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Der Einfluss von Schleifkerben auf die Biegefestigkeit eines Zahnrads
Dr. Ulrich Kissling, Dr. Ioannis Zotos
Zusammenfassung
Um die geforderte Qualität zu erzielen, werden heute die meisten Zahnräder geschliffen. Der
gängige Schleifprozess besteht darin, die Zahnflanke zu bearbeiten, jedoch mit dem Werkzeug
auszutauchen, bevor der Bereich der Fussrundung erreicht wird. Wird das Zahnrad mit einem
Werkzeug ohne Protuberanz vorgefertigt, entsteht an der Position, an der das Schleifwerkzeug
austaucht, eine Schleifkerbe. Eine solche Kerbe im Bereich des Zahnfusses kann zu einer
erhöhten Biegebeanspruchung führen und somit die Festigkeit verringern.
In der ISO 6336-3 gibt es eine Regel zur Berücksichtigung der erhöhten Beanspruchung durch
eine Schleifkerbe. Die aufgeführten Formeln basieren auf einer Forschung von Wirth in den
1970er Jahren. In einer kürzlich durchgeführten Diskussion der ISO-Arbeitsgruppe, die für die
Entwicklung der Norm ISO6336 zuständig ist, zeigte sich, dass eine Überarbeitung der Formeln
erforderlich ist. Ausserdem kann und wird die Definition der wirksamen Kerbtiefe gemäss Norm
unterschiedlich interpretiert.
Moderne FEM-Werkzeuge sind gut geeignet zur Berechnung der Beanspruchung im
Fussbereich. Somit ist es möglich, eine FEM-basierte Parameterstudie durchzuführen, um
einen Vergleich zwischen dem Einfluss einer Schleifkerbe gemäss FEM-Berechnung mit den
Resultaten nach den Formeln der Norm anzustellen.
Um eine solche Studie zu ermöglichen, wurde in unserer Berechnungssoftware zur
Festigkeitsanalyse gemäss ISO 6336 eine Option zum Aufrufen einer externen FEM-Software
eingeführt. Die erforderlichen Daten wie die exakte Zahnform und die Belastung am oberen
Einzeleingriffspunkt werden direkt zum Präprozessor übertragen, der automatisch das 2D-
FEM-Netz generiert, dann den Solver und den Postprozessor aufruft. Die wichtigsten FEM-
Resultate sind die Beanspruchung am 30°-Tangentenpunkt (60° bei Hohlrädern) und die
maximale Beanspruchung, welche im gesamten Fussbereich auftritt. Die maximale
Beanspruchung tritt typischerweise an der Position der Schleifkerbe auf. Die Beanspruchung
am 30°-Tangentenpunkt ist interessant, weil die Norm die Spannung nur an diesem Punkt
ermittelt. Damit kann eine Aussage über die Eignung dieser Vereinfachung gemacht werden.
Bei Schrägstirnrädern wird die Zahnform des äquivalenten Geradstirnrads gemäss der in ISO
6336-3 angegebenen Vorgehensweise erzeugt und für die 2D-FEM-Analyse verwendet.
Interessant ist zudem die Frage nach dem Nutzen einer 3D-FEM-Analyse für Schrägstirnräder
und nach dem Grad der Übereinstimmung der Resultate der FEM-Analyse mit denen des in
ISO 6336 verwendeten Ersatzgeradstirnradmodells. Aus diesem Grund wird zusätzlich noch
eine 3D-FEM-Analyse durchgeführt. Da die Berührlinien auf der Zahnflanke schräg verlaufen,
werden die Beanspruchungen im Fussbereich über der gesamten Zahnbreite am 30°-
Tangentenpunkt gemäss ISO und an der Stelle mit maximaler Beanspruchung mithilfe der
FEM-Software berechnet.
In der Parameterstudie mit verschiedenen Zahnradgeometrien werden die Schleifzugabe, der
Kopfradius der Schleifscheibe, die Eintauchtiefe der Schleifbearbeitung und der Schleifprozess
(Wälzfräsen und Formschleifen) variiert. Die Resultate liefern eine gute Übersicht über die
Genauigkeit der ISO-Methode zur Ermittlung der Biegebeanspruchung und über den Einfluss
der Schleifkerbe. Auf Grundlage der Studie wird ein Ansatz für eine Verbesserung der Formel
zum Schleifkerbeneinfluss bestimmt. Insbesondere die Position der Kerbe in
Zahnhöhenrichtung hat einen grossen Einfluss und muss besser berücksichtigt werden.
1 Einführung
Um für Zahnräder in Fahrzeug- und Industriegetrieben oder Windturbinen eine hohe
Drehmomentkapazität zu erzielen, werden einsatzgehärtete Stahlwerkstoffe verwendet.
Solche Zahnräder werden vorgefräst, dann einsatz- und randschichtgehärtet. Der
Härtungsprozess erzeugt aufgrund der hohen Temperaturen während der Behandlung einen
relativ grossen Verzug der Zahnräder. Ein Zahnrad, das vor der Behandlung der Qualität 7
(ISO1328 [2]) entspricht, hat danach typischerweise die Qualität 9. Um ein gutes Tragbild und
niedriges Laufgeräusch zu erhalten, müssen diese Zahnräder durch Schleifen (oder einen
ähnlichen Prozess) nachgearbeitet werden.
Normalerweise wird nur der Teil der Zahnflanke, der in Kontakt mit dem zugepaarten Zahnrad
ist (die so genannte Nutzflanke), geschliffen. Das Schleifen über die gesamte Zahnhöhe,
einschliesslich des Fussbereichs, ist aufwändig und erhöht die Fertigungskosten.
Wird das Zahnrad mit einem Werkzeug ohne Protuberanz vorgefertigt, entsteht an der
Position, an der das Schleifwerkzeug von der Flanke abgehoben wird, eine Schleifkerbe im
Bereich des Zahnfusses. Eine solche Kerbe neigt dazu, eine erhöhte Biegebeanspruchung im
Fussbereich zu erzeugen und verringert somit die Festigkeit.
In der ISO 6336-3 ist eine Regel zur Berücksichtigung der erhöhten Beanspruchung durch eine
Schleifkerbe dokumentiert. Die aufgeführten Formeln basieren auf einer Forschung von Wirth
in den 1970er Jahren. In einer jüngeren Diskussion der ISO-Arbeitsgruppe, die für die
Entwicklung dieser Norm zuständig ist, zeigte sich, dass eine Überarbeitung der Formeln
erforderlich ist.
2 Untersuchungen über den Einfluss einer Schleifkerbe
Der Einfluss einer Schleifkerbe auf die Biegefestigkeit des Zahns wurde in den 1970er Jahren
von Wirth [1] an der FZG in München untersucht. Wirth führte viele Messungen an Zahnrädern
mit und ohne Schleifkerben durch und leitete S/N-Kurven daraus ab. Er untersuchte Zahnräder
mit Modul 3 mm auf einem Prüfstand, andere Zahnränder mit Modul 8 mm wurden auf einem
Pulsator gemessen. Die Spannung im Zahnfussbereich ermittelte Wirth mit dem
fotoelastischen Verfahren. Heute würde die FE-Methode für die theoretische Analyse der
Zahnfussspannung angewandt werden. In den 1970er Jahren war diese Methode jedoch noch
nicht sehr verbreitet, daher nutzte Wirth das fotoelastische Verfahren für seine
Untersuchungen. Mit diesem Verfahren lässt sich die Lage der höchsten Spannung bestimmen,
ansonsten sind die gelieferten Ergebnisse nur begrenzt hilfreich.
Die Prüfzahnräder von Wirth waren auf Maag Schleifmaschinen geschliffen worden. Das Maag
Trockenschleifverfahren war seinerzeit weit verbreitet, ist heute jedoch eindeutig veraltet. Die
Werkzeuge für die Vorbearbeitung sind genau beschrieben, aber die durch das Schleifen
erhaltene Form wurde nur mit Kontrastbildern dokumentiert, so dass Form, Lage und Radius
der Schleifkerbe an den verschiedenen Prüfzahnrädern nur grob geschätzt werden können.
Leider ist keine dokumentierte Profilmessung von einer Evolventen-Messmaschine verfügbar.
Wir versuchten, die von Wirth verwendeten Zahnräder nachzurechnen, da aber die genaue
Zahnform nach dem Schleifen nicht präzise genug angegeben ist, war dies nicht möglich.
Deshalb sind wir heute nicht in der Lage, die seinerzeit verwendeten Zahnräder mit einer FEM-
Analyse neu zu berechnen. Die eindrucksvolle Forschungsarbeit von Wirth ist daher nicht sehr
hilfreich, wenn wir seine Ergebnisse mit modernen Berechnungsmethoden nachvollziehen
wollen.
3 Die Berücksichtigung der Schleifkerbe in ISO 6336-3
Die DIN 3990-3 [3] enthält eine Regel für die Berücksichtigung der erhöhten Beanspruchung
aufgrund einer Schleifkerbe. Die gleiche Regel wurde später in der ISO 6336-3 [4]
übernommen. Laut Literaturverweisen beruht diese Methode auf einer Arbeit von
Puchner/Kamenski [5], die einige Jahre vor der Arbeit von Wirth veröffentlicht wurde. Puchner
untersuchte den Effekt einer Kerbe in der Mitte einer grösseren Kerbe ganz allgemein, nicht
für Zahnräder. Seine Ergebnisse sind daher für Schleifkerben nur anwendbar, wenn die
Normale zum 30°-Tangentenpunkt in der Fussrundung und die Normale zum 30°-
Tagentenpunkt der Schleifkerbe übereinstimmen. Wirth [1, Seite 6-7] dokumentiert die 1975
verwendeten Formeln in einem Arbeitspapier für die Norm ISO 6336-3. Die Formeln, die in der
ersten offiziellen Ausgabe der ISO 6336 im Jahr 1996 veröffentlicht wurden, unterscheiden
sich jedoch von den von Wirth dokumentierten Gleichungen. Also wurden später Änderungen
auf der Grundlage weiterer Forschungen von Wirth und anderen vorgenommen.
Die Beschreibung des Einflusses von Schleifkerben in ISO 6336-3 ist leider nicht einfach zu
verstehen und lässt Spielraum für Interpretation. Bei einer Schleifkerbe muss der Faktor für
die Spannungskonzentration nach Gleichung 1 durch YSg ersetzt werden. Die Skizze (Bild 1a)
in ISO 6336-3 [4] zeigt die beiden wichtigen Parameter der Schleifkerben-Formel, nämlich die
maximale Tiefe der Schleifkerbe (tg) und den Radius der Schleifkerbe (ρg). Die Tiefe tg wird
angegeben als der Abstand zwischen der 30°-Tangente an der vorgefertigten Zahnform und
der 30°-Tangente an der Schleifkerbe.
YSg =1,3 YS
1,3-0,6√tgρg
(1)
Schleifkerben-Parameter gemäss
ISO6336-3 [4]
Blau: Vorbearbeitete Zahnform. Grün gestrichelt:
Schleifen im Bereich der Nutzflanke. Rot punktiert:
Schleifen bis in den Zahnfussradius. Grüner Kreis:
Teilkreisdurchmesser. Dunkelroter Kreis: Grundkreis.
Bild 1a-b: Links: Schleifkerben-Parameter. Rechts: Unterschiedliche Lagen der Schleifkerbe
Die Norm gibt nicht an, wie tg und ρg zu berechnen sind. Für das Abwälzschleifen kann der
Radius ρg nach der Beschreibung in Kapitel 6 der ISO 6336-3 berechnet werden, indem einfach
das Zahn-Bezugsprofil verwendet wird, das aus dem Schleifwerkzeug abgeleitet wird (mit
hfP = haP0: Kopfhöhe des Schleifwerkzeugs; ρfP = ρaP0: Kopfradius des Schleifwerkzeugs). Die
Lage des Punkts, an dem die 30°-Tangente den Zahn berührt (im kritischen Abschnitt) lässt
sich mithilfe der Zahnfusssehne sFn, dem Biegehebelarm hFe und dem Lastrichtungswinkel αFen
ableiten. Diese Punkte müssen für den vorbearbeiteten Zahn und die Schleifkerbe berechnet
werden, dann ergibt der Abstand zwischen den 30°-Tangenten durch diese Punkte die
Schleifkerbentiefe tg.
Bei einem kürzlichen Treffen der ISO-Arbeitsgruppe ISO TC60/WG6 wurde die Berechnung
des Einflusses von Schleifkerben diskutiert. Dabei wurde deutlich, dass zwei unterschiedliche
Interpretationen möglich waren. Fachleute (Interpretation I) aus der deutschen
Zahnradindustrie vertraten den Standpunkt, dass tg und ρg aus dem Ausdruck der
Profilmessmaschine entnommen werden müssen. In diesem Fall wird tg immer annähernd der
Schleifzugabe entsprechen und der auf dem Profildiagramm gemessene Radius ρg wird
ungenau sein, weil er durch die Verarbeitung in der Profilmessmaschine geringfügig verändert
wird. Die Lage der Schleifkerbe wird dabei nicht berücksichtigt, tg ist unabhängig davon ob die
Kerbe höher am Fuss liegt oder nicht.
Andere Fachleute (Interpretation II) vertreten die Meinung, dass tg als Abstand zwischen den
Tangenten an den vorbearbeiteten Zahn und die Schleifkerbe (wie oben beschrieben)
berechnet werden sollte. Diese Methode wird in der von der FZG in München entwickelten
Software STplus [6] und in KISSsoft [7] angewandt. Bei diesem Ansatz wird die Lage der
Schleifkerbe berücksichtigt: Je grösser der Abstand zwischen der Kerbe (weiter oben) und dem
Zahnfussbereich ist, umso kleiner ist tg und der Schleifkerbenfaktor wird geringer.
Beide Interpretationen gelangen zum gleichen Ergebnis, wenn die Schleifkerbe sehr tief im
Fussbereich in der Mitte der Fussrundung liegt (Bild 1b, gestrichelte Linie). Aber die gängige
Praxis beim Schleifen ist genau dies NICHT. Normalerweise wird nur der Bereich der Nutzflanke
geschliffen. Das Schleifwerkzeug taucht aus der Flanke aus, kurz nachdem der Fusskreis-
durchmesser (dNf) erreicht ist (Bild 1b, gestrichelte Linie). Abbildung 1b zeigt den Normalfall
eines Zahnrads mit einem Kopfspiel von 0,25*mn. Üblicherweise liegt die Schleifkerbe in einem
gewissen Abstand vom Bereich der Fussrundung. Interpretation I ist somit eindeutig die
sicherere, in der Praxis jedoch wahrscheinlich in den meisten Fällen zu konservativ.
Es ist offenbar nicht so klar, wie tg in Formel (1) zu berücksichtigen ist. Daher beschlossen wir,
einige typische Zahnradsätze mit Interpretation I und II zu berechnen und die Ergebnisse
zusätzlich mit einem FEM-Ansatz zu vergleichen.
4 Berechnung der Zahnfussspannung mit der 2D Finite Elemente Methode
Um die Gefahr von Fehlern zu minimieren, wenn eine grosse Zahl an Zahnradberechnungen
in einer Rechensoftware nach ISO 6336 und gleichzeitig in einer FEM-Software verarbeitet
wird, beschlossen wir, eine FEM-Berechnung direkt in die KISSsoft-Software [7] zu integrieren.
Ein Zahnradsatz wird nach ISO 6336 berechnet, die Zahnform wird generiert und dann in ein
externes FEM-Programm übertragen. Als FEM-Programm wurde code_aster ausgewählt, das
unter Anwendern weit verbreitet ist und durch Scripts gesteuert werden kann [9]. Aus den
gleichen Gründen wurde das Programm Salome [10] für die Vorverarbeitung
(Geometrieverarbeitung und FE-Netzgenerierung) ausgewählt.
Die Genauigkeit im generierten Zahnprofil ist von grösster Bedeutung für die exakte Berech-
nung der Spannung in Zahnrädern, da schon kleinste Ungenauigkeiten zu virtuellen Bereichen
hoher Spannungskonzentration führen können und somit die Ergebnisse verfälschen. Aus
diesem Grund nutzten wir die verschiedenen Optionen an Zahnform-Berechnungsfunktionen
von KISSsoft [7]. Bild 2 zeigt den Unterschied in der generierten Zahnform, wenn Polygonlinien
bzw. kubische Splines für den Export der Zahnform verwendet werden.
Bild 2: Zahnform bestehend aus Polygon-Linien verglichen mit Zahnform aus kubischen
Splines
Die hervorgehobenen Bereiche führen bei Polygonlinien zu Spannungsspitzen, die keine echten
Spannungen darstellen, wie rechts in Bild 2 zu sehen ist. Es wurde daher beschlossen, für den
Export der Zahnform mit kubischen Splines zu arbeiten.
Was den verwendeten Analysetyp betrifft, wurde entschieden, in einem ersten Schritt mit einer
ebenen 2D-Spannung zu arbeiten. Die Rechenzeit ist dabei kürzer und es können mehr Fälle
in kürzerer Zeit berechnet werden. Darüber hinaus ist die ebene 2D-Spannung eine gängige
Annahme für die Spannungsanalyse von Zahnradzähnen (siehe beispielsweise [11]). Je kleiner
die Zahnradbreite ist, umso realistischer wird diese Näherung.
Für die FE-Netzgenerierung wurde ein automatisches Verfahren auf der Grundlage des
NETGEN-Algorithmus ausgewählt. Da ein einwandfreies Funktionieren der Netzgenerierung für
viele unterschiedliche Fälle wichtig war, wurde beschlossen, dreieckige Elemente an Stelle
viereckiger Elemente zweiter Ordnung zu verwenden. Schliesslich ist bekannt, dass letztere
Option bei plötzlichen Veränderungen der Geometrie (zum Beispiel im Bereich der
Schleifkerbe) zu stark verzogenen Elementen führen kann. Die minimale und maximale
Elementgrösse wurde anhand des Normalmoduls der untersuchten Zahnräder ausgewählt,
wobei in den Bereichen mit Spannungskonzentration die Netzfeinheit verstärkt wurde. Nur ein
Segment mit 3 Zähnen des kompletten Zahnrads wird analysiert, um die Grösse des
generierten Netzes und die resultierende Analysezeit zu verringern und trotzdem eine
komplette Darstellung der Fussgeometrie zu erhalten. Der Anwender kann wählen, ob das
Zahnrad am Innendurchmesser oder an den Seiten des untersuchten Segments eingespannt
wird (Bild 3). Auch die Netzdichte ist vom Anwender einstellbar; mit ‚sehr hohe Dichte’ werden
etwa 24 Knoten im Bereich der Fussrundung generiert, es sind insgesamt 4000 Elemente
vorhanden; weitere Auswahlmöglichkeiten sind ‚hohe Dichte’ (17 Knoten, 2200 Elemente) und
‚mittlere Dichte’ (10 Knoten, 1300 Elemente).
Bild 3: Zwei Varianten zur Modellierung der Einspannung
(Links: Eingespannt am Innendurchmesser; Rechts: Seitliche Einspannung)
Nach der Generierung des Netzes werden bestimmte Knoten an den exakten Ort bewegt, an
dem die Ergebnisse ermittelt werden sollen, z. B. am 30°-Tangentenpunkt. Da in Bereichen
mit Spannungskonzentration (wie der Schleifkerbe) ein hoher Spannungsgradient vorliegt,
spielt die genaue Lage des extrahierten Ergebnisses eine wichtige Rolle (Bild 4). Die
Verfeinerung des Netzes im Bereich der Spannungskonzentration zusammen mit der Wahl
dreieckiger Elemente und Qualitätsprüfungen des Netzes gewährleisten, dass diese
Knotenbewegung die Genauigkeit des resultierenden Netzes nicht beeinflusst.
Bild 4: Ursprüngliche und finale Position eines Knotens
4.1 Geradverzahnte Zahnräder
Geradstirnräder sind gut geeignet für eine 2D-FEM-Analyse, weil die Lastverteilung über die
Zahnbreite nicht Gegenstand dieser Untersuchung ist. Wie in ISO 6336 [4] wird die Linienlast
Fn/b (Fn/b = Ft/cos(αn)/b) am äusseren Einzeleingriffspunkt (HPSTC) eingeleitet. Der
Lasteinleitungswinkel αFen nach ISO wird verwendet. Nach AGMA 908 [8] kann bei
Geradstirnrädern zwischen dem Kraftangriff am Kopf oder am Einzeleingriffspunkt (HPSTC)
gewählt werden. Für diese Untersuchung wird nur die genauere Methode mit dem Kraftangriff
am Einzelangriffspunkt verwendet. Da der Lastwinkel ΦnL nach AGMA identisch mit αFen bei ISO
ist, die einwirkende Last Fn/b ebenfalls identisch ist, entspricht der Kraftangriff gemäss AGMA
demjenigen der ISO. Die Resultate der FEM-Analyse können somit sowohl mit ISO- als auch
mit AGMA-Resultaten verglichen werden.
4.2 Schrägverzahnte Zahnräder
Für schrägverzahnte Zahnräder wandeln beide Normen, sowohl ISO als auch AGMA, die
schräge Geometrie in eine virtuelles Geradstirnrad um. Das virtuelle Zahnrad ist ein
Geradstirnrad mit der gleichen Zahnform (Zahnhöhe und Zahndicke) wie der schrägverzahnte
Zahn im Normalschnitt. Für die Berechnung der Spannungen werden dann die gleichen
Formeln angewandt wie für native Geradstirnräder.
Für die FEM-Analyse wird daher die Zahnradgeometrie in ein virtuelles Geradstirnrad
umgewandelt (nach den Regeln in ISO oder AGMA). Dann wird die Zahnform des virtuellen
Zahnrads generiert und in das FEM-Verfahren übertragen. Die Last, Lastposition am
Einzeleingriffspunkt (HPSTC) und der Lastwinkel im FEM-Modell entsprechen dem zuvor
beschriebenen Vorgehen bei Geradstirnräder.
Die Berechnung der Biegebeanspruchung im Fussbereich mithilfe der virtuellen
Geradstirnräder an Stelle schrägverzahnter Räder stellt eine gewisse Vereinfachung dar. Daher
verwenden beide Normen – ISO und AGMA – einen zusätzlichen Faktor, um die Differenz
zwischen der am virtuellen Geradstirnrad erhaltenen Spannung und der tatsächlichen
Spannung in einem schrägverzahnten Rad zu kompensieren. In der ISO-Norm wird die am
virtuellen Zahnrad ermittelte Spannung mit dem Schrägenfaktor Yβ multipliziert. In der AGMA-
Norm wird die Spannung mit 1./(Cψ* Kψ) multipliziert (Cψ: Sprungüberdeckung des
schrägverzahnten Rads, Kψ: Schrägenfaktor [8]). Die mittels FEM erhaltenen Spannungen
werden für die Dokumentation mit diesen Faktoren multipliziert, um Werte zu erhalten, die mit
den Spannungen nach ISO- oder AGMA-Berechnungen verglichen werden können.
Die Spannungen, die nach der Norm für schrägverzahnte Zahnräder erhalten wurden, direkt
mit einer 3D-FEM-Analyse zu vergleichen, ist absolut interessant. Daher entschieden wir, in
der Software eine Option für die Generierung von Daten für eine 3D-Analyse vorzusehen. Dies
wird an anderer Stelle weiter vertieft.
5 Vergleich der Zahnfussspannungen berechnet nach ISO 6336 und AGMA 2101
mit 2D-FEM Resultaten (ohne Schleifkerben)
Ziel dieser Untersuchung ist die Bewertung des Einflusses von Schleifkerben. Bevor wir mit
dieser Aufgabe beginnen, wollten wir die FEM-Methode mit ‚normalen‘ Zahnformen testen und
die Ergebnisse mit ISO 6336 und AGMA 2001 vergleichen. Für einen brauchbaren Test wollten
wir ein grosses Spektrum an Prüfrädern verwenden. Dies ist jedoch schwierig, da FEM-
Berechnungen sehr viel Zeit in Anspruch nehmen.
Daher beschlossen wir, das gesamte Berechnungsverfahren in eine Excel-Kalkulation zu
integrieren und so automatisch mehrere Varianten zu berechnen und die interessierenden Ein-
und Ausgaben aufzubereiten. Dies wird durch die COM-Schnittstelle der KISSsoft-Software
ermöglicht [7]. In Excel kann ein Zahnradpaar als Beispiel geladen werden und dann durch
DLL-Aufrufe eine Berechnung nach ISO 6336, nach AGMA 2001 und schliesslich ein Aufruf des
Zahnformrechners mit der angehängten FEM-Berechnung ausgeführt werden.
Die Zahnradparameter können automatisch schrittweise verändert, die Berechnungen
ausgeführt, die interessierenden Ergebnisse gespeichert und in einer Excel-Grafik dargestellt
werden. Wir wählten mehrere einfache Zahnradsätze (Tabelle 1) aus und veränderten mit der
Excel-Anwendung die Zähnezahl des Abtriebsrades in 6 Schritten von 16 auf 200 Zähne. Wir
erhielten damit Ergebnisse für mehrere Zahnradsätze und konnten die FEM-Methode
bestmöglich verifizieren.
In der Grafik sind die folgenden Ergebnisse auf der Y-Achse dargestellt:
- nach FEM: die maximale Spannung im Fussbereich des Zahnrads, die Spannung am
30°-Tangentenpunkt nach ISO 6336, die Spannung im Louis-Parabelpunkt nach AGMA
908
- nach ISO 6336: die Nennzahnfussspannung σF0
- nach AGMA 2001: die Nennbiegespannungszahl σF0
Auf der X-Achse wird die Zähnezahl des Abtriebsrades angezeigt.
Modul z1 x1 z2 x2 haP* hfP* ρfP* αn β
Set 1a 2 mm 12 0.3 variiert -0.3 1.0 1.25 0.38 20° 0°
Set 1b 2 mm 12 0.3 variiert 0.0 1.0 1.25 0.38 20° 0°
Set 1c 2 mm 12 0.3 variiert +0.3 1.0 1.25 0.38 20° 0°
Set 1d 2 mm 12 0.3 variiert -0.3 1.0 1.25 0.10 20° 0°
Set 1e 2 mm 12 0.3 variiert 0.0 1.0 1.25 0.10 20° 0°
Set 1f 2 mm 12 0.3 variiert +0.3 1.0 1.25 0.10 20° 0°
Hinweis: b = 30 mm, T1 = 89 Nm, Zahnfuss-Sicherheit SF2 nach ISO ca. 1.4
FEM: Sehr hohe Netzdichte, seitlich eingespannt gemäss Bild 3
Modul z1 x1 z2 x2 haP* hfP* ρfP* αn β
Set 2a 6 mm 25 0.25 variiert 0.0 1.0 1.25 0.38 20° 0°
Set 2b 6 mm 25 0.25 variiert 0.0 1.0 1.25 0.10 20° 0°
Set 2c 6 mm 25 0.25 variiert 0.0 1.0 1.25 0.10 25° 0°
Set 2d 6 mm 25 0.25 variiert 0.0 1.0 1.25 0.10 20° 20°
Hinweis: b = 44 mm, T1 = 3600 Nm, Zahnfuss-Sicherheit SF2 nach ISO ca. 1.4
FEM: Sehr hohe Netzdichte, seitlich eingespannt gemäss Bild 3
Tabelle 1: Angaben zu den verwendeten Verzahnungen (I)
Die Ergebnisse in Bild 5a-f, 6a-b sind interessant. Der Verlauf der Kurven für die maximale
Spannung nach FEM und die maximale Spannung nach ISO ist sehr ähnlich. Die Spannungen
nach ISO sind immer höher als die FEM-Ergebnisse und zwar je nach Fall zwischen 5 % und
15 %. Die ISO-Werte sind daher sicherer, was für eine vereinfachte Analysemethode sinnvoll
ist. In einigen Fällen ist bei der FEM-Berechnung die maximale Spannung und die Spannung
am 30°-Tangentenpunkt identisch. Das bedeutet, dass die mittels FEM ermittelte maximale
Spannung sich genau am 30°-Tangentenpunkt befindet.
Auch die Spannungen nach AGMA zeigen im Vergleich mit den FEM-Ergebnissen eine relativ
ähnliche Kurvenform. Häufig sind die Spannungen nach AGMA aber niedriger als die FEM-
Ergebnisse. Wir stellten fest, dass die Spannungen nach AGMA insbesondere in folgenden
Fällen niedriger als die mit FEM ermittelten Spannungen sind:
- bei höherer Profilverschiebung x
- bei kleinerem Fussradius am Bezugsprofil ρFP*
- bei höherer Zähnezahl des Abtriebsrades
Wahrscheinlich sind die Ergebnisse nach AGMA in diesen Fällen zu optimistisch. Und da die
mit FEM ermittelten Spannungen am Louis-Parabelpunkt (nach AGMA) in den meisten Fällen
etwas kleiner als die am 30°-Tangentenpunkt festgestellten Spannungen (nach ISO) sind,
scheint der 30°-Tangentenpunkt einen besseren Ansatz für die Ermittlung des Abschnitts mit
der höchsten Spannung zu bieten. Zu beachten ist, dass AGMA 908 mit ‚Kraftangriff am Kopf’
statt ‚Kraftangriff an HPSTC’ viel höhere Spannungen ergibt; der Ansatz ‚Kraftangriff am Kopf’
ist somit auf der sicheren Seite, der ‚Kraftangriff an HPSTC’ ergibt hingegen zu tiefe Zahnfuss-
Spannungen.
5a: Set 1a, mn 2 mm, x2 -0.3, ρf2* 0.38 5b: Set 1b, mn 2 mm, x2 0.0, ρf2* 0.38
5c: Set 1c, mn 2 mm, x2 +0.3, ρf2* 0.38 5d: Set 1d, mn 2 mm, x2 -0.3, ρf2* 0.10
5e: Set 1e, mn 2 mm, x2 0.0, ρf2* 0.10 5f: Set 1f, mn 2 mm, x2 +0.3, ρf2* 0.10
Bild 5a-f: Zahnfussspannung σF0 mit Modul 2 mm Verzahnungen
(bei unterschiedlicher Rad-Zähnezahl)
6a: Set 2a, mn 6 mm, z1 25, x2 0.0, ρf2* 0.38 6b: Set 2b, mn 6 mm, z1 25, x2 0.0, ρf2* 0.10
6c: Set 2c, αn = 25°, mn 6 mm, z1 25, ρf2* 0.38 6d: Set 2d, β = 20°, mn 6 mm, z1 25, ρf2* 0.38
Bild 6a-d: Zahnfussspannung σF0 mit Modul 6 mm Verzahnungen
(bei unterschiedlicher Rad-Zähnezahl)
Ebenfalls zu beachten ist, dass wir die FEM-Ergebnisse nicht direkt mit den Messdaten der
geprüften Zahnräder verglichen haben, da wir wissen, dass die Regeln der ISO 6336-3 mit
Messungen getestet wurden [12]. Wir verglichen daher mit den Ergebnissen, die nach den
ISO-Formeln erzielt wurden; so war es möglich, viel mehr Prüflinge zu untersuchen. Insgesamt
bestätigten die Tests, dass die FEM-Methode gut geeignet für die Prüfung und den Vergleich
mit Spannungen nach ISO ist. Sie kann daher für die Analyse der Schleifkerben verwendet
werden.
6 Zahnfussspannung berechnet mit der 3D Finite Elemente Methode
Die Berechnung der Fussspannung mit einem 3D-FEM-Ansatz ist vor allem für den Vergleich
der Ergebnisse der Biegebeanspruchungen nach ISO und AGMA für schrägverzahnte Räder
interessant. Der Einfluss der Schleifkerbe nach ISO 6336 beruht auf einem Ersatzgeradstirnrad,
daher ist die 2D-FEM für diese Untersuchung am besten geeignet. Die 3D-FEM-Ergebnisse
werden hier nicht verwendet. Sie werden in späteren Publikationen betrachtet.
7 Einfluss einer Schleifkerbe berechnet mit der 2D Finite Elemente Methode
Mit der 2D-FEM-Berechnung nach Kapitel 5 werden gute Ergebnisse erzielt, daher wird sie für
die Untersuchung des Einflusses einer Schleifkerbe benutzt. Schleifkerben, vor allem beim
Formschleifen, können recht scharfkantig sein. Daher wurden alle Berechnungen mit einer
sehr hohen Netzdichte durchgeführt.
Für die Untersuchung des Einflusses von Schleifkerben berechneten wir den gleichen
Zahnradsatz (Tabelle 2) mit verschiedenen Kopfhöhen des Schleifwerkzeugs (hgrind). Die Lage
der Schleifkerbe veränderte sich dadurch jeweils, von einer ersten Position im Bereich des
Fusskreisdurchmessers (in der Mitte der Fussrundung) nach oben zu den üblicherweise
benutzten Positionen (im Bereich des Fusskreisnutzdurchmessers) bis hin zum letzten Punkt
im Bereich der Nutzflanke (der in der Praxis vermieden werden sollte); siehe Bild 8.
Die Ergebnisse beim Abwälzschleifen mit zwei verschiedenen Kopfradien des Schleifwerkzeugs
und beim Formschleifen mit ebenfalls zwei verschiedenen Kopfradien, jeweils mit
unterschiedlichen Schleifzugaben wurden untersucht (Tabelle 2).
Modul z1 x1 z2 x2 hgrind* ρgrind* Schleifen αn β tg
Set
3a
6 mm 25 0.25 76 -0.25 variiert 0.10 Abwälz-
schleifen
20° 0° 0.16
mm
Set
3b
6 mm 25 0.25 76 -0.25 variiert 0.02 Abwälz-
schleifen
20° 0° 0.16
mm
Set
3c
6 mm 25 0.50 76 -0.50 variiert 0.20 Form-
schleifen
20° 0° 0.16
mm
Set
3d
6 mm 25 0.50 76 -0.50 variiert 0.10 Form-
schleifen
20° 0° 0.16
mm
Set
3e
6 mm 25 0.25 76 -0.25 variiert 0.10 Abwälz-
schleifen
20° 0° 0.32
mm
Note: b = 44 mm, T1 = 3600 Nm, Zahnfuss-Sicherheit SF2 nach ISO ca. 1.4
Schleifzugabe 0.16 mm; Vorbearbeitung mit hfP*=1.32, ρfP=0.38 (Bezugsprofil fertig
hfP*=1.25)
FEM: Sehr hohe Netzdichte, seitlich eingespannt gemäss Bild 3
Tabelle 2: Angaben zu den verwendeten Verzahnungen (II)
7a: Set 3a, Abwälzschleifen, ρgrind* 0.10 7b: Set 3b, Abwälzschleifen, ρgrind* 0.02
7c: Set 3c, Formschleifen, ρgrind* 0.20 7d: Set 3d, Formschleifen, ρgrind* 0.10
Start of Grinding notch position:
d = 142.4 : Centered in the root rounding
d = 142.7 : Below dFf
d = 143.0 : At dFf
d = 143.4 : At dNf
d = 144.1 : Too high up in the activ area
7e: Set 3e, Abwälzschleifen, ρgrind* 0.10,
tg 0.32 mm
Bild 7a-e: Zahnfussspannung σF0 mit Schleifkerben-Lage bei unterschiedlichem
Durchmesser
Bild 8: Schleifkerbentiefe tg nach Interpretation II bei einer Schleifkerbenposition im Bereich
des Nutzkreises dNf (links) und bei einer Position sehr tief im Bereich der Zahnfussrundung
(rechts)
Bild 7 enthält einen Auszug der Ergebnisse mit den verschiedenen Zahnradsätzen. Die
wichtigsten geprüften Parameter sind:
- die Höhe des Schleifwerkzeugs hgrind
- der Kopfradius des Schleifwerkzeugs ρgrind
- die Schleifzugabe q
Der Radius des Schleifwerkzeugs erzeugt den Schleifkerbenradius ρg, der sich stark
unterscheidet, je nachdem ob mit Abwälz- oder Formschleifen gearbeitet wird. Ein
Schleifradius ρgrind = 0 erzeugt beim Abwälzschleifen immer noch einen Kerbradius ρg von (ca.)
0,17*mn, beim Formschleifen jedoch eine scharfe Kante. Letzteres ist keine gute Praxis und
demzufolge zu vermeiden. Wir untersuchten daher das Abwälzschleifen mit einem Werkzeug-
Kopfradius ρgrind* = 0,1 und 0,02 und das Formschleifen mit ρgrind* = 0,2 und 0,1.
Die Schleifzugabe q, die in den meisten Fällen der Untersuchung verwendet wurde, ist ein
Standardwert nach DIN 3972 III, der bei der Zahnradherstellung häufig benutzt wird. Bei
grösserer Schleifzugabe bleibt der Kerbradius ρg unverändert, die Kerbtiefe tg wird jedoch
grösser und somit auch die Kerbwirkung: Wie in Bild 7a und 7e zu sehen ist, sind die
Spannungen in 7e mit der doppelten Schleifzugabe q höher.
Alle Diagramme in Bild 7 zeigen die maximale Biegebeanspruchung σF0 im Bereich des
Zahnfusses, die mit FEM und mit der Analysemethode nach ISO 6336-3 berechnet wurde,
jeweils mit Interpretation I und II (siehe Kapitel 3). Die Spannungen nach FEM sind bei allen
Zahnrädern am höchsten, wenn die Schleifkerbe in der tiefsten Position in der Mitte der
Fussrundung liegt (siehe Bild 8, rechts). Je höher die Kerbe liegt, umso geringer sind die
Spannungen. Ab einer bestimmten Position bleiben die Spannungen konstant. Ein konstantes
Spannungsverhalten zeigt an, dass sich die maximale Spannung nicht mehr in der Schleifkerbe,
sondern im Bereich der Fussrundung befindet.
Die analytisch berechneten Spannungen nach ISO, Interpretation I (konstante tg), zeigen ein
ganz anderes Verhalten: Der höchste Wert findet sich an der gleichen Position wie in der FEM-
Untersuchung; wenn die Kerbe weiter oben entsteht, nimmt die Spannung zunächst etwas ab,
bleibt dann jedoch konstant und beginnt sogar leicht anzusteigen (aufgrund der Tatsache,
dass die beim Abwälzschleifen entstandene Schleifkerbe bei einer höheren Position des
Werkzeugs abnimmt).
Die Spannungen nach ISO, Interpretation II (tg wie in Bild 8, links), sind in der tiefsten
Kerbposition identisch mit der Spannung nach Interpretation I, nehmen aber dann erheblich
ab und bleiben in einer höheren Kerbposition konstant, was den FEM-Ergebnissen sehr gut
entspricht. In allen untersuchten Zahnradsätzen fanden wir ein ähnliches Verhalten zwischen
FEM und Interpretation II.
Ebenso wichtig zu beachten ist, dass mit wenigen Ausnahmen die mit FEM ermittelte Spannung
immer niedriger als die Spannung nach Interpretation II ist. Der ISO-Ansatz ist also auf der
sicheren Seite. Die Ausnahmen sind alles Fälle, in denen sich die Kerbe in einer tiefen Position
befindet. Wie bereits erwähnt, werden Zahnräder normalerweise nicht so tief in den Bereich
der Fussrundung geschliffen.
Daraus ist als Fazit festzustellen, dass Formel (1) für YSg nach der Interpretation II zu
realistischen Ergebnissen führt, während bei Interpretation I die Kerbwirkung viel zu hoch
geschätzt wird, wenn die Kerbe sich unmittelbar unterhalb des Nutzflankenbereichs befindet
(die übliche Vorgehensweise bei der Herstellung).
8 Formeln zur Berechnung des Schleifkerbenfaktors YSg
In ISO 6336-3 ist nur die Gleichung für YSg dokumentiert, die Angaben, wie die Kerbentiefe tg
und der Kerbenradius ρg ermittelt werden, fehlen. Bei einer Aussenverzahnung werden die
Daten der Kerbengeometrie wie folgt ermittelt. Alle Symbole entsprechen den Definitionen in
ISO 6336-3 [4].
Alle Angaben, die für den Formfaktor YF (Kapitel 6 von [4]) benötigt werden, müssen zweimal
berechnet werden, zuerst mit dem Vorbearbeitungs-Werkzeug und danach mit dem Schleif-
Werkzeug.
Bild 9: Wichtige Punkte zur Bestimmung der Schleifkerben-Geometrie.
P1: 30° Tangenten-Punkt in der Zahnfussrundung. P2: Mittelpunkt des Fussrundungskreises.
P3: 30° Tangenten-Punkt in der Schleifkerbe.
8.1 Vorbearbeitungs-Werkzeug
Mit einer ersten Berechnung von YF mit den Bezugsprofildaten des Vorbearbeitungs-Prozesses
unter Verwendung der Herstellprofilverschiebung bei der Vorbearbeitung xEpre werden snF, zn,
θ, G, ρfPv, ρF nach ISO 6336-3 berechnet.
Punkt P1 (x1, y1): 𝑥1 = 𝑆𝑛𝐹/2
𝑦𝑠𝐹𝑛′ =𝑚𝑛
2[𝑧𝑛 cos (
𝜋
3− 𝜗) + (
𝐺
cos 𝜗−
𝜌𝑓𝑃𝑣
𝑚𝑛)]
𝑦1 = 𝑦𝑠𝐹𝑛′ +𝑑
2(1 −
1
(cos 𝛽𝑏)2)
Punkt P2 (x2, y2): 𝑥2 = 𝑥1 + 𝜌𝐹 ∙ cos (𝜋
3)
𝑦2 = 𝑦2 + 𝜌𝐹 ∙ sin (𝜋
3)
8.2 Schleifwerkzeug (Abwälzschleifen)
Beim Abwälzschleifen ist eine zweite Berechnung von YF erforderlich mit den Bezugsprofildaten
des Schleifprozesses (Bild 10) und der finalen Herstellprofilverschiebung xE, wobei hgrind für hfP
und ρgrind für ρfP verwendet wird, um snFg, θg, Gg, ρfPvg, ρFg nach ISO6336-3 zu erhalten.
Punkt P3 (x3, y3): 𝑥3 = 𝑆𝑛𝐹𝑔/2
𝑦𝑠𝐹𝑛𝑔′ =𝑚𝑛
2[𝑧𝑛 cos (
𝜋
3− 𝜗𝑔) + (
𝐺𝑔
cos 𝜗𝑔−
𝜌𝑓𝑃𝑣𝑔
𝑚𝑛)]
𝑦3 = 𝑦𝑠𝐹𝑛𝑔′ +𝑑
2(1 −
1
(cos 𝛽𝑏)2)
Bild 10: Definition des Bezugsprofils für die Vorbearbeitung und den Schleifprozess
8.3 Schleifkerbe
Bild 11: Schleifkerbentiefe tg
Mit 𝜀 = arctan (𝑦2−𝑦3
𝑥2−𝑥3)
Erhalten wir Winkel 𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 𝛾 =𝜋
6− 𝜀
𝑃2𝑃3 = √(𝑥2 − 𝑥3)2 + (𝑦2 − 𝑦3)2
Dann wird die Schleifkerbengeometrie mit
𝑡𝑔 = 𝑃2𝑃3 ∙ cos(𝛾) − 𝜌𝐹 und 𝜌𝑔 = 𝜌𝐹𝑔 ermittelt.
In diesem Artikel sind die Formeln für Aussenverzahnungen mit Abwälzschleifen dokumentiert.
Für den Erhalt der Schleifgeometrie beim Formschleifen ist das Verfahren ähnlich, jedoch
einfacher, weil der Kerbradius gleich dem Kopfradius des Schleifwerkzeugs ist. Für
Innenverzahnungen kann sowohl für das Abwälzschleifen als auch für das Formschleifen ein
sehr ähnlicher Ansatz angewandt werden.
9 Zusammenfassung
Je nach dem verwendeten Vorbearbeitungsprozess entsteht beim Schleifen häufig eine so
genannte ‚Schleifkerbe‘ an der Stelle, an der das Schleifwerkzeug aus der Flanke austaucht.
Die maximale Biegebeanspruchung, die sich normalerweise im Bereich der Fussrundung
befindet, wird durch eine Schleifkerbe erhöht. ISO 6336-3 schlägt eine Methode vor, mit der
der Einfluss von Schleifkerben betrachtet werden kann. In diesem Papier wird die Anwendung
dieser Methode analysiert.
Für die Untersuchung wurde ein FEM-Tool verwendet, das direkt und automatisch mit einer
Überprüfung nach ISO 6336 kombiniert wurde. Auf diese Weise konnten viele verschiedene
Zahnradsätze untersucht und die maximalen Spannungen aus der FEM-Analyse mit der nach
ISO 6336 berechneten Spannung verglichen werden. Für die Bewertung der Methode wurden
zunächst verschiedene Zahnradpaare ohne Schleifkerbe berechnet. Dabei wurden die
Ergebnisse nach FEM, ISO 6336 und AGMA 2101 verglichen. Das Resultat ist sehr
zufriedenstellend, denn es wurde eine gute Übereinstimmung zwischen den FEM- und ISO-
Ergebnissen erzielt. Damit steht fest, dass die Methode auch für die Untersuchung des
Einflusses von Schleifkerben geeignet ist.
Die in der Formel in ISO 6336 verwendete Schleifkerbentiefe tg lässt zwei Interpretationen zu.
Bei Interpretation I wird die Lage der Kerbe (in der Zahnhöhen-Richtung) praktisch nicht
berücksichtigt, während bei Interpretation II die tatsächliche Schleifkerbentiefe in
Abhängigkeit von der Kerbposition betrachtet wird. Verdschiedenste Zahnradpaare mit
unterschiedlichen Positionen der Schleifkerbe (die sich aus der unterschiedlichen Kopfhöhe des
Schleifwerkzeugs ergeben), unterschiedlichen Kopfradien des Werkzeugs, Form- und
Abwälzschleifen und unterschiedlichen Schleifzugaben wurden untersucht. Die FEM-Ergebnisse
bestätigten, dass der Spannungsanstieg durch eine Schleifkerbe ganz wesentlich von der Lage
der Kerbe abhängt. Die Ergebnisse nach Interpretation II zeigen eine gute Übereinstimmung
mit den FEM-Ergebnissen. Die Ergebnisse nach Interpretation I sind dagegen zu konservativ
und zeigen teilweise sogar widersprüchliche (unrealistische) Spannungswerte.
Da die Methode für die Berechnung der Schleifkerbentiefe tg und des Schleifkerbenradius ρg in
ISO 6336-3 nicht dokumentiert ist, werden die Formeln erläutert, mit denen diese Werte
bestimmt werden können.
Verwendete Zeichen und Benennungen
Zeichen Beschreibung Einheit
Zeichen für die Schleifkerbe
YSg Spannungskorrekturfaktor für Zahnräder mit Schleifkerbe
(ISO6336)
YS Spannungskorrekturfaktor für Zahnräder ohne Schleifkerbe
(ISO6336)
tg Schleifkerbentiefe mm
ρg Schleifkerbenradius mm
hgrind* Kopfhöhe des Schleifwerkzeugs (in Modul)
ρgrind* Kopfradius des Schleifwerkzeugs (in Modul)
q Schleifzugabe mm
σF0 Nenn-Zahnfussspannung (ohne Lastfaktoren KA, KV etc.)
Zeichen für die Zahnradgeometrie
z, b, mn, … Alle Angaben entsprechen ISO21771 [13]
10 Literatur
[1] Wirth, X.; Über den Einfluss von Schleifkerben oberflächengehärteter Zahnräder auf die
Dauerfestigkeit und die Lebensdauer im Zweistufenversuch; Doctoral Thesis, 1977
[2] ISO1328-1; Cylindrical gears – ISO system of flank tolerance classification; 2013
[3] DIN3990-3; Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern, Teil 3; 1987
[4] ISO6336-3; Calculation of load capacity of spur and helical gears – Part 3: Calculation of
bending strength; 2007
[5] Puchner, 0.; Kamensky, A.; Spannungskonzentration und Kerbwirkung von Kerben im
Kerbrand; Konstruktion 24 (1972) 127…134
[6] STplus Stirnradberechnungs-Software (entwickelt durch FZG München); FVA
(Forschungsvereinigung Antriebstechnik)
[7] KISSsoft Berechnungsprogramme; www.KISSsoft.com
[8] AGMA908-B89; Geometry Factors for Determining the Pitting Resistance and Bending
Strength of Spur, Helical and Herringbone Gear Teeth; AGMA, 1989
[9] www.code-aster.org
[10] www.salome-platform.org
[11] Wright, A.; A Comparison of the Tooth-Root Stress and Contact Stress of an Involute
Spur Gear Mesh as Calculated by FEM and AGMA Standards; Masters Thesis, Rensselaer
Polytechnic Institute, June 2013
[12] Hirt, M.; Einfluss der Zahnfussausrundung auf Spannung und Festigkeit von
Geradstirnrädern; Dissertation, TU München, 1974
[13] ISO 21771; Gears – Cylindrical involute gears and gear pairs – Concept and geometry;
2007
