Der chinesische Abakus – suan pan Die nachfolgende Präsentation gibt einen Einblick in die Grundrechenarten am suan pan (chinesischer Abakus). Sie dient

Der chinesische Abakus –„suan pan“

Die nachfolgende Präsentation gibt einen Einblick in die Grundrechenarten am „suan pan“ (chinesischer Abakus).

Sie dient lediglich als Ergänzung zur meinem Projektvortrag und ist

vor allem für ein Selbststudium gedacht!!!

Vorab jedoch noch eine kleine Bemerkung:„Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte.“

Die Beschreibungen der einzelnen Rechenvorgänge hören sich zuerst sehr unverständlich an. Zum besseren Verständnis habe ich nach jedem Gedankengang ein Bild eingefügt, auf dem die Schritte direkt zu erkennen sind!

Viel Spaß…

Allgemeine Funktionsweise:

• Der Abakus beschreibt ein allgemeines Stellenwertsystem• Jeder Stab repräsentiert eine Dezimalstelle: ganz rechts die Einerstelle, der

Zweite Stab von rechts die Zehnerstelle usw. • Jede Perle im unteren Teil steht für eine Einheit der jeweiligen Dezimalstelle• Jede Perle im oberen Teil steht für fünf Einheiten der jeweiligen

Dezimalstelle• Eine Perle wird gezählt, wenn sie in Richtung der Querstange geschoben

wird (die 0 wird also dargestellt, indem keine Kugel, an der entsprechenden Dezimalstelle, Richtung Querstange geschoben wird)

• Sind fünf Perlen im unteren Teil eines Stabes abgezählt → „Übertragung“ in den oberen Bereich: Eine Fünfperle wird gesetzt, die fünf Einsperlen zurückgeschoben

• Sind beide oberen Perlen gezählt → „Übertragung“ auf eine Einerperle des linken Nachbarstabes (wie im Beispiel mit den Soldaten)

• Dezimalbrüche: „anwenderabhängig“, d.h. nur der momentane Benutzer weiß, wo sich das Komma befindet (der Platz auf dem Abakus kann ja beliebig gewählt werden)

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenDie Addition

Einfaches Beispiel: 6+8

Gebe die 6 in den

Abakus ein

Gebe anschließend die

8 einfach hinzu

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenEinfaches Beispiel: 6+8

Da sich nun zwei

Fünferperlen an der

Querverbindung

befinden, findet eine

„Übertragung“ in die

linke Spalte statt (mit

einer Einerperle)

Das Ergebnis kann sofort

abgelesen werden:14

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel mit Hilfskonstruktion: 27+39

Gebe die 27 in den Abakus ein

Nun soll die 39 addiert werden: Man fängt immer mit der Einerstelle an (9). Da die 9 jedoch nicht mehr (an der Einerstelle) dargestellt

werden kann, greift man auf eine Hilfskonstruktion zurück: 9=10-1


Addiere also erst 10 zur

27

Ziehe anschließend 1

wieder ab


Nun addiere 3 in der ZehnerstelleAuch hier muss wieder die Hilfskonstruktion angewendet werden: 3=5-2

Addiere also erst 5

Ziehe nun 2 wieder ab

Das Ergebnis kann sofort

abgelesen werden:66

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenZusammenfassung

Die Addition am „suan pan“ verläuft also analog zum

schriftlichen Addieren:

Als erstes werden die Einerstellen addiert, dann die Zehnerstellen usw.

Am zweiten Beispiel wird deutlich, dass auch mit Hilfskonstruktionen gearbeitet

werden kann.

Das geschieht, wenn nicht genügend Perlen an einer Stange zur Verfügung

stehen. So müssen dann die Werte durch passende Methoden dargestellt

werden (9=10-1)

Anmerkung:

Die Addition von Dezimalbrüchen verläuft analog (hier kann

die Kommastelle frei gewählt werden)

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenDie SubtraktionBeispiel: 32-18


Auch hier fängt man wieder mit der Einerstelle an: Da die 8 jedoch nicht von der 2 abgezogen werden kann -> Hilfskonstruktion: 8=10-2

Ziehe also erst 10 ab, d.h. eine Perle bei der Zehnerstelle

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 32-18

Addiere anschließend 2

Perlen an der Einerstelle

hinzu

Ziehe nun 10 (1Zehnerperle

wegnehmen) von 24 ab

Das Ergebnis kann

abgelesen werden: 14



Problem: an der Einerstelle befinden sich nun keine Perlen, von denen man 5 abziehen könnte.

Idee: Die 1 an der Tausenderstelle lässt sich auch durch entsprechende Perlen an der Hunderterstelle darstellen


Zieht man nun in der Hunderterspalte eine Perle ab und addiert gleichzeitig auf der Zehnerstelle 10 dazu (eine 5- und

fünf 1-Perlen)…

…und zieht nun von den 10 auf der Zehnerstelle einen ab und addiert auf der Einerstelle 10dazu….


… kann man nun die 5

an der Einerstelle

abziehen

Das Ergebnis kann



Wie auch bei der Addition werden hier jeweils Einerstellen von Einerstellen,

Zehnerstellen von Zehnerstellen usw. subtrahiert. Hier kommen die

Hilfskonstruktionen jedoch häufiger vor.

Im zweiten Beispiel wird klar, dass teilweise auch mit kleinen „Tricks“ gearbeitet

werden muss, wenn keine entsprechenden Perlen zur Verfügung stehen.

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenDie Multiplikation

Beispiel: 58*3

Als erstes werden auf der linken Seite des Abakus die beiden Zahlen eingegeben. Zwischen den beiden Zahlen wird eine Stange als Platzhalter freigelassen (Grund: bessere Übersicht und „Memory-Effekt“)

Nun multipliziert man die beiden Einerstellen (8, 3) miteinander und gibt das Ergebnis ganz rechts am Abakus ein

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 58*3

Multipliziere nun die 5 mit 3.

Da man eigentlich 50*3

berechnet, trage also das

Ergebnis von 5*3 um eine Stange

nach links verschoben ein (also

zweite Stange von rechts)

Das Ergebnis kann



Als erstes werden auf

der linken Seite des

Abakus wieder die

beiden Zahlen

eingegeben

Nun wird die 4 der 284 mit

der 3 der 73 multipliziert und

das Ergebnis (12) ganz

rechts eingegeben


Die 8 wird mit der 3 multipliziert (eigentlich wieder 80*3) und das Ergebnis rechts dazugegeben. Da sich nun fünf Perlen im unteren Bereich an der Zehnerstange befinden, findet eine„Übertragung“ in den oberen Bereich statt

Ebenso wird nun die 2 mit der 3 multipliziert

Die Zahl, die nun abzulesen ist(852), ist das Ergebnis der Multiplikation 284*3


Mit der verbleibenden 7 der 73 wird nun ebenso verfahren wie vorher: das Produkt wird aber eine Spalte weiter links (ab der Zehnerspalte) eingegeben

Also: 4*7 ergibt 28, 8*7 ergibt 56 und 2*7 gibt 14

Da nun 852+280 gerechnet wird, muss (zweimal) die Hilfskonstruktion der Addition angewendet werden


Das Ergebnis von 8*7

(eigentlich 80*70) kann

problemlos aufaddiert

werden

Beim Eintragen der 2*7

findet an dem

Tausenderstab wieder ein

Übertragung, hin zum

Zehntausenderstab, statt


Nun kann das Gesamtergebnis abgelesen werden: 20732

Es kann vorkommen, dass Zwischenergebnisse über mehrere Stäbe hinausgehen, so dass die (am Anfang eingegeben) Zahlen ganz links „stören“. Diese können dann entfernt werden


Auch bei der Multiplikation wird im Grunde genommen genauso verfahren wie

beim schriftlichen Multiplizieren:

Jede Ziffer der ersten (bzw. zweiten) Zahl muss mit allen Ziffern der zweiten

(bzw. ersten) Zahl multipliziert werden. Dabei muss man beachten, an welche

Stangen das Ergebnis eingegeben werden soll.

Die einzelnen Ergebnisse werden dann, ggf. unter Verwendung der

Hilfskonstruktionen, aufaddiert.

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenDie Division

Beispiel: 182:14

Gebe zuerst wieder die beiden

Zahlen (182 und 14) links in den

Abakus ein. Achte dabei auf die

Reihenfolge: ganz links der

Divisor (14), daneben der

Dividend (182)

Verfahre nun wie bei der

schriftlichen Division…

… der Dividend wird von links

nach rechts „angegangen“…

Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 182:14

Die 1 der 182 lässt sich nicht durch 14 dividieren. Deswegen nehme die 8 noch hinzu

Es lässt sich aller Voraussicht nach ein zweistelliges Ergebnis erwarten. Deswegen gebe an der zweiten Stange von rechts nun das (ganzzahlige) Ergebnis von 18:14 ein (1)


Nun wird die 1 mit der 14 multipliziert, das Ergebnis (14) wird vom Dividend (182) von vorne her (also von der 18) abgezogen. Achtung: Hier muss wieder mit der Hilfskonstruktion gearbeitet werden!

Es bleibt nun also nur noch die 42. Diese lässt sich durch 14 teilen. Ergebnis ist 3. Gebe also die 3 in den Abakus ein (ganz rechts). Die 42 kann nun „gelöscht“ werden.


Das Ergebnis kann der

Division 182:14 kann

nun abgelesen werden:

13

Zur Kontrolle kann noch

die Probe gerechnet werden


Gebe auch hier wieder Divisor und Dividend in den Abakus (ganz links) ein

Verfahre nun wie beim ersten Beispiel:…

Die 3 der 364 kann durch die 2 der 28 geteilt werden. Das Ergebnis (1) wird rechts in den Abakus eingegeben. Da wieder ein zweistelliges Ergebnis erwartet wird, benutze wieder den zweiten Stab von rechts


1*28 wird nun wieder von den ersten beiden Ziffern der 364 abgezogen. Vorsicht: 2 lässt sich bequem von der 3 abziehen. Bei der Rechnung „6-8“ gibt es jedoch wieder ein Problem. Deswegen: Hilfskonstruktion ;)

Als neuer Dividend wird jetzt die 84 angezeigt. Betrachtet man nun wieder die beiden ersten Ziffern (die 8 der 84 und die 2 der 28), so würde sich ein Faktor von 4 ergeben (8 : 2 = 4). Da es sich aber mit der 8 der 28 um eine größere Zahl als die 4 der 84 handelt, ist es angebracht, den Faktor um 1 zu verringern. Es wird also die 3 in die Spalte ganz rechts eingetragen.


Das Ergebnis von 3*28 wird nun von 84 abgezogen. Diese Rechnung ist nun nicht sonderlich bequem im Kopf zu rechnen. Zerlege also 3*28 wie folgt: 3*8 + 3*20. Dabei können die Einzelergebnisse separat vom Dividenden subtrahiert werden. Es gilt also: 84 - (3*8) - (3*20) = 84-24-60 = 84-84 = 0

Das Ergebnis kann nun abgelesen werden: 13


Am deutlichsten kann man sich die Abakus-Division analog zum schriftlichen Dividieren darstellen:Die einzelnen Rechnungen (Vielfachbildung und Subtraktion) werden dabei „im Kopf“ und aus Platzgründen nicht am Abakus durchgeführt!Sei xyz eine dreistellige Zahl (Dividend) und a der Divisor.

1. Fall: Der Quotient ist ohne Rest!Teile nun x durch a. (falls dies nicht möglich ist, nehme y noch hinzu). Das maximale ganzzahlige Vielfache (p*a) wird nun von x abgezogen. Zu diesem Ergebnis der Subtraktion nehme nun y hinzu. Teile auch hier wieder durch a. Das ganzzahlige Ergebnis q*a muss nun auch wieder subtrahiert werden. Nehme nun zu diesem Ergebnis z hinzu. Diese Zahl ist ein Vielfaches von a (r*a)Sobald die (neue) Zahl nicht durch a teilbar ist und eine weitere Zahl hinzugenommen werden muss, wird an ansprechender Stelle beim Quotient eine 0 ergänztSo weit so gut: Am Abakus werden der Reihe nach (rechts am Abakus) die einzelnen Zahlen p,q,r eingegeben. Die Subtraktionsschritte dieser Vielfachen von a können (unter ggf. Verwendung der Hilfskonstruktion) vom Divisor subtrahiert werden.

2. Fall: Der Quotient ist mit Rest!Geht die letzte Subtraktion r*a nicht „glatt“ auf, so ergänze zu diesem Rest eine 0. Beim Quotienten wird nun an entsprechender Stelle ein Komma gesetzt. Die Stelle des Komma muss sich am Abakus gemerkt werden.

Addition Subtraktion Multiplikation Division Radizieren

Die Quadratwurzel einer Zahl kann durch einfache Subtraktion herausgefunden werden, wobei der Abakus als „Strichliste“ angesehen werden kann:

Die Quadratwurzel einer Zahl kann herausgefunden werden, indem nacheinander 1, dann 3, dann 5 (also die ungeraden Zahlen) von der Zahl abgezogen werden, bis die 0 erreicht ist.Die Quadratwurzel dieser Zahl ist die Anzahl der Subtraktionen.Die Anzahl der einzelnen Subtraktionsrechnungen werden schrittweise in den Abakus eingegeben.

Addition Subtraktion Multiplikation Division Radizieren Beispiel: √36

Die „root no.“ wird von der „square no.“ abgezogen:

Root No. Square No.36

1 353 325 277 209 1111 0

Wir mussten also 6 mal die Subtraktion anwenden.* D.h. die

Quadratwurzel von 36 ist 6.


Bei größeren Zahlen ist es natürlich mühselig, viel Subtraktionen durchzuführen. Verfahre hier dann wie folgt:

Zerlege die Zahl in Zahlenpaare (10 und 24)

Verfahre mit dem ersten Zahlenpaar (10) wie oben, bis die „Root No.“ größer ist, als die „Square No.“.


Root No. Square No.10 24

1 93 65 1

Nun ist: 5>1Multipliziere nun die letzte „Root No.“ mit 10 und addiere 11.5*10+11 = 61

Nehme nun das zweite Zahlenpaar (24) hinzu und fahre mit der Subtraktion fort…


Root No. Square No.

124

61 63

63 0

Nun muss noch folgende Rechnung durchgeführt werden:

(63+1) 2 = 32

(*:Dieser Schritt kann übrigens genauso beim ersten Beispiel

durchgeführt werden: (11+1)/2 = 6 )

Das Ergebnis für √1024 ist also 32

Addition Subtraktion Multiplikation Division Radizieren Zusammenfassung

Bei kleineren Zahlen (wie im Beispiel 1) lässt sich die Quadratwurzel auf folgende Weise finden:Ziehe nacheinander 1,3,5,…2*n+1 (Bezeichnung: „root no.“) vom Radikanden (y) ab. Sei x nun die „root no.“ deren Subtraktion 0 ergibt: Es gilt: (x+1)/2 = √y(Außerdem ist die Anzahl der durchzuführenden Subtraktionen ebenfalls die gesuchte Wurzel)

Die Quadratwurzel für größere Zahlen kann einfacher und schneller gefunden werden, indem man den Radikanden (y) in Zahlenpaare (von rechts aus) unterteilt (Beispiel 2).Verfahre dann wie folgt:a.) Führe die Subtraktionen für das linke Zahlenpaar (wie oben) durch, bis die „root no.“

größer als die „square no.“ ist.b.) Multipliziere diese letzte „root no.“ mit 10 und addiere anschließend 11 dazu.c.) Ergänze nun diese „square no.“ mit dem zweiten Zahlenpaar des Radikanden und fahre mit der

Subtraktion wie gewohnt fort. d.) Sei x nun die „root no.“ deren Subtraktion 0 ergibt. Dann gilt:(x+1)/2 = √y

Ergibt der letzte Subtraktionsschritt eine negative Zahl (anstatt 0) so ist die gesuchte Quadratwurzel ein Dezimalbruch.

Literaturhinweise

Falls ihr nun Interesse bekommen habt, mit dem chinesischen Abakus

(suan pan) zu arbeiten, bzw. ihn in der Schule einzusetzen, könnt ihr

auch noch in folgenden Büchern das Grundwissen vertiefen (z.B. wird

hier erklärt, wie Kubikwurzeln gezogen werden können!)

• Maxwell, R. Perceval: How to use the chinese Abacus - Kings

Langley: Maxwell, 1979

• Moon, Perry: The Abacus. Ist history; ist design; ist possibilities in the

modern world – New York: Gordon and Breach, 1971

Für den Umgang mit einem „Schulabakus“ empfehle ich:

• Johann, Michael & Matros Norbert: Wechselspiele. Kreatives Rechnen

am Schulabakus – Landau: Knecht, 2001

Documents

Der chinesische Abakus – suan pan Die nachfolgende Präsentation gibt einen Einblick in die Grundrechenarten am suan pan (chinesischer Abakus). Sie dient