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Das verrückte Mathe-Comic-Buch
75 Geschichten - von der Zinsrechnung bis zur Extremwertaufgabe
Bearbeitet vonGert Höfner, Siegfried Süßbier
1. Auflage 2012. Taschenbuch. vii, 257 S. PaperbackISBN 978 3 8274 2628 4
Format (B x L): 19,3 x 26 cm
Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematik Allgemein > Populäre Darstellungender Mathematik
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Der griechische Philosoph Platon (428 – 348 v. Chr.) hat imJahre 389 in dem von ihm verfassten Dialog Menon dieLehrmethode seines Lehrers Sokrates (470 – 399 v. Chr.)beschrieben. Hierbei zeigte er, dass Lehrer kein Wissenschaffen sollen, sondern das sich im Kopf des Schülersausbildende Wissen so fördern müssen, dass dieser esanwenden und nutzen kann – der Lehrer muss Hebammefür das Wissen seines Schülers sein.
Sokrates will einem mathematisch ungebildeten Sklavenseines Freundes mit Namen Menon helfen, eine Aufgabe zulösen, die heißt: Zu einem gegebenen Quadrat soll einzweites gefunden werden, dessen Flächeninhalt doppeltso groß ist.
Der Sklave schlägt folgende Lösung vor: Die Seiten desQuadrates werden verdoppelt!
Ergebnis: Die Fläche hat sich durch die Verdopplung derSeitenlängen vervierfacht.
Nun wird dem Sklaven von Sokrates der folgende Hinweis gegeben:
Die Fläche des großen Quadrates muss halbiert werden.Deswegen ist von allen vier kleinen Quadraten nur die Hälfte zu nehmen.
Wie lang ist aber nun eine Seite (gemeint ist die des kleinen Quadrates – schräg stehend)?
Ausgang ist eine Quadratseite (kleines oder ursprüng-liches Quadrat) mit der Seitenlänge eins, welches ein Quadrat mit einer Flächeneinheit bildet.Die unbekannte Seitenlänge ist x.
Es muss gelten x . x = 2, wenn die doppelte Fläche des Einheitsquadrates die Lösung des Problems ergeben soll.
Es muss die Gleichung x 2 = 2 gelöst werden.Klar ist die Abschätzung1,00 = 12 entspricht 1 < x < 2 entspricht 22 = 4aber auch1,96 = 1,42 entspricht 1,4 < x < 1,5 entspricht 1,52 = 2,25Und so weiter und so fort!
SOKRATES ERKLÄRT EINEM SKLAVEN MATHE
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Und die Mathematik in der Geschicht ...*
Quadrat mit derverdoppeltenSeitenlänge
Quadrat mit der Einheits-seitenlänge
Ein Lehrerkann kein Wissen
in den Kopf des Schülers
trichtern ! Doch –man
kann !
Aber wie? ? ?
HISTORICAL
LATON BESCHREIBT IM
JAHRE 389 (v.Ch.) IM DIALOG
MENON DIE LEHRMETHODE
VON SEINEM LEHRER
SOKRATES.
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G. Höfner, S. Süßbier, DAS VERRÜCKTE MATHE-COMIC-BUCH,DOI 10.1007/978-3-8274-2629-1_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
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Mist, wir Sklavenrennen doch immer
noch !
Laufweg
!Fix.
Hilfe !
PLATON BERUFT SICH AUF SOKRATES UND BERUHIGTDEN SKLAVEN ERST EINMAL. ER WILL EIN VERTRAUENS-VERHÄLTNIS SCHAFFEN, IN DEM ER ZUNÄCHST EINMAL ...
Heee ...wie ist denndein Name ?
Ha ! Der rennt im Kreis.Und nicht im Dreieck !
Auaaa ...
Wassoll
das ?
Nun werdenwir gleich sehen,ob er den Satzdes Pythagoras
weiß !
... ganz im Vertrauen –
Menon, Herr.
Mein Feldstückmisst zehn Meter im Quadrat.
Oh je ?
PLATON SETZT DEN TRICHTERAN DEN KOPF DES SKLAVENUND VERSUCHT DEN SATZ DESPYTHAGORAS EINZUFÜLLEN.
Ich bin nur ein einfacherLandsklave
Herr !Komm schon Menon, wir
fahren nach meinemLandgut.
PLATON – NUN ANGESTACHELT,WILL EIN MATHEMATISCHESPROBLEM LÖSEN.
Es kommt nurauf den richtigen
Trichter an !
... istdoch so !
DER REICHESKLAVENHALTERZWEIFELT ...
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DAS WARNUR DEREIN-STIEG.PLATONSTELLTNUNABERDIEEIGENT-LICHEAUF-GABE.
Wie viele Bäumchen kannst du pflanzen, wenn der Abstand zwei Meter
fünfzig beträgt ?Ich gebe dir eine Hilfe.
Zuerst fünf Oliven-bäumchen nebeneinander
in die erste Reihe.Hä ...
Ist dasMathe ?
Fünf Reihen mit jefünf Bäumen
sind 25.
DER SKLAVE STELLT DIEREIHE EINFACH SENKRECHTZUR ERSTEN. (Heuristisch.)Und wie viele
Reihen sind es ?
Ha, ha ...die Aufgabeist trivial !
Na, da wageich aber zu
widersprechen,geehrter Herr.
... wieist die Seitenlänge desQuadrates zu wählen ?
Menon, du musst die doppelteAnzahl von Pflanzen auf die
quadratische Fläche pflanzen !
MENON GEHT ABERHEURISTISCH VORUND BEGINNT MIT6 BÄUMCHEN PROPFLANZENREIHE.DAS ENTSPRICHT12,5 m AUF DERQUADRATSEITE.
PROBIEREN GEHT ÜBERSTUDIEREN !
Sechs Bäumchenin sechs Reihen ergibtjedoch nur 36 von 50.
Das wärendoch zuwenig !
Die nächste Variantewären 15 m, Platz
für je sieben Pflanzen.
0 m 10 m 20m
5m 15m
12345
Doppeln !Also 20 m .
Irrationale Zahlen können so genauwie gewünscht oder wie erforderlichdurch rationale Zahlen angenähertoder beschrieben, aber nie ganzgenau durch diese angegeben werden.Beispiel:1,4 < √2 < 1,5maximaler Fehler kleiner als 1
10
1,41 < √2 < 1,42maximaler Fehler kleiner als 1
100
1,414 < √2 < 1,415maximaler Fehler kleiner als 1
1000
Theoretisch besteht die Möglichkeit,jede auch noch so kleine Abweichungzwischen irrationalen und rationalenZahlen zu unterschreiten. Das wirddurch die Zahl der mitgeführten gülti-gen Ziffern realisiert.
Deswegen gilt stets und insbesonderefür das Zahlenrechnen mit irrationalenZahlen: Nie so genau wie möglichrechnen, sondern immer nur so genau
wie erforderlich oder, besser, so genau, wie es sinnvoll ist.
Wenn zum Beispiel die Körpergrößevon 20 Jugendlichen in Zentimeterngemessen wird, ist es unsinnig, denDurchschnittswert (Mittelwert) in Mil-limetern oder gar in Bruchteilen vonMillimetern anzugeben. Was nutzt esauch, einen Zensurendurchschnitt vonPrüfungen mit drei Stellen nach demKomma anzugeben – das täuscht nureine Genauigkeit vor, die bei denMesswerten nicht vorhanden ist.
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Thematische Einordnung
Hier wächst ein prächtiger
Olivenhain.Wartet es ab !
Platon, Herr,ich danke Euch ! ! !
Vielleichtversuche ich gleich
mein Glück alsMathematiker in
Athen ?
DER SKLAVENHALTER NÖRGELT.
MENON HAT DAS PROBLEM NICHT NUR KLAR ERFASSTUND SELBSTSTÄNDIG GELÖST, SONDERN AUCH DASSELBSTBEWUSSTSEIN ERLANGT, UM SICH ANDERARTIGE AUFGABEN (MIT DEM WEG ZUM IRRATIO-NALEN) SELBST GEGEN DEN ZWEIFLER, SEINENEHEMALIGEN HERRN, ZU VERSUCHEN !
Menon ! Du wirst mirunheimlich. Darum schenke
ich dir die Freiheit ! ! !
Aber Herr. Bei acht Bäumchen
pro Seite ergibt dasbereits 64 !
Und was wird ausdem einen Bäumchen ?
PLATON IST STOLZ AUF MENON.
Das Problemist mathematischzu unerheblich !Aber praktisch
zu viel.Die
Näherungs-lösung ent-scheidet !
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Mit Schrecken stellten die griechischen Mathematiker fest,dass die Welt der Götter nicht in jeder Hinsicht erfassbarist. Es gibt Verhältnisse von Streckenlängen, welche nichtmehr durch den Quotienten von ganzen Zahlen ausge-drückt werden können. Diese Strecken werden inkommen-surabel, also „nicht mit gemeinsamen Maß messbar“genannt. Bereits Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) beschreibtdie Inkommensurabilität zwischen Seiten und Diagonalendes Quadrates.
Die Irrationalität (also die Nichtrationalität) von √2 wurdezuerst geometrisch und dann auch arithmetisch bewiesen.Beispiel aus der Musik: Die Oktave bzw. Quinte zu einemTon ergeben sich in der Musik, wenn die Saite, die diesenTon erzeugt, im Verhältnis 2 : 1 beziehungsweise 3 : 2 ver-kürzt wird.
2 3
1 2
Platon (428 – 348 v. Chr.) lernte das Problem der inkom-mensurablen Strecken erst gegen Ende seines Lebens ken-nen. Er bezeichnet die Ignoranz gegenüber anderen alsrationalen Zahlen als lächerlich und schimpfliche Unwis-senheit, die allen Menschen innewohnt.
Er schämte sich für alle Griechen (Menschen mit diesemVerhalten):
Mich selbst ergriff durchaus Verwunderung, als ich spätdas hörte. Es kam mir vor, als wäre so etwas [nämlich einesolche Unwissenheit] bei den Menschen gar nicht möglich,sondern eher bei einer Herde Schweine!
Die Folgen waren für die Mathematik im antiken Griechen-land enorm: Man vernachlässigte die Arithmetik, weil Zah-len plötzlich unzuverlässig erschienen, und löste die Pro-bleme geometrisch, weil damit die griechischen Ideale derexakten Mathematik scheinbar besser zu verwirklichenwaren.
Die Araber begannen erst viele Jahrhunderte später,bedingt durch intensive Handelstätigkeit, die Algebra vonihrer geometrischen Verkleidung zu befreien.
In Europa ließ Leonardo von PISA (um 1170 bis nach 1240)in seinem Werk liber abaci (1202) als Lösung von Gleichun-gen, aber auch als Koeffiziente, irrationale Zahlen zu.
Ich mussAuflage und Diagonale der Platten benennen.Nur so finde ich die
Töne wieder.Schräge
Töne, EH !
ANTIKE MUSIK Und die Mathematik in der Geschicht ...*
ER GRIECHISCHE MATHE-
MATIKER UND MUSIKUS
HIPPASOS EXPERIMENTIERT
MIT METALLPLATTEN UND
ERFREUT SICH AM KLANG.
D
BING ...
ZING ...
UIII...
WRONG ...
*Ton
stuf
ung
nach
irra
tion
alen
Zah
len
Ree
lle
Zah
len
· 6/2
55
Ihr Göttersteht mir
bei ! ! !
WOCHEN SPÄTER: SOLOKONZERTIM THEATER VON EPIDAUROS.
Ach ...schön schräg !
Rinng ...Boiiing ...
was soll das?
Ohhh ...Kirke hilfmeinem
Mann !
... ganzschrecklich
! ! !
Raus !
Aufhören ! Schluss !DAS KLANG-EVENT-SOLOKONZERT.
Die Pythagoreer
toben.
Dieerstengehen.
Na ja ...
Unsere Götterspielen Harfe,
Mandoline, Geige und so weiter.
B LAS PHEMIE ...
Die Platte hat 30cmLänge und 15 cm Breite
√302 + 152 cm.
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Nun ja,Metallblättchenhaben Harmo-
nikas zwar auch.Doch die Längebestimmt den
Ton.
Das klingtrational !
Quinte.Verhältnis
drei zuzwei !
Für eine Oktave muss
das tiefere C einedoppelt so lange
Saite haben !
Ja, ja ... in erster Linie wird die Tonhöhe
von Länge undSpannung der Saite
bestimmt.
Wehe euchaufsässigen
Schülern, dem ehrwürdigen Lehrer
Pythagoras zu widersprechen.
Irrre ...rational !
Saiten klingenweiter nach festen,
natürlichenStrukturen.
In die Verbannungmit der
Irrationalität.
... doch welcheLänge ist schon
√−3 ?
Ich gedenke nichtmich und meine Ideenvon der Irrationalität
lebend begraben zu lassen.
DOCH HIPPASOS ZEIGT MITEINEM PAUKENSCHLAGSEINE STANDHAFTIGKEIT.
DIE BESITZER REAGIEREN MIT „BROT UND SPIELEN“
DIE KONSERVATIVE PARTEIDER PYTHAGOREER SIEGET ! ! !
ES GIBT UNRUHEN IM ANTIKEN GRIECHENLAND – DAS VOLKWILL EINE NEUE ORDNUNG – MIT NATÜRLICHEN ZAHLENIST MAN NICHT MEHR ZUFRIEDEN.
Wir fodernneue Ideen !
Wir wollenWurzeln, die nicht ausden Quadraten natürli-cher Zahlen gezogen
werden !
IN DEN UNRUHEN STELLTSICH HIPPASOS AUF DIESEITE DER BESITZLOSEN.
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Die Entdeckung inkommensurablerStrecken erschütterte den Glauben andie antike Mathematik auf das Heftigs-te. So wundert es nicht, dass erst im 2. Viertel des 5. Jahrhunderts vorChristi Geburt durch Hippasos davonberichtet wird. Hippasos betrieb seineForschungsarbeiten sehr praktisch,indem er Metallscheiben zum Klingenbrachte. Damals galt die Beschäfti-gung mit nichtrationalen Zahlen (irra-tionalen Zahlen) als gottlos. Es wirddeswegen berichtet, Hippasos seiwegen dieser Forschungen im Meerumgekommen. Die Anhänger desPythagoras (Pythagoreer) sollen Hip-
pasos bereits zu Lebzeiten ein Graberrichtet haben, um ihn aus dermenschlichen Gesellschaft, vor allemaber aus der Mathematik auszuschlie-ßen, eine Gepflogenheit, die zum Leid-wesen für manche Schüler heute nichtmehr durch die Schulordnung gedecktwird. Die Pythagoreer haben sich soaufgeregt, weil sie glauben, dass alleErscheinungen der Erde auf Harmonieberuhen und dieses alleine durchnatürliche Zahlen in der Mathematikauszudrücken wäre.Aber auch das zu Lebzeiten gesetzteGrabmal für Hippasos löste das Pro-blem nicht.Mit Schrecken stellten die grie-chischen Mathematiker fest, dass die
Welt der Götter nicht in jeder Hinsichterfassbar ist. Es gibt Verhältnisse vonStreckenlängen, welche nicht mehrdurch den Quotienten von ganzenZahlen ausgedrückt werden können.Diese Strecken werden inkommensu-rabel genannt.Bereits Aristoteles (384 – 322 v. Chr.)beschreibt die Inkommensurabilitätzwischen Seiten und Diagonalen desQuadrates.
Die Irrationalität(also die Nichtratio-nalität) von √2 wurdezuerst geometrisch,dann auch arithme-tisch bewiesen.
Thematische Einordnung
... sehr innovativ, dienatürlichen Zahlen auf
neue Weise zu erreichen.
Auch die Zahl der notwendigen Legionen muss
man nicht geometrisch bestimmen !
... waskümmert mich
die Irrationalität der Strecken-bestimmung !
Inkommen-surable, also
nicht messbareStrecken sind
doch keinProblem.
Wir brauchen keine
Arithmetik !Zahlen sind
unsauber !? ?
Ich schäme mich für die gebildetenGriechen, die durch ihre konservative
Einstellung diese Erweiterung der Mathematik nicht verstanden
haben.
PLATONERFÄHRTERST IMHOHENALTERVONIRRATIO-NALENZAHLEN.
ZITAT VON PROF.KRONECKER:
GOTT SCHUF DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN,
ALLES ANDERE IST MENSCHENWERK.
DOCH AUCH DAS MACHT DEN PYTHAGOREERN NICHTSAUS, DENN DAS RÖMISCHE SYSTEM IST NICHT FÜRDIE WISSENSCHAFT GEMACHT, SONDERN FÜR IHREEROBERUNGSKRIEGE.
Wenn wir eine Provinzerobern wollen, dann
wissen wir genau die Entfernung !
http://www.springer.com/978-3-8274-2628-4
