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FINIT ELEMENT -- BESTIMMUNG DER ÜBERTRAGUNGSFUNKTION HYPERELASTICHER ELEMENTE THEORIE 1. KINEMATIK DER FINITEN DEFORMATION Wenn ein kontinuierlicher Körper eine verbundene offene Teilmenge eines dreidimensionalen Euklidischen Punktraumes ausfüllt, kann man diese Teilmenge als Konfiguration dieses Körpers bezeichnen. Im Folgenden soll nun eine arbiträre Konfiguration, als Referenzkonfiguartion B r bezeichnet, definiert werden (Fig.1). Punkte werden in B r mittels ihrer Ortsvektoren X relativ zu einem arbiträr gewählten Bezugspunkt (Ursprung) bestimmt, wobei ∂B r die Grenze von B r angibt. Wird der Körper einer Konfiguration B r quasistatistisch verformt, sodass er eine neue Konfiguration B mit neuer Grenze ∂B r ausfüllt, wird diese Konfiguration B als aktuelle oder deformierte Konfiguration des Körpers bezeichnet. Diese Deformation wird durch die Funktion X: B r B ausgedrückt, welche die Verschiebung von Punkt X in B r zu Punkt x in B beschreibt. Dies impliziert, dass x = X(X), X B r (1) wobei x der Ortsvektor von Punkt X in B ist. Diese Funktion X wird als Deformation von B r zu B bezeichnet. Angenommen X und x haben die Koordinaten X α und x i im Cartesianischen Koordinatensystem, wobei α,i {1,2,3} , sodass x i = x i (X α ). Der Deformationsgradientstensor F wird ausgedrückt durch F = x/∂X = Grad x (2)

Deformation Und Dehnung Deutsch2

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FINIT – ELEMENT -- BESTIMMUNG DER

ÜBERTRAGUNGSFUNKTION HYPERELASTICHER ELEMENTE

THEORIE

1. KINEMATIK DER FINITEN DEFORMATION

Wenn ein kontinuierlicher Körper eine verbundene offene Teilmenge eines dreidimensionalen

Euklidischen Punktraumes ausfüllt, kann man diese Teilmenge als Konfiguration dieses

Körpers bezeichnen. Im Folgenden soll nun eine arbiträre Konfiguration, als

Referenzkonfiguartion Br bezeichnet, definiert werden (Fig.1). Punkte werden in Br mittels

ihrer Ortsvektoren X relativ zu einem arbiträr gewählten Bezugspunkt (Ursprung) bestimmt,

wobei ∂Br die Grenze von Br angibt. Wird der Körper einer Konfiguration Br

quasistatistisch verformt, sodass er eine neue Konfiguration B mit neuer Grenze ∂Br ausfüllt,

wird diese Konfiguration B als aktuelle oder deformierte Konfiguration des Körpers

bezeichnet. Diese Deformation wird durch die Funktion X: Br → B ausgedrückt, welche die

Verschiebung von Punkt X in Br zu Punkt x in B beschreibt. Dies impliziert, dass

x = X(X), X Br (1)

wobei x der Ortsvektor von Punkt X in B ist. Diese Funktion X wird als Deformation von Br

zu B bezeichnet.

Angenommen X und x haben die Koordinaten Xα und xi im Cartesianischen

Koordinatensystem, wobei α,i {1,2,3} , sodass xi = xi(Xα). Der Deformationsgradientstensor

F wird ausgedrückt durch

F = ∂x/∂X = Grad x (2)

Page 2: Deformation Und Dehnung Deutsch2

und hat eine Kartesianische Koordinationskomponente Fiα = ∂xi/∂Xα, Grad ist der

Gradientoperator in Br. F ist nicht-singulär und det F > 0.

J = det F (3),

wobei J die Jacobi-Determinante bezeichnet. Dies impliziert, dass

0 < J < ∞ (4)

Für ein Volumen, dass eine (isochore) Deformation erhält, ist

J = det F = 1 (5).

Ein Material, für welches Gl. 5 zwingendermaßen für alle Deformationsgradienten F erfüllt

werden muss, wird als inkomprimierbar betrachtet [1].

Die Gleichung

dx = FdX (6)

(in Komponenten: dxi = FiαdXα) beschreibt, wie ein infinitesimales Linienelement dX eines

Materials an Punkt X unter Deformation linear in das Linienelement dx bei x umgewandelt

wird.

Aus Gl. 6 ist ersichtlich, dass

|dx|² = (FM).(FM)|dX|² = (FTFM).M|dX|² (7).

wobei M der Einheitsvektor in Richtung dX ist.

|d𝐱|

|d𝐗|= 𝐅𝐌 = [𝐌. 𝐅𝑇𝐅𝐌 ]1/2 ≡ λ(M). (8)

Die Funktion λ(M) definiert die Ausdehnung in die Richtung M bei X. Diese wird beschränkt

durch die Ungleichungen

0 < λ(M) < ∞ (9)

Gibt es keine Ausdehnung in Richtung M dann gilt: λ(M) = 1 und somit:

(FTFM).M = 1 (10)

Gibt es keinerlei Ausdehnung in irgendeine Richtung-das heißt Gl. 10 gilt für alle M – gilt das

Material als nicht deformiert bei X. Daraus folgt, dass FTF = I, wobei I der Idenditätstensor

ist. Ein geeignetes Maß für Spannung ist deshalb FTF -- I, insofern als der Tensor

verschwindet, wenn das Material nicht gespannt ist. Der Tensor

𝐄 =1

2(𝐅𝑇𝐅 − 𝐈) (11)

wird als Greenscher Verzerrungstensor bezeichnet. ½ ist dabei ein Normalisierungsfaktor.

Page 3: Deformation Und Dehnung Deutsch2

Der Deformationsgradientstensor F kann zerlegt werden in einen Rotationstensor R und einen

Dehnungstensor U, oder alternativ in den Deformationstensor R und den Dehnungstensor in

der räumlichen Konfiguration V [2].

Die Anwendung des Dekompositionstheorems bei F resultiert in

F = RU = VR (12)

Bei jedem x ist R(x) genau orthogonal und U(x) und V(x) sind symmetrisch, positiv definit.

Obige Dekomposition ist eindeutig, wie im Folgenden gezeigt wird:

𝐔 = (𝐅𝑇𝐅)1/2 , 𝐕 = (𝐅𝐅𝑇)1/2

(13)

U und V sind bekannt als rechter und linker Verzerrungstensor, wobei R der Rotationstensor

ist. In Anwendungen sind U und V schwierig zu berechnen, da sie Quadratwurzeln enthalten.

Infolgedessen wird Gebrauch der rechten und linken Cauchy-Green-Verzerrungstensoren

gemacht.

C = U² = FTF, B = V² = FF

T (14)

An dieser Stelle sollte noch angemerkt werden, dass

V = RURT und U = RCR

T (15)

2. HYPERELASTISCHES MATERIAL

In der klassischen linearen Elastizitätstheorie wird die Spannung σ als Funktion der linearen

Verformung angesehen. Dies wird als

σ = G (F) (16)

ausgedrückt, wobei G eine symmetrische tensorbewertete Funktion ist, definiert über den

Raum der Deformationsgradienten F. Materialien, für welche das Konstituentenverhalten eine

Funktion des momentanen Deformationszustandes sind, werden als elastisch bezeichnet.

In diesem Zusand ist jeder Spannungswert an einem Partikel X eine Funktion des

momentanen Deformationsgradienten F des damit assoziierten Partikels. Ein Körper, der aus

diesem Material besteht, kehrt zu seiner Ausgangsform zurück, wenn die Spannung auf null

zurückgesetzt wird.

Umgekehrt verhält es sich, wenn die durch die Spannungsgrößen eines

Deformationsprozesses verrichtete Arbeit nur vom Anfangszustand zu einer Zeit t0 und der

endgültigen Konfiguration zur Zeit t abhängig ist. Das Verhalten des Materials wird dann als

pfadabhängig bezeichnet und das Material selbst als hyperelastisch.

Page 4: Deformation Und Dehnung Deutsch2

Ein Stoffgesetz für ein spezifisches Material bezieht Spannung auf eine Verformungsgröße

und ist notwendig um die Berechnung der internen Kraftkomponenten der Equilibriumskräfte

zu ermöglichen.

Ein typisches Stoffgesetz für hyperelastische Materialien wurde von der Berücksichtigung der

Verzerrungsenergie des Materials während der Deformation abgeleitet.

In dieser Theorie existiert eine Funktion W=W(F), bekannt als Verzerrungsenergie-(oder

Gespeicherte Engergie-)Funktion, definiert durch den Raum der Deformationsgradienten.

Die Verzerrungsenergiefunktion kann notiert werden als

W(X,t)=W(F(X,t),X) (17)

Aus Gl. 17 erhalten wir

𝐓R =𝜕W(𝐅)

𝜕𝐅 (18)

Gl. 18 ist bekannt als Stoffgesetz der Hyperelastizität und TR ist der Piola-Kirchhoff

Spannungstensor. Für ein unbegrenztes Material gilt:

𝐒 =𝜕W

𝜕𝐅 , σ = G (F), 𝐽−1𝐅

∂W

∂𝐅 (19)

Der Arbeitszuwachs in Gl. 19 wird in gespeicherte Energie umgewandelt und ist einfaches

tr(Sδ F) = W. tr impliziert dabei die Spur des Tensors.

C und B sind eindeutige Tensoren für jede gegebene Deformation und nur die prinzipiellen

Invarianten von C und B sind die selben für jedes F. Daraus folgt, dass die Spannungsenergie

eine isotrope skalarbewertete Funktion dieser Hauptinvarianten alleine sein muss [4]:

W = W(I1,I2,I3) (20)

wobei

I1 = tr B, I2 =1

2[I1

2 − 𝐭𝐫(B2), I3 = det B (21)

Die Ableitung von Gl. 19 nach C und die Anwendung von Gl. 14 ergibt das Stoffgesetz für

ein isotopes, hyperelastisches Material:

T = α01 + α1B + α2B² (22)

Durch Anwendung des Cayley-Hamilton-Theorems,

T = β01 + β1B +β-1B-1

(23)

Die drei Antwortfunktionen

αΛ = αΛ(I1,I2,I3) or BΓ = BΓ(I1,I2,I3) (24)

Page 5: Deformation Und Dehnung Deutsch2

sind Materialfunktionen der Invarianten in Gl. 20, wobei

wobei Λ = 0,1,2; and Γ = 0,1,-1

Die Anwendung der Gl. 24 auf die Spannungsenergiefunktion resultiert in

𝛽0 = 2

√I3 I2

𝜕W

𝜕I2+ I3

∂W

∂I3 , 𝛽1 =

2

√I3

𝜕W

∂I1 , 𝛽−1 = −2 I3

𝜕W

∂I3 (25)

2.1 NICHT KOMPRIMIERBARES MATERIAL

Jede Deformation eines nicht komprimierbaren Materials wird den Beschränkungen aus Gl. 5

unterworfen. Da kein Ausmaß einer allumfassenden Spannung in der Lage ist, einen nicht

komprimierbaren Körper zu deformieren, kann angenommen werden, dass die Cauchysche

Spannung nur durch F alleine determiniert wird, jedoch innerhalb einer arbiträren isotropen

Spannung , zB T0 = -p1 [4]. Somit ergibt sich das Stoffgesetz für ein isotropes und

inkompressibles hyperelastisches Material

T = -p1 + β1B + β-1B-1

, (26)

wobei die Antwortfunktion BΓ = BΓ(I1,I2), for Γ = 1, -1 abhängig von der ersten und zweiten

Hauptinvariante von B ist. Weiters ist in Übereinstimmung mit Gl. 5 I3=1 für alle B. Die

Antwortfunktion zu Gl. 24 für nicht komprimierbares Material wird notiert als

𝛽1 = 2𝜕W

∂I1, 𝛽−1 = −2

𝜕W

∂I2 (27)

und die Spannungsenergiefunktion W ist gegeben mit W = W(I1,I2).

Gummi ist ein Beispiel für ein nicht komprimierbares, isotropes, hyperelastisches Material.

Weitere wären das Mooney-Rivlin-Material, für welches β1 und β-1 Konstanten sind und das

Neo-Hookean-Material, welches eine Variante des Mooney-Rivlin-Materials darstellt und für

das ß-1 = 0.

3. LINEARE SYSTEME

In der Vibrations- wie auch der Schalllehre besteht das Interesse von Berechnungen meist im

Herausfinden des Effekts einer bestimmten physikalischen Größe, dem Inputsignal, auf eine

andere physikalische Größe (dem Outputsignal) (siehe dazu Abb.2). Ein Beispiel hierfür wäre

die Berechnung der Vibrationsgeschwindigkeit v(t) in einer Struktur, wenn sie durch eine

gegebene Größe F(t) angeregt wird. Diese Problem kann durch die Anwendung der Theorie

der linearen zeitinvarianten Systeme (= LTI system theory).

Page 6: Deformation Und Dehnung Deutsch2

Abb. 2: Lineares zeitinvariantes System mit Input – Output – Parameter

Ein lineares System kann mathematisch als ein System definiert werden, in dem die

Beziehung zwischen den Input- und Outputsignalen mittels linearer Differentialgleichungen

beschrieben werden kann [5]. Sind die Koeffizienten zeitunabhängig, d.h. konstant, gilt das

System als zeit-invariantes System.

Ein lineares System ist durch einige charakteristische Merkmale gekennzeichnet:

i. Das Überlagerungsprinzip impliziert, dass wenn das Signal α(t) ein Outputsignal

b(t) verursacht und das Inputsignal c(t) ein Outputsignal d(t) zur Folge hat, das

Inputsinalg a(t) +c(t) ein Outputsignal b(t) +d(t) ergeben würde.

ii. Das Homogenitätsprinzip besagt, dass die Multiplikation des Inputsignals α(t) mit

einer Konstanten α das Outputsignal ab(t) ergeben würde.

iii. Es ist ein frequenzkonservierendes System in dem Sinne, dass nur jene

Frequenzkomponenten im Outputsignal vorkommen können, die schon im

Inputsignal vorhanden waren.

Dieses Projekt involvierte lineare Schwingungen in einem mechanischen System. Diese Art

von Schwingung kommt in Systemen vor, in denen eine lineare Beziehung zwischen einer

Erregerkraft und der resultierenden Bewegung besteht, beschrieben durch Größen wie

Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

3.1 VERSCHIEDENE FREIHEITSGRADE VON SYTEMEN

Betrachten Sie die Systeme in den Abb. 3-4

Abb. 3 System mit n stufenförmig angeordneten Massen

Page 7: Deformation Und Dehnung Deutsch2

Abb. 4 System mit Parallelschaltung

Wendet man Newton’s Gesetz der Bewegung speziell auf das in Abb. 4 gezeigte System an,

so erhält man die Zustandsgleichungen.

𝐌 𝑥 + 𝑫 𝑥 + 𝐊 𝑥 = 𝐅 (28)

wobei M, D und K die Masse-, Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrizen repräsentieren, während

F die Störfunktion bezeichnet.

𝐌 =

𝑚1

000

0𝑚2

00

00

𝑚3

0

000

𝑚4

(29)

4. ÜBERTRAGUNGSFUNKTION (ÜTF)

Die Übertragungsfunktion beschreibt die Beziehung zwischen einem Outputsignal Y() eines

linearen Systems, ausgedrückt als eine Funktion der Kreisfrequenz , und dem

entsprechenden Inputsignal X().

Page 8: Deformation Und Dehnung Deutsch2

H() = Y()/X() (30)

Gl. 30 besagt, dass Y() die Proportionalitätskonstante in einer linearen Relation zwischen

den komplexen Input- und Outputamplituden bildet. O.g. Gleichung stellt eine wichtige

Funktion für die Analyse von Geräusch- und Vibrationsproblemen dar. Handelt es sich bei

dem Inputsignal um eine Kraft, die auf eine Struktur einwirkt, erlaubt das Wissen über die

Übertragungsfunktion die Berechnung der resultierenden Vibration an verschiedenen Punkten

der Struktur.

Die Fourier-Integral-Transformation der Impuls-Responsefunktion wird folgendermaßen

notiert:

𝐻 𝑓 = ℎ 𝑡 exp −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡∞

∞ (31)

wobei f die Kreisfrequenz (gemessen in Zyklen pro Sekunde oder Hertz) ist. Diese

Übertragungsfunktion ist auch bekannt als Frequenztransferfunktion eines Systems. Da h(t) =

0 für t <0, kann das untere Ende der Integration in Gl. 30 auf null gesetzt werden.

Jegliche Art von Kraft- oder Bewegungsvariablen kann als Input- oder Outputvariable

verwendet werden, um eine Systemtransferfunktion zu definieren. In Vibrationsstudien

werden verschiedene Varianten verwendet, die zugehörigen Transferfunktionen werden dann

auch zB als Impedanzfunktion, Mobilitätsfunktion und Akzeleranzfunktion bezeichnet.

4.1 DER ANSATZ DER MECHANISCHEN IMPEDANZ

Variablen (zB Kraft) sowie derivierte Variablen (zB Geschwindigkeit und Akzeleranz),

werden – insofern in der Frequenzdomäne (als Fourierspektren) ausgedrückt – verwendet, um

die drei wichtigen Frequenztransferfunktionen auszudrücken: mechanische Impedanz,

Akzeleranz und ?????? Im Falle der Impedanzfunktion wird Geschwindigkeit als die

Inputvarialbe und die Kraft als Ausgangsvariable betrachtet; bei der Mobilitätsfunktion ist

genau das Gegenteil der Fall.

Spezifischerweise(

𝑀 = 1

𝑍 (32)

Tabelle 1 zeigt eine Übersicht einiger Transferfunktionen, die in der Vibrationsanalyse

Anwendung finden.

Page 9: Deformation Und Dehnung Deutsch2

Definitionen wichtiger Mechanischer Transferfunktionen

Transferfunktion Definition

(in der Frequenz – Domäne)

1. Dynamische Steifigkeit

Kraft /Verschiebung

2. Rezeptanz, Dynamische Flexibilität Verschiebung/ Kraft

3. Impedanz (Z)

Kraft /Geschwindigkeit

4. Mobility (M)

Geschwindigkeit/Kraft

5. Akzeleranz Beschleunigung/Kraft

Tabelle 1

Übertragungsfunktionen kann auf zahlreiche verschiedene Arten graphisch dargestellt

werden. Eine Möglichkeit ist deren Aufteilung in reelle und imaginäre Teile:

H() = Re( H()) + i lm(H()), (33)

Eine andere mögliche Repräsentation der Übertragungsfunktion kann unter Bezug auf ihre

Amplitude und den Phasenwinkel erfolgen. Eine Figur, bei der die Amplitudenverstärkung

und die Phasenverschiebung eingetragen werden, wird üblicherweise als Bode -Diagramm

bezeichnet. Ein Polar-Plot, bei dem der reelle Teil von H() auf die x-Achse und der

imaginäre Teil von H() auf die y-Achse projiziert wird, ist das sogenannte Nyquist

Diagramm.

4.2 ÜBERTRAGUNGSFUNKTION IN NASTRAN

Nastran verwendet zwei verschiedene numerische Methoden für die

Übertragungsfunktionsanalyse [7]. Die direkte Methode löst die gekoppelten

Bewegungsgleichungen im Zusammenhang mit der antreibenden Frequenz

(Zwangsfrequenz). Die modale Methode verwendet die Eigenformen der Struktur um die

Bewegungsgleichungen zu reduzieren und zu entkoppeln (wenn modale Dämpfung oder keine

Dämpfung verwendet wird), die Lösung für eine spezielle Zwangsfrequenz ergibt sich durch

die Aufsummierung der individuellen modalen Antworten. Die Entscheidung für eine

Methode ist von der Problemstellung abhängig.

4.2.1 Direkte Übertragungsfunktionsanalyse

In der direkten Übertragungsfunktionsanalyse wird das strukturelle Verhalten bei diskreten

Erregungsfrequenzen durch das Lösen einer Reihe von gekoppelten Matrizengleichungen

mittels komplexer Algebra generiert. Den Ausgangspunkt bildet die Bewegungsgleichung der

gedämpften erzwungenen Schwingung mit harmonischer Erregung

𝑀 𝑥 𝑡 + 𝐵 𝑥 𝑡 + 𝐾 𝑥 𝑡 = 𝑃(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 (34)

Für harmonische Schwingung wird eine harmonische Lösung der Form

Page 10: Deformation Und Dehnung Deutsch2

𝑥 = 𝑢(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 (35)

angenommen. Das vereinfacht Gl. 34 zu

−𝜔2𝑀 + 𝑖𝜔𝐵 + 𝐾 𝑢 𝜔 = 𝑃(𝜔) (36)

Die Bewegungsgleichung wird gelöst durch Einsetzen der Zwangsfrequenz . Gl. 36 stellt ein

System von Gleichungen mit komplexen Koeffizienten dar, wenn Dämpfung enthalten ist

oder die angewendeten Lasten Phasenwinkel aufweisen.

4.2.2 Modale Übertragungsfunktionsanalyse

Die modale Übertragungsfunktionsanalyse stellt einen alternativen Zugang zur Berechung des

Frequenzverhaltens einer Struktur dar. Diese Methode verwendet die Eigenformen der

Struktur um die Größe zu reduzieren, die Bewegungsgleichungen zu entkoppeln (wenn

modale Dämpfung oder keine Dämpfung verwendet werden), und um die numerische Lösung

effizienter zu machen. Da die Eigenformen typischerweise als Teil des Strukturverlaufs

berechnet werden, ist das modale Frequenzverhalten eine natürliche Fortsetzung der normalen

Modalanalyse.

Als erster Schritt in der Formulierung sind die Variablen von physischen Koordinaten u() in

modale Koordinaten ξ(ω) umzuwandeln, unter der Annahme, dass

𝑥 = ϕ 𝜉(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 (37)

Die Eigenformen [] werden verwendet um das Problem mittels Gegenüberstellung ihres

Verhaltens zum Verhalten der Gitterpunkte umzuwandeln. Gl. 37 repräsentiert die Gleichung

für den Fall der Verwendung aller Eigenformen, trotzdem werden alle Formen selten

verwendet, und somit stellt die Gleichung normalerweise eine Annäherung dar.

Eine weitere Formulierung würde für ein ungedämpftes System folgendermaßen notiert

werden:

−𝜔²[ϕ]𝑇𝑀 ϕ ξ 𝜔 + ϕ 𝑇[𝐾] [ϕ] ξ(ω) = [ϕ]𝑇𝑃(ω) (38)

Zuletzt werden die orthogonalen Eigenschaften der Eigenformen verwendet, um die

Bewegungsgleichung mit Bezug auf die generalisierten Masse- und Steifigkeitsmatrizen zu

formulieren, welche diagonale Matrizen sind. Diese diagonalen Matrizen haben keine nicht-

diagonalen Elemente, die die Bewegungsgleichen miteinander verkoppeln. Somit sind die

Bewegungsgleichungen in dieser Form ungekoppelt. In dieser (ungekoppelten) Form werden

die Bewegungsgleichungen als eine Reihe von ungekoppelten Systemen mit einem

Freiheitsgrad als

−𝜔²𝑚𝑖 𝜉𝑖 𝜔 + 𝑘𝑖 ξ 𝜔 = 𝑝𝑖 (𝜔) (39)

notiert. Die modale Form der Bewegungsgleichung der Übertragungsfunktion führt viel

schneller zu Ergebnissen als die direkte Methode weil es sich dabei ja um eine Serie von

ungekoppelten Systemen mit einem Freiheitsgrad handelt.

Page 11: Deformation Und Dehnung Deutsch2

Sobald die individuellen Modalantworten ξi(ω) berechnet sind, werden physikalische

Antworten als Aufsummierung der Modalantworten unter Verwendung von

𝑥 = [ϕ]ξ(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 (40)

regeneriert.

Page 12: Deformation Und Dehnung Deutsch2

LITERATURE

1. Fu Y.B., Ogden R.W. “Nonlinear Elasticity: Theory and Applications”, Cambridge

University Press 2001

2. Bonet J., Wood D. R. “Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis”,

Cambridge Press, 2ed, 2008, pg

3. Gurtin M.E. “Topics in Finite Elasticity” Society for Industrial and Applied

Mathematics Philadelphia, 1983, pg 3-12

4. Beatty, M.F. , “Topics in finite elasticity: hyperelasticity of rubber, elastomers, and

biological tissues—with examples”, Journal of Applied Mechanics Reviews, Vol. 40,

1987

5. Wallin H.P., Carlsson U., Åbom, Bodén H, Glav R., “Sound and Vibration” MWL

Stockholm, 2001

6. de Silva C.W., “Vibration: Fundamentals and Practice” CRC Press LLC, 2000

7. MSC. Nastran Documentation, “Basic Dynamic Analysis User’s Guide”, Version 68