung

. . . . . . . . . . f(Z:J = 00 + U i 5 + + an 5" = 0 mit reellen Koeffizienten die Eigciischaft bcsitzt, daB die Healteile ihrrr Wurzeln zI, 22,

zeiohen haben, und fur n = 2 iet diese Bedingung auch hinreichend. Dies Iolgt nnmittel- bar aus der Zerlegung von j " ~ ) in lineare und quadratische reelle Faktoren. Eine Lasung unserer Aufgabe fiir Uleichungen beliebigen Grades hat Routh a. a. 0. mit Hilfe der Cauc_hyschen Indextheorie entwickelt. Etwas spkter ist A. Hurwi tz l ) dorch Betraoh- tung einer gewissen quadratischen Form aul ein besondere fdnfaches and elegantes Kriterium gefiihrt warden, dae folgendermaf3en lautet: Nimmt man d e n Koef t i z i en ten uo a l s pos i t iv an , s o s ind d i e Rea l t e i l e d e r Wurze ln d e r G le i chung (1) d a n n und nur d a n n s i m t l i o h nega t iv , wenn d i e n Dete rminan ten

( 1 )

B . . . , x , ~ samtlich negativ sind I ) . Als notwendig erweist e6 sich, dtiD alle av gleiches Vor-

sBmtl icb pos i t i v ans fa l l en . Hierbei hat man av fdr p > n gleich Null en setZen. Einep elementareren Beweis liir den Hnrwitzschen Satz, der nur von einfachen

Slteen fiber Resultanten Qebrauoh mscht, bat,L. Orlando *) angegeben. Er geht hierbei

'1 Vergl e. B. E. J. R o o t b , A trertlae on the atability of a given stab of ma ion, London 1877, 9. 74 bis 81; aarh: Dle Dynamlk der Systerne etarrer Rtrrper, Dentsche Awgabe Ed. 11, Lelpeig 189E,

'1 A . E a r w i t z , Math. Ann. Bd. 46 (1895), 8. 278 bla 284. '1 L. Orlando, Math. Ann. Bd. 71 (18121, 9. 283 bie 246.

s 232 bin aar.