Das Reduktionsverfahren für Polynommatrizen

FALK, S. : Das Reduktionsverfahren fur Polynommatrizen 3

’ Ae ’ A,- 1

A , , A0 ,

T = ...

ZAMM Z. angew. Math. Mech. 74 (1994) 1, 3-15 Akademie Verlag

FALK, S.

Das Reduktionsverfahren fiir Polynommatrizen

Fiir eine quadratische Polynommatrix F(E.), deren Eigenwerte bekannt sein miissen, wird eine Methode entnickelt, die eine sukzessit‘e Ahspaltung von Eigenwerten einzeln oder in Gruppen ermoglicht, wohei der Grad der aktuellen reduzierten Pol.vnomrnatrix Fred@) laufend erniedrigt wird.

Matrix polynomials F(i) with quadratic matrices and known eigenualues are transformed into reduced polynomials Fred(;”) of smaller degree. This can be achieved by dividing out single or groups of eigenvalues.

M S C (1980): 15A24, 65F15

1. Aufgabenstellung

Vorgelegt ist die Eigenwertaufgabe

y ’F( i j ) = oT ;

F(R) = A e P + ... + /Ill. + A , .

F(i.j) xj = 0

mit der Polynommatrix

Die im allgemeinen komplexen quadratischen Matrizen des zugehorigen Tupels

mit der Leitmatrix A, sind von der Ordnung n, ihr Rang ist beliebig klein, ausgeschlossen ist lediglich der Fall A , = 0. Das charakteristische Polynom

P det F(E.) = p ( l ) = p o + p , l + ... + ppl.” = p,, (1 - i,,)

v = 1

vom Grade p besitzt die p Nullstellen als Eigenwerte der Matrix F@). Sei s die Anzahl der voneinander verschiedenen (disjunkten) Eigenwerte, so gilt

0 6 s 5 p S @ . n = < co. (1.5)

1st die Leitmatrix A , regular, so ist

p = e . n ,

und ein Koefizientenvergleich aus (1.4) ergibt

det A , = p,,

und

@ * det A , = p o = (- 1)” n A , . v = 1

Im Fall s = 0 ist p ( l ) = p , = const.; dann gibt es iiberhaupt keinen Eigenwert. Dazu kontrlr existiert der sog. eigentlich singulare Fall

det F(I) = 0 . (1.9)

Hier ist jeder Punkt der komplexen Zahlenebene ein Eigenwert, doch konnen daneben noch ausgezeichnete Sonderwerte vorhanden sein, fur welche der Rang von F(lLj) kleiner ist als der von Fob). Dieser Entartung ist in (1.5) das Zeichen co zugeordnet.

4 ZAMM . Z . angew. Math. Mech. 74 (1994) 1

Der Rangabfall der singularen Matrix F(;lj) heil3t der Defekt des Eigenwertes 2,; er kann bekanntlich nicht grol3er sein als seine Vielfachheit

1s d j 5 vj. (1.10)

d j = v j ; j = l , 2 ,..., s , (1.11)

1st d, = v j , so wird der Eigenwert i j als nichtdefektiv bezeichnet. Trifft dies fur alle s Eigenwerte zu,

so heifit die Matrix F ( i ) einfach strukturiert. Nun zur Aufgabenstellung. Es sei ein Eigenwert l j der Gleichung (1.1) gegeben oder nach irgendeinem Verfahren

numerisch ermittelt, wobei der Defekt d , und die Vielfachheit vj nicht bekannt zu sein brauchen. Die Aufgabe besteht dann darin, diesen Eigenwert aus dem Spektrum zu entfernen, und das heifit, eine abgeanderte Matrix P(A) anzugeben, fur welche &ij) nicht mehr singular ist. So fortfahrend lassen sich der Reihe nach alle s Eigenwerte aus dem Spektrum eliminieren, so da13 die zum SchluB resultierende Matrix eine von Null verschiedene konstante Determinante und damit uberhaupt keinen Eigenwert mehr besitzt.

Diese als Reduktion bezeichnete Methode ist somit ein Gegenstuck zu der bei Matrizenpaaren durchfuhrbaren Ordnungserniedrigung, doch bleibt im Gegensatz zu dieser die Ordnung n der Polynommatrix erhalten, wlhrend dafiir (im allgemeinen) der Grad e erniedrigt wird.

2. Das Fundamentallemma

Fur die Eigenwertaufgabe (1.1) gilt das alles folgende beherrschende, aber merkwurdigerweise in der Fachliteratur kaum beachtete Fundamen t a l lamma:

y 'F( l ) = (.? - l j) d(i) ;

wj = oT; zj = 0 (2.2)

F ( l ) x j = Zj ( l" ) (i - n j ) , (2.1)

wo die Elemente des Vektors d(d) bzw. z j ( i ) Polynome sind, deren Gradkleiner als e ist. Im eigentlich singularen Fall (1.9) ist

vom Parameter i unabhangig. Es seien nun irgend m 5 n linear unabhingige Eigenvektoren gegeben und zu den Blocken

(2.3)

zusammengefaDt, dann gilt als Verallgemeinerung von (2.1)

YF(2.) = om(]") W(A) ; F(A) x = Z(2) om()") (2.4)

mit der Diagonalmatrix

D,(I.) = Z,i - A , ; A , = Diag (dl ... I.,) . (2.5)

Eine erste Aufgabe besteht somit in der Berechnung der Vektoren ~'(1) und z ( l ) bzw. allgemeiner der Blocke W(A) und Z(i), wobei wir uns im folgenden auf die Ermittlung von Z(A) beschranken, da fur W(A) offenbar alles analog verlauft. (Man konnte auch einfach mit der transponierten Matrix FT(L) operieren.)

Zu diesem Zweck schreiben wir die linke Seite der zweiten Gleichung (2.4)

F ( i ) X = ApX1.Q + ... A , X l + A,X

A , X = K , , ; V = Q ,..., 1,0 , (2.7)

F(A)X = KQie + ... + KIA + KO (2.8)

z(n) = c,n~ + ... + c,a + co .

(2.6)

mit den explizit zu berechnenden Blocken

kurzer als

und setzen die gesuchte Matrix Z(A) mit noch unbekannten Koeffizientenmatrizen C, bis C, an als Polynom

(2.9)


Damit geht die Gleichung F(i.) X = Z(i) D,(E.) in (2.4) uber in

K,iP + KQ-l;,@-l + ... + K l i + KO = (C,ie + C,-liQ-' + ... + Cli. + Co) (I,;. - A,) + C - , (2.10)

die theoretisch auch fehlen konnte, und nun fuhrt ein Koeffizientenvergleich auf die nach mit einer Zusatzmatrix C- HORNER benannte Rekursionsformel

K , + C , A , = C , - l ; V = Q ,..., 1 , 0 , mit

C, = 0 , Cu-l = K, = A,X,

(2.11)

(2.12)

c-, = 0 . (2.13)

Die letzte Gleichung gilt als Kontrolle; siehe dazu das Rechenschema A von (2.14):

rn H

T = + Tred = (2.14)

Kontrolle 0 1 Schema A Schema B

3. Das Reduktionsverfahren

Wir enveitern jetzt die grundlegende Gleichung (2.4) durch Einfuhrung von quadra t i s chen Matrizen. Nur der einfdchen Darstellung halber nehmen wir an, da13 die m Spalten von X kompakt nebeneinanderstehen (in praxi konnen sie beliebig iiber die Breite n verteilt sein), dann schreibt sich mit dem Block-Elevator

und der die Matrix Drn(,i) (2.5) enthaltenden n-reihigen Diagonalmatrix

6 ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 74 (1994) 1

die Gleichung F(I) X = Z ( l ) om@) nunmehr als

I

Das zur reduzierten Matrix Fred(,?) gehorende reduzierte Tupel TrDd wird somit nach dem Schema B in (2.14) durch Ersetzen der m Spalten von T durch die Matrizen C, = 0, CQ-l = K,, ..., C,, gewonnen.

Nun folgt aus (3.3) nach dem Determinantensatz

det F(A) det R = det Fred(A) det D(A),

also nach (1.4), (3.1) und (3.2)

m p,, . fi (2 - A,) * det x, = det I",,d(n) n

v = m + l v = 1

Dies ist auf jeden Fall richtig; aber nur wenn die Regular i ta tsbedingung

det Xm + 0 (3.6)

erfullt ist, folgt daraus nach Division der Gleichung (3.5) durch den rechten Faktor die Beziehung

p a . fi (A - 2,). det Xm = det Fred@), v = m + l

(3.7)

ein grundlegender Sachverhalt, den wir aussprechen wollen als

Sat z 1 : Bei reguliirer Matrix X , besitzt die reduzierte Matrix Fred@) das urn die Eigenwerte A,, . . . , I , verminderte

Die auf diese Weise erklarte Reduktion fuhren wir nun fort und bekommen, wenn wir die reduzierten Matrizen mit Spektrum der Originalmatrix F ( Y .

oberen Indizes versehen und der Originalmatrix F(1) den Index 1 zuordnen, die Reduktionsfolge

i F'(2) R l = Dl(A), Fz(A) R, = F3(A) &(A), . . . . . . . . . . . . . . FU(2),RU = P+1(1) D,(A),

die solange fortgefiihrt wird, bis der Fall s = 0 aus (1.5) eintritt, es ist dann

det FU+'(2) = d o + l = const.

1st diese Konstante gleich Null, so liegt die Entartung (1.9) vor.

4. Die Extraktion eines einzelnen Eigenwertes. Der GauDsche Algorithmus

Es sei der Eigenwert l j gegeben. Dann wird nach Gaul3 die singulare Matrix F(I j ) wie in [6, S. 751 beschrieben auf die Pivotmatrix transformiert:

Sind d , , Pivots gleich Eigenvektormatrix

1 1 xj = [xl

1 1 1

= lKj; det Pj = det Qj = 1 , (4.1) 1

Null, so enthalt die Matrix Qj die zum Eigenwert Aj gehorenden Rechtseigenvektoren, die zur

1 x2 .. (4.2)

FALK, S . : Das Reduktionsverfahren fur Polynommatrizen 7

zusammengestellt werden. Diese enthiilt mindestens eine regulare Untermatrix der Ordnung djl, deren Zeilenindizes

k j l , kj29 * . .? k j . d l l (4.3)

die Plazierung innerhalb der Matrix Rj (3.1) festlegen, so da13 damit die Regularitdtsbedingung (3.6) erfiillt ist. Fur d,j, = 3 beispielsweise sahe dies so aus:

Sodann wird die Matrix F 1 ( I ) reduziert auf F2(L) und die Matrix F 2 ( i j ) ein weiteres Ma1 nach (4.1) transformiert :

2 2 2 PjF2(ikj) Qj = Uj .

(4.4)

(4.5)

Sind alle n Pivots von Null verschieden, folglich F 2 ( i j ) regulir, so gilt vjl = djl; der Eigenwert ij ist somit nichtdefektiv. Anderenfalls aber wird die Folge fortgesetzt, und es entsteht eine Sequenz der Lange v j gemil3

F'(E,) xj = 0 , d j , + F2( i . ) , F 2 ( i j ) X j = 0 ,

F"'(E,.) X j = 0 , det F"J '' (ij) + 0 ,

dj2 + F3( i . ) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dj.+ --f F ' J + ' ( ~ . ) , (4.6)

wo der Pfeil aufdie Reduktion im Schema (2.14) hinweist. Damit ist dann auch dievielfachheit als Summe der vjDefekte

djl + di2 -k ... + dj,vJ = v j (4.7)

ermittelt. Fur den Fall e = 1 (lineares Eigenwertproblem)

F(1.) = AIL + A , (= - I B t A )

wurde in [6, S. 3261 gezeigt, darj die Defekte der Folge (4.6) nicht zunehmen konnen:

(4.8)

Ob dies auch allgemein gilt, ware noch zu erforschen.

5. Die Normierung von Eigenvektoren

Oft ist es zweckmaDig oder erforderlich, mit Hilfe einer geeignet zu wahlenden regularen (m - m)-Matrix N eine Normierung der Eigenvektormatrix X durch Erweiterung der Gleichung (2.4) vorzunehmen:

(5.1) F(1.) XN = Z(E") N N-IDm(1.) N

F ( i ) s = @.) d,(A) (5.2)

%-J -7-J-

oder kiirzer geschrieben

mit den transformierten Matrizen

X N = 8 , (5.3)

z ( 1 . ) N = z ( ( I ) + & = A x " ; v = Q ,..., 1,0, (5.4)

iVID,,,(L) N = &(Iv) . (5 .5 )

und

8

Mit der speziellen Wahl

ZAMM . Z . angew. Math. Mech. 74 (1994) 1

N = X,' (5.6)

wird dann der Block-Elevator (3.1) normiert zu

R = det R = 1 (5.7)

Zwangslaufig zieht die Normierung der Matrix X nach (5 .5) eine b;hnlichkeitstransformation der Matrix D,(i) nach

a, = N-'A ,N. (5.8)

sich; die Spektralmatrix (2.5) geht damit iiber in

6. Reelle Matrix mit komplexen Eigenwerten

1st das Tupel (1.3) reell, so konnen komplexe Eigenwerte nur als Paare -

ij = aj + iwj, 1. J J = 6 . - iwj; h j , oj reell,

auftreten, und dasselbe gilt fur die zugehorigen Eigenvektoren

X j = (x j , ij) = (uj + iuj, uj - iuj) ; uj , u j reell.

Nach dem Vorgehen von (5.1) bis (5.5) mittels der zweireihigen Normierungsmatrix

(die jedoch explizit nirgends erscheint) la& sich in bekannter Weise mit den aus (6.1) und (6.2) zusammengestellten Matrizen

die Reduktion ganz im Reellen durchfuhren gemal3

AXj = R j ; Kjv + CjvAj = Cjy-l ; Y = Q, ..., 1 , O .

Im Schema (2.14) ist somit X durch 2 zu ersetzen, und die Matrix Dj(A) geht iiber in

Die zur Reduktion vorgesehenen beiden Spalten mit den Indizes k j l und kj, sind nach (3.6) so zu wahlen, daI3 die zugehorige zweireihige Unterdeterminante der Matrix Zj in (6.5) nicht verschwindet. Eine solche von Null verschiedene Unter- determinante gibt es stets, sofern der Eigenvektor x j komplex ist. 1st er aber reell, so gilt, wie leicht einzusehen,

F(1") xj = Z j W ) qj(1)

qj(A) = (2 - A j ) (A - Ij) = A2 - 2 ' s j t (8; + 03). mit

Es wird somit allein die Spalte der Nummer k j reduziert, und dies hat zur Folge, da13 sich die Matrix bj(.l.) von der Einheitsmatrix Z, allein durch das Element dkj,kj = qj(A) unterscheidet. Das gewohnliche Horner-Schema ist in diesem Ausnahmefall zu ersetzen durch das doppelzeilige Horner-Schema nach [8, S . 661.

FALK. S. : Das Reduktionsverfahren fur Polynommatrizen 9

Es sei nun das Eigenwertpaar (6.1) mehrfach, und der Eigenwert i j= h j + iw, erzeuge in der singullren Matrix

_____

F ( i j ) den Defekt djl. Dann wird die zugehorige Eigenvektormatrix nach (5.5) normiert auf

A,' ' ' 0 A,- 1 1 A : - ,

T = T ' = ... , T 2 = ... A : A : A:, , ~ A ; ,

(6.10)

r O ' f o ' 0 0

Ae, 0 ,..., T e = . . . , Te+' = ... . (7.3)

< A $ , A$+ '

(oder anders partitioniert, falls die aus den ersten djl Zeilen bestehende Untermatrix singular sein sollte), und daraus entsteht als Verallgemeinerung von (6.5) die reelle Matrix

wlhrend die Matrix (6.4) ubergeht in

(6.1 1 )

(6.12)

und Entsprechendes gilt fur die Matrix D j ( A ) (6.7). Sind f l j 5 d j , Spalten von vj Nullspalten, so gilt flj-mal das in (64, (6.9) Gesagte.

7. Zur Strategie. Sukzessive Graderniedrigung und Optimalreduktion

10 ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 74 (1994) 1

8. Die Faktorisierung einer Polynommatrix

Aus der Rekursionsfolge (3.8) gewinnt man durch sukzessives Einsetzen die Produktzerlegung

F(A) = F"+'(I)D,(I) R i l ... D2(I) RT'Dl(A) R;' (8.1)

der Matrix F(2) mit 0 Diagonalmatrizen (bzw. Diagonalblockmatrizen nach (6.7)), welche die Gesamtheit der p 5 e . n Eigenwerte reprasentieren.

1st die Leitmatrix A , regular und auBerdem F(2) einfach strukturiert, so kann gezeigt werden (siehe etwa [4, S. 50]), daB die insgesamt e - n Rechtseigenvektoren in beliebiger Weise sich zu e regularen Modalmatrizen

R, = X , = (xlV x~~ ... x,,,); v = 1,2, ..., Q , (8.2)

zusammenstellen lassen. Diese benutzen wir als Transformationsmatrizen R, und fuhren damit eine Optimaltransformation en bloque nach (7.2), (7.3) durch, wo nun die Endmatrix A$:' = C,, ist. Damit geht (8.1) uber in

F(I) = c,,D,(n) x,' ... D2(A) X,'D,(I") x;' (8.3)

oder auch

c;p(2) x, = D,(/z) x, ' .'. &(I.) X,'D,(A)

mit den e Diagonalmatrizen

D,(A) = I,& - A , ; v = 1,2 ,... , Q .

Es gilt somit der

Sa tz 2: Eine einfach strukturierte Polynommatrix rnit regularer Leitmatrix A, la@ sich auf mannigfache Weise nach

SchlieBlich liefert ein Vergleich der beiden aul3eren Koeffizientenmatrizen aus (1.2) und (8.4) die beiden Aqivalenztrans- (8.3) fuktorisieren.

formationen

9. Ermittlung der Eigenvektoren

Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, aus dem Eigenvektorblock X j der reduzierten Gleichung

Fj(Aj) xj = 0

den Eigenvektorblock Xj zu ermitteln, welcher der Originalgleichung

F ( i j ) X j = 0 (9-2)

genugt. Es sei zunachst der Eigenwert l j nichtdefektiv. Setzen wir in (8.1) CT = j und multiplizieren diese Gleichung von rechts mit gj, so wird

Nun besitzt die Matrix Dj(Aj) ihre dj Nullspalten an den Positionen jl, . . . , jdj. Mit der aus Einheitsvektoren bestehenden Matrix

Ejk = (ejl ... ejd,)

Dj(2j) Ejk = 0 . (9.5)

(9.4)

gilt somit

Es ist demnach der in (9.3) unterklammerte Teil gleich Ejk zu setzen:

R j ' D j - ' ( A j ) RYJl ... D,(nj) R ; ',ej = Ejk )

und dies von links mit Rj multipliziert ergibt

Dj-l(Aj)RYJl - - .Dl(Aj)RL'2j = RjEjk = xj.


Da nun der Eigenwert i j von allen vorangehenden Eigenwerten verschieden ist, sind die Matrizen

D l ( i j ) , ..., Dj- , ( jLj ) (9.8)

regulir und damit invertierbar; somit folgt aus (9.7) durch Umkehrung der gesuchte Zusammenhang zwischen Xj und Xi als

(9.9)

1st nun aber i j defektiv, so steht in (8.1) und somit auch in (9.3) die Folge (4.6), und man erkennt daraus leicht,

gj = R I D r l ( A j ) R 2 ... Rj-lDy-l l (Aj)Xj .

da13 es weitere als die in (9.9) ermittelten Rechtseigenvektoren nicht geben kann.

10. Die lineare Eigenwertaufgabe

Fur den Sonderfall g = 1 (4.8) reduziert sich das Schema (2.14) auf

mit Co = K , = A , X .

(10.1)

(10.2)

1st die Leitmatrix A , regular und existiert eine regulare Modalmatrix X , , so ergibt eine en-bloque-Reduktion nach (8.7) mit Q = 1

C;,'A,X, = A , , (10.3)

und dies fiihrt mit C,, = A , X , nach (10.2) (wo der Block X der Breite rn durch die Modalmatrix XI zu ersetzen ist) auf

( 10.4) X ; ' ( A ; ,Ao) XI = A ,

mit der Spektralmatrix A , des Paares A,; A , (bzw. A ; -B), wie bekannt. Bei nicht einfach strukturierter Matrix F(A) = A,A + A , dagegen gelingt eine Minimalzerlegung auf folgende

Weise. Es seien rn, linear unabhangige Rechtseigenvektoren zur Matrix F(A) = F1(i) vorhanden. Diese werden zur Matrix

R , zusammengefafit, und F ' ( i ) wild auf P z ( i ) reduziert. Im zweiten Durchgang werden die m2 linear unabhangigen Rechtseigenvektoren der Matrix F'(1.) zur Matrix R , zusammengefaot, und es wird F2(1.) auf F3(4 reduziert. Dies wird solange fortgefiihrt, bis das Spektrum ausgeschopft ist, womit man zur Minimalzerlegung nach (8.5) mit dem Minimafindex

z = rn, + m, + ... + rn, (10.5)

gelangt. Wir haben damit ein theoretisch wie numerisch interessantes Gegenstiick zur Jordan-Form des Paares A , ; A , (bzw. - B; A ) gewonnen (siehe dazu [6, S. 333f.]), das sogar dann existiert, wenn A , (bzw. B) singular ist.

11. Beispiele

Die folgenden Beispiele sind so konstruiert, daR alles ganzzahlig verlauft und daher im Kopf nachgerechnet werden kann; die Eigenwerte sind vorgegeben, aber auch die Ermittlung der Eigenvektoren wird nicht vorgefiihrt. Die Richtigkeit von Eigenwert und Eigenvektor wird verbiirgt durch die Kontrollgleichung C- = 0 des Horner-Schemas.

Erstes Beispiel: n = 2, e = 1; s = 1, p = 2.

2 - 1 - - 1 3 + 2 i ) ; 2); A , = ( 2 -13) - 5 + i . - 5 + i 1 1 - 5 - 5 F(1) = (11.1)

(1 1.2)

Erste Reduktion:

12

Hier hat man die Wahl zwischen k , = 1 und k , = 2. Wir entscheiden uns fur k , = 1 und haben damit


T’ = (ii) - -

R , = ( ”) det R1 = 1; Dl(A) = ( 1 ” - 5 0 l ) . -1 1 ’

-1 2’ f - 3 .- 0’ f o 2

.................... ...... . . . . . . . Ersetzung:T2 = .................... 1 1 0 0 0 1

2 -13 15 - 3 -3 -13 -5 - 5 0 0 0 - 5

Nach dem Reduktionsschema (10.1) wird nun

‘ 0 2’ ‘-2’ ’ 0’ 0 1 - 1 0

-3 -13 10 -2 0 - 5 5 -1

TZ = .................... . . . . . . . . . . . . .

......

[ -:] ’

r o 2

ErsetzungT3 = .................... 0 1

-2 -13 -1 - 5

Ersetzung: ‘f3 =

(11.3)

0 0

-3 -2 .................. , detP3 = det

(11.4)

I .-RI Kontrolle :

Zweite Reduktion:

(11.5)

Wieder haben wir die Wahl zwischen k , = 1 und k 2 = 2. Wir fiihren beides durch.

Fa l l 2a) k , = 1.

a - 5 0 R , = ( ”) det R, = 1 ; D 2 ( 4 = ( I ) . -1 1 ’

Kontrolle: 1 J = -3 . -2 21 - 13

-1 1-5 det F3(4 = det

Wir bestatigen noch die Diagonalzerlegung (8.1):

F(2) = F 3 ( i ) D2(1) R i l D l ( l ) R;’

> - -1 1-5 ) ( 0 1)(1 I ) ( 0 I)(: 7) = ( - 5 + 1 - 5 + I -2 21 -13 1 - 5 0 1 0 2.-5 0 2 - a - i 3 + 2

Fal l 2b) k2 = 2.

deta , = -1 ; 8,(1.) = (’ ) 0 1 - 5 R, = (1 0 -1 1) ’

(11.6)

(11.7)

(11.8)

(11.9)

(1 1.10)

(1 1.11)

FALK. S. : Das Reduktionsverfahren fur Polynommatrizen 13

F(i.) =

Diagonalzerlegung :

i” 1 2 - 1 . + 2 A Z + 3

(11.12) 2 - 3. -13 + 2i, - 5 + i - 5 + 2

1 0 0 ’ 0 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 0 0 -1 0

0 0 0 0 1 2

...... .... .. ... .... .

.. . ... ..... .. ... ....

2 2 3 ,

Zu beachten ist, da13 das Paar (11.1) nur einen einzigen Eigenvektor besitzt, dazu einen Hauptvektor erster Stufe (Jordan-Form). Der Minimalindex (10.5) ist hier T = 1 + 1 = 2.

-1 0 ’ 0 0 0 0

1 1 -1 0 -1 -1

0 0 1 1 0 2

.... ............. .

, ....... ..........

(1 1.13)

(11.14)

Hier ist demnach die Doppelersetzung k , = 1, k, = 2 als einzige erlaubt, weil jede andere Kombination die Regularitats- bedingung (3.6) verletzen wurde. Damit wird

R , = -1 0 0

1 1 O] , detR, = - 1 , Dl(A) = 0 0 1

Mit dem gegebenen Tripel T = T‘ wird dann

T’

Kontrolle

Das Tripel T 3 steht in (11.19). Dritte Reduktion:

i,, = o , x j = 1 1:

0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0

0 0 -1 0 -1 -1

. .......... .......

I - 1 - 1 0 1 i - 1 0 0 0 1

Wir wahlen k , = 3:

, detR, = 1 ; D3(E.)=

(1 1.15)

(1 1.1 6)

0 0 0 0 0 0

(1 1.17)

(1 1.18)

14

Reduktionsschema :


.)

0 0 1

-1 0 0

0 0 0

. ........

... .... ..

J

I r 1 ,

0 0 0

0 0 ; 1

-1 0 0

0 0 0

, . . ......

........ .

, . .......

0 0 0 0 0 0 0 0 1

-1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -1 0 2 -1 -1 3

........... .... ... . .....

.. ................ . ... ..

Kontrolle :

Ersetzung

0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0

- A 0 -1

-1 -1 F4(4 = [ -1 0 i] , detF4(I) = -1 .

Damit ist das Eigenwertspektrum ausgeschopft. Wir ermitteln noch den Eigenvektor 2, zum Eigenwert d3 = 0. Nach (9.9) ist

f3 = R,D;'(O)x3

R , = [ i i 01, D,(o) = [ ; -A 0 1 , D ; ~ ( o ) = f [ 1; -; 41, mit

-1 0 1 -1 -1 0 1 0

und daraus folgt mit dem Vektor x3 aus (11.17) nach leichter Rechnung

x3 = 2 5 1 . 1

In der Tat ist F(0) i3 = A O i 3 = 0, wie es sein mul3.

Dr i t tes Beispiel: Die Matrix F ( i ) mit n = 2, e = 2 sol1 minimal zerlegt werden:

31' - 91 - 6 -2d2 + 7il + 3 5 i 2 - 211 - 14 -3A2 + 161 + 7 F(1) =

Erste Reduktion:

9 (11.19)

(1 1.20)

(11.21)

(11.22)

(11.23)

(11.24)

-1 0 1-1 = -1 , 1 2 = 2 , A , =( 2); x1 = (i), x2 =(:), XI =(: i). (11.25)

[ : : ]

Kontrolle:

0 0 0 0

2 3 1 1

-7 7 - 3 3

0 0 0 0

......... ......

.... .. .........

(11.26)

15 ___ __ - FALK, S. : Das Reduktionsverfahren fur Polynommatrizen ___.

Zweite Reduktion:

‘ 0 0 0 0 5 7 2 3

0 -1 , 0 -3

............... T’

Mit

x2

0 0 0 0 2 3 1 1

-7 7 - 3 3

Kontrolle:

0 0 0 0 0 0 0 0

5 1 2 3

0 0 0 0

............

............

(1 1.27)

(11.28)

F 3

haben wir damit die minimale Zerlegung

F ( i ) = F3D2 (I”) x; ID, (i) x; ,

ausfu hrlich

(11.29)

(1 1.30)

(1 1.31)

gewonnen

12. SchluSbemerkung. Zusarnmenfassung

Zur Losung des Eigenwertproblems (1.1) mit der Polynommatrix (1.2) wird im allgemeinen die Expansion auf die Block-Begleitmatrix der Ordnung e . n herangezogen, so beispielsweise in den Grundlagenwerken [2] bis [S], auch [7], Direkte Verfahren werden dagegen in der Literatur kaum beschrieben; lediglich bei LANCASTER [4, S. 50- 521 findet sich eine als Dekomposition bezeichnete Methode, die in gewisser Weise mit der Faktorisierung (8.3) verwandt ist.

Zu erwahnen bleibt noch, daD zwecks Erganzung des Blockes X j auf den Elevator Rj (3.1) auch der normiert unitire Reflektor von Householder herangezogen werden kann, allerdings um den Preis eines betrachtlichen Mehraufwandes.

Das Kernproblem, namlich die faktische Berechnung der Eigenwerte, wird im Zusammenhang mit der numerischen Durchfuhrbarkeit und Stabilitat des Reduktionsverfahrens in der fortfiihrenden Arbeit [ 11 ausfuhrlich erortert werden.

Zum SchluD bleibe nicht unenvahnt, daD das Fundamentallemma (2.1) bzw. (2.4) selbstredend auch fur beliebige (etwa gebrochen rationale oder algebraisch bzw. transzendent irrationale) Matrizen F(1.) giiltig ist. Die Reduktion gelingt dann allerdings nicht mehr iiber das Horner-Schema, sondern ist wesentlich komplizierter zu bewerkstelligen.

Literatur

I FALK, S. : Uber direkte Eigenwertalgorithmen fur Polynommatnzen. (In Vorbereitung). 2 GANTMACHEK. F. R. : Matrizentheorie. Springer 1986. 3 LANCASTER, P.; GOHBERG, I.; RODMAN, L.: Matrix polynomials. Academic Press, New York 1982. 4 LANCASTER, P. : Lambda-matrices and vibrating systems. Pergamon Press, Oxford 1966. 5 LANCASTER, P.; TISMENETSKY, M.: The theory of matrices. Second Edition Academic Press, Orlando 1985. 6 ZURMUHL, R.; FALK, S.: Matnzen und ihre Anwendungen. Teil 1 : Grundlagen. 6. Auflage, Springer, Berlin 1992. 7 ZURMUHL, R.; FALK, S . : Matrizen und ihre Anwendungen. Teil 2. Numerische Methoden. 5. Auflage, Springer, Berlin 1986. 8 ZURMUHL, R. : Praktische Mathematik fur Ingenieure und Physiker. 5. Auflage, Reprint, Springer, Berlin 1984.

Eingegangen: 27. Mai 1991

Anschriff: Prof. Dr.-Ing. SIGURD FALK, Wendentorwall 15 A, D-38100 Braunschweig, Deutschland

Documents

Das Reduktionsverfahren für Polynommatrizen