Denkprozesse beim Lösen mathematischer Deduktionsaufgaben — Bericht über eine exploratorische Untersuchung

Bernd Zimmermann

Denkprozesse beim Lösen mathematischer Deduktionsaufgaben Bericht über eine exploratorische Untersuchung *)

Summary: An exploratory study of mathematical problem solvingprocesses was carried out.Think-aloud sessions of students solvingproblems from incidence geometry were videotaped. A categorysystem was developed to form data fr Dm the observations.Correlation-methods and sequence-analysis techniques were used toanalyze the data. The hypotheses generated deal with systematicbehavior Cstrategies), problem solving success, modes of representation, problem solving types and mistakes. Some prospects aremade concerning future research.

o. Einlei~

Es wird über eine empirische Untersuchung mathematischer Problem

löseprozesse berichtet. 20 Studenten und Schüler hatten Aufgaben

aus der Inzidenzgeometrie zu lösen und hierbei "laut" zu denken.

Diese Einzelsitzungen wurden auf Videoband aufgezeichnet und an

schließend mit Hilfe eines neu entwickelten Kategoriensystems

in standardisierte Protokolle übersetzt. Hieran wurde eine Aus

wertung mittels korrelations- and sequenzstatistischer Verfahren

angeschlossen.

Nähere Ausführungen über ein neu entwickeltes Klassifikations

system mathematischer Probleme, verschiedene AnsätzE im 8ereich

des mathematischen Problemlösens und die Entwicklung des oben

genannten Kategoriensystems sowie dessen Anwendung, demonstriert

anhand eines Protokollbeispiels, können in Zimmermann 1977 und

Zimmermann 1980 nachgelesen werden.

Um möglichen Mißverständnissen über den Geltungsbereich dieser

Untersuchung vorzubeugen, soll folgendes klargestellt werden:

Anliegen dieser Untersuchung konnte es nicht sein, mathematische

Denkprozesse "repräsentativ" zu beschreiben. Dieses ergibt sich

auch aus

- der "Künstlichkeit" der "Laborsituation" während der Untersuchung

gegenüber dem normalen Unterrichtsgeschehen,

- der sehr speziellen Art der verwendeten Aufgaben,

der relativ geringen Zahl der beobachteten Personen sowie der

speziellen Zusammensetzung der Stichprobe.

*)Diese Untersuchung wurde angeleitet von Herrn Prof. Dr. H.-D.Rinkens sowie finanziell unterstützt durch den Minister fürWissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen.

(JMD 3/4/82, Seiten 175-206)

176 Bernd Zimmermann

Primäre Aufgabe dieser Untersuchung war es also nicht, vorgegebene

Hypothese zu testen, sondern (möglichst) neue Fragestellungen

und Hypothesen zu generieren. Dieses sollte u. a. geschehen im

Hinblick auf systematisches Verhalten, Problemlöseerfolg, Reprä

sentationsmodi, Problemlösetypen und Fehlerarten. Die so erhalte

nen Resultate müssen durch weitere Untersuchungen überprüft werde~

1.GrÜnde, Rahmen und Ziele der Untersuchung

1.1. Wozu "Problemlösen" im Mathematikunterricht ?

Für bekannte Mathematiker wie Halmos 1980 und Polya 1980 besteht

der "Kern" der Mathematik seit langem wesentlich aus dem Lösen

mathematischer Probleme.

Verschiedene Entwicklungen und Erfahrungen auch im 8ereich der

amerikanischen Mathematikdidaktik lassen es geboten erscheinen,

dem mathematischen Problemlösen auch im Unterricht wieder ver

stärkt Aufmerksamkeit zu schenken.

50 sind z. B. nicht nur bei uns sondern auch in den USA Schwierig

keiten und Enttäuschungen mit der "Neuen Mathematik" und Rückzug

auf vertraute Praktiken wie z. B. Drill von Rechentechniken

("back to basics") festzustellen. Dieses ist insbesondere den

Berichten von Hill 1980, Zelinka 1980 und Fey 1979, 1980 zu ent

nehmen. Sie basieren z. T. auf umfangreichen Untersuchungen über

die Realität des Mathematikunterrichtes an amerikanischen Schule~

Hill 1980 berichtet speziell über die Ergebnisse einer empirischen

Untersuchung zur Feststellung des Leistungsstandes von Schülern

im Fach Mathematik und vergleicht diese mit den vorangegangener

Studien:

"Mlite d~~de.~d did~t&~ed & t&i~t~ li~l te~et ~t dkitti. wl~te-.~m~e~ c~m~~t&~i~. i. ~le &ddeddme.~, ~lei~

&~iti~ied ~~ &~~t~ ~lede dkittd ~~ ~le d~t~~i~. ~t

~e&tid~ic ~~~~temd we~e di••itic&.~ t~we~." (Hill 1980,5. 427)

Hierfür können natürlich verschiedene Ursachen verantwortlich

sein. Auf jeden Fall läßt sich folgern:

"lle i.edC&~&~te c~.ct~di~. ~~ ~e de~i~ed t~~m ~le

~ed~t~d ~t ~le dec~.d .&~i~.&t &ddeddme.~ ~t

m&~~em&ticd id t~&t t~e~e id c~i~ic&e .~~d t~~

&~te.~i~. ~~ li.le~-~~de~ c~••iti~e dkittd." (Hill 1980,5. 427)

Damit ergibt sich folgendes gesellschaftliche Problem:

"lle ~~~tic m~dt ~ee.J(.&mi.e i~d ~~ede.~ ~~i~~i~ied

Mathematische Denkprozesse 177

~~d W~~~~ ~~~ ~~d~t~d ~t ~ *~C~~~~d~~C ~~~~-dk~tt

c~~~~c~t~* ~~~~~d~ ~~~ ~~~d-~~w ~~d ~~ ~~~ t~~~~~ t~~ ~~~~t~* d~t~~~d w~~~ tt~~~~~t~~~ ~~ ~~~t~ ~~~~~

k~~wt~d~~ ~~ ~~~~~~c~~d ~d w~tt ~d ~~~~~~~ W~~d,·

(HilI 1980, S. 428).

Eine entsprechende Befragung der an der Gestaltung des Mathematik

unterrichtes beteiligten Öffentlichkeit wurde inzwischen in den

USA durchgeführt (NCTM 1981). Es wurden nicht nur Mathematik

lehrer von der Grundschule bis zum College sondern auch Schul

leiter, Elternvertreter, Schulräte und die Ausbilder von Mathe

matiklehrern nach ihren" Prioritäten für den Mathematikunterricht

der achziger Jahre befragt. "ProblemIBsen" wurde von allen Seiten

der hBchste Stellenwert zugewiesen.

Konsequenterweise wird vom "National Council of Teachers of

Mathematics" (NCTM, die führende Organisation amerikanischer

Mathematiklehrer) auf der Grundlage eben dieser Ergebnisse drin

gend empfohlen,

•... ~~~~ ~~~~t~* d~t~~~~ ~~ ~~~ t~c~d ~t dC~~~t

*~~~~*~~~Cd ~~ ~~~ SO'd·, (NCTM 1980, vgl. ZDM 3/1980).

1.2.Eingrenzung des Themas

Die Forderung, ProblemlBsen in den Mittelpunkt des Mathematik

unterrichtes zu stellen, ist unmittelbar mit den folgenden Fragen

verbunden:

a) Welche Probleme sollten im Mathematikunterricht gelBst werden?

b) Wie sollten mathematische Probleme gelöst werden?

c) Wie werden mathematische Probleme tatsächlich gelöst?

d) Wie kann das Lösen mathematischer Probleme unterstützt bzw.

unterrichtet werden ?

Die letzte Frage ist sicher für den Unterricht am relevantesten.

Ihre Beantwortung setzt aber Antworten zu den vorangegangenen

Fragen voraus.

Die erste Frage zieltu. a , auf das curriculare Problem. Die Wahl

der Aufgabenart (z. B. anwendungsbezogene, formale oder "Knobel"

Aufgaben) bestimmt mit mBgliche Antworten auf die nachfolgenden

Fragen. Klassifikationssysteme für Probleme kBnnen hier hilfreich

sein.

Mit der zweiten Frage haben sich vor allem bekannte Mathematiker

wie Po i nc ar e 1913, Hadamard 1949, v , d , Waerden 1954 und vor allem

Polya 1963, 1966, 1967a, 1967b 1969, 1980 beschäftigt.


Eine empirische Grundlage fUr "gutes" (erfolgreiches) Problem

lösen versuchten ferner Blake 1977, Dodson 1972 und insbesondere

Krutetskii 1976 zu gewinnen. Eine Zusammenfassung von Charakteris

tika "guter" Problemlöser ist bei Suydam 1980 nachzulesen.

Allerdings stieß die Umsetzung so entdeckter "guter" Problemlöse

strategien (etwa die von Polya) in der Unterrichtspraxis häufig

auf Schwierigkeiten (vgl. z. B. Fischbein 1973 bzw. Jerman 1971).

Ein möglicher Grund hierfUr könnte darin gesehen werden, daß

bislang noch keine adäquate "Übersetzung" der heuristischen Er

fahrungen von "Experten" in die Sprache des "DurchschnittsschUlers"

gelungen ist. Dieses dUrfte eher möglich sein, wenn verstärkt auch

"schlechtes" bzw. fehlerhaftes Problemlösen untersucht wird (vgl.

Frage cl). Derartige Untersuchungen wurden bislang kaum durch

gefUhrt und bilden einen wichtigen Teil der Studie, Uber die hier

berichtet werden soll. Erst vor kurzem wurden auch von Schoenfeld

1979, 1980a, 1980b "gute" und "schlechte" Problemlöser verglichen

(siehe auch Zimmermann 1981).

Der Versuch, Teilantworten zur Frage c) zu finden, stand also im

Vordergrund dieser Untersuchung.

1.3. Leitideen der Untersuchung

Nachdem eine BegrUndung und erste Eingrenzung der Thematik ange

geben wurde, sollen nun die wichtigsten Leitideen dieser Unter

suchung aufgefUhrt werden. Sie ergaben sich z. T. durch eine

ausfUhrliche Analyse verschiedener Ansätze zum Problemlösen.

a) Prozeß vor Produkt

Bei der Analyse mathematischen Problemlösens sollte mehr Gewicht

auf den Prozeß- als den Produktaspekt gelegt werden (vgl. auch

Kantowski 1977, 1978).

b) SchUlerzentrierung

Eines der wichtigsten Ziele der Analyse von Problemlösepro

zessen sollte darin bestehen, diese Denkabläufe auch im Selbst

verständnis des beobachteten SchUlers zu beschreiben, was seine

Miteinbeziehung in den Auswertungsprozeß erfordert. Nur auf

der Grundlage solcher Erfahrungen können nach Bruner (1974)

Informationen effektiv vermittelt werden. Überlegungen dieser

Art scheinen bislang bei der Untersuchung mathematischer Denk

prozesse kaum berUcksichtigt worden zu sein. Diese Ideen findet


man zum Teil im Bereich der von Lewin 1953 begründeten Aktions

forschung wieder.

c) "Schlechtes" ProblemlBsen

Es sollte nicht nur gutes (vgl. Polya 1967a,Wickelgren 1974)

sondern verstärkt auch schlechtes ProblemlBseverhalten unter

sucht werden. Was hierbei "gut" bzw. "schlecht" heißt, ist

keineswegs immer selbstverständlich und sollte ggf. durch Auf

deckung "versteckter Normen" (vq l , Lakatos 1976, 1978) bewußt

gemacht werden. 50 kann z. B. ein Lehrer verstärkt Präzision

und Vollständigkeit der Argumentation bewerten, während ein

anderer die Widergabe grundlegender Beweisideen höher ein

schätzt.

Die wichtige Fehleranalyse (vgl. Radatz 1980) hat also nicht

nur einen psychologischen und inhaltlichen sondern auch einen

normativen Aspekt.

d) Individuelle Unterschiede

Es sollten verstärkt individuelle Unterschiede beim Problem

lBsen (Problemlösertypen) untersucht werden (vgl. z. B.

Kilpatrick 1967, Webb 1975, Radatz 1976). Nach Aussagen von

Scandura 1977 (5. 493) wurde dieser Aspekt bislang kaum be

achtet.

e) Operationalisierung

"1l& t ••••••& .d&d ~~ d&de~~&& ~~~&t&m d~tG~•• ~~~e&dd&d ~d

e.m&&~d~m&. 1l& m&••~•• ~t d~~.~&.~, l&.~~d~~e ~~ l&.~~d~~e

d~~.~&.~ G.~~&d t~~m d~.d~ ~~ d~.d~." (Webb 1975).

50 wurden z , B. von Mc Clintock (Tab I e 5.1 in Goldin/lVJc Clintock

1980) allein zwölf verschiedene Versionen des Begriffes

"Heuristik" vorgestellt.

Daher könnte eine ausführlichere Operationalisierung IVJißver

ständnisse und einige Schwierigkeiten beseitigen, die oft eine

effektive Anwendung von Problemlöseinstruktionsprogrammen be

hindern (vgl. Fischbein 1973).

f) Aspektvielfalt

Insbesondere bei exploratorischen Untersuchungen sollte auf

Aspektvielfalt geachtet werden, da sich oft erst im Nachhinein

anfangs nicht beachtete Randeffekte als bedeutsam erweisen:

"B.~ ~••• &~~t~~.~~~~ d~.d~, wl&~& ~.~~ttd .~& d~tt~e.t~ ~~

&d~~m.~&, ~~ d&&md &&~~&~ ~~ &~~ ~. ~l& d~~&e~~~. ~t .&.&~~d~~~

~l•• ~t ~.~d~m~.~. " (Kilpatrick 1967).

180

1.4. Untersuchungsziele

Bernd Zimmermann

Zwei Fragen standen am Anfang dieser Untersuchung:

- Inwieweit läßt sich auch bei anderen Aufgaben ein "Grund

rhythmus des Denkens" beobachten, wie er von LUer 1973 und

Dörner 1974 durch Analyse von Protokollen des "lauten Denkens"

bei Aufgaben aus der Aussagenlogik gefunden wurde.

- Welche Rolle spielt die Anschauung beim Problemlösen ?

Da die Datenerhebung und -analyse sehr breit angelegt wurde,

konnten auch im Laufe des Auswertungsprozesses noch neu auftre

tende Fragen mit behandelt werden (vgl. 1.3. f)).

So wurden schließlich innerhalb des in 1.3. umrissenen Rahmens

folgende Hauptziele angesteuert:

1) Es war ein Kategoriensystem zu entwickeln, das alle verfUgbaren

Beobachtungen in standardisierte Form zu Ubertragen gestattet.

Bei der Entwicklung dieses Kategoriensystems sollten die beob

achteten Personen nach Möglichkeit beteiligt werden, um so

deren Selbstverständnie mit berUcksichtigen zu können (vgl.

1.3. b)).

Nach Lester 19BO (5. 303, 305, 305) besteht ein gravierender

Mangel an geeigneten Kategoriesystemen zur Beschreibung von

Problemlöseprozessen.

2) Es sollte untersucht werden, inwieweit auch im Falle von

Aufgaben aus der Inzidenzgeometrie ein "Grundrhythmus" zu

beobachten ist, wie er von LUer und Dörner (s.o.) gefunden

wurde.

Nach Lester 1980 (5. 302) haben im angelsächsischen Raum bis

lang nur Kantowski 1977 und Putt 1978 nach derartigen Systema

tiken und Mustern im Problemlöseprozeß gesucht.

3) Es sollte nach möglichen Bedingungen fUr erfolgreiches und

weniger erfolgreiches Problemlösen gesucht werden. Insbe

sondere sollte untersucht werden, mit welchen Verhaltensweisen

erfolgreiches bzw. weniger erfolgreiches Problemrnsen korreliert

Cvq L, z , B. Kilpatrick 1957, Webb 1975). ilb e r d i e s soll te zwecks

genauerer Lokalisierung ursächlicher Zusammenhänge mittels

sequenzanalytischer Verfahren geprUft werden, welche Verhal

tensweisen im Problemlöseprozeß Uberzufällig häufig Lösungs

ideen bzw. Fehlern vorausgehen oder folgen.

4) Es sollte die Rolle der Anschauung beim Problemlösen -


insbesondere im Hinblick auf den Problemlöseerfolg - näher

untersucht werden.

5) Es sollte der Zusammenhang zwischen Anschauung und Problemlliser

~ analysiert werden.

6) Es sollte eine Fehleranalyse durchgeführt und mögliche Bedin

gungen für selbständige Korrekturen von Fehlern gesucht werden.

Gemäß der Natur einer exploratorischen Untersuchung sind als Er

gebisse zu den genannten Zielen primär präzisierte Hypothesen zu

erwarten.

2. Durchführung der Untersuchung

2.1. Die Versuchspersonen

Insgesamt nahmen 20 Personen an dieser Untersuchung teil (10

männliche, 10 weibliche, Durchschnittsalter 21). Hierunter waren

16 Studienanfänger der Mathematikdidaktik von der Universität

Gesamthochschule Paderborn (Primarstufe, Sekundarstufe I). Hierzu

kamen noch 4 Oberstufenschüler vom Paderborner GÖrdelergymnasium.

Keine der Versuchspersonen (Vpn) hatte zuvor an einem Kurs über

axiomatische Geometrie teilgenommen. Eine Analyse der Klausuren,

die im Rahmen des normalen Mathematikausbildungsprogrammes des

ersten Semesters durchgeführt wurde, erwies die an dieser Unter

suchung teilnehmenden Studenten im Vergleich zu den übrigen ca.

100 Studenten dieses Jahrganges als mathematisch durchschnittlich

begabt. Die durchgeführte Untersuchung ergab ferner, daß sich die

Schüler in ihren mathematischen Leistungen kaum von den Studenten

unterschieden. Die Teilnahme an dieser Untersuchung war selbst

verständlich freiwillig.

2.2 Der Aufgabenbereich

Die Aufgaben wurden aus der Inzidenzgeometrie gewählt. Hierbei

waren von den Vpn u. a. folgende Axiome zu benutzen:

(A1) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Kurve.

(A2) Zu jeder Kurve und jedem Punkt gibt es genau eine parallele

Kurve durch diesen Punkt.

(A3) Es gibt mindestens drei verschiedene Punkte, die nicht alle

auf derselben Kurve liegen.

Nachdem die Vpn eine kurze schriftliche Einführung in die Inzi-


denzgeometrie erhalten hatten, in der u. a. obige Axiome in aus

führlicherer Form und einige Anwendungen derselben enthalten

waren, hatten sie die folgenden Sätze zu beweisen:

1. Satz: ~oEa~s~e!z~n~: Es sei eine beliebige Kurve k gegeben.

~e~a~p!u~g~ Dann gibt es immer eine Kurve 1 mit den

folgenden beiden Eigenschaften:

(i) 111 k

und

(ii) Uk.

2. Satz: ~oEa~s~e!z~n~: Es seien k, 1, s irgendwelche Kurven mit

folgenden Eigenschaften:

(i) kill

und

(ii) liis •

.§.e~a~p!u~g~ Dann gilt auch kill.

3. Satz: ~oEa~s~e!z~n~: keine zusätzliche •

.§.e~a~p!u~g~ Es gibt ~indestens vier Punkte mit den

folgenden beiden Eigenschaften:

(i) sie sind alle verschieden

und

(ii) keine drei von ihnen liegen auf ein

und derselben Kurve.

Einige Anmerkungen zur Form der Darbietung seien hier gemacht:

Ursprünglich wurden sowohl die Axiome als auch die Sätze in einer

stark verkürzten Form abgefaßt (vgl. obige Version der Axiome).

Aufgrund von Erfahrungen mit einem Vortest, der unter Mitwirkung

von 7 Studenten durchgeführt wurde, wurden sämtliche Sätze und

auch die Axiome in einer sehr detailierten Form (wie Satz 1 - 3)

dargeboten. Insbesondere erwies sich der Begriff "Kurve" dem

Ausdruck "Gerade" gegenüber als geeigneter, da so die Anschauung

weniger stark eingeengt schien.

Außer den oben angegebenen drei Sätzen hatten die Vpn noch zwei

weitere Sätze zu bearbeiten. Diese wurden nicht mehr in die Aus

wertung einbezogen, da bereits die ersten drei Sätze sehr umfang

reiches Datenmaterial lieferten.

Aus folgenden Gründen wurden Aufgaben aus der Inzidenzgeometrie

gewählt:

1) Da ein Vergleich mit den Untersuchungen von Lüer 1973 und


Dörner 1974 geplant war, sollten die Aufgaben in ihrer Struktur

möglichst der der dort verwendeten aussagenlogischen Aufgaben

ähneln.

2) Da der Einfluß der verschiedenen Repräsentatiomsmodi (vgl. Bruner

1974) beim Problemlösen untersucht werden sollte, mußten die

Aufgaben verschiedene Möglichkeiten zum Veranschaulichen bein

halten.

3) Bei diesen Aufgaben war keine ausführliche Unterweisung erfor

derlich.

4) Axiomatische Geometrie kann sowohl in der Sekundarstufe 11 als

auch in der Lehrerausbildung als Thema behandelt werden (vgl.

Glaeser 1980).

5) Das mit solchen "Deduktionsaufgaben" verbundene Lernziel

"Logisch-Denken-Können" ist immer noch von großer Bedeutung

nicht nur für den Mathematikunterricht.

Anmerkung: Der gewählte Aufgabenbereich ist natürlich nicht re

präsentativ für alle mathematischen Probleme. Da der Bereich der

mathematischen Probleme zu umfangreich ist, war mit der oben

begründeten Auswahl die auch von Polya 1967a empfohlene Strategie

anzuwenden, zunächst ein kleines Teilproblem anzugehen, solange

man die "ganze Aufgabe" (Wie funktioniert mathematisches Problem

lösen 7)noch nicht lösen kann.

Die Bewertung der Lösungswege dieser Aufgaben erfolgte nach

einem einheitlichem Punkteschema, das in Zimmermann 1977 ange

geben ist.

2.3. Die Datenerhebungs- und Auswertungsmethoden

Die Vpn hatten die in 2.2. angegebenen Aufgaben in der dort prä

sentierten Reihenfolge in insgesamt drei Einzelsitzungen zu lösen

und hierbei "laut" zu denken. Jede dieser Sitzungen dauerte

zwischen 1 1/2 und 2 Stunden und wurde auf Videoband aufgezeich

net.

Bei den Einzelsitzungen war ein Versuchsleiter (Vl) anwesend,

dessen einzige Aufgabe darin bestand, die Vp zum lauten Denken

anzuhalten. Es wurden insbesondere keine Lösungsideen oder Auf

munterungen vermittelt und auch keine Fehler korrigiert. Die

Eingriffe des Vl wurden durch einen fest vorgegebenen Entschei

dungsplan (Flußdiagramm) standardisiert.


Die Vpn hatten die Möglichkeiten, ihre Gedanken aufzuschreiben,

Zeichnungen anzufertigen, oder mittels Wollfäden (die die Kurven

veranschaulichten) und kleinen Ringen (die die Punkte darstellen

sollten) Figuren zu legen. Die erste Art der Veranschaulichung

(Zeichnen) wurde "ikonisch", die zweite "enaktiv" genannt. Im

Gegensatz zur "klassischen" Zeichnung konnten durch die enaktive

Methode anschauliche Darstellungen durch Umlegen stetig variiert

werden. Den Vpn wurden also insgesamt vier verschiedene Möglich

keiten gegeben (Reden, Schreiben, Zeichnen, Legen), um ihre

Gedanken zu äußern, wobei nur die erste "verbindlich" war (vgl.

4. und 5. Ziel in 1.4.).

Die Videoaufzeichnungen der Einzelsitzungen wurden mit Hilfe eines

komplexen Kategoriensystems (vgl. 3.1.) in standardisierte Proto

kolle übersetzt.

Hier eine kurze Beschreibung des Übersetzungsvorganges:

Sämtliche Ereignisse auf den Videobändern wurden in einzelne

Beobachtungsschritte untergliedert. Diese wurden definiert als die

kürzesten Ereignisse, denen Sinn zugewiesen werden konnte. Jedes

dieser Elementarereignisse wurde unter maximal 15 verschiedenen

Aspekten betrachtet und ggf. mit Hilfe des Kategoriensystems

maximal 15-fach gekennzeichnet.

Eine ausführlichere Beschreibung kann hier aus Platzgründen nicht

gegeben werden.

So entstanden 60 Protokolle mit durchschnittlich 110 Zeilen

(Beobachtungsschritten) und jeweils 15 Spalten.

Diese umfangreichen Protokolle enthielten nahezu alle verfügbaren

Informationen und ermöglichten so auch über die ursprünglichen

Fragestellungen hinausgehende Untersuchungen. Diese umfassende

Datenerhebung ist insbesondere für eine exploratorische Studie

sinnvoll (vgl. 1.3. f)).

Nachdem diese standardisierten Protokolle auf ca. 20 000 Loch

karten übertragen waren, wurden sie mit Hilfe eines UNIVAC-1108

Computers statistisch ausgewertet. Hierbei kamen korrelations

statistische und sequenzanalytische Verfahren zur Anwendung (vgl.

3. Ziel, 1.4.). Entsprechend dem exploratorischen Charakter dieser

Studie wurden diese Verfahren überwiegend zur Datenreduktion und

zum Generieren von Hypothesen eingesetzt.

Zur Berechnung von (partiellen) Korrelationskoeffizienten wurde


zunächst von der Reihenfolge der Eintragungen in den Protokollen

abgesehen. Es wurde für jede Vp über alle drei Aufgaben die

absolute Häufigkeit von Variablen in allen Zeilen und Spalten der

Protokolle zusammengezählt, nachdem diese zuvor durch eine erste

Vergröberung auf ca. 180 verschiedene Variable reduziert worden

waren. Hinzu kamen die gesamte Bearbeitungszeit, die Gesamtzahl

der Beobachtungsschritte, die Anzahl der Vl-Eingriffe sowie die

gesamte erreichte Punktzahl pro Person. Da die Häufigkeit sämt

licher Variablen für jede Person von der Zahl der Beobachtungs

schritte abhängt, wurden partielle Korrelationen bezüglich dieser

Variablen berechnet. Aus Platzgründen können im Ergebnisteil nur

einige interessante Korrelationskoeffizienten präsentiert werden.

Es folgt eine kurze Beschreibung der Sequenzanalyse.

Sie wurde insbesondere häufig zur genaueren Lokalisierung ver

muteter ursächlicher (lokaler) Zusammenhänge eingesetzt, wenn

zuvor die Korrelationsanalyse zwischen zwei Variablen einen be

deutsamen globalen Zusammenhang ergeben hatte. Grundsätzlich

wurde wie folgt vorgegangen:

a) Alle 60 Protokolle wurden zu einem Gesamtprotokoll mit ca.

6500 Beobachtungsschritten "aneinandergehängt".

b) Dieses lange Protokoll setzte sich aus 15 parallelen Sequenzen

(Spalten) zusammen, die zu einer zusammengefaßt werden mußten.

Hierfür wurde als Grundlage die Spalte genommen, in der die

verbalen Äußerungen der Vpn festgehalten waren. Ihr waren die

meisten Informationen zu entnehmen. In Abhängigkeit von der

jeweiligen Fragestellung wurden ggf. Inhalte aus den anderen

Spalten (z. B. Lösungsideen, Veranschaulichungen, Fehler) nach

jeweils geeigneter Priorität hier eingesetzt.

c) Die so jeweils entstehende lange "Supersequenz" wurde an

schließend derart "zusammengeschoben", daß nur noch verschiede

ne Tätigkeiten (Verhaltensweisen) aufeinander folgten.

d) Die Erwartungswerte für die Übergangswahrscheinlichkeiten

zweier unmittelbar aufeinanderfolgender Tätigkeiten (2-er

Sequenzen) wurde so dann durch das Produkt ihrer relativen

Häufigkei ten abgeschätzt. Bezeichnet man mit h. und h . die1 J

relativen Häufigkeiten der Variablen (Tätigkeiten) i und j,

mit (i,j) die zugehörige 2-er Sequenz, mit E(i,j) den Erwar

tungswert von (i,j), so wurde also E(i,j)"'h.·h. angenommen.1 J

Anschließend wurde die relative Häufigkeit h(i,j) der


jeweiligen Sequenz (i,j) ausgezählt. Mittels Binomialtest

wurde danach entschieden, ob diese Eequenz "Oberzufällig

häufig" vorkam. Hierbei wurde definiert:

Ci ,j) Oberzufällig häufig : ~,,;;. w(hCi ,j);h"h .);;;a.1 J

Da der Binomialtest maximal n=4006 Mal zur Anwendung kam, wurde

der bei n-facher Wiederholung eines Tests gemäß 1_(1_a)n

akkumulierenden "Irrtumswahrscheinlichkeit" fOr die Gesamt

aussage durch eine genOgend kleine "Auswahlgrenze" a bei der

DurchfOhrung eines einzelnen Tests begegnet. Deswegen wurde

jeweils mit a=O,00001 gearbeitet, da 1_(1_a)4006~O,04 genügend

klein ist.

Entsprechend wurde bei 3-er, 4-er, 5-er und 6-er Sequenzen

verfahren.

3. Untersuchungs ergebnisse und Hypotresen

3.1. Das Kategoriensystem

Die Entwicklung eines geeigneten (insbesondere hinreichend

flexiblen) Kategoriensystem bildete die Grundlage der gesamten

Auswertung.

Zunächst wurde bei einigen Protokollen ein zweiter Auswerter

herangezogen. Hierdurch sollte versucht werden, ein größeres Maß

an Objektivität zu erreichen.

Der Validität versuchten wir dadurch Rechnung zu tragen, daß wir

einige der bereits standardisierten Protokolle nochmals einigen

Vpn vorlegten, nachdem bereits deren Einzelsitzungen beendet wa-

ren.

Diese Kontrollen sollten möglichst sicherstellen, daß der Aus

werter nicht sein eigenes Denken in seine Beobachtungen proji

zieren konnte. In beiden Fällen wurde ein zufriedenstelIender

Übereinstimmungsgrad erreicht. Der Prozentsatz der überein

stimmend beurteilten "Elementarereignisse" lag in beiden Fällen

zwischen 77 % und 94 %. Es ergab sich schließlich ein Kategorien

system, das gewisse Ähnlichkeiten mit der dritten Version des von

Kilpatrick 1967 verwendeten Schemas hat. Ein grober Uberblick

Ober das so entwickelte Kategoriensystem wird in Abb. 1 gegeben.

s::: Il) -:7 CD 3 Il) =.

Cf) o :7 CD Cl

CD :l ""0 .... o N CD Cf)

Cf) CD

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Erläuterungen zu Abb. 1:

Das Diagramm ist hierarchisch aufgebaut: Oberbegriffe stehen

weiter oben, jeweilige Unterbegriffe befinden sich, durch Pfeile

verbunden, darunter. Die auf gleicher Höhe aufgeführten 8egriffe

befinden sich zumeist auch in ihrem Differenzierungsgrad auf

gleicher Stufe. Selbst die am weitesten unten stehenden Kategorien

(oberhalb von LÖSUNGSIDEEN) fassen noch viele Unterkategorien

zusammen, die hier aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht aufge

führt wurden.

Die Hauptteile dieses Kategoriensystems werden durch "Ubjekte"

und "Prozeduren" (Tätigkeiten) gebildet, wobei letztgenannten auf

ersteren "operieren". "Logische Operationen","Fehlerprozeduren"

und ("objektive") "Lösungsideen" spiegeln natürlich nur den Stand

punkt des Auswerters wider und sind entsprechend gekennzeichnet.

Alle übrigen Kategorien sind - wie bereits erwähnte Dberprüfungen

zeigten (s. oJ - weitgehend auch dem Selbstverständnis der Vpn

gemäß konstruiert.

Einige Anmerkungen zur Leistungsfähigkeit des Kategoreinsystems

seien noch gemacht:

Das gesamte System umfaßt ca. 340 Kategorien, die zu über 4000

verschiedenen Tätigkeiten verbunden wurden. Durch diese starke

Differenzierung wurde einerseits sichergestellt, daß kaum über

haupt verfügbare Informationen verloren gingen. Manche hiervon

erwiesen sich erst im späteren Verlauf der Studie als wichtig.

Durch den hierarchischen Aufbau des Kategoriehsystems waren

überdies für die jeweilige, z. T. neu entstandene Zielfrage

praktisch beliebig vergröberte Zusammenfassungen der Protokolle

maschinell durchführbar.

8eide Eigenschaften ermöglichen überdies eine Übersetzung der

Protokolle in die Kategoriensysteme ("Sprachen") anderer Autoren.

Von uns wurde eine solche Übertragung in die Sprache von Lüer 1973

bzw. Dörner 1974 durchgeführt.

Da kaum auf "bewährte" Kategoriensysteme zurückgegriffen wurde,

konnte so eher eine zu enge Verwandtschaft zwischen Untersuchungs

voraussetzungen und -ergebnissen vermieden werden. Dieses ist oft

z. 8. bei amerikanischen Untersuchungen festzustellen, die an das

von Polya 1967a entwickelte 8eschreibungssystem für mathematische

Pro~emlöseprozesse anknüpfen.


Insgesamt konnte also ein recht flexibles Kategoriensystem er

stellt werden, wie es gerade für eine exploratorische Untersuchung

erforderlich ist.

3.2. Suche nach einem "Grundrhythmus"

Von Lüer 1973 und Dörner 1974 wurde bei aussagenlogischen Aufgaben

folgender "Grundrhythmus" beobachtet:

neinexterne Suchenach einemOperator (Gebr.d. Testunterl.)

Konstruktion. einesZwischenzieles

ja

nein

nein

ja

Grundrhythmus bei Aufgaben aus der Aussagenlogik

(nach Lüer 1973/Dörner 1974)

Abb. 2


Ein Ziel dieser Untersuchung war es festzustellen, inwieweit ein

solcher Grundrhythmus auch bei Aufgaben aus der Inzidenzgeometrie

zu beobachten ist (vgl 2. Ziel in 1.4.).

Zu diesem Zweck wurden alle standardisierten Protokolle nach einer

ausführlichen Diskussion mit Prof. Dörner in die von ihm benutzten

Kategorien übersetzt. Anschließend kam die in 2.3. beschriebene

Sequenz analyse zur Anwendung. Nachdem so die überzufällig häufig

vorkommenden 2er- bis 4er-Sequenzen bestimmt waren, konnten diese

zu folgendem Diagramm überlagert werden:

h=2 1ü=1,3

Ih=0,7I ü=4,6

I

Grundrhythmus bei Aufgaben aus der Inzidenzgeometrie

(vgl. Abb. 2; konstruiert durch Uberlagerung der Se

quenzen in Table 4 - 6 in Zimmermann 1980)

Die Dicke der Pfeile deutet ungefähr die relative Häu

figkeit h in Bezug auf alle 2er-Sequenzen in Prozent an.

ü=hCi,j)/h.·h. (h=hCi,j)·100, vgl. 2.3. d» mißt, wie1 J

"überzufällig" die Sequenz (i,j) vorkommt

*): Kategorie, die von Lüer und Dörner nicht aufgeführt

wird

Abb. 3


Wie man durch einen Vergleich von Abb. 2 und Abb. 3 erkennt,

~hnelt das Muster in Abb. 3 eher einem "ausgedünnten" Grund

rhythmus (sofern man absieht von den Kategorien, die von Lüer und

Dörner nicht aufgeführt wurden). Unsere Vpn schienen die Aufgaben

aus der Inzidenzgeometrie weniger systematisch zu bearbeiten als

die Vpn von Lüer und Dörnerdie dortigen Aufgaben aus der Aussa

genlogik.

Diese Unterschiede könnten wie folgt erkl~rt werden:

(i) Der Einfluß des Vl wurde bei uns auf ein Minimum reduziert.

Seine einzige Aufgabe bestand darin, die Vpn zum lauten

Denken anzuhalten. In den Untersuchungen von Lüer und Dörner

korrigierte der Vl jeden Fehler der Vp sofort.

(ii) Die Aufgaben dieser Untersuchung waren möglicherweise etwas

schwieriger, da in unserem Fall die logischen Regeln sowie

Beispiele für deren Anwendung nicht explizit angegeben

waren. Diese Regeln konnten überdies bei unseren Aufgaben

leicht in Konflikt geraten mit "archaischer" geometrischer

Intuition (Beispiel: das Gezeichnete ist automatisch "exi

stent" und bedarf keiner weiteren logischen Begründung). So

scheint auch das bei unseren Vpn sehr stark ausgeprägte

"trial-and-error"-Verhalten erklärlich (~bergang "externe

Suche nach einem Operator" zu "prüft Anwendbarkeit eines

Operators" und umgekehrt, vgl. Abb. 3).

(iii) Die äußere Struktur formal-logischer Probleme wird durch

eine Folge von Zeichen gebildet, die aus Namen von Variablen

und logischen Zeichen wie v, A , ö, ... bestehen. Diese Tat

sache macht die Aufstellung von Absichtslisten wahrschein

licher (in Abb. 2) wie z , B. "v in /\ abändern" oder

"Klammern beseitigen".

Überdies wurde untersucht (vgl. 3. Ziel, 1.4.), inwieweit ein

Zusammenhang zwischen der Struktur des Grundrhvthmus und dem Pro

blemlöseerfolg bestand.

Hierzu wurde die gesamte Gruppe von 20 Vpn in zwei gleich große

Gruppen unterteilt. Die Gruppe der "erfolgreicheren" Problemlöser

setzte sich aus allen Vpn zusammen, die insgesamt mehr als 10

Punkte erricht hatten. Die Ubrigen bideten die Gruppe der "weniger

erfolgreichen". Jede dieser Stichproben setzte sich (zuf~llig (7))

aus je fünf männlichen und fünf weiblichen Personen zusammen. Auf


jede dieser bei den Gruppen wurde dann wie bei der Gesamtstichpro

be die beschriebene Sequenzanalyse angewendet.

Das Ergebnis ist in Abb. 4 zusammengefaßt:

.•3,~.

2,.0

wahrnehmUnglder Aufgabe

lAbs i cht säußerung -~~

I

13,4

i_ J

Begründungl

externeSuchenacheinemOperator

1,5

Interpretationeiner eigenenAussage

•• ~ I

prür\ dieAnwendbar- ..keit einesOperators

Konstruk-tion einesZwischen-zieles.

'0'- - - -I

18egrü~dungl

Interpretationeiner eigenenAussage

erfolgreichere Problemlöser weniger erfolgreiche Problemlöser

Vergleich der Grundrhythmen bei erfolgreicheren und weniger

erfolgreichen Problemlösern

Die Dicke der Pfeile deutet ungefähr die relative Häufigkeit der 2er-Sequenzen an. Die Zahlen geben das in Abb. 3definierte Maß ü für die Uberzufälligkeit der zugehörigen2er-Sequenz (für ~=O.00001) an. Wo Pfeile gezeichnet, aberü nicht aufgeführt ist, liegen überzufällige 3er- oder 4erSequenzen vor.

Abb. 4


Die Analyse von Abb. 4 deutet darauf hin, daß erfolgreichere Pro

blemlöser systematischer vorgehen als weniger erfolgreiche. Es ist

daher möglich, daß der von Lüer und Dörner gefundene Grundrhythmus

überwiegend von den besseren Problemlösern getragen wird.

Eine entsprechende Untersuchung der Gruppen, die aus den 10

männlichen und den 10 weiblichen Personen gebildet wurden, ergab

jeweils keine wesentliche Abweichung von dem in Abb. 3 angegebenen

Grundrhythmus.

Zusammenfass~

Die beschriebenen Ergebnisse können zu folgenden Hypothesen zu

sammengefaßt werden:

H 1 Bei Aufgaben aus der Inzidenzgeometrie ist im Ver

gleich zu Aufgaben aus der Inzidenzgeometrie ein

"ausgedünnter" Grundrhythmus zu beobachten.

H 2 Erfogreichere Problemlöser gehen bei Aufgaben der

angegebenen Art systematischer vor als weniger

erfolgreiche Problemlöser.

H 3 Weibliche und männliche Personen gehen im Durch

schnitt nach dem gleichen Grundrhythmus (dem aus

H 1 ) vor.

3.3. Mögliche Bedingungen für erfolgreiches und weniger erfolg-

reiches Problemlösen

Mit H 2 konnte eine erste Hypothese zum 3. Ziel in 1.4. hergelei

tet werden.

Durch Korrelationsanalyse wurde sodann nach globalen Zusammenhän

gen zwischen der in allen drei Aufgaben zusammen erreichten Punkt

zahl (definiert als Problemlöseerfolg) und anderen Variablen

gesucht (vgl. 2.3.).

Der so definierte Problemlöseerfolg korrelierte positiv mit der

Anzahl vonr=

1. zielgerichteten Absichten (z. B. Angehen eines

Zwischenzieles),

2. Vorausplanungen ( über mehrere Zwischenstationen),

3. Absichtsäußerungen, neu anzufangen,

4. Absichtsäußerungen, eine bestimmte Beweistechnik

anzuwenden (z. B. Widerspruchsbeweis, Fallunterscheidung~

0.52

0.45

0.49

0.43


r=

5. strateg ischen Abs icht sä uß er ungen (Zus ammenfassung

der Variablen 1.-4.),

6. bewußten Absichtsäußerungen (Zusammenfassung der

Variablen 5. und der (taktischen) "Absicht, nach

einem Operator zu suchen oder einen solchen

anzuwenden") ,

7. modus ponens (höchste Korrelation unter allen

logischen Operationen),

8. Bezugnahmen auf die Testunterlagen.

0.72

0.56

0.38

0.48

Diese positiven Korrelationen werden abgestützt durch die Tat

sache, daß alle oben angegebenen Variablen überdurchschnittlich

häufig gleichzeitig mit "objektiven Lösungsideen" vorkommen.

Der naheliegende innere Zusammenhang der Variablen (daher die Zu

sammenfassung in 5. und 6.) wird bekräftigt durch die Fest

stellung, daß zwischen ihnen (natürlich nur den "unabhängigen" !)

hohe Korrelationen (0.5-0.7) vorliegen.

Eine ausgeprägte positive Korrelation zwischen allen logischen

Operationen und allen strategischen Absichtsäußerungen (r=0.57)

stützt eine Vermutung von Hadamard 1949, daß die Anwendung logi

scher Operationen mit hohem Bewußtsein verbunden ist.

Außer Fehlern ließen sich kaum Variable finden, die negativ mit

dem Problemlöseerfolg korrelierten, also Indizien für weniger er

folgreiches Problemlösen sein könnten. Ein Korrelationskoeffizient

von r=-0.38 zwischen der "Bezugnahme auf die Behauptung der aktu

ellen Aufgabe" und dem Problemlöseerfolg war hierbei der nied

rigste. Dieser Sachverhalt könnte erklärt werden durch die Neigung

der Vpn, die Aufgabe immer wieder durchzulesen, wenn sie keine

weiteren Ideen hatten.

Die "Rekapitulation eigener Aussagen" zeigte zwar keine Korrela

tion mit dem Problemlöseerfolg (r=0.06), wohl aber mit den Auffor

derungen des VI zum lauten Denken (r=-0.67) und Pausen von ca. 10

Sekunden Dauer (r=-0.64). Hiermit scheint eine Hypothese von

Kilpatrick (persönliche Mitteilung) gestützt, daß Rekapitulationen

eigener Aussagen ein Maß für die Fähigkeit (oder Willigkeit I)

einer Vp zum lauten Denken bilden.

Da außer "Rekapitulationen" auch "Pausen" und "VI-Eingriffe" nicht


mit dem Problemlöseerfolg korrelierten, scheint die Fähigkeit zum

lauten Denken (eine Art verbaler Faktor) vom Problemlöseerfolg un

abhängig zu sein.

Die Sequenzanalyse ergab, daß Repräsentationswechsel (hier: Über

gänge vom bloßen Reden zum Zeichnen oder Schreiben), Bezugnahme

auf Geschriebenes, Gezeichnetes, die Testunterlagen und das aktu

elle Problem sowie Rekapitulationen den objektiven Lösungsideen

überzufällig häufig unmittelbar vorangingen.

Hierbei ist überraschend, daß nicht nur Rekapitulationen (s.o.)

sondern auch Veranschaulichungen und "Bezugnahme hierauf" kaum mit

dem Problemlöseerfolg korrelierten. Dieser Widerspruch läßt sich

auflösen, wenn man berücksichtigt, daß die genannten Variablen

nicht nur überzufällig häufig von Lösungsideen, sondern auch von

Fehlern (vgl. 3.5.) gefolgt wurden (vgl. Zimmermann 1980, Table

5, 7, 8).

Die Sequenzanalyse ergab keine systematischen Zusammenhänge mit

Sackgassen oder Situationen der Ratlosigkeit, die eher bei weniger

erfolgreichem Problemlösen auftauchen sollten. Diese Tatsache

steht im Einklang mit der Vermutung, daß weniger erfolgreiches

Problemlösen mit weniger Systematik verbunden ist (vgl. H 2).

Zusammenfassung:

Folgende Hypothesen lassen sich aus dem Vorangegangenen herleiten

b z u , s tü t z an :

H 4

[li2

I~

H 7

H 8

Bewußte Handlungen, die absichtsvoll, ziel

gerichtet und auf das gegebene Material be

zogen sind, hängen positiv mit dem Problem

löseerfolg zusammen.

Die Anwendung logischer Operationen ist mit

einem hohen Bewußtseinsgrad verbunden.

Rekapitulationen eigener Aussagen bilden

ein Maß für die Fähi keit zum lauten Denken.

Rekapitulationen eigener Aussagen sowie Ver

anschaulichungen (Repräsentationswechsel)

erzeugen bei Ungeübten gleichermaßen über zu

fällig häufig Lösungsideen wie Fehler.

Geringerer Problemlöseerfolg steht - außer

mit Fehlern - in keinem lokalen oder globale


Zusammenhang mit dem Vorkommen anderer

Variablen.

3.4.Die Rolle der Anschauung bei Problemlösen

Über den Zusammenhang der Anschauung mit dem Problemlöseerfolg

wurde schon im vorangegangenen Abschnitt berichtet (vgl. insbe

sondere H 7).

Überdies wurden mögliche Ursachen für Repräsentationswechsel (Über

gang vom Reden zum Zeichnen, Legen oder Schreiben) bestimmt, die

sich in folgender Hypothese zusammenfassen lassen:

H 9 Mögliche Ursachen für Repräsentationswechsel

sind

(i)

(i i )

( Li i )

systematische Gründe (z. B.: grundsätz

lich wird nach dem ersten Lesen der

Aufgabe eine Zeichnung angefertigt),

kritische Situationen (z. B. Sackgassen

Festhalten einer (subjektiven) Lösungs-

idee,

(iv) Niederschrift der Ergebnisse eines Ge

dankenganges.

3.5. Problemlösertypen

Dieser Teil der Untersuchung (5. Ziel, 1.4.) war ursprünglich

nicht geplant, erwies sich aber als ein besonders wichtiger Ab

schnitt in deren weiterem Verlauf. Auch hierbei zeigten die Breite

der Datenerhebungsmethoden und die Flexibilität unseres Katego

riensystems ihren Nutzen.

Schon durch eine grobe Analyse des Datenmaterials ließ sich unse

re Stichprobe in zwei nahezu disjunkte Gruppen unterteilen.

Die erste Gruppe wurde durch die Personen gebildet, die (fast)

ausschließlich zur Veranschaulichung Zeichnungen anfertigten.

Dieser Stichprobenanteil wurde durch 12 Personen gebildet und

ikonische Gruppe genannt.

Die zweite Gruppe setzte sich aus allen Personen zusammen, die

nahezu ausschließlich zur Veranschaulichung mit den gegebenen

Fäden und Ringen manipulierten. Diese Gruppe bestand aus 7 Mit

gliedern und wurde enaktive Gruppe genannt.


Nur EinE PErson bEnutztE kEinES dEr gEnanntEn VEranschaulichungs

mittEl.

CharaktErisktika und UntErschiEdE diEsEr ProblEmlösErtypEn wurdEn

vor allEm mittEls (partiEllEr) KorrElationsanalysE und (ErgänzEnd)

SEquEnzanalysE bEstimmt. DiE EntsprEchEndE KorrElationstabEllE

nEbst zugEhörigEr BEschrEibung findEt man in ZimmErmann 1980

(TablE 9). HiEraus läßt sich folgEndE HypothEsE ablEitEn:

H 10 : Es gibt ikonischE und EnaktivE ProblEmlösEr, diE sich--WiE folgt charaktErisiErEn lassEn:

ikonischE ProblEmlösEr EnaktivE ProblEmlösEr

(ZEichnEn) (LEgEn)

rEflExiv impulsiv

(gEringEs psychischES TEmpo, (hohES psychischES TEmpo,viElE

WEnig FEhlEr) FEhlEr)

insbEs. durch unvollständigE insbEs. durch funktionalE GE-

BEgründungEn und ExtErnE Er- bundEnhEit, UmgangssprachE und

fahrungEn bEdingtE FEhlEr VErWEchslungEn bEdingtE FEhlEr

SEltEnE KorrEktur von FEhlErn häufigE KorrEktur von FEhlErn

CinsbEs. VErwEchslungsfEhlEr)

WEnigEr gEsprächig EhEr gEsprächig

EhEr introvErtiErt und TExt- insbEs. häufigEr IntErprEta-

oriEntiErt; hä u f Lqe Absichts- tation EigEnEr AussagEn odEr

äußErung, ProblEm zu VEr- dES TExtEs; VorausplanungEn;

stEhEn; ausdrucksvollES LE- BEurtEilungEn dES EigEnEn

SEn in dEn UntErlagEn; zi- DEnkEns

tiErt UntErlagEn aus dEm GE-

dächtnis

EhEr VErhaltEn EhEr sElbstbEWUßt

mEhr SystEmatik (insbEson- mEhr gEistigE FIEXiblität,

dErE herm Ze i c hne n ) und Logik insbEs. häufigEr "plötzlichE

(modus ponEns) Einsicht" (UmzEntriErung) lo-

gischE VErnEinung (Satz 2 : Wi-

dErspruchsbEWEis), Einführung

zusätzlichEr AnnahmEn

WEnigEr BEZUg auf GEschriEbEnEs mEhr BEZUg auf GEschriEbEnEs


H 10 : (Fortsetzung)--

ikonische Problemlöser enaktive Problemlöser

(Zeichnen) (Legen)

älter jünger

etwas erfolgreicher etwas weniger erfolgreich

3.6. Fehleranalyse

Einige Informationen über Fehler wurden schon in den vorangegange

nen Abschnitten gegeben.

Unter allen Fehlern war das Nichterkennen eines Existenzproblems

der gravierendste. Für diese Tatsache können mehrere Gründe ange

geben werden. So wurde z. B. oft auch die Behauptung eines Satzes

in dessen Voraussetzung einbezogen. Überdies bestand die Neigung,

die Existenz geometrischer Objekte zu erschließen, indem von einem

Ausdruck "Wenn A, dann B" auf die Gültigkeit von A "geschlossen"

wurde. Diese wichtigen Fehler wurden überlagert (und sind hier

durch z. T. erklärbar) durch die Tatsache, daß sehr oft eine bloße

Zeichnung weitere logische Argumente überflüssig zu machen schien.

Im Gegensatz zu fast allen übrigen Fehlern korrelierten "unvoll

ständige Begründungen" (r=0,37) und "par-force-Lösungen" (r=0,48)

positiv mit dem Problemlöseerfolg.

Die erste Beobachtung läßt sich begründen durch die Tatsache, daß

hierbei direkt kein logischer Fehler vorliegt und überdies gerade

erfolgreiche Problemlöser sich durch eine abkürzende Denkweise

("chunks", vgl. Krutetskii 1976) auszeichnen. Diese Gewohnheit läßt

ihnen die Erwähnung oder auch nur Bewußtmachung jedes Detailargu

mentes oft überflüssig erscheinen.

Manche Vpn versuchen sich durch eine par-force-Lösung eines lästi

gen Problems und fruchtlosen Herumprobierens zu entledigen, um

endlich eine Aufgabe abzuschließen bzw. um weiterzukommen. Das Be

wußtsein für die Fehlerhaftigkeit des Vorgehens ist dabei zumeist

vorhanden. Bewußtes Vorgehen aber zeichnet gerade den erfolgrei

chen Problemlöser aus (vgl. 3.3).

Die Feststellung, daß eine genauere Bezugnahme auf das Testmate

rial (Sätze, Axiome und aktuelle Aufgabe) mit allen Fehlern nega

tiv (r=-0,50), alle Variablen, die sich nicht direkt auf die Test-


unterlagen bezogen, mit allen Fehlern positiv korrelierten, ist

wohl einleuchtend.

Die Sequenzanalyse ergab außer den bereits genannten keine weite

ren systematischen Zusammenhänge zwischen Fehlern und anderen Vari

ablen.

Bei der Analyse der Korrektur von Fehlern stellte sich heraus, daß

Verwechslungsfehler am häufigsten korrigiert wurden.

Es erscheint ebenfalls plausibel, daß das Korrigieren von Fehlern

positiv mit dem Problemlöseerfolg und Absichtsäußerungen korre

lierte (r=O.49 bzw. r=O.77).

Die "Interpretation von Objekten" (z. B. Zeichnungen, eigene

Aussagen, Axiome; r=-O.67) und das "Ansehen der aktuellen Aufgabe"

(ohne diese laut zu lesen; r=-O.57) korrelierten hingegen negativ

mit dem Korrigieren von Fehlern.

Die Sequenzanalyse ergab keine wesentlich neuen Erkenntnisse.

Schließlich zeigte es sich, daß alle Korrekturen von Fehlern nur

bei den Sätzen 2 und 3 vorkamen. Hierdurch könnte man sich zu der

Vermutung veranlaßt sehen, daß das Bewußtsein für fehlerhaftes

Denken mit zunehmender Erfahrung wächst.

Eine Zusammenfassung in Form von Hypothesen scheint uns hier nicht

angebracht.

4. Kritische Anmerkungen

a) Die zuvor genannten Hypothesen bedürfen natürlich weitergehen

der Überprüfungen. Es liegt in der Natur einer exploratorischen

Untersuchung, daß nicht jede dieser Hypothesen gleichermaßen

überraschen kann.

b) Der Datenerhebungs- und VerarbeitungsprozeG war sicher sehr

aufwendig. Dieses war aus den bereit erwähnten Gründen (vgl.

3.1.) unvermeidlich bzw. notwendig. Es sei ergänzt, daß zum

Zeitpunkt der Durchführung diser Studie im deutschsprachigen

Bereich der Mathematikdidaktik noch keine derartige Untersu

chung vorlag. Dieser Sachverhalt ließ zusätzlich eine breit an

gelegte, möglichst voraussetzungsarme Datenerhebungsmethode ge

boten erscheinen. Wie die Ergebnisse zeigen, kam es gerade Dank

des komplexen und flexiblen Kategoriensystems nicht zu einem

Untergehen von Systematiken im "allgemeinen Rauschen" (vgl.

Tietze 1981).


d) Abschließend noch eine Bemerkung zur Unterrichtsrelevanz.

Das Hauptziel diser Untersuchung war die Analyse mathematischer

Problemlöseprozesse. Derartige Studien können zu effizienten

Problemlösehilfen im Unterricht führen, gehen aber diesen na

turgemäß voraus (vgl. 1.2.). Trotzdem lassen sich schon erste

Fragen im Hinblick auf mögliche "lokale" Konsequenzen für den

Unterricht stellen (vgl. 5.).

Ferner gelten die befolgten Prinzipien der Systematik und Ob

jektivierung nicht erst seit Kant 17B7 als wichtige Kriterien

wissenschaftlichen Vorgehens. Sie sind sicher auch beim Ausbau

einer dringend benötigten umfassenden Theorie des Problemlö

sens erforderlich (vgl. 5.). Hierbei sind natürlich auch Fragen

nach der Unterrichtsrelevanz nicht aus dem Auge zu verlieren

Cs , o , ). Auch deswegen wurde das Selbstverständnis von Vpn in

unser Kategoriensystem mit einbezogen sowie dessen verschieden

artige ~erdichtungsmöglichkeiten"gewährleistet. Zusätzliche

klinische, informelle Analysen sind damit natürlich nicht aus

geschlossen (und werden in fast jeder Hausarbeit zum 2. staats

examen durchgeführt). Aber auch diese bedürfen des theoreti

schen Überbaus. Zu beachten ist nämlich, daß eine zu aus

schließliche Beschränkung auf die Relevanzfrage leicht zu kurz

sichtigem, vom jeweiligem Bedarf abhängigen Pragmatismus und

damit zur Vernachlässigung von langfristigen, überregionalen

Zielen und zu wissentschaftlichem Eklektizismus führen kann

CvqL, Zimmermann 19B1a, 19B1b).

5. Ausblick auf weitere Untersuchungen

Abschließend seien einige

a ) spezielle und

b) allgemeine Fragen und Probleme erwähnt, die sich an die

skizzierte Untersuchung anknüpfen lassen.

a) Fragen, die speziell an die beschriebene Studie anknüpfen

-IWieweit lassen sich die aufgestellten Hypothesen bestätigen 71Insbesondere sind Untersuchungen mit anderen Vpn und anderen

Aufgaben durchzuführen. Zu erwähnen ist hier insbesondere eine

von Rinkens 197B näher beschrieben Langzeitstudie, bei der es

vor allem um die Überprüfung der Hypothesen vom enaktiven und

ikonischen Problemlöser geht (H 10).

Mathematische Denkprozesse

Sollten sich die Hypothesen in größerem Ausmaß bestätigen

lassen, so könnte man folgende Fragen anschließen:

201

Wieweit lassen sich Systematiken ("Grundrhythmen") im Unter-

richt sinnvoll lehren ? ,

Wieweit läßt sich reflektiertes, absichtsvolles und zielge-

richtetes Vorgehen im Mathematikunterricht lehren und

lernen ?

IWiewei t ist der überlegte Gebrauch veranschaulichender

Hil fsmi t t a I effektiv lehrbar ?

Wieweit kann Problemlösen bei individuellen Unterschieden

(enaktiver bzw. ikonischer Problemlöser) jeweils spezifisch

vermittelt werden ?

b) Probleme allgemeinerer Natur

Wie in der Mathematikdidaktik im allgemeinen (vgl. Segle

1979, Begle/Gibb 1980, Zimmermann 1981a, 1981b), so läßt sich

auch speziell im Bereich des mathematischen Problemlösens ein

großes Theorie-Defizit feststellen (vgl. Johnson 1980,

La s t e r 1980).

Eine umfassende Theorie ist erforderlich als Erklärungsrahmen

für beobachtete Phänomene, um Vorhersagen über erwartete Ver

haltensweisen machen zu können und um den weiteren Forschungs

prozeß zu strukturieren (nach Lester 1980, S. 314).

Eine solche fheorie hat sicher dann größere Chancen für eine

breite Wirksamkeit, wenn sie nicht zu sehr auf einseitigen

Aspekten verharrt (z. B. logizistisch-formalistischen, vgl.

etwa Scandura 1977). Dieses führt nur zu einem Eklektizismus

auf der Theorieebene. Vielmehr sollte man sich um die Inte

gration möglichst vieler Ansätze verschiedener Forscher und

Praktiker bemühen. Das Metaproblem, eine Theorie des Problem

lösens zu enwerfen, ist nämlich sicher von anderer "Natur"

als z , B. das Problem, Ordnung in den "Elementarteilchenzoo"

zu bringen. Diese kann durch einen "großen Wurf" gelingen

(z. B. durch die Quark-Theorie). Jenes verlangt in viel

größerem Maße (als T. S. Kuhn das auch physikalischen Pro

blemen zuweist) die Berücksichtigung forschungssoziologischer

Momente. Nimmt man überdies bei dem Versuch, das Problem zu

lösen, eine Theorie des Problemlösens zu entwerfen, insbeson

dere den Aspekt "individuelle Unterschiede" ernst (s.o.), so


hat man speziell die individuellen Unterschiede (und Beiträge)

derjenigen zu berücksichtigen, die sich ebenfalls um eine

solche Theorie bemühen oder sich hierfür interessieren.

Eine kleine Hilfe für eine solche Theorie könnte z. B.

eine möglichst alle Aspekte berücksichtigende Klärung des Be

griffes "Problem" sowie ein entsprechendes Klassifikations

system für Probleme sein (v qI , Zimmermann 1977, 1980). Zu be

achten ist hierbei auch, daß eine solche Theorie im Hinblick

auf den Mathematikunterricht (auf welchen 7) zu entwickeln

ist.

- Um überdies noch größere Praxisrelevanz zu erzielen, sollten

weitere Untersuchungen in enger Zusammenarbeit mit den Be

troffenen (Schüler, Lehrer, Fachberater, Lehrplangestalter)

durchgeführt werden (vgl. auch Begle/Gibb 1980, S. 17).

- Im deutschsprachigen Raum fehlt es überdies häufig an Aufga

bensammlungen, die insbesondere zur Schulung von Problemlöse

fähigkeiten geeignet sind. Außer in den klassischen Büchern

von Polya findet man sie oft nur verstreut in bekannten Lehr

büchern wie z , B. dem von Müller/Wi ttmann 1978. Das recht

neue Buch von Glaeser 1980 bietet schon weitergehende Mög

lichkeiten. Das amerikanische Angebot ist hier aber seit ge

raumer Zeit reichhaltiger. Erwähnt seien nur die Bücher von

Kilpatrick/Polya 1974, Sharron 1979, Krulik 1980, Shulte 1981.

Im Buch von Krulik werden weitere Aufgabensammlungen angege

ben.

- Als letztes wichtiges Problem sei genannt die Schwierigkeiten

bei der Lektüre mathematischer Texte, allgemeiner: das

Sprachproblem im Mathematikunterricht (vgl. z. B. Begle 1979.

S. 146; l.e s t e r 1980, S. 291/297; ula Lt he r 1981). Viele

Schwierigkeiten beim Problemlösen scheinen unmittelbar mit

Sprachschwierigkeiten zusammenzuhängen. Allerdings zeigte

eine erst kürzlich von Ferguson 1980 durchgeführte Untersu

chung, daß sich nicht unbedingt die Problemlösefähigkeit

steigern läßt, wenn die Fähigkeit, mathematische Texte zu

lesen, durch entsprechende Instruktionen verbessert wird.

Es könnte vermutet werden, daß erst eine Kombination aus

Lese- und Strategietraining den Problemlöseerfolg deutlich

verbessert (vgl. auch Putz-Dsterloh 1973).

Mathematische Denkprozesse

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Dr. Bernd ZimmermannAm Krützbarg 162110 Buchholz i , d , Nordheide

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Denkprozesse beim Lösen mathematischer Deduktionsaufgaben — Bericht über eine exploratorische Untersuchung